Paltin Cap.6 7
Paltin Cap.6 7
Paltin Cap.6 7
INTRODUCCIN
El magnetismo es un fenmeno fsico por el que los materiales ejercen fuerzas de
atraccin o repulsin sobre otros materiales. Hay algunos materiales conocidos que han
presentado propiedades magnticas detectables fcilmente como el nquel, hierro,
cobalto y sus aleaciones que comnmente se denominan imanes. En general, todos los
materiales son influenciados, en mayor o menor medida, por la presencia de un campo
magntico.
El magnetismo tambin tiene otras manifestaciones en fsica, particularmente como uno
de los dos componentes de las ondas electromagnticas, como, por ejemplo, la luz visible.
Los fenmenos magnticos fueron conocidos por los antiguos griegos. Se dice que por
primera vez se observaron en la ciudad de Magnesia del Meandro en Asia Menor, de ah
el trmino magnetismo. Saban que ciertas piedras atraan el hierro y que los trocitos de
hierro atrados atraan, a su vez, a otros. Estas piedras se denominaron imanes naturales.
Michael
Faraday, FRS (Newington, 22
de
septiembre de 1791Londres, 25 de agosto de 1867), fue un fsico y qumico britnico que
estudi el electromagnetismo y la electroqumica. Sus principales
descubrimientos incluyen la induccin electromagntica, el
diamagnetismo y la electrlisis. Descubri asimismo el principio de
induccin electromagntica, diamagnetismo, las leyes de la electrlisis e
invent algo que l llam dispositivos de rotacin electromagntica, que
fueron los precursores del actual motor elctrico.
Andr-Marie Ampre (Lyon, 20 de enero de 1775-Marsella, 10 de junio de 1836) fue
un matemtico y fsico francs. Invent el primer telgrafo elctrico y, junto con Franois
Arago,
el electroimn.
Formul
en
1827
la
teora
del electromagnetismo. El amperio (en francs ampre) se llama as
en su honor. De las leyes de Ampre, la ms conocida es la
de electrodinmica. Esta describe las fuerzas que dos conductores
paralelos atravesados por corriente elctrica ejercen uno sobre otro.
Si el sentido de la corriente es el mismo en los dos conductores, estos
se atraen; si la corriente se desplaza en sentidos opuestos, los
conductores se repelen. Describe igualmente la relacin que existe
entre la fuerza de corriente y la del campo magntico correspondiente. Estos trabajos
fundan la electrodinmica e influencian considerablemente a la fsica del siglo XIX.
Captulo61
Captulo
6.1 Materiales Magnticos
Objetivos
= = ( + )
(. )
Diamagnetismo
Definicin 6.2
Es un efecto universal porque se basa en la interaccin entre el campo aplicado y los electrones
mviles del material. Habitualmente enmascarado por el paramagnetismo, salvo en
elementos formados por tomos o iones que se disponen en capas electrnicas cerradas, ya
que en estos casos la contribucin paramagntica se anula.
Caractersticas
1.Se magnetizan
dbilmente en el sentido opuesto al del campo magntico aplicado.
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La susceptibilidad
magntica es negativa y pequea y la permeabilidad relativa es entonces
html
menor que
2.ligeramente
Libro de SADIKU
PAG.1.263 CAPITULO 7(MODIFICAR ESTO
3. )
Captulo61
Captulo
Paramagnetismo
Definicin 6.3
Es la tendencia de los momentos magnticos libres (espn u orbitales) a alinearse paralelamente a
un campo magntico.
Caractersticas
Se magnetizan dbilmente en el mismo sentido que el campo magntico aplicado
cado. La susceptibilidad magntica es positiva y pequea y la permeabilidad relativa es
entonces ligeramente mayor que 1
La permeabilidad magntica es similar a la del vaco.
Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.2
Son aluminio y sodio.
Ferromagnetismo
Definicin 6.4
Es un fenmeno fsico en el que se produce ordenamiento magntico de todos los momentos
magnticos de una muestra, en la misma direccin y sentido. Un material ferromagntico es
aquel que puede presentar ferromagnetismo. Ha de extenderse por todo un slido para
alcanzar el ferromagnetismo.
Caractersticas
Los materiales ferromagnticos se magnetizan fuertemente en el mismo sentido que el
campo magntico aplicado.
La susceptibilidad magntica es positiva y grande y la permeabilidad relativa es entonces
mucho mayor que 1.
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3. )
Captulo61
Captulo
6.2 Ley de Biot y Savart
Objetivos
Definicin 6.5
La intensidad diferencial de campo magntico dH producida en un punto P por el elemento
diferencial de corriente I dl como se muestra en la figura 6.3, es proporcional al producto de
I dl y el seno del ngulo entre el elemente y la lnea que une P con el elemento e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R entre P y el Elemento2
Es decir:
=
()
(. )
()
(. )
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3. )
Captulo61
Captulo
Siendo k una constante de proporcionalidad, = 1/4 en unidades del Sistema Internacional
(SI), de tal manera la ecuacin 1.3 se convierte en:
()
(. )
Podemos en forma vectorial deducir la ecuacin tomando como base la definicin de producto
cruz.
=
(. )
H o I hacia dentro
Captulo61
Captulo
(. )
En trminos de la corriente distribuida tenemos que la Ley de Biot Savart se convierte en:
(. )
(. )
(. )
Ahora procedemos a demostrar la ley de Biot Savart para un conductor filamentoso de corriente
finita como se muestra en la figura 6.8
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3. )
Captulo61
Captulo
Consideramos que el conductor sigue la direccin del eje Z, y sus extremos se unen en un punto
P en el cual se determinara H. Tomamos el dH en P cuando un elemento dL est en (0, 0, Z).
=
(. )
(. )
Por tanto
(. )
[ + ]
( )
(. )
Esta frmula la aplicaremos en los diferentes conductores filamentosos rectos de longitud finita.
Observacin
Cuando un conductor es semiinfinito (respecto de P) el punto A se ubica en O (0,0,0) y el
punto B en (0,0,), 1 = 90 2 = 0 de tal manera que la ecuacin 1.13 se convierte
como se indica en la frmula 6.14, de la misma manera en el caso de un conductor de
longitud infinita en el que el punto a se encuentra en (0,0,- ) y el punto B en (0,0,),
1 = 180 2 = 0 de modo que la ecuacin se reduce como se indica en la frmula 6.15
=
(. )
(. )
(. )
Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.4
La espira conductora que se muestra en la figura porta una corriente de 10 A. Halle H en
(0, 0, 5) debida al lado 1 de la espira.
DESARROLLO
{
=
= ,
2
29
=5
( ) =
(
)( )
()
= .
( )
--,
Ejemplo 6.5
Una espira circular ubicada en 2 + 2 = 9, = 0 porta una corriente directa de 10 A, a lo
0largo de .Determine H en (0, 0, 4) y (0, 0, -4).
4 3
=
= (0, 0, ) (, , 0) = +
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html
2. Libro de SADIKU
PAG.
263
CAPITULO
7(MODIFICAR ESTO
= | 0 0 | = + 2
3. )
Captulo61
Captulo
=
3
4[2 + 2 ]2
( + 2 ) = +
= =
[ + ]
[ + ]
[ + ]
(, , ) =
()()
= . /
[ + ]
(, , ) = (, , ) = . /
(. )
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Captulo61
Captulo
=
(. )
Pero
(. )
(. )
La integral del primer miembro es la circulacin o integral de lnea del campo magntico a lo largo
de una trayectoria cerrada, siendo:
es la permeabilidad del vaco
es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto
es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y ser positiva o
negativa segn el sentido con el que atraviese a la superficie.
(. )
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Captulo61
Captulo
(. )
>
<
(. )
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Captulo61
Captulo
= ( + + + )
= () + ()() + () + ()
=
(. )
Con las ecuaciones 6.22 y 6.24 obtenemos = sustituimos en la ecuacin 6.23 quedando
as:
={
>
(. )
<
(. )
Captulo61
Captulo
Lnea de transmisin coaxial de longitud infinita
Consideremos una lnea de transmisin infinita consistente en dos cilindros concntricos con sus
ejes a lo largo del eje z, la seccin transversal se presenta a continuacin en la figura 6.12, donde
z sigue una direccin hacia fuera, y el conductor tiene un radio a y de corriente I, mientras que el
conductor interno b y de grosor t y porta una corriente de retorno I.
(. )
= =
(. )
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3. )
Captulo61
Captulo
= =
=
=
(. )
Puesto que la corriente I est encerrada en su totalidad por . Nos podemos dar cuenta que la
ecuacin 6.29 es similar a la ecuacin 6.15 y es independiente de a y en cuanto a la regin
+ y usamos la trayectoria con lo cual obtenemos:
= =
(. )
= +
(. )
Donde
[( + ) ]
=
=
[( + ) ] = =
= [
]
+
[
]
(. )
[
]
+
{
+
+
(. )
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Captulo61
Captulo
= (203 ) Determine:
a) El campo magntico para puntos dentro del conductor: ( < )
b) El campo magntico para puntos fuera del conductor: ( > )
c) Construya grfico = ().
DESARROLLO
=
()
= 0
Dado que
y
, se puede
escribir
= =0 0 ()
3
= (
) 2 = 0
3
Entonces
= 0 0
( < ) =
0 0
2
= 0
Teniendo presente que = y
sustituyendo el valor de J se obtiene
2
2 = 0 (
)
0 0
30
( < ) = 0 2 3 2
2
--,
0 0
30 3
0 0 2
2 = (
)
2
3
2 3
23
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( < ) = 0
Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.6
Considere un cable coaxial, de tal forma que tal que el conductor central tiene un radio a
y el conductor exterior tiene un radio interior b y radio exterior c, como se muestra en la
Fig. Si por los conductores circulan corrientes iguales pero de sentidos opuestos.
determine el campo magntico en todas las regiones, esto es:
a) = ( < )
b) = ( < < )
c) = ( < < )
d) = ( > )
DESARROLLO
I
a)
0 0
B(r < a) = (2a
2) r
b)
= 0 0
De donde
( > ) = 0
2 = 0 0
( < < ) =
c)
0 0
2
= 0
Dado que
y
, se puede escribir
= 0 ( )
como los mdulos de B y J son constantes,
se obtiene
= 0 (
)
--,
2 = 0 [ ( 2 2 )] donde
=
( 2
2)
Reemplazando se encuentra
( < < ) =
( 2 2 )
0 0
[1 2
]
( 2 )
2
= 0 = 0 ( ) = 0
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Captulo61
Captulo
6.4 Fuerza de Lorentz
Objetivos
Cuando una carga elctrica en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo
magntico, adems de los efectos regidos por la ley de Coulomb, se ve sometida a la accin de
una fuerza. Supongamos que una carga Q, que se desplaza a una velocidad v, en el interior de un
campo magntico B. Este campo genera que aparezca una fuerza F, que acta sobre la carga Q,
Definicin 6.7 (Fuerza de Lorentz)
Establece que una partcula cargada q que circula a una velocidad por un punto en el que
, sufrir la accin de una fuerza denominada
existe una intensidad de campo magntico
y
fuerza de Lorentz cuyo valor es proporcional al valor de q,
y est definida por el
producto vectorial.
El campo magntico B se define de la ley de la Fuerza de Lorentz, y especficamente de la fuerza
magntica sobre una carga en movimiento como se indica en la figura 6.14.
= (
)
(. )
Captulo61
Captulo
La fuerza es perpendicular a ambas, a la velocidad v de la carga y al campo magntico B.
La magnitud de la fuerza es = () donde es el ngulo < 180 grados entre la
velocidad y el campo magntico. Esto implica que la fuerza magntica sobre una carga
estacionaria o una carga movindose paralela al campo magntico es cero.
Caractersticas del producto vectorial
Modulo
Donde a es el ngulo formado por v y el B.
= || || || ()
(. )
Direccin
La direccin es perpendicular al plano formado por los vectores v y B
Sentido
Determinado por la regla de la mano derecha, llevamos el vector y sobre B.
+
)
= (
(. )
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Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.7
Determine la diferencia de potencial entre el centro y uno de los extremos de la barra
metlica de longitud L que gira con una velocidad constante , la misma que se encuentra
inmersa en una regin donde existe un campo magntico de densidad B, uniformemente
distribuida:
DESARROLLO
/2
1
/2
= = 2 |
2
0
0
1
= 2
8
Ejemplo 6.8
En una regin donde existe una densidad de campo magntico uniformemente
distribuida, de valor B, se ha colocado un lazo de forma circular de radio a, el mismo
tiempo se desplaza a una velocidad constante v, como se indica en la figura. Determine
la fuerza electromotriz inducida en el lazo:
DESARROLLO
|
= |
)
=
(
Tomamos
en
cuenta
las
componentes del vector velocidad
dndonos cuenta que solo la
componente normal, el cual es el de
la induccin
|
| = | | cos()
| |
| cos 0 90
= |
||
| |
| cos donde
= |
||
| =
|
| | | cos()
= 2 |
0
| | | sen() |
= 2|
/2
0
| | |
= 2|
--,
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Captulo61
Captulo
6.5 Condiciones de Frontera Magnticas
Objetivos
(. )
(. )
(. )
(. )
(. )
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Captulo
(. )
(. )
(. )
(. )
= = =
(. )
(. )
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Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.9
Puesto que 1 = 2 + 6 + 4 / en la regin 2 0, donde 1 = 50
Calcule:
DESARROLLO
--,
2 = 0 es un plano 2 o
+ 2 es la regin 1 en la figura. Esto puede
confirmarse con un punto en tal regin. Por
ejemplo, el origen (0,0) se sita en ella, ya que
0 0 + 2 < 0 . Si concedemos que la
superficie del plano esta discreta por (, ) =
2 , un vector unitario normal al plano
est dado por
a.
=
=
||
2
1 = 1 1 = (1 1)1
= (5 1)(2,6,4)
= 8 + 24 + 16
1 = 1 1 = 0 1 1
= 4 107 (5)(2,6,4)
= 12.57 + 37.7 + 25.13 /2
b.
1 = (1 )
(1,1,0) (1,1,0)
= [(2,6,4)
]
2
2
= 4 + 4
Pero
1 = 1 + 1
Por tanto
1 = 1 1 = (2,6,4) (4,4,0)
= 2 + 2 + 4
Al aplicar las condiciones de frontera se
obtiene:
2 = 1 = 2 + 2 + 4
2 = 1 2 2 = 1 1
1
5
2 = 1 = (4 + 4 )
2
2
= 10 + 10
2 = 2 + 2 = 8 + 12 + 4 /
2 = 2 2 = 0 2 2
= (4 107 )(2)(8,12,4)
= 20.11 + 30.16 + 10.05 /2
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Captulo61
Captulo
Ejemplo 6.10
El plano xy funge como interfaz entre dos medios diferentes. El medio 1( < 0) esta
ocupado por un material con = 6 y el medio 2( > 0) por otro con = 4 Si la interfaz
1
porta corriente ( ) / y 2 = 5 :
DESARROLLO
0 y con la ayuda de la ecuacin 1.43 y de la
ecuacin 6.39 como se indica en la figura. Sea 1 =
( , , ) en /2
a.
1 = 2 = 8 = 8
Pero
2 = 2 = 4 (5 + 8 )
2
Y
1
1
=
(2)
( + + )
1 60
1
( + + )
60
1
1
(5 + 8 ) +
=
40
0
Igualamos
5
=
+1
6
6
6
= = 1.5
4
1 = 1.5 + 8 /2
1
1
1 =
= (0.25 + 1.33 )
1 0
2 = (1.25 + 2 )
0
= 0,
--,
Ntese que 1 es
1
0
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Captulo
6.6 Circuitos Magnticos
Objetivos
= =
(. )
(. )
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Captulo61
Captulo
Donde es la longitud del ncleo, la permeabilidad del material, y la superficie, perpendicular
al flujo, del ncleo. El acoplamiento de la reluctancia en serie y/o paralelo en un ncleo, es
idntico al del acoplamiento de resistencias en un circuito elctrico. Si no se tiene acceso a los
valores del ncleo tambin se puede calcular mediante la siguiente ecuacin.
=
(. )
(. )
(. )
= + + +
(. )
(. )
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Captulo61
Captulo
= = = =
(. )
Ejemplo 6.11
Para el circuito magntico que se muestra en la figura, determine el flujo magntico que
circula por el entrehierro de la izquierda y la corriente necesaria en la bobina de 400 espiras,
para producir un flujo de 200 kmax en el entre hierro de la derecha, sabiendo que
= 3.19 103
DESARROLLO
Para encontrar la reluctancia del circuito
analizamos en el circuito magntico equivalente,
aplicando la ecuacin 1.49.
(. )
=
(3.19 103 ) .
= . [
]
( + )
=
(. + . )
=
= . []
Sabiendo que la corriente es la misma en
todo el circuito, para lo cual procedemos
a encontrar el flujo de la parte derecha
=
=
( + )
( . )
=
(. + . )
=
= . []
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Captulo61
Captulo
6.7 Fuerza en Materiales Magnticos
Objetivos
(. )
Donde S es la seccin transversal del entrehierro, el factor 2 da cuenta de los dos entrehierros y
el signo negativo indica que la fuerza acta para reducir el entrehierro (o fuerza de atraccin). As:
= (
(. )
Indicando que en la pieza se ejerce una fuerza sobre la pieza inferior, no sobre la pieza superior
portadora de corriente que da origen al campo, pudiendo expresarla mediante la ecuacin:
=
(. )
Ejemplo 6.12
Un electroimn en forma de U como se indica en la figura est diseado para elevar una
masa de 400Kg. La horquilla de hierro = 3000 tiene una seccin transversal de 40cm2 y la
longitud media de 50 cm y los entrehierros de 0.1 mm de largo cada uno. Ignore la
reluctancia del contacto y calcule el nmero de vueltas en la bobina cuando la corriente de
excitacin es de 1 mA.
DESARROLLO
0
.
=
= . /
Pero
= = ( + )
.
=
=
=
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Captulo61
Captulo
=
=
=
=
=
( + )
+
--,
Puesto que
. .
=
=
=
= =
(. )
(. )
(. )
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Captulo61
Captulo
La inductancia es el Henry (H), equivalente a Wb/A. Puesto que es una unidad muy grande, la
inductancia suele expresarse en mili henrios (mH). La ecuacin definida por la ecuacin 6.61 se
llama autoinductancia ya que es el propio inductor el que produce los eslabonamientos. E n forma
similar a la capacitancia la inductancia puede considerarse una medida de la cantidad de la energa
magntica almacena en un inductor
=
(. )
(. )
(. )
(. )
De igual modo la inductancia mutua se define como los eslabones de flujo del circuito 2 por
unidad de corriente , es decir:
=
(. )
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Captulo61
Captulo
Con sustentos en conceptos de energa es posible demostrar que el medio que rodea los circuitos
es lineal. La inductancia mutua o magnetizacin se expresa en henrys y no debe
confundirse con el vector de M que se expresa en amperes/metro.
=
(. )
(. )
(. )
Ejemplo 6.13
Calcule la autoinductancia por unidad de longitud de un solenoide de longitud infinita.
DESARROLLO
En el caso de un solenoide de longitud infinita, el flujo por unidad de longitud es:
= =
Donde = = numero de vueltas por unidad de longitud. Si S es el rea de la seccin
transversal del solenoide, del flujo total a travs de la seccin transversal es:
= =
Puesto Que este flujo corresponde solo a una unidad de longitud del solenoide, el
eslabonamiento por unidad de longitud es
= = =
= = =
entonces =
H/m
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Captulo61
Captulo
Preguntas de Repaso.
1. De los siguientes enunciados cuales son origen de campo magntico.
a) Corriente directa de un alambre.
b) Un imn permanente.
c) Una carga acelerada.
d) Un campo elctrico que cambia linealmente con el tiempo.
e) Disco cargado que gira a una velocidad constante.
2. Identifique en el siguiente grafico cuales es la representacin incorrecta de y
a) = (0,5,0)
b) = (5, /4,0)
d) = (5,3/2,0)
4. Para la corriente y trayectorias cerradas de la figura. Calcule el valor de .
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Captulo61
Captulo
7. En las siguientes expresiones se componen de un par, un elementos de circuito elctrico
y un elemento de circuito magntico Cules no son correspondientes?
a) V
b) G
c) y
d) IR
e) I = 0 = 0
8. Una bobina de varias capas de 200 vueltas de alambre muy delgado tiene 20 mm de
largo y un grosor de devanado de 5 mm. Si porta una corriente de 5mA. Cul es la fuerza
electromotriz que genera?.
a) 10 A-t
b) 500 A-t
c) 2000 A-t
d) Ninguna de las anteriores
9. Es posible que una carga elctrica se mueva a travs de un campo magntico sin
experimentar ninguna fuerza magntica:
a) Verdadero
b) Falso
Ejercicios Propuestos.
1. Determine la densidad del campo magntico en el centro de un lazo conductor
doblado en forma de una circunferencia de radio a, por el circula una corriente
filamentaria de intensidad I
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Captulo
3. Determinar el flujo magntico a travs de la seccin transversal de los solenoides
infinitamente largos mostrados en la figura. El nmero de vueltas por unidad de
longitud de los solenoides es n y circula por ellos una corriente elctrica de
intensidad I.
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Captulo61
Captulo
7. Una Corriente laminar 1 = 4, es el lado del plano que contiene el origen de
coordenadas, entretanto en la regin 2. Conocindose la densidad de campo
magntico 1 , determinar 2 Y 2 .
En la region
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Captulo61
Captulo
11. El toroide como se indica en la figura, tiene un reluctancia = 2 105 Amp-esp/Wb
y la bobina que lo excita tiene 200 espiras, la misma que transporta una corriente
elctrica de 3 amperios de intensidad. Calcular el flujo magntico en el toroide.
12. Un toroide con entrehierro como el que se indica en la figura posee una seccin
transversal cuadrada. Un conductor largo portador de corriente 2 esta insertado en
el entrehierro. Si 1 = 200 , = 750, 0 = 10, = 5 = 1
14. La lnea telefnica de dos alambres se extiende paralelamente a una delgada lnea
simtrica de potencia de dos alambres, como se muestra en la figura. Determine la
inductancia mutua entre ellas y la amplitud de la fuerza electromotriz inducida en la
lnea telefnica cuando por la lnea de potencia circula una corriente sinusoidal con
amplitud y frecuencia , si = 1 [], = 1 [], = 25 [], =
5[], = 100 [] = 60 []
En la region
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Ecuaciones de Maxwell
INTRODUCCIN
Se formularn las ecuaciones de Maxwell en forma integral, interpretando fsicamente cada una
de ellas. Se debe resaltar el significado de la ley de Gauss para el campo magntico y la simetra
de la tercera y cuarta ley de Maxwell, sin entrar en detalles acerca de la corriente de
desplazamiento.
Los estudiantes deben de apreciar en las ecuaciones de Maxwell, uno de los xitos ms brillantes
de la historia de la Fsica, en cuanto sntesis de una gran variedad de fenmenos fsicos y su
capacidad para predecir la existencia de las ondas electromagnticas y la explicacin de la
naturaleza de la luz, convirtiendo la ptica en una parte del electromagnetismo.
A este nivel no es conveniente deducir la ecuacin de las ondas electromagnticas a partir de la
expresin diferencial de las ecuaciones de Maxwell, ya que los estudiantes carecen de
conocimientos matemticos suficientes para comprender los pasos de la derivacin. Se
mencionarn las caractersticas ms importantes: la velocidad de propagacin en el vaco y en un
medio material, las relaciones entre el campo elctrico y el campo magntico, la intensidad de
una onda electromagntica.
Se resaltar la gnesis y el desarrollo de las telecomunicaciones de tanta importancia hoy en da,
como una de las contribuciones ms importantes de la Fsica al desarrollo tecnolgico.
Se describirn las distintas regiones del espectro electromagntico, la diferencia entre las distintas
regiones en trminos de la forma en la que se producen las ondas y los efectos de las mismas
sobre la materia. Se destacar la importancia de las ondas electromagnticas en el desarrollo
tecnolgico, y los efectos beneficiosos/perjudiciales para el organismo humano y los seres
vivientes, en general.
James Clerk Maxwell (Edimburgo, Reino Unido; 13 de
junio de 1831-Cambridge, Inglaterra; 5 de noviembre de 1879)
fue un fsico britnico conocido principalmente por haber
desarrollado la teora electromagntica clsica, sintetizando
todas las anteriores observaciones, experimentos y leyes
sobre electricidad, magnetismo y
aun
sobre ptica,
en
1
una teora consistente. Las ecuaciones
de
Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta
la luz, son manifestaciones del mismo fenmeno: el campo
electromagntico. Desde ese momento, todas las otras leyes y
ecuaciones clsicas de estas disciplinas se convirtieron en casos simplificados de las ecuaciones
de Maxwell. Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado la segunda gran unificacin en
fsica,2 despus de la primera llevada a cabo por Isaac Newton.
Captulo71
Captulo
7.1 Ley de Faraday
Objetivos
Captulo71
Captulo
interrumpiendo de este modo la corriente, el galvanmetro marca nuevamente, pero en
direccin contraria
= =
(. )
Donde N es el nmero de vueltas en el circuito y el flujo a travs de cada una de ellas. El signo
negativo indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que produce.
Definicin 7.1 Ley de Lenz
Relaciona cambios producidos en el campo elctrico en un conductor con la variacin de flujo
magntico en dicho conductor, y afirma que las tensiones o voltajes inducidos sobre un
conductor y los campos elctricos asociados son de un sentido tal que se oponen a la variacin
del flujo magntico que las induce
Considrese el circuito elctrico que aparece en la figura 7.3 en la que una batera es fuente de
fuerza electromotriz. La accin electroqumica de la batera da como resultado un campo
producido por fuerza electromotriz. La acumulacin de la carga en las terminales de batera causa
asimismo un campo electrosttico = V. El campo elctrico en cualquier punto es:
= +
(. )
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Captulo71
Captulo
Cabe hacer notar que es de cero fuera de la batera y , siguen direcciones opuestas dentro
de esta y la direccin de en la batera es la contraria a la que sigue fuera de ella. Si se integra
la ecuacin 7.2 sobre el circuito cerrado.
= + =
(. )
= = =
(. )
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Captulo
DESARROLLO
0
2
= =
=
( 1) =
1
+
( 1) =
0
2
0
+
( 1) =
(
)
2
] | |
[
]=
[
2 +
2 +
0 | | 1
1
0 | |
[]
=
]=
[
2
+
2( + )
Si la resistencia elctrica del mencionado lazo conductor fuera R, entonces de acuerdo a la
Ley de Lenz, la corriente inducida que circula por dicho lazo, tendra el mismo sentido de
las manecillas del reloj, y su valor estara dado por:
= []
(. )
Sin embargo la divergencia del rotacional de un campo vectorial es idntica a cero, por
consiguiente:
( ) = =
(. )
(. )
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Captulo71
Captulo
Por lo que concluimos que la ecuacin 7.6 y 7.7 son incompatibles respecto de condiciones de
variacin del tiempo debe arreglar la ecuacin 7.5 de manera que sea acorde con la ecuacin 7.7.
Se aade por ello un trmino a la ecuacin 7.7 y se convierte en:
= +
(. )
Donde se determinara, la divergencia del rotacional de un vector es igual a cero, por tanto:
( ) = = +
(. )
= ( ) =
(. )
(. )
(. )
Esta es la ecuacin para un campo variable en el tiempo. El trmino se conoce como densidad de
corriente de desplazamiento. Con base de la corriente de desplazamiento, la corriente de
desplazamiento.
= =
(. )
La ley de circuitos de Ampere a la trayectoria cerrada L que aparece en la figura 7.4(a), que resulta
en:
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Captulo
= = =
(. )
Donde es una corriente a travs del conductor, 1 la superficie plana delimitada , en cambio
la superficie 2 en forma de globo que pasa entre las placas del capacitor en la figura 7.4 (b)
= = =
(. )
=
=
(. )
=
=
Por tanto
= =
= =
=
=
=
=
= 2
109 5 104
103 50cos(103 )
36 5 103
= 147.4 cos(103 )
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Captulo
6.3 Ecuaciones de Maxwell
Objetivos
Forma Punto
=
=0
=+
Forma Integral
D =
B = 0
Ley de Faraday
E =
H = ( +
(. )
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Captulo
Los Conceptos de linealidad isotrpica y homogeneidad de un medio material tambin son
aplicables a los campos variables en el tiempo; en el caso de un medio lineal, homogneo e
isotrpico, tenemos las relaciones constitutivas:
= = +
(. )
= = ( + )
(. )
= +
(. )
(. )
(. )
(. )
=
Y potencial magntico en forma vectorial:
Analizaremos que ocurre en los campos cunado varan en el tiempo, recuerde que A se defini a
partir del hecho de que = 0, lo que tambin rige en campos variables en el tiempo, de ah
la relacin:
=
(. )
( )
(. )
)=
(. )
( =
En vista de que el rotacional del gradiente de un campo escalar es idntico a cero, la solucin es:
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Captulo
+
(. )
(. )
Con fundamento en las ecuaciones 7.24 y 7.27 es posible determinar los campos vectoriales B y
E, siempre que se conozcan los potenciales A y V sin embargo hemos de hallar expresiones A y V
similares a las formuladas en las ecuaciones 7.22 y 7.23 que se adecuan en campos variables con
el tiempo. La tabla 7.1 y la ecuacin que revelan = es vlida para condiciones de variacin
en el tiempo. De la ecuacin 7.28 se obtiene:
=
=
( )
(. )
( ) =
(. )
( )
(. )
= ( )
( ) = + ( ) +
(. )
= ( )
(. )
)=
(. )
) =
(. )
(. )
(. )
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=
Captulo71
Captulo
El Trmino o J significa que el instante en (, , , ) o (, , , ) es reemplazado por el
momento retardado , dado por:
=
(. )
(. )
= = [ cos(/2)()] 2
8 2
( 1) ()
2
= 2 ( 1) ()
Preguntas de Repaso.
1. El flujo a travs de cada vuelta de una bobina de 100 vueltas es de ( 3 2) , donde t
se mide en segundos. La fuerza electromotriz inducida en = 2 es.
a) 1V
b) -1V
c) 4 mV
d) 0.4 V
e) -0.4 V
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Captulo71
Captulo
2. Suponiendo que las espiras son estacionarias y que el campo B variable en el tiempo
induce corriente I. Cules de lasa configuraciones que aparece en la siguiente figura?
3. Dos bobinas conductoras 1y 2 idnticas salvo por el hecho que la bobina 2 esta
fracturada, se sitan en un campo magntico uniforme que decrece a un ndice
constante, como se indica en la figura. Si el plano en que se encuentran las bobinas es
perpendicular a las lneas del campo. Cul de los siguientes enunciados es correcto?
a) En ambas bobinas se induce fuerza electromotriz
b) Se induce fuerza electromotriz en la bobina2, la bobina fracturada.
c) En ambas bobinas ocurre igual calentamiento en joule
d) En ninguna de las bobinas ocurre calentamiento en joule
=0
b) =
c) =
d) = ( + )
e) = 0
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Ejercicios Propuestos.
1. Un espira conductora circula de 20 cm de radio se sita en el plano z=0 en un campo
magnticos = 10 (377) . calcule el voltaje inducido en ella.
2. Una varilla de longitud l gira en torno al eje z con una velocidad angular w. Si =
Calcule el voltaje inductor en el conductor.
3. En la siguiente figura aparece una espira conductora de 20 cm2 de rea y resistencia
de 4. Si = 40 (104 ) , halle la corriente inducida en ella e indique su
direccin.
5. Tal como se observa en la figura siguiente, una barra imantada es lanzada hacia el
centro de una bobina de 10 vueltas y resistencia de 15 ohmios. Si el flujo magntico a
travs de la bobina cambia de 045 Wb a 0.64 Wb en 0.02 s Cules son las magnitudes
y direccin de la corriente inducida?
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