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    Modelo de Parcial 3 Cálculo Integral

    Cargado por

    Esteban Garcia Otalvaro
    El documento presenta un modelo parcial de cálculo integral que contiene 4 secciones: 1) Problemas de selección múltiple con 1 única respuesta sobre conceptos de ecuaciones polares, áreas bajo curvas, y métodos de integración. 2) Resolución de una integral mediante el método adecuado. 3) Cálculo del área de una región acotada por 2 curvas. 4) Evaluación de una integral impropia o demostración de su divergencia.

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    Modelo de Parcial 3 Cálculo Integral

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    Esteban Garcia Otalvaro
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    El documento presenta un modelo parcial de cálculo integral que contiene 4 secciones: 1) Problemas de selección múltiple con 1 única respuesta sobre conceptos de ecuaciones polares, áreas bajo curvas, y métodos de integración. 2) Resolución de una integral mediante el método adecuado. 3) Cálculo del área de una región acotada por 2 curvas. 4) Evaluación de una integral impropia o demostración de su divergencia.

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    El documento presenta un modelo parcial de cálculo integral que contiene 4 secciones: 1) Problemas de selección múltiple con 1 única respuesta sobre conceptos de ecuaciones polares, áreas bajo curvas, y métodos de integración. 2) Resolución de una integral mediante el método adecuado. 3) Cálculo del área de una región acotada por 2 curvas. 4) Evaluación de una integral impropia o demostración de su divergencia.

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    Modelo de Parcial 3 Cálculo Integral

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    El documento presenta un modelo parcial de cálculo integral que contiene 4 secciones: 1) Problemas de selección múltiple con 1 única respuesta sobre conceptos de ecuaciones polares, áreas bajo curvas, y métodos de integración. 2) Resolución de una integral mediante el método adecuado. 3) Cálculo del área de una región acotada por 2 curvas. 4) Evaluación de una integral impropia o demostración de su divergencia.

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    FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y Código FDE 097

    APLICADAS Versión 01
    DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS Fecha 2010-01-27
    BÁSICAS
    Modelo Parcial Institucional (Valor 20 %)
    Asignatura: Cálculo Integral Código: CIX34 - _____ NOTA
    Docente: Grupo de docentes de Cálculo Integral Fecha: _______________
    Nombre: ___________________________________________ ___ Carné: _______________
    Instrucciones:
    Escriba su nombre completo y su número de carné en la parte superior de la hoja.
    Lea cuidadosamente toda la prueba.
    Resuelva la prueba en los espacios destinados para ello y al respaldo de la hoja.

    1. (Valor 1.5) Problemas de selección múltiple con única respuesta.

    En cada uno de los siguientes puntos seleccione la respuesta correcta

    1.1 (Valor 0,25) Al convertir la ecuación rectangular 𝑦 = 5𝑥 en ecuación polar, se llega a,

    a) 𝑟 = 5 cot 𝜃, haciendo la conversión 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, luego se despeja r y se utiliza la


    cos 𝜃
    identidad trigonométrica cot 𝜃 = sen 𝜃.
    b) 𝑟 = 5 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃, haciendo la conversión 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, luego se despeja r.
    c) 𝜃 = tan−1 5, haciendo la conversión 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, luego se simplifica y se utiliza
    sin 𝜃
    la identidad trigonométrica tan 𝜃 = .
    cos 𝜃
    1
    d) 𝜃 = sen−1 ,
    2
    haciendo la conversión 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑒 𝑦 = 𝑟 sen 𝜃, luego se simplifica y se utiliza
    la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 .

    1.2 (Valor 0,25) La siguiente gráfica representa la ecuación polar 𝑟 = 4 cos 3𝜃


    6

    
    6

    Si 𝑟 = 𝑓(𝜃) es una función continua no negativa sobre [𝛼, 𝛽], entonces el área acotada por su
    gráfica y los rayos 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽 están dados por,
    1 𝛽
    𝐴 = ∫𝛼 [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃
    2
    FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y Código FDE 097
    APLICADAS Versión 01
    DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS Fecha 2010-01-27
    BÁSICAS
    Modelo Parcial Institucional (Valor 20 %)

    De acuerdo con loa anterior, la expresión que permite determinar el área de la gráfica puede ser
    dada por,

    𝜋/6
    a) 𝐴 = 8 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 3𝜃 𝑑𝜃
    𝜋/6
    b) 𝐴 = 48 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 3𝜃 𝑑𝜃
    𝜋/6
    c) 𝐴 = 2 ∫−𝜋/6 𝑐𝑜𝑠3𝜃 𝑑𝜃
    𝜋/6
    d) 𝐴 = 48 ∫−𝜋/6 𝑐𝑜𝑠 2 3𝜃 𝑑𝜃

    1.3 (Valor 0,25) La integración por partes se aplica cuando se quiere integrar un producto de dos
    funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥). Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑣 = 𝑔(𝑥) son funciones diferenciables, entonces ∫ 𝑢𝑑𝑣 =
    𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢. De acuerdo con lo anterior, ¿cuál de las siguientes integrales está resuelta por
    partes?

    𝑥 2 −3
    a) ∫ (𝑥+1)3 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1)3 (2𝑥) − ∫(𝑥 2 − 3)𝑑𝑥

    b) ∫ 𝑠𝑒𝑛5 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 cos 2𝑥 sin 2𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑥𝑑𝑥


    𝑥2 1
    c) ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥
    2

    d) ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥

    1.4 (Valor 0,25) Para resolver la integral ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 4 𝑥𝑑𝑥, se puede proceder de la siguiente manera:

    a) Se escribe ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 3 tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥, luego se utiliza la identidad
    trigonométrica 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 y se resuelve por sustitución haciendo 𝑢 = sec 𝑥.
    b) Se escribe ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥, luego se utiliza la identidad
    trigonométrica 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 y se resuelve por sustitución haciendo 𝑢 = tan 𝑥.
    c) Se escribe ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 4 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 4 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑑𝑥, luego se utiliza la identidad
    trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 y se resuelve por sustitución haciendo 𝑢 = tan 𝑥.
    d) Se resuelve por el método de integración por partes haciendo 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑑𝑥,
    luego se resuelve por sustitución haciendo 𝑢 = sec 𝑥.
    FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y Código FDE 097
    APLICADAS Versión 01
    DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS Fecha 2010-01-27
    BÁSICAS
    Modelo Parcial Institucional (Valor 20 %)

    Responda los puntos 1.5 y 1.6, teniendo en cuenta la siguiente gráfica

    1.5 (Valor 0,25) El área de la región encerrada por las dos curvas con diferencial en x, viene
    representada por:

    5 (𝑥−1)
    a) 𝐴(𝑥) = ∫1 [ 2
    − √𝑥 − 1] 𝑑𝑥
    2 (𝑥−1)
    b) 𝐴(𝑥) = ∫0 [ 2
    − √𝑥 − 1] 𝑑𝑥
    2
    c) 𝐴(𝑥) = ∫0 [(2𝑥 + 1) − (𝑥 2 + 1)]𝑑𝑥
    5 (𝑥−1)
    d) 𝐴(𝑥) = ∫1 [√𝑥 − 1 − ] 𝑑𝑥
    2

    1.6 (Valor 0,25) El volumen del sólido, al girar alrededor del eje “y” el gráfico, viene dado por:
    2
    a) 𝑉(𝑦) = 𝜋 ∫0 [(𝑦 2 + 1)2 − (2𝑦 + 1)2 ] 𝑑𝑦
    2
    b) 𝑉(𝑦) = 𝜋 ∫0 [(2𝑦 + 1)2 − (𝑦 2 + 1)2 ] 𝑑𝑦
    5
    c) 𝑉(𝑦) = 𝜋 ∫1 [(𝑦 2 + 1)2 − (2𝑦 + 1)2 ] 𝑑𝑦
    5 2 (𝑥−1) 2
    d) 𝑉(𝑦) = 𝜋 ∫1 [(√𝑥 − 1) − ( 2
    ) ] 𝑑𝑦
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    BÁSICAS
    Modelo Parcial Institucional (Valor 20 %)

    2. (Valor 1.2)
    Resuelva la siguiente integral por el método de integración que considere pertinente:

    5
    𝑥+6
    ∫ 𝑑𝑥
    𝑥3 − 2𝑥2 + 4𝑥 − 8
    3

    3. (Valor 1.3)
    La región en el primer cuadrante se encuentra acotada por el gráfico de

    𝑦 = 𝑥√4 + 𝑥 2 y las rectas 𝑥 = 2, 𝑦 𝑦 = 0


    .

    Encuentre el área de la región, tomando el diferencial en 𝑥.

    4. (Valor 1.0)
    Evalúe la integral impropia dada o demuestre que diverge.
    ∞
    𝑙𝑛𝑥
    ∫ 𝑑𝑥
    𝑥2
    1

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