Maestria RG PDF
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Maestria RG PDF
curso de maestra
Olivier Sarbach
Instituto de Fsica y Matematicas
Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo
27 de enero de 2011
2
Indice general
Prologo 5
1. Introduccion 7
1.1. Una breve historia de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Teora de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Las transformaciones de Poincare . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3. Las ecuaciones de Maxwell en forma covariante . . . . . . 16
1.3.4. Las ecuaciones de movimiento para una partcula relativista 18
1.4. La estructura causal del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Apendice: Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Geometra diferencial 27
3.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Campos vectoriales y tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1. Vectores tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2. Transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3. La diferencial de un mapeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.4. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.5. Campos de covectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.6. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Conexiones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. La derivada covariante de campos tensoriales . . . . . . . 49
3.3.2. El transporte paralelo a lo largo de una curva . . . . . . . 51
3.3.3. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Metricas pseudo-Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1. La metrica como isomorfismo entre Tp M y Tp M . . . . . 60
3.4.2. La conexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.3. Integracion de funciones sobre una variedad . . . . . . . . 65
3.5. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1. El flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
4 INDICE GENERAL
4. El principio de equivalencia 95
4.1. La formulacion fsica del principio . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2. La formulacion matematica del principio . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3. Las ecuaciones de movimiento para una partcula . . . . . . . . . 99
4.4. El lmite Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5. Las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo . . . . . . . . . . . 104
4.5.1. La descripcion a traves de potenciales . . . . . . . . . . . 107
4.6. El lmite geometrico en un fondo curvo . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7. Campos estacionarios y estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7.1. El principio de Fermat para campos estaticos . . . . . . . 116
4.8. El corrimiento al rojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.9. Sistemas de referencia no-rotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.9.1. La diferencia fsica entre espacio-tiempos estaticos y esta-
cionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Estas notas se basan en gran parte en los cursos de relatividad general de los
Drs. Markus Heusler y Norbert Straumann de la Universidad de Zurich y en el
libro del Dr. Straumann, General Relativity and Relativistic Astrophysics [1]. En
particular, se trata de formular las leyes de la fsica en su forma independiente de
coordenadas locales, es decir, directamente sobre la variedad del espacio-tiempo.
Por esta razon, se introducen los conceptos de la geometra diferencial que son
relevantes para la relatividad general.
Estas notas tambien contienen material que no se encuentra en todos los
libros estandares de relatividad general, como por ejemplo una teora de in-
tegracion de funciones sobre variedades pseudo-Riemannianas que evita la in-
troduccion de formas diferenciales, una formulacion Lagrangiana de los fluidos
relativistas y (planeado) una derivacion geometrica de la metrica de Schwarz-
schild.
Para referencias adicionales sobre la relatividad general, el lector puede con-
sultar el libro de Wald [2], el libro de Misner, Thorne y Wheeler [3] o el libro
mas reciente de Carroll [4].
Agradezco a mi esposa, Susana, y a mis estudiantes, sobre todo al Mtro.
Nestor Ortiz Madrigal por varias correcciones o sugerencias que ayudaron a
mejorar estas notas.
5
6 INDICE GENERAL
Captulo 1
Introduccion
7
8 CAPITULO 1. INTRODUCCION
d2 x
= 0.
dt2
|t1 t2 |
|x1 x2 |
t = t + a, (1.1)
x = R x + v t + b, (1.2)
0 0 0 1
0 = x x = c2 (t)2 + |x|2 ,
(v, w) := v w = v 0 w0 + v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 , v, w R4 ,
para todos v, w R4 .
Ahora sea L : x 7 x una transformacion de un sistema inercial a otro. Como
antes, la propiedad (i) implica que L mapea rectas sobre rectas y el Teorema 1
en el apendice implica que L debe ser una transformacion afn. Entonces existen
A GL(4, R) y a R4 tales que
x = Lx = Ax + a.
Puesto que L debe dejar el cono de luz invariante (por la propiedad (ii)), tene-
mos que
(Av, Aw) = (v, w) (1.10)
para todos v, w R4 , donde 6= 0 es una constante. Esta constante debe
ser positiva porque de otra manera, la transformacion lineal A mapeara el
interior, (v, v) < 0, del cono de luz (un conjunto desconectado) sobre el exterior,
(v, v) > 0, del cono de luz (un conjunto conectado) lo que no es posible dado
que A es continua.
2 Como vamos a ver pronto, no es realmente una matriz sino un tensor.
12 CAPITULO 1. INTRODUCCION
vT AT Aw = vT w
A = , (1.11)
T = . (1.12)
(2) Rotaciones:
0T
1
= , R SO(3).
0 R
sistema inercial posee una escala fija. Esto implica que debe ser constante
para fijo y que A solamente puede depender de ,
Ademas, tenemos que A(1 ) A(2 ) = A(1 2 ) para todas las transforma-
ciones de Lorentz 1 , 2 . Entonces,
(1 ) (2 ) = (1 2 ) (1.13)
t = t, x = x + vt.
Ejercicio 1.
(a) Muestre que = = , y que el tensor del tipo (2, 0) que se obtiene
al subir los ndices de es consistente con la definicion de .
(b) Muestre que el operador
:= (1.18)
x
se transforma como un covector de Lorentz bajo tansformaciones de Poin-
care.
16 CAPITULO 1. INTRODUCCION
(d) Sean S 1 ...r 1 ...s y T 1 ...p 1 ...q tensores de Lorentz del tipo (r, s) y
(p, q), respectivamente. Muestre que
(S T )1 ...r 1 ...p 1 ...s 1 ...q (x) := S 1 ...r 1 ...s (x) T 1 ...p 1 ...q (x)
1
B = 0, E+ B = 0.
c t
Estas ecuaciones se pueden resolver introduciendo un potencial escalar y un
potencial vectorial A tales que
B = A, (1.20)
1
E = A. (1.21)
c t
Los potenciales (, A) no son unicos; la transformacion de norma
1
7 , A 7 A + , (1.22)
c t
donde es una funcion diferenciable arbitraria, dejan E y B invariantes. Como
vemos de (1.22) es conveniente definir el cuadrivector
A = (A ) (, A). (1.23)
Entonces, si definimos
F := A A , (1.27)
obtenemos
0 E1 E2 E3
E1 0 B3 B2
(F ) = (F ) = . (1.28)
E2 B3 0 B1
E3 B2 B1 0
F = 0, (1.32)
1
F = j . (1.33)
c
Pidiendo que F se transforme como un tensor de Lorentz del tipo (2, 0) y que
j se transforme como un vector de Lorentz, (1.32,1.33) se vuelven ecuaciones
entre tensores de Lorentz y por lo tanto tienen la misma forma en cualquier
sistema inercial.
18 CAPITULO 1. INTRODUCCION
Observaciones
x0 = (x0 + x1 ),
x1 = (x0 + x1 ), = (1 2 )1/2 ,
y x2 = x2 , x3 = x3 , encontramos que
Ejercicio 2.
dp
= F , (1.39)
d
donde pedimos que F se transforme como un vector de Lorentz bajo transfor-
maciones de Poincare. La energa cinetica relativista esta definida por E = cp0 .
Puesto que
2
E
|p|2 = p p = m2i 2 (c2 |v|2 ) = m2i c2 ,
c
encontramos que q
E = c m2i c2 + |p|2 = mi c2 .
La pregunta que queda es como elegir el cuadrivector F de fuerza. Para dar
un ejemplo, consideremos una partcula con masa inercial mi y carga q que se
mueve bajo la influencia de un campo electromagnetico F . En un sistema
inercial tal que v(0) = dx/dt|t=0 = 0 (reposo momentaneo) la partcula no
siente el campo magnetico al tiempo t = 0, y
d2 x
mi 2 = qE(0, x(0)).
dt t=0
t = {(t, x) : x R3 }, tR
en cada evento e = (ct, x). Dado dos eventos e1 = (ct1 , x1 ) y e2 = (ct2 , x2 ), los
observadores inerciales solamente pueden ponerse de acuerdo si e1 y e2 estan
relacionados de manera
causal: (e1 e2 , e1 e2 ) 0,
estrictamente causal: (e1 e2 , e1 e2 ) < 0,
acausal: (e1 e2 , e1 e2 ) > 0.
Los sistemas inerciales estan relacionados a traves de las transformaciones de
Poincare.
La estructura causal del espacio-tiempo no es fija en la relatividad general
como en la teora Newtoniana o en la relatividad especial, sino que esta in-
fluenciada por la presencia de materia y de radiacion. Como en la relatividad
especial, la estructura causal se define a traves de un cono de luz
g X X = 0,
que ser R4 , puede ser mas complicada. Como vamos a ver, el tensor metrico g
no solamente describe la estructura causal del espacio-tiempo sino tambien el
campo gravitacional. Las ecuaciones de Einstein relacionan la (curvatura de) la
metrica con el tensor de energa-impulso. Una propiedad importante de la relati-
vidad general es que no existen sistemas de referencia preferidos. Las ecuaciones
de campo valen en todos los sistemas de referencia.
para todos x, y Rn , , R.
Teoras escalares de la
gravedad
por ecuaciones que son covariantes (es decir, su forma es invariante) bajo trans-
formaciones de Poincare. En la seccion 1.3.4 ya encontramos una generalizacion
covariante de la primera parte de la ecuacion (2.1),
d2 x
mi = F ,
d 2
donde es el tiempo propio de la partcula y F es un vector de Lorentz.
Para obtener una generalizacion covariante de (2.2) reemplazamos
1 2
por + = (un escalar de Lorentz),
c2 t2
por T = T (un escalar de Lorentz),
= 4GT . (2.3)
23
24 CAPITULO 2. TEORIAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD
Ze2 Z1
dx
x
p
S[x ()] = ds = x x d, . (2.4)
d
e1 0
Notamos que para una curva x () dada, la cantidad S[x ()]/c da el tiempo
propio de e1 a e2 . Entonces la trayectoria fsica es aquella que maximiza1 el
tiempo propio entre dos eventos e1 y e2 que son causalmente relacionados.
Sea x () una curva que maximiza S. Podemos suponer que p para esta curva
= /T es proporcional al tiempo propio de tal manera que x x = T c.
Ahora consideramos una variacion x () de esta curva. Dado que e1 y e2 son
fijos, tenemos que x (0) = x (1) = 0. La variacion de S da
Z1
1
0 = S[x ()] = x x d
cT
0
Z1
1 1 1
= x x |=0 + x x d
cT cT
0
Z1
= x x d,
0
donde hemos usado integracion por parte en el segundo paso. Esto vale para
todas las variaciones x () con x (0) = x (1) = 0. Entonces, encontramos
que
d2 x
= 0, (2.5)
d 2
la ecuacion para una partcula libre en relatividad especial.
Ahora postulamos que una partcula que se mueve bajo la influencia del po-
tencial gravitacional obedece el principio variacional definido por (2.4) donde
reemplazamos por el tensor metrico2
2
g = 1+ 2 . (2.6)
c
Z1
dx
x
p
S[x ()] = 1+ x x d, . (2.7)
c2 d
0
Ejercicio 3.
(a) Muestre que la ecuacion (2.3) se puede obtener al variar la accion
Z
1
S[] = L d4 x, L = + gT,
2
donde g = 4G y T = T es la traza del tensor de energa-impulso de la
materia.
26 CAPITULO 2. TEORIAS ESCALARES DE LA GRAVEDAD
(b) Muestre que el tensor de energa-impulso del campo gravitacional esta da-
do por
L 1
= + L = ( 2gT ) .
( ) 2
00 d3 x
R
(c) Muestre que para una configuracion estatica, la energa W =
esta dada por
g2 T (x)T (y) 3 3
Z Z
W = d x d y.
8 |x y|
En particular, la fuerza es atractiva si T es positivo.
Geometra diferencial
27
28 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
:= 1
: (U ) (U )
son C diferenciables.
(iii) La familia {(U , )} es maxima con respecto a las condiciones (i) y (ii),
es decir, si {(V , )} es otra familia que satisface (i) y (ii), entonces
{(V , )} {(U , )}.
Cada par (U , ) se llama una carta local o un sistema local de coorde-
nadas. Una familia de cartas locales {(U , )} que satisface los puntos (i) y
(ii) se llama un atlas diferenciable de M . Un atlas diferenciable de M que es
maximo en el sentido del punto (iii) se llama una estructura diferenciable
sobre M .
Observaciones
1. La condicion (iii) en la definicion de la variedad asegura que no se puede
obtener una nueva variedad al anadir o eliminar cartas locales. Dado un
atlas diferenciable {(U , )} es posible completarlo a un atlas diferencia-
ble maximo tomando la union de {(U , )} con el conjunto de todas las
cartas locales (U, ) que satisfacen la condicion (ii) con cualquiera de las
cartas (U , ).
2. Obviamente, tenemos que
= id, = ,
5. Considere el conjunto
F 1 : (F 1 (V ) U ) Rm Rn (3.3)
: (, ) M, (0) = p
Existe una correspondencia uno a uno entre la derivada direccional (visto como
un operador diferencial actuando sobre una funcion diferenciable y evaluado en
un punto p) y los vectores X en el punto p. Vamos a usar esta correspondencia
para definir vectores sobre variedades diferenciables.
32 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
Definicion 6 Sea M una variedad diferenciable y una curva que pasa a traves
de un punto p M . Sea Dp el conjunto de funciones f : M R que son C
diferenciables en una vecindad del punto p. El vector tangente a la curva
en el punto p esta definido como la funcion (0) : Dp R dada por
d
(0)[f ] = f ((t)) , f Dp . (3.4)
dt t=0
donde e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..,0), ... , en = (0, 0, 0, ..., 1). Definimos
los vectores tangentes correspondientes
f 1
d 1
i
f := i (0)[f ] = f ((p) + te )
i = ((p)), (3.5)
x p dt t=0 xi
para todo f Dp , lo que demuestra que los vectores x1 p , ... , xn p generan
Tp M .
con respecto a una carta local (U, ) tal que p U , donde los vectores x i
p
,
i = 1, 2, ..., n, estan definidos en (3.5). Los n numeros reales Xp1 , Xp2 , ..., Xpn se
llaman las componentes del vector Xp con respecto a las coordenadas
locales (U, ). Se pueden obtener usando la propiedad (3.6),
y entonces
1
Xp = cos(s) sen(s) .
1 cos(s) y 1 p y 2 p
34 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
Observaciones
dFp Fp Tp F.
Para lo que sigue, solamente consideramos campos vectoriales que son dife-
renciables y usamos la notacion
F(M ) : la clase de funciones M R que son C diferenciables,
X (M ) : la clase de campos vectorial C diferenciables sobre M .
Sean f F(M ) y X, Y X (M ). Entonces podemos definir los nuevos
campos vectoriales f X y X + Y a traves de
(f X)p := f (p)Xp ,
(X + Y )p := Xp + Yp ,
para p M . Para f, g F(M ) y X, Y X (M ) tenemos que
f (X + Y ) = f X + f Y,
(f + g) X = f X + g X,
f (g X) = (f g) X.
Definicion 10 Sean f F(M ) y X X (M ), entonces definimos la funcion
Xf F(M ) a traves de
(Xf )p := Xp [f ], p M.
Xf se llama la derivada de f con respecto al campo vectorial X.
3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 37
X = Xi ,
xi
Y = Yj j .
x
38 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
Y j 2 f 1
(X Y )f = X(Y j j
f ) = Xi i j
f + X iY j ,
x x x xi xj
y
Y j X j
(X Y )f (Y X)f = Xi i
Yi f.
x xi xj
Entonces,
Y i j X
i
[X, Y ] = [X, Y ]i , [X, Y ]i = X j Y . (3.13)
xi xj xj
3. Como vamos a ver en la seccion 3.5, el conmutador [X, Y ] entre dos campos
vectoriales X y Y tambien se puede interpretar como el cambio infinitesi-
mal de Y a lo largo del flujo generado por X.
Demostracion. Sea (U, ) una carta local en una vecindad de p con coorde-
nadas locales correspondientes x1 , ..., xn . Si parametrizamos (x1 (t), ..., xn (t)) =
((t)), |t| < , y expandemos X = X i x i , entonces la ecuacion (3.14) para
i (v) := v i , v = v i ei ,
= i i , i = (ei ).
J : V V , Jv :=< v, . >, v V.
Concluimos que {dx1p , dx2p , ..., dxnp } es la base de Tp M que es dual a la base
{ x 1
p
,
x 2
p
, ...,
xn
p
} de Tp M . En particular, si Tp M , tenemos la ex-
pansion
!
j
= j dxp , j = . (3.17)
xj p
xi
j = i (componentes de covectores). (3.20)
y j p
p = j (p)dxjp , p U,
3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 41
T M := {(p, ) : p M, Tp M }.
t(v, w) = v i wj t(ei , ej )
= t(ei , ej ) i (v) j (w)
= t(ei , ej )( i j )(v, w),
y entonces
t = tij i j ,
donde tij = t(ei , ej ) son las componentes de t con respecto a la base B.
42 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
De manera similar, si a y son tensores del tipo (1, 0) y (0, 1), respectiva-
mente, definimos el producto tensorial a como el tensor del tipo (1, 1) dado
por
(a )(, w) := a()(w), V , w V.
Si s es cualquier tensor del tipo (1, 1) y = i i V , w = wj ej V , entonces
s(, w) = i wj s( i , ej )
= s( i , ej )(ei ) j (w)
= s( i , ej )(Iei )() j (w),
s = si j Iei j ,
Ejemplos:
1. r = s = 0: p 7 tp es una funcion sobre M .
2. r = 1, s = 0: p 7 tp es un campo vectorial sobre M .
3. r = 0, s = 1: p 7 tp es un campo de covectores sobre M .
4. r = 0, s = 2: Como vamos a ver, la metrica g es un tensor del tipo
(0, 2). Entonces g asigna a cada punto p M de la variedad un elemento
gp : Tp M Tp M R que toma dos vectores Xp , Yp Tp M y les asigna
un numero real gp (Xp , Yp ) R. Ademas, la metrica es simetrica en Xp y
Yp : gp (Xp , Yp ) = gp (Yp , Xp ) para todos Xp , Yp Tp M .
5. r = 0, s = 2: Otro ejemplo de un campo tensorial del tipo (0, 2) es el tensor
electromagnetico F . A diferencia del tensor metrico, F es antisimetrico en
Xp y Yp : Fp (Xp , Yp ) = Fp (Yp , Xp ) para todos Xp , Yp Tp M y todo
p M.
6. r = 1, s = 3: Como vamos a ver, el tensor de curvatura es un campo
tensorial del tipo (1, 3).
3.2. CAMPOS VECTORIALES Y TENSORIALES 43
Sean t y u campos tensoriales del tipo (r, s), y sea f F(M ). Entonces,
u + v y f u definidos por
t + u : p 7 tp + up ,
f t : p 7 f (p)tp ,
tambien son campos tensoriales del tipo (r, s). Sea (U, ) una carta local, en-
tonces podemos expander t con respecto a las bases { x 1
p
, ..., xn p } de Tp M
y {(dx1 )p , ..., (dxn )p } de Tp M ,
!
i1 ...ir
(dxj1 )p (dxjs )p .
tp = t j1 ...js (p) i
... i
x p
1 x pr
Las funciones U R, p 7 ti1 ...ir j1 ...js (p) se llaman las componentes de t con
respecto a la carta local (U, ). Usando (3.16) y la isometra I : V V
definida en (3.15) obtenemos que
i1 ...ir i1 ir
t j1 ...js = t dx , ..., dx , , ..., js . (3.21)
xj1 x
donde p M , X1 , ..., Xs X (M ).
Ejemplos:
1. s = 0: Sea f F(N ). En este caso, ( f )(p) = f ((p)), p M se reduce
a la definicion que dimos en la seccion 3.2.3.
2. s = 1: Sea f F(N ). Entonces, df X (N ) y para X X (M ) tenemos
que
( df )(X) = df (d(X))
= d(X)[f ]
= X[f ] = X[ f ]
= [d( f )](X), (3.23)
3.3. CONEXIONES AFINES 45
M = S 2 := {(x, y, z) R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}.
g := h,
x = x = sen cos ,
y =y = sen sen ,
z =z = cos ,
y entonces
Ejemplos:
(X Y )i := X k Y i, i = 1, 2, ..., n (3.31)
xk
(X Y )i (x) := i j (x)X k (x) Y j (x), x Rn , (3.32)
xk
= e , = sen e ,
de tal manera que podemos identificar e y sen e . Con
3.3. CONEXIONES AFINES 49
X ( Y ) = X Y + X Y.
1 Notamos que esta propiedad es una consecuencia de las propiedades (iii) y (v). Pa-
i j := i
x xj
j k
= k dx i j
xi x x
j
= k ij k ,
xi
donde hemos usado la definicion de los smbolos de Christoffel (3.27). Resu-
miendo, las expresiones para las componentes de las derivadas covariantes de
un campo vectorial Y = Y i x i y de un campo de covectores = j dx
j
son
Y j
i Y j = + k ij Y k , (3.34)
xi
j
i j = k ij k . (3.35)
xi
En particular, para Y = xi y = dxj obtenemos que
i = k ij k , (3.36)
x xj x
i dxj = j ik dxk .
(3.37)
x
X (t 1 ... Ys ) = X t 1 ... Ys
+ t X 1 2 ... Ys + ... + t 1 ... Ys1 X Ys .
3.3. CONEXIONES AFINES 51
Notamos que X esta bien definido dado que su valor en (t) solamente de-
pende del vector (t) y del campo vectorial X en una vecindad de (t). Si (U, )
es una carta local con coordenadas locales correspondientes x1 , ..., xn , entonces
tenemos
= xi i , xi (t) = ((t))i .
x
Entonces (3.26) implica que
k
DX i X k i j
= x i
+ ij x X
dt x xk
k k i j k
= (X + ij x X ) k , X(t) = X (t) . (3.40)
x xk (t)
52 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
de tal manera que t,s conmuta con I. Entonces podemos identificar elementos
de X (M ) con elementos de T (M )1 0 como siempre.
entonces
(0,s (s) )i (p) = (s,0 )j i j ((s)).
3.3.3. Geodesicas
A continuacion analizamos curvas especiales en M , llamadas geodesicas.
Observaciones
d ds d d
X= = = sY, Y := ,
dt dt ds ds
y
X X = X (sY ) = sY + s2 Y Y.
Entonces la ecuacion (3.48) se convierte en
Y Y = fY, f = s2 (f s s).
56 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
(Y Y )(s) = 0 (3.50)
k ij (p)v i v j = 0
es una geodesica.
(b) Demuestre que las geodesicas sobre S 2 son los crculos con circunferencia
2.
xi xj
gkl = gij .
xk xl
Si definimos la matriz de Jacobi J(p) por
xi
J i k (p) :=
xk p
Ahora, sea p M fijo. Dado que g(p) es simetrico, existe una transformacion or-
togonal A O(n) tal que AT g(p)A = diag(1 , 2 , ..., n ) es diagonal. Ninguno
de los eigenvalores 1 , ..., n es cero dado que gp es no degenerada. Ademas,
podemos elegir A tal que 1 , 2 , ...s < 0 < s+1 , ...n . Si definimos la transfor-
macion !
1 1 1 1
B := diag , ..., ,p , ..., ,
1 s s+1 n
obtenemos B T AT g(p)AB = diag(1, ..., 1, 1, ..,1). Entonces, definiendo las
coordenadas x1 , ..., xn a traves de
xi = J i j xj , J = AB,
logramos que las componentes de la metrica en el punto p3 se reduzcan a
1, 1 k = l s,
gkl (p) = kl = 1, s + 1 k = l n,
0, k 6= l.
Ejemplos:
1. Sea (M, g) con M = Rn y
g(X, Y ) := ij X i Y j , X = (X 1 , ..., X n ), Y = (Y 1 , ..., Y n ) Rn ,
el espacio Euclideano de dimension n. Entonces g es una metrica Rieman-
niana. Las transformaciones de coordenadas que dejan gij = ij invariantes
consisten de las transformaciones afines de la forma
xi = Ri j xj + ai ,
donde R O(n) y a Rn .
2. Sea (M, g) con M = Rn y
g(X, Y ) := ij X i Y j , X = (X 1 , ..., X n ), Y = (Y 1 , ..., Y n ) Rn ,
donde (ij ) = diag(1, 1, 1, ..., 1), el espacio de Minkowski de dimension n.
Entonces g es una metrica pseudo-Riemanniana con signatura n 2. Las
transformaciones de coordenadas que dejan gij = ij invariantes consisten
de las transformaciones de Poincare
xi = i j xj + ai ,
donde O(1, n 1) es una transformacion de Lorentz y a Rn .
3 Porque en general no es posible lograr que g (p) tenga esta forma no solamente en el
kl
punto p pero en toda una vecindad de p?
4 Ver [7], parrafo II.5 para una formulacion precisa de esta afirmacion.
60 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
g = gij dxi dxj , X = Xi X = X j dxj ,
,
e xie
y las componentes de X con respecto a estas coordenadas son
e
Xj = X = g X, = gij X i .
e e xj xj
Entonces las componentes de X se obtienen a partir de las componentes de X
al bajar sus indices con las componentes
e de la metrica gij y las componentes
de X se obtienen a partir de las componentes de X al subir los indices con
las componentes de la inversa de la matriz gij , denotados
e por g ij .
Esto se puede generalizar para campos tensoriales. Por ejemplo, sea T
T 0 2 (M ), entonces podemos definir un campo tensorial T T 2 0 (M ) a traves de
T (X , Y ) := T (X, Y ), X, Y X (M ).
e e
Con respecto a coordenadas locales x1 , ..., xn y eligiendo
X= , Y =
xi xj
obtenemos X = gki dxk , Y = glj dxl y entonces
e e
gki glj T kl = Tij ,
o
T kl = g ki g lj Tij .
En particular, si T = g es el tensor metrico, encontramos que
g kl = g kl ,
dado que definimos g ij como las componentes de la matriz inversa de gij . En-
tonces vemos porque denotamos la inversa de esta manera: Las componentes de
la matriz inversa de gij son las componentes del tensor g T 2 0 .
3.4. METRICAS PSEUDO-RIEMANNIANAS 61
Por otro lado, usando el transporte paralelo t,s a lo largo de tenemos que
g(t) X(t) , Y(t) = g(t) t,0 X(0) , t,0 Y(0)
= (0,t g)(0) X(0) , Y(0) .
g = 0.
g = 0. (3.54)
T (X, Y + f Z) = X (Y + f Z) Y +f Z X [X, Y + f Z]
= X Y + f X Z + X(f )Z Y X f Z X
[X, Y ] f [X, Z] X(f )Z
= T (X, Y ) + f T (X, Z).
T = 0. (3.59)
Con respecto a coordenadas locales esto quiere decir que los smbolos de Chris-
toffel k ij asociados a son simetricos en ij.
(i) g = 0 ( es metrica)
(ii) T = 0 ( es simetrica).
Entonces,
2g(X Y Y X, Z) = 2g([X, Y ], Z)
Observaciones
1. Sean x1 , ..., xn coordenadas locales de M . Si introducimos los campos vec-
toriales
X= , Y = , Z= ,
xi xj xk
en la ecuacion (3.61), obtenemos que
l l
2glk ij = 2g ij l , k = k gij + i
gjk + gik .
x x x x xj
Entonces, encontramos
k 1
ij = g kl gjl + gil gij . (3.62)
2 xi xj xl
Esta formula nos permite calcular los smbolos de Christoffel asociada a
la conexion de Levi-Civita a partir de las componentes de la metrica y de
sus primeras derivadas.
2. Sea la conexion de Levi-Civita. Como mostramos en la seccion previa,
dado un punto p M , siempre podemos encontrar coordenadas locales
x1 , ..., xn en una vecindad de p tal que k ij (p) = 0. Esta condicion se
mantiene si hacemos un cambio de coordenadas xi = Ai j xj , donde A es
una matriz n n constante. Ademas, como vimos, podemos elegir A tal
que gij (p) = ij , (ij ) = diag(1, .., 1, 1, ..,1).
Resumiendo, sea (M, g) una variedad (pseudo-) Riemanniana con cone-
xion de Levi-Civita . Entonces dado un punto p M , podemos encon-
trar coordenadas locales en una vecindad de p tales que en el punto p se
satisfacen gij (p) = ij y k ij (p) = 0. Como vamos a ver en el captulo que
sigue, un sistema de coordenadas locales con estas propiedades se llama un
sistema inercial local y constituye un ingrediente clave para la relatividad
general.
3. En el captulo que sigue, tambien mostraremos que las geodesicas con res-
pecto a la conexion de Levi-Civita corresponden a las curvas estacionarias
del funcional de longitud de arco,
Z(2)q
L[] = |g(t) ((t), (t))|dt,
(1)
Sea (U , ) otra carta local tal que K U . Sean gkl : U R las componentes
de g con respecto a esta carta. Entonces, la ley de transformacion (3.22) para
las componentes de campos tensoriales implica que
xk
k l
gij (p) = J i (p)J j (p)gkl (p), k
J i (p) = , x = (1 (x)),
xi p
Observaciones
2
Ejemplo: Sea M = SR = {(x, y, z) R3 : x2 + y 2 + z 2 = R2 } la esfera con
radio R > 0 con la metrica inducida h = R2 (d2 +sen2 d2 ). Sean 0 < < /2
y K := {R(cos sen , sen sen , cos ) : , 2 }.
2
Entonces para una funcion f F(SR ) diferenciable tenemos
Z
Z 2
Z
f= f (R(cos sen , sen sen , cos )) R2 sen dd.
K
Z Z Z2
2
Vol(SR ) := 1= R2 sen dd = 4R2 .
2
SR 0 0
|g(i , i )| = 1, i = 1, 2, ..., n.
K K
n
X Z q Z q
= | det(gij )|X k dn1 x | det(gij )|X k dn1 x
k=1 Sk+ Sk
donde a 6= 0 sobre S1+ y donde hAB dxA dxB es la metrica inducida sobre
S1+ . Con esta notacion, es facil verificar que
p
1+ = |a|dx1 , | det(gij )| = |a|| det(hAB )|,
Luego,
p para el lado S1 se tienen las mismas expresiones excepto que 1 =
|a|dx1 , y entonces
Z q Z
| det(gij )|X 1 dn1 x = 1 (X).
S1 S1
Las integrales sobre los lados conjuntos se cancelan, y quedan las integrales
sobre los lados exteriores que forman K.
Ejemplos:
(c) La metrica inducida sobre las lneas R{p} es negativa definida para
todo p .
(i) p (0) = p,
(ii) p (t) = Xp (t) para todo a < t < b,
(iii) Si : (c, d) M es otra curva integral de X a traves del punto p, entonces
a c, d b y (t) = p (t) para todo c < t < d.
Sea t (A, B), entonces existe una curva integral : (a, b) M de X a traves
de p tal que t (a, b), y definimos p (t) = (t). Esta definicion es independiente
de la curva de acuerdo al resultado de unicidad que acabamos de demostrar.
La curva p : (A, B) M definida de esta manera es una curva integral a X a
traves de p que es maximal.
D := {(t, p) : p M, t Ip } R M,
Dt := {p M : t Ip } M.
Ejemplos:
1. Sean M = R y X X (R) el campo vectorial X = x2 x . La curva integral
x(t) de X a traves del punto p = x0 R satisface el problema de Cauchy
x(t) = x(t)2 ,
x(0) = x0
72 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
y el flujo es
x0
t : Dt M, x0 7 t (x0 ) = ,
1 tx0
donde
R = M, t = 0,
Dt = , 1t , t > 0,
1
t , , t < 0,
2. Sean M = R2 y X X (R2 ) el campo vectorial X = y x x y . La curva
2
integral (x(t), y(t)) de X a traves del punto (x0 , y0 ) R obedece
x(t) = y(t), y(t) = x(t)
x(0) = x0 , y(0) = y0 ,
( T )q := (dp )r s Tp , p = 1 (q),
para T T r s (M ) y q N .
De manera similar, definimos el pull-back con respecto a como el
mapeo : T r s (N ) T r s (M ), S 7 S definido por
1
( S)p := [(dp )r s ] S(p) ,
para S T r s (N ) y p M .
Observaciones
para todo q N .
para todo q N , q Tq N y Yq Tq N .
y i
(dp ) (dyqi ) = dxj ,
xj p p
!
xi
1 1 i
(dp ) = (A(p) ) j = .
y j q xi p y j p xi p
Z1 Z1
d h
h(t, q) = h(st, q)ds = t (st, q)ds tg(t, q)
ds t
0 0
para todo q M . Por otro lado, la ecuacion (3.72) tambien implica que
1 t
(X Y )p [f ] = lm [( ) Y ]p Yp [f ]
t0 t
1 t
= lm [d (Y )]p [f ] Yp [f ]
t0 t
1
= lm Yt (p) [f ] Yp [f ] lm Yt (p) [g(t, )]
t0 t t0
= Xp [Y f ] Yp [g(0, )]
= [X, Y ]p [f ].
Notamos que las propiedades (i)(vi) que satisface el operador X son las
mismas que las propiedades (i)(vi) que satisface la derivada covariante X , ver
la seccion 3.3.1. Entonces usando el mismo procedimiento que en esta seccion,
78 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
X k
X = X, j = j ,
xj x x xk
X k X i j
X dxi = X k k ( i j ) + dxi j k
dxj = dx ,
x x x xj
(X T )( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys )
X T ( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys )
=
T (X 1 , 2 , ..., r , Y1 , ..., Ys ) ... T ( 1 , ..., r1 , X r , Y1 , ..., Ys )
T ( 1 , ..., r , X Y1 , Y2 , ..., Ys ) ... T ( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys1 , X Ys ).
(X T )( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys )
= (X T )( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys )
T ((X X ) 1 , 2 , ..., r , Y1 , ..., Ys )
... T ( 1 , ..., r , Y1 , ..., Ys1 , (X X )Ys ).
3.5. DERIVADA DE LIE 79
(X X )Y = [X, Y ] X Y = Y X
y
[(X X )](Y ) = ([X, Y ] X Y ) = (Y X)
para todo Y X (M ) y X (M ), y concluimos que
es decir, podemos reemplazar todas las derivadas parciales por derivadas cova-
riantes en la expresion (3.75) si la conexion afn es libre de torsion.
(ii) [X , Y ] = [X,Y ] .
[X , Y ]Z = X [Y, Z] Y [X, Z]
= [X, [Y, Z]] [Y, [X, Z]]
= [Z, [X, Y ]]
= [X,Y ] Z,
(i) [X, Y ] = 0.
(ii) X Y = Y X .
Observaciones
1. Usando la definicion de la derivada de Lie y un argumento similar a la
ecuacion (3.80) obtenemos que T es invariante bajo t si y solo si
X T = 0.
F : (, ) (V ) M,
(x1 , x2 , ..., xn ) 7 x1 1 (x2 , ..., xn ),
para todo f F(M ). Concluimos que en las coordenadas locales (x1 , x2 , ..., xn )
X= ,
x1
es decir, las componentes de X son simplemente (X i ) = (1, 0, ..., 0). En
particular, la ecuacion (3.75) implica que en estas coordenadas
i1 ...ir
(X T )i1 ...ir j1 ...js = T j1 ...js
x1
para un campo tensorial T T r s (M ).
(i) Los vectores X1p , X2p , ..., Xmp son linealmente independientes para
cada p M .
(ii) [Xi , Xj ] = 0 para todo 1 i < j m.
3.6. CURVATURA 83
Entonces, dado p M existe una carta local (U, ) tal que p U y tal que
Xi = , i = 1, 2, ..., m.
xi
Demostracion. Generalizando los argumentos de la observacion previa
y usando el resultado del Teorema 7 que implica que los flujos asociados
a Xi y Xj conmutan.
3.6. Curvatura
Definicion 38 Sea (M, ) una variedad diferenciable con conexion afn . La
curvatura asociada a esta definida por el mapeo R : X (M ) X (M )
X (M ) X (M ) dado por
R(X, Y )Z := X (Y Z) Y (X Z) [X,Y ] Z,
X, Y, Z X (M ).
Notamos que R(Y, X)Z = R(X, Y )Z es antisimetrico en X y Y , y que
R(X, Y )Z es lineal en X, Y y Z. Ademas, si f F(M ), entonces
R(f X, Y )Z = f X Y Z Y (f X Z) f [X,Y ]Y (f )X Z
= f X Y Z f Y X Z Y (f )X Z f [X,Y ] Z + Y (f )X Z
= f R(X, Y )Z,
y
R(X, Y )(f Z) = X [f Y Z + Y (f )Z] Y [f X Z + X(f )Z]
f [X,Y ] Z ([X, Y ]f )Z
= f X Y Z + X(f )Y Z + Y (f )X Z + [XY (f )]Z
f Y X Z Y (f )X Z X(f )Y Z [Y X(f )]Z
f [X,Y ] Z ([X, Y ]f )Z
= f R(X, Y )Z.
Entonces R define un campo tensorial R T 1 3 (M ) a traves de
R(, Z, X, Y ) := (R(X, Y )Z), X (M ), X, Y, Z X (M ).
Sean x1 , x2 , ..., xn coordenadas locales, y = dxl , X = xi ,Y = x j y Z = xk .
Entonces,
Rl kij = dxl i j [ x i , x j ] xk
x x xk xj xi xk
= dxl i r jk r j r ik r
x x x x
r
r ik
jk
= dxl + r
jk s
ir r
ik s
jr ,
xi xr xs xj xr xs
84 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
l jk l ik
Rl kij = + r
jk l
ir r ik l jr . (3.81)
xi xj
Definicion 39 Sea {X1 , X2 , ..., Xn } una base local de T M y {1 , 2 , ..., n } la
base local dual correspondiente de T M . El tensor de Ricci esta definido a
traves de la siguiente contraccion del tensor de curvatura:
Rickj = Ric , = Ri kij
xk xj
i jk r i i ik
= + jk ir r ik i jr . (3.83)
xi xj
Muchas veces, se usa la notacion Rkj para denotar las componentes Rickj del
tensor de Ricci, y tambien la notacion Rl kij (sin la barra) para denotar las
componentes del campo tensorial R.
Para formular el proximo resultado necesitamos lo siguiente: Sea A : X (M )s
X (M ) un mapeo que es F(M )-lineal en todos sus argumentos, es decir, que sa-
tisface
Por ejemplo, el tensor de torsion define un campo tensorial del tipo (1, 2) y el
tensor de curvatura uno del tipo (1, 3). Definimos la derivada covariante Y A
de A con respecto de un campo vectorial Y X (M ) a traves de la condicion
(Y )(Z) = Y [(Z)] (Y Z)
2 h k i
V k () = Zpk + M k j (0)Zpj + M j (0) + M k i (0)M i j (0) Zpj + O(3 ). (3.90)
2
( )
De la misma manera, las componentes del campo vectorial V (, ) := ,0 V () =
( ) ( )
,0 ,00 Zp satisfacen
2 h k i
V k (, ) = V k () + N k j (0)V j () + N j (0) + N k i (0)N i j (0) V j () + O( 3 ),
2
obtenemos que
donde hemos usado la expresion (3.81) para las componentes del tensor de cur-
vatura.
()
Entonces para cada curva Cp el transporte paralelo 1,0 : Tp M Tp M
define una transformacion lineal e invertible sobre el espacio tangente Tp M en
p. El conjunto
()
H(p) := {1,0 GL(n, R) : Cp }
forma un subgrupo de GL(n, R) que se llama el grupo de holonoma de
(M, ) en el punto p.
Ejercicio 10. Sean p, q M , y sea una curva que conecta p con q: (0) = p,
(1) = q. Demuestre que
() ()
H(q) = 1,0 H(p)0,1 .
Entonces los dos grupos H(p) y H(q) son isomorfos si p y q son en la misma
componente conexa de M .
Para un paralelogramo pqrs generado por dos campos vectoriales X y Y que
conmutan demostramos en el Lema 10 que el elemento correspondiente Gp (, )
de H(p) satisface
2 Gp (, )
= R(X, Y )|p .
==0
De manera mas general, se puede demostrar el siguiente
{ R(X, Y )|p : X, Y Tp M }.
Corolario 1 Sea (M, ) una variedad diferenciable con conexion afn . En-
tonces el transporte paralelo es independiente de la curva si y solo si el tensor
de curvatura es cero.
para todo X, Y, Z, W X (M ).
y entonces
R(Z, Z, X, Y ) = g(Z, R(X, Y )Z) = 0
para todos X, Y, Z X (M ). Reemplazando Z por Z = U + W , U, W X (M ),
esta ecuacion implica que
R(U, W, X, Y ) + R(W, U, X, Y ) = 0.
g(W, R(X, Y )Z) = g(W, R(Y, X)Z) = g(W, R(X, Z)Y ) + g(W, R(Z, Y )X)
(3.95)
para todos X, Y, Z, W X (M ). Usando (3.93) y otra vez la primera identidad
de Bianchi tambien encontramos que
g(W, R(X, Y )Z) = g(Z, R(X, Y )W ) = g(Z, R(Y, W )X) + g(Z, R(W, X)Y ).
(3.96)
Sumando (3.95) y (3.96) obtenemos que
Observaciones
1. La simetra (3.94) implica que el tensor de Ricci es simetrico: De su defi-
nicion (3.82) encontramos que
Rkj = Ri kij = i l Rl kij = g il Rlkij = g il Rijlk = Rjk .
Como esta ecuacion vale para cualquier sistema local de coordenadas,
tenemos que Ric(X, Y ) = Ric(Y, X) para todos X, Y X (M ).
2. Sea p M un punto fijo de la variedad, y sean x1 , ..., xn coordenadas
normales con respecto a p (tales que k ij (p) = 0). De la expresion (3.62)
para los smbolos de Christoffel,
k 1 kl
ij = g gjl + gil gij ,
2 xi xj xl
encontramos que en el punto p,
k ij 2 2 2
1 kl
= g gjl + gil gij .
xs p 2 xi xs xj xs xl xs p
3. Se puede mostrar que las simetras algebraicas (3.85), (3.93) y (3.94) del
tensor de curvatura correspondiente a la conexion de Levi-Civita sobre una
variedad diferenciable (M, g) de dimension n implican que Rklij solamente
posee
n2 (n2 1)
12
componentes independientes. En particular, para n = 2, Rklij esta ente-
ramente determinado por el escalar de Ricci, R := g lj Rlj = g lj Ri lij ,
1
Rklij = (gki gjl gli gjk ) R
2
(ver el ejercicio abajo). Para n = 3 el tensor de curvatura posee 6 grados
de libertades que estan contenidos en el tensor de Ricci, y
1
Rklij = gki Rjl gli Rjk + glj Rik gkj Ril (gki gjl gli gjk ) R.
2
Para n = 4 el numero independientes de componenentes de Rklij es 20.
10 de ellas estan contenidas en el tensor de Ricci.
4. La segunda identidad de Bianchi y las simetras algebraicas del tensor de
curvatura implican la siguiente identidad para el tensor de Ricci:
1
div Ric R = 0. (3.98)
2
Para demostrar esta identidad contraemos la segunda identidad de Bian-
chi,
m Ri jkl + k Ri jlm + l Ri jmk = 0
sobre i = k para obtener
R
G := Ric g.
2
Con esta definicion, las identidades de Bianchi (3.98) contraidas son sim-
plemente
div G = 0. (3.99)
Como vamos a ver en el captulo 5 esta identidad juega un papel funda-
mental para el acople de la gravitacion a la materia.
92 CAPITULO 3. GEOMETRIA DIFERENCIAL
2
(e) Calcule para el caso de la esfera SR con radio R > 0.
(Xp + Yp )[f ] := Xp [f ] + Yp [f ],
(aXp )[f ] := aXp [f ],
con respecto a una carta local (U, ) tal que p U . Entonces consideramos la
derivacion
Yp := Xp Xpi , Xpi := Xp [xi ], i = 1, 2, ..., n,
xi p
El principio de equivalencia
la universalidad de la gravitacion
el principio de equivalencia
95
96 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
du q
m = F u
d c
para calcular el tiempo td necesario para que la partcula se mueva de
x = 0 a x = d.
4.2. LA FORMULACION MATEMATICA DEL PRINCIPIO 97
(b) Considere un mundo (ficticio) donde q/m es una constante universal para
todas las partculas. Use el resultado del inciso (a) para mostrar que en
este mundo vale la universalidad pero no el principio de equivalencia.
El potencial gravitacional.
(i) g (p) = .
g
(ii) x (p) = 0.
g (x ) = + O(x )2 ,
cerca del punto p, donde R son las componentes del tensor de curvatura
con respecto a las coordenadas x .
Para encontrar las leyes de la fsica sobre (M, g) vamos a pedir lo siguiente:
(i) Covarianza general. Nos acordamos de que en la relatividad especial
existen sistemas de referencia preferidos (los sistemas inerciales) que son
conectados a traves de las transformaciones de Poincare. Se requiere que
las leyes de la fsica sean invariantes con respecto a estas transformacio-
nes (covarianza de Lorentz). En la relatividad general no existen sistemas
de referencia preferidos (excepto en casos particulares con simetras). En-
tonces, pedimos que las leyes de la fsica sean invariantes con respecto a
cualquier transformacion de coordenadas.
(ii) Principio de equivalencia. Las leyes de la fsica se reducen a las leyes
correspondientes en relatividad especial en el origen de un sistema inercial
local.
(iii) Aparte de la metrica y de sus derivadas, las leyes de la fsica deben in-
volucrar solamente cantidades que tambien estan presentes en la teora
especial de relatividad.
La propiedad (i) sugiere que las leyes de la fsica se deben describir por ecua-
ciones entre campos tensoriales2 sobre la variedad M . Entonces, una ecuacion
de primer orden tendra la forma
T = J,
...
T ... + . .. T ... ... + ... . .. T ... ... = J ... ... ,
x
donde . .. son los smbolos de Christoffel asociados a . En un sistema inercial
local con respecto a un punto p M esta ecuacion evaluada en el punto p se
reduce a (dado que . .. (p) = 0)
... ...
T ... |p = T ... = J ... ... (p).
x p
T = J,
2 Parasistemas que involucran fermiones tambien se necesitan campos espinoriales. Por
falta de tiempo no consideramos espinores en estas notas.
4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA 99
T = J,
donde T y J son campos tensoriales sobre (M, g). Dado que los smbolos de
Christoffel dependen de la metrica y de sus primeras derivadas, obtenemos un
acople de la materia al campo gravitacional.
donde x es una curva causal que conecta dos eventos e1 y e2 fijos. La generali-
zacion obvia para la relatividad general es el funcional
Ze2 p
S[] = g(, ) d, (4.2)
e1
donde es una curva causal que conecta dos eventos fijos e1 , e2 M del
espacio-tiempo. Notamos que el funcional (4.2) es independiente de la eleccion
del parametro . Fsicamente3 , S/c representa el tiempo propio que necesita un
observador para moverse de e1 a e2 a lo largo de la curva . Para calcular la
3 Para que S tenga las unidades de una accion, podramos multiplicar (4.2) por mc2 donde
g(, ) = 2g(, ),
4 Otra posibilidad para calcular g(, ) es usar una carta local, de tal manera que g(, ) =
g x x , y entonces
g
g(, ) = x x x + 2g x x
x
g g d
= x x x 2 x x + g x x + 2 [g x x ]
x x d
ff
1 g g g
= 2 g x + + x
x x
2 x x x
d
+ 2 [g x x ] .
d
Acordandonos de la expresion (3.62) para los smbolos de Christoffel,
1 g g g
= g + ,
2 x x x
y de la expresion (3.26) para la derivada covariante,
( ) = x + x x ,
obtenemos el mismo resultado
d
g(, ) = 2g( , ) + 2 g(, ).
d
4.3. LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UNA PARTICULA 101
Dado que esta ecuacion se debe cumplir para todas las variaciones (tales que
e1 = e2 = 0), concluimos que la curva crtica debe satisfacer
= 0. (4.3)
Esta es la ecuacion para una geodesica con parametro afn . Concluimos que
las ecuaciones de movimiento para una partcula de prueba en cada libre en
un campo gravitacional estan descritas por las geodesicas causales del espacio-
tiempo M .
Observaciones
1. Con respecto a coordenadas locales, (4.3) tiene la forma
x + x x = 0, (4.4)
x |p = 0,
g = + h , |h | 1,
dx
x + x x = 0, x := . (4.6)
d
Despreciando terminos que son por lo menos cuadraticos en h y v/c, encon-
tramos que
2 2
1 dx 1 dx
1 dt dt
1 = 2 g x x = g = (1 h00 ) ,
c c dt c dt d d
dt 1
= 1 + h00 , (xj ) = v, j = 1, 2, 3.
d 2
Por otro lado, los smbolos de Christoffel en nuestra aproximacion son
1 h h h
= + .
2 x x x
4.4. EL LIMITE NEWTONIANO 103
d2 xk
+ k 00 c2 = 0, k = 1, 2, 3.
dt2
Usando la hipotesis (ii) encontramos que
1 h00 1
k 00 = kj = k h00 .
2 xi 2
Concluimos que
d2 x c2
= h00 .
dt2 2
Esto concuerda con la ley de Newton (1.3) si igualamos la masa inercial con la
masa gravitacional, y si
2
h00 = 2 , (4.7)
c
donde es el potencial gravitacional Newtoniano. En otras palabras, recupera-
mos las ecuaciones de movimiento de Newton bajo las suposiciones (i),(ii) y (iii)
si
2
g00 = 1 + 2 , (4.8)
c
1 k
k 00 = , k = 1, 2, 3. (4.9)
c2
Estas ecuaciones motivan los nombres potencial gravitacional y fuerza gravi-
tacional para g y , respectivamente, aunque insistimos en que fuera del
regimen de validez de la aproximacion Newtoniana los smbolos de Christoffel
no tienen ningun significado fsico.
Ejercicio 14. Verifique la consistencia de la componente temporal de la ecua-
cion (4.6).
La suposicion (i) y la ecuacion (4.7) implican que la aproximacion Newto-
niana es valida si
||
1. (4.10)
c2
Como ejemplo, podemos considerar el valor de /c2 en la superficie de un objeto
esfericamente simetrico de masa M y radio R, por lo cual = GMR :
||/c2 en la superficie
109 de la tierra
106 del sol
104 de una enana blanca
101 de una estrella de neutrones
1 en el horizonte de eventos de un agujero negro
1039 de un proton
104 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Ejercicio 15. Demuestre que la carga total, como esta definida en (4.14), es
independiente de la eleccion del sistema inercial.
Para obtener la generalizacion de las ecuaciones de Maxwell en un fondo
curvo (M, g) dado, aplicamos el metodo descrito en la seccion (4.2). Entonces
elevamos F a las componentes de un campo tensorial del tipo (0, 2) sobre
M , j a las componentes de un campo vectorial sobre M , y reemplazamos las
derivadas parciales por derivadas covariantes en (4.11,4.12). El resultado es
F + F + F = 0, (4.15)
1
F = j , (4.16)
c
donde F = g g F . La forma libre de coordenadas de estas ecuaciones es
X
X F (Y, Z) = 0, (4.17)
(XY Z)
1
div F = j , (4.18)
ce
4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO 105
P
donde denota la suma cclica sobre X, Y y Z, donde div F se refiere a
(XY Z)
la contraccion de F sobre las primeras dos entradas, y donde j := g(j, ) es el
campo de covectores correspondiente a j. e
Ahora el campo electromagnetico esta acoplado al campo gravitacional pues-
to que la metrica aparece en la relacion entre F y F y en los smbolos de
Christoffel asociados a . Sin embargo, un analisis mas detallado revela que la
ecuacion (4.15) no depende de g, puesto que
X X
F = ( F F F )
() ()
X
= ( F F F )
()
X
= F , (4.19)
()
Entonces,
d d d
= tr A(t)1 A(t)
log | det(A(t))| = det(B(t)) .
dt t=s dt t=s dt t=s
106 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
F = F + F + F .
donde hemos definido |g| := | det(g )| y usado el resultado del Lema 12. En-
tonces obtenemos
1 p
F = p |g|F ,
|g|
y podemos reescribir las ecuaciones inhomogeneas (4.16) en la forma
p 1p
|g|F = |g| j . (4.21)
c
Aplicando el operador a ambos lados de la ecuacion y usando la antisimetra
de F , obtenemos la ecuacion de continuidad
p
0 = |g| j . (4.22)
Usando otra vez el resultado del Lema 12 podemos reescribir esto de forma
covariante,
j = 0, (4.23)
o
div j = 0, (4.24)
y obtenemos la generalizacion de (4.13) que esperamos del principio de equiva-
lencia. Para fuentes localizadas sobre una region del espacio-tiempo de la forma
[t1 , t2 ] S, la ecuacion (4.24) implica la conservacion de la carga total
Z
1
Q := j t ,
c
S
4.5. LAS ECUACIONES DE MAXWELL EN UN FONDO CURVO 107
F = A A . (4.25)
F = A A ,
F = A A 6= A A
R( , )A = ( )A, A = A ,
o,
R = ( )A .
Contrayendo sobre = obtenemos
Ric A = A A = A ,
5 Ver el lema de Poincare, por ejemplo en la referencia [10].
108 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
mientras que la ecuacion (4.26) es, por supuesto, invariante bajo las transfor-
maciones de norma.
A = 0, A = 0. (4.30)
Ejercicio 18. Muestre que es posible aplicar una transformacion de norma que
preserva la norma de Lorentz de tal manera que a0 = 0.
El campo electromagnetico correspondiente a (4.31) es
A = aei ,
donde a X (M ) es una amplitud que vara poco sobre distancias del orden L
o R y donde F(M ) es una fase oscilatoria. Definiendo
:= 1,
mn{L, R}
podemos expander
a = a + b + O(2 ),
donde a, b X (M ). Dado que (x) = k x y k ' 1 en relatividad especial,
conviene definir := , de tal manera que nuestro ansatz tenga la forma
1
A = a + b + O(2 ) ei .
(4.34)
Para lo que sigue, suponemos que el campo vectorial a correspondiente a a =
g(a, ) es de tipo espacio y definimos
k := (vector de onda),
1/2
|a| := g(a, a ) >0 (amplitud escalar),
f := a/|a| (vector de polarizacion),
:= div k (expansion).
Con esto, encontramos las siguientes expansiones en coordenadas locales,
i 1
A = k a + (ik b + a ) + O() ei ,
1 1 1
A = 2 k k a + (k k b + 2ik a + ia ) + O(0 ) ei .
4.7. CAMPOS ESTACIONARIOS Y ESTATICOS 111
g(k, k) = 0, g(k, a) = 0.
2k a + a = 0, ig(k, b) + div a = 0.
t g = 0, (4.37)
(k g) = k g + ( k )g + ( k )g = 0,
k g = 0. (4.38)
(t ) g = g,
div j = j = (T k ) = ( T )k T k = 0,
6 En coordenadas locales, u[g(u, k)] = u (u k ) = (u u )k + u u k
= 0,
puesto que u u = u u = 0 y que k es antisimetrico en .
114 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
0 = u u = u u .
x0 := {p U : f (p) = x0 }, x0 R. (4.49)
Observaciones
1. Las superficies x0 de tiempo constante definidas en (4.49) con la metrica
inducida son mutualmente isometricas puesto que (t ) g = g, donde t
denota el flujo de k.
2. Para un espacio-tiempo estacionario podemos definir un observador en
reposo como un observador que se mueve a lo largo de una curva inte-
gral del campo vectorial de Killing de tipo tiempo k. Vamos a ver en la
seccion 4.9 que en general, un observador en reposo puede adquirir una
rotacion si el espacio-tiempo es estacionario pero no estatico.
3. Si el espacio-tiempo es estatico, entonces existe una distincion natural en-
tre el espacio y el tiempo, dado por el sistema de coordenadas del Lema 15.
7 Ver el lema de Poincare, por ejemplo en la referencia [10].
116 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
donde N (x) y gij (x) son definidos positivos. Vamos a suponer que e1 , e2 y la
geodesica nula que conecta e1 y e2 se encuentra dentro de la region U . Con-
sideramos
variaciones del funcional S0 que consisten de curvas que satisfacen
xi e1 ,e2 = 0. De acuerdo al resultado del Lema 13 el producto escalar g(, k),
k = 0 , es constante a lo largo del rayo de luz. Podemos normalizar el parametro
afn de tal manera que g(, k) = 1. Con esto, la ecuacion (4.50) implica que
Ze2
e2 e2
S0 [] = 2 g(, x k)e1 = 2 x0 e1 = 2
0
x0 d.
e1
En particular, si consideramos curvas nulas que satisfacen xi e ,e = 0, enton-
1 2
ces S0 = 0 a lo largo de la variacion y
con la metrica efectiva hij (x) := N (x)1 gij (x), donde p1 y p2 denotan la pro-
yeccion de e1 y e2 sobre .
Esta ecuacion describe el principio de Fermat: La trayectoria seguida por
la luz al propagarse de un punto p1 a otro p2 del espacio es tal que el tiempo
empleado en recorrerla es mnimo.p La comparacion con el principio de Fermat en
la optica revela que el factor 1/ N (x) juega el papel de un ndice de refraccion
en la geometra Riemanniana (, gij dxi dxj ). La ecuacion (4.52) tambien
implica que los rayos de luz en una metrica estatica son geodesicas en el espacio
Riemanniano (, hij dxi dxj ).
1 g(k, u1 )|e1
= . (4.53)
2 g(k, u2 )|e2
118 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Como vamos a ilustrar en los ejemplos que siguen, esta formula representa los
efectos combinados del efecto Doppler (un efecto puramente cinematico) y el
corrimiento al rojo gravitacional.
Ejemplos:
1. Sea (M, g) = (R4 , ) el espacio-tiempo de Minkowski. Entonces las geodesi-
cas nulas son rectas y en este caso k es un vector constante. Suponga-
mos que el receptor se encuentra en reposo, u2 = t , y que el trans-
misor se mueve a una velocidad v constante con respecto al transmisor,
u1 = (t + v ), donde := v/c, := (1 ||2 )1/2 . Con la parame-
trizacion k = c (0 + k ), donde |k| = 1, la formula (4.53) implica que
1
= 1 k . (4.54)
2
Esta es la formula para el efecto Doppler en relatividad especial. En par-
ticular, si y k apuntan en la misma direccion (es decir, el transmisor se
mueve hacia el receptor), entonces
s
1 1 1
=p = ,
2 1 2 1+
donde := || = |v|/c. Si 1, 1 /2 1 |v|/c se reduce a la formula
no-relativista del efecto Doppler.
2. Sea (M, g) un espacio estacionario con campo vectorial de Killing tipo
tiempo T . Supongamos que tanto el transmisor como el receptor son obser-
vadores en reposo, de tal manera que su cuadrivelocidad es u = cN 1/2 T
con N := g(T, T ) > 0. Entonces g(k, u) = cN 1/2 g(k, T ). Pero dado que
k k = 0, el resultado del Lema 13 implica que el producto escalar g(k, T )
es constante a lo largo de los rayos de luz. Entonces la formula (4.53)
implica s
1 N (e2 )
= . (4.55)
2 N (e1 )
Esta formula muestra que dos observadores en reposo perciben frecuen-
cias distintas si el factor N = g(k, k) es diferente en e1 y e2 . Si el cam-
po gravitacional es debil en el sentido que existen coordenadas locales
x0 , x1 , x2 , x3 tales que k = 0 y |g | 1, entonces estamos en el
regimen de validez del lmite Newtoniano, y la ecuacion (4.8) implica que
N = g00 = 1 + 2/c2 con el potencial gravitacional Newtoniano . En
este caso podemos reescribir la ecuacion (4.55) como
1 1
1 + 2 [(e2 ) (e1 )] ,
2 c
o en terminos del factor z de corrimiento al rojo,
2 1 1
z := 2 [(e1 ) (e2 )] . (4.56)
1 c
4.9. SISTEMAS DE REFERENCIA NO-ROTANTES 119
a(t1 )
z= 1. (4.57)
a(t2 )
donde a := u u.
(i) IFu u = 0.
(ii) IFu = u si a = 0.
IFu X = 0. (4.59)
Observaciones:
ej u = B i j e i , (4.63)
u[Y i ] = (i j + i j )Y j , (4.64)
122 CAPITULO 4. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
ij = 0,
ij cN 1/2 (k )(ei , ej ).
=
e
Entonces para observadores estacionarios en un espacio-tiempo estacionario, el
tensor de deformacion es cero, lo que implica que el producto escalar entre dos
vectores de desviacion es constante a lo largo de sus trayectorias. Sin embargo,
los vectores de desviacion pueden girar en el sistema de referencia no-rotante si
el espacio-tiempo es estacionario pero no estatico:
g (p) = , (5.1)
g (p) = 0. (5.2)
125
126 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
x0 (q) := c, (5.3)
j j
x (q) := sn , j = 1, 2, 3. (5.4)
g (p) = gp (e , e ) = ,
para todo p . Ademas, usando 0 = IFu e = u e +c1 g(e0 , e )ac1 g(a, e )e0
y
(u e ) |p = e |p + u e |p = c 0 (p)
para p encontramos tambien
1 k
0 00 (p) = 0, k 00 (p) = a p,
c2
1
0 0j (p) = aj |p , k 0j (p) = 0,
c2
para todo p . Finalmente, porque para cada y n fijos, (s; n, ) es una
geodesica con parametro afn s, parametrizada por las coordenadas (x (s)) =
(c, snj ) tenemos
2
dx dx
d x
0= + , = ij (p)ni nj ,
ds2 ds ds p
5.1. LA INTERPRETACION FISICA DE LA CURVATURA 127
encontramos que todas las derivadas parciales de primer orden de g son cero
sobre con la excepcion de k g00 (p) = 2c2 ak (p). Concluimos que en las
coordenadas locales (5.3,5.4) la cuadrivelocidad es
u= = c 0,
x
y la metrica tiene la siguiente forma simple
2 k
g = 1 + 2 ak ( )x dx0 dx0 + ij dxi dxj + O(|x|2 ) dx dx , (5.5)
c
xi = ( i )(x).
Y i = ( i j )(x)Y j , (5.10)
Ze2 p
S[] = g(, ) d, (5.13)
e1
Ejercicio 22. Sea (U, ) una carta local del espacio-tiempo donde vale el lmite
Newtoniano. Usando la expresion (4.8), demuestre que en U vale la siguiente
expresion para el tensor de curvatura:
Ri 0j0 = i j .
c2
R[g] = (g R ) = g R + (g )R . (5.17)
g g =
da
(g )g + g g = 0,
de tal manera que
(g ) = g g g . (5.18)
Para calcular el primer termino en (5.17) calculamos las variaciones de las for-
mulas (3.62) y (3.83) y obtenemos
1
= g ( g + g g ) (5.19)
2
5.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN EN VACIO 131
y
R = . (5.20)
Usando todo esto en la ecuacion (5.17) obtenemos
1
G := R g R. (5.23)
2
Entonces concluimos que los puntos estacionarios de la accion de Einstein-
Hilbert corresponden a las ecuaciones de campo de Einstein en el vaco,
G = 0. (5.24)
Observaciones
x x
g =
y y
tambien satisface las ecuaciones de Einstein, dado que G son las compo-
nentes de un campo tensorial, pero esta nueva solucion solamente repre-
senta la metrica de Minkowski en una carta de coordenadas y 0 , y 1 , y 2 , y 3
curvilineas. Una solucion no-trivial de las ecuaciones de Einstein en el
vaco se derivara en el proximo captulo.
132 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
c3
Z
d
0= SEH [g()] = Tr(Gg),
d =0 16GN
K
donde
d
g = ( ) g = X g,
d =0
Tr(Gg) = 2G X = 2 (G X ) 2( G )X ,
div G = 0. (5.25)
Ejercicio 23.
(a) Sea (M, g) una variedad Lorentziana con dos conexiones, y libres de
torsion pero no necesariamente compatibles con la metrica g. Demuestre
que C(X, Y ) := X Y X Y , X, Y X (M ) define un campo tensorial del
tipo (1, 2) sobre M . Calcule sus componentes en terminos de los smbolos
de Christoffel asociados a y .
5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA 133
estan relacio-
(b) Demuestre que los tensores de curvatura asociados a y
nados entre ellos a traves de
[ C ] + 2C [ C ] ,
R = R + 2
c3
Z
S[g, ] = Tr(g 1 Ric[]),
16G K
LM = LM (, , ).
en este curso.
2 El factor de 1/c en la definicion de S 00 del
M se pone para que LM y las componentes
tensor de energa-impulso tengan las unidades de una densidad de energa.
134 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
:= + LM , = 0,
Ejemplos:
V
= F (), F () := (),
se obtiene del Lagrangiano
1
Lescalar (, ) = V ().
2
El tensor de energa-impulso canonico es
1
escalar = [ + 2V ()] .
2
1
Lem ( A ) = F F , F = A A .
4
El momento canonico es
Lem 1 F
em = = F = F
( A ) 2 ( A )
1
em = F A F F .
4
5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA 135
LM = LM (, , g), (5.27)
Por otro lado, vimos en la ecuacion (5.19) que la variacion de los smbolos
de Christoffel forman las componentes de un campo tensorial que se puede
escribir en terminos de las primeras derivadas covariantes de la variacion de
la metrica, g. Aplicando el teorema de Gauss, y asumiendo que g|K = 0
podemos factorizar la variacion de g, y podemos escribir la variacon de SM con
respecto a g en la forma
Z Z
1 1
g SM = Tr(T g) = T g , (5.30)
2c 2c
K K
Observaciones:
1. A diferencia del tensor de energa-impulso canonico , T = T es
simetrico por definicion.
2. Se puede mostrar que en relatividad especial siempre es posible sumar un
termino a para obtener un nuevo tensor simetrico con el mismo
contenido fsico que . Este tensor coincide precisamente con el tensor
T definido en (5.31) en el lmite donde g = es la metrica de
Minkowski, ver la referencia [12].
3. Podemos usar el mismo tipo de argumentos que en la seccion previa para
demostrar que las ecuaciones de Euler-Lagrange y la invarianza de SM
bajo difeomorfismos implican que
div T = 0. (5.32)
SM [(), g()] = SM [, g]
0 = SM = SM + g SM .
5.3. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN CON MATERIA 137
y obtenemos
1
Tescalar = g [ + 2V ()] .
2
En el caso particular de un fondo de Minkowski, esto coincide precisamente
con el tensor de energa-impulso canonico.
y
Z
1 1
g Sem = (g g g + g g g )F F g F F g
4c 2
K
Z
1 1
= F F g F F g .
2c 4
K
1
Tem = F F g F F .
4
A diferencia de la expresion correspondiente para el tensor de energa-
impulso canonico, Tem es simetrico e invariante bajo transformaciones de
norma A 7 A + .
0 = S = S + g S,
8GN
G = T . (5.34)
c4
Entonces la materia determina la curvatura del espacio tiempo a traves de las
ecuaciones de Einstein. Por otro lado, la curvatura de la metrica afecta los cam-
pos materiales a traves de las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.29) covariantes.
Este acople en ambas direcciones entre la metrica y los campos materiales hace
que sea difcil encontrar soluciones del sistema total, pues hay que resolver el
sistema acoplado (5.29,5.34).
Notamos tambien que las propiedades del tensor de energa-impulso T son
compatibles con las propiedades correspondientes del tensor de Einstein. Pri-
mero, T es simetrico en , segundo, su divergencia covariante es cero si se
satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange, lo que encaja perfectamente con la
simetra de G y las identidades de Bianchi contraidas (5.25).
5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS 139
y = {(t, y + tv) : t R}
y su cuadrivelocidad es
1
u= q (t + v ) .
|v|2
1 c2
H := F m. (5.37)
u n = nH ab H(ea , eb u) = ndiv u,
o div (nu) = 0.
142 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
:= {t (p) : 0 t , p S},
1
= u, tangente a St , j = 1, 2, 3,
x0 c xj
tenemos dt(J) = ndt(u) = n y entonces
Z q
N (S) = n(1 (x)) det(g )(1 (x))d3 x,
(S)
donde Hij = H xi , xj , i, j = 1, 2, 3.
5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS 143
e = A + B i i .
x0 x
Dado que e0 = u/c tenemos A0 = 1 y B0 i = 0. Puesto que H es ortogonal a u
tenemos
Hab = H(ea , eb ) = Ba i Bb j Hij ,
de tal manera que det(Hab ) = det(Hij )| det(Ba i )|2 . Por otro lado,
g = e e ,
Finalmente, podemos reescribir esta integral como una integral sobre la region
V := F (S) en . Para esto, expandemos la diferencial de F en terminos de las
coordenadas locales Lagrangianas x de M y de coordenadas locales y a de ,
F a
dF (X) = X , X = X .
x y a x
Entonces
F a F b
Hij = H , = m dF , dF = mab ,
xi xj x i x i xi xj
para i, j = 1, 2, 3, y
a
F
q p
det(Hij ) = det(mab ) det
.
xi
n
(iii) g = n2 h , donde h := ab ea eb = g + 1
c2 u u .
Demostracion. Usando otra vez el resultado del Lema 12, calculamos la va-
riacion de n2 = det(Hab ) con respecto a F y g:
de donde
n ab
n = H Hab . (5.39)
2
c d
Luego, Hab = H(ea , eb ) = m(dF (ea ), dF (eb )) = mcd F F
x x ea eb , lo que im-
plica
c
F d F c F d
F
n = nH ab mcd e a e b + m cd (ea
)e b
x x x x
c
F F d
= nmcd
H + nH ab H (ea )eb .
x x
5.4. FLUIDOS RELATIVISTAS 145
LM 1 1
= + = (p + n)
n n v n
y la definicion del tensor de energa-impuslo T ,
Z Z
T g = 2cg SM = (2g LM + LM g g )
K K
Z
= [(p + n)h ng ] g
K
y obtenemos
LM F d
c = , c = (p + n)H mcd (5.40)
F c x
8GN n
G = T , T = u u + ph . (5.41)
c4 c2
Estas son las ecuaciones acopladas para los campos F y g, dada una ecuacion de
estado = (F, v), v = 1/n. En la practica, conviene reescribir las ecuaciones de
Euler-Lagrange (5.40) de otra forma. Como demostramos en la seccion anterior,
estas ecuaciones implican que el tensor de energa-impulso tiene divergencia cero.
Como vamos a demostrar ahora, la ecuacion T = 0 es, de hecho, equivalente
a las ecuaciones de movimiento (5.40). Para ver esto, notamos primero que la
generalizacion a la relatividad general de la expresion del tensor de energa-
impulso canonico es
= c F c + g LM .
146 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
g = + h , |h | 1,
N
p= =
v v
es mucho mas pequena que la densidad de energa = n. Usando esto con
(u /c) = (1, v/c) y |v| c encontramos que T00 nm0 c2 = 0 c2 , donde
0 = nm0 describe la densidad de masa de reposo, y Tj 0 en la aproximacion
Newtoniana, lo que justifica la suposicion (iii).
Ahora calculamos las componentes del tensor de Ricci bajo las suposiciones
(i) y (ii),
R = + O(2 ),
donde
1
= [ h + h h ] + O(h2 ).
2
Despreciando terminos que son por lo menos cuadraticos en h y v/c y usando
la hipotesis (ii) encontramos, en particular, que
1
R00 = k k 00 , k 00 = k h00 .
2
148 CAPITULO 5. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
= 4GN 0 , (5.48)
0 + (0 v) = 0, (5.49)
0 [v + ( v)v] = p 0 . (5.50)
La solucion de
Schwarzschild
151
152 CAPITULO 6. LA SOLUCION DE SCHWARZSCHILD
Captulo 7
Campos gravitacionales
debiles
153
154 CAPITULO 7. CAMPOS GRAVITACIONALES DEBILES
Captulo 8
Los universos de
Friedmann-Lematre
155
156 CAPITULO 8. LOS UNIVERSOS DE FRIEDMANN-LEMAITRE
Bibliografa
[2] R.M. Wald. General Relativity. The University of Chicago Press, Chicago,
London, 1984.
[3] C.W. Misner, K.S. Thorne, and J.A. Wheeler. Gravitation. W. H. Freeman,
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157