Fuente: Samuelson, P. y Nordhaus, W. (2006). Economía. Editorial McGraw-Hill.

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Apéndice 1

CÓMO LEER GRÁFICAS

Una imagen vale más que punto en una superficie bidimensional. La fi-
mil palabras. gura 1A-1 representa en una gráfica la relación
entre las producciones de alimento y de máquinas
Proverbio chino
que se muestran en la tabla 1A-1. Cada par de cifras se
indica por medio de un único punto en la gráfica. Así, la
Antes de que usted pueda dominar la economía, debe
fila llamada A en el cuadro 1A-1 es el punto A de la figu-
poseer conocimientos prácticos de las gráficas. Éstas son
ra 1A-1, y lo mismo ocurre con los puntos B, C, etcétera.
tan indispensables para el economista como un martillo
En la figura 1A-1, la línea vertical de la izquierda y la
para un carpintero. Por lo tanto, si usted no está familia-
línea horizontal situada en el extremo inferior corres-
rizado con el uso de las gráficas, invierta algún tiempo
para aprender a interpretarlas, pues será un tiempo bien
aprovechado.
¿Qué es una gráfica? Es un diagrama que muestra la Diferentes posibilidades de producción
forma en que dos o más conjuntos de datos o variables se Posibilidades Alimentos Máquinas
relacionan entre sí. Las gráficas son esenciales en econo-
mía porque, entre otras razones, nos permiten analizar
A 0 150
conceptos económicos y tendencias históricas.
B 10 140
Usted se topará con muchos tipos distintos de gráfi- C 20 120
cas en esta obra. Algunas muestran cómo las variables se D 30 90
modifican con el paso del tiempo; otras presentan la re- E 40 50
lación entre distintas variables (como en el ejemplo que F 50 0
analizaremos a continuación). Cada una de las gráficas
de este libro le ayudarán a comprender una importante
TABLA 1A-1. Los pares de posibles niveles de producción de
relación o tendencia económica.
alimentos y de máquinas
Aquí se incluyen seis pares potenciales de cantidades que pue-
LA FRONTERA DE LAS POSIBILIDADES den producirse con los recursos que tiene un país. Éste puede
DE PRODUCCIÓN elegir una de las seis combinaciones posibles.

La primera gráfica a la que usted se enfrentó en este texto

fue la de la frontera de las posibilidades de producción.
150
Como le mostramos en el cuerpo de este capítulo, la fron- A
B
tera de las posibilidades de producción, o FPP, representa
las cantidades máximas de un par de bienes o servicios que 120
pueden producirse con los recursos dados en una econo- C
mía, suponiendo que todos ellos se utilizan plenamente.
Examinemos una aplicación importante: la de elegir 90
Máquinas

D
entre los alimentos y las máquinas. La tabla 1A-1, que es
muy parecida al ejemplo de la tabla 1-1, muestra los da-
tos esenciales de la FPP. Recuerde que cada una de las 60
posibilidades indica un nivel de producción de alimen- E
tos y un nivel de producción de máquinas. A medida que
30
aumenta la cantidad producida de alimentos, disminuye
la de máquinas. Así, por ejemplo, si la economía produ-
jera 10 unidades de alimentos, podría producir como F
máximo 140 máquinas, pero si produjera 20 unidades de 0 10 20 30 40 50
alimentos, sólo podría fabricar 120 máquinas. Alimentos

FIGURA 1A-1. Seis pares posibles de niveles de producción

Gráfica de las posibilidades de producción de alimentos y de máquinas
Los datos de la tabla 1A-1 también pueden presentarse En esta figura se representan gráficamente los datos de la tabla
mediante una gráfica. Para construirla, representamos 1A-1. Son exactamente los mismos, pero la representación vi-
cada uno de los pares de datos de la tabla con un único sual los muestra de manera más clara.
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18 PARTE UNO • CONCEPTOS BÁSICOS

ponden a las dos variables: los alimentos y las máquinas. La frontera de las posibilidades de producción
Una variable es un elemento de interés que puede defi-
nirse y medirse y que adopta valores diferentes en mo- A
mentos o lugares distintos. Algunas de las variables im- 150
B
portantes que se estudian en economía son los precios,
las cantidades, las horas de trabajo, las hectáreas de tie- 120 C
rra, los dólares de ingreso y otras.
La línea horizontal de una gráfica se denomina eje
horizontal o eje de las abcisas, o, a veces, eje de las X. En la fi- 90 D

Máquinas
gura 1A-1, la producción de alimentos se mide en el eje
de las abcisas de color negro. La línea vertical se conoce
como eje vertical, eje de las ordenadas o eje de las Y. En la fi- 60
E
gura 1A-1, mide la cantidad de máquinas producidas. El
punto A del eje vertical representa 150 máquinas. La es-
30
quina inferior de la izquierda, donde se cruzan los dos
ejes, se denomina origen. En la figura 1A-1 significa 0 ali-
mentos y 0 máquinas. F
0 10 20 30 40 50
Alimentos
La curva lisa
FIGURA 1A-2 Una frontera de posibilidades de producción
En la mayoría de las relaciones económicas, las variables
pueden modificarse en cantidades pequeñas o grandes, Una curva lisa pasa por los pares graficados de puntos y da ori-
gen a la frontera de posibilidades de producción.
como las que se muestran en la figura 1A-1. Por lo tanto,
generalmente trazamos las relaciones económicas como
curvas continuas. En la figura 1A-2 se muestra a FPP co-
mo una curva lisa en la que se han conectado los puntos
que van de A a F. etapas. Primero se presenta un movimiento horizontal
Al comparar la tabla 1A-1 y la figura 1A-2, podemos de B a C que indica el aumento de una unidad del valor
advertir por qué las gráficas se utilizan con tanta frecuen- de X (sin cambio del valor de Y ). Luego viene un movi-
cia en economía. La curva FPP lisa refleja el menú de op- miento vertical compensatorio hacia arriba o hacia aba-
ciones de la economía. Se trata de un dispositivo visual jo, el cual se indica como s en la figura 1A-3. (El movi-
para ilustrar qué tipos de bienes están disponibles y en miento de 1 unidad horizontal es sólo por conveniencia.
qué cantidades. Permite observar de un vistazo la rela- La fórmula se mantiene para movimientos de cualquier
ción entre la producción de máquinas y alimentos. magnitud.) El movimiento de dos pasos nos lleva de un
punto a otro sobre una línea recta.
Como el movimiento BC es un incremento de una
Pendientes y líneas unidad de X, la longitud de CD (que se muestra como s
En la figura 1A-2 se muestra la relación que existe entre en la figura 1A-3) indica la modificación de Y por una va-
la producción máxima de alimentos y máquinas. Una riación unitaria de X. En una gráfica, a esta variación se
forma importante de describir la relación entre dos va- le denomina pendiente de la línea ABDE.
riables es mediante la pendiente de la línea gráfica. A menudo se define a la pendiente como “la altura
La pendiente de una línea representa la modifica- sobre la base”. La altura es la distancia vertical; en la figu-
ción de una variable que se presenta cuando otra varia- ra 1A-3 es la distancia que media entre C y D. La base es
ble se modifica. Para ser más precisos, es un cambio de la distancia horizontal; es BC en la figura 1A-3. La altura
la variable Y sobre el eje vertical por un cambio unitario sobre la base en este caso sería CD sobre BC. Por lo tan-
en la variable X sobre el eje horizontal. Por ejemplo, en to, la pendiente de BD es CD/BC. Para quienes hayan
la figura 1A-2, digamos que la producción de alimentos estudiado cálculo, la pregunta 7 al final de este apéndice
se elevó de 25 a 26 unidades. La pendiente de la curva de relaciona las pendientes con las derivadas.
la figura 1A-2 nos indica el cambio preciso en la produc- Conviene recordar los aspectos clave de las pendien-
ción de maquinaria que podría ocurrir. La pendiente es tes que son, a saber:
una medida numérica exacta de la relación entre la variación
de Y y la variación de X. 1. La pendiente puede expresarse como un número.
Podemos utilizar la figura 1A-3 para explicar cómo Mide el cambio de Y por unidad de cambio de X, o
medir la pendiente de una línea recta, por ejemplo, la “la altura sobre la base”.
pendiente de la línea entre los puntos B y D. Considere 2. Si la línea es recta, su pendiente es constante en to-
el movimiento de B a D como el que se presenta en dos dos los puntos.
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APÉNDICE 1 • CÓMO LEER GRÁFICAS 19

a) Relación inversa b) Relación directa

Y Y
E
A
D
1 C
s
B B
s
1 C

D
A

E
X X

FIGURA 1A-3. Cálculo de la pendiente de líneas rectas

Es fácil calcular la pendiente de líneas rectas como “la altura partida por la mitad”. Así, tanto en a) como
en b), el valor numérico de la pendiente es altura/base = CD/BC = s/1 = s. Advierta que en a), CD es ne-
gativa, lo que indica una pendiente negativa, o una relación inversa entre X y Y.

a) b) FIGURA 1A-4. Inclinación no es lo mismo

que pendiente
Y Y Observe que aunque a) parezca más inclinada
que b), muestran la misma relación. Ambas
2 2 tienen una pendiente de 1⁄2, pero el eje de las
X se ha ampliado en b).

1 1

X X
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

3. La pendiente de la línea indica si la relación entre X Pendiente de una línea curva

y Y es directa o inversa. Es directa cuando las variables
se mueven en el mismo sentido (es decir, aumentan La línea curva o no lineal es aquella cuya pendiente va-
o disminuyen juntas); las relaciones inversas se presen- ría. A veces nos interesa saber cuál es la pendiente en un
tan cuando las variables se mueven en sentido con- determinado punto, como el punto B de la figura 1A-5. Ob-
trario (es decir, una aumenta y la otra disminuye). servamos que la pendiente en este punto es positiva, pe-
ro no sabemos cómo calcularla exactamente.
Así, una pendiente negativa indica que la relación X- Para determinar la pendiente de una línea curva lisa
Y es inversa, como sucede en la figura 1A-3a). ¿Por qué? en un punto, calculamos la pendiente de la línea que to-
Porque un aumento de X exige una disminución de Y. ca, pero no corta, a la línea curva en el punto en cues-
Algunas veces se confunde la pendiente con la apa- tión. Esa línea recta se denomina tangente a la línea cur-
riencia de inclinación. Esta conclusión suele ser válida, va. En otras palabras, la pendiente de una línea curva en
pero no siempre, ya que la pendiente depende de la es- un punto es la pendiente de la línea recta que es tangen-
cala de la gráfica. Los paneles a) y b) de la figura 1A-4 re- te a la curva en ese punto. Una vez que trazamos la tan-
presentan, ambos, exactamente la misma relación. Sin gente, hallamos su pendiente a través de la técnica habi-
embargo, en b) la escala horizontal se ha ampliado en tual de medición en ángulo recto que hemos analizado
comparación con la de a). Si se calcula cuidadosamente, antes.
se verá que las pendientes son exactamente las mismas (e Para encontrar la pendiente en el punto B de la figu-
iguales a 1⁄2). ra 1A-5, trazamos simplemente una línea recta FBJ tan-
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20 PARTE UNO • CONCEPTOS BÁSICOS

Y J Y
Pendiente cero

C
M N
H

i va

Pe
sit

n
E

die
po
D

nte
nte
B D

ne
die

ga
n
Pe

tiv
a
G
B

A E

X
F
X FIGURA 1A-6. Diferentes pendientes de las curvas no lineales
A
En economía, muchas curvas primero se elevan, luego llegan a
FIGURA 1A-5. La tangente como pendiente de las líneas cur- un máximo y luego caen. En la región ascendente de A a C, la
vas pendiente es positiva (véase el punto B). En la región descen-
dente, de C a E, la pendiente es negativa (véase punto D). En el
Si construimos una línea tangente podemos calcular la pen- máximo de la curva, el punto C, la pendiente es igual a cero.
diente de una línea curva en un punto determinado. Así, la lí- (¿Qué ocurre con las curvas en forma de U? ¿Cuál es la pen-
nea FBMJ es tangente a la curva lisa ABDE en el punto B. La diente en su punto mínimo?)
pendiente en B es igual a la pendiente de la línea tangente, es
decir, a NJ/MN.

Desplazamientos de las curvas

gente a la línea curva en ese punto. A continuación, cal- y movimiento a lo largo de ellas
culamos la pendiente de la tangente NJ/MN. Del mismo Una distinción importante en economía es la diferencia
modo, la línea tangente GH indica la pendiente de la lí- entre los desplazamientos de las curvas y los movimien-
nea curva en el punto D. tos a lo largo de ellas. Podemos analizarla en la figura
La figura 1A-6 muestra otro ejemplo de una pen- 1A-7. La frontera interna de posibilidades de producción
diente de línea no lineal. Allí se muestra una curva típi- reproduce la FPP de la figura 1A-2. En el punto D la so-
ca de microeconomía, la cual tiene forma de campana y ciedad escoge producir 30 unidades de alimento y 90
alcanza su máximo valor en el punto C. Podemos utilizar unidades de máquinas. Si la sociedad decide consumir
nuestro método de pendientes como tangentes para ver más alimentos con una FPP dada, puede desplazarse a lo
que la pendiente de la curva siempre es positiva en la re- largo de FPP hasta el punto E. Este movimiento a lo largo
gión en la que la curva asciende y negativa en la región de la curva representa que se han escogido más alimen-
en la que desciende. En la cima, o máximo de la curva, tos y menos máquinas.
la pendiente es exactamente igual a cero. Una pendien- Supongamos que la FPP interior representa las posi-
te igual a cero significa que un pequeño movimiento de bilidades de producción de la sociedad durante 1990. Si
la variable X alrededor del punto máximo no tiene efec- volvemos al mismo país en 2000, observamos que la FPP
to alguno en el valor de la variable Y.1 se ha desplazado de la curva interior de 1990 a la curva ex-
terior de 2000. (Este desplazamiento se produciría como
consecuencia de un incremento de la mano de obra o
1 Para aquellos que disfrutan del álgebra, la pendiente de una línea del capital disponible.) En el último año, la sociedad
puede recordarse como sigue: una línea recta (o relación lineal) se puede escoger ubicarse en el punto G, con más alimen-
expresa como Y = a + bX. Para esta línea, la pendiente de la curva tos y máquinas que en el punto D o E.
es b, la cual mide la variación de Y por cada cambio unitario de X.
Una línea curva o relación no lineal es una que implica tér-
El objetivo de este ejemplo es que, en el primer caso
minos distintos a las constantes y al término de X. Un ejemplo de (el movimiento de D a E ), observemos el movimiento a
una relación no lineal es la ecuación cuadrática Y = (X – 2)2. Us- lo largo de la curva, mientras que en el segundo caso (de
ted puede verificar que la pendiente de esta ecuación es negativa D a G), observemos el desplazamiento de la curva.
para X < 2 y positiva para X > 2. ¿Cuál es la pendiente de X = 2?
Para los que saben cálculo: una pendiente igual a cero se
presenta cuando la derivada de una curva lisa es igual a cero. Por
Algunas gráficas especiales
ejemplo, trace y utilice cálculo para encontrar el punto de pen- La FPP es una de las gráficas más importantes en econo-
diente cero de una curva a la que define la función Y = (X – 2)2. mía: representa la relación entre dos variables económi-
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APÉNDICE 1 • CÓMO LEER GRÁFICAS 21

9 000

miles de millones (precios del año 2000)

210
c
8 000

Consumo de gasto personal

180 7 000 2003
2000
6 000
150
5 000 1995
Máquinas

120 1990
4 000
G
D 3 000 1980
90
2 000 1970

60 1 000 1960
E c
0
30 2000 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000
1990 Ingreso personal disponible
(miles de millones, dólares del año 2000)
0 10 20 30 40 50 60 70
Alimentos
FIGURA 1A-8. El diagrama de dispersión de la función de con-
FIGURA 1A-7. Desplazamiento de las curvas frente a un movi- sumo muestra una importante ley macroeconómica
miento a lo largo de las curvas Los puntos que se observan en el caso del consumo se encuen-
Cuando se utilizan gráficas, es esencial distinguir los movimien- tran cerca de la línea CC, que muestra la conducta media con el
tos a lo largo de las curvas (por ejemplo, del punto D en el que paso del tiempo. De esta manera, el punto en color sepia del año
la inversión es elevada, al E, en el que es baja) de los desplaza- 2003 se encuentra tan cercano a la línea CC que podría haberse
mientos de las curvas (por ejemplo, del punto D en un año da- predicho con bastante exactitud a partir de esa línea, incluso an-
do, al G en un año posterior). tes de que concluyera el año. Los diagramas de dispersión nos
permiten ver cuán cercana es la relación entre dos variables.

cas (como los alimentos y las máquinas o las armas y la

mantequilla). En las páginas siguientes el lector encon-
trará otros tipos más. tal de un país sobre el eje horizontal y el consumo total
(el gasto por parte de los hogares en bienes como los ali-
Series de tiempo. Algunas gráficas muestran la forma en mentos, el vestido y la vivienda) sobre el eje vertical. Ad-
que una variable particular se modifica con el paso del vierta que el consumo se relaciona muy estrechamente
tiempo. Observe, por ejemplo, las gráficas que se encuen- con el ingreso, una clave vital para entender los cambios
tran en la parte interior de la cubierta de este libro. La en ingreso y producción nacional.
gráfica de la izquierda muestra una serie de tiempo, a par-
tir de la Revolución de Estados Unidos, de una variable Diagramas con más de una curva. A menudo resulta útil
macroeconómica importante: la razón entre la deuda del colocar dos curvas en la misma gráfica, con lo cual se ob-
gobierno federal y el producto interno bruto, o PIB, que tiene un “diagrama de curvas múltiples”. El ejemplo más
es la razón deuda-PIB. Las gráficas de series de tiempo ubi- importante de éste es el diagrama de la oferta y la demanda,
can a éste sobre el eje horizontal y a las variables de inte- que se muestra en el capítulo 3. Tales gráficas pueden
rés (en este caso la razón deuda-PIB) sobre el eje vertical. mostrar dos relaciones diferentes en forma simultánea,
Esta gráfica muestra que la razón deuda-PIB se ha eleva- tales como la manera en que las compras de los consumi-
do mucho durante todas las guerras importantes. dores responden a los precios (demanda) y la manera en
que la producción de los negocios responde ante ellos
Diagramas de dispersión. En ocasiones se deben grafi- (oferta). Si se grafican al mismo tiempo las dos relacio-
car pares individuales de puntos, como en la figura 1A-1. nes, podemos determinar el precio y la cantidad que pre-
A menudo se hará lo mismo con combinaciones de varia- valecerán en un mercado.
bles durante años diferentes. Un ejemplo importante de Con esta explicación concluye nuestra breve incur-
un diagrama de dispersión en microeconomía es la fun- sión en las gráficas. Una vez que usted haya dominado es-
ción del consumo, que se muestra en la figura 1A-8. Este tos principios básicos, las gráficas de esta obra, y las de
diagrama de dispersión muestra el ingreso disponible to- otras áreas, pueden ser tanto divertidas como instructivas.
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22 PARTE UNO • CONCEPTOS BÁSICOS

RESUMEN DEL APÉNDICE

1. Las gráficas constituyen una herramienta esencial para la unidad de X. Si la pendiente es positiva (o ascendente), las
economía moderna. Proporcionan una representación dos variables se relacionan directamente; se mueven hacia
conveniente de los datos o de las relaciones entre las varia- arriba o hacia abajo en forma conjunta. Si la curva tiene
bles. una pendiente descendente (o negativa), las dos variables
2. Los puntos importantes que hay que comprender sobre tienen una relación inversa entre sí.
una gráfica son: ¿cuál se encuentra en cada uno de los dos 4. Además, en ocasiones observamos tipos especiales de grá-
ejes (horizontal y vertical)? ¿Cuáles son las unidades sobre ficas: las series de tiempo, que muestran cómo evoluciona
cada uno de los ejes? ¿Qué tipo de relación se representa una variable particular con el paso del tiempo; los diagra-
en la curva o en las curvas que se muestran en la gráfica? mas de dispersión, que muestran observaciones sobre un
3. La relación entre las dos variables de una curva está dada par de variables, y los diagramas de curvas múltiples, que
por su pendiente. La pendiente se define como “la altura muestran dos o más relaciones en una sola gráfica.
sobre la base” o el incremento de Y por aumento de una

CONCEPTOS PARA REPASO

Elementos de las gráficas Ejemplos de gráficas

eje horizontal, o de las X gráficas de series de tiempo
eje vertical, o de las Y diagramas de dispersión
pendiente como “altura sobre la base” gráficas de curvas múltiples
pendiente (positiva, negativa, igual a
cero)
tangente como pendiente de una línea
curva

PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN

1. Considere el problema siguiente: después de dormir 8 ho- 4. Ahora muestre un desplazamiento a lo largo de la curva: usted
ras durante el día, usted tiene que dividir 16 horas entre el considera que necesita dormir menos, por lo que tiene 18
estudio y el tiempo libre. Suponga que las horas de tiempo horas al día que dedicarle al tiempo libre y al estudio. Re-
libre sean la variable X y las de estudio la variable Y. Trace presente la nueva curva (desplazada).
la relación de línea recta entre todas las combinaciones de 5. Anote durante una semana las horas que dedica al tiempo
X y de Y en papel milimetrado. Tenga cuidado de denomi- libre y al estudio. Trace una gráfica de series de tiempo de
nar los ejes y de marcar el origen. las horas diarias de tiempo libre y de estudio. A continua-
2. En la pregunta 1, ¿cuál es la pendiente de la línea que ción trace un diagrama de dispersión de las horas de tiem-
muestra la relación entre las horas de estudio y las de tiem- po libre y de las horas de estudio. ¿Observa usted alguna
po libre? ¿Es una línea recta? relación entre las dos variables?
3. Supongamos que para usted es absolutamente necesario 6. Acuda a la página en Internet del Bureau of Economic
tener 6 horas de tiempo libre al día, ni más, ni menos. En Analysis de Estados Unidos en www.bea.gov. Luego dé un
la gráfica, marque el punto correspondiente a 6 horas de clic en “Gross Domestic Product”. En la página siguiente,
tiempo libre. Luego considere un movimiento a lo largo de la dé un clic en “Interactive NIPA data”. Luego dé un clic en
curva: suponga que usted decide que necesita solamente 4 “Frequently Requested NIPA Tables”. De nuevo en “Table
horas de tiempo libre al día. Trace el nuevo punto. 1.2 (Real Gross Domestic Product, el cual indica la produc-