100 Experimentos Sencillos Fisica y Quimica
100 Experimentos Sencillos Fisica y Quimica
100 Experimentos Sencillos Fisica y Quimica
FACULTAD DE
CIENCIAS NATURALES Y MUSEO
ANTTROMÁTTICA
APO
ORTE PA
ARA LA FO
ORMACIÓÓN EN MATEMÁTTICA
DE EST TES DE ANTROPO
TUDIANT OLOGÍA
Y PROFESO D BIOLO
ORADO DE OGÍA
Vivia
ana Capp pello
Rom mina Herrrera
(co
oordinadorras)
Fac
cultad de Ciiencias Naturales y Mu
useo
Agradecimientos
Escribir un libro de divulgación es tarea muy complicada, o al menos resultó serlo para
nosotros. No sabemos si habremos logrado un balance justo entre el rigor y la claridad de los
argumentos; entre el atractivo de los ejemplos y su importancia para los temas expuestos; y un
nivel de exposición que haga accesibles a los alumnos los temas tratados, sin degradarlos y
convertirlos en trivialidades. Si este balance se obtuvo, será en buena medida gracias a un
gran número de personas que influyeron en nuestra formación como docentes.
Queremos manifestar nuestro agradecimiento a quienes, directa o indirectamente,
contribuyeron al resultado del libro, ya que sería imposible mencionarlos a todos.
A nuestros estudiantes de los cursos de antropología y profesorado de biología que
soportaron por varios cuatrimestres con clases pseudo experimentales, que en buena medida
era un intento de exponer a la crítica puntos de vista e ideas nuestras. Muchísimo de lo que
aprendimos compartiendo estos cursos aparece ahora en el libro.
A nuestras familias, que nos acompañan en el crecimiento profesional de manera silenciosa,
no por eso menos importante.
Gracias a todos ellos.
Índice
Introducción ______________________________________________________________ 8
Prólogo __________________________________________________________________ 9
Capítulo 5. Integrales
Integración de funciones _________________________________________________ 110
Teorema: familia de primitivas _____________________________________________ 110
Algunas propiedades de la integración ______________________________________ 111
Métodos de integración __________________________________________________ 112
Integración por sustitución _____________________________________________ 112
Integración por partes _________________________________________________ 113
Suma de Riemman _____________________________________________________ 118
Integral definida ________________________________________________________ 119
Algunas propiedades de la integral definida ________________________________ 120
Teorema fundamental del Cálculo Integral ___________________________________ 120
Cálculo de áreas por integración definida ____________________________________ 122
Integración numérica ____________________________________________________ 125
Método de los trapecios __________________________________________________ 126
Fórmula de Simpson ____________________________________________________ 128
Bibliografía ____________________________________________________________ 134
Resulta necesario acompañar la trayectoria de los estudiantes con un material acorde a las
características particulares que presenta la materia. Una matemática contextualizada a las
carreras de los alumnos, y en función del tiempo de duración del curso. La matemática y la
lengua materna, son fundamentales en el desarrollo de los estudiantes y son conocidas como
las áreas que en forma especial ayudan a aprender a aprender y a aprender a pensar.
Además, dan al estudiante incumbencias necesarias para incorporarse en el mercado laboral.
Aquí intentaremos que la matemática ya no sea un “dolor de cabeza”.
Hace varios años en la cátedra, se vienen diseñando distintas estrategias para mejorar la
calidad de enseñanza en pos del aprendizaje de los alumnos y en función de poder utilizar a la
matemática como una herramienta general en su quehacer profesional.
La posibilidad de tener, de antemano, el material que guiará la cursada, no sólo da el marco
para trabajar en el aula, sino que posibilita fuera de ella seguir la lógica de la actividad
presencial, pudiendo revisar con mayor detalle y haciendo previsiones para la próxima clase.
La relevancia de dicho material reside en la presentación de una situación del ámbito de las
carreras a resolver, siendo necesaria para la misma la utilización de los elementos de matemática.
La forma como se aprende, se convierte en la forma como se vive la matemática.
El compromiso con los ideales democráticos se alcanza si en el aula se trabaja en un
ambiente donde es posible la discusión y la argumentación sobre las diferentes ideas. Lo cual
favorece el desarrollo individual, como medio de autonomía intelectual, al tomar conciencia del
proceso constructivo de la matemática para intervenir en la realidad.
En cuanto a los nexos con el mundo externo, es importante trabajar con miras a preparar
graduados para desempeñarse en la sociedad, y que sean aptos para la investigación, el ejercicio
de la docencia y la aplicación de la tecnología. Esto último es lo que pretende el presente libro;
darle al estudiante la posibilidad de tener al alcance de sus manos, un material guiado sobre los
contenidos que necesita apropiar a la hora de cursar Elementos de Matemática.
8
Prólogo
9
Unir los conceptos necesarios de la Matemática sin entrar en rigurosas demostraciones,
que interesantes per se ocupan mucho tiempo, sin perder de vista el entrenamiento de
cálculo necesario.
Presentar ejemplos de las Ciencias Naturales motivadores cuya resolución matemática lleve
indefectiblemente a la posterior discusión de los resultados y su validación.
Una gradación sistemática de dificultad en los trabajos propuestos, que por su variedad
podrían clasificarse en ejercitaciones, (resolución automática) problemas (traducción a lenguaje
matemático del enunciado, resolución, discusión del resultado) y cuestiones (situaciones que
requieren una pequeña investigación y búsqueda de datos para poder resolverlas, tal como es
necesario en la investigación científica).
Es por todo esto que el Libro de Cátedra que hoy se presenta es un acertado aporte que
ayudará a la formación de los futuros profesionales, ahorrando tiempo valioso por contener casi
toda la información y ejercitación necesarias en un solo lugar, sin perjuicio de las adendas
actualizadoras que necesariamente habrán de producirse en el futuro.
10
Ca
apítulo 1
Nú
úmeros s
R
Romina Herrera,
H Anyelen Di Paola
antonio y Guillerm
mo Lame
enza
Núm
meros Re
eales
Nu
uestro sistem
ma de numerración se co
ompone de va
arios conjuntos numéricoos. El primerro que
conoccemos en lo
os primeros aprendizajess es el de lo
os números naturales. Son aquello
os que
utiliza
amos para co
ontar y orden
nar: 1,2,3,....
La
a ampliación de este con
njunto numérrico está dad
da por la inc
clusión del ceero y los núm
meros
que llamamos ne
egativos: 0,, 1, 2, 3, 4,... A la unión
u de esttos conjuntoos mencionad
dos la
llama
amos conjuntto de los núm
meros enterros. Así, los enteros son ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...
Siin embargo,, este conju
unto no es suficiente para
p describ
bir cualquierr situación de la
cotidiianeidad. Pa
ara ello debe
emos conside
erar a los nú
úmeros deno
ominados raacionales qu
ue son
a
aquellos que pue
eden ser ex
xpresados co
omo cocientte entre dos
s números eenteros: ,b 0 .
b
Estoss números ta
ambién se pueden
p escriibir en forma
a decimal, es decir efecctuando la diivisión
entre
e el numerad ominador de dicha fracción. De esta manera obttenemos núm
dor y el deno meros
3
decim
males con fin ecimales:
nitas cifras de 0, 75 , o con infinita
as cifras deccimales perió
ódicas:
4
5
00,7142857114... donde, luego de cieerta cifra deccimal, la secuuencia se reppite.
7
Esste conjunto numérico co
ontiene a loss dos mencio
onados anteriormente ya que a todo entero
e
m
m see lo puede esscribir como .
1
No
o obstante, hay
h números
s que no pue omo racionalees, es decir como
eden ser expresados co
cocie
ente de dos números
n enteros. A esto s números lo
os denomina
amos númerros irraciona
ales y
11
n la característica de tener infinitas cifras decim
tienen males no perriódicas. Alggunos con lo
os que
estam
mos más fam
miliarizados son:
s 2 1, 4142... o e=2,71.
La
a unión del conjunto de los número
os racionales
s con los irracionales daa por resulta
ado el
conju
unto de los números reales.
En
n antropologíía muchas ve
eces tenemoss que referirn
nos a hechos
s que sucedieeron en el pa
asado.
Existe
en diversas maneras
m de medir
m el tiemp
po y de posicionar algún evento
e en un punto dentro de un
eje te
emporal. Tal vez el más
s conocido, d
de uso en la
a vida cotidia
ana, refiere a la utilizació
ón del
nacim
miento de Crissto como pun
nto de partida
a para contab
bilizar el paso
o del tiempo. Así, dentro de
d ese
marco
o de medición, en este mo
omento estam
mos en el año 2016 d.C. (después
( de Cristo). Del mismo
m
modo
o, si queremo
os referir a un
n hecho suce
edido con an
nterioridad a nuestro
n puntoo de partida, como
por ejjemplo el com
mienzo del Periodo
P Iniciall en el Valle del
d Hualfín, decimos
d 500 a.C. (alreded
dor de
500 a
años antes de Cristo). Si graficamos e
estos años en una recta numérica verremos que cuando
decim
mos 500 añoss antes de Crristo estaremo
os representa
ando -500, un
n número neggativo.
-500 0 2016
Ottra manera de
d medir el tiiempo, siemp
pre desde la
a óptica de la
a temporalidaad occidental, está
en re
elación con el
e desarrollo del método de datación radiocarbón
nica. En estee caso el pun
nto de
partid
da es 1950.
Pa
ara conocerr un poco más
m la histo
oria de los números:
n “La maravillossa historia de
d los
núme
eros“ http://hd
dl.handle.net/10261/1124
435
Allgunos ejemp
plos del uso de los núme
eros:
“Se estud blación prehistórica del NOA
dia la estructura de la pob N a travéss del análisis
s de la
va
ariabilidad fe
enotípica a nivel region
nal. La muestra está co
onstituida poor 961 indiv
viduos
de
eformados y no deforrmados artiificialmente, de ambos
s sexos, dde edades post-
re
eproductivas, pertenecientes a cua
atro subregio
ones (Puna,, Quebrada de Humah
huaca,
Va
alliserrana y Selvas Oc
ccidentales). Se emplea
aron 35 cara
acteres métrricos del ne
euro y
essplacnocráne
eo. Se muestran algunoss datos en la siguiente tabla:”
1
Fuente: Va
arela y otros, 20
004, p. 321.
1
La vvariabilidad enttre poblacioness se evaluó me ediante el emp pleo de diferen ntes técnicas dde análisis esta
adístico
multivariado, tales como análisis discriminante,
d D
D2 de Mahalan nobis, análisis de
d agrupamientto, y correlacióón entre
matrrices de distanccias. Los resulta
ados indican qu ue las relacione
es biológicas enntre subregionees no cambian cuando
son obtenidas con cráneos deform mados artificialm
mente o con cráneos sin defo ormación. Adem más, se compru ueba la
12
En el cam
mpo de aplica
ación de la a
antropología biológica tra
abajamos coonstantementte con
disstintos tipos de números
s. Por ejemp
plo en osteom
metría se utilizan métodoos estandarizados
de
e medición. La mayoría de estas me
edidas refieren a distanc
cias entre puuntos estable
ecidos
en
n las diferenttes piezas óseas. Toman
ndo el fémur se releva la
a longitud m
máxima, la longitud
biccondilar, ancchura epicon
ndilar, entre o
otras medida
as de utilidad
d para descriibir la morfolo
ogía y
re
ealizar distinttos tipos de estudios.
e Po
or convencion
nes establec
cidas internaccionalmente estas
medidas debe
en ser registrradas con un o y con una uunidad de medida
n instrumental específico m
esstablecida. Siguiendo
S con
n el ejemplo del fémur (D
Desántolo ett al. 2013), sse utilizan dis
stintas
medidas e índ
dices para ap
proximar la id
dentificación de un individ
duo en un caaso de reclam
mo de
tie
erras ancestrrales.
A continuacción, un extrracto de “Foliia Histórica del
d Nordeste”. Nro. 21, páág. 163
Representació
ón
La
a representa
ación de los números rea
ales se hace
e sobre una recta denom
minada recta
a real.
Se co
onsidera un punto de origen al que sse le asigna el 0, se elige
e cierta longgitud como unidad,
y se u
ubican los nú
úmeros dese
eados.
13
Observemoss que los rea
ales negativvos aparece
en a la izquierda del ceero.
La
a representa
ación de los números irrracionales no
o es tan dire
ecta como laa de los núm
meros
racion
nales. ¿Por qué?
q
Po
or ejemplo, algunos núm
meros irracio
onales tal co
omo 2 see pueden re presentar dee esta
mane
era:
Se
e puede dem
mostrar que existe una relación biu
unívoca entre
e la recta reeal y los núm
meros
reales, es decir que
q a cada punto de la recta real le
e correspond
de un único número rea
al, y a
cada número real un único pu
unto de la reccta.
Prop
piedades
Ell conjunto de
e los números reales satissface la sigu
uiente lista de
e axiomas:
Exxiste 0 de manera
m que a 0 a p
para todo ∈ (N
Neutro aditivvo)
Pa
ara cada ∈ existe un
n elemento ∈ tal que a a 0 (Inversso aditivo)
Sii , ∈ , entonces
e . ∈ (Cerra
adura en la multiplicación
m n)
Sii , ∈ , entonces
e a b b a (Coonmutatividaad en la multiplicación)
Sii , , ∈ , entonces a b c a b c (Aso
ociatividad en
e la multipliccación)
14
1 1
Notar que Ia expresión o 0 no está definida. En otras palabras, no podemos dividir
0
por cero y no atribuimos ningún significado a los símbolos mencionados anteriormente.
en la suma)
Si , ∈ , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
ab
ab
ab
Si , , ∈ , a b y b c entonces a c (Transitividad)
15
La
a colección de los núme
eros x es que a x b como un intervaloo semicerrado, lo
tale
mismo para lo
os números x tales que a x b .
Finalmente, si a es un nú
úmero:
La
a colección de
e los número
os x a, x a ,x a ó x a se denomina inttervalo infinito.
En
n resumen
Mostramos alg
gunos dibujo
os de intervallos
n ejemplo muy
Un m común de intervalos en antropología puede ser el de loss intervalos en
e los
métodos de datacción. Cada método tiene
e su respecttivo rango temporal de uttilidad. El ca
arbono
16
14
14 pu
uede medir hasta 60000
0 años AP mientras
C A s que la term
moluminisceencia puede medir
hasta
a 200000 año
os y el Potas
sio-Argón pue
ede llegar a millones de años.
Activ
vidad 1
1.1 Escribir el conjunto que satisfacen las siguiente
es condicion
nes y represeentar en la re
ecta:
1.1.1 Nú
úmeros reales mayores q
que -2 y menores o iguale
es a 5
1.1.2 Nú
úmeros reales menores q
que -2 o may
yores o iguale
es a 5.
1.1.3 Nú
úmeros reales mayores q
que 3 y meno
ores que 1.
1.1.4 Nú
úmeros reales mayores q
que 3 o meno
ores que 1.
1.2.1
, 1 1.2.4 2, 6
1.2.2 66, 1.2.5 100,
1.2.3 , 3 1.2.6 1,, 4
Inec
cuacione
es
Se
e llaman inecuaciones lin
neales a aqu
uellas desigu
ualdades que
e contienen una variable
e. Una
inecu
uación se ressuelve hallan
ndo el conjun
nto de valores que verifica la desigualldad.
Allgunos ejemp
plos son:
Valo
or Absolluto
Ell valor absolu dica la distancia que existe entre diccho número y el 0.
uto de un número nos ind
a si a 0
e define al va
Se alor absoluto
o o módulo d o a como:
de un número a
a si a 0
17
Representaremos el valor absoluto de un número colocándolo entre dos barras verticales.
Así, el valor absoluto de un número a se simboliza como a .
3 3 ya que 3 0
5 ( 5) ya que 5 0
x 1 2 x 1 2
x 2 1 o x 1 2
x 1 x 2 1
x 3
Solución 3;1
Actividad 2
2.1 Resolver las siguientes inecuaciones, escribir la solución en notación de intervalo y
representarla en la recta real.
2.1.1 A= x / x 3 2.1.4 D= x / x 5 2
2.1.2 B= x / x 1 6 2.1.5 E= x / x 1 4
2.1.3 C= x / 3x 2 5
2.1.6 F= x / 2 x 1 3
Sucesiones
18
Ell conjunto de
e los números naturales e
es una suces
sión de infinitos elementoos.
En
n general a dichos
d nos se los esscribe como: a1 , a2 , a3 , a4 ,...
términ
Suce
esión o Progresión Aritmétic
ca
a1 a1 0r
a2 a1 1r
a3 a2 r a1 r r a1 2 r
El térm
mino general an es
a4 a3 r a1 r r r a1 33r ann a1 (n - 1)r
...
an an 1 r a1 r
r ... r
n-1 veces
3 6 9 6 15 6 21 6
3, 9,
or ejemplo 3
Po 15,
21,
27, ... Succesión aritm
mética
con r 6
a diferencia entre
La e dos térrminos conse
ecutivos es lo
o que define la razón:
a2 - a1 = a3 - a2 = ...= an - an-1
n =r on n N 1
co
19
Sucesión o Progresión Geométrica
a1 a1 r 0
a2 a1 r 1
a3 a2 r a1 r r a1 r El término general a es
2
n a a r n 1
3
a4 a3 r a1 r r r a1 r n 1
...
an an 1 r a1 r
r
...
r
n-1 veces
Actividad 3
3.1 Un equipo de arqueólogos está relevando un conjunto de terrazas de cultivo en la ladera
de un cerro. La primera terraza está contenida por un pircado2 de 15 metros de largo y abarca
30m2 de superficie disponible para cultivo. En la segunda terraza se visualiza un pircado de 20
metros y cuenta con una superficie de 60m2 para cultivo. La tercera terraza cuenta con un
pircado de 25 metros y dispone una superficie de 120m2 para cultivo. Siguiendo cuesta abajo
se pueden visualizar 3 terrazas altamente afectadas por un desmoronamiento.
3.1.1. En base a los datos determinar si están en progresión aritmética o geométrica.
Explicar.
3.1.2. Para poder poner a resguardo y delimitar el área de excavación el equipo
necesita conocer cuál es la medida del pircado de la última terraza.
3.1.3. Se necesita alambrar todos los pircados para contenerlos y evitar mayores
desmoronamientos. Calcular los metros de alambre que se utilizarán.
3.1.4. Para proteger el área se necesita cubrir todas las superficies de las terrazas con
rollos de polietileno. Calcular cuántos m2 de polietileno se utilizarán.
3.1.5. Para obtener una muestra de sedimento se necesita excavar el 10% de la
superficie de la cuarta terraza. Calcular cuánta superficie hace falta excavar.
2
Pircar: cerrar un lugar con muro de piedra en seco.
20
3.2 Se ha estudiado la variación morfológica craneana de la especie sudamericana Caiman
yacare a lo largo de la ontogenia. A partir de este estudio se determinaron dos regiones
particulares a analizar, la orbitaria y la del hocico. Se seleccionaron las variables: largo del
hocico y largo de la órbita ocular para determinar si hay un cambio de forma del cráneo a lo
largo de la vida del animal. Si el aumento de dichas variables es lineal (modelo isométrico),
entonces sólo hay un aumento de tamaño de esas regiones del cráneo a lo largo de la
ontogenia; por el contrario, si el crecimiento es geométrico (modelo alométrico), entonces hay
un cambio ontogenético de forma.
Se utilizó una muestra de 14 ejemplares de caimanes en tres distintos estadios
ontogenéticos (juvenil, subadulto y adulto). De dicho análisis se obtuvieron los siguientes
promedios para cada variable en cada estadio:
1 1
1° estadio
20 40
3 1
2° estadio
16 16
45 1
3° estadio
64 10
Aclaración: Se han aproximado algunos valores reales para que la complejidad del ejercicio
resulte de los modelos a aplicar, y no de los cálculos que permiten arribar a las soluciones.
Mediante el uso de progresiones aritméticas y geométricas, determinar a qué modelo, de
los mencionados anteriormente, se ajusta cada variable. En cada caso, escribir la expresión
que relaciona los distintos estadios.
3.3 En el depósito del Museo se guardaron las urnas funerarias de una colección en
estantes. En la base hay 50 de ellas, en la siguiente fila hay 49, en la siguiente 48, y así
sucesivamente hasta la última fila de 20 urnas. ¿Cuántos estantes se ocuparon?
21
un pa
ar de número
os constituye
e el caso má
ás simple de interpretació
ón en términnos abstracto
os, de
un da
ato de la intuición del esp
pacio.
Diicho plano cartesiano
c está
e compue
esto por dos
s rectas rea
ales que se cortan form
mando
22
Se
e adopta dessde el origen
n de coorden
nadas hacia la derecha en
e el eje x y hacia arriba
a en el
eje y el sentido positivo.
p A la izquierda de
el origen sob
bre el eje x y hacia abajoo del origen sobre
el eje
e y el sentido
o negativo.
La
a distancia entre
e dos pun
ntos cualesq ano cartesiano se puedee hallar a partir de
quiera del pla
la rela
ación pitagórica.
Re
ecordemos el teorema de Pitágora
as:
Se
ean b y c los catetos
s y la hiipotenusa de gulo rectánggulo. Estos están
d un triáng
23
Pa
ara determin cia d entre d
nar la distanc dos puntos x1 , y1 y x2 , y2 del pllano, se cons
struye
con d
dichos puntos un triángulo rectángulo
o de manera
a que la longitud de un ca
cateto del triá
ángulo
2 2
d 2 x2 x1 y2 y1
2 2
d x2 x1 y2 y1
y2-y1
x2-x1
Sisttemas de
e coorde
enadas P
Polares
24
na forma disstinta de reprresentar punttos del plano
Un o es utilizand
do un sistem a de coordenadas
consttituido por un u eje polar x , al cual se
n polo O y un e lo llama sis
stema polarr. En este sis
stema,
la po
osición de un
n punto qued
da determina
ada por la distancia
d que
e surge de uunir dicho pu
unto P
con e
el polo O y el ángulo que forman la d irección positiva del eje polar
p con el segmento trazado
desde
e P hasta O. La longitud del segmen
nto OP recib
be el nombre de radio vecctor y el ángulo
á
recibe
e el nombre de argumento .
Equ
uivalenciia entre los
l siste mas Carrtesiano y Polar
or las propia
Po as caracterís
sticas con la
as que qued
dan definidos ambos sisstemas, se puede
p
deterrminar una equivalencia
e a entre ellos . Dibujando los sistemas superpuesstos, de form
ma tal
el origen coiincida con el polo y el e
que e eje x con el eje polar, se puede dem
mostrar med
diante
las rrelaciones trigonométric
cas y el Te
eorema de Pitágoras la validez dde las siguiientes
fórmu
ulas de transsformación:
b b
obtien
ne de la rela
ación trigonom
métrica tg siendo arctg .
a a
25
Si se con
nocen las co
oordenadas polares , , estableeciendo las correspondiientes
a b
relac iones trigo
onométricas cos y sen , obtenemos
o a coss y
b sen
Ha
acemos nota
ar que, desd
de lo estricta
amente mate
emático tiene
en la misma posición so
obre el
plano
o todos los pares
p ordena
ados de form
ma , 2k
2 , siend
do k un núm
mero entero, pero
aquí se ha tomad
do una única solución con
nsiderando un
u solo período de 0 a 2π
π.
Ha
allaremos la
as coordenadas polaress del punto P, si sus coordenadas
c s cartesianas son
a 33; b 5
a 2 b2 32 (5)2 34
arctg arctg
b 5
vo y b negativo, el punnto estará ub
. Por sser a positiv bicado
a 3
en el cuarto cuadrante, resultando 300058´ .
En
ntonces es punto
p (3;-5) en coorden
nadas cartes quivalente a (√34;300 58
sianas es eq 8´ en
coord
denadas pola
ares.
26
Ha
allaremos la
as coordena
adas cartesia
anas del pu
unto P cuya
as coordenaadas polares
s son
4,1220
1
a cos 4 cos120 4 2
2
3
b sen 4sen120 4 2 3
2
en
denadas carttesianas de P son 2, 2 3 .
n consecuencia las coord
27
Activ
vidad 4
4.1 Dados los siguientes puntos
p del pla
ano expresados en coord
denadas cart
rtesianas:
A(3,2
2);B(2,5);C 0);E(6, 8);F
C(5,0);D(10,0 F(2, 3);G((4,4)
4.1.1. R
Representarlo
os.
4.1.2. C
Calcular la dis
stancia entre
e AyC; CyD; EyG.
4.1.3. T
Transformarlo
os a coorden
nadas polares.
H 60 ); I(10
H(8, 0,120); J(100,180); K(6, 315 ); L( 2 , 45)
Trransformarlos a coordena
adas cartesia
anas.
4.3 La siguien
nte tabla forrma parte de
e una libreta
a de campo que tiene loos resultado
os del
relevamiento de
e la distribución de l os restos arqueológic
cos recuperrados. Con esta
mación, con
inform nfeccionar un mapa de distribución en coorden
nadas cartessianas y des
scribir
lo qu e puedes inferir.
Ecu
uaciones
s e inecuaciones en el pla
ano
Un
na ecuación lineal en el plano queda
a representa
ada por una recta. Una ddesigualdad lineal
en el plano queda
a representada por una rregión.
na solución de una desigualdad con
Un n dos variab
bles es un par ordenadoo de número
os que
verificca la desigua
aldad.
28
Pa
ara mostrar que un par ordenado x, y es una solució
ón de una ddesigualdad lineal
Pa
ara determin
nar si 3, 2 es una ssolución de 5x 4 y 13 se reempplaza x porr 3 e
y poor 2 .
5 x 4 y 13
5 3 4 2 13
15 8 13
23 13
Co
omo -23 es menor
m que 13 nado 3, 2 cumple la desigualdad y es una soluc
3, el par orden ción.
La
as gráficas de
d desiguald
dades lineale
es de dos variables
v se pueden utiliizar para resolver
much
hos problema
as, en espec
cial aquéllos relacionados
s con la optim
mización de ccantidades.
Pa
ara represen
ntar gráficam
mente una d
desigualdad lineal, prime
ero trazamoss la gráfica de la
ecuacción lineal co
orrespondien
nte.
Po
or ejemplo, representare
r mos gráficam
mente yx .
En
n primer lug
gar, trazamos
s la gráfica de la ecuac
ción y x . Esta recta sseñala la froontera
entre
e los puntos que satisfac
cen la desig ualdad y los
s que no la satisfacen. T
Trazamos la
a recta
punte
eada ya que los puntos sobre
s ella no se encuentrran en el con
njunto solucióón de yx
Pa
ara cualquier punto por encima de la
a recta y x . Para cuaalquier puntoo por debajoo de la
recta y x . Por consiguiente, la gráfica es el semipplano bajo la recta fronteeriza y x . Esto
lo mo
ostramos som
mbreando el semiplano in
nferior.
La
a gráfica de cualquier de
esigualdad lin
neal de dos variables
v es un semiplanno o un semiplano
junto con su fronttera, la recta.
29
Re
epresentarem
mos gráficam
mente 1 y 2 .
Se
e trata de un
na conjunción
n de dos dessigualdades.
y -1 y 2
Co
omo nuestra
a desigualdad es una co
onjunción, su
u gráfica es la
l interseccióón de las grráficas
de lass dos desigu
ualdades.
Activ
vidad 5
5.1 Encontrar el conjunto solución
s de l as siguientes inecuacion
nes. Graficar .
1
5.1.1. y 2 x
2
5.1.2. y 2 x 4
30
Bibliografía
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31
CA
APÍTULLO 2
Funcione
es
Romina
a Herrera
a y Anyellen Di Pa
aolanton
nio
Con
njuntos
Un
n conjunto es
e una colec
cción de ele
ementos que
e comparten alguna caraacterística co
omún.
Por e
ejemplo:
Los alumnos de Elem
mentos de Ma
atemática forrman un conjunto. La carracterística común
c
es se
er alumno de
e la materia, no importa a qué carrerra pertenece
en, si son inggresantes o si son
recurrsantes.
Los días de la seman
na; las letrass del abeced
dario; los números naturrales; los núm
meros
naturrales mayore
es que 5 y me
enores a 10;; las vocales; forman cad
da uno un co njunto.
A los conjunto
os se los suele nombrar ccon una letra
a mayúscula y los podem
mos represen
ntar de
distin
ntas formas, por ejemplo:
D
Diagrama de
e Venn: Cons
siste en ence
errar los elem
mentos que forman
f partee del conjunto
o con
una
a línea y se indica el nom
mbre del mism
mo. Tomando los dos últimos ejemploos menciona
ados
qu
uedarían:
Se
e los puede nombrar:
n
Por exten
nsión: consiste en detalllar todos los elementos que
q forman pparte del conjunto.
A={6;7;8
8;9} B={a;e;i;o;u}}
Por comp
prensión: co
onsiste en de
escribir la ca
aracterística que
q define a l conjunto.
∈ /5 10
Un
n conjunto puede
p escrib
birse como u
una lista de elementos, pero cambiaar el orden de
d los
eleme
entos no deffine un conjunto nuevo. P
Por ejemplo:
32
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes,
Miércoles}
C = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde,
Violeta, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito,
Producto Cartesiano
A x B a , b / a A b B
Veamos un ejemplo:
Tenemos los conjuntos 6; 8 5; 9; 1 . El producto cartesiano AxB será:
6,5 ; 6,9 ; 6,1 ; 8,5 ; 8,9 ; 8,1
El producto cartesiano BxA será:
5,6 ; 5,8 ; 9,6 ; 9,8 ; 1,6 ; 1,8
Al comparar AxB y BxA podemos decir que el producto cartesiano no es conmutativo.
Cuando los conjuntos son finitos, la cantidad de elementos del conjunto producto
cartesiano es igual al producto de la cantidad de elementos de los conjuntos A y B. En el
ejemplo anterior 2x3=6, entonces AxB tiene 6 pares ordenados.
Relaciones
Al vincular elementos de dos conjuntos, o elementos del mismo conjunto se establece una
relación entre los mismos.
Dar una relación R entre A y B es fijar una cierta ley que permita decir cuáles son los pares
de elementos que se vinculan. Si a (elemento de A) está relacionado con b (elemento de B)
33
bimos a R b para indicar (a,b) R. Una rela
escrib ación entre A y B es unn subconjunto del
produ
ucto cartesia
ano AxB.
Se ción R de A en B a toda terna compu
e llama relac n conjunto A llamado "conjunto
uesta por un
de pa
artida", un co
onjunto B de
enominado "cconjunto de llegada" y el conjunto G llamado "grá
áfica",
cuyoss elementos son pares ordenados, ta
ales que su primera
p componente perttenece al conjunto
A y la
a segunda a B.
R = (A , B, G )
Representació
ón de Rela
aciones
To
omemos los conjuntos: A = {α;β;φ}}; B = {1,2
2,3,4} y una cierta relaci ón del conju
unto A
con e
el conjunto B que puede expresarse m
mediante:
flechas en Diagrama de Venn: “la s flechas” indican los ele
ementos que se relaciona
an:
una tabla
a de simple entrada,
e horizzontal o vertical:
una tabla
a de doble en
ntrada o matrriz:
B
1 2 3 4
A
α
β
φ
34
puntos de
el plano en coordenada
as cartesiana
as ortogonales. Se repreesentan los pares
orden
nados de la relación
r G = { (α,3); (α,4)); (φ,1)}
Dom
minio e Imagen
Se
ea R una re
elación de A en B. Llama
amos dominio de R al subconjunto
s dde A formad
do por
aquelllos elemento
os que están vinculados m
mediante la re
elación dada con
c uno o máás elementos
s de B.
Dom R = {a / a A (a,b) R}
Lla
amamos imagen de R al subconju
unto de B fo
ormado por aquellos eleementos de dicho
conju
unto vinculad
dos mediante
e la relación d
dada con alg
gún elemento
o de A.
b / b B (a,b)
Im R = {b ( R}
Ta
anto el domiinio como la imagen de una relación oincidir eventtualmente co
n pueden co on los
conju
untos de parttida A y de lle
egada B, resspectivamentte.
De
el ejemplo anterior,
a A = {α; β; φ}; B = {1,2
2,3,4} ; G = { (α,3); (α,44); (φ,1)}, re
esulta:
Dom R = { α ;φ } e Im R = {1;3;4}
Activ
vidad 1
1.1 Sea A 1, 0, 3, 4 y B 0, 2, 4 y sea
a R1 la relació
ón definida ppor:
R1 ( x, y) / x A, y B x y
1.1.1 Escribir R1 com
mo un conjun
nto de pares ordenados.
1.1.2 Mo
ostrar R1 sob
bre un diagra
ama de Venn
n.
1.1.3 Re
epresentar la
a relación en
n un Sistema Cartesiano Ortogonal.
1.1.4 De
eterminar el dominio
d y la imagen de R1.
1.2 Sean los conjuntos:
ó , , , ,
, , , ,
Indicar qué pa dos (x, y) de A B verific
ares ordenad ón “x es un oorganismo que
can la relació q se
clasiffica dentro de
el reino y”.
35
Rela
aciones definida
as en A
Allgunas relacciones se es
stablecen en
ntre los elem
mentos del mismo conjuunto. Es decir, el
conju
unto de partida y de lleg
gada coincid
den. En tal caso escribiimos R = (A
A, G) siendo
o A el
conju
unto de partid
da y de llega
ada, y G la grráfica de la re
elación.
Po
or ejemplo, si
s A = {5,6,8
8} tal que G = {(6,5),(8,5
5),(8,8),(6,8)} podemos rrepresentar en un
o diagrama de la siguiente manera:
único
Activ
vidad 2
onjunto A 2, 3, 4, 6, 9 y las relaciones en A:
2.1 Dado el co
R 1 ( x , y ) / x es divisor de y
R 2 ( x , y ) / x y
R 3 ( x, y) / y x 2
Esscribir la gráffica y determ
minar el domiinio e imagen
n de: R1, R2 y R3.
Prop
piedades de
d las rela
aciones de
efinidas en
e A
Prropiedad Re
eflexiva: una
a relación de
efinida en A es
e reflexiva sí
s y solo sí toodo elemento
o de A
está rrelacionado consigo mism
mo. Esta deffinición se simboliza:
R A,G
A es refleexiva {x / x A x, x G}
Po
or ejemplo, entre los alum
mnos de la cla
ase establece
emos la relación: " x tiene lla misma eda
ad que
y". La
a relación así definida es reflexiva,
r ya q
que toda pers
sona tiene la misma edadd que sí mism
ma.
Ottro ejemplo pero
p ahora entre
e conjunto
os numéricos:
Se
ea R = (A,G)) con A = {1,2
2,3} y G = {(1
1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3))}
36
La
a relación es reflexiv
va ya que se
e verifica qu
ue todo elem
mento de A está relacio
onado
consiigo mismo. En
E un diagra
ama de Venn
n se puede visualizar
v que
e si la relacióón es reflexiv
va, en
todoss los elementtos de A deb
berá verificarrse la existen
ncia de un laz
zo.
Prropiedad simétrica: Un
na relación e
en A es sim
métrica cuan
ndo se verifiica que si un
u par
orden
nado perten
nece a su gráfica, a
aquel que se obtiene
e por perm
mutación de
e sus
comp
ponentes, tam
mbién perten
nece.
En
n símbolos: A,G) es siméttrica [x, y A: (x,y)G (y,x)
R =(A G]
De
esde el puntto de vista de
d su diagra etría implica que si existte una flecha que
ama, la sime
vincu
ula dos elementos (por ejemplo
e de x hacia y), de
ebe existir una
u flecha dee vuelta; dic
cho de
otra fforma, el parr (y,x) debe pertenecer
p a la gráfica de
e la relación.
Vo
olviendo al ejjemplo " x tie
ene la misma
a edad que y ", esta relación resulta seer simétrica ya que:
"Manuel tiene la misma
m edad que
q Agustín" e
entonces, "Ag
gustín tiene la misma edaad que Manue
el".
Manuel, Agusstín) G (Agustín,
(M ( anuel) G.
Ma
Ottro ejemplo: Sea A = {1,2,3} y G = {{(1,1),(2,3),(3
3,2)}, la relac
ción es siméttrica:
(2,3) G (3,2) G
(1,1) G (1,1) G
Prropiedad tra
ansitiva: Un
na relación d
definida en A es transittiva, si los ppares (x,y) e (y,z)
perte
enecen a su gráfica,
g entonces tambié n pertenece el par (x,z).
a [x,y
Simbólicamentte: R = (A, G)) es transitiva y,z A: (x,y
y) G (y,z) G (x,z)) G]
37
La relación " x tiene la misma edad que y” establecida en un conjunto de personas es
transitiva: si "Manuel tiene la misma edad que Agustín" y "Agustín tiene la misma edad que
Lautaro", entonces "Manuel tiene la misma edad que Lautaro".
(Manuel, Agustín) G (Agustín, Lautaro) G (Manuel, Lautaro) G.
Relaciones de orden
R = (A,G) es una relación de orden si y solo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
1) x A: x R x (reflexividad)
2) x R y y R x x = y (antisimétrica)
3) xRy yRz xRz (transitividad)
Por ejemplo, la relación de "menor o igual" en un conjunto numérico es de orden.
38
Actividad 3
3.1 Sea el conjunto A a , b, c, d . Considerar las siguientes relaciones en A:
Función
Si miramos el diccionario:
Función3 *
Del lat. functio, -ōnis.
1. f. Capacidad de actuar propia de los seres vivos y de sus órganos, y de las
máquinas o instrumentos.
2. f. Tarea que corresponde realizar a una institución o entidad, o a sus órganos o
personas.
3. f. Acto solemne, especialmente el religioso.
3
http://dle.rae.es/?id=IbQKTYT 7/10/2016
39
4. f. Representación de un espectáculo, especialmente teatral, o proyección de una
película. U. t. en sent. fig.
5. f. Obra teatral representada o película proyectada.
6. f. Fiesta mayor de un pueblo o festejo particular de ella.
7. f. Convite obligado de los mozos.
8. f. Escándalo o alboroto que se produce en una reunión.
9. f. Ling. Papel relacional que, en la estructura gramatical de la oración,
desempeña un elemento fónico, morfológico, léxico o sintagmático.
10. f. Ling. Finalidad de los mensajes verbales. La función expresiva del lenguaje.
11. f. Mat. Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un
elemento del segundo o ninguno.
12. f. Mil. Acción de guerra.
40
Dom
minio e Ima
agen
La relació
ón representtada en el d iagrama de Venn de la figura
f tampooco es una fu
unción
porqu
ue no cumple
e la condició
ón de unicida
ad, ya que del
d elemento φ de A partten dos flechas al
conju
unto B
La relaciión de la figura
f es fu
unción, ya que se cu
umplen las dos condic
ciones
estab
blecidas: exisstencia y unicidad. Dicho
o de otro mo
odo, una relación es funncional si de
e cada
eleme
ento del conjjunto A de partida sale u na y sólo una flecha.
De
el análisis de
e los ejemplos anteriores, concluimos que para dec
cidir si una reelación estab
blecida
entre los elemento
os de dos con
njuntos es un
na función, ba
asta con obse
ervar el conjuunto de partida.
41
onjuntos es una función, su domin
Sii una relación entre co nio y el connjunto de partida
debe
en coincidir.
Activ
vidad 4
4.1 Sea A 4, 5, 6, 7, 8 y B 1 0 , 11, 12, 13 . Determinar si la siguuiente tabla define
d
una ffunción de A en B. Justific
car la respue
esta.
x A 4 5 6 7 8
y B 10 11 10 10 11
4.2.2. : → , / ∈ , ∈ ∧
4.2.3. : → , / ∈ , ∈ ∧ 6 4
4.2.4. Sea
S A = {habiitantes de la ciudad de La Plata}
F = {a
F 1 es pad
dre de a2}
4.5 Considera
ar las siguien
ntes gráficass G: R —> R
4.5.1. Indiccar cuáles co
orresponden
n a funciones
s. Explicar.
4. 5.2. De aquellas
a que
e sean funcio
ones, indicar dominio e im
magen.
42
43
De
e lo visto antteriormente, decimos que
e una función puede defiinirse a travéés de una fórrmula,
un grráfico, una ta
abla, o un tex
xto.
Func
ciones nu
uméricas
La
as funciones que estudiam
mos en generral tienen com d partida y cconjunto de llegada
mo conjunto de
a los números rea
ales. Estas fun
nciones se co
onocen como
o funciones re
eales de variaable real.
Un
na función numérica tien
ne como dom onjunto más amplio de loos números reales
minio el subco
en el que tiene se
entido la fórm
mula que la d
define.
Activ
vidad 5
5.1 Hallar el dominio
d de la
as siguientess funciones dadas
d a parttir de su exppresión algeb
braica.
Graficcar en forma
a aproximada
a. Determina
ar la imagen de
d cada una de ellas.
1
5.1.1 f ( x)
x2
x 2 25
5.1.2 f ( x)
x 5
5.1.3 f ( x) x 2 4
5.1.4 f ( x) x 3
5.1. 5 f ( x) x 2 2
5.1.6 f ( x) 2 x
44
5.2.1 S una función.
Sea
5.2.2 N sea una fu
No unción.
Func
ción lineal
La
a pendiente de
d una recta
a es el cocien
nte entre la variación
v de la variable ddependiente y
y la vvariación de la
l variable in
ndependiente
e x de cuualquier par de
d puntos dee la misma.
y 2 y1 y
m
x2 x1 x
Observando la
a representa
ación y el triá
ángulo rectán e forma, pod emos decir que
ngulo que se q la
pendiente de la recta
r es la ta
angente del ángulo que forma la rec
cta con el ejee de abscisa
as. En
símbo
olos: ∝
Ell valor de la pendiente determina
a que una función sea crecientee, decreciente o
cons
stante.
45
Po e la función f: RR / f(xx) = 2x – 1 la
or ejemplo, en a pendiente es
e 2. Podem
mos decir entonces
que ∝ 2 y el ángulo que forma
f con el eje x es de 63 26´ 5´´ . La
a ordenada aal origen es y=
y -1.
Pa
ara graficar una
u recta alc
canza con co
onocer dos puntos perten
necientes a laa misma.
La
a recta que representa a esta función
n está dada por
p la gráfica
a:
La
a intersección de una currva con el eje
e de abscisa
as se denomina abscisa al origen, cero
c o
raíz. En ese puntto la ordenad
da toma valo
or cero. Por eso,
e para en
ncontrar estee valor se igu
uala la
ecuacción a cero y se despeja
a el valor de la variable independientte. En el casso de la recta
a este
punto
o es único.
Pa
ara nuestro ejemplo la abscisa al o
origen está en x=0,5; es
e decir, la rrecta pasa por el
punto
o (0,5;0)
La
a intersección con el eje de ordenada
as se denom
mina ordenada al origen
n. En ese pu
unto la
absciisa vale 0. Por
P eso, para
a encontrar e
este valor se reemplaza la
l x por ceroo. En nuestro
o caso
la seg
gunda componente del par
p (0,-1) es lla ordenada al origen.
46
Ottro ejemplo, f: R R / f(x
x) = -x
La
a pendiente es
e -1.
La
a ordenada al
a origen es y=0
y
La
a función deccrece en todo
o su dominio
o.
Activ
vidad 6
6.1 Representar gráfica
amente lass funciones
s lineales f :R R de la forma
f ( x ) mx b con
c m, b R
6.1.1 f (x ) 2 x 3 6..1.2 f ( x ) 2 x 3
6.1.3 f ( x ) 4 6..1.4 f ( x) 13 x
6.1.5 H
Hallar da caso, los vvalores f (2) y f ( 2) y el ángulo quue forma con el eje
en cad
de ab
bscisas.
6.2 Hallar la fó
órmula de la función linea
al que cumplle las siguien
ntes condicioones:
47
6.3.2 ¿Puede una recta tener ordenada al origen negativa?
6.3.3 ¿Puede una recta tener ordenada al origen nula?
6.3.4 Si una recta tiene pendiente nula ¿cuál es su ecuación?
6.3.5 En un mismo gráfico representar las siguientes rectas:
6.3.5.1 y=0
6.3.5.2 y=-3
6.3.5.3 y=0,5
6.3.5.4 x=0
6.3.5.5 x =4
6.3.5.6 x=-7/2
En cada caso indicar pendiente y ordenada al origen, si existen.
6.4 Una represa cuya capacidad es de 116 millones de litros de agua, tiene una filtración.
Desde el primer día del mes pierde agua de manera uniforme4, a razón de 18 millones de litros
diarios, aproximadamente.
6.4.1 Se desea hallar la fórmula de la función que describe la cantidad de agua que
permanece en la represa cada día. Graficar la función. Indicar dominio e imagen.
6.4.2 ¿En cuánto tiempo se podría vaciar la represa, en el caso que no se solucione el
problema de la pérdida de agua?
6.4.3 ¿En cuánto tiempo la represa tendría 70 millones de litros de agua?
6.5 En las víboras hembras Lampropeltis Polizona, se sabe que la longitud total “casi” varía
linealmente respecto de la longitud de la cola. A partir de los siguientes datos experimentales
obtener la ecuación de la recta que representa la longitud total de la cola.
60 mm 455 mm
140 mm 1050 mm
6.6 Un antropólogo puede utilizar las funciones lineales para estimar la estatura de una
persona, dada la longitud de alguno de sus huesos. El húmero es el hueso del brazo entre el
hombro y el codo. La estatura, en centímetros, de un hombre y de una mujer con un húmero
de longitud x, está dado por M(x) = 2,89 x +70,64 y F(x) = 2,75 x + 71,48 respectivamente. Se
desea saber cuál sería la estatura si el hueso encontrado era de 35 cm.
6.6.1 En el caso de una mujer.
6.6.2 En el caso de un hombre.
6.7 A fin de estimar las anchuras faciales inferiores (diámetro bigonial en cm) para niñas
de 6 años de edad a partir de datos extraídos a los 5 años, se procedió a tomar esta
4
uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleración es nula.
48
medida en 10 niñas de 5 años, repitiendo la operación en las mismas niñas un año
después. Los resultados obtenidos en el estudio se presentan a continuación. Cada
registro corresponde a una niña en particular.
Registro Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
De 5 años 7,33 7,49 7,20 7,90 7,50 7,80 7,16 7,10 6,94 7,40
De 6 años 7,53 7,70 7,40 8,20 7,80 8,10 7,70 7,20 7,10 7,70
6.8 De los anales del registro civil se obtuvieron los siguientes datos de matrimonios y
nacimientos para distintos años:
Registro 1 2 3 4 5 6
Repitiendo los mismos pasos que en el ejercicio anterior con estos datos, utilizando el
número de matrimonios como variable x, la relación queda expresada como
y 1, 9152 x 328, 99
Estimar utilizando la recta obtenida, el número de nacimientos para un año en el que hubo
4923 matrimonios.
Nos preguntamos: ¿Son pertinentes los resultados?
En el caso de las niñas es esperable que crezcan y si bien no necesariamente todas
ellas lo hacen con el mismo ritmo parece bastante lógico que al aumentar su edad
cronológica aumente su mandíbula, pero en el caso de los nacimientos y los matrimonios el
49
problema no es tan sencillo. Cabe esperar que si aumenta el número de matrimonios habrá
más nacimientos (diferidos en al menos 9 meses), pero el hecho de nacer depende
también de otros factores, como puede ser una crisis económica que desaliente el tener
descendencia, o lo contrario, es decir una prosperidad que haga atractivo vivir en
matrimonio pero sin hijos para poder viajar en cualquier momento. También existe la
posibilidad de nacimientos sin que provengan de matrimonios registrados, ya que ésta es
una cuestión de origen cultural. Para estudiar el caso deberíamos contar con algunos otros
elementos de juicio. No siempre los cálculos matemáticos dan respuesta a los problemas,
la solución depende de las “condiciones de contorno”.
Función cuadrática
denomina función cuadrática; siendo su gráfica una parábola. El dominio está dado por los
números reales.
La característica fundamental que define a esta función es la simetría.
Podemos determinar el eje de simetría con la siguiente expresión: xv=
b b 2 4ac
ax 2 bx c =0 x1 , x2
2a
50
ecrece: ( ∞; 1
De Crece: 1; ∞
Ottra forma de
e representarr gráficamen
nte la función
n cuadrática consiste enn tomar los puntos
p
de un
na tabla de valores:
v
Ve
emos que exxisten eleme
entos pertene
ecientes al dominio
d de la
a función quee tienen la misma
m
image
en: (-4,10) y (2,10); (-3,0
0) y (1,0); (-2
2,-6) y (0,-6); esto nos muestra
m que eel eje de sim
metría
estarrá entre esoss pares. Para
a ubicar la po
osición del eje
e de simetría, se toma ccualquier conjunto
de pa
ares ordenad
dos que teng
gan la segun
nda compone
ente igual y se
s efectúa laa semisuma de las
prime
eras compon
nentes:
2 0 2
Po
or ejemplo, para
p los pare
es (-2,-6) y (0
0,-6): x 1
2 2
51
Ell eje de sime
etría resulta ser
s el conjun
nto de punto
os x, y / x 1 que ccorresponde a una
recta paralela al eje
e y.
La
a intersecció
ón de la parrábola con e
el eje de simetría es el
e vértice; enn nuestro ca
aso la
Ell vértice es el
e punto 1; 8
La
a parábola ess cóncava de
ebido a que el coeficiente
e principal es
s positivo.
Po
or ser los ce
eros de la función -3 y 1, y el coeficiente princ
cipal a = 2, la función puede
p
expre
esarse de ma
anera factorizada así:
f : R R / f x 2 x 3 x 1
Ve
eamos otro ejemplo:
e f: R R / 3
La
a expresión se puede factorizar así: 3 . De esa
e expresióón podemos “leer”
que las raíces esstarán en x = 0 y en x = 3. De ello de
educimos qu
ue el eje de ssimetría esta
ará en
xv= 1,5. El vértice
e tendrá com
mo ordenada f(1,5) = 2,25
5; será el pu
unto V(1,5; 22,25). La orde
enada
al oriigen coincide con una raíz
r (0;0). C
Como el coe
eficiente prin
ncipal es neegativo ( =-1
1), las
rama
as irán “hacia
a abajo”. Con
n estos punto
os podemos graficar la pa
arábola:
La
a imagen serrá ∞; 2,25
ece: ( ∞; 1,5
Cre ce: 1,5; ∞
Decrec
Ottro ejemplo: : / 2
1
1 1 2
52
ará en V(0,5; f(0,5))es deccir, en V(0,5; 7/4)
Ell vértice esta
Co
omo es positivo,
p las ramas será
án hacia arrriba. Con esta
e informacción y el vé
értice,
podemos decir qu
ue no cortará
á al eje x; es decir, no tie
ene raíces.
La
a ordenada al
a origen esta
ará en f(0)= 2
La
a imagen esttá dada por: ; ∞
Decrece: ( ∞
∞; 0,5 Crrece: 0,5; ∞
Activ
vidad 7
7.1 Represen
ntar las sigu
uientes pará
ábolas, indicar eje de simetría,
s vérrtice, ordena
ada al
origen, ceros, con
ncavidad, cre
ecimiento, de
ecrecimiento
o e imagen:
7.1.1 y x2 3 7.1.2 y 4 x
2
1 7.1.3 y x 2 2x 7.1..4 y x
2
4x 5
7.1.5 y 2( x 1)
2
1 7.1.6 y x 2 2x 7.1.7 y = x 2 x 1 7.1..8 y = x 2 6 x 9
53
7.2.3 Graficcar de mane da. Indicar dominio
era aproximad d e ima
agen.
7.2.4 ¿Qué
é interpretación tiene la o
ordenada al origen
o y las raíces
r en estta situación?
?
7.3 Se estudia
aron los efectos nutricion ales sobre ra
atas que fueron alimentaadas con una
a dieta
que ccontenía un 10%
1 de prote
eína. La protteína consisttía en levadu
ura y harina dde maíz. Varriando
el porcentaje P de levadura en
e la mezcla
a de proteína
a, se estimó que el peso promedio ga
anado
Func
ción expone
encial
La
as funcioness exponencia
ales tiene la siguiente ex
xpresión: f x a b. x coon a 0 a 1 y
∈ 0
Ell dominio son
n los número
os reales.
f x ax
F
Funciones de
e la for ma
0 a 1 funciones decrecientes.
54
La imagen son tod
dos los reale
es positivos.
a 1 ffunciones creecientes
También
n la imagen es:(0;+ ∞)
e
F
Funciones ex
xponencialess de la forma: . ⋀ ∈ 0
Ell valor de k modifica
m el va
alor de la ord
denada al oriigen.
as funcioness exponencia
La ales aparece
en en el esttudio de muc
chas poblacciones. Veam
mos el
siguie
ente ejemplo
o:
55
Un equipo de biólogos está interesado en estudiar la reproducción de unas aves migratorias
que llegan a una reserva de Costa Rica. Estas aves tienen un solo período de reproducción al
año. Realizan el conteo de la población al final del período de reproducción desde 2005 hasta
2011 obteniendo los datos que aparecen en esta tabla:
La población no crece de manera lineal, ya que por cada año que transcurre el número de
individuos no aumenta la misma cantidad. Es decir la relación entre el tiempo y la cantidad de
aves no es proporcional, por eso el modelo lineal no se adapta a esta situación.
Si miramos los datos, la relación que se da entre el incremento de la población y la
población al iniciar el año, es practicamente la misma para todos los años.
0,15
ó ñ
56
Año Tiemppo t Población F(t)
desde 2005
5 (en años) en el año t
La
a siguiente gráfica
g muestra los punto
os que repre
esentan los datos
d reales y la curva que
q se
ajusta
a a ellos desscribiendo un
n modelo.
Activ
vidad 8
amíferos se reproduce una sola vez al año . Al inicio de la
8.1 Una especie de ma
invesstigación se encontraron
n 436 individ
duos y al añ
ño, 567. Si cada
c año el incremento es el
mism
mo porcentaje
e.
8.1.1 ¿Qué
é modelo des
scribe este ccomportamiento?
8.1.2 ¿Qué
é población habrá
h al cabo
o de 10 años
s?
8.1.3 Graficcar de mane
era aproximad
da. Indicar dominio
d e ima
agen.
8.1.4 ¿Qué
é representan
n los ceros y la ordenada
a al origen?
Lo
os organismo
os nacen y mueren
m sin te
ener una fec ca para hace rlo, esto hac
cha específic ce que
el conteo de la población
p de
ebe considerrarse como un fenómeno continuo een el tiempo
o y no
eto, es decir, no se produ
discre uce mediante
e saltos.
57
Veamos un ejemplo:
Una población de 10000 bacterias en un cultivo se reproduce con una tasa porcentual
constante del 5% semanal.
El modelo se representa mediante la expresión: F(t) = 10000(1,05)t
a) ¿Cuál será la población de bacterias al cabo de dos semanas suponiendo que se
reproducen una vez cada semana?
Tenemos que calcular F(2):
F(2)= 10000(1,05)2= 11025
Las bacterias al cabo de dos semanas serán 11205.
Tasa
porcentual Cantidad de
Tasa de Tiempo para 2 constante bacterias al
reproducción semanas semanal/Tasa cabo del
de tiempo t
reproducción
Semanal 2 0,05 11025
Diaria 14 0,007142857 11047,7815
Por hora 336 0,000297619 11051,5448
Por minuto 20160 4,96032E-06 11051,7064
Por segundo 1209600 8,2672E-08 11051,7091
Las situaciones anteriores pueden describirse mediante el modelo F(t) = P0(1+r/k)kt donde k
representa el período de tiempo tomado.
Para períodos de reproducción más rápidos, la población tiende a estabilizarse.
Si se quiere predecir el comportamiento de la población a escala de tiempo pequeño, k debe
tomar valores muy muy grandes.
58
El modelo que toma en cuenta esta situación se lo denomina modelo exponencial continuo y
tiene la siguiente expresión: F(t)= P0ert
z
1
8.3 Calcular los valores de la función u 1 con z ϵ N que formen una progresión
z
geométrica cuyo primer término z 1 a1 1 y su razón r 10 , continuando hasta
a7 1.000.000 106
¿Qué se observa?
8.4 La población de una ciudad en 2005 fue de 35,4 millones de habitantes. Si la tasa de
crecimiento era de 1,5% anual. Suponiendo que se mantiene constante.
8.4.1 Calcular la población diez años después, utilizando el modelo exponencial continuo.
8.4.2 Suponiendo esa misma dinámica poblacional, ¿cuántos habitantes había en 2002?
8.5 Atacando determinadas esporas bacterianas con fenol al 5%, se obtuvieron los datos de
la tabla adjunta, que indican el número de bacterias sobrevivientes, por gota de una mezcla del
cultivo con el desinfectante:
Tiempo (hs) 0, 5 1 2,5 3 4
Bacterias 300 220 92 68 38
8.5.1 Comprobar que la ley que rige el proceso es aproximadamente exponencial.
Determinar los parámetros de la función a partir de su gráfico.
8.5.2 ¿Cuál era la cantidad inicial de esporas por gota de mezcla?
8.5.3 ¿Cuántas esporas quedan después de 2 horas de comenzada la desinfección?
8.5.4 ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que queden 10 esporas por gota?
8.6 Una colonia de hongos se reproduce de manera tal que la superficie cubierta crece
exponencialmente a medida que transcurre el tiempo. A las doce horas de detectados, el área
afectada es de 0,17mm2, y a los 3 días es de 1,35mm2.
8.6.1 Determinar analíticamente la función que rige este crecimiento
8.6.2 ¿En qué momento el área afectada habrá sido 0,82mm2?
8.6.3 ¿Cuál será el área cubierta después de 11 días?
Función logarítmica
59
x f((x)=log2x
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
En e x, f ( x ) 0 , entonce
n la interseccción con el eje es log2 x 0 20 x x 1 .
n x 0 , hayy asíntota ve
En ertical.
Un
n caso partiicular con base : ⟺ (Sii la base ess el número , se
simbo
oliza y se
e llama logarritmo natural o neperiano
o)
Domf 0,
D Im f R
En
n la Interseccción con el eje es ln x 0 e 0 x x 1 .
e x, f ( x ) 0 , entonce
En
n x=0 hay assíntota vertical.
Activ
vidad 9
9.1 Representtar gráficame
ente las funcciones y ana
alizar desde la gráfica qqué ocurre co
on las
curva
as obtenidas:
60
9.1.1 y 3x 1
x
9.1.3) y ex
9.1.2 y
3
9.1.4 y log 3 x 9.1.5 y log x 9.1.6 y = ln x
9.2 La hipótesis de Malthus postula que la población humana crece a razón geométrica,
mientras que la producción de alimentos lo hace a razón aritmética, lo que llevaría
inevitablemente a una hambruna mundial. Esta hipótesis no es aceptada actualmente y ha sido
sustituida por otra que supone que actúan factores represivos, que obran paulatinamente, y de
tal manera, que al aumentar la población por encima de cierto tamaño tiende a disminuir la tasa
de crecimiento. Este último fenómeno ha sido respaldado por los datos de las estadísticas de
poblaciones humanas del último siglo en distintos países. La función que mejor describe estas
situaciones de crecimiento poblacional se conoce como función logística, dada por la fórmula:
k
y
1 c e bt
Se trata de una curva monótona creciente, que tiene la forma de una S, en la cual se
prolonga la rama superior, asintóticamente a la recta horizontal de ecuación y k .
5000
9.2.1 Representar gráficamente el caso particular y
1 24 e 0, 06 t
9.2.2 ¿Cuál es a población inicial?
9.2.3 ¿En qué valor tiende a estabilizarse?
61
Si tenemos una masa inicial de K 0 gramos de radio(Ra), después de transcurridos t siglos,
14
9.3 El C, es un isótopo radioactivo del carbono cuya vida media (tiempo en que su
14
cantidad se reduce a la mitad) es, aproximadamente de 5750 años. Si calculamos cuanto C
contienen los restos de un organismo que vivió hace mucho tiempo, es posible determinar qué
porcentaje corresponde a la cantidad original cuando murió. Una vez conocida esta
información, la fórmula y Aekt nos permite fechar la edad de los restos. La datación se hace
14
después de determinar la constante k. Como la cantidad de C después de 5750 años es A/2,
tenemos que:
A ln 0,5
Ae 5750 k k
2 5750
Si sustituimos el valor de k en y Aekt obtenemos la siguiente fórmula con la que se calcula
la cantidad de 14C que queda después de t años.
,
9.4 Al estudiar el crecimiento de una población de roedores por primera vez, se encontró que
la población era de 22000. Se determinó en estudios posteriores que esta población
crece en función del tiempo (expresado en años) de acuerdo a la siguiente fórmula
N (22000)(100,0163t ) .
9.4.1 ¿Cuánto tiempo pasará para que la población se duplique?
9.4.2 ¿Cuánto tardará en triplicarse?
62
9.5 Un cultivo bacteriano crece
c uerdo a la fórrmula y 100
de acu 000 e0,6 t , sieendo t el tiem
mpo en
días. Estimar la cantidad
c de bacterias
b desspués de una
a semana.
9.6 En un cie
erto cultivo ba
acteriano, si f(t) bacterias
s se encuenttran presentees a los t minutos,
nces
enton f (t ) Be0,04 t . Si hay 2000 baacterias iniciaalmente.
9.6.1 ¿Cuá
ántas habrá después
d de u
una hora?
9.6.2 ¿Cuá
ánto tiempo pasará
p hasta
a tener 36.00
00 bacterias en
e el cultivo??
Su
ugerimos lee
er del capítulo 9: “Estudio
os de crecimiento y desarrollo”
Func
ciones trigon
nométricas
e denomina circunferen
Se ncia trigonom
métrica a un
na circunfere
encia de radiio 1 con cen
ntro en
el orig
gen de coord
denadas.
La
a rotación de
e la semirrec
cta op , con ccentro en el punto 0,0 y ángulo dde giro ̂ , corta
c a
la circcunferencia en
e un punto P x1 , y1 y determin
na un triángulo rectánguloo ox p .
1
Razones Trigonométric
T cas Funciiones definiddas en la
circun
nferencia trig
gonométrica
ateto opuestoo
ca y1
senˆ senˆ seenˆ y1
hipotenusa op
ca
ateto adyaceente x1
cos ˆ cosˆ os ˆ x1
co
hipotenusaa op
cateto opuestoo y1
tgˆ tgˆ
cate
eto adyacentte x1
63
Po
ositividad y negatividad
n d las funcio nes trigonom
de métricas
Pa
ara determin
nar el signo de
d las funcio
ones trigonom
métricas se debe
d conoceer a qué cuad
drante
perte
enecen el áng
gulo y los sig
gnos de las ccoordenadas
s del punto P x, y
I + + +
I + - -
III - - +
IV - + -
La no: f ( x ) sen
a función sen s x
Dom f : R Im f : 1,1
64
a función cosseno: f ( x ) cos x
La
Dom f : R Im f : 1,1
La ngente: f ( x ) tg x
a función tan
Dom f : R x / x k k z Im f : R
2
Amplitud, períod
do y ángulo de fase
: Modifica el período
: Desplaza la
a función con
n respecto al eje x
: Desplaza la
a función con
n respecto all eje y
65
Amplitud
A: es el promedio de la diferencia en
ntre los valorres máximo y mínimo de la función.
función A Co
onjunto Imag
gen
f ( x ) sen x 1 1,1
f ( x ) 2 sen x 2 2,2
f ( x ) sen x -1 1,1
1 1 1 1
f ( x)
2
sen x
2 2 , 2
odo
Perío
B:: nos dice ca
ada cuanto se
e repite la po
orción princip
pal de la gráffica.
2
B Período T=
B
f ( x ) sen x 1 2
f ( x) sen 22x 2
1 1
f ( x ) sen x 4
2 2
66
Angu
ulo de fase
C
: desplaza la función con respectto al eje x; si es positiv
vo, hacia laa derecha y si es
B
negattivo, hacia la
a izquierda.
La
a gráfica de la
l función co
oseno coincid
de con la grá
áfica de la función seno dde x+ /2 Es decir,
podemos conside
erar a la func
ción coseno ccomo una “ función seno
o desplazadaa”.
C
Ángulo de fase
B
f ( x ) sen x 0 0 no se de
esplaza
f ( x ) sen x hacia la derecha
4 4 4
f ( x ) sen x hacia la izquierda
4 4 4
esplazamien
De nto respecto del eje y
67
D Desplazamie
ento
f ( x ) sen x 0 0 no se desp
plaza
f ( x ) senx 1 1 1 unidad
u hacia arriba
f ( x ) senx 2 2 2 unnidades haciia abajo
Activ
vidad 10
10
0.1 Realizar un análisis similar
s erior para la función f ( x ) cos x
al ante
10
0.2 Graficar las siguiente
es funcioness para al me
enos tres ciclos. Determiinar su amplitud y
perío
odo. Ademáss, indicar en qué interva
alos la funció
ón es crecie
ente y en cuuáles decrec
ciente,
dónde la gráfica de
d la función es cóncava
a hacia abajo
o y donde cón
ncava hacia arriba.
10.2.1 f ( x) sen x
2
10.2.2 f ( x) cos x
2
10.2.3 f ( x) 3sen 4 x
1
10.2.4 f ( x) cos x
2
Su
ugerimos lee
er del capítu
ulo 10: “Estu
udio de la diabetes”,
d do
onde se vinccula las func
ciones
trabaj
ajadas en estte capítulo.
Bibliografía
a
B
Berio, A. y otrros. Matemá
ática 1 Activa
a. 1°edición. 2011. Puerto
o de Palos, A
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69
CA
APÍTUL LO 3
Lím
mites y Deriva
adas
Viviana
a Cappelllo
Noc
ción intuitiva de límite
Un
na persona se
s contagia una
u enferme
edad y entra en contacto con varias ppersonas que
e a su
vez sse contagian y estas conttagian a aqu
uellas con las
s que tuviero
on contacto. ¿Cuánta gente se
conta
agiará de la enfermedad
d? Un inicio
o apropiado para respon
nder la preggunta es rec
copilar
nte5:
datoss y al graficarlos se obtiene lo siguien
Po
odemos obsservar que a medida qu
ue transcurre
en las sema
anas, el núm
mero de contagios
aume
enta sin sobrrepasar los 700
7 casos.
En
n símbolos, decimos
d e: 0
que 70
00
Su
uponemos que
q s el mismo conjunto de
tenemos e datos anterior, pero deeseamos co
onocer
cuántta gente se contagió el miércoles d e la tercera semana. Te
enemos la innformación exacta
e
para el sábado de
d la semana
a 2, 50 caso
os, y el sába
ado de la semana 3, 2000. ¿Qué pod
demos
decir acerca del miércoles de
d la seman
na 3? Si ha
acemos la suposición dee que la tasa de
infeccción crece co
on una cierta
a regularidad
d, entonces el
e patrón de crecimiento debe obtene
erse a
partirr de la gráfica
a. De hecho, podemos d
decir que se obtiene unie
endo los punntos con una curva
suave
e, por ejemp
plo, como en el gráfico de
e siguiente.
5
Esto es una curva lo
ogística. El crecimiento no es e
exponencial porq
que habrá perso
onas en la poblaación inmunes, y otras
que estén ya enfermmas por lo que non se volverán a contagiar.
70
Co
omo el sábado de la sem
mana 2 había
a 50 contagia
ados; el sába
ado de la sem
mana 3 habíía 200
conta
agiados y el miércoles de
e la semana
a 3 está entre
e esos días, es de esperrar que el nú
úmero
de co
ontagiados esté entre 50 y 200. Es m
más, podríamos estimar que sea 150.
Func
ción dada
a a partir de
d su exprresión algebraica
x f(x
x)
x tiende a -1
por izquierda
f(x) tiende a 4
i d
-1,0
01 4,05
501
-1,0 01 4,005
5001
i
-1,00
001 4,0005
50001
… ..
x tiende a -1
ti d a 4
por derecha
-1 4
f( ) tiende
… ..
f(x)
-0,99
999 3,9995
50001
-0,9 99 3,995
5001
-0,9
99 3,95
501
71
Los valorres de la fu
unción están
n próximos a 4 para valores de x suficientem
mente
ccercanos a -1.
nte: lim
Siimbólicamen → 3 4
¿Interesa el va
alor de la fun
nción cuando
o x es igual a -1?
1 4
nción:
Sii ahora analizzamos la fun
72
nte: lim
Siimbólicamen → 6
Deffinición de
d límite
Ell límite de la
a función f(x
x) cuando x tiende al número real es igual aal número L, si al
aproxximarse x a por la izquierda y por la
a derecha, siendo x ≠ , resulta que ff(x) se aprox
xima o
inclusso es igual a L.
Escribirem
mos:
lim
→
Límiites latera
ales
73
Límitte por izquie
erda
lim
→
Pa
ara que exissta el límite de una funcción, deben existir
e los latterales y dicchos límites deben
coinccidir.
Teorrema de Unicidad
U de
d Límite
n
Sii una función ) tiene límite en
n un punto dado, el mism
mo es único.
vidad 1
Activ
La
a siguiente gráfica muesttra una funció
ón.
1.1. Determina
ar los siguien
ntes límites:
1.1.1 lim
l →
1.1.2 lim
l →
1.1.3 llim →
1.1.4.llim →
1.1.5 lim
l →
1.1.6 lim
l →
1.1.7 lim
l →
1.1.8liim →
1.1.9 lim
l →
74
1.2. En la grá
áfica de la función f dada encontrar lo
os siguientes
s límites:
1.3. Dada la fu
unción determ
minada por l a gráfica siguiente:
Ca
alcular los lím
mites de la fu
unción en loss puntos de abscisa
a 2, 4 8.
1.4. Analizar qué le suced
de a f 1 cuand
do x se acerc
ca a 2.
Para ello:
1.4.1 Consstruir una tab
bla con valo
ores de x cerrcanos a 2 (por
( derechaa y por izquierda).
¿Cuá
ánto vale 2 ?
1.4.2 Graficcar.
1.4.3 Utiliza
ar la notación de límite p
para expresar esta situación. Sacar coonclusiones.
75
x2 4
1.5. Analizar qué le sucede a f(x)= cuando x se acerca a 2.
x2
Para ello:
1.5.1 Construir una tabla con valores de x cercanos a 2 (por derecha y por izquierda).
¿Cuánto vale 2 ?
1.5.2 Graficar.
1.5.3 Utilizar la notación de límite para expresar esta situación. Sacar conclusiones.
1
1.6 Analizar qué le sucede a f(x)= cuando x se acerca a 0.
x
Para ello:
1.6.1 Construir una tabla con valores de x cercanos a 0 (por derecha y por izquierda).
¿Cuánto vale 0 ?
1.6.2 Graficar.
1.6.3 Utilizar la notación de límite para expresar esta situación. Sacar conclusiones.
3 x 2 si x 0
f ( x)
1.7.1 5 si x 0
lím f ( x) ; lím f ( x)
x 0 x 1
x 1 si x0
f ( x)
1.7.2 2 x 1 si x0
lím f ( x) ; lím f ( x)
x 0 x 1
1 si x0
f ( x) sgn( x) 0 si x0
1.7.3 1 si x0
lím f ( x)
x 0
2 x 1 si x3
f ( x)
1.7.4 10 x si x3
lím f ( x)
x3
x 2 1 si x0
f ( x)
1.7.5 x si x0
lím f ( x)
x0
76
Enunciados sobre el cálculo de límites
de algunas funciones particulares
Hallar los límites utilizando la definición formal excede las incumbencias del curso. Para
facilitar el cálculo desarrollamos los siguientes enunciados.
1. Si f es la función identidad , entonces para cualquier valor de se verifica que:
lim lim
→ →
3. El límite de una función polinómica es igual al valor numérico del polinomio para
lim
→
lim →
lim →
→
lim → lim → 0
→
Límites indeterminados
Cuando el resultado del límite no puede anticiparse al reemplazar la variable por el valor al cual
0
tiende, se generan indeterminaciones del tipo " ", " ", "0. ", " . " . El resultado de estos
0
77
límite
es no puede saberse
s de antemano:
a puede ser un número, ∞; ∞; o no exxistir. Para ca
p alcular
estoss límites se re
ealizan proced
dimientos alg
gebraicos parra “salvar la in
ndeterminacióón”.
0
n del tipo " "
Indetterminación
0
Allgunas posib
bilidades:
factorizarr numerado
or y denom
minador parra luego siimplificar y así elimin
nar la
indetermiinación.
or ejemplo: lim
Po → lim → 10
Activ
vidad 2
2.1 Calcular lo
os siguientes
s límites:
x 3 3x x 2 6x 5 x 2 3x 2
2.1.1 lím = 2.1 .2 lím = 2.1.3 lím =
x 1 x 3 x 1 2x 2 2 x 1 x 2 4x 3
3h 2 2h 3 x 12 x3 1
2.1.4 lím = 2.1 .5 lím 2.1.6 lím
m
h 0 h 3 3h x 4 2 x 3 128 1 x 2 1
x
x 2 2 4t 1 1 1
2.1.7 lím 2.1 .8 lím = 2.1.9 lím
x 2 x2 t 0 2t h 0 h 3 3 h
Límiites en el infinito
A partir de la
as siguientes
s gráficas d
de funciones
s, indicaremo
os el compoortamiento de
d las
mism
mas cuando x va tomando valores ca
ada vez más
s grandes y cuando x vaa tomando valores
cada vez más chiicos.
Si x crece
e indefinidam
mente, la función f(x) se acerca
a a0
78
Si x decrec
ce indefinida
amente, la función f(x) se acerca a 0
La rec
cta y=0 es assíntota horiz
zontal de la fu
unción
La re
ecta x=2 es asíntota verttical de la fun
nción
Si x crece
e indefinidam
mente, la función f(x) se acerca
a a1
Si x decrec
ce indefinida
amente, la función f(x) se acerca a 1
cta y=1 es assíntota horiz
La rec zontal de la fu
unción
La re
ecta x=-2 es asíntota verrtical de la función
Si x crece
e indefinidam
mente, la func
ción se acerca a 2
Si x decrece
e indefinidam
mente, la fun
nción se
e acerca a -22
Las rectas 2 2 son asíntota
as horizontale
es de la funcción
79
Si x crece
e indefinidam
mente, la func
ción se acerca a 1
Si x decrec
ce indefinidam
mente, la fun
nción se
e acerca a 1
La rectta 1 es a
asíntota horizontal de la función
La re
ecta 0 ess asíntota verrtical de la fu
unción
Activ
vidad 3
3.1 En biología
a pesquera, es una prácctica relativam
mente norma
al, estimar el número de peces
que d
desovan en la
l época rep
productiva en
n ciertos ríos
s. Esta inform
mación se uttiliza para predecir
el núm
mero de pecces reproductores o reclu
utas que reto
ornarán al año siguiente ppara desovar. Si S
es ell número de mbra y R el número de reclutas, la función de Beverton y Holt6
e peces hem
estab ) en donde y son constantes positivas. Deemostar que
blece que R(S)=S/(S+ e esta
funció
ón predice un
u reclutamie
ento más o m
menos consttante cuando
o el número de hembras
s es lo
suficientemente grande.
g
En
n el siguientte gráfico se
e observa qu
ue en la función represe
entada, a meedida que x toma
valore
es cada vez más grande
es (o más chiicos), la func
ción toma vallores mayorees.
6
La eccuación de diferrencia de Beverrton-Holt tiene a
amplias aplicacio
ones en crecimiento de la pobl ación
80
En
n otras palab
bras y en sím
mbolos matem
máticos:
crece cad
da vez más a medida que
e x aumenta
a: Esto se expresa:lim → ∞
crece cad
da vez más a medida que
e x disminuy
ye: Esto se expresa:lim →
→ ∞
Pa
ara este nuevo ejemplo:
decrece cada
c vez má
ás a medida q
que x aumen
nta: Esto se expresa:lim → ∞
decrece cada
c vez má
ás a medida q
que x dismin
nuye: Esto se m
e expresa:lim → ∞
81
En
n este ejemp
plo:
crece cad
da vez más a medida que
e x aumenta
a: Esto se expresa:lim → ∞
decrece cada
c vez má
ás a medida q
que x dismin
nuye: Esto se m
e expresa:lim → ∞
Indetterminación
n de cociente de funciiones polino
omiales
Se
e divide num
merador y de
enominador por sien
ndo n el may
yor de los eexponentes de
d las
funcio
ones polinóm
micas. Luego
o se aplican llas propiedad
des de los lím
mites.
Ejjemplos:
lim → ∞
2 1
liim
→ 4 3 4
8 5
liim 0
→ 3
Activ
vidad 4
4.1 Calcular lo
os siguientes
s límites:
x 5 3x 2
4.1.1 lím
m m5
4.1.2 lím
x 4 x 2 5 x x2
2 1 8 x
4.1.3 lím
m x 4.1.4 lím
m
x
x 1
2 x 1 4 x
82
4.2 La cantida
ad de una droga
d en la corriente sanguínea x horas desppués de inye
ectada
intram
muscularmen
nte está dad
da por la fu
unción . Al pasar
p el tiem
mpo, ¿cuál es la
cantid
dad límite de
e droga en sa
angre?
4.3 La población de una co
olonia de baccterias (en millones)
m está
á dada por: .
4.3.1 ¿Cuá
ál es la pobla
ación inicial d
de la colonia?
?
4.3.2 ¿A medida
m que trranscurre el tiempo, la población
p cre
ece indefinidaamente o tie
ende a
estab
bilizarse?
Su
ugerimos lee
er del capítu
ulo 10: “Esttudio del cre
ecimiento tumoral”, dondde se vincu
ula los
límite
es trabajadoss en este cap
pítulo.
Con
ntinuidad
d
La
as funcioness pueden se clasificadas en continua
as y discontinuas. Para qque nos hag
gamos
una idea, una función continua en todo su dominio será aquella
a que se pueeda dibujar de un
sólo ttrazo sin leva
antar el lápiz
z del papel.
Pe
ero muchas de las funcio
ones van a p
presentar dis
scontinuidade
es, o sea, vaan a ser continuas
sólo e
en algunos “trozos” de su
u dominio.
Ve
eamos las siguientes fun
nciones:
25
5
: 5 → ;
5
83
: → ; 5
6 5
25
: → ; 5
5
10 5
84
De
ecimos que una función dada por es n un punto d e abscisa x =
s continua en si
umplen las siguientes con
se cu ndiciones:
1)) La función está
e definida
a en x = , ess decir, perrtenece al do
ominio de la ffunción.
mite lim f ( x )
2)) Existe el lím
xa
Activ
vidad 5
Da
adas las sig
guientes grá
áficas de fu nciones indicar si son continuas o no, en tod
do su
domin
nio, y en el caso
c ontinuidad exxplicar por qué se produc
de disco ce.
5.1
5.2
5.3
85
5.4 Para las siguientes funciones trazar la gráfica, luego observando donde hay saltos
determinar los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua e
indicar por qué no se satisface la definición de continuidad.
x2 x 6
x3 si x3 x2 si x3
5.4.1 f ( x) 5.4.2 f ( x)
8 si x3 8 si x3
x2 4 x2 x 2
x2 si x2 x2 si x 2
5.4.3 f ( x) 5.4.4 f ( x)
4 si x2 3 si x 2
1
x 1 si x 1
5.4.5 f ( x )
3 si x 1
Tipos de discontinuidades
86
Actividad 6
6.1 Demostrar que la función es discontinua en el punto x= . Luego determinar si la
discontinuidad es evitable o esencial.
x2 4
6.1.1 f ( x ) ; a2
x2
x2 x 6
x3 si x3
6.1.2 f ( x) 3
8 si x3
El número e
Una sucesión es toda función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales 7
n
1
En especial la sucesión u n 1 permite definir al número irracional e,
n
n
1
que se obtiene como el resultado del límite cuando n tiende a infinito: e lim1
n
n
Para tener una idea del comportamiento, cuando n crece, calcularemos valores
aproximados de para valores cada vez más grandes de n.
1 1
n
1 u n 1
n
n
10 1 1,110 = 2,59374
1
10
100 1 1,01100 = 2,70481
1
100
1000 1 1,0011000 = 2,71692
1
1000
10000 1 1,000110000= 2,71814
1
10000
100000 1 1,00001100000= 2,71826
1
100000
1000000 1 1,0000011000000= 2,71828
1
1000000
7
Esta definición completa el concepto visto en el capítulo 1
87
La p
pendientte de una
a curva
To
omemos un punto
p P sobrre una curva
a. Queremos definir:
pendientte de la curva
a en ese pun
nto y recta ta
angente a la
a curva en esse punto.
La
as siguientess curvas mue
estran la rectta tangente en
e un punto de
d la curva:
¿Q
Qué observa
amos en cada
a una de las figuras?
Pa
ara definir la pendiente de
d la curva en onsiderar lo que sucede en un
n el punto P,, debemos co
punto
o Q que está
á cerca de P.
P Miremos la
a siguiente gráfica:
g Tome
emos un punnto Q1, distin
nto de
P, de
e la curva . Los dos
d puntos d
determinan una recta con
n pendiente qque depende
e de P
y Q1. Si el punto Q2 se aproxima al punto
o P sobre la curva, enton
nces cuando Q2 llega cerrca de
P, la pendiente de
e la recta qu
ue pasa por P y Q2 ahora
a debe aprox
ximarse a la pendiente, que
q no
conoccemos, de la
a recta tange
ente, que tam
mpoco conoc
cemos, a la curva
c en P.
Recta
R tangennte
8
El nú
úmero e, de manera
m omo el límite de la sucesión 1
formal lo definimos co 1/ ,cuanddo n tiende a infinito,
conccepto trabajado en el capítulo 2.
2
88
Pa
ara ello busscamos un punto
p “próxiimo” a P, por
p ejemplo 2,1 → 2,1 2,1
4, 41. Es decir, la
a curva pasa por el punto
o 2,1; 4,41 .
,
La
a pendiente entre
e estos puntos
p será: 4,1
,
La e un punto próximo a (2
a abscisa de omo 2
2,4) puede escribirse co , donde es un
núme
ero pequeño
o (positivo o negativo
o), pero distinto de cero.
c Enton ces: 2
2 4 4 .
2
Ess decir, el punto (2+ ; 4+4 + ) se encue l curva. Si es positivo, la
entra sobre la
recta que une eso
os puntos se
erá:
Sii es nega
ativo, entonce
es 2 ess menor que 2, la recta que
q une esoss puntos ten
ndrá el
siguie
ente aspecto
o:
La
a pendiente de puntos 2; 4
d la recta que une los p 2 ; 4 4 será:
89
4 4 4 4
4
2 2
Cu
uando el pun scisa es 2 se acerca al punto (2;4
nto cuya abs 4), el númeroo tiende a cero.
ndo se ap
Cuan proxima a ce
ero, la pendie
ente de la re
ecta se aprox
xima a 2, quue es la pendiente
de la curva en el punto (2;4) por
p definición
n.
Bu
usquemos ah
hora la pend
diente de la m
misma curva en otro puntto, por ejempplo (-3;9).
To
omamos un punto
p cercan
no 3 ; 9 6
La
a pendiente será:
s = 6
uando se
Cu e aproxima a 0, la pendie nte de la currva en ese punto se aprooxima a -6
¿H
Hay una sola
a recta tange
ente a una cu
urva?
Activ
vidad 7
7.1 Hallar las pendientes
p de
d las siguien
ntes curvas en
e los puntos indicados.
7.1.1 en el punto (-2;4)
7.1.2 3 1 en el punto
p (1;2)
7.1.3 en el punto
o (1;1)
La d
derivada
a
Siiguiendo con
n el ejemplo
o de , tom
mamos un punto
p cualquuiera de la curva,
; → ; . Tomamo
os un punto ccercano de abscisa
a x+ para peequeño (distin
nto de
cero)). La ordenad
da de ese pu
unto será:
90
2
La
a pendiente de
d la recta se
erá: 2 +
uando tie
Cu ende a cero, 2x+ se ap
proxima a 2x.
En
n particular cu
uando x=1, la do x sea 3 la pendiente seerá 6. Y así, a partir
a pendiente sserá 2. Cuand
de la expresión en
ncontrada pod
demos decir cuánto será la
l pendiente para cualquieer valor de x.
En
n forma gene
eral para cua
alquier funció
ón f(x), forma
amos el cocie
ente:
, llam
mado cociente de Newto n
Un
na función f es derivable
e cuando lo e
es en todos los puntos en
n que está ddefinida. Sigu
uiendo
a función f(x)=x2, su deriv
con la vada es 2x.
Ottra forma de expresar la función derivvada: ´
Interrpretación
n geométrrica de la d
derivada
En
n la figura hemos trazado una curva y u q pasa por los puntos P y C.
una secante a la misma que
91
PC”, etc., se apro
oximan a una
a posición lím
mite que es la que definimos como re
recta tangentte a la
curva
a en P.
En
n el siguiente gráfico, co
on el triángullo PQC, pod
demos determ
minar la penndiente de la
a recta
que u
une P y C.
QC y
Q
tg
PQ x
P
y
po
or lo tanto, la
a derivada en
n el punto P e
es: f ' a lim
l m tg ;
lim
x0 x x0
pe
ero cuando x 0 , C recorre la ccurva acercáándose a P de
d modo qu e las secanttes se
aproxximan a la re e y si es la
ecta tangente ma entonces .
a inclinación de ésta últim
Ess decir:
y
f ' a lim lim tg lim tg tg ;
x0 x C P
lue
ego, la derivvada en un punto
p se interrpreta geométricamente como la penndiente de la
a recta
tange
ente en el pu
unto considerrado.
Activ
vidad 8
8.1 Calcular la
a derivada de
e 3 1
8.2
2 Hallar la de
erivada de 3 3
3. Expresar la
a recta tange
ente que pasaa por el punto
o (1;6)
8.3 ¿Cuál será
á la derivada ón f(x)=| |?
a de la funció
Análisis físico
o de la derrivada
92
otro , la variable lo hace de a . La razón de cambio promedio de con
respecto a en el intervalo , es:
Con frecuencia nos interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más
pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual de con
respecto a en el punto de abscisa ” como:
lim →
El ejemplo más conocido, es el de un móvil que se mueve a lo largo de una recta sobre la
cual hemos elegido un origen. Sea la posición del móvil en el tiempo t, la razón de cambio
promedio tiene en este caso una interpretación física natural:
lim
→
Veamos un ejemplo: ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito
cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?
Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V(t) el volumen de agua,
medido en litros (dcm3), que hay en el cilindro en el tiempo t, medido en minutos. La información
que nos dan es una tasa de variación
` 3000
93
Observamos que ` . El signo negativo de la derivada es obligado ya
que el volumen disminuye con el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua
depende del tiempo, tenemos:
= r2 h(t)
y deducimos:
` 3000 = r2 h(t)
Por lo tanto:
1 = 1 → 1 =
Reglas de derivación
Sea , donde ;
´ 0
´ con
´ . ´ ’ . . ’
94
“La derivada del producto de funciones es la derivada de la primera función por la
segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la derivada de la segunda”
. ´ ´. ´ 0 . ´ ´
“La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de
la función.”
´. . ´
´
“La derivada del cociente de funciones es la derivada de la primera por la segunda sin
derivar, menos la primera sin derivar por la derivada de la segunda; todo sobre la segunda
elevada al cuadrado”
Derivada de la función logarítmica
1
log ; ´
´
´
1
´
Actividad 9
9.1 Derivar las siguientes funciones:
9.1.1 y 3x 3 5 x 2 x 5
9.1.2 y
2 x
1 4 5 4
9.1.3 y x 9.1.4 y
3
x2 x x4 3
y 3 x x 3 e x sen x
9.1.5 9.1.6 y 5 ln x
2
9.1.7 y x4 ex 9.1.8 y x ln x
95
x x2 9..1.10 os x sen x
y co
9.1.9 y
x3 1
Derivada de
e la función compuesta
c
Un
na función compuesta
c s aquella en donde la va
es ariable indep
pendiente no es x, sino que
q es
otra ffunción.
Expresamo
os en genera
al:
9.2.1
y ssen x 3 9.2.2
y sen2 x 9.2.3
9
y coosln x
9.2.4
t senx
y tg 9.2.5 y lnx 9.2.6
9 y lnn x 1
2
4 2
x2
x 9.2.8 y x 2 e 2 x e 2 x
9.2.7 y 3
9.2.9
9 ye 2
ln x
1 x
Tabla
a de deriv
vadas
Funciiones eleme
entales Funcio
ones compu
uestas
´ ´ ´ . ´
96
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Webgrafía
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http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/experiencias/experiencias_AN_0506/derivadas/aplicacion
es_derivada.doc
http://docplayer.es/14787959-Capitulo-3-aplicaciones-de-la-derivada-licda-elsie-hernandez-
saborio-instituto-tecnologico-de-costa-rica-escuela-de-matematica.html
97
CA
APÍTUL LO 4
Ap
plicacio
ones de
e la De
erivada
a
Viviana
a Cappelllo
Cre
ecimiento
o y decre
ecimiento
o de una
a función
n
Lo
os términos creciente y decreciente permiten de
escribir el co
omportamientto de una fu
unción
cuand
do se la analiza de izquie
erda a dereccha a lo largo
o de su gráfic
ca.
Una función
n f es creciente en un intervalo si para dos valores
v cualqquiera x1 y x2 del
domin
nio, se verificca que: si entoncces
Una función s para dos valores cuallquiera x1 y x2 del
n f es decreciente en u n intervalo si
domin
nio, se verificca que: si entoncces
f crece
e en (-∞;-1,21
1) y (½; +∞)
f de
ecrece en (-1
1,21;½)
Observamos la imagen de
e la función p
para saber si
s crece o de
ecrece, pero anotamos valores
ominio.
del do
98
Relac
ción del cre e la función con la deriv
ecimiento de vada
Sa
abemos que
e ´ nos da la pend iente de la recta tange
ente a la grá
ráfica en el punto
; . Sabíam
mos de recta
as, que si la pendiente es
e positiva, la
l función ess creciente y si la
pendiente es neg
gativa la func
ción es decre
eciente. Entonces una de
erivada positiiva para todo
o x del
intervvalo analizad
do implica qu
ue la pendien
nte de la rectta tangente en
e cada puntto de ese intervalo
es po
ositiva; y una
a derivada ne
egativa, que la pendiente
e es negativa
a.
Po
odemos decir que si la derivada
d de u
una función es
e positiva entonces
e la fuunción crece
e, si la
deriva
ada es nega
ativa, la función decrece. Un poco má
ás formal dec
cimos:
Sii una función f es deriv
vable en un punto de abscisa
a , y ’ 0 entonces
s f es
crecie
ente en el pu
unto.
decrece (-∞
∞,0) crece (0,+∞
∞)
f´(x) negativa f´(x) positivva
Se
ea f una funcción definida en un intervvalo ; y c un punto en
n ;
L
La función f(xx) tiene un máximo
m relattivo en si para todoo x de un inte
ervalo
abiert
rto (por pequeño que sea
a) que contie ne a
99
La función f(x) tiene un mínimo rrelativo en si paara todo x de
d un
intervvalo abierto (por
( o que sea) q ue contiene a
pequeño
Con
ndición necesaria
n a de extre
emo. Critterio de la derivad
da prime
era
Crite
erio práctico
o
H
Hay extremo
o relativo en
n el punto ssi la derivad
da de la función en esse punto es
s cero
(cond aria ‘
dición necesa 0) y en dich
ho punto cam
mbia el crecimiento. Estoo se conoce como
criterrio de la derrivada prime
era.
100
Con
ndición suficiente
s e de extre
emo. Critterio de la
l derivad
da segun
nda
Se
ea f una funcción derivable en y f ‘( )=0:
Si ’’ 0 entonce
es f tiene un m
mínimo rela
ativo en el punto de absciisa .
Si ‘’ 0 entonce
es f tiene un m
máximo rela
ativo en el pu
unto de absccisa .
Essto nos da también un método
m para
a resolver los
s problemas de máximoos y mínimos
s para
funcio
ones derivab
bles.
n la siguiente tabla mo
En ostramos loss signos de la derivada que nos peermite conc
cluir el
comp
portamiento de
d la función
n:
f´(x)) + 0 -
f´´(x) - - -
f(x) dec
crece MINIMO crece
f´(x)) - 0 +
f´´(x) + + +
Lo
os extremoss locales se pueden enccontrar tamb
bién en los puntos en loos que la fu
unción
no ess derivable.
Se
e llaman pu
untos crítico
os a aquello
os puntos en
n los que la
a derivada ees cero o no
o está
definiida. En símb mos: ´
bolos escribim 0ó ´ ∄
Assí encontram
mos (las absc
cisas de) los puntos crític
cos.
, 2 1
Ve emplo. La función:
eamos un eje su dominnio es (-2,3)
3 , 1 3
¿T mos locales? En caso afi rmativo ¿en qué puntos se alcanzann? ¿Qué pas
Tiene extrem sa con
la derrivada?
101
Con
ncavidad
d y conve
exidad. P
Puntos de
d inflexión
Un
na función es
e convexa en
e , si existe un inttervalo que contiene
c al ppunto , tal que
q la
difere a ordenada de la funció n y la orden
encia entre la nada de la ta
angente a la gráfica de f en el
o( ,
punto ess positiva en dicho interva
alo.
An
nálogamente
e se dice que
e es cóncava
a cuando dic
cha diferencia es negativva.
102
Se dice que f tiene un punto de inflexión en si existe un entorno de en donde la
diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en tiene distinto signo a la izquierda que
a la derecha.
Por lo tanto, f tiene un punto de inflexión en si en dicho punto la tangente atraviesa la gráfica.
En la gráfica aparece la función y la tangente en el punto 0. Se aprecia que en
dicho punto la gráfica posee una inflexión. Es cóncava de (0,+∞) y es convexa de (-∞, 0)
Si la función es derivable en y ’’ 0 se verifica que f es convexa en .
Análogamente si f es derivable en y ’’ 0 se verifica que f es cóncava en .
Criterio práctico
Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se iguala a cero y se
resuelve la ecuación. Se analiza el signo de la segunda derivada a derecha e izquierda de cada
solución. Si cambia el signo hay punto de inflexión, es decir cambió la curvatura.
A modo de síntesis:
f ´´ (x) + 0 -
I) Estudio de f
1. Determinamos el dominio de f.
2. Hallamos los puntos de corte con los ejes.
3. Analizamos los signos de la función (regiones en las que varía el signo). Buscamos los
intervalos donde la función queda por encima o por debajo del eje x
4. Analizamos la simetría.
Si , función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.
Si , función impar, simétrica respecto del origen.
5. Hallamos las asíntotas
Verticales
Si existe tal que lim → ∞, es la ecuación de una asíntota vertical.
Horizontales
103
Si existe tal que lim → , es la ecuación de una asíntota horizontal.
Oblicuas
II) Estudio de f ’
1. Determinamos el crecimiento y decrecimiento.
Si ’ 0 , f es creciente.
Si ’ 0, f es decreciente.
2. Hallamos los máximos y mínimos relativos.
III) Estudio de f ’’
1. Evaluamos la concavidad y convexidad, ’’ 0 convexa ∪, ’’ 0 cóncava ∩
2. S i ’’ 0
0 y en dicho punto cambia la curvatura es un punto de inflexión.
I) Estudio de f
1. Dom
2. Puntos de corte: (0,0)
3. Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0.
4. Simetrías, , luego es simétrica respecto del origen.
5. Asíntotas:
No hay verticales porque el dominio es el conjunto de todos los números
Horizontales y 0
No hay oblicua
II) Estudio de f´
.
´ , ´ 0 → 1 0, 1
x -∞ -1 1 ∞
f´(x) - 0 0 -
´´ 0
0 √3
104
x -∞ -√3 0 +√3 ∞
f ´´ - 0 + 0 - 0
f infflexión inflexió
ón inflexión
La
a gráfica que
e obtenemos aproximada
amente, con estos
e datos ees:
Activ
vidad 1
1.1 Realizar el
e análisis co
ompleto de la
as siguientes
s funciones y representarr gráficamente.
1.1.1 f (x) x 3 x
3 2
1.1.2 f (x) x 2 x
4 2
1.1.3 f (x) x 12 x 5
2
1.1.4
1.1.5 f (x) ( 2 x )
3
5 2 3
1.1.6
3 10
1 3
2 9 2
1.1.7
1 2
1.1.8 √
1.2 El volume
en del agua a una temp
peratura t, co
omparado co
on su volum
men inicial V0
0 a 0º
viene a fórmula de Hällströn
e dado por la 1 0,0000576 0,0000076
0 0,0000000
04 )
e el volumen
Determinarr la temperattura que hace n mínimo
1.3 El número
o de bacteria
as de un culttivo varía con
n el tiempo, expresado een minutos, según
s
la ecu
uación 5
500 50 para t ∈ 0,35]
1.3.1 ¿Cuál ess la velocidad ento de la po
d de crecimie oblación en el
e instante t=
=7 min?
1.3.2 ¿Cuál ess la velocidad
d de crecimie
ento de la po
oblación en el
e instante t=
=25 min?
1.3.3 ¿Cuál ess la velocidad
d de crecimie
ento de la po
oblación en el
e instante t=
=30 min?
105
1.4 Para alcanzar una pelota que se encuen
ntra a 12 mettros de altura
a, un delfín saale del agua y se
dirige
e verticalmentte hacia arriba con una ve
elocidad de 16
6 m/s. La pos
sición del delffín h (t) (en metros)
m
sobre
e la superficie
e del agua después de t se
egundos está
á por dada h (t)
( = 16 t – 4.99t².
1.4.1 ¿Cuá
ál es la velocidad y la ace
eleración del delfín a los t segundos??
Activ
vidad 2
2.1 Probar que el productto de dos nú
úmeros de su
uma constan
nte es máxim
mo cuando ambos
a
son ig
guales.
2.2 Un terreno rectangular se va a ccercar por 3 lados y un
n río servirá de límite para el
cuartto lado. Calcular las dimensiones d
de la secció
ón más gran
nde que se ppueda cerca
ar con
240 m de alambrre.
2.3 La función
n (defin ida para t >0
0) expresa la
a concentracción en sang
gre de
una d
droga t horass después de
e haber inye
ectado una determinada dosis.
d Analizzar las variac
ciones
de diccha concentración con el
e paso del tie
empo, indica
ando los interrvalos de tiem
mpo en los cuales
c
la con
ncentración aumenta
a y aquellos
a en lo
os cuales dis
sminuye.
2.4 Un antrop
pólogo ha ca
alculado que el costo tottal de repartir x racioness para alimentar a
una p
población esttá dada por la
l expresión:: 2
2.4.1 Si la
a unidad de
e reparto pue
ede transporrtar como máximo
m 300 rraciones, ha
allar el
núme
ero de unidad
des que hará
á mínimo el ccosto del transporte.
2.4.2 ¿Qué
é ocurriría si la unidad pu
udiera transp
portar hasta 400 racioness?
Su
ugerimos lee
er del capítulo 9: “Velocid
dad de crecim
miento del se
eno frontal”, donde se mu
uestra
la derrivada de una función.
106
Dife
erenciale
es
Su
upongamos que la func
ción tie
ene derivada
a ´ . Vam
mos a definiir diferencia
al x y
difere
encial y, que
e simbolizare
emos y respectivamente de la
a siguiente m
manera:
’
ess decir, el va
alor de coincide
c nto de y el
con el incremen e valor de depende de la
deriva
ada de la fun
nción en ento x.
y del increme
Gráficamente resulta:
Ell diferencial de
d y (dy) pue or, igual o menor que y.
ede ser mayo
De
e la definició
ón de diferencial tenemoss que: ’
dy
Essta igualdad expresa a la
a derivada co
omo cociente erenciales. f ' x
e de dos dife
dx
107
Cálculo de errores mediante diferenciales
1
y x dy dx
2 x
y x x x
y dy , de donde:
1
x x x dx
2 x
1
x x dx x
2 x
Aproximaremos 10 usando diferenciales.
Elegimos como valor de x un cuadrado perfecto: 9 y como dx = 1.
Por lo tanto:
1
10 32 1
2
1 32
2 3
1
10 3
6
10 3,16
Bibliografía
108
Lang, S. (1987). Calculus of several variables. New York: Springer.
Larson R., Hostetler R. y Edwards B. (2006) Cálculo I. Octava edición México, McGraw- Hill.
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Ciencias Naturales y Museo.
Rey Pastor, J., Trejo, C. and Pi Calleja, P. (1952). Análisis Matemático. Buenos Aires:
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Webgrafía
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ciones_derivada.doc
http://docplayer.es/14787959-Capitulo-3-aplicaciones-de-la-derivada-licda-elsie-hernandez-
saborio-instituto-tecnologico-de-costa-rica-escuela-de-matematica.html
109
CAPÍTULO 5
Integrales
Anyelen Di Paolantonio y Guillermo Lamenza
Integración de funciones
f ( x) 3x 2 .
En general, a una función F ( x ) se la denomina primitiva o antiderivada de la función f ( x ) ,
si y sólo si al derivar F ( x ) se obtiene f ( x ) en un intervalo real I.
En símbolos, F ( x ) es una primitiva de f ( x ) F´( x ) f ( x ), x I
Sin embargo, f ( x ) no tiene una única primitiva, sino que todas las funciones de la forma
F ( x) C , es decir, que difieren en una constante C real, son primitivas de f ( x ) dado que la
derivada de una constante es cero.
110
La operación de hallar todas las primitivas de una función f ( x ) se llama integración
k f ( x )dx k f ( x)dx
La integral de una constante multiplicada por una función es igual a la constante
multiplicada por la integral de la función.
f ( x ) g ( x ) dx f ( x )dx g ( x)dx
La integral de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de las
integrales de cada función.
k dx kx C
x n 1
x dx n 1 C n 1
n
1
x dx ln x C
ax
a dx ln a C
x
cos x dx sen x C
sen x dx cos x C
Actividad 1
Hallar las primitivas
3 4
2 2 4 dt = 1.9 by ( y a ) dy
2
1.7 1.8
t t
x2 1 1
1.10 2 1.11 dx 1.12 ( sen u cos u ) du
x 2
111
Métodos de integración
Generalmente sucede que las funciones a integrar no tienen una familia de primitivas
que se pueden hallar directamente. Para ello, existen métodos que nos permiten encontrar
dichas primitivas.
En algunos casos nos podemos encontrar con integrandos que son el producto de una
función y su derivada o parte de ella.
Consideremos la función f ( x ) x 3 1 3x 2 .
Si llamamos u u ( x ) x 1 , su derivada es du u´( x )dx 3 x dx . El método de
3 2
x 3
1 2
f ( x )dx
3
C
2
Otro ejemplo:
x 2 1
Resolver 2x e dx
Para resolver esta integral podemos usar el método de sustitución porque en ella
x 2 1 x2 1
2x e dx eu du eu C e C
112
Actividad 2
Calcular aplicando el método de sustitución:
Este método nos es útil cuando reconocemos en el integrando el producto entre una función
y el diferencial de otra. Se deduce de la derivada por regla de un producto de funciones.
u( x )
f ´( x )dx v ( x )´dx u( x )´v ( x ) u( x ) v ( x )´dx u( x )´v ( x )dx u( x ) v ( x )´dx
la integral de una
derivada es la
misma función
u ( x )v ( x )
113
f ´( x )dx 1 e
x
x e x dxx 1 e xdx
d
x e dx
x
lla integral de la integrral que
laa derivada es quereemos
la función resollver
f ( x ) x e x xx
x e dx
En
ntonces:
x e dx x e e dx
x x x
x e dx x e e e x 1 C
x x x x
Activ
vidad 3
Ca
alcular utiliza
ando el méto
odo de integrración por pa
artes
x
3..4 x cos x dx 3.5 x e x dx 3 ln ddx
3.6
2
Prreviamente habíamos
h de
efinido a la in
ntegración co
omo la opera
ación inversaa a la derivación y
calcu
ulamos integrales indefin
nidas halland
do su familia
a de primitiv
vas. Ahora ddesarrollarem
mos el
conce
epto de integ
gral como cá
álculo de área
as.
Exxiste una cantidad muy importante d
de funciones
s para las cuales tiene innterés particu
ular el
cálcu
ulo del área bajo
b su gráfic
ca, algunos e
ejemplos son
n:
Las gana
ancias de una
a compañía de electricidad durante el
e primer sem
mestre del añ
ño, se
repre
esenta en la siguiente
s grá
áfica:
114
Sii queremos conocer
c las ganancias
g accumuladas al
a finalizar el mes de maarzo, sólo ten
nemos
que ccalcular el árrea bajo la cu
urva de gana
ancias para lo
os tres prime
eros meses:
5 + 4,5 + 4 = 13,5 millon
nes de pesos
s.
.Q
Queremos ca
alcular el con
nsumo de en
nergía entre las 0 horas y las 4,5 horras de la ma
añana.
La e
energía, en kWh, es el
e área bajo
o la curva de potencia y, para nuestro cas
so es
aproxximadamente
e:
(12,1 kW).((4,5 horas) = 54,45 kWh
erminamos de
Te d ver dos ejemplos
e e área bajo la curva dee una determ
en los cuales el minada
funció
ón tiene, en cada caso, un
u significado
o especial:
El área bajo la curva de ganancia
as nos da el monto
m de las
s ganancias aacumuladas
El área bajo la curva de potencia,, nos proporc
ciona la enerrgía consumiida.
De
e los ejemp
plos anteriorres podemo
os entender que el cálc
culo de áreaa bajo una curva
pued e resultar de
d mucha utilidad.
u Esto
o nos lleva a averigua
ar cómo pueede calcularrse el
área.. Para ello, conociendo
c la ecuación de una curv
va y = f (x), veremos cóómo hallar el área
entre
e dicha curva, el eje de las x y do
os rectas qu
ue pasan po
or los puntoss cuyas abs
scisas
son x = a y x = b.
115
Un
na primera aproximació
a n es calcula
ar el área me
ediante un rectángulo
r ccon base en el eje
x y altura equiivalente al mínimo va
alor que toma la func
ción en toddo el ancho del
corre
espondiente rectángulo.
Queremos callcular el área
a encerrada por la curva
a de la funció
ón f(x), el ejee de las x y las
rectas de ecuació
ón x = a y x = b.
En
n este caso calcularemo e será el seggmento ab y cuya
os el área d el rectángulo cuya base
altura
a será el va
alor f(xm) sie
endo xm la a a la cual la función f(x)) asume su valor
abscisa para
mínim
mo en el inttervalo cons
siderado; de
e manera qu
ue tal área será menorr que el área
a que
prete
endemos calcular.
A esta área la
a llamaremos Am. Ésta sserá el producto de f (xm) por (b – aa). Es decir
. a)
116
De
e manera análoga toma ectángulo de base ab y
aremos el re , sienndo xM la ab
bscisa
dond e la función
n toma su va
alor máximo
o; en tal caso alculada supperará el valor del
o el área ca
área bajo la curvva.
Sii consideram
mos una divis
sión del inte
ervalo dado [a,b]
[ en subintervalos y calculamos áreas
ectángulos qu
de re ue se ajusten a la curva,, obtendremo
os una mejo
or aproximacción al área exacta
e
que d
define la funcción f(x).
Pa
ara esto deb
bemos definirr que es una
a partición de
d un intervalo [a,b] tom
mando n+1 valores
xi, pe
ertenecientess a dicho inte
ervalo, tales q
que:
a x0 x1 x2 ......... xi 1 xi .....xn b
a la cual llam
maremos pa
artición de o
orden n, de
enotando co
omo Pn al cconjunto de estos
subin
ntervalos definidos por do
os valores su
ucesivos xi.
Pn x0 , x1 , x1 , x 2 ,..........xi 1 , xi ,......x n 1 , x n
amaremos longitud
Lla l del intervalo [a
a,b] al núme
ero: b – a , y entoncees la longitu
ud del
subin
ntervalo i – éssimo será el número:
xi xi xi1
Se
e define norm
ma de la partición al ma
ayor número
o de los
xi , es decir la nnorma N es:
N = máximo
i
x
De
e manera qu
ue nos proporciona la lon
ngitud del ma
ayor subintervalo.
Ta
ambién debe
emos definir el aumento de una parttición en un intervalo [aa,b].
Da
ada una partición Pn lla
amaremos a
aumento de dicha partic
ción al conj unto de núm
meros
t1 , t2 ,,......., ti ,.....,, tn pertenecientes cada uno a un subintervalo
o distinto dee la partición. En
símbo
olos:
117
Vo
olviendo al cálculo
c del área bajo la
a curva y ha
aciendo ahora una partiición Pn del [a,b],
definiiendo en ella
a un aumento
o Tn y toman
ndo como áre
ea la suma de las áreas dde los rectán
ngulos
entales: Ai f t i x i
eleme
7
En
n la figura el área aproxim
mada está d ada por la su
uma mo Ai f t i x i ,
Aaprox Ai com
i 1
7
enton
nces Aaprox f t i xi
i1
Sum
ma de Riemann
Se
ea una funció
ón f(x) definiida en el inte
ervalo cerrad
do [a,b], Pn una partición de ese interrvalo y
Tn un aumento co
orrespondien
nte a esa parrtición. Se to
oma el produ
ucto entre laa longitud xxi y el
valor de la función f(x): f t i xi
Lla
amaremos suma
s de Rie
emann a la ssuma de todo
os estos prod
ductos:
Sn = f t1 x1 + f t 2 x 2 +........ .......+ f t i xi +.........+
+ f t n x nn que en forma
n
abrevviada escribiremos:Sn = f t
i 1
i xi
El valor que to
oma la suma dependerá d
de la función f(x)
f considera
ada, de los va
valores de a y b, de
la parrtición especíífica Pn que se haya elegid
do, y también
n de los valore
es tomadoss para el aum
mento.
118
Integral Definida
Si una función es continua sobre a , b entonces se puede demostrar que es integrable sobre
f x dx
b
y para expresarlo usaremos el símbolo de Leibnitz: I
a
n
f x dx lim f t i xi
b
se podrá escribir: a N 0
i 1
Se puede demostrar, que una vez aplicado el límite sobre la suma de Riemann, el valor
resultante, es decir la integral, ya no depende de la partición ni del aumento particularmente
tomado, sino sólo de la función f(x) y de los extremos y b. Se hace notar especialmente que
el cálculo de una integral definida es un número, el que resulte del límite propuesto sobre la
suma de Riemann.
Si volvemos sobre el cálculo del área bajo la curva planteado anteriormente, en donde
7
obtuvimos como resultado: Aaprox f ti xi , intuitivamente nos damos cuenta que el área
i 1
aproximada Aaprox se ajustará cada vez más al área A bajo la curva a medida que mayor sea el
119
número de intervalos de la partición. También es intuitivo que, en el límite, cuando el número
de los rectángulos elementales tiende a , la suma dará exactamente el área A.
n
A lim f ti xi f x dx
b
n a
i 1
por la gráfica de f(x), el eje x y las rectas verticales y viene dada por:
b
Área= f x dx
a
f x dx 0
a
Intervalo de integración de longitud nula: a
f x dx f x dx
c a
Intercambio de los extremos de integración:
a c
f x dx g x dx f x g x
b b b
a a a
dx
Propiedad de homogeneidad:
f x dx K f x dx
b b
a
K
a
120
por la definición anterior la función integral A(x) es otra primitiva de f(x) o sea:
A' x f x (II)
y sabemos que dos funciones que tienen igual derivada difieren de una constante. Por lo
tanto de las ecuaciones (I) y (II) podemos plantear:
x
(III) A x f x dx F ( x) C
a
f x dx F x F a
x
a
c
y haciendo x = b, resulta
Regla de Barrow
Recordemos que F(x) es una primitiva de f(x).
La expresión (V) vincula el concepto de integral definida y el de antiderivada, que como
sabemos, se calcula mediante integración indefinida. El uso de esta regla simplifica
notablemente el cálculo de las integrales definidas.
Resulta cómodo usar la notación:
F b F a F x ba
con ello la regla de Barrow puede escribirse:
f x dx F x ba
b
a
2
Por ejemplo, para hallar
1
x 2 dx
2
2 x3 8 1
1 x dx 3 3 3 3
2
1
Actividad 4
Hallar las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow:
121
1
8 3
4.1 x 3 ddx 4.2 t t 2 1dt
d
0 0
1
0 ddx 4.4 x e x dx
4.3 0
2 x 3
4.5 e x e x dx
1 e
4.6 2 x ln x dx
d
0 1
Cálc
culo de áreas
á po
or integra
ación definida
La
as áreas, sie
endo número
os que repre
esentan una medida de superficie, ees decir el nú
úmero
de ve
eces que cab
be la unidad de superficie n ser negativas.
e, no pueden
La
as integraless definidas en
n cambio, sí pueden dar como resultado un númeero negativo
o. Esto
ocurrre precisame
ente toda ve unción asum
ez que la fu me valores negativos enn la totalida
ad del
intervvalo de integración.
x3
4 4
2 3 3x2 7 x
4
2
2 2
( x 3) 2 d
dx x 6 x 7 dx
2
64 8 4 14 10
48 28 12 14
3 3 3 3 3
122
no puede ser negativa; en consecuencia, debe tomarse el valor absoluto del resultado de la
integral cuando lo que se está calculando es un área. El valor negativo de la integral en estos
casos lo único que indica es que la curva está por debajo del eje x.
10 10
En estos casos, tomamos el valor absoluto del resultado: . Este será el valor del
3 3
área que encierran las curvas dadas.
La dificultad se presenta cuando a lo largo del intervalo de integración la función cambia de
signo de modo que parte de la curva queda debajo del eje y parte encima de él. Si no se
tiene la precaución de graficar la curva y con ello evidenciar este hecho, se cometerá el error
de suponer que la integral está dando el área entre la curva y el eje x, cuando en realidad el
resultado de la integral estará dando la diferencia entre las áreas que están por encima del eje
y las que están debajo.
En el ejemplo, ocurriría esto si integramos entre 0 y 6. Para evitar este inconveniente
debemos dividir el intervalo de integración en tantos subintervalos dentro de los cuales la
función tenga un mismo signo; integrar entonces separadamente sobre cada intervalo y sumar
luego los valores absolutos de cada resultado.
Por ejemplo, calcularemos el área limitada por y x 2 x , el eje x y las rectas x=0 y x=3
2
x 2 2 x 0 x x 2 0 resulta x1 0 y x2 2
2) Calculamos la integral definida en 0,2
2
x3 8 4
A1 x 2 x dx x 2 4
2
2
0 3 0 3 3
4 4
3 3
Tomamos el valor absoluto del resultado obtenido:
123
Ca ola y = x2
errada entre la recta y = x y la parábo
alcularemos el área ence
Ell área deberrá obtenerse
e como dife rencia entre
e el área bajo la recta y el área ba
ajo la
paráb
bola, entre lo
os límites que
e marcan lass interseccion as gráficas, ees decir: x2 = x
nes de amba
x2 – x =0 que tiene
t como ra
aíces 0 y 1
1 1
x2 x3 1 1 1
0
1
x 2
x dx
x
2 0 3 0 2 3 6
124
Activ
vidad 5
Ha
allar el área limitada por:
5.1 y x 5 x
2
y el eje x
5.2 6 y el eje x
5.3 y x x 2 y 0, x 1 y x 3
2
5.5 y ssenx y 0, x 0, x 2
5.6 y x x e y x
2
5.7 6 e 6 10
Inte
egración numéric
ca
En
n general sucede que no
o se puede h
hallar el valo
or exacto de una integral,, ya sea porq
que el
caso de aplicació
ón no lo requ
uiere o más ccomúnmente
e porque las funciones a integrar no tienen
t
primittiva fácilmen
nte calculable
e. Dado que
e la integral de
d una función puede o btenerse hallando
el lím
mite de una sucesión,
s pa
ara aproxima
ar dicho resu
ultado se em
mplea el mis mo procedim
miento
tomando un término de la suc
cesión suficie
entemente av
vanzado.
Pa
artimos el in
ntervalo [a,b] en n sub-in ual de longittud x y tom
ntervalos igu mamos el valor de
la fun
nción en el extremo
e izquierdo de ca
ada intervalo, de manerra que la inttegral tiene como
valorr aproximado
o:
125
ba
x
n
1
Po
or ejemplo, calculando
c la
a integral: 0
x dx
1
1 x2 12 02
a)) Por el mé
étodo exacto: 0 x dx
2
0,5
2 2
0
1 0
b)) Por el mé
étodo aproxim mos n = 100 para lo cual resulta x
mado: hacem 0, 01
0
100
1 1 1 2 98 999
0
x dx 0
100 100
0 100
100 100
0, 495 (el valor exxacto es 0,5))
Un
n método de
e cálculo ap
proximado q
que mejora el
e de tomar rectánguloss de igual base
b y
altura
as correspon
ndientes al valor
v de la función en el extremo izquierdo (oo derecho) de
d los
subin
ntervalos es el
e llamado:
Méttodo de los
l Trape
ecios
126
Su
uponemos entonces
e con
nocidos los vvalores que toma la func
ción en los ppuntos situa
ados a
endo x = xi – xi-1.
igual distancia x0, x1, ..., xn sie
Un
n primer valo
or aproximad
do del área limitada por los puntos A0, An, xn, x00 puede obte
enerse
suma
ando las área
as de los trap
pecios inscri ptos en cada
a una de las superficies pparciales.
Árrea (y0, y1, x0, x1) = ½ x
(y0 + y1); la suma resultta:
xn x E
f ( x ) dx y0 2 y1 2 y2 2 yn 1 yn x P I
x0 2 2
sie
endo E = su
uma de las ordenadas
o e
extremas; P = suma de las ordenaddas de subín
ndices
paress; I = suma de
d las ordena
adas de índicces impares..
1 dx
Po
or ejemplo, calcularemos
c s: 0
2 x2
(esta inte
egral no pue
ede hallarse fácilmente con
c la
Regla
a de Barrow))
1
Siiendo f ( x) ; tomando xx = 0,1 puede construirse
e la siguientee tabla:
2 x2
E 0, 7071 0,5773
Re
esultando 00, 6422
2 2
P I 5,9407
y
1
0
f ( x) dx 0,1 6,58299 0, 65829
9
127
1
El área aproximada bajo la curva f ( x) en el intervalo 0,1 es de
2 x2
0, 65829cm 2 .
Fórmula de Simpson
En la fórmula de los trapecios, hemos sustituido la curva por una poligonal inscripta. Una
mejor forma de aproximación es sustituir la curva por arcos de parábola. La fórmula de
Simpson, aproxima el cálculo del área bajo la curva, sustituyendo la curva por una parábola,
resultando para el cálculo la siguiente expresión:
x
Área E 4I 2P
3
teniendo E, I y P significado análogo al descripto para la fórmula de los trapecios.
1 dx
Por ejemplo, calcularemos: 0
2 x2
; tomando x = 0,1 como en el método de los
Sugerimos leer del capítulo 10: “Estimación del trabajo que realiza el músculo cardíaco
durante un ciclo” y “Cálculo de la fotosíntesis”, donde se vincula la integración estudiada en
este capítulo. Y del capítulo 9: “Áreas y volúmenes de piezas arqueológicas”.
Actividad 6
6.1 Aplicando la fórmula de los trapecios, hallar el valor aproximado de las siguientes
integrales definidas, tomando un total de 10 intervalos entre los extremos de integración
1 5 dx
e ln x
x2
6.1.1 dx 6.1.2
0 3
128
b x
6.2 Aplicand
do la fórm
mula de S
Simpson
a
f ( x)dx
3
( E 4 I 2P ) caalcular
aproxximadamente
e la longitud de arco de la
a curva y e x en el inteervalo [-1,1] n 10 .
Ottro campo de
e aplicación donde nos p
puede resulta
ar de suma utilidad
u la fórrmula de Sim
mpson
ara calcular el volumen de algún ccuerpo o estructura. Co
es pa omo puede eencontrarse en el
ámbitto de las geo
ociencias (M
Malvić et al. 2
2014; Slavinić y Cvetković 2016; entrre otros) pod
demos
utiliza
ar este méttodo de inte
egración nu mérica, por ejemplo, para
p relevar el volumen
n una
estructura arqueo
ológica. Pens
semos en un
na práctica en
e terreno de un sitio arrqueológico donde
d
comie
enza a excavarse con niiveles artifici ales de un espesor
e de 5cm,
5 una cuaadrícula en la cual
se pu
uede discriminar una estrructura de co
ombustión.
Se
e desea calccular el volum
men del fogó
ón teniendo como dato una
u represenntación del mismo
m
sobre
e un plano po
or medio de un sistema l lamado curv
va de nivel.
Un
n sistema de
e este tipo es
stá basado e
en la proyecc
ción sobre un
n plano de coomparación de las
interssecciones en
ntre la superfficie del sitio y un conjuntto de planos paralelos y eequidistantes
Figura 1
La
a primera aparición
a de
e la estructu
ura de com
mbustión fue
e evidente a los 150c
cm de
profundidad; a 17
70cm estaba su límite infe
erior.
En
n un corte ve
ertical su form
ma aproxima
ada es:
129
Su
u dispersión fue mapead
da mediante el empleo de
d un sistem
ma cartesianoo ortogonal donde
d
los ejjes representan los sentidos E y N en ula. Los punttos que se reeconocieron están
n la cuadrícu
rema
arcados en la
a Figura 1.
No
os proponem
mos, como ya dijimos, ca
alcular el volumen aproximado utilizaando la fórmu
ula de
Simp
pson. Para lo
ograr el objetivo propuestto debemos calcular prim
mero las áreaas de cada una
u de
las su
uperficies en
ncerradas por la curva de
e nivel. Ver lo
os cuadros I, II, III y IV.
Cuad
dro I
Profundid
dad: z 150
0cm
b a 40
h 4[cm]
n 10 ; a 8 ; b 48 ; n 10
ABSCISAS
A ORDE
ENADAS
E I P
8 0
12 11
16 17
20 22
2
24 26
28 28
2
32 15
36 21
2
40 16
44 12
48 0
0 94
9 74
4I + 2P 37
76 148
130
4
El área a 1,5 m será: A150 0 376 148 698,67[cm 2 ] 7,00[dm 2 ]
3
Cuadro II
Profundidad: z 155cm
b a 56
h 4[cm]
n 14 ; a 2 ; b 58 ; n 14
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
2 0
6 16
10 24
14 29
18 35
22 40
26 42
30 42
34 42
38 40
42 37
46 29
50 25
54 18
58 0
0 214 205
4I + 2P 856 410
Cuadro III
Profundidad: z 160cm
40 16
h 4[cm]
n6 ; a 16 ; b 40 ; 6
131
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
16 0
20 12
24 18
28 20
32 14
36 12
40 0
0 44 32
4I + 2P 176 64
Cuadro IV
Profundidad: z 165cm
36 24
h 2[cm]
n6 ; a 24 ; b 36 ; 6
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
24 0
26 6
28 8
30 7
32 5
34 3
36 0
0 16 13
4I + 2P 64 26
132
Ell área a 1,65 m será:
2
A165 64 26 60[cm 2 ] 0,6[dm 2 ]
3
A170 0
Cálcu
ulo del volumen
Pa
ara compren
nder el proce
edimiento qu
ue seguiremos para hallar el volumeen, volquemo
os los
resulttados obtenidos sobre un gráfico en el cual sobre el eje de ordenadas
o annotamos las áreas
2
de lass curvas de nivel en dm y sobre el eje de absc
cisas las cota
as del fogón een dm.
La
a integral deffinida:
17
V A z dz nos daará el volumeen buscado.
15
Ap
plicando Sim
mpson con:
17 15
h 0,5[ddm]
n4 ; a 15 ; b 17 ; 4
ABSCISAS ORDENADAS
E I P
15,0 7,0
15,5 16,0
16,0 3,2
16,5 0,6
17,0 0
133
El volumen de manera aproximada será:
0,5
V 7 70 6,4 13,9[dm 3 ]
3
Bibliografía
Berio, A. y otros. (2011). Matemática 2 Activa. (1ª ed). Argentina. Puerto de Palos.
Larson, R. (2001). Cálculo y geometría analítica. (6ª ed). México. Programas Educativos S.A.
López C (2005). Apuntes de clase. Matemática y Elementos de Matemática. Facultad de
Ciencias Naturales y Museo.
Malvić T., Rajić R., Slavinić P. y K. Novak Zelenika (2014). Numerical integration in volume
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Slavinić P. y M. Cvetković (2016). Volume calculation of subsurface structures and traps in
hydrocarbon exploration – A comparison between numerical integration and cell based
models. Open Geosciences 8:14–21.
Smith, S. (1998). Algebra, trigonometría y geometría analítica. Naucalpan de Juárez: Addison
Wesley.
134
CA
APÍTULLO 6
No
ociones
s sobre
e Ecuac
ciones
s Difere
enciale
es
Romina
a Herrera
a y Verón
nica Amo
or
Sii comparamo
os el modelo de Dolbe
ear con la ecuación
e encontrada obbservamos ligeras
difere
encias entre los coeficien
ntes, pero essto podría de
eberse al tipo
o de grillos qque se analiz
zó. Sin
emba
argo, si comprobamos qu
ue las obserrvaciones de
e dos clases de grillos d iferentes son
n muy
pareccidas, entonces el modelo puede sser un buen
n termómetro
o biológico. A la hora de su
aplica
ación, su uso está limita
ado, ya que los grillos só
ólo chirrían durante
d unoss pocos mes
ses al
año y además cuando la temp 00C.
peratura es ssuperior a 10
135
Modelos matemáticos
La Matemática es muy útil para investigar fenómenos; como el movimiento de los planetas,
la desintegración de sustancias radiactivas, la velocidad de las reacciones químicas, los
patrones meteorológicos, la dinámica de poblaciones, entre otros.
Con frecuencia se quiere predecir el comportamiento de un fenómeno o de un proceso
tomando como punto de partida los valores actuales. Aparecen así ecuaciones que relacionan
la función desconocida y una o alguna de sus derivadas. Este tipo de ecuaciones se llaman
ecuaciones diferenciales. Cuando la ecuación diferencial se utiliza para describir un
fenómeno físico, decimos que es un modelo matemático.
Un modelo representa aspectos relevantes de una situación que se quiere estudiar. Cuando
se emplea el lenguaje matemático decimos que es un modelo matemático. Veamos algunos
ejemplos de estos modelos que utilizan ecuaciones diferenciales.
Si es una función que relaciona las variables e , entonces su derivada ´ ,
nos indica la tasa de cambio o velocidad de cambio de la variable con respecto a la variable .
Les presentamos algunos modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales que
utilizaremos para describir distintas situaciones.
Ejemplo 1
Consideremos poblaciones de idénticos individuos, cuya razón de reproducción no depende
del tiempo y es igual para cada uno. (Podemos pensar que se reproducen por bipartición).
Suponemos en este caso que los individuos no interfieren entre sí, no se mueren y tienen
recursos suficientes para subsistir.
La rapidez con que la población crece es proporcional a la población presente en cada
instante, la expresión para describir esto será:
dP
kP
dt
Veamos los elementos de la ecuación diferencial:
es la expresión de la velocidad de crecimiento de la población (la derivada de la función).
136
Ejemplo 2
Una sociedad protectora de animales necesita trasladar un león marino a otra ciudad. El
animal irá cubierto durante el viaje con una manta mojada. En cualquier tiempo t, la manta
perderá humedad debido a la evaporación, a una razón proporcional a la cantidad de agua
presente en la manta.
Llamando a la cantidad de agua en la manta en el tiempo t, la razón de cambio de
´ , será proporcional a . Es decir:
´
donde la constante de proporcionalidad es negativa, ya que la cantidad de agua disminuye
con el tiempo. Inicialmente, la manta contendrá 42 litros de agua de mar .Por lo tanto, el
modelo será:
´ , 0, 0 42
La incorporación de la condición de k y el valor inicial son consecuencia de la situación
particular que se describe.
Ejemplo 3
Todas las sustancias tienen la propiedad común que la velocidad de descomposición radioactiva
en cada instante es proporcional a la cantidad de sustancia existente en ese instante.
Deseamos encontrar una función que nos exprese la masa existente de la
sustancia al cabo del tiempo t.
Si expresamos la velocidad de descomposición como entonces:
137
Si la población es nula no puede crecer, es decir P(t)=0 es una solución de la ecuación.
Si la población llegó al límite, M, tampoco puede crecer, es decir P(t)=M también es
solución de la ecuación.
Si la población inicial está entre 0 y M, la población crece ya que M-P será positivo,
quedando la derivada positiva.
Si la población inicial sobrepasa M, M-P será negativa y la población decrecerá.
Estos tipos de modelos analizan las variables que intervienen como continuas. Esto es
posible cuando las poblaciones son muy grandes y se reproducen continuamente con las
generaciones sucesivas, superponiéndose unas con otras.
Sugerimos leer del capítulo 10: el modelo mínimo de “Estudio de la diabetes”, donde se
vincula las ecuaciones diferenciales que estudiaremos en este capítulo.
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que
involucran a una función matemática (que desconocemos) y alguna de sus derivadas.
Simbólicamente se puede escribir:
, , ´, ´´, … , 0
Siendo x la variable independiente, la función y sus derivadas ´, ´´, …
Si la función desconocida es de una sola variable independiente, la ecuación se llama
ordinaria.
El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de la derivada que contiene una
ecuación diferencial.
Se denomina grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden.
En este libro trabajaremos con ecuaciones diferenciales ordinarias.
Algunos ejemplos de este tipo de ecuaciones son:
´ 3 0 orden 1 grado 1
´´´ 4 ´ orden 3 grado1
0 orden 1 grado1
Si no preguntamos ¿cuáles serán las curvas que verifican que la pendiente en cada uno de
sus puntos es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto? La condición se puede
plantear de esta manera:
y
P(x,y)
y
y = y(x) ?
x x
138
dy
2 (x y)
dx
y' 2 (x y)
derivada de la función
variable
función y independiente desconocida
1
Se verifica la igualdad, por lo tanto, y es solución de la ecuación diferencial dada. ¿Es
x
la única solución?
Actividad 1
1.1 Probar que las funciones , 1 e x2 son soluciones de la
ecuación ´ 2
1.2 Probar que las funciones y = 2ex, y = C1ex con C1 constante son soluciones de la
ecuación y´= y
139
Valores iniciales
Actividad 2
Una curva en el plano xy verifica que su pendiente en cualquier punto (x;y) de la misma es
igual a 3x. Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (2;1).
140
Es decir, es el producto de una función que depende únicamente de por otra función que
depende únicamente de y.
dy
Para resolverla tenemos en cuenta que y ´ d x entonces la ecuación (1) puede escribirse
dy
g ( x) . h ( y )
dx
De donde para todo y , tal que h ( y ) 0 se tiene que:
1
d y g ( x) d x
h (y)
1
Si g (x ) y son continuas, integramos ambos miembros, entonces
h ( y)
1
h ( y ) d y g ( x) d x
1
Si H ( y ) es una primitiva de y G (x ) es una primitiva de g (x ) , resulta:
h ( y)
H ( y ) G ( x) C , C R
es la solución general de la ecuación (1).
Esta última igualdad define implícitamente a y como función de x; si es posible,
obtendremos a y en términos de x.
dy ex ex
(1 e x ) y y ' e x (1 e x ) y
dx
e x y dy
1 e x
dx
y dy
1 e x
dx
1 2
y ln (1 e x ) C , C R y 2 2 ln (1 e x ) C , C R , de donde:
2
y 2 ln (1 e x ) C : solución general en forma explícita.
Aplicamos ahora la condición inicial
y 0
y ( 0 ) 1 1 2 ln ( 1 e 0 ) C 1 2 ln 2 C C 1 2 ln 2
1
Operando algebraicamente, la solución particular es y 2 ln (1 e x ) 1
2
Otro ejemplo:
Para resolver la ecuación xy´4 y 0 ; con y(0)=0
Solución:
dy y 0 dy dx dy dx
x y ' 4 y 0 x
4
dx
4 y
y
4
x
y
4
x
ln y 4 ln x C , C R
de donde y= Cx con 0
141
Verificamos que y = 0 también es solución de la ecuación diferencial dada, entonces la
se obtiene: y e c e kt
Donde representa la masa de la sustancia existente en el instante inicial. Es un modelo
de decrecimiento exponencial.
Sugerimos verificar la solución de la ecuación diferencial del capítulo 10: “Estudio de la
propagación de la infección por Trypanosoma cruzi”, para los triatominos.
Actividad 3
En las sustancias radiactivas, la variación del número de determinado átomo en el tiempo es
proporcional al número de átomos existentes en ese instante.
3.1 Teniendo en cuenta que la variación de la cantidad de átomos es siempre una
disminución, y llamando λ a la constante de proporcionalidad, escribir la ecuación diferencial
que relaciona el número de átomos N con el tiempo t.
3.2 Suponiendo que originalmente existen No átomos, hallar la función que representa el
número de átomos presentes en determinado instante.
87 85
3.3 El isótopo R del rubidio decae en R al cabo de un cierto tiempo, siendo λ=1,42 10-11
años-1. Hallar el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad original de átomos de una
muestra se reduzca a la mitad.
142
Actividad 4
Sea una población cuyo máximo es M individuos.
4.1 Escribir la ecuación que representa el crecimiento de la población suponiendo que es
proporcional al número de individuos y a la diferencia entre el valor máximo M y la cantidad de
individuos.
4.1.1 Esta ecuación se resuelve por el método de reducción a factores simples y la
solución resulta de la forma , C constante de integración. Demostrar que
Actividad 5
Con frecuencia la secreción de hormonas en la sangre es una actividad periódica. Si una
hormona se segrega en un ciclo de 24 horas, entonces la razón de cambio del nivel de
hormona en la sangre se puede modelar por el problema de valor inicial:
’ ; y(0) = y0
Bibliografía
143
Engler, Adriana et ál (2012). El cálculo Integral. Universidad Nacional del Litoral. Santa Fe,
Argentina. Ediciones UNL. Cap.6.
Simmons, George F. (1993) “Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas”;
Editorial Mc Graw Hill.
Universidad de Jaen (2009) Modelos matemáticos en Biología. Pág. 6 .Universidad de Jaen
Zill Denis(2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Séptima Edición.
Thomson learning.
144
CA
APÍTULLO 7
Vec
ctores
Jimena
a Lorenzo
o
Un
n automóvil verde se desplaza por ccalle 7 y lo hace desde la
a calle 54 haasta Plaza Rocha.
R
Otro automóvil na
aranja, se de
esplaza por d
diagonal 73 desde
d Plaza Moreno hassta Plaza Roc
cha.
Ciudad de La Plata9
C
9
http:///www.laciudad.laplata.gov.ar/tu
urismo/accesoss-y-planos/plano
odelaciudad
145
Lo
os vectores que
q tienen la
a misma dire
ección, el mis
smo sentido y el mismo módulo se llaman
vecto
ores equipo
olentes.
Activ
vidad 1
En
n el siguien
nte mapa aparecen
a ve
ectores que representan la trayecttoria de dis
stintos
autom
móviles.
Lo
os vectores también su
uelen utiliza
arse para mostrar
m dato
os de maneera ordenada. La
opera
atoria entre vectores
v resu
ulta convenie
ente para su
u tratamiento. Cuando la cantidad de datos
es pe
equeña, las operaciones
o básicas entrre ellos pued
den resolver distintos
d probblemas.
146
Vec
ctores referidos al
a origen
n de coorrdenadas
s
Re
epresentamo
os un vector , de forma
a que el origen del vecto
or coincide coon el origen de un
ma de coordenadas carte
sistem esiano, se ob
btiene una re
epresentación canónicaa.
Las ccoordenadass del extremo
o coinciden ccon las comp
ponentes del vector. Por eejemplo:
Mód
dulo de un
u vecto
or
| |
Pa u módulo es | |= √4
ara un vector = (4;3), su 3 = 5
147
Ope
eracione
es entre vectores
v s
Sum
ma de vecttores
La
as componen
ntes del vec
ctor suma, so
on iguales a la suma de
e las componnentes de lo
os dos
vecto
ores sumados.
;
;
La
a suma de dos vectorres puede obtenerse gráficamente
g e utilizandoo algunos de
d los
siguie
entes métod
dos
Méto
odo de la Po
oligonal
Se
e traslada a continuación de , ha ciendo coinc n de con eel extremo de
cidir el origen e . El
vecto ma es el qu
or resultante o vector sum ue tiene el orrigen de y el
e extremo dee .
Méto
odo del Para
alelogramo
Se
e hace coinccidir los oríge
enes de y de . Luego
o se construy
ye un paralellogramo que
e tiene
como
o lados a los dos vectores
s. El origen d uma coincid
del vector su de con el de ambos vectores y
su exxtremo es el vértice libre del paralelog
gramo forma
ado con dicho
os vectores.
Prod
ducto de un
u vector por un es
scalar
148
-k.
k.
Analíticamente cada una de las componentes del vector se multiplica por el escalar k
Actividad 2
2.1 ¿Cómo podemos resolver la resta de vectores?
2.2 Dos personas tratan de mover una caja tirando de dos sogas. Las fuerzas que ejercen
están representadas en la figura mediante vectores. Encuentren gráficamente un vector que
represente una fuerza cuyo efecto sea equivalente al de las otras dos juntas.
Producto escalar
149
Interp
pretación ge
eométrica del
d producto
o escalar
La
a definición de
d producto escalar noss permite intterpretar geo
ométricamennte esta operación
como
o la proyecció
ón de un vec
ctor sobre otrro.
Po s | |
or ejemplo, si √5 y | |=3/2 y el =60° po
odemos calcu
ular el produucto escalar de la
√
siguie a: . =√5. 3/
ente manera /2 .cos60°=
150
Activ
vidad 3
es v
3.1 Calcular el ángulo entrre los vectore 2; 1 y w 3; 2
Verrsores
Lo
os vectores que
q tienen módulo
m unida
ad se los lla
ama versore
es. Comúnm ente se los indica
con u
una letra en negrita
n sobre
e la que se ccoloca una v (derecha o invertida) o eel símbolo .
Sob
bre cada uno
o de los ejes n el sistema cartesiano, con
s que forman c sentido ccoincidente con el
sentid
do positivo, se superpon
nen los verssores denom mentales: ̌; ̌. Sus
minados versores fundam
comp n: ̌
ponentes son 1; 0 ; ̌ 0; 1 .
To
odo vector ; puede escribiirse de la forma ̌ ̌
Essta descomp
posición se lla
ama forma c
canónica de
e un vector.
3.3 Calcular el
e producto escalar
e entre d los siguientes pares dde vectores. Hallar
e cada uno de
la am
mplitud del án
ngulo determ
minado entre ambos. Gra
aficar.
3.3.1 2̌ 5 ̌ y 3̌ 2
2̌
3.3.2 2̌ ̌ y 4, 1
3.3.3 3,2 y 3, 4
3.3.4 3̌ 4 ̌ y 2̌ ̌
Bibliografía
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eva Carpeta Matemática
a III. Buenos Aires: Editorrial Aique.
151
CA
APÍTULLO 8
atrices y Siste
Ma emas d
de Ecua
acione
es
Jimena
a Lorenzo
o, Romin
na Herrerra y Vivia
ana Capp
pello
Mattrices
Un
na matriz es
e un conju
unto de nú meros coloc
cados en una
u determinnada dispos
sición,
orden
nados en filas y column
nas. Las lín
neas horizon
ntales de una matriz see denominan
n filas
(localles, extranjeros) y las líne
eas verticale
es se denominan column
nas (masculiino, femenino
o).
A las matricess se las nom
mbra con letrras mayúscu
ulas y a los elementos
e d e las misma
as con
letrass minúsculass.
Cu
uando una matriz
m contie
ene m filas y n columna
as se dice que
q es de o
orden m x n.
n Los
eleme
entos de una matriz se suelen ence
errar entre paréntesis o corchetes. LLas matrices de la
situacción anteriorr son de orde
en 2x2.
La
as siguientess matrices so
on, respectiva
amente, de orden
o 3 x 3, 3 x 2, 3 x 4 y 2 x 3
1 2 3 3 4 3 1 2 0
1 0 0
4 5 6 ; 5 1 ; 0 3 4 2 ;
0 5 0
7 8 9 2 4 1 5 8 7
152
Matriz cuadrada: Es la que tiene el mismo número de filas y de columnas, es decir de orden
o simplemente de orden n.
Suma de matrices
Sean A y B dos matrices del mismo orden, . La suma A + B es otra matriz de orden
cuyos elementos son la suma de los elementos ubicados en la misma posición de las
matrices a sumar. La resta A - B se define de forma análoga.
Por ejemplo:
2 1 1 2 3 4 4 2 5
Sí A y B = ; C = A + B =
3 0 1 4 2 3 7 2 2
Actividad 1
Hallar la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años.
Dada una matriz A de orden y un número c, el producto c.A es una nueva matriz
que se calcula multiplicando cada elemento de A por el número c.
Por ejemplo:
5 3
Sea la matriz A = y el escalar c = 2; la operación
1 5
153
5 3 10 6
2
1 5
2.5 2.3
2
= =
2.1 2. 5
2 10
Prod
ducto entrre matrice
es
En
n la interseccción de la fila
a 1 de la ma
atriz A con la
a columna 1 de la matriz B se encuen
ntra el
eleme
ento c11 cuya
a expresión se
s obtiene ha
aciendo el producto esca
alar:
154
c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31
c12 = a11 b12 + a12 b22 + a13 b32
c21 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31
c22 = a21 b12 + a22 b22 + a23 b32
Por ejemplo:
1 3
2 1 1 1 10
Sean A y B= 2 0 A2 x 3 x B3 x 2 C 2 x 2
3 0 1 1 4 2 5
De acuerdo a las definiciones dadas ¿el producto matricial es conmutativo?
Por ejemplo:
1 3
2 1 1
Sean A y B = 2 0
3 0 1 1 4
1 10
A2x3 x B3x2 = C2x2 =
2 5
11 4 14
B3x2 x A2x3 = C 3x3 = 1 2 2
2 2 3
Actividad 2
2.1 La consultora del problema anterior está esperando un aumento de un 20% en las
admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la nueva planta
en la consultora?
2.2 Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de
diferente calidad en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica
A está dada por la matriz A.
155
Modelo I Modelo II Modelo III
Tamaño 32” 4 5 3
Tamaño 37” 9 6 4
Tamaño 40” 8 12 2
2.2.1 ¿Cuál es el total de capacidad de producción de cada modelo y tamaño en las dos
fábricas?
2.2.2 ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica A si se decide aumentar la producción
en un 30%?
2.3. Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony Bravia® de varios
tamaños. Tiene 5 de 40 pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26
pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $13950, los de 37 pulgadas a $9999, los de 32
pulgadas a $7950 y los de 26 pulgadas a $6950. Expresar el total de venta de los televisores
como un producto de dos matrices e indicar el ingreso total.
2.4 Sean
1 2 1 4 6 2 2 0 1 3
A B C D
3 1 0 3 9 1 0 2 1 6
Hallar si es posible:
2.4.1
2.4.2 2
2.4.3
2.4.4
Sugerimos verificar del capítulo 10: “Estudio de la propagación de la infección por
Trypanosoma cruzi”, donde se efectúa el producto de matrices estudiadas en este capítulo.
Determinantes
Se llama determinante a una función cuyo dominio es el conjunto de todas las matrices
cuadradas reales, y cuya imagen es el conjunto de los números reales.
Calcular determinantes nos será útil para resolver sistemas de ecuaciones, hallar matrices
inversas, etc.
a 11 a 12
Sea una matriz cuadrada de orden 2: A Podemos calcular el determinante
a 21 a 22
de la matriz A de la siguiente forma:
156
a 11 a 12
A a 11 .a 22 a 12 .a 21
a 21 a 22
es decir, la diferencia entre los productos cruzados de sus elementos. El valor obtenido se
denota también por det(A).
3 -2
Por ejemplo: 3.4 1.(2) 14
1 4
a11.a22 .a33 a12 .a23 .a31 a13 .a21.a32 a31.a22 .a13 a23 .a32 .a11 a33 .a21.a12
Por ejemplo:
1 -2 3
4 5 6 1.5.10 (2).6.(7) 3.4.8 3.5.(7) 6.8.1 10.4.(2) 367
- 7 8 10
A continuación, vamos a enunciar una serie de propiedades que cumplen los determinantes
de una matriz cuadrada, independientemente del orden que tengan.
El determinante de una matriz no varía si se cambian filas por columnas, es decir, el
determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta.
Det(A) = Det(At)
Si una matriz tiene una fila nula, su determinante es 0.
1 2 5
2 1 3 0
0 0 0
El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de la
diagonal principal:
157
a 0 0
0 b 0 abc
0 0 c
Si se intercambian entre si dos filas o dos columnas el determinante cambia de signo
1 3 -1 3 1 -1
2 5 0 13 5 2 0 13
2 -2 1 -2 2 1
1 3 -1
1 3 -1 0
2 -2 1
Si se multiplica una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado
por dicho número.
Si un determinante tiene dos filas o columnas proporcionales su valor es cero.
El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus
determinantes
A·B A · B
Actividad 3
2 5 3 1 1 0 0 0
1 0 1
4 9 7 1 0 1 0 0 1000 1
A 1 1 0 B C D
0 0 0 0 0 0 1 0 2000 2
2 1 1
3 2 4 5 0 0 0 1
La matriz C recibe el nombre de matriz identidad I. Ésta es el elemento neutro del producto
de matrices, al igual que el número 1 en el conjunto de los números reales.
La matriz identidad se caracteriza por tener 1 en su diagonal principal y el resto de sus
elementos 0.
Menor complementario
Dada una matriz cuadrada de orden n, y uno de sus elementos aij, se llama menor
complementario de dicho elemento, y se representa ij o Mij, al determinante de la matriz que
resulta de suprimir la fila i y la columna j.
158
1 2 0
Po
or ejemplo, para
p la matriz A - 1 0 3 , el menor
m compllementario ddel elemento a23=3
2 1 4
se ca
alcula de la siguiente
s form
ma:
Adjunto o cofacttor
ada una matrriz cuadrada de orden n, y uno de sus elementos aij , se llamaa adjunto de aij y se
Da
representa por Aij al menor com
mplementario
o precedido del signo + o – según si i + j sea par o im
mpar.
Aij (1) i j ij
1 2 0
Po
or ejemplo, para
p z A -1 0 3
la matriz
2 1 4
23 1 2
2 =3 será A223 ( 1)
Ell adjunto del elemento a23 (3) 3 .
2 1
2 2 1 0
el elemento a22=0 será A22 ( 1)
Y el adjunto de 4.
2 4
Mattriz inverrsa de un
na matrizz cuadrada
La
a definición de
d matriz inv
versa que lla
amaremos es . .
Va
amos a ver cómo
c podem
mos calcular l a inversa de
e una matriz cuadrada ayyudándonos de los
deterrminantes. Pe
ero previame
ente vamos a definir el co
oncepto de matriz
m adjuntta.
Un
na forma prá
áctica para calcular
c la m
matriz inversa
a consiste en
e utilizar la matriz adjun
nta de
una m
matriz A.
Da
ada una mattriz cuadrada
a A, llamamo
os matriz adjunta de A, y la represeentamos por adj A
a la m
matriz formad
da por los ad
djuntos de la matriz A.
159
Por ejemplo
o:
Lo
os adjuntos de
d los nueve elementos d
de A son:
17 4 6
Por lo tanto
o, la matriz ad
dj A será: adjA 11 7 3
1 2 3
Para toda matriz
m ada A, se verrifica que A·((adj A)t = (ad
cuadra dj A)t · A = |A
A|·I
1 2 1
n la matriz a nterior: A 0 3 2 en la quue A 15
Puede comprobarse con
2 1 5
1 2 1 17 111 1 15 0 0
A·(adj A) 0 3 2 · 4
t
7 2 0 15
5 0 AA·I
2 1 5 6 3 3 0 0 15
Ess decir, el prroducto de la
a matriz A p
por la traspuesta de su adjunta,
a noss da la matriz
z
identiidad I, multip
plicada por el determinan
nte de A.
Si |A| 0, podemos
p con
ncluir que:
(adjA) t 1
A· I por ta
anto, A 1 (adjA) t
A A
Re
esumiendo, para calcular la matriz in
nversa hacem
mos los siguientes pasos :
1. Se halla el
e determinante de la ma
atriz A. Si es cero no exis
ste inversa.
2
2. Se hallan
n los adjuntos
s de la matrizz dada, para
a obtener la matriz
m adj A.
3
3. Se forma
a la matriz tra
aspuesta de la matriz adjunta.
4
4. Se divide
e la matriz ob
btenida por e
el determinan
nte de A.
Por ejemplo
o:
160
1.- Hallamo
os su determiinante.
17 4 6
adjA 11 7 3
1 2 3
3.- Calculam
mos su trasp
puesta:
17 11 1
(adjA) t 4 7 2
6 3 3
4.- Por últim
mo, dividimos
s por el deterrminante de A:
17 11 1
15 5 15 15
1 7 11 1
1 1 4 7 2
A 1 (adjA) t 4 7 2
A 15 15 15 15
6 3 3
6 3 3
15 15 15
Mattrices de
e incidencia
Se
ea R una rela
ación entre dos
d conjunto
os finitos
1 si ( xi , y j ) R
e la matriz asociada a R por a ij
define
0 o contrario
caso
Co
onsideremoss los siguie
entes gráfico
os, que rep
presentan estructuras
e qquímicas. En
E los
mism
mos, los vérticces son átom
mos y las líne
eas uniones químicas. Fo
ormamos un a matriz cua
adrada
de la siguiente fo
orma: los áto
omos son nu merados arb
bitrariamente
e, si hay unaa unión entre
e cada
par de ellos, asignamos un 1, de lo contra
ario un 0.
0 1 1 1
1 1
1 0 0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
161
Activ
vidad 4
4
4.1 Armar lass respectivas
s matrices de
e incidencia para:
distintas opc
4.3 Una agencia de viajes analiza d ciones para viajar por aavión entre cinco
provin
ncias. El sigu
uiente esque
ema indica la
as conexione
es que la age
encia puede ofrecer:
162
0 0 0 1
0 0 1 1
A
0 1 0 1
1 1 1 0
Hallar e interpretar A2
Cuando hay más de 3 o 4 ecuaciones y/o variables, se suele utilizar una notación con
subíndices para designar tanto las variables como los coeficientes. Así, un sistema lineal de m
ecuaciones con n variables se representa, de forma general:
… … 1
… … 2
… … 3
163
a11 a12 a13 x1 b1
A a21 a22 a23 ; X x2 ; B b2
a a33 x b
31 a32 3 3
sim
mbolizamos:: A X B
Llamando A a la matriz m x n de loss coeficiente
es del sistem
ma, X a la m
matriz columna de
nx1 d
de las varia
ables y B a la matriz co
olumna de mx1
m de los términos inddependiente
es del
segu ndo miembrro.
Vo
olviendo al problema
p de la fábrica de
e zumos, parra responder a la preguntta: ¿Cuántos
s litros
de zu
umo se mezcclarán de cad
da tipo para obtener 120
0 litros con un
n costo de $775? Es necesario
resolvver el sistem do, es decir encontrar (si existen) los valores de x y de y que
ma plantead
satisffacen cada una
u de las ecuaciones p
planteadas. Una
U solución
n del sistem
ma es un con
njunto
alores tales que, al susttituir las varia
de va stos valores, las ecuacioones se conv
ables por es vierten
en ide
entidades.
De
e la 1ra ecua
ación despejando x se ob
btiene 12
20
Su
ustituyendo en
e la 2da la se tiene
0,5 . 12
20 0,8
8 75
60 0
0,5 0,8 75
0,3 15
50
El valor de x será 120 ; 120 50, 70
Solu
ución 70,, 50.
Se
e mezclarán 70 litros de
el zumo de ccalidad 0,5 $/l;
$ y 50 litros
s del zumo dde calidad 0,8
0 $/l,
para obtener 120 litros con un
n costo de $7
75.
¿L
Los sistema
as de ecua
aciones line
eales siemp
pre tendrán una únicaa solución?
? Les
propo
onemos anallizarlo gráfica
amente:
164
(Los gráficos corresponden a sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y
dos variables).
Única solución: el sistema es compatible determinado.
Ninguna solución: se dice que el sistema es incompatible.
Infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado.
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Veremos algunos de ellos:
Regla de Cramer
Se utiliza cuando la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de variables y el
determinante de la matriz de los coeficientes de las variables (llamado determinante principal)
es distinto de cero.
Cada variable se obtiene dividiendo el determinante de la variable por el determinante
| |
principal: x | |
∀i, i 1. . n
2 2
Por ejemplo: 3 4 11
3 2 1
2 1 1
Calculamos el determinante principal | | 1 3 4 26
3 1 2
Solución: (2;-1;3)
A modo de conclusión:
| |
Si | | 0 → | |
Si | | 0 | | 0 → el sistema es incompatible.
Si | | 0 | | 0 → el sistema será incompatible o indeterminado.
Debemos buscar otro método para concluir.
165
Méto
odo de eliminación gaus
ssiana
Re os siguientes pasos:
ealizamos lo
a)) Escribimo
os la matriz ampliada
a form
mada por la matriz de los
s coeficientees de las variables
junto con los térm
minos independientes.
b)) Reducimo
os la matriz por
p fila a la fo
forma escalo
onada.
c) Escribimo
os el sistema
a equivalente
e.
d)) Despejam
mos el valor de
d la última vvariable y lue a sustituciónn hacia atrás para
ego se usa la
obten
ner las demá
ás variables.
2 5
Se
ea el sistema
a 2 3
3 2 8
Em
mpezamos escribiendo
e lo
os coeficienttes y los térm
minos indepe
endientes.
Cá
álculos a rea
alizar:
166
2 1
(*1)
2 1 1 ( 1) 3
1 1
2 1
(*2)
2 2 11 5
1 2
2 5
(*3)
2 ( 3) 1 5 11
1 3
2 1
(*4)
2 2 3 ( 1) 7
3 2
2 1
(*5)
2 ( 1) 3 1 5
3 1
2 5
(*6)
2 8 3 5 1
3 8
3 5
(*7)
3 ( 5) 7 ( 5) 20
7 5
3 11
(*8)
3 1 7 ( 11) 80
7 1
2 5
3 5 11
20 80
La solución del sistema está dada por la terna (2;3;4). El sistema es compatible
determinado.
167
3 5 11 7
Ejemplo 2: 2 3 8 4
9 3
3 5 11 7
2 3 8 4
1 -1 9 -3
3 5 11 7
0 -1 2 -2
0 -8 16 -16
2 5 11 7
0 -1 2 -2
0 0 0 0
3 5 11 7
El sistema equivalente es: 2 2
0 0
El sistema admite infinitas soluciones, que se obtienen dando valores arbitrarios a x3: por
esa razón es compatible indeterminado.
4 6
Ejemplo 3: 2 4 6 5
2 4 6 2
4 1 -1 6
2 -4 6 -2
2 4 -6 -2
4 1 -1 6
0 -14 22 32
0 14 -22 -20
4 1 -1 6
0 -14 22 32
0 0 0 -168
4 6
El sistema equivalente es: 14 22 32
0 168
168
El sistema no tiene solución ya que 0 ≠ -168, es incompatible.
A 1 A X A 1 B
De acuerdo con la definición de matriz inversa, A1 A I y siendo I es el elemento neutro
en el producto de matrices, resulta:
X A1 B
Esto significa que, para obtener la matriz de las variables (matriz solución) basta con
multiplicar la matriz de los términos independientes por la matriz inversa de la matriz de los
coeficientes de las variables.
Adj t
1
Si recordamos que A , sólo podremos resolver por inversión de matrices aquellos
A
sistemas en los cuales el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las variables
sea distinto de cero, es decir, solamente los sistemas que sean compatibles determinados.
2 x y z 2
x 2 y z 3 en forma matricial el sistema se escribe:
3 x y 2 z 1
2 1 1 x 2
1 2 1 y 3
3 1 2 z 1
2 1 1
A 1 2 1
3 1 2
multiplicamos la matriz de los términos independientes por
5 3 1 5 3 1
5 1 3 5 1 3
1 Adj t 5 5 5 5 5 5
A ; o sea:
A 2 1 1 10
1 2 1
3 1 2
169
5 3 1 2 20 2
1 1
5 1 3 3 10 1
10 10 30 3
5 5 5 1
Es decir, la terna: 2; 1; 3 es la solución al sistema.
Sistemas Homogéneos
Reciben este nombre los sistemas de ecuaciones lineales que tienen todos los términos
independientes nulos. Tienen el aspecto:
0
0
0
Se resuelven por cualquier método de los desarrollados. Muchas veces sólo se necesita
saber si el sistema es compatible determinado o compatible indeterminado, esto se logra
resolviendo el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de las variables. Si dicho
determinante es distinto de cero, las tres ecuaciones son independientes y la solución es única
(la trivial); si por el contrario el determinante resulta nulo, el sistema es compatible
indeterminado (soluciones múltiples).
Sugerimos leer del capítulo 10: “Balanceo de ecuaciones químicas por el método matricial”,
donde se efectúa la resolución de un sistema de ecuaciones, estudiadas en este capítulo.
Sea el sistema de ecuaciones independientes, por lo tanto, incompatible por tener más
ecuaciones que variables.
a1 x1 b1 x2 q1 (1)
a2 x1 b2 x2 q2 (2)
a x b x q (3)
3 1 3 2 3
En notación matricial:
a1 b1 q
x1 1
a2 b 2 q2 (4)
x
a
3 b3 2 q3
Simbólicamente:
.
170
Como la matriz A tiene mayor número de filas que de columnas, sólo resulta posible definir
su matriz inversa (en este caso, pseudoinversa) por la izquierda.
Para despejar la matriz X se multiplican ambos miembros de la igualdad anterior por la
matriz traspuesta de A :
At A x At q (5)
t
“para el ejemplo planteado A 2 x3 A3 x 2 M 2 x 2 ”, tiene dos incógnitas, si hubiéramos
hecho A3 x 2 At 2 x3 M 3 x3 resulta que aparecería una incógnita más de las aparecen en
el sistema.”
matriz inversa A A
t
1
; multiplicando por esta matriz ambos miembros de (5):
A A A A x A A A q (6)
t 1 t t 1 t
siendo A A A A I resulta:
t 1 t
x A A A q t 1 t
expresión en la cual A A t
1
At L , matriz pseudoinversa por la izquierda
x x 1
1 2
x1 x 2 3 2
x1 x 2 1 2
La primera y última ecuación tienen el primer miembro igual y el segundo miembro distinto,
por eso el sistema es incompatible.
1 1 1
x1
1 1 3 2
x
1
1 2 1
2
1 1 1
multiplicamos ambos miembros por
1 1 1
171
1 1 1
1 1 1 x1 1 1 1 3
1 1
1 1 1 1 x2 1 1 1 2
1 1
2
qu
ue operando nos conduce a:
3 1 x1 3
1 3 x2 0
Obtenido este sistema de ecuaciones, podemos ap
plicar cualquier método ppara resolverrlo.
Le
es mostramo
os cómo qued
da siguiendo
o el método de
d la pseudo
oinversa:
1 1
3 1 3 1 x1 3 1 3
1 3 1 3 x2 1 3 0
1
x 3 1 3
I 1
x2 1 3 0
x1 1 3 1 3
x2 8 1 .3 0
x1 9 8
x2 3 8
o x1 9
resultando y x2 3
8 8
172
Actividad 5
5.1 Un fabricante de bombillas gana $0,3 por cada bombilla que sale de la fábrica, pero
pierde $0,4 por cada una que sale defectuosa. Un día en el que fabricó 2100 bombillas obtuvo
un beneficio de $484,4. ¿Cuántas bombillas buenas y cuántas defectuosas fabricó ese día?
5.2 Una empresa que fabrica jarrones recibe un encargo para un día determinado. Al
planificar la producción se dan cuenta que, si fabrican 250 jarrones al día, faltarían 150 al
concluir el plazo que tienen. Si fabrican 260 jarrones diarios, entonces, les sobrarían 80.
¿Cuántos días tienen de plazo y cuántos jarrones le encargaron?
3 y 2 x z 1
5.3.1 3 x 2 z 5 y 8
3 z 1 x 2 y
x 2 y 4 z 4
5.3.2 5 x 3 y 7 z 6 8
3 x 2 y 3 z 11
x 2 y 3z 6
5.3.3 2 x y 4 z 2
4 x 3 y 2 z 14
x y z 0
5.3.4 2 x 2 y 2 z 0
3 x 5 y z 0
5.4 Tres diferentes tipos de insectos se crían juntos en un recipiente de laboratorio. Todos
los días se suministran tres tipos diferentes de alimentos. Cada individuo de la especie 1,
consume 3 unidades del alimento A, 2 unidades del alimento B y 1 unidad del alimento C. Cada
individuo de la especie 2, consume 5 del A, 3 del B y 2 del C. Y la especie C consume, 2 del A,
4 del B y 3 unidades del alimento C. Cada día se suministran 500 unidades del alimento A, 900
del alimento B y 550 del C. ¿Cuántos individuos de cada especie se crían juntos?
5.5 Una empresa multinacional tiene tres minas: una en Ravensthorpe, Australia; otra en
Manitoba, Canadá y otra en Piura, Perú. Extrae níquel, cobre e hierro. En Australia extrae el
2% de níquel, el 4% de cobre y el 12 % de hierro. En Canadá 4%de níquel, 10% de cobre y 2%
de hierro. En Perú 2% de níquel, 6% de cobre y 2% hierro. ¿Cuántas toneladas de cada mina
deben utilizarse para obtener 26 toneladas de níquel, 68 de cobre y 40 de hierro?
5.6 Dados los siguientes sistemas incompatibles ajustarlos por el método de la matriz
pseudoinversa. Interpretar geométricamente los resultados.
173
x y 2
5.6.1 2 x y 4
3 x y 9
6x y 0
5.6.2 4 x 8 y 2
2 x 6 y 12
Bibliografía
Anzola, Máximo (1982) Problemas de álgebra. (3a ed.). Madrid. Editorial Madrid
Ayres, J (1991) Teoría y problemas de matrices. México. MacGraw-Hill
Burgos, J (2006) Álgebra lineal. (3a ed.) McGraw-Hill
García Catro, F; Gutiérrez Gómez, A (1981) Algebra Lineal II. Madrid Pirámide
Grossman (1995) Álgebra lineal (5ª ed.) México. MacGraw-Hill
Larson, R y otros (2004) Álgebra lineal Madrid Pirámide
López, C. (2005) Apuntes de clase. Matemática y Elementos de Matemática Facultad de
Ciencias Naturales y Museo.
Rojo, J (2007) Algebra lineal (2a ed.) Madrid. Editorial MacGraw-Hill
Webgrafia
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/Aplicaciones%20de%20Matrices.htm
174
CAPÍTULO 9
La Matemática en las Investigaciones
Antropológicas Contemporáneas
Guillermo Lamenza
Introducción
Conocer el comportamiento de diversas funciones también nos son de utilidad para poder
describir y explicar relaciones entre variables que representan fenómenos de la realidad que
pueden ser objeto de investigaciones antropológicas. A su vez, este conocimiento nos permite,
mediante las técnicas estadísticas necesarias, proyectar desde lo conocido a lo desconocido
brindando herramientas muy potentes para las investigaciones.
175
La tesis doctoral de la Dra. Desántolo titulada ¨Validación metodológica para la estimación
de edad en restos óseos humanos adultos: análisis histomorfométrico¨ tuvo por objetivo
desarrollar una ecuación predictiva para estimar la edad de muerte de un individuo a partir de
la medida de alguno de sus huesos largos. La muestra de referencia se conformó con los
restos óseos perteneciente a la Colección Osteológica ¨Prof. Dr. Rómulo Lambre¨ alojada en la
Facultad de Ciencias Médicas de la Universidad Nacional de La Plata. Para realizar la
investigación se identificaron y cuantificaron las variables: número total de osteonas completas
(N.On), número de osteonas fragmentarias (N.On.Fg), diámetro promedio de los conductos de
Havers (Can.Hav), porcentaje de osteonas fragmentarias (%On.Fg) y la densidad poblacional
osteonal (OPD) (Desántolo 2013). Como resultado se encontró que la mayoría de las variables
presentan asociación significativa con la edad. De manera específica, a partir de análisis
estadísticos multivariados se comprueba que la variable predictiva de la edad para adultos
entre 20 a 91 años es el número de osteonas fragmentarias. (Desántolo 2013).
De manera sintética profundizamos sobre los resultados del análisis de regresión lineal
múltiple donde se obtuvo la ecuación que sirve para estimar la edad de muerte de un individuo
a partir de características cuantitativas en nivel histológico.
2,310 ∗ ú 30,975
Si llamamos ú e , la relación
lineal antes mencionada se simboliza:
2,310 30,975
Ecuación de predicción obtenida a partir del análisis de regresión. Modificado de Desántolo
(2013)
Así como el caso anterior encierra un alto potencial de aplicación para el estudio de la
población adulta en el ámbito local también hay investigaciones abocadas a otros rangos
etarios. Por ejemplo, la tesis doctoral de la Dra. García Mancuso titulada “Análisis
bioantropológico de restos esqueletales de individuos subadultos. Diagnóstico de edad y sexo,
validación técnico metodológica” tuvo por objetivo principal evaluar diferentes metodologías
para estimar la edad y sexo en restos óseos de individuos subadultos. Para su realización se
utilizaron materiales esqueléticos pertenecientes a la Colección Osteológica Prof. Dr. Rómulo
Lambre, con edades comprendidas en el período fetal – infantil (García Mancuso 2013).
Aunque el estudio incluyó muchos otros análisis, profundizaremos en comentar aquellos
donde se utilizaron diversas operaciones matemáticas para poder aproximar a la edad de
muerte de los individuos. De manera específica se consideraron los huesos largos del
176
esqueleto apendicular donde se estimó la edad a partir de sus longitudes diafisarias mediante
la implementación de diferentes ecuaciones de regresión generadas especialmente en esta
investigación. Estas ecuaciones predictivas se utilizaron como herramienta para la estimación
de la edad a partir de húmero, radio, ulna, fémur, tibia y fíbula. (García Mancuso 2013).
Para comprender el funcionamiento del análisis de regresión que permitió predecir la edad a
partir de la longitud de los distintos huesos es necesario tener conocimiento sobre las
características de dichas funciones. Estas funciones generadas relacionan una información
conocida (variable independiente) y una información que se quiere conocer (variable
dependiente), en este caso la longitud de determinado hueso largo y la edad de muerte
respectivamente. Una exploración gráfica de los datos permitió evaluar la relación entre las
variables y se ajustaron a ecuaciones lineales, cuadráticas y exponenciales para ver cuál se
ajustaba mejor. Después de un procedimiento estadístico se seleccionaron las funciones que
mejor ajustaban la relación entre las variables y se obtuvieron los parámetros que permitieron
predecir la edad a partir de la longitud de los diferentes huesos largos. Así, por ejemplo, el
modelo cuadrático es el más adecuado para estimar la edad a partir de la longitud de la fíbula;
el modelo exponencial para estimar la edad a partir del húmero, radio, ulna, fémur y tibia
siempre que se trate del periodo desde las 20 hasta las 170 semanas. Llamando a
e , las funciones generadas en
estos casos tienen la siguiente forma:
Cuadrática
∗ ∗
Exponencial
∗
∗
∗
177
Estudios de crecimiento y desarrollo
h1 es la talla adulta
h es el tamaño alcanzado a la edad t
es la velocidad de crecimiento en función del tiempo. La curva se aproxima
a una curva logística a la cual se le estiman cinco parámetros.
2 1
1 1
10
En el año 2013, Sayers y colaboradores publican un artículo en la revista Annals of Human Biology
donde presentan correcciones del manuscrito original de 1978 para mejorar el cálculo directo de la
detención del crecimiento y el pico de velocidad de crecimiento en estatura (Sayers et al. 2013).
Recomendamos su lectura para profundizar sobre el tema.
178
S0 es la asíntota inferior y se relaciona con la velocidad de crecimiento prepuberal;
S1 es la asíntota superior y se relaciona con el pico de velocidad máxima del
crecimiento puberal;
c es la edad al punto de inflexión, es decir, aproximadamente la edad al momento
en que la velocidad es máxima;
Yc es la estatura a la edad c;
h1 es la talla adulta
Para poder elaborar las curvas de crecimiento y evaluar el mejor modelo que se ajuste a la
población vasca en periodo de crecimiento analizaron una muestra de 1690 individuos y
sometieron la información al análisis estadístico. Los modelos matemáticos que probaron fueron:
2 1
1
ln ⁄
Aplicando diversas técnicas estadísticas los autores evaluaron que modelo de Preece y
Baines (1978) es el que mejor se ajusta para la estatura tanto en varones como en mujeres,
quedando determinadas las siguientes funciones:
Para varones
2 174,521 161,39
174,521 , , , ,
179
Para mujeres
2 160,909 151,92
160,909 , , , ,
En cambio la función logística de Marshall y Tanner (1986) explica mejor el peso en función
de la edad, tanto para varones como para mujeres.
Para varones
48,528
26,4 , ,
1
Para mujeres
23,307
32,91 , ,
1
A su vez, los autores utilizaron estas funciones para comparar esta población con otras y
para describir el dimorfismo sexual. Este tipo de estudios son muy importantes dado que estos
resultados permiten la detección de problemas de crecimiento y de salud en general ajustados
a poblaciones específicas (Rebato y Rosique 1994).
180
la variable con menor varianza (en sentido estadístico). Así el área izquierda es función de la
derecha. Sin embargo, asume que ni la sección izquierda ni derecha son variables
dependientes dado que los desvíos estándar son comparables. La interpolación lineal en este
caso se encuentra minimizando la función de mérito.
Para el modelado matemático de la ontogenia de la sección transversal del seno frontal el
autor plantea la necesidad de conocer cómo el área total crece con la edad, o, dicho de otra
manera, cómo es su trayectoria ontogenética. Como primer paso observa los promedios por
edad de hombres y mujeres por separado. Debido a que los senos frontales dejan de
expandirse después de una cierta edad, sugiere interpolar los promedios y aproximar la curva
de desarrollo a una función logística de la forma,
1
∝
Después del análisis de regresión logística se obtuvieron dos funciones, una para hombres
y otra para mujeres, de la forma:
Para hombres
1
,
52,8609
Para mujeres
1
,
121,404
El autor hace explicito su interés cuando la segunda derivada es 0 dado que la solución de
´´ 0 indica el momento donde es un punto de inflexión en la curva de desarrollo. En
ese punto la tasa de crecimiento es máxima (primera derivada). Como resultado encuentra que
la tasa máxima de desarrollo es mucho mayor y se da más tempranamente en mujeres que en
varones. Este modelo permite predecir el final del crecimiento del seno frontal. A partir de esta
investigación el autor afirma que las mujeres desarrollan su seno frontal mucho más rápido que
los hombres y, a su vez, completan su desarrollo mucho antes (Prossinger 2001).
181
Áreas y volúmenes de piezas arqueológicas
El área de la superficie generada al hacer girar una curva alrededor del eje es:
Sistemas de Geoposicionamiento
182
tres dimensioness vamos a necesitar in
nformación de
d cuatro sa
atélites. Loss vamos a llamar
, , y su
uponemos qu
ue cada saté
élite está ubicado
u en ( , , cua ndo transmitte una
señall en el tiemp
po . Si las
s señales so
on recibidas en el tiemp
po ´ de accuerdo al relloj del
dispo ñal, entoncess ∆
ositivo recepttor de la señ ´ y consid
deramos a para repres
sentar
cualq
quier error en
e nuestra medición
m dell tiempo. En mputa la distancia
ntonces el receptor com
∆ , que indica cuán lejjos estamoss de cada satélite.
s Nue
estra posicióón ( , , está
localizada en cad
da una de la
as esferas. E
En la mayorría de las sittuaciones vaa a haber un
n sólo
valor de que pe
ermita a las esferas
e tenerr un punto en
n común. Po
or lo tanto, nuuestra localiz
zación
se de
etermina reso
olviendo un sistema
s de e
ecuaciones.
Cu
uando enco
ontramos la solución n
numérica, la
as coordena
adas planass ( , , son
conve
ertidas a coo
ordenadas esféricas de llatitud, longittud y altitud. Para resum
mir, del recep
ptor se
esperra que recib
ba informació
ón sobre el ttiempo y pos
sición de los
s satélites; q ue mantenga una
precissión estable; que selecc
cione satélite
es con un bu
uen rango de
e posición; qque encuentrre una
aproxximada solucción numéric
ca para un s istema de ec
cuaciones y que haga unna transform
mación
de co
oordenadas (Thompson
( 1998).
1
Bibliografía
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Asociación entre el seno frontal y el torus supraorbitario en individuos adultos. XII Jornadas
Nacionales de Antropología Biológica.
Jayasekara R., Lasswell-Hoff J., Garner C., Kristl G. y C. Hoff. 1988. Adolescent Growth in
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Marshall W. A. y J. M. Tanner J. M. 1986. Puberty. Human Growth Vol. 2. F. Falkner, J.M.
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Pandiani C., Joosten G., Gould M., Pennini V., Anzelmo M., Ventrice F. y M. Sardi. 2015.
Ontogenia del seno frontal en una muestra de tomografías computadas. XII Jornadas
Nacionales de Antropología Biológica.
Preece M. A. y M. K. Baines. 1978. A new family of mathematical models describing the human
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Prossinger H. 2001. Sexually dimorphic ontogenetic trajectories of frontal sinus cross sections.
Collegium Antropologium 25, 1:1-11.
Rebato E. y J. Rosique. 1994. Aplicación de modelos matemáticos a las curvas de crecimiento
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Lecturas sugeridas
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Orton C. 1988. Matemáticas para arqueólogos. Alianza, Madrid.
Shennan S. 1992. Arqueología cuantitativa. Crítica, Barcelona.
185
CAPÍTULO 10
La Matemática en las Investigaciones biológicas
Verónica Amor
Introducción
Como estudiantes, a menudo nos preguntamos para que nos sirve matemática. Nos suele
resultar una materia difícil, e incluso a veces, inentendible. Sin embargo, sería de gran utilidad
tener otra mirada sobre esta ciencia, que es, sin duda, una herramienta fundamental para el
desarrollo de investigaciones de otras disciplinas científicas, en las cuales se incluyen la
Biología y la Antropología.
A través de la modelización matemática, es posible, por ejemplo, estudiar el crecimiento de
las poblaciones animales o celulares, la concentración de un producto en una reacción
química, o la dinámica de propagación y control de una enfermedad, tales como el HIV-SIDA o
la enfermedad de Chagas, citando algunos ejemplos.
Nos puede parecer extraño que profesionales de las ciencias naturales se dediquen a
representar situaciones de la realidad en una forma matemática artificial, pero hay razones que
lo justifican. Los modelos pueden agrupar en forma de unos pocos parámetros, las propiedades
comunes importantes de un gran número de ejemplos distintos. Estos nos permiten describir
propiedades desconocidas del sistema que se está modelando, entender en profundidad el
fenómeno que se estudia y realizar alguna predicción sobre su comportamiento futuro.
En las páginas siguientes, mostramos ejemplos de modelos y situaciones en los cuales, la
matemática ha sido una herramienta de gran utilidad.
Estudio de la diabetes
La diabetes es una enfermedad grave y muy extendida en todo el mundo, siendo cada vez
más frecuente en la población. Un gran número de investigadores tratan de encontrar métodos
para el diagnóstico y su tratamiento. Uno de los enfoques, es el diseño de modelos
matemáticos que describan la cinética en sangre de las concentraciones de glucosa e insulina.
Aunque existe una gran variedad de modelos, podemos citar como ejemplo al modelo de
Ackerman y su equipo, quienes en la década de 1960, introdujeron un modelo pionero para el
estudio de los procesos fisiológicos que tienen lugar en el cuerpo durante la metabolización de
la glucosa.
186
El objetivo de Ackerman y su equipo era construir un modelo que describiera con precisión el
sistema regulador de la glucosa en la sangre durante una prueba de tolerancia a la misma, y en el
cual, mediante un número reducido de parámetros, se obtuviera la información para distinguir entre
individuos sanos, casos leves de diabetes o propensos a padecer la enfermedad.
Mediante el desarrollo de dicho modelo, obtuvieron la siguiente expresión que permitía
determinar el nivel de glucosa en sangre:
donde:
representa el nivel de equilibrio de azúcar en la sangre,
ω da una respuesta de frecuencia a las perturbaciones, y
α mide la capacidad del sistema para volver al estado de equilibrio después de
haber sido perturbado.
Otro método sencillo y con pocos parámetros, fue desarrollado en los años ochenta por
Richard N. Bergman y su equipo, y se conoce como modelo mínimo.
El modelo, como se propuso originalmente por los autores, pretende ser considerado como
un sistema compuesto por dos partes. La primera parte, utilizando las ecuaciones (1) y (2),
describe la evolución en el tiempo de la concentración plasmática de glucosa; para esta
primera parte, la concentración de insulina en plasma es considerada como una función
conocida. La segunda parte consta de la ecuación (3), y describe la concentración de insulina
en el plasma en función del tiempo, representando la dinámica de la liberación de insulina
pancreática en respuesta al estímulo de un aporte de glucosa; para esta segunda parte, la
concentración de glucosa en plasma se considera, análogamente como una función conocida.
Matemáticamente es un modelo compuesto por un sistema de tres ecuaciones diferenciales
ordinarias no lineales.
El modelo mínimo viene dado por las siguientes ecuaciones diferenciales:
0 1
0 0 2
0 3
donde:
es el tiempo
es la concentración de sangre en el instante
es la concentración de insulina en sangre
es el efecto de la insulina activa
187
es la glucemia basal del sujeto
es la insulina basal del sujeto
es la glucemia teórica en el momento 0 después del bolo de glucosa
es la tasa de eliminación de glucosa independiente de la insulina
es la tasa de eliminación de la insulina activa (disminución de la absorción)
es el incremento en la capacidad de absorción debido a la insulina
es la tasa de liberación pancreática después del bolo
es la glucemia objetiva del páncreas
es la tasa de decaimiento para la insulina en el plasma
es la concentración teórica de insulina en el plasma en el tiempo 0
En las últimas dos décadas, se han desarrollado numerosos modelos matemáticos para la
simulación del fenómeno de crecimiento en tumores. Por lo general, este modelado se centra
en tumores sólidos donde el crecimiento proviene principalmente de la proliferación celular.
Muchos de estos modelos tienen uso potencial en la predicción y verificación de diferentes
estrategias en terapias contra el cáncer. Los tumores son poblaciones celulares que crecen en
un ambiente confinado donde la accesibilidad a nutrientes es limitada.
Los modelos empíricos se basan fundamentalmente en las observaciones experimentales
del fenómeno en investigación, teniendo en cuenta distintos procesos y factores externos que
afectan las características del fenómeno. Las ecuaciones que rigen estos modelos son
derivadas de las observaciones y pueden no ser basadas en una deducción a partir de
primeros principios que las justifiquen. Uno de los modelos empíricos más utilizado en la
biología en los casos de crecimiento de individuos, células, poblaciones, es el desarrollado por
Gompertz. Dicho modelo fue propuesto originalmente para la evaluación del crecimiento
demográfico y propone que el crecimiento sigue la ecuación diferencial ordinaria:
con condición inicial V (en t = 0) = V0 ; cuya solución exacta es:
donde:
denota al tamaño del tumor
0 representa el tamaño del tumor en el instante =0
β es una constante relacionada a la habilidad de proliferación de las células
es la capacidad de carga, es decir, el tamaño máximo que se puede alcanzar con
los nutrientes disponibles
El tamaño del tumor , cuando el tiempo se hace muy grande es igual a K,
independientemente de que 0 0. Notemos que, en ausencia de terapias, 0 ,
mientras que en presencia de terapias 0 .
188
Estimación del traba
ajo que rrealiza el músculo
card
díaco du
urante unn ciclo
El trabajo sistó
ólico del cora
azón es la ca
antidad de en
nergía que el
e corazón coonvierte en trrabajo,
duran
nte cada latido cardíaco, mientras
m bom
mbea sangre hacia
h las arterias (Guyton,, 2011)
Ell cálculo dell trabajo carrdíaco, se p
puede realizar a partir del
d gráfico qque representa la
presió
ón sanguíne
ea en el ventrrículo izquierrdo en funció
ón de su volu
umen.
11
Diagra
ama Volumen
n Presión
12
Tratado a médica.
o de Fisiología
11
http:://es.slideshare..net/sedivreyo/e
exploracin-fsica--cardiolgica-presentation
12 http
p://ricuti.com.ar//no_me_salen/T TERMO/ter34.httml
189
Re
ecordemos que
q se defin
ne trabajo co
omo el prod
ducto de la presión ejerrcida (p) porr cada
variacción de volum
men (∆V):
W = p ∆V
V
Da
ado que la presión no es
e constante
e, resulta ne
ecesario sum
mar cada peequeño camb
bio de
volum
men multipliccado por la presión que lo ste cálculo, ppodemos utilizar la
o causó. Parra realizar es
funció
ón integral:
W = ∫ p dV
V
Que se lee assí: el trabajo es la suma integral (∫) de
d todos los productos eentre el valorr de la
presió
ón (p) y el pe
equeño cambio de volum
men (dV) que
e esa presión
n produjo.
Este ejemplo rela
aciona la inttegración co
on el cálculo
o de áreas. En el gráficoo, cada cua
adrado
esenta un árrea de 10 unidades de presión por 10 unidade
repre es de volumeen, de modo que
equivvale a 100 mmHg/ml.
m El número apro
roximado es 68 cuadrado
os. De modoo que el área
a total
repre
esenta un trabajo de:
W = 6.800 mmH
Hg.ml
13
Cá
álculo de área
as
Estudio de la propagación d
de la infe
ección
porr Trypano
osoma cruzi
La
a enfermedad de Cha
agas es un
na zoonosis
s producida por el pro
rotozoo flag
gelado
Trypa
anosoma cru
ruzi. Este pa
arásito es tra
ansmitido po
or insectos hematófagos
h s de la subfa
amilia
Triato
ominae. La tripanosom
miasis consttituye una infección crónica de d ifícil diagnó
óstico,
mane
ejo y tratam
miento. Se ca
alcula que e
en el mundo
o hay entre 6 y 7 milloones de pers
sonas
O, 2016). Es
infecttadas (WHO s uno de loss problemas
s sanitarios más
m importaantes de Am
mérica
Latin a que gene
era una impo
ortante carg
ga de morbilidad y mortalidad e inffluye en la carga
socia
al y económiica.
13
http:://ricuti.com.ar/n
no_me_salen/TE
ERMO/ter34.htm
ml
190
La infección se produce cuando un insecto infectado se alimenta sobre un mamífero sano y
luego deposita sus heces u orina cargadas de T. cruzi sobre la piel o las mucosas del mismo;
los parásitos ingresan al organismo a través de las escoriaciones, por la misma picadura o por
la mucosa. Otras posibles formas de transmisión son la vía congénita y la relacionada con la
transfusión de sangre contaminada con el parásito.
Los perros, constituyen el principal reservorio doméstico de transmisión del T. cruzi, en las
21 áreas endémicas de América Latina en las que el hombre cohabita con los triatominos. A
causa del gran número de animales silvestres que sirven como reservorio de éste parásito,
esta zoonosis no puede erradicarse.
Durante las últimas décadas, la enfermedad se ha expandido de manera considerable
desde las áreas rurales, hacia centros urbanos, debido a la inmigración de individuos a las
ciudades. Este proceso, incrementa el riesgo de su transmisión. El “Chagas urbano” es
principalmente transmitido de manera horizontal, por medio de transfusiones de sangre
contaminada con el parásito y de manera vertical, de madre a hijo.
El modelo particiona a la población humana en cuatro compartimentos: humanos
susceptibles (HS), humanos enfermos en la etapa aguda (HA), humanos en la etapa crónica
indeterminada (HI) y humanos en la etapa crónica con patología determinada (HP). Se
consideran además las poblaciones de triatominos, particionados en triatominos susceptibles
(VS) y triatominos infectados (VI), y la población canina, dividida en perros susceptibles (DS) y
perros infectados (DI) (Fabrizio, 2011).
Se asume que el tamaño de las tres poblaciones involucradas (humana, vectorial y canina)
depende del tiempo. Para expresar los cambios temporales, en las tres poblaciones
estudiadas, se emplea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que representan las
tasas de cambio de la cantidad de individuos en cada compartimento, con respecto al tiempo.
a) Humana
Considerando a H(t) la población total humana en el tiempo t, se tiene:
= mH +( bHS - dHS) HS (t) + (-dH) HA + (bHI - dHI) HI(t) + (bHI – dHP) Hp (t) (1)
b) Triatominos
Si consideramos a la población total de triatominos, se obtiene
191
Po
or lo tanto, si la tasa de natalidad de los triato
ominos es ig
gual que la de mortalidad, la
cantid
dad de triato
ominos resultta ser una fu
unción linea
al del tiempo
o, dependienndo su crecim
miento
o deccrecimiento del signo de
d la tasa d
de migración
n, si esta úlltima es disstinta de cerro. Si,
adem
más, la tasa neta de migración es igual a cero
o, la cantida
ad de triatom
minos resultta ser
consttante en el tie
empo.
cc) Canina
E
En el caso de
e la población
n canina
mD+ (b
bDS- dDS ) (Ds(t) + bDI- dDI) DI(t)
En
n general, se
e espera que
e la tasa prom
medio de na
acimientos de
e perros infeectados sea menor
m
o igual que la de los suscepttibles, y que la tasa prom
medio de mo
ortalidad de llos infectado
os sea
mayo
or que la de los susceptib
bles.
En
n epidemiología, el nú
úmero básicco de repro
oducción R0 representaa el número de
infeccciones secu
undarias pro
oducidas al introducir un
u individuo infectado een una pob
blación
susce
eptible. Adem
más, si R0 < 1 la enferm edad desapa
arece del me
edio (dado qque cada individuo
infecttado produce
e, en promed
dio, menos q
que un indiv
viduo infectad
do) y si R0 > 1 persistirá
á en la
pobla
ación convirttiéndose en epidemia (ccada individuo infectado
o en su com
mpleto período de
infecttividad, al ten
ner contacto
o con individu
uos susceptibles, produc
cirá, en prom
medio, más que
q un
individuo infectad
do) (Leah, 20
005; Fabrizio , 2011).
M
Matemáticam
mente el R0 puede
p ser ob
btenido a pa
artir del radio
o espectral dde la matriz de la
ente generacción, esto es: R0 = ρ FY−11 (Leah, 2005)
siguie
La
a matriz de la próxima ge
eneración (M
MPG) se obtiene como el
e producto dde F (matriz de
d los
nuevo
os infectado
os que van surgiendo)
s y la inversa de
d Y (transfe
erencias denntro y fuera de un
partimento) o simbólicamente, FY-1.
comp
Ell siguiente ejemplo, ilustrra el cálculo d
de dicha matriz.
FY-1
F
=
En
n esta matriz, A1 denota el
e número esperado de nu
uevas infeccio
ones agudass producidas por un
huma
ano infectado
o que ingresa
a al sistema e
en estado agudo durante todo su períoodo de infecttividad
por la
as vías direcctas (transfus
sional y cong
génita); A2, expresa
e el aporte a los nnuevos agud
dos de
individ
duos que orig
ginalmente atraviesan
a la e
etapa crónica
a indetermina
ada; A3 proveee el aporte de los
individ
duos que esstán atravesa
ando la últim
ma etapa de la enfermed
dad; A4 provvee el núme
ero de
192
nuevo
os humanos infectados prrovistos por ttriatominos in
nfectados; A5
5 expresa el nnúmero de nuevos
n
triatom
minos infecta
ados producid
dos por el ing
greso de un humano
h infectado en la etaapa aguda durante
su co
ompleto perío
odo de infectiv
vidad; A6 y A
A7 denotan lo
os nuevos tria
atominos infeectados produ
ucidos
por e
el ingreso de
d un humano en la ettapa crónica
a indetermina
ada y crónicca con pato
ología,
respe
ectivamente; A8 indica la
l cantidad de nuevos triatominos parasitados con T. cruz
zi por
alime
entarse de un
n perro infec
ctado introdu
ucido en una
a población compuesta
c ssólo por indiv
viduos
susce
eptibles, dura
ante su comp
pleto período de infectividad supuesto; A9 y A10 pproveen la ca
antidad
de nu
uevos perros infectados víía vectorial y congénita, re
espectivamen
nte (Fabrizio, 2011)
a matriz FY-1
La -
de la próx
xima genera
ación es un vector (en el
e sentido m
matemático) cuyos
eleme
entos denottan las canttidades de hospederos y triatomin
nos infectadoos primarios
s que
origin
nalmente ingresan al sistema en esoss estados (HA, HI, HP, VI
V y DI), entonnces:
Ell producto en
ntre ambas da como ressultado el ve
ector cuyos elementos
e sson las cantid
dades
ospederos y triatominos
de ho s infectados producidos por los individuos infecctados duran
nte su
comp
pleto período
o de infectivid
dad.
A partir de estte vector, se desprenden los siguiente
es resultados:
Debido a la dinámica
a de la enferrmedad, en los
l humanos
s sólo se prooducen infec
ctados
en etapa aguda, generados
g por
p humanos o triatomino
os infectados con T. cruzii.
Los triatom
minos se infe
ectan por el co
ontacto con humanos
h o ca
aninos infectaados con T. cruzi.
c
Los perro
os se infecta
an por contaccto con triato
ominos infecttados con el T. cruzi y por
p vía
congé
énita.
Bala
anceo de
e ecuaciones químicas por
p el mé
étodo ma
atricial
En
n una reaccción química
a, un conjun
nto de reacttivos en las proporcionees adecuada
as, se
transfforman en otros
o produc
ctos diferente
es. En el ejemplo siguie
ente, se tratta de calcular las
cantid
dades de cad
da producto que participa
an en la reac
cción, igualando el númeero de átomo
os que
intervvienen antes y después de
e la reacción. Naturalmentte, debe ser un
u número enntero de átom
mos.
Ca
alcularemos los coeficie
entes de la
a siguiente reacción qu
uímica, corre
respondiente a la
fotosíntesis.
aCO2 + bH2O ------------ cC6H1206 + d02
Ell número de átomos de C, H y O de
ebe ser el mismo a ambos lados de la reacción, para
ello d alores de a,, b, c y d. Comenzam
debemos hallar los va mos planteaando el sigu
uiente
sistem
ma de ecuaciones:
193
C: a 6c a 6c 0
O: 2a b 6c 2d entonces: 2a b 6c 2d 0
H: 2b 12c 2b 12c 0
Se tiene así un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas: a, b, c y d
El sistema resultará compatible indeterminado, para poder dar una de las infinitas
soluciones, operando algebraicamente, se obtiene el siguiente sistema equivalente al original y
se resuelve.
a 6c 0
2b 12c 0
6c 2d 0
Haciendo 2 2
2 /6 /3
12 /2 12 /3 /2 2
6 2
2 2
Puesto que sólo interesan soluciones con valores enteros y lo más pequeños posible, se elige
t = 3 y se tiene así:
2.3 6; 2.3 6; 3/3 1; 2 2.3 6
Cálculo de la fotosíntesis
194
Hora Intensidad de luz
1 420
2 836
3 1188
4 1476
5 1700
6 1860
7 1956
8 1988
9 1956
10 1860
11 1700
12 1476
13 1188
14 836
15 420
2500
2000
1500
1000
500
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
195
Sii queremos obtener
o una mejor aproxximación de la cantidad de
d luz acumuulada deberíamos
realizzar medicion
nes en interv
valo de tiem
mpo más corrtos. La mejjor aproximaación estará dada
enton
nces por el límite de la suma
s do t→0 y por
(cuand p lo tanto n→∞) y reprresentaría el área
total bajo la curva
a 31 496 , la representación gráfica
a de esta funnción se ajus
sta de
mane
era adecuada
a a los datos
s representad
dos en la tab
bla.
Po
odemos decir entonces, que
q en nuestrro problema de fotosíntes
sis el área com
mprendida entre el
eje ho
orizontal y la
a curva 31 4
496 represen
nta la intensidad de la luzz acumulada
a en el
períod
do desde t = 0 hasta t = 16. Pero, ¿pod
demos obten
ner exactamente ese valorr?
31 496 12
26976
31 496 63488 0 221162,67
3 2 3
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197
Los autores
Cappello, Viviana
Analista Universitario en Sistemas de la UTN FRLP. Ingeniera en Sistemas de Información
de la UTN FRLP. Cursó el profesorado de Matemática en FaHCE UNLP. Maestría en
Tecnología Informática Aplicada en Educación, Facultad de Informática UNLP. Magister en
Tecnología Educativa, Universidad Autónoma de Madrid. Actualmente se desempeña como
Profesora Adjunta Ordinaria en la Unidad Pedagógica de Matemática y Elementos de
Matemática de la FCNyM UNLP. JTP ordinaria de la Facultad de Arquitectura y Urbanismo.
Profesora Adjunta de Álgebra y Geometría Analítica en la UTN FRLP. Profesora de
Informática en la ETT 2 de Berisso. Ha participado de Congresos Nacionales e
Internacionales de Enseñanza de la matemática. Ha participado en Proyectos de extensión
de la UNLP. Mantiene y administra la web de la cátedra de la FCNyM, FAU y plataforma
virtual educativa de la ESNM.
Herrera, Romina
Profesora de Física y Matemática, título otorgado por la FAHCE, UNLP. Cursó la Maestría
en Educación en Ciencias Exactas y Naturales orientación Matemática en la misma casa
de estudios. Actualmente se desempeña como Profesora Adjunta Ordinaria en la Unidad
Pedagógica de Matemática y Elementos de Matemática de la FCNyM, UNLP. Es Ayudante
Diplomada de Matemática Nivel 1 de la FAU, UNLP. Es docente investigadora categoría V.
Forma parte del Equipo Técnico Regional, Matemática, de Formación Continua de la
Provincia de Bs. As. Profesora de Didáctica de la Matemática en ISFDyT N° 9. Profesora
de Matemática EET 2 Berisso. Obtuvo mención proyecto articulación entre niveles, JUREC
(2012). Dictó talleres a docentes. Participa de congresos de matemática vinculados a las
ciencias naturales, EDIMAT 2015. Cursó seminario de posgrado de arqueología, escuela
de verano, UNLP (2016).
Amor, Verónica
Licenciada en Biología Orientación Zoología, título otorgado por la Facultad de Ciencias
Naturales y Museo, UNLP. Cursa la carrera de Microbiología Clínica e Industrial de la Facultad
de Ciencias Veterinarias, UNLP y el Tramo de Formación Pedagógica, ISFDyT N° 9.
Actualmente se desempeña como Ayudante Diplomada Ordinaria de la Unidad Pedagógica de
Matemática y Elementos de Matemática de la FCNyM, UNLP. Profesora de Biología y Ciencias
198
de la Tierra de la EES N° 3 de Berisso. Participa desde el año 2009 como docente del Curso
Introductorio a la FCNyM, UNLP en las áreas de Matemática y Biología. Ha sido integrante de
equipos de investigación en las áreas de Parasitología (CEPAVE) y Micología Médica e
Industrial (Facultad de Ciencias Veterinarias, UNLP).
Di Paolantonio, Anyelen
Profesora de Matemática, título otorgado por la FAHCE de UNLP. Actualmente se desempeña
como Ayudante Diplomada Ordinaria en la Unidad Pedagógica de Matemática y Elementos de
Matemática de la FCNyM de UNLP. Es también Ayudante Diplomada Ordinaria en Elementos
de Matemática y Física, Nivel I de la FAU de UNLP y en Probabilidad y Estadística de la
Facultad de Ingeniería de UNLP. Profesora a cargo de Matemática de 2° Año del CNLP y de
Matemática Aplicada de 6° Año del LMV de la UNLP. Profesora de Ateneo de Matemática del
ISFDyT N° 9. Ha sido Adscripta en las cátedras de Didácticas Específicas del Profesorado de
Matemática de la UNLP. Ha participado de Congresos Nacionales e Internacionales de
Enseñanza de la matemática. Ha participado en Proyectos de extensión de la UNLP. Participa
como colaboradora en un PPID de la UNLP.
Lamenza, Guillermo
Doctor en Ciencias. Licenciado en Antropología. Especializado en arqueología y paleoclima en el
Gran Chaco sudamericano en la División de Antropología (FCNyM – UNLP). Becario postdoctoral
(CONICET). Ha dictado cursos y seminarios de grado y posgrado. Actualmente ayudante
diplomado ordinario de la Unidad Pedagógica de Matemática y Elementos de Matemática
(FCNyM – UNLP). Producción científica que incluye artículos en revistas con referato (14);
capítulos de libro (10); Libros (1); Trabajos en eventos C-T (44); Informes técnico (8) y Reseñas
(1). Organizador y coordinador en eventos de C-T. Director e integrante de proyectos de
investigación básica y extensión acreditados. Beneficiario de subsidios nacionales e
internacionales. Distinción Dr. Joaquín V. González a los mejores promedios de la UNLP (2009) y
el Premio internacional ¨Dra. Branislava Susnik¨ otorgado por el CEADUC, MEAB y AIP (2013).
Miembro de la Sociedad Argentina de Antropología.
Lorenzo, Jimena
Profesora de Matemática, título otorgado por la UNLP. Cursó la Maestría en Educación en
Ciencias Exactas y Naturales en la misma casa de estudios superiores. Actualmente integra el
Equipo de Gestión del Departamento de Ciencias Exactas y Naturales de la FaHCE UNLP.
También, se desempeña como Ayudante diplomado en Didáctica Específica II y Prácticas
Docente en Matemática para la carrera Profesorado de Matemática. Ayudante diplomado en la
cátedra de Matemática en la FCNyM UNLP. Es docente investigadora categoría V y forma
parte del Proyecto de Investigación “Relación con el saber y diversidad en el aula de
matemática de la escuela Secundaria básica de hoy. Un estudio exploratorio en el Gran La
Plata” Profesora de Estadística para la carrera Tecnicatura Superior en Seguridad e Higiene
Ambiental en el ISFT N°202, de Berisso.
199
Antromática : aporte para la formación en matemática de estudiantes de Antropología y
Profesorado de Biología / Viviana Cappello ... [et al.] ; coordinación general de Viviana
Cappello ; Romina Herrera ; prólogo de Ricardo Alberto Massucco. - 1a ed . - La Plata :
Universidad Nacional de La Plata, 2017.
Libro digital, PDF