Macroeconomía II – Ingeniería Comercial 2019

Guía de Problemas 2: Modelo de Solow

Profesor: Marcelo Olivares A. Ayudante: Javiera López M., Jimena Ceballos V.

Comente. (Utilice apoyo gráfico de ser necesario)

1. En el modelo de Solow, el crecimiento de la población provoca un crecimiento de la producción total, pero no de
la producción por trabajador. ¿Cree usted que seria así si la función de producción mostrara rendimientos de
escala crecientes o decrecientes? Justifique su respuesta.

2. Analice gráficamente en base al modelo de Solow los efectos de las siguientes situaciones:
a. Disminución de la tasa de ahorro.
b. Aumento de la tasa de crecimiento poblacional.
c. Destrucción importante del capital de la eocnomía producto de un terremoto y tsunami.
3. Las predicciones del modelo de crecimiento de Solow nos permiten ser optimistas respecto a las expectativas de
los países más pobres de alcanzar estándares de vida propios de los países ricos en el largo plazo. ¿Qué elemento
en el modelo de crecimiento de Solow explicaría este resultado?
4. Considere el modelo de Solow sin cambio tecnológico. Suponga la economía se encuentra en su estado
estacionario. Analice los efectos de un aumento único de la fuerza laboral (de L a L’, con L < L’). Grafique según el
modelo y además, grafique la evolución en el tiempo de 𝑦, 𝑌, 𝑘 𝑦 𝐾 .
5. Una alta tasa de crecimiento podría ser explicada por una alta tasa de acumulación de capital y/o una alta tasa de
progreso técnico. ¿Es importante la fuente de este crecimiento para evaluar las perspectivas de crecimiento futuro
de la economía?
6. En base al modelo de Solow, explique en detalle los efectos de un aumento de la tasa de consumo. ¿Qué pasa con
𝑌, 𝑦, 𝑘, y la tasa de crecimiento de la producción per cápita. Gráfique

Desarrollo. Modelo de Solow I

1. En Gualliguaica, una economía con retornos constantes a escala, la participación del trabajo en la economía es de
75%, la tasa de depreciación es del 5% del stock del capital. La población crece a una tasa del 2%, mientras que se
estima que la productividad total de los factores aumenta un 0,25% cada año. Por otra parte, la formación bruta
de capital fijo aumenta un 15% por año. ¿Cuánto crece anualmente esta economía?
2. La producción de la economía de Guayacán está definida por 𝑌 = 𝑇𝐾 ).+ 𝐿).- . El PIB de dicha economía durante el
año 2010 fue de G$5.500.000, mientras que el último año 2017 su producción alcanzó los G$8.200.000. Además,
durante dicho periodo la población creció un 20%, mientras que el capital un 40%.
a. ¿Cuánto creció la economía de Guayacán (%) entre el 2010 y 2017? (5pts.)
b. ¿Cuánto creció en promedio cada año durante el período? (5pts.)
c. ¿Cuál fue el crecimiento de la productividad total de factores durante el período 2010-2017? (7pts.)
3. (Mankiw) Los países A y B tienen ambos la función de producción:
𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾1/3 𝐿1/3
a. ¿Tiene esta función de producción rendimientos constantes de escala? Demuestre.
 b. ¿Cuál es la función de producción por trabajador, 𝑦 = 𝑓(𝑘)?
c. Suponga que en ninguno de los países hay crecimiento demográfico o progreso tecnológico y que todos
los años se deprecia un 5% del capital. Suponga además, que el país A ahorra el 10% de la producción
todos los años y el B el 20%. Utilizando su respuesta a la pregunta b) y la condición del estado estacionario,
halle el nivel de capital por trabajador del estado estacionario correspondiente a cada país y, a
continuación, los niveles de renta por trabajador y de consumo por trabajador del estado estacionario.
d. Suponga que ambos países comienzan teniendo un stock de capital por trabajador de 2. ¿Cuáles son los
niveles de renta y consumo por trabajador? Recordando la definición de la variación del stock de capital,
calcule cómo evolucionará el stock de capital por trabajador con el paso del tiempo en los dos países.
Calcule la renta por trabajador y el consumo por trabajador correspondientes a cada año. ¿Cuántos años
tardará el consumo del país B en ser mayor que el del A?
4. Considere una economía caracterizada por la siguiente función de producción 𝑓(𝐾, 𝐿) = 𝑇𝐾 ),- 𝐿),+ , y los
supuestos relativos al modelo de Solow
a. Realice la descomposición de Solow
b. Si en dicha economía la población creció un 3%, el capital se expandió en un 12% y la producción en un
6%, ¿Cuánto creció la productividad total de los factores?

Desarrollo. Modelo de Solow II

1. Considere la versión del modelo de Solow sin cambio tecnológico. Encuentre la tasa de ahorro que maximiza el
56 ∗
nivel de consumo del estado estacionario (regla dorada), es decir, = 0. Recuerde que 𝑐 ∗ = 𝑓(𝑘 ∗ ) − (𝑛 + 𝛿)𝑘 ∗ .
58

2. Considere el modelo de Solow con una función de producción Cobb Douglas para la cual a = 0,2; s = 0,4; d=
0,05 ; y n = 0,02
a. Derive la función de producción per cápita
b. Defina y describa la ecuación que define la variación del nivel de capital per cápita.
c. Encuentre los valores del nivel de capital y producción per cápita del estado estacionario
d. Grafique
3. La economía de Canadá y Noruega tienen ambos la siguiente función de producción:
3 1
𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) = 𝐾 ? 𝐿?
a. Demuestre que dicha función tiene rendimientos constantes a escala. Explique en palabras que significa
esta propiedad de la función de producción.
b. ¿Qué factor productivo (su cambio) generara un efecto mayor sobre el crecimiento de estas economías?
Justifique brevemente su respuesta
c. Defina la ecuación de acumulación de capital per cápita, considerando que cada economía tiene una tasa
de crecimiento poblacional igual a 𝑛 y una tasa de depreciación igual a 𝛿.
d. Si la tasa de ahorro de Italia es igual a 0,7, la de España es igual a 0,6 y la suma de las tasas de crecimiento
poblacional y depreciación es igual a 0,07 en ambos casos. ¿Dónde preferiría usted residir? Justifique su
respuesta.

4. (En base a Mankiw) Considere la influencia del paro en el modelo de crecimiento de Solow. Suponga que se
produce de acuerdo con la función de producción 𝑌 = 𝐾 @ [(1 − 𝜇)𝐿] (1E@) , donde K es el capital, L es la
población activa y u es la tasa natural de desempleo. La tasa de ahorro nacional es s, la población activa crece a
la tasa n y el capital se deprecia a la tasa d.
 a. Exprese la producción por trabajador (y = Y/L) en función del capital por trabajador (k = K/L) y de la tasa
natural de paro. Describa el estado estacionario de esta economía. 

b. Encuentre el nivel de capital per cápita del estado estacionario asociado a esta economía. ¿Corresponde
este a un nivel de capital per cápita mayor o menor que el caso con empleo total?
c. Encuentre el nivel de capital per cápita de la regla de oro.

Desarrollo. Modelo de Solow III

5. Suponga una economía caracterizada por la función de producción 𝑌 = 𝐾 ).F (𝐴𝐿)).F , además, asuma que n=0.05,
g=0.07, δ=0.03 y que la tasa de ahorro es constante e igual a 0.2.
a. Derive la función de producto por unidad efectiva de trabajo como función del capital por unidad efectiva
de trabajo.
b. Encuentre los valores del estado estacionario de 𝑘H e 𝑦I
c. ¿Cuáles son las tasas de crecimiento de 𝑘H, 𝑦,
J 𝑘, 𝑦 en el estado estacionario?

6. La economía de República Dominicana está caracterizada por una función de producción 𝑌 = 𝐾 ?/F (𝐴𝐿)3/F .
Además, la población crece a una tasa del 3%, el capital se deprecia un 2% anual, y las inversiones realizadas en
educación y equipamiento tecnológico garantizarán un ritmo de progreso técnico equivalente al doble de la
depreciación del capital. Considerando que el nivel de ahorro de la economía es igual al 40%:
a. Derive la función de producción por unidad efectiva de trabajo como función del capital por unidad
efectiva de trabajo.
b. Encuentre los valores de 𝑘H y 𝑦I del estado estacionario. Grafique.
7. Una economía descrita por el modelo de Solow con progreso técnico posee la siguiente función de producción
𝑦 = √𝑘 , donde 𝑦 = 𝐾/𝐴𝐿 mientras que 𝑘 = 𝐾/𝐴𝐿
a. Encuentre el valor de 𝑦 del estado estacionario como función de los parámetros 𝑠, 𝑔, 𝑛 y δ
b. Un país desarrollado tiene una tasa de ahorro de un 28% y un crecimiento de su población del 1% anual.
Por otro lado, un país en vías de desarrollo posee una tasa de ahorro de 10% y un crecimiento poblacional
de 4% por año. En ambos países, g=0.02 y δ=0.04. Encuentre el producto por unidad efectiva de trabajo
del estado estacionario para cada país.
c. ¿Qué políticas podría el país menos desarrollado realizar a fin de incrementar sus niveles de ingresos?
8. La economía de la república independiente de Guayacán es caracterizada por una función de producción dada por
𝑌 = 𝐾 ).- 𝐴𝐿).+ . Además, históricamente ha presentado una tasa de crecimiento de su población igual a un 4%
anual, lo que hace suponer que dicha variable seguirá igual comportamiento en el futuro. Por otro lado, las
inversiones realizadas en educación y equipamiento tecnológico garantizarán un progreso técnico perpetuo de un
3% de la fuerza laboral, mientras que la tasa de depreciación del capital para esta economía se ha estimado en un
5%. Si la proporción que la población de guayacán destina a consumo es igual a un 70% de su renta:
a. Derive formalmente y luego calcule el capital y producto por unidad efectiva de trabajo del estado
estacionario. ¿qué significan estos valores? Grafique.
b. Suponga que el Sr. Julio Jurel, uno de los políticos de Guayacán, señala que la tasa de consumo de la
economía es demasiado baja, por lo que propone aumentarla. Analice, en base al modelo de Solow, cuáles
serían los efectos sobre el nivel de capital por unidad efectiva de trabajo que implicaría dicha política.
Grafique.
c. Otro político guayacanino, la Sra. Jibia Cáceres, está en completo desacuerdo con la política propuesta
por Jurel, señalando que un aumento permanente de la propensión a consumir provocaría una
 disminución en los niveles de producto por unidad efectiva de trabajo y de su tasa de crecimiento, tanto
en el corto como en el largo plazo. ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? ¿por qué?
d. Dada la situación inicial, ¿Cuáles son las tasas de crecimiento en el estado estacionario del producto per
cápita, el stock de capital, la producción total y el capital por unidad efectiva de trabajo de la economía
de Guayacán?
9. Considere el modelo de Solow con progreso técnico. Suponga la existencia de dos países, A y B, con igual
tecnología y función de producción dada por 𝑌 = 𝐾 @ (𝐴𝐿)1E@ . La única diferencia es que la tasa de ahorro de
ambas economías difieren (𝑠1 = 0.05 , 𝑠3 = 0.2). Asumiendo un valor de α=0.3, ¿Cuánta es la diferencia entre el
ingreso per cápita de A y B en el estado estacionario? ¿Cómo cambia su respuesta si α=0.8?
10. La Economía de Elqui esta caracterizada por una función de producción 𝑌 = 𝐾 +/P 𝐴𝐿?/P . Además, la población
crece a una tasa del 2,7%, el capital se deprecia un 2% anual, y las inversiones realizada en educación y
equipamiento tecnológico garantizaran un ritmo de progreso tecno equivalente a la mitad de la depreciación del
cápita. Considerando que el nivel de ahorro de la economía es igual al 28%.
a. Encuentre la función de producción por unidad efectiva de trabajo como función del capital por unidad
de efectiva de trabajo.
b. Defina la ecuación de acumulación del capital por unidad efectiva de trabajo de esta economía.
c. Encuentre 𝑘H, 𝑦I, 𝑐̂ del estado estacionario. Grafique indicando valores y funciones
d. Si la tasa de ahorro aumenta al 35%, ¿Qué esperaría ocurriera con la tasa de crecimiento de la producción
per cápita del Elqui en el mediano y largo plazo? Explique.