Aproximaciones Sucesivas
Aproximaciones Sucesivas
Aproximaciones Sucesivas
La Raz Cuadrada.
Te has preguntado cmo es que una calculadora hace sus clculos? Por ejemplo, calcular la raz
cuadrada de un nmero dado, en las calculadoras cientficas siempre encontrars una tecla para la
raz cuadrada, slo debes oprimirla para encontrar la raz de cierto nmero.
La raz cuadrada de un nmero es otro nmero que al elevarse al cuadrado nos d como resultado el
nmero del cual estamos obteniendo la raz cuadrada, por ejemplo, 4 es la raz cuadrada de 16 ya
que
. El nmero 32 no es el cuadrado de ningn nmero natural, su raz cuadrada en
consecuencia no es un nmero natural, sin embargo podemos decir que 6 es una aproximacin a la
raz cuadrada de 32 ya que
, lo mismo podramos decir de el nmero 5 ya que
, en el
primer caso diremos que 6 es una raz cuadrada inexacta por exceso de 32, ya que
y en
el segundo caso que 5 es una raz cuadrada inexacta por defecto de 32 ya que
, de una
cosa si estamos seguros: la raz cuadrada de 32 est entre el 5 y el 6.
es menor que 1,
despreciando de la igualdad
es menor que
, esto es
, luego
Hemos encontrado, entonces un valor mas aproximado a la raz cuadrada de 28, llamemos a este
valor aproximado de la raz cuadrada
y repitamos el procedimiento para hallar una
aproximacin mejor a la raz cuadrada designando con .al error que se comete con este valor
aproximado.
elevando al cuadrado
despreciando el trmino
menos significativo) que
al error cometido
observa que la expresin de arriba es similar a la expresin inicial de la iteracin anterior, por lo
cual, al repetir el procedimiento nos conducir a
Hemos encontrado un patrn que nos permite escribir una expresin general para cada iteracin que
nos conduce a una mejor aproximacin, sta es
Si generalizamos ms esta estrategia no slo para hallar la raz cuadrada de 28 sino la de cualquier
nmero a, la expresin de arriba se transforma en
Usando la tecnologa.
La expresin obtenida para aproximar la raz cuadrada
de un nmero requiere siempre de una aproximacin
anterior, esto es, para hallar la ensima mas una
aproximacin necesitamos haber obtenido la ensima
aproximacin. Utilizaremos la tecnologa para
aproximar la raz cuadrada de un nmero utilizando la
expresin hallada anteriormente.
En una computadora usaremos una hoja de clculo
electrnica, sta contiene filas y columnas en las cuales se pueden definir frmulas. La hoja de
clculo se visualizar as:
En la celda A2 estaremos introduciendo el valor del nmero al cual queremos hallar su raz
cuadrada, en la celda B2 introduciremos la primera aproximacin de la raz cuadrada, esto es
y
en la celda C2 escribiremos nuestra frmula para hallar la segunda aproximacin, esto es
Despus de escribir la frmula oprimimos la tecla enter y la hoja de calculo nos muetra lo
siguiente
donde ahora en la celda C2 se observa el valor calculado por la frmula, esto es 5.3.
En la celda B3 introduzcamos, ahora, el valor de
que corresponde al valor presentado en la celda
C2, esto es 5.3. Para ello escribamos en la celda B3 lo siguiente
=C2
esto indica que el valor que le corresponde a esta celda (B3) es el calculado en la celda C2. La hoja
de clculo lucir as:
y despus de oprimir enter en B3 aparecer el mismo valor que en C2, esto es 5.3.
en C3 debemos volver a escribir nuestra frmula para la siguiente aproximacin, sin embargo,
como esta es la misma (slo que vlida para los valores de la fila 3) que la inmediatamente
superior, bastar copiar la frmula, para ello debemos situarnos en la celda de la frmula a copiar
(C2) y posicionar el puntero del ratn en el pequeo cuadrito situado en la esquina inferior
izquierda hasta que ste se transforme en una cruz, en ese momento oprimir el botn del ratn y
arrastrar hasta la celda de abajo y soltar el botn, inmediatamente se desplegar el resultado en la
celda C3. Posicionmonos en la celda C3 y revisemos la celda copiada
El valor obtenido no es el esperado, esto se debe a que en la nueva frmula aparece el valor de la
celda A3 (=0.5*(A3+B3*B3)/B3) que en nuestra hoja al no existir se considera como cero (y no 28
como debe ser). Recordemos que esa entrada corresponde al nmero del cual queremos conocer su
raz cuadrada y que esta permanece constante en cada una de las iteraciones. Escribamos en esta
celda el mismo valor que tenemos en la celda de arriba, para ello podramos simplemente introducir
el nmero 28 o, mejor, indicar que en esta celda se copiar el valor de la celda de arriba, esto lo
hacemos simplemente escribiendo
=A2
que indica que el valor en esta celda ser el mismo que en A2
tenemos ya definidas todas las frmulas para la fila 3, esto es para las celdas A3, B3 y C3. Podemos
copiar estas tres frmulas a los renglones de abajo, para ello marcaremos las tres celdas a copiar y
siguiendo el mismo procedimiento de arrastrar y soltar podemos copiarla a las filas de
abajo,arrastrabdo el ratn hacia abajo cubriendo todas las filas donde queremos copiar y soltar el
botn una vez que hallamos terminado la seleccin. Por ejemplo, la hoja siguiente exhibe las
frmulas copiadas hasta la fila 20.
Recuerda que nuestra estrategia que dio origen a la frmula iterativa se basaba en que el error
era en cada paso menor que 1 y esto era porque podamos establecer que el valor exacto de la raz
cuadrada se hallaba entre dos nmeros naturales consecutivos, esto es:
,o
o como en el ltimo ejemplo empleando la hoja de clculo
eligiendo el menor de los nmeros naturales consecutivos entre los cuales se encuentra la raz,
garantizamos que el error en la aproximacin sea
y por tanto
Los ejemplos trabajados son sencillos y casi por simple inspeccin podemos dos nmeros naturales
consecutivos entre los cuales est la raz cuadrada de nmero en cuestin, sin embargo si
quisiramos obtener la raz cuadrada de 1234567890, es difcil establecer a priori entre cules dos
nmeros naturales consecutivos se encuentra el valor de la raz y por lo tanto elegir el menor de
estos para nuestra primera aproximacin y garantizar que el error sea menor que1.
Qu sucede con nuestro mtodo si elegimos como primera aproximacin un nmero en el cul el
error entre ste y el valor de la raz sea mayor que 1?