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    Triángulos Semejantes-Teorema de Pitágoras

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    Los tres criterios para que dos triángulos sean semejantes son: 1) que tengan dos ángulos congruentes, 2) que tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos congruente, o 3) que tengan los tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, también son semejantes si cumplen con tener un ángulo agudo congruente, catetos proporcionales, o hipotenusa y cateto proporcionales. El teorema de Pitágoras establece que en un tri

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    Triángulos Semejantes-Teorema de Pitágoras

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    Los tres criterios para que dos triángulos sean semejantes son: 1) que tengan dos ángulos congruentes, 2) que tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos congruente, o 3) que tengan los tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, también son semejantes si cumplen con tener un ángulo agudo congruente, catetos proporcionales, o hipotenusa y cateto proporcionales. El teorema de Pitágoras establece que en un tri

    Descripción original:

    teorema de pitágoras

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    Los tres criterios para que dos triángulos sean semejantes son: 1) que tengan dos ángulos congruentes, 2) que tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos congruente, o 3) que tengan los tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, también son semejantes si cumplen con tener un ángulo agudo congruente, catetos proporcionales, o hipotenusa y cateto proporcionales. El teorema de Pitágoras establece que en un tri

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    Triángulos Semejantes-Teorema de Pitágoras

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    Los tres criterios para que dos triángulos sean semejantes son: 1) que tengan dos ángulos congruentes, 2) que tengan dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos congruente, o 3) que tengan los tres lados proporcionales. Para triángulos rectángulos, también son semejantes si cumplen con tener un ángulo agudo congruente, catetos proporcionales, o hipotenusa y cateto proporcionales. El teorema de Pitágoras establece que en un tri

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    Triángulos Semejantes

    Dos triángulos son semejantes, cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados
    homólogos respectivamente proporcionales.

    Criterios de semejanza de triángulos

    1- Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente congruentes.
    2- Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo
    comprendido entre ellos congruente, son semejantes.
    3- Si dos triángulos tienen sus 3 lados respectivamente proporcionales, entonces son
    semejantes.

    Criterios de semejanza de triángulos rectángulos

    1- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo respectivamente


    congruente.
    2- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos respectivamente
    proporcionales.
    3- Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto
    respectivamente proporcionales.

    Proyecciones: Se dice que el punto A´ es la proyección del punto A sobre la recta r, si el


    segmento AA´ es perpendicular a la recta r.

    Teorema: Si en un triángulo rectángulo, se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se


    verifica:

    1) Quedan determinados dos triángulos semejantes y a su vez cada uno de ellos es semejante al
    original.

    2) La altura correspondiente a la hipotenusa es Medio Proporcional entre las proyecciones de los


    catetos sobre ella.

    3) La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarto proporcional, entre la hipotenusa y los


    catetos.

    4) Cada cateto es medio proporcional, entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.


    Teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo se verifica que, el cuadrado de la
    longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
    B
    c´ a
    D
    c
    b´

    A C
    b

    Hipótesis:

    - Se tiene un triángulo ABC


    - El ángulo A es de 90°
    - El segmento AD es la altura correspondiente a la hipotenusa BC
    - La proyección de b sobre a es b´
    - La proyección de c sobre a es c´

    Tesis: llamando “a” a la hipotenusa BC, “b” al cateto AC y “c” al cateto AB, se tiene que “a” elevado
    al cuadrado es igual a la suma de b elevado al cuadrado y c elevado al cuadrado (a2 = b2 + c2)

    Demostración:

    Considerando el ítem 4 del teorema anterior: Cada cateto es medio proporcional, entre la
    hipotenusa y su proyección sobre ella. Se tiene que la siguiente proporción:

    1- a es a b como b es a b´

    Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones tenemos que: ab´ = b2

    2- a es a c como c es a c´

    Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones tenemos que: ac´ = c2

    Sumando miembro a miembro las igualdades obtenidas queda: ab´+ ac´ = b2 + c2

    Extrayendo factor común a, en el primer miembro: a(b´+c´) = b2 + c2

    Como b´+c´ = a, entonces se tiene que: aa = b2 + c2

    Entonces: a2 = b2 + c2

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