Brisio 1.5

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos

División de Ingeniería Industrial
Agosto- Diciembre 2019
Nombre del Alumno: Garcia Morales Rodrigo

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre(s)
Asignatura: investigación de operaciones II

Unidad V: Líneas de espera
_______________-
No. Control: 17081042 Semestre: 5 Grupo: A
Nombre del Docente: Jimenez Ventura Bricio

Apellido Paterno Apellido Nombre(s)
Materno
FECHA DE ENTREGA:08/11/19
1
INDICE
Introduccion 3
5. Lineas de espera 4
5.1. Introducción, terminología, notación y casos de aplicación. 4
5.2. Proceso de nacimiento y muerte (modelos Poisson). 7
5.3. Población infinita un servidor, cola infinita. 9
5.4. Población finita un servidor, cola finita. 11
5.5. Población infinita servidores múltiples, cola infinita. 13
5.6. Uso de software 15
Conclusion 18
Bibliografia 19
2
INTRODUCCION
La teoría de colas es un tema perteneciente a la Investigación de Operaciones,
encargada de proponer modelos para el manejo eficiente de las líneas de espera,
sean estas personas, productos, automóviles, llamadas telefónicas entre otras
(Hillier & Lieberman,1997). Este trabajo fue realizado como práctica profesional en
una entidad financiera (Confiar Cooperativa Financiera), que presentaba
problemas para el manejo de las filas de los clientes que solicitan servicios de
ahorro y crédito en su agencia principal Primero de Mayo.
Para Confiar, igual que para todas las empresas prestadoras de servicios, la
variable “clientes satisfechos” es fundamental a la hora de brindar los productos y
servicios, máxime cuando se trata de productos intangibles, donde el ambiente
que circunda la entrega el producto o servicio es lo que permite generar el valioso
valor agregado. En este caso, el valor agregado se basará en controlar el tiempo
de espera de atención a un usuario.
3
5.- Líneas de espera
5.1.- Introducción, terminología, notación y casos de aplicación .
El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el

balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es
decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el
tiempo de servicio no tiene un horario fijo.
Definición.
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas
de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable,
como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un
sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa,
entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.
Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:
• Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.
• Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.
• N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0).
• Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el

tiempo t, dado el número en el tiempo cero.
• s : Número de servidores en el sistema de colas.
•  n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de

tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
• n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que
completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.
4
 n: Cuando  n es constante para toda n
n : Cuando n es constante para toda n  1
NOTACION
La siguiente notación supone la condición de estado estable:
• Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L: Número esperado de clientes en el sistema.
• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).
• W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente
• W:E(W)
• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.
• Wq: E (Wq )
Relaciones entre L , W , Lq y Wq
Casos de aplicación
MODELO MM1
Este sistema tratade una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio

Markoviano, y un servidor.
Características importantes:
•En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes
entre sí y con respecto al estado del sistema.
•En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo específico no

depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud
del intervalo.
MODELO MG1
5
Es un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de

los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar),
un canal de servicio y una línea de espera.
En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de

Poisson, al igual a los casos anteriores, pero los tiempos de servicio no
necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial
negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos
considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de
servicio general y un canal de servicio.
Si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos

de servicio,
Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1,

podemos calcular el tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el
tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq),
MODELO MEk1
Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las

llegadas son de Poisson y la duración del servicio sigue una distribución de
Erlang, también llamada distribución K.
Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e

idénticamente distribuidas con distribución exponencial de parámetro , es decir, es
una distribución gamma de parámetros .
Medidas del desempeño del sistema de colas
Número esperado de clientes en la cola Lq
Número esperado de clientes en el sistema Ls
Tiempo esperado de espera en la cola Wq
Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
6
5.2.- Proceso de nacimiento y muerte (modelos Poisson).

Este informe tiene como finalidad presentar una teoría operacional sobre la Teoría
de Colas, la cual incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera,
siendo la de mayor aplicación potencial y sin embargo es la más difícil de aplicar.
Los fenómenos de espera para recibir servicio son cosas de la vida diaria; por
ejemplo, esperar en una cola para pagar el teléfono o en el supermercado. No
obstante, la espera no solo se limita a personas sino a procedimientos o
ensamblados de máquinas, por lo tanto en esta unidad se describen modelos
matemáticos aplicables a cualquier situación donde se forme una cola.
No pretendo incluir en un solo tema todo lo que necesita saber el estudiante, sino
ofrecer un marco de los conocimientos básicos presentados en forma clara y
precisa.
La formación de líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que

ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual
de proporcionarlo. Con frecuencia, en la industria y en otros sitios, deben tomarse
decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin
embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las
unidades que buscan el servicio y/o cuánto tiempo será necesario para dar ese
servicio; es por esto que esas decisiones suelen ser difíciles. Proporcionar
demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la
capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos
momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya
sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el
costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la meta
final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado
con la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve directamente
este problema, pero contribuye con información vital que se requiere para tomar
las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de
espera como el tiempo de espera promedio.
7
La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para

describir una situación de línea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados
matemáticos que predicen algunas de las características de estos modelos.
Como ejemplo prototipo expondré la sala de emergencia del Hospital General, el cual
proporciona cuidados médicos rápidos a los casos de emergencia que llegan en
ambulancia o vehículos particulares. En cualquier momento se cuenta con un doctor
de guardia. No obstante, a causa de la mala situación económica que vive nuestro
país existe una creciente tendencia a usar estas instalaciones para casos de
emergencia en lugar de ir a una clínica privada, es por ello que el hospital ha venido
experimentando un aumento continuo en el número de pacientes anuales que llegan a
la sala de emergencia. Como resultado, es bastante común que los pacientes que
llegan durante las horas pico (temprano en la tarde) tengan que esperar turno para
recibir el tratamiento del doctor. Por esto, se ha hecho una propuesta para asignar un
segundo doctor a la sala de emergencia durante esas horas pico, para que se puedan
atender dos casos de emergencia al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero
administrador del hospital que estudie esta posibilidad.
Modelos Poisson
Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma: o, para

simplificar la notación donde ln significa logaritmo neperiano, a0 y a1 son
constantes y X una variable que puede ser aleatoria o no, continúa o discreta. Este
modelo se puede fácilmente generalizar para kvariables independientes:
Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un

intervalo de tamaño unidad) cuando todas las variables independientes son cero, y ai
es el cambio en el logaritmo de l (o logaritmo del cociente de l ) cuando la variable Xi
aumenta una unidad, manteniéndose constantes las demás o, dicho de otro modo, es
la probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo unidad cuando todas las
variables independientes son cero y l el cociente de dicha probabilidad para un
aumento de una unidad en la variable Xi (riesgo relativo). Obsérvese que, al igual que
en la regresión logística, el modelo supone efectos multiplicativos, es
8
decir, si la variable Xi aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de

Poisson se multiplica por es decir, la potencia n-ésima
5.3.- Población infinita un servidor, cola infinita.
A continuación se presenta un resumen de las ecuaciones analíticas que modelan

el comportamiento del modelo de una cola un servidor simple que da servicio a
una población infinita. La prioridad es del tipo PEPS. En este modelo se considera
que las llegadas de clientes son tipo Poisson y que los tiempos de servicio se
distribuyen exponencialmente. Para un estudio detallado de la teoría de líneas de
espera refiérase a la bibliografía.
Sean ? = tasa de llegada, (unidades / período de tiempo)
µ = tasa de servicio, (unidades / período de tiempo)
las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando ? / µ < 1.

El factor de utilización del sistema rho es:
La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso es
La probabilidad de que haya n unidades en el sistema al tiempo t (o a cualquier

otro tiempo)
9
El número esperado de clientes Lq en la cola e
El número esperado de clientes L en el sistema (cola y servicio), es
El número esperado Ln en la cola no vacía, es
El tiempo promedio de espera Wq en la cola es
El tiempo promedio W en el sistema es
El tiempo esperado Wn en la cola para colas no vacías, es
10
EJEMPLO. Un técnico de mantenimiento de computadoras, es capaz de instalar

discos duros a una tasa promedio de tres por hora (aproximadamente uno cada 20
minutos), de acuerdo con una distribución de probabilidad exponencial negativa.
Los clientes que solicitan este servicio llegan al taller a un promedio de dos por
hora, siguiendo una distribución de Poisson. Los clientes son atendidos sobre la
prioridad de primero en entrar, primero en salir, proceden de una población muy
grande (casi infinita) de potenciales usuarios. Con esta información, obtenga las
características de operación del sistema.
SOLUCIÓN. Aquí ? = 2 clientes / hora y µ = 3 DD / hora
El factor de utilización es.
El número promedio de los clientes en la

cola:
El número promedio de los clientes en el

sistema:
El tiempo esperado en la cola:
El tiempo promedio en el sistema:
5.4. Población finita un servidor, cola finita.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de

Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue
una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de
servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
11
3.- Hay una unidad de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en

salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha

estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las
condiciones iniciales.
6.- No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A

cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al
sistema y este cliente lo deja para siempre.
M: número máximo de clientes en el sistema.
- Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
- Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
12
- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o

siendo atendidos:
Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:
5.5. Población infinita servidores múltiples, cola infinita.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de

Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue
una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de
servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay varias unidades de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en

salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha

estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las
condiciones iniciales.
13
S : número de unidades de servicio.
- Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:
- Probabilidad de encontrar el sistema vacio:
- Factor de utilización:
- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:
- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o

siendo atendidos:
14
- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:
Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t:
Incluyendo el tiempo de servicio.
5.6.- Uso de software.
ProModel
ProModel es un simulador con animación para computadoras personales. Permite
simular cualquier tipo de sistemas de manufactura, logística, manejo de
materiales,etc. Puedes simular bandas de transporte, grúas viajeras, ensamble,
corte, talleres, logística, etc.
Puedes simular Justo a Tiempo, Teoría de Restricciones, Sistemas de Empujar,

Jalar, Logística, etc. Prácticamente, cualquier sistema pueder ser modelado.
Algunos ejemplos incluyen determinar la mejor combinación de factores para

maximizar producción minimizando costo, minimizar el número de camiones sin
penalizar el servicio, etc.
15
• Único software de simulación con optimización plenamente intregrada
• Creación de modelos rápida, sencilla y flexible.
• Modelos optimizables.
• Elementos de Logística, Manejo de Materiales, y Operaciones incluídas. (Bandas

de transporte, Grúas Viajeras, Operadores).
• Resultados probados.
• Importación del Layout de Autocad, y cualquier herramienta de CAD / CAE /

Diseño, así como de fotografías digitales.
• Integración a Excel, Lotus, Visual Basic y herramientas de Microsoft.
• Genera en automático las gráficas en 3 dimensiones para visualización en el

espacio tridimensional.
OR Brainware Decision Tools
El objetivo del módulo de Líneas de Espera de OR Brainware Decision Tools

Versión 2.1.0 es apoyar a las pequeñas y medianas empresas en el estudio de las
colas en sus sistemas de producción de bienes o servicios de una manera sencilla
y rápida.Está compuesto por un total de 8 modelos de líneas de espera, seis de
los cuales están diseñados para poblaciones infinitas, y los otros dos modelos
restante son para poblaciones finitas.
El módulo de Control de Inventarios del programa OR Brainware Decision Tools

versión 2.1.0 está constituido por un conjunto de diez sub-módulos de optimización
16
que le ayudarán a las pequeñas y mediana empresas a tomar decisiones en

cuanto a tamaños óptimos del lote de producción o de compra.
SIMNET II
El diseño de SIMNET II se basa en la idea general que los modelos de simulación
discreta pueden crearse de una u otra manera como sistemas de líneas de
espera. En este contexto, el lenguaje se basa en un acercamiento de red que
utiliza tres nodos autodescriptivos: una fuente, en donde llegan las transacciones
(clientes), una línea de espera, donde la espera tiene lugar en caso de que esta
sea necesaria, y una instalación, en donde se lleva a cabo el servicio.
Se agrega un cuarto nodo, llamado auxiliar, para incrementar las capacidades de

modelación de lenguaje.
Los nodos en SIMNET II están conectados por ramas. Conforme las transacciones
recorren las ramas, estas ejecutan importantes funciones entre las que se cuentan:
1) controlar el flujo de transacciones en cualquier parte de la red,

2) recolectar estadísticas pertinentes,
3) efectuar cálculos aritméticos.
17
Conclusión
El planteamiento que se utilizó para el estudio de la línea de esperas, sirve como

plataforma o modelo para realizar trabajos posteriores que relacionen las mismas
variables de entrada y de respuesta. También, con el objetivo de obtener razones
cuantitativas para la toma de decisiones, se puede recurrir a esta metodología si
se desea llevar a cabo más adelante una investigación donde se sospeche que las
características en el sistema de colas inicialmente encontradas han cambiado.
Los modelos cuantitativos aplicados en este trabajo son muy adecuados como
soporte para la toma de decisiones, ayudando al mejoramiento de los procesos de
atención al cliente. De este modo se convierten en una vía para la obtención de
ventajas competitivas de empresas prestadoras de servicios, donde el ambiente
que rodea la entrega del producto es el que genera el valor agregado que perciben
los clientes.
Bibliografía
18
https://cesarescobedo.wordpress.com/2011/05/22/lineas-de-espera/
http://itpn.mx/recursosisc/3semestre/investigaciondeoperaciones/Unidad%20V.pdf
https://www.academia.edu/30092103/investigacion_de_operaciones_2.doc
19

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5.- Líneas de espera

5.1.- Introducción, terminología, notación y casos de aplicación .

El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el

Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

• Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.

• Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.

• N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0).

• Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el

• s : Número de servidores en el sistema de colas.

•  n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de

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 n: Cuando  n es constante para toda n

n : Cuando n es constante para toda n  1

• Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema

• L: Número esperado de clientes en el sistema.

• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).

• W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente

• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.

Este sistema tratade una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio

•En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo específico no

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Es un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de

Si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M / S / 1,

Un tipo de sistemas de colas especialmente interesante es aquél en el que las

Esta distribución resulta de sumar variables aleatorias independientes e

Medidas del desempeño del sistema de colas

Número esperado de clientes en la cola Lq

Número esperado de clientes en el sistema Ls

Tiempo esperado de espera en la cola Wq

Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

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5.2.- Proceso de nacimiento y muerte (modelos Poisson).

La formación de líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que

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La teoría de colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para

Para una única variable independiente X, es un modelo de la forma: o, para

Por lo tanto a0 es el logaritmo de l (probabilidad de que ocurra un evento en un

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decir, si la variable Xi aumenta n unidades, la probabilidad para la variable de

5.3.- Población infinita un servidor, cola infinita.

A continuación se presenta un resumen de las ecuaciones analíticas que modelan

Sean ? = tasa de llegada, (unidades / período de tiempo)

µ = tasa de servicio, (unidades / período de tiempo)

las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando ? / µ < 1.

La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso es