CINEMTICA DEL MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL

RESUMEN. En el presente trabajo experimental se estudi el movimiento bidimensional que

muestra una esfera al ser lanzada horizontalmente a travs de una rampa acanalada, y se determin
la velocidad de la misma al inicio de dicho movimiento. Para ello, se procedi al montaje de un
sistema conformado por una rampa y una tabla de madera recubierta de papel carbn y papel
blanco, con la finalidad de registrar la trayectoria de la esfera al ser lanzada, variando para esto la
distancia de la tabla en el eje X. Tomando en cuenta que se trata de un movimiento bidimensional,
la velocidad determinada de la esfera al salir de la rampa, a travs de un grfico de la variacin del
movimiento en el eje X con respecto al eje Y, fue de (100 1) cm/s. Considerando que se trata del
movimiento de un cuerpo sobre una rampa acanalada, mediante un balance de energa mecnica, la
velocidad calculada al salir de dicha rampa fue de (150,08 0,07) cm/s. Sabiendo que se trata de
una esfera, y tomando en cuenta su momento de inercia y su velocidad angular, a travs de un
balance de energa mecnica, la velocidad de dicha esfera calculada al salir de la rampa fue de
(126,84 0,06) cm/s. Finalmente, haciendo una correccin del radio utilizado en la condicin de
rodadura, que toma en cuenta los dos puntos de contacto de la esfera sobre la canal, la velocidad
calculada al salir de la rampa fue de (102,5 0,6) cm/s. Se observ, adems, una diferencia entre
las velocidades calculadas y la velocidad determinada por medio de la regresin de los datos
obtenidos, lo que permite concluir, que para obtener de forma analtica el valor de la velocidad de
la esfera al salir de la rampa, es necesario tomar en cuenta variables como el momento de inercia
de la esfera, la velocidad angular y el radio correcto en la condicin de rodadura, ya que al
considerar dichas variables se obtuvo una discrepancia de tan solo un 2,4 %.
INTRODUCCIN
La cinemtica es la rama de la fsica que
se encarga del estudio del movimiento de los
cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que
originan dicho movimiento. Se encarga, entonces,
de estudiar la posicin y los cambios de posicin
en el tiempo.
Un objeto est en movimiento con
respecto a otro cuando su posicin, medida en
relacin con el segundo cuerpo, est cambiando
con el tiempo. Por lo tanto, para describir dicho
movimiento, es necesario fijar un sistema de
referencia en relacin con el cual se analiza el
movimiento.
Los movimientos pueden clasificarse de
diferentes maneras, segn la trayectoria que
siguen o de acuerdo a la variacin de velocidad
que stos presentan. En el siguiente trabajo
experimental, se estudiar el movimiento
bidimensional seguido por una esfera al ser
lanzada horizontalmente a travs de una rampa
acanalada, y se calcular la velocidad de dicho
cuerpo al iniciar el movimiento.

El lanzamiento horizontal de un cuerpo,

corresponde a un movimiento bidimensional en el
cual la nica fuerza que acta es la gravitacional.
Su trayectoria queda descrita mediante la ecuacin

y=

g 2
x
2V 0 x 2

Ec. 1

donde V0x es la velocidad que posee el cuerpo al

iniciar el movimiento, es decir, al salir de la
rampa.
Ahora bien, considerando el movimiento
de un cuerpo sobre la rampa acanalada y
suponiendo que dicho sistema es un sistema
conservativo, la energa mecnica del cuerpo se
conserva durante todo el trayecto, por lo que,
sabiendo que la velocidad al inicio de la rampa es
igual a cero, es posible calcular la velocidad del
mismo al salir de la rampa a travs de un balance
de energa mecnica, mediante la relacin

V f = 2 g( y i y f )

Ec. 2

Tomando en cuenta que el cuerpo en

estudio es una esfera, sta no puede ser
considerada como una partcula, sino como un
cuerpo rgido debido a que posee movimiento de
traslacin y de rotacin. Considerando el
momento de inercia de la esfera, su velocidad
angular y que dicha esfera rota y se traslada sin
deslizar, la velocidad de la misma al salir de la
rampa, calculada a travs del respectivo balance
de energa, es

Vf=

10
g ( y i y f )
7

Ec. 3

Finalmente, debido a que la esfera se

mueve a lo largo de una canal, sta posee dos
puntos de contacto. La ecuacin anterior, slo
toma en cuenta un punto de contacto con la pista,
por lo que haciendo una correccin del radio
usado en la condicin de rodadura la expresin
vendr dada por

Se reubica la tabla de madera con una

separacin de 5 cm con respecto a la posicin del
lanzamiento anterior y a continuacin se deja caer
tres veces la esfera sobre la rampa acanalada.
Posteriormente se repiten los pasos anteriores seis
veces, midiendo una separacin de 5 cm entre
cada lanzamiento.
RESULTADOS Y DISCUSIN
Una vez llevados a cabo tres disparos
para cada posicin X, con la precaucin de soltar
la esfera siempre desde la misma altura y de
mantener estrictamente vertical la tabla, tomando
como referencia el punto en que la esfera dejaba la
rampa, se grafic la variacin del movimiento en
el eje X con respecto al eje Y con la finalidad de
estudiar la cinemtica de dicho movimiento
bidimensional, obteniendo as el siguiente
resultado
0.0
20.0

a2 Ec. 4
10
4 R2
Vf=
g ( yi yf )
7
5 a2
1
28 R 2
1

donde a es el ancho de la canal y R es el radio de

la esfera1.
MTODO EXPERIMENTAL
Se lleva a cabo el montaje del sistema,
conformado por una rampa acanalada y una tabla
de madera previamente cubierta con papel blanco
y debajo de ste, papel carbn. Se fija el punto de
referencia de la experiencia para el eje X y para el
eje Y en el punto donde la esfera deja la rampa.
Se procede a ubicar al frente de la rampa,
a una distancia de 5 cm, la tabla de madera y se
deja caer sobre dicha rampa una esfera de acero
cuyo dimetro es previamente medido,
registrndose los impactos de dicha esfera sobre la
tabla. Se repite el proceso anterior tres veces,
cuidando lanzar la esfera desde la misma altura
del lanzamiento anterior.

0.0

10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

Y (cm) 40.0
60.0
80.0
X (cm)

Fig. 1
Se observ que el movimiento describe
una trayectoria no lineal, que se atribuye a la
influencia de la fuerza gravitatoria (peso) que
acta sobre la esfera a lo largo de su
desplazamiento, siendo esta la nica fuerza que
experimenta el cuerpo. De acuerdo a la tendencia
presentada por la data experimental, sta se
model empleando el mtodo de los minimos
cuadrados, a travs de un modelo de potencia de
la forma y = 0,049x1,973 que explica en un 99,9 %
la incertidumbre original de los datos
(R2 = 0,999). Sabiendo que la trayectoria de dicho
movimiento est descrita tericamente por la Ec.
1, haciendo una analoga con el modelo
experimental, se determin la velocidad inicial del

cuerpo en el punto de referencia, obteniendo un

valor de (100 1) cm/s.
A continuacin, se determin la
velocidad inicial a partir del principio de
convervacin de la energa mecnica, que
considera el movimiento de la esfera sobre la
rampa de lanzamiento un sistema conservativo1,
esto con la finalidad de contrastar el valor
determinado experimentalmente con dicho valor
terico.
En primer lugar, a partir de un simple
balance de energa mecnica (Ec. 2) en el sistema
descrito se obtuvo un valor de (150,08 0,07)
cm/s, encontrando que el valor experimental
discrepa en un 33,4 % con respecto a dicho valor
terico.
A continuacin, considerando que en el
experimento realizado el cuerpo se trata de una
esfera, la cual no puede tomarse como una
partcula sino ms bien como un cuerpo rgido, ya
que adems del movimiento de traslacin posee
un movimiento de rotacin, se incluyeron en el
balance de energa mecnica los trminos de
momento de inercia y velocidad angular de
rotacin (Ec. 3), obteniendo en este caso un valor
de (126,84 0,06) cm/s, y encontrando que el
valor experimental discrepa en un 21,2 % con
respecto a dicho valor terico.
Finalmente, debido a que se sabe que el
balance anterior es vlido slo si la esfera rota
teniendo un punto de contacto y en el experimento
la esfera se mueve a lo largo de una canal teniendo
dos puntos de contacto, se realiz una correcin
del radio usado en la condicin de rodadura
(Ec. 4), obteniendo esta vez un valor de
(102,5 0,6) cm/s, y encontrando que el valor

experimental discrepa tan slo en un 2,4 % de

dicho valor terico, observando que es
estrictamente necesario tomar en cuenta las
condiciones descritas previamente a fin de obtener
un valor terico en forma analtica confiable.
CONCLUSIONES
Una vez recolectada y analizada la
correspondiente data experimental obtenida a
partir de los consecutivos lanzamientos realizados,
se determin que el movimiento seguido por la
esfera describe una trayectoria no lineal
consecuencia de la accin de la fuerza gravitatoria
sobre la misma, la cual puede ser descrita con un
modelo de potencia de la forma y = 0,049x1,973,
que explica en un 99,9 % la incertidumbre original
de la data y que a su vez permiti la
determinacin de la velocidad inicial del cuerpo
que tuvo un valor de (100 1) cm/s.
Adems se comprob la conservacin de
la energa mecnica en el sistema utilizado, que
permiti el clculo de la velocidad inicial en
forma analtica con un valor de (102 0,6) cm/s
del cual discrep el valor experimental en tan slo
un 2,4 %, esto siempre y cuando se consideren
variables como el momento de inercia, la
velocidad angular y el radio correcto en la
condicin de rodadura.
Referencias
1

Chourio, M., Rueda, F. y Sagredo, V. (2002).

Fundamentos para el Laboratorio de Fsica
General. En Cinemtica del movimiento
bidimensional (pp. 21-25). Mrida, Venezuela.