ACT4 B12 T06 - Imprimible
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Probabilidad.
ÍNDICE
1) INTRODUCCIÓN
7. DIAGRAMAS EN ÁRBOL.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
1) INTRODUCCIÓN
La definición de probabilidad se produjo debido al deseo del ser humano por conocer
con certeza los eventos que sucederán en el futuro, por eso a través de la historia se
han desarrollado diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y
determinar sus valores. Por eso su estudio está vinculado a los juegos de azar.
Actualmente la probabilidad se utiliza en muchas disciplinas unidas a la Estadística:
predicción de riesgos en seguros, estudios sobre la calidad de procesos industriales,
etc.
Las posibles dificultades de la unidad son más de tipo conceptual que de
procedimientos, ya que los cálculos numéricos son muy sencillos.
Se debe incidir en la correcta comprensión y aplicación de los conceptos de la
unidad: experimento aleatorio o determinista, espacio muestral, suceso, operaciones
con sucesos, probabilidad, regla de Laplace y diagrama de árbol.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 1
Escribe algunos ejemplos de experimentos deterministas.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 2
Lee el párrafo que aparece abajo y completa las palabras que faltan:
Lanzar un dado es un experimento _________________
El resultado de dividir 10 entre 2 es un experimento _________________
Lanzar una moneda al aire es un experimento _________________
Sacar una carta de una baraja española es un experimento _________________
Saber el resultado de elevar un número al cuadrado es un experimento
_________________
Conocer el tiempo que hará mañana se trata de un experimento _________________
Sacar una ficha roja de una caja donde hay 20 fichas rojas y 5 verdes es un experimento
_________________
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 3
¿Qué es el espacio muestral? ¿Por qué letra se representa?
Ejercicio 4
¿Cuál es el espacio muestral de un dado de 8 caras?
Ejercicio 5
¿Qué es un suceso?
Ejercicio 6
En el experimento "lanzar un dado de 6 caras" escribe el espacio muestral y los
sucesos A "múltiplo de 3" y B "menor que 3".
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Ejercicio 7
Completa la tabla:
Lanzar un dado
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Ejercicio 8
Escribe 4 ejemplos de sucesos compuestos en el experimento "sacar cartas de
una baraja española"
Ejercicio 9
En el experimento "lanzar un dado de 8 caras", cuatro sucesos compuestos
serían:
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Un suceso seguro está formado por todos los posibles resultados, es decir, por el
espacio muestral por lo que ocurre siempre.
Ejemplo: al tirar un dado un dado: S={salir 6 o un número menor que 6}
Ejercicio 10
¿Qué es un suceso seguro?
Ejercicio 11
Inventa un ejemplo que sea suceso seguro.
Ejercicio 12
V/F
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 13
Escribe un ejemplo de suceso compatible.
Ejercicio 14
Por ejemplo, en el experimento "sacar cartas de la baraja española" tenemos los
sucesos:
A={salir oros}
B={salir copas}
Razona si los sucesos son compatibles o incompatibles
Ejercicio 15
Piensa un ejemplo de sucesos independientes.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 16
Un ejemplo de suceso dependiente sería...
Ejercicio 17
Escribe los sucesos contrarios en los siguientes casos:
A={1,2}
B={1,5}
C={2,5}
D={3,4,5,6}
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2.14) EJEMPLOS
En los siguientes ejemplos utilizaremos una baraja española, es decir, una baraja de 40
cartas, para ilustrar los conceptos definidos en los apartados precedentes.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 18
De una baraja española de 40 cartas extraemos una carta, indica si en cada uno de los
apartados siguientes aparecen sucesos compatibles o no:
a) A={Salir una figura} , B={Salir un oro} _______
b) A={Salir el as de bastos}, B={Salir el as de copas} _______
c) A={Salir una copa}, B={Salir el siete de copas} _______
Ejercicio 19
En el experimento de lanzar un dado y anotar su resultado, escribe el suceso
contrario a:
A={Sacar un número par menor que 5}
B={1,2,6}
C={3}
Ejercicio 20
En una urna tenemos 3 bolas blancas y dos bolas rojas. Identifica la dependencia o
independencia de sucesos en cada uno de los experimentos siguientes:
a) Experimento sin reemplazamiento: sacamos una bola, la dejamos fuera y
sacamos otra. Sucesos: A={Roja en la primera extracción} B={Blanca en la
segunda extracción}.
b) Experimento con reemplazamiento: sacamos una bola, anotamos su color,
volvemos a meterla en la urna y sacamos otra.
Sucesos: A={Roja en la primera extracción}
B={Blanca en la segunda extracción}.
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Ejercicio 21
Una bolsa tiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) A=”obtener numero primo”, B=”múltiplo de 3”. Escribe los sucesos, A, B ,
A’, B’ , A ∩ B, AUB, AUA’ y A ∩ A’
Ejercicio 22
Lanzamos dos veces una moneda:
a) Escribe todos los sucesos elementales
b) Escribir el suceso S={la primera sale cara}
c) Escribir suceso incompatible con S
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejemplo 1: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.
Por lo tanto:
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Consecuentemente:
Casos favorables: 1.
La solución será:
b) Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
c) Un múltiplo de tres.
Casos favorables: {3, 6}.
d) Mayor que 4.
Casos favorables: {5, 6}.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 23
En una urna hay tres bolas rojas, dos verdes y cinco blancas. Se saca una bola
anotando el color de la bola extraída. Determina la probabilidad de los sucesos:
{Salir roja}, {Salir verde} y {Salir blanca}.
Ejercicio 24
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta, determian la probabilidad de
los sucesos A = {Salir una figura de copas}, B = {Salir un tres} y C ={Salir una sota}.
Calcula también P(Bc).
P(A) = _________________
P(B) = _________________
P(C) = _________________
P(Bc) = _________________
Ejercicio 25
Calcula la probabilidad del suceso contrario en los siguientes casos:
Experimento "lanzar un dado de 6 caras":
Ejercicio 26
La probabilidad de un suceso es 0,3. ¿Cuál es la probabilidad del suceso
contrario?
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 27
Inventa 2 ejemplos de un suceso seguro y calcula su probabilidad.
Ejercicio 28
Inventa 2 sucesos imposibles y calcula su probabilidad.
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Ejercicio 29
Lanzamos dos dados y sumamos sus resultados. Dados los sucesos A={salir más
de 5}, B={salir un número par} y C={salir 2}, determina:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(C)
d) P(A U B)
e) P(B U C)
f) P(A U C)
g) P(A U B U C)
Ejercicio 30
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5
ó un número par?
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejemplo:
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par?
B = {Sacar 4} = {4}
A = {Número par} = {2,4,6}
P(B/A) = 1/3
Ejercicio 31
La encuesta sobre el agrado del fútbol en la TV según los sexos entre alumnos de
14-18 años es la siguiente:
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Ejercicio 32
En lugar de utilizar las tablas de contingencia del problema anterior utiliza la
fórmula:
Para calcular el problema anterior y comprueba que los resultados son los
mismos
Ejercicio 33
Extraemos una carta de una baraja española. Calcular la probabilidad de que
la carta sea rey de oros, sabiendo que la carta extraída es una figura.
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7) DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada
una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas
ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un
posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo
ha de dar 1.
Ejemplos
Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la
probabilidad de:
1) Seleccionar tres niños.
2) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4) Seleccionar tres niñas.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
p(3c) =
Ejercicio 34
En una urna hay dos bolas rojas y tres verdes. Se realizan tres extracciones sin
reemplazamiento (sin meter la bola que se saca). Realiza el desarrollo del
correspondiente diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que salgan dos
rojas y una verde.
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Ejercicios resueltos
Ejercicio 1
Escribe algunos ejemplos de experimentos deterministas.
- El sol sale por el Este y se pone por el Oeste.
- El agua hierve a 100º C.
- Si tiro con fuerza un vaso de vidrio al suelo se romperá.
Ejercicio 2
Lee el párrafo que aparece abajo y completa las palabras que faltan:
Lanzar un dado es un experimento aleatorio.
El resultado de dividir 10 entre 2 es un experimento determinista.
Lanzar una moneda al aire es un experimento aleatorio.
Sacar una carta de una baraja española es un experimento aleatorio.
Saber el resultado de elevar un número al cuadrado es un experimento determinista.
Conocer el tiempo que hará mañana se trata de un experimento aleatorio.
Sacar una ficha roja de una caja donde hay 20 fichas rojas y 5 verdes es un experimento
aleatorio.
Ejercicio 3
¿Qué es el espacio muestral? ¿Por qué letra se representa?
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Se
representa con la letra E
Ejercicio 4
¿Cuál es el espacio muestral de un dado de 8 caras?
E = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Ejercicio 5
¿Qué es un suceso?
Un evento o Suceso corresponde a un subconjunto de un Espacio Muestral, asociado
a un experimento aleatorio.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 6
En el experimento "lanzar un dado de 6 caras" escribe el espacio muestral y los
sucesos A "múltiplo de 3" y B "menor que 3".
El espacio muestral viene dado: E ={1,2,3,4,5,6}
El suceso A: A={3,6}
El suceso B: B={1,2}
Ejercicio 7
Completa la tabla:
Ejercicio 8
Escribe 4 ejemplos de sucesos compuestos en el experimento "sacar cartas de
una baraja española"
A={salir ases}
B={salir copas}
C={salir figuras}
D={salir Reyes}
Ejercicio 9
En el experimento "lanzar un dado de 8 caras", cuatro sucesos compuestos
serían:
A={Salir número impar}
B={Salir múltiplo de 2}
C={salir menor que 6}
D={salir mayor 4}
Ejercicio 10
¿Qué es un suceso seguro?
Un suceso seguro está formado por todos los posibles resultados, es decir, por el
espacio muestral por lo que ocurre siempre
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 11
Inventa un ejemplo que sea suceso seguro.
Al sacar una bola de una caja que sólo contiene bolas azules un suceso seguro sería
sacar una bola azul.
Otro ejemplo sería al lanzar u.
Ejercicio 12
V/F
Ejercicio 13
Escribe un ejemplo de suceso compatible:
Por ejemplo en el experimento "sacar cartas de la baraja española" tenemos los
sucesos:
A={salir oros}
B={salir figura}
Ambos sucesos serían compatibles porque tienen 3 cartas en común: sota, caballo y
rey de oros
Ejercicio 14
Por ejemplo, en el experimento "sacar cartas de la baraja española" tenemos los
sucesos:
A={salir oros}
B={salir copas}
Razona si los sucesos son compatibles o incompatibles
Ambos sucesos no se pueden dar al mismo tiempo. Si saco una carta que sea del palo
"oros" no es compatible con sacar una carta que sea del palo "copas".
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Ejercicio 15
Piensa un ejemplo de sucesos independientes.
Extraer dos cartas de una baraja, con reposición, son sucesos independientes.
Ejercicio 16
Un ejemplo de suceso dependiente sería...
Por ejemplo si tenemos una bolsa con calcetines y pañuelos un suceso dependiente
sería ir sacando prendas de la bolsa sin reposición.
Ejercicio 17
Escribe los sucesos contrarios en los siguientes casos:
A={1,2}
B={1,5}
C={2,5}
D={3,4,5,6}
Ejercicio 18
De una baraja española de 40 cartas extraemos una carta, indica si en cada uno de los
apartados siguientes aparecen sucesos compatibles o no:
a) A={Salir una figura} , B={Salir un oro} __SI___
b) A={Salir el as de bastos}, B={Salir el as de copas} __NO__
c) A={Salir una copa}, B={Salir el siete de copas} __SI___
Ejercicio 19
En el experimento de lanzar un dado y anotar su resultado, escribe el suceso
contrario a: A={Sacar un número par menor que 5}; B={1,2,6}; C={3}
A = {1,3,5,6}
B = {3,4,5}
C = {1,2,4,5,6}
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Ejercicio 20
Solución
a) La probabilidad de que B ocurra depende de si A ha ocurrido o no, ya que si A ocurre,
es más fácil que ocurra B en la segunda que si A no ha ocurrido.
b) En este caso B no depende de A, porque tanto si A ocurre como si no, la urna tiene
la misma configuración en la segunda extracción.
Ejercicio 21
Una bolsa tiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) A=”obtener numero primo”, B=”múltiplo de 3”. Escribe los sucesos, A, B ,
A’, B’ , A ∩ B, AUB, AUA’ y A ∩ A’
a) E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
b) A={2,3,5,7}; B={3,6,9}; A’={1,4,6,8,9,10}, B’={1,2,4,5,7,8,10}, AUB={2,3,5,6,7,9}, A ∩
B={3}, AUA=E, A ∩ A’=Ø
Ejercicio 22
Lanzamos dos veces una moneda:
a) Escribe todos los sucesos elementales
b) Escribir el suceso S={la primera sale cara}
c) Escribir suceso incompatible con S
b) S={cx,cc}
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Ejercicio 23
En una urna hay tres bolas rojas, dos verdes y cinco blancas. Se saca una bola
anotando el color de la bola extraída. Determina la probabilidad de los sucesos:
{Salir roja}, {Salir verde} y {Salir blanca}.
Ejercicio 24
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta, determian la probabilidad de
los sucesos A = {Salir una figura de copas}, B = {Salir un tres} y C ={Salir una sota}.
Calcula también P(Bc).
P(A) = 0.075
P(B) = 0.1
P(C) = 0.1
P(Bc) = 0.9
Ejercicio 25
Calcula la probabilidad del suceso contrario en los siguientes casos:
Experimento "lanzar un dado de 6 caras":
Ejercicio 26
La probabilidad de un suceso es 0,3. ¿Cuál es la probabilidad del suceso
contrario?
P(A') 1- 0,3 =0,7
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Ejercicio 27
Inventa 2 ejemplos de un suceso seguro y calcula su probabilidad.
Ejemplo 1: Sacar una bola roja dentro de una caja dónde sólo tenemos bolas rojas.
P(A)=1
Ejemplo 2: Sacar un número menor de 7 cuando lanzo un dado de 6 caras.
P(B) = 1
Ejercicio 28
Inventa 2 sucesos imposibles y calcula su probabilidad.
Ejemplo 1: Sacar un pañuelo rojo dentro de una caja done sólo hay calcetines.
P(A) = 0
Ejemplo 2: Sacar una carta de picas de una baraja española.
P(B) = 0
Ejercicio 29
Lanzamos dos dados y sumamos sus resultados. Dados los sucesos A={salir más
de 5}, B={salir un número par} y C={salir 2}, determina:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(C)
d) P(A U B)
e) P(B U C)
f) P(A U C)
g) P(A U B U C)
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Ejercicio 30
Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5
ó un número par?
Casos posibles 6 {1,2,3,4,5,6}
Casos favorables (menor que 5): 4 {1,2,3,4} P (menor que 5) = 4/6
Casos favorables (número par): 3 {2,4,6} P (número par) = 3/6
Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando
como casos favorables dos veces.
Por lo tanto, la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al
lanzar un dado se expresa como:
P (< 5) ó P(par) = P(<5) U P(par) – P(<5 ∩par)= P(< 5) + P(par) – P(<5 y par)= 4/6 + 3/6
– 2/6 = 5/6
Ejercicio 31
• Probabilidad de que siendo varón(A) le guste el fútbol(B) p(B/A)= 145/196
• Probabilidad que siendo varón(A) no le guste el fútbol(B’) p(B’/A)= 51/196
• Probabilidad de que siendo mujer(A’) le guste el fútbol(B) p(B/A’)=42/138
• Probabilidad de que siendo mujer(A’) no guste fútbol(B’) p(A’/B’)= 96/138
• Probabilidad de que gustándole el fútbol(B) sea varón(A) p(A/B)= 145/187
• Probabilidad de que gustándole el fútbol(B) sea mujer(A’) p(A’/B)= 42/187
Ejercicio 32
• Probabilidad de que siendo varón(A) le guste el fútbol(B) p(B/A)= 145/196
• Probabilidad que siendo varón(A) no le guste el fútbol(B’) p(B’/A)= 51/196
• Probabilidad de que siendo mujer(A’) le guste el fútbol(B) p(B/A’)=42/138
• Probabilidad de que siendo mujer(A’) no guste fútbol(B’) p(A’/B’)= 96/138
• Probabilidad de que gustándole el fútbol(B) sea varón(A) p(A/B)= 145/187
• Probabilidad de que gustándole el fútbol(B) sea mujer(A’) p(A’/B)= 42/187
Ejercicio 33
Extraemos una carta de una baraja española. Calcular la probabilidad de que
la carta sea rey de oros, sabiendo que la carta extraída es una figura.
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ACT4. Bloque 12. Tema 6. Probabilidad.
Ejercicio 34
En una urna hay dos bolas rojas y tres verdes. Se realizan tres extracciones sin
reemplazamiento (sin meter la bola que se saca). Realiza el desarrollo del
correspondiente diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que salgan dos
rojas y una verde.
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