CENTRO PREUNIVERSITARIO

UNSCH

MATEMTICA I

(a 2 a 1)( a a 1) a 4 a 2 1

PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas
que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar
la propiedad distributiva, ello por la forma como la
presentan.

( a b) a 2ab b

(a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) (ax by ) 2 (ay bx) 2

*
13. IDENTIDADES DE GAUSS

3
3
3
2
2
2
* a b c 3abc (a b c)( a b c ab bc ac)

* (a b)(b c )( a c ) abc (a b c)( ab bc ac)

14. IDENTIDADES CONDICIONALES
Si: a b c 0 , entonces se verifican:

1. BINOMIO AL CUADRADO
2

*
12. IDENTIDADES DE LAGRANGE

(a b) 2 a 2 2ab b 2

a 2 b 2 c 2 2(ab bc ac)

* a b c 3abc
3

2. BINOMIO AL CUBO
*

(a b) a 3a b 3ab b

(a b) 3 a 3 b 3 3ab(a b)

(a b) a 3a b 3ab b

(a b) 3 a 3 b 3 3ab(a b)

*
3. DIFERENCIA DE CUADRADOS

a b (a b)( a b)
2

4. MULTIPLICACIN DE DOS BINOMIOS CON UN

TRMINO COMN:

(a x )(b x ) ab (a b) x x 2

(ab bc ac ) 2 (ab) 2 (bc) 2 (ac) 2

( a 2 b 2 c 2 ) 2 2( a 4 b 4 c 4 )

a 4 b4 c 4 2(a 2b 2 a 2c 2 b 2c 2 )

a 5 b5 c 5 5abc(ab bc ac)

a 7 b 7 c 7 7 abc( ab bc ac) 2

a 2 b2 c 2 a3 b3 c3 a5 b5 c5
)(
)
2
3
5
*
2
2
2
5
5
5
7
7
a b c a b c
a b c7
(
)(
)
2
5
7
*
(

Problemas relacionados a productos notables:

1.

La diferencia de edades de Mara y Juana es 4 y la

suma de sus cuadrados es 24. Calcule la diferencia
de cubos de dichas edades.
A) 110 B) 111 C) 112 D) 113 E) 114

2.

Si la diferencia de los cuadrados de las edades de

Marx y Alex es de 17 aos y el cuadrado de la suma
de las edades es 289; entonces, por cuntos ms
Marx es mayor que Alex?
A) 1
B) 6
C) 5
D) 3 E) 4

3.

Halle el valor de m para que la expresin

9 x 6 7mx 3 y 4 2 x 3 y 4 25 y 8
Sea un T.C.P.
A) -2 B) 2 C) -3 D) 4
E) -4

6. DIFERENCIA DE CUBOS

a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 )
7. TRINOMIO AL CUADRADO

(a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2(ab bc ac)
8. TRINOMIO AL CUBO
*

(a b c) 3 a 3 b 3 c 3 3(a b)(b c)(a c)

* (a b c) a b c 3(a b c)( ab bc ac) 3abc

10. IDENTIDADES DE LEGENDRE
3

( a b ) 2 ( a b ) 2 2( a 2 b 2 )
*
*

(a b) 2 (a b) 2 4ab

(a b)4 (a b)4 8ab a 2 b 2

5. SUMA DE CUBOS:

a 3 b 3 (a b)( a 2 ab b 2 )

4.

4x

4 x

2 +2

Si

*
11. IDENTIDADES DE ARGAND

valor de

(a 2m a m b n b 2n )(a 2m a m b n b 2n ) a 4m a 2m b 2n b 4n
*

A) 8

=119 , x >0

2 2 +5.
B) 2

C) 11

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA1 10

D) 3

E) 9

, Halle el

CENTRO PREUNIVERSITARIO
5.

a>0

Si

UNSCH
1
1
1

P 4 a a2 2 4
a

a a

, simplifique la siguiente expresin.

a
a
a
( 4 x+1+ a4 x )
( xax )
( x +ax )

A)
B)
a6 x + a6 x
a2 x a2 x
C) a6 x a6 x
D) a x ax
E)

Reducir:
A)1 B) a
C) 1/a
D) 2a
E) a2
10. Sean a y b nmeros reales positivos.
2

Si

entonces el valor de
A) 2

B) 2

a
( 2+b2 + c2 )

C) 3

D) 4

12.
es

A) 2
10
8.

B) 4

Determine

C) 6

el

9.

C) 2

Si a2 = a + 1 ; a R+,

D) 3

1.

se obtiene:
E)

valor

abc
E) 2

D) 7/6

de:

de

B) 2

C) 8

D) 3

E) 1

Si: (a + b + c + d)2 = 4(c + d)(a + b)

Calcule el valor de:

A) 3

729 c d

B) 9 C) 27

D) 81

E) 243

2. Si ab + bc = 8; bc + ac = 9; ac + ab = 5;

de

E)7/36

( x +3 ) ( x +2 ) +( x+ 4)(x +1)
3

2 a b

, determine el equivalente

Tarea domiciliaria

( a b) 3 (b c) 3 (c a) 3
T
(a b)( a c)(b c)
siendo
A) -3 B) 1

D) 8

E) 120

numrico

Al simplificar la expresin

C) 29/36

x +5 x=7

Si

A) 4

x y 4 x y 4

x y 2 xy x y 2 xy

D) 100

que

A) 18/36 B) 49/36

E) 4
7.

C) 175

a+b +c=0 ; ab+ bc+ ac=7

calcule el
valor
abc=6
1 1 1
+ +
a2 b2 c2

a ( b+ c ) =bc ; a+ b+c=2,

Si

B) 200

Sabiendo

a
( 3 x+ ax )

6.

()()

A) 150
11.

a
b
+
=2, calcule
b
a
a b a2 b 2 a3 b 3
a 50 b50
+ + 2 + 2 + 3 + 3 ++ 50 + 50
b a b a b a
b
a

a, b, c R ;

a2+b2+c2=14
Calcule: abc(6 c)(6 b)(6 a)
A) 160 B) 150 C) 360 D) 720

3. Si a4n + a-4n = 34;

Entonces an -a-n es:
A) 2
B) -2
C) -3

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA2 10

D) 3

E) 4

E) 320

1
x ( x+5 ) 4

CENTRO PREUNIVERSITARIO

N de factores a lg ebrai cos (3 1)(2 1)(1 1) 1

4. Conociendo a+4b+9c=0, segn ello reducir:

a 2b 2 2b 3c 2 3c a 2
J
ab

A) 36

bc

N de factores a lg ebraicos 23

ac

MTODOS DE FACTORIZACIN

B) -36 C) abc D) a+b E) -14

x 2+ a b x +2

5. Si la expresin

es un trinomio

cuadrado perfecto, calcule el mayor valor de ab (considere

a y b enteros)
A) 6 B) 2
C) 4
D) 8 E) 5
2

FACTORIZACIN EN Q
La factorizacin es un proceso de transformaciones
sucesivas de una expresin algebraica racional entera
(polinomios) en una multiplicacin de dos o ms factores
primos racionales y enteros dentro de un cierto campo
numrico.
Ejemplos.

x4 9 x2 3 x2 3

*
primos en el campo racional.

son factores

4
2
* x 9 x 3 x 3 x 3 , son factores
primos en el campo real.

4
* x 9 x 3i x 3i x 3 x 3 , son
factores primos en el campo compleja.

Factor Primo: Un polinomio es primo sobre un campo

numrico cuando no se puede transformar en el producto
de dos polinomios sobre el mismo campo numrico.

P ( x ) ( x 1) 2 ( x 2 3) 3 ( x 2) 4 ,
P( x) 2 ( x 1) ( x 3)
2

tiene

factores primos.

P ( x, y ) x 4 y 2 ( x 1) 2 ( x 2 3) 3 ( x 2) 4
, tiene 5 factores primos.
NMERO DE FACTORES ALGEBRAICOS
Un polinomio factorizado presenta una cantidad
determinada de factores algebraicos, o sea expresiones
que lo dividen en forma exacta en la cual no se considera
a ninguna constante.
Sea
s.

P a b c , donde a, b, c son primos entre

N de factores algebraicos ( 1)( 1)( 1) 1

Ejemplo.

P ( x, y , z ) x 3 y 2 z

1. FACTOR COMN
Ejemplo.

P( x, y ) 12 x 3 y 2 54 xy 6 xy 2
Solucin:

P( x, y ) 6 xy( 2 x 2 y y 9)
2. AGRUPACIN DE TRMINOS
Ejemplo.
Factorizar:
Solucin:

ax by ay bx

ax ay bx by
a ( x y ) b( x y )
( x y )( a b)

3. MTODO DE LAS IDENTIDADES

Este mtodo de las identidades recibe este nombre
debido a que se utiliza las identidades algebraicas o
productos notables en forma inversa.
Algunos ejemplos:
1. Factorizar:
a 2 2ab b 2 (a b) 2
2. Factorizar:
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )

tiene 3 factores primos.

3

UNSCH

a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
3. Factorizar:
a 4 a 2 1 ( a 2 a 1)(a a 1)
4. MTODO DE ASPA SIMPLE
El mtodo del aspa simple se emplea para factorizar
trinomios de la forma:

P ( x) ax 2 n bx n c

P ( x, y ) ax 2 n bx n y m cy 2 m
Ejemplo.

2
Factorizar: x 5 x 6 x 3 x 2

5. MTODO DE ASPA DOBLE

El mtodo del aspa doble se utiliza en la factorizacin de
los polinomios de la forma:

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA3 10

CENTRO PREUNIVERSITARIO

UNSCH

P( x, y) ax 2n bx n y m cy 2m dx n ey m f

lograr que el segundo trmino

Ejemplo.
Factorizar:

2x 2 y 2 ,

Solucin:

x 4 2x 2 y 2 y 4 x 2 y 2
(x 2 y 2 )2 x 2 y 2

(2 x 3 y 4)( 4 x 3 y 3)

5. MTODO DE ASPA DOBLE ESPECIAL

El mtodo del aspa doble especial se utiliza en la
factorizacin de los polinomios de la forma:

( x 2 xy y 2 )( x 2 xy y 2 )

P( x ) ax 4 n bx 3n cx 2 n dx n e
Factorizar:
Solucin:

x 4 7 x 3 17 x 2 26 x 12

1.

6. MTODO DE DIVISORES BINMICOS

El mtodo de los divisores binmicos se utiliza para
factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier
grado que admitan factores de primer grado de la forma

(ax b) .

general
Ejemplo.

Factorizar:
Solucin:

2.

A) 1

7. MTODO DE SUMAS Y RESTAS

Este mtodo lo ilustraremos mediante el siguiente 4.
ejemplo.

x4 x2 y2 y4

5.

2x y

C) 3

D) 4

E) 5

Indique el nmero de factores primos de

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Halle la suma de factores primos de

P ( a ; b ; c )=1+a+ b+c +ab+ bc+ ac+ abc

A) ab B) a+b C) a+b +c +3 D) c
E) c +3 5
Halle el promedio aritmtico de los trminos
independientes de los factores primos del polinomio

P(x) = x 5 + 5x 4 + 7x 3 - x 2 - 8x - 4.

y 4 es y 2

La raz cuadrada de
Y el doble producto de estas races es
2

B) 2

x 2 +5 x

P ( x )=

( x 1)( x 2)( x 4)( x 5)

x 4 es x 2

E) 0

Indique el nmero de factores lineales que

presenta el siguiente polinomio

3.

Factorizar:
Solucin:
Primeramente veamos si este trinomio es
Cuadrado perfecto.

P ( x ; y )=x 8 y+ 3 x 7 y+ 2 x 6 y +6 x5 y

x 4 6 x 3 5 x 2 42 x 40

La raz cuadrada de

Problemas relacionados a factorizacin:

Cuntos factores lineales tiene el
polinomio:
P( x ) 27 x 3 28 x 3
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

( x 2 x 4)( x 5 x 3)
2

x2 y2

lo cual se consigue sumndole

,
para que el trmino no vare hay que restarle la misma
cantidad que se suma es decir:

8 x 2 6 xy 9 y 2 10 x 21y 12

Ejemplo.

x 2 y 2 se convierta en

A) 4/3

B) 6/5

C) 1/4

D) 3/2

E) 2/3

, luego existe trinomio no es un

cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que

6.

Luego

de

factorizar

el

polinomio

M(x; y) = 48x 3 y 2 + 12xy 3 + 120x 2 y 2 + 72xy 2 - 12xy 4 ;

indique el coeficiente del trmino lineal respecto a y
del factor primo con mayor trmino independiente.
A) -1 B) 1
C) 3
D) 10
E) 50

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA4 10

CENTRO PREUNIVERSITARIO
7.

UNSCH
P(x) = x4 - 4x3+11x2-14x+10
A) x2+3x+2
B) x2-2x+5
D) x2+4x
E) x2-2x+2

Cuntos factores algebraicos tiene

el polinomio?

T(a) = a 4 - ( a 6 - 1) + 4a 5?
2

A) 3
8.

B) 5

C) 7

D) 9

12.

E) 20

Halle la suma de los cuadrados de los ceros del

polinomio
3

P ( x )=x 10 x +31 x 30
A) 6
9.

B) 5

C) 4

D) 38

E) 36

Al factorizar, sealar un factor primo , de

a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab 28
A) (a+b+7) B) (a+b+4) C) (a-b-7)
D) (a+b+1) E) a+b
10.

Indicar el factor primo cuadrtico de mayor

suma de coeficientes, despus de factorizar
N(x) = x4+4x2+16
A) x2+x-2 B) x2+2x-4
C) x2+8
D) x2+x-8 E) x2+2x+4

11.

C) x2-4x-2

Factorizar e indicar la suma de sus factores

primos lineales.
P(x)=(x2 + x + 1) (x2 x + 1) +7x2 385
A) x-4 B) 2x-4 C) x+4 D) 2x E) 2x+8

Tarea Domiciliaria
1.

Indicar el nmero de factores primos de:

P(x)=(x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) +21x+2
A) 2
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5

2.

Obtener la suma de coeficientes de un factor primo

del polinomio.
M(x)=x3 x2 17x + 33
A) 8 B) -8 C) 9 D) 10 E) -9

3.

Factorizar e indicar un factor primo: Q(x) =x2 +

(b + c + 2d)x + d2 +(b +c)d + bc
A) x+b+d
B) x+2d
C) x+c
D) x+2c
E) x+b+c+d

Sealar el factor primo cuadrtico

de mayor suma de coeficientes en

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA5 10

CICLO ACADMICO 2016-III

SEMANA 10