4.

Conduccin de calor en estado

transitorio
Al rey la hacienda y la vida
se ha de dar; pero el honor
es patrimonio del alma, y el
alma slo es de Dios.
PEDRO CALDERN DE LA BARCA

En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema

depende del tiempo. Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una
casa expuesta a la radiacin solar; de los refractarios que componen la matriz de
un regenerador, durante el proceso de templado de un cristal para automvil o de una
pieza de acero; en el proceso de coccin de un pastel; en fin , hay un sinnmero de
situaciones de este tipo. En todos esos casos la temperatura no slo est condicionada por la distancia, sino tambin por el tiempo. A diferencia de los procesos
de conduccin de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento
o una disminucin en la energa interna del sistema mientras ocurre el proceso.
El tratamiento analtico de los procesos transitorios ha encontrado distintas
aplicaciones mediante la simulacin de sistemas por computadora. Con un anlisis de este tipo puede predecirse su comportamiento sin necesidad de recurrir a la
experimentacin, que con frecuencia es muy costosa.
En este captulo se describen algunas de las tcnicas ms comunes para
resolver una amplia variedad de problemas transitorios.

4.1. Anlisis de parmetros concentrados

En diversas circunstancias la temperatura de un sistema durante un proceso de
calentamiento o enfriamiento est sujeta casi de manera exclusiva al tiempo, no a
la distancia. Podra suponerse que en estos casos la conductividad trmica del
material que compone el sistema es suficientemente alta para que los gradientes
de temperatura en su interior resulten insignificantes. Del mismo modo podra
pensarse que el sistema es lo suficientemente pequeo para que las diferencias de
temperatura en su interior no sean considerables. Por ltimo, tambin podra conjeturarse que el coeficiente de transferencia de calor en la interfase sistema-fluido
115

116

4. Conduccin de calor en estado transitorio

es lo suficientemente pequeo, y que la diferencia de temperaturas entre el fluido

y el sistema es relevante en dicha interfase y no en el interior del sistema.
Con la intencin de cuantificar esas ideas, imagnese un sistema que experimenta un proceso de enfriamiento o calentamiento en presencia de un fluido. El
cociente de la resistencia trmica por conduccin a la de conveccin puede
escribirse como
L
Rconduccin

conveccin

k
"" _1

hL

=T

El parmetro adimensional hL/k se conoce como nmero de Biot. En este nmero

adimensional, h es el coeficiente de transferencia de calor en la interfase, k la conductividad trmica del sistema y L una longitud caracterstica para la conduccin
de calor. A guisa de ejemplo, L es igual al radio de una esfera; como tambin es el
radio en el caso de una barra cilndrica de gran longitud. De manera anloga, la longitud caracterstica L es igual al semiespesor en una placa plana expuesta a un fluido que disipa o toma calor por ambas superficies, etctera.
De lo anterior se desprende que las diferencias de temperatura en el interior de
un sistema son pequeas en relacin con la cada de la temperatura en la interfase
cuando el nmero de Biot es pequeo. Por el momento, baste decir que si el
nmero de Biot es menor a 0.1, aproximadamente, la temperatura en el interior de
un cuerpo depende fundamentalmente del tiempo. Ms adelante se justificar tal
afirmacin.
El anlisis de la transferencia de calor en estado transitorio en estos sistemas
es muy sencillo y se conoce como anlisis de pa,:metros concentrados.
Considrese un sistema como el que se muestra en la figura 4.1, el cual se
encuentra inicialmente a una temperatura uniforme To. Supngase que de pronto
se sumerge el cuerpo en un fluido a una temperatura Too que es constante. Si pensamos que la resistencia interna a la conduccin es insignificante respecto a la
externa de conveccin, la temperatura del cuerpo est determinada slo por el
tiempo, es decir, T = T(t).
Si aplicamos la primera ley de la termodinmica a todo el cuerpo, el calor disipado por conveccin en cualquier instante se refleja en una disminucin de su
energa interna. En forma analtica,
(4.1)
donde
h = coeficiente promedio de transferencia de calor
A = rea del cuerpo donde intercambia calor por conveccin

117

4.1. Anlisis de parmetros concentrados

T
To 1-- - - - 1= 0
1- - - - - 1,

1- - --

- 12

T_ I- - - - Distancia

Figura 4.1. Sistema con parmetros concentrados.

p = densidad del material que constituye el sistema

V = volumen del sistema
e = calor especfico del material que constituye el sistema
Ntese que el producto pVes igual a la masa del sistema. La expresin anterior
puede tambin escribirse como
dT

hA

- +(T-Too ) = O
dt peV

(4.2)

Para hacer homognea esta ecuacin diferencial puede definirse la diferencia de

temperaturas como 8 = T - Too, que constituye la diferencia de potencial para transferencia de calor por conveccin. En trminos de esta nueva variable,

d8 + hA 8=0
dt peV

(4.3)

Esta ecuacin diferencial homognea de primer orden requiere una condicin inicial para obtener su solucin particular. Puesto que la temperatura inicial del cuerpo es igual aTo,

T = To en t

=O

o
8 = 80 en t = O

(4.4)

De las ecuaciones 4.3 y 4.4 puede determinarse la temperatura como funcin del
tiempo. La solucin general de la ecuacin 4.3 es de la forma
hA

- -1

8 = C1e

pcV

118

4. Conduccin de calor en estado transitorio

En virtud de que 8 = 80 en t

= 0, se tiene que el = 80, En consecuencia,

hA
--t

8 =80 e

pcV

o
7'

T-

.L oo

To -

--

hA

= e pcV

(4.5)

T oo

La ecuacin anterior permite determinar la temperatura T del cuerpo en cualquier

instante t. Esta variacin de temperatura se ilustra en el diagrama de la figura 4.2.
Como caba esperar, la temperatura del sistema disminuye aproximndose a la
del medio ambiente a medida que transcurre el tiempo. Obtendremos mayor informacin de este proceso transitorio si definimos las variables adimensionales siguientes:

t*

(pcV/hA)

t
r

As, en forma adimensional, la ecuacin 4.5 puede escribirse como

8* = e -t'

(4.6)

En la figura 4.3 se muestra esta respuesta de temperatura en coordenadas adimensionales.

T
To

Figura 4.2. Variacin de la temperatura de un cuerpo como funcin del tiempo cuando
Bi ~ O .

119

4.1. Anlisis de parmetros concentrados

O'

0.368

~---~~

OL-_-~----=~----

t'

Figura 4.3. Respuesta adimensional de temperatura.

Obsrvese que cuando t* = 1, e* = 0.368; Y cuando t* = 4, e* = 0.018 . Dicho

de otro modo, cuando t = r, la temperatura del sistema ha alcanzado 63.2% de su
valor de estado estable. De forma semejante, cuando t = 4r, la temperatura del sistema ha alcanzado 98.2% de su valor de estado estable.
El parmetro r se conoce como constante de tiempo del sistema y constituye
un ndice de la rapidez con que vara la temperatura de ste al someterse a una perturbacin. Es, pues, interesante analizar las diferentes propiedades que componen
la constante de tiempo, la cual puede expresarse como

r = -pcV = RC
hA
t t

(4.7)

donde Rt es una resistencia trmica a la conveccin y Ct una capacitancia trmica.

Es decir, el sistema que se muestra en la figura 4.1 tambin tiene una analoga
elctrica, como se aprecia en el esquema de la figura 4.4.

T~

L -______-,~____~

Figura 4.4. Analoga elctrica de un anlisis de parmetros concentrados.

120

4. Conduccin de calor en estado transitorio

Figura 4.5. Respuesta de temperatura en coordenadas semJogartmicas.

El anlisis de parmetros concentrado tambin es til para la detenninacin
experimental del coeficiente de transferencia de calor en un cuerpo de geometra
dada en condiciones especficas de temperatura. Si la ecuacin 4.5 se grafica en
coordenadas setnilogartmicas, como se observa en la figura 4.5, se obtiene una
lnea recta cuya pendiente es proporcional al recproco de la constante de tiempo.
Con una medicin experimental de la temperatura del cuerpo como funcin del
tiempo puede determinarse el coeficiente promedio de transferencia de calor h a
travs de la pendiente de la recta. Desde luego esta determinacin experimental
supone que se conocen las otras variable del sistema (A, p, V y e).

-- --

126

4. Co11duccin de calor en estado transitorio

00

4.2. Placa infinita

En varios problemas de tipo transitorio no puede despreciarse la resistencia inter
na a la conduccin, ya que la temperatura del sistema no slo depende del tiempo
sino tambin de la distancia.
A diferencia del anlisi de parmetros concentrados 1ecin descrito, la solu
cin de problemas relacionados con la conductividad trmica finita es ms com
pleja, pue implica el anlisis de ecuaciones erenciales parciales.
Considrese como ejemplo el caso de una placa infinita de espesor 2L, la cual
se encuentra a una temperatura inicial uniforme T;, como se observa en el esque
ma de la figura 4.6a. Supngase que de pronto se pone en contacto con un fluido a
una temperatura constante T00 y se desea conocer la hi toria de temperatura de la
placa como funcin de la distancia y el tiempo. El problema descrito es equiva
lente por simetra, al de una placa de e pesor L perfectamente aislada en una de
sus superficies, como se ilustra en la figura 4.6b.
Con el fin de obtener la hist01ia de temperatura en la placa considrese un volu
men de control de dimensiones ..x, .y y i:i dentro del material. Al aplicar la primera

127

4.2. Placa infinita

Flu ido a T=
h

Fluido a T=

Fluido a T=

2L

(b)

(a)

Figura 4.6. (a) Placa infinita de espesor 2L, y (h) placa infinita de espesor L aislada por
uno de sus lados.

ley de la termodinmica a este sistema se obtiene que el flujo neto de calor por
conduccin es igual al incremento de energa interna que experimenta. Analticamente,

q"i1y& I

- q"i1y& I

X+ Lli

= pci1xi1y& dT
dt

Dividiendo esta expresin entre &i1y& y haciendo que & tienda a cero, se
obtiene
dq" _
dT
-- pc -

dX

. dt

Al introducir la ley de Fourier de conduccin de calor y suponiendo que la conductividad trmica es constante,

Definiendo la difusividad trmica como a

= k/ pc se obtiene
(4.8)

De esta expresin se observa que la difusividad trmica afecta la razn de cambio

de la temperatura con respecto al tiempo. As, dicha razn es ms rpida si el material tiene una gran difusividad trmica, y viceversa. Ntese que a diferencia de la
conductividad trmica k de un material, que permite o no el paso del calor por conduccin, la difusividad trmica consta de tres propiedades fsicas , una de transporte y dos termodinmicas: la conductividad trmica k, la densidad del material

128

4. Conduccin de calor en estado transitorio

p y el calor especfico e. El producto pe (J/m3 K) es un indicador de la capacidad

del material para almacenar energa. Por consiguiente, las sustancias con gran densidad como los slidos y los lquidos suelen constituir excelentes medios para
almacenar energa (pe> 1 MJ/m:K), en tanto que los gases (pe"" 1 kJ/m3K) prcticamente no tienen capacidad para ello.
De lo anterior se desprende que la difusividad trmica (m2/s) es un indicador
de la capacidad que tiene un material para conducir el calor con respecto a su
capacidad para almacenar energa interna. A guisa de ejemplo, la difusividad trmica del aluminio a 300 K es de 9.71 x 10-5 m2/s, mientras que la parafina tiene
una difusividad trmica de 7.7 x 10-9 m2/s a la misma temperatura. Estos dos valores numricos concuerdan perfectamente con la experiencia diaria.
La ecuacin 4.8 requiere tres condiciones, dos de frontera y una inicial, para
especificar por completo la variacin de la temperatura con respecto a la distancia
y al tiempo. Si se supone que la placa est sujeta a un proceso de enfriamiento (o
calentamiento), la condicin inicial puede establecerse fcilmente a partir de la
uniformidad inicial de la temperatura en la placa. Es decir,
T(x, O)

= Ti

(4.9)

Una de las condiciones de frontera se establece muy pronto mediante la condicin

de simetra en la placa de espesor 2L de la figura 4.6a. Puesto que sta pierde (o
gana) calor por ambas superficies, el mximo (o mnimo) de temperatura durante
el enfriamiento (o calentamiento) debe ocurrir en el centro mismo de la placa, esto es,

~: (O,t) = O

(4.10)

Por ltimo, la segunda y ltima condicin de frontera puede obtenerse notando

que el calor transportado por conduccin en la interfase debe ser igual al que se
cede (o gana) de forma convectiva al fluido. Analticamente,
()T

- k-

()x

(L,t) = h[T(L,t) - T=]

(4.11)

De la ecuacin 4.8 a la 4.11 describen por completo el problema de transferencia

de calor en la placa. De esas mismas expresiones se observa que la temperatura de
la placa en cualquier posicin y en cualquier instante depende de varios parmetros,
en particular de
T= T(x, t, Ti, T=, L, k, a, h)

1
129

4.2. Placa infinita

Para resolver el problema en forma general se definirn las variables adimensionales siguientes:
(4.12)

x*

x
L

(4.13)

t * =Fo= -al2

(4.14)

El tiempo adimensional t* se denomina nmero de Fourier, Fo. Sustituyendo estas

nuevas variables en la ecuacin diferencial 4.8 y sus condiciones inicial y de frontera 4.9 a 4.11 se deduce que
(4.15)

=1

(4.16)

a;*(O,t*)=O

(4.17)

(1, r*) = - BiT*(l, t)

(4.18)

T *(x*, O)

a;;**

Ahora, en forma adimensional,

T'

= T' (x' , Fo, Bi)

(4.19)

es decir, la distribucin adirnensional de temperatura para una placa plana es una

funcin universal de x*, Fo y Bi, Y no depende de los valores particulares de TiJ
T~, L, k, a o h. Para obtener la relacin funciona14 .19 supngase que la solucin
es de la forma
T*

= X(x*)'l(t*)

As, la ecuacin 4.15 se convierte en

Xi = rX"

130

4. Conduccin de calor en estado transitorio

donde el apstrofo, " denota la derivada total. Separando variables se tiene

r'
r

X"

La nica manera de que una funcin de t* sea siempre igual a una funcin de x * es
que cada funcin sea equivalente a la misma constante, es decir,

r' X"
2
- = - =-A:
r
X
La seleccin de una constante positiva con signo negativo en esta expresin es evidente: para que la solucin tienda a cero conforme transcurre el tiempo se requiere
que la constante A:2 tenga un signo positivo en la ecuacin diferencial ordinaria
l' + A:2 r = O. El que A: est elevada al cuadrado es por mera conveniencia algebraica.
A la luz del razonamiento anterior se tienen ahora las dos ecuaciones diferenciales ordinarias siguientes:
(4.20)
con las condiciones de frontera homogneas

=O

(4.21)

= -BiX(1)

(4.22)

X' (O)
y
X' (1)

(4.23)
La solucin general de la ecuacin 4.20 es de la forma
X = Cl

COSAx*

+ C2 senAx*

Al aplicar la condicin de frontera 4.21 se obtiene

En forma similar, al aplicar ahora la condicin 4.22,

A: senA: = Bi cosA:
o
A:
cotA: = Bi

(4.24)

131

4.2. Placa infinita

En la figura 4.7 se muestra esta expresin de forma grfica. Los valores de A, que
satisfacen la relacin 4.24 estn indicados por las intersecciones de las curvas de
cotA, y AlBi. Obsrvese que existe un nmero infinito de valores de A,n (valores caractersticos) que satisfacen la ecuacin 4.24. Para el caso en que Bi ~ 0, los valores de A,n que satisfacen dicha relacin son: 0, n, 2n, 3n, ... como puede observarse
en la figura 4.7. Del mismo modo, para el caso en que Bi ~ 00, los valores de An
que satisfacen la ecuacin 4.24 son: (ll2)n, (3 /2)n, (512)n, ... En la tabla 4.1 se
muestran las primeras cinco races de la ecuacin trascendental A,ntanA,n = e,
donde e es una constante. As, para un valor del nmero de Biot igual a la unidad
se tiene: A,l = 0.8603, ~ = 3.4256, As = 6.4373, etctera.
Una vez determinados los valores de A,no la solucin a las ecuaciones 4.20 a
4.22 es
Xn(X *)

= e In COSA,nX*

(4.25)

Del mismo modo, para la ecuacin 4.23,

(4.26)
Al combinar las expresiones 4.25 y 4.26 de acuerdo con la solucin producto
propuesta y observar que la suma de soluciones es tambin una solucin,
(4.27)

Figura 4.7. Representacin grfica de la ecuacin cotAn = A.,,/Bi.

132

4. Conduccin de calor en estado transitorio

Las constantes en en esta serie infinita pueden obtenerse sustituyendo la condicin

inicial 4.16, es decir,
=
1= enCOSAnX*

n=l

Adems, por la teora de series de Fourier,

4senAn

En consecuencia,
T

-;? Fo
=~
~e
"

n=l

4senAn
2An + sen 2An

COSA X

(4.28)

donde los valores caractersticos An satisfacen la ecuacin 4.24. De la ecuacin

4.28 se observa que la temperatura adimensional en la placa depende de las variables x' , Fo y Bi.
Para valores del nmero de Fourier mayores o iguales a 0.2, es decir, Fo 2': 0.2,
la serie infinita de la ecuacin 4.28 puede aproximarse con el primer trmino. De
este modo,
T * = ele -;?I Fo cosAx *

(4.29)

o
(4.30)
donde To* representa la temperatura en el plano central de la placa, esto es,
'1"' * -

LO -

ele -ATFo

(4.31)

De la ecuacin 4.30 se observa que la dependencia de la temperatura en cualquier

posicin de la placa es la misma que la del plano central. En la tabla 4.2 se presentan los valores de el y Al para distintos valores del nmero de Biot.

133

4.2. Placa infinita

Tabla 4.1. Primeras cinco raCes de la ecuacin AntanAn

e
0.000
0.002
. 0.004
0.006
0.008
0.010
0.020
0.040
0.060
0.080
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.500
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000
10.000
15.000
20.000
30.000
40.000
50.000
10.000

= C.

Al

A2

A3

A4

A5

0.0000
0.0447
0.0632
0.0774
0.0893
0.998
0.1410
0.1987
0.2425
0.2791
0.3111
0.4328
0.5218
0.5932
0.6533
0.7051
0.7506
0.7910
0.8274
0.8603
0.9882
1.0769
1.1925
1.2646
1.3138
1.3496
1.3766
1.3978
1.4149
1.4289
1.4729
1.4961
1.5202
1.5325
1.5400
1.5552

3.1416
3.1422
3.1429
3.1435
3.1441
3.1448
3.1479
3.1543
3.1606
3.1668
3.1731
3.2039
3.2341
3.2636
3.2923
3.3204
3.3477
3.3744
3.4003
3.4256
3.5422
3.6436
3.8088
3.9352
4.0336
4.1116
4.1746
4.2264
4.2694
4.3058
4.4255
4.4915
4.5615
4.5979
4.6202
4.6659

6.2832
6.2835
6.2838
6.2841
6.2845
6.2848
6.2864
6.2895
6.2927
6.2959
6.2991
6.3148
6.3305
6.3461
6.3616
6.3770
6.3923
6.4074
6.4224
6.4373
6.5097
6.5783
6.7040
6.8140
6.9096
6.9924
7.0640
7.1263
7.1806
7.2281
7.3959
7.4954
7.6057
7.6647
7.7012
7.7764

9.4248
9.4250
9.4252
9.4254
9.4256
9.4258
9.4269
9.4290
9.4311
9.4333
9.4354
9.4459
9.4565
9.4670
9.4775
9.4979
9.4983
9.5087
9.5190
9.5293
9.5801
9.6296
9.7240
9.8119
9.8928
9.9667
10.0339
10.0949
10.1502
10.2003
10.3898
10.5117
10.6543
10.7334
10.7832
10.8871

12.5664
12.5665
12.5667
12.5668
12.5670
12.5672
12.5680
12.5696
12.5711
12.5727
12.5743
12.5823
12.5902
12.5981
12.6060
12.6139
12.6218
12.6296
12.6375
12.6453
12.6841
12.7223
12.7966
12.8678
12.9352
12.9988
13.0584
13.1141
13.1660
13.3142
13.4078
13.5420
13.7085
13.8048
13.8666
13.9981

134

4. Conduccin de calor en estado transitorio

Tabla 4.2. Constantes empleadas en las ecuaciones 4.30 y 4.31 zara una Elaca.

Bi

= hLlk (rad)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
100.00

Al

el

0.0998
0.1410
0.1732
0.1987
0.221 7
0.2425
0.2615
0.2791
0.2956
0.3111
0.3779
0.4328
0.4801
0.5218
0.5932
0.6533
0.7051
0.7506
0.7910
0.8274
0.8603
1.0769
1.1925
1.2646
1.3138
1.3496
1.3766
1.3978
1.4149
1.4289
1.4961
1.5202
1.5325
1.5400
1.5552

1.0017
1.0033
1.0049
1.0066
1.0082
1.0098
1.0114
1.0130
1.0145
1.0160
1.0237
1.0311
1.0382
1.0450
1.0580
1.0701
1.0814
1.0919
1.1016
1.1107
1.1191
1.1795
1.2102
1.2287
1.2402
1.2479
1.2532
1.2570
1.2598
1.2620
1.2699
1.2717
1.2723
1.2727
1.2731

13S

4.2. Placa infinita

Una vez que se conoce la historia de la temperatura en una placa es conveniente conocer el calor que disipa entre t = O Y cualquier instante t. Aplicando la
primera ley de la termodinmica para el proceso de enfriamiento supuesto,
Q = U(O) - U(t)

o
Q = - 2foL pc[T(x,t) - :Z;]Adx

Obsrvese que Q representa la magnitud del calor disipado, en joules. Para normalizar esta expresin se definir ahora el parmetro
Qo

= 2pcAL(Ti -

T~)

que representa la energa interna inicial de la placa con respecto a la temperatura

del fluido o la transferencia mxima de energa que puede ocurrir en el proceso
desde t = O hasta t = oo . En forma adimensional,

'i

"
Con la ecuacin 4.30 para la solucin aproximada se obtiene
7'*
-Q -_ 1 - -senA
-.Lo
Qo
Al

(4.32)

Las grficas de Heisler constituyen una representacin grfica de la solucin

aproximada para la distribucin de la temperatura en una placa y su calor disipado.
Estas grficas se han empleado por mucho tiempo y aqu se presentan de la figura
4.8 a la 4.10. En la figura 4.8 se presenta la variacin de la temperatura adimensional en el centro de la .placa (To - T~)/(Ti - T~) como funcin del nmero de
Fourier, para distintos valores del recproco del nmero de Biot. To representa la
temperatura T(O, t). Por otra parte, en la figura 4.9 se muestra la temperatura en
cualquier plano de la placa con respecto a la del centro (T - T~)/(To - T~), para
diferentes valores del recproco del nmero de Biot. De la figura se desprende que
para valores de 1IEi > 10 (Bi < 0.1) la diferencia de temperaturas en cualquier

136

4. Conduccin de calor en estado transitorio

plano de la placa es menor a 5%. Es decir, la temperatura depende fundamentalmente del tiempo como se supuso en el anlisis de parmetros concentrados. La
figura 4.10 corresponde al calor transferido en la placa. El cociente Q/Qo est
expresado en trminos de Bi y Fa.

Figura 4.8. Grfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de una

placa de espesor 2L a una temperatura inicial Ti, que intercambia calor con un medio a
temperatura T=- (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)

0.9

H-HttHtttttt-H+rt\I;Il-lTIttIt::K~ffiH1t+tttltItH.j

0.8
0.7

f-+HttHtttltt-f-:Pf

004

f-+Htttlltlllf-/--II.-HIHI-IttIttt++ttH1ttH1I1t+++t1f1tH1fttl

0.3 0.8

02
0.1 H-H+l+ll-J,tffi-H+HIHl-I++Hl-l++++I+H-H+Il+++f+flH+fjjj

1.0
0.010.02 0.05 0.1 0.2

0.5 1.

2 3 5

10 20

50 100

Bi - 1

Figura 4.9. Grfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una
placa. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Chartsfor Induction and Constant Temperature
Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)

137

4.2. Placa infinita

1.0
0.9

0.8

11

0.7

r I

/
//
c:
& ":,':Y. "?
t!l
"?

0.6

o 0.5
o;;

;t :;,".
-:; / 11
ii I

0.4

0.3
02
0.1
o

11 I

/ I

I 11

104

'I

:,

,/

/
.-"

10

10

10-

1/

Bi2 Fo

-I

/ 1/

1/

:.?

11

,;;, I 18,

/
_..

10

104

Figura 4.10. Calor adimensona1 disipado por una placa como funcin de los nmero de
Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. GiiguJI, Fundamentals of Heat Transfer.
McGraw-Hill, Nueva York, 1961 .)

. (

4.3. Cilindro infinito y esfera

De modo semejante, el recproco del nmero de Biot es igual a

k
-=Bi

h.L

139

54
=54
(100)(0.1)

(
T

4.3. Cilindro infinito y esfera

J=

El anlisis del proceso transitorio para el caso de un cilindro infinito o una esfera
de radio r0 con una temperatura inicial uniforme T; que se exponen a un medio
convectivo cuya temperatura es Toe, , a travs de un coeficiente de transferencia de
calor h, es muy similar al que se pre ent con anterioridad para el caso de una
placa infinita. La suposicin de cilindro infinito, es decir, un cilindro con conduc
cin radial solamente, es vlida para cilindros en donde Ur0 l O, aproximada
mente.
De la figura 4.11 a la 4.16 se muestran las soluciones grficas para el anlisis
de un cilindro infinito y una esfera de radio r0 .

140

4. Conduccin de calor en estado transitorio

01

11111;;11111111111;11;1111

0.007
0.005

0.004
0.003
0.
0.002

Figura 4.11. Grfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de un cilindro infinito de radio ro con una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un
medio a temperatura T=- (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and
Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)
1.0
1

02

0.9
0.8

O.~

..--

0.7

f-.!j f-.!

0.6

I I
1- ..!:' 0.5

r
V

0.4

0.3
0.2
0.1

r/rO

0.6

V
0.8
1

.l

O'r

,/- --

O 1.0
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2

0.5 1.0 2 35
Bi- 1

10 20

50 100

Figura 4.12. Grfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de un

cilindro infinito. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)

141

4.3. Cilindro infinito y esfera

1.0

/
g
& g "~W~ :jo' (J (j
~

0.6

0 0.5
0
0.4

0.3 0.2

0.1
O

10-5

I
I

0.7

,j

0.8

c::i

11

V
10 72

10 - 1

/;

~J

[]4/

U-11/
10 -4

/
./

10-3

1/

~o
c1

&/

~g

//

/)

0.9

. <:V

'"

/
,/

./

10

102

Si ' Fo

Figura 4.13. Calor adimensional disipado por un cilindro infinito como funcin de los
nmeros de Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. Grigull, Fundamentals of
Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1961.)

Figura 4.14. Grfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de una

e fera de radio ro..S:Qn una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un medio a temperatura T=. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant
Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)

142

4. Conducci611 de calor en estado transitorio

1.0 1
0.9

0.8
0.7

f-h81f-
1

02

'

'-'

1/

1)(

02

0.1
o

r/r0

0.6

0.4
0.3

;;.

I/

0.6
0.5

v v

l .1

o.
1.0

1-+ 1

11

1,

1/

0.01 0.02 0.05 0.1 02

111 11111

0.5 1.0 2 3 5

s-,

11

10 20

11

111

50 100

Figura 4.15. Grfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una
esfera. (Fuente: M. P. HejsJer, Temperatw:e Charts for lncluction and Constant Tempera
ture Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.)

81 2 Fo

Figura 4.16. Calor aclimensional disipado por una esfera como funcin de los nmeros de
Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. GriguU, Fundamentals ofHeat Transfer,
McGraw-Hill, Nueva York, 1961.)

4.4. Slido semiinfinito

,

.,,

4.4 S ido semiinfinito

En numerosas aplicaciones la temperatura de un cuerpo slo vara en la vecindad
de su superficie. En otras la distribucin de la temperatura y el flujo de calor son
slo de inters durante la parte inicial del proceso transitorio en que la temperatu
ra en el interior del cuerpo no ha tenido prcticamente oportunidad de afectarse.
Para ilustrar estos ca os, considrese w1 slido semi.infinito como el que se mues
tra en la figura 4.17. Supngase que todo el slido est a una temperatura inicial
constante T; y de pronto su superficie plana experimenta un cambio de temperatu
ra, de manera tal que sta adquiere un valor constante T0.
A primera vista esta situacin no tiene aplicacin prctica. Sin embargo, grao
importancia en el anlisis de cuerpos con dimensiones finitas en donde, para tiem
pos "relativamente" pequeos, los efecto de calentamiento o enfriamiento no
tienen oportunidad de entrar profundamente en el material. De manera anloga, la
penetracin del calor o los efectos de enfriamiento en la superficie de la Tiena
obedecen tambin al anlisis de un slido semiinfinito. Otra aplicacin interesante
reside en la estimacin de la temperatura de contacto que se experimenta al tocar
un material. Esta temperatura indica cun caliente o fro se siente un objeto al

..

144

4. Conduccin de calor en estado transitorio

8

i
T(x,~

TI

Ti

'--_-=::".--===-_

Figura 4.17. Slido semiinfinito.

tocarlo. As, si se mantienen dos cuerpos, por ejemplo, uno de cobre y otro de
asbesto a 45 oC, por decir un nmero, la experiencia indica que el de cobre se
siente ms caliente que el de asbesto al contacto con la mano.
El anlisis del slido semiinfinito precisa un conocimiento de la distribucin
de la temperatura y el flujo de calor, Puesto que la temperatura en su interior depende del tiempo t y de la distancia x, un balance de energa en un volumen
de control indica que
(4.33)

Esta ecuacin diferencial parcial requiere una condicin inicial y dos de frontera
para determinar de manera nica la distribucin de temperatura T(x, t) en el slido. Inicialmente la temperatura del cuerpo es uniforme y constante, de modo que
T(x, O)

= Ti

(4.34)

Por otra parte, puesto que la temperatura en la superficie del slido se mantiene
constante durante todo el proceso,
T(O, t)

= To

(4.35)

Al ser el slido infinitamente grande en la direccin x,

T(oo, t) = Ti

(4.36)

145

4.4. Slido semiinfinito

Dada la forma de las ecuaciones 4.34 y 4.36, el problema puede resolverse sin
mayor dificultad definiendo las variables adimensionales siguientes:

x
.,}4at

1]=--

donde se ha anticipado la existencia de una solucin de la forma T* = T* (1]). En trminos de estas variables, la ecuacin 4.33 queda:
aT*
ax

dT* a1] dT* 1

d1] ax - d1] -J(ii

a2T* _ d (aT* 1a1] _ d 2T* 1

ax 2 - dn l ax J ax - dn 2 at

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin 4.33 se obtiene

d 2T*
dT*
- - + 2 1 ] - =0
d1]2
d1]

(4.37)

con las condiciones de frontera siguientes: de la ecuacin 4.35,

(4.38)
y de las ecuaciones 4.34 y 4.36,
T*(oo)

=1

(4.39)

Si dT*/d1] se sustituye por la variable p, la ecuacin 4.37 queda como

p' + 21]p

=O

(4.40)

Al integrar esta expresin,

dT*
p=-- =
dn

ele _u

146

4. Conduccin de calor en estado transitorio

Una segunda integracin da como resultado

T*

= el So17 e _u

du + e2

(4.41)

donde se ha seleccionado un' valor de cero para el lmite inferior de la integral

indefinida, la cual no puede evaluarse en forma cerrada. La eleccin de este valor
carece de trascendencia en el resultado, ya que la constante e 2 est an indeterminada. Al aplicar ahora las condiciones de frontera 4.38 y 4.39 se obtiene

T*

u2

e- du

= -'-0"----_

S: e-

_
u2

du

2
2 S17 e- u du
T " = 1-

'\j 7r

(4.42)

(4.43)

T* = erf(r)

donde erf(r) es la funcin error de la variable r, y se muestra tabulada en la tabla

4.3. En trminos de las variables originales, la distribucin de la temperatura es

T-To =erf(-X )
T - To
2-J(ii

X) = -fii
2 rx/2.foi
Jo e

Tabla 4.3. La funcin error erf 2-J(ii

(4.44)

-u

du

erf(r)

erf(r)

O
0.01
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8

O
0.01128
0.11246
0.2227
0.32863
0.42839
0.5205
0.60386
0.6778
0.74210

0.9
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0

0.79691
0.8427
0.91031
0.95229
0.97635
0.98909
0.99532
0.99959
0.99998
1

00

En forma aproximada (con una exactitud dentro de 0.42%):

erf(1]) = 1 - Aexp[-B(1] + C)2]
donde A

= 1.5577, B = 0.7182 Y e = 0.7856.

147

4.4. Slido semiinfinito

En la figura 4.18 se describe esta distribucin de temperatura. Debe notarse

que la funcin error es una funcin monotnica que vara entre O y 1, como se observa en la tabla 4.3, y alcanza un valor de 0.99532 cuando 17 es igual a 2.0. Con este
valor puede definirse la distancia de penetracin 8 como la distancia x para la que
la temperatura en el slido ha variado menos de 1%, aproximadamente, de la diferencia (Ti - To). Por tanto,

8=4~

(4.45)

Ntese que tal distancia es proporcional a la raz cuadrada del tiempo.

El flujo de calor en cualquier posicin x puede determinarse mediante la ley
de Fourier; es decir,

(4.46)

= O,

En la superficie del slido, esto es, en x

(4.47)

1.0

/'

0.8

/
0.2

----

/
0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2-va:t
Figura 4.18. Distribucin de temperatura en un slido semiinfinito.

"

150

4. Conduccin de calor en estado transitorio

1.0

.......

"-"-

1"-

"""-

-........;"

""-

",,-"

'"

'~""
" ""'"'"~ ~

'"'"" '",,? '\

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\.

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O

"\.

f\-

'\

0.01

"\.

""

1.0

x / 2{(rt

\
.\

\\ \

"\.

0.5

\.\.

\ \\

1.5

Figura 4.20. Distribucin de la temperatura en un slido semiin:finito con frontera convectiva.

En la figura 4.20 se presenta una grfica de distribucin de la temperatura para el

caso de un slido semiinfinito con conveccin en la superficie. Cabe apuntar que
este anlisis es muy til en el estudio de una placa infinita cuando los tiempos de
exposicin son relativamente pequeos.

4.5. Conduccin transitoria

en ms de una dimensin
En ciertas situaciones de inters prctico la transferencia de calor se lleva a cabo
en varias direcciones y adems depende del tiempo. La distribucin de la temperatura en estos casos puede obtenerse sin dificultad mediante el producto de las
soluciones para los problemas unidimensionales descritos previamente. Para ilustrar este mtodo de anlisis considrese la barra de seccin transversal rectangular que se muestra en el esquema de la figura 4.21. Supngase que es infinitamente
grande en la direccin axial, de manera tal que T = T(x, y, t) . La barra tiene una
temperatura inicial constante Ti y sbitamente se coloca en un medio cuya temperatura es T=La ecuacin diferencial que gobierna este proceso transitorio es

;2T

;2T

Jx

Jy2

1 aT
a

-2 + - - = - -

at

(4.52)

151

4.5. Conduccin transitoria en ms de una dimensin

2H

2W

00

Figura 4.21. Barra infinita.

con las siguientes condiciones inicial y de frontera:

= Ti

(4.53)

ax (O,y,t)=O

(4.54)

- k-(W, y, t) = h[T(W, y, t) - T~ ]

(4.55)

aT
ay (x,O,t) = o

(4.56)

T(x, y, O)

aT
aT

ax

aT (x, H, t) = h[ T(x, H, t) ay

-k -

T~ ]

(4.57)

En trminos de la temperatura adimensional T* = (T - T~)I(Ti - T~), las expresiones anteriores adquieren la forma siguiente:

a
ax

2
2
T*
T* 1 aT*
-+
-=- 2

ay2

at

(4 .52a)

=1

(4.53a)

aT*
(O,y,t) = O

(4.54a)

aT*
h *
(w,y,t)=- - T (W,y,t)
k

(4.55a)

T* (x, y, O)

ax

ax

152

4. Conduccin de calor en estado transitorio

aT*
(x,O,t)=o

(4.56a)

aT*
.
h *
(x,H,t) =- -T (x,H,t)
k

(4.57a)

ay

ay

Supngase ahora que

= TxCx,

T*(x, y, t)

t)Ty(y, t)

(4.58)

es la solucin de la ecuacin diferencial. Al sustituir esta expresin en la ecuacin

4.52 se obtiene
(4.59)

Del mismo modo, al sustituir la solucin 4.58 propuesta en las condiciones inicial
4.53a y de frontera 4.54a a 4.57a se obtiene
(4.60)

aa; (O, t) =

(4.61)

aTx(W t) =- ~T(W t)
ax'
k x
'

(4.62)

aT

a; (O,t)=o

y
aT (H

ay'

t) =- ~T
(H t)
k y ,

(4.63)

(4.64)

Al examinar de la ecuacin 4.59 a la 4.64 se observa con claridad que sern satisfechas si, a su vez, las funciones TxCx, t) y Ty(y, t) satisfacen los dos problemas adimensionales siguientes:
i) Placa infinita de espesor 2W

J 2 Tx _ 1 aTx

ax2 - a Tt

153

4.5. Conduccin transitoria en ms de una dimensin

Il

a:; (o, t) =

!.

1~

aTx (W t) =-'2T (W t)

ax'

'

'~

ii) Placa infinita de espesor 2H

PTy

_! aTy

al - a at

aT

a; (o, t) =

aTy (H t) = - '2 T (H t)
k

ay'

De lo anterior se desprende que la solucin del problema transitorio bidimensional

de conduccin de la barra de la figura 4.21 puede obtenerse mediante el producto de las soluciones de dos placas infinitas, una de espesor 2W y otra de 2H. La forma de estas soluciones Tx Y Ty coincide precisamente con la de la ecuacin 4.28.
Es decir, para la barra de nuestro ejemplo,

-~-=-?=-I
1

00

Barra2Wx2H

~=? I
1

00

Placa2W

~=? I
1

00

(4.65)

Placa 2H

Aun cuando el desarrollo anterior slo contempl la transferencia de calor bidimensional en estado transitorio, el producto de soluciones tambin puede aplicarse a
problemas tridimensionales. En consecuencia, la solucin de un paraleleppedo de
dimensiones 2W x 2H x 2L puede obtenerse mediante el producto de las soluciones de tres placas infinitas, cada una de espesor 2W, 2H y 2L, respectivamente.
El anlisis transitorio de un cilindro finito de radio ro y altura 2L puede obtenerse
con el producto de las soluciones de una placa infinita de espesor 2L y de un cilindro infinito de radio ro. En la figura 4.22 se muestra un esquema de tal solucin.

154

4. Conducci6n de calor en estado transitorio

2L

Figura 4.22. Cilindro finito.

oo

oo

157

4.6. Difere11cias finita:. Mtodo explcit

=
y

4.6. Diferencias finitas. Mtodo explcito

Auo cuando las tcnicas analticas descrita on muy tiles en el estudio de sis
temas cuya configuracin geomtrica es relativamente senciJla, no siempre resul
tan prcticas al analizar sistemas de geometra compleja o cuando las condiciones
de frontera dependen del tiempo. El mtodo numrico de solucin con diferencias
finitas es an ms til en tales casos. Como e] tema va ms all del propsito de
esta obra considrese a guisa de ejemplo el planteamiento en diferencias finitas
de un icalentador elctiico de placa de espesor 2L, como se muestra en la figura
4.23. Supnga e que se desea conocer la distribucin de temperatura despus de
que se interrumpe la nerga elctrica.
Mediante un balance de energa en el si tema de la misma figura se obtiene
T .-T.
k T/- 1 ,J.-T.
1.J +k 1+ 1 ,)
l.)
tu
t::.x

158

4. Conduccin de calor en estado transitorio

donde el subndice i se refiere a una posicin x y el subndice j a un instante t. Al

acomodar la expresin anterior ahora obtenemos
(4.66)
donde ~o = a!1t/(tuYes el nmero de Fourier basado en las diferencias D.t y D.x.
De forma optativa, la expresin anterior puede escribirse como
T,j+l

= L:lFo (T+l,j + T_l)

(4.66a)

+ (1 - 2D.Fo) T,j

Se dice que la ecuacin 4.66a es explcita, pues las temperaturas desconocidas de

los nodos interiores pueden determinarse mediante los valores de temperatura ya
conocidos en un intervalo de tiempo anterior. La condicin inicial del problema
determina las temperaturas en todos los nodos interiores para t = (o j = O), por
lo que la aplicacin sucesiva de la ecuacin 4.66a permite calcular las temperaturas en t = M, t = 2M, etc. El valor de D.x suele seleccionarse teniendo en cuenta la
exactitud requerida en la solucin y el equipo de cmputo disponible. Sin embargo, cabe apuntar que el valor de M no puede fijarse de manera arbitraria, sino por
requerimientos de estabilidad. El criterio de estabilidad, sin demostrarlo aqu, precisa que el coeficiente asociado con el nodo en estudio (i, j) sea mayor o igual a
cero. As, al analizar la ecuacin 4.66a se observa que (1 - 2~0) ~ 0, o

~o ~

(4.67)

1/2

-..

r-- !1x

.. .

;-1 ; ;+1

Figura 4.23. Placa infinita de espesor 2L y volumen de control en el instante t.

159

4.6. Diferencias finitas. Mtodo explcito

La ecuacin 4.66a necesita complementarse con dos condiciones de frontera adicionales a la inicial. Combinando las ecuaciones 2.38 y 2.39 se obtiene la condicin inicial, esto es,
T( X, O) = ~up + q "'L2
2k [ 1 - (

)2]

Al hacer un balance de energa en el nodo de la superficie como el que se muestra en la figura 4.24,
kA (

hA ( T -T
l, j ) + -&
00

)
& T,j+l -T,j
Tl- 1,j -T
l,j =pcA --..::..--:e...
2
f...t

Al acomodar la expresin,

T j'+l
,

= pc&
2hf...t (Too -

T j')+ 2af...2t (T -l j' - T j')+ T j'

'
(&)
,
,
,

Reconociendo que 2hM/ pc& = 2f...Bif...Po y f...Bi

= h&/k,

T,j+l = 2f...Fo[ T-l,j + (f...Bi )Too ] + (1- 2f...Fo - 2f...Bif...Fo )T,j

T~

i -1

Figura 4.24. Nodo sobre una superficie que intercambia calor por conveccin.

(4.68)

160

4. Conduccin de calor en estado transitorio

Figura 4.25. Nodo sobre una superficie aislada.

De acuerdo con el criterio de estabilidad antes enunciado,

l - 2Llf'o - 2.1.B i.1.Fo 2': O

o
Llf'o(l + i) .!..
2

(4.69)

Al comparar las ecuaciones 4.67 y 4.69 se observa que el valor de .1.Fo que
establece la ecuacin 4.69 es menor (ya que .Bi 2': O) por lo que debe emplearse
en la solucin del problema.
La ecuacin 4.66a tambin puede aplicarse al nodo O que est en el plano cen
tral haciendo que T_ 1, = T1+1 ,-

163

4.7. Mtodo grfico de Schmidt

t, s

To

T1

T2

T3

T4

Ts

1
2
3
4
5

0.3
0.6
0.9
1.2
1.5

00

00

357.58
358.08
358.58
359.08
359.58
360.08
465.15

356.91
357.41
357.91
358.41
358.91
359.41
463.82

354.91
355.41
355.91
356.41
356.91
357.41
459.82

351.58
352.08
352.58
353.08
353.58
354.07
453.15

346.91
347.41
347.91
348.4]
348.89
349.37
443.82

340.91
341.41
341.88
342.35
342.82
343.27
431.82

4.7. Mtodo grfico de Schmidt

La solucin rpida de un cuerpo semiinfinito o una placa in.finita puede lograrse
con el mtodo grfico propuesto por Schmidt. Si 11Fo = L/2, la ecuacin 4.66a se
reduce a
T,+ t .J.+T,- i .J.
(4.70)
Ti,j+I 2
De e ta expresin se ob erva que la distribucin de la temperatura en cualquiei:
instante puede obtener e mediante el trazo de lineas rectas entre los nodos cuyas
temperaturas son T _ 1, j y T + 1, j' La interseccin de tales rectas con el nodo i,
j determina el valor de la temperatura buscado T;, j + L despus de un intervalo
M = (t:.x.)212a, como se ilustra en el esquema de la figura 4.26.

T, = constante
Dlslrilluci6n Inicial
de temperatura

T. = constante

Figura 4.26. Construccin del mtodo de Schrnidt para un incremento de tiempo.