Teorema de Maxwell
Teorema de Maxwell
Teorema de Maxwell
FRMULAS DE CLAPEYRON:
Aplicando
ahora
arbitrariamente
las
componentes
correspondientes de deflexin del sistema (II), como desplazamientos
virtuales del sistema (I), resulta un trabajo:
+ PC ( M A CA + PB CB + PC CC )
. (1)
()
()
()
.
(2)
de
fuerzas
que actan
estructura
separada
mn:
Desplazamiento del punto de aplicacin de una de
las fuerzas Pm (en la
direccin y sentido de sta fuerza)
causada por la aplicacin del sistema
de fuerzas Pn.
nm:
Desplazamiento del punto de aplicacin de una de
las fuerzas Pn
causada por la aplicacin del sistema de
fuerzas Pm.
ab:
Desplazamiento del punto a en la direccin debido
a una carga P1
actuando en el punto b en la direccin .
ba:
Desplazamiento del punto b en la direccin debido
a una carga P1
actuando en el punto a en la direccin .
En cualquier estructura de material elstico, con apoyos
indeformables y bajo temperatura constante, el trabajo virtual
externo de las fuerzas del sistema Pm asociadas a los
desplazamientos causados por el sistema de fuerzas Pn es igual al
trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pn asociados a los
desplazamientos causados por el sistema Pm:
Pm mn=Pn nm
TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad):
De la relacin del Trabajo con funciones cuadrticas de las
fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya sealado en el temas
anteriores de que no es aplicable el Principio de Superposicin y por
lo tanto el trabajo de deformacin de varias fuerzas no es igual a la
suma de los trabajos de cada una de ellas por separado.
Supongamos que sobre un cuerpo acta un sistema de fuerzas
P que produce deformaciones y una energa de deformacin U igual
a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la
suma de dos estados de carga que llamaremos P y P.
P = P + P
Si es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la
carga P y es el correspondiente a las cargas P se cumplir:
= + .
cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas.
a) Primero P y luego P:
U =U +U + U (a)
Donde Ui, j representa el valor de la energa o
trabajo externo de las cargas Pi a lo largo
de los desplazamientos debido a las cargas Pj
(i y j con valores y ).
b) Primero P y luego P:
U =U +U + U (b)
Como los dos estados finales son iguales, tambin lo sern los
Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos:
U = U
O sus iguales:
Te =Te
Expresin del Teorema de BETTI:
El trabajo de un estado de cargas en equilibrio P a lo largo de
los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en
equilibrio P es igual al trabajo de las cargas P a lo largo de los
desplazamientos producidos por P.
A estos trabajos se los denomina recprocos o indirectos.
EJERCICIO DE APPLICACIN:
En la estructura de la figura 1, se aplican separadamente:
Una carga P=1 ton en B
Un momento M= 4ton-m en C
Se pide determinar:
a) cb
b) bc
c) cb / bc
SOLUCIN:
Segn la figura (a):
MC=0
RA ( 2 r ) +1 ( r )m=0
1 m
RA=
2 2r
Tramo AB: 0 x r
ds=
M=
M x
=
m 2r
2
dx x= y
2
M x
=
m 4r
Tramo CB:
ds=rd
( 12 2rm )( r rcos )m
M =
M=
1
m
r ( 1cos ) + ( 1cos )m
2
2
M 1cos
=
1
m
2
M
M r
1cos
r
r
= ( 1cos )
1 = (1cos)2+ (1cos )
m
2
2
4
2
M ds
m EI
M
r
x2 2 dx
r
r
rd
cb=
+ (
( 1cos )2+ ( 1cos ) )
4
2
EI
0 4 r 2 EI
0
cos
r
rd
(1+ ( 2 )2cos2+2 cos)
4
EI
+
0
1
x3
2 2 r 3 EI 0
cos
( 21 ) d
sen
r
r
6 2 EI 4 EI 0
r2
r2
r2
2
+
=
(
+ )
4 EI 4
4 EI 3 2 4
6 2 EI
( )
r
r 1 1
+
sen 2
6 2 EI 4 EI 2 4
r2
2
r2
cb=
+ =0.3142
4 EI 3 2 4
EI
MC=0
RA ( 2 r ) +Q ( r )4=0
Q 2
RA=
2 r
Tramo AB: 0 x r
2
dx x= y
2
ds=
( Q2 2r ) xQ ( y )=( Q2 2r ) x Qx
M=
)
0
M x
=
Q
2
2
M x
=
m r
Tramo CB:
ds=rd
( Q2 2r )( r rcos ) 4
M =
M=
Q
r ( 1cos ) +2 ( 1cos )4
2
M r (1cos)
=
m
2
M
r ( 1cos )
M
2
=( 2 (1cos )4 ) (
)=r (1cos) +2 r (1cos)
m
2
M ds
m EI
M
r
bc=
0
x2 2 dx
rd
+ (r ( 1cos )2+2 r ( 1cos ))
r 2 EI 0
EI
cos
r (1 ( 2 ) +2 cos+ 22 cos)
+
0
2 x3
2r 3 EI 0
rd
EI
cos
1
( 2 ) d
sen
2 2
2r
r
+
3 2 EI EI 0
2 r2
r2
r2 2
+
= (
+ )
EI 4
EI 3 2 4
3 2 EI
( )
2r
r 1 1
+
sen 2
3 2 EI EI 2 4
2
bc=
)
0
r
2
r
+ =1.2568
EI 3 2 4
EI
r
2
+
cb 4 EI 3 2 4
1
= 2
=
bc
4
r
2
+
EI 3 2 4
(
(
)
)
(1)(bc)=(4 )(cb)
cb 1
=
bc 4
CONCLUSIONES
El teorema que se ha demostrado para una carga real unitaria,pero si
es valido para esta carga tiene que serlo para cualquiera.
El teorema de Maxwell
simplifica notablemente el calculo de
deformaciones en los metodos de analisis estructuras hiperestaticas
como se vera en los capitulos posteriores del curso.
Ademas es un enunciado importante el uso de la energia de la
deformacion en relacion al trabajo ocasiona en ella.
El teorema de Maxwell y Betti es aplicado para dos o ms sistemas en las
cuales ya son conocidos los desplazamientos.
BIBLIOGRAFIA