CI 42 F MECANICA DE SOLIDOS II Semestre PDF
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CI 42 F MECÁNICA DE SÓLIDOS II
Semestre Otoño 2003
1.1 Introducción:
Los conceptos fundamentales de la mecánica de medios continuos serán
establecidos utilizando la notación indicial, propia del cálculo de tensores cartesianos.
Las leyes físicas, los conceptos matemáticos y los teoremas serán “re-formulados”
utilizando las definiciones y convenciones del cálculo tensorial.
Ri = (R1 , R2 , R3 ) ,
r r 3
a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3 = ∑ ai bi .
i =1
1 para i = j
δ ij = .
0 para i ≠ j
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1.2.6 Gradiente
El gradiente de una función escalar viene dado por:
∂φ ˆ ∂φ ˆ ∂φ ˆ
gradφ = ∇φ = i+ j+ k.
∂x ∂y ∂z
El operador “ ∇ ”recibe el nombre “Nabla”, “Delta Invertida” o “Del” y se puede
operar con él como un vector. Está definido por:
∂ ∂ ∂
∇ = iˆ + ˆj + kˆ .
∂x ∂y ∂z
En notación tensorial el gradiente se representa por:
∂φ
gradφ = = φ ,i .
∂xi
La “coma” delante del subíndice significa diferenciación con respecto a las
coordenadas espaciales xi .
1.2.7 Divergencia
La divergencia de un campo vectorial viene dada por:
r ∂F ∂Fy ∂Fz
∇F = x + + .
∂x ∂y ∂z
∂Fi
= Fi ,i = δ ij Fi , j .
∂xi
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1.2.8 Laplaciano
Si tomamos la divergencia del gradiente de una función obtenemos el Laplaciano de
dicha función:
∇ ⋅ ∇f = ∇ 2 f = f ,ii .
1.2.9 Rotacional
La rotación de un campo vectorial viene dada por:
r r ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F
rot F = ∇ × F = z − y iˆ + x − z ˆj + y − x kˆ .
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
En notación tensorial la podemos expresar con ayuda del tensor de permutación
como:
r ∂F
rot F = eijk k = eijk Fk , j .
∂x j
1.2.10 Identidad “ e − δ ”
En la manipulación de ciertas expresiones indiciales, es de gran utilidad hacer uso de la
siguiente identidad:
eijk eirs = δ jr δ ks − δ jsδ kr .
Esta identidad podría verificarse considerando que, en general se tiene:
δ ip δ iq δ ir
ξ ijk ⋅ ξ pqr = δ jp δ jq δ jr
.
δ kp δ kq δ kr
Si r=k:
δ jq δ jk δ jp δ jk δ jp δ jq
ξijk ⋅ ξ pqk = δ ip ⋅ − δ iq ⋅ + δ ik ⋅
δ kq δ kk δ kp δ kk δ kp δ kq ,
= δ ik δ jpδ kq − δ ik δ kpδ jq ,
= δ iqδ jp − δ ipδ jq .
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xi = f i ( x1 , x 2 , x3 ) , y
xi = g i ( x1 , x 2 , x3 ) .
1 Las funciones que relacionan los dos sistemas sean únicas, continuas y que
posean primeras derivadas parciales continuas en R.
∂xi
2 El determinante del Jacobiano, J = , debe ser distinto de cero para
∂x j
todos los puntos de la Región R, es decir:
Si las coordenadas x1 , x2
x3 y se asumen coordenadas cartesianas
rectangulares, la longitud del elemento ds viene dada por:
∂xi
dxi = dθ j .
∂θ j
Si reemplazamos esta ecuación en la anterior, se obtiene:
∂xi ∂xi
ds 2 = dθ k dθ t .
∂θ k ∂θ t
Si definimos la función:
∂xi ∂xi
g kt (θ1 ,θ 2 ,θ 3 ) = ,
∂θ k ∂θ t
entonces, el cuadrado del elemento de línea en el sistema general de coordenadas
θi se obtiene:
ds 2 = g kt dθ k dθ t .
El desarrollo de la expresión anterior establece que:
+ g 21dθ1dθ 2 + g 22 (dθ 2 ) 2 + g 23 dθ 2 dθ 3
+ g 31dθ1dθ 3 + g 22 dθ 2 dθ 3 + g 33 (dθ 3 ) 2
Las funciones g kt son llamadas las Componentes del Tensor Métrico Euclidiano en
el sistema de coordenadas θi .
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θ i = θ i (θ1 ,θ 2 ,θ 3 ) .
∂θ k
dθ k = dθ t ,
∂θ t
∂θ ∂θ ∂θ ∂θ t
ds 2 = g kt dθ k dθ t = g kt k dθ m t dθ n = g kt k dθ m dθ n ,
∂
mθ ∂
nθ ∂θ m ∂θ n
ds 2 = g mn dθ m dθ n .
x1 = x1 (θ1 ,θ 2 ) = θ1 cosθ 2 ,
x2 = x2 (θ1 , θ 2 ) = θ1 sin θ 2 ,
θ1 = θ1 ( x1 , x2 ) = x12 + x 22 ,
x2
θ 2 = θ 2 ( x1 , x2 ) = sin −1 ,
x +x
2 2
1 2
2
∂xi ∂xi ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2
g12 = g 21 = ∑ = + = (cosθ 2 )(−θ1 sin θ 2 ) + (sin θ 2 )(θ1 cosθ 2 ) = 0 ,
i =1 ∂θ1 ∂θ 2 ∂θ1 ∂θ 2 ∂θ1 ∂θ 2
2 2
2
∂x ∂xi ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 ∂x1
g 22 =∑ i = + = + = (−θ1 sin θ 2 ) 2 + (θ1 cos θ 2 ) 2 = θ12 ,
i =1 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2 ∂θ 2
ds 2 = dr 2 + (rdθ ) 2 .
x3
θ 2 = cos −1
x2 + x2 + x2 ,
1 2 3
x
θ 3 = tan −1 2 ,
x1
y su correspondiente transformación inversa:
x1 = θ1 sin θ 2 cos θ 3 ,
x2 = θ1 sin θ 2 sin θ 3 ,
x3 = θ1 cosθ 2 .
La aplicación de la misma metodología de cálculo utilizada en el caso de las
coordenadas polares, permite obtener las componentes del tensor métrico
Euclidiano en el caso de las coordenadas esféricas, las que en este caso
corresponden a:
g 11 = 1 ,
g 22 = (θ1 ) 2 ,
g 33 = (θ1 ) 2 (sin θ 2 ) 2 ,
Ambos conjuntos de ejes pueden ser trasladados sin rotación al origen común en P,
sin perdida de generalidad.
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r
La proyección de A sobre los ejes “sin prima” da los componentes Ai , y la
proyección sobre los ejes “con prima” da las componentes Ai′ .
Se desea entender como se relacionan los componentes “con prima” con los
componentes “sin prima” y viceversa.
(a11 , a12 , a13 ) = cosenos directores del eje y1′ respecto de los ejes ( y1 , y 2 , y3 )
(a21, a22, a23) = cosenos directores del eje y 2′ respecto de los ejes ( y1 , y 2 , y3 )
(a31 , a32 , a33 ) = cosenos directores del eje y3′ respecto de los ejes ( y1 , y 2 , y3 )
Resumiendo esto en forma tabular, donde el primer subíndice indica los ejes con
prima y el segundo subíndice indica los ejes sin prima:
y1 y2 y3
y1′ a11 a12 a13
y2′ a21 a 22 a 23
y3′ a31 a32 a33
A2′ = a 21 A1 + a 22 A2 + a 23 A3 ,
A3′ = a31 A1 + a32 A2 + a33 A3 .
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Intercambiando ahora los roles de los ejes con prima por los ejes sin prima, y repitiendo
el mismo procedimiento:
Estos dos conjuntos de ecuaciones son las leyes de transformación para los
componentes cartesianos de un tensor, y pueden pensarse como la definición de un
vector.
Ejemplo:
r
Las componentes de un vector A en un sistema de ejes cartesianos “sin prima” son
Ai = (1, 1, 0) . Considere un conjunto de ejes cartesianos “con prima”, obtenido a
partir de la rotación en un ángulo de 30° alrededor del eje y1 . ¿Cuales son los
r
componentes “con prima” Ai′ de este vector?
Los cosenos directores aij , entre los ejes con prima y sin prima, están dados como
sigue:
1 0 0
aij = 0 cos 30° sin 30°
0 − sin 30° cos 30°
Ai′ = aij A j ,
se obtiene:
Ai′ = aij A j .
De manera similar:
Ar = a rs As′ .
Esta transformación puede ser entendida como una “matriz de rotación” que “aplica”
sobre un sistema y lo transforma en otro.
a ji a jk = δ ik . (Ortogonalidad de columnas)
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Esto significa en palabras, que el producto punto de cada fila (o columna) consigo
misma es unitario, ya que obviamente son paralelas, y que el producto punto de una
fila (o columna) con otra fila (o columna), es cero, ya que son perpendiculares.
2 F = t ij xi y j .
Por otra parte, un tensor t ij es antimétrico si tij = −t ji . Este tipo de tensores tiene
sólo 3 componentes diferentes, ya que los términos de la diagonal principal deben ser
nulos para que se cumpla la condición de antimetría.
t 32
1
t i = − eijk t jk = t13 .
2
t 21
0 − t3 t2
t ij = −eijk t k = t 3 0 − t1 .
− t 2 t1 0
2 F = tij xi y j = t11 x12 + t22 x22 + t33 x32 + 2(t12 x1 x2 + t23 x2 x3 + t31 x3 x1 )
Sobre esta superficie es posible definir un vector que siempre es normal a ésta. Este
vector se denomina gradiente de F y puede ser expresado en términos del tensor y del
vector posición del punto como:
F, i = tij x j .
Las direcciones buscadas podrían determinarse tomando en cuenta que, el vector que
une el origen del sistema de coordenadas con un punto de la superficie, debe
apuntar en la misma dirección, que el vector normal a la superficie en ese punto.
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Lo anterior significa que el vector posición de un punto sobre la superficie, debe ser
colineal con el vector normal a la superficie en ese punto, lo que matemáticamente se
expresa como:
F, i = tij x j = λxi = λδ ij x j .
(tij − λδ ij ) xi = 0 .
donde los parámetros I1 , I 2 , I 3 son los invariantes principales del tensor, definidos a
continuación.
I1 = t ii = t11 + t 22 + t 33 = traza
1 1
I2 = (tii tii − tij tij ) = (tii t(i +1)(i +1) − ti2(i +1) ) = (t 22t33 − t 23
2
) + (t11t33 − t132 ) + (t11t 22 − t122 )
2 2
′ = xi x j tij
tkk
xi xi = δ ij xi x j = 1 .
t ij′ = aik a jl t kl ,
A′ = A (N = 0: Escalar)
Ar′ = a ri Ai (N = 1: Vector)
′ ...
Arst = ari a sj atk ... Aijk ... (N = N: Tensor de orden N)
Algunos softwares más “amigables” donde estas subrutinas se pueden desarrollar con
facilidad son: VISUAL BASIC, MATHCAD, MATLAB, etc.
2 TENSOR DE TENSIONES
2.1 Introducción:
Ahora consideraremos el estudio más detallado de un caso particular de tensor de
segundo orden: el Tensor de Tensiones. Se subentenderá que lo desarrollado para
este tensor en particular, será aplicable a cualquier otro tensor de segundo orden.
normales a los ejes cartesianos x i , o lo que es lo mismo, que sus normales ν i son
paralelas a los ejes dados.
1 2 3
En cada superficie tenemos un tensor de tensiones Ti, Ti, Ti,
donde el índice
superior representa la superficie sobre la cual actúa. Si descomponemos este vector
en sus componentes tendremos:
1 1 1
T 1 , T 2 , T 3 = (τ 11 ,τ 12 ,τ 13 )
2 2 2
T 1 , T 2 ,T 3 = (τ 21 ,τ 22 ,τ 23 )
3 3 3
T 1 , T 2 ,T 3 = (τ 31 ,τ 32 ,τ 33 )
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El conjunto de las nueve componentes de los tres vectores puede considerarse, como
ya sabemos, un tensor de segundo orden, τ ij , denominado tensor de tensiones.
a b
Si conocemos los esfuerzos a través de tres planos perpendiculares entre si, T i , T i ,
c
T i , podemos escribir el esfuerzo a través de un plano cualquiera cuya normal es ν i
en función de estos esfuerzos.
Si escogemos los tres planos normales a los tres ejes coordenados, ellos definen las
ν
nueve componentes del tensor τ ij y el esfuerzo T i a través del plano cuya normal
viene dado por:
ν
T i = ν jτ ji .
Si utilizamos la letra σ para referirnos específicamente al tensor de tensiones, y
utilizamos las convenciones de notación indicial, la ecuación anterior puede ser escrita
como:
σ νi = ν k σ ki .
2.4 Ecuaciones de Equilibrio
Consideremos un paralelepípedo infinitesimal de lados dxi . El volumen es
dV = dx1 dx2 dx3 y las áreas de las caras son dS1 = dx2 dx3 , dS2 = dx1 dx2 , etc.
τ 33 = τ 31 = τ 32 = 0 .
Este estado se denomina “estado plano de
tensiones” en el plano x1 − x2 .
Consideremos la expresión que toman los
esfuerzos al girar el sistema de coordenadas
un ángulo θ .
∂xi′
xi′ = xj,
∂x j
y en nuestro caso:
xi′ = β ij x j ,
donde los β ij son los cosenos directores de los ejes xi′ referidos a xj .
Para un giro de coordenadas la relación entre las coordenadas es:
∂xi′ ∂x′j
τ ij′ ( x1′ , x′2 , x3′ ) = τ lk ( x1 , x2 , x3 ) ,
∂xl ∂xk
y en el caso de una rotación de ejes cartesianos:
τ ij′ = τ lk β il β jk .
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τ 22
′ = τ 11 sin 2 θ + τ 22 cos 2 θ − 2τ 12 sin θ cosθ
τ 21
′ = ( −τ 11 + τ 22 ) sin θ cos θ + τ 21 (cos 2 θ − sin 2 θ )
τ 11 + τ 22 τ 11 − τ 22
τ 11′ = + cos 2θ + τ 21 sin 2θ ,
2 2
τ 11 + τ 22 τ 11 − τ 22
′ =
τ 22 − cos 2θ − τ 21 sin 2θ ,
2 2
τ 11 − τ 22
′ =−
τ 21 sin 2θ + τ 21 cos 2θ .
2
τ 11′ + τ 22
′ = τ 11 + τ 22 ,
lo que demuestra, una vez más, la invarianza de la traza del tensor ante una
transformación de coordenadas.
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Buscamos ahora para qué valor del ángulo θ los esfuerzos normales ′
τ 11′ y τ 22 toman
valores máximos o mínimos.
′
∂τ 22
′ .
= (τ 11 − τ 22 ) sin 2θ − 2τ 21 cos 2θ = −2τ 21
∂θ
La condición para un máximo o un mínimo es que la derivada sea cero, lo que implica
que para este caso los esfuerzos de cizalle deben ser nulos.
2τ 21
tan 2θ ∗ = .
τ 11 − τ 22
Los ejes definidos por esta orientación reciben el nombre de “ejes principales de
esfuerzos” y los esfuerzos normales correspondientes son los “esfuerzos
principales”.
Los valores que toman los esfuerzos en la dirección de los ejes principales son
máximos, o mínimos.
σ 11 σ 12 σ 13 ν 1 σ ν 1
r 1
σ ν = σ ν i ⋅νˆ = σ 21 σ 22 σ 23 ⋅ ν = σ
ν 2 ν2
σ 31 σ 32 σ 33 ν 3 σ ν 3
r
σνν = σν ⋅νˆ = (σν 1 σν 2 σν 3 ) ⋅ (νˆ1 νˆ2 νˆ3 ) ,
y la magnitud de la componente tangencial puede obtenerse a partir de:
r 2 2 2
σν = σ νν + σν t .
Los planos así determinados se denominan planos principales, y las direcciones que
los definen, se denominan direcciones principales.
Los valores de las tensiones actuando sobre los planos principales se denominan
tensiones o esfuerzos principales.
(σ ij − σδ ij )ν i = 0 .
I 1 = σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = Traza
1
I 2 = (σ iiσ ( i +1)(i +1) − σ i ( i +1) ) = (σ 22σ 33 − σ 23 ) + (σ 11σ 33 − σ 13 ) + (σ 11σ 22 − σ 12 )
2 2 2 2
I 3 = eijk σ 1iσ 2 jσ 3k = σ ij
− σ 3 + I1σ 2 − I 2σ + I 3 = 0 .
Esta ecuación surge de considerar las soluciones no triviales del sistema, dado por la
condición del determinante nulo: σ ij − σδ ij = 0 .
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(σ 1 , σ 2 , σ 3 ) .
(σ ij − σ k δ ij ) ⋅ n jk = 0 ,
ni n i = 1 .
1
σ ij = δ ijσ kk + σ ijd
3
El tensor desviatórico es definido por tanto como:
1
σ ijd = σ ij − δ ijσ kk
3
1
donde el término δ ijσ kk se denomina a veces “estado de tensiones hidrostático
3
puro”.
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σ ijd = σ ij − σ oδ ij
1 1 1
σ o = σ kk = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) = I1 .
3 3 3
El tensor desviatórico posee la importante propiedad de que su primera invariante es
siempre nula ( I 1 = 0 ), y que sus otras invariantes están relacionadas de la siguiente
d
I 2d = I 2 − 3σ o2 ,
I 3d = I 3 − I 2σ o + 2σ o3 .
σ o 0 0
σ esf
ij = 0 σo 0 .
0 0 σ o
Ejemplo
Se considerará el siguiente tensor en coordenadas cartesianas ortogonales para
establecer lo que se indica:
Invariantes Principales:
I1 = tii = 6.5 + 8.1 + 7.54 = 22.1
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I 2 = (t 22 ⋅ t 33 − t 23
2
) + (t11 ⋅ t 33 − t132 ) + (t11 ⋅ t 22 − t122 )
= (8.1⋅ 7.5 − 1.0 ⋅1.0) + (6.5 ⋅ 7.5 − 1.5 ⋅1.5) + (6.5 ⋅ 8.1 − 2.0 ⋅ 2.0) = 59.75 + 46.50 + 48.65 = 154.90
I 3 = tij = 6.5(8.1 ⋅ 7.5 − 1.0 ⋅ 1.0) − (−2.0)(−2.0 ⋅ 7.5 + 1.0 ⋅ 1.5) + 1.5(2.0 ⋅ 1.0 − 8.1 ⋅ 1.5)
Ecuación Característica:
− t 3 + I1 ⋅ t 2 − I 2 ⋅ t + I 3 = 0
Valores Principales:
Direcciones Principales:
Las direcciones principales se establecen resolviendo el sistema: (t ij − t k δ ij ) ⋅ n jk = 0
para cada uno de los valores propios t k (ver ejemplo resuelto a continuación). En este
caso se obtiene, para las direcciones principales expresadas como vectores
columnas lo siguiente:
[t ′] = [A]⋅ [t ]⋅ [A] T .
En este caso de estudio, estamos interesados en que los nuevos ejes coincidan con las
direcciones principales. Para hacer esto, la matriz A debe estar confeccionada a [ ]
partir de las direcciones principales como los vectores filas de la matriz
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A partir de este resultado, salvo errores de redondeo debido a haber trabajado con 4
cifras decimales, se aprecia que se obtiene la forma canónica del tensor, donde en la
diagonal principal se encuentran los valores principales o propios, y los elementos fuera
de la diagonal son nulos. ▄
NOTA:
Algunas calculadoras tienen implementados algoritmos que permiten realizar en forma
rápida los cálculos realizados en este ejemplo. Por ejemplo, las calculadoras Hewlett
Packard 48GX poseen las siguientes subrutinas:
MATH MATR NXT EGV, devuelve en el nivel 2 una matriz de n× n vectores propios
y en el nivel 1 un vector de n elementos de valores propios. Las columnas de la
matriz del nivel 2 representan los vectores propios correspondientes a los valores
propios del nivel 1.
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Ejemplo:
Considerando que en un punto dado de un continuo las componentes del tensor de
esfuerzo son las que se indican, se puede calcular lo siguiente:
14 − 6 − 3 4
σ ij = − 6 2 − 2 .
− 3 4 − 2 3 4
Invariantes Principales:
I1 = σ ii = 1 4 + 2 + 3 4 = 3
1
I 2 = (σ iiσ ii − σ ijσ ij ) = (σ 22σ 33 − σ 23
2
) + (σ 11σ 33 − σ 132 ) + (σ 11σ 22 − σ 122 )
2
= (3 2 − 2) + (3 16 − 3 16) + (1 2 − 6) = −6
1 − 3
I 3 = σ ij = (3 2 − 2) + 6 (− 3 6 4 − 6 4) + (2 3 − 3 2) = −1 8 − 6 − 15 8 = −8
4 4
Ecuación Característica:
− σ 3 + I1 ⋅ σ 2 − I 2 ⋅ σ + I 3 = 0 ⇔ − σ 3 + 3 ⋅σ 2 + 6 ⋅σ − 8 = 0
Tensiones Principales:
− σ 3 + 3 ⋅σ 2 + 6 ⋅σ − 8 = 0 ⇒ (σ 1 σ 2 σ 3 ) = (4 1 − 2)
Direcciones Principales:
Direcciones del esfuerzo principal para σ 1 = 4 : (σ ij − σ 1δ ij ) ⋅ n j1 = 0
⇒ n21 = − 2 6 3 ∴ nit1 = [ 1 − 2 6 3 3 3]
n
31 3 3
⇒ nit1 = [ 1 2 − 6 3 3 6]
Análogamente, para σ 2 = 1 y σ 3 = −2 :
nit2 = [ 1 2 0 − 3 2 ] y [ 2 2 3 3 6 6 ].
NOTA:
Una forma de comprobar que sus cálculos están correctos, es realizar el producto
cruz entre dos cualquiera de estos vectores y verificar que se obtiene el tercero
(eventualmente este podría resultar con un cambio de signo).
1 1
τ 13 = σ 3 −σ1 = − 2 − 4 = 3
2 2
1 1 3
τ 23 = σ 2 − σ 3 = 1 − (−2) =
2 2 2
14 − 6 − 3 4 1 0 0 − 3 4 − 6 − 3 4
1
)
σ ij = σ ij − δ ijσ kk = − 6 2 − 2 − 0 1 0 = − 6 1 − 2
3 − 3 4 − 2
3 4 0 0 1 − 3 4 − 2 − 1 4
.
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En este caso, el tensor adquiere su forma canónica, es decir, con los valores de las
tensiones principales en la diagonal y con elementos nulos fuera de ésta.
Las componentes del vector tensión para un plano de dirección cualquiera de normal
r
ν , se pueden escribir como:
ν
Ti = ν kσ ki = ν iσ i (sin suma sobre i)
ν ν ν
T1 = ν 1σ 1 , T2 = ν 2σ 2 , T3 = ν 3σ 3 .
r
Considerando además, que ν es un vector unitario:
ν kν k = ν 12 + ν 22 + ν 32 = 1 ,
las componentes del vector tensión deben satisfacer
la relación:
2 2 2
ν ν ν
T1 T2 T3
σ + σ + σ = 1 .
1 2 3
En este caso, las invariantes del tensor de tensiones adquieren los siguientes
significados geométricos:
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Esta manera de representar el estado tensional en un punto, fue desarrollada por Otto
Mohr en una serie de trabajos publicados entre 1882 y 1900.
Las direcciones ν i , sobre las cuales ocurren los esfuerzos máximos normales y los
máximos tangenciales, pueden determinarse a partir de:
σ ν2t + (σ νν − σ i +1 )(σ νν − σ i + 2 )
ν =2
.
(σ i − σ i +1 )(σ i − σ i + 2 )
i
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3 ANÁLISIS DE DEFORMACIÓN
3.1 Introducción:
En este capítulo consideraremos la deformación de un cuerpo como el “mapeo” de un
cuerpo desde un estado original (Sistema I) a un estado deformado (Sistema II).
3.2 Deformación
Las ecuaciones de transformación entre ambos sistemas pueden ser escritas como:
xi = xˆ i ( a1 , a 2 , a3 ) ,
ai = aˆ i ( x1 , x 2 , x3 ) .
Nos interesa conocer la descripción de la deformación del sólido, es decir, su
“alargamiento” y su “distorsión”. Para analizar esto, consideraremos tres puntos
vecinos formando un triángulo en la configuración original del sólido, puntos P , P ′ y,
P ′′ que se transformaron en los puntos Q , Q ′ y Q ′′ en la configuración deformada.
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La descripción del cambio de distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo es
la clave para el análisis de la deformación.
ds o2 = aij dai da j
ds 2 = g ij dxi dx j ,
∂ai ∂a j
dso2 = aij dxl dx m ,
∂xl ∂xm
∂xi ∂x j
ds 2 = g ij dal da m .
∂al ∂am
La diferencia entre los cuadrados de los elementos de longitud puede ser escrita,
luego de algunos cambios en los subíndices mudos, ya sea como:
∂x ∂x
ds 2 − dso2 = gαβ α β − aij dai da j ,
∂ai ∂a j
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o como:
∂a ∂a
ds 2 − dso2 = g ij − aαβ α β dxi dx j .
∂xi ∂x j
Se pueden definir entonces los Tensores de Deformación de Green y de Almansi
como:
1 ∂x ∂x
Eij = gαβ α β − aij ,
2 ∂ai ∂a j
1 ∂a ∂a
eij = g ij − aαβ α β ,
2 ∂xi ∂x j
de modo que:
ds 2 − dso2 = 2 Eij dai da j ,
g ij = aij = δ ij .
Además, si se introduce el vector de
r
desplazamiento u con componentes:
u i = xi − a i ,
entonces:
∂xα ∂uα ∂a ∂u
= + δ αi , α = δ α i − α ,
∂ai ∂ai ∂xi ∂xi
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1 ∂xα ∂x β
Eij = δ αβ − δ ij ,
2 ∂ai ∂a j
1 ∂uα ∂u β
Eij = δ αβ + δ αi + δ βj − δ ij ,
2 ∂ai
∂a j
1 ∂u j ∂u i ∂uα ∂uα
Eij = + + ,
2 ∂ai ∂a j ∂ai ∂a j
y:
1 ∂aα ∂aβ
eij = δ ij − δ αβ ,
2 ∂xi ∂x j
1 ∂u ∂u β
eij = δ ij − δ αβ − α + δ αi − + δ βj ,
2 ∂xi ∂x j
1 ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
Eab = + + + + ,
2 ∂b ∂a ∂a ∂b ∂a ∂b ∂a ∂b
1 ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
e xy = + + + + .
2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y
Notar que cuando el tensor de deformación Lagrangiano se evalúa, se considera
que u, v, w son funciones de a, b, c , que son la posición de los puntos en el cuerpo
en la configuración no deformada, mientras que cuando se evalúa el tensor de
deformación Euleriano, son funciones de x, y, z , que son la posición de los puntos en
la configuración deformada.
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Si se considera que las componentes del desplazamiento u i son tales que, sus
primeras derivadas son pequeñas y que los cuadrados y los productos de las
derivadas parciales son despreciables, el Tensor de Green se reduce al Tensor de
Deformación Infinitesimal de Cauchy:
1 ∂u j ∂ui
eij = + .
2 ∂xi ∂x j
∂u 1 ∂u ∂v
exx = exy = + = e yx ,
2 ∂y ∂x
,
∂x
∂v 1 ∂u ∂w
e yy = , exz = + = ezx ,
∂y 2 ∂z ∂x
∂w 1 ∂u ∂w
ezz = e yz = + = exy .
2 ∂z ∂y
,
∂z
NOTA: En el caso de desplazamientos infinitesimales, la distinción entre tensores
de deformación Lagrangianos y Eulerianos, desaparece.
ds 2 − dso2 = 2e xx (dx) 2 ,
de aquí:
2e xx (dx) 2
ds − dso = ,
ds + dso
ds − dso
= e xx .
ds
1 ∂u ∂v 1
exy = + = (cambio en ángulo xOy) .
2 ∂y ∂x 2
1 ∂v ∂u
La cantidad: wz = + , se denomina la
2 ∂x ∂y
rotación infinitesimal del elemento dx dy . Esta
terminología se sugiere en el caso 4.
∂v ∂u
Si =− entonces e xy = 0 , y wz es en realidad
∂x ∂y
el ángulo al cual el elemento es rotado como un
cuerpo rígido.
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1 ∂u j ∂ui
wij = −
2 ∂xi ∂x j .
1 r 1 r
wk = ekij wij , w = rot u ,
2 2
o bien:
w23
wk = w31 .
w
12
0 w3 − w2
wij = eijk wk = − w3 0 w1 .
w2 − w1 0
= uiP +
1
2
(ui , j + u j , i )dx j − (u j , i + ui , j )dx j
1
2
Las condiciones que deben poseer las deformaciones, para poder resolver este
sistema de ecuaciones, se denominan relaciones de compatibilidad.
Para que el sistema de ecuaciones planteado, posea una solución única, los puntos
finales C y D deben coincidir perfectamente en la configuración deformada del
cuerpo.
1 ∂ui ∂u j 1
eij = + , ó eij = (ui , j + u j ,i ) .
2 ∂x j ∂xi 2
En esta ecuación, los 4 subíndices representan 81 ecuaciones, pero de éstas, solo hay
6 independientes, las demás ecuaciones corresponden a identidades, o toman en
cuenta la simetría de los tensores eij y ekl .
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∂ 2 exx ∂ ∂e ∂e ∂e
= − yz + zx + xz ,
∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z
∂ 2 e yy ∂ ∂ezx ∂exy ∂e yz
= − + + ,
∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x
∂ 2 ezz ∂ ∂e ∂e ∂e
= − xy + yz + zx ,
∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y
∂ 2 exy
∂ 2 exx ∂ e yy
2
2 = + ,
∂x ∂y ∂y 2 ∂x 2
∂ 2 e yz ∂ 2 e yy ∂ 2 ezz
2 = + ,
∂y ∂z ∂z 2 ∂y 2
(1 + E1 ) 2 − 1 = 2 E11 , o E1 = 1 + 2 E11 − 1 .
Si se consideran pequeñas deformaciones, el término 2E11 es pequeño comparado
con 1 , y podemos hacer un desarrollo de Taylor de la función raíz, conservando sólo
el primer término de la expansión, obteniendo:
E1 = E11 .
Si generalizamos este resultado considerando direcciones paralelas a los otros ejes
coordenados, podemos decir que, para pequeñas deformaciones, las componentes
del tensor de deformaciones representan las deformaciones extensionales en las
direcciones de coordenadas.
v r
Después de la deformación, estos elementos de línea se transforman en ds y ds . Si
se realiza el producto escalar de los elementos deformados, se obtiene:
∂xk ∂x ∂x ∂x
ds ds cos θ = dxk dx x = dai k da j = k k dso dso .
∂ai ∂a j ∂a1 ∂a2
lo que, en conjunto con la forma que adquieren los elementos de línea en este caso:
finalmente resulta:
2 E12
cos θ = .
1 + 2 E11 1 + 2 E22
v r
Este ángulo θ corresponde al ángulo entre los elementos de línea ds y ds después
de la deformación. El cambio del ángulo entre los elementos de línea, los que en el
v r
estado original eran d s o y d s o ortogonales, corresponde a α 12 = π 2 − θ :
2 E12
sin α12 = .
1 + 2 E11 1 + 2 E22
α12 = 2E12 .
NOTA: Todas la derivaciones anteriores, de las fórmulas de deformación extensional y
angular, se desarrollaron considerando el tensor de deformación de Almansi
(interpretación Lagrangeana). Una interpretación completamente análoga, puede
derivarse para el caso del tensor de deformación de Green (interpretación
Euleriana):
encontrándose que:
e1 = 1 − 1 − 2e11 .
Aún más, si la desviación a partir de un ángulo recto de dos elementos de línea en el
estado original, los cuales después de la deformación son ortogonales, se denota por
β 12 , se tiene:
2e12
sin β12 = .
1 − 2e11 1 − 2e22
Esto nuevamente se puede reducir, en el caso de deformaciones infinitesimales, a los
resultados conocidos de:
e1 = e11 y β12 = 2e12 .
dV
= θ = e1 + e2 + e3 + e1e2 + e2 e3 + e3e1 + e1e2 e3 = I1 + I 2 + I 3 .
dx1dx2 dx3
Considerando que las deformaciones son pequeñas, cuando dx1 , dx 2 , dx3 tienden a
cero se obtiene:
θ = e1 + e2 + e3 = ui ,i = div u k = I1 .
4.1 Introducción:
En este capítulo se establecerán las relaciones constitutivas que describen el
comportamiento de los materiales.
Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las
relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas, son una importante
característica de los medios.
Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con
las determinaciones experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre
“cuerpos elásticos”.
Como se sabe, las cantidades cijkl corresponden, a un tensor de cuarto orden, con
3 4 = 81 componentes.
c jikl = cijkl .
cijlk = cijkl .
Considerando ambos casos, la simetría del tensor de tensiones y la simetría del tensor
de deformaciones, el número de constantes elásticas independientes del tensor cijkl
se reduce a 36.
1 1
W= cijkl eij ekl = σ ij eij .
2 2
∂W
Esta función posee la propiedad de = σ ij = cijpq e pq , lo cual implica la siguiente
∂eij
cklij = cijkl .
Con esta última consideración, el número de constantes elásticas independientes del
tensor cijkl se reduce a 21, pudiendo representarse como:
Por ejemplo, si el material exhibe simetría respecto a un plano (plano 1-2 por
ejemplo), no habrá relación entre las deformaciones que son simétricas respecto a ese
plano y las tensiones que son altimétricas respecto al mismo plano.
α β β 0 0 0
α β 0 0 0
α 0 0 0
cijkl =
γ 0 0 .
simetria γ 0
γ
α = λ + 2µ , β = λ
σ 11 λ + 2 µ λ λ0 0 0 e11
σ λ + 2µ λ0 0 0 e
22 22
σ 33 λ + 2µ 0 0 0 e33
=
σ 12 γ 0 0 e12 .
σ 23 simetria γ 0 e23
σ 31 γ e31
En este caso, existe una relación entre sus módulos elásticos, la que permite reducir
finalmente el número de parámetros independientes a solo 2. La relación que se
obtiene, luego de una rotación de ejes coordenados y de considerar que las
deformaciones “giradas” deben ser las mismas originales, es:
E
γ = = 2µ .
1 +ν
En el caso de que se acostumbre utilizar los módulos elásticos en vez de las
constantes de Lamé, la constante µ se denomina G , o módulo elástico para la
deformación angular.
σ αα = 3Keαα ,
σ ijd = 2Geijd ,
donde K y G son constantes y, σ ijd y eijd son los esfuerzos y las deformaciones
desviatóricas, respectivamente, es decir:
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1
σ ijd = σ ij − σ αα δ ij ,
3
1
eijd = eij − eαα δ ij .
3
Estas relaciones establecen que:
Una explicación mas detallada del significado de las constantes involucradas en estas
ecuaciones, se desarrolla a continuación.
p
de donde el coeficiente K = − , representa la presión dividida por el cambio de
∆V V
volumen por unidad de volumen que produce. Por lo tanto, este coeficiente recibe el
nombre de “módulo volumétrico” o de “compresibilidad” (o módulo de “bulk”).
Considerando la ecuación (**), haciendo todos los componentes del tensor deformación
cero, menos e12 , ésta se reduce a:
σ 12 = 2G e12 .
En esta ecuación, el coeficiente 2 se introduce debido a que antes de que el concepto
de tensor se hubiera definido, era costumbre definir la deformación por corte como
γ xy = 2exy . El coeficiente G se denomina “módulo de corte” o “módulo de
rigidez”.
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1 1
(σ ij − σ αα δ ij ) = 2G (eij − eαα δ ij )
3 3
1 1
(σ ij − 3Keαα δ ij ) = 2Geij − 2G ( eαα δ ij )
3 3
1
σ ij = 2Geij − 2G ( eαα δ ij ) + Keαα δ ij
3
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2
σ ij = ( K − µ )eαα δ ij + 2 µeij
3
σ ij = λθδ ij + 2 µeij
,
2
donde λ = K − µ , θ = eαα y µ = G .
3
La ecuación anterior, puede también establecerse como:
1
eij = (σ ij − λθδ ij )
2µ
1 +ν 1 +ν 3Kν σ αα
eij = (σ ij ) − 1 + ν 3K δ ij
E E
1 +ν ν
eij = (σ ij ) − σ αα δ ij .
E E
4.5 Ecuación de Movimiento en un Sólido Elástico, Isótropo e Infinito
La ecuación general de movimiento puede establecerse a partir de la segunda ley de
Newton, considerando la relación de tensiones de Cauchy y utilizando el teorema de
Green, tal como se muestra a continuación:
ν ∂
∫∫ Ti dS + ∫∫∫ fi dV =
S V
∂t ∫
vi ρ dV
∂
∫∫ν jσ ji dS + ∫∫∫ fi dV =
S V
∂t ∫
vi ρ dV
∂σ ji ∂
∫∫∫ ∂x
V j
dV + ∫∫∫ f i dV + =
V
∂t ∫
vi ρ dV
∂σ ji ∂
∫∫∫
∂
jx
+ f i −
∂t
( ρ vi dV = 0
)
V
∂σ ji ∂ ∂v
+ fi = ( ρ vi ) = ρ i
∂x j ∂t ∂t
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∂ 2 ui
σ ji , j + f i = ρ 2 .
∂t
Si en esta última ecuación, se reemplaza la relación esfuerzo deformación anterior,
podemos escribir:
∂ ∂ 2 ui
(λθδ ij + 2µ eij ) + f i = ρ 2 .
∂xi ∂t
Luego de un poco de álgebra y algunas sustituciones, se obtiene:
∂ ∂uk ∂ 2 ui ∂ 2 ui
(λ + µ ) + µ + fi = ρ 2 .
∂xi ∂xk ∂x j ∂x j ∂t
En notación vectorial esta ecuación puede tiene la forma:
r
r 2r ∂ 2u
(λ + µ )∇(∇ ⋅ u ) + µ∇ u + f i = ρ 2 .
∂t
Si consideramos ahora, que no existen fuerzas de volumen actuando sobre el sólido,
( fi = 0 ), obtenemos la conocida Ecuación de Navier:
r
r 2r ∂ 2u
(λ + µ )∇(∇ ⋅ u ) + µ∇ u = ρ 2 .
∂t
4.6 Ecuaciones de Ondas
A partir de la ecuación de Navier es posible establecer las denominadas ecuaciones
de onda. Estas ondas se denominan ondas de cuerpo, porque viajan al interior del
sólido. En el caso de medios infinitos (sin condiciones de borde o de fronteras), se
distinguen dos tipos principales de ondas:
λ + 2µ 2 ∂ 2θ
∇ θ = 2 ,
ρ ∂t
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λ + 2µ
VP = .
ρ
µ 2 ∂2w
∇ wi = 2 i
ρ ∂t ,
µ
VS = .
ρ
4.7 Método de Potenciales: Teorema de Helmholtz
Otra manera de reducir la ecuación de Navier a dos ecuaciones de onda, en que la
deformación elástica queda dividida en dos partes, una que lleva consigo cambio de
volumen sin distorsión y otra distorsión con volumen constante, es utilizando el
Teorema de Helmholtz.
Este teorema establece que para un campo vectorial el vector en un punto se puede
expresar en función de un potencial escalar ϕ (leído “fi”) y otro vectorial ψ (leído
“psi”), de acuerdo a la relación:
u i = ϕ ,i + eijkψ k , j
,
o en notación vectorial:
r r
u = ∇ ϕ + ∇ ×ψ .
La condición para que ψ i quede unívocamente definido es que su divergencia sea
cero.
Si tomamos la divergencia en los dos lados de la ecuación de definición del Teorema
de Helmholtz obtenemos:
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ui ,i = θ = ϕ ,ii .
Que nos dice que el potencial escalar ϕ está asociado con la dilatación cúbica θ.
Si tomamos ahora el rotor de la misma ecuación obtenemos una relación semejante
entre el potencial vectorial ψ i y la rotación de ui :
eijk u j ,k = 2 wi = ψ i ,kk .
Ahora, si reemplazamos la ecuación de definición del Teorema de Helmholtz, en la
ecuación de Navier en notación indicial, obtenemos:
∂ ∂ ∂2 ∂2
(λ + µ ) (ϕ,k + ekrtψ t ,r ) + µ (ϕ,i + eirtψ t ,r ) = ρ 2 (ϕ,i + eijkψ k , j ),
∂xi ∂xi ∂x j ∂x j ∂t
∂ ∂ 2ϕ ∂ 2ψ k
∂xi ρ ∂t 2 − (λ − 2µ )ϕ,kk = −eijk ρ ∂t 2 − µψ k ,mm .
, j
Una solución a esta ecuación la podemos obtener haciendo igual a cero las cantidades
dentro de cada corchete. De esta manera obtenemos las ecuaciones:
λ + 2µ 2 ∂ 2ϕ
∇ ϕ = 2 ,
ρ ∂t
µ 2 ∂ 2ψ
∇ ψ i = 2 i .
ρ ∂t
Estas son también ecuaciones con la forma de la ecuación del movimiento ondulatorio,
pero ahora no para las deformaciones elásticas sino para los potenciales. Las
soluciones de estas ecuaciones tienen también la forma y poseen las mismas
velocidades características que las correspondientes ecuaciones de Ondas P y S.
∂2 y 2 ∂ y
2
=c .
∂t 2 ∂x 2
La forma general de la solución de esta ecuación es:
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 62
y = f1 ( x − ct ) + f 2 ( x + ct ) ,
donde cada una de las funciones representa una configuración determinada que se
mueve en una dirección: la función f1 se mueve en la dirección positiva del eje x,y
la función f2 se mueve en la dirección negativa de este eje.
La ecuación de onda plana que viaja en la dirección positiva de la dirección definida por
el vector ν i , se puede escribir en la forma:
ik (ν j x j − ct )
ui = Ai e ,
u = A cos(k ( x − ct ) + ε ) ,
eijT = α ∆T δ ij
Estas deformaciones “extras”, deben sumarse a las deformaciones “existentes”,
antes del “calentamiento”, para obtener las deformaciones totales.
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1 +ν ν
eij − α ∆Tδ ij = (σ ij ) − σ αα δ ij ,
E E
o bien:
1 +ν ν
eij = (σ ij ) − σ αα − α∆T δ ij .
E E
Expresando esta última relación en términos inversos:
5 ELASTICIDAD LINEAL
σ ij = λθδ ij + 2µeij .
Si ahora, consideramos la “linealización” de algunos términos, como pequeños
desplazamientos y pequeñas velocidades, se puede obtener la denominada
ecuación de Lamé - Navier:
r
µ∇ 2u + (λ + µ )θ ,i + f i + f i T = 0 .
1 ν
∇ 2σ ij + θ ,ij = − δ ij f k ,k − ( f i , j + f j ,i ) = 0 .
1 +ν 1 −ν
Si no existen fuerzas de volumen ( f i = 0 ), las ecuaciones anteriores se reducen a:
1
∇ 2σ ij + θ ,ij = 0 .
1 +ν
Si aplicamos el operador ∇ 2 ( ) sobre esta ecuación, y dado que ∇ 2θ = 0 , se obtiene
que ∇ 4σ ij = 0 , es decir, σ ij es una función biarmónica.
Se concluye que, cuando las fuerzas de cuerpo son cero, cada uno de los
componentes de deformaciones y cada uno de los componentes de tensiones,
debido a que son combinaciones lineales de las primeras derivadas de los corrimientos,
son todos funciones biarmónicas:
∇ 4σ ij = 0
,
∇ 4 eij = 0 .
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 65
6 ELASTICIDAD PLANA
6.1 Introducción
En este capítulo estableceremos la forma que adquieren las relaciones esfuerzo
deformación cuando es posible “reducir” el análisis de problemas tridimensionales
(3D) a problemas bidimensionales (2D).
• Tensiones Planas: Cuando una dimensión es mucho menor que las otras dos
y las cargas solo se aplican en el plano definido por las dos dimensiones
mayores.
1
e33 = (σ 33 − ν (σ 11 + σ 22 )) ⇒ σ 33 = ν (σ 11 + σ 22 ) ,
E
además, la traza se transforma en:
∑ = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ 11 + σ 22 + ν (σ 11 + σ 22 ) = (1 + ν )(σ 11 + σ 22 ) .
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1 +ν ν
eij = σ ij − δ ij ∑ ,
E E
1 +ν ν
e11 = σ 11 − (1 + ν )(σ 11 + σ 22 ) ,
E E
e11 =
1
E
( )1
σ 11 + νσ 11 − νσ 11 + ν 2σ 11 − (ν (1 + ν )σ 22 ) ,
E
1 1
e11 = (1 + ν )(1 − ν )σ 11 − (ν (1 + ν )σ 22 ) .
E E
Análogamente:
1 1
e22 = (1 + ν )(1 − ν )σ 22 − (ν (1 + ν )σ 11 ) ,
E E
1 +ν
e12 = σ 12 .
E
Resumiendo en forma matricial lo anterior:
e11 (1 −ν ) −ν 0 σ 11
1 +ν −ν σ
e22 = (1 − ν ) 0 22 .
e E
12 0 0 1 σ 12
σ 11 (1 −ν ) ν 0 e11
E ν e
σ 22 = (1 − ν ) 0 22 .
σ (1 + ν )(1 − 2ν )
12 0 0 (1 − 2ν ) e12
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 69
1 1
e11 = σ 11 − ν (σ 22 ) ,
E E
1 1
e22 = σ 22 − ν (σ 11 ) ,
E E
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1 +ν
e12 = σ 12 .
E
Resumiendo en forma matricial lo anterior:
e11 1 −ν 0 σ 11
1
e22 = −ν 1 0 σ 22 .
e E 0 0 (1 + ν ) σ 12
12
Invirtiendo esta relación, se tiene:
σ 11 1 ν 0 e11
E
σ 22 = 2
ν 1 0 e22 .
σ (1 −ν ) 0 0 (1 −ν ) e
12 12
σ 11,1 + σ 12, 2 = − f1 ,
σ 12,1 + σ 22, 2 = − f 2 .
Estas ecuaciones pueden resolverse determinando la solución para el caso
homogéneo y agregándole una solución particular.
σ 11 = φ, 22 ,
σ 22 = φ,11 ,
σ 12 = −φ,12 .
Con esta definición de la Función de Airy, las ecuaciones de equilibrio homogéneas
se satisfacen idénticamente.
φ = φ1 + φ2 + K + φq + K + φn ,
i =q
φq = ∑ aqi x i y q−i .
i =0
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x4
φ4 = a40 ( y − x ) + a41 y x + a42 ( y x − ) + a43 x 3 y ,
4 4 3 2 2
3
función que satisface idénticamente la ecuación diferencial.
3F xy 3 P 2
φ= xy − 2 + y .
4c 3c 2
Las derivadas parciales correspondientes son:
3F y3
φ, x = y − 2 φ, xx = 0 ⇒ σ yy = 0
4c 3c
3F xy 2
φ, y = x − 2 + Py
4c c
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 73
3Fxy 3Fxy
φ, yy = − +P ⇒ σ xx = − +P
2c 3 2c 3
3F y2 3F y 2
φ, xy = 1 − = φ, yx ⇒ σ xy = σ yx = −φ, xy = − 1
4c c 2 4c c 2
Considerando la expresión para las tensiones σ xx , se puede establecer una analogía
con la fórmula de Navier, donde se identifica una viga con momento de inercia
I = (2 3)c 3 , tal que:
Fx
σ xx = − y+ P.
(2 3)c 3
Considerando la expresión para las tensiones σ xy , se puede establecer una analogía
con la fórmula de Jouravsky, donde se identifica una viga de semi-altura c , tal que:
σ xy =
F
2(2 3)c 3
(y2 − c2 .)
Esta situación se representa en la figura a continuación. En ésta, los colores rojos
representan a las cargas y los verdes a los campos de esfuerzos internos, tanto en
el caso de esfuerzos de tracción-compresión, como de corte. Los colores azules
indican el sistema de referencia utilizado y la geometría del problema.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 74
En este caso, debe determinarse las formas particulares que adquieren las
componentes de tensiones y las ecuaciones de equilibrio en estas coordenadas.
También debe determinarse, cuales son las formas que adquieren algunos operadores
matemáticos, como el Laplaciano, y la forma que adquiere la función de tensiones
de Airy, en este caso.
(σ r r ) ,r + σ θ ,θ + rf = 0 .
σ r = σ rr tˆr + σ rθ tˆθ ,
σ θ = σ θ r tˆr + σ θθ tˆθ ,
y considerando que las “derivadas” de los vectores unitarios correspondientes es:
tˆr ,θ = tˆθ ,
tˆθ ,θ = −tˆr ,
se obtienen las siguientes ecuaciones escalares de equilibrio:
1 σ rr + σ θθ
σ rr ,r + σ θ r ,θ − + fr = 0 ,
r r
1 2σ
σ θθ ,θ + σ rθ ,r + rθ + fθ = 0 .
r r
Además, por equilibrio de momentos se tiene que: σ rθ = σ θ r .
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 75
r 2 = x2 + y2 ,
y
θ = arctg ,
x
realizando las derivadas parciales correspondientes se tiene:
x y sin(θ )
r, x = = cos(θ ) θ,x = − 2
=−
r r r
y x cos(θ )
r, y = = sin(θ ) θ, y = = ,
r r2 r
entonces, la primera derivada parcial total es:
∂ ( ) ∂r ∂ ( ) ∂θ 1
( ),x = + = ( ) ,r r, x + ( ) ,θ θ , x = ( ) ,r cos(θ ) − ( ) ,θ sin(θ ) ,
∂r ∂x ∂θ ∂x r
y la segunda derivada parcial es:
1 1
( ) , xx = ( ) ,r cos(θ ) − ( ) ,θ sin(θ ) ( ) ,r cos(θ ) − ( ) ,θ sin(θ ) ,
r r
1 1
[ ]
= ( ) ,rr cos 2 (θ ) + − ( ) ,θ sin(θ ) cos(θ ) + − (( ) ,r cos(θ )),θ sin(θ ) + K
r ,r r
1
K + − (( ),r cos(θ ) ),θ sin(θ ) + K
r
1 1
K + − − ( ) ,θ sin(θ ) sin(θ ) ,
r r ,θ
[ ] 1 1
= ( ) ,rr cos 2 (θ ) + 2 ( ) ,θ sin(θ ) cos(θ ) + − ( ) ,θ r sin(θ ) cos(θ ) + K
r r
1 1
K + − ( ) ,rθ cos(θ ) sin(θ ) + ( ) ,r sin 2 (θ ) + K
r r
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1 1
K + 2 ( ) ,θθ sin(θ ) sin(θ ) + 2 ( ) ,θ cos(θ ) sin(θ ) ,
r r
sin(θ ) cos(θ ) sin 2 (θ ) sin(θ ) cos(θ ) sin 2 (θ )
( ) xx = ( ) ,rr cos (θ ) − 2( ) ,rθ
2
+ ( ) ,r + 2( ) ,θ + ( ) ,θθ .
r r r2 r2
Análogamente:
1 1
∇ 2 = ( ) , xx + ( ) , yy = ( ) ,rr + ( ) ,r + 2 ( ) ,θθ .
r r
1 1
σ rr = φ,r + φ,θθ ,
r r2
σ θθ = φ,rr ,
1 1 1
σ rθ = φ − φ,rθ = − φ,θ .
2 ,θ
r r r ,r
Estas expresiones satisfacen adecuadamente las ecuaciones de equilibrio en
coordenadas polares.
∇ 4 (φ (r , θ ) ) = 0 .
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1 1
∇ 4φ = ∇ 2∇ 2φ = r (rφ,r ) = 0 ,
r r ,r ,r
y las tensiones valen:
1
σ rr = φ,r ,
r
σ θθ = φ,rr ,
σ rθ = 0 .
La ecuación para ∇ φ puede integrarse dos veces, multiplicando primero por r ,
4
1
(rφ,r ),r = A log(r ) + B = ∇ 2φ .
r
Esta ecuación puede volver a integrarse dos veces, obteniéndose:
A 2
(
φ = r log(r ) − r +
4
2 Br 2
4
)
+ C log(r ) + D .
A 1 B C
σ rr = log(r ) − + + 2 ,
2 2 2 r
A 1 B C
σ θθ = log(r ) + + − 2 .
2 2 2 r
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A
σ rr = + B(1 + 2 log(r ) ) + 2C (2)
r2
A
σ θθ = − + B(1 + 2 log(r ) ) + 2C (3)
r2
Se pide:
a) Establecer todas las condiciones de borde del problema en forma analítica y dar
una breve explicación en palabras.
b) Determinar el valor de las constantes A, B y C que resuelven el problema y
utilizarlas para establecer relaciones para las tensiones σ rr y σ θθ .
Solución:
a) Condiciones de borde:
solo al momento M: ∫ σ θθ ⋅ dr = 0
a
y ∫ σ θθ r ⋅ dr = −M .
a
b) Determinación de constantes:
A A
+ B ⋅ (1 + 2 log(a ) ) + 2C = 0 + B ⋅ (1 + 2 log(b) ) + 2C = 0 . (4)
a2 b2
De la condición ii) y de la relación entre la función de Airy y las tensiones se obtiene:
b b
b
∫ σ θθ ⋅ dr = ∫ φ,rr ⋅ dr = φ,r a = 0 ,
a a
A A
b + B(b + 2b log(b) ) + 2Cb − a + B (a + 2a log(a ) ) + 2Ca = 0 .
b b
∫ σ θθ r ⋅ dr = ∫ φ
a a
, rr r ⋅ dr = − M , (5)
b b
b b
∫ φ,rr r ⋅ dr = φ,r r a − ∫ φ,r dr = φ,r r a − φ a ,
b
a a
b b
Notando de (4) que φ ,r r a = 0 y considerando (5), se encuentra que φ a = M ,
reemplazando en (1), se obtiene:
b
( ) (
A log( ) + B b 2 log(b) − a 2 log(a ) + C b 2 − a 2 = M .
a
) (6)
Esta ecuación (6), en conjunto con las ecuaciones (4), determinan completamente los
valores de las constantes A, B y C, los que son:
4M 2 2 b
A=− a b log( )
N a
B=−
2M 2
N
(
b − a2 )
C=
M 2
N
[ (
b − a 2 + 2 b 2 log(b) − a 2 log(a) , )]
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a
4M a 2b 2 b r a
σ rr = − 2 log( ) + b 2 log( ) + a 2 log( )
N r a b r
4M a 2b 2 b r a
σ θθ = − − 2 log( ) + b 2 log( ) + a 2 log( ) + b 2 − a 2
N r a b r
σ rθ = 0 .
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7.1 Introducción
En este capítulo analizaremos los esfuerzos y deformaciones para miembros
sometidos a pares de torsión respecto a sus ejes longitudinales.
Condiciones de borde:
u1 = −θ x2 ,
u 2 = θ x1 ,
u 3 = u 3 ( x1 , x2 ) ,
donde θ es el ángulo de rotación de la sección y u 3 = u 3 ( x1 , x 2 ) se denomina
función de alabeo.
El giro relativo de las secciones θ , puede determinarse a través de la constante χ,
que representa el giro por unidad de longitud, del siguiente modo:
θ = χ x3 .
e13 =
1
(u3,1 − χ x2 ),
2
e23 =
1
(u3,2 + χ x1 ).
2
7.3.3 Tensiones
Las tensiones correspondientes son:
σ 11 = σ 22 = σ 33 = σ 12 = 0
σ 13 = G (u3,1 − χ x2 )
σ 23 = G (u3, 2 + χ x1 ) ,
r r
Si se definen los vectores r = x1 kˆ1 + x 2 kˆ2 y σ 3 = σ 13 kˆ1 + σ 23 kˆ2 , las relaciones para
las tensiones pueden resumirse vectorialmente como:
r
(
σ 3 = G ∇u3 + χ kˆ3 × r
r
).
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r r r r r 1 r r
νˆ ⋅ kˆ3 × r = νˆ × kˆ3 ⋅ r = −tˆ ⋅ r = − r,s ⋅ r = (r ⋅ r ),s = −rr,s .
2
Con esto, la condición de borde queda:
u3,n = χ rr,s .
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r r
7.3.6 Relaciones entre M,χ y u3
En las caras perpendiculares al manto cilíndrico, las condiciones de borde establecen
el equilibrio con las tensiones internas:
p1 = G (u3,1 − χ x2 ) ,
p2 = G (u3, 2 + χ x1 ) , y
p3 = 0 .
Las tensiones sobre estas caras solo tienen por resultante un momento de torsión
puro, no poseyendo resultantes de corte.
La verificación de las tensiones de corte nulas se puede realizar mediante la
evaluación de la siguiente integral:
Q1 = Gχ ∫∫ p1dA = 0 ,
A
u3,1 u 3, 2
Q1 = Gχ ∫∫ x1 − x2 + x1 + x1 dA , ó
A χ ,1 χ , 2
r u r r
Q1 = Gχ ∫ x1 ν ⋅ ∇ 3 + ν ⋅ kˆ3 × r ds .
C χ
En esta última ecuación, el paréntesis cuadrado corresponde a la expresión para la
condición de borde en el contorno, y vale cero, por lo tanto:
Q1 = 0 .
Análogamente, se puede demostrar también que Q2 = 0 .
Considerando que el momento torsional esta dado por:
r r r r u r r
M = ∫∫ r × σ 3dA = Gχ r × ∇ 3 + r × (kˆ3 × r ) dA ,
A χ
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r u r r
M = Gχ I p − ∫ 3 r ⋅ dr .
c
χ
Tomando solo la magnitud de la relación anterior, se puede establecer que el
momento esta dado por χ veces la “rigidez torsional” GJ , donde J es la
“inercia torsional”, tal como:
u r r
M = Gχ J J = I p − ∫ 3 r ⋅ dr .
c
χ
u3
Si consideramos la función como variable independiente, se tiene que:
χ
u
• ∇ 2 3 = 0 , al interior de la sección, y
χ
u3
• = rr,s , en el contorno.
χ ,n
Algunos autores expresan la inercia torsional como una fracción del momento de
inercia polar de la sección, pudiendo expresarse χ como:
M M βM
M = Gχ J ⇒ χ= = = .
GJ G ( I p β ) GI p
Ejemplo: Sección circular
La solución está dada por una función u3 tal que dentro del círculo ∇ 2u3 = 0 y en
el contorno u3,n = χ rr,s = 0 .
La solución esta dada en este caso por u3 = cte = 0 , por lo que la inercia torsional
vale:
u3 r r π a4
J = I p − ∫ r ⋅ dr = I p = .
c χ 2
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M 2M
χ= = .
GJ Gπ a 4
r
La tensión de corte σ3 vale:
r
( r
σ 3 = G ∇u3 + χ kˆ3 × r = Gχ r = ) 2M
π a4
r.
Suponga una función φ ( x1 , x 2 ) tal que las tensiones estén dadas por las derivadas
parciales de ésta, del siguiente modo:
χ (φ,11 + φ, 22 ) + χ (1 + 1) = 0 ⇒ ∇ 2φ + 2 = 0 .
7.4.4 Condiciones de borde
Al igual que en el caso anterior, la condición de tensiones tangenciales y normales
nulas sobre la superficie cilíndrica, se expresa como:
r
νˆ ⋅ σ 3 = 0 .
r
Reemplazando en esta ecuación la expresión vectorial para σ3 se obtiene:
r
νˆ ⋅ σ 3 = −Gχ (νˆ ⋅ kˆ3 × ∇φ ) = −Gχ (νˆ × kˆ3 ⋅ ∇φ ) = −Gχ (−tˆ ⋅ ∇φ ) = Gχφ, s = 0 ,
donde φ, s corresponde a la derivada espacial respecto de la trayectoria o camino
recorrido sobre la curva, por lo tanto, se concluye que φ debe ser constante sobre
esta curva.
Lo anterior se resume en:
• ∇ 2φ + 2 = 0 , al interior de la sección, y
• φ = cte , en el contorno.
φ=0
φ = φ1
∇ φ +2=0
2
∇ 2φ + 2 = 0 φ = φ3
φ = φ2
(a)
(b)
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r
7.4.6 Relaciones entre el momento M y la torsión χ
Al igual que en el método semi inverso, las tensiones tangenciales en las caras
normales al manto cilíndrico deben ser equivalentes a un momento de torsión
según la dirección k̂3 . Esta condición conduce a una relación entre el momento
aplicado y el ángulo de torsión por unidad de longitud χ.
El momento torsor en este caso es:
r r r
M = ∫∫ r × σ 3dA = kˆ3 ∫∫ ( x1σ 32 − x2σ 31 ) dA .
A A
r r
M = −Gχ ∫ φ r × dr ⋅ kˆ3 + 2Gχ ∫∫ φ dA .
C A
Si ahora se discretiza esta integral de línea para considerar los n posibles contornos
diferentes, en cada uno de los cuales φ = φi , se tiene:
n
r r
M = −Gχ ∑ φi kˆ3 ∫ dr × r ⋅ + 2Gχ ∫∫ φ dA ,
i =1 C A
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 89
y teniendo presente que el área asociada a esta integral de línea es el doble de las
áreas encerradas por los contornos Ai , se puede escribir:
n
M = −Gχ 2kˆ3 ∑ φi Ai + 2Gχ ∫∫ φ dA .
i =1 A
M = Gχ J con J = 2 ∫∫ φ dA + 2(φ1 A1 + φ2 A2 + L + φn An ) .
A
σ 3 = Gχ (φ, s vˆ − φ, ntˆ ).
r
r
Esta expresión indica que la componente de σ3 según la tangente a la curva es
proporcional a la derivada de φ respecto a la dirección normal a ella, y que la
componente según la normal es proporcional a la derivada de φ respecto a la
dirección tangente.
Un caso particular es cuando la curva corresponde a una función φ = cte . En este
caso, la derivada respecto de la tangente vale cero y la tensión de corte tiene la
dirección de la curva. Además, el valor de la tensión de corte es proporcional a la
derivada de φ respecto de la longitud en la dirección normal.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 90
Considérese la superficie x3 = φ ( x1 , x 2 )
representada en la figura. φ(x1,x2)
φ(x1,x2)
φ=φ2
x2
φ=φ1
x1
φ=0
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J = 2 ∫∫ φ dA + 2(φ1 A1 + φ2 A2 + L + φn An ) .
A
C2
C1
P
a a h
b b
O
∫u
Ci
3, s ds = 0 ; i = 1,2, K, N º huecos ,
dθ
u s ,3 = h = χ h.
dx3
Reemplazando esta expresión en la anterior se obtiene:
u3, s = 2e3s − χ h .
Por lo tanto;
∫u
Ci
3, s ds = ∫ (2e
Ci
3s − χ h ) ds = 0 ,
pero:
∫ h ds = 2Ω
Ci
i Ωi = área encerrada por la curva Ci .
∫e
Ci
3s ds = χ Ω i i = 1,2, K , N º de huecos .
σ 3s − χ Gφ , n 1
e3 s = = = − χ φ ,n ,
2G 2G 2
reemplazando esta ecuación en la anterior, resulta finalmente:
∫φ
Ci
,n ds = −2Ω i .
Como se vio anteriormente, la función φ tiene valores constantes, diferentes entre sí,
en el contorno de los huecos. Habrá que determinar, por lo tanto, tantas constantes
como huecos haya en la sección. Esto se consigue utilizando esta última relación
para cada uno de los huecos, y resolviendo luego el sistema de ecuaciones
resultantes para las constantes.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 93
En las siguientes figuras se grafica esta analogía para el caso de una sección
simplemente conexa (a) y una región multiconexa (b).
En este caso, se observa que la mayor pendiente se produce justo en los bordes de la
membrana, por lo tanto, será en la superficie del cilindro donde se desarrollaran los
mayores esfuerzos de corte.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 94
Éste lugar geométrico deberá expresarse como una función idénticamente nula, es
decir, una función igualada a cero.
En la practica, esta función puede corresponder a una sola ecuación que describe el
contorno de la sección, o a una “pitatoria” de ellas, tal que cada una describa una
parte del contorno.
Para el caso de una sección elíptica, la función de Prandtl puede establecerse como:
x2 y2
φ = m 2
+ 2 − 1 ,
a b
la que, reemplazada en la ecuación de equilibrio da:
a 2b 2
∇ φ =0 ⇒ m=− 2
2
.
a + b2
La constante torsional queda en este caso:
a2 1 1 π a b
3 3
J = 2∫∫ φ dA = 2− 2 2 2 ⋅ I Y + 2 ⋅ I X − AElipse = 2 2 ,
A
a b a b a + b
y por tanto puede establecerse que:
a2 + b2
M t = Gχ J ⇒ Gχ = M .
π a 3b 3 t
Considerando la definición de la función de tensiones, los esfuerzos de corte pueden
expresarse como:
σ 31 = Gχφ, 2 2M t − y ˆ x
r
⇒ σ3 = i+ 2 ˆj
σ 32 = −Gχφ,1 π ab b 2 a
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− 2a 2 x2 2a 2
u3,1 = χ 2 + x2 ⇒ u3 = χ x2 1 − 2 x + f ( x2 ) (1) ,
2 1
a + b 2
a + b
− 2b 2 x2 2b 2
u3, 2 = − χ 2 + x
1 ⇒ u3 = − χ x
1 1 − x + g ( x1 ) (2) ,
2 2
a + b 2
a 2
+ b
Estas relaciones permiten realizar el siguiente desarrollo para establecer finalmente la
función de alabeo de Saint Venant como:
2a 2 2b 2
(1) y (2) ⇒ χ x2 1 − 2
x + f ( x2 ) = − χ x1 1 − 2
2 1
x + g ( x1 ) ,
2 2
a + b a + b
2a 2 2b 2
χ x1 x2 1 − 2 2 + 1 − 2 2 = g ( x1 ) − f ( x2 ) ,
a +b a +b
g ( x1 ) = f ( x2 ) ∀xi ⇒ ∴ g ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ,
a 2 − b2
∴ u3 ( x1 , x2 ) = − χ x1 x2 2
2 .
a +b
Como se aprecia en la figura, esta ecuación
corresponde al lugar geométrico de un paraboloide
hiperbólico.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 96
Para entender porqué los esfuerzos cortantes son nulos en las esquinas
consideremos el análisis de un elemento de esquina como el indicado en la figura.
Esta última situación es imposible ya que las superficies exteriores están libres de
todo esfuerzo, por lo tanto τ debe ser cero.
∇ 2φ = −2 ,
cuya solución puede establecerse como la suma
de una solución particular más la solución
homogénea:
φ = φP + φH .
∇ 2φP = φP , yy = −2 .
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 98
nπ x nπ x
Yn = An sinh + Bn cosh .
b b
Como la función sinh es antimétrica, por simetría se tiene que An = 0 , y por tanto
la función de Prandtl completa vale:
∞
nπ x nπ y
φ ( x, y) = − y( y − b) + ∑ Bn cosh sin .
n=1 b b
nπ a 2 nπ y
b
Bn cosh = ∫ y ( y − b) sin dy ,
2b b 0 b
de donde se obtiene:
8b 2
Bn = − con n = impar
nπ a .
n3π 3 cosh
2b
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 99
nπ x nπ y
2 ∞
cosh sin
8b b b
φ ( x, y ) = − y ( y − b ) − 2 ∑
π n=impar 3 nπ a .
n cosh
2b
La constante torsional J se obtiene por integración de la función φ:
a2 b
J = 2∫∫φ dA =2∫ ∫ φ dx dy ,
0 −a 2
A
resultando:
nπ a
tgh
ab3 192 b ∞ 2b
J= 1− ∑
3 π 5 a n=impar n5 .
ab3
Cuando b << a , J → . En otros casos basta con unos pocos términos de la
3
serie, pues ésta converge rápidamente.
ab3 ab3 b
J= k1 = 1 − 0.63 .
3 3 a
La tensión máxima de corte se produce en los puntos x=0 e y = 0, b :
∞
8 1
σ 3 max = (Gχφ, 2 ) x= y =0 = Gχb1 − 2 ∑
π n=impar 2 nπ a .
n cosh
2b
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 100
M
Considerando que χ= , la tensión máxima de corte en función del momento
GJ
vale:
k2 M
σ 3 max = 3 .
k1 ab 2
7.6 Secciones de Pared Delgada
Primero en esta sección utilizaremos los resultados de la sección anterior para obtener
la constante torsional de perfiles abiertos de pared delgada.
1
J = ab 3 ,
3
σ 3 max = Gχ b .
Estas aproximaciones son equivalentes a suponer que la función de Prandtl es una
superficie cilíndrica, donde se desprecia el efecto de los extremos.
En la parte (b) de la figura se muestra una sección trasversal (sección a-a), donde
aprecia que la máxima pendiente ocurre en los bordes de la membrana.
J= (
1 N º Elem. 3
∑ aibi .
3 i =1
)
Además, la tensión de corte máxima en cada elemento vale:
M bi
σ 3 max i = .
J
Esto es válido para secciones abiertas de pared delgada en general, no
necesariamente constituidas por elementos rectangulares, sino éstos pueden ser
también curvos de espesor constante.
En este caso, la magnitud “a” es la longitud de la línea central del elemento curvo y
“b” es el espesor.
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 102
∫u
C
3, s ds = 0 .
∫φ
C
,n ds = −2Ω C .
C
x2
φ=0
M
GIT
UD
INA
L
φ = φo
LON
RTE
x3 CO
M
h
x1 φο
(a) (b)
− φ0
φ,n = .
h
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 103
2ΩC
φo =
ds .
∫h
C
2ΩC 4Ω 2C
J = 2ΩCφo = 2ΩC =
ds ds ,
∫C h C∫ h
y la tensión de corte, uniforme a través de la pared, queda:
− φ0 Gχφ0
σ 3s = τ = −Gχφ,n = −Gχ = .
h h
Si se define el flujo de corte q como q = τ ⋅ h , se puede escribir:
Gχφ0 2ΩC Gχ
q =τ ⋅h = h = Gχφo =
h ds .
∫h
C
El análisis de la forma de las relaciones anteriores permite establecer una analogía con
las ecuaciones que describen el comportamiento de un circuito eléctrico de corriente
continua.
En ecuaciones:
q⇔i
2ΩC ⇔ V
1 ds
Gχ C∫ h
⇔R
M = Gχ J = 2ΩC q ⇔ V ⋅ i = potencia
q
_
V i R
+
Análogamente al caso de los tubos unicelulares, el análisis del diagrama siguiente, que
muestra la función φ de Prandtl para la torsión de un tubo multicelular, permite
observar que en este caso los flujos en cada rama son proporcionales a la
diferencia de los valores de φ en los huecos separados por la rama, es decir:
q1 = Gχφ1 ,
q2 = Gχφ2 ,
q3 = Gχ (φ1 − φ2 ) = q1 − q2 .
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 105
A F E
h1 h2
h3
q1 q3 q2
B D
C
φ = φ1
φ = φ2
φ=0
La Ley de las Mallas de Kirchhoff en cambio, establece que las caídas de potencial,
en un recorrido cerrado cualquiera del circuito, debe sumar cero. Esta ley es
equivalente a la ley de univalencia de u3 , según la cual en un recorrido cerrado C
debe tenerse:
∫τ ds = 2GχΩ
C
C ,
es decir:
1 1
∑n n Gχ ∫ h − 2ΩC = 0 ,
q
C n
donde la sumatoria se extiende sobre las ramas del recorrido C. La ecuación eléctrica
equivalente es:
∑i R
n
n n −V = 0 .
R1 R2
A F E
_ +
R3
V1 i1 i2 _ V2
+
B C D
A 0.8 cm E
0.6 cm
q1 H
B F 20
D
q2
C
G
40
Solución:
Rama ABCDA:
1 ds 1 ds
q1
Gχ ∫
ABC
0.6
+ (q1 − q2 )
Gχ ∫
CDA
0.6
= 2π (10) 2 ,
10π 10π
q1 + (q1 − q2 ) = 2π (10) 2 ⋅ Gχ ,
0.6 0.6
2q1 − q2 = 12 ⋅ Gχ (1) .
Rama ADCGFDEA:
Gχ Gχ Gχ Gχ
2
ADC
0.6 CG GFE
0 .6 EA
10π 10π
(q2 − q1 )
0. 6
+ q2
40
0 .8
+ (q2 − q1 )
0. 6
+ q2
40
0 .8
(
= 2 40 ⋅ 20 − π (10) 2 ⋅ Gχ , )
− 2q1 + 3.9099 q2 = 18.5577 ⋅ Gχ (2) ,
q = 10.5015 ⋅ Gχ
(1) y (2) ⇒ 1 .
q2 = 11.2507 ⋅ Gχ
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 108
2
J = 2∑ Ωiφi = ∑Ω q ,
Gχ
i i
J=
2
Gχ
[ ] [
2π (10) 2 ⋅ 11.2507 ⋅ Gχ + (40 ⋅ 20 − π (10) 2 ) ⋅ 10.5051 ⋅ Gχ = 24.342 cm 4 . ]
Dado el momento torsional aplicado, se obtiene:
M 1.200 .000 kg
Gχ = = = 49 .30 3 .
J 24.342 cm
kg
q1 = 11.2507 ⋅ 49.30 = 554.63 ,
cm
kg
q2 = 10.5015 ⋅ 49.30 = 517.69 .
cm
Rama CG y EA:
q2 517.67 kg
τ = = = 647.16 2 ,
h2 0.8 cm
Rama ADC y GFE:
q1 − q2 554.63 − 517.67 kg
τ = = = 61.56 2 .
h1 0. 6 cm
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 109
Rama EABCDE:
1 ds 1 ds 20 ⋅ 10
q1
Gχ ∫ 0.6
EABCD
+ ( q1 − q 2 )
Gχ ∫ 0.8 2
DE
= 2 + 20 ⋅ 10 ,
1.4142 q1 − q2 = 18 ⋅ Gχ (1) .
Malla EDGFE:
1 ds 1 ds 1 ds 1 ds
(q2 − q1 )
Gχ ∫ 0.8 Gχ
ED
+ q 2 ∫ 0.8
DG
+ ( q 2 − q3 )
Gχ ∫ 0.8 Gχ
GF
+ q 2 ∫FE 0.8 = 2(20 ⋅ 10) ,
− q1 + 3q2 − q3 = 16 ⋅ Gχ ( 2) .
Malla FGHF:
1 ds 1 ds π ⋅ 10 2
(q3 − q2 )
Gχ ∫ 0.8 Gχ
FG
+ q3 ∫
GHF
0.6
+ = 2
2
,
− q2 + 3.0944q3 = 12.566 ⋅ Gχ (3) .
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
q1 = 24.499 ⋅ Gχ
(1), (2) y (3) ⇒ q2 = 16.6465 ⋅ Gχ .
q = 9.4404 ⋅ Gχ
3
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20 ⋅ 10 π ⋅ 10 2
J=
2
Gχ
+ 20 ⋅ 10
⋅ 24.499Gχ + 20 ⋅ 10 ⋅ 16.6465Gχ + ⋅ 9.4404Gχ = 24324 cm 4 . [ ]
2 2
Dado el momento torsional aplicado se obtiene:
M 700.000 kg
Gχ = = = 28.78 3 .
J 24324.8 cm
Por lo tanto los flujos de corte valen:
kg
q1 = 24.449 ⋅ 28.78 = 703.60 ,
cm
kg
q2 = 16.6465 ⋅ 28.78 = 479 .06 ,
cm
kg
q3 = 9.4404 ⋅ 28.78 = 271.68 .
cm
Por lo tanto las tensiones valen:
q1 703.60 kg
Rama EABCD: τ = = = 1172.67 2 .
t1 0.6 cm
q1 − q2 703.60 − 479.06 kg
Rama DE: τ = = = 280.68 2 .
t2 0.8 cm
q2 479.06 kg
Rama DG y FE: τ = = = 598.82 2 .
t2 0.8 cm
q2 − q3 479.06 − 271.68 kg
Rama GF: τ = = = 259.22 2 .
t2 0.8 cm
q3 271.68 kg
Rama GHF: τ = = = 452.80 2 .
t3 0.6 cm
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8 MÉTODOS DE ENERGÍA
8.1 Introducción
En los capítulos anteriores se ha planteado la teoría de elasticidad a través de
ecuaciones tensionales, que relacionan las componentes de las diferentes
cantidades que definen el comportamiento mecánico de un cuerpo sólido.
Al ser indeformable, los corrimientos de todos los puntos del cuerpo quedan definidos,
para pequeños desplazamientos, en términos del corrimiento y giro de un punto de
r r
referencia O( x j ) del cuerpo, δ uo y δ wo , de la siguiente forma:
r r r r
δ u = δ uo + δ wo × r .
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r r r r r r r r
δWT = δ uo ⋅ ∫∫∫ f dV + ∫∫ pdS + δ wo ⋅ ∫∫∫ r × f dV + ∫∫ r × pdS
V S V S .
El primer paréntesis de esta relación es igual a la resultante de todas las fuerzas
externas aplicadas al cuerpo, mientras el segundo paréntesis es el momento
resultante de las fuerzas externas con respecto al punto O( x j ) .
Se tiene entonces que el trabajo total de las fuerzas externas debe ser nulo. Por lo
tanto:
“La condición necesaria y suficiente para que un mecanismo sometido a
un sistema de fuerzas externas esté en equilibrio, es que el trabajo total
de las fuerzas externas debido a un desplazamiento virtual compatible
con los vínculos sea igual a cero”.
p
Sea un cuerpo de volumen ( V ) y (S)
superficie ( S ) sometido a la x3 (V)
r
acción de fuerzas externas f en f
r
( V ) y p en ( S ), y tensiones
internas σ ij = σ ji .
x2
x1
El trabajo virtual neto de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento, dividido
por el volumen del elemento, es:
∂
δW = (σ i ⋅ u) + f ⋅ δu ,
∂xi
en consecuencia, el trabajo virtual total en el cuerpo vale:
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 114
∂
δWT = ∫∫∫ (σ i ⋅ δu ) dV + ∫∫∫ f ⋅ δu dV . (*)
V
∂xi V
∂δu ∂σ
δWT = ∫∫∫σ i ⋅ dV + ∫∫∫ i + f ⋅ δudV .
V
∂xi V
∂xi
∂σ i
Si el cuerpo está en equilibrio, + f = 0 , la expresión anterior se reduce a:
∂xi
∂δu
dV = ∫∫∫σ ijδu j ,i dV = ∫∫∫σ ij (δui , j + δu j ,i )dV (**)
1
δWT = ∫∫∫ σ i ⋅
V
∂xi V V
2
es decir:
∂δu
∫∫∫ f ⋅ δu dV + ∫∫ p ⋅ δu dS = ∫∫∫σ
V S V
ij ⋅
∂xi
dV ,
es decir:
∂ ∂σ i
∫∫∫ f ⋅δu dV + ∫∫ p ⋅ δu dS = ∫∫∫ ∂x (σ
V S V i
i ⋅ δu ) dV − ∫∫∫
V
∂xi
⋅ δu dV .
∂σ i
∫∫∫ ∂xi ⋅ δu dV + ∫∫S ( p −ν iσ i ) ⋅ δu dS = 0 .
+ f
Para que esta ecuación sea válida para δu arbitrario, necesariamente los paréntesis
deben anularse, de donde se concluye que:
∂σ i
+ f = 0 en (V )
∂xi .
p = ν iσ i en ( S t )
Es decir, hay equilibrio entre fuerzas externas de volumen y tensiones internas, y
entre fuerzas externas de superficie y tensiones internas en la superficie.
8.5 Aplicación del PTV: Método del Desplazamiento Unitario Ficticio (MDUF)
Sea un cuerpo cuyas tensiones internas σ ij son conocidas. Se desea saber qué
fuerza externa puntual P debe existir en un punto dado y dirección dada del cuerpo
para que éste esté en equilibrio.
Para ello se puede emplear el PTV con un corrimiento virtual δu , tal que la fuerza
1
P sea la única que trabaje y que en su punto de aplicación y dirección, se tenga que
δu1 = 1 . Con ello, considerando que δu 1 produce deformaciones internas
δeij1 =
2
(
1 1
)
δui , j + δu1j ,i , se tiene, igualando el TV externo con el TV interno:
P = ∫∫∫σ ijδeij1 dV .
V
W = ∫ σ ij deij = W (eij ) , Wc
0 W
lo cual significa:
∂W
σ ij = . eij
∂eij
Considerando el Principio de los TV, con un desplazamiento virtual infinitesimal
compatible con (Sd) y el resultado anterior, se tiene:
∂W
∫∫∫
V
∂eij
δeij ⋅ dV − ∫∫∫ f iδui dV − ∫∫ piδui dS = 0 ,
V St
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 117
Definiendo:
se tiene:
δπ = 0 .
De aquí el Teorema de la Energía Potencial Estacionaria, TEPE, que dice:
n
ui = φoi + ∑ aikφk ,
k =1
donde φoi son funciones conocidas que deben satisfacer las condiciones de borde en
Sd , es decir, φoi = uoi en Sd , con uoi conocidos, yφk son funciones que
N
δui = ∑ φ k δaik .
k =1
En el caso de un material linealmente elástico la energía de deformaciones por
1
unidad de volumen vale W = σ ij eij (fórmula de Clapeyron), con lo cual:
2
1
2 ∫∫∫
π= σ ij eij − ∫∫∫ f i ui dV − ∫∫ pi ui dS .
V V S
Pero las tensiones para un material isótropo, están relacionadas con las
deformaciones a través de:
σ ij = 2µeij + δ ij λuk ,k ,
la que, reemplazando en la ecuación anterior, conduce a:
1
2 ∫∫∫
π= (2µeij + δ ij λuk ,k )eij dV − ∫∫∫ f i ui dV − ∫∫ pi ui dS
V V S
∂π
La condición de estacionariedad de π está dada por = 0 , para i = 1,2,3 y
∂aik
k = 1,2,.., n .
l
1
La energía potencial total vale: π = ∫∫∫σ xx exx dV − ∫ p u dx .
2 V 0
Usando la hipótesis de Bernoulli, que las secciones planas de la viga permanecen
planas y perpendiculares a la elástica (despreciando las deformaciones de corte), se
tiene: e xx = yu´´ y σ xx = Eyu´´ , con lo cual:
1
l l
1 1
WT = ∫∫∫ σ e
xx xx dx = ∫ ∫∫ E (u ' ' )2 2
y dA dx = ∫ EI (u ' ' ) 2 dx .
2 V 20A 20
Reemplazando en la expresión para π se obtiene:
l l
π=
EI
2 ∫ (2 a 2 + 6 a3 x )2
dx − p ∫ (a 2 x 2
+ a3 x 3
) dx =
2
EI
(4 a 2
2 l + 12 a 2 a3 l 2
+ 12 a3
2 3
l ) − p
a2 3 a3 4
l + l .
o o 3 4
∂π ∂π
Las condiciones = = 0 conducen al sistema de ecuaciones:
∂a2 ∂a3
pl 2 5 pl 2
4a2 + 6a3l = a2 =
3EI ⇒ 24 EI
2
pl 1 pl ,
6a2 + 12a3l = a = −
4 EI
3
12 EI
valores que, reemplazados en la función aproximada original dan:
5 pl 2 2 3
u ( x) = lx − x .
24 EI 5
El valor del desplazamiento en el extremo libre es:
5 pl 3 2 3 5 pl 4 2 5 pl 4 3 1 pl 4
u (l ) = l − l = 1 − = = .
24 EI 5 24 EI 5 24 EI 5 8 EI
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l l
EI k
π =
2 0∫ (2a1 + 6a2 x) 2 dx +
20∫ (a1 x 2 + a2 x 3 ) 2 dx − P ⋅ (a1l 2 + a2l 3 )
En la situación de equilibrio δπ = 0 :
∂π
∂a1
=0 ⇒
EI
2
( )k2 1
8a1l + 12 a 2 l 2 + a1l 5 + a 2 l 6 − Pl 2 = 0
25 3
∂π
∂a 2
=0 ⇒
EI
2
( )
k 1 2
12 a1l 2 + 24 a 2 l 3 + a1l 6 + a 2 l 7 − Pl 3 = 0
23 7
1 A−C
a = Pl − Pl ( )
a1 A + a2 B = Pl 1
A AD − BC
⇒ ∴ u ( x) = a1 x 2 + a2 x 3 .
a1C + a2 D = Pl A−C
a2 = Pl
AD − BC
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 121
δσ ij , j +δf i = 0 en (V )
δσ ij = δσ ji en (V ) .
ν iδσ ij = δp j en (V )
Mediante un desarrollo análogo al realizado en el caso de los trabajos virtuales TV, se
puede ver que El TVC por unidad de volumen vale:
∂
δW C = (δσ i ⋅ u ) + δf ⋅ u . (*)
∂xi
El TVC total en el cuerpo es entonces:
∂
δWTC = ∫∫∫ (δσ i ⋅ u) dV + ∫∫∫δf ⋅ u dV .
V
∂xi V
δWTC = ∫∫∫ δf ⋅ udV + ∫∫ δp ⋅ udS = TVC de las fuerzas externas = δWTC , EXT .
V S
δWCT = ∫∫∫ δσ ij
1
(ui , j + u j ,i )dV .
V
2
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∫∫∫ δf ⋅ u dV + ∫∫ δp ⋅ u dS = ∫∫∫ δσ
V S V
e dV ,
ij ij (***)
∫∫∫δ f ⋅ u dV = ∫∫∫δσ ⋅ δu dV
V V
i ,i
= − ∫∫∫ (u ⋅ δσ ) dV + ∫∫∫ u i ,i ,i ⋅ δσ i dV
.
V V
= − ∫∫ u ⋅ δp dS + ∫∫∫
1
(ui, j + u j ,i )δσ ij dV
S V
2
Finalmente, substituyendo en (***) se obtiene:
eij =
1
(ui, j + u j ,i ) .
2
El principio de los trabajos virtuales complementarios puede enunciarse entonces
como:
M
exx = − y.
EI
Supongamos que se desea saber la deformación de la viga en el punto x = xo .
Para ello consideremos un sistema de fuerzas virtuales consistente en una fuerza
unitaria aplicada en el punto de interés, la cual estará en equilibrio con los
momentos internos δM .
1
δM 1
Las correspondientes tensiones internas son: δσ xx = −
1
y.
I
L L δM 1M
Aplicando el PTVC se tiene: ∆ = ∫ ∫∫ δσ e dA dx = ∫
1
xx xx dx .
0
A
0 EI
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∫∫∫ δ σ
V
ij ⋅ eij dV = delta P
C D
= ∫∫∫ δ f i ⋅ ui dV + ∫∫ δ pi ⋅ u dS , L
V S
y considerando que en este caso, las únicas fuerzas que “trabajan” corresponden a
los esfuerzos internos en las barras, este principio puede reformularse como:
∫∫∫δ σ
1
ij ⋅ eij dV = 1 ⋅ ∆ ⇒ ∑δ σ
Barras
1
ij ⋅ eij dV = 1 ⋅ ∆
V
Ti1 Ti Ti1Ti Li
∑
A A E
Barras i i i
Ai Li = ∑
Barras Ai Ei
= ∆
Una forma rápida de realizar los cálculos, consiste en confeccionar la siguiente tabla,
donde se resumen las características geométricas del enrejado, las propiedades
mecánicas de los elementos y las tensiones inducidas en los elementos, ya sean
“reales”, debidas al sistema de cargas o “virtuales”, debidas a la fuerza ficticia
supuesta.
AB L P 0 0 E A −1 2 − PL 2
AC L 2P 0 0 E A −1 2 − 2 PL 2
BD L P -1 − PL E A −1 2 − PL 2
CD L 0 0 0 E A −1 2 0
CB 2L − 2P 2 − 2 2 PL E A 1 2 PL
∑T T Li = − 3.828 PL ∑T T Li = − 4.828 PL
1 1
i i i i
Finalmente se obtiene:
PL
DHorizontal B = − 3.828 ,
EA
PL
DDiagonal AD = − 4.828
EA .
Observaciones:
• El signo final del desplazamiento (en estos dos casos negativos), indica que el
desplazamiento tiene sentido contrario a la dirección en que se supuso la fuerza
unitaria ficticia (ver figura).
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 126
W = ∫ e (σ )δσ ij .
C
ij ij
0
∂W C
δW C = δσ ij ,
∂σ ij
por lo tanto:
∂W C
eij = .
∂σ ij
∂W C (σ ij )
∫∫∫
V
∂σ ij
δσ ij dV − ∫∫ ui0ν iδσ ij dS = 0 .
Sd
N
π T = WT (u k ) − ∑ Pk u k
k =1 .
La Energía Potencial Total es, entonces, función de los corrimientos.
∂WT
Pk = .
∂uk
Luego:
“La derivada de la energía de deformación de un cuerpo elástico con
respecto al corrimiento del punto de aplicación de una fuerza, es igual a
la fuerza” (1er Teorema de Castigliano).
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 128
∂WTC
uk = .
∂Pk
Luego:
“La derivada de la energía potencial complementaria total respecto a
una de las fuerzas es igual al corrimiento de dicha fuerza en su
dirección” (Teorema de Engesser).
∂WT
uk = .
∂Pk
Luego:
“En un cuerpo linealmente elástico la derivada de la energía de
deformación con respecto a una fuerza es igual al corrimiento de dicha
fuerza en su dirección” (2do Teorema de Castigliano).
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 129
∑P u
k =1
1 2
k k = ∫∫∫σ ij1 eij2 dV = ∫∫∫ cijmne1mneij2 .
V V
Se obtiene:
M
∑ P u = ∫∫∫σ
l =1
l
2 1
l e dV = ∫∫∫ cijmnemn
2 1
ij ij
2 1
eij .
V V
Como las constantes constitutivas cijmn son simétricas, entonces los valores de las
dos ecuaciones anteriores son iguales, con lo cual:
N M
∑P u =∑P u
k =1
1 2
k k
l =1
l
2 1
l .
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Semestre Otoño 2003 (Versión Preliminar) 130
∂Pi ∂WT
Es decir, kij = , pero como, Pi = , se tiene:
∂u j ∂ui
∂ 2WT
kij = = k ji .
∂ui ∂u j
Los coeficientes de rigidez forman entonces una matriz simétrica, conocida también
como matriz de rigidez del cuerpo para el estado de cargas correspondiente.
∂ui ∂ 2WTC
f ij = = = f ji .
∂Pj ∂Pi ∂Pj
Suponiendo que los desplazamientos se miden a partir del estado en que las
fuerzas son nulas, se tiene que:
n
Pi = ∑ kij u j .
j =1
Si medimos las fuerzas a partir del momento en que los desplazamientos son
nulos, se tiene:
n
u j = ∑ f jl Pl = ∑ f jl ∑ klmum = ∑∑ f jl klmum .
l =1 l m l m