Factorización I - Sexto Grado

NIVEL: PRIMARIA
SEXTO PRIMARIA
FACTORIZACIN
FACTORIZACINII
Es el proceso que consiste en transportar un

polinomio racional entero en una multiplicacin de
dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a
uno, llamado factores:
# DE
POLINOMIO FACTORIZADO
PRIMOS
multiplicacin
(x + 1) (x + 3) = x
+ 4x + 3
factorizacin
2 3
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z x

2 3 5
P(x, y, z) = x y w
Y si estos factores no se pueden descomponer

en ms factores se les denomina factores primos.
P(x, y) = (x + y)(x xy + y )x
P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x
Ejemplo
3 4
P(x, y) = x y (x - 2)(x - y)
P(x) = x 5x 14
Factorizando
P(x, y, z) = (xyz)
P(x) = (x - 7) (x + 2)
P(x) = x (x + 1)
Tiene 2 factores primos son: x 7; x + 2
P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz

P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)
Ejemplo
2
4 3
2 5
Q(x, y) = x y x y
Factorizando
2 3
FACTORES
Q(x, y) = x y (x y )
Factorizando
Tiene 2 factores primos son: x 7; x + 2
Son: x; y; x + y; x - y
MTODO DE FACTORIZACIN
FACTORIZACIN
POLINOMIO
A. FACTOR COMN MONOMIO

Factor comn monomio es el monomio cuyo
coeficiente es el mximo comn divisor de los
coeficientes del polinomio dado y cuya parte
variable esta formada por las variables
comunes con su menor exponente.
P(x, y) = 15x + 25y

2
P(x) = abx acx

2
P(x) = 2x 4x + 6x
2 3
Ejemplo
4
3 3
P(x, y) = x y x y + x y
3 4
25x 30x + 5x
4 5
5 5
P(x, y) = 5x y 15x y + 2ax y
Factorizar:
MONOMIO COMN
Se halla el mximo comn

divisor de los coeficientes M.C.D. (25; 30; 5) = 5
P(x) = abx ax + bx
25 30 5
P(x, y) = x x + x
5- 6 -1
n+1
+x
n-2
12x
P(x) = 2x + x
n
P(x) = 3x + 6x
a b
n+2
n-1
a-1 b-2
P(x, y) = 12nx y + 4nx y

8nx
Se sacan las variables
comunes de todos los
trminos.
Se escoge el que tiene

menor exponente.
Se multiplica el M.C.D.
por la variable comn.
B. FACTOR COMN POLINOMIO

Factor comn polinomio es un polinomio que
se repite como factor en cada uno de los
trminos de un polinomio.
Ejemplo
1
2
P(x) = 2x y(m + n) 3z (m + n) + 5(m + n)
Observa que un polinomio (m + n) se

repite en todos los trminos. El cual lo
extraemos y queda:
5x
(m + n) (2x y 3z + 5)
Ejemplo
La factorizacin queda as:
a+1 b+2
2
2
El polinomio que se repite es: x + y

2
5x (5x 6x + 1)
P(x, y) = (x + y )x (x + y )y 2(x + y )
Queda:
(x + y ) (x y - 2)
POLINOMIO
FACTORIZACIN
POLINOMIO COMN
(a - 2)x (a 2)
2
(m + y) (x + m)
y (x + y - z) + m (x + y - z)
4
x (2 5b) + x(2a 5b) 5(2a - 5b)
2 2
POR
2 2
a x + 5m x a y 5m y
5a 3b 3bc + 5ac
3
6x 1 x + 6x
2
1
2
2 2
2 2
7mnx 5y 5x + 7mny
Cuando TODOS los trminos de un polinomio

no tienen la misma parte variable, se agrupa los
trminos que si lo tienen y se hallan los
respectivos factores comunes.
2 2
C. FACTOR
COMN
AGRUPACIN
DE TRMINOS
POR AGRUPACIN
m y 7xy + m z 7xz
a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)
Ejemplo
FACTORIZACIN
POLINOMIO
a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)
d m 13c n d n + 13c m
D. IDENTIDADES
Aqu utilizamos dos diferentes productos
notables ya estudiados.
2
a b = (a + b)(a - b)
2
3
a + b = (a + b)(a ab + b )
Observa que en todos

los trminos no hay
expresin comn:
a b = (a - b)(a + ab + b )
2
a + 2ab + b = (a + b)
a 2ab + b = (a - b)
2 2
2 2
a x + 5m x a y 5m y
Recuerd
a
Para factorizar se agrupa los que tenga
parte variable comn. Entonces:
Ejemplo
2 2
2 2
a x + 5m x a y 5m y
Por
monomio
comn
Tienen
comn x
2
Tienen comn
2
y y se puede
sacar el (-)
2
1
2
x y = (x + y)(x - y) (por diferencia de cuadrados)

2
+ 2xy + y
y x + 2xy + y = (x + y)
xy
x
2xy
(a + 5m ) (x y )
Ejemplo
Monomio
Comn
a)
m(x + m) + y(x + m)
Polinomio Comn
Trinomio Cuadrado
Perfecto
x y = (x - y) (x + xy + y )
(Diferencia de cubos)
Ejemplo 2
Factorizar:
mx + m + xy + my
(por trinomio cuadrado
perfecto)
Por
monomio
comn
x(a + 5m ) y (a + 5m )
Monomio
Comn
4x 9 (parece diferencia de cuadrados)

Le damos forma:
2
4x 9 = (2x) 3 = (2x + 3)(2x - 3)

2
4x 9 = (2x + 3)(2x - 3)
(Por diferencia de cuadrados)

2
b)
25x 40xy + 16y
(Parece trinomio
cuadrado perfecto)
25x
5x
4y 25x 40xy + 16y
= (5x 4y)
20xy
x2
40xy
Ejemplo
27x + 8
(Parece suma de cubos)
Le damos forma:
3
27x + 8 =
3
+3
+2
Observa que los factores son (x + 3)(x+2)
(3x) + (2) = (3x + 2) [(3x) (3x)(2) + (2) ]
x + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
= (3x + 2) (9x 6x + 4)
3
x + 5x + 6
c)
Se realiza un producto en
aspa y los resultados se
adicionan, dicho resultado
debe ser idntico al trmino
central del trinomio dado.
16y2
27x + 8 = (3x + 2) (9x 6x + 4)
Ejemplo
x - 5x - 6
c b
x - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)
Ejemplo
x + 10x + 25
3x
64x 25
2
36x + 84xy + 49y
FACTORIZACIN
TRINOMIO
E. ASPA SIMPLE
Es un mtodo
que permite factorizar
trinomios de la forma:
2
ax + bxy + cy
ASPA SIMPLE
x + 7x + 12
2
x 2x - 15
2
X + 8xy + 7y
x + 2xy 35y
2
4x 12xy + 5y
Su mtodo es:
ax
1.
6x - 7xy 20y = (3x + 4)(2x - 5)
36n + 48xy + 16y
Se descomponen en los
factores
extremos
-5
2
49x 14x + 1
+4
2x
6x - 7xy 20y
25m 36n
+1
2
IDENTIDADES
64 x
FACTORIZACIN
POLINOMIO
-6
+ bxy + cy
12x - 8xy 15y

Los
factores se
escriben en
forma
EJERCICIOS
EJERCICIOS
horizontal
Indique el nmero de factores primos:
DE
DE APLICACIN
APLICACIN
9 3
6 7
F(a, b) = 5a b + 15a b
a) 3
d) 1
2.
b) 9
e) 18
a) ax + 4c + 5b
b) ax 4c + 5b
c) ax c + 4b
c) 10
Factorizar:
10.
3
T(a, b) = a + a b + ab + b
a) x + y 1
d) x y 4
e) (a + b) (a + b )
c) (a + b ) (a + b)
3.
11.
Factorizar:
d) (x - 1) (x + 1)
b) (x + 1) (x - 1)
c) (x + 1) (x - 1)
4.
e) x(x + 1)
Factorizar:
a) 2x 3
12.
d) a + b
5.
b) 1 + ab
2
6.
T(x, y) = (xy + 1) (x + y)
a) 4
d) 2(x + y)
c) ab - 1
e) 1 - ab
Indique el factor primo que mas se repite en:

E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1 - x
a) x 3
d) x + 2
b) x 2
e) x + 4
13.
14.
2
7.
b) 2
e) 5
b) 2
e) 5
b) 4
e) 1
Indique un factor de:
c) 3
a) a + b
d) a + 2b
15.
b) a + 2b
e) a + 4b
Indique un factor de:

2
c) a + b
P(a, b, c, d) = a + b + 2ab c d 2cd

a) a + b c + d
d) a + b + c - d
b) a + b + c + d
e) a b c d
c) a b + c - d
c) 3
TAREA DOMICILIARIA N 6
Luego de factorizar:
2
F(a) = a + 2a + ab + b + 1;
indique el trmino independiente de un factor
primo.
a) b + 1
d) a + b + 1
9.
c) 2
P(a, b) = 3 + 2a b + 4ab + 8b
Cuntos factores primos presenta la

siguiente expresin?
P(x, y, z, w) = wy + wz wyz xy xz + xyz
a) 1
d) 4
8.
c) 3
Indique el nmero de factores primos en:

P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
P(a, b, c) = a(b + c ) + b(c + a )

Dar como respuesta la suma de coeficientes
de un factor primo:
a) 1
d) 4
b) x + y
e) x - y
a) 5
d) 2
c) x - 1
Factorizar:
2
c) 2x + 3
e) 4x 6x + 9
Calcular la suma de los factores primos de:
G(a, b) = a(1 b ) + b(1 a )

2
b) 3x + 2
c) x y - 3
d) 9x 6x + 4
Seale un factor primo de segundo grado:
a) 1 + a
b) x y 2
e) x y - 7
R(x) = 8x + 27;
indique el factor primo de mayor suma en sus
coeficientes.
P(x) = x + x x - 1
a) (x - 1)(x + 3)
d) (a + b) (a + b)
b) (a + 1) (b + 1)
Factorizar:
P(x, y) = (x + 1) (y - 2)
Hallar un factor primo:
a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1)
2
d) x + ac
e) ax c - 4b
Un factor de:
2 2
b) a + 1
e) a b + 1
1.
Factorizar:
c) a + b
a) a + 1
d) a 1
2
a x 8acx + 16c 25b es:
P(a) = a + 2a a 2;
e indicar el factor primo con mayor trmino
independiente.
2.
b) 3a + 1
e) 2a + 5
Factorizar:
3 4
c) a + 2
4 3
P(x) = x + c x c x c ;
indicar cuntos factores primos se obtienen:

a) 3
d) 6
3.
b) 4
e) 7
Indicar un factor de:

2
c) 5
a) 9
d) 4
2
11.
P(x, y) = a b + x y + 2(ax - by)

a) a + b + x y
b) a + b x y
c) a b + x - y
4.
d) 9x + 6xy + 2y
e) N.A.
b) 3
e) 0
b) a + 1
d) a + 1
e) a + b
c) b + 1
2
b) 8x
c) 7x
e) 9
Indicar la suma de factores primos:

3
F(a, b) = a b + a b ab
10.
b) 2b
e) 0
c) a + b
Factorizar:
4
d) 2x + 3x - 6
e) 6x + 3x + 2
Cuntos factores primos tiene el siguiente

polinomio?
P(x) = x
M(x, y) = x + 14x + 49 + y ;
10
+x +x +x +x +1
b) 2
e) 5
c) 3
Dado el polinomio:
20
27
P(x) = x (x + x
indicar un factor:
a) 2x
10
+x +1
10
x 1
20
10
b) x
luego indique algn termino de un factor

primo.
a) 2a
d) 1
14.
c) x
4
a) 1
d) 4
A(x) = x + 2x + 9;
9.
b) 6x 3x + 2
a) a + b + 1
a) 2x -3x + 6
15.
d) x
Factorizar:
P(x) = 4x + 15x + 36;

indique un factor primo.
c) -5
Indicar un factor de:
a) x
13.
b) x + y + z
c) x + z
e) Mas de una es correcta
b) 2
e) 7
Factorizar:
c) 2x 3x - 6
P(a, b) = a(b + b + 1) + b(a + a + 1) + a + b
8.
c) n + 5m
Factorizar:
a) x + y
d) y + z
c) 4
Factorizar:
N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3;
indicar el trmino independiente de un factor
obtenido.
a) 5
d) 4
P(x, y, z) = x + y + x(y + z) + y(x + z);

indicar un factor primo.
Factorizar:
P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) 2ac;
y sealar la suma de coeficientes de un factor
primo y obtenido.
a) 1
d) -1
7.
3 2
b) 5n m
e) (n 2m)n
c) 2x 6xy 9y
6.
b) 9x 6xy + 2y
2 3
a) m + 2n
d) m(m 2n)
12.
a) 2x 6xy + 9y
c) 11
Reconocer un factor de:

4
Factorizar:
H(x, y) = 4x + 81y
b) 6
e) 8
mn 5m n 4m n + 20m n
d) a b x + y
e) a b x - y
5.
indique la suma de coeficientes de un factor

primo.
+1
20
20
+ 1) + x (x
25
+x +1
18
+ 3x
d) x
e) x
+ 1) + 1;
15
+5

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NIVEL: PRIMARIA

Es el proceso que consiste en transportar un

P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z x

Y si estos factores no se pueden descomponer

Tiene 2 factores primos son: x 7; x + 2

P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz

A. FACTOR COMN MONOMIO

P(x, y) = 15x + 25y

P(x) = abx acx

P(x, y) = 5x y 15x y + 2ax y

Se halla el mximo comn

P(x, y) = 12nx y + 4nx y

Se escoge el que tiene

B. FACTOR COMN POLINOMIO

P(x) = 2x y(m + n) 3z (m + n) + 5(m + n)

Observa que un polinomio (m + n) se

La factorizacin queda as:

El polinomio que se repite es: x + y

x (2 5b) + x(2a 5b) 5(2a - 5b)

Cuando TODOS los trminos de un polinomio

a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)

a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)

Observa que en todos

x y = (x + y)(x - y) (por diferencia de cuadrados)

(por trinomio cuadrado

4x 9 (parece diferencia de cuadrados)

4x 9 = (2x) 3 = (2x + 3)(2x - 3)

(Por diferencia de cuadrados)

25x 40xy + 16y

4y 25x 40xy + 16y

(Parece suma de cubos)

Observa que los factores son (x + 3)(x+2)

(3x) + (2) = (3x + 2) [(3x) (3x)(2) + (2) ]

27x + 8 = (3x + 2) (9x 6x + 4)

36x + 84xy + 49y

que permite factorizar

6x - 7xy 20y = (3x + 4)(2x - 5)

36n + 48xy + 16y

12x - 8xy 15y

Indique el nmero de factores primos:

Indique el factor primo que mas se repite en:

Indique un factor de:

Indique un factor de:

P(a, b, c, d) = a + b + 2ab c d 2cd

Cuntos factores primos presenta la

Indique el nmero de factores primos en:

P(a, b, c) = a(b + c ) + b(c + a )

Calcular la suma de los factores primos de:

G(a, b) = a(1 b ) + b(1 a )

Seale un factor primo de segundo grado:

a x 8acx + 16c 25b es:

indicar cuntos factores primos se obtienen:

Indicar un factor de:

P(x, y) = a b + x y + 2(ax - by)

Indicar la suma de factores primos:

Cuntos factores primos tiene el siguiente

luego indique algn termino de un factor

P(x) = 4x + 15x + 36;

Indicar un factor de: