616 Capítulo 14 ■ Integración

Otro enfoque algebraico de (b) es x3 - 1

3 x
x3 - 1 b. Encontrar dx.
3 x
2
2
dx
Solución: podemos descomponer el integrando en fracciones, dividien-
3
= (x3 - 1)x - 2 dx do cada término del numerador entre el denominador:
Cálculo diferencial e integral
3
3 3

3
x - 1
3 x 3
= (x - x - 2) dx,
x 1
dx = a 2 - 2 b dx = (x - x-2) dx
x2 x
etcétera. Mtro. Francisco Morales
x2 x-1 x2 1
= - + C = + + C.
Lista 5 2 -1 2 x
■

Parte 1
Ejercicio 14.1
En los problemas del 1 al 52 encuentre las integrales indefinidas.

3 3 3 3
1
1. 5 dx. 2. 2 dx. 3. x8 dx. 4. 2x25 dx.

z-3
3 3 3 3x
2
5. 5x-7 dx. 6. dz. 7. 10
dx.

3 dx 3 y11!5 3 2x9!4
7 1 7
8. 4
. 9. dy. 10. dx.
x

3 3 3
11. (8 + u) du. 12. (r3 + 2r) dr. 13. (y5 - 5y) dy.

3 3 3
14. (7 - 3w - 9w2) dw. 15. (3t2 - 4t + 5) dt. 16. (1 + u + u2 + u3) du.

3 3 3 7
x 3
17. (7 + e) dx. 18. (5 - 2-1) dx. 19. a - x4 b dx.
4
2x2 ex
3 7 3 3 3
8
20. a - x4 b dx. 21. 6ex dx. 22. a+ 2x b dx.
3

3 3 3
-4 -3 -2 2x
23. (x 8.3 6
- 9x + 3x + x ) dx. 24. (0.3y4 - 8y-3 + 2) dy. 25. dx.
3

3 3 4 2x 3 (2x)
1 -3
26. dw. 27. dx. 28. 2
dx.
8 2

x3 3w2
3 3 3 2x 3 2
3 1 1 2
29. a- 3 b dx. 30. a3
- 4 b dx. 31. a - b dw.
x x 3w2

3e 3
2z - 5
3 12 3
4 1 1 x
32. -s ds. 33. dz. 34. a e b dx.
7
ey
3 3 3
35. (xe + 10ex) dx. 36. a 3y3 - 2y2 + b dy. 37. 4
(22x - 3 2x) dx.
6
3 2

3 3
2
3
x 7 1
38. 0 dx. 39. a- - + 6x b dx. 40. a 2x - b dx.
5 22x 3
2x

3 3 3
41. (x2 + 5)(x - 3) dx. 42. x4(x3 + 8x2 + 7) dx. 43. 2x(x + 3) dx.

3 3 3 2x
1
44. (z + 2)2 dz. 45. (2u + 1)2 du. 46. a 3
+ 1 b dx.

z4 + 10z3
3 3 3
47. v-2(2v4 + 3v2 - 2v-3) dv. 48. [6eu - u3(2u + 1)] du. 49. dz.
2z2

Sec. 14.2 ■ Integración con condiciones iniciales 617

x 4 - 3x 2 + 4x ex + e2x (x4 + 1)2

3 3 3
50. dx. 51. dx. 52. dx.
5x ex x3
■ ■ ■

53. Si F(x) y G(x) son tales que F¿(x)= G¿(x), ¿es cierto que b. ¿Hay sólo una función F que satisfaga la ecuación da-
F(x)- G(x) debe ser cero? da en la parte (a), o existen muchas funciones?

3 3 dx 2x 2 + 1
d 1
54. a. Encuentre una función F tal que F(x) dx = xex + C. 55. Encuentre a b dx.
1

 Sec. 14.2 ■ Integración con 1
condiciones iniciales 621
= + ln!w - 1! + C.
12 - w
De la ecuación (8), cuando q = 10,000, c = 5416 3. Así, el costo total de pro-
ducir 10,000 libras de producto en una semana es de $5416.67. ■
■

Para su comodidad, en la tabla 14.2 listamos las fórmulas básicas de inte-

gración analizadas hasta el momento. Suponemos que u es una función de x.
Parte 2
Ejercicio 14.2
TABLA 14.2 Fórmulas básicas de integración
En los problemas 1 y 2 encuentre y, sujeta a las condiciones dadas

3
1. dy!dx = 3x - 4; y(-1) = 13
2.
1. k du =2. ku + =
dy!dx unay(3)
C,x2 -k x; constante
= 192.
n+1

3
En los problemas 3 y 4, si y satisface las condiciones dadas, encuentre
n y(x)upara el valor dado de x.
2. u du = + C, n Z -1.
3. y¿ = 4!2x, y(4) = 10; x = 9. n =
4. y¿ + -x
1 2 + 2x, y(2) = 1; x = 1.

3
3. eu du
En los problemas del 5 al 8 encuentre y, sujeta a las condiciones = eu + C.
dadas.
5. y– = -x2 - 2x; y¿(1) = 0, y(1) = 1. 6. y– = x + 1; y¿(0) = 0, y(0) = 5.

3u
1
4. du = ln ƒ u ƒ +x C, u Z 0.
7. y¿¿¿ = 2x; y–(-1) = 3, y¿(3) = 10, y(0) = 13. 8. y¿¿¿ = e + 1; y–(0) = 1, y¿(0) = 2, y(0) = 3.

3 3
En los problemas del 9 al 12 dr/ dq es una función de ingreso
5. marginal.
kf(x) dx Encuentre
= k f(x) la función
dx. de demanda.
1
9. dr!dq = 0.7. 10. dr!dq = 15 - 15 q.

3 3 3
11. dr!dq = 275 - q - 0.3q2. 6. ; dr!dq
[f(x) 12. g(x)] = = -f(x)
dx10,000 + q;3). g(x) dx.
2(2qdx

En los problemas del 13 al 16 dc/ dq es una función de costo marginal y los costos fijos están indicados entre llaves. En los proble-
mas 13 y 14, encuentre la función de costo total. En los problemas 15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q.
13. dc!dq = 1.35; {200}. 14. dc!dq = 2q + 75; {2000}.
2
15. dc!dq = 0.09q - 1.2q + 4.5; {7700}; q = 10. 16. dc!dq = 0.000102q2 - 0.034q + 5; {10,000}; q = 100.

Ejercicio 14.3 ■ ■ ■

Parte 3 para ratas

17. Dieta Un grupo de biólogos estudió los 18. Polilla de invierno En Nueva Escocia2 se llevó a cabo
Enefectos
los problemas del en
alimenticios 1 alratas
80 encuentre
a las que selas integrales
alimentó con indefinidas.un estudio acerca de la polilla de invierno. Las larvas de
una dieta en la que 10% era proteína.1 La proteína con- la polilla caen al suelo de los árboles huéspedes. Se en-
sistió en levadura y harina de maíz.

3 3 3
7
contró que la razón (aproximada)2 con que
4 5
la densidad y
1. (x + 5) dx. 2. 15(x + 2) dx .
(número 3. pie cuadrado
de larvas por 2x(x +de3)suelo)
dx. cambia
con respecto a la distancia x (en pies), desde la base de

3 3
un árbol huésped 2 es
4. (3x2 + 14x)(x3 + 7x2 + 1) dx. 5. 3 2 2"3
(3y + 6y)(y + 3y + 1) dy.
dy
= -1.5 - x, 1 ! x ! 9.
dx

3 aproximada del aumento promedio de peso G 3 cuando

2 5
6.El grupo - 12zque
encontró
(-12z + en cierto 3periodo,
1)(-4z - 6z2 la z)18 dx
+ razón de. 7. dx.
cambio Si y= 57.3 1)3 1, encuentre y.
(3x - x=
(en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P 19. Flujo de un fluido En el estudio del flujo de un fluido

3 (2x - 7) 3 3 2x
4xen la mezcla proteínica fue
de levadura R, tal1comodx
8. 2 10
dx. 9. 22x - 1 dxen
. un tubo de radio constante
10. la .sangre en
ciertas partes del cuerpo, puede considerarse
- 2 que el tu-
dG P bo consiste en tubos concéntricos de radio r, donde 0 !
=- + 2, 0 ! P ! 100.
3 3 3
11. (7x dP 25.
- 6)4 dx 12. ! .R. La velocidad v del
x2(3x3 + 7)3rdx 13.fluidox(x
es una
2
+ función
3)12 dxde
. ry
está dada por3
Si G= 38 cuando P= 10, encuentre G.

3 3 3
(P1 - P2)r
3
14. 9x21 + 2x2 dx. 15. 4x4(27 + x5)1"3 dx. v = -16. , 10 dx.
(3 -dr2x)
2lÓ

3 3 3
2
17. 3e3x dx. 18. 2e2t + 5 dt. 2Adaptado de D. G. Embree,19. (2t + 1)e
“The Population t +t
dt. of the
Dynamics
Winter Moth in Nova Scotia, 1954-1962”, Memoirs of the
1
Adaptado de R. Bressani, “The Use of Yeast in Human Foods”, en Entomological Society of Canada, núm. 46 (1965).

ge, MA:3 3 (Nueva York: McGraw-Hill, 1955). 3

3
Single–Cell Protein; ed.3 R. I. Mateles y S. R. Tannenbaum (Cambrid-
dx. R. W. Stacy et al., Essentials22.
of Biological
x 3e4x and
dx. Medical Physics
2 4
20. - 3w2e-w dw. 21. xe7x
MIT Press, 1968).

630 Capítulo 14 ■ Integración

3 3 3x + 5
5 1
23. 6e-2x dx. 24. x4e-6x dx. 25. dx.

3x2 + 4x3 9x2 - 2x

3x + x
2x + 1
3 x + x 3 1 - x + 3x
26. 2
dx. 27. 3 4
dx. 28. 2 3
dx.

3 (z - 6) 3 (8y - 3) 3
6z 1 4
29. 2 5
dx. 30. 3
dy. 31. dx.
x
s2 2x2
3 1 + 2y 3s + 5 3 3 - 4x
3
32. dy. 33. 3
ds. 34. 3
dx.

3 5 - 3x 3 5t - 6 3
8 7t 2
35. dx. 36. 2
dt. 37. 25x dx.

3 (4x) 3 2x2 - 4 3 3 - 2x
1 x 11
38. 7
dx. 39. dx. 40. dx.
 3 3 3x + 5
5 1
23. 6e-2x dx. 24. x4e-6x dx. 25. dx.

3x2 + 4x3 9x2 - 2x

3x + x
2x + 1
3 x + x 3
26. 2
dx. 27. 3 4
dx. 28. dx.
1 - x2 + 3x3

3 (z - 6) 3 (8y - 3) 3x
6z 1 4
29. 2 5
dx. 30. 3
dy. 31. dx.

s2 2x2
3 1 + 2y 3s + 5 3 3 - 4x
3
32. dy. 33. 3
ds. 34. 3
dx.

3 5 - 3x 3 5t - 6 3
8 7t
35. dx. 36. 2
dt. 37. 25x dx.

3 3 2x - 4 3
1 x 11
38. 7
dx. 39. dx. 40. dx.
(4x) 2 3 - 2x

3 3 3
4 3
+1
41. 2y3ey dx. 42. 5 24x - 3 dx. 43. v2e-2v +1
dv.

x2
3 22x3 + 9 3 3
3
44. 3
dx. 45. (e-5x + 2ex) dx. 46. 42 y + 1 dy.

x2 + 2
3 3 3 x + 6x
2
47. (x + 1)(3 - 3x2 - 6x)3 dx. 48. 2ye3y dy. 49. 3
dx.

3 3
16s - 4
3
50. (ex - e-x + e3x) dx. 51. ds. 52. (t2 + 4t)(t3 + 6t2)6 dt.
3 - 2s + 4s2

3 3
53. x(2x2 + 1)-1 dx. 54. (w3 - 8w7 + 1)(w4 - 4w8 + 4w)-6 dw.

3 35 3
3 2
55. -(x2 - 2x5)(x3 - x6)-10 dx. 56. (v - 2)e2 - 4v + v dv. 57. (2x3 + x)(x4 + x2) dx.

3 3 (4 - 9x - 3x )
18 + 12x
3
58. (e3.1)2 dx. 59. 2 5
dx. 60. (ex - e-x)2 dx.

3 3 3
3
+ 3x2 - 4 2
61. x(2x + 1)e4x dx. 62. (u2 + 3 - ue7 - u ) du. 63. x2(8 - 5x2)3 dx.

x3
3 3 3 ex
1
64. e-x!4 dx. 65. a 22x - b dx. 66. 4 dx.
22x
x5
3 3 3 x + 1
1 x
67. (x2 + 1)2 dx. 68. c x(x2 - 16)2 - d dx. 69. c + d dx.
2x + 5 2
(x + 1)2
6

3 x - 1 3 3x - 5
3 1 1
70. c + d dx. 71. c - (x2 - 2x5)(x3 - x6)-10 d dx.
(x - 1)2
x3
3 3 3
x 2x
72. (r3 + 5)2 dr. 73. c 23x + 1 - d dx. 74. c - d dx.
x2 + 3 x 2
+ 3 (x 4
+ 2)2
e 2x 1 + e2x
3 2x 3 3 4e
75. dx. 76. (e4 - 2e) dx. 77. x dx.

3t B t 3 x + 2x
x + 1
3
1 1 3
3 4
78. 2
- 1 dt. 79. 2
ln(x2 + 2x) dx. 80. 2 x e 1 8x dx.

En los problemas del 81 al 84 encuentre y, sujeta a las condiciones dadas.

x
81. y¿ = (3 - 2x)2; y(0) = 1. 82. y¿ = ; y(1) = 0.
x2 + 6
1
83. y– = ; y¿(-1) = 1, y(1) = 0. 84. y– = 2x + 2; y¿(2) = 13, y(2) = - 157 .
x2

3

 3 23I
C = I - + 3.
4 3
■

Parte 4
Ejercicio 14.4
En los problemas del 1 al 56 determine las integrales indefinidas.

2x4 + 3x3 - x2 9x2 + 5

3 3 3x 3
1. dx. 2. dx. 3. (3x2 + 2)22x3 + 4x + 1 dx.
x3
2
2xex dx
3 2x 3 24 - 5x 3 ex - 2
x 15
4. dx. 5. dx. 6. 2 .
4 2
+ 1

3 3 3
2
7. 47x dx. 8. 3x dx. 9. 2x(7 - ex !4) dx.

6x2 - 11x + 5 (2x - 1)(x + 3)

3 3 3
e
10. a ex + xe + ex + b dx. 11. dx. 12. dx.
x 3x - 1 x - 5

3e2x e7!x
3e + 1 3 3 x
13. 2x
dx. 14. 6(e4 - 3x)2 dx. 15. 2
dx.

2x4 - 6x3 + x - 2 2x3 5 - 4x2

3 3 3 3 + 2x
16. dx. 17. dx. 18. dx.
x - 2 x 2
- 4
(2x + 2)2 3es 5(x1!3 + 2)4
3 3 3
19. dx. 20. ds. 21. dx.
3 2x 6 + 5es 3 2
2x

3
21 + 1x
3 x 3
ln x
22. dx . 23. dx. 24. 2t(5 - t 2t)0.4 dt.
2x
ln2(r + 1) 8x3 - 6x2 - ex4 3ln x
3 3 3 x
25. dr. 26. dx. 27. dx.
r + 1 3x3

3 x ln(2x ) 3 3x + 6
4 2
+3 x + 3
28. 2
dx. 29. x2ex dx. 30. dx.

x3 + x2 - x - 3
3 (x + 3)ln(x + 3) 3 3
8 2
31. dx. 32. (xe + 2x) dx. 33. dx.
x2 - 3

636 Capítulo 14 ■ Integración

4x ln 21 + x2 6x2ln(x2 + 1)2
3 3 3
2
34. dx. 35. dx. 36. 3(x2 + 2)-1!2xe 2x +2
dx.
1 + x2 x2 + 1
3 -2 4 3 2

3 2x4 - 1 3 x + 2x
x - x
3
x 2x - 8x - 6x + 4
37. a - ln 4 b dx. 38. -1
dx. 39. dx.
2
x3
ex + e-x
3e - e 3x - 1 3 (x + 1)ln(x + 1)
x 2x
40. x -x dx. 41. dx. 42. 2 2
dx.
2
xex
3 2ex + 2 3 (2x + 1)[1 + ln(2x + 1)]
7
43. 2
dx. 44. 2
dx.

(e-x + 6)2
3 3 3
1 1
45. dx. 46. c - x d dx. 47. (x3 + ex)2x2 + e dx.
ex 8x + 1 e (8 + e-x)2

3 3 3 x(ln x)1!2
3
48. 2x ln x(1 + ln x) dx. 49. 2x2(8x)3!2 + 3 dx. 50. dx.
3

3 e 2s
2s
3 3x 3
ln x
51. 3
ds. 52. dx. 53. eln(x + 2) dx.

ln(xex)
3 3 x 3
2
54. dx. 55. dx. 56. 2ex + ln x dx.

En los problemas 57 y 58, dr/ dq es una función de ingreso marginal. Encuentre la función de demanda.
dr 200 dr 900
57. = . 58. = .
dq (q + 2)2 dq (2q + 3)3

En los problemas 59 y 60, dc/ dq es una función de costo marginal. Encuentre la función de costo total, si los costos fijos en cada
caso son de 2000.
dc 20 dc
59. = . 60. = 2e0.001q.
dq q + 5 dq

En los problemas del 61 al 63, dC/ dI representa la propensión marginal al consumo. Encuentre la función de consumo sujeta a la
condición dada. 4

dC 1 dC 3 1 11 dC 3 1
61. = ; C(9) = 8. 62. = - ; C(3) = . 63. = - ; C(25) = 23.
dI 2I dI 4 223I 4 dI 4 62I
■ ■ ■
 3 3 3 x(ln x)1!2
3
48. 2x ln x(1 + ln x) dx. 49. 2x2(8x)3!2 + 3 dx. 50. dx.

ln3x
3e
2s
3 3x 3
51. ds. 52. dx. 53. eln(x + 2) dx.
2s3

ln(xex)
3 3 x 3
2
54. dx. dx. 55. 56. 2ex + ln x dx.

En los problemas 57 y 58, dr/ dq es una función de ingreso marginal. Encuentre la función de demanda.
dr 200 dr 900
57. = . 58. = .
dq (q + 2)2 dq (2q + 3)3

En los problemas 59 y 60, dc/ dq es una función de costo marginal. Encuentre la función de costo total, si los costos fijos en cada
caso son de 2000.
dc 20 dc
59. = . 60. = 2e0.001q.
dq q + 5 dq

En los problemas del 61 al 63, dC/ dI representa la propensión marginal al consumo. Encuentre la función de consumo sujeta a la
condición dada.
dC 1 dC 3 1 11 dC 3 1
61. = ; C(9) = 8. 62. = - ; C(3) = . 63. = - ; C(25) = 23.
dI 2I dI 4 2 23I 4 dI 4 6 2I
■ ■ ■ Sec. 14.7 ■ El teorema fundamental del cálculo integral 657

Parte 5 Ejercicio
64. Función de costo La función de costo marginal para
14.7
c. Use el resultado de las partes (a) y (b) y diferenciales
el producto de un fabricante está dada por para aproximar el costo total de producir 52 unidades.

100 la integral definida.

En los problemasdcdel 1 al 43 evalúe 66. Función de costo La función de costo marginal para
= 10 - , el producto de un fabricante está dada por
2 dq q + 10 4 2 5

30 32 31 30
1. 7 dx. 2. (1 - e) dx. 3. 5x dx. 4. - 3x dx.
donde c es el costo total en dólares cuando se producen dc 9
1 1 3
= 2q 20.04q 3!42 + 4,
10
3-3 3-1 32 33
q5.unidades. Cuando dq
(2x - 3) dx. se producen
6. 100 unidades,
(4 - 9y) eldycosto
. 7. 2
(y - 2y + 1) dy. 8. (2t - t2) dt.
promedio es de $50 por unidad. Con aproximación a la
unidad-1de dólar más cercana, determine el costo fijo del donde2 c es el costo total en dólares2 cuando se producen
9
x-2
3-2 38 31 31 2
9.
fabricante.(3w2 - w - 1) dw. 10. dt. 11.q unidades.- 4t-4Losdt. costos fijos12. son de $360. dx.
65. Función 1 de costo Suponga que la función
3"2 de costo a. Determine
3 el costo marginal cuando 9 se producen 25

por 3-1 31"2 b. 3 34 2x25 unidades.

3 5 1 1
marginal
13. 2x para
dx.el producto de14.
un fabricante
(x2 + está
x +dada
1) dx. 15. unidades. 2
dx. 16. a - 2 b dx.
1"2 x
Encuentre el costo total de producir
1 8 1 3

3-1 3 3 3
c. Use los resultados de las partes (a) y (b) y diferen-
17. (z + dc 1)5 dz100q
. 2 18. + 50
- 4998q (x1"3 - x-1"3) dx. 19. 2x2(x3 - 1)3 dx. 20. (x + 3)3 dx.
= 1 , ciales
0 para estimar el costo 1 total de producir 23
8
dq q 2 - 50q + 1 -1 unidades.
1 e-1

31 cyes el costo total en dólares3 30 30

4 6 1
21. dy. 22. dx. 23. e5 dx. 24. dx.
donde cuando
-(e ) x
e se producen 67. Valor de la tierra Se estima que dentro
x + de1 t años, con-
q unidades.
2 1 tados a partir de ahora, 5 el valor V (en dólares) de un

30 30 34 (x - 3)
3 2
25. x2ex dx. 26. (3x2 + 4x)(x3 + acre 2x2)de4 tierra cerca del pueblo
dx. 27. fantasma
dx . de Cherokee,
a. Determine el costo marginal cuando se producen 50 3
8t3
unidades.
6 2 California, estará creciendo 1 a razón de

30 de producir 50 unidades. 31"3 3-1el valor de la tierra es actualmente

4
b. Si los
28. 22xcostos+ 4fijos
dx. son de $10,000, encuentre29. el210
costo- 3p dp. 30. q 2q 2 + 3 dq. 20.2t + 8000
total dólares por año. Si
1 27 1
2x3 + x
30 30 30 x + x + 1
3 x
31. x2 2 7x3 + 1 dx. 32. c 2x - 2 5"3
d dx. 33. 2 4
dx.
(x + 1)
b 1 1

3a 30 3-2
34. (m + ny) dy. 35. (ex - e-2x) dx. 36. 8!x! dx.

e 2 3

31 31 31
1 2
37. 2(x-1 + x-2 - x-3) dx. 38. a 6 2x - b dx. 39. (x + 1)ex + 2x
dx.
22x
4 ln x 2
x6 + 6x4 + x3 + 8x2 + x + 5
33 x 30
e
40. dx. 41. dx.
x3 + 5x + 1
1
e-x 2
4x2, si 0 ! x ! 12,
3-1 1 + e 30
2
42. x dx. [Sugerencia: multiplique el integrando por -x .] 43. f(x) dx, donde f(x) = e
e 2x, si 12 ! x ! 2.
■ ■ ■

3 2 3 2 2

32 32 31 dx 31
d 2
44. Evalúe a x dx b - x2 dx. 49. Evalúe a ex dx b dx. [Sugerencia: no es nece-

31
x 1

31 t 3e
1 sario determinar
2
ex dx.]
45. Suponga que f(x) = 3 2 dt. Evalúe f(x) dx.

e + e-t
x t

3e e - e
10 ln 2 50. Suponga que f(x) = -t dt, donde x 7 e.

310 30
x2 1 t
46. Evalúe e dx + dx.
2 ln 2 Encuentre f¿(x).

3 2 51. Índice de severidad En un análisis de la seguridad en

31 33
47. Si f(x) dx = 4 y f(x) dx = 3, encuentre el tránsito, Shonle7 considera cuánta aceleración puede
tolerar una persona en un choque sin que se presenten
2

31
en ella lesiones serias. El índice de severidad se define
f(x) dx.
como
5
T

30
4 4

31 32
48. Si f(x) dx = 6, f(x) dx = 5, I.S. = Å 5"2 dt,

3 3
7
J.I. Shonle, Environmental Applications of General Physics (Reading,
 31 31 22x 31
4 ln x 2
x6 + 6x4 + x3 + 8x2 + x + 5
33 x 30
e
40. dx. 41. dx.
x3 + 5x + 1
1
e-x 2
4x2, si 0 ! x ! 12,
3-1 1 + e 30
2
42. dx. [Sugerencia: multiplique el integrando por .] 43. f(x) dx, donde f(x) = e
x
e-x 2x, si 12 ! x ! 2.
■ ■ ■

3 2 3 2 2

32 32 31 dx 31
d 2
44. Evalúe a x dx b - x2 dx. 49. Evalúe a ex dx b dx. [Sugerencia: no es nece-

3
x 1

31 t 3e
1 Sec. 14.8
sario determinar
2
ex dxÁrea
.] 663 ■
45. Suponga que f(x) = 3 2 dt. Evalúe f(x) dx.
1
1 2 1 3 5
e + e-t
x t

3e e - e
= c3a b - 2a b d - 0 = .
10 ln 2 4 50. Suponga
4 32 =
que f(x) -t dt, donde x 7 e.

310 30
2 1 t
46. Evalúe ex dx + b. dx. " 12).
P(x
2 ln 2 Encuentre f¿(x).
Solución: como el dominio de f es 0 ! x ! 1, decir que x " 12 significa
1
2 ! x ! 1. Así, 51. Índice de severidad En un análisis de la seguridad en
3 2

31 33
47. Si f(x) dx = 4 y f(x) dx = 3, encuentre el tránsito, 7
1 1 Shonle considera cuánta aceleración puede

31!2 en ella 3
1 2
P(x " 2) = tolerar
6(x - x ) dx = 6 una persona
2
(x - x ) dx en un choque sin que se presenten
2

31
1!2
lesiones serias. El índice de severidad se define
f(x) dx.
x2 x3 1 como 2 3
1
1
= 6a - b` = (3x - 2x ) ` = .
2 3 1!2 1!2 2
T

30
4 4

31 32
48. Si f(x) dx = 6, f(x) dx = 5, I.S. = Å 5"2 dt,■
Parte 6
Ejercicio 14.8
3 3

31 32
7
dx1 = J.I. Shonle, Environmental Applications of General Physics (Reading,
En losyproblemas
f(x)del 2, use
al 34 encuentre . encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje x y las líneas
f(x) dxpara
una integral definida
dadas. En cada caso primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con lasMA:
áreasAddison-Wesley Publishing
de regiones situadas debajo delCompany,
eje x. Inc., 1975).
3
1. y = 4x, x = 2. 2. y = x + 1, x = 0, x = 16.
4
3. y = 3x + 2, x = 2, x = 3. 4. y = x + 5, x = 2, x = 4.
2
5. y = x - 1, x = 5. 6. y = 2x , x = 1, x = 2.
7. y = x2, x = 2, x = 3. 8. y = 2x2 - x, x = -2, x = -1.
2 3
9. y = x + 2, x = -1, x = 2. 10. y = 2x + x , x = 1.
2 2
11. y = x - 2x, x = -3, x = -1. 12. y = 3x - 4x, x = -2, x = -1.
4
13. y = 9 - x2. 14. y = , x = 1, x = 2.
x
15. y = 1 - x - x3, x = -2, x = 0. 16. y = ex, x = 1, x = 3.
1
17. y = 3 + 2x - x2. 18. y = 2 , x = 2, x = 3.
x
1 1
19. y = , x = 1, x = e. 20. y = , x = 1, x = e2.
x x
21. y = 2x + 9, x = -9, x = 0. 22. y = x2 - 2x, x = 1, x = 3.
3 2
23. y = 22x - 1, x = 1, x = 5. 24. y = x + 3x , x = -2, x = 2.
3 2
25. y = 2x, x = 2. 26. y = x - 4, x = -2, x = 2.

27. y = e , x
x = 0, x = 2. 28. y = "x", x = -2, x = 2.

2
29. y = x + , x = 1, x = 2. 30. y = 6 - x - x2.
x
31. y = x3, x = -2, x = 4. 32. y = 2x - 2, x = 2, x = 6.
2 2
33. y = 2x - x , x = 1, x = 3. 34. y = x - x + 1, x = 0, x = 1.

■ ■ ■

35. Dado que 36. En condiciones de distribución uniforme continua, el

3x2, si 0 ! x ! 2, concepto estadístico de la proporción de personas con
f(x) = e ingresos entre a y t, donde a ! t ! b, es el área de la
16 - 2x, si x " 2,
región entre la curva y= 1/ (b- a) y el eje x, entre
determine el área de la región limitada por la gráfica de x= a y x= t. Esboce la gráfica de la curva y deter-
y= f(x), el eje x y la línea x= 3. Incluya un esbozo mine el área de la región dada.
de la región.

6

 45
q = p !1

Parte 7
"p ! Sec. 14.9 ■ Área entre curvas 671
EC 90
q= !2 9
EPgráficas de las ecuaciones
En los problemas del 9 al 32 encuentre el área de la región limitada por las p dadas. Asegúrese de encontrar
1
los puntos de intersección requeridos. Considere si el uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que
q el uso de franjas
verticales. 8

9. y = x2, y = 2x. 10. 14.50

FIGURA y = x, Diagrama
y = -x +para = 0. 2.
3, ely ejemplo
11. y = x2, x = 0, y = 4 (x ! 0). 12. y = x2 + 1, y = x + 3.
13. y = x2 + 2, 14. ypuede
dente de los consumidores y = 8.
= x considerarse
+ 1, x = 1. como un área, esta área puede 2

15. x = 8 + 2y, x = 0, y = -1, y determinarse

= 3. por medio
16. de
y =franjas
x - 4, horizontales
y2 = 2x. de ancho "p y longitud
2
17. y = 4 - x , y = -3x. q= f(p). Las áreas de estas franjas
2 se suman
18. x = y + 2, x = 6. desde p= 9 hasta p= 45, por
2
medio de integración con respecto2
a p:
19. y = x, y = x - 2. 20. y = x , y = x + 2.
45

3
21. 2y = 4x - x , 2 90 2
45
2y = x - 4. EC = 22. ay = 2x,
- 2 b ydp= =x .(90 ln "p" - 2p) `
9 p 9
23. y2 = x, 3x - 2y = 1. 24. y = 2 - x2, y = x.
25. y = 8 - x2, y = x2, x = -1, x = 1. = 9026.ln y52 -
= 272-Lx,72.85.
y = x + 4.
27. y = x , 2
y = 2, y = 5. Usando franjas horizontales
28. y para
= x3 el
- excedente
x, eje x. de los productores, se tiene
29. y = x - 1, 3
y = x - 1. 30. 9y = x3, . - 1)2
y = 2x(p 9

31
EP = (p - 1) dp = ` = 32.
1 2 1
31. 4x + 4y + 17 = 0, y = . 32. y2 = -x, x - y = 4, y = -1, y = 2.
x
■ ■ ■ ■

33. Encuentre el área de la región entre las curvas totales, 20% de la gente recibe 20% de los ingresos, etcé-
Parte 8 tera. Suponga que la distribución real está dada por la
Ejercicio
y = x 14.10
- 1 y y = 5 - 2x curva de Lorentz definida por
entre
En los x= 0 y x=
problemas del 14.al 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda y = es
20 una
2 ecuación
1
21 x + 21 x.
de oferta de un
producto.
34. En cada
Encuentre caso,
el área dedetermine el excedente
la región entre de los consumidores y de los productores, bajo equilibrio del mercado.
las curvas
Observe, por ejemplo, que 30% de la gente sólo recibe
1. p = 22 - 20.8q, 2. 10%
p =de1100 - q2, totales. El grado de desviación de
los ingresos
y = x - 4x + 4 y y = 10 - x2
13
p = 6 + 1.2q. lapigualdad
= 300 + se q
mide
2
. por el coeficiente de desigualdad
entre x= 2 y x= 4. para una curva de Lorentz. Este coeficiente se define
50
35.
3. Curva
p = de Lorentz
, Una curva de Lorentz se utiliza para 4. como
p = el área
400 - entre
q2, la curva y la diagonal, dividida entre
q +las5 distribuciones de ingresos. Si x es el porcen-
estudiar el área bajo la diagonal:
taje acumulativo de receptores de ingresos, ordenados p = 20q + 100.
q área entre la curva y la diagonal
p =
de + 4.5.a más ricos, y y es el porcentaje acumula-
más pobres .
10 área bajo la diagonal
tivo de ingresos, entonces la igualdad de la distribución
5. de
q ingresos
= 100(10está dada
- p) , por la recta y= x, en la figura Por ejemplo,
6. q = 2100 - p, cuando todos los ingresos son iguales, el
14.45, donde-x1) y .y se expresan como decimales. Por coeficiente de desigualdad es cero. Encuentre el coefi-
q = 80(p ciente pde desigualdad para la curva de Lorentz definida
ejemplo, 10% de la gente recibe 10% de los ingresos q = - 10.
antes. 2
■ ■ ■ 36. Curva de Lorentz Encuentre el coeficiente de desigual-
y
7. La ecuación de demanda de un producto es 8. dad en el problema
La ecuación 35, parade
de demanda laun
curva de Lorentz
producto es definida
por y = 11 2 1
12 x + 12 x.
1
Porcentaje acumulado de ingreso

q = 10 2100 - p. 37. Encuentre el área de = región

q la p 2,
400 - limitada por las gráficas
Calcule el excedente de los consumidores bajo equili- de las ecuaciones y2= 4x y y= mx, donde m es una
brio del mercado, que ocurrey a= un constante positiva.
x precio de $84.
38. a. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas
de y= x2- 1 y y= 2x+ 2.
20 2 1 b. ¿Qué porcentaje del área en la parte (a) se encuentra
y= x + x
21 21
arriba del eje x?
Curva de Lorenz
39. La región limitada por la curva y= x2 y la recta y= 4
está dividida en dos partes de igual área por la recta
0.10 y= k, donde k es una constante. Encuentre el valor
x de k.
0.10 0.30 1
Porcentaje acumulado de ingreso de receptores
13
G. Stigler, The Theory of Price, tercera edición (Nueva York: The
FIGURA 14.45 Diagrama para el problema 35. Macmillan Company, 1966), págs. 293-294.

7

 3 por partes a
1. Al aplicar la integración 3 encontrar
2. Use integración por partes para
seleccionando u= x y dv =e5x + 2 dx.
un estudiante encontró que u= x, du= dx,
3 3
f(x) dx, xe5x + 2 dx
1/ 2 2 3!2
dv =(x+ 5) yv = 3 (x + 5) . Use esta informa-
seleccionando u= x y dv =e5x + 2 dx.

3
un estudiante
ción encontró f(x)
para encontrar que u=
dx. x, du= dx,
dv =(x+ 5)1/ 2 y v = 23(x + 5)3!2. Use esta informa-
Parte 9problemas
3
En losción para encontrar
del 3 al 29 dx.
encuentre
f(x) las integrales.

3 problemas del 3 al 29 encuentre3 3 3

-x 2x
3.En losxe dx. 4. lasxe dx.
integrales.
5. y3 ln y dy. 6. x2 ln x dx.

7. 3ln (4x) dx. 8. 3 39. 15x2x + 1 dx. 3 10.

3 3e 3 3 21 + 4x
3. xe-x dx. 4. xe2xt dx. 5. y3 ln y dy. 6. x2 ln x dx. 12x
t dt. dx.

3 12. 3 e 3 3 21
t 12x
7. ln (4x)
x dx. 8. ln(x
t dt . + 1) 9. 15x2xln+x1 dx. 10. xdx+. 1
3 (2x +x 1) 3 ln x3 x x + 13
11. dx. dx. 13. dx. 14. + 4x dx.
2
ln(x2(x+ +
1) 1)
2
ex
3 (2x2x+ 1)
16. 3 1 xe-x dx. 3 x 3 e
11. 2 dx. 12. 1 dx. 13. 1.
dx 14. dx.
3x3
31 30 -x 30 3x 3 24 - x 2
x
2
2(x + 1) 2
-x2
15. 4xe
2
dx. 17.
1
xe dx. 18. 3 dx.

321 30 30 3 24 - x2
2
15. 4xe2x dx. 16. xe dx. 17. xe-x dx. 18. dx.

19.3 3 2(2x3- 1) ln(x - 1) dx.

3x
19. 2 dx. 20. (ln x)2 dx. 21. 2(2x - 1) ln(x - 1) dx.
31 24 3 3
3x
1 24 - x dx. 20. (ln x)2 dx. 21.
xex - x e

22.3 (x + 1) 2 dx. 3 2x3 (x - e3

22. xex 2 dx. 23. x2ex dx. 24.
e 2x ln(x2) dx. 25. (x - e-x)2 dx.
3 3 31 3
-x 2
23. x2ex dx. 24. 2
1ln(x ) dx. 25. ) dx.
(x + 1)

33 3 x5ex3dx. 3 dx.
2 3
26.26. xx2e2e--2x2xdx x3ex dx. x5ex dx. (2x + x)2 dx.
3 3 3
dx.
. 27.
27. x e dx.3 x2
28.
28. 3
29.
29.
(2x + x)2

■ ■ ■
■ ■ ■

a. Usea.integración
Use integración por partes para demostrar que
3
por partes para demostrar que
3
2 2
30.30.Encuentre
Encuentre ln(x ++ 2x
ln(x 2x ++1)1) . Sugerencia:
dxdx de- de-
. Sugerencia:
dp
3 3
- =qr - dq. q dp dq.
3 3 dq
muestreque
muestre que p dq = pr dq
dq

d 1 b. Utilizando la parte (a), demuestre que

d [ln(x + 2x2 2+ 1)] = 1 . b. Utilizando la parte (a), demuestre que
dx [ln(x + 2x + 1)] =2x2 + 1 .
dx 2 dp
3r =
2x + 1 r = ap + q b dq. dp
31. Encuentre el área de la región limitada por el eje x, la
3
dq
ap + q b dq.
31. Encuentre
curva y=elln área
x y la de la x=
recta región
e3. limitada por el eje x, la
3 dq
32.curva y= ln
Encuentre el x y laderecta
área e.
x=limitada
la región por el eje x y la c. Utilizando la parte (b), demuestre que
curva y=el
32. Encuentre xe-área
x
entre
de x= 0 y x=
la región 4.
limitada por el eje x y la c. Utilizando la
q
parte (b), demuestre que
dp
30
0
-x r(q0) = ap + q b dq.
33.curva y= xe
Encuentre entre
el área de lax= 0 ylimitada
región x= 4. por el eje x, la q0dq dp
30 14.7.]
curva y = x 22x + 1 entre x= 0 y x= 4. r(q0) = ap + q b dq.
33. Encuentre el área de la región limitada por el eje x, la [Sugerencia: remítase a la sección dq
34.curva
Excedente de los consumidores
y = x22x + 1 entre x=Suponga
0 y x=que
4. la ecua-
ción de demanda para el producto de un fabricante está [Sugerencia: remítase
34. Excedente 36. Suponga que f es una función adiferenciable.
la sección 14.7.]
Aplique
dada por de los consumidores Suponga que la ecua-

3 función diferenciable. Aplique

ción de demanda para el producto de un fabricante está la36.
integración x
p = 10(q + 10)e-(0.1q + 1), Supongapor quepartes
f es aunaf(x)e dx para demos-
dada por

3
donde p es el precio por unidad (en dólares) cuando se trar que
= 10(qSuponga
+ 10)eque-(0.1q + 1)
, la integración por partes a f(x)ex dx para demos-
demandan q p unidades. el equilibrio de
mercado
donde p esocurre cuando
el precio porq= 20. Determine
unidad (en dólares) el exceden-
cuando se trar que
3 3
te de los consumidores bajo equilibrio de mercado. f(x)ex dx + f¿(x)ex dx = f(x)ex + C.
demandan q unidades. Suponga que el equilibrio de
35.mercado
Ingreso ocurre
Suponga que el q=
cuando ingreso
20.total r y el precio
Determine por
el exceden-

33 3
unidad p son funciones diferenciables de
te de los consumidores bajo equilibrio de mercado.la función de [f(x)x +dxf¿(x)]e
a De aquí, f(x)e + x f¿(x)e x C. b x + C.
dx x=+f(x)e
dx = f(x)e
producción q.
35. Ingreso Suponga que el ingreso total r y el precio por

3
unidad p son funciones diferenciables de la función de a De aquí, [f(x) + f¿(x)]ex dx = f(x)ex + C. b
producción q.