ESCUELA ACADMICO-PROFESIONAL

INGENIERA CIVIL

INFORME:
ECUACIONES DIFERENCIALES
MASA RESORTE

AUTORES:
ROJAS BORBOR, WILLY
BAQUERIZO TONG, KIAN-DEC
BENDEZ RUIZ, MAXS
ASENCIOS VILCHEZ, SERGIO

ASESOR:
ASTETE CHUQUICHAICO, ROLANDO GANDHI
AULA: 148 C

TURNO: TARDE

LIMA, JULIO DE 2015

ALUMNO:
PROFESOR
PESANTES GUERRERO, Gerardo
ING. TRUJILLO BARZOLA, Alex
Leonel

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MATEMTICA III

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El trabajo del pensamiento se parece a

la perforacin de un pozo: es turbia al
principio, ms luego se clarifica.
Proverbio chino.

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A nuestros padres y amigos, por su

apoyo y motivacin en nuestras
labores.

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NDICE
Pginas

INTRODUCCIN

1. OBJETIVOS
2. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE

SEGUNDO ORDEN
2.1.
PRIMERA LEY DE HOOKER

2.2.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

2.3.

ECUACIN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO LIBRE NO

AMORTIGUADO
3. EJEMPLOS
CONCLUSIONES

10
15

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

15

ECUACIONES DIFERENCIALES

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INTRODUCCIN
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la
Matemticas

para la ingeniera debido a que muchos problemas se

representan a travs de leyes y relaciones fsicas matemticamente por este

tipo de ecuaciones. Es inters de este trabajo la deduccin de las Ecuaciones
Diferenciales a partir de situaciones fsicas que se presentan en determinados
problemas de carcter fsico. A esta transicin del problema, al Modelo
Matemtico correspondiente se llama Modelado. Este mtodo tiene una gran
importancia prctica para el ingeniero y se

ilustra por medio de ejemplos

tpicos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia
un planteamiento

matemtico y su solucin, y la interpretacin fsica del

resultado. Se dedicar en este

espacio la modelacin de problemas que

conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y esto lo justifica desde

el punto de vista terico y prctico pues se vern ms fciles si uno se
concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes
familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultara ms fcil los
conceptos, mtodos y resultados hacia las de orden superior.

OBJETIVOS

ECUACIONES DIFERENCIALES

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Mediante la primera y segunda ley de Hooke determinar ecuaciones

diferenciales
Solucionar respectivamente los ejercicios usando las frmulas adecuadas de la
leyes de Hooke y ecuacin diferencial para hallar la funcin x (t).

Hallar mediante la ecuacin principal

x ( t )=c 1 cos t +C2 sen t

c1 y c2 .

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los valores

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO

ORDEN

Movimiento Armnico Simple (MAS):

La Ley de Hooke:

Supongamos que un cuerpo de masa M est sujeto al extremo de un resorte flexible

suspendido de un soporte rgido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura
5.1. Cuando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte
ser, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin F opuesta a la
direccin del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en trminos
simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de
distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elstico esta
esencialmente caracterizado por l numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa
10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb. /pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

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Segunda Ley de Newton:

Despus que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una
magnitud s y alcanzara la posicin de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado
por la fuerza de restitucin ks. El peso es definido por:
W = m. g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geo libras (slugs) y g = 9.8
mt/s o 80 cm/s o 32pie/s, respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b, la
condicin de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza
de su posicin de equilibrio en una magnitud x y despus se suelta, la fuerza

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neta F correspondiente a este caso dinmico est dada por la segunda ley del
movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleracin dw/dt. Suponiendo
que sobre el sistema no actan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre),
entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitucin:

d2 x
=k ( s+ x ) +mg
2
dt

kx+ mgks
=kx
cero

(1)

Ecuacin Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:

Dividiendo la ltima ecuacin planteada entre la masa m, se obtiene la ecuacin
diferencial de segundo orden:

d2 x k
+ x=0 ( 2 )
2
dt m
O bien.

d2 x
+ 2 x=0 (3 )
2
dt

En donde

2 = k/m. Se dice que la ecuacin (3) describe el movimiento armnico

simple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales

obvias asociadas con dicha ecuacin:

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x ( 0 )= ,

dx
= (4)
dt t =0

Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial,

respectivamente. Por ejemplo si

>0y

< 0, se trata de una masa que parte

de un punto abajo de la posicin de equilibrio y a la cual se ha comunicado una

velocidad dirigida hacia arriba. Si

< 0 y

en reposo que se suelta desde un punto que est

= 0, se trata de una masa

|| unidades arriba de la posicin

de equilibrio. Los dems casos son anlogos.

Solucin y ecuacin de movimiento:
Para resolver la ecuacin (3) observemos que las soluciones de la ecuacin auxiliar

M 2 2=0 Son los nmeros complejos

1= i , m2=i
m

De acuerdo a la ecuacin auxiliar de las ecuaciones lineales homogneas podemos

concluir la ecuacin general.

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y=C 1 em x +C 2 em
1

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y=C 1 e( +i)x +C 2 e ( i) x
Formula Euler:
i

e =cos + sen

y=ex ( C1 e ix +C2 eix )

y=e

( C1 ( cos x + sen x ) +C2 (cos ysen y ) )

y=ex (cos x ( C1 +C 2 ) +sen x ( C 1+C 2 ) )

x

y=C 1 e cos x+ C2 e sen x

Solucin general;

x ( t )=c 1 cos t +C2 sen t(5)

El periodo de las vibraciones libres descritas por la ltima ecuacin (5) es

y la frecuencia es

es

1/T =

T=

2
. Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo

2
2 y la frecuencia es 3/2

ECUACIONES DIFERENCIALES

. El primer nmero indica que la grfica x(t) se

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repite

unidades; el ultimo numero indica que hay 3 ciclos de la grfica 2

unidades; en otras palabras, la masa realiza 3/2

oscilaciones completas por

unidad de tiempo. Adems, se puede demostrar que el periodo

es el intervalo

de tiempo entre dos mximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos
determinado las constantes C1 y C2 en (5) C2 sen t mediante las condiciones iniciales
(4), decimos que la solucin particular resultante es la ecuacin de movimiento.

Ejemplo 1:
Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo
del resorte y se la suelta desde la posicin de equilibrio con una velocidad dirigida
hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuacin del movimiento.
Solucin

F=400 N

x=2 m

v =10 m/s

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m=50 kg

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400
=k
2
k =200
2 =4
=2

dx
=10
dt t=0
Ecuacin del movimiento

50 x +200 x = 0
x +4x=0

x ( t )=c 1 cos t +c 2 sen t

1
x ( t )=c 1 cos t+ c2 sen 2 t
2
c 1=2
x ( 0 )=[10=2 sen 2 t+c 2 cos 2 t ]
x ( 0 )=[10=2 c 2 ]
c 2=5
x ( t )=2 cos 2 t5 sen 2 t

Ejemplo 2:

ECUACIONES DIFERENCIALES

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Resolver e interpretar el problema de valor inicial:

d2 x
+16 x=0
2
dt

x ( 0 )=10 ,

dx
=0
dt t =0

Solucin:
Una formulacin equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo que
pende de un resorte hasta que est 10 unidades bajo la posicin de equilibrio y luego
se le retiene hasta t = 0; se le suelta a continuacin de manera que parta de un estado
de reposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solucin:

x ( t )=c 1 cos 4 t+C 2 sen 4 t

x ( 0 )=10=C 1 1+C 2 0

Resulta

De modo que

C1 =10 y por lo tanto

x ( t )=c 1 cos 4 t+C 2 sen 4 t

dx
=30 sen 4 t +c 2 cos 4 t
dt

dx
=0=4 c 2 1
dt t=0

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La ultima ecuacin implica que

c 2=0

y por lo tanto la ecuacin de movimiento es

x(t)=10cos 4t.
La solucin muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento,
permanece en tal estado, con la masa deslazndose alternadamente 10 unidades
hacia cada lado de la posicin de equilibrio x = 0. El periodo de oscilacin es 2 /4

/2 segundos.

Ejemplo 3:
Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0
desde un punto que est 8plg bajo la posicin de equilibrio, con una velocidad dirigida
hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la funcin x(t) que describe el movimiento libre
resultante.
Solucin:
Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las
magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg
= 8/12 = 2/3 pie. Adems, debemos convertir las unidades de peso en unidades de
masa. M = W/g
Tenemos

m=

2
1
= slug
32 16

Adems, por la Ley de Hooke se tiene:

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2=k

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( 12 )lo que implica que k =4 lb/ pie

Por consiguiente, las anlogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,
2

1 d x
d x
=4 x y 2 + 64 x=0
16 dt 2
dt

El desplazamiento y la velocidad iniciales estn dados por:

2 dx
4
x ( 0 )= ,
t=0=
3 dt
3

En donde el signo negativo que aparece en la ltima condicin en consecuencia de

que a la masa se le da una velocidad inicial con direccin negativa, esto es, dirigida
hacia arriba.

Ahora bien,

2 =64, o sea =8

de modo que la solucin general de la ecuacin

diferencial es:

x ( t )=c 1 cos 8 t +C 2 sen 8 t

Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuacin tenemos que:

2
2
x ( 0 )= =C1 1+ C2 0 c1=
3
3

2
x ( t )= cos 8t +C 2 sen 8 t
3

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x ( t )=

2
sen 8 t +8 C2 cos 8 t
3

x ( 0 )=

Luego

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4 16
1
=
0+8 C 2 1, c2 =
3
3
6

c 2=1/6. Por consiguiente, la ecuacin de movimiento es:

2
1
x ( t )= cos 8t sen 8 t (7)
3
6

Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distincin entre peso y masa.
As, a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte y tambin, del
movimiento de un peso sujeto a un resorte.

Forma alternativa de x (t)

Cuando

c1 0

c 1 0 , la amplitud real A de las oscilaciones libres no se obtiene

en forma inmediata de la ecuacin (5). Por ejemplo, aunque la masa del Ejemplo 2 es
inicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posicin de equilibrio, la amplitud de las
oscilaciones es un nmero mayor que 2/3. Por lo tanto, a menudo conviene
transformar una solucin de la forma (5) a una forma ms simple

x ( t )= A sen ( t+ ) (8)

A= c 12 + c22

En donde

Y en donde

es un ngulo de fase definido por

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c1
c 1 sen = A
tan =
(9)
c2
c2
cos =
A

Para verificar esto, desarrollamos (8) mediante la frmula del seno de una suma de
ngulos:

cos sen t

t +
t sen = ( A sen ) cos
+ A cos
A sen t cos

como:

Se define

=
sen =

c2

2
1

+c 2

c1

2
1

+ c2

c2
A

c1
, cos
A

Entonces (10) se transforma en

t + A

c2
sen t= c1 cos t + c2 sen t=x (t )
A
c1
A cos
A

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CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede

determinar valores como constantes, fuerzas, peso y as remplazarlas en las

ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar

c1

c2

para

darle una solucin principal a la ecuacin diferencial.

Sabiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuacin

diferencial podemos darle solucin a

x ( t ) siendo el valor final que nos piden

en cada ejercicio determinado por la ecuacin principal.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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Monroy, C. 2003 http://es.slideshare.net/xiomithaditte/aplicacionesde-las-ecuaciones-diferenciales-de-segundo-orden (pp. 5 13)

http://es.slideshare.net/sheep242/aplicaciones-de-las-ed-de-segundoorden (2012).

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