Problemas Resueltos 1 - CIV608

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER - ESCUELA DE GRADUADOS - Maestra en Ingeniera Civil
CIV-608 DINMICA DE ESTRUCTURAS Semestre 2015-2
EJERCICIOS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Sobre una rasante de forma sinusoidal viaja un vehculo que pesa 18 kN. La rigidez
de los resortes que soportan el peso del vehculo es de 220 N/m y el amortiguador
viscoso tiene una razn de amortiguamiento del 40%. Asumiendo que el vehculo
viaja a velocidad constante de 70 Km/h, determinar la respuesta de rgimen del
movimiento vertical del sistema.
Solucin
Las propiedades dinmicas del sistema son:
Frecuencia natural:
n
k
220kN / m
10.95rad / seg
m
18kN / 9.81m / seg 2
Perodo natural:
Tn
0.574 seg
Razn de amortiguamiento:
0.40
JV / 2015-2
1/8
El problema se reduce al de un oscilador viscoelstico de un grado de libertad

(desplazamiento vertical) sometido a excitacin en la base. El desplazamiento en la
base viene dado por:
u g (t ) u0 sent
donde:
u0 30mm
2
2
2
10.18rad / seg
L / v 12m / 70km / h
T
0.9298
n
Ahora bien, la ecuacin dinmica del movimiento viene a estar dada por:
..
..
m u c u ku m u g (t )
m u c u ku m 2 u 0 sen t
..
Si consideramos el desplazamiento u(t) como desplazamiento relativo entre la masa

y el terreno, el problema se reduce a un sistema sometido a carga armnica, es decir:
m u c u ku p0 sent
..
donde:
p0 m 2 u0
y la respuesta de desplazamiento de rgimen viene dado por:

u(t ) u st 0 Rd .sent
donde:
u st 0
Rd
p0 m 2u0 m 2u0
.u0 0.929830 27.89mm

k
k
m n2
1
1 2
2 2
=1.3226
JV / 2015-2
2/8
2
=79.7
2
1
arctg
Finalmente la respuesta de desplazamiento (en rgimen) es:

u(t ) 36.89sen10.18t 1.39
(mm)
Cabe resaltar que el sistema est resonante, es decir, la amplitud del desplazamiento
es mxima (36.89mm), sto debido a que la frecuencia de excitacin en la base es
muy similar a su frecuencia natural de vibracin.
PROBLEMA 2
Calcular la respuesta de desplazamiento de un oscilador viscoelstico de un grado de
2
libertad sometido a una carga peridica p(t ) p0 sen .t .
T
p
Desarrollar un programa en Matlab para calcular y graficar la respuesta de desplazamiento
del oscilador, para un nmero especfico de trminos de la serie de Fourier.
Considerar las siguientes caractersticas para el sistema: m=1000 kg, k=100 kN/m, =3%,
p0=10kN y Tp=2 seg.
Solucin
El oscilador tiene las siguientes propiedades:
Frecuencia natural:
n
k
100 103 N / m
10rad / seg
m
1000kg
Perodo natural:
Tn
0.628seg
(a) Carga Peridica

JV / 2015-2
3/8
La carga peridica viene dada por la siguiente funcin:
2
p(t ) p0 sen .t
T
p
2
0 t Tp 2
p0 sen .t
Tp
p sen 2 .t T 2 t T
p
0 T p
p
Siendo la frecuencia natural de la carga igual a:

p
2
3.14rad / seg
Tp
La carga excitadora puede, asimismo, ser expresada en una Serie de Fourier, dada
por la sgte. expresin:
j 1
j 1
p(t ) a0 a j cos j p t b j senj p t
Teniendo en cuenta que la funcin es par, se verifica que la Serie de Fourier est
constituida nicamente por armnicos cosenoidales, donde:
1
a0
Tp
aj
2
Tp
Tp
p(t ).dt
0
Tp
p(t ). cos
0
2
2
jt.dt
Tp
Tp
Tp
p(t ). cosjt.dt
0
Los coeficientes de cada armnico sern:

1
a0
Tp
p
Tp
2
2
1 2
p
(
t
).
dt
p
sen
.
t
.
dt
p
sen
0
0
0 T p .t .dt
T
T p 0
Tp
p
Tp
p
Tp
2
2
2
Tp
p0 T p
a0
cos .t
cos .t
T
T
T p 2
2
0
p Tp 2
a0
p0
1 1 1 1
2
a0
2 p0
JV / 2015-2
4/8
Tp
2
aj
Tp
p(t ). cos
jt.dt
p
Tp
2 p0 2
sen p t. cos p jt.dt sen p t. cos p jt.dt
aj
Tp 0
Tp
2
Desarrollando la integral por partes, se tiene:

I sen p t. cos p jt.dt
j
j 2 1
1
sen p t.sen p jt cos p t. cos p jt
j
Reemplazando para los lmites de las integrales, se tiene:
1 j 1
j
j
j
p j 1
aj
2 p0
Tp
aj
2 p0
j
1 1
2
j 1
aj
4 p0
, para j 2,4,6,8,10,.....,
j 2 1
Finalmente, la carga peridica viene dada por la sgte. serie:

p(t ) a0
j
j 2, 4, 6,8...
cos j p t
(b) Respuesta de rgimen de desplazamiento

Ahora bien, la respuesta de rgimen de desplazamiento (obtenida por superposicin)
viene dada por la sgte. serie:
u (t )
a0 1
k k
1
a .2 senj

1 2
j 2, 4 , 6......
2 2
j
t a j 1 2j cos j p t
donde:
JV / 2015-2
5/8
j p
En esta expresin se han omitido los armnicos que tienen coeficientes bj, debido a
que stos son nulos.
PROBLEMA 3
Un tanque completamente lleno de agua es sometido a una fuerza p(t) causada por
una gran explosin, tal como se muestra en la figura. Estimar los valores mximos
del cortante y del momento que se producen en la base de la torre del tanque.
Considerar m=5 Ton, k=1400 kN/m, =3%.
JV / 2015-2
6/8
250
200
200
P, kN
150
110
100
90
50
0
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
t, seg
Solucin
El tanque elevado se puede considerar como un oscilador viscoelstico de un solo
grado de libertad, cuyas propiedades son las sgtes.:
Frecuencia natural:
n
k
1400 kN / m
16.73 rad / seg

m
5 Ton
Perodo natural:
Tn
Se
observa
que
la
0.375seg
duracin
de
la
carga
es
muy
corta,
es
decir,
t d / Tn 0.09 / 0.375 0.24 0.25 , por lo tanto la funcin de la carga se puede tratar
como un impulso puro cuya magnitud es la sgte.:

0.09
p(t ).dt
1
200 0.02 200 110 0.02 110 90 0.01 90 0.04
2
I 7.9 kN.sec
La integral se calcula por el mtodo de los trapecios. Despreciando el efecto del

amortiguamiento, debido a que la duracin de la carga es muy pequea, se tiene que
el mximo desplazamiento es:
u0
7.92
I 2
k Tn 14000.375
JV / 2015-2
7/8
u0 0.0945m
u0 9.45cm
La fuerza esttica equivalente, y por equilibrio, la fuerza cortante basal son iguales a:
Vb f S 0 k.u0 14000.0945
Vb 132.4 kN
Asimismo el momento de volteo que se genera en la base viene a ser:

M b 132.410
M b 1324 kN.m
JV / 2015-2
8/8

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER - ESCUELA DE GRADUADOS - Maestra en Ingeniera Civil

CIV-608 DINMICA DE ESTRUCTURAS Semestre 2015-2

El problema se reduce al de un oscilador viscoelstico de un grado de libertad

Si consideramos el desplazamiento u(t) como desplazamiento relativo entre la masa

y la respuesta de desplazamiento de rgimen viene dado por:

.u0 0.929830 27.89mm

Finalmente la respuesta de desplazamiento (en rgimen) es:

(a) Carga Peridica

La carga peridica viene dada por la siguiente funcin:

Siendo la frecuencia natural de la carga igual a:

p(t ) a0 a j cos j p t b j senj p t

Los coeficientes de cada armnico sern:

Desarrollando la integral por partes, se tiene:

Reemplazando para los lmites de las integrales, se tiene:

Finalmente, la carga peridica viene dada por la sgte. serie:

(b) Respuesta de rgimen de desplazamiento

16.73 rad / seg

como un impulso puro cuya magnitud es la sgte.:

La integral se calcula por el mtodo de los trapecios. Despreciando el efecto del

Asimismo el momento de volteo que se genera en la base viene a ser:

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