2016 1 Ma3801

PROGRAMA DE CURSO
Código Nombre
MA3801 Análisis
Nombre en Inglés
General Topology
Unidades Horas de
Horas Docencia Horas de Trabajo
SCT
Docentes AuxiliarCátedra Personal
7.5 15 4.5 2.0 8.5
Requisitos Carácter del Curso
MA2002 Cálculo Avanzado y Aplicaciones Obligatorio (Licenciatura Ing. Mat.)
Resultados de Aprendizaje
El alumno comprende los elementos básicos de la topología de los espacios métricos, la

topología general y los espacios de Banach.
Metodología Docente Evaluación General

3 controles y un examen final¹
Resumen de Unidades Temáticas
Número Nombre de la Unidad Duración en

Semanas
1 Axioma de Elección, Cardinales, Ordinales 1.5
2 Espacios Métricos 5.5
3 Espacios Topológicos 5
4 Espacios Vectoriales Topológicos, Espacios de Banach 3
TOTAL 15.0
1 Según el artículo 35 del reglamento de estudios FCFM, el profesor tiene la facultad de realizar un examen oral a un estudiante. Esta instancia
podrá darse, por ejemplo, cuando el alumno presente inasistencias reiteradas a los controles. De ser examinado en ambas formas (escrita y oral),
recibirá calificaciones parciales separadas, las que se promediarán aritméticamente para dar la calificación del examen.
Unidades Temáticas
Número Nombre de la Unidad Duración en Semanas

1 Preliminares 1.5
Resultados de Aprendizajes de la Referencias a
Contenidos
Unidad la Bibliografía
6, 16.
1.1. Teoría de conjuntos. Relaciones (1, 3-7, 16.)
de equivalencia y de orden, Principio
de Inducción. Teorema Schröder-
Bernstein. Cardinalidad.
1.2. Relación de orden. Buena

ordenación. Axioma de elección,
lema de Zorn, equivalencias.
1.3. Aritmética de Cardinales
1.4. Ordinales

2 Espacios Métricos 5.5
Contenidos
3.1. Distancia y topología de un 7-8, 10, 13, 15.

espacio métrico. Convergencia de
sucesiones, puntos de acumulación,
Índice Cantor-Bendixson
3.2. Densidad y separabilidad,

subespacios métricos. Funciones
continuas, uniformemente continuas
y Lipschitz continuas. Puntos de
continuidad, conjuntos G_d.
3.3. Sucesiones de Cauchy y espacios

completos. Teorema de intersección
de Cantor, Teorema de categoría de
Baire. Teorema del punto fijo de
Banach y aplicaciones. Principio
Variacional de Ekeland.
3.5. Equivalencia de distancias,

espacio producto, extensiones
continuas, Teorema de Mazurkiewicz.
3.6. Completación de un espacio
métrico
3.7. Compacidad en espacios

métricos. Número de Labesgue.
Teorema fundamental de los espacios
métricos compactos. Teorema de
Tychonoff (versión métrica), Teorema
de Dini, Teorema de Ascoli-Arzelá y
aplicaciones.
Teorema de Stone-Weierstrass.
3.8. El conjunto de Cantor.

Construcción y propiedades. El
conjunto de Cantor como objeto
universal.

3 Espacios Topológicos
Contenidos
3.1. Topología, axiomas de 5,9,11,12,17.

separación. Ejemplos. Topología
inicial y final. Compacidad, propiedad
Lindelöf.
3.2. Base de topología, espacios

primer-contables, convergencia de
sucesiones. Espacios 2ndo-contables.
3.3. Topología producto, sub-bases,

lema de Alexander. Teorema de
Tychonoff (versión topológica).
3.4. Espacios localmente compactos y

compactificación de Alexandroff.
3.5. Lema de Urysohn, teorema de

extensión de Tietze, caracterización
de cerrados, G_d. Particiones de
unidad y embebimiento de variedades
topológicas.
3.6. Teorema de metrización de

Urysohn. Compactificación Stone-
Cech.
3.7. Convergencia de redes y de
filtros. Caracterización de compacidad
mediante ultrafiltros.
Compactificación Stone-Cech de N.
3.8. Topología de orden, compacidad

numerable y compacidad secuencial.
Contra-ejemplos. Lema de Fodor.
Espacios Dieudonné-Morse y
Tychonoff.
3.9. Espacios conexos y conexos por

caminos. Topología cociente.
3.10. Homotopía. Grupo fundamental,

espacios simplemente conexos.
Espacios de recubrimiento,
levantamento de caminos. Cálculo
del grupo fundamental. Teorema de
Seifert-van Kampen. Grupos de
homotopía de orden superior.
Número Nombre de la Unidad Duración en

Semanas
4 Espacios vectoriales topológicos – Espacios de Banach 3
Contenidos
4.1. Definiciones y propiedades 2,4,14.

básicas. Funcional de Minkowski.
Semi-normas. Metrizabilidad.
Espacios Fréchet.
4.2. Teorema de Hahn-Banach (forma

analítica y forma geométrica).
Aplicaciones.
4.3. Espacios de Banach, espacios

duales, espacios reflexivos, ejemplos.
Aplicaciones del teorema de Baire:
Principio de acotación uniforme
(Banach-Steinhauss), Teorema de
aplicación abierta, Teorema de grafo
cerrado.
4.4. Topologías débiles, Teorema de

Mazur, Teorema de Krein-Milman,
Teorema de Alaoglou. Universalidad
isométrica de $\ell^{\infty}$ y de
$C([0,1]$ de los espacios de Banach
separables.
4.5. Espacio cociente, espacio

producto, limite proyectivo.
Bibliografía
1. Ash, R., Real Analysis and Probability, Academic Press, (1972).

2. Brezis, H., Analyse Fonctionnelle. Théorie et Applications, Masson (1983).
3. Choquet, G., Cours d'Analyse. Topologie, Masson (1964).
4. Dieudonne, J., Fondaments de l'Analyse Moderne, Gauthiers-Villars, (1963).
5. Dugundji, J., Topology, C. Brown (1966).
6. Halmos, P., Measure Theory, Van Nostrand (1963).
7. Hewitt, E. & Stromberg, K., Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag (1965).
8. Gelbaum, B. & Olmsted, J., Counterexamples in Analysis, Dover (1964).
9. Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand (1955).
10. Kolmogorov, A. & Fomin, S., Introductory Real Analysis, Prentice Hall (1970).
11. Kosniowski, C., Topología Albegraica, Editorial Reverté, (1986).
12. Munkres, J., Topology (2nd Edition), Prentice Hall, (2000).
13. Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw Hill (1965).
14. Rudin, W., Functional Analysis, Mc Graw Hill (1971).
15. Simmons, G., Introduction to Topology and Modern Analysis, Mc.Graw-Hill (1963).
16. Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Dover, (1960).
17. Steen, L. & Seebach, J., Counterexamples in Topology, Dover, (1970).
Vigencia desde: 2014

Elaborado por: Ex MA38B Programa 2002 en adelante
Revisado por: 2016: Aris Daniilidis (Jefe Docente)

2016 1 Ma3801

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PROGRAMA DE CURSO

El alumno comprende los elementos básicos de la topología de los espacios métricos, la

Metodología Docente Evaluación General

Resumen de Unidades Temáticas

Número Nombre de la Unidad Duración en

Número Nombre de la Unidad Duración en Semanas

1.2. Relación de orden. Buena

1.3. Aritmética de Cardinales

Número Nombre de la Unidad Duración en Semanas

3.1. Distancia y topología de un 7-8, 10, 13, 15.

3.2. Densidad y separabilidad,

3.3. Sucesiones de Cauchy y espacios

3.5. Equivalencia de distancias,

3.7. Compacidad en espacios

3.8. El conjunto de Cantor.

Número Nombre de la Unidad Duración en Semanas

3.1. Topología, axiomas de 5,9,11,12,17.

3.2. Base de topología, espacios

3.3. Topología producto, sub-bases,

3.4. Espacios localmente compactos y

3.5. Lema de Urysohn, teorema de

3.6. Teorema de metrización de

3.8. Topología de orden, compacidad

3.9. Espacios conexos y conexos por

3.10. Homotopía. Grupo fundamental,

Número Nombre de la Unidad Duración en

4.1. Definiciones y propiedades 2,4,14.

4.2. Teorema de Hahn-Banach (forma

4.3. Espacios de Banach, espacios

4.4. Topologías débiles, Teorema de

4.5. Espacio cociente, espacio

1. Ash, R., Real Analysis and Probability, Academic Press, (1972).

Vigencia desde: 2014

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