7 Topografía Plana CAP6 PDF

CAPITULO 6
NIVELACION
6.
Nivelacin
6.1. Forma de la Tierra
6.2. Curvatura y refraccin
6.3. Nivelacin trigonomtrica
6.4. Nivelacin taquimtrica
6.5. Nivelacin Geomtrica
6.5.1. Nivelacin geomtrica simple desde el extremo
6.5.2. Nivelacin geomtrica simple desde el medio
6.5.3. Nivelacin geomtrica compuesta desde el medio
6.6. Nivelacin de perfiles
6.7. Control de nivelaciones
6.7.1. Error de cierre
6.7.2. Tolerancia del error de cierre
6.7.3. Compensacin de nivelaciones
6.7.3.1. Compensacin proporcional a la distancia
6.7.3.2. Compensacin sobre los puntos de cambio
6.8. Clculo y ajuste del error de inclinacin
Problemas propuestos
6-1
6-1
6-3
6-6
6-9
6-11
6-11
6-13
6-14
6-16
6-18
6-18
6-19
6-20
6-20
6-21
6-24
6-26
Leonardo Casanova M.
Nivelacin
6.
Vertical
A
b
Elevacin
Superficie de
Referencia
NIVELACIN
La nivelacin es el proceso de medicin de

elevaciones o altitudes de puntos sobre la
superficie de la tierra. La elevacin o altitud es la
distancia vertical medida desde la superficie de
referencia hasta el punto considerado.
La
distancia vertical debe ser medida a lo largo de
una lnea vertical definida como la lnea que sigue
la direccin de la gravedad o direccin de la
plomada (figura 6.1).
Figura 6.1 Elevacin o altitud de un punto
6.1
Forma de la Tierra
Para el estudio de la nivelacin es necesario definir o determinar la forma de la tierra, problema

extremadamente complejo si no imposible para una solucin matemtica.
Fue costumbre definir la superficie de la tierra como la superficie del geoide o superficie de nivel,
que coincide con la superficie del agua en reposo de los ocanos, idealmente extendido bajo los
continentes, de modo que la direccin de las lneas verticales crucen perpendicularmente esta
superficie en todos sus puntos1.
En realidad, la superficie del geoide es indeterminada, ya que depende de la gravedad y esta a su
vez de la distribucin de las masas, de la uniformidad de las mismas y de la deformacin de la
superficie terrestre. Se ha demostrado que la tierra no slo es achatada en los polos, sino tambin
en el Ecuador aunque en mucha menor cantidad. Debido a la complejidad del problema, se ha
reemplazado la superficie del geoide por la superficie de un elipsoide que se ajusta lo suficiente a
la forma real de la tierra. Con esta aproximacin podemos asumir que una superficie de nivel es
perpendicular en cualquier punto a la vertical del lugar o direccin de la plomada, tal y como se
muestra en la figura 6.2.
Un plano horizontal en un punto sobre la superficie terrestre es perpendicular a la lnea vertical
que pasa por el punto, es decir, es un plano tangente a la superficie de nivel solamente en dicho
punto (figura 6.3).
La cota absoluta de un punto es la distancia vertical entre la superficie equipotencial que pasa
por dicho punto y la superficie equipotencial de referencia o superficie del elipsoide (QA y QB en
la figura 6.3).
Zakatov P. (1981). Curso de Geodesia superior. Mosc: Editorial Mir,. p.14

6-1
Nivelacin
VA
VB
Vertical
Superficie de nivel
Superficie del geoide

G
Superficie de
la tierra
Superficie del elipsoide
Figura 6.2 Representacin de las superficies del geoide y el elipsoide
VA
Vertical
Plano horizontal por A
AB
QA
VB
Superficie de nivel
O
B
Superficie de
la tierra
QB
QA = Cota o elevacin de A
QB = Cota o elevacin de B
Elipsoide
Figura 6.3 Plano horizontal de un punto sobre la superficie de la tierra
El desnivel entre dos puntos (AB) es la distancia vertical entre las superficies equipotenciales
que pasan por dichos puntos. El desnivel tambin se puede definir como la diferencia de
elevacin o cota entre ambos puntos.
AB = QB - QA
(6.1)
Para la solucin de los problemas prcticos de ingeniera, debemos estimar hasta que punto se
puede asumir, sin apreciable error, que el plano horizontal coincide en toda su extensin con la
superficie de nivel; es decir, hasta que punto podramos considerar la tierra como plana.
6-2
Nivelacin
6.2 Curvatura y Refraccin

Aceptando la simplificacin sobre la forma de la tierra, debemos estimar el efecto que la misma
tiene en el proceso de nivelacin. Como se puede observar en la figura 6.4, una visual horizontal
lanzada desde el punto A se aleja de la superficie de la tierra en funcin de la distancia horizontal
D, por lo que el efecto de la curvatura de la tierra ec, ser la distancia BB.
VA
VB
D
Plano horizontal por A
B'
A
B"
Visual refractada
er
ec
o
Figura 6.4 Representacin de los efectos de curvatura y refraccin
Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos

(R + ec)2 = R2 + D2
R2 + 2Rec + ec2 = R2 + D2
ec =
D 2 e c2
2R
(6.2)
Tomando un valor de R = 6.370 km, y considerando por el momento una distancia horizontal de
unos pocos km, digamos 2 km, la magnitud del efecto de curvatura resulta un valor pequeo por
lo que ec2 0 por ser un infinitsimo de orden superior, quedando la ecuacin 6.2
ec =
D2
2R
(6.3)
Si recordamos que la atmsfera esta constituida por una masa de aire dispuesta en estratos de
diferentes densidades, considerados constantes para cada estrato e iguales a la densidad media del
6-3
Nivelacin
aire del estrato considerado, la refraccin atmosfrica desviar la visual lanzada desde A
describiendo una lnea curva y generando el efecto de refraccin (er), tal y como se muestra en la
figura 6.4.
El efecto de refraccin depende de la presin atmosfrica, temperatura y ubicacin geogrfica,
pero se puede admitir, para simplificar el problema, como funcin directa de la curvatura
terrestre.
er = K.ec
er = K
(6.4)
D2
2R
K representa el coeficiente de refraccin.

Se puede observar en la figura 6.4 que el efecto de refraccin contrarresta el efecto de curvatura,
por lo que el efecto o error total de curvatura y refraccin (ecr) se determina segn la siguiente
expresin:
e cr = e c e r =
D2
(1 K )
2R
(6.5)
e cr =
D
(1 K )
2R
El campo topogrfico planimtrico depender de la precisin que se desee obtener y de la

apreciacin de los instrumentos a utilizar en las operaciones de nivelacin.
En el ejemplo 6.1 determinaremos el lmite del campo topogrfico planimtrico para una
nivelacin de precisin.
Ejemplo 6.1.
Determinar la mxima distancia horizontal para una nivelacin de precisin en la que se requiere
que el ecr 1 mm.
Solucin
Para mantener el ecr 1 mm, es necesario que en la nivelacin se empleen instrumentos con
apreciacin de 1 mm y aproximaciones de lectura del orden de dcimas de mm.
Aplicando la ecuacin 6.5 tenemos:
6-4
Nivelacin
e cr =
D2
(1 K ) D =
2R
2 Re cr
1 K
Tomando como valor promedio de k = 0,16 y haciendo ecr = 1 mm nos queda:

D=
2 x 6.370.000 x0,001
= 123,153m
(1 0,16)
Redondeando, D = 120 m
Ejemplo 6.2
Cual sera el lmite del campo topogrfico para nivelaciones geomtricas con nivel automtico y
mira vertical con apreciacin de 1 cm?.
Solucin
Como las miras verticales utilizadas en las nivelaciones geomtricas vienen graduadas al
centmetro, pudindose estimar lecturas al milmetro, asumiremos para este problema una
precisin en la lectura de 2,5 mm, por lo que ecr = 2.5 mm.
Aplicando el mismo procedimiento del ejemplo 6.1, tenemos:
D=
2 x6.370.000 x0,0025
= 194,722m
(1 0,16)
Redondeando, D = 200 m
A fin de determinar los lmites del campo topogrfico altimtrico para los distintos tipos de
nivelacin, en la tabla 6.1 se calcula el ecr para diferentes distancias, tomando como valores
promedio de K = 0,16 y R = 6.370 km.
En la tabla 6.1, los valores de D representan el lmite del campo topogrfico perimtrico para los
diferentes tipos de nivelacin.
Tabla 6.1. Lmites del campo topogrfico planimtrico
D
ecr mm
TIPO DE NIVELACION
100
0,65
Nivelacin geomtrica de precisin.
Mira vertical de invar y micrmetro ptico.
200
2,64
Nivelacin geomtrica con mira vertical.
400
10,55
Nivelaciones taquimtricas .
Determinacin de puntos de relleno.
16,48
Considerar el ecr.
500
65,93
1.000
Para valores de D > 400 m, se debe tomar en cuenta el ecr.

6-5
Nivelacin
Los mtodos para nivelaciones en donde se requiera tomar en cuenta el ecr, se describen en
Costantini2.
6.3.
Nivelacin Trigonomtrica
Mantenindonos dentro de los lmites del campo topogrfico altimtrico a fin de despreciar los
efectos de curvatura y refraccin al considerar la tierra como plana, podemos definir la
nivelacin trigonomtrica como el mtodo de nivelacin que utiliza ngulos verticales para la
determinacin del desnivel entre dos puntos.
Las ecuaciones generales utilizadas en la nivelacin trigonomtrica se pueden deducir de la figura 6.5.
Visual
lm
P%
Mira vertical
'
lm
Horizontal
hi
AB
A
QB
QA
Superficie de referencia
AB+ l m
' = Dtan
h i+ ' =
Figura 6.5. Nivelacin trigonomtrica
AB = Dtan + hI - lm
AB = Dcotg + hI lm
AB =
(6.6)
PD
+ hI l m
100
En donde
AB = Desnivel entre A y B
D = Distancia horizontal
2
Costantini W. (1977). Topografa II, Tesis 1 a 7, Mrida: Universidad de Los andes, Facultad de Ingeniera.
pp. 13-26.
6-6
Nivelacin
= Angulo vertical de elevacin

= Angulo cenital
P = Inclinacin de la visual en %
hI = Altura del instrumento
hs = Altura de la seal (lectura en mira)
En ngulo vertical se puede medir con teodolito o con clismetro, dependiendo de la precisin
deseada.
Para el caso de visual horizontal, en el que = 0 y = 90 (visual con nivel), la ecuacin 6.4
queda
AB = hI - hs
(6.7)
que es el caso particular de la nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial que estudiaremos

ms adelante.
Ejemplo 6.3
Con los datos de la figura E6-3, determine el desnivel entre los puntos A y B y la cota del punto B.
Horizontal
= -1522'18"
hi =1,50
A
lm = 3,572 m
QA= 154,816
Mira vertical
B
QB
D=85,320 m
Figura E6-3
Solucin
Aplicando la ecuacin 6.l
AB = 85,320 x tan (-15 22' 18") + 1,50 - 3,572 = -25,528 m.

El signo negativo indica que el punto B est por debajo del punto A.
6-7
Nivelacin
Para calcular la cota del punto B aplicamos la ecuacin 6.1
AB = QB QA QB = AB + QA
QB = 25,528 + 154,816 = 126,288

QB = 129,288 m.
Ejemplo 6.4
Con los datos de la figura E6-4 determine el desnivel entre A y B y la cota del punto B.
= 7516'22"
Di
lm = 2,316 m
68 m
=94,6
Horizontal
Mira vertical
B
h i =1,52
A
QB
QA= 1.602,574
D
Figura E6-4
Solucin
Para la solucin de este problema debemos referirnos al captulo 3.4 correspondiente a medicin
de distancia.
Aplicando la ecuacin 3.4 de reduccin de distancias inclinadas al horizonte tenemos:
DH = Di sen
(3.4)
Sustituyendo la 3.4 en 6.2 nos queda,
AB = Di sen x cotg + hp - lm
AB = Dicos + hp lm = 94,668 x cos(751622) + 1,52 2,316
AB = +23,270 m
El signo positivo indica que B est por encima del punto A.
AB = QB QA QB = AB + QA
QB = 23,270 + 1.602,574 = 1.625,844 m
QB = 1.625,844 m.
6-8
Nivelacin
6.4 Nivelacin Taquimtrica

La taquimetra, palabra compuesta proveniente del griego -metro que significa medida
rpida, es un procedimiento topogrfico que se apoya en la medicin ptica de distancias para la
ubicacin plano altimtrica de puntos sobre la superficie terrestre.
Para la determinacin del desnivel por taquimetra utilizaremos las ecuaciones 3.21 y 6.6 para
teodolitos que miden ngulos de elevacin tenemos:
DH = KHcos2
AB = Dtan + hI lm
(3.21)
(6.6)
Sustituyendo la 3.21 en la 6.6 nos queda:
AB = KH x cos2 tan + hI lm
AB = KHcos x sen + hI lm
(6.8)
(6.9)
Para teodolitos que miden ngulos cenitales la ecuacin 6.9 queda como sigue:
AB = KHcos sen + hI lm
(6.10)
Recordemos que K es la constante diastimomtrica generalmente igual a 100 para los

instrumentos modernos y H es el intervalo de mira o diferencia entre la lectura superior y la
lectura inferior a la mira.
Por la sencillez y rapidez de la toma de datos en campo, el mtodo taquimtrico constituye el
mtodo ms empleado en el levantamiento de puntos de relleno.
Por ser un levantamiento rpido para puntos de relleno, donde no se requiere de gran precisin, el
campo topogrfico altimtrico para la taquimetra se puede extender a distancias de hasta 400 m.
Ejemplo 6.5
Con los datos de la figura E6-5, calcule la cota del punto B.
Solucin
Aplicando la ecuacin 6.10 de nivelacin taquimtrica con ngulo cenital tenemos,
AB = 100 (3,250 - 1,286) cos 853220x sen 853220" + 1,540 - 2,268

AB = 14,502 m
AB = QB - QA QB = AB + QA
QB = 14,502 + 956,432 = 970,934 m
QB = 970,934 m
Por lo general, en trabajos taquimtricos se levantan varios puntos a partir de una misma estacin.
6-9
Nivelacin
ls = 3,250 m
K=100
lm = 2,268 m
= 8532'20"
li = 1,286 m
Mira vertical
Horizontal
hi =1,54
A
QB
QA= 956,432
D
Figura E6.5
Ejemplo 6.6
Con los datos de la tabla TE6.6.1, calcule las cotas de los puntos 1 al 5.
Tabla TE6.6.1
Libreta de campo para una nivelacin taquimtrica
EST
A
hi = 1,602
QA = 1.620,32
Pv
1
2
3
4
5
Angulos
medidos
H
V
9130
9517
8310
9030
8532
Lecturas en mira
ls
3,658
2,302
1,514
2,386
2,043
lm
2,493
1,921
1,274
1,406
1,704
li
1,328
1,540
1,034
0,426
1,365
Solucin
Aplicando la ecuacin 6.10 para el clculo del desnivel entre A y cada uno de los puntos restantes
y la ecuacin 6.1 para el clculo de las cotas, construimos la tabla TE6.6.2.
Tabla TE6.6.2.
A
A
Pv
1
2
3
4
5
Dist
232,84
75,55
47,32
195,99
67,39
Desnivel
- 6,99
- 7,31
+ 6,00
- 1,51
+ 5,16
Cota
1.613,33
1.613,01
1.626,32
l.618,81
1.625,48
6-10
Nivelacin
En la tabla TE6.6.2 se ha incluido una columna para el clculo de las distancias, ya que las
mismas se requieren para el clculo de las coordenadas rectangulares y para la elaboracin del
plano acotado del terreno, procedimiento que estudiaremos ms adelante.
6.5.
Nivelacin Geomtrica
La nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial es el procedimiento topogrfico que nos

permite determinar el desnivel entre dos puntos mediante el uso del nivel y la mira vertical.
La nivelacin geomtrica mide la diferencia de nivel entre dos puntos a partir de la visual
horizontal lanzada desde el nivel hacia las miras colocadas en dichos puntos (figura 6.6).
Cuando los puntos a nivelar estn dentro de los lmites del campo topogrfico altimtrico y el
desnivel entre dichos puntos se puede estimar con una sola estacin, la nivelacin recibe el
nombre de nivelacin geomtrica simple (figura 6.6). Cuando los puntos estn separados a una
distancia mayor que el lmite del campo topogrfico, o que el alcance de la visual, es necesario la
colocacin de estaciones intermedias y se dice que es una nivelacin compuesta (figura 6.7).
Mira vertical
Mira vertical
NIVEL
la
lb
Horizontal
HB
AB
HA
la
QA
D
lb
Horizontal
HB
AB
hi
A
QB
NIVEL
AB = la - lb
AB = Ha - H b
a. Nivelacin desde el medio
QA
D
AB =h i - l b
b. Nivelacin desde el extremo
Figura 6.6. Nivelacin Geomtrica Simple
6.5.1. Nivelacin Geomtrica Simple desde el Extremo

La figura 6.6.b representa el caso de una nivelacin geomtrica simple desde el extremo. En este
tipo de nivelacin es necesario medir la altura del instrumento en el punto de estacin A y tomar
lectura a la mira colocada en el punto B. Como se puede observar en la figura, el desnivel entre
A y B ser:
AB = hI - lB
(6.11)
6-11
Nivelacin
Es necesario recordar que previo a la toma de la lectura a la mira en el punto B, es necesario

estacionar y centrar el nivel exactamente en el punto A y medir la altura del instrumento con cinta
mtrica. Este proceso, adicionalmente a la imprecisin en la determinacin de la altura del
instrumento, toma ms tiempo que el empleado en la nivelacin geomtrica desde el medio;
adems que a menos que dispongamos de un nivel de doble curvatura, no es posible eliminar el
error de inclinacin del eje de colimacin representado en la figura 6.8.
l'2
lB
B
l'1
l2
2
NIVEL
la
E3
Mira vertical
l1
Horizontal
AB = 1+ 2 + 3
E2
1
HA
1
E1
BM-A
QA
a. Nivelacin compuesta desde el medio
Mira vertical
Mira vertical
la
lb
Horizontal
Mira vertical
Horizontal
h2
l2
2
la
NIVEL
h1
l1
Horizontal
AB= 1+ 2+ 3
hA
1
A
b. Nivelacin compuesta desde el extremo
Figura 6.7. Nivelacin Geomtrica Compuesta

Mira vertical
Eje de colimacin
NIVEL
l' B
inada
Visual incl
ei
Horizontal
lB
hi
B
Figura 6.8 Error de inclinacin del eje de colimacin
6-12
Nivelacin
6.5.2. Nivelacin Geomtrica Simple desde el Medio

Supongamos ahora el caso de la nivelacin geomtrica simple desde el medio, representado
en la figura 6.6.a.
En este tipo de nivelacin se estaciona y se centra el nivel en un punto intermedio,
equidistante de los puntos A y B, no necesariamente dentro de la misma alineacin, y se
toman lecturas a las miras colocadas en A y B. Luego el desnivel entre A y B ser:
AB = lA lB
(6.12)
Ntese que en este procedimiento no es necesario estacionar el nivel en un punto

predefinido, ni medir la altura de la estacin (hi), lo que adems de agilizar el proceso,
elimina la imprecisin en la determinacin de (hi).
Para analizar el efecto del error de inclinacin del eje de colimacin en la nivelacin
geomtrica desde el medio, nos apoyaremos en la figura 6.9.
M ira vertical
l' A
ei
NIVEL
al
V isu
in c li
l' B
nada
ei
Horizontal
lA
lB
AB
Figura 6.9 Determinacin del error de inclinacin del eje de colimacin
Estacionando el nivel en un punto E equidistante entre A y B, y colocando miras verticales

en ambos puntos, tomamos lecturas a las miras. De existir error de inclinacin, el eje de
colimacin estara inclinado un ngulo con respecto a la horizontal, por lo que las
lecturas a la mira seran lA y lB, generando el error de lectura ei, igual para ambas miras
por ser distancias equidistantes a la estacin.
De la figura 6.9 tenemos que:
en donde,
AB = lA lB
(6.12)
lA = lA ei
(A)
6-13
Nivelacin
lB = lB - ei
(B)
Reemplazando A y B en 6.12
AB = (lA ei) (lB ei)

AB = lA lB
(6.13)
La ecuacin 6.13 nos indica que en la nivelacin geomtrica desde el medio, el error de
inclinacin no afecta la determinacin del desnivel, siempre que se estacione el nivel en un
punto equidistante a las miras, no necesariamente en la misma alineacin.
Las ventajas presentadas por el mtodo de nivelacin geomtrica desde el medio, hacen de
este el mtodo recomendado en los procesos de nivelacin.
6.5.3. Nivelacin Geomtrica Compuesta desde el Medio
La nivelacin geomtrica compuesta desde el medio (figura 6.7.a), consiste en la aplicacin
sucesiva de la nivelacin geomtrica simple desde el medio.
En la figura 6.7.a, los puntos 1 y 2 representan los puntos de cambio (PC) o punto de
transferencia de cota. El punto A es una Base de Medicin (BM) o punto de cota conocida.
E1, E2 y E3 representan puntos de estacin ubicados en puntos equidistantes a las miras y
los valores de l representan las lecturas a la mira.
El desnivel entre A y B vendr dado por la suma de los desniveles parciales
A1 = lA l1
12 = l1 l2
2B = l2 - lB
AB = A1 + 12 + 2B = (lA + l1+ l2) (l1 + l2 + lB)

Si a lA, l1 y l2 le llamamos lecturas atrs (lAT) y a l1, l2 y lB lecturas adelante (lAD), tenemos
que:
AB = lAT - lAD
(6.14)
6-14
Nivelacin
Ejemplo 6.7
Calcule las cotas de los puntos de la nivelacin representada en la figura E6-7.
1,254
NIVEL
3,248
2,025
BM-A
NAM
QA=187,523
Perfil
2,764
1,152
E1
3,875
3,527
2,354
E3
E2
E4
E4
E1
B
A
80,00 m
82,50 m
76,65 m
68,42 m
Planta
E3
E2
Figura E6.7
Solucin
En la figura E6-7 se han representado esquemticamente el perfil y la planta de la
nivelacin a fin de recalcar que no es necesario que las estaciones estn dentro de la
alineacin, ya que lo importante es que estn equidistantes a los puntos de mira, a fin de
eliminar el error de inclinacin del eje de colimacin.
El la tabla TE 6.7 se resume el proceso de clculo de la nivelacin propuesta.
1
Est.
E1
E2
E3
E4
2
PV
A
1
1
2
2
3
3
B
Dif.
Tabla TE.6.7
3
4
LAT
LAD
1,254
3,248
2,025
1,152
2,354
3,527
3,875
2,764
9,508
10,691
-1,183
5
p
-1,994
+0,873
-1,173
+1,111
-1,183
6
Cotas
187,523
185,529
185,529
186,402
186,402
185,229
185,229
186,340
Control
6-15
Nivelacin
En la tabla TE6.7, la columna 1 identifica los puntos de estacin, la columna 2 los puntos
de ubicacin de la mira, las columnas 3 y 4 las lecturas atrs y adelante en los puntos de
cambio; en la columna 5 se han calculado los desniveles parciales p = LAT LAD y en la
columna 6 se calculan las cotas de los puntos restantes a partir de la cota del punto
conocido (A) y los desniveles parciales.
Como control, la suma de las lecturas atrs (columna 3) menos la suma de las lecturas
adelante (columna 4) debe ser igual a la suma de los desniveles parciales (columna 5).
6.6.
Nivelacin de Perfiles
En ingeniera es comn hacer nivelaciones de alineaciones para proyectos de carreteras,

canales, acueductos, etc. Estas nivelaciones reciben el nombre de nivelacin de perfiles
longitudinales y se toman a lo largo del eje del proyecto.
En el caso de nivelaciones para proyectos viales, la nivelacin se hace a lo largo del eje de
proyecto con puntos de mira a cada 20 o 40 m, dependiendo del tipo de terreno ms en los
puntos de quiebre brusco del terreno.
Los puntos de cambio y las estaciones deben ubicarse de manera de abarcar la mayor
cantidad posible de puntos intermedios. Debe tenerse cuidado en la escogencia de los
puntos de cambio ya que stos son los puntos de enlace o de transferencia de cotas. Deben
ser puntos firmes en el terreno, o sobre estacas de madera, vigas de puentes, etc.
Siendo los puntos de cambio puntos de transferencia de cotas, en ellos siempre ser
necesario tomar una lectura adelante desde una estacin y una lectura atrs desde la
estacin siguiente.
En el ejemplo E6-8 demostramos el procedimiento de clculo de una nivelacin geomtrica
con puntos intermedios, por el mtodo del horizonte.
Ejemplo 6 .8
Calcule las cotas de la nivelacin representada en la figura E6-8.
Solucin
El clculo de las cotas por el mtodo del horizonte consiste en calcular la cota de la lnea de
visual o eje de colimacin en cada uno de los puntos de estacin.
La cota de la lnea de visual u horizonte para la estacin E1 ser la cota del punto A ms la
lectura a la mira en el punto A.
H = Q + lm
(6.15)
H = QA + LA = 887,752 + 0,528 = 888,280

6-16
1,876
2,175
3,652
0,548
1,753
1,532
NIVEL
0,758
Nivelacin
0,974
1,573
3,427
0,528
1,832
BM-A
6
PC1
1
QA=887,752
E1
E2
NAM
Figura E.6.8
Luego, la cota de los puntos intermedios se calcula restando a la cota del horizonte las
lecturas a la mira.
Q = H - lm
(6.16)
Al hacer cambio de estacin es necesario calcular la nueva cota del horizonte sumando a la
cota del punto de cambio la lectura a la mira en dicho punto de cambio.
En la tabla TE6.8 se resume el proceso de clculo descrito
Tabla TE6.8
Est.
E1
E2
Pv
A
1
2
3
4
PC1
PC1
5
6
7
8
B
LAT
0,528
LINT
LAD
Horizonte
888,280
1,832
3,427
1,573
0,974
1,532
0,758
887,506
1,753
0,548
3,652
2,175
1,286
-2,122
1,876
3,408
Cota
887,752
886,448
884,853
886,707
887,306
886,748
886,748
885,753
886,958
883,854
885,331
885,630
Control
AB = LAT - LAD
AB = 1,286 3,408 = -2,122
QB = QA + AB = 887,572 2,122
QB = 885,630
6-17
6.7.
Nivelacin
Control de Nivelaciones
En los ejemplos resueltos hasta el momento, solamente hemos podido comprobar las
operaciones aritmticas y no la magnitud de los errores sistemticos y accidentales,
inevitables en todo proceso topogrfico.
Para poder determinar el error de cierre de una nivelacin, es necesario realizar una
nivelacin cerrada (de ida y vuelta) o una nivelacin de enlace con puntos de control (BM)
al inicio y al final de la nivelacin.
6.7.1. Error de Cierre
El error de cierre de una nivelacin depende de la precisin de los instrumentos utilizados,
del nmero de estaciones y de puntos de cambio y del cuidado puesto en las lecturas y
colocacin de la mira.
En una nivelacin cerrada, en donde el punto de llegada es el mismo punto de partida, la
cota del punto inicial debe ser igual a la cota del punto final, es decir: la suma de los
desniveles debe ser igual a cero, tal y como se muestra en la figura 6.10.
La diferencia entre la cota final y la inicial nos proporciona el error de cierre de la
nivelacin
En = Qf - Qi
(6.17)
El error de cierre tambin puede ser calculado por medio del desnivel total como:
En = LAT - LAD
(6.18)
D
E
A
Perfil
B
C
A
D
Planta
E
Figura 6.10. Nivelacin Cerrada
6-18
Nivelacin
La nivelacin cerrada se puede realizar levantando los mismos puntos de ida y vuelta, o,
preferiblemente, por caminos distintos, retornando siempre al punto inicial.
En una nivelacin de enlace los puntos extremos forman parte de una red de nivelacin de
precisin, por lo que la cota o elevacin de sus puntos son conocidas.
En este tipo de nivelacin, representada en la figura 6.11, la diferencia entre el desnivel
medido y el desnivel real nos proporciona el error de cierre.
El desnivel medido se calcula por la ecuacin (6.14)
AB = LAT - LAD
y el desnivel real reemplazando los valores de las cotas conocidas en la ecuacin (6.1)
Luego el error de cierre ser
En = (LAT - LAD) - (QB QA)
(6.19)
A1
E1
12
AB
AB = A1 + 12 + 2B
E2
2B
E3
Figura 6.11 Nivelacin de enlace
6.7.2. Tolerancia del Error de Cierre

La tolerancia del error de cierre depende de la importancia del trabajo, de la precisin de
los instrumentos a utilizar y de las normativas existentes.
Las nivelaciones se pueden clasificar en nivelaciones de primer, segundo y tercer orden,
siendo las de tercer orden las de uso comn en los trabajos de ingeniera.
La tolerancia de cierre generalmente se expresa mediante la siguiente ecuacin:
Tn = m K
(6.20)
6-19
Nivelacin
en donde:
Tn = Tolerancia para el error de cierre en mm
m = Valor dependiente de los instrumentos, mtodo y tipo de nivelacin requerida
K = Longitud total de la nivelacin en Km
Para nivelaciones de tercer orden se recomienda un valor de m entre 12 y 15 mm.
6.7.3. Compensacin de Nivelaciones
Si al comparar el error de cierre con la tolerancia resulta que este es mayor que la
tolerancia, se hace necesario repetir la nivelacin. En caso de verificarse que el error es
menor que la tolerancia se procede a la compensacin de la misma siguiendo uno de los
mtodos de compensacin que se describen a continuacin:
6.7.3.1.Compensacin proporcional a la distancia nivelada
Observando la ecuacin (6.20) vemos que la tolerancia est en funcin de la distancia
nivelada, razn por la cual uno de los mtodos de ajuste de nivelaciones distribuye el error
en forma proporcional a las distancias. El procedimiento de clculo de compensacin de
nivelaciones por el mtodo proporcional se explica en detalle en el ejemplo E6-9.
Ejemplo 6.9
Calcule las cotas compensadas de la nivelacin cerrada mostrada en la figura E6-9.
60,00
1,625
2,284 3,861
2,736 2,043
E1
160,00
70,00
1,638
0,937
2,174
0,917
0,420
BM-A
PC-2
BM-A
Q=187,526
1,543
E3
PC-1
0,865
E2
40,00
150,00
50,00
80,00
140,00
80,00
Figura E6-9
Solucin
Por tratarse de una nivelacin cerrada, el error de nivelacin En = LAT - LAD
En nuestro ejemplo (ver tabla TE6.9.1):
En = 5,226 5,218 = 0,008 m = 8 mm
Tn = 15 0,830 = 10,9mm
6-20
Nivelacin
Siendo Tn > En procedemos a compensar el error proporcionalmente a la distancia nivelada

sobre los puntos de cambio. Ntese que en este mtodo de compensacin proporcional a la
distancia nivelada, el punto A debe ser considerado punto de cambio.
C1 =
290
x0,008 = 0,003
830
C2 =
530
x0,008 = 0,005
830
C1 =
830
x0,008 = 0,008
830
La tabla TE6.9. resume el proceso del clculo de compensacin de las cotas de la

nivelacin.
Tabla TE6.9.
Est.
E1
E2
E3
PV
Dist. P
Dist. Ac
LAT
A
1
2
PC1
PC1
3
4
PC2
PC2
5
6
A
-60,00
160,00
70,00
-40,00
150,00
50,00
-80,00
140,00
80,00
0,00
60,00
120,00
290,00
-330,00
480,00
530,00
-610,00
750,00
830,00
Dif.
0,865
LINT
LAD
1,543
2,284
3,861
2,736
2,043
1,638
0,937
1,625
2,174
0,917
0,420
5,218
5,226
+ 0,008
Horiz
Cotas
Calculadas
188,391
187,526
186,848
186,107
184,530
187,266
184,530
185,223
185,628
186,329
187,954
186,329
185,780
187,037
187,534
187,526
Dif.
+ 0,008
Comp
----0,003
-0,003
-0,003
-0,003
-0,005
-0,005
-0,005
-0,005
-0,008
Cotas
comp.
187,526
186,848
186,107
184,527
184,527
185,220
185,625
186,324
186,324
185,775
187,032
187,526
En este procedimiento se asume que los errores se cometen en las lecturas adelante o
puntos de cambio, afectando la cota del horizonte de las estaciones, por lo que las
correcciones a los puntos intermedios se mantienen constantes hasta el siguiente punto de
cambio.
6.7.3.2.Compensacin sobre los puntos de cambio
Este mtodo, ms sencillo que el anterior, supone que el error se comete sobre los puntos de
cambio y que es independiente de la distancia nivelada, por lo que la correccin ser:
C=
En
N
(6.21)
Siendo N el nmero de puntos de cambio
6-21
Nivelacin
Ejemplo 6.10
Resolver el ejemplo E6-9 por el mtodo de los puntos de cambio.
Solucin
El error y la tolerancia son los mismos del ejemplo anterior. La correccin se calcula segn
la ecuacin 6.21.
C=
0,008
= 0,004 m por punto de cambio
2
En la tabla TE6.10 se resume el proceso de clculo de compensacin de las cotas de la

nivelacin.
Tabla TE6.10
Est.
E1
E2
E3
PV
Dist. P
Dist. Ac
LAT
A
1
2
PC1
PC1
3
4
PC2
PC2
5
6
A
-60,00
160,00
70,00
-40,00
150,00
50,00
-80,00
140,00
80,00
0,00
60,00
120,00
290,00
-330,00
480,00
530,00
-610,00
750,00
830,00
0,865
LINT
LAD
Comp.
horiz.
188,391
1,543
2,284
3,861
-0,004
187,262
2,736
2,043
1,638
0,937
-0,004
187,946
1,625
2,174
0,917
5,226
Dif.
0,420
5,218
Cotas
comp.
187,526
186,848
186,107
184,526
184,526
185,219
185,624
186,321
186,321
185,772
187,029
187,526
-0,008
+ 0,008
Ejemplo 6.11
La tabla TE6.11.1 corresponde a la libreta de campo de una nivelacin de enlace entre dos
puntos de cota conocida. Calcule el error de cierre y las cotas compensadas de los puntos
intermedios de la nivelacin por cada uno de los mtodos descritos.
Solucin
Como es lo usual y recomendable, resolveremos el problema directamente sobre la libreta
de campo.
6-22
Leonardo Casanova M
Nivelacin
Tabla E6.11
Datos de campo
Est
PV
Dist. P.
Dist. Ac.
LAT
E1
A
1
1
2
3
4
4
5
6
7
7
8
9
B
0,00
120,00
0,00
120,00
2,125
60,00
42,00
65,00
-80,00
95,00
98,00
-100,00
120,00
120,00
180,00
222,00
287,00
-367,00
462,00
560,00
-660,00
780,00
900,00
E2
E3
E4
Mtodo de los puntos de

cambio
Mtodo proporcional
LINT
LAD
Horiz
285,837
1,476
0,520
284,881
1,563
2,042
2,953
3,162
285,090
2,850
1,644
0,761
1,746
286,075
0,879
1,463
7,553
Dif.
2,432
7,622
-0,069
QB
Dif.
Cotas
Calc.
283,712
284,361
284,361
283,318
282,839
281,928
281,928
282,240
283,446
284,329
284,329
285,196
284,612
283,643
283,631
+0,012
Corr.
-0,002
-0,002
-0,002
-0,002
-0,004
-0,004
-0,004
-0,004
-0,007
-0,007
-0,007
-0,007
-0,012
Cotas
comp.
283,712
284,359
284,359
283,316
282,837
281,924
281,924
282,236
283,442
284,322
284,322
285,189
284,605
283,631
Corr.
Horiz.
Cotas
285,837
283,712
284,357
284,357
283,314
282,835
281,920
281,920
282,232
283,438
284,317
284,317
285.184
284,600
283,631
-0,004
284,877
-0,004
285,082
-0,004
286,063
-0,012
En = (LAT - LAD) (QB QA)

LAT - LAD = -0,069
AB = 283,631 283,712 = -0,081
En = - 0,069 (-0,081) = + 0,012
Tn = 15 0,900 = 14,23mm
En < TN
C=
C1 =
120
x(0,012) = 0,002
900
C3 =
560
x(0 ,012 ) = 0 ,007
900
C2 =
287
x(0 ,012 ) = 0 ,004
900
C4 =
900
x(0 ,012 ) = 0 ,012
900
6-23
En
0 ,012
=
= 0 ,004
N
3
Nivelacin
6.8. Clculo y Ajuste del Error de Inclinacin

En nivelaciones compuestas, con puntos intermedios, no es posible establecer la equidistancia a
todos los puntos de mira, por lo que en caso de una eventual inclinacin del eje de colimacin, la
mayora de las lecturas a la mira quedaran afectadas de error.
A pesar de que algunos niveles vienen equipados con nivel trico de doble curvatura, siendo
posible efectuar lecturas a la mira en dos posiciones conjugadas, anulando el error de lectura de
inclinacin del eje de colimacin, como se demuestra en la figura 6.12, este procedimiento se
hace imprctico, ya que duplica el nmero de lecturas necesarias.
Corte A-A
Pos. Dir.
Pos. Inv.
Nivel trico
de doble curvatura
Pos. Directa
Pos. Invertida
l
l
e l
Pos. Dir.
AB
Pos. Inv.
A
LB= LBD - e
LB= LBI + e
LBD + LBI
2 LB= LBD + LBI ==> LB=
2
(6.22)
Figura 6.12 Nivelacin con nivel trico de doble curvatura
La ecuacin 6.22 nos indica que el promedio de las lecturas a la mira efectuadas con nivel trico
de doble curvatura en las dos posiciones del nivel elimina el error por inclinacin del eje de
colimacin proporcionando la lectura correcta a la mira.
Lo dicho anteriormente nos indica la conveniencia de establecer algn mtodo para determinar y
ajustar el error por inclinacin.
De los diferentes mtodos propuestos, se considera al mtodo de la doble distancia con
nivelacin desde el medio el mtodo mas prctico y preciso, por lo que ser el mtodo cuyo
proceso describiremos a continuacin con el auxilio de la figura 6.13
a.
b.
c.
Establecemos un alineamiento ABC, de manera que la distancia AB = BC = D (figura

6.13).
Estacionando el nivel en un punto medio entre BC (D/2), determinamos el desnivel exacto
entre BC por nivelacin desde el medio.
Estacionando el nivel en A tomamos lecturas a miras colocadas en B y C.
6-24
d.
Nivelacin
Si el nivel est afectado por inclinacin del eje de colimacin, digamos un ngulo con
respecto a la horizontal (figura 6.13.b), las lecturas a la mira estarn afectadas por el error
de inclinacin como se muestra en la figura 6.13.b, siendo:
LB = LB- e
LC = LC 2e
e.
Con las lecturas obtenidas y aplicando la ecuacin 6.12 determinamos el BC
BC = LB LC = (LB e) (LC 2e)

Simplificando y despejando e nos queda:
e = BC (LB LC)
f.
g.
(6.23)
Con el valor de e se calcula la lectura correcta LB = LB e y actuando sobre el tornillo

basculante del nivel (figura 2.29.a) imponemos la lectura corregida.
Como en el paso anterior la burbuja queda descorregida, calamos nuevamente la burbuja
con el tornillo de correccin [C] (figura 2.26).
BC
B
A
D/2
D
D/2
(a)
l'B
lB
l'C
2e
lC
e
C
BC
(b)
B
A
2D
Figura 6.13 Clculo del error por inclinacin
6-25
Nivelacin
Problemas Propuestos
6.1.
Con los datos de la figura P6-1 calcule el desnivel entre los puntos A y B y la cota del
punto B.
= 8532'
Di=154,3
L m =2,543
2m
h i =1,60
A
Q =1.035,243
A
Figura P6-1
6.2.
En el proceso de nivelacin de los vrtices de una triangulacin se requiere calcular el

desnivel entre dos puntos separados una distancia de 1.230,436 m, por lo que se hace
necesario calcular el error por curvatura y refraccin (ecr).
Con los datos de la figura P6-2 calcule la cota del punto B libre del ecr.
= 9832'12"
K=0,16
L s 4,0 m
hi =1,57
Q =1.254,326
A
D=1.230,436 m
Figura P6-2
6-26
6.3.
Nivelacin
Calcule el desnivel y la distancia entre los puntos A y B mostrados en la figura P6-3.
l m = 5,00
3820'
H= 5,0 m
- 1614'
hi =1,52
AB
Figura P6-3
6.4.
Los datos de la tabla anexa corresponden a una nivelacin por taquimetra realizada con
un teodolito que mide ngulos cenitales. Si la cota del punto de estacin es 1.570,431 y la
altura del instrumento es 1,545, calcule las cotas de los puntos visados.
Est.
A
h = 1,545
Q = 1.570,431
B
h = 1,600
PV
1
2
3
4
B
A
5
6
7
V
8706
9102
9516
7921
8645
9315
9142
8216
8954
Ls
1,565
2,496
3,256
2,341
2,676
1,243
1,635
2,042
3,581
Lm
Li
0,523
1,875
2,431
1,582
1,876
0,443
1,000
1,000
2,000
Obs
6-27
6.5.
Nivelacin
Demuestre analticamente que bajo las condiciones impuestas en la figura inferior, el

desnivel entre A y B no queda afectado por el error de inclinacin del eje de colimacin.
Suponga:
a)
Una inclinacin (+) del eje de colimacin.
b)
Las lecturas desde E1 y E2 fueron tomadas con el mismo instrumento.
c)
Las distancias E1-A y E2-B son iguales.
AB
E2
E1
Figura P6-5
6.6.
Calcule los desniveles parciales y las cotas compensadas de la nivelacin de la figura P6-6
2,851
1,943
0,852
1,073
1,573
E4
E1
BM-1
Q=175,321
1,270
2,124
2,104
BM-2
Q=177,079
E3
E2
Figura P6-6
6-28
6.7.
Calcule el error de cierre En y las cotas compensadas de la nivelacin de la tabla anexa.

Utilice los mtodos de compensacin estudiados.
Est.
E1
E2
E3
E4
6.8.
Nivelacin
PV
BM-1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
8
9
10
BM-2
Dist. P.
Dist. Ac.
0,00
LAT
2,851
LINT
20,00
40,00
LAD
Horiz
Cotas
175,321
2,435
2,104
0,852
40,00
65,00
55,00
1,053
1,425
1,573
1,943
80,00
80,00
1,510
1,073
2,124
60,00
60,00
80,00
1,872
1,541
1,270
177,079
En la nivelacin de un perfil que pasa por debajo de una estructura existente, se localiz
un punto de referencia en el borde inferior de una viga, tal y como se muestra en la figura
P6-8. Calcule las cotas de los puntos 1, 2 3.
Mira en posicin
invertida
Ref-1
254,328
3,185
3,250
2,461
2,763
2,137
3,875
E3
E2
E1
3
2
1
Figura P6-8
6-29

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7 Topografía Plana CAP6 PDF

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CAPITULO 6

La nivelacin es el proceso de medicin de

Figura 6.1 Elevacin o altitud de un punto

Para el estudio de la nivelacin es necesario definir o determinar la forma de la tierra, problema

Zakatov P. (1981). Curso de Geodesia superior. Mosc: Editorial Mir,. p.14

Superficie del geoide

Superficie del elipsoide

Figura 6.2 Representacin de las superficies del geoide y el elipsoide

Figura 6.3 Plano horizontal de un punto sobre la superficie de la tierra

6.2 Curvatura y Refraccin

Aplicando el teorema de Pitgoras tenemos

K representa el coeficiente de refraccin.

El campo topogrfico planimtrico depender de la precisin que se desee obtener y de la

Tomando como valor promedio de k = 0,16 y haciendo ecr = 1 mm nos queda:

Para valores de D > 400 m, se debe tomar en cuenta el ecr.

Figura 6.5. Nivelacin trigonomtrica

= Angulo vertical de elevacin

que es el caso particular de la nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial que estudiaremos

AB = 85,320 x tan (-15 22' 18") + 1,50 - 3,572 = -25,528 m.

Para calcular la cota del punto B aplicamos la ecuacin 6.1

QB = 25,528 + 154,816 = 126,288

Sustituyendo la 3.4 en 6.2 nos queda,

6.4 Nivelacin Taquimtrica

Sustituyendo la 3.21 en la 6.6 nos queda:

Recordemos que K es la constante diastimomtrica generalmente igual a 100 para los

AB = 100 (3,250 - 1,286) cos 853220x sen 853220" + 1,540 - 2,268

La nivelacin geomtrica o nivelacin diferencial es el procedimiento topogrfico que nos

a. Nivelacin desde el medio

b. Nivelacin desde el extremo

Figura 6.6. Nivelacin Geomtrica Simple

6.5.1. Nivelacin Geomtrica Simple desde el Extremo

Es necesario recordar que previo a la toma de la lectura a la mira en el punto B, es necesario

a. Nivelacin compuesta desde el medio

b. Nivelacin compuesta desde el extremo

Figura 6.7. Nivelacin Geomtrica Compuesta

Figura 6.8 Error de inclinacin del eje de colimacin

6.5.2. Nivelacin Geomtrica Simple desde el Medio

Ntese que en este procedimiento no es necesario estacionar el nivel en un punto

Figura 6.9 Determinacin del error de inclinacin del eje de colimacin

Estacionando el nivel en un punto E equidistante entre A y B, y colocando miras verticales

AB = (lA ei) (lB ei)

AB = A1 + 12 + 2B = (lA + l1+ l2) (l1 + l2 + lB)

En ingeniera es comn hacer nivelaciones de alineaciones para proyectos de carreteras,

H = QA + LA = 887,752 + 0,528 = 888,280

Figura 6.10. Nivelacin Cerrada

Figura 6.11 Nivelacin de enlace

6.7.2. Tolerancia del Error de Cierre

Siendo Tn > En procedemos a compensar el error proporcionalmente a la distancia nivelada

La tabla TE6.9. resume el proceso del clculo de compensacin de las cotas de la

Siendo N el nmero de puntos de cambio

En la tabla TE6.10 se resume el proceso de clculo de compensacin de las cotas de la

Mtodo de los puntos de

En = (LAT - LAD) (QB QA)

6.8. Clculo y Ajuste del Error de Inclinacin

Figura 6.12 Nivelacin con nivel trico de doble curvatura

Establecemos un alineamiento ABC, de manera que la distancia AB = BC = D (figura

Con las lecturas obtenidas y aplicando la ecuacin 6.12 determinamos el BC

BC = LB LC = (LB e) (LC 2e)

Con el valor de e se calcula la lectura correcta LB = LB e y actuando sobre el tornillo