Trabajo Colaborativo

Unidad 2: Paso 3 – Pensamiento Variacional y Trigonométrico

Tarea Intermedia 2

Presentado por:

Ángel Gregorio Borja Álvarez

Jhonattan Paternina Suarez

Wilton Eduardo Cárdenas Céspedes

Grupo:

551108_11

Tutor:

Cristian Alfonso Pacheco

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela de Ciencias de la Educación (ECEDU)

Programa: Licenciatura en Matemáticas

Curso: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica

Octubre 31 de 2019

1
 Contenido

Portada…………………………………………………………………………………….1

Contenido………………………………………………………………………………….2

Presentación……………………………………………………………………………….3

Objetivos…………………………………………………………………………………..4

Desarrollo de los ejercicios………………………………………………………………..5

Conclusiones……………………………………………………………………………...25

Bibliografías………………………………………………………………………………27

2
 Presentación

El siguiente trabajo colaborativo corresponde a la tarea intermedia 2 la cual tiene como propósito

en primer instancia estudiar las temáticas tratadas en el entorno de conocimiento teniendo en

cuenta las referencias obligatorias y sugeridas del curso (Razones trigonométricas, Teorema del

seno, Teorema del coseno, Identidades trigonométricas, Funciones trigonométricas) para luego

desarrollar las respectivas tareas planificadas dando solución a cada uno de los ejercicios.

También solucionaremos algunos problemas planteados.

Todo esto correspondiente a la Unidad 2: Pensamiento Variacional y Trigonométrico del

extraordinario curso de Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica el cual nos conlleva a

entender y abordar el lenguaje variacional elemento clave en el estudio y cuantificación del

Cambio; además introduciendo el Pensamiento Variacional en el tratamiento de situaciones

relacionadas con la modelación del cambio, y se dinamiza el desarrollo del Pensamiento

trigonométrico a partir del estudio de la variación en contextos físicos. Con el fin de adquirir

habilidades en los procesos matemáticos a través de la comprensión de componentes

conceptuales y procedimentales.

3
 Objetivos

Objetivo General:

 Educar el pensamiento matemático (funcional, variacional y geométrico analítico) de los

licenciados en Matemáticas en formación, a través de la reconstrucción social de los

conceptos y procesos del Algebra, la Trigonometría y la Geometría Analítica (A-T-GA)

para resolver problemas contextualizados.

Objetivos Específicos:

 Entender el significado del pensamiento funcional y adquirir habilidades en los procesos

matemáticos.

 Comprender las componentes conceptuales y procedimentales que estructuran el A-T-G-

A, para reconstruir individual y socialmente el conocimiento matemático, aplicando las

TIC.

 leer y estudiar las temáticas tratadas en el entorno de conocimiento teniendo en cuenta las

referencias obligatorias y sugeridas del curso. Las temáticas a tratar son: Razones

trigonométricas, Teorema del seno, Teorema del coseno, Identidades trigonométricas,

Funciones trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.

 Desarrollar ejercicios de forma individual y colaborativa que conlleven a la construcción

de conocimientos y aprendizajes significativos, utilizando Razones trigonométricas,

Teorema del seno, Teorema del coseno, Identidades trigonométricas, Funciones

trigonométricas, ecuaciones trigonométricas; al igual que la solución de algunos

problemas planteados mediante aplicaciones trigonométricas.

4
Tarea 1. Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y coseno:

a) 𝑎 = 1792 𝑚 𝑏 = 4231 𝑚 𝑐 = 3164 𝑚 Solución: 𝐴 = 22,75° 𝐵 = 114,3° 𝐶 = 42,95°

Solución:

Aplicando la Ley del Coseno para hallar a A:

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐴

(1792𝑚)2 = (4231𝑚)2 + (3164𝑚)2 − 2(4231𝑚)(3164𝑚)𝐶𝑜𝑠𝐴

3211264𝑚2 = 27912257𝑚2 − 26773768𝑚2 𝐶𝑜𝑠𝐴

3211264𝑚2 − 27912257𝑚2
𝐶𝑜𝑠𝐴 =
−26773768𝑚2

−247700993𝑚2
𝐶𝑜𝑠𝐴 =
−26773768𝑚2

𝐶𝑜𝑠𝐴 = 0,9225818719

𝐶𝑜𝑠𝐴 = 0,922

𝐴 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (0,922)

𝐴 = 22,77975789 ⇒ 𝑨 =≈ 𝟐𝟐, 𝟖°

Aplicando la Ley del Coseno para hallar a B:

𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵

(4231𝑚)2 = (1792𝑚)2 + (3164𝑚)2 − 2(1792𝑚)(3164𝑚)𝐶𝑜𝑠𝐵

17901361𝑚2 = 13222160𝑚2 − 11339776𝑚2 𝐶𝑜𝑠𝐵

5
 17901361𝑚2 − 13222160𝑚2
𝐶𝑜𝑠𝐵 =
−11339776𝑚2

4679201𝑚2
𝐶𝑜𝑠𝐵 =
−11339776𝑚2

𝐶𝑜𝑠𝐵 = −0,412636105 ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 =≈ −0,413

𝐶𝑜𝑠𝐵 = (−0,413)

𝐵 = 𝐶𝑜𝑠 −1 (−0,413)

𝐵 = 114,39343 ⇒ 𝑩 =≈ 𝟏𝟏𝟒, 𝟒°

Aplicando la Ley del seno para hallar a C:

𝑎 𝑐
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐶

1792𝑚 3164𝑚
=
𝑆𝑒𝑛 22,8° 𝑆𝑒𝑛𝐶

1792𝑚. 𝑆𝑒𝑛𝐶 = 𝑆𝑒𝑛 22,8°. 3164𝑚

𝑆𝑒𝑛 22,8° . 3164𝑚

𝑆𝑒𝑛𝐶 =
1792𝑚

1226,1
𝑆𝑒𝑛𝐶 =
1792

𝑆𝑒𝑛𝐶 = 0,68420755893

𝑆𝑒𝑛𝐶 =≈ 0,68

𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0,68)

𝐶 = 42,84364304 ⇒ 𝑪 =≈ 𝟒𝟐, 𝟗𝟓°

6
 b) 𝑎 = 12𝑚 𝑏 = 8 𝑚 𝐴 = 150° Solución: 𝑐 = 4,27𝑚 𝐵 = 19,46° 𝐶 = 10,53°

Solución:

Aplicando la Ley del seno para hallar a B:

𝑎 𝑏
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐵

𝑏𝑆𝑒𝑛𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐵 =
𝑎

8𝑚𝑆𝑒𝑛150°
𝑠𝑒𝑛𝐵 =
12𝑚
4𝑚
𝑠𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 0,3
12𝑚

𝐵 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0,3)

𝑩 = 𝟏𝟗, 𝟒𝟕°

Hallemos ∢ C: Recordemos que por Teorema la suma de los ángulos interiores de un triángulo

es de 180°.

Tenemos entonces que:

∢C + ∢A + ∢B = 180°

∢C + 150° + 19,47° = 180°

∢C = 180° − 169,47°

∢𝐂 = 10,53°

Aplicando la Ley del seno para hallar a c:

𝑎 𝑐
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐶

7
c Sen A = aSenC

𝑎𝑆𝑒𝑛𝐶
c=
𝑠𝑒𝑛𝐴

12𝑚𝑆𝑒𝑛10,53°
c=
𝑆𝑒𝑛150°

2,19𝑚
c= ⇒ 𝒄 = 𝟒, 𝟑𝒎
𝑆𝑒𝑛150°

Podemos también en este caso aplicar la Ley del coseno para hallar a c, veamos:

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠𝐶

𝑐 2 = (12𝑚)2 + (8𝑚)2 − 2(12)(8) 𝐶𝑜𝑠10,53

𝑐 2 = 18,62 ⇒ 𝒄 = 𝟒, 𝟑𝒎 Podemos ver que aplicando ambas Leyes se da el mismo resultado.

c) 𝑎 = 72𝑚 𝑏 = 57𝑚 𝐶 = 75,78° Solución: 𝑐 = 80,12𝑚 𝐴 = 60,6° 𝐵 = 43,62°

Solución:

Aplicando la Ley del Coseno para hallar a c:

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝐶𝑜𝑠𝐶

𝑐 2 = (72𝑚)2 + (57𝑚)2 − 2(72𝑚)(57)𝐶𝑜𝑠 75,78°

𝑐 2 = 8433 − 2016,2649

𝑐 2 = 6416,73951

𝒄 = 𝟖𝟎, 𝟏𝟎𝒎

Aplicando la Ley del seno para hallar el ∢ A:

𝑎 𝑐
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐶

8
 72𝑚 80,10𝑚
=
𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛75,78°

72𝑚 𝑆𝑒𝑛75,78°
𝑠𝑒𝑛𝐴 =
80,10𝑚

69,79389569
𝑠𝑒𝑛𝐴 =
80,10

𝑠𝑒𝑛𝐴 = 0,871334528

𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 (0,87)

𝐴 = 60,4586395 ⇒ ∢𝐀 = 𝟔𝟎, 𝟒°

Hallemos ∢ B por Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

∢𝐴 + ∢𝐵 + ∢𝐶 = 180°

60,4 + ∢𝐵 + 75,78° = 180°

136,18 + ∢𝐵 = 180°

∢𝐵 = 180° − 136,18

∢𝑩 = 𝟒𝟑, 𝟖𝟐°

Nota: En algunos ejercicios utilice la aproximación decimal aplicando las respectivas reglas

decimales, lo cual habrán valores parecidos y aproximados a las respuestas que se nos da a

conocer.

Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos agudos (A y

B) de cada triángulo rectángulo que aparecen abajo:

9
 Aplicando el Teorema de Pitágoras: ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2

(4,5𝑐𝑚)2 = 𝑎2 + (4𝑐𝑚)2

(4,5𝑐𝑚)2 − (4𝑐𝑚)2 = 𝑎2

𝑎2 = 4,25 𝑐𝑚2 ⇒ a = √4,25𝑐𝑚2 ⇒ 𝐚 = 𝟐, 𝟎𝟔𝐜𝐦

𝐶. 𝑜𝑝 𝑎 2,06𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟒𝟓
𝐻𝑖𝑝 4,5𝑐𝑚 4,5𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 4𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝟎, 𝟖
𝐻𝑖𝑝 4,5𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 4𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = 0,888 … ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑨 = 𝟎, 𝟖
𝐻𝑖𝑝 4,5𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 𝑎 2,06𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑩 = 𝟎, 𝟒𝟓
𝐻𝑖𝑝 4,5𝑐𝑚 4,5𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 𝑎 2,06𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟓𝟏
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 4𝑐𝑚 4𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 4𝑐𝑚 4𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑩 = 𝟏, 𝟗𝟒
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 𝑎 2,06𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 3𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟔
𝐻𝑖𝑝 5𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 4𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝟎, 𝟖
𝐻𝑖𝑝 5𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 4𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑨 = 𝟎, 𝟖
𝐻𝑖𝑝 5𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 3𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑩 = 𝟎, 𝟔
𝐻𝑖𝑝 5𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 3𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟕𝟓
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 4𝑐𝑚

10
 𝐶. 𝑜𝑝 4𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑩 = 𝟏, 𝟑
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 3𝑐𝑚

Aplicando el Teorema de Pitágoras: ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2

𝑐 2 = (3𝑐𝑚)2 + (11𝑐𝑚)2

𝑐 2 = 9𝑐𝑚2 + 121𝑐𝑚2

𝑐 2 = 130𝑐𝑚2 ⇒ 𝑐 = √130𝑐𝑚2 ⇒ 𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟒𝒄𝒎

𝐶. 𝑜𝑝 3𝑐𝑚 3𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟔
𝐻𝑖𝑝 𝑐 11,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 11𝑐𝑚 11𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝟎, 𝟗𝟔
𝐻𝑖𝑝 𝑐 11,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 11𝑐𝑚 11𝑐𝑚

𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑨 = 𝟎, 𝟗𝟔
𝐻𝑖𝑝 𝑐 11,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 3𝑐𝑚 3𝑐𝑚

𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑩 = 𝟎, 𝟐𝟔
𝐻𝑖𝑝 𝑐 11,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 3𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟐𝟕
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 11𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 11𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑩 = 𝟑, 𝟔
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 3𝑐𝑚

Aplicando el Teorema de Pitágoras: ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏 2

(9.4𝑐𝑚)2 = (8𝑐𝑚)2 + 𝑏 2

(9.4𝑐𝑚)2 − (8𝑐𝑚)2 = 𝑏 2

𝑏 2 = 24,36 𝑐𝑚2 ⇒ b = √24,36𝑐𝑚2 ⇒ 𝐛 = 𝟒, 𝟗𝟑𝐜𝐦

11
 𝐶. 𝑜𝑝 8𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐴 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝟎, 𝟖𝟓
𝐻𝑖𝑝 9,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 𝑏 4,93𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑆𝑒𝑛𝐵 = ⇒ 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝟎, 𝟓𝟐
𝐻𝑖𝑝 9,4𝑐𝑚 9,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 𝑏 4,93𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐴 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑨 = 𝟎, 𝟓𝟐
𝐻𝑖𝑝 9,4𝑐𝑚 9,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑎𝑑𝑦 8𝑐𝑚
𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝐶𝑜𝑠𝐵 = ⇒ 𝑪𝒐𝒔𝑩 = 𝟎, 𝟖𝟓
𝐻𝑖𝑝 9,4𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 8𝑐𝑚 8𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐴 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑨 = 𝟏, 𝟔𝟐
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 𝑏 4,93𝑐𝑚

𝐶. 𝑜𝑝 𝑏 4,93𝑐𝑚
𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑇𝑎𝑛𝐵 = ⇒ 𝑻𝒂𝒏𝑩 = 𝟎, 𝟔𝟐
𝐶. 𝑎𝑑𝑦 8𝑐𝑚 8𝑐𝑚

Tarea 3. Revisar y realizar las siguientes identidades trigonométricas:

1. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑡𝑔𝑥

1 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥. = = 𝒕𝒈𝒙
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

2. (𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 1)(sec 𝑥 − 1) = 𝑡𝑔2 𝑥

1 1 1 1 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
( + )( − )=( )( )
𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

= 𝒕𝒈𝟐 𝒙

12
3. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥

1
𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = cos 𝑥.
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥

= 𝒄𝒐𝒕𝒙

4. (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 → (a + b)(a − b) = 𝑎2 − 𝑏 2

5. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

1
𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥.
𝑡𝑔𝑥

𝑠𝑒𝑐𝑥
=
𝑡𝑔𝑥

1
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 → Aplicamos la ley de la oreja o el posillo
𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 1
= = = 𝐜𝒔𝒄𝒙
𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

6. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3 = 4 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + 3

= 1 + 3 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

= 𝟒 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙

7. 2 − 𝑡𝑔2 𝑥 = 3 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

2 − 𝑡𝑔2 𝑥 = 2 − (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1)

= 2 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 1 → Ley de los signos: − (a − b) = −a + b donde ∀ a, b ∈ ℛ

= 2 + 1 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝟑 − 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙

13
 cos x
8.  cos2 x
sec x
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
= → Aplicamos la ley de la oreja o el posillo
𝑠𝑒𝑐𝑥 1
𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
= = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
1

csc x 1
9. 
cot x cos x

1
𝑐𝑠𝑐𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 → Aplicamos la ley de la oreja o el posillo
𝑐𝑜𝑡𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝟏
= =
𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝒄𝒐𝒔𝒙

cos xtgx  senx 2

10. 
tgx sec x

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑡𝑔𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 1
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
= = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑠𝑒𝑛𝑥

Podemos ver que esta identidad trigonométrica no se cumple. Se trató de llegar

por el otro lado de la razón trigonométrica pero tampoco se obtuvo el resultado.

sec x
11.  senx
tgx  cot x

1 1 1
𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = = → 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
𝑡𝑔𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
= = 𝒔𝒆𝒏𝒙
𝑐𝑜𝑠𝑥

14
 cos x
12.  1  senx
sec x  tgx

𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 1
= = =
𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − (𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − (𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1𝑠𝑒𝑛2 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙

=
𝑐𝑜𝑠𝑥 − (𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙

Podemos ver que esta identidad trigonométrica no se cumple. Se trató de llegar

por el otro lado de la razón trigonométrica pero tampoco se obtuvo el resultado.

1 cos2 x
13. sen 4 x 
csc2 x

1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)
= =
𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 1 1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥

= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥. 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 → Donde 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

= 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙

tgx tgx 2
14.  
1  sec x 1  sec x senx

2 (𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + (𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)

=
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝟐

=
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒔𝒆𝒏𝒙

Podemos ver que esta identidad trigonométrica no se cumple. Se trató de llegar

por el otro lado de la razón trigonométrica pero tampoco se obtuvo el resultado

Tarea 4. Revisar y realizar las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3 = 0

15
 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) − 3 = 0

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 3−3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 = 0

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

−2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

0
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = −
2

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 = 02

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (0)

𝒙=𝟎

31  senx 
b)  cos2 x
2

3(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

3 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

3 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)

3 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

3 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 + 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

(2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) − (2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1) − (2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 ó 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

16
 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ó 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1

1 1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ó 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
2 2
1 1
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) ó 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (− )
2 2

𝒙 = 𝟑𝟎 ó 𝒙 = −𝟑𝟎

c) 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 = ±√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

1
𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
3

1
√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − √3 √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =
3

2 1
(√1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)2 − (√3 √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = √
3

1
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) =
√3

1
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) =
√3

1
1 − 4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
√3

1
−4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = −1
√3

√3 1
−4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = −
3 1

17
 √3 − 3
−4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
3

√3 − 3
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 3
−4

√3 − 3
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
−12
−1.27
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =
−12

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0.10583

𝑠𝑒𝑛𝑥 = ±√0.10583

𝑠𝑒𝑛𝑥 = +0.33 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −0.33

0.33 → 22°
𝑠𝑒𝑛𝑥 = −0.33 → 222°

d) 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝑡𝑔2 𝑥 = 3

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
− =3
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
=3
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3 (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)

2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 3 −3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

2 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 3 + 3 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0

18
 (√2 𝑠𝑒𝑛𝑥)(√2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

(√2 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 0 ó (√2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

√2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ó √2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1

1 1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ó 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
√2 √2

1 1
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) ó 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (− )
√2 √2

1 1
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) ó 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (− )
√2 √2

𝒙 = 𝟎. 𝟕𝟖𝟓 ó 𝒙 = −𝟎. 𝟕𝟖𝟓

e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥(1 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 ó 1 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (0) ó 1 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

𝒙=𝟎 ó − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1

−1
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−2

1
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( )
2

𝒙 = 𝟏. 𝟎𝟒𝟕

f) 2𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 2 = 0

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 1
+ −2=0
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

19
 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1
=2
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 = 2 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 1 − 2 + 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 0

4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 1 = 0

(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 ó 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ó 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1

1 1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = ó 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
2 2
1 1
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) ó 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (− )
2 2

𝒙 = 𝟎. 𝟓𝟐𝟑 ó 𝒙 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟑

g) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1

2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0

2(2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥) − 1) = 0

4 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2 = 0

(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2)(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1)

=0
2

2 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1)
=0
2

(𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1)(2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1) = 0

𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 = 0 ó 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

20
 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ó 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = −1

1
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (1) ó 𝑠𝑒𝑛𝑥 = −
2
1
𝒙 = 𝟏. 𝟓𝟕 ó 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1 (− )
2

𝒙 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟑

h) 2sen 2 x  senx 1  0
𝑎 b c =0
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑎𝑥 2 − 𝑏𝑥 − 𝑐 = 0

𝑎 = 2 𝑏 = −1 𝑐 = −1

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎

−(−1) ± √(−1)2 − 4(2)(−1)

𝑥=
2(2)

1 ± √1 + 8
𝑥=
4

1 ± √9 1±3
𝑥= 𝑥=
4 4
1+3 1−3
X1 = X2=
4 4

4 −2
X1 = 4 X2=
4
−1
X1 = 1 X2= 2

1 → 90°
−1
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 2 → 234°

21
Tarea 5: Aplicaciones trigonométricas:

1) Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la

distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el doble? ¿Y si fuese el triple?

Solución:

𝑥√3
ℎ = 𝑥𝑡𝑔(30°) =
3

Cuando la distancia es 2x

𝑥√3
√3
𝑡𝑔𝛽 = 3 = = 0.2886751346
2𝑥 6

𝛽 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(0.2886751346)

𝛽 = 16°6´7"

Cuando la distancia es 3x

𝑥√3
√3
𝑡𝑔𝛽 = 3 = = 0.1924500897
3𝑥 9

𝛽 = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(0.1924500897)

𝛽 = 10°53´36"

2) Calcula el ángulo que forman las tangentes a una circunferencia de 5 cm de radio,

trazadas desde un punto situado a 7 cm del centro.

Solución:

𝐶. 𝑜𝑝
𝑆𝑒𝑛α =
𝐻𝑖𝑝

5𝑐𝑚
𝑆𝑒𝑛α =
7𝑐𝑚

5
𝑆𝑒𝑛α = = 0,7142
7

22
 α = 𝐴𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(0,7142)

α = 45°35´5"

El ángulo entre la línea que une al centro con el punto y la tangente mide 45°35´5"

El ángulo entre tangentes es el doble 91º 10´ 10"

3) La resultante de dos fuerzas de 20 N y de 30 N es de 40 N. ¿Qué ángulo forman entre sí

dichas fuerzas? ¿Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante?

Solución:

4) Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm

respectivamente y forman un ángulo de 42º.

Solución:

23
5) Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un

ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4

km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y

media?

Solución:

Al cabo de una hora y media Julia y María estarán a una distancia de 3´38Km.

24
 Conclusiones

La ejecución de las actividades propuestas en el curso, nos permitió la comprensión de temáticas

relevantes dentro del campo de la matemática, logrando una interiorización y desarrollo de

competencias y habilidades propias de esta rama, dichos conceptos trabajados son puestos en

práctica a través de su aplicación en diferentes ejercicios y situaciones reales, alcanzando de esta

manera cumplir los objetivos de la fase y adquirir competencias idóneas como futuros licenciados

en matemática y aprendizajes significativos.

Del mismo modo se pudo comprender que la trigonometría es una rama de la matemática, cuyo

significado etimológico es "la medición de los triángulos".

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno,

coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las

demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas

de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del

estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en

astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos

geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

La trigonometría ha aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo la construcción de

casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben hacer. La trigonometría es de mucha

utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo preciso de distancias, ángulos de inclinación o de

peralte en una carretera. Esto sería una aplicación en el desarrollo tecnológico. Una aplicación o

un aporte de la trigonometría en el desarrollo científico serían en la elaboración de métodos

25
numéricos por parte de matemáticos para realizar una ecuación diferencial o resolver una integral

que no se pueda trabajar con los métodos convencionales. Otro aporte en el plano científico

podría ser en la biogenética o en la biología para evaluar funciones que dependan de ciertos

parámetros trigonométricos.

Para terminar, la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual no

solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo piensa, sino

también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y en sistemas de

navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de peralte en una carretera;

la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver problemas de la vida diaria y como

ya sabemos también se utiliza mucho en la ingeniería; siempre veremos a nuestro alrededor una

figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de fuerzas, entre otros. Y en general la

trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria y en algún momento de nuestra

vida porque podemos ver esta materia en nuestra vida cotidiana, ya sea directa o indirectamente.

26
 Bibliografías

 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 – 265. Recuperado de

http://hdl.handle.net/10596/11583.

 Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias.

Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. Recuperado de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=10&docID=1103

8512&tm=1488211376964

 Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra. Recuperado de

http://hdl.handle.net/10596/7691

 Molina, E. (2013). Ecuaciones Trigonométricas. Recuperado

dehttp://hdl.handle.net/10596/7687

 Ríos, J. (2013). Sistema de ecuaciones lineales 2 x 2. Recuperado

de http://hdl.handle.net/10596/7689.

27