#4 La Teoría Del Productor 2016
#4 La Teoría Del Productor 2016
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Teora de la Empresa
2015
Teora de la Empresa
2015
Teora de la Empresa
Grficamente:
Y
Y = f(x) = f.d.p.1
Conjunto de produccin
x = factor
Las frontera de produccin, es la cantidad mxima posible correspondiente a
una cantidad de los factores. Es decir, mide el volumen mximo de produccin
que puede obtenerse con una cantidad dada de factores.
Si tenemos dos factores; x1 y x2 , y = f(x1, x2), aqu ya se pueden
representar las relaciones de produccin posibles de los factores 1 y 2 a travs
de un instrumento denominado isocuanta2. Que representa el conjunto de
todas las combinaciones posibles de los factores 1 y 2, que son
suficientes para obtener una cantidad dada de produccin.
Las isocuantas, se parecen a las curvas de indiferencia, pero los valores
que toman las isocuantas son las cantidades del bien que se pueden producir y
no un nivel de utilidad.
1
2
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Proporciones fijas3
x2
isocuantas
x1
Si estamos produciendo hoyos, y la tecnologa es tal que slo pueden utilizarse
un hombre y una pala.
f(x1, x2) = mn { x1, x2 }
El caso de las curvas de indiferencia de los complementarios perfecto (caf y
azcar)
Los sustitutivos perfectos:
Al hacer un trabajo escolar, y utilizar lpices rojos y azules. La cantidad de
tareas que realizaremos depende solamente del nmero total del lpices.
La fusin de produccin expresamos de la siguiente manera,
f(x1, x2) = x1 + x2
x1
isocuantas
x2
(Como el caso de los sustitutivos perfectos en la teora del consumidor)
Funcin Cobb-Douglas:
Si la funcin de produccin tiene la forma f(x1, x2) = A x1a x2b, tenemos una
funcin de produccin Cobb-Douglas. (es decir igual a las curvas de
preferencias Cobb-Douglas, pero en este caso no importaba la magnitud de la
utilidad, luego A=1, pero ahora A puede adoptar valores arbitrarios). De hecho
A, mide aproximadamente la escala de produccin, el volumen de produccin
si se utiliza una unidad de cada factor.
Los parmetros a y b miden en la respuesta de la cantidad de produccin
a las variaciones de los factores. Esta forma funcional, es la representacin
mas sencilla de isocuantas, y que adems facilita el anlisis.
3
Funcin de produccin en la cual los insumos deben utilizarse en una relacin fija entre s.
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El Producto Marginal
Supongamos que estamos en el punto (x 1, x2) y consideramos la
posibilidad de utilizar una pequea cantidad adicional del factor 1,
manteniendo fijo el factor 2 en el nivel x2, podemos escribir:
y f ( x 1 + x 1 , x 2 ) f ( x 1 , x 2 )
=
= producto marginal del factor 1 = PM 1 ( x1 , x2 )
x 1
x 1
PM ( x , x )
2
1
1
2
luego la RTS ( x 1 , x 2 )= x = PM ( x , x )
1
( pendiente de la isocuanta!)
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La RTS decreciente
Es un supuesto sobre la tecnologa, estrechamente relacionado al concepto
anterior.
Significa que la pendiente de una isocuanta debe disminuir en valor a
absoluto cuando nos desplazamos a lo largo de ella, porque incrementamos x1,
debe aumentar cuando nos desplazamos a lo largo de ella, porque
incrementamos x2. Lo que significa, que las isocuantas tienen las mismas
formas convexa que las curvas de indiferencia ms fciles de analizar.
x1
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Aplicacin:
Cmo afectan los rendimientos a escala a la posicin de las isocuantas?
23
q = 1000
20
q = 850
15
10
q =750
8
q = 500
5
q = 400
q = 200
10 16 20
30
40
46
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Un forma funcional apropiada para describir esta funcin alisada es la funcin CobbDouglas4. Esta funcin implica que cualquier combinacin de factores (x1, x2) que satisfaga la
condicin A xa1 xb2 y, puede generar al menos y unidades de produccin.
Esta representacin paramtrica, en verdad es un aproximacin de la tecnologa
correspondiente a un determinado intervalo de niveles de factores y de produccin, con la ventaja
de que podemos utilizar unas formas funcionales relativamente sencillas. Constituyen un
instrumento pedaggico muy til, puesto que nos permite aplicar los instrumentos del calculo
diferencial y el lgebra para analizar las decisiones de produccin de la empresa.
Y = f (K, L) = A Ka L b
Analisis de la Funcin de Produccin
Producto fsico marginal: cmo varia la produccin con cambios en el factor productivo.
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Elasticidad Insumo-Producto
Nos preguntamos en qu porcentaje aumenta el producto cuando hay un cambio porcentual de uno
de los factores.
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PMe; es la pendiente de la lnea entre un punto dado (B) sobre la curva f (pendiente 0 B).
PMg; es la pendiente de la recta tangente en un punto (A) sobre la curva f.
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Se puede observar que las curvas arriba, presentan una pendiente negativa y ademas son convexas.
Es decir, la RMST esta disminuyendo, esto se debe a que la productividad marginal es
decreciente.
Supongamos la siguiente funcin de produccin, q = f (K, L), asumimos que fkk < 0 y fLL < 0,
es decir, que la productividad marginal estn disminuyendo.
Homogeneidad de la funcin
Una funcin f (x1, x2) es homognea de grado k, si,
f (tx1, tx2) = t k f (x1, x2) ,
t > 0.
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a + b < 1.
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c) a + b > 1.
y = xa1 xb2 ,
y(t) = (t x)a1 (t x)b2 = t a + b xa1 xb2 ,
dy(t) / dt = a + b t a + b - 1 xa1 xb2 ,
e (x) = dy(t) t / dt y(t) = (a+b t a + b - 1 xa1 xb2 t) / (t a + b xa1 xb2 ) = a + b .
e (x) = a + b
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Elasticidad de Sustitucin5
La elasticidad de sustitucin presenta la relacin entre el cambio porcentual en la razn de
factores y el cambio porcentual en la pendiente de la isocuanta.
Si la TMST mide la pendiente de la isocuanta, la elasticidad de sustitucin mide su curvatura.
Es entonces, una medida de la curvatura. Uno se pregunta, cmo varia el cociente entre las
cantidades de los factores, cuando varia la pendiente de la isocuanta?
TMST = - (f/x1) / (f/x2),
= ((x2/x1)/x2/x1) / TMST/ TMST))
= Ln (x2/x1) / Ln TMST
Al movernos de A
Hicks, 1932
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= .
a, b > 0.
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1, 0, > 0
> 1, rendimientos crecientes,
< 1, rendimientos decrecientes.
Ejemplo:
y = f (x1, x2) = ( x1 + x2 ) 1/
f/x1 = (1/) x1 - 1 ( x1 + x2 )1/ - 1
f/x2 = (1/) x2 - 1 ( x1 + x2 )1/ - 1
TMST = - x1 - 1 / x2 - 1 = - (x2 / x1) 1 => TMST = (x2 / x1) 1
Ln TMST = (1 ) ln (x2 / x1) => ln (x2 / x1) = 1 / (1 - ) Ln TMST
= ln (x2 / x1) / Ln TMST = 1 / (1 - ), (elasticidad de sustitucin constante).
Importante; la funcin CES adopta varias formas dependiendo del valor del parametro
Arrow et al (1961)
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( = 1)
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b. Funcin Cobb-Douglas,
con una elasticidad de
sustitucin unitaria.
c. Funcin Leontieff,
con elasticidad de
sustitucin igual a cero.
0)
- )
Ejercicio;
Encontrar la elasticidad de escala de la CES,
y = f (x1, x2) = ( x1 + x2 ) 1/
y(t) = ((t x)1 (t x)2 ) 1/ = (t ( x1 + x2 )) 1/ = t ( x1 + x2 ) 1/
dy(t) / dt = ( x1 + x2 ) 1/
e (x) = dy(t) t / dt y(t) = ( x1 + x2 ) 1/ t / t ( x1 + x2 ) 1/ = 1
e (x) = 1
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y = A(t) f (K, L)
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Por ejemplo, en un trabajo pionero estudio de toda la economa estadounidense, entre los aos de
1.909 y 1.999. R. M. Solow estim los siguientes valores de la ecuacin.
Gy = 2,75% a.a.
GL = 1,0 % a.a.
GK = 1,75% a.a.
e y, L = 0,65
e y, K = 0,35
Portanto, GA = 1,5.
Interpretacin: la tecnologa avanz a una tasa del 1,5% anual entre 1909 y 1949.
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Costos totales.
Costos variables.
Costos fijos.
Costos medios.
Costos fijos medios.
Costos variables medios.
Costos marginales.
Costos hundidos.
Estos son los ms importantes tipos de costos, y se utilizan de acuerdo a la teora econmica en
diferentes conceptos.
Los costos totales, hacen referencia a la totalidad de costos incurridos por la empresa para
producir un nivel dado de output. Corresponde a la suma de los costos fijos y variables.
El costo variable, es la componente del costo total que varia de acuerdo al nivel de
produccin de la empresa.
El costo fijo, es la componente del costo total, que no varia con el nivel de produccin.
El costo medio, es igual al costo total de producir un nivel dado de produccin, dividido por
el referido nivel de produccin.
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El costo fijo medio, es el componente de costo fijo del costo total, dividido por el nivel total
de produccin.
El costo variable medio, es el componente variable del costo total, dividido por el nivel
total de produccin.
El costo marginal, es la variacin en el costo total de la empresa, producido por una
variacin infinitesimal en el nivel de produccin.
Los costos hundidos, son costos que una ves que son incurridos, se presentan como
irreversibles, y por lo tanto no afectan a la toma de una decisin econmica, en el sentido de que los
mismos son inevitables.
Las Curvas de Costos
Utilizaremos en este apartado un instrumento geomtrico: las curvas de costos.
Los costos medios:
CT (q) = CF + CV(q)
CMe (q) = CT(q) / q = (CF + CV)/q = CFMe (q) + CVMe (q)
CMe
CMe
CFMe
CMe
CVMe
CMe
Los costos medios estn formados por los costos variables medios, ms los costos fijos medios. Los
costos fijos medios siempre disminuyen con la produccin, mientras que los costos variables
tienden a aumentar. El resultado neto es una curva tpica de costo medio con forma de U.
La curva de costo marginal
Mide la variacin que experimentan los costos cuando se altera el nivel de produccin.
Analticamente determinamos el costo marginal; CMg=
CT (q )
q
La curva de costo marginal se encuentra por debajo de la curva de costo medio cuando los costos
medios son decrecientes, y por encima cuando son crecientes. Es decir, los costos marginales se
igualan a los costos medios en el punto de costos medios mnimos.
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CMe
CVMe
Cantidad
Ejemplo:
Dada la funcin de costos CT(q) = q2 + 2q + 10, determine las funciones de:
Costos variables,
Costos fijos,
Costos variables medios,
Costos fijos medios,
Costos marginales.
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= pi y i w i x i
y,x
max
i =1
i =1
s . a .= y f ( x )
.........(1)
Sujeto a su funcin de produccin. Es decir, la empresa decide x 1 y x2, pero como mximo
puede producir y(x1, x2).
Donde: Los costos representan todos los factores de produccin de utiliza la empresa
valorados a su precio de mercado.
{Existen costos econmicos que incorporan los costos de oportunidad (no solo los explcitos), si un
individuo utiliza por ejemplo su tiempo en su trabajo, pierde la oportunidad de emplearlo en otra
parte. Los salarios perdidos forman parte del costo de produccin.}
El valor de una empresa?
Podemos tener a una empresa funcionando a lo largo de mucho tiempo. Debemos de valorar los
costos y el flujo de ingresos a lo largo del tiempo.
Si estuviramos en un mundo donde no existe incertidumbre y conociramos el flujo de
beneficios futuros de una empresa, en este caso, el valor actual de estos beneficios sera el valor
actual de la empresa, es decir, lo que estara dispuesta a pagar una persona por ella.
Si fuese una empresa que pertenece a una serie de personas, estas empresas emiten acciones,
cuya cotizacin representa el valor actual de la corriente de dividendos que esperan recibir los
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.......(2)
x1
Obtenemos;
= p . y w 1 x 1 w 2 x 2
despejando
y=
w
w2
+
x 2+ 1 x 1
p p
p
....(3)
....(4)
Esta ecuacin (4) nos describe unas rectas de isobeneficios, es decir, la combinacin de
factores y productos que establecer un mismo nivel de beneficio.
Grficamente:
Y
rectas isobeneficio
c/ pendiente = + w1/p
( nivel de
produccin )
y = f(x1, x2)
X1
En la maximizacin del beneficio, la empresa elige la combinacin de factores y de
productos que encuentra en la recta isobeneficio ms alta ( y*, x*).
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Obs.: la pendiente de la funcin de produccin es el producto marginal (PMg), luego puedo escribir
que en el optimo: PMg = w1/p ....(5)
En la ecuacin (2), tenemos de las condiciones de primer orden (C.P.O.):
C.P.O.:
f ( x1 , x2 )
f ( x1 , x 2 ) w 1
=0, p .
w 1= 0,
= = PMg
x1
x1
x1
p
Es el mismo problema que el anterior pero ahora pueden variar los dos factores. La
condicin que describe la eleccin ptima es esencialmente la misma que antes, pero ahora se aplica
a cada factor.
C.P.O.:
=0, p . PMg 1= w 1 . .. .. . .. .( a )
x1
Estas dos condiciones nos dan lugar a dos ecuaciones de dos incgnitas, x*1 y x*2.
Las ecuaciones resultantes son denominadas curvas de demanda incondicional de los
factores. Es decir las demandas de cada factor que maximizan beneficios dados los precios de
mercado y la restriccin tecnolgica.
Al reemplazar estas funciones en la funcin de produccin se obtendr la funcin de oferta de ella
firma.
Y* = f ( x*1, x*2)
Y reemplazando estas funciones en la funcin de beneficios se tendr la funcin de beneficios
mximos: el nivel de beneficio maximo que la firma puede alcanzar dada una restriccin
tecnolgica y unos precios de mercado:
* = (p, w1, w2)
Propiedades de la Funcin de Beneficios ( p, w)
( ) es no decreciente en p,
( ) es no creciente en w,
( ) es homogenea de grado 1 en (p, w)
( ) es convexa en (p, w)
Lema de Hotelling; ( p, w)/ p = y (p, w), (funcin de oferta)
( p, w)/ wi = - x*i (p, w)
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Resultados:
A partir de Hotelling y Convexidad,
2 ( p, w)/ p2 = y (p, w)/ p > 0, (convexidad)
x1
La curva inversa demanda de los factores, nos muestra cul debe ser el precio del factor 1
para que se demanden x1 unidades, si el nivel del otro factor se mantiene fijo en x2.
Ejercicios:
1/ 2 1/ 2
a) Dada la funcin de produccin de una empresa, f ( x 1 , x 2 )=4x 1 x 2 , la cantidad del factor
x2 =16 (fijo). Determine la cantidad del factor 1 (x 1*), que demandar, y el nivel de
produccin (y*), que maximiza el beneficio.
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mn w1 x1 + w2 x2
x1, x2
s.a.: f(x1, x2) = y
Los costos mnimos necesarios para obtener el nivel de produccin deseado y, depende de
w1, w2 e y, por lo que lo expresamos de la siguiente manera: C (w1, w2, y).
Esta expresin, denominada funcin de costos mide los costos mnimos necesarios para
producir y unidades cuando los precios de los factores son w1, w2.
Tenemos que C (w1, w2, y), deducimos que:
x2 = C/ w2 - w1/w2.x1
Es una recta, con pendiente - w1/w2, y cuya ordenada en el origen es C/w2. Si variamos C,
obtenemos una familia de rectas isocostos...
Decimos que todos los puntos de una recta tienen el mismo costo, C, y cuanto ms arriba
estn las rectas mayor ser el valor de ste.
El problema de minimizacin de los costos ser, hallar el punto de la isocuanta que se
encuentra en la recta isocosto ms abajo posible.
x2
rectas isocostos, con pendiente = - w1/w2
x
2*
eleccin ptima
isocuanta: f(x1, x2) = y
x1*
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Utilizando los conceptos ya desarrollados, la relacin tcnica de sustitucin debe ser igual a la
relacin de precios de los factores:
RTS (x1*, x2*) = - w1 / w2 , o bien,
PMg 1 ( x 1 , x 2 )
PMg 2 ( x 1 , x 2 )
w1
w2
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C ( w1 , w 2 , y )
y
Teora de la Empresa
( x1 , x 2 )
L
= w1
=0
x1
x1
.....(1)
( x1 , x2 )
L
=w 2
=0
x2
x2
....(2)
L
= f ( x 1 , x 2 ) y = 0
.... (3)
f ( x1 , x 2 )
w1
x1
=
=RTS
w 2 f ( x1 , x 2 )
x2
Ejercicio de aplicacin:
Resolver:
2
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Cantidad
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p=
I
y , (el precio es el ingreso marginal)
Por lo que siempre, e independientemente del nivel del precio la empresa querr producir en
p = CMg.
Luego la curva de oferta es la curva de CMg!!!
Dos excepciones:
Solo en el tramo ascendente de la curva de CMg.
Si la empresa deja de producir (C. Plazo), igual tiene que seguir pagando su costo fijo
(CF). Es decir, los beneficios de producir y = 0, son iguales a: - CF.
Al producir y tenemos que = py CV(y) CF, luego la condicin para producir
sera: - Cf < py CV(y) CF
CV(y) < py,
Sabemos que p = CMg, y que CVMe = CV(y)/y (costo variable medio)
Por lo tanto, CMg CVMe, es la condicin de oferta por parte de la empresa.
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Teora de la Empresa
Largo plazo:
curva de oferta
CMe
curva de oferta
CMe
CVMe
CMg
CMg
Cantidad
Cantidad
La oferta de la industria:
P
O1
O2
O1 + O2
q
La curva de oferta de la industria es la suma (en la horizontal) de la curva de oferta de cada empresa
de esa industria.
2015