Números Complejos
Números Complejos
Números Complejos
𝟑
𝟔 + 𝟔𝒊
𝑨) ( )
𝟔√𝟑 + 𝟔𝒊
1. Dividir:
6 + 6𝑖 6 + 6𝑖 6√3 − 6𝑖
( )= ( )( )
6√3 + 6𝑖 6√3 + 6𝑖 6√3 − 6𝑖
(6 + 6𝑖)(6√3 − 6𝑖)
=
(6√3 + 6𝑖)(6√3 − 6𝑖)
3 3
6 + 6𝑖 36√3 + 36 + 𝑖(36√3 − 36)
( ) = ( )
6√3 + 6𝑖 144
3
[36√3 + 36 + 𝑖(36√3 − 36)]
=
(144)3
746496 + 746496𝑖 𝟏 𝟏
= 3
= + 𝒊
144 𝟒 𝟒
3. Resultado:
𝟑
𝟔 + 𝟔𝒊 𝟏 𝟏
( ) = + 𝒊
𝟔√𝟑 + 𝟔𝒊 𝟒 𝟒
𝟑 + 𝟐𝒊 𝟓 − 𝟐𝒊
𝑩) +
𝟏 + 𝒊 −𝟏 + 𝒊
(−5 + 𝑖) + (7 + 3𝑖)
=
−2
−5 + 7 + 𝑖 + 3𝑖 2 + 4𝑖
= = = −𝟏 − 𝟐𝒊
−2 −2
2. Resultado:
𝟑 + 𝟐𝒊 𝟓 − 𝟐𝒊
+ = −𝟏 − 𝟐𝒊
𝟏 + 𝒊 −𝟏 + 𝒊
2) Encontrar los números reales x, y para que se cumpla la igualdad.
𝒙 𝒚 𝟓 + 𝟔𝒊
+ =
𝟏 + 𝟐𝒊 𝟑 + 𝟐𝒊 𝟖𝒊 − 𝟏
𝑥 𝑥 1 − 2𝑖 𝑥 − 2𝑥𝑖
=( )( )=
1 + 2𝑖 1 + 2𝑖 1 − 2𝑖 5
𝑦 𝑦 3 − 2𝑖 3𝑦 − 2𝑦𝑖
=( )( )=
3 + 2𝑖 3 + 2𝑖 3 − 2𝑖 13
5 + 6𝑖 5 + 6𝑖 8𝑖 + 1 43 − 46𝑖
=( )( )=
8𝑖 − 1 8𝑖 − 1 8𝑖 + 1 65
3) Reescribimos:
𝑥 3𝑦 43
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 + =
5 13 65
𝑥 𝑦 5 + 6𝑖
+ = 𝑫𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒙 = 𝟏; 𝒚 = 𝟐
1 + 2𝑖 3 + 2𝑖 8𝑖 − 1
𝟏 𝟐 𝟓+𝟔𝒊
Por lo tanto tenemos: + =
𝟏+𝟐𝒊 𝟑+𝟐𝒊 𝟖𝒊−𝟏
3) Demostrar que: 𝒙𝟒 + 𝟒 = (𝒙 − 𝟏 − 𝒊)(𝒙 − 𝟏 + 𝒊)(𝒙 + 𝟏 + 𝒊)(𝒙 + 𝟏 − 𝒊)
(𝒙 − 𝟏 − 𝒊)(𝒙 − 𝟏 + 𝒊) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 − 𝑖 2 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐
(𝒙 + 𝟏 + 𝒊)(𝒙 + 𝟏 − 𝒊) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 𝑖 2 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐
(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)( 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐)
= 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 4𝑥 + 2𝑥 2 − 4𝑥 + 4
= 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 2𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 2 − 4𝑥 2 + 4𝑥 − 4𝑥 + 4
= 𝒙𝟒 + 𝟒
Satisfacen la ecuación: 𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟐 = 𝟎
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒛𝟏 = 𝟏 + 𝒊
(1 + 𝑖)2 − 2(1 + 𝑖) + 2 = 0
1 + 2𝑖 + 𝑖 2 − 2 − 2𝑖 + 2 = 0
1 − 2 + 2 + 2𝑖 − 2𝑖 + 𝑖 2 = 0
1 + 𝑖2 = 0
1−1=0
0=0
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒛𝟐 = 𝟏 − 𝒊
(1 − 𝑖)2 − 2(1 − 𝑖) + 2 = 0
1 − 2𝑖 + 𝑖 2 − 2 + 2𝑖 + 2 = 0
1 − 2 + 2 − 2𝑖 + 2𝑖 + 𝑖 2 = 0
1 + 𝑖2 = 0
1−1=0
0=0
𝟐
a) 𝒛𝟏 = 𝟐𝒊, 𝒛𝟐 = − 𝒊
𝟑
2 𝟐
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 2𝑖 + ( − 𝑖) = + 𝒊
3 𝟑
2
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = , 𝑏=1
3
Magnitud:
2 2 13
√
𝑧1 = ( ) + 12 = √
3 9
Ángulo:
1
𝜃 = tan−1 ( ) = 56.31°
2⁄
3
2 𝟐
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = 2𝑖 − ( − 𝑖) = − + 𝟑𝒊
3 𝟑
2
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = − , 𝑏=3
3
Magnitud:
2 2 85
√
𝑧1 = (− ) + 32 = √
3 9
Ángulo:
3
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1(−9/2) = −77.47°
2
− ⁄3
b) 𝒛𝟏 = 𝟑 − 𝟐𝒊, 𝒛𝟐 = −𝟐 + 𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 1, 𝑏 = −1
Magnitud:
𝑧1 = √12 + −12 = √2
Ángulo:
−1
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (−1) = −45°
1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = (3 − 2𝑖) − (−2 + 𝑖) = 𝟓 − 𝟑𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 5, 𝑏 = −3
Magnitud:
𝑧1 = √52 + −32 = 34
Ángulo:
3
𝜃 = tan−1 (− ) = −30.96°
5
𝟑𝒊𝟑𝟎 −𝒊𝟏𝟗
6) Calcular el valor de
𝟐𝒊−𝟏
1. Tenemos que 𝑖 2 = −1
2. Por lo tanto:
= 3(−1)15 − 𝑖(−1)9
= 3(−1) − 𝑖(−1)
= −3 + 𝑖
3𝑖 30 − 𝑖 19 3𝑖 30 − 𝑖 19 −3 + 𝑖
= =
2𝑖 − 1 −1 + 2𝑖 −1 + 2𝑖
4. Realizamos su división:
−3 + 𝑖 −3 + 𝑖 −1 − 2𝑖
=( )( )
−1 + 2𝑖 −1 + 2𝑖 −1 − 2𝑖
3 + 6𝑖 − 𝑖 − 2𝑖 2
=
1 − 4𝑖 2
3 + 5𝑖 − 2(−1)
=
1 − 4(−1)
3 + 2 + 5𝑖 3 + 2 + 5𝑖 5 + 5𝑖
= = = =𝟏+𝒊
1+4 5 5
5. Resultado:
𝟑𝒊𝟑𝟎 − 𝒊𝟏𝟗
=𝟏+𝒊
𝟐𝒊 − 𝟏
7) Exprese los siguientes números en forma exponencial. 𝒛 = 𝒓𝓮𝒊𝜽
a) 2 + 2√3𝑖
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 2, 𝑏 = 2 √3
Magnitud:
2
𝑧1 = √22 + (2√3) = √4 + 12 = √16 = 4
Ángulo:
2√3 𝜋
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (√3) = 60° =
2 3
𝝅
Resultado: 𝟐 + 𝟐√𝟑𝒊 = 𝟒𝓮𝟑𝒊
b) −5 + 5𝑖
Magnitud:
Ángulo:
5 3𝜋
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (− ) = 𝑡𝑎𝑛−1 (−√1) = −45° =
5 4
𝟑𝝅
Resultado: −𝟓 + 𝟓𝒊 = √𝟓𝟎𝓮 𝟒 𝒊
c) −√6 − √2𝑖
Magnitud:
2
𝑧1 = √(−√6)2 + (−√2) = √6 + 2 = √8
Ángulo:
−√6 √6 𝜋
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 ( ) = 30° =
−√2 √2 6
𝝅
𝒊
Resultado: −√𝟔 − √𝟐𝒊 = √𝟖𝓮 𝟔
8) Usando las fórmulas de Euler demostrar que:
(𝒆𝒊𝜽 + 𝒆−𝒊𝜽 )
𝐚) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟐
(𝒆𝒊𝜽 − 𝒆−𝒊𝜽 )
𝐛) 𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟐𝒊
Fórmulas de Euler
(𝒆𝒊𝜽 + 𝒆−𝒊𝜽 )
𝐚) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟐
𝟐𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽
(𝒆𝒊𝜽 − 𝒆−𝒊𝜽 )
𝐛) 𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟐𝒊
𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟐𝒊
𝟐𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐬𝐞𝐧 𝜽 =
𝟐𝒊
𝐬𝐞𝐧 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏𝜽
9) Usando lo anterior demostrar la siguiente igualdad:
𝟑 𝟏
𝐬𝐢𝐧𝟑 𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽
𝟒 𝟒
Dado que
(𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 )
sin 𝜃 =
2𝑖
Sustituimos:
3
(𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 ) 3 (𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃 ) 1 (𝑒 3𝑖𝜃 − 𝑒 −3𝑖𝜃 )
( ) = ( )− ( )
2𝑖 4 2𝑖 4 2𝑖
8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 24𝑖𝑒 𝑖𝜃 +24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃 −24𝑖𝑒 𝑖𝜃 + 24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 + 8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
( =
) ( )
−8𝑖(8𝑖) 8𝑖(−8𝑖)
8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 24𝑖𝑒 𝑖𝜃 +24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃 −24𝑖𝑒 𝑖𝜃 + 24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 + 8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
( ) =( )
−64𝑖 2 −64𝑖 2
8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 24𝑖𝑒 𝑖𝜃 +24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃 −24𝑖𝑒 𝑖𝜃 + 24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 + 8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
( ) =( )
−64(−1) −64(−1)
8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 24𝑖𝑒 𝑖𝜃 +24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃 −24𝑖𝑒 𝑖𝜃 + 24𝑖𝑒 −𝑖𝜃 + 8𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 8𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
( ) =( )
64 64
𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 3𝑖𝑒 𝑖𝜃 +3𝑖𝑒 −𝑖𝜃 − 𝑖𝑒 −3𝑖𝜃 −3𝑖𝑒 𝑖𝜃 + 3𝑖𝑒 −𝑖𝜃 + 𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
( ) =( )
8 8
Reordenamos términos:
Resultado:
3
−3𝑖𝑒 𝑖𝜃 +3𝑖𝑒 −𝑖𝜃 +𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
sin 𝜃 = ( )
8
3 1 −3𝑖𝑒 𝑖𝜃 +3𝑖𝑒 −𝑖𝜃 +𝑖𝑒 3𝑖𝜃 − 𝑖𝑒 −3𝑖𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑠𝑖𝑛3𝜃 = ( )
4 4 8
𝟑 𝟏
𝐬𝐢𝐧𝟑 𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽
𝟒 𝟒
𝑖 4 +𝑖 9 +𝑖 16
10) Efectuar la operación indicada
2−𝑖 5 +𝑖 10 −𝑖 15
𝑖 4 +𝑖 9 +𝑖 16 (𝑖 2 )2 +𝑖(𝑖 2 )4 +(𝑖 2 )8
=
2−𝑖 5 +𝑖 10 −𝑖 15 2−𝑖 (𝑖 2 )2 +(𝑖 2 )5 −𝑖(𝑖 2 )7
1+𝑖+1 2+𝑖
= = =𝟐+𝒊
2−𝑖−1+𝑖 1
Resultado:
𝒊𝟒 + 𝒊𝟗 + 𝒊𝟏𝟔
=𝟐+𝒊
𝟐 − 𝒊𝟓 + 𝒊𝟏𝟎 − 𝒊𝟏𝟓
𝟔𝟎
11) Calcular (−𝟏 + 𝒊√𝟑)
𝒛 = −𝟏 + 𝒊√𝟑
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = −1, 𝑏 = √3
Magnitud:
2
𝑧 = √(−1)2 + (√3) = √1 + 3 = √4 = 2
Ángulo:
√3
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (−√3) = −60°
−1
𝑧 𝑛 = 𝑟 𝑛 [cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃)]
Tenemos:
Resultado:
𝟔𝟎 𝟔𝟎
(−𝟏 + 𝒊√𝟑) =𝟐
13) Hallar las soluciones reales de la ecuación:
7𝑥 + 1 + 5𝑥𝑖 − 2𝑖 − 𝑦𝑖 + 2𝑦 = 5 + 6𝑖
1 + 7𝑥 + 2𝑦 − 2𝑖 − 𝑦𝑖 + 5𝑥𝑖 = 5 + 6𝑖
Dividir en 2 ecuaciones:
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 1 + 7𝑥 + 2𝑦 = 5
7𝑥 + 2𝑦 = 5 − 1
7𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝑖(−2 − 𝑦 + 5𝑥) = 6𝑖
−2 − 𝑦 + 5𝑥 = 6
−𝑦 + 5𝑥 = 6 + 2
5𝑥 − 𝑦 = 8
𝐸1: 7𝑥 + 2𝑦 = 4
𝐸2: 5𝑥 − 𝑦 = 8
𝟐𝟎 𝟑𝟔
Soluciones: ( ; − )
𝟏𝟕 𝟏𝟕
(𝟏+𝒊)𝒏
14) Demostrar que
(𝟏−𝒊)𝒏−𝟐
= 𝟐𝒊𝒏−𝟏
1+𝑖 𝑛 2
1+𝑖 𝑛
=( ) (1 − 𝑖) = ( ) (1 − 2𝑖 + 𝑖 2 )
1−𝑖 1−𝑖
1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛
=( ) (1 − 2𝑖 − 1) = ( ) (−2𝑖)
1−𝑖 1−𝑖
𝑛
1+𝑖 1+𝑖 𝑛 1 + 2𝑖 + 𝑖 2
= [( )( )] (−2𝑖) = ( ) (−2𝑖)
1−𝑖 1−𝑖 1 − 𝑖2
1 + 2𝑖 − 1 𝑛 2𝑖 𝑛
=( ) (−2𝑖) = ( ) (−2𝑖) = (𝑖 2 )(−2𝑖) = −2𝑖 𝑛+1
1 − (−1) 2
−1 −1 2𝑖 𝑛+1
= (−2𝑖 𝑛+1 ) 𝑛+1
( ) = (−2𝑖 ) ( 2 ) = = 2𝑖 𝑛+1−2 = 2𝑖 𝑛−1
−1 𝑖 𝑖^2
(𝟏+𝟐𝒊)𝟐 −(𝟏−𝒊)𝟑
15) Calcular
(𝟑+𝟐𝒊)𝟑 −(𝟐+𝒊)𝟐
(1 + 2𝑖)2 = 1 + 4𝑖 + 4𝑖 2 = 1 + 4𝑖 − 4 = −3 + 4𝑖
(1 − 𝑖)3 = −2 − 2𝑖
(3 + 2𝑖)3 = −9 + 46𝑖
(2 + 𝑖)2 = 3 + 4𝑖
Sustituir en la ecuación:
−3 + 4𝑖 + 2 + 2i −3 + 2 + 2i + 4𝑖 −1 + 6𝑖
= = =
−9 + 46𝑖 − 3 − 4𝑖 −9 − 3 + 46𝑖 − 4𝑖 −12 + 42𝑖
Realizar la división
−1 + 6𝑖 −12 − 42𝑖
( )( )
−12 + 42𝑖 −12 − 42𝑖
Resultado:
(𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 − (𝟏 − 𝒊)𝟑 𝟐𝟐 𝟓
= − 𝒊
(𝟑 + 𝟐𝒊)𝟑 − (𝟐 + 𝒊)𝟐 𝟏𝟓𝟗 𝟑𝟏𝟖
(1+𝑖 )9
16) Calcular
(1−𝑖 )7
(𝟏 + 𝒊)𝟗
𝒛=𝟏+𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 1, 𝑏=1
Magnitud:
𝑧 = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
Ángulo:
1
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (1) = 45°
1
Tenemos:
9
𝑧 9 = (√2) [cos(9 ∗ 45) + 𝑖 sin(9 ∗ 45)]
9
𝑧 9 = (√2) [cos(405) + 𝑖 sin(405)]
9 9
𝑧 9 = (√2) cos(405) + (√2) 𝑖 sin(405)
𝑧 9 = 16 + 16𝑖
(𝟏 − 𝒊)𝟕
𝒛=𝟏−𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 1, 𝑏 = −1
Magnitud:
𝑧 = √(1)2 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
Ángulo:
−1
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (−1) = −45°
1
Tenemos:
7
𝑧 7 = (√2) [cos(7 ∗ −45) + 𝑖 sin(7 ∗ −45)]
7
𝑧 7 = (√2) [cos(−315) + 𝑖 sin(−315)]
7 7
𝑧 7 = (√2) cos(−315) + (√2) 𝑖 sin(−315)
𝑧 7 = 8 + 8𝑖
Resultado:
(𝟏 + 𝒊)𝟗
=𝟐
(𝟏 − 𝒊)𝟕
17) Efectué las operaciones indicadas
a) (−𝟑 − 𝒊)(𝟐 + 𝒊) − 𝒊𝟐
= (−3 − 𝑖)(2 + 𝑖) + 1
= −6 − 5𝑖 − 𝑖 2 + 1
= −6 − 5𝑖 − (−1) + 1
= −6 + 1 + 1 − 5𝑖
= −𝟒 − 𝟓𝒊
b) (𝟐 − 𝒊) − (𝟏 − 𝒊)𝟐
= (2 − 𝑖) − (1 − 2𝑖 + 𝑖 2 )
= (2 − 𝑖) − (1 − 2𝑖 − 1)
= (2 − 𝑖) − (−2𝑖)
= 2 − 𝑖 + 2𝑖
=𝟐+𝒊
𝟑
√𝟑 𝟏
c) ( + 𝒊)
𝟐 𝟐
3 3 3
√31 √3 + 𝑖 (√3 + 𝑖) 2√3 + 8𝑖 + 2√3𝑖 2
( + 𝑖) = ( ) =( )=( )
2 2 2 (2)3 8
4 3
𝑖 2 +𝑖 4 +𝑖 6 𝑖2 +(𝑖2 ) +(𝑖2 )
= 2 3
𝑖 3 +𝑖 5 +𝑖 7 𝑖(𝑖2 )+𝑖(𝑖2 ) +𝑖(𝑖2 )
4 3
−1 + (−1) + (−1)
=
2 3
𝑖(−1) + 𝑖(−1) + 𝑖(−1)
−1 + 1 − 1 −1 1
= = = = −𝒊
−𝑖 + 𝑖 − 𝑖 −𝑖 𝑖
Resultado:
𝒊𝟐 + 𝒊𝟒 + 𝒊𝟔
= −𝒊
𝒊𝟑 + 𝒊𝟓 + 𝒊𝟕
19) Calcule la raíz cuadrada de los siguientes números:
𝝅 𝝅
𝒂) 𝟒 (𝒄𝒐𝒔 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 )
𝟑 𝟑
𝜋
𝜃= 𝑟=4
3
𝜋 𝜋
2 2
2𝑘𝜋 + 3 2𝑘𝜋 + 3
√𝑧 = √4 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
𝑘=0
𝜋 𝜋
2 2
2(0)𝜋 + 3 2(0)𝜋 + 3
√𝑧 = √4 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
𝜋 𝜋
2 3 3
√𝑧 = 2 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
2 𝜋 𝜋
√𝑧 = 2 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
6 6
2 𝜋 𝜋
√𝑧 = 2 cos ( ) + 2𝑖 sin ( )
6 6
𝟐
√𝒛 = √𝟑 + 𝒊
𝑘=1
𝜋 𝜋
2 2
2(1)𝜋 + 3 2(1)𝜋 + 3
√𝑧 = √4 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
𝜋 𝜋
2
2𝜋 + 3 2𝜋 + 3
√𝑧 = 2 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
7𝜋 7𝜋
2 3 3
√𝑧 = 2 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
2 7𝜋 7𝜋
√𝑧 = 2 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
6 6
2 7𝜋 7𝜋
√𝑧 = 2 cos ( ) + 2𝑖 sin ( )
6 6
𝟐
√𝒛 = −√𝟑 − 𝒊
Resultado:
Para
𝟐
𝑘 = 0: √𝒛 = √𝟑 + 𝒊
𝟐
𝑘 = 1: √𝒛 = −√𝟑 − 𝒊
𝟑𝝅 𝟑𝝅
𝒃) 𝟖 (𝒄𝒐𝒔 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 )
𝟐 𝟐
3𝜋
𝜃= 𝑟=8
2
3𝜋 3𝜋
2 2
2𝑘𝜋 + 2 2𝑘𝜋 + 2
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
𝑘=0
3𝜋 3𝜋
2 2
2(0)𝜋 + 2 2(0)𝜋 + 2
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
3𝜋 3𝜋
2 2 2 2
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
2 2 3𝜋 3𝜋
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
4 4
2 2 3𝜋 2 3𝜋
√𝑧 = √8 cos ( ) + √8𝑖 sin ( )
4 4
𝟐
√𝒛 = −𝟐 + 𝟐𝒊
𝑘=1
3𝜋 3𝜋
2(1)𝜋 + 2(1)𝜋 +
2 2 2 ) + 𝑖 sin ( 2 )]
√𝑧 = √8 [cos (
2 2
3𝜋 3𝜋
2𝜋 + 2𝜋 +
2 2 2 ) + 𝑖 sin ( 2 )]
√𝑧 = √8 [cos (
2 2
7𝜋 7𝜋
2 2 2 2
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
2 2
2 2 7𝜋 7𝜋
√𝑧 = √8 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
4 4
2 2 7𝜋 2 7𝜋
√𝑧 = √8 cos ( ) + √8𝑖 sin ( )
4 4
𝟐
√𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒊
Resultado:
Para
𝟐
𝑘 = 0: √𝒛 = −𝟐 + 𝟐𝒊
𝟐
𝑘 = 1: √𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒊
𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑
20) Demuestre que: 𝟏, − + 𝒊, − − 𝒊 son raíces cúbicas de uno.
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝑧 = 1 + 0𝑖 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜃 = 0 𝑟=1
Tenemos:
3 3 2𝑘𝜋 + 0 2𝑘𝜋 + 0
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
𝑘=0
3 3 0 0
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
3 3
√𝑧 = √1[cos(0) + 𝑖 sin(0)]
3 3
√𝑧 = √1[1 + 0𝑖]
3
√𝑧 = 1[1 + 0𝑖]
3
√𝑧 = 1 + 0𝑖
𝟑
√𝒛 = 𝟏
Con ello queda demostrado el primer punto.
𝑘=1
3 3 2𝜋 + 0 2𝜋 + 0
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
3 3 2𝜋 2𝜋
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
3 3 1 √3
√𝑧 = √1 [− + 𝑖]
2 2
3 1 √3
√𝑧 = 1 [− + 𝑖]
2 2
3 1 √3
√𝑧 = − + 𝑖
2 2
𝟑 𝟏 √𝟑
√𝒛 = − + 𝒊
𝟐 𝟐
Con ello queda demostrado el segundo punto.
𝑘=2
3 3 4𝜋 + 0 4𝜋 + 0
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
3 3 4𝜋 4𝜋
√𝑧 = √1 [cos ( ) + 𝑖 sin ( )]
3 3
3 3 1 √3
√𝑧 = √1 [− − 𝑖]
2 2
3 1 √3
√𝑧 = 1 [− − 𝑖]
2 2
3 1 √3
√𝑧 = − − 𝑖
2 2
𝟑 𝟏 √𝟑
√𝒛 = − − 𝒊
𝟐 𝟐
Con ello queda demostrado el tercer punto.
15 15
(−1+𝑖√3) (−1−𝑖√3)
21)
(1−𝑖)20
+ (1+𝑖)20
15
(−1 + 𝑖√3)
𝒛 = −𝟏 + 𝒊√𝟑
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = −1, 𝑏 = √3
Magnitud:
2
𝑧 = √(−1)2 + (√3) = √1 + 3 = √4 = 2
Ángulo:
√3
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (−√3) = −60° = 300°
−1
Tenemos:
Resultado:
𝟏𝟓
(−𝟏 + 𝒊√𝟑) = 𝟐𝟏𝟓 = 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
(1 − 𝑖)20
𝒛=𝟏−𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 1, 𝑏 = −1
Magnitud:
𝑧 = √(1)2 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
Ángulo:
−1
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (−1) = −45° = 315°
1
Tenemos:
Resultado:
15
(−1 − 𝑖√3)
𝒛 = −𝟏 − 𝒊√𝟑
Magnitud:
2
𝑧 = √(−1)2 + (−√3) = √1 + 3 = √4 = 2
Ángulo:
−√3
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (√3) = 60° = 240°
−1
Tenemos:
Resultado:
𝟏𝟓
(−𝟏 − 𝒊√𝟑) = 𝟐𝟏𝟓 = 𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
(1 + 𝑖)20
𝒛=𝟏−𝒊
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑎 = 1, 𝑏=1
Magnitud:
𝑧 = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
Ángulo:
1
𝜃 = tan−1 ( ) = tan−1 (1) = 45°
1
Tenemos:
Resultado:
𝟏
𝝅 𝝅
𝐜𝐨𝐬 𝟒 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟒
1 1
𝜋 𝜋=
cos 4 + 𝑖 sin 4 √2 + √2 𝑖
2 2
Realizamos la división:
√2 √2 √2 √2
− 2 𝑖
(
1
)( 2 )= 2 − 2 𝑖
2 2
√2 √2 √2 √2 √2 √2
+ 𝑖 − 𝑖 ( ) − ( 2 𝑖)
2 2 2 2
[ 2 ]
√2 √2 √2 √2
− 2 𝑖 − 2 𝑖
= 2 = 2
2 2 2 1 1 2
− 𝑖
4 4 2 − 2𝑖
√2 √2 √2 √2 √2 √2
− 𝑖 − 𝑖 − 𝑖
2 2 = 2 2 = 2 2 = √𝟐 − √𝟐 𝒊
1 1 1 1 1 𝟐 𝟐
− (−1) +
2 2 2 2
Resultado:
𝟏 √𝟐 √𝟐
𝝅 𝝅 = − 𝒊
𝐜𝐨𝐬 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒