Sistemas de Control

SISTEMAS DE CONTROL
Enfoque de Proyecto
Grupo de Investigación en Control Industrial
Área de Automática
Profesor:
José Miguel Ramı́rez S.
UNIVERSIDAD DEL VALLE COLCIENCIAS
Facultad de Ingenierı́as
Escuela de Ingenierı́a Eléctrica y Electrónica
Santiago de Cali
7 de febrero de 2014
Contenido
1. La ingenierı́a de control 1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Definiciones y representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. La regulación y el seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Tipos de señales y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5. Tipos de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.6. Representación ISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Las buclas tı́picas de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1. La bucla tı́pica de realimentación análoga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. La bucla tı́pica de realimentación digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.3. La bucla tı́pica de realimentación discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. El proyecto de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. El análisis y diseño de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1.1. El análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1.2. El diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1.3. El problema de diseño de los sistemas de control . . . . . . . . 28
1.4.1.4. Métodos de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.2. Ingenierı́a del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.3. Ingenierı́a básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.3.1. Las especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.3.2. Diseño conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Detalle de entradas, salidas y componentes del sistema. . . . . . . 33
La estructura del sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3.3. La justificación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Estimación de beneficios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Estimación de costos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Herramientas financieras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3.4. Los términos para la contratación . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.4. Ingenierı́a de detalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.5. Ingenierı́a de puesta en marcha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6. Lecturas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
ii
1.7. Ejercicios lúdicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9. Actividades sugeridas de proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2. Modelado análogo 51
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2. El modelado para el diseño de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3. Propiedades de los sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1. Propiedades generales de los sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2. Sistemas eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2.1. Resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2.2. Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2.3. Inductancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3. Sistemas mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3.1. Amortiguación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3.2. Elasticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3.3. Masa y momento de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3.4. Traslación y rotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.3.5. Engranajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4. Sistemas térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.4.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.4.2. Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.5. Sistemas de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.5.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.5.2. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.5.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.6. Sistemas de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.6.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.6.2. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.7. Sistemas quı́micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.7.1. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.7.2. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.8. Sistemas con tiempo muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4. Normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5. Representación de la incertidumbre (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6. Sistemas lineales análogos en representación entrada salida . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1. La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2. La función de transferencia continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.2.1. Caracterı́sticas de la función de transferencia . . . . . . . . . . . 83
2.6.2.2. La función de transferencia del tiempo muerto . . . . . . . . . . 84
2.6.3. Trazado de diagramas de bloques en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.4. Álgebra de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.4.1. Simplificación de diagramas de bloques con una entrada . . . . . 87
2.6.4.2. Simplificación de diagramas de bloques con múltiples entradas . 91
2.6.4.3. Diagramas de bloques con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6.5. Funciones de transferencia de dinámicas no modeladas (I) . . . . . . . . . 93
2.6.6. Modelado del disturbio y del ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.7. Sistemas análogos en representación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.7.2. Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7.3. Representación de sistemas en el espacio de estado . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.3.1. Ecuaciones dinámicas a partir del sistema . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.3.2. Ecuaciones dinámicas a partir de las ecuaciones diferenciales . . 112
Entrada única sin términos derivativos. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Entrada única con términos derivativos. . . . . . . . . . . . . . . . 113
Entradas y salidas múltiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.7.3.3. Ecuaciones dinámicas a partir de las funciones de transferencia . 116
2.7.3.4. Ecuaciones dinámicas con el MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 119
2.8. Matrices de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.9. Identificación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.10. Reducción de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.10.1. Modelo de red abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.10.2. Reducción con los valores singulares de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.11. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.12. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3. Modelado de sistemas de control digitales 137

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2. Modelado de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.3. Modelado del procesador digital y los conversores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.1. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.2. Representación temporal de secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3.3. Representación del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3.4. Ecuaciones de diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.5. Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.6. Función de transferencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.7. Representación frecuencial del retenedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3.8. Reconstrucción de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.3.9. Transformada Z modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4. Modelado de sistemas de datos muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.4.1. La función de transferencia de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.4.2. Función de transferencia de pulsos de elementos en cascada . . . . . . . . 158
3.4.3. Función de transferencia de pulsos de sistemas realimentados . . . . . . . 160
3.4.4. Función de transferencia de pulsos de sistemas con retardo . . . . . . . . 161
3.5. Sistemas discretos en representación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.6. Identificación paramétrica de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6.1. Diseño y ejecución del experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.6.2. Selección de la estructura del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.6.3. La selección del método de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.4. La validación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.7. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4. Análisis de las caracterı́sticas de los sistemas realimentados 187

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2. Sistemas en red abierta y en red cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.2.1. Funciones de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.2.2. Funciones de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4. Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.5. Rechazo de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.1. Perturbaciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5.2. Ruido de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.6. Control de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.7. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5. Análisis de la respuesta en el tiempo 207

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2. Señales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3. Respuesta temporal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4. Respuesta permanente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.1. Error permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.2. Clasificación del tipo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.3. Error permanente debido a entradas escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.4.4. Error permanente debido a entradas rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4.5. Error permanente debido a entradas parabólicas . . . . . . . . . . . . . . 213
5.5. Respuesta transitoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.5.1. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.2. Caracterı́sticas de la respuesta al escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.5.3. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5.4. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.5. Sistemas de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.5.6. Polos dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.5.7. Sistemas con ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.5.7.1. Sistemas de primer orden con un cero . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.5.7.2. Sistemas de segundo orden subamortiguados con un cero . . . . 238
5.5.7.3. Sistemas estables con cero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.6. Respuesta temporal de sistemas inciertos (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.7. Especificaciones para la respuesta temporal continua de sistemas de control . . . 243
5.7.1. Respuesta permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.7.2. Respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.8. Limitaciones en la respuesta temporal de sistemas de control continuos . . . . . . 245
5.8.1. Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.8.2. Actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.8.3. Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.8.4. Disturbios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.8.5. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.8.5.1. Retardos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.8.5.2. Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.8.5.3. Integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Sobrepaso y error permanente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Polos lentos e inestables del proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Ceros lentos y de fase no mı́nima en el proceso. . . . . . . . . . . . 255
5.9. Respuesta temporal de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.10. Respuesta permanente discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.11. Respuesta transitoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.11.1. Polos y ceros de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.11.1.1. Pulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.11.1.2. Escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.11.1.3. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.11.1.4. Senoidal acotada exponencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.11.2. Correlación plano S a plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.11.3. Respuesta al escalón de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.11.3.1. Sistemas discretos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.11.3.2. Sistemas discretos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.11.3.3. Sistemas discretos de segundo orden con cero . . . . . . . . . . . 269
5.11.3.4. Sistemas discretos de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.11.3.5. Sistemas discretos de transitorio finito . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.11.4. Respuesta al escalón de sistemas de datos muestreados . . . . . . . . . . . 273
5.11.4.1. Polos y ceros de funciones de transferencia de pulsos . . . . . . . 273
Polos y ceros de G(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Ceros de muestreo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Ceros por retardo fraccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.11.4.2. Sistemas con oscilaciones ocultas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.12. Especificaciones para la respuesta temporal discreta de sistemas de control . . . . 284
5.13. Limitaciones en la respuesta temporal para sistemas de control digitales . . . . . 285
5.13.1. Funciones de sensibilidad discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.13.2. Filtro de antiplegamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.13.3. Conversores A/D y D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.13.4. El procesador digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.14. Respuesta temporal de las ecuaciones dinámicas continuas . . . . . . . . . . . . . 291
5.14.1. Solución homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.14.1.1. Ecuación caracterı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.14.1.2. Valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.14.1.3. Vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.14.1.4. Matriz de transición de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.14.2. Propiedades de la matriz de transición de estado . . . . . . . . . . . . . . 299
5.14.3. Solución total de la ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.14.4. Ganancias y ceros de las ecuaciones dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.15. Respuesta temporal de las ecuaciones dinámicas discretas . . . . . . . . . . . . . 303
5.16. Discretización de las ecuaciones dinámicas de tiempo continuo . . . . . . . . . . . 305
5.17. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6. Análisis de las acciones de control 324

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.2. Acción Todo Nada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.2.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.3. Acción PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1. Acción Proporcional P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.3.2. Acción Integral I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.2.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.3.3. Acción Proporcional Integral PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.3.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.3.3.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.4. Acción Proporcional Derivativa PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.3.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.3.4.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.3.5. Acción Proporcional Integral Derivativa PID . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.3.5.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.3.5.2. Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.3.6. Ajuste empı́rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.3.6.1. El método de oscilación de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . 337
6.3.6.2. El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols . . . . . . . 339
6.3.6.3. El método de la curva de reacción de Cohen-Coon . . . . . . . . 341
6.3.7. Ajuste por asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.4. Acción de control de Adelanto Atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.5. Acción de control RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.6. Acción de control por realimentación de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.7. Implementación de acciones de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.7.1. Implementación análoga de acciones de control . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.7.2. Implementación análoga del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.7.3. La acción de control PID práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.7.4. Discretización de la acción de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.7.5. Acción de control incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.7.6. El ejecutivo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.7.7. El retardo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.7.8. Selección del perı́odo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.7.9. Longitud de palabra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.7.10. Antiembalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.7.11. Compensación de banda muerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.7.12. Aspectos operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
6.7.12.1. Cambios manual automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.7.12.2. Inicialización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.7.12.3. Cambios de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7. Análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos 380

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.2. Estabilidad absoluta nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.2.1. Estabilidad de entrada limitada y salida acotada . . . . . . . . . . . . . . 381
7.2.2. Estabilidad interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.2.3. Estabilidad de sistemas continuos con el criterio de Routh-Hurwitz . . . . 384
7.2.4. Estabilidad de sistemas discretos con la prueba de Jury . . . . . . . . . . 387
7.2.5. Estabilidad de sistemas discretos con el método de Routh . . . . . . . . . 389
7.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8. Análisis mediante el lugar geométrico de las raı́ces 396

8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.2. Lugar geométrico de las raı́ces en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.2.1. Variación de los polos de red cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.2.2. Criterios de magnitud y ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
8.2.3. Reglas de construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.2.4. Contorno de las raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.2.5. Efectos en el lugar de las raı́ces al adicionar polos y ceros . . . . . . . . . 408
8.3. Lugar de la raı́ces para sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
9. Análisis de la respuesta en frecuencia 423

9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.2. Respuesta frecuencial de sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.2.1. Gráficas de respuesta en frecuencia nominales . . . . . . . . . . . . . . . . 428
9.2.1.1. Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.2.1.2. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Ganancia constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Polos o ceros en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Polos o ceros en el eje real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Tiempo muerto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Polos o ceros conjugados complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.2.1.3. Carta de Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.2.1.4. Diagrama de Nyquist y la función sensibilidad . . . . . . . . . . 439
9.2.2. Gráficas de respuesta en frecuencia para sistemas inciertos (I) . . . . . . . 440
9.2.3. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
9.2.3.1. GH(s) sin polos en el semiplano derecho . . . . . . . . . . . . . . 444
9.2.3.2. GH(s) con polos en el semiplano derecho . . . . . . . . . . . . . 447
9.2.3.3. Criterio de estabilidad de Nyquist generalizado . . . . . . . . . . 447
9.2.4. Estabilidad robusta (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
9.2.5. Caracterı́sticas de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
9.2.5.1. Margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.2.5.2. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
9.2.5.3. Margen de retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
9.2.5.4. Margen del módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.2.5.5. Margen de estabilidad robusta (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
9.2.5.6. Máximos de magnitud y frecuencias de máximos . . . . . . . . . 461
9.2.5.7. Bandas, frecuencias de corte y anchos de banda . . . . . . . . . 464
9.2.5.8. Ratas de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
9.2.5.9. Sensibilidades de entrada y salida . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
9.2.6. Correlación tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
9.3. Especificaciones para la respuesta frecuencial de sistemas de control continuos . . 473
9.3.1. Función de red abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.3.2. Función de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
9.3.3. Función de red cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
9.3.4. Funciones de sensibilidad de entrada y de salida . . . . . . . . . . . . . . 482
9.4. Desempeño robusto (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
9.5. Limitaciones en la respuesta frecuencial de sistemas de control continuos . . . . . 488
9.5.1. Limitaciones por las integrales de Bode en S y T . . . . . . . . . . . . . . 488
9.5.2. Limitaciones por tiempos muertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
9.5.3. Limitaciones por ceros de fase no mı́nima y polos inestables . . . . . . . . 493
9.5.4. Limitaciones por atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
9.6. Respuesta frecuencial de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
9.7. Respuesta frecuencial de sistemas digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
9.7.1. Estabilidad en la respuesta frecuencial de sistemas de control digitales . . 500
9.7.2. Caracterı́sticas y especificaciones frecuenciales para sistemas discretos . . 500
9.7.3. Selección del perı́odo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
9.7.4. Transformada bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
9.7.5. Limitaciones en la respuesta frecuencial para sistemas de control digitales 506
9.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
10.Diseño en representación de entrada-salida 524

10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
10.2. El método de diseño de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
10.3. Restricciones para el diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
10.4. Diseño de controladores continuos por asignación de polos . . . . . . . . . . . . . 528
10.4.1. Criterios de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
10.4.2. El método de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.4.2.1. Diseño de la regulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
10.4.2.2. Diseño con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Imponer polos o ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
Cancelar polos o ceros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
10.4.2.3. Diseño del seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
10.5. Diseño de controladores digitales por asignación de polos . . . . . . . . . . . . . . 538
10.5.1. PID digital de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
10.5.2. PID digital de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
10.5.3. Diseño del RST digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
10.5.3.1. Diseño de la regulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
10.5.3.2. Diseño con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
10.5.3.3. Diseño del seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
10.5.3.4. Diseño con cancelación de polos o ceros . . . . . . . . . . . . . . 549
10.6. Diseño con el lugar de las raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
10.7. Diseño con la respuesta de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
10.8. Diseño de controladores digitales por equivalente discreto . . . . . . . . . . . . . 569
10.8.1. Discretización por integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
10.8.2. Discretización por mapeo polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
10.9. Estructuras de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
10.9.1. Estructura de control serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
10.9.2. Estructura de control paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
10.9.2.1. Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
10.9.2.2. El predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.9.3. Estructura de control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10.9.3.1. Diseño del control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
10.9.4. Estructuras de control directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.9.4.1. Estructura de control directo de disturbio . . . . . . . . . . . . . 588
10.9.4.2. Estructura de control directo de referencia . . . . . . . . . . . . 590
10.10.Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.11.Lecturas complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.12.Ejercicios lúdicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
10.13.Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
10.14.Actividades sugeridas de proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
11.Diseño en el espacio de estado 602

11.1. Diseño de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
11.1.1. Diseño de K a partir de la forma canónica controlable . . . . . . . . . . . 605
11.1.1.1. Controlabilidad completa de estado . . . . . . . . . . . . . . . . 608
11.1.1.2. Controlabilidad en el plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
11.1.1.3. Controlabilidad completa de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
11.1.2. Diseño de K mediante la fórmula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . 611
11.2. Diseño del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11.2.1. Observador de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11.2.2. Observabilidad del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
11.2.3. Controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos . . . . . . . . . . . 618
11.2.4. Efecto de la discretización sobre la observabilidad y controlabilidad . . . . 618
11.2.5. Cálculo de la matriz de realimentación del observador Ko . . . . . . . . . 619
11.2.5.1. Diseño de Ko a partir de la forma canónica observable . . . . . . 620
11.2.5.2. Diseño de Ko a partir de la fórmula de Ackermann . . . . . . . . 622
11.2.6. Observador corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
11.2.7. Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
11.2.8. Efecto del observador en el lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
11.2.9. Efecto de realimentar el estado en la controlabilidad y observabilidad . . 628
11.3. Diseño de servosistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
11.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
Índice de figuras
1.1. El reloj de agua de Ktesibios, Mayr [1982]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. El regulador de Watt, Mayr [1982]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Sistema de control de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Representación en diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Sumadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Punto de reparto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Plano y cilindro de Icopor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8. Control del cilindro con un brazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. Control de la temperatura de un alimento en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . 8
1.10. Control de la temperatura de un alimento en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . 8
1.11. Péndulo invertido Quanser [2010]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.12. Servomecanismo de posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13. Generación hidráulica de energı́a eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.14. Sistema de control de la velocidad para una turbina hidráulica. . . . . . . . . . . 12
1.15. Diagrama de bloques del control de velocidad para una turbina hidráulica. . . . . 12
1.16. Sistemas de control de los sistemas de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.17. Esquema de una caldera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.18. Procesamiento de señal en el control digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.19. Señal análoga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.20. Señal de datos muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.21. Señal digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.22. Señal de tiempo continuo de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.23. Cristalizador a vacı́o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.24. Representación ISA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.25. Diagrama ISA de un sistema de mezcla y calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . 20
1.26. Bucla tı́pica de control análoga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.27. Bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de la excitación. . . . . 22
1.28. Bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de velocidad. . . . . . . 22
1.29. Bucla tı́pica de control digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.30. Bucla tı́pica de control discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.31. Funcionalidades tı́picas de un servidor de Internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.32. Bucla de realimentación tı́pica, control de solicitudes en servidor de Internet. . . 24
1.33. Ciclo de vida de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.34. Diagrama de bloques básico de los sistemas de control. . . . . . . . . . . . . . . . 27
xii
1.35. Diagrama, proceso de producción de azúcar de caña, fuente Cenicaña. . . . . . . 29
1.36. Modelo del tanque de jugo diluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.37. Servomecanismos de lectura de discos ópticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.38. Las comunicaciones en la pirámide de automatización industrial. . . . . . . . . . 34
1.39. Disminución del punto de operación de un proceso, por un control efectivo. . . . 37
1.40. Aumento del rendimiento de un proceso, por un control efectivo. . . . . . . . . . 38
1.41. Diagrama ISA del control de flujo de floculante Perez [2010]. . . . . . . . . . . . 41
1.42. Floculante y molienda de caña, antes y después del control Perez [2010]. . . . . . 42
1.43. Tanque con intercambiador de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.44. Accionamientos para una carga alta inercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1. Vaso perforado y grifo de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2. Generador de corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3. Sistema mecánico rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4. Movimiento traslacional y rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5. Engranajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6. Grúa con engranajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7. Calentamiento de un cuerpo homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.8. Cámara de vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.9. Representación mediante dos compartimentos para la farmacocinética. . . . . . . 71
2.10. Banda transportadora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.11. Banda de incertidumbre para la resistencia normalizada. . . . . . . . . . . . . . . 74
2.12. Representación de Polos (cruces) y Ceros (cı́rculos). . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.13. Respuesta temporal del sistema mecánico rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.14. Controlador Proporcional Derivativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.15. Diagrama de bloques en frecuencia de la bucla tı́pica análoga. . . . . . . . . . . . 86
2.16. Diagrama de bloques en frecuencia para un generador de corriente continua. . . . 87
2.17. Forma canónica de un sistema de control realimentado. . . . . . . . . . . . . . . 88
2.18. Diagrama de bloques para un sistema de control de la excitación. . . . . . . . . . 90
2.19. Función de transferencia del sistema de control de la excitación. . . . . . . . . . . 91
2.20. Diagrama de bloques, bucla análoga con entradas de referencia y de disturbio. . . 91
2.21. Diagrama de bloques de la bucla tı́pica, con señales. . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.22. Funciones de transferencia del error de modelado. (a) Aditivo. (b) Multiplicativo. 94
2.23. Modelado de incertidumbre multiplicativa no estructurada. . . . . . . . . . . . . 95
2.24. Respuestas al escalón del sistema incierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.25. Respuesta del voltaje a una conexión de un motor de inducción. . . . . . . . . . . 98
2.26. Modelo del generador con disturbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.27. Densidad espectral de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.28. Circuito serie RL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.29. Diagrama de bloques de las ecuaciones dinámicas lineales. . . . . . . . . . . . . . 105
2.30. Péndulo de masa concentrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.31. Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.32. Representaciones de sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.33. Esquema del motor de corriente continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.34. Sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.35. Diagrama de bloques en el SIMULINK (C)MathWorks. . . . . . . . . . . . . . . 127
2.36. Tanques en cascada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.37. Diagrama esquemático de un ascensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.38. Intercambiador de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.39. Diagrama de bloques, Ejercicio 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.40. Diagrama de bloques, Ejercicio 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.41. Diagrama de bloques para los accionamientos del Ejercicio 2.14. . . . . . . . . . . 133
2.42. Sistema de calentamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.1. Pulso de amplitud A en m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.2. Representación del muestreador mediante un tren de impulsos. . . . . . . . . . . 141
3.3. Relaciones de señales, la transformada Z y su inversa. . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4. Pulso desplazado m perı́odos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.5. Función compuesta por pulsos desplazados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.6. Regla trapezoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7. Respuesta al impulso del retenedor de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8. Respuesta de frecuencia del retenedor de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.9. El proceso de reconstrucción de señales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.10. Espectros de frecuencia de la señal E(jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.11. Sinusoides de frecuencias 8π 7π
4 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.12. Componentes de frecuencia con oscilaciones ocultas. . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.13. Diagrama de bloques en frecuencia de la bucla tı́pica digital. . . . . . . . . . . . . 155
3.14. Sistema continuo G(s) sujeto a una entrada muestreada A∗ (t). . . . . . . . . . . 156
3.15. Cascada totalmente muestreada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.16. Cascada sin muestreo intermedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.17. Cascada sin muestreo de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.18. Sistema digital realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.19. Sistema de control del ejemplo 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.20. Sistema discreto en el espacio de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.21. Pasos en la identificación paramétrica de modelos discretos. . . . . . . . . . . . . 165
3.22. Datos para la identificación del sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.23. Generación de la secuencia binaria seudoaleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.24. Secuencia binaria seudoaleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.25. Respuesta al impulso del sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.26. La optimización para la estimación de parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.27. Respuestas al escalón del sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.28. Mapa de polos y ceros de los modelos para el sistema térmico. . . . . . . . . . . . 176
3.29. Comparación entre los datos de validación dv y la respuesta del modelo ARX. . . 177
3.30. Análisis de los residuos para el modelo ARX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.31. Sistema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.32. Sistemas (b) a (f). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.33. Diagrama de bloques, ejercicio 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.34. Sistema de control de datos muestreados en cascada. . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.35. Diagrama de bloques para el ejercicio 3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.36. Diagrama de bloques para el ejercicio 3.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.37. Sistema de control para el ejercicio 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.38. Sistema de control para un intercambiador de calor, ejercicio 3.13. . . . . . . . . 185
3.39. Sistema de control digital para el ejercicio 3.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1. Sistema de control en red abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.2. Sistema de control en red cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.3. Respuestas voltajes en terminales vt (t) (izquierda) y de campo ef (t) (derecha). . 193
4.4. Respuestas al escalón sistemas en red abierta y en red cerrada. . . . . . . . . . . 195
4.5. Respuestas al disturbio, sin regulación (izquierda), con regulación (derecha). . . . 197
4.6. Diagrama de bloques con dinámica de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.7. Relaciones de estabilidad en red abierta y red cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.8. Sistema de control de la excitación autoexcitado en red abierta. . . . . . . . . . . 201
4.9. Sistema de control de la exitación autoexcitado en red cerrada. . . . . . . . . . . 201
4.10. Sistema de control para el ejercicio 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.11. Sistema de control, ejercicio 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.12. Sistema de control del ejercicio 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.13. Sistema de control de posicionamiento mecánico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.1. Caracterı́sticas de la respuesta de sistemas dinámicos. . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.2. Señales tı́picas de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3. Derivada e integral de señales en sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4. Control serie de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.5. Respuesta a un escalón unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.6. Vasos para la lúdica 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.7. Diagrama de bloques para la dinámica del vaso perforado. . . . . . . . . . . . . . 218
5.8. Sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.9. Respuesta al escalón del sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.10. Diagrama de bloques del sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.11. Respuesta al escalón experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.12. Sistema de masa, resorte y amortiguador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.13. Diagrama de bloques para los sistemas de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . 222
5.14. Raı́ces conjugadas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.15. Respuestas al escalón, sistemas de segundo orden con diferente amortiguamiento. 224
5.16. Sistema de control de la excitación autoexcitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.17. Respuestas al escalón para el sistema de control de la excitación autoexcitado. . 228
5.18. Sistema de tercer orden con polo real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.19. Respuestas el escalón, sistemas de tercer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.20. Control paralelo de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.21. Control paralelo de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.22. Respuestas de tercer orden y aproximada de segundo orden, control paralelo. . . 232
5.23. Respuestas de tercer orden y aproximada de segundo orden, control integral. . . 233
5.24. Respuesta del control PD de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.25. Sistemas de primer orden en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.26. Mapa de polo y cero para un sistema de primer orden con un cero. . . . . . . . . 235
5.27. Respuestas al escalón para un sistema de primer orden con un cero. . . . . . . . 236
5.28. Diagrama de bloques del modelo lineal de una turbina hidráulica. . . . . . . . . . 236
5.29. Respuesta al impulso del sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.30. Sistema de segundo orden con cero real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.31. Respuestas el escalón, sistema de segundo orden con cero real. . . . . . . . . . . . 239
5.32. Respuestas, tensión en terminales para dos PI con incertidumbre en el modelo. . 241
5.33. Respuestas para Gc1 (s) con incertidumbre en el modelo. . . . . . . . . . . . . . . 242
5.34. Modos del sistema con Gc1 (s) y diferentes muestreos de la incertidumbre. . . . . 242
5.35. Área deseada para los polos complejos dominantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.36. Área deseada para los polos complejos dominantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.37. Medida cuantizada de la altura del bagazo en la tolva. . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.38. Medida cuantizada de la altura del bagazo en la tolva. . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.39. Modelo no lineal de un servomecanismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.40. Respuestas de un servomecanismo con saturación de velocidad y banda muerta. . 249
5.41. Respuestas con control PI, sin saturación de velocidad y con banda muerta. . . . 250
5.42. Respuestas con control PI, con saturación de velocidad y banda muerta. . . . . . 251
5.43. Respuestas estacionarias con PI, saturación de velocidad, banda muerta y huelgo. 251
5.44. Sistema de control con retardo y disturbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.45. Polos del proceso y sobrepaso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.46. Ceros del proceso, sobrepaso y subpaso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.47. Controlador digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
5.48. Bucla de realimentación digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.49. Polos y ceros del escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.50. Polos y ceros de la exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.51. Polos y ceros de sinusoide con decaimiento exponencial. . . . . . . . . . . . . . . 262
5.52. Correlación plano S a plano Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.53. Banda primaria en el plano S y su imagen en el plano Z. . . . . . . . . . . . . . 265
5.54. Bandas complementarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.55. Correlación del lugar a amortiguamiento constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.56. Lugares ortogonales de ρ y ωn constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.57. Ábaco en el plano Z de los lugares con ρ y ωn constantes. . . . . . . . . . . . . . 267
5.58. Respuesta al escalón, sistema de orden 1; arriba r = 0.6; abajo r = −0.6. . . . . 269
5.59. Respuesta al escalón, sistema discreto de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . 270
5.60. Respuesta al escalón, segundo orden con cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.61. Respuesta al escalón, segundo orden con cero. S.P vs. a, ρ = 0.5 y ρ = 0.7. . . . 271
5.62. Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con cero. S.P. vs. a; ρ = 0.7. . . 272
5.63. Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con polo. . . . . . . . . . . . . . 272
5.64. Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con polo. tr vs. p . . . . . . . . . 273
5.65. Respuesta al escalón, sistema discreto de transitorio finito. . . . . . . . . . . . . . 274
12(s−0.5)
5.66. Cero de G(z) para G(s) = (s+2)(s+3) , en función de T. . . . . . . . . . . . . . . . 276
n o
12(s−0,5)
5.67. Respuesta al escalón de G(z) = Z s(s+2)(s+3) 1 − z −1 , para diferentes T . . . . 276
n o
12(s−0,5)
6
5.69. Cero de G(z) para G(s) = ,
en función del muestreo. . . . . . . . . . . 278
(s+2)(s+3)
n o
6
e−Tm s
5.71. Cero de la FdT de pulsos de τ s+1 con m = 1 − Tm /T , en función de e−T /τ . . . 280
−Tm s
5.72. Respuesta escalón, FdT de pulsos de e s+1 con varios m = 1 − Tm , T = 1s. . . . 281
5.73. Respuestas al escalón para un sistema con oscilación oculta, T = 1s. . . . . . . . 282
5.74. Respuesta escalón, sistema con oscilación oculta, T = 0.9s. . . . . . . . . . . . . 283
5.75. Respuesta escalón, sistema con oscilación oculta en la señal de control. . . . . . . 284
5.76. Región de ceros cancelables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.77. Respuestas al escalón, sistema de excitación, con y sin filtro de antiplegamiento. 288
5.78. Simulación, sistema de control digital de excitación con conversor A/D de 6 bits. 289
5.79. Simulación, sistema de control digital de excitación con conversor D/A de 6 bits. 290
5.80. Discretización de un sistema representado en espacio de estado. . . . . . . . . . . 305
5.81. Respuesta al escalón del modelo de compartimentos para medicina. . . . . . . . . 308
5.82. Carga de un motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.83. Lı́mites operativos del sistema de control de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.85. Sistema de control para el ejercicio 5.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.86. Sistema de control del ejercicio 5.31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
5.88. Sistema de control del ejercicio 5.45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.1. Acción de control Todo Nada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

6.2. Modelo del sistema de control Todo-Nada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.3. Respuesta del sistema de control Todo-Nada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.4. Controlador Proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.5. Control proporcional de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.6. Planta tipo 1 con acción P y disturbio de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.7. Controlador Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.8. Respuesta al escalón de la acción Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.9. Remanencia estacionaria de la acción Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.10. Controlador Proporcional Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.11. Respuesta al escalón de la acción Proporcional Integral. . . . . . . . . . . . . . . 332
6.12. Control proporcional integral de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.13. Control Proporcional Derivativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.14. Respuesta a la rampa de la acción Proporcional Derivativa. . . . . . . . . . . . . 333
6.15. Control proporcional derivativo de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.16. Control Proporcional Integral Derivativo paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.17. Respuesta al escalón de la acción Proporcional Integral Derivativa. . . . . . . . . 335
6.18. Respuesta a la rampa de la acción Proporcional Integral Derivativa. . . . . . . . 335
6.19. Control proporcional, integral y derivativo de la excitación. . . . . . . . . . . . . 336
6.20. Control proporcional, integral y derivativo de la excitación. . . . . . . . . . . . . 336
6.21. Desempeños, método de oscilación de Z-N, para PI con primer orden y varios Tm .338
6.22. Curva de reacción del proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.23. Desempeños, método curva de reacción de Z-N, PI con primer orden y varios Tm . 340
6.24. Desempeños, curva de reacción de Cohen-Coon, PI con primer orden y varios Tm . 342
6.25. Respuestas PID a cambios en referencia y disturbio. . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.26. Respuestas RST y PID a cambios en referencia y disturbio de entrada. . . . . . . 346
6.27. Sistema de control con controlador RST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.28. Controladores PID y RST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.29. Acción de control por realimentación del estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
6.30. Respuesta del sistema con realimentación de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.31. Estructura del amplificador operacional para control. . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.32. Implementación del controlador PID con amplificador operacional. . . . . . . . . 352
6.33. Respuesta, control de excitación sin y con antiembalamiento en integración. . . . 362
6.34. Controlador RST con antiembalamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.35. Compensación de la banda muerta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
6.36. Servomecanismo integrador con compensación de banda muerta. . . . . . . . . . 364
6.37. Respuestas del servo hidráulico con y sin compensación de banda muerta. . . . . 365
6.38. Modos de control manual y automático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.39. Control manual y automático para un controlador con integrador incremental. . . 366
6.40. Control manual y automático para el controlador RST. . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.41. Sistema para el ejercicio 6.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.42. Sistema de control digital para el ejercicio 6.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
6.44. Función de antiembalamiento para un controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 376
6.45. Controlador RST con antiembalamiento de magnitud y rata de cambio. . . . . . 376
7.1. Sistema de control realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

7.2. Sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.3. Diagrama esquemático de un péndulo invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
8.1. Ensayos con el plano pivotado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8.2. Ensayos con el plano sin pivote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.3. Evaluación gráfica de los criterios de magnitud y ángulo. . . . . . . . . . . . . . . 400
8.4. Lugar geométrico de las raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.5. Sistema de control de la excitación con acción I y red estabilizadora. . . . . . . . 405
8.6. Sistema de control de la excitación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
8.7. Área deseada para las raı́ces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.8. Mapa de polos y ceros para k = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.9. Contorno de las raı́ces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
8.10. Contorno de las raı́ces generado con el MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.11. Efecto en el lugar de las raı́ces al adicionar polos a GH(s). . . . . . . . . . . . . 410
8.12. Efecto en el lugar de las raı́ces al adicionar ceros a GH(s). . . . . . . . . . . . . . 411
8.13. Sistema de control digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
8.14. Lugares de las raı́ces para varios T . Arriba T = 0.5; centro T = 1 y abajo T = 2. 412
8.15. Respuestas a un escalón unitario en la referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
8.16. Respuestas a una rampa unitaria en la referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.17. Sistema de control digital para el ejercicio 8.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
8.18. Ábaco del plano Z para diferentes amortiguamientos y frecuencias naturales. . . 417
8.19. Lugar de las raı́ces para el ejercicio 8.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
8.20. Lugar de las raı́ces para el ejercicio 8.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
9.1. Sistema oscilador para la lúdica 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

9.2. Validación de la identificación con datos de respuesta de frecuencia. . . . . . . . . 428
9.3. Diagrama de Nyquist de los datos y los modelos identificados. . . . . . . . . . . . 429
9.4. Diagrama de Bode de los datos y la función de transferencia identificada. . . . . 430
9.5. Magnitud en decibeles y fase para la ganancia constante. . . . . . . . . . . . . . . 431
9.6. Magnitud en decibeles y fase para polos o ceros en el origen. . . . . . . . . . . . . 432
9.7. Magnitud en decibeles y fase para polos o ceros en el eje real negativo. . . . . . . 433
±s+1
9.8. Diagramas de bode de 0.1s+1 y ±0.1s+1
s+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.9. Diagramas de bode de la función de transferencia del tiempo muerto. . . . . . . . 435
9.10. Magnitud en decibeles y fase para polos complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.11. Diagramas de Bode para el ejemplo 9.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.12. Diagramas de magnitud de Bode, funciones de sensibilidad, ejemplo 9.2. . . . . . 438
2
9.13. Carta de Nichols para el sistema G(s) = s(s+1)(0.1s+1) . . . . . . . . . . . . . . . . 440
1
9.14. Diagrama de Nyquist de GH(s) = s(s+1) y cı́rculos de MS constantes. . . . . . . 441
9.15. Diagrama de Nyquist para el sistema (9.20). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9.16. Diagrama de Bode para la ecuación diferencial (2.48). . . . . . . . . . . . . . . . 443
9.17. Diagrama de Bode del error multiplicativo para el sistema del ejemplo 9.4. . . . . 444
9.18. Trayectoria de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
9.19. Gráficas de Nyquist para el ejemplo 9.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
9.20. Gráfica de Nyquist para el ejemplo 9.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
9.21. Definición del ángulo α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
9.22. Gráfica de Nyquist para el ejemplo 9.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
9.23. Lugar de las raı́ces para el ejemplo 9.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
9.24. Diagramas de Nyquist para la planta nominal Gm Gc (ω) y la real GGc (jω) . . . . 452
9.25. Sensibilidades nominales y de máx. magnitud, sistema de excitación incierto. . . 454
9.26. Funciones |T1,2m (jω)W (jω)| para el sistema de control de la excitación incierto. 455
9.27. Márgenes de estabilidad en el diagrama de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . 457
2
9.28. Márgenes de ganancia y de fase para el sistema G(s) = s(s+1)(0.1s+1) . . . . . . . 457
9.29. Márgenes de ganancia y de fase para el ejemplo 9.9 con k = 0.2. . . . . . . . . . 458
1.5(s2 +0.3s+1.5)
9.30. Gráfica Nyquist para G = s(s+3)(s 2 +0.2s+1.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
2
9.31. Gráficas de |S(jω)| y |T (jω)| para G(s) = s(0.1s+1)(s+1) . . . . . . . . . . . . . . . 462
2
9.32. Gráfica de Nyquist para G(s) = s(0.1s+1)(s+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.33. Curvas de magnitud de la función sensibilidad, sistema orden 2 con diferente ρ. . 464
9.34. Máximo de la función de sensibilidad, sistema orden 2 con diferente ρ. . . . . . . 465
2
9.35. Diagrama de Nyquist de G(s) = s(0.1s+1)(s+1) y cı́rculos de MS constantes. . . . 466
2
9.36. Diagramas de Bode de T (jω) y S(jω) para G(s) = s(s+1)(0.1s+1) . . . . . . . . . . 467
2
9.37. Diagramas de Bode de 20log|G(jω)| y 20log|T (jω)|. para G(s) = s(s+1)(0.1s+1) . . 468
2
9.38. Magnitud de Bode para S(jω), T (jω), GH(s) = s(0.1s+1)(s+1) y 1/GH(s). . . . . 469
9.39. Magnitud de Bode, Gp (jω), Se (jω) y Ss (jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
9.40. Diagramas de Bode de GH(jω) para el ejemplo 9.19. . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.41. Respuesta al escalón de red cerrada para el sistema del ejemplo 9.19. . . . . . . . 474
8(s+1)
9.42. Magnitud de Bode para GH1 (s) = s(5s+1) y GH2 (s) = 500+70s
s(5s+1) . . . . . . . . . . . 476
s+ωSd Smin
9.43. Magnitud de Bode para WS1(s) = s/S max +ωSd
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
1
9.44. Magnitud de Bode para WS (s) , S1 (s) y S2 (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
9.45. Magnitud de Bode para WS1(s) y S(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
9.46. Respuestas a escalones de referencia y disturbio, sistema del ejemplo 9.22. . . . . 481
9.47. Diagrama de magnitud de Bode para WT1(s) = s/ωT d +1/T 1
max
. . . . . . . . . . . . 482
9.48. Diagramas de magnitud de Bode y sus cotas, para T (s) y Se (s), ejemplo 9.23. . . 483
9.49. Magnitud de Bode para Ss (s) y su cota del ejemplo 9.23. . . . . . . . . . . . . . 484
9.50. Discos de desempeño y de incertidumbre para el desempeño robusto. . . . . . . . 485
9.51. Análisis de desempeño robusto en red abierta para el sistema del ejemplo 9.24. . 487
9.52. Análisis de desempeño robusto en red cerrada para el sistema del ejemplo 9.24. . 487
9.53. Análisis gráfico de la integral de Bode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
9.54. Funciones de sensibilidad de GH(s) = k(s+1)
s(s−1) con diferentes k. . . . . . . . . . . . 491
k(−s+1)
9.55. Funciones de sensibilidad complementaria, GH(s) = s(s+5)2 con diferentes k. . . 492
−s
ke
9.56. Diagramas de bode para GH(s) = s+1con diferentes ganancias k. . . . . . . . . 493
9.57. Respuesta de frecuencia de sistemas discretos; plano Z y diagrama de Nyquist. . 498
9.58. Respuestas de frecuencia para Gp (s) y Gd (z) = 0.1454/(z − 0.8546). . . . . . . . 499
9.59. Estabilidad de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
0.021(z+1)(z+0.488)
9.60. Diagramas de Bode de G(z) = (z−1)(z−0.819)(z−0.135) . . . . . . . . . . . . . . . . 502
9.61. Diagramas de magnitud de Bode continuos y discretos de S y T , ejemplo 9.31. . 503
9.62. Transformación de la banda primaria del plano S al plano W . . . . . . . . . . . . 504
2 2(0.034w+1)(−0.1w+1)
9.63. Diagramas de Bode de G(s) = s(s+1)(0.1s+1) y G(w) = w(1.003w+1)(0.131w+1) . . . 506
9.64. Diagramas de magnitud de la función de sensibilidad con diferentes T . . . . . . . 507
9.65. Diagramas de bode para el sistema del ejemplo 9.27 en tiempo discreto. . . . . . 508
9.66. sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
9.67. Diagrama de bode para el ejercicio 9.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
9.68. Diagrama de Nichols para el ejercicio 9.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
9.69. Diagrama de bode para el ejercicio 9.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
9.70. Diagrama de Nichols para el ejercicio 9.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
10.1. Cancelación polo cero en red abierta y red cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

10.2. Respuesta escalón de referencia con rechazo de disturbio constante y oscilatorio. 534
10.3. Respuestas de la magnitud de frecuencia, de S(s) y T (s). . . . . . . . . . . . . . 535
10.4. Respuesta al escalón en la referencia del sistema de control del ejemplo 10.3. . . . 536
10.5. Respuesta al escalón de disturbio para el sistema de control del ejemplo 10.3. . . 536
10.6. Respuestas escalón, PID digital para diferentes ωn de red cerrada. . . . . . . . . 541
10.7. Diagrama de bloques del controlador PID de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . 542
10.8. PID continuo equivalente en forma de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
10.9. Desempeño PID digital de velocidad, para ωn = 0.15 de red cerrada. . . . . . . 544
10.10.Modelo de referencia; y ∗ (t) es la trayectoria deseada para la salida. . . . . . . . . 546
10.11.Controlador RST para seguimiento y regulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
10.12.Desempeño RST en seguimiento y regulación, diseño por asignación de polos. . . 549
10.13.Controlador RST, cancelando los ceros de la planta. . . . . . . . . . . . . . . . . 551
10.14.Lugar de las raı́ces para un sistema de segundo orden con control P. . . . . . . . 551
kp (s+1/TI )
10.15.Mapa de polos y ceros de: GH(s) = s(s+0.5)(s+2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
10.16.Respuestas al escalón en la referencia para el sistema del ejemplo 10.9. . . . . . . 553
10.17.Contorno de las raı́ces para el sistema del ejemplo 10.10. . . . . . . . . . . . . . . 554
10.18.Respuesta control de posición con acciones P y PD para el ejemplo 10.10. . . . . 555
10.19.Sistema de control digital del ejemplo 10.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
10.20.Respuesta del sistema de control digital, diseñado por lugar de raı́ces. . . . . . . 556
10.21.Cambios en la curva de magnitud del PD por cambios en sus parámetros. . . . . 557
10.22.Respuestas de frecuencia de GH(s) = 815265(1+k d s)
s(s+361.2) para diferentes valores de kd . 558
10.23.Planta de segundo orden tipo uno, con control PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
10.24.Respuesta de frecuencia, planta de segundo orden tipo uno, con control PI. . . . 559
10.25.Respuesta al escalón de la planta de segundo orden tipo uno, con control PI. . . 560
10.26.Sistema de control digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
10.27.Diseño por respuesta en frecuencia del sistema de la figura 10.26. . . . . . . . . . 562
10.28.Respuesta de frecuencia de un PID serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
10.29.Diagramas de bode para el sistema: Gp (s) = 1/(s + 1)3 con control PID. . . . . . 564
10.30.Magnitud de las funciones de sensibilidad para el ejemplo 10.15. . . . . . . . . . 565
10.31.Atenuación del disturbio mı́nima exigida Sd para el control de radial de un DVD. 566
10.32.Curvas de fase para los términos PI, PD y PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
10.33.Diagramas de Bode de red abierta del sistema sin compensar y compensado. . . . 568
10.34.Diagramas de magnitud de red cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
10.35.Respuestas frecuenciales de G(s) vs filtros aproximados para fs de 3 y 15Hz. . . 573
10.36.Respuesta al escalón de filtros de distinto orden Butterworth. . . . . . . . . . . . 574
10.37.Mapas de polos y ceros de los filtros Butterworth continuo y discreto. . . . . . . 575
10.38.Respuesta al escalón de un filtro Butterworth discreto de 4to orden. . . . . . . . 575
10.39.Sistema equivalente de tiempo continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
10.40.Respuestas, control análogo y digital diseñado por equivalente discreto. . . . . . 577
10.41.Estructura de control serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
10.42.Estructura de control paralela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
10.43.Estructuras de control paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
10.44.Sistema de control general y reducido, ejemplo 10.21. . . . . . . . . . . . . . . . . 581
10.45.Sistema de control con el controlador paralelo ajustado. . . . . . . . . . . . . . . 581
10.46.Sistema de control equivalente para el diseño del controlador serie. . . . . . . . . 581
10.47.El predictor de Smith. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.48.Desempeños con predictor de Smith, PI y procesos de orden 1 con diferentes Tm . 583
10.49.Estructura de control en cascada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
10.50.Control en cascada de tres lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
10.51.Sistema de control con interacción interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.52.Sistema de control sin interacción interna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.53.Modelo del motor de C.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
10.54.Modelo para el control cascada del motor de C.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
10.55.Diagrama para el control de velocidad del motor de C.C. . . . . . . . . . . . . . . 587
10.56.Estructura de control directo de disturbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
10.57.Generador con control directo de disturbio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
10.58.Modelo del control directo para el generador sincrónico. . . . . . . . . . . . . . . 589
10.59.Respuestas del voltaje en terminales con el control directo. . . . . . . . . . . . . 590
10.60.Estructura de control directo de referencia en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
10.61.Estructura de control directo de referencia en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . 591
10.62.Control en cascada y directo de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
10.63.Respuestas, control del servo a escalón de xr (t) y con modelo de referencia. . . . 592
10.64.Error xr − x para distintos valores de K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
10.65.PID continuo en forma de velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
10.66.Planta con perturbación periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
10.67.Sistema de control en cascada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
10.68.Sistema de control, ejercicios 10.41 y 10.42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
11.1. Realimentación de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

11.2. Sistema de control digital con realimentación de estados. . . . . . . . . . . . . . . 604
11.3. Observador de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11.4. Estimador de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
11.5. Observador de Predicción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
11.6. Diagrama de bloques para análisis de controlabilidad y observabilidad. . . . . . . 617
11.7. Respuesta al escalón de entrada para el sistema doble integrador. . . . . . . . . . 624
11.8. Respuesta de los observadores predictor y corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . 626
11.9. Diagrama de bloques de servosistema con integración. . . . . . . . . . . . . . . . 629
11.10.Respuesta al escalón de entrada para el servosistema doble integrador. . . . . . . 634
11.11.Tanques en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11.12.Sistema de control de seguimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
11.13.Sistema de control digital de seguimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
Indice de tablas
1.1. Errores máximos de posición vertical y radial, discos de almacenamiento óptico. . 33

1.2. Jerarquı́a tı́pica de los sistemas de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3. Flujo neto de efectivo (miles de pesos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Variables y parámetros para diversos sistemas fı́sicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2. Equivalencias de elementos en serie o paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Variables y parámetros de los sistemas eléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4. Variables y parámetros de la mecánica traslacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Variables y parámetros de la mecánica rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6. Coeficientes de conductividad térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7. Calor especı́fico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.8. Variables y parámetros de los sistemas térmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.9. Variables y parámetros de los sistemas de fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.10. Variables y parámetros de los sistemas de gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.11. Densidad media de algunas sustancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.12. Variables y parámetros de los sistemas quı́micos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.13. Variaciones paramétricas para el servomecanismo radial. . . . . . . . . . . . . . . 75
2.14. Pares de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.15. Propiedades de la transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.16. Algebra de los diagramas de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.17. Variables de estado fı́sicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1. Secuencias de funciones de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.2. Serie de Fibonacci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3. Tabla de transformadas Z. r = e−aT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4. Propiedades de la transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5. Tabla de transformadas Zm . r = e−aT , rm = e−amT . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.6. Propiedades de la transformada Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.7. G(z) para el muestreo del sistema G(s) con ROC. r = ra = e−aT , rb = e−bT . . . 158
3.8. Funciones de transferencia de pulsos para sistemas con retardo. . . . . . . . . . . 162
4.1. Errores estacionarios en red abierta y en red cerrada con control P y PI. . . . . . 200
4.2. Ventajas y desventajas de los sistemas de control realimentados. . . . . . . . . . 202
5.1. Caracterı́sticas de la respuesta al escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
xxiii
5.2. Polinomios del numerador y ceros de la función de trasferencia de pulsos (5.80). . 278
5.3. Polinomios del numerador y ceros de la función de trasferencia de pulsos (5.82). 280
5.4. Aproximación de Tm para filtros Bessel de diferente orden y con ωc = ω0 . . . . . 287
6.1. Ajuste del PID con el método de oscilación de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . 337

6.2. Ajuste del PI con el método de oscilación de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . 338
6.3. Ajuste del PID con el método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols. . . . . . 340
6.4. Ajuste del PI con el método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols. . . . . . . 341
6.5. Ajuste del PID con el método de la curva de reacción de Cohen-Coon. . . . . . . 341
6.6. Ajuste del PI con el método de la curva de reacción de Cohen-Coon. . . . . . . . 341
6.7. Perı́odos de muestreo recomendados para sistemas de control de procesos. . . . . 358
6.8. Efectos de cada acción de control en el desempeño de un sistema de control. . . . 370
8.1. Función de transferencia de red abierta para diferentes perı́odos de muestreo. . . 412
9.1. Datos de la respuesta de frecuencia del ejemplo 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

9.2. Comportamiento en baja y alta frecuencia de las funciones de sensibilidad. . . . . 510
9.3. Datos de la respuesta de frecuencia del ejercicio 9.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 513
Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxiv

Prefacio
La Ingenierı́a del Control Automático juega un papel fundamental en los sistemas y procesos
tecnológicos modernos, y los beneficios que se obtienen con un buen control incluyen productos
de mejor calidad, menor consumo de energı́a, minimización de desechos, mayores niveles de
seguridad y reducción de la polución.
La dificultad es que algunos de los aspectos más avanzados de la teorı́a requieren una base
matemática. Sin embargo, su impacto práctico sólo se puede medir por los beneficios que trae
en sus aplicaciones. En este libro se presentan los fundamentos de control para sistemas lineales
en tiempo discreto y continuo, muy útiles para posteriormente realizar análisis y diseño de es-
trategias de control aplicadas a un sistema real.
Presentación de los capı́tulos

Cada capı́tulo tiene la siguiente estructura:
1. Introducción, donde se describen los objetivos del capı́tulo y se referencia el contenido a

presentar con relación a los proyectos de sistemas de control.
2. Actividades lúdicas antes del desarrollo matemático de los contenidos, para comprender
más fácilmente el concepto.
3. Contenidos, donde se presenta la teorı́a necesaria para resolver la etapa del proyecto;
los diferentes conceptos y herramientas matemáticas de análisis se ilustran con ejemplos
dentro de los cuales se presentan los casos de proyectos que se desarrollan a lo largo del
libro. La representación y el posterior análisis y diseño del sistema de control se facilita
con el uso de programas de cómputo como el MATLAB R o el SCILAB , R para el cual
se presentarán en este libro comandos y listas de comandos en la medida en que se vayan
necesitando, de forma que se aprenda haciendo.
4. Resumen en extenso, donde se sintetiza el capı́tulo y se resaltan los aspectos más impor-
tante a considerar para el desarrollo del proyecto.
5. Ejercios lúdicos, para reforzar el aprendizaje de los conceptos.
6. Ejercicios propuestos, para revisión de las técnicas de análisis estudiadas; los últimos
ejercicios son de opción múltiple, para entrenamiento en evaluaciones cerradas.
xxv
A continuación se describe el contenido del libro:
1. La ingenierı́a de control: Este tema contextualiza el área de los sistemas de control,

sus orı́genes, propósitos, impactos en la sociedad, etc. También se define la terminologı́a,
se clasifican los diferentes problemas de control, se plantea el desarrollo de proyectos; se
estudian las buclas de realimentación tı́picas análogas y discretas para definir los elementos
y señales de los sistemas de control y obtener la representación mediante un diagrama de
bloques, donde los bloques se identifican textualmente
2. Modelado: Para analizar y diseñar sistemas de control de altas prestaciones, se debe

conocer lo mejor posible la dinámica del sistema obteniendo su modelo matemático. Este
modelo debe involucrar la respuesta del sistema a las variables manipuladas con el control
y a los ruidos y disturbios. El comportamiento dinámico de Sistemas Continuos se describe
generalmente por medio de ecuaciones diferenciales; si se linealizan, la Transformada de
Laplace permite obtener las relaciones de entrada-salida para los componentes del sistema
y los subsistemas en la forma de funciones de transferencia. Los bloques de las funciones
de transferencia se pueden organizar en diagramas de bloques o en diagramas de flujo de
señal para representar las interconexiones de una manera gráfica. Por otro lado, se puede
usar el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables
que influyen en su dinámica. El conocimiento de la evolución de todas las variables que
influyen en la dinámica del sistema, permite efectuar un mejor control del sistema y
su utilización en el control de sistemas más complejos. Se obtiene esta representación a
partir de los Estados Internos, mediante Matrices y vectores, Valores y Vectores propios, y
Matrices de Transferencia; se aplica de forma directa a sistemas multivariables, no-lineales
o con parámetros variantes. Cualquiera sea el enfoque del modelado, se requiere hacerlo
para el proceso continuo a controlar y de manera discreta para el controlador digital. Para
los Sistemas Discretos, también se presenta la posibilidad de hacer una representación de
Entrada-Salida, donde se utilizan Ecuaciones de Diferencia, la Transformada Z, la Función
de Transferencia Discreta, La Función de Transferencia de Pulsos, etc., o bien de Estados
Internos del Sistema.
En el modelado de sistemas fı́sicos se consideran los asociados a los casos de proyectos,
esto es sistemas mecánicos, hidráulicos, neumáticos, térmicos, eléctricos, etc.
3. Análisis: Una vez se tiene modelado el proceso, se realiza el procedimiento de análisis,

donde se obtiene y evalúa la respuesta del sistema. Un primer análisis de interés es conocer
los principales efectos de la realimentación en ciertas propiedades de los sistemas, tales
como: ganancia, respuesta transitoria, error permanente, sensibilidad a los cambios de
parámetros, perturbaciones y la estabilidad del sistema.
Se puede realizar el análisis de los sistemas en el dominio del tiempo o en el dominio de
la frecuencia. Las caracterı́sticas de funcionamiento a determinar con el análisis son:
La velocidad de respuesta.
La exactitud permanente.
El grado de estabilidad.
La robustez frente a variaciones del modelo y a perturbaciones externas.
Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxvi

El análisis de la respuesta en el dominio del tiempo, para la respuesta transitoria, analiza
la velocidad de respuesta, los valores máximos o mı́nimos y el grado de amortiguación
de las variables controladas; con la respuesta de estado estable se analiza la exactitud
permanente del control. Se requiere conocer la respuesta en el tiempo del sistema tanto en
domino de tiempo continuo como discreto; para sistemas lineales, la respuesta de cualquier
sistema es la suma ponderada de respuestas de sistemas de primer orden y de segundo
orden, de ahı́ la importancia de estudiar en particular estas respuestas. La correlación
tiempo continuo-tiempo discreto es de interés para facilitar el análisis de éstos últimos;
la respuesta temporal se analiza tanto para representaciones entrada-salida y como de
estado.
Un aspecto importante en el análisis de los sistemas de control, son las caracterı́sticas
de la realimentación; la retroalimentación busca mejorar el desempeño de un sistema
dinámico, ajustando el comportamiento en lazo cerrado a los valores deseados, tanto tran-
sitorios como permanentes. Sin embargo, los sistemas pueden estar sujetos a variaciones
paramétricas indeseadas, perturbaciones que desvı́an la salida del valor deseado o el ruido
en la medición; se requiere por lo tanto tener herramientas de análisis de la robustez de
los sistemas de control frente a las incertidumbres de los modelos y a las perturbaciones
externas. Se añade a lo anterior, la necesidad de que el sistema realimentado sea estable
para que pueda ser útil. Por supuesto, las ventajas de un sistema de control realimentado
vienen acompañadas de un costo adicional para el controlador y el sensor, de donde se de-
be evaluar económicamente el impacto, por mejoras en la producción, calidad o reducción
de costos de producción.
La estabilidad es el requerimiento más importante, pues por lo general, un sistema inesta-
ble se considera inútil. Existen muchas nociones de estabilidad, una de ellas es considerar
que un sistema es estable si al aplicarle una entrada de magnitud finita, entonces la salida
es también finita. Para los sistemas lineales invariantes de una entrada y una salida, el
requerimiento de estabilidad y la respuesta transitoria se pueden definir en términos de los
polos de la función de transferencia en lazo cerrado, por lo que en el análisis de un sistema
de control es importante poder ubicar estos polos en lugares apropiados del plano S. En
el diseño de un sistema de control, el ajuste de los parámetros del controlador cambia las
posiciones de los polos y ceros de lazo abierto, buscando ubicar los polos del lazo cerrado
en las posiciones deseadas del plano S. Como los polos de lazo cerrado son las raı́ces de la
ecuación caracterı́stica, es importante para el análisis conocer los efectos en la ubicación
de las raı́ces de lazo cerrado cuando cambia un parámetro en la ecuación caracterı́stica. La
técnica del lugar geométrico de las raı́ces permite obtener las trayectorias de la ecuación
caracterı́stica cuando un parámetro de ella varı́a.
La estabilidad de un sistema también se puede analizar mediante el análisis de la respuesta
en frecuencia; éste consiste en la respuesta en estado de régimen permanente de un sistema
ante una entrada sinusoidal. Esta respuesta se puede representar gráficamente por medio
de diagramas de magnitud y fase de Bode o las gráficas polares y tiene una estrecha
relación con la función de transferencia del sistema, lo que la hace muy poderosa para
analizar y diseñar sistemas de control. Este método es especialmente útil para controlar el
ancho de banda del sistema y evitar amplificar ruido en el lazo; también lo es para evaluar
la estabilidad incluyendo variaciones de la función de transferencia a controlar (estabilidad
robusta) y para sistemas con tiempos muertos. Al igual que en el caso continuo, se requiere
Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxvii

analizar la respuesta frecuencial para sistemas de tiempo continuo como discretos, de una
entrada y salida y multivariables.
4. El diseño: El objetivo principal de los sistemas de control es disminuir el error del sistema
bien sea por cambios del sistema, ruidos o disturbios; este objetivo se traduce en especifi-
caciones deseadas de desempeño que deben lograrse con un diseño apropiado; diseñar un
sistema de control es por lo tanto encontrar uno que cumpla estas especificaciones. Sin
embargo, el diseño es en general un proceso complejo que requiere del análisis, sı́ntesis e
iteración; muchas veces el problema no está claramente definido, es incompleto o no tiene
solución; para abordar correctamente el diseño de los sistemas de control se deben conocer
las restricciones, compromisos inherentes, limitaciones y alcances de la realimentación. El
texto tratará diferentes estrategias de control que se usan en el diseño de los sistemas
de control. La estrategia de control más utilizada en la industria es actuar mediante la
proporción, integración y/o derivación PID del error del sistema; esta estrategia es muy
efectiva para sistemas simples de una entrada una salida y se puede ajustar mediante
métodos empı́ricos, el lugar de las raı́ces, la respuesta de frecuencia o cancelaciones polo-
cero estables. Para sistemas de control con requerimientos de alto desempeño, se pueden
utilizar estrategias complementarias al lazo simple, como el control directo de perturba-
ción o el control en cascada; para múltiples requerimientos, el controlador RST se puede
diseñar por sı́ntesis. Para sistemas de múltiples entradas y salidas el diseño en el Espacio
de Estado es más adecuado; el diseño bajo esta representación, se desarrolla en dos pasos
independientes: primero se diseña la ley de control asumiendo que todos los estados son
disponibles para propósitos de realimentación, (en la práctica no es usual encontrar que
todos los estados sean medibles); luego se diseña un observador de los estados, el cual
calcula el vector de estados a partir de las salidas y las entradas del proceso.
El libro se puede usar como libro de texto en cursos de sistemas de control para pregrados en
ingenierı́a; para un curso de un semestre se pueden usar los primeros seis capı́tulos; el contenido
total se puede ver en dos semestres. También se puede utilizar como referencia para cursos
de posgrado, en aspectos particulares que desarrolla el libro con algún detalle: el proyecto de
control, las bases para el modelado, análisis y control de sistemas inciertos, y los aspectos
prácticos de la implementación de una acción de control.
Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxviii

Dedicado a
Marı́a, Lina, Andrea y Alejandro.
xxix
Agradecimientos
A la Universidad del Valle y Colciencias por el soporte logı́stico y económico para la elabo-
ración del libro.
A los colegas del grupo de investigación en control industrial y los estudiantes del proyecto
PERI II por sus aportes y observaciones que enrriquecieron el libro.
xxx
Capı́tulo 1
La ingenierı́a de control
El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingenierı́a y la

ciencia, es una parte importante e integral de los procesos modernos industriales, de manufactura
y la electrónica de consumo. Prácticamente, cada aspecto de las actividades de nuestra vida
diaria está afectado por algún tipo de sistema de control. Los sistemas de control se encuentran
en gran cantidad en todos los sectores de la industria tales como: control de calidad de los
productos manufacturados, lı́neas de ensamble automático, control de máquinas-herramientas,
sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica, etc., aún el control de inventarios y los
sistemas económicos y sociales se pueden analizar a través de la teorı́a de los sistemas de control.
El control automático permite obtener un desempeño óptimo de los sistemas dinámicos,
tal como mejorar la productividad, flexibilidad de operación, simplificar el mantenimiento,
integrar la información de proceso y gestión, y mejorar las condiciones de trabajo al aumentar
la seguridad y eliminar operaciones repetitivas y rutinarias, de aquı́ se desprende la importancia
de que los ingenieros y cientı́ficos tengan un buen conocimiento en esta área.
Este capı́tulo contextualiza la ingenierı́a de control, sus orı́genes, propósitos e impactos en
la sociedad. Se definen la terminologı́a y representación, se presentan los principales tipos de
problemas de control y se estudian las buclas de realimentación tı́picas; finalmente se presentan
los aspectos más importantes a considerar en el proyecto de diseño de los sistemas de control.
1.1. Introducción
Los sistemas de control han sido de gran impacto para el desarrollo de nuestra sociedad; sus
orı́genes se remontan desde los tiempos en que la humanidad buscó dominar la naturaleza; los
primeros sistemas de control conocidos se remontan a 300 años AC, en la Alejandrı́a donde se
usó en mecanismos de regulación de nivel con flotadores en relojes Mayr [1982], ver la figura. El
ı́ndice marca la hora sobre el tambor rotatorio horario; el desplazamiento lineal con el tiempo
del ı́ndice se garantiza gracias a un flujo de entrada de agua uniforme al tanque principal; la
regulación de flujo se logra en el tanque secundario con una válvula flotador en forma de punta;
si el nivel en este tanque disminuye, la válvula desciende aumentando el flujo de agua de entrada
y viceversa; esto permite mantener un nivel de agua constante en el tanque secundario, lo que
a su vez garantiza el flujo constante de agua al tanque principal.
1
1.1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.1: El reloj de agua de Ktesibios, Mayr [1982].
La máquina de vapor, motor de la revolución industrial, se le pudo controlar la velocidad

gracias al regulador de velocidad de Watt, reconocido como el primer sistema de control indus-
trial, ver la Figura 1.2; el eje D y las bolas E giran con la velocidad de la máquina generando un
cono; si la velocidad aumenta (disminuye), la fuerza centrı́fuga hace que el cono tenga un ángulo
mayor (menor) y las bolas tengan un nuevo equilibrio más lejos (cerca) de D; este desplaza-
miento se conecta mecánicamente con la válvula de admisión de vapor, cerrándola (abriéndola),
lo que permite regular la velocidad.
Los dos ejemplos anteriores ilustran el uso del concepto de realimentación para controlar
los sistemas; la realimentación es el retorno de parte de la salida de un sistema a su propia
entrada. Este concepto tiene propiedades que se pueden explotar para el diseño de los sistemas;
la realimentación hace al sistema de control más resistente a variaciones externas, como en
el regulador de Watt con respecto a variaciones en la carga mecánica acoplada al eje de la
máquina de vapor. Otra propiedad importante es que el sistema controlado es más insensible a
las variaciones de comportamiento de sus elementos; esto se explota por ejemplo para crear un
comportamiento más lineal del sistema completo, a pesar de las alinealidades en un elemento.
En nuestros dı́as se puede afirmar que sin los sistemas de control no se tendrı́an muchos de
Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 2

1.1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.2: El regulador de Watt, Mayr [1982].
los desarrollos tecnológicos de hoy, como los discos de almacenamiento óptico compacto, DVD
o el Blu-Ray (ver el ejemplo 1.16), los trenes de alta velocidad, los satélites, los aviones, etc.;
incluso juegan un rol importante en la gestión de datos de los servidores de la Internet (ver el
ejemplo 1.12).
Los sistemas de control han permitido incrementar enormemente la precisión de instrumen-
tos cientı́ficos como los microscopios de fuerza atómica, espectrómetros de masa o los telescopios
K.Aström and Murray [2009]; también han automatizado tareas humanas repetitivas, tediosas
y/o peligrosas; en la industria, permiten trabajar con tolerancias mucho menores mejorando la
calidad de los productos, disminuyen los costos de producción en mano de obra e insumos, me-
joran la seguridad de operación de las máquinas y procesos y permiten disminuir las emisiones
contaminantes, ayudando a preservar el medio ambiente.
Los sistemas de control tienen vastas áreas de aplicación; en la industria manufacture-
ra (producción de partes para autos, equipos domésticos, etc.), la de procesos (variables como
temperatura, flujo, presión, PH, nivel, densidad, composición, viscosidad, color,...) y la de trans-
porte, incluyendo la aeroespacial; en la agroindustria, la generación y transmisión de la energı́a
eléctrica, las industrias de procesos quı́micos y en los sistemas mecánicos, eléctricos y electro-
mecánicos; incluso en sectores como la medicina y los sistemas biológicos, económicos, polı́ticos
y sociales; a lo largo de este capı́tulo se presentarán diversos ejemplos de aplicación del los
sistemas de control en diferentes contextos.
Se encuentran en la cotidianidad: desde la nevera hasta el sistema de control de combustión
electrónica de los automóviles y ası́ como en el cuerpo humano: el control de la temperatura

1.2. DEFINICIONES Y REPRESENTACIÓN
corporal, la presión arterial, el equilibrio; el simple acto de señalar con el dedo es un sistema de
control; en general, los sistemas realimentados son ubicuos en la naturaleza; la homeostasis en
la biologı́a es la caracterı́stica de los organismos vivos, que mediante la realimentación, se regula
el ambiente interno (quı́mico, térmico, etc.) para mantener una condición estable y constante.
Ejemplo 1.1
Un ejemplo de sistema de control biológico es la regulación de la glucosa en la sangre;
la glucosa ingresa al torrente sanguı́neo a través de los alimentos y la utilizan las células del
cuerpo para producir energı́a; luego de una comida se da un exceso de concentración de glucosa,
entonces el páncreas libera la hormona insulina, la cual hace que el hı́gado y otras células
absorban más glucosa. Si los niveles de glucosa son bajos, el páncreas libera la hormona glucagón
la cual actúa sobre células en el hı́gado que liberan glucosa. Ası́, la acción hormonal del páncreas
busca mantener una concentración constante de glucosa en la sangre, aproximadamente de 90
mg por 100 ml de sangre. △
Ahora bien, para la aplicación de los sistemas de control, se requiere de varias tecnologı́as
como la informática, la eléctrica, la electrónica y las comunicaciones; también exige buena
fundamentación matemática y conocimientos del proceso a controlar.
De todo lo anterior se deriva que los sistemas de control sean un área multidisciplinar y
transversal a las ingenierı́as y a otras ciencias.
1.2. Definiciones y representación

En esta sección se establecen la terminologı́a básica a usar a lo largo del libro y la represen-
tación mediante diagramas de bloques.
Por sistema entendemos a un conjunto de elementos interconectados que realizan una ac-
tividad para alcanzar un objetivo dado. Un sistema de control , es un sistema que se puede
comandar dinámicamente. A los estı́mulos y respuestas en los sistemas los llamaremos señales
o variables. La señal de entrada, es un estı́mulo aplicado al sistema de control para producir una
respuesta especificada. La señal de salida, es la respuesta obtenida, la cual puede ser diferente
a la especificada. Una señal de perturbación es una entrada que afecta adversamente a la sa-
lida. En el sistema de control, la planta es el objeto de control, puede ser un motor, tanque,
calentador o puede ser un proceso abstracto como el proceso de enseñanza-aprendizaje en la
educación.
Ejemplo 1.2
La figura muestra un diagrama esquemático de un sistema de excitación para generadores
sincrónicos.
El propósito es mantener constante el voltaje en terminales del generador G, requisito
operativo para alimentar la carga eléctrica; esto se logra ajustando adecuadamente el nivel
de voltaje de excitación Ef del generador; el Control Automático recibe la señal de medida del
voltaje en terminales VT con el transformador TP de medida, esta señal se usa para definir el
valor adecuado del ángulo de disparo del puente rectificador PRA, con ello se define el nivel
de corriente de excitación a la excitatriz Exc, IE la cual a su vez alimenta el voltaje de campo
del generador. El sistema permite operar manualmente el nivel de excitación al generador con
el Control Manual. Para este sistema de control, la señal de entrada es el voltaje nominal del

Figura 1.3: Sistema de control de la excitación.
generador, VT REF ; la señal de salida es el voltaje generado en terminales de la máquina VT y

la principal perturbación será la corriente de lı́nea en el generador IL , que varı́a con la carga
eléctrica conectada. △
1.2.1. Diagramas de bloques

Una representación muy usada para los sistemas de control son los diagramas de bloques.
La planta o proceso y los elementos del sistema de control se representan mediante bloques;
dentro del bloque se representa la relación causa-efecto del elemento y para ello se puede usar
el nombre, la descripción, el dibujo o la operación matemática que se realiza en el bloque.
Entrando y saliendo al bloque se usan flechas para simbolizar la dirección de las señales; esta
dirección corresponde a la información de control, no de la alimentación de potencia al elemento
representado en el bloque; al lado de las flechas se tiene el nombre de la señal; la figura muestra
esta representación.

Figura 1.4: Representación en diagrama de bloques.
También se usan sumadores para sumar o restar señales y puntos de reparto para usar una
señal varias veces.
r + r+b r + r−b
+ −
b b
c
+
r + r−b+c
−
Figura 1.5: Sumadores.
C C
Figura 1.6: Punto de reparto.
La figura 1.10 muestra un ejemplo del uso del sumador y el punto de reparto en un diagrama
de bloques.

1.2.2. Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado

Lúdica 1.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 30 minutos y requiere de un plano que pueda
sostenerse entre las manos y de un cilindro que pueda girar libremente en el plano, verlos por
ejemplo de Icopor en la figura 1.7, los cuales se pueden adquirir fácilmente en una papelerı́a.
Figura 1.7: Plano y cilindro de Icopor.
1. Para diferentes grados de inclinación del plano, suelte el cilindro desde el extremo más
alto y observe los diferentes desplazamientos del cilindro a lo largo del plano. ¿Cuál es
planta? ¿Cuáles son la entrada y la salida? ¿La planta es estable?
2. Tomando el plano en sus manos, lleve el cilindro desde un extremo al centro. Tome nota
del desplazamiento del cilindro a lo largo del plano, en particular cuánto tarda en alcanzar
el centro y si lo rebasa oscilando alrededor de él. Obtenga un diagrama de bloques que
represente a este sistema de control. Qué serı́a un disturbio para este sistema?
3. Repita el paso anterior con los ojos cerrados.
4. Repita el paso 2 sosteniendo el plano desde un extremo, con el brazo recto al frente y
articulando solo desde el hombro, ver la figura 1.8. Observe y compare con la respuesta
obtenida en el paso 2.
5. Lleve el cilindro repetidas veces, desde un tercio a los dos tercios de su longitud y viceversa.
6. ¿Qué puede concluir acerca del comportamiento del sistema?
De acuerdo a la forma como se obtiene la variable de entrada a la planta, los sistemas de

control pueden ser de lazo abierto o de lazo cerrado. En un sistema de control de lazo abierto
la entrada a la planta es independiente de la salida, como se hizo en el paso 3 de la lúdica 1.1.
La figura 1.9 muestra el caso de la cocción de un alimento en una estufa a gas convencional.
El objetivo del sistema de control es cocinar el alimento a una temperatura dada; el co-
cinero quien hace las veces de controlador en este caso, con el selector de la estufa ajusta la
posición de una válvula para regular el flujo de gas a la boquilla; dependiendo del flujo de gas
se inyectará más o menos calor al alimento para obtener una cierta temperatura en él. Esta
calibración solo se realiza al inicio y luego la estufa queda desatendida, note que para lograr
un buen desempeño, esto es que la temperatura del alimento sea muy similar a la deseada, se
requiere de una buena calibración; igualmente se observa que la planta no tiene una tendencia
a oscilar y es bastante estable, siendo el sistema controlado también estable.
Una desventaja de los sistemas de control de lazo abierto es que no responden a cambios
indeseados en la salida controlada debido a un disturbio o a un cambio en las caracterı́sticas

Figura 1.8: Control del cilindro con un brazo.
Figura 1.9: Control de la temperatura de un alimento en lazo abierto.
de la planta. En el ejemplo anterior, si el volumen del alimento cambia por evaporación, la

temperatura de éste tenderá a subir y se podrá quemar. Si periódicamente el cocinero verifica
el estado de la cocción, ajustará el flujo de gas para mantener la temperatura adecuada en el
alimento, ver la figura 1.10.
Figura 1.10: Control de la temperatura de un alimento en lazo cerrado.
Bien sea por tacto, visión o gusto el cocinero se hace una idea de la temperatura de cocción
(temperatura observada), la compara con la deseada y usa esta diferencia o error para ajustar
el flujo de calor hacia el alimento. Ası́, en un sistema de control de lazo cerrado, se compara la
entrada y la salida y se usa la diferencia o error como acción de control; se requiere por lo tanto
de una realimentación de la salida controlada de la planta. En la lúdica 1.1 es la realimentación

visual la que cierra el lazo de control en las actividades 2, 4 y 5.

Un cocinero inexperto y nervioso podrá generar grandes cambios en el flujo de gas, ocasio-
nando grandes variaciones en la temperatura del alimento; existe la posibilidad de que siendo
la planta estable, el sistema realimentado sea inestable, de ahı́ que la estabilidad sea un factor
muy importante de estudio en los sistemas de control. Por otro lado, si la planta es inestable,
no se puede controlar en lazo abierto y se hace necesaria la realimentación; los sistemas de
control realimentados pueden estabilizar en lazo cerrado, plantas inestables. En la lúdica 1.1 la
planta es inestable dado que para una inclinación dada, el cilindro se desplaza sin detenerse en
el plano; note que el sistema realimentado en el paso 2 es estable; sin embargo, no hay garantı́a
de que al usar la realimentación siempre se logre un sistema estable, como se puede evidenciar
en el paso 4 de la lúdica 1.1.
Ejemplo 1.3
Intente equilibrar erguida sobre su mano a una barra angosta de más de un metro de largo
(el mango de una escoba sirve para este propósito); Usted mirará el extremo opuesto a su mano
para observar más fácilmente la desviación con respecto a la posición de equilibrio. Si cierra los
ojos y deja quieta su mano, la barra caerá pues esta condición de equilibrio es inestable.
Sostenga firmemente la barra con dos dedos, la fuerza de gravedad la orientará hacia abajo,
buscando la posición de equilibrio; si la desvı́a de esta posición, la barra oscilará pero tenderá a
volver a esta posición, que corresponde a una condición de equilibrio estable. △
Ejemplo 1.4
La figura 1.11 muestra un péndulo que se utiliza para propósitos académicos en la enseñanza
del control.
La barra está articulada a un pivote, el cual gira por la acción de un motor en su otro
extremo, lo que permite aplicar torques en la articulación de la barra. Note que la fuerza de
gravedad trata de mantener al péndulo hacia abajo; si se desvı́a y se suelta desde otra posición,
oscilará y tenderá asintóticamente a posicionarse de nuevo hacia abajo. El propósito es erguir
el péndulo desde su posición de equilibrio, midiendo el ángulo de la articulación de la barra.
Obsérvese que las señales salen del sensor por cables eléctricos; en general, los sistemas en
lazo cerrado tienen la limitante de que se pueden inducir ruidos indeseados en las señales de
realimentación, lo que exige un cuidadoso filtrado de las señales. △
1.2.3. La regulación y el seguimiento

El páncreas busca mantener constante la cantidad de glucosa en la sangre, independien-
temente de sus variaciones por el metabolismo, la actividad fı́sica o la ingesta de alimentos;
en el regulador de Watt se busca mantener constante la velocidad de la máquina de vapor,
independiente de los cambios en la carga mecánica; en el ejemplo 1.2 se busca la tensión en
terminales constante, rechazando las variaciones debidas a la corriente de lı́nea del generador;
en estos casos la función principal del sistema de control es de regulación , mantener cons-
tante la salida, principalmente ante cambios debidos a los disturbios; mantener constante la
temperatura de cocción de un alimento, el péndulo erguido o el cilindro en el centro del plano,
(independientemente de los desplazamientos o que el viento lo mueva) son ejemplos también de
regulación.

Figura 1.11: Péndulo invertido Quanser [2010].
En el paso 5 de la lúdica 1.1 la referencia al sistema de control no se mantiene constante; en

este caso la función principal del sistema es el seguimiento de una entrada variante. Los servo-
mecanismos, son sistemas de control de seguimiento de una posición (rotacional o traslacional)
y/o sus derivadas.
Ejemplo 1.5
La figura 1.12 muestra un servomecanismo hidráulico de posición.
Entre los puntos de entrada y salida del aceite hay alta presión hidráulica; si la referencia se
desplaza hacia derecha, el desplazamiento de la válvula permite aplicar la presión al servomotor
hidráulico, desplazándolo hacia la derecha y con ello a la carga mecánica; el flujo de aceite se
muestra con las flechas sobre la figura. El desplazamiento del servomotor desplaza también
la leva de realimentación, la cual desplaza la válvula en dirección contraria a la referencia,
llevándola (después de un transitorio) a su posición de equilibrio; en esta posición, cesa la
presión sobre el servomotor y este se detiene en la nueva posición deseada. △
En el ejemplo anterior, la fuente de energı́a para el servomecanismo es hidráulica con aceite
a presión; la fuente de energı́a para los servomecanismos puede ser también neumática con aire
a presión o eléctrica. Los servomecanismos se utilizan mucho como amplificadores de potencia
en sistemas de control.
Ejemplo 1.6
La figura 1.13 muestra un esquema básico de la generación hidráulica de la energı́a eléctrica;
la energı́a potencial hidráulica almacenada en el embalse, se convierte en energı́a mecánica en la

Figura 1.12: Servomecanismo de posición.
turbina, la que a su vez se convierte en energı́a eléctrica en el generador; las variables eléctricas
son sinusoidales y su frecuencia es proporcional a la velocidad de la turbina; como las cargas
eléctricas requieren de una frecuencia constante para su correcta operación, se debe regular la
velocidad de la turbina, abriendo o cerrando adecuadamente la compuerta de paso de agua; la
figura 1.14 muestra un sistema de control de la velocidad para una turbina hidráulica.
Figura 1.13: Generación hidráulica de energı́a eléctrica.
Se tiene un regulador de Watt con compensaciones adicionales estática y transitoria; la

potencia del regulador de Wat no es suficiente para mover la compuerta, por lo que se utilizan dos

Figura 1.14: Sistema de control de la velocidad para una turbina hidráulica.
servomecanismos en cascada (la salida del servomecanismo piloto es la entrada del servomotor
de compuerta), lo que amplifica la potencia desde unos vatios, a centenares de megavatios. La
figura siguiente muestra el diagrama de bloques de este sistema de control.
Figura 1.15: Diagrama de bloques del control de velocidad para una turbina hidráulica.
La entrada al sistema de control, corresponde a una velocidad de referencia Wr para obtener

una frecuencia eléctrica de 50 o 60 Hz. La principal perturbación para la velocidad en el eje
de la turbina es la variación de la carga eléctrica, que se refleja en el eje como un torque de
perturbación. Nótese que el diagrama no aparecen los flujos de aceite a los servomotores, pues
es la alimentación de potencia a ellos; solo serı́an de interés si la presión de aceite cambiara, en

cuyo caso serı́a un disturbio en el actuador. △
Los ejemplos 1.2 y 1.6, han presentado dos sistemas de control fundamentales para el correcto
suministro de la energı́a eléctrica; pero no solo el voltaje y la velocidad se deben controlar
de manera distribuida en las centrales de generación de energı́a; en los sistemas de potencia,
los generadores están interconectados entre ellos y con las cargas a través de redes a largas
distancias, conformando un sistema complejo con diversos requerimientos de control; uno de
ellos es que los generadores deben permanecer en sincronismo, pero en la operación del sistema
de potencia hay cambios de la demanda y eventos impredecibles como fallas en la generación o
las redes de transmisión, que generan oscilaciones entre los rotores de las unidades, requiriéndose
sistemas de control para su estabilización; igualmente, se requiere balancear en el lapso de los
minutos, la generación con el nuevo consumo global, para mantener la frecuencia del sistema
en la deseada. Si los disturbios son muy grandes, debe asegurarse la seguridad y confiabilidad
del suministro a la mayor cantidad de usuarios, lo que puede exigir acciones de control como
desconectar lı́neas y usuarios. Esto muestra cómo en estos sistemas distribuidos y complejos, se
requiere del control en diversos niveles y de diversa forma.
Ejemplo 1.7
La figura muestra otros niveles de control en los sistemas eléctricos de potencia.
Figura 1.16: Sistemas de control de los sistemas de potencia.
Para los generadores, aparte de los controles presentados atrás de voltaje y velocidad, se
tiene un estabilizador del sistema de potencia que actúa a través del sistema de excitación
para amortiguar las oscilaciones del rotor. Los controles asociados al sistema de transmisión
buscan mantener los voltajes adecuados en él; son controles distribuidos sobre el sistema de
potencia que actúan sobre diversos dispositivos como Taps de transformadores, condensadores,
reactores, compensadores estáticos, etc. El control automático de generación, es un control
centralizado que monitorea la frecuencia eléctrica y flujos de potencia en lı́neas de frontera

con otras áreas, para balancear la generación con la carga más las pérdidas y ası́ regular la
frecuencia a la nominal y los intercambios de potencia entre áreas del sistema; actúa como un
control suplementario sobre el control de velocidad de determinados generadores del sistema;
también puede distribuir la generación para disminuir los costos operativos. △
1.2.4. Tipos de señales y sistemas

Los sistemas de control de velocidad, posición o tensión presentados atrás, son monovariables,
en el sentido que solo interesa controlar una variable; en la cocción de alimentos, no solo in-
teresa conocer la temperatura del alimento, sino también su olor, densidad, color, etc.; cuando
en el sistema de control tenemos múltiples entradas y salidas, tendremos un sistema de control
multivariable.
Ejemplo 1.8
En la generación térmica de energı́a eléctrica, una caldera provee el vapor a la turbina, ver
un esquema para una caldera en la figura 1.17.
Figura 1.17: Esquema de una caldera.
En el hogar se desarrolla el proceso de transferencia de calor por convección y radiación

para la evaporación del agua suministrada desde el domo a las paredes de tuberı́a del hogar; la
mezcla de agua y vapor re realimenta al domo en la tuberı́a de ascenso; del domo sale el vapor
saturado que se lleva al sobrecalentador donde se eleva la temperatura del vapor para llevarlo a
vapor sobrecalentado; este vapor acciona la turbina de alta presión; el vapor de salida de ella,
se realimenta a la caldera y se pasa por el recalentador donde el vapor gana energı́a térmica
para alimentar la turbina de baja presión.
Para la correcta operación de la caldera se requiere medir y actuar sobre múltiples variables,
entre otras:
El nivel del agua en el domo, ajustando el flujo de agua de alimentación; de ser muy alto,
puede pasar agua al vapor, lo que puede destruir la turbina; si es muy bajo, se pueden
destruir los tubos sin agua de la caldera.
La temperatura y presión del vapor para la correcta operación de las turbinas; para variar
la temperatura del vapor se realizan inyecciones de agua; para ajustar la presión del vapor,
se debe actuar sobre la combustión, variando los flujos de combustible y aire.
La presión en el hogar; se busca una presión inferior a la atmosférica para concentrar las
llamas en el hogar; para esto se ajusta la velocidad de la extracción de humos con un
ventilador.
El oxı́geno u otros gases en los humos, para garantizar una combustión eficiente y evitar
emisiones indebidas de gases al medio ambiente; para ello se manipula sobre los flujos de
combustible y aire.
Existen también diversos tipos de señales involucradas en los sistemas de control. En el

sistema de control de velocidad de la figura 1.14 las señales son análogas pues solo involucra
señales mecánicas de posición o velocidad. Las señales análogas son de tiempo continuo (se
definen sobre un rango continuo del tiempo) con un rango continuo de amplitud.
En la actualidad, el procesamiento de señales no se realiza mecánicamente como en la figura
1.14, sino digitalmente en procesadores electrónicos; la figura 1.18 ilustra el tratamiento de señal
en un sistema de control moderno.
La señal medida del proceso b(t) es análoga, ver la figura 1.19; al pasar por el proceso de
muestreo y retención S/H (del inglés Sampler and Holder ), la señal solo queda definida en
instantes discretos de tiempo (señal de tiempo discreto), extrapolada por corto tiempo, con un
rango continuo de valores, denominándose señal de datos muestreados b∗ (Kt), ver por ejemplo
la figura 1.20; en la conversión Análoga a Digital A/D, se realiza un proceso de codificación,
obteniéndose una secuencia de números binarios b(Kt), la cual es una señal digital ; las señales
digitales son de tiempo discreto con amplitud cuantificada, esto es que solo pueden tener un
valor finito de valores, ver la figura 1.21. Normalmente los procesos de muestreo, retención y
codificación se realizan en un solo dispositivo, el conversor análogo a digital.
El procesador digital recibe, procesa y entrega señales digitales; en el procesamiento calcula
el error y el algoritmo de control, para generar la señal digital de control a(Kt).
En el convertidor digital análogo D/A, la señal digital se convierte en una señal de tiempo
continuo cuya magnitud es cuantificada a(t), figura 1.22. Este proceso de decodificación lleva
implı́cito el mantenimiento o retención de la señal digital.

Figura 1.18: Procesamiento de señal en el control digital.
Figura 1.19: Señal análoga.
Figura 1.20: Señal de datos muestreados
El Reloj sincroniza el procesamiento de las señales digitales con los procesos de codificación
y decodificación; cabe anotar que si el sistema es multivariable, se tendrán adicionalmente
circuitos multiplexores y demultiplexores de señal.
Ası́, a partir del tipo de señal presente en el sistema, se clasifican en:
Sistemas análogos: si solo contienen señales análogas; los sistemas análogos se describen
mediante ecuaciones diferenciales.
Sistemas discretos: si solo contienen señales discretas; estos sistemas se describen mediante
ecuaciones de diferencia.
Sistemas de datos muestreados: contienen señales discretas y señales de tiempo continuo.

Figura 1.21: Señal digital
Figura 1.22: Señal de tiempo continuo de control.
Sistemas digitales: si incluyen señales de tiempo continuo y señales digitales en forma de

código numérico.
Si se desprecian los efectos de la cuantificación en la codificación y el procesamiento digital de

las señales, al sistema de control gobernado por un procesador digital de señales se le denomina
sistema de control digital .
1.2.5. Tipos de procesos

Los diferentes procesos descritos para la caldera en el ejemplo 1.8, son ejemplo de un proceso
continuo, en donde la producción del producto final (vapor) se realiza transfiriendo de forma
continua el material (agua) entre los diferentes equipos del proceso. El proceso y cada equipo
tienen un solo estado estable de operación, con flujos continuos de entrada de material y de
salida del producto. Los procesos continuos son por lo tanto sistemas análogos que para su
correcta operación se requiere controlar ciertas de sus variables.
En un proceso discreto los productos son elaborados en grupos que tienen en común las
materias primas y los históricos de producción; las partes del producto se mueven por las
distintas lı́neas de producción y estaciones en donde se transforman o ensamblan para obtener el
producto completo; es el caso de la industria manufacturera para la producción de automóviles,
barcos, o de productos de consumo masivo como bombillos, envases, zapatos, etc. En los procesos
discretos, las variables son booleanas y su estado evoluciona en eventos combinacionales y/o
secuenciales.
En un proceso por lotes, las cantidades de material de entrada pasan por un conjunto
ordenado de actividades de procesamiento sobre un periodo finito de tiempo; el producto de

salida aparece en cantidades finitas de material.

En estos procesos algunas actividades de procesamiento pueden exigir la regulación o el
seguimiento de ciertas variables continuas de interés.
Ejemplo 1.9
En muchos Ingenios azucareros, el proceso de cristalización del azúcar se realiza por lotes. El
objetivo de este proceso es obtener sólidos en forma de cristal, a partir de una solución lı́quida
saturada. En los cristalizadores a vacı́o llamados tachos, ver la figura 1.23, inicialmente se 1 carga
la meladura y se somete a un calentamiento con vapor hasta lograr una solución sobresaturada
en sacarosa (2 concentración de meladura); luego al tacho se le introducen núcleos de sacarosa
previamente formados (3 siembra), para lograr la formación y crecimiento de los cristales de
azúcar, trasladándose el contenido de sacarosa de la meladura al cristal. Se continúa con la 4
concentración y una vez se obtiene la masa cocida, se 5 descarga y envı́a a la centrifugación; el
tacho se lava y se deja listo para el siguiente ciclo. Por ejemplo, durante la etapa de concentración
de meladura, se controlan su densidad, la presión de vacı́o en la cámara y la presión en la
calandria, ver la figura 1.23. △
Figura 1.23: Cristalizador a vacı́o.
Los procesos por lotes son un hı́brido entre los procesos continuos y discretos y su correcto
control requiere del uso de las disciplinas de la automática (regulación y seguimiento) y la

1.3. LAS BUCLAS TÍPICAS DE REALIMENTACIÓN
prodúctica (mandos y eventos). Se debe tener en cuenta que los procesos continuos pueden
tener condiciones de operación gobernadas por eventos; como en el ejemplo, las más usuales
son durante el arranque y la parada del sistema, en donde se deben verificar enclavamientos y
seguir una secuencia de eventos. El análisis y control de los procesos discretos no es objeto de
este libro; lo son los procesos continuos en su régimen de operación normal.
1.2.6. Representación ISA

En proyectos de automatización, los sistemas de control se representan a partir de estándares
como el Instrumentation Symbols and Identifications preparado por la Instrument Society of
America (ISA), el cual es un sistema de designación por sı́mbolos y códigos de identificación
como se muestra en la figura 1.24.
Identificación funcional
TIC
101
Identificación de lazo
Figura 1.24: Representación ISA
El cı́rculo es el sı́mbolo general del instrumento. Las letras y números en su interior, el

código de identificación. En la identificación funcional, la primera letra corresponde a la variable
medida del lazo; las restantes indican las funciones del instrumento: Registrador, Indicador,
Controlador, Transmisor, etc. El estándar también define los sı́mbolos para los actuadores,
sensores primarios, procesos y lı́neas de comunicación de señales. La figura 1.25 muestra un
ejemplo de estos diagramas.
Se trata de un tanque con una chaqueta por la cual circula un fluido caliente; el tanque se
alimenta con agua y jarabe y entrega un producto mezclado y más caliente. Se observan tres
lazos de control; un control del nivel del tanque, variando el flujo de agua de alimentación;
un control de temperatura del producto, ajustando el flujo del fluido caliente que ingresa a la
chaqueta y un control de la concentración del jarabe saliente, ajustando el flujo de jarabe de
entrada al tanque.
1.3. Las buclas tı́picas de realimentación

En el ejemplo anterior se observa en los tres lazos de control la presencia de transmisores,
controladores y válvulas; esta estructura de realimentación es muy encontrada en la práctica y
se conoce como la bucla de realimentación tı́pica. De acuerdo al tipo de señales del sistema de
control, las buclas tı́picas son analógicas, digitales o discretas.

Figura 1.25: Diagrama ISA de un sistema de mezcla y calentamiento.
1.3.1. La bucla tı́pica de realimentación análoga

La figura muestra la bucla tı́pica de realimentación, cuando las señales del sistema de control
son analógicas.
A continuación se describen cada una de las diferentes señales y los elementos de esta bucla
tı́pica de control.
Entrada de referencia o deseada r(t): es la señal de entrada al sistema de control, que

corresponde al valor deseado para la salida.
Salida controlada c(t): es la cantidad o condición que se mide y trata de controlar del
sistema; representa la respuesta del sistema a todas las entradas, por lo que puede ser
diferente de la entrada de referencia. Por notación, en algunas partes del libro se usará
también a y(t) como la salida controlada.
Señal de realimentación b(t): es una señal imagen de la salida controlada, adecuada (en
tipo y magnitud) para la comparación con la señal de entrada deseada.

Figura 1.26: Bucla tı́pica de control análoga.
Error e(t): es la diferencia entre la referencia y la señal de realimentación.

Señal de control a(t): es la señal de salida del controlador; en algunas partes del libro se
usará también la variable u(t) como la señal de control.
Variable manipulada m(t): es la variable de la planta que permite variar la salida contro-
lada.
Disturbio o perturbación d(t): es una señal de entrada al sistema de control, a través de
la planta o el actuador, que afecta adversamente la salida del sistema.
Ruido n(t): es una señal de entrada al sistema, a través de los elementos de realimentación,
cuyos efectos son indeseables para la operación del sistema de control.
Controlador : corresponde al comparador más el compensador ; el comparador genera la
señal de error tomando la diferencia entre la entrada deseada o de referencia y la señal
de realimentación. A partir de la señal de error, el compensador define la señal de control
apropiada para ‘compensar’ las deficiencias de desempeño del sistema.
Actuador o elemento final de control : se encarga de adecuar los niveles de potencia entre
la señal de control y la variable manipulada. Entre el controlador y el actuador pueden
existir transductores (conversores y/o adecuadores de la señal) o transmisores de señal.
Planta: representa la máquina o proceso a controlar.
Elementos de realimentación: son dispositivos que permiten medir la señal de salida y
entregar un valor de magnitud apropiada para el comparador; pueden incluir sensores
(captadores de la señal), transductores o transmisores de señal.
Ejemplo 1.10
La figura 1.27 muestra la bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de la
excitación descrito en el ejemplo 1.2.
Al controlador automático se le denomina regulador de tensión; en sistemas de control
analógicos, tı́picamente se obtiene la señal de realimentación como una tensión de corriente

Figura 1.27: Bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de la excitación.
continua, rectificando y filtrando la salida del transformador de potencial TP de medida. La

variable manipulada es el voltaje de excitación o de campo del generador, creado por amplifica-
ción de la señal de control ángulo de disparo, amplificada por el puente rectificador controlado
PRA y la excitatriz Exc, ambos actuadores. Como se mencionó en el ejemplo 1.2, la entrada es
el voltaje nominal del generador, la salida su voltaje en terminales y la principal perturbación
la corriente de lı́nea a la carga. △
Ejemplo 1.11
La figura 1.28 muestra la bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de velo-
cidad descrito en el ejemplo 1.6.
Figura 1.28: Bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de velocidad.
El sensor de velocidad corresponde a las bolas giratorias que generan la señal de posición
de realimentación W, ver figura 1.14; la referencia es la posición Wr para obtener 60Hz en la
tensión del generador. Los arreglos mecánicos de compensación estática y transitoria se han
denominado gobernador de velocidad, el cual genera como señal de control, la posición de la
válvula piloto. Los actuadores son los servomecanismos piloto y de compuerta que permiten
mover la variable manipulada, posición de álabes. Como se mencionó en el ejemplo 1.6, la

salida es la velocidad en el eje de la turbina y la perturbación principal es el torque eléctrico de

perturbación originado por la variación de la carga eléctrica. △
1.3.2. La bucla tı́pica de realimentación digital

La figura 1.29 muestra la bucla tı́pica de realimentación digital.
Figura 1.29: Bucla tı́pica de control digital.
En este caso el controlador corresponde al descrito en la figura 1.18. Los demás elementos
y señales de la bucla, corresponden a los de la bucla tı́pica análoga de la figura 1.26.
1.3.3. La bucla tı́pica de realimentación discreta

La figura 1.30 muestra esta bucla tı́pica de realimentación.
Figura 1.30: Bucla tı́pica de control discreta.
Se trata de un sistema de control de tiempo discreto, donde controlador, actuador, proceso

y sensor, son sistemas discretos descritos por ecuaciones de diferencia. En el modelado de los
sistemas de control digitales, se llegará a una representación de este tipo; existen también
sistemas que por su naturaleza, corresponden directamente a esta bucla de realimentación.

Ejemplo 1.12
El uso masivo de los computadores y la Internet ha llevado a sistemas de cómputo altamente
distribuidos y complejos en los cuales los sistemas de control se pueden utilizar para alcanzar
altos niveles en la calidad del servicio. Los problemas y aplicaciones del control en esta área
son muy diversos e incluyen el control de congestión, enrutamiento, manejo de recursos como
memoria y CPU, etc. Los retardos en las comunicaciones y los cambios en las caracterı́sticas
del tráfico y la demanda, hacen difı́ciles estos problemas de control.
Las funcionalidades básicas de un servidor de la Internet se ilustran en la figura. Cuando
una solicitud de servicio llega, una aplicación de control de admisión decide si se acepta, y en
tal caso, se envı́a a una cola de espera luego de la cual se procesa la solicitud y se envı́a la
respuesta.
Figura 1.31: Funcionalidades tı́picas de un servidor de Internet.
Para el control realimentado, se mide una variable que represente la calidad del servicio,
como el tiempo de respuesta a los usuarios, la rata del servicio (número de solicitudes aten-
didas por unidad de tiempo) o el uso de la memoria. Como variables manipuladas se pueden
tener el número de solicitudes entrantes aceptadas, las prioridades en el sistema operativo o de
asignación de memoria. El objetivo del sistema de control será buscar mantener la calidad del
servicio en un rango aceptable de valores. La figura muestra la bucla tı́pica de control discre-
ta cuyo propósito es mantener un cierto número de solicitudes en la memoria del servidor, lo
que permite una alta utilización del servidor sin sobrecarga. En este sistema, las variables son
discretas pues se calculan y actualizan sobre la base de una ventana de tiempo. △
Figura 1.32: Bucla de realimentación tı́pica, control de solicitudes en servidor de Internet.

1.4. EL PROYECTO DE CONTROL
1.4. El proyecto de control

En esta sección se presentan los principales aspectos a considerar en el proyecto de los
sistemas de control. Un proyecto es una tarea temporal en la que se desarrollan un conjunto de
actividades, sujetas a una metodologı́a, a un cronograma de duración finita y a unos recursos
limitados (fı́sicos, económicos, de personal), que busca alcanzar un objetivo, como un producto,
servicio o, como en el caso de la ingenierı́a de control, el desempeño adecuado de un sistema de
control.
La forma como se desarrolla el proyecto de control, depende mucho de la naturaleza de la
planta a controlar y de su ciclo de vida. En cuanto a la naturaleza de la planta, entre otros
aspectos se pueden considerar su complejidad, en número de variables a controlar, dinámica y
exigencia en los objetivos de control, y su función en el marco de un producto o un proceso;
será diferente el proyecto para un producto de consumo masivo como el posicionador del lector
óptico de un disco de almacenamiento Blu-Ray, o el control fino de posición en un proceso
de manufactura; en el primer caso el bajo costo de la solución es determinante y debe llevar a
soluciones simples y robustas; en el segundo, la solución puede ser más elaborada y está asociada
a un análisis de costo-beneficio.
La figura 1.33 muestra un ciclo de vida de una planta.
Figura 1.33: Ciclo de vida de la planta.
Dos tipos de proyectos de control se identifican en este ciclo: el primero, para el diseño,
construcción y puesta en marcha del control para una planta nueva; una vez que el sistema de
control está operativo, el ciclo de vida de la planta continúa con su operación y mantenimiento,
lo cual incluye reajustes del control por cambios de operación del proceso o de componentes del
lazo. El segundo tipo de proyecto de control se da cuando se requiere una mejora o moderni-
zación, bien sea porque aparece un nuevo problema de control con consecuencias graves en la
operación, cambian las especificaciones de desempeño por mayores exigencias en el mercado o
la legislación, o bien, por la disponibilidad de mejores sensores, actuadores o controladores que

hacen económicamente viable su instalación por las mejoras de desempeño a obtener.

Dependiendo de lo anterior, el proyecto del sistema de control puede adoptar múltiples
formas; sin embargo, con algunas variantes, el procedimiento general del proyecto de control
involucra las siguientes etapas y principales actividades:
Ingenierı́a del proceso: se identifica el sistema a controlar y se define el problema de

control.
Ingenierı́a básica: se especifican los objetivos deseados para el sistema de control; se

realiza un diseño conceptual para realizar el análisis inicial de costo-beneficio y justificar
el proyecto ante la dirección de la empresa; luego de su aprobación, se elaboran los términos
de la contratación.
Ingenierı́a de detalle: se realiza el diseño detallado de la solución, se escoge y compra la

tecnologı́a de implementación y se definen las actividades e información requerida para la
implementación.
Ingenierı́a de puesta en marcha: se implementan los diseños, se pone en marcha la solución

y se analiza su validez evaluando el alcance de los objetivos planteados.
Nótese que en el desarrollo del proyecto de los sistemas de control, existe una iteración cı́clica
de actividades de análisis y diseño; la información obtenida en el análisis permite conocer mejor
al sistema, para optimizar el diseño.
1.4.1. El análisis y diseño de los sistemas de control

En esta subsección se definen el análisis, diseño y el problema de control.
1.4.1.1. El análisis
En el análisis de un sistema, se extraen sus partes para estudiarles por separado su es-
tructura, caracterı́sticas y funciones; se estudian luego las relaciones entre las partes y las
caracterı́sticas del sistema completo.
Como se mencionó atrás, una caracterı́stica muy importante a determinar en un sistema de
control realimentado es su estabilidad; también interesa su desempeño temporal: que tan rápido
responde, cual es su máxima excursión transitoria, que tan preciso es en régimen estacionario.
Para este análisis, se consideran en este libro tres pasos:
1. Descomponer el sistema en sus partes; en el caso de un lazo simple, esta descomposición

corresponde a una de las buclas tı́picas de realimentación estudiadas en la sección 1.3. La
bucla tı́pica permite tener una idea cualitativa del funcionamiento del sistema de control,
analizando la secuencia de eventos que aparecen luego de una variación en la entrada
deseada o del disturbio. Otras estructuras de sistemas de control se estudiarán en el
capı́tulo 10.
2. Establecer un modelo matemático que represente al sistema; la caracterı́stica que define

el comportamiento temporal del sistema y de sus elementos es su dinámica; la dinámi-
ca se representa matemáticamente por ecuaciones diferenciales; hay diversas formas de

analizar estas ecuaciones; si el sistema es lineal e invariante, se puede usar la transfor-

mada de Laplace para obtener una representación de entrada-salida, donde los diferentes
componentes del sistema se representan por funciones de transferencia y se interconec-
tan construyéndose ası́ un diagrama de bloques; esta es la herramienta de base para el
que se conoce como el control clásico. El control moderno, utiliza variables de estado,
con lo que se obtiene una representación del estado interno del sistema. Los capı́tulos
2 y 3 presentarán ambos enfoques para el modelado de sistemas de control continuos y
discretos.
3. Analizar el modelo; las caracterı́sticas de la respuesta temporal del modelo se obtienen

para señales tı́picas de prueba conocidas, como el impulso, el escalón o la rampa; este
análisis se presentará en el capı́tulo 5. Los sistemas también se pueden analizar en el do-
minio de la frecuencia, ver el capı́tulo 9; las herramientas de análisis frecuencial utilizadas
en el control clásico son: el criterio de Nyquist y los diagramas de Bode; también se ana-
liza la estabilidad del sistema a través del lugar geométrico de la raı́ces, ver el capı́tulo 8.
En la representación interna, la estabilidad se analiza calculando los valores propios del
sistema.
1.4.1.2. El diseño
El diseño, es el proceso mediante el cual se obtiene un resultado que cumple unos requisitos
de desempeño bajo ciertas restricciones. La figura 1.34 muestra el diagrama de bloques básico
de los sistemas de control, con las variables de interés para el diseño.
Figura 1.34: Diagrama de bloques básico de los sistemas de control.
La planta generalizada compacta la representación de la planta a controlar, los actuadores,

los sensores, conversores, etc; es todo lo que se asume ya seleccionado; en su representación
de alguna forma se deben considerar que los modelos no son perfectos y existen dinámicas
no representadas y que la planta cambia por variaciones en los puntos de operación o en los
parámetros del proceso. El controlador es el elemento a diseñar. Las señales en el diagrama
pueden ser vectores; a son todas las señales de control, b las medidas, w todas las entradas
como referencias, disturbios y ruidos; las señales w no se conocen completamente, solo alguna
información, como una propiedad estocástica o sus máximos y mı́nimos; c son todas las señales
que se desean controlar: las salidas controladas, errores entre las referencias y las medidas, las

señales de control a mantener un rango, etc.; sobre la dinámica del sistema y las señales se
definen las especificaciones de funcionamiento deseadas para el sistema; las especificaciones de
funcionamiento son lı́mites, rangos o cotas de las caracterı́sticas analizadas, para los cuales se
considera que el comportamiento del sistema es apropiado; dado el conocimiento incompleto de
los disturbios y ruidos, las especificaciones de las señales se dan para la respuesta a entradas
tı́picas de prueba, que se puedan correlacionar con el comportamiento real del sistema; también
se pueden dar en términos de ı́ndices de desempeño, que operan sobre las señales c.
1.4.1.3. El problema de diseño de los sistemas de control

Ası́, el problema de diseño de los sistemas de control, es encontrar un controlador viable de
implementar, que al actuar sobre la planta, el sistema realimentado tenga un comportamiento lo
más cercano posible al comportamiento deseado, independientemente de las incertidumbres en
la planta, la acción de perturbaciones externas sobre ella y la presencia de ruido en la medición.
1.4.1.4. Métodos de diseño

Cuando se tienen especificaciones dadas por valores o rangos, se puede utilizar un diseño
por análisis, donde por tanteo y error con la guı́a de un método de compensación se ajusta el
controlador hasta cumplir con las especificaciones (expresadas en términos matemáticos); para
el análisis se puede utilizar el lugar de las raı́ces o la respuesta en frecuencia del sistema; luego
se verifica el funcionamiento en el tiempo mediante simulación digital y se realizan reajustes;
este método exige del ingenio y experiencia por parte del diseñador y es útil para problemas de
control de sistemas con pocas entradas y salidas, bajo orden y especificaciones no muy exigentes.
Pare el ajuste del controlador de sistemas multivariables o monovariables con altas exigen-
cias de desempeño, o especificaciones con ı́ndices, es más apropiado un diseño por sı́ntesis, en
donde a partir de las especificaciones, se aplica un procedimiento que directamente (sin tanteos)
lleva al controlador que cumple los requerimientos dados. Bajo este enfoque se estudiará en el
capı́tulo 10, la técnica de asignación de polos para ajustar controladores PID y RST de sistemas
monovariables y la realimentación de estados para sistemas mono o multivariables en el capı́tulo
11.
En cualquier caso, para el diseño del control se utilizan modelos reducidos linealizados, por
lo que usualmente se requiere simular digitalmente al sistema para considerar dinámicas no
modeladas, no linealidades, perturbaciones, etc., y realizar los ajustes requeridos; una vez se
implementa el control, igualmente se require reajustarlo.
1.4.2. Ingenierı́a del proceso

La ingenierı́a del proceso estudia el sistema a ser controlado: sus principales elementos fı́sicos,
lógicos, sus funcionalidades y procesos operativos; a partir de esto, se describe cualitativamente
el sistema mediante un diagrama de bloques o uno esquemático del proceso.

Ejemplo 1.13
En este ejemplo se presenta el proceso para la producción de azúcar a partir de la caña de
azúcar; después de un año de sembrada la caña, se transporta hasta el Ingenio en donde pasa
por varias etapas, ver por ejemplo el proceso de la figura 1.35.
Figura 1.35: Diagrama, proceso de producción de azúcar de caña, fuente Cenicaña.
En la preparación de la caña, picadoras y desfibradoras la fraccionan para abrir las celdas,

facilitando la extracción del jugo en los molinos, donde por compresión se separa el jugo del
bagazo; el jugo diluido contiene impurezas como tierra, y residuos de caña, por lo que se limpia
en los procesos de sulfitación, alcalización, calentamiento, clarificación o decantación y filtrado,
obteniéndose el jugo claro. El jugo limpio o claro se envı́a a los evaporadores y cristalizadores
donde se extrae el exceso de agua añadida en procesos anteriores y se forman los cristales de
azúcar. Luego, los cristales de azúcar se centrifugan para separarlos de la miel, se seca el azúcar
y se empaca para la venta. La miel resultante se recircula o se utiliza en la producción de alcohol
carburante. △

Muy a menudo el diseño global del proceso se realiza para condiciones de operación esta-
cionarias lo que puede generar dinámicas más difı́ciles de controlar, por lo que se recomienda
que el ingeniero de control haga parte integral del equipo de diseño; debe por lo tanto estar en
capacidad de modelar y analizar el comportamiento del proceso, esto es, del conocimiento de la
fı́sica del proceso (balances de masa, energı́a, momento, flujos de materiales, etc.) y de sus di-
mensiones, cómo se modifican sus comportamientos transitorio y estacionario. En los capı́tulos
2 y 3 se presentará en modelado de procesos continuos y discretos y en el capı́tulo 5 el análisis
temporal.
Ejemplo 1.14
En el proceso de producción del azúcar, se considera un tanque de área transversal C para
el jugo diluı́do; el modelo matemático se obtiene de un balance de materia: la integral del jugo
que entra menos el que sale es el que se acumula en el tanque:
Z t
C N ivel = (f lujo entrada − f lujo salida) dt (1.1)
−∞
La figura 1.36 muestra un diagrama de bloques que modela el tanque, en donde se ha

adicionado el modelo del medidor de nivel, simplemente adicionando ruido.
Figura 1.36: Modelo del tanque de jugo diluido.
El modelo es simple pero captura la esencia del comportamiento del tanque; para dimen-
sionarlo se deben considerar la tasa de producción de jugo y los posibles desbalances máximos
entre la producción de jugo diluido y la demanda del proceso de limpieza; el volumen del tanque
debe ser tal que no se rebase o vacı́e durante la operación; su capacitancia C (área de la sección
recta) define las velocidades de llenado o vaciado y el tiempo de residencia del jugo en el tanque;
este tiempo no puede ser muy largo pues con él aumentan las pérdidas de sacarosa por inversión
Perez [2010]; nótese que para una misma diferencia de flujos, un tanque con baja capacitancia
tiene cambios (transitorios) más rápidos de nivel. △
El análisis del proceso completo debe identificar cada planta a controlar y sus necesidades
de control ; para plantear adecuadamente las necesidades de control, se deben investigar con
el ingeniero de proceso o el operador, revisar casos similares, la normativa, etc., para expresar
textualmente los requerimientos de control; al final se identifican claramente las variables de
interés de cada planta: salidas medidas, salidas no medidas, variables manipuladas y disturbios.

Ejemplo 1.15
Para el tanque de jugo diluido en el proceso de producción del azúcar, por seguridad en la
operación, es necesario evitar el derrame del jugo; se requiere por lo tanto controlar su nivel,
manipulando con una válvula el flujo de jugo de salida del tanque (flujo al proceso de limpieza);
el flujo de jugo de entrada al tanque será el principal disturbio en este control de nivel. △
1.4.3. Ingenierı́a básica

El objetivo de la ingenierı́a básica es analizar la viabilidad de la solución; para ello se definen
las especificaciones deseadas para el sistema de control, se realiza un diseño conceptual de la
solución para tener información que permita realizar su justificación económica; con ello el
proyecto puede ser defendido ante la dirección de la empresa y luego de su aprobación, pasar
a elaborar los términos para la contratación. Se debe redactar de forma que sea entendible por
la dirección, el proveedor o integrador y el usuario final.
1.4.3.1. Las especificaciones

Las especificaciones para el sistema de control corresponden a la descripción del sistema y
lo que debe hacer, los objetivos y requerimientos que debe cumplir en el marco de su entorno
asociado: funciones de mando y control, tecnologı́a, medio ambiente, alcances, etc.
Las principales especificaciones son:
1. Funciones en operación normal: objetivos en control automático, enclavamientos, alarmas.

2. Modos de operación: automático/manual, arranque/parada, parada de emergencia, ope-
ración en falla y recuperación.
3. Las interfaces hombre-máquina: interfaces con el operador, seguridad (claves y accesos),
reportes de salida, etc.
4. Entradas y salidas: digitales y análogas, rangos, tipos, etc.
5. Comunicaciones: protocolos, buses de campo, conectividad con sistemas de información
corporativos, entre otros.
6. Restricciones ambientales: áreas clasificadas, reducción de emisión de contaminantes, in-
terferencia electromagnética, etc.
Conocer los objetivos de control es saber que se desea que alcance el sistema: una referencia,
disminución de costos operativos, seguridad, calidad del producto, y que nivel de desempeño
se desea para ello (precisión permanente, velocidad de respuesta, estabilidad, etc.), todo esto
en presencia de cambios en los puntos de operación, cambios en los parámetros del proceso,
dinámicas no representadas, disturbios externos y ruidos en el sensor. El siguiente ejemplo
ilustra la definición de los objetivos de control.
Ejemplo 1.16
La figura 1.37 muestra los servomecanismos para el posicionamiento del lector de un disco
de almacenamiento óptico de rayo azul (Blu Ray, BD), el cual es similar al de un disco compacto

(CD) o un disco versátil digital (DVD). El disco óptico se lee en espiral desde el centro siguiendo
una pista o surco, con un cabezal posicionado con un arreglo de resortes, bobinas e imanes,
llamado actuador magnético. En el cabezal, hay un emisor de rayos láser, lentes y espejos que
enfocan el haz de luz en un punto de la capa reflectiva en aluminio del disco y lo reflejan hacia
fotorreceptores de cuatro cuadrantes que convierten la luz reflejada en señales eléctricas; a lo
largo del surco hay grabados huecos y salientes de una profundidad asociada a la longitud de
onda del láser, de forma que la interferencia del haz con su reflejo cancele o no la onda de luz,
permitiendo leer en los fotoreceptores dos tipos de información: los errores de desviación de las
posiciones radial y vertical y una señal de alta frecuencia portadora de la información digital
almacenada en el disco.
Figura 1.37: Servomecanismos de lectura de discos ópticos.
Dos objetivos de control se definen para la correcta lectura del disco: el buen posicionamien-
to radial para seguir la pista y el ajuste adecuado de la separación entre el punto de lectura
y el cabezal, para el correcto enfocado del láser. Sin embargo, las imperfecciones de los discos
generan grandes perturbaciones para su lectura, la cual por realizarse a velocidad constante,
hace que estas perturbaciones sean periódicas. La inclinación o deformación del disco, generan
perturbaciones verticales de hasta 500 µm en baja frecuencia, mientras que su excentricidad
(variación entre el centro geométrico del surco de datos y el hueco central) perturba el posicio-
nado radial hasta en 70µm en baja frecuencia Filardi [2003]. Para la correcta lectura del disco,
se requiere que los errores de posición radial y vertical no sobrepasen ciertos valores máximos,
los cuales a su vez dependen de la tecnologı́a utilizada, como las propiedades del haz de luz
(longitud de onda λ y apertura numérica N A) y como el ancho de la pista q; la tabla siguiente
presenta los errores máximos estacionarios de posición admisibles para BDs y DVDs Martı́nez
[2009].
△
Cabe anotar que este ejemplo ilustra cómo un objetivo de control de mantener una señal

Tabla 1.1: Errores máximos de posición vertical y radial, discos de almacenamiento óptico.
Tipo de disturbio Máximo error de seguimiento DVD BD
Error vertical µm 2N A2 0.903 0.280
Error radial µm q/10 0.074 0.032
pequeña, se define en términos de una norma de la señal, en este caso el máximo valor absoluto
del error para todo tiempo: emax = max∀t |e(t)|; las especificaciones de desempeño se han
definido como cotas o valores máximos permitidos para las normas de estas señales de interés.
1.4.3.2. Diseño conceptual

Consiste en la concepción de una descripción tácita de la solución, independiente de la
tecnologı́a de la implementación; los principales resultados de esta etapa son el detalle de las
entradas y salidas, la selección de los componentes y la estructura del sistema de control.
Detalle de entradas, salidas y componentes del sistema. La selección de los compo-

nentes corresponde a la instrumentación de medida, actuadores, controladores, comunicaciones
e interfaces de operación. Para su selección, existe una amplia bibliografı́a e información de los
fabricantes en Internet y las sociedades de estandarización como la ISA han definido formatos
que ayudan a especificar los componentes ISA-SP20 [2001].
La selección de la instrumentación de medida, depende de varios factores como: el tipo de
tecnologı́a, por ejemplo, un sensor de nivel capacitivo, ultrasónico, láser, radar, etc.; la aplica-
ción, por ejemplo, la medición de flujo de vapor, de un lı́quido o de un gas; el tipo de industria,
alimentos, textil, quı́mica, farmacéutica, petróleo, gas, energı́a eléctrica, etc.; rango o campo
de medida, alcance, precisión, zona muerta, sensibilidad paramétrica, repetitividad, histéresis,
deriva, resolución, linealidad, fiabilidad, inmunidad al ruido, filtrado de señal, respuesta frecuen-
cial, tipo de alimentación, forma mecánica de instalación, ambiente donde tendrá que operar,
temperatura de servicio, grado de protección, si el instrumento incluye o no visualización local,
la conectividad con las redes de comunicación, etc. A considerar los impactos en el desempeño
del sistema de control asociados a la medición, ver la sección 5.8.1.
Los requerimientos básicos para la selección del actuador, son garantizar el rango total de
la variable manipulada, incluyendo los máximos y mı́nimos en transitorios (y en algunos casos
en estados internos del actuador como las derivadas de la variable manipulada), la sensibilidad
(mı́nimo cambio en la señal de control que genera un cambio en la variable manipulada) y la
disipación de potencia en la condición de operación más exigente; para las válvulas se especifica
Creus [1995] la caı́da de presión, resolución, flujo, tipo de fluido (lı́quido, viscoso, gas, vapor, co-
rrosión, sin inversión, etc.), caracterı́stica (apertura rápida, isoporcentual, lineal), zona muerta,
condiciones operativas (cierre hermético, condensación, frecuencia de operación, espacio dispo-
nible, etc.), material, diseño (bola, compuerta, mariposa, diafragma, etc. ), etc.; en los motores
se especifica Merino [1998] la potencia, factor de servicio, velocidades lı́mites y nominales, par
de arranque, máximo y nominal, caracterı́stica torque-velocidad; al igual que los instrumentos
se especifica para los actuadores las consideraciones ambientales, tamaño, peso, temperatura,
altura sobre el nivel del mar, encerramiento (a prueba de agua, polvo, explosión, goteo), vibra-
ción, ruido, conectividad, etc. A considerar los impactos en el desempeño del sistema de control

asociados a la actuación, ver la sección 5.8.2.

Para realizar la función del controlador existe una gama amplia de dispositivos de cómputo,
como los sistemas de control distribuı́do, controladores lógicos programables y computadores
personales con sistemas de adquisición de datos. En general se debe especificar el número de
entradas y salidas tanto análogas como digitales, los tipos de algoritmos de control, memoria,
herramientas de ajuste y programación, comunicaciones, entre otros.
La interconexión de los múltiples sensores, actuadores y controladores, requiere el uso de
redes de comunicación Zurawski [2005]. Existen múltiples niveles de comunicación en una planta
automatizada, ver la figura 1.38.
Figura 1.38: Las comunicaciones en la pirámide de automatización industrial.
En la parte más baja se encuentran los sensores y actuadores; en este nivel también existen
redes de sensores (no presentadas en la figura); en 1975 se adoptó el protocolo de señal análoga a
través de un par de hilos trenzados con señales de 4-20 mA; esta comunicación es punto a punto
y unidireccional, no es útil en situaciones con múltiples trasmisores. En la década de los 80’s
con el advenimiento de los microprocesadores se requirió adaptar la comunicación análoga a la
digital; aparece el protocolo de comunicación HART (Highway Addressable Remote Transducer )
que permite la comunicación multipunto hasta 15 dispositivos en un solo anillo, combinando
información del proceso con información digital que contiene los datos del instrumento como

fabricante, modelo, lı́mites de medida, calibración, etc. La evolución de las comunicaciones de

bajo nivel llegó a los buses de campo en donde se comunican en serie todos los elementos del lazo
de control, con ello se reemplazan las conexiones convencionales punto a punto de muchos cables,
por un bus con pocos cables, lo que reduce el costo de instalación y posterior mantenimiento;
los buses de campo se pueden escalar fácilmente agregando nuevos nodos y/o concentradores,
tienen alta velocidad de transmisión a largas distancias con baja tasa de error, lo que los
hace apropiados en las aplicaciones industriales de tiempo real. La mayorı́a de buses de campo
son especı́ficos de un proveedor o grupo de proveedores, lo que ha hecho que coexistan diversos
estándares, la mayorı́a no compatibles entre sı́; entre otros se tienen el Profibus, de amplio uso en
Europa, soportado principalmente por Siemens; Fieldbus Foundation, no es propietario basado
en una fundación sin ánimo de lucro que agrupa a más de cien empresas del sector de control
e instrumentación, sobre todo en los Estados Unidos, para aplicaciones en automatización de
la producción y el control de procesos; CAN , desarrollado por la empresa alemana Bosch y
soportado por la organización CiA (CAN in Automation), de aplicación principalmente en la
industria del automóvil; DeviceNet, desarrollado por Allen-Bradley (hoy Rockwell Automation)
es un protocolo abierto que permite una solución de red económica a nivel de dispositivo;
Modbus, desarrollado por la firma Modicon del grupo Schneider, de amplia utilización en el
continente americano.
Los dispositivos de control se monitorean en los supervisores implementados en computado-
res o pantallas industriales; en este nivel se tiene una imagen virtual de la planta en ambientes
de Supervisión, Control y Adquisición de Datos SCADA (Supervisory Control And Data Acqui-
sition); el SCADA realiza la adquisición de datos y su transmisión desde los niveles inferiores,
utilizando las diversas redes de comunicación (buses de campo, Ethernet, etc), almacenan infor-
mación en bases de datos especı́ficas con tiempos de acceso muy cortos para el control. Permiten
visualizar la información utilizando interfaces hombre-máquina amigables, realizan funciones de
control como el cambio de los parámetros de los controladores y permiten la comunicación con
diversas aplicaciones informáticas del nivel superior para la gestión de procesos, tales como el
mantenimiento predictivo y el MES (Manufacturing Execution System), para la gestión integral
de la producción. En el nivel superior se tienen los sistemas de gestión de la empresa; en el ERP
(Enterprise Resource Planning), se integran los módulos de gestión, control y planificación de
la empresa en una base de datos común; el acceso a la información de los niveles más bajos,
permite generar información a los directivos sobre los costos y tiempos de producción, nivel de
almacenamiento del producto final, rendimiento de la planta, etc., con lo que pueden tomar
decisiones para optimizar el funcionamiento de la planta con los requerimientos del mercado.
La estructura del sistema de control. En esta jerarquı́a de la información, los sistemas de

control tienen también diferentes niveles; la tabla siguiente ilustra estos niveles, con sus objetivos
más importantes, la escala de tiempo tı́pica de la actuación y la herramienta de diseño tı́pica
Goodwin et al [2001].
Esta jerarquı́a corresponde a un control distribuı́do, donde la planta compleja con múltiples
entradas y salidas, se divide en elementos más simples como el lazo, agrupados en unidades o
áreas, hasta abarcar la planta total.
En este libro se estudian los niveles 1 y 2 de la tabla anterior; la estructura del sistema
de control normalmente se especifica mediante el diagrama ISA de tuberı́a e instrumentación
(P & ID, Pipe and Instrumentation Drawing); esta estructura, depende del número de salidas

Tabla 1.2: Jerarquı́a tı́pica de los sistemas de control.

Nivel Descripción Objetivos Escala tempo- Herramienta
ral tı́pica de
diseño
4 Optimización Satisfacer los pedidos de los clientes c/dı́a Optimización
global de la y organizar el suministro de mate- estática
planta riales
3 Optimización Operación eficiente de una unidad c/hora Optimización
en estado por ejemplo, una caldera estática
estable pa-
ra unidad
operacional
2 Control Lograr los puntos de operación es- c/minuto Control mul-
dinámico pecificados en el nivel 3 con rápida tivariable
de unidad recuperación de perturbaciones
operacional
1 Control Regular la salida controlada a los c/ms-s Control mo-
dinámico de valores especificados en el nivel 2 novariable
un lazo
controladas y entradas manipuladas del proceso; para el nivel 1, la estructura corresponde a la

bucla de realimentación tı́pica; para diseñarla, se debe escoger el tipo de controlador y ajustarle
sus parámetros. El controlador más empleado para ello es el que genera la señal de control a
partir de una combinación de la Proporción, Integración y Derivación del error, el controlador
PID; este controlador se estudiará en el capı́tulo 6. Para plantas multivariables como la de la
figura 1.25, se tienen múltiples lazos tı́picos y estructuras diferentes a la de la bucla tı́pica, como
lazos en cascada, control directo de disturbios medidos, control directo de referencia, etc.; estas
estructuras se estudiarán en el capı́tulo 10, también se pueden tener otros tipos de controladores
como los RST o la realimentación de estados, ver capı́tulos 6, 10 y 11.
La definición de la estructura del sistema de control es fundamental en la solución del
problema de control; como se observó en la lúdica 1.1, no es lo mismo controlar el cilindro con
el plano sostenido con las dos manos, sin mirarlo o sosteniéndolo con un solo brazo extendido; el
sensor o actuador disponible, puede hacer la diferencia para lograr un buen sistema controlado;
por otro lado, las dinámicas propias de los componentes seleccionados afectan el comportamiento
del sistema de control; el filtrado en la medición, la dinámica del actuador, los retardos en las
comunicaciones y en el cálculo de la ley de control, cambian la dinámica del lazo y deben por
lo tanto tenerse en cuenta en la definición de la estructura y el ajuste del control; el desempeño
del lazo será tan bueno como lo sea el del elemento más débil, lo que nos lleva a la necesidad de
tener homogeneidad en la precisión y calidad de los diferentes elementos del sistema de control.
1.4.3.3. La justificación del proyecto

Para poder realizar el proyecto de control es importante poder justificar los costos asociados.
Si el sistema de control es necesario para la operación o seguridad del proceso, los costos de
no tenerlo son muy grandes y la justificación del proyecto es per se. Cuando el proyecto provee

una mejora en calidad o reduce costos de operación, se requiere justificar la inversión, lo que
usualmente toma la forma de un análisis financiero de costo-beneficio.
Estimación de beneficios. Los sistemas control de procesos continuos generan beneficios

por el aumento de la eficiencia en la producción, al disminuir los costos de operación o aumentar
el rendimiento del proceso.
Figura 1.39: Disminución del punto de operación de un proceso, por un control efectivo.
Un mejor control disminuye las desviaciones en la variable controlada y por ende del pro-
ducto; la figura 1.39 muestra las funciones de densidad de probabilidad para un control manual
o pobre y uno de alto desempeño; un buen control permite disminuir la varianza de la salida
manteniéndola más cerca de la referencia; por exigencias de calidad u operativas existen lı́mites
en las variables; por ejemplo, en las laminadoras o en la producción de papel, es un requisito
de calidad mantener un espesor mı́nimo del producto; ası́, si en la figura 1.39 la variable es el
espesor, el control de alto desempeño permite bajar el punto de operación, lográndose un pro-
ducto de menos espesor, lo que disminuye el reproceso de la materia prima, generando grandes
ahorros en costos de energı́a, mantenimiento de equipos, etc.
Un control efectivo permite aumentar la tasa de producción o el rendimiento del proceso;
la figura 1.40 muestra las funciones de densidad de probabilidad, para un aumento del punto
de operación del proceso; en este caso el lı́mite máximo está usualmente asociado a condiciones
de capacidad de los equipos, que de sobrepasarse comprometerı́an la seguridad y confiabilidad
de la operación del proceso; por ejemplo, en los servomotores que accionan los molinos en el
proceso de producción del azúcar, ver la figura 1.35, un control efectivo del torque permite
operar a valores mayores, sin sobrepasar los torque máximos permitidos para evitar las roturas
de los ejes; los molinos operando a mayor compresión (más torque), extraen mayor cantidad de
jugo.

Figura 1.40: Aumento del rendimiento de un proceso, por un control efectivo.
También se producen beneficios por disminución de los tiempos de indisponibilidad del

proceso; los equipos de control modernos son digitales, con muy alta fiabilidad y muy pocas exi-
gencias de mantenimiento; estos equipos se pueden reprogramar fácilmente en caso de cambiar
la operación del proceso y también mejoran su velocidad del arranque y parada.
Otro beneficio es la disminución del costo laboral; los cambios que aumentan la producti-
vidad del trabajo, pueden reducir el ritmo de creación del empleo, cesar la mano de obra o
desplazarla; este es un aspecto controversial del rol del control y la automatización en la socie-
dad; hay argumentos que plantean que la automatización genera más puestos de trabajo de los
que elimina, al crearse nuevos puestos en los sectores de fabricación de los equipos de control y
de los nuevos productos desarrollados Schmitt [1983]; un ejemplo de esto es el Segway, que pudo
desarrollarse gracias a los algoritmos elaborados para el transporte autoestabilizado. Se reco-
noce que la tecnologı́a de automatización desplaza a los trabajadores de más baja formación,
por lo que es importante tener polı́ticas de formación continua de los trabajadores, reformas
laborales y legales que permitan sacarle el provecho a los sistemas automáticos para mejorar
las condiciones de trabajo, minimizar los impactos negativos en los grupos más afectados y
permitir el desarrollo de una sociedad justa con más tiempo libre.
La cuantificación de estos beneficios depende de muchos factores de la aplicación en particu-
lar; entre otros se pueden tener en cuenta Peña [2007]: balances de masa y energı́a, reducción de
materias primas y desechos, disminución de tiempos de paradas (tiempos promedios de inter-
vención, tipos de incidentes y frecuencia, etc.), aumento de la producción, precios de materiales
y productos, ahorros por mejora de calidad como garantı́as y devoluciones, etc; la información
se puede obtener de los registros existentes o de experiencias similares.
Por otro lado, también ayuda a la justificación del proyecto los beneficios intangibles, normal-
mente no cuantificables, como los beneficios por mayor disponibilidad, flexibilidad, seguridad,
más información, mejor imagen de la empresa, mayor posicionamiento en el mercado, impacto

ambiental, etc.
Estimación de costos. Los costos son lo que se debe pagar para adquirir un bien o ser-
vicio; en el proyecto de control corresponden a la inversión inicial y la operación posterior;
en la inversión inicial se incluye: instrumentación (sensores, actuadores, transmisores), soporte
fı́sico (procesadores, tarjetas de comunicación, alimentación de potencia, tarjetas de entrada-
salida, racks, gabinetes, etc.), soporte lógico, (sistema operativo, Scada, comunicaciones), infra-
estructura (eléctrica, mecánica, neumática), personal, entrenamiento, documentación, manejo
del proyecto, etc.
Su cuantificación se puede realizar a partir de cotizaciones de proveedores, costeo de órdenes
de producción, de proceso, estándar Peña [2007] o de estimaciones generales; para estas últimas,
en un caso tı́pico, el control y la instrumentación está en el orden del 5 al 10 porciento del costo
total de la instalación nueva de una planta continua (para procesos por lotes este costo es
de un 50 % más); de este costo, aproximadamente la mitad es de instrumentación, 5-10 % de
infraestructura, 5-10 % hardware y un 10 % de software.
Los costos de funcionamiento corresponden a los que se tendrı́an, una vez esté operativo el
sistema; entre otros se tienen el costo de la energı́a eléctrica, contratos de mantenimiento, el
soporte técnico, personal, repuestos, etc.
Herramientas financieras. Existen diversas herramientas de decisión financiera para acep-

tar o rechazar un proyecto, como el Valor Presente Neto (V P N ) y la Tasa Interna de Retorno
(T IR), indicadores que muestran la bondad de un proyecto en términos de rentabilidad, o el
Perı́odo de Recuperación de la Inversión (P RI) que evalúa la liquidez del proyecto. Existe una
vasta literatura sobre el análisis financiero de proyectos, ver por ejemplo Urbina [2001] y las
referencias del libro.
El Valor Presente Neto permite estimar si la inversión en el proyecto incrementa o reduce
el valor de la empresa; para ello compara el valor presente del beneficio futuro (inversiones,
ahorros, gastos, etc.) con el que se obtendrı́a si se utiliza el dinero en otro medio de inversión.
La siguiente ecuación permite calcular el V P N .
N
X Fk
V PN = − I0 (1.2)
(1 + i)k
k=1
Donde N es el número total de perı́odos analizados, I0 es la inversión inicial, Fk es el flujo neto

de efectivo del perı́odo k, e i es la tasa de descuento o de costo de capital.
La inversión inicial son los desembolsos que se harán en el momento de contraer la inver-
sión, como los activos fijos (los necesarios para la producción, como edificios, equipos, etc.), los
activos diferidos (los no fijos los requeridos para realizar el proyecto, como diseño, construcción,
instalación, puesta en marcha, administración, investigación, patentes, etc.) y el capital de tra-
bajo (activos corrientes requeridos para la operación del proyecto, como el efectivo, las cuentas
por cobrar, los inventarios). Dependiendo de la legislación tributaria, los activos fijos se pueden
depreciar y los diferidos amortizar, lo que merma las utilidades antes de impuestos, generando
un ahorro fiscal que beneficia positivamente el flujo neto de efectivo.
El flujo neto de caja o efectivo son los beneficios netos esperados del proyecto en cada
perı́odo, como las utilidades (si es un producto nuevo), los ahorros fiscales, de personal, de
operación y de materia prima.

La tasa de descuento o tasa de oportunidad del mercado, es la tasa de interés del costo del
capital exigido por la fuente de financiación del proyecto, o bien, la tasa que se obtendrı́a si
se invierte el dinero en otro proyecto o medio de inversión con riesgo similar. Si el V P N es
positivo, el proyecto es bueno para la empresa pues genera más beneficios que los costos del
capital, o la rentabilidad es mayor que la tasa de oportunidad.
La Tasa Interna de Retorno T IR, es la que hace el V P N cero:
N
X Fk
V PN = 0 = − I0 (1.3)
(1 + T IR)k
k=1
Si la T IR es mayor que la tasa de oportunidad i, el proyecto es beneficioso para la empresa.

El Perı́odo de Recuperación de la Inversión es el plazo de tiempo que se requiere para que
el flujo neto de efectivo recupere el el costo de la inversión, esto es que el V P N sea cero.
El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de estos indicadores para el caso de un proyecto de
modernización.
Ejemplo 1.17
Se considera un proyecto de control para pasar de un control manual accionado por un
operador a uno automático realimentado; la tabla siguiente muestra el flujo neto de efectivo,
para cinco años.
Tabla 1.3: Flujo neto de efectivo (miles de pesos).

Perı́odo/Concepto 0 1 2 3 4 5
Beneficios directos
Mano de obra 12.000 12.600 13.230 13.892 14.586
Desechos 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000
Beneficios indirectos
Devoluciones 7.000 7.000 7.000 7.000 7.000
Depreciación 5.600 5.600 5.600 5.600 5.600
Costos de operación -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000
Inversión inicial -80.000
Flujo neto de efectivo -80.000 26.600 27.200 27.830 28.492 29.186
Se han considerado como beneficios directos, el ahorro de mano de obra del operador, con un
aumento anual salarial del 5 %, y la disminución de desechos; se considera también un aumento
importante en la calidad del producto final que disminuye las devoluciones del producto. El
ahorro fiscal se calcula, depreciando la inversión inicial I0 en Nd años y calculando el ahorro en
el impuesto de renta; si Ir es la tasa del impuesto de renta, el ahorro fiscal anual es:
I0 Ir
Beneficio depreciación =
Nd
En este ejemplo, Nd = 5, Ir = 35 %, i = 15 % el V P N de este proyecto es de 12.796.964 y la
T IR=21.5 % anual; como el V P N es positivo y la T IR mayor que la tasa del costo del capital,
el proyecto genera beneficios para la empresa. En los tres primeros años el flujo de efectivo es
de 81.630.000, siendo entonces el perı́odo de recuperación de la inversión de aproximadamente
los tres años. △

En el análisis se pueden incluir otros aspectos como considerar el incremento de los be-
neficios por la inflación o realizar un análisis de sensibilidad para ver la evolución del V P N
al cambiar variables crı́ticas como la tasa de descuento. Estas herramientas suministran una
base cuantitativa que sirve de criterio para aceptar o rechazar el proyecto de acuerdo con su
rendimiento económico; sin embargo, puede suceder en la práctica que se acepten proyectos
cuyo rendimiento económico sea inferior al mı́nimo requerido o que se rechacen proyectos ren-
tables, debido a aspectos cualitativos como los gustos de la gerencia, aspectos de competencia,
saturación del mercado, etc.
Otro escenario se da cuando el departamento encargado de la instrumentación en la planta
tiene un presupuesto anual a discreción para el desarrollo de proyectos de control; en este caso
es importante tomar información para la comparación del desempeño antes y después de la
implementación de la solución de control.
Ejemplo 1.18
En el proceso de la producción del azúcar de la figura 1.35, se requiere adicionar floculante
al jugo diluido para aumentar la eliminación de los lodos contenidos en el jugo, en los clarifica-
dores; en Perez [2010], se implementó un control de flujo del floculante en función del flujo de
jugo; antes de la implementación, el flujo de floculante se mantenı́a constante, independiente
del flujo de jugo, excediendo la mayor parte del tiempo el flujo teórico requerido; el exceso de
floculante en algunas ocasiones entorpece la buena decantación de las impurezas, perjudicando
el cumplimiento de los estándares de calidad establecidos. Adicionalmente, se requiere prepa-
rar el floculante con una alta concentración para mermar la adición de agua al jugo; el agua
añadida implica más consumo de vapor en la etapa posterior de evaporación, incrementando los
costos de producción. Por ello se propuso preparar el floculante con una mayor concentración
y diluirlo posteriormente en lı́nea con jugo clarificado, antes de ser inyectado en las torres de
prefloculación, ver la propuesta del control para este proceso en la figura 1.41.
Figura 1.41: Diagrama ISA del control de flujo de floculante Perez [2010].
La figura 1.42 presenta las partes por millón ppm de floculante añadido al jugo en los
primeros semestres de 2008 y 2009, junto con las toneladas de molienda mensual; se observa

que aunque la molienda fue mayor con el control de flujo de floculante implementado, las ppm
de floculante fueron inferiores, generando un ahorro importante a la empresa. △
Figura 1.42: Floculante y molienda de caña, antes y después del control Perez [2010].
1.4.3.4. Los términos para la contratación

En estos términos se define el alcance y los lı́mites del suministro de la solución; se elabora
a partir de las especificaciones y el diseño conceptual; adicionalmente se especifica el soporte
técnico, la experiencia en control y la capacidad financiera del proveedor; también se especifican
los aspectos que se exigirán para las fases siguientes del proyecto:
Desarrollo: la normativa a seguir, requerimientos de calidad, de personal, la información

a proveer durante la ingenierı́a de detalle, los tiempos de las tareas.
Instalación, prueba y validación: transporte y descarga, integración y prueba de módulos,
pruebas de aceptación en fábrica y en sitio; verificación del cumplimiento de las funciones
exigidas.
Puesta en marcha: entrenamiento operativo para la operación del sistema, mantenimiento,
diagnóstico de fallas y solución de problemas.
1.4.4. Ingenierı́a de detalle

En esta etapa se diseña en detalle lo proyectado en la ingenierı́a básica, lo que incluye
seleccionar la tecnologı́a de los diversos componentes y de la informática, desarrollar la infor-
mación para la implementación y el montaje, desarrollar los programas informáticos y el diseño
de las pruebas de montaje, de integración y de validación de especificaciones. Entre otros, como
resultados de esta etapa se tienen:
Planos necesarios para el montaje y la implementación, diagramas de cableado, detalles

tı́picos de montaje.

1.5. RESUMEN
Diagramas de Instrumentación y Proceso (P and ID), lógicos, SAMA, secuenciales.

Desarrollo de algoritmos de control (los detalles se presentarán en la sección 6.7), prueba
en simulación y/o sobre la planta usando sistemas de desarrollo rápido de prototipos.
Manuales de operación y mantenimiento.
Datos detallados del sistema: datos medidos, o calculados, datos almacenados, perı́odo
de almacenamiento y resolución, archivos y copias de respaldo, exportación de datos,
facilidades para el intercambio de información, etc. (OPC, SQL, xls, etc)
Interfaces del sistema: detalle de las entradas y salidas análogas y digitales, interfaces
con terceros, protocolos lógicos (MODBUS, ASCI I , etc) y fı́sicos (TTY, RS232, RS485,
Ethernet), interfaces hombre-máquina, fuentes, CPU, discos, requerimientos para el so-
porte y mantenimiento del sistema, estándares y metodologı́as a seguir para el desarrollo
del software y hardware ( IEC1131, IEEE 142, NEMA, etc.).
Instalación: transporte y descarga, potencia y auxiliares, cambios en la planta o equipos
existentes, cambios al software de los sistemas existentes, diseño de pruebas de montaje,
de integración y de validación de especificaciones, entrenamiento a operadores, técnicos,
gerencia.
Cronograma de actividades.
1.4.5. Ingenierı́a de puesta en marcha

En la puesta en marcha se ejecutan los diseños, se controla su ejecución, se realizan las
actividades para garantizar la correcta operación de la planta y se juzga la validez de la solución
con relación al alcance de los objetivos planteados.
Luego de realizada la instalación de todos los componentes tanto en hardware como en
software, se realiza una pre-validación, en donde se verifica la correcta instalación y se prueban
los diversos elementos: la alimentación de potencia, calibración, vibración, puestas a tierra,
aislamiento eléctrico, verificación de bloqueos, enclavamientos y de operación de dispositivos
de seguridad; pruebas (en fábrica) del software de control con entradas y salidas simuladas,
etc. Luego se realizan pruebas de validación para el sistema de control interconectado pero sin
los fluidos ni productos en el proceso; verificado el cumplimiento de las funciones, se pasa a la
puesta en marcha con el proceso operativo, donde se verifica la operación en control manual y
automático a diferentes niveles de operación, para la sintonı́a fina de los sistemas de control.
Se documentan los valores de parámetros y pruebas de cada lazo, se elaboran los planos y
manuales de operación y mantenimiento definitivos y los resultados de las pruebas de validación
de las especificaciones con las cuales se comprueba que lo instalado opera y cumple con los
requerimientos de la especificación funcional. Finalmente se realiza la capacitación del personal
para el mantenimiento y operación del sistema.
1.5. Resumen
Los sistemas de control han sido de gran importancia para el desarrollo de nuestra sociedad,
siendo parte de cualquier sistema de ingenierı́a moderno; han permitido mejorar la productivi-

1.6. LECTURAS COMPLEMENTARIAS
dad, flexibilidad y seguridad de operación, calidad de los productos y disminuir los desperdicios
y las emisiones contaminantes.
Sus aplicaciones son extensas y transversales a las ingenierı́as y otras ciencias; en este capı́tu-
lo se presentaron ejemplos de sistemas de control en sistemas biológicos, control de velocidad y
posición de sistemas mecánicos, los sistemas eléctricos, en variables de procesos como la tem-
peratura, nivel, flujo, presión y composición y en sistemas de uso cotidiano como un disco de
lectura láser y un servidor de la Internet.
Es multidisciplinar pues para su aplicación se requieren diversas tecnologı́as de la informáti-
ca, instrumentación, actuación, computación y comunicaciones; su viabilidad se analiza con las
ciencias económicas y las relaciones sociales entre los diversos sujetos activos (gerente de proyec-
to, ingeniero de desarrollo, operador de planta, etc.) de los proyectos de diseño de los sistemas
de control y de la sociedad en general, juegan un rol importante para su éxito y pertinencia.
Es la realimentación la que permite diseñar los sistemas de control para resolver sus dos pro-
blemas básicos: regular una variable en un valor preestablecido o seguir una referencia variante;
sin embargo, tiene dos limitantes importantes: la posibilidad de la inestabilidad y el ruido en la
medición en un sistema de mayor complejidad. En el diseño de los sistemas de control se busca
un controlador viable de implementar, que logre un comportamiento en red cerrada estable y lo
más cercano posible al deseado, independiente de los cambios en el proceso, las perturbaciones
externas sobre el lazo y el ruido de medida.
Mediante los diagramas de bloques o los ISA, se pueden representar los sistemas de control;
dependiendo de los tipos de sistemas y señales involucrados, se representan mediante buclas de
realimentación tı́picas análogas, digitales o discretas; en ellas se definen los diferentes elementos
y señales que hacen parte de los sistemas de control.
En el proyecto de diseño de los sistemas de control se realizan actividades para el conocimien-
to del proceso, la definición del problema de control, los objetivos a cumplir, el establecimiento
de los requerimientos funcionales, un diseño básico, la justificación económica y los términos de
la contratación; en la ejecución se detalla el diseño y finalmente se pone en marcha la solución
verificando el alcance de los objetivos propuestos.
1.6. Lecturas complementarias

En K.Aström and Murray [2009] y Dorf and Bishop [2005] se encuentran otros casos ilus-
trativos del uso interdisciplinar del control; sobre los orı́genes e historia del control, ver Mayr
[1982] y el capı́tulo 1: A brief history of feedback control, de Lewis [1992].
Para más detalles de los ejemplos discutidos en el capı́tulo, ver Khoo [2000] sobre el control
del azúcar en la sangre; en Kundur [1994] se describen los diferentes componentes y sistemas
de control de los sistemas de potencia, incluyendo los controles de tensión y frecuencia y de la
caldera; para el proceso de producción del azúcar, ver además de las referencias dadas Hugot
[1986]; para el control del servidor de Internet ver Hellerstein [2004]. Para los lectores de discos
ópticos ver las referencias citadas.
Los múltiples aspectos relacionados en el proyecto de control se detallan en las referencias
dadas a lo largo del libro.

1.7. EJERCICIOS LÚDICOS
1.7. Ejercicios lúdicos

Ejercicio 1.1
Para este ejercicio se considera de nuevo el plano y el cilindro. La persona A sostiene con
las manos y sobre su cabeza, el plano inclinado sobre el cual gira el cilindro; la persona B se
ubica al frente de A y le indica con las manos la acción a realizar sobre el plano para ubicar
el cilindro en la posición que le muestra la persona C, quién se encuentra a espaldas de A y
en frente de B. La persona C indica con su mano diferentes posiciones X para el cilindro en el
plano.
1. Defina el rol de cada persona con relación a los elementos y variables de control.
2. Proponga un diagrama de bloques para describir cualitativamente al sistema.
Ejercicio 1.2
Suponga que las personas del ejercicio anterior se encuentran en una habitación aislada,
cerrada y sin ventanas; B usa gafas; un niño D juega con el interruptor de la luz prendiéndolo
y apagándolo rı́tmicamente. Una persona E camina por la habitación, chocando a veces con los
demás. Escoja la opción que considere correcta.
1. Una perturbación (disturbio) para este sistema es
A. el valor X.
B. el ángulo del plano.
C. el niño D.
D. la persona E.
2. En general, se esperará un mayor error en el sistema si
A. el ritmo de juego de D aumenta.

B. la persona C se fatiga.
C. se empañan las gafas de B.
D. el valor de X es pequeño.
3. La variable manipulada es
A. la posición del cilindro.

C. la indicación de B.
D. el valor de X.
4. La salida controlada es
A. la posición del cilindro.


1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS
C. la indicación de B.
D. el valor de X.
5. El objetivo principal del sistema de control es
A. regular el ángulo del plano.

B. rechazar la acción de D.
C. regular la entrada de referencia.
D. seguir una referencia variante.
1.8. Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.3
El proceso de enseñanza-aprendizaje es realimentado y busca que el estudiante logre los
objetivos de aprendizaje. Obtenga el diagrama de bloques de la bucla de realimentación tı́pica
para este sistema de control.
Ejercicio 1.4
Plantee el diagrama de bloques que describa el sistema de control del reloj de agua de
Ktesibios.
Ejercicio 1.5
Plantee el diagrama de bloques que describa el regulador de Watt de la figura 1.2.
Ejercicio 1.6
Diseñe un sistema de control para la regulación automática del nivel de azúcar en la sangre;
represéntelo mediante una bucla de realimentación tı́pica.
Ejercicio 1.7
Durante una operación médica, un anestesista controla la profundidad de la inconsciencia
del paciente variando la concentración de isoflurano, en una mezcla vaporizada con oxı́geno
y óxido nitroso; la profundidad de anestesia la evalúa a partir de la presión sanguı́nea del
paciente. Dado que el anestesista debe administrar otros medicamentos, se desea soportarlo con
un sistema de control automático; diseñe este sistema y obtenga un diagrama de bloques de la
bucla de realimentación tı́pica.
Ejercicio 1.8
Obtenga la bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control de temperatura de una
nevera.
Ejercicio 1.9
Un sistema de control multivariable casero consiste en la ducha con llaves de agua frı́a y
caliente; se desean una temperatura y flujo de salida del agua para un baño confortable. Dibuje
un diagrama de bloques para este sistema de control.

Ejercicio 1.10
(Dorf y Bishop, 1989). Adam Smith (1723-1790) analizó el tema de la libre competencia
entre los participantes de una economı́a en su libro ‘La riqueza de las Naciones’. Puede decirse
que Smith sugirió que:
1. Los trabajadores, como un todo, comparan los diferentes empleos posibles y toman aque-
llos que ofrecen mayor remuneración.
2. En cualquier empleo el pago disminuye según aumenta el número de trabajadores solici-

tantes.
Suponiendo que r es el total promedio de pagos en todas las actividades, c el total de pagos
en una actividad particular y q, la afluencia de trabajadores dentro de una actividad especı́fica,
dibuje un diagrama de bloques que represente este sistema realimentado.
Ejercicio 1.11
Investigue los sistemas de control utilizados en las variables descritas para la caldera del
ejemplo 1.8.
Ejercicio 1.12
La figura 1.43 muestra el diagrama de instrumentación del tanque de un intercambiador de
calor.
Figura 1.43: Tanque con intercambiador de calor.
El dispositivo A genera una señal eléctrica b1(t) igual al nivel del producto en el tanque
h(t): el dispositivo B varı́a el flujo del producto frı́o qf(t) de acuerdo a la señal a1(t). El flujo del
producto caliente qc(t) se regula de forma independiente con un sistema de control externo que

garantiza las demandas del producto caliente en el resto del proceso. El dispositivo C calcula
cada T segundos la señal a(k), la cual se envı́a a un retenedor de orden cero cuya salida es la
señal a1(t). Identifique los diferentes elementos y señales de la bucla tı́pica de realimentación
correspondiente.
Ejercicio 1.13
Para confort del conductor, se ha desarrollado un sistema de control para mantener la
velocidad va de un automóvil en un valor x. Un Encoder toma la velocidad de giro ω de una
de las ruedas y la lleva a la computadora central del automóvil; ésta implementa la estrategia
de control, descrita mediante la ecuación:
Z
v1 = kp (x − v) + ki (x − v)dt
Donde v1 es una tensión que se aplica a una válvula que maneja el flujo de combustible
al motor y v es la señal del Encoder, la cual es proporcional a la velocidad ω. Identifique los
diferentes elementos y señales de la bucla de realimentación tı́pica para este sistema de control.
Ejercicio 1.14
Se desea diseñar un sistema de control automático para regular la velocidad de un automóvil
en un valor dado V. Un disturbio para este sistema es
A. la velocidad del automóvil.

B. el valor V.
C. la inclinación de la vı́a.
D. la aceleración del automóvil.
Ejercicio 1.15
La figura muestra el diagrama esquemático de un sistema de control para mover una carga
de gran inercia J sujeta a un par externo tL ; se usan dos motores para repartir la carga y
aumentar la confiabilidad del sistema. ω es la velocidad de la carga, t1 y t2 son los pares
motores sobre el eje de la carga de los motores 1 y 2 respectivamente, proporcionales a sus
tensiones de alimentación Ea .
En operación normal, el motor 2 genera un par base constante t2 , mientras que para el motor
1, con el bloque control y el accionador 1, se desarrolla una estrategia de control en cascada
para regular controlar la corriente de armadura ia y la velocidad de la carga.
En las siguientes preguntas, seleccione una o varias de las opciones que considere correctas.
1. El proceso a controlar es:

A. El motor 1.
B. La carga.
C. Los motores y la carga.
D. Los accionadores, motores y carga.
2. Una variable manipulada del sistema es:

Figura 1.44: Accionamientos para una carga alta inercial.
A. Ea1
B. ref
C. iref
D. t1
3. Un actuador del sistema es:
A. El motor 1.
B. El encoder.
C. La inercia J.
D. El accionador 1.
4. Un disturbio es:
A. ia
B. ref
C. tL
D. t2
Ejercicio 1.16
En un proceso de producción de azúcar de caña, se separa el jugo del bagazo en molinos
mediante mazas que a cierta separación presionan el bagazo. La tecnologı́a de instrumentación
y control es neumática y obsoleta, por lo que se decide desarrollar un proyecto de modernización
con sistemas de control digitales. Si con la nueva instrumentación y control se logra un aumento
en el porcentaje de extracción de jugo con relación al volumen de caña y un mayor consumo
energético de los molinos, es porque el sistema opera con
A. mayor dispersión en la separación de las mazas y mayores velocidades y excursiones de

par motor en los accionadores de los molinos.

1.9. ACTIVIDADES SUGERIDAS DE PROYECTO
B. menor dispersión en la separación de las mazas y mayores velocidades y excursiones de

C. menor dispersión en la separación de las mazas y menores velocidades y excursiones de par

motor en los accionadores de los molinos. menor dispersión en la separación de los rodillos
de laminado y menores velocidades y excursiones de Par motor en los accionadores.
D. mayor dispersión en la separación de las mazas y menores velocidades y excursiones de

1.9. Actividades sugeridas de proyecto

1. Describa el sistema a controlar; identifique las necesidades de control.
2. Plantee el problema de control, las especificaciones deseadas para el sistema de control y

en particular los objetivos de control.
3. Considere una bucla de realimentación tı́pica para el sistema de control; identifique los
diferentes elementos y señales; analice la secuencia de eventos que aparecen luego de una
variación en la entrada deseada o del disturbio.
4. Consulte proveedores en la Internet y locales y seleccione los diferentes componentes de

la bucla; sensor, actuador, controlador (ver más actividades en las actividades 6.12) y
comunicaciones.
5. Represente el sistema de control con un diagrama de instrumentos y tuberı́as (P and DI).

6. Estime costos y beneficios y discuta los impactos sociales que tiene el sistema de control en
cuanto a calidad de producto, seguridad de operación industrial, mano de obra, confort,
medio ambiente, etc.
7. Analice la viabilidad técnico-económica de la solución al problema de control.
8. Esboce unos términos para la contratación del proyecto.

Capı́tulo 2
Modelado análogo
2.1. Introducción
En la sección 1.4.1 se discutió cómo el modelado matemático es un paso importante en el
análisis de los sistemas de control; entre mejor se conoce la planta, mejor se puede controlar.
Para lograr un adecuado balance en los compromisos de diseño se requiere evaluar el efecto de
cambios en los parámetros o en la estructura del control, pero no siempre el proceso se puede
manipular para este propósito, por lo costoso que esto puede ser en la producción o simplemente
por restricciones operativas y de seguridad del sistema. También interesa conocer cómo operarı́a
el sistema realimentado si hay cambios en la operación o caracterı́sticas del proceso, o cómo
responderı́a a grandes disturbios o ante una falla del sensor, pero esto no se puede realizar
en la práctica; para lo anterior, el diseñador puede usar modelos matemáticos que relacionen
parámetros, entradas, disturbios y condiciones iniciales, con las variables internas y la salida;
estos modelos simulados en un computador, permiten realizar este tipo de análisis.
En este capı́tulo se presenta el modelado de sistemas análogos para el diseño del sistema
de control; con ello se obtiene el modelo para la planta generalizada de la figura 1.34 y si el
controlador es analógico o digital con frecuencia elevada de muestreo, para la bucla tı́pica de
realimentación análoga presentada en la sección 1.3.
Inicialmente se discuten los aspectos generales a considerar en la construcción de modelos
para propósitos de diseño del sistema de control, como el grado de complexidad requerido en el
modelado y las diferentes aproximaciones que existen para obtener modelos. Luego se presentan
propiedades generales de los sistemas dinámicos, a partir de las cuales se modelan diversas clases
de sistemas utilizados en los ejemplos presentados a lo largo del libro.
En este capı́tulo se presentarán los dos tipos de modelos más utilizados en control, de entrada
salida mediante funciones de transferencia y de representación interna con variables de estado.
El comportamiento dinámico de los sistemas análogos se describe por medio de ecuaciones
diferenciales; si se pueden linealizar, la transformada de Laplace permite obtener relaciones de
entrada-salida para los componentes del sistema y los subsistemas en la forma de funciones de
transferencia. Los bloques de las funciones de transferencia se pueden organizar en diagramas
de bloques para representar las interconexiones de una manera gráfica. Los diagramas de blo-
ques son por lo tanto representaciones de entrada-salida adecuadas para diseñar y analizar los
51
2.2. EL MODELADO PARA EL DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
sistemas de control.
Por otro lado, el control moderno se basa en el conocimiento del comportamiento interno
de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su dinámica. El conocimiento de
la evolución de todas las variables que influyen en la dinámica del sistema, permite efectuar
un mejor control del sistema y su utilización en el control de sistemas más complejos. Esta
representación se aplica de forma directa a sistemas multivariables, no-lineales o con parámetros
variantes.
Este capı́tulo presenta el modelado de los sistemas análogos tanto para la representación
entrada-salida como la de estado. También se presentan los aspectos de error de modelado, el
modelado de las entradas externas disturbios y ruidos, la normalización de modelos, la lineali-
zación de modelos no-lineales, una introducción a la obtención de los parámetros de los modelos
y finalmente como reducir los modelos. El capı́tulo se ilustra con el modelado de diversos siste-
mas fı́sicos, que involucran sistemas quı́micos, mecánicos, hidráulicos, neumáticos, térmicos y
eléctricos.
2.2. El modelado para el diseño de los sistemas de control

Lúdica 2.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 15 minutos y requiere de un vaso plástico
desechable (11 onzas) con una perforación en el fondo de aproximadamente 0.5 mm de diámetro,
ver la figura.
Figura 2.1: Vaso perforado y grifo de agua.
1. Ubique el vaso como se muestra en la figura, debajo y cerca al grifo de un lavamanos;

abra lo menos que pueda el grifo y observe el comportamiento de la altura del agua en el
vaso, hasta que se quede en un mismo valor.
2. Abra un poco más el grifo y observe de nuevo el comportamiento del nivel hasta que se
estabilice; repita este procedimiento hasta que el agua rebose el vaso.

3. Cierre el grifo y observe el comportamiento del nivel de agua durante la descarga.

4. Repita el procedimiento de llenado, pero trate de llegar y mantener el nivel, tan cerca
como pueda, en la mitad del vaso.
5. ¿Qué puede concluir sobre la forma de la evolución del nivel durante el llenado y el
vaciado?
6. Plantee una ecuación diferencial que describa a este sistema, para el llenado y vaciado
(pasos 1 a 3); cómo podrı́a obtener sus parámetros?
7. ¿Cuál es la ecuación diferencial que describe el comportamiento del vaso, en la condición
de operación del paso 4?
En la ingenierı́a de control se utilizan dos métodos conceptualmente diferentes pero complemen-

tarios para el modelado del sistema; el primero es el modelado analı́tico en donde se utilizan las
leyes fı́sicas que describen los fenómenos del proceso para obtener ecuaciones matemáticas que
describen su comportamiento; el segundo es un modelado experimental, en donde se propone
una estructura del modelo o se usa el obtenido con las leyes fı́sicas y mediante un experimento
se recolectan datos de entrada y salida del sistema a los cuales se les aplica un algoritmo para
identificar los parámetros, de forma que la respuesta del modelo se ajuste a la del sistema real.
En el ejemplo 1.14, se aplicó el modelado analı́tico al usar la ley de conservación de masa para
el tanque de jugo diluido; en la lúdica 2.1 se tiene un caso similar al del ejemplo 1.14, pero el
flujo de salida no varı́a de forma independiente sino que depende del nivel del agua; hay tres
variables de interés: los flujos de entrada y salida y el nivel de agua; para relacionar el flujo
de salida con el nivel del agua, se puede usar la ley fı́sica que describe este fenómeno: el flujo
turbulento q(t) a través de una restricción es proporcional a la raı́z cuadrada del nivel h(t):
p
q(t) = k h(t) (2.1)
Si el flujo fuera laminar, esta relación serı́a lineal. El coeficiente de proporción k se podrı́a
calcular también a partir de leyes fı́sicas, pero es más fácil obtenerlo a partir del enfoque de
caja gris, midiendo en régimen estacionario el caudal para diferentes niveles; el caudal se puede
medir, por ejemplo, colocando en la descarga de agua un recipiente de volumen conocido y
midiendo el tiempo que tarda en llenarse; el valor de k para el modelo se puede obtener del
promedio de los diferentes
√ valores de k obtenidos en los experimentos, o mediante una regresión
lineal entre q y h. Sustituyendo (2.1) en (1.1) y usando el subı́ndice e para la entrada, se
obtiene: Z t √
c(h)h = (qe − k h)dτ (2.2)
−∞
Esta ecuación describe la dinámica del proceso, donde un aspecto importante es que la in-
tegral, considera los hechos pasados que afectan el comportamiento actual del proceso. Nótese
que el nivel h está implı́cito en la ecuación y no es claro cómo calcularlo; otra forma de repre-
sentar la ‘historia’ del proceso, es relacionando las ratas de cambio o derivadas de las variables;
derivando con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación (2.2), se obtiene:
dh 1 √
= qe (t) − k h , h(t0 ) = h0 (2.3)
dt f (h)

dc
Donde f (h) = dh h + c(h) es una función conocida de h definida por la geometrı́a del vaso. Esta
ecuación es una ecuación diferencial y por ser no-lineal, puede no existir una solución analı́tica
que relacione directamente la salida h con la entrada qe ; sin embargo, es muy fácil utilizar un
programa de cómputo que la resuelva numéricamente.
Este ejercicio muestra que la abstracción en términos matemáticos de un fenómeno fı́sico, es
de por si un proceso de razonamiento elaborado; a esto se añade el que los sistemas fı́sicos pueden
tener comportamientos extremadamente variados y complejos; se puede considerar, por ejemplo,
que el impacto del agua entrando al vaso crea variaciones aleatorias y distribuidas del nivel de
agua; se podrı́an también considerar los efectos que puedan tener sobre el comportamiento
del sistema, la elasticidad del vaso, la compresibilidad del agua, la temperatura ambiente o la
presión atmosférica.
Qué tanto debe aproximarse el modelo al comportamiento real del sistema, depende del
propósito del modelo; los modelos para el diseño del proceso, pueden considerar detalles internos
como la distribución de esfuerzos mediante modelos en elementos finitos o dinámicas distribuidas
como ocurre en el diseño de una central de generación hidráulica, ver la figura 1.13, donde se
analizan las ondas viajeras de distribución de presiones a lo largo de la tuberı́a de presión con
modelos en derivadas parciales que consideran la compresibilidad del agua y la elasticidad de
la tuberı́a on Prime Mover and Models [1992]. Para el diseño de los sistemas de control, un
modelo muy complejo puede enmascarar el comportamiento básico del sistema; los modelos
para control deben describir las dinámicas fundamentales del proceso que intervienen entre
las entradas, salidas y las variables internas; de ser necesario, se pueden utilizar técnicas que
reduzcan el modelo, preservando el comportamiento fundamental, ver sección 2.10.
Como se verá más en detalle en el capı́tulo 4, el uso de la retroalimentación rechaza perturba-
ciones, disminuye los efectos de los cambios del proceso, minimiza el efecto de las alinealidades
y permite que el sistema funcione con pequeñas variaciones alrededor de un punto de operación;
en estas condiciones se pueden utilizar modelos simplificados lineales de la planta generalizada
para el diseño del controlador. Para el vaso con agua de la lúdica 2.1, si se desprecia la depen-
dencia de la capacitancia con la altura considerándola como una constante Cf y se define a Rf
como la resistencia al paso del flujo en la descarga (ley de Poiseuille):
Rf = h/qs (2.4)
se obtiene el modelo lineal:

dh 1 h
= qe (t) − , h(t0 ) = h0 (2.5)
dt Cf Rf
Los modelos por lo tanto solo dan aproximaciones al comportamiento de los sistemas y siem-
pre existirá un error de modelado, definido como la diferencia entre el modelo nominal utilizado
en el diseño del control y un modelo más detallado que incluye caracterı́sticas adicionales a
las requeridas para el diseño del control y que de alguna forma se relaciona con el desempeño
del sistema; normalmente el error de modelado no se conoce en detalle, solo cotas o rangos.
Para un diseño robusto del sistema de control, se debe tener en cuenta el error de modelado de
forma que pueda estimarse hasta donde se degrada el comportamiento del sistema al aplicarle
el control a la planta real.

2.3. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS
2.3. Propiedades de los sistemas dinámicos

En la lúdica 2.1 se modeló el vaso con agua a partir del balance de masa, usando como
variables el volumen de agua (capacidad), el nivel como fuente de energı́a que hace fluir el agua
y el flujo de agua; como parámetros se usaron: el área de la sección recta del vaso (capacitancia) y
la resistencia al paso del fluido. Este sistema corresponde a los sistemas de fluidos incompresibles,
pero las propiedades de resistencia y capacitancia las tienen también muchos otros sistemas
fı́sicos, por lo que se pueden establecer ciertas propiedades generales que rigen para diversos
tipos de sistemas dinámicos.
2.3.1. Propiedades generales de los sistemas dinámicos

Las propiedades de los sistemas dinámicos las establecen las leyes fı́sicas que los rigen y
se pueden caracterizar de forma general para todos los sistemas, usando una misma expresión
matemática que relaciona diversas variables a través de parámetros que cuantifican la propiedad;
las variables generales son:
El volumen o cantidad elemental del sistema.
La rata de variación o flujo de la cantidad.
El potencial o fuerza actuante en el sistema.
Las propiedades generales son:
La resistencia R al paso del flujo; la resistencia disipa energı́a en el sistema.
El almacenamiento de la cantidad elemental, se cuantifica con el parámetro capacitancia

C o relación: cantidad elemental almacenada /por unidad de fuerza actuante.
Este almacenamiento, acumula energı́a estática o potencial.
La inertancia o capacidad de almacenar energı́a cinética; define la fuerza actuante reque-
rida para cambiar el flujo; se cuantifica con el parámetro inductancia L o relación: fuerza
actuante/rata de flujo.
También es de interés, el parámetro constante de tiempo τ , calculado como: τ = RC

ó τ = L/R.
La tabla 2.1 presenta las diferentes variables y parámetros para diversas clases de sistemas
fı́sicos. Nótese que no se considera la propiedad de inductancia para los sistemas de gas, térmicos
y quı́micos.
Cuando el sistema incluye redes de múltiples elementos con las tres propiedades generales,
conectados en serie o en paralelo, las leyes de tensiones y corrientes de Kirchhoff que aplican
a los sistemas eléctricos, se pueden generalizar a los demás sistemas dinámicos como:
La suma algebraica de la variable de potencial en un circuito es nula.
La suma algebraica de las variables de flujo en un nodo es nula.

Tabla 2.1: Variables y parámetros para diversos sistemas fı́sicos.
Sistema Variables Parámetros

Cantidad Potencial Flujo Resistencia Capacitancia Inductancia
Eléctrico Carga Voltaje Corriente Re Ce Le
Mec. Tras. Posición Fuerza Velocidad F 1/K M
Mec. Rot. Posición Torque Velocidad F 1/K J
Térmico Calor Temperatura F. calor Rt Ct -
Gas Volumen Presión F. gas Rg Cg -
Fluido Volumen Presión Nivel Caudal Rf Cf I
Quı́mico Sustancia Concentración F. Sust. Rq Cq -
F : Fricción; M : masa; K: constante de resorte; J: momento de inercia; I: inertancia.
Tabla 2.2: Equivalencias de elementos en serie o paralelo.
Elementos Equivalente co- Equivalente conexión en pa-

nexión en serie ralelo
P P −1
1
Resistencias Ri Req = Ri Req = Ri
P P −1
1
Inductancias Li Leq = Li Leq = Li
P −1 P
1
Capacitancias Ci Ceq = Ci Ceq = Ci
P −1 P
1
Amortiguadores Fi Feq = F Feq = Fi
P i −1 P
1
Resortes Ki Keq = Ki Keq = Ki
Estas leyes permiten el cálculo de las equivalencias para elementos lineales de tipo resistivo,
inductivo y capacitivo, conectados en serie o paralelo, presentadas en la tabla 2.2.
En las subsecciones siguientes se discuten las variables y parámetros y los modelos para los
sistemas de la tabla 2.1. Para ciertas variables como el flujo, se utilizará el mismo sı́mbolo (q)
para diversos sistemas fı́sicos; la diferenciación se hace dependiendo del contexto.
2.3.2. Sistemas eléctricos

2.3.2.1. Resistencia.
La propiedad general de la resistencia en los sistemas eléctricos la establece la ley de Ohm:
Re = e/i (2.6)
Donde e es el voltaje o diferencia de potencial a través de la resistencia e i es la corriente

(velocidad de las cargas eléctricas) que fluye por ella. La diferencia de potencial es la variable
de fuerza actuante, que genera el paso a través de la resistencia, del flujo de la cantidad ele-

mental del sistema, las cargas eléctricas. Nótese la equivalencia de la resistencia eléctrica con
la resistencia al paso de un fluido dada en (2.4).
2.3.2.2. Capacitancia.
Para la propiedad general de almacenamiento de la cantidad elemental, en los sistemas
eléctricos son los condensadores los que almacenan las cargas eléctricas; la capacitancia eléctrica
Ce define la cantidad de cargas q almacenadas en el condensador, por unidad de voltaje a través
de él:
Ce = q/e (2.7)
Como q son todas las cargas entregadas al condensador por el flujo de corriente i, se cumple:
Z t
q= idτ (2.8)
0
Por lo que la tensión en el condensador es:

Z t
1
e= idτ (2.9)
Ce 0
2.3.2.3. Inductancia.
El almacenamiento de energı́a magnética en una bobina, le da la propiedad de la inductancia;
la ley de Faraday establece que la magnitud de la tensión en la bobina es proporcional a la rata
de cambio de la corriente por ella: Ldi/dt y se da en oposición al sentido de la corriente (ley de
Lenz ).
La tabla 2.3 presenta los diferentes sı́mbolos y unidades en el sistema internacional de medida
SI, para los sistemas eléctricos.
Tabla 2.3: Variables y parámetros de los sistemas eléctricos.
Variable Sı́mbolo o ecuación Unidades SI

Carga q Culombio (C)
Corriente i = dq/dt Amperio (A)
Voltaje e Voltio (V )
Potencia P =
R ei Vatio(W )
Energı́a E = P dt Julio (J) ó W.s
Parámetro
Resistencia Re = e/i Ohmio (Ω)
Capacitancia Ce = q/e Faradio (F )
di
Inductancia Le = e/ dt Henrio (H)

Ejemplo 2.1
La figura 2.2 muestra a un generador de corriente continua para el cual se considera un
funcionamiento a velocidad ω constante y operación de la excitación en el rango lineal; en
estas condiciones, la tensión interna generada eg es proporcional a la corriente de excitación:
eg = kg if . La entrada es la tensión de corriente continua ef y la salida la tensión en terminales
et ; el generador alimenta una carga externa por la cual circula la corriente de armadura ia .
Utilizando las propiedades de resistencia e inductancia y la ley de tensiones de Kirchhoff: la
Figura 2.2: Generador de corriente continua.
suma de tensiones a lo largo de una malla es nula, para los circuitos de excitación y armadura,
se obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento del generador:
dif
ef = R f if + L f
dt
eg = k g if
et = eg − R a ia (2.10)
△
2.3.3. Sistemas mecánicos

En los sistemas mecánicos de traslación, la cantidad elemental es la posición de la masa y
la variable de potencial es la fuerza.
2.3.3.1. Amortiguación.
El amortiguador (o fricción) tiene el rol de la resistencia; en él, el aceite de alta viscosidad
pasando por un orificio, genera una fuerza fa de oposición proporcional (en el coeficiente de
fricción F ) a la velocidad de desplazamiento del amortiguador v :
F = fa /v (2.11)
En un sistema mecánico rotacional, la cantidad elemental es el ángulo de giro de un cuerpo
con cierta inercia y la variable de potencial es el torque; la fricción es la relación entre el torque
y la velocidad angular.

2.3.3.2. Elasticidad.
En los sistemas mecánicos la propiedad de almacenamiento de energı́a potencial está aso-
ciada a la elasticidad de los resortes; la ley de Hooke establece que la fuerza del resorte fr es
proporcional al alargamiento x:
fr = Kx, (2.12)
donde K es la constante elástica del resorte; la capacitancia de los sistemas mecánicos es por
lo tanto 1/K. Igual sucede con los sistemas mecánicos de rotación con la torsión de un eje,
proporcional a la diferencia angular.
2.3.3.3. Masa y momento de inercia.

El almacenamiento de energı́a cinética en los sistemas mecánicos, lo da la masa M o el
momento de inercia J y lo rige la segunda ley de Newton:
f, t
M, J = dv,ω
(2.13)
dt
Las tablas siguientes presentan las ecuaciones básicas que definen las relaciones entre variables
y parámetros y las unidades en el sistema internacional SI, utilizadas en la descripción de los
sistemas mecánicos traslacionales y rotacionales.
Tabla 2.4: Variables y parámetros de la mecánica traslacional.

Desplazamiento x Metro (m)
Velocidad v = dx/dt m/s
Aceleración a = dv/dt m/s2
Momento lineal p = Mv Kg.m/s
Fuerza f = dp/dt Neutón (N )
Potencia P =R f v Vatio(W )
Trabajo ó Energı́a E = f dx Julio (J) ó W.s
Parámetro
Masa M Kilogramo (Kg)
Fricción viscosa F = f /v N.s/m
Elasticidad K = f /x N/m

Tabla 2.5: Variables y parámetros de la mecánica rotacional.

Desplazamiento angular θ Radián (rad)
Velocidad angular ω = dθ/dt rad/s
Aceleración angular α = ω/dt rad/s2
Momentum angular Ma = Jω Kg.m2 .rad/s
Torque t = dMa /dt N.m
Potencia P =R tω Vatio(W )
Trabajo ó Energı́a E = tdθ Julio (J) ó W.s
Parámetro Rm
Momento de Inercia J = 0 r2 dm Kg.m2
Fricción viscosa F = t/ω N.m.s/rad
Resorte de torsión K = t/θ N.m/rad
Ejemplo 2.2
Se considera un sistema mecánico rotacional simple, como el de la turbina hidráulica de
la figura 1.13, operando con el generador en régimen aislado; la figura muestra un diagrama
esquemático del sistema. Se considera un momento de inercia equivalente para el generador y
Figura 2.3: Sistema mecánico rotacional.
la turbina, como un cilindro de largo l y de radio R. Para la integral de volumen que define el
momento de inercia J, se considera como diferencial de volumen, a un cilindro concéntrico de
espesor dr y radio r; si ρ es la densidad de volumen, el diferencial de masa es una lámina del
cilindro: dm = ρdv = ρ2πlrdr; el momento de inercia es:
Z m Z R
2
J= r dm = ρ2πl r3 dr. = ρπlR4 /2
0 0
No es necesario siempre realizar el cálculo de la integral de volumen, pues en la literatura se

encuentran disponibles los momentos de inercia de las geometrı́as más comunes.
La segunda ley de Newton establece que la rata de cambio del momentum angular es igual
a la sumatoria de torques sobre la masa, teniendo en cuenta su magnitud y sentido:
d (J(t)ω(t)) X
= ti . (2.14)
dt

En esta ecuación se observa que el momento de inercia J puede depender del tiempo, depen-
diendo de la geometrı́a de la carga; por ejemplo, en una bobinadora cambia dependiendo de
la cantidad de material enrollado; en un robot, una articulación tiene momentos de inercia
diferentes dependiendo de las diversas posiciones angulares de todas las articulaciones. Para
el sistema mecánico de la figura 2.3, el momento de inercia es constante, luego se obtiene la
ecuación diferencial:
dω
J = −F ω + tm . (2.15)
dt
△
2.3.3.4. Traslación y rotación.

Muchas cargas accionadas como los vehı́culos, las cintas transportadoras y los ascensores
involucran los movimientos traslacionales y rotacionales, la figura ilustra el caso de una masa
desplazándose horizontalmente, accionada por poleas de radio R de masa despreciable.
Figura 2.4: Movimiento traslacional y rotacional.
La masa M es la relación del peso G a la aceleración de la gravedad: M = G/ga ; el torque es

el producto de la fuerza tangencial por el radio: td = Rfd , tL = RfL ; la velocidad tangencial es el
producto de la velocidad angular por el radio: v = Rω; aplicando la ley de Newton traslacional
a la masa:
d(M v)
fd − fL = ,
dt
luego:
d(M Rω) dω
td − tL = R = M R2 . (2.16)
dt dt
En esta ecuación, Je = M R2 es el momento de inercia equivalente de la masa M , referido al
eje de la polea.
2.3.3.5. Engranajes.
Los engranajes son muy frecuentes en los sistemas mecánicos pues permiten acondicionar
las velocidades entre dos extremos; la figura ilustra a dos engranajes de radios R1 y R2 respec-
tivamente. Se consideran los engranajes ideales, esto es sin fricción, ni deslizamiento ni huelgo;

Figura 2.5: Engranajes.
f2 es la fuerza de contacto tangencial ejercida por la rueda 2, es carga para la rueda 1. f1 es

la fuerza impulsora sobre la rueda 2. El balance de fuerzas en el punto P establece: f1 = f2 ;
como no hay deslizamiento en el punto P , las velocidades tangenciales de ambos engranajes son
iguales: v = R1 ω1 = R2 ω2 . La ley de Newton en la rueda 2 es:
dω2 R1 J2 dω1
R2 f2 = J2 ⇒ f1 = .
dt R22 dt
La ley de Newton en la rueda 1 es:
dω1 dω1 R2 J2 dω1
td = J 1 + R1 f1 = J1 + 12 .
dt dt R2 dt
Por lo que el momento de inercia equivalente en el eje de la rueda 1 J1e es:
2 2
R1 ω2
J1e = J1 + J2 = J1 + J2 . (2.17)
R2 ω1
Nótese que las inercias se refieren al eje con la relación cuadrática de los radios, o de las
velocidades de la carga y del eje motor, por lo tanto, entre más rápido gire la carga, mayor
será la inercia sobre el eje del motor.
Si se aplica un torque de carga tL2 en el eje de la rueda 2, al referirlo al eje motor 1 y
considerando la invariabilidad de la potencia tL1 ω1 = tL2 ω2 ; luego tL1 = ω ω1 tL2 , por lo tanto,
2
los pares de carga se refieren el eje motor, multiplicándolos por la relación entre la velocidad
de la carga y la del eje motor.
Ejemplo 2.3
La figura muestra una grúa con engranajes. La inercia total referida al eje 1 es:
2 2
ω2 ω3
J1e = J1 + J2 + J3 + m3 R32 ,
ω1 ω1
donde m3 R32 es la inercia equivalente de la masa m3 con el movimiento traslacional vertical. La
ley de Newton es:
dω1 ω3
td = J1e + R3 gm3 .
dt ω1

Figura 2.6: Grúa con engranajes.
El segundo sumando corresponde al torque constante debido a la masa m3 actuando sobre

el eje 1. △
2.3.4. Sistemas térmicos

El calor Q es energı́a calorı́fica (o interna) de un cuerpo y se transfiere a otro por diferencia
de temperatura, es ésta por lo tanto el potencial o fuerza actuante en los sistemas térmicos.
2.3.4.1. Resistencia
La transferencia de calor se puede realizar por conducción, convección o radiación; la con-
ducción entre dos sistemas se da con contacto directo de sus partı́culas sin flujo de materia; La
ley de Fourier para la transferencia de calor por conducción, establece que el flujo de calor qt
conducido a través de un material es directamente proporcional a la diferencia de temperatura
θ que existe a través del material:
1
Rt = θ/qt = , (2.18)
λA
donde A es el área normal atravesada por el flujo de calor y λ el coeficiente de conductividad
térmica del material, en unidades de W/m.K; la tabla 2.6 presenta valores para materiales
comunes.
La transferencia de calor por convección se realiza por intermedio de un fluido (aire, agua)
que transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas; se expresa con la ley del enfria-
miento de Newton:
1
Rt = θ/qt = , (2.19)
hA
donde h es el coeficiente de convección, A el área del cuerpo en contacto con el fluido y θ, la
diferencia de temperatura en la superficie del cuerpo y del fluido lejos del cuerpo. El coeficiente
de convección depende de múltiples factores asociados con el flujo del fluido a través del cual se
da la convección, como su conductividad térmica, viscosidad, la temperatura, si la convección
es forzada o natural, el valor del flujo, si es laminar o turbulento, la forma de la superficie, etc.

Tabla 2.6: Coeficientes de conductividad térmica.

Material λ Material λ
Acero 47-58 Hierro 1.70
Agua 0.58 Ladrillo 0.80
Aire 0.02 Madera 0.13
Aluminio 209 Mercurio 83.7
Bronce 116-186 Oro 308
Cobre 372-385 Plata 406-418
Fibre de vidrio 0.03-0.07 Vidrio 0.6-1.0
La conducción y convección son los mecanismos principales de transferencia de calor de los

sistemas fı́sicos pues la transmisión por radiación es muy pequeña a bajas temperaturas; la
define la ley de Stefan-Boltzmann como proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo a
la cuarta potencia, siendo significativa a partir de temperaturas superiores a varios miles de
kelvin.
2.3.4.2. Capacitancia.
La capacitancia térmica Ct representa la cantidad de calor almacenado en un medio, por
unidad de diferencia de temperatura que existe entre el interior y exterior. La capacitancia
térmica depende de las dimensiones y del calor especı́fico c del medio:
Ct = cM. (2.20)
El calor especı́fico es una propiedad del material y relaciona la energı́a necesaria para elevarle
J
la temperatura, por unidad de masa; se expresa en julios por kilogramo y por kelvin ( kg.K ). La
tabla 2.7 presenta valores para algunas sustancias.
Tabla 2.7: Calor especı́fico.
Material c Material c
Acero 0.46 Cobre 0.38
Agua vapor (100o C) 2.08 Fibra de vidrio 0.79
Agua vapor (0o C) 1.85 Hierro 0.45
Agua lı́quido (25o C) 4.18 Ladrillo 0.84
Agua sólido (0o C) 2.14 Madera 0.48
Aire seco presión cte (0o C) 1.0 Mercurio 0.14
Aire seco volumen cte 0.72 Oro 0.13
Aluminio 0.89 Plata 0.24
Bronce 0.36 Vidrio 0.05-0.75
La tabla 2.8 presenta las ecuaciones básicas y unidades para los sistemas térmicos.

Tabla 2.8: Variables y parámetros de los sistemas térmicos.

Calor (energı́a) Q Julio (J)
Flujo de calor (potencia) qt = dQ/dt J/s, W
Temperatura θ Kelvin (K)
Parámetro
Resistencia Rt = θ/qt K/W
Capacitancia Ct = Q/θ J/K
Ejemplo 2.4
En un motor eléctrico, las pérdidas de potencia generadas en el proceso de conversión de ener-
gı́a eléctrica a mecánica generan flujos de calor en el motor y transitorios térmicos, que deben ser
tenidos en cuenta para su correcta operación; las temperaturas más altas se dan en los devanados
por estar parcialmente embebidos en ranuras; por ello el material aislante determina la máxima
temperatura que soporta la máquina; por ejemplo, para un motor con aislamiento clase A
(aislamiento con materiales orgánicos como algodón, seda, papel, impregnados o cubiertos con
dieléctricos lı́quidos, barnices o esmaltes), el incremento máximo de la temperatura es de 65o C,
con relación a una temperatura ambiente asumida de 40o C.
Las pérdidas de potencia en las máquinas eléctricas se originan por pérdidas óhmicas en los
devanados, cables, escobillas, anillos rozantes y conmutador; pérdidas en el núcleo magnético,
que corresponden a las de Eddy y las de histéresis y pérdidas por fricción en rodamientos,
escobillas y ventilación.
Por la geometrı́a y el uso de diferentes tipos de materiales, es muy difı́cil calcular la dis-
tribución interna de flujos de calor y temperaturas, pero se puede asumir que el diseñador ha
escogido grandes conductores y canales de enfriamiento de forma que no se exceden los lı́mites
de temperatura bajo ciertas condiciones de operación; bajo esta suposición, se puede considerar
al motor como un cuerpo homogéneo con almacenamiento térmico, ver la figura. La tempe-
Figura 2.7: Calentamiento de un cuerpo homogéneo.
ratura ambiente es θ0 y la del cuerpo θ; P1 y P2 son los flujos de energı́a entrando y saliendo;
el cuerpo tiene una capacitancia térmica Ct y una resistencia Rt ; el balance de energı́a en un
tiempo δt es:
δθ
Ct δθ = (P1 − P2 )δt ⇒ Ct = P1 − P2 .
δt

En el lı́mite δt → 0:
dθ
Ct = P1 − P2 . (2.21)
dt
El flujo de calor al ambiente es:
θ − θ0 ∆θ
P2 = = ,
Rt Rt
reemplazando en (2.21) se obtiene la ecuación diferencial para el sistema:
d∆θ ∆θ
Ct + = P1 , (2.22)
dt Rt
d∆θ
τt + ∆θ = Rt P1 , (2.23)
dt
con τt = Rt Ct , la constante de tiempo térmica; esta constante define la duración de los transi-
torios en el sistema térmico.
Se considera a un motor con enfriamiento forzado, masa M =800kg, eficiencia η=0.92, ope-
rando a una temperatura de θ=90o C en régimen permanente a potencia nominal Pn =100kW.
La eficiencia permite calcular las pérdidas en el motor, las cuales corresponden al flujo de energı́a
P1 :
Pn 1
η= ⇒ P1 = Pn − 1 = 8.7kW.
Pn − P1 η
El equilibrio de (2.23) se obtiene con la derivada nula, ası́:
∆θ∞ = 90 − 40 = 50◦ C = Rt P1 ,
∆θ∞
Rt = = 5.75 × 10−3 .
P1
De (2.20) y de la tabla 2.7 se obtiene el calor especı́fico para el hierro, ası́:
Ct = cM = 0.45 × 800 × 103 = 360 × 103 .
La constante de tiempo es: τ = Rt Ct =34.5min lo que muestra cómo los transitorios térmicos
son mucho más lentos que los mecánicos (10ms-10s) y los electromagnéticos (0.1-100ms), lo que
permite usualmente su análisis por separado. △
2.3.5. Sistemas de fluidos

La propiedad general de la resistencia en los sistemas de fluidos incompresibles se define
como la relación entre la cabeza h o diferencia de presiones con el flujo del fluido qf :
h
Rf = . (2.24)
qf
La diferencia de presión es la variable de fuerza actuante, que genera el flujo del fluido a través
de la resistencia. Si el flujo es laminar, la resistencia al fluido es independiente del flujo; si el
flujo es turbulento, se cumple la relación (2.1); si se tienen variaciones pequeñas alrededor de
un punto de operación h, q f , la resistencia para el flujo turbulento es: Rf = 2h/q f .

2.3.5.2. Capacitancia
La propiedad general de almacenamiento de un fluido es su volumen por unidad de altura,
esto es, el área de la sección recta A:
Cf = A. (2.25)
2.3.5.3. Inductancia
La inductancia de los fluidos relaciona los cambios de presión debidos a la aceleración del
fluido:
dqf
h=I . (2.26)
dt
A la inductancia hidráulica se le denomina inertancia. La tabla 2.9 presenta las ecuaciones
básicas y unidades para los sistemas de fluido.
Tabla 2.9: Variables y parámetros de los sistemas de fluido.

Volumen del fluido f m3
Flujo qf = df /dt m3 /s
Cabeza h (m)
Potencia P =Rhqf (W )
Energı́a E = P dt (J), W/s
Parámetro
Resistencia Rf = h/qf s/m3
Capacitancia Cf = A m2
dq
Inductancia I = h/ dtf s2 /m2
Ejemplo 2.5
La figura 1.13 muestra un diagrama esquemático para una turbina hidráulica; es una columna
inelástica de sección A y longitud L donde el agua (asumida incompresible) con densidad ρ, es
impulsada por los cambios de cabeza h generando un flujo (turbulento) de agua a la salida de
la turbina; este flujo de agua varı́a con la apertura de la compuerta u y la cabeza:
√
qf = ku u h. (2.27)
Se desea modelar la respuesta en la potencia mecánica de salida ante cambios grandes en la

posición de la compuerta después de un estado de equilibrio para la cabeza h0 . En la tuberı́a de
presión, un aumento en la apertura de la compuerta genera aceleración del agua (la velocidad
del agua es qf /A) sometida a las fuerzas por la disminución de la presión h, de acuerdo a la
segunda ley de Newton Kundur [1994]:
dqf /A
ρAL = ρAga (h0 − h), (2.28)
dt

donde ga es la aceleración de la gravedad y h0 la cabeza hidráulica inicial estacionaria; la

L
inductancia hidráulica es en este caso Ag . Con la ecuación (2.27) (no lineal), la (2.28) y la
potencia mecánica P = hqf (no lineal) entregada al generador, se describe la dinámica de la
turbina hidráulica. △
2.3.6. Sistemas de gases

En los fluidos compresibles (gases), es la diferencia de presión p la fuerza actuante que los
hace fluir a través de una resistencia al paso del flujo qg :
Rg = p/qg . (2.29)
Para un gas en un recipiente de volumen dado, la capacitancia se representa como la relación
entre el gas almacenado en el volumen, por unidad de presión (pequeña señal, temperatura
constante):
Cg = g/p. (2.30)
La tabla 2.10 presenta las ecuaciones básicas y unidades para los sistemas de gases.
Tabla 2.10: Variables y parámetros de los sistemas de gases.

Gas g (Kg)
Flujo qg = dg/dt Kg/s
Presión p Pascal, (P a), N/m2
Potencia P =R pqg (W )
Energı́a E = P dt (J), W/s
Parámetro
Resistencia Rg = p/qg N.s/Kg.m2
Capacitancia Cg = g/p Kg.m2 /N
Ejemplo 2.6
La figura muestra una cámara de vapor de volumen V y capacitancia C, como puede
corresponder al recalentador en la caldera de la figura 1.17.
La masa de vapor en la cámara es su densidad ρ por el volumen V ; la conservación de masa
de vapor en la cámara establece que la rata de masa acumulada es igual a diferencia entre los
flujos de vapor de entrada y salida:
dρ
V = qi − qo , (2.31)
dt

Figura 2.8: Cámara de vapor.
con:
Pi − Po Po
qi = ; qo = . (2.32)
Ri Ro
Con temperatura constante:
dρ dPo ∂ρ
= . (2.33)
dt dt ∂Po
∂ρ
El cambio en la densidad del vapor a una temperatura dada con respecto a la presión ∂Po , se
puede determinar a partir de las tablas de vapor; ası́ la capacitancia es:
∂ρ
C=V . (2.34)
∂Po
Si se busca la relación entre los flujos de entrada y salida, usando (2.33) y (2.34) en (2.31), se
obtiene:
dqo
τ + qo = qi ; τ = Ro C, (2.35)
dt
la constante de tiempo τ esta en el rango de 5 a 10s para los recalentadores de calderas.
Sustituyendo (2.32) y (2.34) en (2.31) se obtiene la ecuación diferencial que describe la
relación entre la presión de entrada y de la cámara.

dPo 1 1 Pi
τ + Po + = . (2.36)
dt Ri Ro Ri
2.3.7. Sistemas quı́micos

Aquı́ se consideran sistemas quı́micos con el proceso de difusión de materia; la difusión es
un proceso fı́sico irreversible en el que partı́culas materiales se introducen (soluto) en un medio
donde se difunden (disolvente); una membrana permeable puede permitir el paso de partı́culas
y disolvente, siempre a favor del gradiente de concentración. La difusión es un proceso que no
requiere aporte energético y es frecuente como forma de intercambio celular.

En los sistemas quı́micos el flujo qq de una sustancia quı́mica a través de una membrana
permeable que separa dos lı́quidos con concentraciones diferentes, es proporcional a la diferencia
de concentración ρ (ley de difusión de Fick ):
Rq = ρ/qq . (2.37)
La tabla 2.11 presenta algunas densidades de sustancias.
Tabla 2.11: Densidad media de algunas sustancias.
Sustancia ρ
Agua destilada (4o C) 1000
Aire 1.2
Alcohol 780
Cuerpo humano 950
Sangre 1480-1600
En los sistemas quı́micos, la propiedad de almacenamiento está representada por el volumen
de lı́quido que contiene a las sustancias quı́micas y a la concentración de la sustancia.
Cq = V ρ. (2.38)
La tabla 2.12 presenta las ecuaciones básicas y unidades para los sistemas quı́micos.
Tabla 2.12: Variables y parámetros de los sistemas quı́micos.

Sustancia s (Kg)
Flujo qq = ds/dt Kg/s
Concentración ρ Kg/m3
Parámetro
Resistencia Rq = ρ/qq s/m3
Capacitancia Cq = V ρ Kg
En ciencias como la medicina, ingenierı́a y ambiente, se utiliza el modelado de procesos

quı́micos mediante compartimentos, como se ilustra en el siguiente ejemplo para la administra-
ción de medicamentos.

Ejemplo 2.7
En el modelado por compartimentos en medicina, el cuerpo humano se ve como un cierto
número de compartimentos como el plasma sanguı́neo, riñón, páncreas, hı́gado y tejidos que
están separados por membranas, donde la difusión se da por la ley de Fick; se asume un mezclado
perfecto en cada compartimento para tener una concentración constante; la figura 2.9 ilustra lo
anterior, para la farmacocinética en la administración de medicamentos K.Aström and Murray
[2009]. Se considera un modelo simple para el flujo del medicamento con solo dos comparti-
Figura 2.9: Representación mediante dos compartimentos para la farmacocinética.
mentos, en donde qi son los flujos del lı́quido, ci las concentraciones de las sustancias de interés
y Vi los volúmenes de los compartimentos. La droga se inyecta con concentración c0 al com-
partimento 1, a una rata de q1 ; el flujo entre los dos compartimentos es q; se desea conocer la
concentración en el segundo compartimento c2 . La conservación de masa en cada compartimen-
to, permite obtener:
dc1
V1 = q1 c0 + qc2 − qc1 − q2 c1 ,
dt
dc2
V2 = qc1 − qc2 . (2.39)
dt
Este modelo simple tiene un rango limitado de validez, por cambios lentos en los parámetros
del cuerpo con el tiempo y por no considerar cambios rápidos de las variables por usar concen-
traciones promedias; también hay comportamientos no lineales que afectan el transporte entre
los compartimentos, como sucede en la dinámica de la regulación de la glucosa en la sangre
descrita en el ejemplo 1.1. Los mecanismos que controlan la glucosa y la insulina son complejos,
se han observado dinámicas que van desde segundos hasta horas. Los modelos de estos meca-
nismos se pueden validar mediante experimentos donde se aplica glucosa y posteriormente se
miden periódicamente las concentraciones de insulina y glucosa en la sangre. Un modelo rela-
tivamente simple llamado el modelo mı́nimo fue desarrollado por Bergman [1989]; el mode-lo
considera la insulina en el torrente sanguı́neo is como una entrada a dos compartimentos co-
mo en la figura 2.9, uno en representación de la concentración de glucosa en la sangre c1 y el

otro para representar la concentración de insulina c2 en el lı́quido intersticial; este lı́quido es el

contenido en el intersticio o espacio entre las células, baña las células de los tejidos con lo que
les proporciona nutrientes y les remueve desechos metabólicos. La reacción de la glucosa a la
insulina se representa por:
dc1
= −(p1 + c2 )c1 + p1 c1e ,
dt
dc2
= −p2 c2 + p3 (is − c2e ), (2.40)
dt
donde c1e y c2e son los valores de equilibrio de la glucosa y la insulina y pi son parámetros del
modelo, de flujos por unidad de volumen. El producto c1 c2 en (2.40) hace al sistema no lineal;
el modelo no captura la realimentación del páncreas al reaccionar con la glucosa, pero serı́a la
planta a controlar para el diseño de un páncreas artificial. △
2.3.8. Sistemas con tiempo muerto

La figura 2.10 muestra un sistema de control de carga para una banda transportadora.
Figura 2.10: Banda transportadora.
Se controla la carga, regulando la altura del material con el flujo de material del alimentador;
si el sensor está a una distancia d del alimentador, el ajuste en el flujo de material se mide con
un tiempo de transporte o tiempo muerto de Tm = d/v; si la altura bajo el alimentador es h,
ésta se reproduce solo Tm segundos después en el punto de la medición, luego la señal medida
b(t) es:
b(t) = h(t − Tm ). (2.41)
En general, los sistemas con transporte de la cantidad elemental, como en los mecánicos,
térmicos o quı́micos, se podrán tener tiempos muertos; los procesadores digitales en la figura
1.18 pueden también incluir tiempos muertos al sistema de control, por el tiempo de cálculo del
algoritmo de control. Los tiempos muertos en los sistemas de control tienen efectos adversos en
su desempeño, con un fuerte efecto en disminuir la estabilidad.

2.4. NORMALIZACIÓN
Ejemplo 2.8
Si para el calentamiento de un cuerpo homogéneo de la figura 2.7, se considera un tiempo
muerto por la conducción del calor, entre la fuente de calor y la medida de temperatura, la
ecuación diferencial (2.23) es:
d∆θ(t)
τt + ∆θ(t) = Rt P1 (t − Tm ). (2.42)
dt
Aunque este es un modelo simple, es un modelo que se encuentra en muchas aplicaciones de
control de procesos. △
2.4. Normalización
Obtenido un modelo para el sistema, en ocasiones es útil escalar las variables para obtenerlas
adimensionales en por unidad; esto permite reducir el número de parámetros del modelo y
permite estudiar más directamente ciertas propiedades del mismo; igualmente, la normalización
facilita la simulación pues todas las variables tienen rangos de operación similar lo que evita
problemas de condicionamiento numérico.
El procedimiento es simple, basta seleccionar valores bases para las variables de interés y
dividir las ecuaciones por estos valores; la variable x sobre su valor base xb , será la variable
en por unidad: xpu = x̌ = x/xb . Aunque las bases pueden ser cualesquiera, se busca mantener
relaciones entre ellas para reducir el número de parámetros explı́citos del modelo; la relación más
usada comúnmente es la de estado estacionario; el ejemplo siguiente ilustra este procedimiento.
Ejemplo 2.9
Se considera el generador de corriente continua del ejemplo 2.1. Las bases que generalmente
se toman para el generador son:
etb : Tensión nominal en terminales; si alimenta el campo de un generador sincrónico, se
toma el valor base escogido para la tensión de campo del generador.
egb = etb .
etb
iab : La corriente de cortocircuito: iab = Ra .
egb
if b : La requerida para producir el et base: if b = kg .
ef b : La requerida para if b en estado estable: ef b = Rf if b .

Dividiendo las ecuaciones por las bases, se obtiene:
ef if Lf dif /if b
= +
ef b if b Rf dt
eg if
=
egb if b
et eg ia
= − . (2.43)
etb egb iab

2.5. REPRESENTACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE (I)
Luego en variables en por unidad PU, las ecuaciones son:
dǐf
ěf = ǐf + τf
dt
ěg = ǐf
ět = ěg − ǐa . (2.44)
Nótese que el sistema pasó de tener cuatro parámetros en (2.10) a solo uno en (2.44), siendo el
único parámetro la constante de tiempo del campo τf = Lf /Rf . △
2.5. Representación de la incertidumbre (I)

Como se mencionó en la sección 2.2, para un diseño robusto del sistema de control es
importante conocer cotas del error de modelado. Es importante caracterizar la incertidumbre
tanto para las relaciones estacionarias entre variables, como para las dinámicas.
Para los sistemas descritos en la sección 2.3, la resistencia da la relación entre las variables de
potencial y flujo en estado estable, ver por ejemplo las ecuaciones (2.5) y (2.15) con la derivada
nula; las incertidumbres en las relaciones estáticas de un modelo, se pueden caracterizar por una
banda de tolerancia, como se ilustra en la figura 2.11, donde las variables están normalizadas.
Figura 2.11: Banda de incertidumbre para la resistencia normalizada.
Para señales muy pequeñas con relación al valor nominal, las incertidumbres están asociadas
a la resolución del sensor, la cuantización o la fricción seca para los sistemas mecánicos; para
señales muy grandes, aparecen saturaciones en las variables o alinealidades como en (2.1).
La caracterización de la incertidumbre de un modelo dinámico es más difı́cil; un primer tipo
de fuente de incertidumbre es por complejidad, al usar una representación más simple para el
sistema; algunos fenómenos no representados pueden ser pequeños tiempos muertos, o cambios
de comportamiento a alta frecuencia.

2.5. REPRESENTACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE (I)
Ejemplo 2.10
En el ejemplo 2.8, se obtuvo el nuevo modelo (2.42) considerando un tiempo muerto por
conducción de calor; nótese la diferencia con respecto al modelo original (2.23); adicionalmente
se podrı́a considerar la dinámica de la alimentación que provee energı́a al motor;
dP0
τa + P0 = P1 , (2.45)
dt
donde P0 es una nueva señal de control de la alimentación; el sistema dinámico ahora se describe
por (2.42) y (2.45). △
Otra fuente de incertidumbre son los cambios en los parámetros del sistema, como los cam-
bios lentos de parámetros por envejecimiento, o los debidos a cambios en el punto de operación
de un modelo linealizado. El ejemplo siguiente ilustra la caracterización de incertidumbres a
partir de cambios de los parámetros en el sistema.
Ejemplo 2.11
En el control de posicionamiento radial y vertical del lector de un disco de almacenamiento
óptico presentado en el ejemplo 1.16, el servomecanismo se modela con una resistencia R e
inductancia L para la bobina, con una tensión de fuerza contraelectromotriz eg proporcional a
la velocidad del eje: eg = Ke ẋ; a partir de las propiedades de los sistemas dinámicos presentadas
en la sección 2.3, se obtienen las siguientes ecuaciones que describen al servomecanismo:
e − Ke ẋ = Ri + Ldi/dt
Ke i = M ẍ + F ẋ + Kx, (2.46)
en donde la entrada es la tensión e aplicada a la bobina; como los lectores se producen en masa,
se tienen tolerancias en la manufactura para reducir los costos de producción, por lo que el
controlador a diseñar, deberá lograr un buen desempeño para un conjunto de múltiples lectores;
las ecuaciones (2.46) con parámetros promedios corresponderán al modelo nominal; el conjunto
de todos los lectores fı́sicos, se puede modelar a partir del modelo nominal y considerando
variaciones en los parámetros; la tabla 2.13 presenta los valores nominales y las variaciones
porcentuales de los parámetros de un servomecanismo comercial Filardi [2003].
Tabla 2.13: Variaciones paramétricas para el servomecanismo radial.
Parámetro Unidades Valor nominal Variación porcentual

Resistencia de la bobina R Ω 4.83 15
Inductancia de la bobina L µH 12 33
Const electromagnética Ke Weber(Wb)/m 0.121 26
Masa móvil M g 0.30 10
Factor de amortiguación F N s/m 0.016 15
Constante elástica K N/m 45.35 20
Nótese la alta incertidumbre de la inductancia y de la constante electromagnética. Las

2.6. SISTEMAS LINEALES ANÁLOGOS EN REPRESENTACIÓN ENTRADA SALIDA
siguientes ecuaciones, presentan un modelo con incertidumbre:
∆E (e − Ke ẋ) = Ri + Ldi/dt,
∆M Ke i = M ẍ + F ẋ + Kx, (2.47)
donde ∆E y ∆M son parámetros con valor cualquiera entre cero y uno, que globalizan las
incertidumbres paramétricas eléctricas y mecánicas, respectivamente. Si ∆E = ∆M = 1, se
obtiene el modelo nominal (2.46). De (2.47), se obtiene la ecuación diferencial que relaciona la
entrada con la posición:
...
LM x + (LF + RM )ẍ + (LK + RF + ∆EM Ke2 )ẋ + RKx = ∆EM Ke e. (2.48)
Con ∆EM ≡ ∆E ∆M . Este modelo de incertidumbre puede ser conservativo, pero permite ana-
lizar al sistema con respecto a las restricciones fı́sicas entre los elementos eléctricos y mecánicos,
como sucede con la constante Ke la cual acopla los subsistemas eléctrico y mecánico. △
En la sección 2.6.5 se presentará el modelado de incertidumbres para la representación fre-

cuencial mediante funciones de transferencia. Cualquiera sea la representación, en el modelado
de sistemas, no basta solo con obtener la representación matemática, sino que se deben con-
siderar los lı́mites de alcance del modelo, para no utilizarlo fuera de su rango de validez.
2.6. Sistemas lineales análogos en representación entrada

salida
Para un sistema dinámico con n elementos almacenadores de energı́a y m ≤ n derivadas de
la entrada, el procedimiento utilizado para obtener la ecuación (2.5) permite llegar a la ecuación
diferencial:
dn c(t) dn−1 c(t) dn−2 c(t) dc(t)

n
+ a1 n−1
+ a2 n−2
+ · · · + an−1 + a0 c(t) =
dt dt dt dt
dm r(t) dm−1 r(t) dm−2 r(t) dr(t)
b0 + b 1 + b 2 + · · · + bn−1 + bm r(t). (2.49)
dtm dtm−1 dtm−2 dt
Esta es una ecuación diferencial lineal, invariante con el tiempo (los coeficientes ai y bi son
constantes) de orden n; su solución se facilita utilizando la transformada de Laplace.
2.6.1. La transformada de Laplace

Para una función de tiempo continuo f (t), 0 ≤ t ≤ ∞, la transformada de Laplace y su
inversa se definen por: Z ∞
£[f (t)] ≡ e−s t f (t) dt ≡ F (s), (2.50)
0−
Z σ+j∞
−1 1
£ [F (s)] ≡ est F (s)ds ≡ f (t), (2.51)
2πj σ−j∞

donde σ la abscisa de convergencia, es una constante real mayor que la parte real más grande
de los polos de F (s) (ası́ la trayectoria de integración está a la derecha de los polos). La
transformada de Laplace existe si la integral (2.50) converge, lo cual se da si se cumplen las tres
condiciones:
1. f (t) = 0, ∀t < 0
2. f (t) es continua a tramos,
3. f (t) es acotada exponencialmente: ∃ σ ǫ R t.q lı́mt→∞ | e−σt f (t)| = 0.
Como notación se usarán las mayúsculas para las funciones de la frecuencia compleja s y
minúsculas para las funciones temporales; por simplicidad en la representación de los cálculos,
en algunas partes del libro se omitirá la dependencia explı́cita de las funciones con la frecuencia
compleja s.
A continuación se presentan las principales propiedades de la transformada de Laplace:
1. La Transformada de Laplace convierte las señales temporales en señales frecuenciales,
función de la variable compleja s = σ + jω.
2. Es una transformación lineal.
3. La operación derivada temporal, se convierte en la multiplicación por s en frecuencia. La
integración en la multiplicación por 1/s en frecuencia; por ello al aplicarla a una ecuación
integrodiferencial, se obtiene una ecuación algebraica en s.
4. Es invertible y se puede regresar al dominio temporal usando la Transformada Inversa de
Laplace (TIL):
TL
ր ց
f(t) F(S)
տ TIL ւ
Por las propiedades 2 y 3 al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial,

la convierte en una ecuación con polinomios en s; al despejar la transformada de la variable de
interés, se puede obtener su evolución temporal por la propiedad 4.
No es necesario aplicar las integrales (2.50) y (2.51) a cada función en particular; las trans-
formadas de las funciones más usuales se encuentran en tablas para facilidad de uso, ver la
tabla 2.14 de transformadas de Laplace y la tabla 2.15 para las propiedades más importantes.
El siguiente ejemplo ilustra el uso de estas tablas en el análisis de un sistema descrito mediante
una ecuación diferencial lineal.
Ejemplo 2.12
Se considera el sistema mecánico rotacional del ejemplo 2.2; se analiza la respuesta en
velocidad, para con el sistema mecánico girando inicialmente a 16.96 rad/s (162 rev/min) y se
aplica súbitamente un torque motor de 7.1×106 N.m.
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial (2.15) que describe al sistema:
J (sW (s) − ω(0)) = −F W (s) + Tm (s), (2.52)

Tabla 2.14: Pares de transformadas de Laplace
f (t) F (s)
1 Impulso unitario δ(t) 1
1
2 Escalón unitario µ(t) s
1
3 t s2
1
4 e−at s+a
1
5 te−at (s+a)2
n!
6 tn (n = 1, 2, 3, . . .) sn+1
n!
7 tn e−at (n = 1, 2, 3, . . .) (s+a)n+1

1 −at −bt 1
8 b−a e − e (s+a)(s+b)

1 −bt s
9 b−a be − ae−at (s+a)(s+b)
h i
1 1 −at −bt 1
10 ab 1 + a−b be − ae s(s+a)(s+b)

1 −at 1
11 a2 at − 1 + e s2 (s+a)
ω
12 senωt s2 +ω 2
s
13 cosωt s2 +ω 2
ω
14 e−at senωt (s+a)2 +ω 2
s+a
15 e−at cosωt (s+a)2 +ω 2
p 2
ωn
16 √ωn 2 e−ρωn t sen ωn 1 − ρ2 t s2 +2ρωn s+ω 2
1−ρ
p
17 √−1 2 e−ρωn t sen ωn ( 1 − ρ2 )t − θ s
s2 +2ρωn s+ω 2
1−ρ
p 2
ωn
18 1 − √ 1 2 e−ρωn t sen ωn ( 1 − ρ2 )t + θ s(s2 +2ρωn s+ω 2 )
1−ρ
1−e−sT
19 µ(t) − µ(t − τ ) s
√
1−ρ2
θ = arctan ρ
y despejando W (s) se obtiene:

Tm (s) Jω(0)
W (s) = + . (2.53)
Js + F Js + F
El primer sumando corresponde a la transformada de Laplace de la respuesta forzada debida a
la entrada y el segundo a la respuesta natural debida a las condiciones iniciales. Sustituyendo
los parámetros se tiene:
71 + 124.6s 16.95(s + 0.57) N (s)
W (s) = = → . (2.54)
(7.35s + 3.77)s s(s + 0.512) D(s)
Nótese que la transformada de la señal de velocidad es una función racional de la variable
compleja s; los polinomios del numerador N (s) y denominador D(s) igualados a cero dan los
ceros y polos de la señal:

Tabla 2.15: Propiedades de la transformada de Laplace.
Propiedad Tiempo Frecuencia

Pn Pn
Combinación lineal i=1 ai fi (t) i=1 ai Fi (s)
d
Primera derivada dt
f (t) sF (s) − f (0− )
d2
Segunada derivada dt2
f (t) s2 F (s) − sf (0− ) − df (0− )
k P dt
i−1
k-ésima derivada temporal d
f (t) sk F (S) − ki=1 sk−i ddti−1f (0− )
R tdtk F (S)
Integral 0 − f
R(t)dt s
∞
Integral al infinito si existe 0− f (t)dt lı́m
R ∞s→0 F (s)
1
Integral frecuencial al infinito t
f (t), si lı́mt→0 1t f (t) existe s
F (s)ds
Desplazamiento temporal f (t − τ )µ(t − τ ) e−τ s F (s)
Desplazamiento frecuencial e−at f (t) F (s + a)
Escalamiento en el tiempo f ( at ) aF (as)
dF (s)
Primera derivada frecuencial −tf (t) ds
dk F (s)
k-ésima derivada frecuencial (−1)k tk f (t) dsk
Teorema de valor inicial lı́mt→0+ f (t) lı́ms→∞ sF (s)
Teorema de valor final lı́mt→∞ f (t) lı́ms→0 sF (s)
Rt
Convolución f (τ )f2 (t − τ )dτ
0− 1
F (s)F2 (s)
1
R σ+j∞1
Producto en el tiempo f1 (t)f2 (t) 2πj σ−j∞
F1 (p)F2 (s − p)dp
Ecuación de ceros: N (s) = 0; s =-0.57 es un cero de la señal.
Ecuación caracterı́stica: D(s) = 0; s = 0, s =-0.51 son polos de la señal.
En este libro se adopta la siguiente representación gráfica de la figura 2.12 para los ceros y
polos de una señal o de un sistema.
jω
Figura 2.12: Representación de Polos (cruces) y Ceros (cı́rculos).
Por la propiedad de combinación lineal, el cálculo de las señales temporales a partir de las

frecuenciales, se facilita expandiendo éstas últimas en fracciones parciales:

k1 k2
W (s) = + , (2.55)
s s + 0.51
donde las constantes k1 y k2 se denominan residuos de la expansión y se calculan ası́:

16.95(s+0.57)
k1 = s+0.51 = 18.94

s = 0

16.95(s+0.57)
k2 = s = −1.99.

s = −0.51
Nótese que el valor de los residuos depende tanto del valor de los polos como de los ceros.
La transformada inversa de Laplace es:
18.94 1.99
ω(t) = £−1 { − },
s s + 0.51
ω(t) = 18.94 − 1.99e−0.51t , t ≥ 0. (2.56)

El segundo término de la señal de velocidad tiende a cero asintóticamente con el tiempo y
corresponde a la respuesta transitoria; el primero corresponde a la respuesta permanente de la
velocidad; la forma de la respuesta se observa en la figura 2.13. Los teoremas del valor inicial y
w(t)[rpm]
180
162
t [s]
2 4 6 8 10
Figura 2.13: Respuesta temporal del sistema mecánico rotacional.
valor final de la tabla 2.15, permiten calcular directamente en el dominio de la frecuencia, los
valores temporales inicial y final:

71 + 124.6s

ω(t) = lı́m sW (s) = = 18.83 (180 rev/min),
t→∞ s→0 7.35s + 3,77
s−→0


71 + 124.6s

ω(t) = lı́m sW (s) = = 16.95 (162 rev/min).
t→0 s→∞ 7.35s + 3.77
s−→∞
Obsérvese la relación directa entre la ubicación de los polos y ceros y la forma de la respuesta.
△
2.6.2. La función de transferencia continua

Esta función caracteriza la relación entrada-salida de los sistemas lineales e invariantes;
se define la Función de Transferencia continua de un sistema G(s), como la relación entre la
transformada de Laplace de la señal de salida de un sistema a la transformada de Laplace de
la entrada al sistema, con las condiciones iniciales nulas.

£[Salida]
G(s) = . (2.57)
£[Entrada]
condiciones iniciales=0
Usando esta definición sobre la ecuación diferencial general (2.49), se obtiene la forma general
de las funciones de transferencia:
C(s) b0 sm + b1 sm−1 + ...bm−1 s + bm N (s)
G(s) = = n n−1
= . (2.58)
R(s) s + a1 s + ...an−1 s + an D(s)
A continuación se define cierta notación relacionada con las funciones de transferencia; se

asume que no existen simultáneamente las mismas raı́ces para la ecuación de ceros y la ecuación
caracterı́stica, ver más detalles en la sección 7.2.2.
1. De forma similar a la definición dada para las señales, las raı́ces de la ecuación de ceros
N (s) = 0, son los ceros del sistema y las raı́ces de la ecuación caracterı́stica D(s) = 0, los
polos del sistema.
2. Si la ecuación caracterı́stica tiene k polos iguales en s = sk , se dice que el polo sk tiene

multiplicidad k.
3. El grado relativo g, es la diferencia entre los grados de los polinomios del denominador y
del numerador: g = n − m.
4. Si n = m, se dice que la función de transferencia es bipropia; corresponde a un grado
relativo nulo.
5. Si n > m, es estrictamente propia, lo que corresponde a un grado relativo positivo.
6. Si n < m, es impropia con grado relativo negativo; cabe anotar que para los sistemas
fı́sicos m ≤ n y por lo tanto no pueden tener funciones de transferencia impropias.

Ejemplo 2.13
Para el sistema mecánico de rotación del ejemplo anterior, usando la definición de la función
de transferencia en la ecuación (2.53), se obtiene:
W (s) 1
= . (2.59)
Tm (s) Js + F
Ejemplo 2.14
Este ejemplo ilustra cómo crear y analizar funciones de transferencia con el MATLAB. Se
desea crear la función de transferencia:
s + 0.5
G(s) = . (2.60)
s2 + 3s + 2
El comando en MATLAB que lo hace es ‘tf’, el cual requiere de dos vectores con los coefi-
cientes de los polinomios de numerador y denominador, en orden descendiente de potencias:
>>num1=[1,0.5]; den1=[1,3,2];
>>G=tf(num1,den1)
Transfer function:
s + 0.5
---------------
s^2 + 3 s + 2
Los comandos:
>>pole(G); tzero(G); pzmap(G);
calculan los polos, ceros y los trazan sobre el plano complejo, respectivamente. El comando:
>>[r, p, k] = residue(num1,den1)
r =
1.5000
-0.5000
p =
-2
-1
k =
[]

obtiene los residuos ‘r’, polos ‘p’ y el término directo ‘k’ de la expansión en fracciones parciales
de la función de transferencia. El comando ‘ilaplace(F)’, obtiene la respuesta analı́tica temporal,
de la transformada inversa de Laplace de la función simbólica F; para la función de transferencia
(2.54):
>> syms s % Define a ’s’ como variable simbólica

>> ilaplace(16.95*(s+0.57)/(s*(s+0.51)))
ans =
-339/170*exp(-51/100*t)+6441/340
que corresponde a (2.56). △
2.6.2.1. Caracterı́sticas de la función de transferencia

Algunas de las caracterı́sticas más importantes de la función de transferencia son:
1. La función de transferencia describe la dinámica del sistema, tenerla es equivalente a tener

la ecuación diferencial.
2. Sólo se aplica a sistemas lineales e invariantes.
3. Es una propiedad del sistema, no depende de la entrada.
4. Varios sistemas pueden tener la misma función de transferencia.
5. No da información de la estructura interna del sistema.
6. En un diagrama de bloques, permite representar la dinámica de cada componente.
7. Los teoremas de valor inicial y final, permiten evaluar la ganancia transitoria y permanente
de una función de transferencia para una entrada de escalón.
El ejemplo siguiente ilustra el uso de esta última propiedad.
Ejemplo 2.15
La figura muestra un diagrama de bloques para un controlador de tipo proporcional y
derivativo, en el capı́tulo 6 se presentará este controlador en detalle. Si el error es un escalón
Figura 2.14: Controlador Proporcional Derivativo.

unitario, la salida será:

kp (1 + Td s) 1
A(s) = .
1 + Td′ s s
Los valores estacionario e inicial de la señal de control son:

kp (1 + Td s)

a(t) = lı́m sA(s) = = kp ,
t→∞ s→0 1 + Td′ s
s−→0

kp (1 + Td s) Td

a(t) = lı́m sA(s) = = kp .
t→0 s→∞ 1 + Td′ s Td′
s−→∞
Td
La relación es del orden de 5 a 10, lo que indica que este controlador realiza un gran esfuerzo
Td′
de control durante los transitorios del error. △
En el MATLAB estas ganancias se pueden evaluar con el comando ‘evalfr(G,s)’, el cual
evalúa a la función ‘G’ en la frecuencia ‘s’ (para la ganancia transitoria, puede usar s=inf); la
ganancia permanente también se puede evaluar con el comando ‘dcgain(G)’.
2.6.2.2. La función de transferencia del tiempo muerto

Las funciones de transferencia tratadas hasta ahora, son cocientes de polinomios de la fre-
cuencia compleja s; si un sistema tiene un tiempo muerto como en (2.41), de la propiedad de
desplazamiento en el tiempo de la tabla 2.15, la transformada de Laplace de (2.41) es:
B(s) = e−Tm s H(s), (2.61)
luego la función de transferencia del tiempo muerto Tm es:

B(s)
= e−Tm s . (2.62)
H(s)
Ejemplo 2.16
Para el sistema descrito por la ecuación (2.42), la función de transferencia es:
∆θ(s) Rt −Tm s
= e . (2.63)
P1 (s) τs + 1
Aunque esta función es bastante simple es importante para el análisis, pues se encuentra en
muchas aplicaciones de control de procesos. △
La función de transferencia (2.62) es de una función trascendente, más difı́cil de analizar

que las racionales polinómicas; por ejemplo, el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, ver el
capı́tulo 7, solo aplica a funciones de transferencia racionales. Por lo anterior, es útil aproximar
(2.62) por una función racional; la aproximación de Padé es especialmente apropiada, pues
permite aproximar una función en una racional polinómica; para la función exponencial, la
aproximación de Padé es:
Pn
−Tm s Nd (s) (−1)k ck Tm
k k
s
e ≈ = k=0 Pn k sk
, (2.64)
Dd (s) c T
k=0 k m

con:
(2n − k)!n!
ck = , k = 0, 1, · · · , n. (2.65)
2n!k!(n − k)!
Para n = 1, c0 = 1, c1 = 1/2, la aproximación es de primer orden:
1 − Tm s/2
e−Tm s ≈ ; (2.66)
1 + Tm s/2
con n = 2, c0 = 1, c1 = 1/2, c2 = 1/12, la aproximación de segundo orden es:
1 − Tm s/2 + (Tm s)2 /12

e−Tm s ≈ . (2.67)
1 + Tm s/2 + (Tm s)2 /12
El ejemplo siguiente ilustra esta aproximación con el MATLAB.
Ejemplo 2.17
Se considera la función de transferencia (2.63) con Rt = τ = Tm = 1:
P1 (s) 1 −s
= e . (2.68)
∆θ(s) s+1
El comando de MATLAB para crearla es:
>>Tm=1; num=1; den=[1,1];

>>G=tf(num,den,’InputDelay’,Tm)
Transfer function:
1
exp(-1*s) * -------
s + 1
El comando ‘Ga = pade(G,n)’, produce la función aproximada de Padé ‘Ga’, sin tiempo muerto:
>>Ga=pade(G,1);
>>zpk(Ga) % Presenta Ga en forma de cero, polo y ganancia estática
Zero/pole/gain:
- (s-2)
-----------
(s+2) (s+1)
2.6.3. Trazado de diagramas de bloques en frecuencia

La caracterı́stica 6 de la función de transferencia de permitir representar la dinámica de
los elementos individuales, permite obtener diagramas de bloques de los sistemas de control
análogos en el dominio de la frecuencia.

Ejemplo 2.18
La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de la bucla tı́pica de realimentación
análoga en el dominio de la frecuencia. En el diagrama, las distintas funciones Gi y H son
las funciones de transferencia de los elementos; G1 y G2 son las funciones de transferencia del
compensador y actuador, respectivamente; G3 y G4 corresponden a las dinámicas de la planta
entre las señales de control y de salida, y el punto de entrada del disturbio; H es la función de
transferencia de los elementos de la realimentación. Las señales R, E, A, M , D y B, son las
transformadas de Laplace de las distintas señales definidas en la figura 1.26. △
D
+
+ M C
R E A +
G1 G2 G3 G4
−
B
H
Figura 2.15: Diagrama de bloques en frecuencia de la bucla tı́pica análoga.
A partir del sistema fı́sico, el diagrama de bloques en frecuencia se puede obtener mediante
los siguientes tres pasos principales:
1. Aplicar la transformada de Laplace a cada componente o ecuación, con condiciones ini-

ciales nulas.
2. Reemplazar los elementos transformados por bloques simples, con entradas y salidas acor-
des al flujo de información en el lazo de control.
3. Interconectar los bloques.
Ejemplo 2.19
Se considera el generador de corriente continua del ejemplo 2.1; las ecuaciones obtenidas que
describen al generador, se presentan en la primera columna de la siguiente tabla; en la segunda
y tercer columnas se presentan los resultados de los pasos 1 y 2.
Obsérvese que las ecuaciones en frecuencia son algebraicas y se podrı́a en principio despejar
cualquier variable; la selección de la variable a despejar depende del flujo de información de las
señales, el cual se ha definido al establecer las entradas y salidas para el sistema de control.
Finalmente, interconectando los bloques individuales, se obtiene el diagrama de bloques en
frecuencia que modela el generador de corriente continua. △

Ecuación temporal Ecuación frecuencial Bloques individuales

Ef (s) 1 If (s)
dif Rf +sLf
ef = R f if + L f dt Ef (s) = If (s)(Rf + sLf )
Ef (s)
→ If (s) = Rf +sL f
If (s) Eg (s)
Kg
eg = k g if Eg (s) = kg If (s)
Eg (s) Et (s)
Ra
Ia (s)
e t = eg − R a ia Et (s) = Eg (s) − Ra Ia (s)
Ia (s)
Ra
−
Et (s) 1 If (s) Eg (s) Et (s)
Rf +sLf Kg
+
Figura 2.16: Diagrama de bloques en frecuencia para un generador de corriente continua.
2.6.4. Álgebra de diagramas de bloques

Los diagramas de bloques de la figura 2.15 y la figura 2.16, no están en la forma compacta
de la figura 1.34, más adecuada para el análisis del sistema; para simplificar un diagrama de
bloques complejo, se utiliza al álgebra de los diagramas de bloques; este álgebra de bloques se
obtiene de usar el álgebra en las ecuaciones que definen los bloques, escribiéndolas de forma
equivalente. La tabla siguiente presenta equivalencias útiles en la simplificación de diagramas
de bloques de sistemas de control.
2.6.4.1. Simplificación de diagramas de bloques con una entrada

El ejemplo siguiente reduce a la forma canónica la bucla de realimentación tı́pica análoga
del diagrama de bloques de la figura 2.15 sin considerar el disturbio D(s) = 0, y demuestra la
regla 9 de la tabla 2.16.
Ejemplo 2.20
En la figura 2.15 eliminando el disturbio, quedan los bloques Gi (s) en cascada; reduciéndolos
mediante la regla 4, al bloque equivalente: G(s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s), se obtiene la forma
canónica de los sistemas de control:

Tabla 2.16: Algebra de los diagramas de bloques.
Reglas Bloques originales Bloques equivalentes

A +− A-B ++ A-B+C A ++ A+C +− A-B+C
B C C B
1 Sumador hacia adelante de sumador
C C
A +− A-B ++ A-B+C A ++ A-B+C
−
B B
2 Reducción de sumador
A AG1 AG1 G2 A AG1 G2
3 Reducción bloques en cascada G1 G2 G1 G2
A AG1 AG1 +AG2
G1 ++
A AG1 +AG2
4 Reducción bloques en paralelo G2 G1 + G2
A A− B
G AG−B
A AG AG−B +− G
G +−
B
B
5 Sumador hacia adelante de bloque B
G 1
G
AG−BG A AG AG−BG
A A−B G +−
+− G
B B BG
6 Sumador hacia atrás de bloque G
A AG
A AG G
G
AG
7 Toma hacia adelante de bloque AG G
A AG
A AG G
G
AG A
8 Toma hacia atrás de bloque A 1
G
A G1 B
+− A 1 B
G2 +− G1 G2
9 De canónica a real. unitaria G2
A G1 B
+−
A G1 B
10 Reducción de la forma canónica G2 1+G1 G2
R + E G(s)
C
−
B H(s)
Figura 2.17: Forma canónica de un sistema de control realimentado.
De la figura:
E(s) = R(s) − B(s) = R(s)
− H(s)C(s),
C(s) = G(s)E(s) = G(s) R(s) − H(s)C(s)
=⇒ C(s) + GH(s)C(s) = G(s)R(s).
Denotando: G(s)H(s) = GH(s) y despejando a C(s)/R(s) se obtiene:
C(s) + GH(s)C(s) = G(s)R(s),
C(s) G(s)
= . (2.69)
R(s) 1 + GH(s)
△
A continuación se definen ciertas funciones de transferencia de la forma canónica de la figura

2.17.
C(s)
G(s) = E(s) : Función de transferencia directa.
H(s) = B(s)
C(s) : Función de transferencia de la realimentación.
GH(s) = B(s)
E(s) : Función de transferencia de lazo abierto.
C(s)
T (s) = R(s) : Función de transferencia de lazo cerrado.
Para simplificar un diagrama de bloques complejo de un sistema de control, se recomienda

realizar los siguientes pasos:
1. Reducir bloques en cascada y/o en paralelo.
2. Desplazar e intercambiar puntos de toma y suma; en general se busca mover los sumadores
hacia el comparador del controlador y los puntos de toma hacia el punto de toma de la
salida hacia la realimentación.
3. Reducir de nuevo aplicando los pasos 1. y 2. sucesivamente hasta llegar a la forma canónica.
Ejemplo 2.21
Un sistema de control de la excitación como el de la figura 1.3 en control automático puede
tener compensadores serie y paralelo (ver detalles de esquemas de control en la sección 10.9); la
alimentación de potencia al actuador PRA desde la variable controlada del voltaje en terminales
VT , genera en un modelo realimentado lineal, una realimentación positiva interna Ramı́rez
[1989]. La figura 2.18 muestra el diagrama de bloques en frecuencia para este sistema de control.
Los bloques corresponden a las dinámicas de:
G1 : compensador y actuador PRA.
G2 : excitatriz Exc.
G3 : generador.
H1 : Dcompensador paralelo.
H2 : medida de la tensión.
Desplazando el sumador interno adelante de G1 y el punto de toma interno, después de G3 , se

obtiene el diagrama de bloques:

+
R(s)+ C(s)
G1 G2 G3
+
−
+
H1
+
H2
Figura 2.18: Diagrama de bloques para un sistema de control de la excitación.
1
+ G1
R(s) + C(s)
G1 G2 G3
−
+ 1
H1 G3
+
H2
Simplificando los bloques en cascada se obtiene:
1
G1
R(s)+ C(s)
G1 G 2 G3
−
+ H1
G3
+
H2
Simplificando los bloques en paralelo, se obtiene la forma canónica:
R(s)+ C(s)
G1 G 2 G3
−
H1 1
H2 + G3 − G1
Reduciendo este bloque con la regla 9, se obtiene finalmente la función de transferencia

equivalente del sistema de control de la excitación. △
R(s) G1 G2 G3 C(s)
H
1+G1 G2 G3 (H2 + G1 − G1 )
3 1
Figura 2.19: Función de transferencia del sistema de control de la excitación.
2.6.4.2. Simplificación de diagramas de bloques con múltiples entradas

Si se considera más de una entrada a un diagrama de bloques, como el sistema es lineal
se puede aplicar el principio de superposición; los siguientes son pasos recomendados para
simplificar un diagrama de bloques con múltiples entradas.
1. Agrupar las entradas en el menor número de puntos de suma.
2. Simplificar el diagrama.
3. Calcular la respuesta debida a cada entrada (las demás se anulan).
4. Sumar las respuestas parciales para obtener la total.
Ejemplo 2.22
La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de la bucla tı́pica de realimentación
análoga con entradas de referencia y de disturbio.
D(s)
R(s) C(s)
+− G1 ++ G2
Figura 2.20: Diagrama de bloques, bucla análoga con entradas de referencia y de disturbio.
Aplicando el primer paso, se obtiene:

Con el segundo paso, el diagrama se reduce a:
El tercer paso, con D(s) = 0, permite calcular la componente de la salida, debida a la
referencia:
G1 G2 (s)
CR (s) = R(s).
1 + G1 G2 H(s)
Con R(s) = 0, se obtiene la componente en la salida, debida al disturbio:
G2 (s)
CD (s) = D(s).
1 + G1 G2 H(s)

D(s)
1
G1
R(s) + C(s)
+− G1 G2
D(s)
1
G1
R(s) + G1 G2
C(s)
+− 1+G1 G2 H
Finalmente, mediante el paso 4 se obtiene la salida total:
G2 (s)
C( s) = CR (s) + CD (s) = [G1 R(s) + D(s)].
1 + G1 G2 H(s)
2.6.4.3. Diagramas de bloques con MATLAB

La conexión en cascada, paralelo y en la forma canónica de realimentación se puede realizar
en el MATLAB con los comandos ‘series(G1,G2)’, ‘paralel(G1,G2)’ y ‘feedback(G,H)’, respec-
tivamente; el comando ‘connect(G1,G2,...,entradas,salidas)’ permite la interconexión arbitraria
de sistemas, especificándoles las entradas y salidas a todos los bloques.
Ejemplo 2.23
El diagrama de bloques del ejemplo 2.21 con H1 = H y H2 = 1, se le definen las señales,
como se muestra en la figura.
Se definen los sistemas G1,G2 y H en el MATLAB usando el comando ‘tf’ para funciones
racionales en ‘s’:
>>s=tf(’s’);G1=tf(50);G2=1/(s+1);G3=1/(4*s+1);H=0.25*s/(4*s+1);
>>G1.InputName=’E’;G1.OutputName=’A’;G2.InputName=’F’;G2.OutputName=’M’;
>>G3.InputName=’M’;G3.OutputName=’C’;H.InputName=’M’;H.OutputName=’B1’;
>>Sum1= sumblk(’F’,’A’,’C’,’++’); Sum2 = sumblk(’B2’,’B1’,’C’,’++’);
>>Sum3 =sumblk(’E’,’R’,’B2’,’+-’);
>> T = connect(G1, G2, G3, H,Sum1,Sum2,Sum3,’R’,’C’)

Figura 2.21: Diagrama de bloques de la bucla tı́pica, con señales.
Transfer function from input "R" to output "C":

12.5
--------------------
s^2 + 4.375 s + 12.5
△
2.6.5. Funciones de transferencia de dinámicas no modeladas (I)

En la sección 2.5 se analizó la caracterización de la incertidumbre originada por complejidad
y variaciones en los parámetros; si se usa el modelo nominal Gm (s) para aproximar al sistema
G(s), entonces los errores de modelado debidos a errores de parámetros o complejidad, se pueden
expresar por las siguientes funciones de transferencia:

C(s) = G(s)R(s) = Gm (s) + Ge (s) R(s); Ge (s) = G(s) − Gm (s); (2.70)
Ge (s)
C(s) = G(s)R(s) = Gm (s) 1 + G∆ (s) R(s); G∆ (s) = (2.71)
Gm (s)
Ge (s) es la función de transferencia del error aditivo y G∆ (s) la del error multiplicativo,
por sus correspondientes diagramas de bloques.
La función de transferencia del error aditivo es una cantidad absoluta, mientras que la del
error multiplicativo tiene la ventaja de ser relativa con respecto al modelo nominal, el siguiente
ejemplo ilustra este aspecto.
Ejemplo 2.24
Se considera un sistema P (s) con un tiempo muerto adicional; con la aproximación de
Padé de primer orden para el tiempo muerto (2.66): G(s) = e−Tm s P (s); Gm (s) = 1−T m s/2
1+Tm s/2 P (s),
las funciones de error son:

−Tm s 1 − Tm s/2
Ge (s) = G(s) − Gm (s) = e − P (s),
1 + Tm s/2
Ge (s) 1 + Tm s/2
G∆ (s) = = Tm s −1
Gm (s) e (1 − Tm s/2)

Figura 2.22: Funciones de transferencia del error de modelado. (a) Aditivo. (b) Multiplicativo.
Note cómo Ge (s) = depende del proceso P (s), mientras que ello no ocurre con G∆ (s).
Si el error se debe al valor numérico del tiempo muerto: G(s) = e−Tm s P (s);
Gm (s) = e−Tn s P (s), las funciones de error son:

Ge (s) = e−Tm s − e−Tn s , P (s) (2.72)

G∆ (s) = e−(Tm −Tn )s − 1 . (2.73)
En estado estable (s → 0), ambas funciones de error son nulas; en transitorios rápidos (s → ∞),
normalmente los sistemas fı́sicos responden lento y la ganancia de P (s) tiende a cero, luego
la función del error (2.72) tiende a cero, mientras que (2.73) tiende a -1; la función del error
multiplicativo (2.73) muestra que entre mayor sea el error absoluto del tiempo muerto: |Tm −Tn |,
más pronto empezará a aumentar G∆ (s) con la frecuencia s. △
La imprecisión numérica también se puede dar en los valores de los polos o ceros de las
funciones de transferencia, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.25
Se considera el sistema dinámico:
1
G(s) = P (s), (2.74)
τs + 1
1
para el cual hay un error de modelado en el polo simple: Gm (s) = (τ +δ)s+1 P (s). No hay error
en complejidad ni en la ganancia estática. Las funciones de error son:

δs
Ge (s) = H(s), (2.75)
(τ s + 1)((τ + δ)s)

δs
G∆ (s) = . (2.76)
τs + 1
Las ganancias de baja frecuencia son nulas; en alta frecuencia, Ge (s) es nula mientras que
G∆ (s) tiende a δ/τ . △

Ejemplo 2.26
Ahora se considera un error por complejidad para la planta (2.74), con un modelo que
no considera el polo simple: Gm (s) = P (s), donde de nuevo no hay error para la ganancia
estacionaria; las funciones de error son:

−τ s
Ge (s) = P (s), (2.77)
τs + 1

−τ s
G∆ (s) = . (2.78)
τs + 1
De nuevo el comportamiento frecuencial es pasabanda para Ge (s) y paso alto para G∆ (s). △
Los ejemplos anteriores corresponden a incertidumbres estructuradas pues permiten obtener

la forma de la función de transferencia del error; sin embargo, en general los errores de modelado
no se conocen de manera precisa, pero se observa en los ejemplos anteriores, cómo (2.76) y
(2.78) tienen la misma estructura; nótese igualmente que G∆ (s) es en general pequeña en baja
frecuencia y tiende a una constante en alta frecuencia; por ello es común asumir un conocimiento
de G∆ (s), como una dinámica no estructurada, con variaciones paramétricas complejas para la
cual solo se conoce un lı́mite en su respuesta frecuencial (ver capı́tulo 9):
|G∆ (s = jω)| < e(ω), (2.79)
donde e(ω) es una función positiva dada; para facilidad del análisis, se considera la función de
transferencia estable variable:
M ax |∆(jω)| < 1. (2.80)
ω
Esta función en serie con una función de transferencia de peso W (s), genera las cotas como
en (2.79), permitiendo modelar incertidumbres no estructuradas, como se muestra en la figura
2.23 para el caso de la multiplicativa; en este caso se tiene G∆ (s) = W (s)∆(s). La forma de las
funciones de peso es similar a las funciones de transferencia del error Ge (s) o G∆ (s).
Figura 2.23: Modelado de incertidumbre multiplicativa no estructurada.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del MATLAB para el modelado de incertidumbres estruc-
turadas y no estructuradas.
Ejemplo 2.27
Se tiene el sistema dinámico incierto:
k
G(s) = (1 + W (s)∆(s)) ,
τs + 1

1.1s
donde la ganancia k = 5, varı́a entre 4.5 y 5.5, τ es 1 ± 20 % y W (s) = s+1 ; la representación
en el MATLAB del sistema es:
>> k = ureal(’k’,5,’Range’,[4.5 5.5]); tau = ureal(’tau’,1,’Percentage’,20);

>> Delta = ultidyn(’Delta’,[1 1], ’Type’,’GainBounded’,’Bound’,1);
>> % Delta es un sistema monovariable, con ganancia lı́mite de 1.
>> W = makeweight(0,1,1.1);%ganancia estática de 0,
>> % inversa de la constante de tiempo de 1 y ganancia transitoria de 1.1
>> G = tf(k,[tau 1])*(1+W*Delta)
USS: 2 States, 1 Output, 1 Input, Continuous System
Delta: 1x1 LTI, max. gain = 1, 1 occurrence
k: real, nominal = 5, range = [4.5 5.5], 1 occurrence
tau: real, nominal = 1, variability = [-20 20]%, 2 occurrences
La clase de sistemas inciertos ‘USS’, se pueden muestrear para el análisis posterior temporal
o frecuencial con el comando ‘usample(G,N)’, donde N es el número de muestreos; por ejemplo,
la respuesta al escalón de cinco sistemas generados aleatoriamente es:
>> title(’Respuestas al escalón’)

>> step(G.NominalValue,’+-’,usample(G,5),20)
>> legend(’Nominal’,’Muestras’)
Respuestas al escalón
7
Nominal
Muestras
6
4
C(t)
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo (sec)
Figura 2.24: Respuestas al escalón del sistema incierto.

Nótese los diferentes valores estacionarios, definidos por el valor de k. △
2.6.6. Modelado del disturbio y del ruido

En el ejemplo 2.22 se presentó el diagrama de bloques de la bucla tı́pica con el disturbio;
los disturbios pueden actuar a la entrada o salida del proceso y con funciones de transferencia
adicionales a la entrada de la perturbación; dado que los disturbios son señales externas inde-
pendientes y no siempre se miden, no es fácil plantearles modelos por la dificultad experimental.
La bucla tı́pica de realimentación análoga tiene también una entrada externa de ruido en la
realimentación, ver la figura 1.26. El ruido puede ser de baja frecuencia por errores de calibración
o de alta frecuencia; los errores de calibración se reducen con otras medidas; el ruido de alta
frecuencia genera desgaste y saturación del actuador por lo que se filtra; si la dinámica del
filtro está en el ancho de banda de la respuesta del sistema en red cerrada debe considerarse en
el modelado; algunos fabricantes de instrumentación dan información técnica como la relación
señal-ruido y la respuesta frecuencial del sensor.
Los disturbios de carga son quizás los más importantes a considerar pues en un sistema
de control de regulación, el objetivo central es disminuir su efecto en la salida. Las señales
tı́picas utilizadas para modelar disturbios son los escalones, rampas, parábolas, sinusoides y
combinaciones de ellas; estos modelos son útiles para el diseño del controlador, pues en general
su rechazo exige tener su modelo en el controlador.
Bajo ciertas condiciones de operación es posible plantear modelos de carga deterministas
con funciones de transferencia Gd (s) entre la señal de disturbio y la entrada al lazo de reali-
mentación; esto lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.28
En una red eléctrica industrial, la conexión súbita de motores de inducción genera caı́das
severas del voltaje, tanto transitorias como permanentes, que deben ser reguladas por el sistema
de control de la excitación de los generadores sincrónicos. La figura 2.25 muestra la respuesta
de un generador sin regulación para la conexión de un motor del 10 % de su potencia nominal.
Desde la tensión nominal de 1PU, la salida cae a 0.9PU en el instante de la conexión del
motor; luego hay un transitorio de forma aproximada a un primer orden y la respuesta va
asintóticamente a 0.85PU en menos de un segundo. La figura 2.26 presenta el diagrama de
bloques del generador incluyendo un modelo del disturbio. El generador se representa por un
sistema de primer orden con ganancia ajustable kA del control y una función de transferencia
para el disturbio:
1.5(1 + 2/3τc s)
Gd (s) = , τc = 0.3, (2.81)
1 + τc s
la cual tiene una ganancia estacionaria de 1.5 y ganancia transitoria de 1. Con este modelo se
reproduce el comportamiento observado en la figura 2.25, para un escalón de magnitud 0.1. △
También existen disturbios de carga de naturaleza aleatoria; a apartir de su efecto en la
medida bd (t) se debe primero considerar si su comportamiento es estacionario, si lo es, las
propiedades de la amplitud se pueden representar en un histograma que define la fracción de
tiempo en que la amplitud tiene cierto valor; esta distribución se caracteriza por el promedio
b̄d (t), la varianza σ 2 y el valor pico a pico bpp de la señal. Si la distribución es normal, se
caracteriza solo por el promedio y la desviación estándar σ; la probabilidad de que la señal
esté entre 3σ es del 99.7 %.

Figura 2.25: Respuesta del voltaje a una conexión de un motor de inducción.
Figura 2.26: Modelo del generador con disturbio.
Con una idea de las escalas de tiempo de las señales, estas caracterı́sticas se pueden apro-
ximar por:
Z Te
1
b̄d = bd (t)dt,
Te 0
Z Te
1
σ2 = (bd (t) − b̄d )dt,
Te 0
con un intervalo de tiempo Te suficientemente largo para la estacionalidad de la señal. Para
una señal muestreada, las integrales se calculan como sumas; en el MATLAB los comandos
‘mean(y)’ y ‘std(y)’ calculan el promedio y la desviación estándar del conjunto de datos y.
El comportamiento de una señal estacionaria también se puede describir por la función de
densidad espectral φ(ω), la cual indica el contenido frecuencial de una señal; el valor φ(ω)∆ω
es proporcional a la energı́a promedio de la señal en la banda de frecuencias ∆ω alrededor de

ω; la energı́a promedio de la señal es:

Z ∞
1
σ2 = φ(ω)dω.
2π −∞
Una señal con φ(ω) constante tiene distribuida su energı́a homogéneamente en todas las
frecuencias, se denomina ruido blanco. En el MATLAB existen diversos comandos para calcular
la densidad espectral de una señal, el ejemplo siguiente ilustra el uso de uno de ellos.
Ejemplo 2.29
El comando ‘spectrum.periodogram’ crea una estimación espectral con el método de estima-
ción del periodograma MathWorks [2013], a partir de la cual se calcula de densidad espectral
de potencia con el comando ‘psd’:
>> Fs = 1000; t = 0:1/Fs:.3;
>> b=10*cos(2*pi*t*200)+randn(size(t));%se~ nal aleatoria con sinusoide de 200Hz
>> mean(b) % calcula el valor promedio de la se~ nal
ans =
-0.0110
>> std(b) %calcula la desviación estándar de la se~
nal
ans =
7.1420
>> h = spectrum.periodogram; %calcula la estimación espectral
>> Gpsd = psd(h,b,’Fs’,Fs); %calcula la densidad espectral de potencia
>> plot(Gpsd)
La figura 2.29 muestra la densidad espectral de esta señal.
Se observa la componente de mayor frecuencia centrada en los 200Hz. △
El ruido blanco juega el rol en los sistemas aleatorios del impulso en los deterministas, con
relación a la generación de diferentes tipos de señales; su paso a través de filtros dinámicos
permite obtener diferentes tipos de espectros.
Ejemplo 2.30
La señal de salida de un ruido blanco aplicado a la función de transferencia:
1
G(s) = ,
τs + 1
es una señal aleatoria con función de densidad espectral:
1
φ(ω) = .
τ 2 ω2 + 1
△
Esto permite representar señales que no son estacionarias; por ejemplo, el ruido blanco con
un integrador genera un proceso no estacionario de tipo Wiener.
En las técnicas de identificación que se tratarán en la sección 3.6, se obtendrán modelos en
tiempo discreto que consideran el efecto de perturbaciones y ruidos aleatorios.

2.7. SISTEMAS ANÁLOGOS EN REPRESENTACIÓN DE ESTADO
20
10
Potencia/frecuencia (dB/Hz)
−10
−20
−30
−40
−50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frecuencia (kHz)
Figura 2.27: Densidad espectral de potencia.
2.7. Sistemas análogos en representación de estado

Una alternativa a la representación de entrada-salida con la función de transferencia es una
representación que tome en cuenta el estado interno del sistema; el estado de un sistema se refiere
a sus condiciones pasada, presente y futura. El estado se puede describir por cifras, curvas, tablas
o ecuaciones; para el análisis de un sistema de control, es conveniente representarlos mediante
un conjunto adecuado de variables de estado; estas variables deben ser escogidas de forma que:
Si se conocen las variables de estado en un tiempo dado t = t0 , ellas definen los estados
iniciales del sistema.
Si se conocen los estados iniciales y las entradas presentes y futuras al sistema, las variables
de estado definen por completo el comportamiento futuro del sistema y permiten por lo
tanto calcular las salidas en función de las entradas y las variables de estado.
Nótese que las variables de estado no son necesariamente las salidas del sistema, las salidas
son las variables medidas de interés para el control y son función de las variables de estado.
No todas las variables de estado se miden y existe una gran flexibilidad para escogerlas, lo que
es una ventaja para el análisis. El siguiente ejemplo ilustra una selección de variable de estado
para un circuito eléctrico.

Ejemplo 2.31
La figura 2.28 muestra un circuito serie de una resistencia R y una bobina L. Al circuito se
R L
+
e(t) i(t)
Figura 2.28: Circuito serie RL.
aplica una tensión de tipo escalón con magnitud v. Las variables de salida de interés podrı́an ser
la corriente o las tensiones en la resistencia o la bobina; en este circuito RL el comportamiento
de cualquier variable, está definido por la entrada de voltaje e(t) y la corriente en la bobina
i(t); mediante la ley de voltajes de Kirchoff, se obtiene la ecuación diferencial para la corriente
en el circuito:
di(t)
e(t) = Ri(t) + L , (2.82)
dt
para t ≥ 0.
Aplicando la transformada de Laplace:
E(s) = (R + Ls)I(s) − Li(0), (2.83)
v Li(0)
I(s) = + . (2.84)
s(R + sL) R + sL
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
v R R
i(t) = (1 − e− L t ) + i(0)e− L t . (2.85)
R
Esta ecuación define todo el comportamiento futuro del circuito, dada la magnitud de la entrada
de voltaje y la condición inicial de la corriente; por lo tanto, la corriente i(t) se puede usar como
variable de estado para describir matemáticamente al circuito serie RL, esto es debido a que la
inductancia L almacena energı́a y es la capacidad de almacenar energı́a la que da la información
sobre la evolución del circuito; lo mismo sucede con el voltaje para el caso de un condensador
en un circuito RC. △
El uso de las variables de estado para el análisis y diseño de sistemas lineales de control, en
particular de sistemas multivariables, permitió en la década de los sesentas, un mejor control me-
diante el uso de herramientas de diseño por sı́ntesis, como el control óptimo y adaptativo. En la
actualidad estas técnicas se aplican a sistemas multivariables con representación entrada-salida
(matrices de transferencia) y se puede afirmar que ambas representaciones son complementa-
rias. Por la forma de escoger las variables de estado, ellas permiten calcular el estado futuro del

sistema, por ello es la representación adecuada para la simulación digital de sistemas dinámi-
cos. La representación de estado aplica para los sistemas no lineales, por ello para esta clase de
sistemas y cuando se requiera observar estados internos, la representación de estado es la más
apropiada.
2.7.1. Definiciones
En esta sección se presentan definiciones asociadas a la representación de estado.
Estado: El estado de un sistema es un conjunto mı́nimo de números tales que el conocimiento
de estos números y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones que describen la
dinámica, proporcionan la salida y el estado futuro del sistema.
Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico son el conjunto mı́nimo
de variables cuyo conocimiento en cualquier instante t0 (usualmente t0 = 0), más la información
sobre la entrada aplicada posteriormente, sea suficiente para determinar el estado del sistema
en cualquier instante futuro t ≥ t0 .
Vector de estado: Si se requieren n variables de estado para describir el comportamiento de
un sistema, se pueden considerar las n variables de estado como n componentes de un vector
X(t), llamado vector de estado. El vector X(t) determina unı́vocamente el estado del sistema,
especificada la entrada, para cualquier t ≥ t0 .
Espacio de estado: Es el espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas son las variables
de estado: x1 , x2 , · · · xn ; el estado del sistema se representará como un punto en el espacio de
estado.
Ecuaciones de estado: Para un sistema con p entradas y n estados (lineal o no lineal, variante
o invariante), las ecuaciones de estado del sistema serán escritas de la forma:
dx1
= f1 (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp )
dt
dx2
= f2 (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp )
dt
..
.
dxn
= fn (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp ), (2.86)
dt
donde: x1 , x2 , · · · xn son las variables de estado y r1 , r2 , · · · rn son las entradas. Obsérvese que
en el lado izquierdo de la igualdad solo hay derivadas de los estados, mientras que en el derecho,
solo hay variables de estados y entradas.
Ecuación de salida: Relaciona las salidas del sistema con las variables de estado y las entra-
das; si existen q salidas:
c1 = g1 (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp )
c2 = g2 (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp )
..
.
cq = gn (x1 , x2 , · · · xn ; r1 , r2 , · · · rp ), (2.87)
donde: c1 , c2 , · · · cq son los elementos del vector de salidas.
Ecuaciones dinámicas: Es el conjunto de ecuaciones de estado y de salida.

2.7.2. Linealización
Para la lúdica 2.1 si se considera como variable de estado la altura del vaso, la ecuación (2.3)
es la ecuación de estado del sistema; es no lineal como en la estructura general planteada en las
ecuaciones (2.86) y (2.87). Casi cualquier sistema dinámico tiene no linealidades, sin embargo,
muchos se pueden describir por un sistema lineal bajo ciertas condiciones de operación; el interés
de obtener una descripción lineal está en poder usar las ampliamente desarrolladas técnicas de
análisis de sistemas lineales, como se ilustró con el uso de la transformada de Laplace para la
solución de una ecuación diferencial lineal.
La técnica de linealización aplica para sistemas continuos o discretos, con modelos de
entrada-salida o de estado; por simplicidad, en esta sección se presenta la linealización de los
modelos en variables de estado. Antes de ello, se simplifica la representación de estado de las
ecuaciones (2.86) y (2.87), utilizando los vectores de estado X(t), entrada R(t) y salida C(t),
definidos por:
     
x1 (t) r1 (t) c1 (t)
 x2 (t)   r2 (t)   c2 (t) 
     
X(t) =  .  , R(t) =  .  , C(t) =  .  . (2.88)
 ..   ..   .. 
xn (t) rp (t) cq (t)
Las ecuaciones dinámicas ecuaciones (2.86 y (2.87) se expresan como:

dX(t)
dt = F X(t), R(t)
(2.89)
C(t) = G X(t), R(t) ,
donde F y G son matrices columna de (n × 1) y (q × 1) respectivamente. Se asume que F

y G son funciones no lineales analı́ticas, esto es, lo suficientemente suaves con relación a sus
argumentos para que exista una expansión en series de Taylor.
Considerando a X̄(t), R̄(t), C̄(t), t ∈ ℜ como un conjunto de trayectorias dadas que sa-
tisfacen (2.89):

dX̄(t)
dt = F X̄(t), R̄(t)
(2.90)
C̄(t) = G X̄(t), R̄(t) .

Si se consideran las trayectorias {X(t), R(t), C(t), t ∈ ℜ}, cercanas a X̄(t), R̄(t), C̄(t), t ∈ ℜ ,
se puede aproximar el modelo, con una expansión en series de Taylor de primer orden, obte-
niéndose:

dX̄(t)
∂F
dt ≈ F X̄(t), R̄(t) + ∂X
X̄,R̄
X(t) − X̄(t) + ∂F
∂R X̄,R̄ R(t) − R̄(t)
(2.91)
∂G
C̄(t) ≈ G X̄(t), R̄(t) + ∂X
X̄,R̄
X(t) − X̄(t) + ∂G
∂R X̄,R̄ R(t) − R̄(t) ,

∂Y
donde las derivadas están evaluadas en las trayectorias nominales y se ha usado la notación ∂Z
para la matriz cuyo ij-ésimo elemento es ∂y ∂F
∂zi ; por ejemplo, la matriz ∂X es:
i
 ∂f1 ∂f1 ∂f1


∂x1 ∂x2 ... ∂xn
 ∂f2 ∂f2 ∂f2 
∂F  ∂x1 ∂x2 ... ∂xn 
=
 .. .. .. .. 
 (2.92)
∂X  . . . . 
∂fn ∂fn ∂fn
∂x1 ∂x2 ... ∂xn
y se denomina Jacobiano del sistema.

Sean las matrices: ∂F
A = ∂X
X̄,R̄
, B = ∂F
∂R X̄,R̄ ;
∂G
⊂= ∂X
X̄,R̄
D = ∂G
∂R X̄,R̄

y los incrementos: ∆X = X(t) − X̄(t), ∆R = R(t) − R̄(t), ∆C = C(t) − C̄(t), t ∈ ℜ ; entonces
el modelo descrito por (2.91) es:
d∆X(t)
dt = A∆X(t) + B∆R(t)
(2.93)
∆C(t) =⊂ ∆X(t) + D∆R(t).
En general las matrices A, B, ⊂ y D son dependientes del tiempo; si se consideran las trayectorias

nominales como puntos de equilibrio: X̄, R̄, C̄ , entonces: X̄˙ = 0 y el sistema (2.93) es lineal
e invariante en el tiempo, con las matrices de coeficientes constantes:
   
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1p
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2p 
   
An×n =  . . . .  Bn×p =  . .. .. .. 
 .. .. .. ..   .. . . . 
an1 an2 . . . ann bn1 bn2 . . . bnp
    (2.94)
c11 c12 . . . c1n d11 d12 . . . d1p
 c21 c22 . . . c2n   d21 d22 . . . d2p 
   
⊂q×n =  . . .. .  D q×p =  .. .. .. ..  .
 .. .. . ..   . . . . 
cq1 cq2 ... cqn dq1 dq2 ... dqp
La matriz A se le denomina matriz del sistema por cuanto determina la dinámica interna o
movimientos propios de los estados del sistema, estos movimientos los definen los valores propios
de la matriz, los cuales corresponden a los polos de la función de transferencia del sistema; su
orden n, corresponde al número de variables de estado que es también el orden del sistema.
La matriz B es la matriz de entrada e indica como se distribuyen las p entradas sobre la
dinámica de los estados.
La matriz ⊂ se denomina matriz de salida o de observación, pues determina cómo se trans-
mite el estado interno a las q salidas; permite observar a través de ellas el estado interno del
sistema.

La matriz D es la matriz de acoplamiento o de interconexión e indica el acoplamiento directo

entre la salida y la entrada: en la mayorı́a de los sistemas de control D es nula, existirá en
sistemas con igual número de polos y ceros.
La figura 2.29 muestra un diagrama de bloques de las ecuaciones dinámicas (2.93), en donde
las flechas corresponden a los vectores de las señales.
Figura 2.29: Diagrama de bloques de las ecuaciones dinámicas lineales.
Los siguientes ejemplos ilustran la técnica de linealización presentada en esta sección.

Ejemplo 2.32
Las ecuaciones normalizadas para la turbina del ejemplo 2.5, son:
qf2 dqf
h= ; I = −(h − h0 ); P = qf h;
u2 dt
considerando como estado al flujo: x = qf , entrada a la posición de la compuerta: u y como
salida a la potencia mecánica: y = P , las ecuaciones dinámicas para la turbina son:
2
x h0
ẋ = − Iu 2 + I
x 3 (2.95)
y = u2 .
Para la condición nominal P = 1, h = h0 = 1, el punto de equilibrio del sistema es: x = 1, u = 1;
de (2.93), las ecuaciones dinámicas lineales son:
2x 2x2
∆ẋ = − Iu 2 ∆x + Iu3
∆u
3x2 2x3
∆y = u2
∆x − u3
∆u
1 1
∆ẋ = − I/2 ∆x + I/2 ∆u
(2.96)
∆y = 3∆x − 2∆u.
△

Ejemplo 2.33
La figura 2.30 muestra un diagrama esquemático para el péndulo planteado en el ejemplo
1.4. La masa m se asume concentrada a una distancia l del pivote. El ángulo θ es cero en el
equilibrio estable y positivo en sentido sinestrogiro; en el pivote se aplica un torque externo te .
Considerando que la aceleración tangencial es lθ̈ y la fuerza de fricción lf θ̇, de la segunda ley
Figura 2.30: Péndulo de masa concentrada.
de Newton se tiene:
te
mlθ̈ = −mg senθ − lf θ̇ +,
l
donde f es el coeficiente de fricción viscosa y g la constante de aceleración de la gravedad.
Considerando como variables de estado y variables de salida a la posición y velocidad angular:
x1 =θ
x2 = θ̇,
resulta la representación en el espacio de estado:
ẋ1 = x2
ẋ2 = − gl senx1 − f
m x2 + te
l (2.97)
c1 = x1
c2 = x2 .
Para encontrar los puntos de equilibrio sin entrada externa te = 0, se hace ẋ1 = ẋ2 = 0 y resulta
el conjunto de puntos de equilibrio aislados:
x̄1 = nπ, n = 0 ± 1, ±2, · · ·
x̄2 = 0.
Usando (2.93) las matrices (2.94) son:
 
0 1
0
A =  − gl cosx1 −mf 
B= 1
l
(2.98)

1 0 0
⊂= D= .
0 1 0

Nótese que solo la matriz A depende del estado, evaluándola en los puntos de equilibrio:

0 1
A= ,
∓ gl − mf
donde el signo (-) corresponde a los puntos de equilibrio estables θ = ±2nπ y el (+) a los
inestables θ = ±(2n + 1)π. Si se tienen pequeñas variaciones alrededor de un punto de equilibrio
dado, el modelo linealizado del péndulo es:

∆ẋ1 0 1 ∆x1 0
= + ∆te
∆ẋ2 ∓ gl − mf
∆x2 1
l
(2.99)
∆c1 1 0 ∆x1
= .
∆c2 0 1 ∆x2
En el MATLAB, el comando ‘linmod’, permite obtener modelos lineales en función de trans-

ferencia o espacio de estado, a partir del modelo no lineal en diagrama de bloques del programa
SIMULINK.
El ejemplo siguiente ilustra una forma de obtener las ecuaciones dinámicas de un sistema
lineal.
Ejemplo 2.34
Sea el circuito serie RLC en el cual se aplica la tensión e(t) y se desea obtener la tensión en
el condensador, ec (t). Aplicando la ley de voltajes de Kirchoff se obtiene:
R L
+
+
e(t) i(t) C ec (t)
−
−
Figura 2.31: Circuito RLC.
Z
di(t) 1
e(t) = Ri(t) + L + i(t)dt.
dt C
Esta es una ecuación integro-diferencial, a partir de la cual se pueden escribir las ecuaciones de
estado; definiendo las variables de estado como:
Z
x1 (t) = i(t); x2 (t) = i(t)dt, (2.100)

se obtiene:
dx1 (t) 1
e(t) = Rx1 (t) + L + x2 (t) (2.101)
dt C
dx2 (t)
= i(t) = x1 (t). (2.102)
dt
Organizando las ecuaciones (2.101) y (2.102) en la forma de (2.93) se obtienen las ecuaciones
de estado:
R 1

ẋ1 (t) − L − LC x1 (t) 1/L
= + e(t). (2.103)
ẋ2 (t) 1 0 x2 (t) 0
Se observa que ambas ecuaciones son de primer orden. La ecuación de salida a partir de los
estados es:

x1 (t)
ec (t) = 0 1/C . (2.104)
x2 (t)
Como se mencionó atrás, existe flexibilidad en la elección de las variables de estado; si se

escogen las variables asociadas al almacenamiento de energı́a, la energı́a magnética en la bobina
la define la corriente por ella, mientras que la del condensador su tensión:
Z
1
x1 (t) = i(t); x2 (t) = ec (t) = i(t)dt. (2.105)
C
La tensión en la bobina es:
di(t)
L = −Ri(t) − ec (t) + e(t), (2.106)
dt
la corriente por el condensador es:
dec (t)
C = i(t). (2.107)
dt
Reemplazando las variables de estado (2.105) en (2.106) y (2.107) y despejando para obtener
la forma de (2.93), se obtienen las ecuaciones de estado:
      
ẋ1 (t) −R/L −1/L x1 (t) 1/L
 =  +  e(t). (2.108)
ẋ2 (t) −1/C 0 x2 (t) 0
La nueva ecuación de salida es:

x1 (t)
ec (t) = 0 1 . (2.109)
x2 (t)
Si se comparan (2.103) y (2.104) con (2.108) y (2.109) se observa que las ecuaciones dinámicas
no son las mismas; por el carácter no único de las variables de estado se pueden tener distintas
ecuaciones dinámicas para representar un sistema, sin embargo, cualquiera sea la elección de las
variables de estado, el objetivo con el cual se definen es el de obtener ecuaciones diferenciales
de primer orden. △

2.7.3. Representación de sistemas en el espacio de estado

Las ecuaciones dinámicas se pueden obtener directamente desde el sistema dinámico, utili-
zando variables de estado fı́sicas; también se pueden obtener desde las ecuaciones diferenciales
o las funciones de transferencia, usando técnicas de descomposición [Kuo, 1996]; la figura 2.32
ilustra las relaciones entre estas tres representaciones.
Figura 2.32: Representaciones de sistemas lineales.
2.7.3.1. Ecuaciones dinámicas a partir del sistema

Las ecuaciones dinámicas se obtienen directamente del sistema, seleccionando como variables
de estado aquellas variables de los elementos dinámicos almacenadores de energı́a del sistema,
esto es, las inductancias y condensadores genéricos de la tabla 2.1; con las variables de potencial
o flujo en estos elementos, se calcula la energı́a almacenada en el elemento en cualquier instante
(asignación única). La tabla 2.17 muestra las energı́as y las variables de estado para diversos
elementos fı́sicos.
En general, no hay una única vı́a en la selección de las variables de estado fı́sicas para el
método señalado arriba. Sólo se deben escoger variables fı́sicas independientes. Las variables de
estado independientes son aquellas que no pueden ser expresadas en términos de las restantes
variables de estado seleccionadas.
En algunos sistemas se podrán requerir más de las variables de estado asociadas a los
elementos almacenadores de energı́a, dependiendo de las salidas requeridas, como se ilustra en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.35
La figura muestra el diagrama esquemático de un motor de corriente continua. Hay dos
elementos almacenadores de energı́a, la inductancia La y la inercia del rotor con su momento
de inercia J; a partir de las propiedades de los sistemas dinámicos, presentadas en la sección

Tabla 2.17: Variables de estado fı́sicas.

Elemento Energı́a Variable de estado
Condensador Ce Tensión e
C e e2
2
Bobina Le Corriente i
L e i2
2
Masa M Velocidad lineal ν

M ν2
2
Momento de Inercia J Velocidad rotacional ω

Jω 2
2
Resorte K Desplazamiento x
Kx2
2
Capacitancia térmica Ct Temperatura θ

Ct θ 2
2
Compresibilidad del gas Cg Presión p

C g p2
2
Nivel h
Área de la sección A Ah2
2
2.3.1, se obtienen las siguientes ecuaciones que describen al motor:

dia
ea = R a ia + L a + eg
dt
dθ
eg = Kb = Kb ω
dt
t = KT i a
dω
t = J + F ω. (2.110)
dt

La if = cte
+ Ra
+
ea ia eg
− θm ωm
− t
f
J
Figura 2.33: Esquema del motor de corriente continua.
La entrada es la tensión de armadura ea aplicada al motor; de acuerdo a la tabla 2.17, las

variables de estado son:
x1 = ω; x2 = ia .
Inicialmente se considera como salida la velocidad del motor ω. Sustituyendo los estados en
(2.110):
ea = Ra x2 + La x˙2 + Kb x1
J x˙1 + F x1 = KT x2 .
Reordenando se obtiene:
      
ẋ1 (t) − FJ − KJt x1 (t) 0
 =  +  ea (t) (2.111)
1
ẋ2 (t) −K
La
b
−R
La
a
x2 (t) La
con la ecuación de salida:

x1 (t)
ω(t) = 1 0 . (2.112)
x2 (t)
Si la posición θ es también una salida requerida, debe considerarse otra variable de estado
x3 = θ; con la ecuación diferencial: θ̇ = ω la ecuación de estado es: ẋ3 = x1 , la descripción del
sistema por variables de estado será:
   KT    
ẋ1 (t) − FJ J 0 x1 (t) 0
      
      
 ẋ2 (t)  =  − Kb − Ra 0   x2 (t)  +  1  ea (t) (2.113)
   La La    La 
      
ẋ3 (t) 1 0 0 x3 (t) 0
 
    x1 (t)
ω(t) 1 0 0  
 
  =   x2 (t) . (2.114)
 
θ(t) 0 0 1  
x3 (t)
△

2.7.3.2. Ecuaciones dinámicas a partir de las ecuaciones diferenciales

Un sistema fı́sico también puede ser representado en variables de estado a partir de ecua-
ciones diferenciales o funciones de transferencia; cuando se representa a partir de ecuaciones
diferenciales es de interés obtener las ecuaciones dinámicas para una entrada sin derivadas, con
derivadas y para múltiples entradas con o sin derivadas. Otros casos es mejor tratarlos pasando
las ecuaciones diferenciales a funciones de transferencia y de ahı́ a las ecuaciones dinámicas.
Entrada única sin términos derivativos. Se considera la ecuación diferencial:

dn c(t) dn−1 c(t) dn−2 c(t) dc(t)
+ a1 + a2 + . . . + an−1 + an c(t) = r(t).
dt dt dt dt
Se desea pasar a n ecuaciones de estado y una ecuación de salida, definiendo las n variables
de estado en función de c(t) y sus derivadas; como las variables de estado no son únicas, es
importante asignar las variables de estado de la manera más conveniente, en este caso como:
dc(t) d2 c(t) dn−1 c(t)

x1 (t) = c(t); x2 (t) = ; x3 (t) = ; . . . ; xn (t) = .
dt dt dt
Ası́, las ecuaciones de estado son:
dx1 (t)
dt = x2 (t)
dx2 (t)
dt = x3 (t)
dx3 (t)
dt = x4 (t)
.. ..
. .
dxn−1 (t)
dt = xn (t) .
Despejando la derivada de orden superior de la ecuación diferencial se tiene:

dxn
= − an x1 (t) − an−1 x2 (t) − . . . − a2 xn−1 (t) − a1 xn (t) + r(t).
dt
Si la ecuación de salida es: c(t) = x1 (t), podemos expresar las ecuaciones diferenciales como:
dX(t)
= AX(t) + BR(t)
dt
C(t) =⊂ X(t),
donde:  
0 1 0 0 0 ... 0
 0 0 1 0 0 ... 0 
 
 0 0 0 1 0 ... 0 
 
A= .. .. .. .. .. .. ..
 . . . . . . .
 
 0 0 0 0 0 ... 1 
−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 ... a1 (n
x n)

 
0
 0 
 
B= ..  ⊂= 1 0 ... 0 (1× n)
.
 . 
1 (n× 1)
Esta forma también se conoce como forma canónica de variables de fase o forma canónica
asociada. Esta representación tiene ciertas caracterı́sticas que facilitan el análisis y diseño por
realimentación de estado, como se verá en el capı́tulo 11.
Ejemplo 2.36
Sea la ecuación diferencial:
d3 c(t) d2 c(t) dc(t)
+ 5 + + 2c(t) = r(t);
dt3 dt2 dt
despejando el término de la máxima derivada:
d3 c(t) d2 c(t) dc(t)

= − 5 − − 2c(t) + r(t);
dt3 dt2 dt
definiendo los estados:
dc(t) d2 c(t)
x1 = c(t); x2 = ; x3 = ,
dt dt
se obtiene la ecuación de estado:
      
ẋ1 0 1 0 x1 0
      
      
 ẋ2  =  0 0 1   x2  +  0  r(t) ,
      
      
ẋ3 −2 −1 −5 x3 1
y la ecuación de salida:  
x1
 
 
c(t) = 1 0 0  x2  .
 
 
x3
△
Entrada única con términos derivativos. Se considera la ecuación diferencial (2.49); si

se toman como variables de estado a c(t) y sus n − 1 derivadas, se obtiene:
cn + a1 cn−1 + . . . + an−1 ċ + an c = b0 un + b1 un−1 + . . . + bn−1 u̇ + bn u.
Si se toman como variables de estado a c(t) y sus (n − 1) derivadas, se obtiene:

x˙1 = x2
x˙2 = x3
x˙3 = x4
.. ..
. .
x˙n = −an x1 − an−1 x2 . . . − a1 xn + b0 un + b1 un−1 + . . . + bn−1 u̇ + bn u
c = x1 .
Debido a los términos derivativos de la n-ésima ecuación de estado, no se llega a la forma
normalizada. Tratando de mantener la matriz A de la forma canónica controlable, se define el
siguiente conjunto de variables de estado:
ẋ1 = x 2 + β1 r
ẋ2 = x 3 + β2 r
ẋ3 = x 4 + β3 r
.. ..
. .
ẋn = xn−1 + βn−1 r
c = x1 + β0 r.
Las constantes βi se obtienen reemplazando c(t) en la ecuación diferencial; ası́ Ogata [1998]:
β0 = b0
β1 = b1 − a 1 β 0
β2 = b2 − a 1 β 1 − a 2 β 0
β3 = b2 − a 1 β 2 − a 2 β 1 − a 3 β 0
.. ..
. .
βn = bn − a1 βn−1 − . . . − an−1 β1 − an β0 .
Con esta elección las ecuaciones dinámicas del sistema serán:
Ẋ(t) = AX(t) + Bu(t)
C(t) =⊂ X(t) + Du(t),
donde:
   
x1 0 1 0 0 0 ... 0
 x2   0 0 1 0 0 ... 0 
   
 x3   0 0 0 1 0 ... 0 
   
X= .. ;A =  .. .. .. .. .. .. .. 
 .   . . . . . . . 
   
 xn−1   0 0 0 0 0 ... 1 
xn −an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 ... a1
 
β1
 β2 
 
 β3 
 
B= ..  ; ⊂= 1 0 0 0 ... 0 ; D = β0 = b0 .
 . 
 
 βn−1 
βn

Otra forma de asignar las variables de estado para obtener A en la forma canónica controla-
d
ble es utilizando el operador derivada: p = dt ; la salida c(t) a partir de la ecuación diferencial,
será:
b0 p n b1 pn−1 bn−1 p bn
c(t) = r + r + ... + r + r,
D(p) D(p) D(p) D(p)
donde D(p) = pn + a1 pn−1 + . . . + an−1 p + an . Seleccionando como variables de estado:
r pr pn−2 r pn−1 r
x1 = ; x2 = ; ... xn−1 = ; xn = ,
D(p) D(p) D(p) D(p)
se obtienen las relaciones:

ẋ1 = x2 ẋ2 = x3 ẋ3 = x4 ... ẋn−1 = xn
...
ẍ1 = x3 x 1 = x4 ... x1n−1 = xn .
de
r
x1 =
D(p)
se tiene:
xn1 + a1 x1n−1 + . . . + an−1 ẋ1 + an x1 = r

x˙n + a1 xn + a2 xn−1 + . . . + an−1 x2 + an x1 = r.
Ası́ las ecuaciones de estado serán:
x˙1 = x2
x˙2 = x3
x˙3 = x4 (2.115)
.. ..
. .
x˙n = −a1 xn − a2 xn−1 . . . − an−1 x2 − an x1 + r.
También, a partir de las anteriores relaciones se obtiene la ecuación de salida:
c = (bn − b0 an )x1 + (bn−1 − b0 an−1 )x2 + · · · + (b1 − b0 a1 )xn + b0 , (2.116)
luego las matrices que definen las ecuaciones dinámicas de estado son:
   
0 1 0 0 0 ... 0 0
 0 0 1 0 0 ... 0   0 
   
 0 0 0 1 0 ... 0    0 
  
A= . .. .. .. .. .. ..  B =  ..  D = b0
 .. . . . . . .   . 
   
 0 0 0 0 0 ... 1   0 
−an −an−1 −an−2 −an−3 −an−4 . . . a1 1

⊂= (bn − b0 an ) (bn−1 − b0 an−1 ) (bn−2 − b0 an−2 ) . . . (b1 − b0 a1 ) .

Entradas y salidas múltiples. En el caso de múltiples ecuaciones diferenciales para describir

a un sistema con varias entradas y salidas, se pueden utilizar las técnicas vistas atrás para los
sistemas monovariables, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.37
Se tiene un sistema descrito por las ecuaciones diferenciales:
d2 c 1 dc1
+4 − 3c2 = r1
dt2 dt
dc2 dc1
+ + c1 + 2c2 = r2 .
dt dt
Nótese que la máxima derivada para c1 es dos y para c2 es uno; esto sugiere seleccionar dos
estados para c1 y uno para c2 ; una selección es:
x1 = c1
x2 = ċ1
x3 = c2 .
La representación vectorial-matricialdel sistema, será:
      
ẋ1 0 1 0 x1 0 0
 ẋ2  =  0 r1
−4 3   x2  +  1 0  (2.117)
r2
ẋ3 −1 −1 −2 x3 0 1
 
x1
c1 1 0 0 
= x2  . (2.118)
c2 0 0 1
x3
△
2.7.3.3. Ecuaciones dinámicas a partir de las funciones de transferencia

A partir de la función de transferencia (2.58), se pueden obtener las ecuaciones de estado a
través de distintas maneras; por ejemplo, el método anidado lleva a la forma canónica observable
y el de expansión en fracciones parciales obtiene la forma canónica de Jordan Kuo [1996]; aquı́ se
presenta el método directo, el cual no requiere que la función de transferencia se encuentre
factorizada y lleva a la forma canónica controlable.
A continuación se presenta el método considerando n = m; para m < n, basta ajustar los
correspondientes coeficientes bi = 0. El método inicia dividiendo el numerador y el denominador
por la máxima potencia en s:
C(s) b0 + b1 s−1 + ...bn−1 s−n+1 + bn s−n
= .
R(s) 1 + a1 s−1 + ...an−1 s−n+1 + an s−n
Despejando la salida C(s):
[(b1 − b0 a1 )s−1 + (b2 − b0 a2 )s−2 + ... + (bn − b0 an )s−n ]R(s)
C(s) = b0 R(s) + .
1 + a1 s−1 + ...an−1 s−n+1 + an s−n

Definiendo la variable auxiliar:

R(s)
Y (s) = , (2.119)
1 + a1 s−1 + ...an−1 s−n+1 + an s−n
se obtiene:
C(s) = b0 R + [(b1 − b0 a1 )s−1 + (b2 − b0 a2 )s−2 + ... + (bn − b0 an )s−n ]Y (s). (2.120)
De (2.119):
Y (s) = R − a1 s−1 Y (s) − a2 s−2 Y (s)... − an s−n Y (s); (2.121)
escogiendo como variables de estado a las transformadas inversas de Laplace de:
X1 (s) = s−n Y (s)

−n+1
X2 (s) = s Y (s)
−n+2
X3 (s) = s Y (s)
···
Xn (s) = s−1 Y (s).
y teniendo en cuenta que la derivada de xn se calcula de (2.121), se obtienen las siguientes

ecuaciones de estado:
ẋ1 = x2
ẋ2 = x3
ẋ3 = x4 (2.122)
.. ..
. .
ẋn = r − a1 xn − a2 xn−1 . . . − an−1 x2 − an x1 ,
y de (2.120), la ecuación de salida es:
c = b0 r + (b1 − b0 a1 )xn + (b2 − b0 a2 )xn−1 + ... + (bn − b0 an )x1 . (2.123)
Esta representación es la misma forma canónica controlable dada en (2.115) y (2.116).
Ejemplo 2.38
Se tiene el diagrama de bloques del sistema de control de la figura 2.34. Para obtener la
R(s) 4(s+4) 40 C(s)

+−
s+16 s(s+2)
Figura 2.34: Sistema de control.

representación en variables de estado con la matriz A de la forma canónica controlable, se aplica

el método directo a la función de transferencia del sistema:
C(s) 160(s + 4)
= 3 , (2.124)
R(s) s + 18s2 + 192s + 640
entonces:
C(s) 160s−2 + 640s−3
= ,
R(s) 1 + 18s−1 + 192s−2 + 640s−3
luego:
C(s) = (160s−2 + 640s−3 )Y (s),
con:
R(s)
Y (s) = .
1 + 18s−1 + 192s−2 + 640s−3
De esta última expresión:
Y (s) = R(s) − 18s−1 Y (s) − 192s−2 Y (s) − 640s−3 Y (s).
Definiendo las variables de estado:
X1 (s) = s−3 Y (s)

X2 (s) = s−2 Y (s)
X3 (s) = s−1 Y (s),
se obtienen las ecuaciones de estado:

ẋ1 (t) = x2 (t)
ẋ2 (t) = x3 (t)
ẋ3 (t) = r(t) − 18x3 (t) − 192x2 (t) − 640x1 (t),
y a partir de C(s), se obtiene la ecuación de salida:
c(t) = 160x2 (t) + 640x1 (t).
Las ecuaciones dinámicas en representación matricial son:

      
x˙1 (t) 0 1 0 x1 (t) 0
 x˙2 (t)  =  0 0 1   x2 (t)  +  0  r(t)
x˙3 (t) −640 −192 −18 x3 (t) 1
 
x1 (t)
c(t) = 640 160 0  x2 (t)  .
x3 (t)
△

2.7.3.4. Ecuaciones dinámicas con el MATLAB

La función ‘ss’ crea modelos en el espacio de estado; sus argumentos pueden ser las matrices
de las ecuaciones dinámicas o un modelo en funciones de transferencia.
Ejemplo 2.39
El modelo en espacio de estado dado por (2.117) y (2.118) se crea con:
>> A=[0,1,0;0,-4,3;-1,-1,-2];B=[0,0;1,0;0,1];C=[1,0,0;0,0,1];D=[0];
>> sis1=ss(A,B,C,D,’inputname’,{’r1’ ’r2’},’outputname’, {’c1’ ’c2’})
a=
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 -4 3
x3 -1 -1 -2
b=
r1 r2
x1 0 0
x2 1 0
x3 0 1
c=
x1 x2 x3
c1 1 0 0
c2 0 0 1
d=
r1 r2
c1 0 0
c2 0 0
Las salidas ‘a,b,c’ y ‘d’ son nombres por defecto y no están en el espacio de estado; si no se
especifican nombres a las entradas, estados o salidas, éstos se dan por defecto como ‘xi’ a los
estados, ‘ui’ a las entradas y ‘yi’ a las salidas.
Si el argumento del comando ‘ss’ es una función ‘tf’, se obtiene un modelo en espacio de
estados en la forma canónica controlable. Para la función de transferencia (2.124), se obtiene:
>> num=[160,640]; den=[1,18,192,640];
>> ss(tf(num,den))
a=
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 0 0 1
x3 -640 -192 -18
b=
u1

2.8. MATRICES DE TRANSFERENCIA
x1 0
x2 0
x3 1
c=
x1 x2 x3
y1 640 160 0
d=
u1
y1 0
De forma similar a los sistemas en funciones de transferencia, se pueden interconectar distin-

tos sistemas en espacio de estados, bien sea en cascada, paralelo o en realimentación. Igualmente
se pueden crear sistemas inciertos en variables de estado y adicionar tiempos muertos a la en-
trada, salida y adicionalmente, internos de los estados MathWorks [2013].
2.8. Matrices de transferencia

Las ecuaciones dinámicas para varias entradas y salidas:
d
X(t) = AX(t) + BR(t),
dt
C(t) =⊂ X(t) + DR(t),
Son ecuaciones diferenciales y como tal se les puede aplicar la transformada de Laplace; apli-
cando la transformada de Laplace a la ecuación de estado, se obtiene:
sX(s) − X(0) = AX(s) + BR(s),
entonces:
X(s) = (sI − A)−1 X(0) + (sI − A)−1 BR(s). (2.125)
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación de salida y reemplazando X(s), se tiene:
C(s) =⊂ (sI − A)−1 X(0)+ ⊂ (sI − A)−1 BR(s) + DR(s).
Los vectores de estado y de salida son: £−1 {X(s)} y £−1 {C(s)}. La solución en el tiempo
de las ecuaciones dinámicas se verá en detalle en el capı́tulo 5.
Si en la ecuación (2.125) se hacen nulas las condiciones iniciales X(0) = 0, se define la matriz
de transferencia G(s):
C(s)
G(s) = =⊂ (sI − A)−1 B + D; (2.126)
R(s)

2.8. MATRICES DE TRANSFERENCIA
G(s) es una matriz de funciones de transferencias de dimensión (qxp):

    
C1 G11 G12 . . . G1p R1
 C2   G21 G22 . . . G2p   R2 
    
 ..  =  .. .. ..   ..  .
 .   . . .  . 
Cq Gq1 Gq2 . . . Gqp Rp
El elemento Gij (s) relacionará la entrada j-ésima con la salida i-ésima.
Ejemplo 2.40
Para obtener la matriz de funciones de transferencia para el sistema del ejemplo 2.37, el
cálculo de (sI − A) es:  
s −1 0
(sI − A) =  0 s + 4 −3  .
1 1 s+2
El determinante de (sI − A) es:
|sI − A| = s3 + 6s2 + 11s + 3,

 2 
s + 6s + 11 s+2 3
1  .
(sI − A)−1 = −3 s(s + 2) 3s
|sI − A|
−(s + 4) −(s + 1) s(s + 4)
Usando (2.126):
  
s2 + 6s + 11 s+2 3 0 0
1 0 0 1   1 0 ,
G(s) = −3 s(s + 2) 3s
0 0 1 |sI − A|
−(s + 4) −(s + 1) s(s + 4) 0 1
luego:
1 s+2 3
G(s) = 3 .
2
s + 6s + 11s + 3 −(s + 1) s(s + 4)
△
Esta matriz de funciones de transferencia se obtiene desde la representación de espacio de

estado con el comando ‘tf’ del MATLAB; para el modelo ‘sis1’ creado en el ejemplo 2.39:
>> G=tf(sis1)
Transfer function from input "r1" to output...

s + 2
c1: ----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 3
-s - 1
c2: ----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 3

2.9. IDENTIFICACIÓN DE MODELOS
Transfer function from input "r2" to output...

3
c1: ----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 3
s^2 + 4 s
c2: ----------------------
s^3 + 6 s^2 + 11 s + 3
2.9. Identificación de modelos

En las secciones precedentes se obtuvieron modelos analı́ticos del sistema a controlar; estos
modelos están caracterizados por parámetros, como los coeficientes ai y bi en la ecuación dife-
rencial (2.49) presentes también en la función de transferencia (2.58) y en la representación de
estado (2.122) y (2.123); existen diversas formas de calcular los parámetros de un modelo; para
la lúdica 2.1 se comentó en la sección 2.2 cómo obtener el coeficiente k con un experimento;
nótese sin embargo que la capacitancia es el área de la sección del vaso y se puede medir fácil-
mente sin necesidad de un experimento. Muchos parámetros se pueden obtener directamente a
partir de la fı́sica del proceso, pero no siempre se puede lograr esto para todos los parámetros;
otros se pueden obtener a partir de datos obtenidos de la operación normal del sistema, en
particular aquellos que relacionan variables medidas en régimen estacionario, como la ganancia
estática de una función de transferencia entre la señal de control y la salida.
Para obtener los parámetros asociados a la respuesta transitoria del sistema, normalmente
se requiere realizar un experimento; para sistemas de bajo orden, la respuesta a un escalón de
entrada, puede servir para obtener los parámetros del modelo, esto se analizará en el capı́tulo 5
del análisis temporal de los sistemas de control. Sin embargo, las variables medidas tienen ruido,
lo que genera error en los cálculos de los parámetros. Los métodos de identificación paramétrica
permitan identificar los modelos analı́ticos teniendo en cuenta el ruido de la medición; en estos
métodos se usan señales más ricas que el escalón para excitar las dinámicas del sistema; también
usan la optimización, para obtener el mejor conjunto de parámetros que minimizan una función
de costo del error entre la respuestas del modelo y las experimentales, con ello generan ı́ndices
que permiten evaluar el grado de precisión del modelo; igualmente, estos métodos permiten
validar los modelos identificados, usando un juego de datos diferente de los usados para el
cálculo de los parámetros.
Los experimentos de los métodos de identificación toman los datos de manera discreta y es
por ello que la mayor cantidad de herramientas se han desarrollado para los sistemas discretos;
el capı́tulo siguiente estudiará el modelado de los sistemas discretos y en el se presentará una
breve introducción a la identificación paramétrica de estos sistemas; por supuesto que si la rata
de muestreo es suficientemente alta, el modelo discreto se puede aproximar al continuo.
La aplicación de los métodos de identificación a un modelo con estructura conocida, se
conoce como un enfoque de modelado de caja gris; pero no siempre se conocen las estructuras
de un modelo, como sucede por ejemplo, en sistemas fisiológicos complejos; los métodos de
identificación se pueden aplicar igualmente a estos sistemas, en cuyo caso el enfoque se denomina
de caja negra.

2.10. REDUCCIÓN DE MODELOS
Existe una relación directa entre la función de transferencia de un sistema lineal y las
respuestas del sistema en estado estable a sinusoides de entrada de diferentes frecuencias, esta
respuesta se conoce como la respuesta frecuencial; se puede por lo tanto realizar la identificación
del sistema en el dominio de la frecuencia; este aspecto será analizado en el capı́tulo 9.
Existe por lo tanto un amplio abanico de recursos para la parametrización de un modelo
a escoger dependiendo de las condiciones del proceso, como la posibilidad o no de realizar
experimentos, la información técnica disponible del sistema (datos de diseño, caracterı́sticas de
los materiales, etc.) y los recursos tecnológicos y humanos disponibles para este propósito; en la
práctica, es a menudo muy útil utilizar una combinación de métodos analı́ticos y experimentales.
2.10. Reducción de modelos

Como se mencionó atrás, para el análisis y diseño de los sistemas de control los modelos
solo deben considerar las principales dinámicas del proceso; los métodos de modelado analı́tico
o experimental no siempre llevan a un modelo simple, por lo que se requiere poder simplificarlo,
preservando las dinámicas más importantes; por otro lado, algunas técnicas modernas de diseño
de controladores como la H∞ o la LQG, no imponen restricciones en el grado de complejidad
del controlador, por lo que el orden del controlador obtenido es mayor al realmente requerido. Si
se utiliza un algoritmo adecuado para la reducción del modelo, se puede obtener un controlador
más simple con cambios muy pequeños en el desempeño del sistema de control.
2.10.1. Modelo de red abierta

La dinámica de red abierta es la dinámica del actuador, proceso y medida en la bucla de
realimentación tı́pica; particularmente en el control de procesos, es usual tenerla con polos y
ceros reales y el tiempo muerto, teniendo la forma general:
ke−Tm s (1 + τz1 s)(1 + τz2 s) . . .
G(s) = (2.127)
(1 + τp1 s)(1 + τp2 s)(1 + τp3 s) . . .
La simplificación de la dinámica de red abierta facilita el análisis del sistema realimentado
y el diseño posterior del controlador. En el capı́tulo 5 de análisis temporal se presentarán
algunos criterios de simplificación de modelos (red abierta y sistema controlado) a partir de
esta respuesta, ver la sección 5.5.6; una primera simplificación para el modelo de red abierta
es cancelar los polos y ceros muy cercanos: τzi ≈ τpi ; el siguiente ejemplo ilustra el uso del
MATLAB para este propósito.
Ejemplo 2.41
Se considera el sistema:
>> Gfull=zpk(-2,[-2.05,-10,-.5+sqrt(3/4)*j,-.5-sqrt(3/4)*j],10)
Zero/pole/gain:
10 (s+2)
------------------------------
(s+2.05) (s+10) (s^2 + s + 1)
Se observa que el polo se puede cancelar con el cero, esto lo realiza el comando ‘minreal(G,tol)’,
donde tol es la tolerancia para la cancelación (si no se especifica, es sqrt(eps) por defecto):

>> Gmin=zpk(minreal(Gfull,.1))%
Zero/pole/gain:
10
---------------------
(s+10) (s^2 + s + 1)
El modelo de red abierta de interés está asociado a la velocidad de respuesta de la dinámica

dominante a imponer a la red cerrada: τd ; las constantes de los polos τpi o ceros τzi en órdenes
de τd se retienen; los polos muy rápidos o muy lentos con relación a esta dinámica se pueden
simplificar. Polos o ceros muy lentos: τpi , τzi ≫ τd , se aproximan a: (τpi s)−1 (integración)
o: (τzi s) (derivación). Si son muy rápidos: τpi , τzi ≪ τd , se desprecian: τpi = τzi = 0 o se
acumulan en una constante
P de tiempo equivalente, igual a la suma de los polos menos los ceros
despreciados: τe = (τpi − τzi ), en donde una constante τe positiva corresponde a un polo y
una negativa a un cero K.J.Aström and T.Hagglund [1995].
Si hay tiempo muerto pequeño: Tm ≪ τe , la expansión de eTm s en series es:
(Tm s)2
eT m S = 1 + T m s + + ...,
2
luego e−Tm s ≈ 1/(Tm s + 1) y la constante del tiempo muerto se puede incluir en la constante
de tiempo equivalente: X
τe = T m + (τpi − τzi ).
La aproximación es válida si el controlador se diseña de modo que τe < τd ; normalmente esto
se da si se usa la acción integral. No se deben incluir en la equivalencia, constantes importantes
cuyo valor sea mayor que la suma de las demás; por ejemplo si se tiene un sistema con tiempo
muerto y constantes: τp1 > Tm + τp2 + τp3 + . . ., entonces la aproximación de la dinámica de
red abierta es:
k
G(s) ∼= ,
(1 + τp1 s)(1 + τe s)
con: τe = Tm + τp2 + τp3 + . . .; el mismo criterio aplica si hay dos o más constantes importantes;
de esta forma se llegará a sistemas reducidos de menor orden.
En la constante de tiempo equivalente también se pueden incluir polos del controlador,
como los rápidos del filtrado de la acción derivativa Td′ (ver sección 6.3.4). Por ser τe una
representación de una dinámica equivalente, no aplica para una cancelación polo cero.
Ejemplo 2.42
Sea la función de transferencia de red abierta:
ke−Tm s (1 + τz1 s)(1 + τz2 s)
G(s) =
(1 + τp1 s)(1 + τp2 s)(1 + τp3 s)(1 + τp4 s)
Si: τe = Tm + τp1 + τp2 + τp3 + τp4 − τz1 − τz2 > 0, el sistema se puede simplificar al sistema de
primer orden:
k
G(s) ∼=
(1 + τe s)

Si τp1 > τp2 > τp3 > τp4 ; τp3 es mayor que Tm , τz1 y τz2 y se desea obtener un modelo
reducido válido para una dinámica de red cerrada en el rango: τp2 ≤ τd ≤ τp3 ; las constantes
τp2 y τp3 se retienen; como τp1 es más lenta que las demás, se aproxima a un integrador; las
demás constantes son menores que τp3 , por lo que se aproximan a: τe = Tm + τ4 − τz1 − τz2 . Si
τe > 0, el sistema se aproxima a:
k
G(s) =
τp1 s(1 + τp2 s)(1 + τp3 s)(1 + τe s)
Si τe < 0, el sistema se aproxima a:
k(τe s + 1)
G(s) =
τp1 s(1 + τp2 s)(1 + τp3 s)
2.10.2. Reducción con los valores singulares de Hankel

Los valores singulares de Hankel Werner [2009], definen la ‘energı́a’ de cada estado en el
sistema; retener los estados con alta energı́a permite que el sistema preserve las caracterı́sticas
dinámicas más importantes; esto permite simplificar sistemáticamente, modelos de cualquier
tipo.
En el MATLAB el comando ‘balreal(Gmin)’, convierte la función de transferencia ‘Gmin’,
en una representación de estado y calcula los valores singulares de Hankel:
>> [Gbal,g] = balreal(Gmin)

a =
x1 x2 x3
x1 -0.2455 0.8903 0.209
x2 -0.8903 -0.7257 -0.5771
x3 0.209 0.5771 -10.03
b =
u1
x1 -0.6374
x2 -0.6932
x3 0.2726
c =
x1 x2 x3
y1 -0.6374 0.6932 0.2726
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
g =
0.8274
0.3311
0.0037

2.11. SIMULACIÓN
Se observa que el tercer valor singular de Hankel es muy pequeño, lo que indica que el tercer
estado se puede eliminar, esto lo realiza el comando ‘modred(G,estado)’:
>> Gred=tf(modred(Gbal,3))
Transfer function:
0.007407 s^2 - 0.09608 s + 0.9971
---------------------------------
s^2 + s + 0.9971
Los coeficientes en s y s2 del numerador son pequeños y se pueden despreciar, lo que lleva a la
función de transferencia simplificada 1/(s2 + s + 1).
Cabe anotar que para cancelaciones polo-cero no exactas con una tolerancia más grande, la
función ‘minreal(G,tol)’ no preserva la ganancia estacionaria y puede ser necesario reajustarla;
el comando ‘modred(G,estado)’ si preserva la ganancia de estado estable del sistema.
Para modelos con incertidumbre, el MATLAB tiene diversas funciones para reducir los
modelos, en donde adicionalmente se pueden analizar o especificar los máximos errores absolutos
(2.70) o relativos (2.71) entre el modelo completo y el reducido, ver el capı́tulo de control robusto
en MathWorks [2013].
2.11. Simulación
Para el diseño de los sistemas de control se utilizan modelos reducidos linealizados con
aproximaciones a las señales de disturbio, por lo que es usual validar el diseño en simulación
digital incluyendo alinealidades, dinámicas de más alto orden, efectos de disturbios y ruidos,
etc. Para ello existen numerosos programas de simulación digital, aquı́ se presenta brevemente
cómo simular digitalmente un modelo en el programa SIMULINK basado en el MATLAB.
Hay diversas formas para definir un modelo en el SIMULINK; se pueden dar las ecuaciones
diferenciales que describen al sistema en un archivo de extensión ‘.m’ o realizarlo gráficamente
interconectando bloques predefinidos. Enmascarando partes del modelo se pueden crear jerar-
quı́as con subsistemas.
El programa se inicia escribiendo ‘simulink’ desde la ventana de comandos del MATLAB;
aparece una ventana con las librerı́as de bloques en donde se encuentran herramientas para
diversos tipos de modelos: continuos, discretos, lógicos, matemáticas, fuentes y salidas (sinks),
entre otras. En esta ventana la opción F ile > N ew > M odel abre una nueva ventana titulada
‘untitled’ a la cual se pueden llevar los bloques desde las librerı́as, esto se hace arrastrando el
bloque seleccionado con el clic izquierdo presionado; por ejemplo desde la librerı́a Continuous
el bloque Transfer Fcn; con un doble clic en este bloque se pueden cambiar sus parámetros,
el denominador ajustado a [1 1 1] permite simular el modelo reducido de la sección anterior;
igualmente desde la librerı́a Sources se lleva a la ventana ‘untitled’ el bloque Step y desde Sinks
el bloque Scope. Con el clic izquierdo presionado se interconectan los bloques, obteniéndose
el diagrama de la figura. En la ventana ‘untitled’, desde la opción Simulation > Start se
inicia la simulación y con la opción Simulation > Conf igurationP arameters, en una ventana
emergente se definen la duración y los parámetros del método numérico de integración. El
resultado se observa en la ventana emergente obtenida con un doble clic en el bloque Scope.
Cualquier variable definida en el espacio de trabajo del MATLAB se pude utilizar como
parámetro en los bloques; igualmente los resultados de la simulación se pueden utilizar en el

2.12. RESUMEN
Figura 2.35: Diagrama de bloques en el SIMULINK (C)MathWorks.
espacio de trabajo usando el bloque To Workspace de la librerı́a Sinks. Los modelos creados se
salvan para posterior uso con la opción F ile > Save de la ventana ‘untitled’.
2.12. Resumen
En el modelado analı́tico se plantean las leyes fı́sicas que describen las dinámicas de los
sistemas; para sistemas de fluidos, eléctricos, mecánicos, de gases, térmicos y quı́micos, estas
leyes se plantean para las propiedades generales de resistencia, capacitancia e inductancia.
Además se consideran los tiempos muertos pues impactan fuertemente el desempeño de los
sistemas de control.
Los modelos se pueden escalar para usar variables adimensionales con lo que se reduce el
número de parámetros del modelo y se simplifica su análisis y simulación.
La descripción obtenida son ecuaciones diferenciales continuas. Si son lineales, su solución
se facilita mediante la transformada de Laplace la cual las convierte en ecuaciones algebraicas.
La función de transferencia es la relación entre las transformadas de la entrada y la salida del
sistema sin condiciones iniciales, ella describe las propiedades de entrada salida de los sistemas
lineales en forma algebraica de la variable compleja s.
Los múltiples componentes de un sistema de control se pueden representar cada uno me-
diante funciones de transferencia interconectados en un diagrama de bloques. El diagrama se
simplifica a la forma canónica usando relaciones algebraicas entre las variable.
Si las ecuaciones diferenciales tienen alinealidades diferenciables, se pueden linealizar en una
vecindad mediante el primer término de la expansión de las funciones no lineales en series de
Taylor.
Con la representación de estado, las ecuaciones diferenciales se representan mediante múlti-
ples ecuaciones de primer orden; es una representación en el dominio del tiempo, con vectores de
variables y matrices de parámetros. Ambas representaciones son equivalentes, pero con ventajas
especı́ficas en el análisis y diseño de los sistemas de control.
Los sistemas dinámicos pueden cambiar sus caracterı́sticas con el tiempo y pueden tener
órdenes muy altos; las incertidumbres paramétricas y dinámicas no modeladas se consideran
en el modelado para poder analizar y diseñar sistemas de control robustos; los errores de mo-
delado se pueden describir mediante cantidades aditivas, multiplicativas y/o cotas máximas; la
incertidumbre en general se incrementa con la frecuencia.
Dado que para el análisis y diseño de los sistemas de control se utilizan modelos que recogen
las dinámicas más importantes, los modelos se pueden reducir cancelando polos y ceros cercanos,
despreciando los rápidos y lentos o eliminando los estados con poca energı́a. Los efectos de las

dinámicas despreciadas, alinealidades y otras señales externas se analizan mediante simulación

digital.

Los gráficos de flujo de señal son un procedimiento alterno para hallar las relaciones entre
variables de un sistema. Su ventaja frente al álgebra de bloques consiste en que existe la fórmula
de ganancia de Mason con la cual se pueden encontrar estas relaciones sin necesidad de reducir
el gráfico, lo que los hace recomendables para el cálculo de las funciones de transferencia cuando
se tengan sistemas complejos.
Para la obtención de otras formas canónicas a partir de la descomposición de las funciones
de transferencia, ver las secciones 5-8 y 5-9 de Kuo [1996].
Sobre el modelado de sistemas fisiológicos, ver el capı́tulo 7 de Khoo [2000].
Se sugiere estudiar los tutoriales para el SIMULINK y las cajas de herramientas de control
y de control robusto del MATLAB.
Una introducción a la teorı́a para la reducción de modelos se encuentra en el capı́tulo 8 de
Werner [2009].

Ejercicio 2.1
Para este ejercicio se considera el plano y el cilindro. Apoye un extremo del plano sobre una
superficie plana y suelte el cilindro desde el extremo opuesto, para diferentes ángulos entre el
plano y la superficie. A partir de las respuestas observadas y el análisis del sistema, proponga
una función de transferencia para un modelo de pequeña señal entre el ángulo de apoyo y la
posición del cilindro.
Ejercicio 2.2
Ate un extremo de un nylon elástico de un metro a una masa de 150 gr y el otro extremo a
un apoyo fijo; levante la masa sin que el nylon deje de halar, suéltela y observe la evolución de
la misma. A partir de la respuesta observada y el análisis del sistema, plantee la estructura de
un modelo que describa a este sistema.
Ejercicio 2.3
Ate un extremo de un nylon inelástico de un metro a una masa de 150 gr, el otro extremo
a un apoyo fijo, cerca de la pared, para restringir los desplazamientos a un plano; desplace la
masa, suéltela y observe la evolución de la misma. Plantee el modelo linealizado que describa
la dinámica para el ángulo del péndulo.

Ejercicio 2.4
Obtenga las ecuaciones diferenciales no lineales que describen las relaciones entre el caudal
de entrada q1 y los niveles h1 y h2 , para los tanques en cascada de la figura 2.36.

Figura 2.36: Tanques en cascada.
Ejercicio 2.5
Linealice las ecuaciones obtenidas en el ejercicio 2.4 y obtenga las funciones de transferencia.
Ejercicio 2.6
La figura 2.37 muestra un diagrama esquemático de un accionamiento para un ascensor.
En este sistema, la parte inferior del cable, compensa su peso; Ma es la masa de la cabina
más los pasajeros, Mcp la masa del contrapeso, Jm el momento de inercia del motor, J1 y J2 los
momentos de inercia de los engranajes y J3 la inercia de la rueda que mueve el cable. Considere
que el frotamiento en el sistema y la elasticidad del cable son despreciables. Obtenga la ecuación
diferencial que describe la dinámica mecánica del sistema.
Ejercicio 2.7
La administración de medicamentos es un problema de control; la receta: ‘tome una pastilla
cada 6 horas’, es una solución de lazo abierto basada en la edad y peso del paciente.
Para diseñar sistemas de control automáticos, se puede utilizar un modelo de un com-
partimento al cual se administra el medicamento, y en el que éste se remueve con una rata
proporcional a su concentración. Con c la concentración del medicamento, V el volumen y q el

Figura 2.37: Diagrama esquemático de un ascensor.
flujo de salida, plantee la ecuación diferencial que describe la concentración del medicamento,
luego de ser inyectado.
Ejercicio 2.8
La figura 2.38 muestra a un intercambiador de calor en un recipiente térmicamente bien
aislado. El lı́quido entra frı́o con flujo ca a temperatura θi y sale caliente a la temperatura
Figura 2.38: Intercambiador de calor.
medida θm la cual tiene un retardo de tiempo muerto T con relación a la temperatura del

lı́quido a la salida θo ; qi1 y qi2 son los flujos de entrada de calor del lı́quido y del calentador
respectivamente; qo el flujo de calor de salida. En este sistema con flujo de calor por conducción,
la resistencia térmica es R = 1/cca . Se desea conocer la relación entre θi y qi2 y la temperatura
medida θm . Obtenga las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema y las
funciones de transferencia de interés para el mismo.
Ejercicio 2.9
Obtenga la función de transferencia para el sistema del ejemplo 2.6.
Ejercicio 2.10
Hallar la salida para el diagrama de bloques de la figura 2.39.
Figura 2.39: Diagrama de bloques, Ejercicio 2.10.
Ejercicio 2.11
Reducir el diagrama de bloques de la figura 2.40 a la forma canónica.
Figura 2.40: Diagrama de bloques, Ejercicio 2.11.

Ejercicio 2.12
Obtenga el modelo normalizado del motor de corriente continua del ejemplo 2.35 y trace el
diagrama de bloques que represente al motor, considerando como salidas la posición, la velocidad
y la corriente de armadura.
Ejercicio 2.13
Para el ejercicio 1.13, las ruedas tienen un radio r, el Encoder se rige por la relación: v = Ke va
y la dinámica del motor y el automóvil la define:
dω
τ + ω + t l = Ka v 1 ,
dt
donde Ka es la ganancia de la válvula, tl es el par referido al eje del motor debido a la inclinación
de la vı́a. Obtenga un diagrama de bloques que describa al sistema, utilizando funciones de
transferencia para representar los distintos componentes y ecuaciones.
Ejercicio 2.14
Se consideran los accionamientos para mover una alta carga inercial J, de fricción despre-
ciable, ver la figura 1.44. Para el Motor 1 con el bloque control y el accionador1, se tiene una
estrategia de control, descrita mediante las ecuaciones:
Z
Va1 = Kpω (ωref − ωb ) + Kiω (ωref − ωb )dt; Ea1 = K1 Va1 ; ωb = Kb ω.
El motor 1 es de corriente continua con resistencia de armadura Ra , inductancia de armadura

La , constante de fuerza contraelectromotriz Kg y constante del par motor Kt . El par t1 es Kt1
veces el par motor generado por el motor 1.
Para el Motor 2, bloque control y el accionador2 obtiene el par motor t2 , mediante las
ecuaciones:
dt2
τ = −t2 + Ea2 ; Ea2 = K2 ωref .
dt
La fricción y las inercias propias de los motores son despreciables. Obtenga un diagrama de blo-
ques que describa al sistema, utilizando funciones de transferencia para representar los distintos
componentes y ecuaciones.
Ejercicio 2.15
El diagrama de bloques para los accionamientos del ejercicio 2.14 tiene la estructura mos-
trada en la figura 2.41. Calcule la función de transferencia C(s)/R(s).
Ejercicio 2.16
Para el sistema de control de la figura 2.41, se desea analizar el comportamiento de la señal
de control interna B; calcule la función de transferencia B(s)/R(s).
Ejercicio 2.17
La figura 2.42 muestra el diagrama de instrumentación de un sistema de calentamiento. En
el tanque 2, TT3 genera una señal eléctrica b3 proporcional a la temperatura del agua en el
tanque θ con factor K1 ; el controlador C3 implementa la ley de control:
Z
Kp t
a3(t) = Kp (R3 (t) − b3 (t)) + (R3 − b3 )dτ.
Ti 0

Figura 2.41: Diagrama de bloques para los accionamientos del Ejercicio 2.14.
Figura 2.42: Sistema de calentamiento.
La caja eléctrica genera una tensión V3 que obedece a la relación: K2 V 3 = a3. La bobina se
modela con inductancia L y resistencia interna R. La transferencia de calor en el tanque 2

obedece a la ecuación diferencial:

dθ
τ = K3 i(t) − Ka qa − θ.
dt
Obtenga un diagrama de bloques que represente el sistema de control de temperatura en el
tanque 2, utilizando funciones de transferencia para representar los distintos componentes y
ecuaciones.
Ejercicio 2.18
En los sistemas mecánicos flexibles existen modos resonantes que no se modelan; se considera
el modelo de un sistema mecánico M (s) cuya ganancia en alta frecuencia tiende a cero, con un
modo resonante adicional no modelado:
ωn2
G(s) = M (s), 0 < ρ < 1.
s2 + 2ρωn s + ωn2
Para este sistema, calcule las funciones de error Ge (s) y G∆ (s) y analice su comportamiento en
baja y alta frecuencia.
Ejercicio 2.19
Para los tanques en cascada del ejercicio 2.4, obtenga el modelo no lineal y linealizado en el
espacio de estados.
Ejercicio 2.20
Obtenga el modelo linealizado en espacio de estados y las funciones de transferencia para el
sistema de glucosa-insulina, representado por las ecuaciones diferenciales (2.40).
Ejercicio 2.21
El siguiente juego de ecuaciones diferenciales, representa la dinámica de un sistema multi-
variable:
ċ1 − 2c2 + c1 = 0
c̈2 + 3ċ2 + 8c2 + 3c1 = u̇1 + 3u1 + 3u2 .
Obtenga un modelo en espacio de estados y la matriz de transferencia del sistema.
Ejercicio 2.22
El siguiente juego de ecuaciones diferenciales representa a un sistema dinámico:
ċ1 + c1 + c2 = u1
ċ2 + c2 − c1 = u2 .
Defina un conjunto adecuado de variables de estado y obtenga las ecuaciones dinámicas y la
matriz de transferencia del sistema.
Ejercicio 2.23
A partir de los diagramas de bloques obtenidos para los ejercicios 2.13, 2.14 y 2.17, plantee
las ecuaciones dinámicas correspondientes en el espacio de estados.

Ejercicio 2.24
Obtenga modelos reducidos para las siguientes funciones de transferencia de red abierta:
(2s + 1)(s + 1)
G1 (s) = , τd = 1s
(2.02s + 1)(6s + 1)
(s + 1)(3s + 1)e−0.5s
G2 (s) = , 5 ≤ τd ≤ 15
(20s + 1)(10s + 1)(5s + 1)2 (2s + 1)
Ejercicio 2.25
Obtenga modelos reducidos para las siguientes funciones de transferencia:
s+2
G1 (s) = ,
s2 + 3.05s + 2.05
8(s + 5)
G2 (s) = ,
(s2 + 10s + 100)(s + 0.8)(s + 0.5)
150s + 72
G3 (s) = .
s + 15.9s + 167.1s3 + 238.1s2 + 223.2s + 72
5 4
Ejercicio 2.26
Se considera un cilindro en un plano inclinado; sean k1 , k2 y k3 parámetros ajustables; si
se considera que la fuerza aplicada al cilindro es proporcional al ángulo del plano y que existe
fricción entre el cilindro y el plano, la función de transferencia adecuada para modelar la planta
a controlar de este sistema es:
A. k1 /(s2 + k2 ).
B. k1 /(s2 + k2 s + k3 ).
C. k1 /(s2 + k2 s).
D. k1 /s2 .
Ejercicio 2.27
Si para el ejercico 2.25 se desprecia la fricción entre el rodillo y el plano, la matriz del sistema
para variables de estado de fase es:

0 1
A. .
0 −k2

0 1
B. .
−k2 0

0 1
C.
−k3 −k2

0 1
D. .
0 0


1. Para el problema de control, plantee un modelo analı́tico para el control del sistema
(planta, medida y actuador) basado en ecuaciones en el espacio de estado de tiempo
continuo. Tenga en cuenta el modelo del disturbio principal del sistema y el ruido. Analice
las posibles alinealidades en el sistema: del estado con relación al punto de operación, de los
actuadores y sensores, en particular con relación a zonas muertas, histéresis o saturación
por excursión de gran señal.
2. Linealice el modelo, si es del caso.
3. Obtenga el modelo nominal linealizado reducido para un punto o condición de operación

dada del sistema, en representación entrada salida, entre la señal de salida C(s) y la señal
de control A(s); incluya en el modelo al disturbio principal en el proceso D(s).
4. Modele en representación entrada-salida, las incertidumbres estructuradas y/o no estructu-

radas del sistema.
5. Obtenga los parámetros del modelo bien sea a partir de datos tı́picos, desde casos de
estudio, o experimentalmente a partir de las respuestas a entradas tı́picas de prueba
(escalón, rampa, sinusoide) o usando técnicas de identificación, ver capı́tulo siguiente.
6. Valide el modelo obtenido, bien sea por comparación entre la respuesta al escalón expe-
rimental y la respuesta de la simulación digital del modelo, o con las herramientas de las
técnicas de identificación, ver capı́tulo siguiente. Explique posibles diferencias.

Capı́tulo 3
Modelado de sistemas de control

digitales
3.1. Introducción
La aplicación de control por computadora ha hecho posible el movimiento inteligente de
robots industriales, la optimización de economı́a de combustible en los automóviles, la gestión
de datos en el Internet y en general ha permitido la alta penetración de los sistemas de control
en la sociedad actual. La capacidad en la toma de decisiones y la flexibilidad en los programas
de control son las mayores ventajas de los sistemas de control digital. Los controladores digita-
les se utilizan para alcanzar el desempeño óptimo como la productividad máxima, el beneficio
máximo, costo mı́nimo o la utilización de mı́nima de energı́a. Como se estudió en la prime-
ra unidad, un sistema de control digital, aparte de la planta análoga, incluye los conversores
analógico a digital, digital a analógico y el procesador en sı́ mismo. Para cada uno de estos
elementos se requiere una representación matemática. La planta análoga se representa por su
función de transferencia o su representación de estado. El conversor A/D mediante una repre-
sentación matemática del muestreo; el conversor D/A mediante su función de transferencia.
Para el modelado del procesador digital, a usar en las buclas tı́picas de control digital o dis-
creta, se utilizará la transformada Z, con la cual las soluciones a las ecuaciones en diferencias
se convierten en un problema de naturaleza algebraica similar a la transformada de Laplace.
En esta unidad se presentará el modelado de los sistemas discretos y digitales tanto para la
representación entrada- salida como de estado.
3.2. Modelado de sistemas discretos

Lúdica 3.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 25 minutos y requiere de un plano inclinado,
un cilindro de radio menor a 1cm y peso mayor a 100g (un marcador para tablero) y una regla.
1. Tome el plano inclinado entre sus manos, en posición inicial horizontal y lleve el cilin-
137
3.3. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL Y LOS CONVERSORES
dro desde un extremo hasta el centro. Luego repita lo anterior, cerrando y abriendo los
ojos rı́tmicamente. Tome nota del desempeño logrado en el posicionamiento del cilindro
para ambos casos, esto es, que tan rápido se logra el posicionamiento y con cuánta preci-
sión. ¿Qué puede concluir acerca del desempeño del sistema de control con respecto a la
frecuencia de la visual?
2. Ahora se busca que el cilindro rodando por el piso limpio, alcance una distancia dada
marcada de antemano aproximadamente a 3m del punto de lanzamiento; se acepta un
error (diferencia entre la distancia deseada y la alcanzada por el cilindro) de ±3cm. El
cilindro se lanza, soltándolo sobre el plano inclinado, apoyado al piso en un extremo y con
el extremo libre ajustado a una altura dada. Lance el cilindro repetidas veces para distintas
inclinaciones del plano; trate de establecer una relación entre la altura del extremo del
plano y la distancia alcanzada por el cilindro.
3. Calcule la nueva altura del plano como la altura anterior más un veinteavo del error.
Repita el experimento hasta diez veces o hasta alcanzar la banda admisible del error.
Tabule los datos en una tabla y grafı́quelos. ¿Qué puede concluir sobre la forma de la
evolución del error?
4. Plantee una ecuación que describa al sistema de control del paso 3. ¿Cuáles son sus
parámetros?
La primera actividad de la lúdica anterior pone de manifiesto la importancia de considerar

en el modelado, análisis y desempeño de los sistemas de control, la velocidad con que se miden
y actualizan las señales de realimentación y de control. En el capı́tulo 1 se presentaron varios
ejemplos de sistemas de control digitales y discretos, que implementan la estrategia de control
realimentado, utilizando conversores de señal y procesadores digitales que resuelven algoritmos
discretos; en el paso 3 de la lúdica anterior, se establece un algoritmo discreto de control que
calcula la altura del extremo libre del plano (la señal de control), a partir del error. Los datos
del error y la altura del plano, se observan para cada experimento en forma discreta.
3.3. Modelado del procesador digital y los conversores

Como se presentó en el estudio de las buclas tı́picas de control digital y discreta, el procesador
digital es un sistema discreto que recibe, procesa y entrega señales digitales; en el procesamiento
calcula el error y el algoritmo de control, para generar la señal digital de control a(Kt). Las
señales digitales se pueden representar matemáticamente mediante secuencias.
3.3.1. Secuencias
En los pasos 2 y 3 de la lúdica 3.1 se toman los valores para cada ensayo k, de la altura
del extremo del plano a(k) y del error e(k). En general para un procesador digital o un sistema
discreto que realizan los cálculos periódicamente, interesa conocer el valor de la señal digital en
instantes infinitesimales, separados por el perı́odo de muestreo T . Este conjunto de valores se
denomina secuencia; por ejemplo:

n o
xk , x(k) , x kT = {1, 0, 0.51, -0.26, . . . }

− kT
x kT =e 3 cos( kT
4 ) k = 0, 1, 2, . . . , n; T = 1s.
Las secuencias se pueden representar por la serie de datos o en forma cerrada si ello es
posible. Algunas secuencias importantes se presentan en la tabla 3.1.
3.3.2. Representación temporal de secuencias

La figura 3.1 muestra un pulso de amplitud A en el instante m: Este pulso se describe
Figura 3.1: Pulso de amplitud A en m.
matemáticamente en el dominio del tiempo, mediante la secuencia Aδ(k − m). Una secuencia
arbitraria nula para k < 0 es una suma ponderada de pulsos unitarios desplazados:
x(k) = x(0)δ(k) + x(1)δ(k − 1) + x(2)δ(k − 2) + . . ., luego se describe por:
∞
X
x(k) = x(m)δ(k − m). (3.1)
m=0
3.3.3. Representación del muestreo

El muestreo de una señal se puede representar matemáticamente en el dominio del tiempo,
∗
multiplicando
P∞ la señal análoga x(t) por un tren de impulsos unitarios, x (t) = δT (t)x(t), donde
δT (t) = k=−∞ δ(t − kT ) ver la figura 3.2.
Ası́, la señal continua x(t) muestreada será:
∞
X ∞
X
x∗ (t) = x(t)δ(t − kT ) = x(kT)δ(t − kT ). (3.2)
m=−∞ m=−∞
En el caso de que la señal continua sea nula para t < 0, las sumatorias en (3.2) inician en cero.
Para la representacion en el dominio de la frecuencia de la señal muestreada x∗ (t), su
transformada de Laplace es:
X∞
∗
X (s) = x(kT )e−skT . (3.3)
k=−∞

Tabla 3.1: Secuencias de funciones de interés.
NOMBRE MODELO GRÁFICO

δ(k)
1

0 k=
6 0 k
Pulso unitario: δ(k) =
1 k=0
µ(k)
1

0 k<0 k
Escalón unitario: µ(k) =
1 k≥0
r(k)

0 k<0 k
Rampa unitaria: r(k) =
kT k≥0

0 k<0
Aceleración unitaria: a(k) =
kT2 k≥0
r(k)
a>0
0<a<1
0 k<0
Polinomial: x(k) = k
akT k≥0
b<0

0 k<0 b>0
Exponencial: x(k) =
e−bkT k≥0
x(k)
k

0 k<0
Senoidal: x(k) =
senωkT k≥0

x(t) x*(t)
T
δ T (t)
t
−3T −2T −T T 2T 3T
Figura 3.2: Representación del muestreador mediante un tren de impulsos.
3.3.4. Ecuaciones de diferencias

En el paso 3 de la lúdica 3.1, se calcula el valor siguiente de la altura del extremo libre del
plano a(k) a partir de los valores anteriores del error e(k − 1) y de la señal de control a(k − 1),
ası́:
1
e(k − 1).
a(k) = a(k − 1) + (3.4)
20
En general, un procesador digital calcula la secuencia de control a(kT ) a partir de la se-
cuencia del error e(kT ):
Procesador
e(kT ) → → a(kT )
digital
e(0), e(1),. . ., e(k) a(0), a(1),. . ., a(k − 1).
Estando almacenados e(i) [i = 0,. . . , k] y a(j) [j = 0, . . .,k - 1], el procesador calculará la

secuencia de la señal de control como una función de las secuencias de error y la de control:
a(k) = f (e(i), a(j)); si la función de cálculo es lineal, se tiene la ecuación de diferencias lineal
de parámetros constantes:
a(k) = −a1 a(k − 1)− a2 a(k − 2)− . . . − an a(k − n)+ b0 e(k)+ b1 e(k − 1)+ . . . + bm e(k − m). (3.5)
Conocidas las n condiciones iniciales de a(k) y la entrada e(k) ∀ k ≥ 0, la ecuación de

diferencias permite calcular la evolución futura de a(k).
La ecuación en diferencias (3.5) también puede describir la dinámica de un sistema de tiempo
discreto, como se ilustra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.1
En el ejemplo 1.12 se presentaron algunas funcionalidades tı́picas para un servidor de Inter-
net. El servidor IBM Lotus Hellerstein [2004] administra correos electrónicos y documentos de
los usuarios; los computadores clientes, interactúan con el servidor mediante ‘llamadas de proce-
dimiento remoto’ (RCPs de sus siglas en inglés); el servidor mide el número total de solicitudes

y las que son atendidas: RIS (RCPs en el servidor). La carga del servidor se controla con el
parámetro MaxUsers, el cual define el número de conexiones del servidor con los clientes. El
servidor se puede representar para operación alrededor de un punto nominal, como un sistema
dinámico lineal, con MaxUsers como entrada y RIS como salida, descrito por:
c(k + 1) = 0.43c(k) + 0.47m(k), (3.6)
donde c(k) =(RIS−135) y m(k) =(MaxUsers−165) son las desviaciones de RIS y MaxUsers
con relación al punto nominal de operación del sistema. El perı́odo de muestreo es del orden
del minuto. △
Ejemplo 3.2
La ecuación en diferencias: a(k) = a(k − 1) + a(k − 2) para k ≥ 2, con condiciones iniciales
a(0) = a(1) = 1, genera la serie de Fibonacci. La tabla 3.2 muestra la generación de la serie
mediante su solución iterativa. △
Tabla 3.2: Serie de Fibonacci.

k a(k − 2) a(k − 1) a(k)
0 - - 1
1 - - 1
2 1 1 2
3 1 2 3
4 2 3 5
5 3 5 8
.. .. .. ..
. . . .
Como se vió, la transformada de Laplace simplifica la solución de las ecuaciones diferen-

ciales; su aplicación a secuencias permite definir una nueva transformada (Z), que simplifica la
solución de las ecuaciones de diferencia.
3.3.5. Transformada Z
La transformada de Laplace para una señal muestreada nula para t < 0 es:
∞
X
£{x∗ (t)} = x(kT)e−kTs .
k=0
Sea la transformación entre las variables complejas s y z:
z , eTs , (3.7)
luego la transformada Z unilateral de una señal muestreada es:

P∞
X ∗ (s) , X(z) = k=0 x(kT)z −k . (3.8)

La transformada Z sólo considera valores de la señal en los instantes de muestreo Z{x(t)} =

Z{x∗ (t)}, ası́ la transformada inversa Z (TIZ), no permite obtener la señal continua x(t), sólo
la muestreada x∗ (t), ver la figura 3.3.
TZ
ր ց
x(t) F(Z)
ւ
x∗ (t)← TIZ
Figura 3.3: Relaciones de señales, la transformada Z y su inversa.
Expandiendo la sumatoria de (3.8), se tiene:
X(z) = x(0)z 0 + x(T )z −1 + x(2T )z −2 + ... . . . + x(nT )z −n + ... (3.9)
donde el coeficiente de z −n es el valor de la secuencia x(kT) en k = n; es decir, la transformada

Z y la transformada Z inversa (Z −1 ) se pueden obtener por inspección.
Ejemplo 3.3
Calcular la transformada Z del pulso unitario y de los pulsos de las figuras 3.4 y 3.5.
1. Pulso unitario:
Z{δ(k)} = δ(0)z 0 + δ(1)z −1 + δ(2)z −2 + . . . + δ(n)z −n = 1.
2. Pulso desplazado:
1 δ(k − m)
Figura 3.4: Pulso desplazado m perı́odos
Z{δ(k − m)} = δ(0 − m)z 0 + δ(1 − m)z −1 + δ(2 − m)z −2 + . . . + δ(0)z −m = z −m .
3. Pulsos de la figura 3.5:
x(k) = 3δ(0) − 1δ(k − 1) + 2δ(k − 2).
X(z) = 3 − z −1 + 2z −2 .

3
2
−1
Figura 3.5: Función compuesta por pulsos desplazados
De lo anterior se deduce que z −1 es un retardo de un perı́odo:
x(kT ) → z −1 → x(kT − T )
x(k) x(k − 1)
por lo que z −m (m polos en el origen) representará un tiempo muerto de m perı́odos de muestreo.

Para obtener X(z) también se pueden usar las tablas de transformadas Z de funciones
elementales, ver la tabla 3.3, junto con el uso apropiado de las propiedades de la transformada
Z, ver la tabla 3.4.
Ejemplo 3.4
Resolver la ecuación en diferencias: x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = δ(k), con x(k) = 0 para
k ≤ 0.
Aplicando la transformada Z:
n o n o
Z x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = Z δ(k) = 1, (3.10)
luego:
z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) + 3zX(z) − 3zx(0) + 2X(z) = 1. (3.11)
Se requieren dos condiciones iniciales para resolver la ecuación de diferencias (3.11), en
x(0) = 0; la condición inicial x(1) se obtiene al evaluar la ecuación de diferencias en k = −1:
x(1) + 3x(0) + 2x(−1) = δ(−1) → x(1) = 0;
ası́, la ecuación (3.11) es:

z 2 X(z) + 3zX(z) + 2X(z) = 1.
Despejando zX(z) y expandiéndola en fracciones parciales, se tiene:
z z z
zX(z) = z 2 +3z+2 = z+1 − z+2 . (3.12)

Tabla 3.3: Tabla de transformadas Z. r = e−aT .

X(s) x(t) ó x(k) X(z)
1 1 δ(t) 1
2 e−kT s δ(t − kT ) z −k
1 z
3 s µ(t) z−1
1 Tz
4 s2 t (z−1)2
1 t2 T 2 z(z+1)
5 s3 2 2(z−1)3
n
tn dn
6 1
sn+1 n! lı́ma→0 (−1) z
n! dan [ z−e−aT ]
1 −at z
7 s+a e z−r
a (1−r)z
8 s(s+a) 1 − e−at (z−1)(z−r)
1 T zr
9 (s+a)2 te−at (z−r)2
ω zsenωT
10 s2 +ω 2 senωt z 2 −2zcosωT +1
s z(z−cosωT )
11 s2 +ω 2 cosωt z 2 −2zcosωT +1
ωd zrsenωd T
12 (s+a)2 +ωd2
e−at senωd t z 2 −2zrcosωd T +r 2
s+a z 2 −zrcosωd T
13 (s+a)2 +ωd2
e−at cosωd t z 2 −2zrcosωd T +r 2
z
14 ak z−a
z
15 ak cos kπ z+a
n Para
o obtener n
la transformada
o inversa Z de (3.12), nótese que:
k z k z
Z a = z−a , Z (−a) = z+a y que la transformada inversa Z del término zX(z) se obtiene
n o
de: Z x(k + 1) = zX(z) − zx(0) = zX(z); luego la transformada inversa Z de (3.12) es:
x(k + 1) = (−1)k −(−2)k ;k ≥ 0

n
k+1→n x(n) = (−1)n−1 −(−2)n−1 = −(−1)n − (−2)
−2
x(n) = 0.5(−2)n −(−1)n ; n ≥ 1.
△
X(z)
Obsérvese que en muchos casos conviene expandir en fracciones parciales el término z ,
pues varias transformadas Z de funciones elementales tienen a z en su numerador.
Ejemplo 3.5
10z
Obtener x(k) si X(z) = z 2 −1.2z+0.2 .
X(z)
La expansión de z y la transformada inversa Z son:
X(z) 10 12.5 12.5
z = h
z 2 −1.2z+0.2 i = z−1 − z−0.2
z z
X(z) = 12.5 z−1 − z−0.2
h i
x(k) = 12.5 µ(k) − (0.2)k ; k = 0, 1, 2, . . .

Tabla 3.4: Propiedades de la transformada Z.
x(t) ó x(k) Z(x(t)) ó Z(x(k))

1 ax(t) aX(z)
2 x1 (t) + x2 (t) X1 (z) + X2 (z)
3 x(t + T ) ó x(k + 1) zX(z) − zx(0)
4 x(t + 2T ) z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(T )
5 x(k + 2) z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1)
6 x(t + kT ) z X(z) − z x(0) − z k−1 x(T ) − ... − zx(kT − T )
k k
7 x(k + m) z m X(z) − z m x(0) − z m−1 x(1) − ... − zx(m − 1)

d
8 tx(t) −T z dz [x(z)]
d
9 kx(k) −z dz [x(z)]
10 e−at x(t) X(zeaT )
11 e−ak x(k) X(zea )
12 ak x(k) x(az )
13 kak x(k) d
−z dz X( az )
14 x(0) lı́mz→∞ X(z) si ese lı́mite existe
15 P x(∞) lı́mz→1 [(z − 1)X(z)] si z−1 z X(z) es analı́tica
16 P x(k) X(1)
17 x(kT )y(nT − kT ) X(z)Y (z)
−m
18 x(k − m) z X(z) T Z unilateral
3.3.6. Función de transferencia discreta

Muchas veces el controlador digital resuelve la ecuación de diferencias:
a(k) + a1 a(k − 1) + a2 a(k − 2) + . . . + an a(k − n) = b0 e(k) + b1 e(k − 1) + . . . + bm e(k − m).
Aplicando la transformada Z con condiciones iniciales nulas:
A(z) + a1 z −1 A(z) + a2 z −2 A(z) + . . . + an z −n A(z) = b0 E(z) + b1 z −1 E(z) + . . . + bm z −1 E(z),
A(z)
de donde la relación E(z) es la función de transferencia discreta:
A(z) b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m
= G(z) = .
E(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n
Si n ≥ m se tiene:
b0 z n + b1 z n−1 + . . . + bm z n−m
G(z) = = . (3.13)
z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + . . . + an
La función de transferencia discreta G(z) es una función racional de una variable compleja,
al igual que la función de transferencia continua G(s), de donde también aplican las definiciones
vistas en el capı́tulo anterior en la sección 2.6.2, para los polos, ceros, grado relativo, etc.

Ejemplo 3.6
La ecuación de diferencias (3.4) es una forma aproximada simple de calcular la integral del
error; los controladores digitales pueden calcular esta integral de forma más precisa mediante
su aproximación por la regla trapeoidal, ver la figura 3.6.
e(t)
e(k − 1)
e(k)
A
t
tk − 1 tk
T
Figura 3.6: Regla trapezoidal.
El área A bajo la curva del error e(t) es:

Z tk
A= e(t)dt,
tk−1
la que se puede aproximar por el área del trapezoide formado por la recta entre e(k − 1) y e(k):

1
A ≈ T e(k) + e(k − 1) − e(k) T,
2

T
A≈ e(k) + e(k − 1) .
2
Si a(k − 1) es el área calculada bajo la curva hasta el instante tk−1 , el área para el instante
tk es:
T
a(k) = a(k − 1) + e(k) + e(k − 1) .
2
La función de transferencia discreta para este controlador digital se obtiene aplicando la trans-
formada Z:
T T
A(z) = z −1 A(z) + E(z) + z −1 E(z),
2 2
luego:
A(z) T z+1
G(z) = = . (3.14)
E(z) 2 z−1
△

Igualmente de forma similar al caso continuo, se puede usar el álgebra de los diagramas de
bloques para calcular funciones de transferencia discretas equivalentes, modelar incertidumbres
y tiempos muertos en tiempo discreto. En el MATLAB, solo basta adicionar el perı́odo de
muestreo en la definición de la función de transferencia discreta.
Ejemplo 3.7
Los comandos MATLAB para definir la función de transferencia discreta (3.14) para T = 1,
con dos retardos por tiempo muerto, son:
>> num1=[1,1]; den1=[2,-2];T=1;

>> G=tf(num1,den1,T, ’InputDelay’,2)
Transfer function:
z + 1
z^(-2) * -------
2 z - 2
Sampling time: 1
3.3.7. Representación frecuencial del retenedor

La figura muestra la respuesta de un retenedor de orden cero a un impulso unitario en el
instante kT .
δ(kT )
1
Proceso de retención
t de orden cero H0 (s) t
kT kT kT + T
T
Figura 3.7: Respuesta al impulso del retenedor de orden cero.
Como la transformada de Laplace del impulso es uno, la función de transferencia se calcula

como transformada de Laplace de la respuesta al impulso, ası́:

1 1 −sT
H0 (s) = £ µ(t) − µ(t − T ) = − e ,
s s
1 − e−sT
H0 (s) = ; (3.15)
s

con s = jω (ver capı́tulo 9), su respuesta en frecuencia es:

jωT jωT jωT
2e− 2 e 2 −e− 2
1−e−jωT
H0 (jω) = jω = 2jω
sen ωT jωT sen ωT

H0 (jω) =T ωT
2
e− 2 ; |H0 (jω)| = T | 2
ωT |.
2 2
La figura 3.8 muestra la respuesta frecuencial del retenedor de orden cero, donde ωs = 2π T es
la frecuencia de muestreo [rad/s]; se observa que es un filtro pasa bajo no ideal, con distorsión a
baja frecuencia por la curva no plana; el retenedor deja pasar señales indeseadas con frecuencias
mayores a ω2s .
|Ho (jw)|
0.64T
0.21T
0.13T
w
ws
2
ws 2ws 3ws
Figura 3.8: Respuesta de frecuencia del retenedor de orden cero.
Los retenedores de más alto orden mejoran la respuesta de frecuencia |H0 (jω)| pero aumen-
tan el retardo de fase y pueden adicionar ruido al sistema, por ello, el Retenedor de Orden Cero
(ROC) es el retenedor más ampliamente usado.
3.3.8. Reconstrucción de señales

Lúdica 3.2
Esta actividad tiene una duración estimada de 10 minutos y se realiza con tres personas.
1. Las tres personas se ubican en fila, una de un extremo gira el brazo a un ritmo constante,
la del medio interrumpe la visual entre las de los extremos con un objeto, dejará libre la
visual durante un corto momento, rı́tmicamente tomando como referencia la posición del
brazo para que la interrupción se dé en la misma posición; la persona del otro extremo
debe observar y tomar nota de la posición observada del brazo.
2. La persona del medio interrumpe ahora la visual de forma que deja ver el brazo cerca de
la posición más baja y de la más alta; de nuevo se observa y toma nota de la posición
observada del brazo.

e(t) e*(t)
t → kt →
e(t) e*(t)
T → ROC → e(t)
Figura 3.9: El proceso de reconstrucción de señales.
3. ¿Qué frecuencias tienen las señales observadas? ¿Si se desea conocer cuál es la frecuencia
de giro del brazo, es posible hacerlo en ambos casos? ¿Si se desea conocer cómo es la
trayectoria del brazo en su totalidad, es posible hacerlo en ambos casos?
La lúdica anterior considera la situación de intentar reconstruir una señal continua original
e(t), a partir de su señal muestreada e∗ (t); en el primer paso, solo se observa el brazo arriba en
una posición casi constante, la observación es que el brazo no se mueve; en el segundo caso al
aumentar la velocidad de muestreo, se observa el brazo en dos posiciones y se puede al menos
concluir que gira y no esta quieto. La figura ilustra la reconstrucción de señales para el caso
de filtrar la señal muestreada con un retenedor de orden cero: Claramente, la frecuencia de
muesteo ωs debe ser lo suficientemente alta para poder ver las componentes de alta frecuencia
de la señal e(t).
Sea el tren de impulsos unitarios:

∞
X
δT (t) = δ(t − kT ),
k=−∞
es una señal periódica, cuya expansión en series de Fourier es:

∞
X
δT (t) = Cn ejnωs t
n=−∞
donde: Z T ∞
X
1 2
Cn = δ(t − kT )e−jnωs t dt.
T − T2 k=−∞
R∞
Como −∞ f (t)δ(t − a)dt = f (a) y en el intervalo [− T2 ; T2 ] sólo hay un impulso en t = 0,
entonces Cn = T1 e0 = T1 . Como la señal muestreada es e∗ (t) = e(t)δT (t), se tiene:
X∞
1 jnωs t
e∗ (t) = e(t) e .
n=−∞
T

Aplicando la transformada de Laplace:

Z ∞ Z X∞
1 ∞
E ∗ (s) = e∗ (t)e−st dt = e(t) ejnωs t e−st dt,
−∞ T −∞ n=−∞
∞ Z ∞
1 X
E ∗ (s) = e(t)e−(s−jnωs )t dt,
T n=−∞ −∞
∞
1 X
E ∗ (s) = E(s − jnωs ). (3.16)
T n=−∞
La ecuación (3.16) muestra que la respuesta de frecuencia de una señal muestreada e∗ (t) es un
tren infinito de la banda de frecuencia E(jω), ver la figura 3.10.
E(jω)
T |E(jω − jnωs )| E(jω)
ω0
ω1
−2 2π
−ω1 2π
T − 2π
T T = ωs 2 2π
T
Figura 3.10: Espectros de frecuencia de la señal E(jω).
Si en la frecuencia ω1 hay componentes de E(jω1 ) y de E(−jω0 ), se tiene un sobrelapamiento

frecuencial , afectándose el espectro original de la señal. La frecuencia ω0 , se denomina el alias
de la frecuencia ω1 ; por lo tanto, señales con componentes de frecuencia mayores a ω2s , tendrán
componentes adicionales entre 0 y ω2s ; la frecuencia máxima de la señal ωN = ω2s se conoce
como frecuencia de Nyquist.
Para evitar el sobrelapamiento de espectros (aliasing) en los sistemas de control digitales,
se debe mantener ωs suficientemente elevada e incluir un prefiltro pasobajo continuo que limite
el ancho de banda de la señal de realimentación B(jω).
El sobrelapamiento de frecuencia hace que dos sinusoides de diferente frecuencia puedan
tener la misma señal muestreada; sean:
e1 (t) = sen(ω1 t),

e2 (t) = sen( ω1 + nωs t),
2π
con n: entero. Si se muestrean con T = ωs entonces:
e1 (kT ) = sen(ω1 kT ),


e2 (kT ) = sen( ω1 + nωs kT ) = sen(ω1 kT + 2nkπ),
e2 (kT ) = sen(ω1 kT ) = e1 (kT ).
Ejemplo 3.8
Sea la sinusoide con frecuencia ω1 = π4 : e1 (t) = sen( π4 t); si se muestrea con un perı́odo de
muestreo de T = 1s, ωs = 2πfs = 2π, la frecuencia alias es: ω0 = ω1 − ωs = π4 − 2π = − 7π 4 ; la
figura 3.11 muestra las sinusoides de frecuencias 8π 4 y 7π
4 , nótese como coinciden los valores de
las señales en los instantes de muestreo k = 0, 1, . . . , 8. △
1.5
Sen(2πt/8)
Sen(7πt/4)
0.5
−0.5
−1
−1.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo
8π 7π
Figura 3.11: Sinusoides de frecuencias 4 y 4 .
El teorema del muestreo indica cuál debe ser la mayor frecuencia de E(jω) para evitar el
sobrelapamiento de su espectro. Para recuperar una señal a partir de sus muestras, se debe
muestrear por lo menos al doble de la mayor frecuencia de la señal: ωs > 2ω1 , donde ω1 es la
componente de más alta frecuencia presente en la señal de tiempo continuo.
Una señal continua muestreada inapropiadamente, puede presentar oscilaciones ocultas, si
tiene componentes de frecuencia que sean múltiplos enteros de ωs , como lo ilustra el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 3.9
La figura 3.12 muestra los gráficos de la señal x(t) = sent + sen3t y de cada componente
x1 (t) = sent y x2 (t) = sen3t, muestreadas con una frecuencia de muestreo ωs = 3 rad/s. La

x(t)=x1(t)+x2(t)
x(t)=sen(t)+sen(3t)
1
x(kT)=sen(2π/3 k)
0
−1
0 pi 2pi 3pi 4pi

t
1 x1(t)=sen(t)
0.5
x1(t)
0
−0.5
−1
0 pi 2pi 3pi 4pi
t
1 x2(t)=sen(3t)
0.5
x2(t)
0
−0.5
−1
0 pi 2pi 3pi 4pi
t
1 Ws=3rad/seg
0.5
x(k)
0
−0.5
−1
0 1 2 3 4 5 6
k
Figura 3.12: Componentes de frecuencia con oscilaciones ocultas.
señal muestreada x(k) presenta una frecuencia de un rad/s y no tiene la oscilación con frecuencia
de ω = 3 rad/s. △
3.3.9. Transformada Z modificada

Si se discretiza un sistema de tiempo continuo con tiempo muerto Tm que no es un múltiplo
entero del perı́odo de muestreo T , se tienen d retardos de un perı́odo y un retardo fraccional
del tiempo muerto:
Tm = dT + (1 − m)T, (3.17)
con 0 ≤ m ≤ 1.
Los retardos fraccionales se generan también si el tiempo de cálculo de la ley de control
es una fracción del perı́odo de muestreo; también se pueden incluir si se desea analizar el
comportamiento de la señal continua entre perı́odos de muestreo.
La transformada Z se puede modificar para considerar los retardos fraccionales; la transfor-
mada Zm modificada se define por:
P∞ −k
X(z, m) , k=0 x(kT − T + mT)z . (3.18)

La transformada Zm modificada considera valores de la señal en los instantes de muestreo

t∗ = kT + (m − 1)T . Si m = 0, X(z, 0) = z −1 X(z); si m = 1, X(z, 1) = X(z). Las tablas 3.5 y
3.6 presentan algunas transformadas y propiedades de esta transformada.
Tabla 3.5: Tabla de transformadas Zm . r = e−aT , rm = e−amT .
X(s) x(t) X(z, m)

1 1
1 s µ(t) z−1
1 mT T
2 s2 t (z−1) + (z−1)2
n
tn dn e−amT
3 1
sn+1 n! lı́ma→0 (−1) n! dan [ z−e−aT ]
1 −at rm
4 s+a e z−r
a (1−rm )z+rm −r
5 s(s+a) 1 − e−at (z−1)(z−r)
1 T rm (zm+(1−m)r)
6 (s+a)2 te−at (z−r)2
ω zsenmωT +sen(1−m)ωT
7 s2 +ω 2 senωt 2
z −2zcosωT +1
s zcosmωT −cos(1−m)ωT
8 s2 +ω 2 cosωt z 2 −2zcosωT +1
9 ωd
(s+a)2 +ωd2
e−at senωd t rm zsenmωT +rsen(1−m)ωT
z 2 −2zrcosωd T +r 2
10 s+a
(s+a)2 +ωd2
e−at cosωd t rm zcosmωT −rcos(1−m)ωT
z 2 −2zrcosωd T +r 2
Tabla 3.6: Propiedades de la transformada Zm .
x(t) Zm (x(t))
1 ax(t) aX(z, m)
2 x1 (t) + x2 (t) X1 (z, m) + X2 (z, m)
d
3 tx(t) (−T z dz + m) [x(z, m)]
4 e−at x(t) e −am
X(zeaT , m)
5 x(mT ) lı́mhz→∞ zX(z, m)i si ese lı́mite existe
(z−1) z−1
6 x(∞) lı́mz→1 z X(z, m) si z 2 X(z) es analı́tica
P
7 x(k − 1 + m) X(1, m)
Considerando un sistema de tiempo discreto con función de transferencia G(z) y entrada

E(z), su salida en los instantes; a(kT + (m − 1)T ), se puede obtener con la transformada Z
inversa modificada de:
A(z, m) = G(z, m)E(z). (3.19)

3.4. MODELADO DE SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS
Ejemplo 3.10
Se desea calcular la transformada Zm modificada para el sistema continuo
e−0.4s
G(s) = ,
s(s + 1)
con un perı́odo de muestreo de T = 1s.

De (3.17), d = 0 y 0.4 = (1 − m)T , m = 0.6. Luego de la tabla 3.5
−0.4s
e (1 − e−0.6 )z + e−0.6 − e−1
Z = G(z, 0.6) = .
s(s + 1) (z − 1)(z − e−1 )
△
3.4. Modelado de sistemas de datos muestreados

El diagrama de bloques de la figura 3.13, representa la bucla tı́pica de control digital de
forma conveniente para aplicar las técnicas de transformadas. El conversor A/D se representa
por el muetreador. El programa de computador del procesador digital implementa una ecuación
de diferencias que puede representarse con la función de transferencia discreta entre la señal
de error E ∗ (t) y la señal de control A∗ (t). El conversor D/A se representa por su función de
transferencia 3.15 al igual que el actuador, el sensor y la planta a controlar.
Programa de
Computador Planta + Actuador
A/D D/A
R(s) + E(s) E ∗ (s) A∗ (s)
1−e−sT
A(s) C(s)
D(z) G(s)
T s
−
H(s)
Figura 3.13: Diagrama de bloques en frecuencia de la bucla tı́pica digital.
El análisis del sistema de la figura 3.13 en tiempo discreto es mucho más simple que en
tiempo continuo, por ello es conveniente poder conocer la función de transferencia entre la
señal de control a∗ (t) y la salida, observada solo en instantes de muestreo c∗ (t).
3.4.1. La función de transferencia de pulsos

La figura 3.14 muestra el caso general de tener una función de transferencia continua G(s)
sujeta a una entrada muestreada A∗ (s) y para la cual solo interesa conocer su valor en los
instantes de muestreo. La salida en frecuencia es: C(s) = G(s)A∗ (s); la señal continua c(t)
podrı́a calcularse a partir de la transformada inversa de Laplace: c(t) = £−1 [C(s)], pero el
cálculo es complejo porque G(s) y A∗ (s) son transformadas de Laplace de diferentes tipos de

Figura 3.14: Sistema continuo G(s) sujeto a una entrada muestreada A∗ (t).
señal; el cálculo se simplifica si sólo interesa c(t) en los instantes de muestreo c∗ (t) , lo que se
representa con el muestreador ficticio S2 .
Considerando la transformada de Laplace de una señal muestreada (3.16), se tiene:
∞
1 X
£ c∗ (t) = C ∗ (s) = [G(s)A∗ (s)]∗ = C(s − jnωs ),
T n=−∞
∞
1 X
C ∗ (s) = G(s − jnωs )A∗ (s − jnωs ). (3.20)
T n=−∞
P∞
Para evaluar el término A∗ (s − jnωs ) en (3.20), nótese que A∗ (s) = T1 n=−∞ A(s − jnωs ) es
una señal periódica infinita en frecuencia con periodicidad ωs ; A∗ (s − jnωs ) es la señal A∗ (s)
desplazada un número entero n de perı́odos, por lo tanto: A∗ (s − jnωs ) = A∗ (s). Ası́, (3.20) es:
∞
1 X
C ∗ (s) = A∗ (s) G(s − jnωs ) = A∗ (s)G∗ (s),
T n=−∞
C ∗ (s) = A∗ (s)G∗ (s) (3.21)

Usando la notación más compacta z, se tiene:

C(z) = C ∗ (s) sT C(z) = A(z)G(z),
e =z
donde G(z) es la Función de transferencia de pulsos; es la función de transferencia entre la

entrada muestreada a∗ (t) y la salida c(t) en los instantes de muestreo, c∗ (t).
Para la figura 3.13 la función de transferencia de pulsos entre A∗ (s) y C ∗ (s) será:
h 1 − e−sT i G(s)
C(s) = G(s)A∗ (s) = 1 − e−sT A∗ (s) . (3.22)
s s
En (3.22) se ha factorizado C(s) de forma que el primer factor solo es función de s, mientras
que el segundo factor, solo lo es de z = esT , luego:
n o∗ n o∗
G(s)
C ∗ (s) = s 1 − e−sT A∗ (s) ,
n on o
G(s)
C(z) = Z s 1 − e−sT A∗ (s) ,
esT =z
n o
G(s)
C(z) = Z s 1 − z −1 A(z);

ası́, la función de transferencia de pulsos G(z) es:

C(z) n G(s) o
G(z) = =Z 1 − z −1 . (3.23)
A(z) s
La función de transferencia de pulsos para un sistema continuo precedido de un retenedor
de orden cero, corresponde a la señal que se obtiene de muestrear la respuesta del sistema
continuo cuando se aplica un pulso discreto unitario δ(k) a la entrada del retenedor. La salida
del retenedor al pulso discreto es un pulso continuo de magnitud uno y duración del perı́odo de
muestreo. La discretización del sistema continuo es pues su respuesta muestreada a un pulso de
tiempo continuo, de ahı́ se deriva el nombre de función de transferencia de pulsos.
La tabla 3.7 presenta funciones de transferencia de pulsos:
b1 z n−1 + b2 z n−2 + . . . + bn
G(z) = , (3.24)
z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + . . . + an
para algunas funciones de transferencia continuas G(s) precedidas de un retenedor de orden
cero. Algunos polinomios se han factorizado para mantener la imagen en G(z) de polos o ceros
reales de G(s).
Ejemplo 3.11
1
Con G(s) = s+1 , calcular la salida en los instantes de muestreo si el computador genera un
escalón unitario discreto en lazo abierto.
n o
1
C(z) = Z s(s+1) 1 − z −1 A(z),
n o
1 1 z−1 z
C(z) = Z s − s+1 z z−1 ,
z z
C(z) = z−1 − z−e−T
,
c(kT ) = 1 − e−kT .
Es una respuesta exponencial que tiende a 1; en este caso, como el retenedor de orden cero
recibe un escalón discreto y entrega un escalón continuo, reconstruye perfectamente la señal. △
La función de transferencia (3.23) se calcula en el MATLAB con el comando c2d (continous

to discret); para el ejemplo 3.11, la función de transferencia discreta es:
>> G=tf([1],[1 1]);T=1;GD=c2d(G,T,’zoh’)
Transfer function:
0.6321
----------
z - 0.3679
Sampling time: 1

Tabla 3.7: G(z) para el muestreo del sistema G(s) con ROC. r = ra = e−aT , rb = e−bT .
G(s) G(z)
1 T
1 s z−1
1 T 2 z+1
2 s2
2
2 z−1
n
h i
dn
3 1
sn
z−1
z lı́m a→0 (−1)
n! dan
z
z−e−aT
−sT 1
4 e z
a 1−r
5 s+a z−r
1 1
a aT −1+r z+ a 1−r−aT r
6 s(s+a)
a

z−1 z−r

a2 1−r−raT z+r r+aT −1
7 (s+a)2
2
z−r

s z−1 rT
8 (s+a)2
2
z−r
b(1−ra )−a(1−rb )
a(1−r )r −b(1−r )r
z+ b a a b
ab b−a
b−a
9 (s+a)(s+b) , a 6= b
z−ra z−rb
rb −ra +(1−rb )c/b−(1−ra )c/a
cr r (b−c)r (c−a)r
a b
s+c z+ ab + b(a−b)a + a(a−b)b
10 (s+a)(s+b) , a 6= b a−b

z−ra z−rb

ω2 1−cosωT z+1
11 s2 +ω 2 z 2 −2cosωT z+1
1
s ω senωT z−1
12 s2 +ω 2
z 2 −2cosωT z+1
a2 +ωd2 1−r(cosωd T + ωa senωd T ) z+r 2 +r ωa senωd T −cosωd T
13 (s+a)2 +ωd2
d
z 2 −2rcosωd T z+r 2
d

1
s ωd rsenωd T z−1
14 (s+a)2 +ωd2 z 2 −2rcosωd T z+r 2
3.4.2. Función de transferencia de pulsos de elementos en cascada

A diferencia de los sistemas análogos o discretos, las funciones de transferencia de pulsos en
cascada dependen de la ubicación del muestreador.
E(s) E ∗ (s) A(s) A∗ (s) C(s)

G(s) H(s)
T T C ∗ (s)
T
Figura 3.15: Cascada totalmente muestreada.
La figura 3.15 muestra dos funciones de transferencia de pulsos en cascada totalmente mues-

treada; en este caso se tiene:
C(s) = H(s)A∗ (s) → C(z) = H(z)A(z);

A(s) = G(s)E ∗ (s) → A(z) = G(z)E(z);
C(z) = H(z)G(z)E(z),
C(z)
E(z) = G(z)H(z).
Por lo tanto para la cascada de la figura 3.15, la función de transferencia de pulsos total, es el
producto de las funciones de transferencia parciales.
Ahora se considera el caso de una cascada sin el muestreador intermedio.
E(s) E ∗ (s) A(s) C(s) C ∗ (s)

G(s) H(s)
T T
Figura 3.16: Cascada sin muestreo intermedio.
C(s) = G(s)H(s)E ∗ (s) → C(z) = GH(z)E(z);

C(z)
E(z) = GH(z).
n o
Aquı́ se ha defido la notación: GH(z) = Z G(s)H(s) ; nótese que en general, GH(z) 6=
G(z)H(z).
Finalmente se considera el caso de la figura 3.17 en donde no se muestrea la señal de entrada
E(s).
E(s) A(s) A∗ (s) C(s) C ∗ (s)

G(s) H(s)
T T
Figura 3.17: Cascada sin muestreo de entrada.
C(s) = H(s)A∗ (s) = H(s)EG∗ (s);

C(z) = H(z)EG(z).
Como la señal de entrada A(s) es la respuesta de G(s) a la entrada E(s), la señal a muestrear
a(t) depende de todos los valores de e(t) y no sólo de los valores muestreados e(kT ); como no
se tiene la señal muestreada del error E ∗ (t), no existe la función de transferencia de pulsos para
la cascada de la figura 3.17.

3.4.3. Función de transferencia de pulsos de sistemas realimentados

Se considera el sistema digital realimentado de la figura 3.18.
R(s) + E(s) E ∗ (s) C(s) C ∗ (s)

G(s)
T T
−
H(s)
Figura 3.18: Sistema digital realimentado.
C(s) = G(s)E ∗ (s) → C(z) = G(z)E(z);

E(s) = R(s) − H(s)C(s),
E(s) =nR(s) − G(s)H(s)E ∗ (s). o
∗
E ∗ (s) = R(s) − G(s)H(s)E ∗ (s) ,
E ∗ (s) = R∗ (s) − GH ∗ (s)E ∗ (s) → E(z) = R(z) − GH(z)E(z),
R(z)
E(z) = 1+GH(z) ;
luego,
C(z) G(z)
= . (3.25)
R(z) 1 + GH(z)
Nótese que si se discretiza la ecuación: E(s) = R(s)−H(s)C(s) → E ∗ (s) = R∗ (s)−HC ∗ (s),
no se podrá despejar C ∗ (s), por lo tanto, se debe evitar discretizar una ecuación si la variable
de interés se pierde como factor. Esto se evita si antes de discretizar, se expresan las entradas
a los muestreadores y la salida del sistema, en función de las salidas de los muestreadores y/o
de la entrada del sistema. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento para un sistema más
complejo que el de la bucla tı́pica digital.
Ejemplo 3.12
Calcular C(z) para el sistema de la figura:
R + E1 +− E2 G2 C
− T G1 T
Figura 3.19: Sistema de control del ejemplo 3.12.

Las señales de entrada a cada muestreador E1 (s), E2 (s) y la salida del sistema C(s) en
función de las salidas de los muestreadores E1∗ (s), E2∗ (s) y de la entrada R(s) del sistema, son
E1 (s) = R(s) − G2 (s)E2∗ (s),
E2 (s) = G1 (s)E1∗ (s) − G2 (s)H(s)E2∗ (s);
C(s) = G2 (s)E2∗ (s);
discretizando las anteriores ecuaciones, se obtiene:
E1∗ (s) = R∗ (s) − G∗2 (s)E2∗ (s) → E1 (z) = R(z) − G2 (z)E2 (z),
E2∗ (s) = G∗1 (s)E1∗ (s) − G2 H ∗ (s)E2∗ (s) → E2 (z) = G1 (z)E1 (z) − G2 H(z)E2 (z);
C ∗ (s) = G∗2 (s)E2∗ (s) → C(z) = G2 (z)E2 (z).
Resolviendo para C(z), se obtiene:
G1 (z)G2 (z)R(z)
C(z) = .
1 + G1 (z)G2 (z) + G2 H(z)
3.4.4. Función de transferencia de pulsos de sistemas con retardo

Para discretizar un proceso con tiempo muerto:
Gp (s) = G(s)e−sTm , Tm = dT + (1 − m)T, 0 ≤ m ≤ 1,
antecedido por el retenedor de orden cero, de (3.23) se tiene la función de transferencia de
pulsos:
n o
G(s)e−sTm
G(z, m) = C(z,m)
A(z) = Z s 1 − z −1 , (3.26)
n o
G(z, m) = Zm G(s)
s z −d 1 − z −1 . (3.27)
Las discretizaciones para sistemas de primer y segundo orden con retardo se muestran en la
tabla 3.8.
Ejemplo 3.13
Se desea calcular la función de transferencia de pulsos del sistema:
e−0.4s
Gp (s) = ,
s+1
con T = 1s; el retardo es menor del perı́odo de muestreo, luego d = 0; en el ejemplo 3.10, se
obtuvo m = 0.6; de (3.27):
n o
G (s)
G(z) = Z ps 1 − z −1 ,
n −0.4s o
e
= Z s(s+1) 1 − z −1 ,
n o
1
= Zm=0.6 s(s+1) 1 − z −1 ,
−0.6
)z+e−0.6 −e−1
= (1−e(z−1)(z−e −1 ) 1 − z −1 ,
(1−e−0.6 )z+e−0.6 −e−1
G(z, 0.6) = z(z−e−1 ) .
△

3.5. SISTEMAS DISCRETOS EN REPRESENTACIÓN DE ESTADO
Tabla 3.8: Funciones de transferencia de pulsos para sistemas con retardo.

Gp (s) G(z, m)
e−Tm s (1 − e− m
τ
T m T
) + (e− τ T − e− τ )z −1
τs + 1 z −d−1 T
1 − e− τ z −1
2 e−Tm s
ωn (1 + e−maT secφB) − (2e−aT cos(ωd T ) + e−maT secφA)z −1 + e−2aT z −2
z −d−1 ( )
s2 + 2ρωn s + ωn
2 1 − 2e−aT cos(ωd T )z −1 + e−2aT z −2
a = ρωn p
ω d = ω n 1 − ρ2
φ = tan−1 (− ωa )
d
A = cos(mωd T + φ)
B=e −aT cos((1 − m)ωd T − φ)
En el MATLAB el comando ‘c2d’ soporta los retardos fraccionales, luego es directa la dis-
cretización.
>> s=tf(’s’); Gp=exp(-0.4*s)/(s+1)
Transfer function:
1
exp(-0.4*s) * -----
s + 1
>> Gz=c2d(Gp,1)
Transfer function:
0.4512 z + 0.1809
z^(-1) * -----------------
z - 0.3679
3.5. Sistemas discretos en representación de estado

Las ecuaciones dinámicas para un sistema discreto, lineal e invariante, son:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k) (3.28)

Y (k) = EX(k) + DU (k), (3.29)
donde:
X(k): Vector de estado de orden n.

Y (k): Vector de salida de orden q.

3.5. SISTEMAS DISCRETOS EN REPRESENTACIÓN DE ESTADO
U (k): Vector de entradas de orden p.
luego las dimensiones de las matrices son: Gnxn , Hnxp , Eqxn y Dqxp . La figura 3.20 muestra el
diagrama de bloques de esta representación.
Figura 3.20: Sistema discreto en el espacio de estados.
La configuración básica es la misma que la de los sistemas continuos por lo que también
aplican las técnicas de representación vistas.
Ejemplo 3.14
Obtener la representación de estado del sistema descrito por:
y(k + 2) + 5y(k + 1) + 3y(k) = u(k + 1) + 2u(k).

Es el caso de retardos en la entrada, equivalente a las derivadas de entradas de sistemas conti-
nuos; por lo tanto, se consideran como variables de estado a:
x1 (k) = y(k)
(3.30)
x2 (k) = x1 (k + 1) + nu(k) ,
con n a calcular. De x2 (k) en (3.30):
x2 (k + 1) = x1 (k + 2) + nu(k + 1),
donde x1 (k + 2) = y(k + 2) se despeja de la ecuación de diferencias:
x2 (k + 1) = −5x
1 (k + 1) − 3x1(k) + u(k + 1) + 2u(k) + nu(k + 1),
x2 (k + 1) = −5 x2 (k) − nu(k) − 3x1 (k) + u(k + 1) + 2u(k) + nu(k + 1),
x2 (k + 1) = −5x2 (k) + 5nu(k) − 3x1 (k) + (n + 1)u(k + 1) + 2u(k).
Con n = −1, se elimina el término u(k + 1) y la representación de estado discreta es:
x1 (k + 1) = x2 (k) + u(k),
x2 (k + 1) = −3x1 (k) − 5x2 (k) − 3u(k).

3.6. IDENTIFICACIÓN PARAMÉTRICA DE MODELOS

x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 1
= + u(k)
x2 (k + 1) −3 −5 x2 (k) −3

x1 (k)
y(k) = 1 0 .
x2 (k)
Si la condición inicial para x1 (0) = 0, x2 (0) = x1 (1) − u(0) = c(1) − u(0).

En el MATLAB se define este sistema por:
>> T=1;G=[0,1;-3,-5];H=[1;-3];E=[1,0];D=[0];
>> sis=ss(G,H,E,D,T, ’inputname’,’u’,’outputname’,’y’)
a =
x1 x2
x1 0 1
x2 -3 -5
b =
u
x1 1
x2 -3
c =
x1 x2
y 1 0
d =
u
y 0
Sampling time: 1
Discrete-time model.
Si se tiene un sistema de tiempo continuo descrito en variables de estado, el cual se controla

digitalmente, es deseable obtener a partir de su representación de estado continuo, la represen-
tación de estado discreta; este caso se analizará en la sección 5.16, a partir de la solución de la
ecuación de estado discreta.
3.6. Identificación paramétrica de modelos

De acuerdo con lo discutido en la sección 2.9, la identificación paramétrica de modelos es
una técnica experimental de modelado en donde se considera:
El diseño y la ejecución del experimento.

La selección de la estructura del modelo.
La selección del método de identificación.

La validación del modelo.
La figura 3.21 muestra un diagrama de flujo de estos pasos. Como se observa el procedimiento
Figura 3.21: Pasos en la identificación paramétrica de modelos discretos.
es iterativo en donde el conocimiento previo adquirido, permite mejorar la estimación de los

parámetros.
3.6.1. Diseño y ejecución del experimento

En la planeación del experimento se considera la selección de instrumentación adecuada y la
definición de la señal de entrada. Esta señal debe ser simple de generar para reducir el costo del
experimento; su magnitud debe ser lo suficientemente alta para que las señales medidas sean

discernibles del ruido, se recomienda un efecto en la señal medida de al menos tres veces el nivel
del ruido, pero se debe evitar excitar alinealidades como las saturaciones o poner en peligro
la operación del sistema. Igualmente debe ser lo suficientemente rica en frecuencia como para
excitar las dinámicas de interés del sistema a identificar; el ruido blanco es una señal aleatoria
en la que sus valores en un instante dado son independientes de los valores tomados en ins-
tantes anteriores, lo que la hace ideal para este propósito por su densidad espectral constante
con ancho de banda infinito; sin embargo es una señal difı́cil de implementar, por lo que en
la práctica se utilizan sinusoides de frecuencia variable (chirp signal ) y la Secuencia Binaria
PseudoAleatoria (SBPA) entre otras. La SBPA sólo tiene dos niveles los cuales cambian en una
sucesión de pulsos rectangulares de ancho modulado, es periódica y se puede generar fácilmente
por medio de un registro de desplazamiento con suma en módulo 2. La figura 3.22 muestra una
SBPA y los datos de salida para la identificación de un sistema térmico.
La figura 3.23 muestra el arreglo para generar una SBPA con cuatro registros de desplazamiento.
Temperatura
7
6
0.1ºC
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Time
Potencia
7
6
Watts
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Time
Figura 3.22: Datos para la identificación del sistema térmico.
Inicialmente los estados de los registros están en 1; con cada perı́odo de reloj Tr , el valor de
cada registro realiza un desplazamiento a la derecha; la salida del último registro se realimenta
al primero, aplicándose la operación binaria XOR con el valor existente en el primer registro:
1 ⊕ 1 = 0, quedando los valores 0111; al perı́odo de reloj siguiente, en el primer registro se
opera: 0 ⊕ 1 = 1, pasando los registros a 1011; el cálculo continúa hasta alcanzar de nuevo 1111
en todos los registros, luego de lo cual inicia el segundo perı́odo de la señal, ver la figura 3.24.
El espectro frecuencial de una SBPA se caracteriza por el número de registros nr y el

Figura 3.23: Generación de la secuencia binaria seudoaleatoria.
Figura 3.24: Secuencia binaria seudoaleatoria.
perı́odo de reloj Tr . El número de registros nr define la longitud del perı́odo de la señal SBPA
N = 2nr −1 y el perı́odo de reloj Tr permite ajustar su duración y densidad espectral de potencia.
Para escogerlos, se considera que el ancho de banda del espectro de potencia de la señal es:
ωB = 2.8/Tr Ljung [1999]; por otro lado, la máxima duración del pulso de la SBPA es nr Tr
y durante éste, el sistema debe alcanzar el régimen estacionario para poder identificar apro-
piadamente su ganancia estática, es por lo tanto útil tener pruebas de respuesta al escalón
antes de diseñar la SBPA para tener una idea general de la magnitud de la señal, la dinámica
a identificar y la duración de los transitorios.
Para el experimento también debe escogerse el perı́odo de muestreo; éste se escoge respetando
los compromisos entre la relación señal ruido y la captura de las dinámicas rápidas del sistema.
Si es muy pequeño se pueden generar problemas numéricos en los algoritmos de identificación;
si es muy grande con relación a las constantes de tiempo del sistema, se tendrán errores en la
identificación; se recomienda un T del orden de Tr /M, M ≤ 4 (Tr debe ser un múltiplo entero
de T ) y de al menos un décimo del tiempo de estabilización deseado para el sistema en lazo
cerrado.
Obtenidos los datos, estos se adecúan para el procesamiento posterior; se puede requerir
filtrar las señales para los rangos de interés, remover tendencias, datos fuera de rango, remues-
trear a más baja frecuencia, etc. Se escogen dos conjuntos de datos, uno para la identificación
de los parámetros y otro para la posterior validación del modelo. La caja de herramientas para
identificación del MATLAB dispone de rutinas para estos procedimientos y la interfaz gráfica
para el usuario ‘ident’ que facilita todo el proceso de identificación.
Ejemplo 3.15
Aquı́ se presentan algunos comandos para el tratamiento previo de los datos en el proceso
de identificar el sistema térmico de laboratorio utilizado en el demo ‘iddemo’ del MATLAB; se
trata de un sistema similar a un calentador manual de cabello, consistente de un tubo al cual
se le inyecta aire caliente en un extremo y se mide la temperatura en el extremo de salida; la

variable manipulada es la potencia aplicada a una resistencia que calienta el aire de entrada.
Se realizó un experimento para identificación con perı́odo de muestreo de 80ms; los datos del
experimento se encuentran en el archivo dryer2.mat.
>> load dryer2 % carga de los datos en el espacio de trabajo

>> sec=iddata(y2,u2,0.08,’OutputName’,’Temperatura’,
’InputName’,’Potencia’,’OutputUnit’,’o C’,’InputUnit’,’Watts’)
%Crea el objeto de datos para identificación
Time domain data set with 1000 samples.

Sampling interval: 0.08
Outputs Unit (if specified)

o
Temperatura C
Inputs Unit (if specified)

Potencia Watts
>> plot(sec)
La figura 3.22 muestra los datos del experimento; obsérvese que se aplicó una SBPA sobre un
punto de operación diferente de cero; el comando:
>> di = detrend(sec(1:300));
escoge los primeros 300 datos para la identificación y les quita los valores promedio.
Dada la fı́sica del sistema térmico, es de esperarse un retardo de tiempo muerto; la respuesta
al impulso obtenida a partir de los datos por análisis de correlación Ljung [1999], con una región
de confianza alrededor de cero, permite tener una primera idea de la dinámica del sistema, en
particular si existe tiempo muerto considerando que los datos por fuera de la región de confianza
son significativos:
>> impulse(di,’sd’,3)
En la figura 3.25 se observa que para una región de confianza de tres desviaciones estándar
(hay un 99.7 % de probabilidad de que la respuesta real esté en el intervalo de confianza), hay
retardo de tiempo muerto y una duración total del transitorio de alrededor de 1.5s.
Si en la respuesta al impulso existen retardos de tiempo negativos, esto es un indicativo de
que existe realimentación en los datos, como puede ocurrir por ejemplo con una planta inestable
para la cual el experimento se realiza en lazo cerrado. △
3.6.2. Selección de la estructura del modelo

Como se mencionó en la sección 2.9, la estructura del modelo se puede obtener del cono-
cimiento a priori que se tenga del sistema, o bién vı́a el enfoque de caja negra en donde se
asume un modelo genérico lineal. Usando el operador retardo q −1 , un modelo general lineal
paramétrico es:
B(q) C(q)
A(q)y(k) = u(k − mk) + ǫ(k), (3.31)
F (q) D(q)

From Potencia
1.8
1.6
1.4
1.2
To Temperatura
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.2
−2 −1 0 1 2 3 4 5
Time
Figura 3.25: Respuesta al impulso del sistema térmico.
donde u, y son la entrada y la salida, ǫ es el ruido blanco de la medida (o su efecto combinado

en caso de tener disturbios aleatorios pesistentes), m los retardos de tiempo muerto,
A(q) = 1 + a1 q −1 , . . . , ana q −na

B(q) = b0 + b1 q −1 , . . . , bnb q −nb
C(q) = 1 + c1 q −1 , . . . , cnc q −nc
D(q) = 1 + d1 q −1 , . . . , dnd q −nd
F (q) = 1 + f1 q −1 , . . . , fnf q −nf .
B C
En este modelo, la función de transferencia discreta del sistema es AF , mientras que AD
es el modelo del ruido. Esta estructura cubre la mayorı́a de las utilizadas en identificación, por
ejemplo, con nc = nd = nf = m = 0 se obtiene el modelo ARX (AutoRegressive with eXternal
input):
A(q)y(k) = B(q)u(k) + ǫ(k),
equivalente a:
y(k) = −a1 y(k − 1) − a2 y(k − 2) − . . . + b0 u(k) + b1 u(k − 1) + . . . + ǫ(k). (3.32)
Otros modelos comúnmente utilizados son: nd = nf = 0 el ARMAX , na = nc = nd =

0 error de salida y el Box-Jenkins con na = 0. Tanto los parámetros del modelo como los

órdenes de los polinimios se consideran como los parámetros desconocidos. También se utilizan
en identificación el modelo en espacio de estado:
X(k + 1) = AX(k) + BR(k) + w(k) (3.33)

C(k) = EX(k) + DR(k) + ǫ(k), (3.34)
donde w(k) y ǫ(k) son señales estocásticas y los elementos de las matrices los parámetros a
identificar.
Ejemplo 3.16
Un primer modelo para el ejemplo 3.15 se puede obtener con el método de error de predicción,
comando ‘pem’, el cual obtiene el modelo (3.33), (3.34) con w(k) = Kǫ(k); el orden y los
parámetros del modelo se obtienen minimizando el error entre la salida medida y la predecida
por el modelo.
>> m1=pem(di)
State-space model: x(t+Ts) = A x(t) + B u(t) + K e(t)
y(t) = C x(t) + D u(t) + e(t)
A =
x1 x2 x3
x1 0.95423 -0.21174 0.06628
x2 0.24784 0.6466 0.23888
x3 -0.04934 -0.65945 0.13319
B =
Potencia
x1 0.00023682
x2 0.016849
x3 0.051534
C =
x1 x2 x3
Temperatura -14.059 0.094448 0.043373
D =
Potencia
Temperatura 0
K =
Temperatura
x1 -0.06584
x2 0.0090332
x3 0.10811
x(0) =

x1 0
x2 0
x3 0
Estimated using PEM from data set di

Loss function 0.0015328 and FPE 0.00162761
Para obtener un modelo de estructura ARX (3.32) con dos polos, un cero y tres retardos, el
comando ‘arx’ estima esta clase de modelos mediante un algoritmo de mı́nimos cuadrados (ver
siguiente sección):
>> m2 = arx(di,[2 2 3])

Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t)
A(q) = 1 - 1.274 q^-1 + 0.3935 q^-2
B(q) = 0.06662 q^-3 + 0.04448 q^-4
Estimated using ARX from data set di

El MATLAB también cuenta con otras funciones para estimar modelos polinomiales de
la forma (3.31) como ARMAX, BOX-JENKINS y OE (Output Error), otras variantes para
modelos de espacio de estado como modelos de caja gris con parámetros preestablecidos ‘idgrey’
y estructuras especı́ficas para modelos de procesos ‘idproc’.
3.6.3. La selección del método de identificación

Realizado el experimento, se obtiene un conjunto de datos para la secuencia aplicada a la
entrada: u(k) = {u(1), u(2), . . . , u(N )} y los datos correspondientes de la secuencia de salida:
y(k) = {y(1), y(2), . . . , y(N )}. Con estos datos y el modelo escogido, el paso siguiente es estimar
sus parámetros θ̂ de forma que la respuesta predicha por el modelo ŷ(k) a los datos de entrada,
se ajuste lo mejor posible a los datos de salida del sistema; la comparación entre estas respuestas
se hace a través de una función de costo del error de predicción; una función muy utilizada para
este propósito, es la suma de los cuadrados del error:
N N
1 X 1 X
J= [e(k)]2 = [y(k) − ŷ(k)]2 . (3.35)
N N
k=1 k=1
Con la función de costo definida, el problema de la identificación de parámetros se convierte

en uno de optimización, en donde dados un conjunto de datos experimentales u(k) y y(k), se
debe minimizar la función de costo con respecto a los parámetros del modelo, ver la figura 3.26.
Nótese que si el modelo identificado es muy cercano al sistema real, entonces los errores de

Figura 3.26: La optimización para la estimación de parámetros.
predicción e(k) van a reflejar de manera cercana al ruido de medición ǫ(k). Si la estructura del
modelo escogido no es adecuada, sobre el error de predicción habrán las contribuciones por el
ruido de medida y las estructurales por la incapacidad del modelo de predecir adecuadamente,
lo que generará errores en los parámetros estimados. El algoritmo que resuelve el problema de
optimización también puede contribuir con errores en la identificación paramétrica.
Existe una gran cantidad de algoritmos numéricos para resolver el problema de optimización;
en el caso de una función de costo cuadrática del error con un modelo lineal en los parámetros,
el método de los mı́nimos cuadrados da una solución analı́tica. Para ilustrarlo se considera un
modelo ARX para estimar la salida ŷ(k) a partir de los datos anteriores:
ŷ(k) = −a1 y(k − 1) − a2 y(k − 2) − . . . − an y(k − n)

+b0 u(k) + b1 u(k − 1) + . . . + bm u(k − m),
 
−a1
−a2 
 
 .. 
 . 
 
 −an 
ŷ(k) = [y(k − 1), y(k − 2) . . . y(k − n), u(k), u(k − 1) . . . u(k − m)] 
 b0
.

 
 b1 
 
 . 
 .. 
bm
Definiendo el vector de parámetros: θ = [−a1 , −a2 . . . − an , b0 , b1 . . . bm ]T y el vector de

datos: ϕ(k) = [y(k − 1), y(k − 2) − . . . − y(k − n), u(k), u(k − 1) + . . . + u(k − m)]T , la salida

predicha es: ŷ(k) = ϕ(k)T θ y la función de costo se expresa por:

N N
1 X 1 X
J= [e(k)]2 = [y(k) − ϕ(k)T θ]2 . (3.36)
N N
k=1 k=1
La sumatoria en (3.36) se puede expresar matricialmente con el vector de datos de salida:
Y = [y(1), y(2), . . . , y(N )]T
y la matriz:  
ϕ(1)T
 ϕ(2)T 
 
Φ= .. ,
 . 
ϕ(N )T
ası́:
N
1 X 1 1
J= [e(k)]2 = [Y − Φθ]2 = [Y − Φθ]T [Y − Φθ]. (3.37)
N N N
k=1
Para minimizar (3.37) con respecto a θ, de deriva e iguala a cero:

∂J 1
= [−2Y T Φ + 2ΦT Φθ̂] = 0,
∂θ θ=θ̂ N
de donde se obtienen los parámetros estimados θ̂ que minimizan a J:
θ̂ = (ΦT Φ)−1 ΦT Y. (3.38)
Para que la solución (3.38) exista, la matriz (ΦT Φ) no debe ser singular, esto es, tener filas
linealmente independientes; el caso ideal para invertir una matriz es que sea diagonal con los
elementos en la diagonal diferentes de cero; note que la matriz (ΦT Φ) depende de la secuencia
de entrada, la solución se garantiza si la entrada se escoge de forma que su valor en un instante
dado no dependa de los anteriores (ruido blanco), o en general, si la secuencia de entrada excita
suficientemente al sistema en el rango de frecuencia de interés.
Ejemplo 3.17
Se desea estimar los parámetros a y b del sistema de primer orden:
y(k) = −ay(k − 1) + bu(k − 1),

P3
con los datos u(1), u(2), u(3) y y(1), y(2), y(3), minimizando J(a, b) = i=1 e(i).
En k = 2:
a
y(2) = −ay(1) + bu(1) = [−y(1) u(1)] .
b
En k = 3:
a
y(3) = −ay(2) + bu(2) = [−y(2) u(2)] ,
b

luego:
y(2) −y(1) u(1) a
= .
y(3) −y(2) u(2) b

y(2) −y(1) u(1) a
En este caso: Y = ,Φ= yθ= .
y(3) −y(2) u(2) b
La solución es (3.38) con:

y(1)2 + y(2)2 −y(1)u(1) − y(2)u(2)
ΦT Φ = ,
−y(1)u(1) − y(2)u(2) u(1)2 + u(2)2

T −y(1)y(2) − y(2)y(3)
Φ Y = ;
y(2)u(1) + y(3)u(2)
si:
[y(1)2 + y(2)2 ][u(1)2 + u(2)2 ] − [y(1)u(1) + y(2)u(2)]2 6= 0,
para N datos, las matrices ΦT Φ y ΦT Y son:
" PN −1 PN −1 #
T y(k)2 − y(k)u(k)
Φ Φ= PNk=1
−1
k=1
PN −1 2
,
− k=1 y(k)u(k) k=1 u(k)
" P #
N −1
T k=1 y(k + 1)y(k)
Φ Y = PN −1 .
k=1 y(k + 1)u(k)
△
Para analizar el sesgo en la estimación de parámetros, se supone que el sistema se representa
de manera exacta con:
Y = Φθo + ǫ, (3.39)
donde θo es el vector de parámetros reales y ǫ es un vector de ruido con media nula; entonces
de (3.38) se tiene:
θ̂ = θo + (ΦT Φ)−1 ΦT ǫ. (3.40)

Para que la estimación de parámetros no sea sesgada: θ̂ = θo , el segundo sumando debe ser
nulo; como la inversa no es nula, el término ΦT ǫ = 0. La correlación cruzada entre dos series
de datos:
N
1 X
Rϕǫ (k) = ϕ(i)ǫ(i − k),
N −1
i=k
estima la dependencia entre el valor queP

toma una serie en un instante dado y el que toma la otra
N
en k muestreos después; como ΦT ǫ = i=1 ϕ(i)ǫ(i) = Rϕǫ (0) = 0, no debe haber correlación
entre los datos ϕ(k) y el ruido ǫ(k).
El método de los mı́nimos cuadrados no garantiza que el sesgo en los parámetros sea nulo
para sistemas ARMAX u otras estructuras con dinámicas de ruido; hay extensiones del método
como el recursivo, variable instrumental, máximo de verosimilitud o predicción de error, que
mejoran su desempeño para estructuras de modelos más complejas como en (3.31).

3.6.4. La validación del modelo

Obtenido el modelo es necesario probarlo para verificar que representa adecuadamente al
sistema. Para su validación, es usual utilizar entradas tı́picas de prueba como el escalón o el
impulso para observar cualitativamente su desempeño; también se pueden comparar la ubicación
de los polos y ceros y comparar la respuesta del sistema con la del modelo utilizando los datos
de validación.
Ejemplo 3.18
Para los sistemas obtenidos en los ejemplos anteriores, el comando del MATLAB:
>> step(m1,di)
obtiene las respuestas al escalón para el modelo de espacio de estados y la calculada con los
datos (modelo FIR con filtros de entrada), ver la figura 3.27. Para el modelo ARX, el mapa
From Potencia
1.2
0.8
To Temperatura
0.6
0.4
0.2
−0.2
−2 −1 0 1 2 3 4 5
Time
Figura 3.27: Respuestas al escalón del sistema térmico.
de polos y ceros con regiones de incertidumbre en su ubicación de tres desviaciones éstandar

(figura 3.28), se calcula con:
>> pzmap(m2,’sd’,3)
Nótese que el proceso de identificación del modelo lleva de manera directa a un modelo con
incertidumbre; las desviaciones éstandar del modelo son:

From Potencia
1
0.8
0.6
0.4
To Temperatura
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
Figura 3.28: Mapa de polos y ceros de los modelos para el sistema térmico.
>> m2.da %desviaciones de los parámetros del polinomio A
ans =
0 0.0209 0.0191
>> m2.db %desviaciones de los parámetros del polinomio B
ans =
0 0 0 0.0021 0.0033
El comando ‘compare’ permite comparar las respuestas del modelo con la real del sistema;
usando los datos de validación se obtiene la comparación de la figura 3.29.
>> dv = detrend(sec(500:600));compare(dv,m2)
El ı́ndice F it se calcula como:

1 − Y − Ŷ
F IT = × 100 [ %],
Y − Y

Measured Output and Simulated Model Output

2
Measured Output
m2 Fit: 86.63%
1.5
1
Temperatura
0.5
−0.5
−1
−1.5
40 42 44 46 48
Time
Figura 3.29: Comparación entre los datos de validación dv y la respuesta del modelo ARX.
donde Y es el vector de datos de validación, Ŷ el vector de datos de salida estimados por

el modelo y Y el promedio de los datos; F IT indica en qué porcentaje de variación de la
salida está la respuesta del modelo. Un modelo con un porcentaje de aciertos mayor al 80 % es
aceptable para la mayorı́a de sistemas de control. △
En el ejemplo 3.16 los métodos numéricos que obtuvieron los modelos de espacio de estado
y
PN ARX, informan los ı́ndices LossF cn y F P E; LossF cn es el valor del ı́ndice de costo J:
2
k=1 [y(k) − ŷ] del método de identificación evaluado en la estimación final; FPE es un ı́ndice
que pondera la suma de los errores y el número de parámetros d en el modelo:
F P E = LossF cn ∗ (1 + d/N )/(1 − d/N ).
Estos ı́ndices ayudan en la validación pues permiten comparar diferentes ensayos de identi-
ficación para distintos órdenes del modelo, parámetros prefijados, rangos de parámetros, etc.
Otra prueba del modelo son las estadı́sticas del error de predicción e(k) (residuos); como
se analizó en la sección anterior los residuos deben ser cercanos al ruido blanco; la función de
autocorrelación:
N
1 X
Ree (k) = e(i)e(i − k),
N −1
i=k
del ruido blanco es nula para k 6= 0. Igualmente, para una buena identificación no debe haber
correlación entre la entrada y los residuos. El comando del MATLAB ‘resid’ calcula estas
estadı́sticas, con los intervalos de confianza del 99 %.

Ejemplo 3.19
>> resid(dv,m2)
Correlation function of residuals. Output Temperatura

1
0.5
−0.5
0 5 10 15 20 25
lag
Cross corr. function between input Potencia and residuals from output Temperatura
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25
lag
Figura 3.30: Análisis de los residuos para el modelo ARX.
Como se observa en la figura 3.30, para −25 ≤ k ≤ 25, la autocorrelación de los residuos y su
correlación con la entrada, están dentro de los intervalos de confianza. △
Se puede dar el caso de tener una correlación entre los residuos y la entrada adecuada, pero
no la autocorrelación de los residuos; esto es un indicativo de un buen modelo entre la entrada
y la salida, pero no para el disturbio e(k).
Si el modelo no pasa las pruebas de validación, se debe identificar otro, bien sea de mayor
orden, con otra estructura o con otro método numérico; la causa de una invalidación se puede
deber también a los datos en cuyo caso se debe repetir el proceso desde la experimentación.
Obtenido el modelo discreto, se puede convertir a uno continuo si es del caso, mediante el
comando ‘d2c’:
>> m3=d2c(m2)
Continuous-time IDPOLY model: A(s)y(t) = B(s)u(t) + C(s)e(t)
A(s) = s^2 + 11.66 s + 29.23
B(s) = 0.04966 s + 27.11

3.7. RESUMEN
C(s) = s^2 + 26.84 s + 244
Input delays (listed by channel): 0.16

Estimated using ARX from data set di
El MATLAB tiene también distintas rutinas que estiman modelos de tiempo continuo; esto
es de interés en el caso de modelos de caja gris, para los cuales se conocen a priori algunos
parámetros.
3.7. Resumen
Los sistemas lineales discretos procesan secuencias de datos mediantes ecuaciones de diferen-
cia; mediante la transformada Z se resuelven las ecuaciones de diferencia en forma algebraica;
la función de transferencia discreta relaciona las transformadas Z de las entradas y salidas en
forma algebraica.
Con la representación matemática del muestreo mediante la modulación por impulsos y la
función de transferencia de la retención, un sistema de control digital se representa en diagramas
de bloques; si solo se calculan las variables en los instantes de muestreo, el diagrama de bloques
se representa con funciones de transferencia de pulsos. La interconexión de las funciones de
transferencia de pulsos depende de la ubicación de los muestreadores.
Para reconstruir una señal original en tiempo continuo a partir de la señal muestreada, se
debe muestrear al menos con el doble de la frecuencia de la señal continua. Si no se cumple esto,
aparecen alias indeseados de frecuencias más altas en el espectro de la señal y se pueden perder
oscilaciones de la señal. Para evitar lo anterior, en los sistemas de control se debe muestrear
suficientemente rápido la señal de realimentación limitada en ancho de banda mediante un filtro
pasobajo de antiplegamiento.
Al igual que para los sistemas continuos, los sistemas de tiempo discreto se modelan también
mediante el espacio de estados.
En la identificación paramétrica de sistemas de tiempo discreto, primero se aplica una señal
rica en frecuencia pero simple de generar como la SBPA. Se toman dos conjuntos de datos uno
para la identificación y el otro para la validación del modelo. Con los datos de identificación y un
modelo previamente escogido, se estiman los parámetros del modelo de forma que su respuesta
a los datos de entrada, se ajuste lo mejor posible a los datos de salida medidos; el ajuste se
realiza minimizando una función de costo del error de predicción. El modelo obtenido se prueba
con los datos de validación, comparando las respuestas del modelo con las medidas y usando la
autocorrelación del error y la correlación entre la entrada y el error. El proceso es iterativo pues
si el modelo no pasa las pruebas de validación, se debe identificar otro, bien sea de orden mayor,
con otra estructura, otro método numérico o nuevos datos de experimentación. Finalmente, si
se requiere, el modelo discreto se puede convertir a uno continuo.


Existen diferencias entre el análisis de sistemas de tiempo discreto mediante la transformada
Z y el operador retardo, ver la sección 2.7 de Aström and Wittenmark [1997].
Sobre la identificación de sistemas fisiológicos con discusión sobre la identificación en red
cerrada, ver el capı́tulo 7 de (Khoo, 2000).
Se sugiere al lector recorrer la documentación y las demostraciones de la caja de herramien-
tas para identificación del MATLAB, las cuales recorren las principales herramientas para la
identificación de sistemas dinámicos incluyendo la interfaz gráfica de usuario (GUI) ident.

Ejercicio 3.1
Tome una cuerda de unos 20cm de largo; juntando sus extremos, córtela a la mitad; toma
una de las mitades y córtela de nuevo a la mitad; repita el procedimiento varias veces. Planteee
una ecuación en diferencias que calcule la longitud de la porción de la cuerda obtenida, en
función de la longitud original y el número de cortes realizado.
Ejercicio 3.2
Palantee una ecuación analı́tica que de la solución del ejercicio anterior.

Ejercicio 3.3
Se desea determinar una expresión recursiva (Ecuación de diferencias) para encontrar la
n-ésima raı́z de un número N. La expansión en la Serie de Taylor de una función f(x) alrededor
de un punto xn es:
(x − xn )2 ′′
f (x) = f (xn ) + (x − xn )f ′ (xn ) + f (xn ) + . . .
2!
Si se trunca la serie luego de dos términos, se tiene:
f (x) = f (xn ) + (x − xn )f ′ (xn ).
Sea x la próxima iteración xn+1 y una de las soluciones de la ecuación, f(x) = 0. Ası́:
0 = f (xn ) + (xn+1 − xn )f ′ (xn ),
ó:
f (xn )
xn+1 = xn − .
f ′ (xn )
Con esta ecuación se puede solucionar f (x) = 0; escoja apropiadamente f (x) y determine la
correspondiente ecuación de diferencias para hallar la m-ésima raı́z de un número N. Realice 5
iteraciones para calcular la raı́z cúbica de 5 usando x0 = 1 como supuesto inicial.

Ejercicio 3.4
Use la transformada Z para resolver la ecuación de diferencias:
y(k) − 3y(k − 1) + 2y(k − 2) = 2u(k − 1) − 2u(k − 2),
con:
u(k) = k k≥0
u(k) = 0 k<0
y(k) = 0 k < 0.
Ejercicio 3.5
Calcule la transformada inversa x(k) para cada una de las siguientes transformadas:
1
a) X(z) = 1+z −2 .
1+z −1 −z −2
b) X(z) = 1−z −1 .
z
c) X(z) = z 2 −2z+1 .
z
d) X(z) = (z−1)2 (z−2) .
Ejercicio 3.6
Resuelva (k + 2)x(k + 2) − 2(k + 1)x(k + 1) + kx(k) = 1 con x(k) = 0 para k ≤ 0.
Ejercicio 3.7 Kuo [1996]

Calcule YR(z)
(z)
para los sistemas de las figuras 3.31 a 3.32, con T = 0.5 s.
r(t)+ e(t) e*(t) y(t)

T ROC G(s)
−
10
G(s) = (s+1)(s+2)
Figura 3.31: Sistema 1.

r(t) r*(t) 1 10 y(t)

T s+1 s+2
(b)
r(t) r*(t) 1 10 y(t)

T s+1 T s+2
(c)
r(t) r*(t) h(t) 5 y(t)

T ZOH s(s+2)
(d)
r(t) + e(t) e*(t) h(t) 5 y(t)

T ZOH s(s+2)
−
(e)
r(t) + e(t) e*(t) h(t) 5 y(t)

T ZOH s(s+1)(s+2)
−
(f)
Figura 3.32: Sistemas (b) a (f).
Ejercicio 3.8
Para el sistema de datos muestreados de la figura 3.33, obtenga las ecuaciones de estado
discretas del sistema.
r(t)+ e(t) e*(t) y(t)

T ROC G(s)
−
1
G(s) = s+1 T = 1s
Figura 3.33: Diagrama de bloques, ejercicio 3.8.
Ejercicio 3.9
La figura 3.34 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control en cascada, con los
dos muestreadores perfectamente sincronizados.
z+1 1 B(z)
1. Con Gc1 = z−1 y G1 (s) = 2s+1 calcule la dinámica del lazo de control interno, A2 (z) .

Figura 3.34: Sistema de control de datos muestreados en cascada.
2. Se desea simular en un computador el lazo de control interno, de forma que se pueda

observar la señal de salida del lazo b(k) y la señal de control a1 (k). Para facilitar la
elaboración del programa de computador, obtenga una representación del lazo interno en
el espacio de estado discreto, considerando a b(k) y a a1 (k) como salidas.
C(z)
3. Calcule (si existe) la dinámica del sistema: R(z) en función de Gc1 , Gc2 , G1 , G2 , G3 =ROC.
Ejercicio 3.10
Para el sistema de la figura 3.35, obtenga la función de transferencia discreta y una repre-
sentación del sistema en el espacio de estado discreto.
r(kT ) 1−2s c(t) c(kT )

ROC s+1 T
Figura 3.35: Diagrama de bloques para el ejercicio 3.10.
Ejercicio 3.11
Figura 3.36: Diagrama de bloques para el ejercicio 3.11.

La figura 3.36 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control digital. Obtenga

una representación del sistema en el espacio de estado discreto, considerando a c(k) y a a(k)
como salidas.
Ejercicio 3.12
r(kT ) a(kT ) 2 c(kT )

Controlador ROC s+2 T =1
Figura 3.37: Sistema de control para el ejercicio 3.12.
Para el sistema de la figura 3.37, el controlador ejecuta la ley de control:
a(kT ) = kp e(kT ) + ki a1 (kT ) − kd (c(kT ) − c(kT − T )) ,
donde:
e(kT ) = r(kT ) − c(kT )
T
a1 (kT ) = a1 (kT − T ) + (e(kT ) + e(kT − T )).
2
C(z)
1. Calcule la función de transferencia R(z) .
2. Con kd = 0, obtenga una representación del sistema en el espacio de estado discreto,

considerando a c(kT ), a(kT ) y e(kT ) como salidas.
Ejercicio 3.13
Sea el diagrama de instrumentación del tanque de un intercambiador de calor, figura 3.38.
El tanque tiene una sección cuadrada de un metro de lado; en él LT genera una señal eléctrica
b1(t) igual al nivel del producto en el tanque h(t); la válvula V1 varı́a el flujo del producto frı́o
qf (t) como la mitad del valor de la señal a1(t). El flujo del producto caliente qo (t) se regula de
forma independiente con un sistema de control externo que garantiza las demandas del producto
caliente en el resto del proceso. El controlador C1 es digital con perı́odo de muestreo T de un
segundo, e implementa la ley de control: a(k) = 3e(k) + 2ad (k), donde:
e(k) = [R1(k) − b1(k)], b1(k) = b1∗ (t),
ad (k) = ad (k − 1) + [e(k) + e(k − 1)]/2;

la señal calculada a(k) se envı́a a un retenedor de orden cero, cuya salida es la señal de control
H(z)
de la válvula a1(t). Calcule la función de transferencia: R1(z) .
Ejercicio 3.14
La figura 3.39 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control digital. La dinámica
del sistema, C(z)
R(z) es

Figura 3.38: Sistema de control para un intercambiador de calor, ejercicio 3.13.
Figura 3.39: Sistema de control digital para el ejercicio 3.14.
0.5(z−0.5)z
A. 1.5z 2 −1.9z+0.6 .
0.4(z−0.5)
B. z 2 −1.2z+0.4 .
0.5(z−0.5)
C. 1.5z 2 −1.9z+0.6 .
0.4(z−0.5)
D. z 2 −2z+0.8 .


1. Para el problema de control, obtenga modelos lineales nominales en función de transfe-
rencia de pulsos y en representación de estado de tiempo discreto, usando técnicas de
identificación.
2. Modele las incertidumbres del modelo identificado en representación entrada-salida.
3. Valide el modelo obtenido; presente y compare la respuesta al escalón experimental y la

del modelo, la comparación con los datos de validación y mediante el análisis de residuos.
Explique posibles diferencias.

Capı́tulo 4
Análisis de las caracterı́sticas de

los sistemas realimentados
4.1. Introducción
En el capı́tulo 1 se planteó la necesitad de introducir la retroalimentación para mejorar el
desempeño de un sistema dinámico; igualmente se ha observado en los capı́tulos anteriores,
que los sistemas a controlar pueden estar sujetos a variaciones parámetricas indeseadas, co-
mo el cambio de una resistencia por calentamiento en un circuito eléctrico o en un motor, a
perturbaciones que desvı́an la salida del valor deseado, como la carga en el sistema, y a ruido
en la medición; también es deseable ajustar a los valores deseados, el comportamiento en lazo
cerrado tanto transitorio como permanente. Se añade a lo anterior, la necesidad que el sistema
realimentado sea estable para que pueda ser útil.
En este capı́tulo se analizan los principales efectos de la realimentación en ciertas propieda-
des de los sistemas, tales como: ganancia, respuesta transitoria, error permanente, sensibilidad a
los cambios de parámetros, perturbaciones y la estabilidad del sistema; se realiza una compara-
ción de estas caracterı́sticas para sistemas compuestos por el actuador y el proceso a controlar,
operando con un control manual de lazo abierto y con respecto al mismo proceso realimen-
tado con un control automático. El análisis es en tiempo continuo mediante las funciones de
transferencia.
Inicialmente se definen las funciones de error y las de sensibilidad, con las cuales se cuantifican
los efectos en el sistema debidos a disturbios, ruido e incertidumbre en la planta; también se
describe el funcionamiento transitorio de un sistema realimentado y se muestra cómo puede
mejorarse con el controlador en lazo cerrado. También se considera brevemente el problema de
la estabilidad de los sistemas realimentados, tema que será tratado en detalle más adelante.
Por supuesto, las ventajas de un sistema de control realimentado vienen acompañadas de un
costo adicional por el controlador y el sensor, al cual se le exige en particular, alta insensibilidad
paramétrica e inmunidad al ruido; se muestra cómo se logran grandes mejoras con la realimen-
tación, diseñando adecuadamente el controlador y selecccionando apropiadamente el sensor.
187
4.2. SISTEMAS EN RED ABIERTA Y EN RED CERRADA
4.2. Sistemas en red abierta y en red cerrada

Lúdica 4.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 30 minutos y requiere del plano y el cilindro.
1. Analice la respuesta del cilindro para una inclinación dada.

2. Tome el plano con sus manos cerca de usted y posicione el cilindro en el centro; trate de
mantener la posición mientras camina en distintas direcciones. Repita lo anterior cerrando
los ojos luego de posicionar el cilindro en el centro. Tome nota de la precisión con la que
puede mantener el cilindro en el centro.
3. Trate de mantener el cilindro en el centro durante un par de minutos, parado en un solo
pie y sosteniendo el plano con los brazos bien extendidos al frente. Repı́talo con los ojos
cerrados.
4. Sostenga el plano con sus manos cerca de usted y posicione el cilindro en el centro; con
los ojos cerrados, otra persona frente a usted le indica oralmente la acción a realizar sobre
el plano para mantener el cilindro en el centro.
A partir del desempeño logrado para cada caso, ¿qué puede concluir acerca del compor-
tamiento del sistema con relación a los disturbios y al cansancio? ¿Es el sistema estable
con y sin realimentación?
La primera actividad de la lúdica anterior permite observar el comportamiento del plano

y el cilindro sin realimentación (primara actividad y actividades con los ojos cerrados) y con
un control realimentado. En ambos casos el sistema se somete a disturbios, como el caminar,
y a cambios de comportamiento del control por el cansancio o la adición de la dinámica de la
comunicación oral.
Para el análisis de los efectos de la realimentación en estas condiciones, se consideran los
sistemas en red abierta, figura 4.1 y en red cerrada, figura 4.2.
Figura 4.1: Sistema de control en red abierta.
En red abierta se tiene la planta a controlar con el actuador Gp (s), un disturbio a la entrada
del proceso De (s), un disturbio a la salida del proceso Ds (s) y un control directo (feedforward
en inglés) de la referencia Gf (s), el cual se considera como una ganancia ajustable: Gf (s) = kA ,
para representar el control manual. Como se analizó en la sección 2.6.6, los disturbios pueden
tener funciones de transferencia en la perturbación, pero considerar los de entrada y salida al
proceso simplifica el análisis sin pérdida de generalidad. En red cerrada se tiene la misma planta
de red abierta con los disturbios, el controlador Gc (s), la dinámica de la medida H(s) y el ruido
de medición N (s).

4.2. SISTEMAS EN RED ABIERTA Y EN RED CERRADA
Figura 4.2: Sistema de control en red cerrada.
Por simplicidad en la representación de los cálculos, en algunas partes de este capı́tulo se

omitirá la dependencia de las funciones de transferencia con la frecuencia compleja s. También
en algunos casos se usará la función de transferencia directa: G(s) = Gc,f (s)Gp (s), definida
para la forma canónica de los sistemas de control (ver la figura 2.17). A continuación se definen
varias funciones de importancia en el análisis de los sistemas de control.
4.2.1. Funciones de error

Una caracterı́stica importante de desempeño de un sistema de control es el error con el cual
la salida c(t) sigue a la entrada de referencia r(t); considerando solo la entrada de referencia,
se definen el error de control ec (t) y el error actuante e(t) como:
R(s)
ec (t) = r(t) − c(t); Ec (s) = [R(s) − C(s)] = [1 − G(s) + GH(s)]; (4.1)
1 + GH(s)
R(s)
e(t) = r(t) − b(t); E(s) = [R(s) − H(s)C(s)] = . (4.2)
1 + GH(s)
Note que el error actuante E(s) es el error de control Ec (s), cuando H(s) = 1, lo cual debe ocu-
rrir en régimen estacionario o en baja frecuencia, para un sistema controlado con una adecuada
medición y normalización.
4.2.2. Funciones de sensibilidad

La salida C(s) del sistema de control de la figura 4.2 es:
Gc Gp Gc Gp Gp 1
C = CR + CN + CDe + CDs = R− N+ De + Ds
1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H
(4.3)
La función de transferencia entre la salida y la perturbación de salida Ds en (4.3) es:
1 1
S= = , (4.4)
1 + GH 1 + Gc Gp H

4.3. GANANCIA
y se conoce como la función de sensibilidad del sistema.

La función de transferencia entre la salida y la perturbación de entrada De es:
Gp Gp
Se = = , (4.5)
1 + GH 1 + Gc Gp H
la cual se define como la función de sensibilidad de carga o de entrada.

La función de transferencia de red cerrada es:
G Gc Gp
T = = . (4.6)
1 + GH 1 + Gc Gp H
Como T + S = 1, a T (s) se le denomina también función de sensibilidad complementaria.

Para el análisis del sistema realimentado se debe calcular la señal de control:
Gc Gc Gc Gp H Gc H
A = AR +AN +ADe +ADs = R− N− De − Ds .
1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H
(4.7)
La función de transferencia que define la relación entre la señal de control y la referencia o
el ruido en (4.7) es:
Gc Gc
Ss = = (4.8)
1 + GH 1 + Gc Gp H
y se conoce como la función de sensibilidad del ruido o de salida.
4.3. Ganancia
Se observa en los sistemas de las figuras 4.1 y 4.2 que la entrada al controlador es R(s) en
red abierta, mientras que en red cerrada es el error actuante E(s). Es de esperarse por lo tanto,
que para el mismo valor de la entrada R(s), la salida del sistema en red cerrada sea menor, en
efecto, las funciones de transferencia son:
Red abierta Red cerrada
C(s) C(s) G(s)

= G(s) = ,
R(s) R(s) 1 + GH(s)
luego la ganancia total del sistema se reduce en el factor de la función de sensibilidad S,

1/[1 + GH(s)]. Como en red cerrada se quiere un error pequeño, el término [1 + GH(s)] debe
ser grande y en principio se pierde más ganancia en el sistema.
Ejemplo 4.1
Se considera un sistema de control para el voltaje en terminales en generadores sincrónicos,
con una dinámica de primer orden para la planta y el actuador: Gp (s) = 1+τ1 g s , τg = 5s y un
controlador proporcional de ganancia kA , ajustada de forma que ante un escalón en la entrada
R(s) = VR (s) = 1/s, el voltaje de salida C(s) = VT (s) sea uno en por unidad PU en estado

4.3. GANANCIA
estable, con tolerancia del 1 %: vT (t)t→∞ = 1 ± 0.01. Usando el teorema del valor final y deno-
tando los valores estacionarios de la entrada y la salida por: vRss , vT ss el ajuste de la ganancia
para cada condición de operación es:
VT (s) kA VT (s) kA
= =
VR (s) 1 + τg s VR (s) 1 + τg s + k A
VT (s) vT ss VT (s) kA
= = kA =
VR (s) s→0 vRss VR (s) s→0 1 + kA
vT ss = kA vRss kA
vT ss = vRss
1 + kA
1 = kA kA
0.99 =
1 + kA
kA = 1 kA = 99
Para mantener los mismos niveles de señal a la entrada y salida del lazo, se debe incrementar
la ganancia de amplificación kA para contrarrestar la pérdida de ganancia al realimentar. Los
sistemas de control de la excitación para generadores sincrónicos tienen exigencias elevadas de
error estacionario que les exigen ganancias que pueden llegar hasta 400, IEEE [2006]. △
Este ejemplo ilustra el uso de la calibración para ajustar la salida al valor deseado; en el
paso 2 de la lúdica 4.1, se hizo lo mismo al posicionar inicialmente en el centro el cilindro y
luego cerrar los ojos.
Los sistemas de control pueden tener controladores de dos grados de libertad, el controlador
sobre el error Gc (s) y un controlador directo Gf (s) entre la entrada de referencia y el comparador
de error. En el capı́tulo 10 de diseño de sistemas de control, se analizará más en detalle esta
estrategia de control.
Para el ejemplo anterior, en red abierta el control se calibra de forma que el error estacionario
es nulo y en red cerrada es del 1 %; sin embargo, en red cerrada se puede eliminar este corrimiento
del 1 % usando el control directo estático Gf (s) = kf =1.01.

4.3. GANANCIA
También es posible eliminar el error permanente eSS usando una acción integral en el con-
trolador: Gc (s) = ki /s, note de (4.2) que el error permanente es:
ess = lı́m e(t) = lı́m sE(s),

t→∞ s→0
sR(s) 1
ess = lı́m = lı́m ki
= 0,
s→0 1 + GH(s) s→0 1 +
s(1+τ g s)
en donde se asume sE(s) no tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho, para
garantizar que el lı́mite existe.
Los sistemas de control de alta ganancia pueden saturar el actuador y amplificar
el ruido; observe que la función de transferencia entre la entrada al generador y la entrada de
referencia es, en red abierta:
EF
= kA = 1,
VR
por lo que se aplica al generador la tensión nominal EF = 1/s.
En red cerrada:
EF kA (1 + τg s)
= .
VR 1 + τg s + k A
Esta función responde en el instante del escalón con su ganancia transitoria de:
99(1 + τg s)
lı́m = 99,
s→∞ 100 + τg s
el actuador de estos sistemas tiene una salida máxima de 10, por lo tanto se saturará; es por
ello que estos sistemas tienen secuencias especiales de arranque que solo permiten la operación
en control automático, muy cerca del punto nominal del voltaje.
Ejemplo 4.2
El controlador PI: Gc = 8(s + 1)/s, tiene acción integral para eliminar el error permanente
y una ganancia transitoria aceptable de 8. Las figuras en la página siguiente muestran las
respuestas al escalón para la tensión en terminales vt (t) y la tensión de campo ef (t), con
el sistema en red abierta RA, y en red cerrada usando los controladores proporcional P y
Proporcional Integral, PI. El control en red abierta responde con la dinámica lenta del generador;
el control P responde muy rápido, exigiendo al máximo al actuador al inicio del transitorio,
luego se estabiliza con el error estacionario de 0.01PU; el controlador PI alcanza con sobrepaso
el valor final sin error estacionario en aproximadamente 5 segundos, lo cual es suficientemente
rápido para estos sistemas. △
Aunque en principio mediante una adecuada calibración del control manual y del control
directo se pueden lograr errores nulos en red abierta y en red cerrada, la ventaja de la realimen-
tación es que trata de mantener estos valores en presencia de cambios del sistema y disturbios.
En la lúdica 4.1 el cilindro no se mantiene en el centro en las actividades con los ojos cerrados.
Las siguientes secciones analizan el comportamiento de los sistemas en red abierta y en red
cerrada ante variaciones paramétricas y disturbios.

4.4. INCERTIDUMBRE
1.4 11
PI PI
P 10 P
1.2 RA RA
9
1 8
7
0.8
6
VT
EF
5
0.6
4
0.4 3
2
0.2
1
0 0
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
Tiempo Tiempo
Figura 4.3: Respuestas voltajes en terminales vt (t) (izquierda) y de campo ef (t) (derecha).
4.4. Incertidumbre
En la lúdica 4.1 la precisión con que se ubica el cilindro en el centro cambia con el tiempo
de duración del ejercicio, debido al cansancio o por el deterioro de los elementos. Como se men-
cionó en la sección 2.5, los modelos tienen incertidumbres asociadas a dinámicas no modeladas
o cambios de los parámetros con la edad, el punto de operación, los cambios de carga, cambios
ambientales, etc.
Para el análisis del efecto de la incertidumbre en los sistemas de red abierta y red cerrada,
se considera que la función de transferencia de red directa G(s) sufre un cambio infinitesimal
en su dinámica y adquiere el nuevo valor: G(s) + ∆G(s). La función de sensibilidad del sistema
T
SG (s) se define como la relación entre el cambio relativo en su función de transferencia T (s)
(esto es ∆T /T ) y el cambio relativo en la planta G(s), (∆G/G):
" #
T ∆T /T dT G
SG = lı́m = . (4.9)
∆→0 ∆G/G dG T
Una sensibilidad baja o nula, indica que el sistema de control es robusto con respecto a las
variaciones en la planta; una sensibilidad cercana a uno o mayor, indica una alta sensibilidad
del sistema controlado a las variaciones del proceso, como sucede en red abierta, pues T = G y
T
la función de sensibilidad es: SG = 1.
En red cerrada la evaluación de (4.9) con T dado por (4.6), es:
" #
T G dT G(1 + GH) 1 + GH − GH 1
SG = = = . (4.10)
T dG G (1 + GH)2 1 + GH
T
Note que la sensibilidad en T (s) a la incertidumbre en G(s), SG (s) corresponde a la función
de sensibilidad S(4.4). Si la sensibilidad S es pequeña al aumentar GH(s) en el rango
de frecuencias de interés, la sensibilidad del sistema en red cerrada a variaciones
T
en la planta G, SG (s) se reduce.

4.4. INCERTIDUMBRE
En particular en el régimen estacionario, si existe una integración en GH(s), como ocurre

T
con una acción integral en el controlador, la sensibilidad en red cerrada SG (0) = 0 y el sistema
es completamente inmune a las variaciones de la planta en estado estable.
Si el cambio ocurre en la dinámica de la medida H(s), la sensibilidad del sistema de control
T
SH (s) es: " #
2
T H dT H(1 + GH) −G
SH = = ,
T dH G (1 + GH)2
T −GH(s)
SH = . (4.11)
1 + GH(s)
T
Con alta ganancia en GH(s), SH ≈ −1 (el signo negativo indica un decremento relativo en T
para un aumento relativo en H y viceversa); note que una integración en el controlador o el
proceso genera una ganancia muy alta en GH en baja frecuencia, por lo que no se eliminan los
errores generados por la imprecisión de la realimentación en estado estable. Se requiere por
lo tanto tener una medida insensible y precisa.
De manera similar a (4.9), se define la función de sensibilidad paramétrica del sistema SkT ,
para cuantificar los cambios en la función de transferencia del sistema T (s) debidos a cambios
en el parámetro k: " #
T ∆T /T dT k
Sk = lı́m = . (4.12)
∆→0 ∆k/k dk T
En general, si el parámetro k es lineal en los polinomios del numerador y denominador:
A1 (s) + A2 (s)k
T (s) = ,
A3 (s) + A4 (s)k
donde los Ai (s) son polinomios de la frecuencia s, el cálculo de la función de sensibilidad (4.12)
es:
k(A2 A3 − A1 A4 )
SkT = . (4.13)
(A3 + kA4 )(A1 + kA2 )
En el caso en que el parámetro sea la ganancia de G(s) = kN (s)/D(s), la función de
transferencia de red cerrada es T = kN/(D + kN H); evaluando (4.13) con A1 = 0, A2 =
N, A3 = D, A4 = N H, se obtiene:
1
SkT = T
= SG . (4.14)
1 + GH
Ejemplo 4.3
Para el sistema de control del ejemplo 4.1, la dinámica del generador cambia con el punto
de operación debido a la saturación magnética; sea la función de transferencia del generador
k
con el actuador: Gp (s) = 1+5s , donde k = 1 es la ganacia nominal, pero varı́a entre 0.8 y 1.1.
La figura siguiente muestra las respuestas al escalón de entrada en red abierta y con el control
P en red cerrada para cinco sistemas generados aleatoriamente en cada caso, utilizando las
ganancias kA ajustadas en el ejemplo 4.1; nótese cómo se reduce la dispersión en las respuestas
para el sistema en red cerrada. Ahora se analizan los efectos en estado estable sobre la tensión
en terminales debido a una atenuación del 10 % en la ganancia del generador y una variación

4.5. RECHAZO DE PERTURBACIONES
Respuesta al escalón en red abierta Respuesta al escalón en red cerrada
1.4 1
Nominal 0.9
1.2 Muestras
Nominal
0.8
Muestras
1 0.7
0.6
Amplitude
Amplitude
0.8
0.5
0.6
0.4
0.4 0.3
0.2
0.2
0.1
0 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Time (sec) Time (sec)
Figura 4.4: Respuestas al escalón sistemas en red abierta y en red cerrada.
igual en la ganancia de la medida (kM ). Como la entrada R(s) no cambia, los cambios de la
salida C(s) = T (s)R(s) solo se deben a los cambios en T : ∆C(s) = ∆T (s) = SkT ∆k.
En red abierta: SkT = 1, luego ∆vT ss = ∆k=0.1 y vT ss se atenúa en 0.1, pasando de 1 a 0.9
PU.
En red cerrada con GH(s) = 99/(1 + 5s), la sensibilidad es:
1 1 + 5s
SkT (s) = = .
1 + GH(s) 1 + 5s + 99
En estado estable: SkT (0) = 0.01, luego ∆vT ss =0.01∆k, vT ss sólo se atenúa en 0.001, pasando
de 0.99 a 0.9890 PU.
Para la variación en la realimentación,
−GH(s) −99
SkTM = = .
1 + GH(s) 1 + 5s + 99
En estado estable: SkTM = - 0.99, luego ∆vT ss = - 0.99∆kM , vT ss se incrementa en 0.099,

pasando de 0.99 a 1.089 PU. △
4.5. Rechazo de perturbaciones

Si controlando el cilindro en el centro para la lúdica 4.1 alguien presiona uno de sus lados, el
cilindro se desviará transitoriamente. Como ya se ha comentado, la regulación de perturbaciones

de carga es uno de los objetivos más importantes de los sistemas realimentados. En esta sección
se analiza el efecto de la realimentación al rechazo de las perturbaciones De (s) y Ds (s) y los
efectos que tiene el ruido N (s) en la operación en red cerrada.
4.5.1. Perturbaciones de carga

En red abierta (figura 4.1), la salida del sistema es:
C = CR + CDe + CDs = Gf Gp R + Gp De + Ds . (4.15)
En red cerrada (figura 4.2) con N = 0, la salida es:
Gc Gp Gp 1
C = CR + CDe + CDs = R+ De + Ds . (4.16)
1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H 1 + Gc Gp H
Los parámetros de Gf y Gc se ajustan de forma que las componentes de la salida debidas

a la entrada de referencia CR son las requeridas por el problema de control y son por lo tanto
muy similares en las ecuaciones (4.15) y (4.16); por lo anterior, en red cerrada las componentes
debidas a los disturbios CDe y CDs se afectan con relación a la misma componente en red
abierta, en el factor de la función de sensibilidad S (4.4), ası́, las respuestas serán atenuadas si
S < 1, pero amplificadas si S > 1, por ello, se debe mantener bajo el máximo de S para
una eyección efectiva de las perturbaciones en los sistemas de control.
Para un disturbio de salida, si existe una integración en el controlador Gc y/o en el proceso
Gp , la ganancia estacionaria de G = Gc Gp , tiende a infinito: G(0) → ∞ y si el sistema es
estable, la componente de un escalón unitario de disturbio en la salida en estado estable cdss ,
es:
sDs (s) 1
cdss = lı́m = = 0.
s→0 1 + G(s) 1 + G(0)
Para el disturbio de entrada, lo anterior también se cumple si existe integración en el controlador,
la integración en el proceso no elimina el error estacionario para los disturbios de entrada.
Un sistema realimentado puede por lo tanto, eliminar las desviaciones permanentes debidas
a disturbios constantes de carga. Otros disturbios como rampas o sinusoides, también se pueden
eyectar adicionándole los polos apropiados al controlador (ver sección 10.5.3).
Ejemplo 4.4
En el ejemplo 2.28 se presentó el modelo del generador sincrónico con el disturbio que
representa la conexión súbita de un motor de inducción. Con este modelo, ante la conexión del
motor a la tensión nominal de 1PU, la salida cae inicialmente 0.9PU y luego del transitorio
gobernado por la constante τc =0.3, la salida tiende asintóticamente a 0.85PU, ver la respuesta
del modelo del generador sin regulación en la figura 4.5.
En red abierta la respuesta del generador es:
1.5(1 + 0.2s)
C(s) = 1 − (0.1/s). (4.17)
(1 + 0.3s)
La salida pasa de uno a 0.85PU en régimen estacionario.

Respuesta al escalon de disturbio Respuesta al escalon de disturbio
1 1
0.98 0.98
0.96 0.96
0.94 0.94
Voltaje en terminales
Voltaje en terminales
0.92 0.92
0.9 0.9
0.88 0.88
0.86 0.86
0.84 0.84
0.82 0.82
0.8 0.8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Tiempo (sec) Tiempo (sec)
Figura 4.5: Respuestas al disturbio, sin regulación (izquierda), con regulación (derecha).
En red cerrada usando el control proporcional ajustado en el ejemplo 4.1, la salida debida
1 1+τ s
al disturbio disminuye en 1+G(s) = 100+τg g s ; la salida en frecuencia es:
1.5(1 + 0.2s) 1 + τg s
C(s) = 0.99 − (0.1/s) . (4.18)
(1 + 0.3s) 100 + τg s
La salida pasa de 0.99PU y luego del transitorio se recupera a 0.9885PU en régimen estacionario,
ver la respuesta regulada en la figura 4.5. △
4.5.2. Ruido de medida

Para el sistema realimentado de la figura 4.2 con De (s) = Ds (s) = 0, la salida es:
Gc Gp Gc Gp
C = CR + CN = R− N. (4.19)
1 + Gc Gp 1 + Gc Gp
Ambas componentes CR y CN se afectan por la función de transferencia de red cerrada T . Sin
embargo, las señales de ruido N (s) están a alta frecuencia, mientras que las de referencia R(s)
lo están en bajas frecuencias; los sistemas de control se diseñan para que T (s) sea paso bajo de
forma que el ruido no afecte mucho a la salida, sin embargo la adición del ruido de medida es
una desventaja de los sistemas realimentados y el diseñador debe considerar este aspecto en la
solución del problema de control, ver 5.8.1.
Ahora se analiza la dinámica de la medida H = H1 H2 , actuando el ruido en un punto
intermedio de la realimentación, como se muestra en la figura 4.6.
La salida es: i h i h
G GH2
− N (s) .
C(s) = R(s)
1 + GH1 H2 1 + GH1 H2
Se puede tener una componente baja del ruido si H2 es pequeña, pero esto exige un mayor
valor de H1 para mantener el producto H1 H2 en el mismo orden. La relación señal a ruido de

R(s) C(s)
G(s)
+
− +
H2 H1
B(s) +
N (s)
Figura 4.6: Diagrama de bloques con dinámica de medida.
la medida RSR, es la relación entre la señal medida debida la salida BC y la componente de

ruido en la medida BN :
BC H1 H2 C H1 C
RSR = = = . (4.20)
BN H2 N N
Baja H2 y alta H1 para mejorar el comportamiento del ruido en la salida, equivale a tener
una medida de alta inmunidad al ruido.
Ejemplo 4.5
En algunos sistemas de control de la tensión en terminales de un generador sincrónico,
la señal de medida del voltaje en terminales se obtiene en corriente continua al rectificar las
tensiones trifásicas; la tensión rectificada tiene los picos de las ondas senoidales a una frecuencia
de 360 Hz, por lo que se requiere filtrarla. El actuador en este sistema es tı́picamente un puente
trifásico rectificador controlado, el cual tiene componentes armónicas a 360 Hz. En este ejemplo
se analiza la diferencia de tener un ruido en el actuador y en la medición; se considera el sistema
de control realimentado para el voltaje en terminales del ejemplo 4.1 con τg = 1s, y un ruido
aproximado a la componente fundamental de las ondas, esto es una sinusoide con una variación
pico - pico de 0.15PU.
Para el ruido en la medición:
b(t) = vT + n(t),
B(s) = VT (s) + T L[0.15 sin ωt] ; ω = 2π(360) = 2262rad/s;
99
99

VT (s) = s+100 VR (s) − s+100 N (s),
99

VT (s) = s+100 VR (s) − N (s) .
Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene la solución asintótica (ver respuesta

de frecuencia, capı́tulo 9):
vT (t → ∞) = 0.99 − 6.5 ∗ 10−3 sin (ωt − 87◦ ). (4.21)

4.6. CONTROL DE LA RESPUESTA
Para el ruido en el actuador:

99
1

VT (s) = s+100 VR (s) − s+100 N (s),
99
N (s)
VT (s) = s+100 VR (s) − 99 .
Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene:
vT (t → ∞) = 0.99 − 6.6 ∗ 10−5 sin (ωt − 87). (4.22)
Se observa de (4.21) y (4.22) que el efecto del ruido en la medida es 100 veces mayor que en
el actuador. △
4.6. Control de la respuesta

El ejemplo 4.1 figura 4.2, se observa cómo el controlador PI logra una respuesta transitoria
más rápida que en red abierta y un error estacionario nulo. La libertad de diseño del controlador
permite cumplir los requerimientos que se le impongan al sistema de control tanto para la
respuesta transitoria como para el error estacionario.
Ejemplo 4.6
La respuesta transitoria de red abierta la define la planta a controlar la cual se asume
definida y en muchos casos inadecuada. En el ejemplo 4.1 la dinámica es:
VT kA
= ,
VR 1 + τg s
la velocidad de respuesta sólo depende de la constante de tiempo τg del generador. En red

cerrada la dinámica es:
kA
VT kA 1+kA
= = τ ,
VR 1 + τg s + k A 1 + 1+kg A s
τ τ
la constante de tiempo equivalente 1+kg A se puede ajustar con kA a τeq = 100
g
; 100 veces más
rápida aunque como se comentó en el ejemplo, esta velocidad solo se alcanza si el sistema no
se satura.
El error de control (4.1) es en red abierta:
Ec (s) = R(s) − R(s)G(s) = R(s)[1 − G(s)],
para un escalón unitario de entrada es en estado estable: ecss = 1 − G(0), el cual es nulo si con
una correcta calibración se ajusta G(0) = 1.
En red cerrada el error de control (4.1) (H = 1) en estado estable para un escalón unitario
1
de referencia es: ecss = 1+G(0) , el cual es nulo si hay integración en G de forma que G(0) → ∞.
△

4.7. ESTABILIDAD
Aunque en red abierta es posible anular el error permanente, los cambios paramétricos y las
perturbaciones no se compensan, reapareciendo el error; la tabla siguiente compara los errores
estacionarios en red abierta RA, con control proporcional P y proporcional integral PI en red
cerrada, para el sistema de contol de voltaje analizado en los ejemplos anteriores, generados por
el ajuste del controlador, una disminución del 10 % en la ganancia del generador y el disturbio
generado por la conexión del motor. El sistema realimentado, mantiene altos desempeños en el
error estacionario.
Tabla 4.1: Errores estacionarios en red abierta y en red cerrada con control P y PI.
Causa del error ecss RA ecss P ecss PI
Ajuste de Gf,c 0 0.01 0
Cambio de 10 % en k 0.1 0.001 0
Perturbación D 0.15 0.0015 0
4.7. Estabilidad
Se discutió en el capı́tulo 1 cómo la estabilidad es un aspecto central en el análisis de los
sistemas de control. Una primera noción de estabilidad es que un sistema será estable si se
obtiene una respuesta acotada ante una entrada acotada con condiciones iniciales acotadas.
Con el cilindro y el plano en la lúdica 4.1, para una inclinación del plano, el cilindro cambia de
posición indefinidamente hasta que sale del plano, es por lo tanto un sistema inestable de red
abierta.
Por la expansión en fracciones parciales, un sistema dinámico con función de transferencia
G(s), p polos cada uno con multiplicidad nj , tiene como respuesta:
nj
p X
X rji
C(s) = G(s)R(s) + . (4.23)
j=1 i=1
(s − pj )i
La respuesta es la suma del término debido a la entrada (respuesta forzada) más la suma
ponderada por los residuos rji función de las condiciones iniciales, de cada polo por separado
(sistemas con polos complejos tendrán polos y residuos complejos), por lo que esta noción de
estabilidad exige que el sistema tenga los polos en el semiplano izquierdo del plano complejo S.
Para el sistema en red abierta con función de transferencia G(s) = kN (s)
D(s) , el sistema será es-
table si las raı́ces de D(s) = 0 están en el semiplano izquierdo del plano S.
Si esta planta G(s) es estable en red abierta, en red cerrada la función de transferencia es:
G(s) N (s)
T (s) = = . (4.24)
1 + GH(s) D(s) + kN (s)H(s)
Las raı́ces de D(s) + kN (s)H(s) = 0, no necesariamente serán estables; la estabilidad en

red cerrada debe garantizarse incluso ante la incertidumbre del proceso que cambia
los valores de N (s), k y D(s). La posibilidad de inestabilizar un sistema estable, obliga a usar

4.7. ESTABILIDAD
técnicas analı́ticas para evaluar el grado de estabilidad, estas técnicas se estudiarán más adelante
a lo largo del libro.
Ahora bien, si la planta G(s) es inestable, es forzoso utilizar la realimentación para estabilizar
el sistema. La figura 4.7 ilustra las relaciones de estabilidad de red abierta a red cerrada.
RED ABIERTA RED CERRADA
Estable Estable
Inestable Inestable
Figura 4.7: Relaciones de estabilidad en red abierta y red cerrada.
Ejemplo 4.7
En un modelo lineal para los sistemas de control de la excitación autoexcitados, la auto-
excitación se refleja como una realimentación positiva interna [Ramı́rez, 1989], como se muestra
en la figura 4.8.
VR (s) + 1 VT (s)
kA = 1 +
τg s+1
Figura 4.8: Sistema de control de la excitación autoexcitado en red abierta.
La dinámica en red abierta es:

VT (s) 1
= .
VR (s) τg s
Si la entrada de referencia es un escalón unitario: vR (t) = µ(t) entonces vT (t) = τtg µ(t) y
lı́mt→∞ vT (t) → ∞, la salida no es acotada lo que implica que el sistema es inestable.
En red cerrada, el sistema controlado con el control P es:
VR (s) 1 VT (s)
+
− 99 τg s
Figura 4.9: Sistema de control de la exitación autoexcitado en red cerrada.
La dinámica en red cerrada es:

4.8. RESUMEN
VT (s) 99 1
= = τ ,
VR (s) 99 + τg s 1 + 99g s
como se tiene un polo en el semiplano izquierdo del plano s: s = − 99
τg , el sistema es estable. △
4.8. Resumen
La tabla 4.2 resume el análisis realizado en este capı́tulo mostrando las ventajas y desventajas
de la realimentación.
Tabla 4.2: Ventajas y desventajas de los sistemas de control realimentados.
VENTAJAS DESVENTAJAS
Reduce incertidumbre SkG Mayor costo

Rechaza disturbios Mayor complejidad
Control de la respuesta transitoria Reduce la ganancia
Reduce ess Ruido en la medida
Puede estabilizar plantas inestables Posible inestabilidad
Las ventajas de la realimentación generan grandes impactos en la calidad de los productos,

disminución de los costos de operación, etc., por lo que se utiliza en el control de muchas clases
de sistemas (ver capı́tulo 1); se debe sin embargo en el diseño de la solución, considerar la
estabilidad y la introducción del ruido en la medida, en un sistema más complejo; es por ello
que el análisis y diseño de los sistemas dinámicos realimentados con desempeños adecuados,
estables e inmunes al ruido, será tratado más adelante en detalle a lo largo del libro.

Repase la sección 1.2.2 sobre los sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado.
La sección 1.4 de K.Aström and Murray [2009] presenta intuitivamente las propiedades de
la realimentación.
El capı́tulo 3 de Dorf and Bishop [2005] presenta las caracterı́sticas de los sistemas de control
realimentados ilustradas con un ejemplo de diseño.


Ejercicio 4.1
En el proceso de conducir un automóvil, un objetivo es mantenerlo centrado en el carril
de la vı́a. En una planicie hay una recta muy larga y un conductor decide dormir atando el
manubrio luego de ajustarlo cuidadosamente para ubicar perfectamente en el centro de la vı́a
al vehı́culo. Para este modo de conducir y el de un conductor cuidadoso y despierto, responda
las preguntas:
1. ¿Cuáles son los principales disturbios y cómo afectan el desempeño en cada caso?
2. ¿Cómo varı́a la dinámica del sistema con el tiempo? ¿Qué impacto tiene este cambio en
el posicionamiento del vehı́culo?
3. ¿Cuáles son las principales fuentes de ruido de medida y su impacto en la posición del
vehı́culo?
4. ¿Cómo serı́a el comportamiento del vehı́culo en ambos casos si por desgaste tiene mucho
huelgo en el sistema de dirección?
5. ¿Cómo serı́a el comportamiento del vehı́culo con un conductor ebrio?
6. ¿Son estables los sistemas analizados en las preguntas anteriores?
Ejercicio 4.2
Para el control de la temperatura de una habitación, se tiene un sistema en red abierta
calibrado en la mañana a una temperatura confortable y uno realimentado con un termostato.
Analice y compare los desempeños de cada sistema con respecto a los disturbios, la respuesta
transitoria y permanente y los cambios en la dinámica térmica de la habitación.

Ejercicio 4.3
Para el sistema de control de velocidad de un automóvil descrito en los ejercicios 1.13 y 2.13,
analice y compare el desempeño de los sistemas en red abierta (control manual) y red cerrada
con relación al torque de perturbación tl y los cambios en la ganancia de la válvula Ka ; calcule
la sensibilidad en red cerrada a los cambios en la constante Ke del encoder.
Ejercicio 4.4
Para el sistema de control de temperatura del ejercicio 2.17, analice y compare el desempeño
de los sistemas en red abierta y red cerrada con relación al caudal qa y los cambios en la
resistencia R de la bobina; calcule la sensibilidad en red cerrada a los cambios en la constante
k1 del transmisor de temperatura.
Ejercicio 4.5
Para el sistema de control de la figura 4.10, Dorf and Bishop [2005], calcule la ganancia k
de forma que el error error de estado estable debido a un escalón en la perturbación sea menor
del 5 %. ¿Cuál es la sensibilidad al parámetro b?.

D(s)
R(s) + b
Y (s)
+ k +
− s+1
Para los ejercicios 4.6, 4.7 y 4.8, analice la respuesta transitoria mediante simu-
lación digital.
Ejercicio 4.6
Considere el sistema de control de la figura 4.11:
D(s)
R(s) + k
C(s)
+
− Gc (s) +
τ s+1
RA
RC
Figura 4.11: Sistema de control, ejercicio 4.6.
Los parámetros de la planta son k = τ = 1. En red abierta se utiliza un controlador

proporcional Gc (s) = Kp = 1. En red cerrada se usa un controlador integral Gc (s) = 1/s.
Analice y compare el funcionamiento del sistema en red abierta y en red cerrada, usando los
respectivos controladores, con respecto a:
1. La velocidad de respuesta, oscilación (amortiguamiento) y valor máximo de la respuesta

debida a un escalón de la referencia.
2. Sensibilidad a una disminución del 10 % en el valor de k en régimen estacionario.
3. Capacidad de reducir los errores permanentes generados por la perturbación D(s) = 0.1/s
4. Capacidad de seguir en régimen permanente, entradas de tipo escalón y rampa, D(s) = 0.
Ejercicio 4.7
La figura 4.12 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control. Con a = 1, D(s) = 0
y R(s) = 1s , calcule los valores de KRA en red abierta y KRC en red cerrada, de forma que la
salida c(t) en estado estable sea de 0.9.
Analice y compare el funcionamiento del sistema en red abierta y en red cerrada, usando
los respectivos controladores KRA y KRC , con respecto a:

Figura 4.12: Sistema de control del ejercicio 4.7

2. Sensibilidad a una disminución del 10 % en el valor de a en régimen estacionario.
3. Capacidad de disminuir los errores de estado estable, generados por una perturbación
D(s) = 0.1/s.
Ejercicio 4.8
La figura 4.13 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control de posicionamiento
mecánico, en red abierta y en red cerrada.
D(s)
R(s) − k
C(s)
Posición deseada
+
− Gc (s) +
s2 +0.2s+1 Posición de salida
RA
RC
Figura 4.13: Sistema de control de posicionamiento mecánico.
El parámetro de la planta es k = 1. En red abierta se utiliza un controlador proporcional

Gc (s) = 1; en red cerrada se usa un controlador proporcional derivativo:
Gc (s) = kp (Td s + 1) = 4(0.5s + 1).
Analice y compare el funcionamiento del sistema en red abierta y en red cerrada, usando los
respectivos controladores, con respecto a:

2. Sensibilidad en régimen estacionario a una disminución del 10 % en el valor de k.

3. Capacidad de reducir los errores permanentes generados por una perturbación D(s) =
0.5/s.
4. Capacidad de seguir en régimen permanente, posiciones deseadas de tipo escalón y rampa

(D(s) = 0).
Ejercicio 4.9
Se tiene una planta a controlar con dinámica: G(s) = k/(s + 1), ganancia nominal k = 1
con variaciones del 1 % y disturbio de salida con saltos en escalón de: D(s) = 0.2/s. Se desea
regular su salida en 1 ± 0.05 por lo que se utiliza un controlador y un sensor lineal pero con
ruido a partir de 1KHz; la planta se controla con retroalimentación principalmente para:
A. Eliminar el error estacionario generado por las variaciones de la ganancia k.
B. Rechazar el disturbio en baja frecuencia.
C. Evitar el ruido en la salida.
D. lograr una respuesta más rápida y amortiguada.

Use un modelo reducido de la planta a controlar y un controlador PID ajustado mediante
un método empı́rico, ver la sección 6.3.6; simule los sistemas en red abierta y en red cerrada,
para analizar y comparar el funcionamiento con respecto a:
2. Sensibilidad a una disminución del 10 % en el valor de la ganancia k del proceso en régimen

estacionario.
3. Capacidad de reducir los errores permanentes generados por una perturbación de carga
de D(s) = 0.1k/s.
4. Capacidad de seguir en régimen permanente, entradas de referencia tipo escalón y rampa,

D(s) = 0.

Capı́tulo 5
Análisis de la respuesta en el
tiempo
5.1. Introducción
El modelo matemático obtenido en los capı́tulos 2 y 3, se puede utilizar para analizar el
desempeño del sistema. Los principales métodos de análisis son en el dominio del tiempo y en
el de la frecuencia. En este capı́tulo se analiza la respuesta temporal de los sistemas dinámicos;
la respuesta frecuencial será desarrollada más adelante.
En el análisis y diseño de sistemas de control, es conveniente tener una base de comparación
del desempeño de diversos sistemas. Esta base se configura a partir de señales de entrada de
prueba particulares y comparando las respuestas obtenidas de varios sistemas a estas señales de
entrada. Esta comparación se realiza a partir de ciertas caracterı́sticas de las respuestas; estas
caracterı́stican también sirven para definir los comportamientos deseados de los sistemas de con-
trol. Sinembargo, no se puede especificar este comportamiento sin considerar los compromisos
que existen entre las caracterı́sticas.
En este capı́tulo se presentan las respuestas de los sistemas a las señales aperiódicas impulso,
escalón, rampa y parábola. El capı́tulo incluye las respuestas de los sistemas de primer y segundo
orden, el efecto de polos o ceros adicionales, tanto para sistemas análogos como discretos. Se
definen caracterı́sticas para estas respuestas como velocidad, amortiguamiento de la oscilación,
valores máximos y mı́nimos y precisión permanente. También se analizarán las limitaciones
de desempeño a tener en cuenta para definir una especificación adecuada. Para este análisis
se utiliza la representación entrada-salida de los sistemas continuos, discretos y de pulsos; al
final del capı́tulo, se analiza la respuesta temporal de los sistemas representados en variables
de estado, tanto continuos como discretos.
5.2. Señales de prueba

Como se vió en el capı́tulo anteror, es de interés conocer la velocidad de respuesta, la
precisión y el grado de estabilidad en la respuesta de los sistemas dinámicos, ver la figura 5.1.
207
5.3. RESPUESTA TEMPORAL CONTINUA
Velocidad
Precisión
Grado de estabilidad
Entrada Salida
Sistema
Figura 5.1: Caracterı́sticas de la respuesta de sistemas dinámicos.
Sinembargo, las entradas a los sistemas son muchas veces de naturaleza aleatoria; no se
conoce con exactitud en que forma un operador va a variar una referencia del sistema y en
muchos casos, no se conoce cuándo y cómo variará la carga en el mismo; por ejemplo, la
predicción del uso de agua en una ciudad para prever el flujo de descarga de un tanque de
almacenamiento solo puede realizarse a partir de estadı́sticas de los consumos históricos.
Para el diseño del sistema realimentado, es importante poder comparar las respuestas con
distintos parámetros y/o esquemas; de aquı́ se deriva la necesidad de usar entradas tı́picas de
prueba.
Para estas señales interesa que:
Sean fáciles de generar
Exijan dinámica y/o estáticamente al sistema
Permitan correlacionar las respuestas a estas entradas estándares con la respuesta del
sistema a la entrada normal
Para la respuesta de frecuencia se usan señales de prueba sinusoidales. Para la respuesta en el

tiempo se usan las señales de la figura 5.2, en donde a la derecha se muestran las relaciones
entre sus derivadas.
Los sistemas lineales tienen la propiedad de poder calcular la derivada o integral de una
entrada, derivando o integrando la salida, ver la figura 5.3; luego basta obtener la respuesta a
una sola entrada tı́pica, las otras se obtienen derivando e integrando esta respuesta.
5.3. Respuesta temporal continua

La ecuación (4.23) muestra que la respuesta del sistema depende de las condiciones iniciales
y de la respuesta forzada por la entrada; si el sistema es estable, se diferencian otras dos
componentes, la respuesta permanente alcanzada en el estado final y la respuesta transitoria
que ocurre al pasar del estado inicial al final estacionario. Los transitorios estables debidos a
las condiciones iniciales están definidos por los polos al igual que los transitorios de la entrada;
por el teorema del valor final, el comportamiento estacionario estará definido por las ganancias
e integraciones del proceso y de la entrada.

5.4. RESPUESTA PERMANENTE CONTINUA
δ(t)
1
d
Impulso δ(t) = dt .µ(t)
t
µ(t)
1
d
Escalón µ(t) = dt .r(t)
t
r(t)
1 d
Rampa r(t) = 2 dt .a(t)
t
a(t)
Parábola a(t)
Figura 5.2: Señales tı́picas de prueba
x(t) y(t)
x′ (t) y ′ (t)
R Sistema Lineal R
x(t)dt y(t)dt
Figura 5.3: Derivada e integral de señales en sistemas lineales.
5.4. Respuesta permanente continua

La respuesta permanente de un sistema de control define la precisión estacionaria con la
cual la salida del sistema sigue a la entrada; es por ello que esta respuesta se caracteriza en
términos del error permanente alcanzado en el estado estable. En el capı́tulo 4 se observó que
los errores permanentes se pueden originar por la capacidad del sistema de seguir la entrada,
las incertidumbres en el sistema, los disturbios y ruidos; más adelante se presentarán errores
permanentes causados por deficiencias en los sensores y actuadores.
En esta sección se analizan los errores permanentes debidos a señales externas que entran
al sistema de control de la figura 4.2, esto es la referencia, los disturbios de entrada y salida y

el ruido.
5.4.1. Error permanente

El error permanente es una medida de la exactitud del sistema para una entrada en parti-
cular, en la sección 4.2.1 se definió el error actuante (4.2) para la entrada de referencia; el error
actuante debido a las entradas del sistema de la figura 4.2 es:
R(s) − N (s) − Gp (s)H(s)De (s) − H(s)Ds (s)
E(s) = .
1 + GH(s)
Si sE(s) no tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho, el error permanente es:
ess = lı́m e(t) = lı́m sE(s),

t→∞ s→0

s R(s) − N (s) − Gp (s)H(s)De (s) − H(s)Ds (s)
ess = lı́m . (5.1)
s→0 1 + GH(s)
El error permanente depende del comportamiento en baja frecuencia de las entradas, de la
medida H(s), del proceso Gp (s) y de la magnitud de GH(s); por lo tanto, el lı́mite en (5.1)
dependerá de las integraciones de la señal de entrada considerada (escalón, rampa, parábola) y
de las integraciones en H(s), Gp (s) y GH(s).
Si la medida H(s) no tiene integraciones como es lo usual y está bien escalada: H(s → 0) = 1,
en (5.1) los errores permanentes debidos al ruido N (s) y al disturbio de salida Ds (s) solo
cambian se signo con relación al cálculo del error debido a la entrada de referencia R(s); para
el error permanente debido a los disturbios de entrada De (s), se debe tener en cuenta las
integraciones en la planta Gp (s).
En el análisis entre el transitorio del error y su valor permanente, es útil calcular la integral
asintótica del error; de la tabla 2.15, la integral al infinito del error es:
Z ∞
e(t)dt = lı́m E(s). (5.2)
0 s→0
Para el análisis del error permanente se clasifican a los sistemas de control de acuerdo al
número de integraciones en GH(s).
5.4.2. Clasificación del tipo de sistema

Un sistema de control con N polos en el origen (integraciones) en su función de transferencia
de lazo abierto GH(s):
k( z11 s + 1)( z12 s + 1) . . . ( z1m s + 1)

GH(s) = , (5.3)
sN ( p11 s + 1)( p12 s + 1) . . . ( p(n−i)
1
s + 1)
se define como de tipo N-ésimo.

A mayor tipo, mayor capacidad de seguir en régimen estacionario las entradas, escalón,
rampa, parábola, etc.; sin embargo, entre más integraciones tenga la función de transferencia
de lazo abierto, más difı́cil es obtener el sistema realimentado estable.

5.4.3. Error permanente debido a entradas escalón

El error permanente ess en (5.1) para una entrada de referencia escalón R(s) = P/s (o de
ruido y disturbio de salida de −P/s ) se define como error permanente de posición essp y es:
sR(s) P
essp = lı́m = .
s→0 1 + GH(s) 1 + lı́ms→0 GH(s)
Se define a:
KP = lı́m GH(s) (5.4)
s→0
como la constante de error de posiciónconstante de error de posición, luego:

P
essp = . (5.5)
1 + KP
Si GH(s) tiene al menos una integración, la constante de error de posición tiende a infinito
KP → ∞ y el error de posición es nulo essp → 0.
La integral asintótica del error es:
Z ∞
P P
e(t)dt = lı́m = lı́m . (5.6)
0 s→0 s + sGH(s) s→0 sGH(s)
Por lo tanto, para entradas escalón de entrada de referencia (o escalones negativos de ruido
y disturbio de salida):
P P
Los sistemas tipo 0 tienen un error de posición constante de: essp = 1+KP = 1+k .
Los sistemas tipo 1 o más, no tienen error de posición: essp = 0.

R∞
Los sistemas tipo 2 o más, tienen integral asintótica del error nula: 0
e(t)dt = 0.
El error permanente ess en (5.1) para un disturbio de entrada escalón De (s) = −P/s es:
−sGp (s)De (s) P

esspd = lı́m = lı́m 1 ,
s→0 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) s→0 Gp (s) + Gc (s)H(s)
luego, para un entrada escalón negativa de disturbio a la entrada del proceso, se cumple que:
P Gp (0)
Los sistemas tipo 0 tienen un error de posición constante de: esspd = 1+KP .
Los sistemas con una integración o más en el controlador no tienen error de posición:
esspd = 0.
Los sistemas con una o más integraciones en el proceso y sin integración en el controlador,
P
tienen un error de posición constante de: esspd = Gc (0)H(0) .
Los sistemas con

R ∞dos integraciones o más en el controlador tienen una integral asintótica
del error nula: 0 e(t)dt = 0.

5.4.4. Error permanente debido a entradas rampa

Para una entrada de referencia rampa R(s) = V /s2 (o de ruido y disturbio de salida de
−V /s2 ) se obtiene un error permanente de velocidad error permanente de velocidad essv :
V /s V V
essv = lı́m = lı́m = .
s→0 1 + GH(s) s→0 s + sGH(s) lı́ms→0 sGH(s)
Se define a:
KV = lı́m sGH(s) (5.7)
s→0
como la constante de error de velocidad constante de error de velocidad, luego:

V
essv = . (5.8)
KV
GH(s) debe tener al menos dos integraciones para que este error de velocidad sea nulo.
La integral asintótica del error es:
Z ∞
V V
e(t)dt = lı́m 2 2 GH(s)
= 2
, (5.9)
0 s→0 s + s lı́ms→0 s GH(s)
luego:
Los sistemas tipo 0 no son capaces de seguir entradas en rampa y tienen un error de
velocidad essv → ∞.
Los sistemas tipo 1, tienen un error constante de velocidad: essv = V /KV .
Los sistemas tipo 2 o más, no tienen error de velocidad: essv = 0.
R∞
e(t)dt = 0.
Para un disturbio de entrada rampa De (s) = −V /s2 el error es:
V
essvd = lı́m s ,
s→0
Gp (s) + sGc (s)H(s)
luego, para un entrada rampa negativa de disturbio a la entrada del proceso, se cumple que:
Los sistemas sin integración en el controlador no son capaces de eyectar el disturbio y
tienen un error de velocidad creciente: essvd → ∞.
Los sistemas con una integración en el controlador tienen un error de velocidad constante
de:
V
essvd = lı́m .
s→0 sGc (s)H(s)
Los sistemas con dos integraciones o más en el controlador no tienen error de velocidad:
essvd = 0.
Los sistemas con
R ∞tres integraciones o más en el controlador tienen una integral asintótica

5.4.5. Error permanente debido a entradas parabólicas

De forma similar al análisis de la entrada rampa para entradas parabólicas en la referencia
R(s) = A/s3 , el ruido o el disturbio de salida R(s) = −A/s3 , se obtiene un error permanente
de aceleraciónerror permanente de aceleración essa :
A
essa = .
lı́ms→0 s2 GH(s)
Definiendo:
KA = lı́m s2 GH(s), (5.10)
s→0
como la constante de error de aceleraciónconstante de error de aceleración, se obtiene:

A
essa = . (5.11)
KA
GH(s) debe tener al menos tres integraciones para que el error de aceleración sea nulo y
cuatro para la que lo sea la integral asintótica del error. Ası́:
Los sistemas tipo 0 ó 1 no son capaces de seguir entradas parabólicas y tienen un error
de aceleración essa → ∞.
Los sistemas tipo 2, tienen un error constante de aceleración: essa = A/KA .
Los sistemas tipo 3 o más, no tienen error de aceleración: essa = 0.

R∞
e(t)dt = 0.
Para un disturbio de entrada parabólico De (s) = −A/s3 el error es:
A
essad = lı́m s2
,
s→0
Gp (s) + s2 Gc (s)H(s)
luego:
Los sistemas sin al menos dos integraciones en el controlador no son capaces de eyectar
el disturbio y tienen un error de aceleración creciente: essad → ∞.
Los sistemas con dos integraciones en el controlador tienen un error de aceleración cons-
tante de:
A
essad = lı́m 2 .
s→0 s Gc (s)H(s)
Los sistemas con tres integraciones o más en el controlador no tienen error de velocidad:
essad = 0.
Los sistemas con

R∞cuatro integraciones o más en el controlador tienen una integral asintótica

El análisis anterior ha mostrado que las integraciones de la planta no afectan los

errores permanentes debidos a disturbios a la entrada del proceso.
En el diseño de un sistema de control se especifican las constantes de error de acuerdo al
funcionamiento deseado en régimen permanente, cumpliendo el compromiso de funcionamiento
adecuado en régimen transitorio.
Ejemplo 5.1
Se considera un controlador serie Gc (s) para el sistema de control de la excitación de la
figura 5.4.
Figura 5.4: Control serie de la excitación.
Se analizan los errores permanentes para este sistema de control con entradas escalón, rampa
y parábola unitarias y utilizando el controlador P:
Gc (s) = kp ,
con kp = 100 y el controlador PI:
kp (s + 1/Ti )
Gc (s) = ,
s
con kp = 100 , Ti = τG = 5. Las funciones de transferencia de red abierta para cada controlador
son:
kp
GHP (s) = ,
(τE s + 1)(τG s + 1)
no hay integración luego es tipo 0.
kp (s + 1/Ti ) kp
GHP I (s) = = ,
s(τE s + 1)(τG s + 1) τG s(τE s + 1)
como tiene una integración es tipo 1.
Las constantes de error y los errores estacionarios con el control P son:
1
KP = lı́ms→0 GHP (s) = kp =⇒ essp = 1+kp = 0.0099.
KV = lı́ms→0 sGHP (s) = 0 =⇒ essv = K1V = ∞.

KA = lı́ms→0 s2 GHP (s) = 0 =⇒ essa = K1A = ∞.

5.5. RESPUESTA TRANSITORIA CONTINUA
Las constantes de error y los errores estacionarios con el control PI son:

1
KP = lı́ms→0 GHP I (s) = ∞ =⇒ essp = 1+KP = 0.
kp 1 Ti
KV = lı́ms→0 sGHP I (s) = Ti =⇒ essv = KV = kp = 0.05.
1
KA = lı́ms→0 s2 GHP I (s) = 0 =⇒ essa = KA = ∞.
El error permanente de posición essp baja del 1 % a cero al adicionar la integración con el
control PI; con este controlador, el error permanente de velocidad essv se puede mermar con
una ganancia proporcional kp mayor. △
5.5. Respuesta transitoria continua

La respuesta transitoria es la parte de la respuesta que tiende a cero cuando el tiempo tiende
a infinito; para los sistemas lineales va asintóticamente desde el estado inicial hasta el estado
final.
La señal más usada para el análisis transitorio es el escalón por definir un estado estacionario
constante (si el sistema es estable) y por exigir dinámicamente al sistema debido a su amplia
banda de frecuencias en su espectro.
Por simplicidad en la presentación se considera a un sistema dinámico de red cerrada:
T (s) = kN T (s)
DT (s) , sin polos repetidos; para este sistema, la ecuación caracterı́stica se factoriza en
la forma:
q
Y r
Y
DT (s) = (s + pj ) . (s2 + 2ρk ωk s + ωk2 ),
j=1 k=1
son q polos de primer orden y r pares de polos conjugados complejos. Expandiendo en fracciones
parciales, la respuesta para un escalón en la entrada de referencia R(s) = 1/s es:
q r
a X aj X a1k + a2k s
C(s) = + + . (5.12)
s j=1 s + pj s2 + 2ρk ωk s + ωk2
k=1
Al término constante se le suman términos simples de primer y segundo orden.

La transformada inversa de Laplace da:
q
X r
X q r
X q
c(t) = a + aj e−pj t + bk e−ρk ωk t cos ωk 1 − ρ2k t + ck e−ρk ωk t senωk 1 − ρ2k t, t ≥ 0.
j=1 k=1 k=1
(5.13)
La respuesta es una suma de exponenciales y sinusoides acotadas exponencialmente. Las expo-
nenciales decrecen si todos los polos son negativos −pj < 0, ∀j; las sinusoides se amortiguan si
las partes reales de las raı́ces son negativas −ρk ωk < 0, ∀k, lo que confirma el requerimiento
presentado en la sección 4.7. Si hay polos repetidos, aparecerán en la respuesta funciones po-
linómicas del tiempo t multiplicando a las exponenciales, el resultado de estabilidad no cambia
pues la función exponencial decrece más rápido que cualquier función polinómica.
En sistemas de alto orden con todos los polos reales, la respuesta es lenta y sin oscilación;
si hay múltiples términos de segundo orden, la respuesta puede exhibir oscilaciones menores

superpuestas a mayores o a curvas exponenciales. Si el sistema es estable, la respuesta tiende

asintóticamente a: lı́mt→∞ c(t) = a.
Las ecuaciones (5.12) y (5.13) muestran que la respuesta de un sistema lineal se puede
analizar como la suma ponderada de las respuestas de términos simples de primer orden (un
polo real) y de segundo orden (dos polos conjugados complejos). Sin embargo, como se vió en el
ejemplo 2.12, la ponderación de estas respuestas la definen los valores de los polos y de los ceros,
los cuales dependen de los existentes en el controlador, proceso y realimentación, ası́ como en
donde entra al lazo de control la señal de entrada.
5.5.1. Polos y ceros

Np Nc Nh
Para el sistema de la figura 4.2, se consideran: Gp = Dp , Gc = Dc yH = Dh sin cancela-
ciones polo-cero; ası́ la salida (4.3) del sistema es:
Nc Np D h Np D c D h Dc Dp Dh
C = CR + CN + CDe + CDs = (R − N ) + De + Ds , (5.14)
D D D
donde D = Dc Dp Dh + Nc Np Nh es la ecuación caracterı́stica que define los polos para cualquier
señal, la cual depende de todos los polos y ceros de las funciones de transferencia del lazo;
los polos de la ecuación caracterı́stica aportan a la forma de la respuesta a cualquier entrada
definiendo los exponentes de los términos exponenciales y las frecuencias de oscilación.
La respuesta a N solo cambia en signo con relación a la de la referencia R. Los polos de la
medida Dh son ceros para las respuestas a todas las entradas; los demás ceros dependen de la
señal de entrada; los ceros también influyen en la forma de las respuestas a cada entrada pues
afectan las magnitudes y signos de los residuos.
En esta sección se analizará la respuesta transitoria al escalón en la entrada referencia; para
ella se considerarán los efectos que tienen los ceros en la respuesta, por lo que en general el
análisis aplica para cualquier entrada. Los aspectos especı́ficos a tener en cuenta en las respuestas
transitorias a las entradas de disturbio, se analizarán en la sección 5.8.
5.5.2. Caracterı́sticas de la respuesta al escalón

Para establecer una base de comparación de las respuestas a un escalón, es útil definir
diferentes parámetros que de manera simple caractericen las principales propiedades del sistema
dinámico. La figura 5.5 muestra los principales parámetros para la respuesta al escalón unitario
en la referencia para un sistema dinámico estable con ganancia estacionaria de uno.
1. Indican velocidad de respuesta:
Tiempo de retardo td : es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera
vez la mitad del valor final.
Tiempo de subida tr : es el tiempo que tarda la respuesta en pasar por primera vez el
valor final; también se considera para sistemas sobreamortiguados, el 90 o 95 % del
valor final.
Tiempo de establecimiento ts : tiempo requerido para que la respuesta alcance y
permanezca dentro de determinada banda δ del valor final; usualmente δ = ±5 %
ó ±2 %.

Tiempo de pico tp : tiempo requerido para alcanzar el primer pico de sobrepaso.

2. Indica dinámica subamortiguada y/ó acción de cero en el semiplano izquierdo:
Rebase máximo o sobrepaso Mp : es el máximo valor que la respuesta excede el valor
final.
3. Indica acción de cero en el semiplano derecho:
Rebase mı́nimo o subpaso Mu : es el valor absoluto del máximo valor en que la
respuesta cae por debajo de cero.
Figura 5.5: Respuesta a un escalón unitario.
A continuación se analizan cada una de las respuestas de sistemas de primer, segundo y

tercer orden y el efecto de los ceros en las respuestas transitorias.
5.5.3. Sistemas de primer orden

Lúdica 5.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 20 minutos y requiere de agua, dos vasos
plásticos perforados y dos sin perforar, como los que se muestran en la figura 5.6. Puede requerir
de la ayuda de otra persona.
1. Ubique uno de los vasos sin perforar en una superficie plana y horizontal, sobre él, ubique
los dos vasos perforados uno encima del otro. Llene con agua el otro vaso sin perforar y
vacı́elo rápidamente sobre el vaso perforado superior, ver la figura 5.6.
2. Tome datos de la evolución del nivel con el tiempo del vaso perforado inferior, cuando
se llena y luego cuando se desocupa. (Sugerencia: tomar el tiempo cada que el nivel pasa
por una lı́nea de relieve del vaso); bosqueje la evolución temporal.

Figura 5.6: Vasos para la lúdica 5.1.
3. Repita el experimento y observe la evolución del nivel con el tiempo durante el llenado
del vaso sin perforar inferior.
¿Qué puede concluir sobre la forma de la evolución del nivel durante el llenado y el vaciado?
¿Cuánto tarda en alcanzar un nivel constante el vaso perforado inferior? ¿Cómo es el compor-
tamiento del nivel en el vaso sin perforar inferior?
Como se analizó en la sección 2.2, el vaso perforado lo describe la ecuación diferencial lineal
(2.5), aplicándole la transformada de Laplace se obtiene el diagrama de bloques de la figura 5.7.
Figura 5.7: Diagrama de bloques para la dinámica del vaso perforado.

La función de transferencia es:

H(s) Rf
= .
Qe (s) 1 + Rf Cf s
Esta función de transferencia se puede caracterizar de forma general como un sumando de
primer orden en (5.12), con la función de transferencia:
C(s) k
= , (5.15)
R(s) 1 + τs
donde k es la ganancia estática del sistema y τ la constante de tiempo. Es un polo simple
ubicado en el plano S en s = −1/τ , como muestra el mapa de polos de la figura.
jw
Plano S
− τ1 σ
Figura 5.8: Sistema de primer orden.
La respuesta al escalón unitario es:

t
c(t) = (1 − e− τ )k t ≥ 0, (5.16)
ver la figura 5.9.
Se observa que la constante de tiempo τ , es el tiempo que tarda la respuesta en llegar al
63.2 % del valor final.
Para el llenado del vaso sin orificio de descarga, la resistencia Rf es infinita y no existe
la realimentación en la figura 5.7, siendo la dinámica del sistema el integrador de red directa;
la respuesta al escalón de este integrador es una rampa (sistema inestable) cuya pendiente la
define la capacitancia Cf ; como el flujo de descarga es proporcional al nivel, actúa como una
realimentación negativa que estabiliza la dinámica del vaso (autorregulación).
Con k = 1, un sistema de primer orden se representa por el diagrama de bloques:
Si se abre la realimentación, el sistema es un integrador cuya respuesta al escalón es una
rampa que alcanza el valor del escalón en el tiempo de la constante τ , por ello la constante de
tiempo se calcula también como el tiempo que tardarı́a la respuesta en llegar al valor final si
continuara con la velocidad inicial.
De las caracterı́sticas definidas en la sección 5.5.2, la que se utiliza en los sistemas de primer
orden es el tiempo de establecimiento ts para evaluar la duración del transitorio. De la figura
5.9 se observa que la duración del transitorio la define la constante de tiempo y es:

c(t)
0.982
1
0.95
0.865
0.632
τ 2τ 3τ 4τ t
Figura 5.9: Respuesta al escalón del sistema de primer orden.
R(s) + 1 C(s)
τs
−
Figura 5.10: Diagrama de bloques del sistema de primer orden.
ts = 3τ para la banda de tolerancia: δ = ±5 %

ts = 4τ para la banda de tolerancia: δ = ±2 %
El ejemplo siguiente ilustra una forma simple de identificar los parámetros k y τ de un

sistema de primer orden, a partir de su respuesta experimental al escalón.
Ejemplo 5.2
La figura 5.11 muestra la respuesta experimental de un circuito electrónico a un escalón de
entrada de 6 voltios contı́nuos.
La forma de onda es de un sistema de primer orden, cuya ganancia estática es la relación
entre el cambio del voltaje de salida dY y el voltaje aplicado: k = 5.96/6 = 0.99. La constante
de tiempo del circuito es la diferencia de tiempo entre el instante inicial del transitorio, hasta
el instante donde el voltaje de salida es igual a 0.632dY, τ = 0.16s. △

Figura 5.11: Respuesta al escalón experimental.
5.5.4. Sistemas de segundo orden

Lúdica 5.2
Esta actividad tiene una duración estimada de 10 minutos y requiere de 1m de nylon elástico,
una masa m1 de aproximadamente 150gr de peso y una masa m2 de alrededor 10gr.
1. Ate el nylon elástico a la masa pequeña, el otro extremo a una base fija, que permita el
libre desplazamiento de la masa.
2. Una vez se estabilice la masa pequeña, agregue la masa de 150gr y observe la evolución de
su altura h, ver la figura 5.12. Tome nota de la deviación final, del número de oscilaciones
y de cuánto tarda el sistema en alcanzar de nuevo el reposo.
¿Que puede concluir sobre la forma de la evolución de la altura de la masa? ¿Cuánto es la

máxima desviación?
Esta lúdica analiza a un sistema mecánico traslacional de masa M = m1 + m2 , fricción F

y resorte lineal con constante K, ver la tabla 2.4. De la segunda ley de Newton se obtiene la
ecuación diferencial:
M ẍ = fe − F ẋ − Kx, (5.17)
donde x es el desplazamiento de la masa desde el equilibrio inicial y fe es una fuerza externa
aplicada a la masa M ; en este caso, el cambio de masa se puede representar con un escalón de
fuerza fe = m2 g. La función de transferencia entre la posición y una fuerza aplicada cualquiera
es:
X(s) 1
= .
Fe (s) M s2 + F s + K

Figura 5.12: Sistema de masa, resorte y amortiguador.
Esta función de transferencia se puede caracterizar de forma general con la función de

transferencia:
C(s) kωn2
= 2 , (5.18)
R(s) s + 2ρωn s + ωn2
donde k es la ganancia estática, ρ se denomina coeficiente de amortiguamiento y ωn la frecuencia
natural de oscilación del sistema. La figura 5.13 muestra el diagrama de bloques para esta
función de transferencia, en su forma canónica con k = 1.
Figura 5.13: Diagrama de bloques para los sistemas de segundo orden.
Note que en el caso de no existir realimentación, el sistema de orden dos consiste de un

primer orden con un integrador.
La ecuación caracterı́stica es: s2 + 2ρωn s + ωn2 = 0; note que el coeficiente de s en la ecuación
caracterı́stica define el coeficiente de amortiguamiento y el término independiente la frecuencia
natural; las raı́ces de la ecuación caracterı́stica son:
p
s1−2 = −ρωn ± ωn 1 − ρ2
De acuerdo al valor del amortiguamiento ρ, los sistemas de segundo orden se clasifican en:
0 < ρ < 1: Subamortiguado, raı́ces complejas conjugadas con parte real negativa.

ρ = 1 : Amortiguamiento crı́tico, dos raı́ces reales iguales negativas.

ρ > 1 : Sobreamortiguado, raı́ces reales negativas distintas.
ρ = 0 : Sin amortiguamiento, raı́ces complejas sin parte real.
−1 < ρ < 0 : Amortiguamiento negativo, raı́ces complejas con parte real positiva.
ρ < −1 : Inestable, raı́ces reales positivas.
La figura 5.14 muestra la ubicación de las raı́ces en el plano complejo S para un sistema
subamortiguado estable.
Figura 5.14: Raı́ces conjugadas complejas.
La componente imaginaria: p
ωd = ωn 1 − ρ2
se denomina frecuencia natural amortiguada. La parte real de las raı́ces α = ρωn se denomina
constante de amortiguamiento; como corresponde al exponente del acotamiento exponencial de
la oscilación, su inversa define la constante de tiempo equivalente del sistema:
1 1
τeq = = .
α ρωn
Note que la frecuencia natural ωn es la distancia de la raı́z al origen del plano complejo y que
el amortiguamiento define el ángulo θ:
ρ = cos θ.
La respuesta al escalón unitario de los sistemas subamortiguados 0 < ρ < 1, con k = 1 es:
e−ρωn t
C(t) = 1 − p sen(ωd t + θ), t ≥ 0, (5.19)
1 − ρ2
observe que la respuesta oscila a la frecuencia natural amortiguada ωd .

e−ρωn t
El error: e(t) = r(t)−c(t) = p sen(ωd t + θ), es una oscilación sinusoidal amortiguada,
1 − ρ2
con valor estacionario nulo ess = 0.
Si en (5.19) se toma el lı́mite: ρ → 0, entonces c(t) = 1 − sen(ωn t + 90) = 1 − cos ωn t, luego
sin amortiguamiento la respuesta osciları́a a la frecuencia natural ωn .
Las respuestas al escalón para varios coeficientes de amortiguamiento se grafican como una
familia de curvas con parámetro ρ y abscisa adimensional ωn t, ver la figura 5.15. Se observa
Figura 5.15: Respuestas al escalón, sistemas de segundo orden con diferente amortiguamiento.
que dos sistemas con frecuencias naturales ωn distintas e igual amortiguamiento, tienen una
respuesta de la misma forma, pero escalada en el tiempo de forma que a mayor frecuencia
natural, la respuesta es más rápida. Para la misma frecuencia natural, la respuesta más rápida
ocurre para el amortiguamiento crı́tico ρ = 1. Entre los sistemas subamortiguados, la respuesta
con ρ = 0.7 se aproxima más rápidamente al valor final, es por ello que una especificación de
diseño en muchos sistemas de control que toleran el sobrepaso, es que el sistema realimentado
se comporte aproximadamente como uno de segundo orden con amortiguamiento ρ = 0.7.
Caracterı́sticas de la respuesta transitoria

Con excepción del subpaso, las caracterı́sticas definidas en la sección 5.5.2 se pueden calcular
para los sistemas de segundo orden subamortiguados normalizados a partir de la respuesta
(5.19).
Tiempo de retardo td : para alcanzar por primera vez la mitad del valor final:
e−ρωn td
p sen(ωd td + θ) = 0.5, (5.20)
1 − ρ2

es una ecuación implı́sita que se resuelve numéricamente; una aproximación lineal de la

solución es:
1 + 0,7ρ
td ≈ .
ωn
e−ρωn tr
Tiempo de subida tr : para alcanzar el valor final: p sen(ωd tr + θ) = 0, como la
1 − ρ2
exponencial no es nula, el primer valor que anula la función seno es:
π−θ
tr = . (5.21)
ωd
Tiempo de establecimiento ts : se considera la constante de tiempo de las envolventes de

la respuesta: ρω1n , ası́:
3
ts = ρωn para la banda de tolerancia: δ = ±5 %
4
ts = ρωn para la banda de tolerancia: δ = ±2 %
Tiempo de pico tp : para alcanzar el primer pico de sobrepaso se debe derivar la ecuación e
igualarla a cero, lo que equivale a igualar a cero la respuesta al impulso, de la tabla 2.13:
ωn e−ρωn td
ċ(t) = p sen(ωd td ) = 0, (5.22)
1 − ρ2
la solución es:
π
tp = , (5.23)
ωd
es medio perı́odo de la oscilación amortiguada ωd .
El valor máximo cmax se obtiene al evaluar la respuesta en el tiempo de pico c(tp ):
− ρω nπ
cmax = 1 + e ω d , (5.24)
luego el sobrepaso es:
− √ ρπ
Mp = e 1−ρ2 . (5.25)
Si k 6= 1, se puede utilizar el sobrenivel porcentual :
Mp − V alorf inal
× 100 %. (5.26)
V alorf inal
Estas ecuaciones sugieren que un máximo sobrepaso admisible define el amortiguamiento ρ

y el tiempo de estabilización ts lo determina principalmente la frecuencia natural ωn .
Para ρ ≥ 1 las raı́ces son reales, siendo la cascada de dos sistemas de primer orden; un análisis
aproximado se puede realizar simplificando el sistema a uno de primer orden; despreciando el
término en s2 de la ecuación caracterı́stica:
C(s) kωn2 k
= 2 ≈ 2ρ
R(s) s + 2ρωn s + ωn2 ωn s +1

La constante de tiempo equivalente del sistema simplificado de primer orden es de: ω2ρn .
Conocidas estas caracterı́sticas de la respuesta se logra una idea del comportamiento global
de la curva.
Ejemplo 5.3
Este ejemplo ilustra un procedimiento para obtener los parámetros del modelo matemático
para un sistema de segundo orden sin ceros a partir de su respuesta al escalón. Se asume que en
la lúdica 5.2 se observa una desviación final de 6cm, una máxima de 10cm y unas 5 oscilaciones
que ocurren en aproximadamente 10s; se aplica la masa de 150gr pero se desconoce el valor de
la masa inicial m1 .
De (5.17) en régimen estacionario: fe = Kx∞ , luego: K = 0.150/0.06 = 2.5Kgf/m.
El sobrepaso es: Mp = (10 − 6)/6 = 0.66. De (5.25) si se conoce el sobrepaso, el amortigua-

miento es: s
β ln Mp 2
ρ= ; βα = , (5.27)
1+β π
de donde: ρ = 0.13
2π
La frecuencia natural amortiguada es: ωd = 10/5 = 3.14 r/s, luego la frecuencia natural
ω
ωn = √ 2 = 3.17r/s; obsérvese que por ser bajo el amortiguamiento las frecuencias amorti-
d
1−ρ
guada y no amortiguada son muy similares.
Como ωn2 = K/M , la masa es: M = 2.5/3.172 = 0.249Kg.
A partir de 2ρωn = F/M , se obtiene el coeficiente de fricción viscosa:

F = 2ρωn M = 0.2N.s/m. △
Los ceros afectan el sobrepaso y en tal caso no se puede utilizar la ecuación (5.25) para
estimar el coeficiente de amortiguamiento; para sistemas con bajo amortiguamiento, éste se
puede estimar con el número de oscilaciones No que se alcanzan a observar en la respuesta del
sistema. El número de estas oscilaciones por segundo es ωd /2π y la duración de las oscilaciones
corresponde al tiempo de establecimiento 4/ρωn , luego:
p
4ωd 2 1 − ρ2
No ≈ = ,
2πρωn πρ
1 2
ρ≈ q ≈ . (5.28)
( πN o 2 πNo
2 ) +1
Para el ejemplo anterior las 5 oscilaciones dan a través de esta aproximación un amortiguamiento
de ρ =0.127.
Ejemplo 5.4
La figura 5.16 muestra el diagrama de bloques normalizado de un sistema de control de la
excitación, autoexcitado, con excitatriz de corriente continua y un controlador Proporcional con

VR (s) + +
1 1 VT (s)
kA + 1+τE s 1+τG s
−
Figura 5.16: Sistema de control de la excitación autoexcitado.
ganancia ajustable kA . Se analiza la respuesta temporal para las ganancias kA = 5 y kA = 100,

con τE = 1s; τG = 5s.
La función de transferencia de red directa es:
kA kEQ
G(s) = ,
s(1 + τEQ s)
1 τE τG
donde: kEQ = τE +τG y τEQ = τE +τG . La función de transferencia de red cerrada es:
kA
VT (s) τE τG
= 2 1 kA
. (5.29)
VR (s) s + τEQ s + τE τG
Evaluando (5.29) en las dos ganancias kA , se obtienen:
kA = 5 kA = 100
VT (s) 1 VT (s) 20
= 2 = 2
VR (s) s + 1.2s + 1 VR (s) s + 1.2s + 20
El comando ‘damp(G)’ del MATLAB facilita el análisis de los sistemas de segundo orden:
>> s=tf(’s’);G5=1/(s^2+1.2*s+1);G100=20/(s^2+1.2*s+20);
>> damp(G5)
Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)
-6.00e-001 + 8.00e-001i 6.00e-001 1.00e+000

-6.00e-001 - 8.00e-001i 6.00e-001 1.00e+000
>> damp(G100)
Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)
-6.00e-001 + 4.43e+000i 1.34e-001 4.47e+000

-6.00e-001 - 4.43e+000i 1.34e-001 4.47e+000
La tabla 5.1 muestra los valores del coeficiente de amortiguamiento ρ, las frecuencias natural no
amortiguada ωn y amortiguada ωd , y las caracterı́sticas de la respuesta transitoria a un escalón
en la referencia.

Tabla 5.1: Caracterı́sticas de la respuesta al escalón.

kA ρ ωn ωd MP td tr tp ts(5 %)
5 0.6 1 0.8 0.095 1.42 2.77 3.93 5
100 0.134 4.47 4.43 0.653 0.24 0.38 0.7 5
Se observa que con ganancia kA alta el sistema tiene poco amortiguamiento, con una res-
puesta inicial muy rápida pero con la misma duración total de la respuesta para la ganancia
kA baja, ver las respuestas en la figura 5.17.
1.8
1.6
kA=100
1.4
1.2
1
vt(t)
0.8
0.6
0.4 kA=5
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (sec)
Figura 5.17: Respuestas al escalón para el sistema de control de la excitación autoexcitado.
Los transitorios observados muestran que para cumplir un requerimiento de error permanen-
te menor al 1 %, la ganancia kA = 100 del control proporcional, no da una respuesta transitoria
adecuada y debe usarse un controlador diferente para este sistema. △
5.5.5. Sistemas de tercer orden

Los sistemas de tercer orden sin ceros pueden tener tres polos reales distintos o uno real y
dos complejos conjugados; en el primer caso la respuesta es sobreamortiguada por la suma de

las respuestas de tres exponenciales; para el segundo caso se tiene la función de transferencia:
C(s) ωn2 p
= 2 , (5.30)
R(s) (s + 2ρωn s + ωn2 )(s + p)
y el mapa de polos de la figura 5.18.
Figura 5.18: Sistema de tercer orden con polo real.
Las respuestas al escalón para ωn = 1, ρ = 0.5 y diferentes valores del polo real se muestran
en la figura 5.19.
Para p > 0 muy grande la acción del polo real es despreciable y la respuesta corresponde a
la del sistema de segundo orden con ρ = 0.5 en la figura 5.15; con el polo real disminuyendo
por arriba de la parte real de los polos complejos p ≥ ρωn > 0, se reduce el sobrepaso máximo
y aumenta el tiempo de subida tr ; si el polo es menor de la parte real de las raı́ces complejas
0 < p < ρωn , empieza a dominar la respuesta y aumenta el tiempo de estabilización ts .
5.5.6. Polos dominantes

En el análisis del efecto del polo real en la respuesta de un sistema de segundo orden, se
observa que si el polo está muy lejos de la parte real de los polos complejos, su respuesta es
muy rápida y puede despreciarse; cuando ocurre lo contrario, es el polo simple quien tiene el
transitorio más lento y los complejos pueden despreciarse.
Los polos estables más cercanos al eje complejo con transitorios lentos se denominan domi-
nantes. Los polos estables lejanos del eje complejo se denominan rápidos.
Por lo anterior, los sistemas estables se pueden reducir a más bajo orden, despreciando
los polos rápidos pues el transitorio es corto y el residuo es pequeño. Un criterio práctico es
despreciar el efecto de polos (y ceros, ver más adelante) con parte real α a más de cinco veces
la parte real del o los polos dominantes.
Se vió en la sección 2.10 que también se pueden despreciar polos reales que tengan ceros
cercanos, pues su residuo es pequeño. Para polos complejos este criterio también aplica pero
la cercanı́a lo es tanto para la parte real como para la imaginaria. Por lo tanto, no se pueden
considerar como polos dominantes aquellos que tengan ceros cercanos.

Respuestas al escalon tercer orden
1.2
p inf
p=2
p=0.5
0.8
p=1
c(t)
0.6
p=0.25
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (sec)
Figura 5.19: Respuestas el escalón, sistemas de tercer orden.
Ejemplo 5.5
La figura 5.20 muestra un sistema de control de la excitación con excitatriz (dinámica con
constante de tiempo τE ) y un controlador paralelo (ver sección 10.9), el cual se conoce como
‘red estabilizadora’. La excitatriz y el generador tienen constantes de tiempo: τE = 1 y τG = 5
respectivamente. Los parámetros del controlador son: kA = 100, kF = 0.01 y τF = 1.
VR (s) 1 1 VT (s)
kA
+ τE s+1 τG s+1
−
kF s
+ τF s+1
+
Figura 5.20: Control paralelo de la excitación.
Para el análisis el diagrama de bloques se reduce al de la figura 5.21.

VR (s) kA (τF s+1) 1 VT (s)

+ (τF s+1)(τE s+1)+kA kF s τG s+1
−
Figura 5.21: Control paralelo de la excitación.
La función de transferencia directa es:

100(s + 1)
G(s) = ,
(s2 + 3s + 1)(5s + 1)
y la función de transferencia de red cerrada:
VT (s) 20(s + 1)
= .
VR (s) (s + 1.044)(s2 + 2.156s + 19.35)
La parte real de las raı́ces complejas es de -1.078, del mismo orden del polo real; sin embargo,
el cero está muy cerca del polo real cancelándole su efecto; cancelando el polo con el cero y
ajustando la misma ganancia estacionaria de 0.99, se tiene:
VT (s) 19.16
≈ 2 ,
VR (s) s + 2.156s + 19.35
la dinámica en red cerrada es de segundo orden con amortiguamiento ρ =0.245 y frecuencia

natural no amortiguada de ωn =4.4; el sistema tiene un tiempo de estabilización de aproxima-
damente ts = ρω4n =3.7s.
La expansión en fracciones parciales del sistema de tercer orden sin simplificar para un es-
calón de la referencia VR (s) = 1/s es:
0.99 1.036s + 2.186 4.63 × 10−2

VT (s) = − 2 + .
s s + 2.156s + 19.35 s + 1.043
Efectivamente el término simple es despreciable por tener un residuo pequeño. En la figura 5.22
se observa cómo las respuestas del sistema de orden completo y el reducido de segundo orden
son muy similares.
Si no se usa la red estabilizadora, kF = 0 la función de transferencia de red cerrada es:
VT (s) 20
= 2 .
VR (s) s + 1.2s + 20.2
El coeficiente de amortiguamiento baja a ρ =0.133 y la frecuencia natural es ωn =4.49 con
tiempo de estabilización de ts = ρω4n =6.7s. La red estabilizadora aumenta la velocidad de
respuesta y adiciona amortiguamiento.
Ahora se considera un controlador serie Gc (s) para el sistema de control de la excitación,
figura 5.4, con un controlador Integral I: Gc (s) = 1/10s, la función de transferencia de red
cerrada es:
VT (s) 0.02
= 2
.
VR (s) (s + 1.024)(s + 0.1763s + 0.01954)

1.5
Orden 2
Orden 3
1
vt(t)
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Tiempo (sec)
Figura 5.22: Respuestas de tercer orden y aproximada de segundo orden, control paralelo.
La parte real de las raı́ces complejas es -0.08815 mucho más pequeña que el polo real; despre-
ciando el polo rápido y ajustando la ganancia estacionaria a uno se obtiene:
VT (s) 0.01954
≈ 2 ,
VR (s) s + 0.1763s + 0.01954
la dinámica en red cerrada es de segundo orden con amortiguamiento ρ =0.63 y frecuencia

natural no amortiguada de ωn =0.14; el sistema tiene un tiempo de estabilización muy grande
de ts = ρω4n =45s como se muestra en la figura 5.23, donde se comparan las respuestas del
sistema de orden completo y el reducido.
Si el controlador es Proporcional Derivativo PD: Gc (s) = kp (1 + Td s), con kp = 100 y
Td = 0.5 la función de transferencia es
VT (s) 20(Td s + 1)
= 2 .
VR (s) s + (1.2 + 20Td )s + 20.2
Note que la constante Td aumenta el coeficiente de s en la ecuación caracterı́stica, por lo que

la componente derivativa del controlador aumenta el amortiguamiento ρ.
Con este controlador la función de transferencia de red cerrada es:
VT (s) 10(s + 2)
= ,
VR (s) (s + 2.26)(s + 8.94)
hay un polo rápido, pero el polo lento no es dominante por tener el cero muy cerca; la expansión

1.4
Orden 3
1.2
Orden 2
0.8
vt(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 10 20 30 40 50 60 70
Tiempo (sec)
Figura 5.23: Respuestas de tercer orden y aproximada de segundo orden, control integral.
en fracciones parciales de la respuesta al escalón es:
VT (s) = 0.99 − 1.162e−8.94T + 0.17e−2.26T ,
hay una exponencial rápida, pero la exponencial más lenta tiene un residuo pequeño y no es
posible simplificar el modelo; la respuesta al escalón se muestra en la figura 5.24, hay un error
estacionario del 1 % y un transitorio rápido; note que aunque el sistema es sobreamortiguado,
hay sobrepaso. △
5.5.7. Sistemas con ceros

El ejemplo anterior pone de manifiesto como un sistema de segundo orden con un cero tiene
sobrepaso; el efecto de los polos en la respuesta transitoria de un sistema es el de ajustar la ratas
de decaimiento o crecimiento exponencial y las frecuencias de las oscilaciones, dependen por lo
tanto de las propiedades internas del sistema como su resistencia, capacitancia o inductancia.
Para analizar el efecto de los ceros se consideran los dos sistemas de primer orden en paralelo
de la figura 5.25.
Su función de transferencia es:
C(s) (k1 τ2 − k2 τ1 )s + k1 − k2
= .
U (s) (τ1 s + 1)(τ2 s + 1)
La dinámica tiene los dos modos pero el cero depende de los pesos de cada polo k1 , k2 y sus
dinámicas τ1 , τ2 ; hay combinaciones de estos parámetros que pueden incluso cancelar el cero

0.8
0.6
vt(t)
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (sec)
Figura 5.24: Respuesta del control PD de la excitación.
Figura 5.25: Sistemas de primer orden en paralelo.
con un polo y eliminar esta componente de la respuesta. En general los ceros de un sistema
dependen de donde se aplica la entrada y de cómo se forma la salida como una función de
los polos; la ubicación de los ceros determina en que proporción se combinan los modos para
aparecer en la salida.
La posición de los ceros en el semiplano izquierdo con relación a los polos dominantes también
los clasifica como ceros rápidos si están muy alejados de los polos dominantes y ceros lentos si
están más cerca del eje complejo que los polos dominantes. Los ceros en el semiplano derecho
del plano complejo S son ceros de fase no mı́nima.

5.5.7.1. Sistemas de primer orden con un cero

La función de transferencia (5.15) para los sistemas de primer orden, con un cero en s = −z
es:
C(s) k( 1 s + 1)
= G(s) = z , (5.31)
R(s) 1 + τs
con el mapa de polo y cero de la figura 5.26
Figura 5.26: Mapa de polo y cero para un sistema de primer orden con un cero.
Las ganancias estáticas no se modifican pero la ganancia transitoria pasa de cero (sin el
k
cero) a: G(∞) = zτ , habrán por lo tanto saltos instantáneos en la respuesta al escalón cuya
amplitud será más elevada entre menor sea el valor del cero; si el cero es de fase no mı́nima, la
dirección del salto es contraria a la del escalón, como se muestra en la figura 5.27 para (5.31)
con k = τ = 1.
Ejemplo 5.6
En el ejemplo 2.32, se obtuvo el modelo linealizado de una turbina hidráulica ideal sin
pérdidas; la ecuación (2.126) permite hayar la función de transferencia entre los cambios en
posición de la compuerta de agua ∆u y los cambios de la potencia mecánica ∆y desarrollada
por la turbina:
Y (s) 1 − Is
= . (5.32)
U (s) 1 + I2 s
Para I = 2, la respuesta de la potencia mecánica (torque) a un escalón unitario en la apertura
de la compuerta corresponde a la de la figura 5.27 con z = −0.5; el torque inicialmente cae a
-2PU y luego del transitorio tiende al valor de uno. Este comportamiento se debe a la inercia
del agua, ecuación 2.28; las ecuaciones linealizadas son:
∆q = ∆u + ∆h/2 (5.33)
I∆q̇ = −∆h (5.34)

2
z=0.5
1.5
z=1
0.5 z=2
c(t)
z inf
0
−0.5
z=−1
−1
−1.5
z=−0.5
−2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Tiempo (sec)
Figura 5.27: Respuestas al escalón para un sistema de primer orden con un cero.
∆y = ∆h + ∆q, (5.35)
las cuales se muestran en el diagrama de bloques de la figura 5.28.
Figura 5.28: Diagrama de bloques del modelo lineal de una turbina hidráulica.
La inercia del agua (5.34) limita la velocidad de cambio del caudal ∆q; para una apertura
rápida de la compuerta ∆u, de (5.33) con el caudal sin variar debe haber una disminución
rápida de presión ∆h, esto genera la caı́da inicial transitoria de la potencia en (5.35); luego de
la evolución del caudal definida por (5.34) el sistema alcanzará su nuevo punto de operación
estacionario. △
El comportamiento de ajuste de la ganancia transitoria para la función de transferencia 5.31
con ceros en el semiplano izquierdo, es útil en un controlador serie de un sistema de control,

como se observó en el ejemplo 4.2 para el controlador PI y en el ejemplo 5.5 para el controlador
PD.
Cuando el cero está en el origen:
C(s) ks
= G(s) = , (5.36)
R(s) 1 + τs
la respuesta al escalón de este derivador filtrado corresponde a la respuesta al impulso del

sistema de primer orden (5.15):
c(t) = k/τ (e−t/τ ) t ≥ 0, (5.37)
ver la figura 5.29 para k = τ = 1. El transitorio lo define la constante de tiempo τ , el salto inicial
la relación k/τ y por tener ganancia estacionaria nula, la respuesta tiende asintóticamente a
cero. Este comportamiento es útil para disminuir la ganancia transitoria de un sistema de control
al utilizar un control paralelo que inyecta la salida del derivador filtrado como realimentación
negativa, ver por ejemplo la red estabilizadora en la figura 5.20.
0.9
0.8
0.7
0.6
C(t)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Tiempo (sec)
Figura 5.29: Respuesta al impulso del sistema de primer orden.

5.5.7.2. Sistemas de segundo orden subamortiguados con un cero

La función de transferencia de los sistemas de segundo orden normalizados con un cero en
s = −z es:
C(s) ω 2 ( 1 s + 1)
= 2 n z , (5.38)
R(s) (s + 2ρωn s + ωn2 )
la cual tiene el mapa de polos y ceros de la figura 5.30.
Figura 5.30: Sistema de segundo orden con cero real.
Las respuestas al escalón para ωn = 1, ρ = 0.5 y diferentes valores del cero real se muestran
en la figura 5.31.
Para z > 0 y muy grande el cero es rápido, su efecto despreciable y la respuesta corresponde
a la del sistema de segundo orden con ρ = 0.5 en la figura 5.15; con el cero real lento, se
aumenta el sobrepaso máximo y disminuye el tiempo de subida tr ; note por lo tanto que el
sobrepaso no es un indicativo de estabilidad del sistema de segundo orden, solo lo es si no hay
ceros. Si el cero es de fase no mı́nima, hay subpaso en la respuesta. Entre menor es el valor del
cero mayor es el sobrepaso o el subpaso.
5.5.7.3. Sistemas estables con cero real

Para un caso más general de un sistema dinámico estable, con ganancia estática unitaria,
tiempo de estabilización a la respuesta escalón ts y con un cero de fase no mı́nima en s = z > 0,
se cumple que su respuesta al escalón tiene un subpaso de al menos Goodwin et al [2001]:
1
Mu > , (5.39)
zts
esta cota inferior del subpaso establece un compromiso para los sistemas con ceros de fase no
mı́nima, entre alta velocidad de respuesta al escalón (bajo ts ) y bajo subpaso.
Si el sistema tiene polos dominantes estables con parte real en s = −α, α > 0 y un cero real
lento en s = z, z < 0, |z| ≪ α, se cumple que su respuesta al escalón tiene un sobrepaso de al
menos Goodwin et al [2001]:
1
Mp ≥ , (5.40)
−zts

5.6. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS INCIERTOS (I)
Respuestas al escalon, sistema de segundo orden con cero
z=0.5
1.5
z=1
z inf
c(t)
0.5
z=−1
z=−0.5
−0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (sec)
Figura 5.31: Respuestas el escalón, sistema de segundo orden con cero real.
esta cota inferior del sobrepaso establece un compromiso entre alta velocidad de respuesta y
bajo sobrepaso para estos sistemas dinámicos con un cero lento.
5.6. Respuesta temporal de sistemas inciertos (I)

Aqui se analiza cómo afectan las variaciones del proceso Gp la respuesta temporal del siste-
ma de control en el seguimiento de la referencia, el rechazo de las perturbaciones y el ruido. Se
considera un sistema realimentado unitario con una incertidumbre modelada con error multi-
plicativo (2.71), G = Gm (1 + G∆ ); usando el subı́ndice m para las funciones de sensibilidad
nominales calculadas con el modelo, la función de sensibilidad (4.4) real alcanzada con la in-
certidumbre es:
1 1 1 1
S= = = = ,
1+G 1 + Gm + Gm G∆ 1 + Gm + Tm (1 + Gm )G∆ (1 + Gm )(1 + Tm G∆ )
S = Sm S∆ , (5.41)
donde:
1
S∆ = (5.42)
1 + Tm G∆

se denomina el error de sensibilidad .

Similarmente se puede mostrar que las funciones de sensibilidad complementaria T , de
entrada Se y de salida Ss son:
T = Tm (1 + G∆ )S∆ , (5.43)
Se = Sem (1 + G∆ )S∆ , (5.44)
Ss = Ssm S∆ . (5.45)
Se observa que el comportamiento dinámico a entradas de referencia, ruido y los disturbios
se modifica con relación al nominal calculado con el modelo, debido a los errores de modelado.
Igualmente, si S∆ ≈ 1, el desempeño real no será muy diferente del nominal; esto se cumple si
en (5.42):
|Tm (s)G∆ (s)| ≪ 1, (5.46)

como el modelado normalmente es bueno a baja frecuencia y se deteriora a alta frecuencia por
las dinámicas despreciadas, G∆ (s) se incrementa con la frecuencia; para asegurar (5.46), Tm (s)
debe disminuir antes de que a alta frecuencia G∆ (s) aumente; por ello la respuesta del sistema
en red cerrada cambiará notablemente debido a la incertidumbre en los sistemas de control con
velocidad de respuesta en red cerrada mucho mayor que en red abierta.
Ejemplo 5.7
En el ejemplo 4.2 se controló el generador: Gp (s) = 1/(5s + 1) con el el PI: Gc1 (s) = 8s + 8/s
para polos complejos conjugados en red cerrada con amortiguamiento ρ =0.71 y frecuencia
natural ωn1 =1.26; se considera la incertidumbre en la ganancia del generador k entre 0.8 y 1.1
del ejemplo 4.3; se sabe que hay incertidumbre en el modelo del generador por dinámicas rápidas
de filtrado de medida y del actuador del orden de 0.1s (frecuencia de corte de 10rad/s); se usa
otro controlador PI: Gc2 (s) = 70 + 500/s para una respuesta más rápida en red cerrada con el
mismo amortiguamiento ρ =0.71 y frecuencia natural ωn2 =10, para la cual la incertidumbre del
modelo es importante. De acuerdo con la sección 2.6.5 el modelo del generador con incertidumbre
en el MATLAB se obtiene con los comandos:
>> k = ureal(’k’,1,’Range’,[0.8 1.1]); tau = 5;
>> Delta = ultidyn(’Delta’,[1 1], ’Type’,’GainBounded’,’Bound’,1);
>> W = makeweight(0,10,1.1);
>> G = tf(k,[tau 1])*(1+W*Delta);
>> s=tf(’s’);Gc1=8+8/s;Gc2=70+500/s;
>> T1 = feedback(G*Gc1,1);
>> T2 = feedback(G*Gc2,1);
>> step(usample(T1,5),’-’,usample(T2,5),’r-.’,5)
La figura 5.32 presenta cinco muestras para cada controlador, de las respuestas en red cerrada
al escalón de referencia. Se observan respuestas sin mucha dispersión para el controlador Gc1 (s),
mientras que para Gc2 (s) las respuestas son más rápidas pero con mayor dispersión, existiendo
incluso una que es inestable, con la oscilación de magnitud creciente. El análisis de la pérdida
de estabilidad con la incertidumbre se realizará en la sección 9.2.4.

2.5
Gc=8+8/s
Gc=70+500/s
2
1.5
VT
0.5
−0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Tiempo (sec)
Figura 5.32: Respuestas, tensión en terminales para dos PI con incertidumbre en el modelo.
Si el sistema es estable para toda la incertidumbre, cabrı́a preguntarse cómo se degradan

las caracterı́sticas de desempeño con ella; la figura 5.33 muestra las respuestas al escalón del
sistema con el controlador Gc1 (s) = 8 + 8/s para 200 muestras. El sobrepaso máximo alcanza
el 30 % y el tiempo de estabilización aumenta unos dos segundos, pero el sistema siempre es
estable. La figura 5.34 muestra el mapa de polos de las diferentes muestras tomadas al sistema;
todos los modos del sistema son estables; los modos menos amortiguados tienen un coeficiente
de amortiguamiento de ρ =0.44. Sinembargo, el muestreo se realiza con el método de Montecarlo
MathWorks [2013] por lo que no hay garantı́a que existan otras combinaciones de incertidumbres
que generen un menor coeficiente de amortiguamiento, o en general peores desempeños de la
respuesta temporal.
Los métodos de análisis y diseño de sistemas inciertos se han desarrollado principalmente
en el dominio de la frecuencia; para toda la incertidumbre, estas técnicas permiten obtener los
rangos entre los que se encuentran las máximas ganancias de la respuesta frecuencial de una
función de transferencia de interés como las funciones de sensibilidad, ver la sección 9.2.4; las
combinaciones de incertidumbre que generan los mayores (peores) máximos de la función de
sensibilidad |S(jω)|max o la función de sensibilidad complementaria |T (jω)|max , para toda ω,
los calcula el comando ‘wcgain’ del MATLAB; estos máximos de la respuesta frecuencial tienen
correlación con el desempeño, la robustez y la respuesta temporal, ver la sección 9.2.6.
En la figura 5.33 también se muestran las respuestas al escalón para las incertidumbres
que generan las máximas ganancias en S(jω) y T (jω); sus sobrepasos máximos son de 1.28

1.4
Smax
Tmax
1.2
Nominal
0.8
VT
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (sec)
Figura 5.33: Respuestas para Gc1 (s) con incertidumbre en el modelo.
2
Imaginaria(S)
−1
−2
−3
−4
−5
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
Real(S)
Figura 5.34: Modos del sistema con Gc1 (s) y diferentes muestreos de la incertidumbre.
cercanos al encontrado con el método de Montecarlo, pero los coeficientes de amortiguamiento

son ρ =0.32 en ambos casos, mucho menores que el encontrado por muestreo. △

5.7. ESPECIFICACIONES PARA LA RESPUESTA TEMPORAL CONTINUA DE SISTEMAS DE CONTROL
5.7. Especificaciones para la respuesta temporal continua

de sistemas de control
El objetivo del diseño para los sistemas de control es lograr uno que cumpla las especifi-
caciones de desempeño; en la sección 5.5.2 se definieron las caracterı́sticas de la respuesta al
escalón; sobre estas caracterı́sticas se definen valores o rangos considerados como aceptables
para el comportamiento de la respuesta temporal del sistema.
5.7.1. Respuesta permanente

Para la respuesta permanente se definió el comportamiento adecuado en términos del error
permanente; la precisión del sistema no está solo en la capacidad de seguir entradas variantes
sino también en rechazar los efectos de estado estable de los disturbios y las incertidumbres del
modelo, ver las secciones 4.4 y 4.5. Entre mayor desempeño se exija al error permanente, mayor
será el tipo del sistema y su ganancia, lo que compromete la estabilidad y el desempeño en el
régimen transitorio.
5.7.2. Respuesta transitoria

Para la respuesta transitoria se especifica usualmente que sea rápida y bien amortiguada; si la
aplicación puede tolerar oscilaciones, un rango adecuado para el coeficiente de amortiguamiento
de los polos complejos dominantes del sistema es:
0.4 ≤ ρ ≤ 0.8 (5.47)
ası́, si no hay ceros lentos, de acuerdo con (5.25), el sobrepaso del sistema estará entre:
2.5 % ≤ Mp ≤ 25 %.
La especificación de velocidad de respuesta está asociada a la velocidad de la planta a

controlar y las exigencias particulares del problema de control. Para plantas estables sin ceros
de fase no mı́nima, en general se especifica que la respuesta del sistema en red cerrada sea
mayor que en red abierta, respetando la restricción (5.50) de sensibilidad al ruido en la señal
de control y saturación de la misma ante los cambios de la referencia. Los ceros lentos o de fase
no mı́nima, generan los compromisos (5.39) y (5.40) entre sobrepaso, el subpaso y la velocidad
de respuesta del sistema.
Las especificaciones de desempeño para la respuesta transitoria del sistema en red cerrada,
se pueden establecer en términos de una ubicación deseada para los polos dominantes en el
plano S:
Para el tiempo de estabilización: ts ≈ 3−4
τeq , donde τeq es la constante de tiempo equivalente
para el sistema. La cota ts ≤ tsmax define un mı́nimo para la parte real de las raı́ces α:
3−4
α≥ . (5.48)
tsmax
Una cota para el sobrepaso Mp define el valor aceptable para el coeficiente de amortigua-
miento; puede ser el rango (5.47) o una cota ρ ≥ ρmin .

5.7. ESPECIFICACIONES PARA LA RESPUESTA TEMPORAL CONTINUA DE SISTEMAS DE CONTROL
Π−Θ
√
El tiempo de subida: tr = lo define principalmente la frecuencia natural no
ωn 1−ρ2
amortiguada ωn ; una aproximación para coeficientes de amortiguamiento alrededor de
0.5 es: tr ≈ 2.4
ωn ; para tener un tiempo de subida máximo: tr ≤ trmax , se debe tener la
frecuencia natural no amortiguada mı́nima de:
2.4
ωnmin ≥ . (5.49)
trmax
La figura 5.35 muestra el área deseada de ubicación de los polos dominantes para cumplir las
restricciones (5.47), (5.48) y (5.49).
Área deseada ρ = 0.4

Para los polos
Jω
ρ = 0.8
−ρωn
σ
Cı́rculo de radio ωn min
Figura 5.35: Área deseada para los polos complejos dominantes.
Ejemplo 5.8
Para un sistema de control de la excitación se desea que su respuesta al escalón tenga un
sobrepaso menor del 16 %, tiempo de estabilización menor de tsmax ≤ 3s y tiempo de subida
menor a trmax ≤ 1s. Se busca que el sistema de control en red cerrada tenga un par de polos
complejos dominantes; trazar el área deseada de ubicación de las raı́ces.
Las desigualdades que definen el área deseada de las raı́ces para estas especificaciones, son:
4
ρ ≤ 0.5, ρωn ≥ y ωnmin ≥ 2.4.
3
La figura 5.36 muestra el área deseada para los polos complejos dominantes; se ha trazado
usando la interfaz gráfica de usuario del MATLAB para el diseño de sistemas de control sisotool.
La interfaz permite dibujar en el plano complejo las lı́neas de amortiguamiento ρ constante,
parte real α constante y de frecuencia ωn constante.
Los rectángulos señalan las raı́ces de (5.29) para kA = 5; se observa que estos polos no
cumplen los requerimientos de velocidad de respuesta. △

5.8. LIMITACIONES EN LA RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS
Figura 5.36: Área deseada para los polos complejos dominantes.
5.8. Limitaciones en la respuesta temporal de sistemas de

control continuos
En el capı́tulo 4 se mostró cómo los sistemas de control realimentados pueden ajustar las
respuestas transitoria y estacionaria, pero que existen ciertos compromisos entre ambas que
degradan a una por un alto desempeño de la otra; al definir las especificaciones de desempeño,
cabe preguntarse si estas son fı́sicamente alcanzables por el sistema o si por el contrario, existe
una limitación fundamental que no permite lograrlas.
Esta sección se basa en el análisis de Goodwin et al [2001] para las limitaciones funda-
mentales de la respuesta temporal de los sistemas realimentados, asociadas a los componentes
del sistema de control como los sensores y actuadores, a la incertidumbre del modelo, a los
disturbios y a aquellas que son estructurales a la dinámica del sistema a controlar.
5.8.1. Sensores
Los sensores proveen la información del proceso al controlador, por lo que las deficiencias
en la medida impactarán fuertemente el desempeño del sistema de control. Entre los aspectos
considerados para la selección de la instrumentación de medida, ver el diseño conceptual en la
sección 1.4.3.2, los principales impactos en el desempeño del sistema de control son:
La precisión, sensibilidad paramétrica, repetitividad, deriva, resolución, linealidad, se pue-

T
den asociar con la incertidumbre de la medida: SH ; de (4.11) se obtuvo que para valores

T
altos de la ganancia en el sistema de control, SH es alta y se afectará el desempeño
transitorio y el error permanente del sistema realimentado.
Las alinealidades como zona muerta e histéresis en pequeña magnitud afectan principal-
mente al error permanente; con valores altos, pueden comprometer seriamente la esta-
bilidad del sistema.
La falla del sensor (fiabilidad) abre el lazo y lleva el sistema al control manual; para
sistemas de control crı́ticos, hay estrategias que apuntan a mantenerlos operativos con
desempeños degradados.
La inmunidad al ruido corresponde a tener una alta RSR (4.20) de la medida para evitar
componentes del ruido en la salida. Una señal de ruido a alta frecuencia tiene el efecto
adverso de generar variaciones rápidas en la señal de control a(t) lo cual es indeseable para
la operación del sistema, pues causa desgaste innecesario del actuador y puede incluso
saturarlo. Los sistemas dinámicos entre más rápido responden mayor ancho de banda
tienen; de la función de sensibilidad del ruido (4.8):
Gc T
Ss = = , (5.50)
1 + GH Gp
una alta velocidad de respuesta en red cerrada con relación a la de red abierta incrementa
la relación T /Gp , teniéndose componentes de ruido indeseables en la señal de control. Por
lo tanto, para evitar la amplificación del ruido existe un lı́mite máximo en la
velocidad de respuesta (ancho de banda) del sistema en red cerrada.
Como:
Gc
Ss = = SGc (5.51)
1 + GH
a alta frecuencia la función de sensibilidad S tiende a 1, luego el comportamiento de la
sensibilidad al ruido Ss lo define las caracterı́sticas de alta frecuencia del controlador; por
lo tanto, se requiere un buen filtrado del controlador en alta frecuencia.
El filtrado de señal y la respuesta frecuencial corresponden a la dinámica de la medida

H(s); de (4.24), la dinámica de la medida afecta los polos de red cerrada y se debe
considerar en el diseño; tı́picamente el filtrado del ruido (y filtros de antiplegamiento de
la banda frecuencial para los sistemas digitales), son paso bajos con polos en H; los polos
de H son ceros de T , por lo que si existe un filtrado lento de medida con relación a
la dinámica de red cerrada, aparecerán también ceros lentos que afectarán la respuesta
transitoria.
Ejemplo 5.9
En el proceso de producción del azúcar descrito en el ejemplo 1.13, los molinos separan el
jugo de la fibra de la caña; el bagazo se alimenta al molino a través de una tolva, a la cual se
le controla su altura para evitar derrames del bagazo. La altura del bagazo en la tolva se mide
con una serie de sensores capacitivos de proximidad espaciados uniformemente a lo largo de la
tolva y cuya salida se suma electrónicamente para generar el valor medido de altura, el cual es
una función continua cuantizada en amplitud, como se observa en la figura 5.37 Rosero [2006].

Figura 5.37: Medida cuantizada de la altura del bagazo en la tolva.
El controlador reacciona a los saltos de la señal medida generando acciones fuertes de con-
trol y oscilaciones en el sistema. La figura 5.38 muestra la simulación de un molino con un
accionamiento eléctrico utilizando un filtro estándar de primer orden usado en esta industria y
un filtro de media móvil con función de transferencia discreta:
N −1
1 X −i
H(z) = z (5.52)
N i=0
propuesto en Rosero [2006]. El molino tiene 5 sensores capacitivos por lo que la resolución es
de solo 20 %.
Se observa que el filtro de media móvil de orden 5, mejora el desempeño del molino compara-
do con un filtro de primer orden, disminuyendo las oscilaciones de torque mm , mmed , corriente
I, velocidad ω y altura h, suavizando la operación del molino. △
La cuantificación es un fenómeno que aparece en los sistemas de control digital, por la

resolución finita de los conversores análogo digital y digital análogo; en estos sistemas su efecto
se puede modelar como ruido aditivo en la realimentación y en la entrada al proceso, ver la
sección 5.13.3; por lo anterior, su impacto en el desempeño del sistema de control se puede
analizar con las funciones de sensibilidad de entrada Se (4.5) y de salida Ss (4.8).
5.8.2. Actuadores
Entre los aspectos considerados para la selección de los actuadores, ver la sección 1.4.3.2,
los principales impactos en el desempeño del sistema de control son:
La disipación de potencia genera cambios lentos en parámetros como la resistencia en los

T
motores; esto corresponde a la sensibilidad SG , la cual se puede eliminar en baja frecuencia

Figura 5.38: Medida cuantizada de la altura del bagazo en la tolva.
con acción integral en el controlador. Por supuesto que exceder los lı́mites máximos de
disipación de potencia lleva al disparo por protección del actuador y a la parada del
sistema.
Lı́mites máximos de la variable manipulada, incluyendo estados del actuador. En la sección
4.3 se analizó cómo sistemas de control con alta ganancia y respuesta rápida pueden
saturar el actuador. También algunos actuadores tienen lı́mites en la rata de cambio de la
variable manipulada, estos lı́mites también se alcanzan con velocidades de respuesta muy
altas en red cerrada con relación a la del proceso y su impacto se puede analizar igualmente
con la función de sensibilidad de salida Ss . Con acción integral en el controlador, las
saturaciones separan la respuesta del sistema del comportamiento esperado, acumulándose
la integral de este error en el controlador, lo que genera oscilaciones en la respuesta (ver
sección 6.7.10).
El cambio mı́nimo de la variable manipulada. Los actuadores, particularmente los mecáni-
cos como las válvulas y los servomotores, tienen zonas muertas e histéresis asociadas a la
fri-cción; con ello, una acción pequeña de la señal de control no genera un cambio en la
variable manipulada, por lo que se afecta la precisión con la cual se puede controlar la
salida. Esto es particularmente crı́tico en procesos de alta ganancia, como el de PH. Con

acción integral en el controlador, la integral acumulada del error alcanza con el tiempo
niveles superiores al de la banda muerta, con lo que responde el lazo, disminuye el error,
cae la acción de control a la banda muerta y ası́ sucesivamente, generándose una oscilación
sostenida (ciclo lı́mite) indeseable.
Ejemplo 5.10
La figura 5.39 muestra un modelo para un servomecanismo hidráulico como el mostrado en
la figura 1.12.
Figura 5.39: Modelo no lineal de un servomecanismo.
El servomecanismo tiene lı́mites máximos y mı́nimos en la posición de salida:

xmax = 1.5, xmin = 0, en la velocidad: vmax = 0.1, vmin = −0.1 y una banda muerta en
el intervalo: (-BMm,BMx) = (−0.01, .01). La figura 5.40 muestra las respuesta al escalón en la
entrada xr con magnitudes de 0.1 y 0.4 para una constante de tiempo τ = 1s.
Figura 5.40: Respuestas de un servomecanismo con saturación de velocidad y banda muerta.

Con el escalón de 0.1, no hay saturación de velocidad y la respuesta es similar a la de un

sistema de primer orden tipo 1, pero el valor final no alcanza la referencia por la banda muerta.
Para el escalón de 0.4, la saturación de velocidad limita el transitorio inicial a una rampa con
pendiente de 0.1/s siendo la respuesta más lenta que la del sistema lineal sin saturación.
El modelo del servomecanismo en la figura 5.39 se controla con un PI externo:
Gc (s) = (3s + 9)/s; la figura 5.41 muestra la respuesta de la posición x(t) y la salida del
controlador u(t) a un escalón en su referencia de magnitud 0.4, sin considerar la saturación de
velocidad.
0.5
0.4
0.3
x(t)
0.2
0.1
0
0 2 4 6 8 10
1.5
1
u(t)
0.5
0
0 2 4 6 8 10
t(s)
Figura 5.41: Respuestas con control PI, sin saturación de velocidad y con banda muerta.
La respuesta se estabiliza en menos de dos segundos y la acción integral del controlador

elimina el error estacionario debido a la banda muerta. La figura 5.42 muestra la respuesta de
este controlador con la saturación de velocidad de ±0.1; se observa una fuerte oscilación de la
posición del servo y de la señal de control, tardando 28s el sistema en estabilizarse.
Finalmente se considera el control PI y adicionalmente un huelgo de ±0.01 a la salida del
servomecanismo; la figura 5.43 muestra 20 segundos del comportamiento estacionario, donde se
observa una oscilación sostenida en el sistema de control. △
5.8.3. Incertidumbre
Se analizó en la sección 5.6 cómo cambian las diferentes funciones de sensibilidad con la
incertidumbre del modelado. El modelo es bueno en baja frecuencia pero su error aumenta
con la frecuencia donde cobran importancia las dinámicas despreciadas, esto exige limitar la
velocidad de respuesta del sistema realimentado por lo que para un desempeño robusto se
debe tener un lı́mite superior en la velocidad de respuesta (ancho de banda) del
sistema realimentado.

0.8
0.6
x(t)
0.4
0.2
0
0 10 20 30 40 50
10
5
u(t)
−5
0 10 20 30 40 50
t(s)
Figura 5.42: Respuestas con control PI, con saturación de velocidad y banda muerta.
0.41
0.4
x(t)
0.39
0.38
0.37
30 35 40 45 50
0.5
0.45
u(t)
0.4
0.35
0.3
30 35 40 45 50
t(s)
Figura 5.43: Respuestas estacionarias con PI, saturación de velocidad, banda muerta y huelgo.
5.8.4. Disturbios
En (4.16) la salida debida a los disturbios de entrada y salida es:

CDe + CDs = SGp De + SDs . (5.53)

Las perturbaciones son tı́picamente constantes, de transitorios lentos o periódicas de baja fre-
cuencia; como el proceso Gp es dado, se debe mantener S pequeña en las frecuencias de los
disturbios. Como son ceros de S los polos del controlador (ver (5.56)), éstos se pueden escoger
para eliminar los disturbios en ciertas frecuencias, como fue el caso analizado en el capı́tulo 4
y en el análisis de la respuesta permanente con el uso de la integración en el controlador para
eliminar los errores estacionarios.
De: T + S = 1 con S muy pequeño, T ≈ 1, lo que equivale a tener una velocidad mı́nima
de respuesta (ancho de banda mı́nimo) del sistema en red cerrada, para un rechazo
efectivo de los disturbios.
5.8.5. Estructurales
Se observó en secciones anteriores cómo los sistemas de primer y segundo orden presentan
subpaso con un cero de fase no mı́nima; existen restricciones de carácter estructural al modelo
del sistema que no pueden evitarse en el desempeño del sistema de control.
5.8.5.1. Retardos
En la sección 2.3.8 se observó como el transporte de la cantidad elemental del sistema lleva
a retardos de tiempo muerto. La figura 5.44 muestra a un sistema con un disturbio y un retardo
a la salida.
Figura 5.44: Sistema de control con retardo y disturbio.
El efecto del disturbio en la salida solo se observa después del retardo, lo que retrasa la
respuesta del controlador para eyectarlo. La dinámica entre la salida y el disturbio es:
CD (s) e−sT 1
= −sT
= sT . (5.54)
D(s) 1 + Gc (s)Gp (s)e e + Gc (s)Gp (s)

En alta frecuencia, esta función de transferencia es dominada por la exponencial del denomina-
dor, luego el retardo se mantiene independientemente del controlador que se utilice, por lo que
los retardos limitan la capacidad de rechazo de los disturbios.
Con errores grandes del tiempo muerto, la magnitud del error multiplicativo (2.73) se in-
crementa al valor de uno en bajas frecuencias afectando la robustez del desempeño del sistema
(5.42).
Para la estructura de control serie de la figura 5.44 entre más rápido se busque controlar al
sistema en red cerrada, más importante será el efecto inamovible del retardo, lo que impone un
lı́mite superior en la velocidad de respuesta.
5.8.5.2. Algebraicas
Se considera la definición de polos y ceros del ı́tem 5.5.1 para un sistema realimentado
unitario H = 1; las funciones de sensibilidad definidas en la sección 4.2.2, cumplen las siguientes
restricciones algebraicas:
Todas las funciones de sensibilidad tienen la misma ecuación caracterı́stica.

La función de sensibilidad T complementaria que relaciona la salida con la referencia:
Nc N p
T = , (5.55)
D
tiene como ceros a los ceros del controlador Nc y los del proceso Np .
La función de sensibilidad del sistema S que relaciona la salida con el disturbio de salida:
Dc Dp
S= , (5.56)
D
tiene como ceros a los polos del controlador Dc y del proceso Dp .
Como se cumple S + T = 1, en los ceros zT de T :
S(zT ) = 1 (5.57)
y en los ceros zS de S la sensibilidad complementaria T es:
T (zS ) = 1 (5.58)
La función de sensibilidad de entrada Se que relaciona la salida con el disturbio de entrada

al proceso:
Np D c
Se = , (5.59)
D
tiene como ceros a los ceros del proceso Np y a los polos del controlador Dc .
La función de sensibilidad de salida Ss que relaciona la referencia con la señal de control:
Nc D p
Ss = , (5.60)
D
tiene como ceros a los ceros del controlador Nc y a los polos del proceso Dc .

5.8.5.3. Integradores
El uso de la acción integral en el control es muy frecuente para eliminar los errores esta-
cionarios de seguimiento, variaciones parétricas o disturbios; la integración sin embargo crea
compromisos en la respuesta temporal de los sistemas realimentados.
Sobrepaso y error permanente. En el análisis del error permanente 5.4.3 se definieron las
condiciones para las cuales el error permanente es nulo y la integral asintótica del error, para el
esquema de control serie de la figura 4.2. Con esta integral nula, el área del error por debajo y por
encima de cero debe ser nula, lo que implica que el error cambia de signo y por lo tanto la salida
supera la referencia durante el transitorio; si la entrada es un escalón el sobrepaso es inevitable.
Se debe por lo tanto respetar estas restricciones y definir coherentemente los requerimientos en
integración en el controlador para eliminar errores estacionarios y la respuesta transitoria.
Polos lentos e inestables del proceso. Los integradores imponen restricciones en la velo-
cidad de respuesta de los sistemas realimentados. Sea un sistema de control diseñado con polos
estables en red cerrada a la izquierda de −α < 0, al menos un integrador en el controlador y
con un polo del proceso en s = p, con parte real a la derecha de los polos de red cerrada (puede
ser lento o inestable). Para un escalón positivo unitario de entrada (o disturbio negativo de
salida), la transformada de Laplace del error es:
Z ∞
E(s) = e−st e(t)dt = S(s)1/s; (5.61)
0
evaluando (5.61) en s = p, con S(p) = 0 por (5.56), se tiene:

Z ∞
e−pt e(t)dt = 0, (5.62)
0
esto indica que el producto e−pt e(t) decrece aún si p es estable p < 0. En la integral (5.62) la
exponencial es siempre positiva por lo que el error debe cambiar de signo y habrá sobrepaso.
Luego, un sistema realimentado con acción integral en el controlador para una planta
estable y con velocidad de respuesta en red cerrada mayor que un polo de red
abierta, tendrá sobrepaso.
El sobrepaso se puede evitar cancelando el polo lento del proceso con un cero en el con-
trolador; para el proceso Gp (s) = G(s)/(s + p) el controlador se diseña Gc (s) = C(s)(s + p),
ası́:
Gc (s)Gp (s) C(s)G(s)
T (s) = =
1 + Gc (s)Gp (s) 1 + C(s)G(s)
y la parte del controlador C(s) se diseña para controlar el proceso G(s) sin el modo lento. Sin
embargo, la función de transferencia entre la salida y el disturbio de entrada es:
Gp (s) G(s)
Se (s) = = ,
1 + Gc (s)Gp (s) (s + p) 1 + G(s)C(s)
el modo lento aún aparece en la respuesta al disturbio de entrada, lo que la hará inapropia-
damente muy lenta. Este polo aparece como un cero lento en la función de transferencia entre

la señal de control y la referencia Ss por lo que se puede saturar el actuador. Los sobrepasos
a escalones en la referencia debidos a ceros lentos en el controlador o el proceso, si se pueden
evitar cancelándolos con filtros en la señal de referencia en un esquema de control con dos
grados de libertad; en este caso no se compromete el desempeño ante disturbios.
Si el polo es inestable y mucho más rápido que los polos de red cerrada, entonces la exponen-
cial que acota al error en (5.62) decae mucho más rápido que el error por lo que se requerirán
valores grandes negativos del error para que la integral sea nula; esto implica elevados sobrepa-
sos en la salida, por lo que para evitar grandes sobrepasos se debe ajustar la dinámica
de red cerrada mayor que la del polo inestable más rápido.
Ejemplo 5.11
s+4
Se considera el proceso Gp (s) = s+p con el controlador Gc = k(s+z c)
s(s+pc ) , el cual se diseña para
obtener una dinámica de red cerrada con tres polos repetidos en s = −2. La tabla muestra los
parámetros del controlador para diferentes valores del polo del proceso p.
p k zc pc
1 1.66 1.2 3.33
0.5 2.07 0.96 3.43
-1 3.4 0.59 3.60
-3 5.29 0.38 3.71
Se observa que el polo del controlador no varı́a mucho, pero si aumenta la ganancia y el
cero disminuye, volviéndose cada vez más lento, lo que para los mismos polos de red cerrada,
aumenta el sobrepaso, como se muestra en la figura 5.45. El polo del proceso induce en el diseño
el cero lento del controlador, para obtener la dinámica deseada de red cerrada. △
Ceros lentos y de fase no mı́nima en el proceso. Se considera un sistema de control, con

polos estables en red cerrada a la izquierda de −α < 0, al menos un integrador en el controlador
y con un cero del proceso en s = z, con parte real a la derecha de los polos de red cerrada
(puede ser lento o de fase no mı́nima). De (5.55) el cero del proceso será cero de T y por (5.57),
S(z) = 1. Ası́, para un escalón positivo unitario de entrada (o disturbio negativo de salida), la
integral (5.61) en s = z, es:
Z ∞
1
e−zt e(t)dt = . (5.63)
0 z
Si el cero es lento en el semiplano izquierdo z < 0, la integral (5.63) es negativa y como el
error inicia positivo, debe cambiar de signo existiendo sobrepaso, el cual aumenta en la medida
que el cero sea más pequeño (más lento). Esto es consistente con la cota mı́nima (5.40), por lo
que el sobrepaso aumenta entre mayor sea la velocidad de red cerrada con relación al
cero más lento del proceso. Este cero lento se puede cancelar con un polo en el controlador,
pues aparece como cero en Se pero la dinámica pasobajo G(s) del proceso atenúa su efecto.
Si el cero es de fase no mı́nima, de (5.39) habrá subpaso en la respuesta. La integral (5.63)
es positiva y más grande entre menor sea el cero; si la velocidad de red cerrada es alta con
relación a la del cero, el producto en la integral e−zt e(t) tiene una exponencial decreciente lenta

1.8
1.6 p=−3
1.4
1.2 p=−1
C(t)
0.8
p=0.5
0.6
0.4
p=1
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo (sec)
Figura 5.45: Polos del proceso y sobrepaso.
con un error de transitorio rápido a cero, esto obliga a tener picos positivos elevados de error
(grandes subpasos), para obtener el valor elevado positivo 1/z de la integral. Por lo anterior,
para evitar grandes subpasos, la velocidad de red cerrada debe ser menor que la
del cero de fase no mı́nima más lento.
Si el escalón es de un disturbio de entrada, un razonamiento similar lleva a:
Z ∞
e−zt e(t)dt = 0, (5.64)
0
por lo que sistemas en red cerrada más rápidos que algún cero de red abierta (lento
o de fase no mı́nima) tendrán sobrepaso en la respuesta a escalones en el disturbio
de entrada.
Ejemplo 5.12
s+z
Se considera el proceso Gp (s) = s+2 y se desean polos repetidos con la misma velocidad
k(s+2)
en red cerrada en s = −2; para ello se diseña el controlador Gc = s(s+p c)
, como lo muestra la
tabla para diferentes valores del cero del proceso z.
La figura 5.46 muestra las respuestas al escalón para los diferentes valores del cero; para el
cero rápido en s = −10, la respuesta es sobreamortiguada con amortiguamiento ρ = 1 y sin
sobrepaso; con el cero lento en s = −1, aparece sobrepaso de acuerdo con (5.63). Con los ceros
en el semiplano derecho, aparece un elevado subpaso pues la velocidad de red cerrada es mayor
que la de los ceros de fase no mı́nima. △

5.9. RESPUESTA TEMPORAL DE SISTEMAS DISCRETOS
z k pc
10 0.4 3.6
1 4 0
-1 -4 8
-.5 -8 12
1.5
z=1
1
0.5 z=10
c(t)
0 z=−1
−0.5 z=−0.5
−1
−1.5
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
Figura 5.46: Ceros del proceso, sobrepaso y subpaso.
5.9. Respuesta temporal de sistemas discretos

En el paso 3 de la lúdica 3.1 se tomaron las secuencias de datos del error del cilindro
(distancia deseada menos la alcanzada en el ensayo) y la altura del plano. La altura se calcula
con un algoritmo a partir del error, lo que corresponde a un controlador digital. Del modelado
de los sistemas discretos realizado en el capı́tulo 3, un controlador digital como el de la figura
5.47, es un sistema de tiempo discreto en el cual la señal de control se puede calcular como
la trasformada inversa Z de la salida. Las señales discretas de entrada provienen de muestrear
e(k) a(k)
Gc (z)
E(z) A(z)
Figura 5.47: Controlador digital.
señales de tiempo continuo, la distancia del cilindro al objetivo para la lúdica 3.1; para el

5.10. RESPUESTA PERMANENTE DISCRETA
análisis de los sistemas discretos se estableció la transformada Z, la cual se relaciona con la

transformada de Laplace S del dominio del tiempo continuo por:
z = esT . (5.65)
El análisis de la respuesta temporal para los sistemas discretos se puede por lo tanto inferir
del comportamiento del sistema continuo correspondiente en el plano S.
En lo que sigue se presentará un análisis similar al dado en 5.4 para la respuesta permanente;
luego se estudiará la correlación entre los planos S y Z para inferir el comportamiento de la
respuesta transitoria discreta a partir de lo estudiado en la sección anterior.
5.10. Respuesta permanente discreta

La figura 5.48 presenta el modelo de la bucla de realimentación tı́pica digital. El error
R(s) + E(s) E ∗ (s)

1−e−sT
C(s)
D(z) Gp (s)
T s
−
B(s)
H(s)
Figura 5.48: Bucla de realimentación digital.
actuante es: e(t) = r(t) − b(t); se define el error de estado estable en los instantes de muestreo
e∗ss :
e∗ss = lı́m e∗ (t) = lı́m e(kT ).
t→∞ k→∞
Si el sistema es estable, de la propiedad 15 en la tabla 3.4:
e∗ss = lı́m [(1 − z −1 )E(z)]. (5.66)

z→1
Para este sistema se obtuvo la función de transferencia de pulsos (3.4):
C(z) G(z)
= ,
R(z) 1 + GH(z)
n o n o
G (s) G (s)H(s)
donde: G(z) = (1 − z −1 )Z ps D(z) y GH(z) = (1 − z −1 )Z p s D(z), por lo que la
transformada Z del error es:
R(z)
E(z) = ;
1 + GH(z)
reeemplazando E(z) en (5.66) se tiene:
" #
R(z)
e∗ss = lı́m (1 − z −1
) . (5.67)
z→1 1 + GH(z)

5.10. RESPUESTA PERMANENTE DISCRETA
De manera similar a lo obtenido para el caso continuo, ver ecuación (5.1) para la referencia
R(s), el error depende de las integraciones en la entrada R y en GH; la integración en el plano
S es un polo en s = 0 el cual corresponde en (5.65) a un polo en el plano Z en z = 1. Las
señales de prueba discretas tı́picas para evaluar el comportamiento del error permanente de los
sistemas discretos son la contraparte de las utilizadas en tiempo continuo, el escalón, la rampa
y la parábola, ver la tabla 3.3.1.
P
Para una entrada escalón: R(z) = 1−z −1 el error es:
" #
∗ P P
essp = lı́m = ,
z→1 1 + GH(z) 1 + KP∗
el cual se define como el error permanente discreto de posición, donde:
KP∗ = lı́m GH(z)
z→1
es la constante de error de posición.
T V z −1
Para una entrada rampa R(z) = , el error es
(1 − z −1 )2
! !
T V z −1 TV
e∗ssv = lı́m = lı́m ,
z→1 (1 + GH(z))(1 − z −1 ) z→1 GH(z)(1 − z −1 )
V
e∗ssv = ,
KV∗
el cual se define como el error permanente discreto de velocidad, donde
GH(z)(1 − z −1 )
KV∗ = lı́m
z→1 T
es la constante de error de velocidad.
AT 2 (1 + z −1 )z −1
Similarmente para una entrada aceleración: R(z) = ,
2(1 − z −1 )3
A
e∗ssa = ∗
KA
es el error permanente discreto de aceleración, donde
∗ (1 − z −1 )2 GH(z)
KA =
T2
es la contante de error de aceleración.
Se observa que las expresiones del error permanente discreto e∗ss y de las constantes de error
∗
K tienen la misma forma del caso continuo; sinembargo, para entradas variantes las constantes
de error KV∗ y KA ∗
dependen del perı́odo de muestreo.
Recuérdese que la función de transferencia de pulsos para elementos en cascada depende de
la ubicación de los muestreadores, por lo que el cálculo de la función de transferencia discreta de
red abierta GH(z) debe realizarse con un análisis similar al hecho en el ı́tem 3.4.3. El siguiente
ejemplo ilustra este aspecto.

5.11. RESPUESTA TRANSITORIA DISCRETA
Ejemplo 5.13
Para el sistema:
Las constantes de error son:
KP∗ = lı́m G1 (z)G2 H(z),

z→1
(1 − z −1 )G1 (z)G2 H(z)

KV∗ = lı́m ,
z→1 T
∗ (1 − z −1 )2 G1 (z)G2 H(z)
KA = lı́m .
z→1 T2
△
Los sistemas de control digitales también se clasifican como de tipo N-ésimo de acuerdo al
número de polos en z = 1 (integraciones ) de la función de transferencia de pulsos de lazo abierto.
Las conclusiones derivadas en el análisis estacionario para los sistemas continuos en términos de
la entrada, el tipo de sistema, el error permanente, la integral (sumatoria en discreto) asintótica
del error y el error debido a disturbios de entrada, aplican también para el caso de los sistemas
de control digitales.
5.11. Respuesta transitoria discreta

Para familiarizarse con los transitorios de los sistemas de tiempo discreto, conviene conocer
la ubicación de polos y ceros en el plano Z de las señales discretas y su equivalente en el plano
S.
5.11.1. Polos y ceros de señales discretas

5.11.1.1. Pulso unitario
Si la entrada al controlador de la figura 5.47 es un pulso unitario e(k) = d(k), de la tabla 3.3
su transformada Z es E(z) = 1, por lo que la salida del controlador será A(z) = G(z), esto es
la transformada Z de la función de tranferencia discreta; similarmente, para la función impulso
de tiempo continuo e(t) = δ(t), la transformada de Laplace es E(s) = 1 y A(s) = G(s); esto es,
estas señales se relacionan directamente con la dinámica de los sistemas.

5.11.1.2. Escalón unitario

z
Para el escalón unitario discreto e(k) = µ(k), E(z) = z−1 ; el escalón continuo e(t) = µ(t)
tiene transformada de Laplace E(s) = 1/s. La figura 5.49 muestra los mapas de polos y ceros
en los planos S y Z del escalón. Una señal constante en el tiempo discreto corresponde con
polos en z = 1; para los sistemas dinámicos las integraciones (polos en el origen s = 0), tienen
correspondencia con polos en z = 1.
jω Plano Z
e(k) Plano S
1
σ
kT
Figura 5.49: Polos y ceros del escalón.
5.11.1.3. Exponencial
z
Para la señal exponencial discreta: e(k) = rk µ(k), E(z) = z−r , su contraparte continua
−t/τ 1
e(t) = e µ(t) tiene transformada de Laplace E(s) = s+1/τ , ver la figura 5.50. Se observa
Plano S jω Plano Z
e(k) r>1
1 σ
− τ1
0<r<1
kT
Figura 5.50: Polos y ceros de la exponencial.
que tiene un cero en z = 0 y un polo en z = r. Además, si | r |> 1, la evolución de e(k) no es

acotada.
Un transitorio exponencial de tiempo discreto con radio r corresponde a uno en continuo
con constante de tiempo τ ; de z = esT , z = r = e−T /τ , luego el transitorio exponencial discreto
es el muestreo del transitorio exponencial continuo con constante de tiempo:
τ = T /ln(1/r). (5.68)

Si el radio r → 1, τ → ∞ y la respuesta es lenta; si r → 0, τ → 0 la respuesta es rápida, de esto

se concluye que en el plano Z los polos reales rápidos son los cercanos al origen y los lentos los
cercanos a uno.
Como una práctica usual es muestrear entre 4 a 10 veces la constante de tiempo de una
τ
señal análoga de primer orden, el perı́odo de muestreo es T ≈ 4→10 y el polo real estará en el
−T /τ −0.25→−0.1
intervalo: r = e =e = 0.8 → 0.9.
5.11.1.4. Senoidal acotada exponencialmente

Finalmente, se considera una señal discreta senoidal acotada exponencialmente:
e(k) = rk cos(kθ)µ(k), E(z) = z2z(z−r cos θ)
−2r cos θz+r 2 , donde r es el radio y θ la frecuencia digital.
Hay ceros en z = 0 y z = r cos θ y polos en z1−2 = r cos θ ± jrsenθ.
Plano S jω Plano Z
θ
e(k) T r
1
N =8 σ θ
− T1 lnr θ = 45◦
r = 0.6
kT
Figura 5.51: Polos y ceros de sinusoide con decaimiento exponencial.
La señal continua corresponde a e(t) = rt cos(θt)µ(t) con transformada de Laplace:

s+α −α
E(s) = (s+α) 2 +ω 2 , donde e = r. Esta señal es una generalización de las anteriores pues con
k
θ = 0, e(k) = r µ(k) y si r=1, e(k) = µ(k).
A partir de la correlación de polos entre los planos S y Z de la figura 5.51 se pueden derivar
algunas conclusiones sobre el comportamiento transitorio de una señal de tiempo discreto k,
con relación a la ubicación de sus polos en el plano complejo (Z):
1. La duración del transitorio depende principalmente del radio r:

Con r > 1 la señal es inestable, de amplitud infinita cuando k tiende a infinito.
Para r = 1 la amplitud es finita cuando k tiende a infinito.
Con r < 1 la señal es estable y a menor r más corto el transitorio.
Si r = 0, el transitorio es de duración finita (polos en cero).
2. El número de muestreos por ciclo de una señal senoidal lo determina θ.
La primera conclusión es la correlación de la región de estabilidad para los polos de las

señales y sistemas en tiempo continuo; son polos estables los ubicados en el semiplano izquierdo
del plano S; esta región se convierte a través de la transformación z = esT en el interior del
cı́rculo de radio unidad en el plano Z.

La segunda conclusión atañe a la periodicidad de señales discretas; una señal discreta es

periódica si x(k) = x(k + N ) para todo k, donde N es un número entero que corresponde al
perı́odo de la señal; para la señal periódica x(k) = cos(kθ) = cos(kθ + N θ), un perı́odo (2π rad)
2π
contiene N muestreos: N θ = 2π, luego N = θ[rad] muestreos/ciclo. Por ejemplo, para θ = 45o
y N = 360/45 = 8 muestreos por perı́odo, se tiene la señal senoidal e(k) de la figura 5.51.
Nótese que una señal es periódica si 2π θ es un número entero mayor de uno, luego θ debe
estar en el intervalo: 0 < θ < π; la frecuencia digital θ es estrictamente menor que π por el
teorema de muestreo; por lo tanto, una señal análoga periódica, al muestrearse puede no ser
una secuencia periódica.
Ejemplo 5.14
Sea la señal análoga x(t) = cosωo t = cos 2π
To t, donde To es el perı́odo de la señal.
Si se muestrea cada T segundos: x(kT ) = cos 2π T
To kT , por lo que la frecuencia digital es θ = 2π To .
2π To ωs
Como N = θ = T = ωo , entonces la frecuencia de muestreo debe ser un múltiplo entero mayor
a uno de la frecuencia de la señal análoga, para que ambas señales tengan la misma periodicidad.
Si ωs /ωo es un número irracional, la señal discreta es aperiódica.
Si la señal análoga tiene una frecuencia de60 Hz y se muestrea con T = 1ms, se genera una
1/60 50
señal discreta con N ′ = 10 −3 = 3 muestreos por ciclo de la oscilación análoga; la señal discreta
2π
x(k) = cos 50/3 k se repite al cabo de N = 50 muestreos, esto es luego de los tres perı́odos de la
señal análoga.
La señal análoga x(t) = cos100t, muestreada con T = 1 ms, da N ′ = 2π/100 10−3 = 20π, lo que
corresponde a un número irracional de muestreos por ciclo, es decir, es aperiódica. △
5.11.2. Correlación plano S a plano Z

Las especificaciones de respuesta en tiempo continuo establecidas mediante la ubicación
de polos en el plano S, se pueden llevar mediante la transformación z = esT al plano Z, de
forma que la respuesta discreta cumpla las especificaciones de funcionamiento de la respuesta
en tiempo continuo. La figura 5.52 muestra la traslación de diversos lugares del plano S al plano
Z. Se confirma lo analizado en la sección anterior, en donde el eje complejo s = ±jω se traslada
a un cı́rculo de radio unidad en el plano Z cuyo interior alberga los polos estables del sistema.

PLANO S PLANO Z
Cı́rculo j
jω Unitario
jπ/T e±jπ
−1 1
σ
σ
−jπ/T −j
j 0<r<1
jω
Eje Real
Eje Real positivo σ > 0 r>1
z=r
negativo S = σ < 0 σ z = eσ 1
Cı́rculos de
Lugar de atenuación radio r
jω r2 = eσs T
constante z = ejθ
S = σ + jω, σ : cte. r = eσT
r1 = eσ1 T
σ
σ1 σ2
j
Lugar de jω jω2
frecuencia cte.
s = σ + jω jπ/T jω1
ω =cte 1
jω1
jω2 jπ/T
Figura 5.52: Correlación plano S a plano Z.
Las correlaciones en la figura anterior están acotadas para la componente imaginaria de

polos complejos ωd < ωs = jπ/T , esto es para las frecuencias en S que cumplen el teorema del
muestreo; la relación entre el plano S y el plano Z no es uno-a-uno, pues para muchos valores
de S hay un solo valor de Z; sean los puntos en el plano complejo: sm = s1 + j 2π
T m, donde m
es un número entero. En el plano Z estos puntos están en:
z = esm T = es1 T ej2πm = es1 T ,
luego polos o ceros en el plano S con frecuencias que difieren en un múltiplo entero de la
frecuencia de muestreo 2π/T , se trasladan a la misma posición en el plano Z; esto genera en el

plano S una banda primaria (ver la figura 5.53) y unas bandas complementarias con imágenes
iguales en el plano Z, como lo ilustra la figura 5.54.
PLANO S PLANO Z
Jω J
3 2
Jπ/T
1
1 2 3
σ 5 4
−Jπ/T
4 5
Figura 5.53: Banda primaria en el plano S y su imagen en el plano Z.
Jω
B.C
J5π/T J
B.C
Banda J3π/T
Complementaria Jπ/T
Banda
Primaria σ
−Jπ/T 1
B.C
−J3π/T
B.C
−J5π/T
B.C
Figura 5.54: Bandas complementarias.
Una correlación de interés es la de polos conjugados complejos en S con coeficiente de

amortiguamiento ρ constante, figura 5.55. El polo complejo:
p
s = −ρωn + jωn 1 − ρ2
se transforma en el plano Z a:
√
1−ρ2
z = esT = e−ρωn T ejωn T = rejθ ,
luego el radio es:
r = e−ρωn T (5.69)
y la frecuencia digital: p
θ = ωn T 1 − ρ2 = ωd T. (5.70)

PLANO S PLANO Z
Figura 5.55: Correlación del lugar a amortiguamiento constante.
Con amortiguamiento ρ constante si la frecuencia natural ωn disminuye, el radio r aumenta

exponencialmente y la frecuencia digital θ disminuye linealmente, lo que genera una espiral
logarı́tmica.
ωd
Con la frecuencia de muestreo ωs = 2π T , la frecuencia digital (5.70) es θ = ωd T = 2π ωs .
Para señales y sistemas oscilatorios es usual escoger el muestreo como un múltiplo entero (entre
10 a 30 veces) de la frecuencia de oscilación, luego para una relación dada entre la frecuencia
natural amortiguada y la de muestreo ωωds , el radio r solo depende del amortiguamiento ρ.
Dada la posición de polos complejos en el plano Z, es útil calcular los valores de la frecuencia
natural y el coeficiente de amortiguamiento; despejando ρ y ωn de (5.69) y (5.70), se obtiene:
| ln r|
ρ= p , (5.71)
θ2 + ln2 r
y la frecuencia natural: p
θ2 + ln2 r
ωn = . (5.72)
T
Una señal oscilatoria amortiguada análoga, muestreada a diferentes frecuencias tendrá los
polos en el plano Z sobre la espiral.
Ejemplo 5.15
Señal análoga con ρ = 0.3, muestreada con ωs1 = ωd , ωs2 = 2ωd y ωs3 = 4ωd , tendrá polos
en el plano Z en: zi = ri ejθi con: r1 = 0.27, θ1 = 2π = 0o ; r2 = 0.37, θ2 = π ; r3 = 0.6, θ3 =
π
2. △
De forma similar al trazo de los lugares a amortiguamiento constante se pueden obtener los
lugares de frecuencia natural ωn constante; en el plano S las curvas de amortiguamiento cons-
tante (rectas por el origen) y de frecuencia natural constante (circunferencias) son ortogonales
(sus intersecciones son en ángulos rectos); la transformación z = esT mantiene también esta
propiedad en el plano Z, ver la figura 5.56.
El gráfico obtenido para las curvas de ρ constante y ωn constante en el plano Z se dispone
como un ábaco (ver figura 5.57) que permite en el análisis de los sistemas discretos, correlacionar
directamente la posición de los polos en el plano Z con el amortiguamiento y la frecuencia
natural en el plano S.

Lugar de ωn cte Jω
ωn = 0.4 ω2s ωn = 0.4 ω2s
ρ =variable
ωn = 0.1 ω2s ωn = 0.2 ω2s
ωs
σ ωn = 2
Figura 5.56: Lugares ortogonales de ρ y ωn constantes.
Root Locus
1
0.5π/T
0.6π/T 0.4π/T
ρ
ωn
0.8 0.7π/T 0.1 0.3π/T
0.2
0.3
0.6
0.8π/T 0.2π/T
0.4
0.5
0.4 0.6
0.7
0.9π/T 0.1π/T
0.8
0.2
0.9
Imaginary Axis
π/T
0
π/T
−0.2
0.9π/T 0.1π/T
−0.4
0.8π/T 0.2π/T
−0.6
−0.8 0.7π/T 0.3π/T
0.6π/T 0.4π/T
0.5π/T
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Real Axis
Figura 5.57: Ábaco en el plano Z de los lugares con ρ y ωn constantes.

5.11.3. Respuesta al escalón de sistemas discretos

La respuesta transitoria a un escalón de entrada para un sistema discreto tiene caracterı́sticas
similares a las analizadas en la sección 5.5 para los sistemas continuos. Sin embargo, los sistemas
discretos tienen comportamientos que no existen en los sistemas de tiempo continuo, cuando
tienen polos en el eje real negativo y en el origen. En esta sección se analiza la respuesta al
escalón de sistemas discretos de primer y segundo orden, con especial atención a estos casos.
5.11.3.1. Sistemas discretos de primer orden

La respuesta de un sistema de tiempo discreto de primer orden:
1−r
G(z) =
z−r
z
con r > 0, a una entrada escalón R(z) = z−1 es:
(1 − r)z z z
C(z) = G(z)R(z) = = − ;
(z − r)(z − 1) z−1 z−r
tomando su transformada inversa Z de 3.3 se obtiene:
c(k) = [1 − rk ]µ(k). (5.73)
Esta respuesta corresponde a tomar una secuencia de datos de la figura 5.9 cada T segundos;
la figura 5.58 muestra un ejemplo para r = 0.6 y T = 1s. La respuesta de los sistemas de primer
orden con r > 0 tiene caracterı́sticas similares a la de los sistemas continuos de primer orden
T
con: τ = Ln (1/r) .
Para r < 0, el término rk en (5.73) cambia de signo generando una respuesta oscilatoria como
se muestra en la figura 5.58 para r = −0.6. En tiempo discreto los sistemas de primer orden
pueden exhibir oscilaciones mientras que en tiempo continuo se requiere tener polos complejos
conjugados para ello.
5.11.3.2. Sistemas discretos de segundo orden

Un sistema de tiempo discreto con función de transferencia discreta de segundo orden:
k
G(z) = , (5.74)
z 2 − 2rcosθz + r2
p
con r = e−T ρωn , θ = ωn T 1 − ρ2 y k una ganancia tal que G(1) = 1, tiene una respuesta
al escalón correspondiente a observar cada perı́odo de muestreo la respuesta al escalón de un
sistema continuo con coeficiente de amortiguamiento ρ y frecuencia natural ωn .
Ejemplo 5.16
Sea θ = 18o , r = 0.834; de (5.71) y (5.72) se obtiene un coeficiente de amortiguamiento
ρ = 0.5 y una frecuencia natural ωn = 0.362/T .
La frecuencia natural amortiguada es ωd = Tθ = θω ωs

2π = 20 , luego hay 20 muestreos por ciclo
s
de la oscilación amortiguada. La respuesta es como la de un sistema análogo de segundo orden

con ωn = 0.362/T y ρ = 0.5, con 20 muestreos por ciclo de la oscilación amortiguada, como
se observa en la figura 5.59. △

0.8
c(k), r = 0.6
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
c(k), r = − 0.6
1.5
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
Figura 5.58: Respuesta al escalón, sistema de orden 1; arriba r = 0.6; abajo r = −0.6.
5.11.3.3. Sistemas discretos de segundo orden con cero

Como se verá más adelante en la sección 5.11.4.1, al discretizar un sistema continuo es
normal tener ceros en el sistema discreto. Los ceros discretos tienen el mismo efecto del caso
continuo de incrementar el sobrepaso.
Ejemplo 5.17
Se considera el sistema de segundo orden del ejemplo anterior con r = 0.834, θ = 18o con
un cero en z = a:
k(z − a)
G(z) = 2
z − 1.58z + 0.7
con k tal que G(1) = 1.
En la figura 5.60 se muestran las diferentes respuestas para varias localizaciones del cero;
se observa de nuevo un aumento del sobrepaso con ceros lentos y subpaso con ceros de fase no
mı́nima, fuera del cı́rculo de radio unitario. La figura 5.61 muestra el sobrenivel porcentual S.P
versus la posición del cero a, para distintos valores de los polos (θ = 18, 45, 72o , con ρ = 0.5
y ρ = 0.707). El efecto del cero es muy pequeño cuando está en el eje real negativo y fuerte
cuando se acerca a z = 1. △

Figura 5.59: Respuesta al escalón, sistema discreto de segundo orden.
5.11.3.4. Sistemas discretos de tercer orden

Para un par de polos complejos conjugados, el tercer polo real aumenta el tiempo de subida
y disminuye el sobrepaso de la respuesta del sistema de segundo orden.
Ejemplo 5.18
Sea el sistema de tiempo discreto de segundo orden analizado en los ejemplos anteriores,
con un polo real en z = p:
k
G(z) =
(z − p)(z 2 − 1.58z + 0.7)
con k tal que G(1) = 1.

La figura 5.63 muestra las respuestas al escalón para diferentes valores del polo real.
El efecto básico es el de aumentar el tiempo de subida y mermar el sobrepaso; el polo en
p = −1 genera una oscilación estacionaria de la forma R(−1)k , donde la ponderación R es el
residuo del polo; la figura 5.64 muestra cómo cambia el tiempo de subida, para p entre -1 y
1, valores de θ = 18, 45, 72o y r tal que ρ = 0.5. Cuando el polo adicional se acerca a p = 1,
aumenta bastante el tiempo de subida, llegando a dominar la respuesta y aumentando el tiempo
de estabilización ts . △

1.5 a=−0.8
1
c(k)
0.5 a=inf
a=1
0
−0.5 a=−1.2
−1
0 5 10 15 20
k
Figura 5.60: Respuesta al escalón, segundo orden con cero.
S.P % (Log) ρ = 0.5 S.P % (Log) ρ = 0.707

1000 72o 1000 72o
500 45o 500 45o
400 18o 400 18o
200 200
100 100
50 50
40 40
20 20
10 10
5 5
3 3
2 2
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 a −1 0 1 a

Localización del cero Localización del cero
Figura 5.61: Respuesta al escalón, segundo orden con cero. S.P vs. a, ρ = 0.5 y ρ = 0.7.
5.11.3.5. Sistemas discretos de transitorio finito

En los casos precedentes la distancia de los polos al origen del plano Z indica la velocidad
de la respuesta transitoria; en el caso lı́mite r → 0, los polos estarán en el origen y la función
de transferencia discreta (3.13) adopta la forma:
b0 z n + b1 z n−1 + . . . + bm z n−m
G(z) = = = b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m . (5.75)
zn

S.P % (Log) ρ = 0.707

1000 72o
500 45o
400 18o
200
100
50
40
20
10
5
3
2
−1 0 1 a
Localización del cero
Figura 5.62: Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con cero. S.P. vs. a; ρ = 0.7.
1.4
p=1
1.2
0.8
p=0.7
c(k)
orden 2
0.6
0.4
p=0.9
0.2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
k
Figura 5.63: Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con polo.
De la propiedad (3.9), la respuesta al pulso δ(k) de (5.75) tiene un transitorio solo hasta k = m;
en una respuesta al escalón, la salida tiende al valor final estacionario en un número finito de
muestreos y no asintóticamente como en los casos anteriores.

ρ = 0.5
tr (escala logarı́tmica) 100
# de muetreos a 0.95 50 72o
45o
30 18o
20
10
5
3
2
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 p

Localización del polo
Figura 5.64: Respuesta al escalón, sistema de segundo orden con polo. tr vs. p
Ejemplo 5.19
La figura 5.65 muestra la respuesta al escalón para el sistema de tiempo discreto descrito
por la función de transferencia:
0.4z 3 + 0.8z 2 − 0.4z + 0.2

G(z) = .
z4
Se observa que se alcanza el valor estacionario en 4 muestreos. △
El filtro de media móvil descrito por (5.52) es también un ejemplo de este tipo de sistemas.
5.11.4. Respuesta al escalón de sistemas de datos muestreados

En la sección 3.4 se analizó la discretización de los sistemas de datos muestreados; en estos
sistemas, una señal discreta pasa a través de un retenedor de orden cero para excitar a un sistema
de tiempo continuo, cuya salida se muestrea; la ecuación (3.23) da la función de transferencia
discreta entre la señal de entrada discreta y la señal de salida muestreada. Esta es la planta
a controlar para los sistemas de control digital, de ahı́ la importancia de analizar la respuesta
temporal de estos sistemas.
5.11.4.1. Polos y ceros de funciones de transferencia de pulsos

Se consideran funciones de transferencia continuas G(s) estrictamente propias (grado del
denominador mayor al del numerador), como las presentadas en la tabla 3.7; las funciones
de transferencia estrictamente propias tienen una ganancia transitoria de cero, se encuentran
usualmente al modelar la planta a controlar pues normalmente no tienen saltos en el momento
de aplicarles un escalón.

1.4
1.2
0.8
c(k)
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
Figura 5.65: Respuesta al escalón, sistema discreto de transitorio finito.
La función de transferencia de pulsos para la función de transferencia continua estrictamente

propia tiene la forma general dada en (3.24); se observa que su grado relativo es siempre uno
independientemente del grado relativo de G(s); esto se debe a que la respuesta al pulso de
G(s) es cero en el instante inicial; con una entrada pulso unitario en el retenedor A(z) = 1 y
expandiendo G(z) de acuerdo con (3.9), se tiene:
N (z)
G(z) = = g(0)z 0 +g(T )z −1 +g(2T )z −2 +... . . .+g(nT )z −n +...
zn+ a1 z n−1
+ a2 z n−2 + . . . + an
(5.76)
de donde despejando el polinomio del numerador:

N (z) = g(0)z 0 + g(T )z −1 + g(2T )z −2 + ... z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + . . . , (5.77)
se observa que con g(0) = 0, el orden del numerador N (z) de la función de transferencia de pulsos
G(z) es (n − 1). Excepción a lo anterior son los sistemas que eliminen los términos siguientes en
el primer factor de (5.77), como sistemas con tiempos muertos o respuesta transitoria inversa
por ceros de fase no mı́nima.
Polos y ceros de G(z). Los polos y ceros de G(s) se trasladan a G(z) a través de muestrear
la respuesta de G(s) al pulso continuo unitario de duración T ; el transitorio de tiempo continuo
de esta respuesta lo definen los polos de G(s), por lo que al discretizarla, los n polos de G(s)

a través de la transformación z = esT son los polos de G(z). Los m ceros de G(s) se trasladan
de manera diferente afectados por la retención de orden cero y el muestreo; si el perı́odo de
muestreo es muy pequeño, el pulso aplicado a G(s) tiende a comportarse como un impulso, por
lo que al muestrear la señal continua, los ceros en si de la función de transferencia continua,
son los ceros zi de la función de transferencia de pulsos ubicados en:
zi ≈ es i T . (5.78)
El siguiente ejemplo ilustra la transformación de los polos y ceros del sistema continuo a la
función de transferencia de pulsos.
Ejemplo 5.20
La tabla 3.7 da la función de transferencia de pulsos para la función de transferencia continua
s+c
G(s) = (s+a)(s+b) ; efectivamente los polos se trasladan al plano z a través de z = esT , mientras
que el cero depende de los valores de a, b, c y T .
12(s−0.5)
Sea la función de transferencia continua: G(s) = (s+2)(s+3) (a = 2, b = 3, c = −0.5), con un
cero de fase no mı́nima; el cero en z = z1 de G(z) en función del perı́odo de muestreo se ubica
en:
14e−2T − 15e−3T + e−5T
z1 = − .
1 − 15e−2T + 14e−3T
La figura 5.66 muestra la variación de la ubicación del cero z1 en función del perı́odo de
muestreo T .
Varios comentarios son a lugar:
Con perı́odo de muestreo T muy pequeño el cero z1 tiende a 1 convirtiéndose en derivador

puro. Lo mismo hacen los polos y la función de transferencia de pulsos tiende a un retardo.
Para perı́odos de muestreo pequeños 0 < T < 1.2, el cero es de fase no mı́nima (fuera
del cı́rculo unitario) con magnitud positiva, lo que genera subpaso en la respuesta, ver
por ejemplo la respuesta al escalón de G(z) en la figura 5.67 para T = 0.5. Para este
intervalo la posición del cero en función del perı́odo de muestreo varı́a aproximadamente
como z1 = eT /2 , de acuerdo con (5.78).
Con perı́odo de muestreo T ≈ 1.2, la duración del subpaso es el perı́odo de muestreo T ,

0.0735
por lo que G(z) = (z−0.0926)(z−0.0282) es de segundo orden sin cero, ver la respuesta al
escalón en la figura 5.67.
Para 1.2 < T < 1.55 el cero es de fase no mı́nina negativo con poco efecto en la respuesta
transitoria, ver por ejemplo en la figura 5.68 la respuesta al escalón de G(z) para T = 1.5.
Para T > 1.55 el cero es de fase mı́mina negativo con poco efecto en la respuesta transi-
toria, ver la respuesta al escalón en la figura 5.68 para T = 2.

1
Cero z1
−1
−2
−3
0 0.5 1 1.5 2
Paríodo de muestreo T
12(s−0.5)
Figura 5.66: Cero de G(z) para G(s) = (s+2)(s+3) , en función de T.
0.5
T=1.2
0
c(kT)
−0.5
T=0.5
−1
−1.5
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
n o
12(s−0,5)
Figura 5.67: Respuesta al escalón de G(z) = Z s(s+2)(s+3) 1 − z −1 , para diferentes T .

0.8
c(kT)
0.6
T=1.5
0.4
0.2
T=2
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
n o
12(s−0,5)
Ceros de muestreo. De (5.77) se concluyó que la función de transferencia de pulsos G(z)

de un sistema de datos muestreados, tiene grado relativo uno, para cualquier sistema de tiempo
continuo G(s) estrictamente propio; ası́, para un sistema de tiempo continuo con n polos y
m < n ceros, la función de transferencia de pulsos tendrá n polos y n − 1 ceros. Lo anterior
implica la aparición de n − 1 − m ceros de muestreo en G(z) que no están en G(s), generados en
el proceso de la retención y el muestreo. Note que si el sistema de tiempo continuo tiene n − 1
ceros, no existen ceros de muestreo. Dado que el comportamiento de la función de transferencia
de pulsos tiende al comportamiento de la función de transferencia continua cuando el muestreo
es muy rápido, los ceros de muestreo tienen la propiedad de tender a los ceros de la función de
transferencia de pulsos para la función de transferencia continua:
1
,
G(s) = (5.79)
sg
donde g = n − m es el grado relativo del sistema continuo. De la tabla de transformadas Z 3.3,
la transformada Z para G(s) = 1/sg , es:
(−1)(g−1) d(g−1) h z i
G(z) = lı́m .
a→0 (g − 1)! da(g−1) z − e−aT
Desarrollando esta expresión para diversos grados relativos (g) de G(s), se obtienen explı́cita-
mente los polinomios Nm (z) del numerador que definen los ceros de muestreo para la función
de transferencia de pulsos G(z) de (5.79):
n 1 o
G(z) = Z (g+1) 1 − z −1 , (5.80)
s
ver la tabla 5.2. Nótese que los ceros son negativos, con poco efecto en la respuesta transitoria;
hay ceros de fase no mı́nima, por lo que sistemas de fase mı́nima de tiempo continuo, pueden
tener ceros de fase no mı́nima en su función de transferencia de pulsos.

Tabla 5.2: Polinomios del numerador y ceros de la función de trasferencia de pulsos (5.80).
g Nm (z) Ceros
1 1 –
2 z+1 -1
3 z 2 + 4z + 1 -3.73,-0.27
4 z + 11z 2 + 11z + 1
3
-9.9,-1,-0.1
5 z + 26z 3 + 66z 2 + 26z + 1
4
-23.2, -2.32, -0.43, -0.04
Ejemplo 5.21
6
Sea la función de transferencia continua G(s) = (s+2)(s+3) ; de la tabla 3.7, el cero en z = z1
de G(z) en función del perı́odo de muestreo se ubica en:
2e−2T − 3e−3T + e−5T

z1 = − .
1 − 3e−2T + 2e−3T
La figura 5.69 muestra la variación de la ubicación del cero z1 en función del perı́odo de muestreo
T . Como el grado relativo es g = n − m = 2, con T pequeño el cero tiende a −1, según la tabla
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
Cero z1
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Período de muestreo T
6
Figura 5.69: Cero de G(z) para G(s) = (s+2)(s+3) , en función del muestreo.
5.2. Cuando el perı́odo de muestreo aumenta, el cero tiende al valor de cero. Para un muestreo
adecuado de la dinámica más rápida (polo en s = −3) de (5.68) con r = 0.6, el perı́odo de
muestreo es T ≈ 0.2; con T pequeño el cero se puede aproximar a z1 ≈ −1 + 3T /2. La figura
5.70 muestra las respuestas al escalón de G(z) para diferentes perı́odos de muestreo. △

0.8
c(kT)
0.6
0.4
T=1
0.2 T=0.5
T=0.1
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
n o
6
Ceros por retardo fraccional. En la sección 3.4.4 se analizó la discretización con retenedor
de orden cero de sistemas continuos con tiempos muertos que generan retardos fraccionales; si
se comparan las funciones de transferencia de la tabla 3.8 con sus contrapartes en la tabla 3.7
se observa que el muestreo del retardo fraccional genera un cero adicional de muestreo; ası́, para
un sistema de tiempo continuo con n polos y m < n ceros y un retardo fraccional, la función
de transferencia de pulsos tendrá n polos y n ceros, con g = n − m ceros de muestreo en G(z).
Con el muestreo rápido el comportamiento de los ceros de muestreo tienden a los ceros de la
función de transferencia de pulsos para la función de transferencia continua:
e−Tm s
G(s) = . (5.81)
sg
De la tabla de transformadas Zm 3.5, la transformada Z para G(s) = e−Tm s /sg , es:
(−1)g dg h e−amT i
G(z) = lı́m .
a→0 g! dag z − e−aT
Desarrollando esta expresión para diversos grados relativos (g) de G(s), se obtienen explı́cita-
mente los polinomios Nm (z) del numerador que definen los ceros de muestreo para la función
de transferencia de pulsos G(z) de (5.81):
n e(m−1)T s o
G(z) = Z 1 − z −1 ; (5.82)
s(g+1)
la tabla 5.3 presenta los ceros para sistemas con grado relativo uno y dos y su valor para
Tm = 0.5. Los ceros son negativos, con poco efecto en la respuesta transitoria; para el sistema
de primer orden pueden haber ceros de fase no mı́nima solo si m < 0.5; el sistema de segundo
orden siempre tiene un cero de fase no mı́nima.

Tabla 5.3: Polinomios del numerador y ceros de la función de trasferencia de pulsos (5.82).
g Nm (z) Ceros Ceros m =0.5

1 z − 1 + 1/m 1 − 1/m
√
-1
2m2 −2m−1± 1+4m−4m2
2 m2 z 2 − (2m2 − 2m − 1)z + (m − 1)2 2m2 -0.17,-5.83
Ejemplo 5.22
Para el sistema de primer orden con tiempo muerto de la tabla 3.8, la figura 5.71 muestra
la ubicación del cero z = z1 :
e−T /τ − e−mT /τ
z1 = ,
1 − e−mT /τ
en función de e−T /τ , para distintos valores de m ≤ 0.5 que corresponden a retardos fraccionales
mayores a T /2; los ceros están en la parte real negativa del plano Z, se observa que si el muestreo
es rápido T ≪ τ los ceros son de fase no mı́nima; con e−T /τ → 1, los ceros tienden según la
tabla 5.3 al valor z1 = 1 − 1/m.
0
m=0.5
−1
m=0.4
−2
m=0.3
−3
−4
1
Cero z
m=0.2
−5
−6 m=0.1
−7
−8
−9
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−(T/τ )
e
e−Tm s
Figura 5.71: Cero de la FdT de pulsos de τ s+1 con m = 1 − Tm /T , en función de e−T /τ .
La figura 5.72 muestra las respuestas al escalón para un sistema con τ = 1, T = 1 y tiempos
muertos de Tm =0.1, 0.5 y 0.9s. La variación del cero ajusta la respuesta transitoria para que
corresponda al muestreo de la respuesta continua de primer orden retrazada con cada retardo
fraccional. △

0.9
0.8
0.7
0.6 m=0.9
c(t)
0.5
0.4 m=0.5
0.3
0.2
0.1 m=0.1
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (s)
e−Tm s
Figura 5.72: Respuesta escalón, FdT de pulsos de s+1 con varios m = 1 − Tm , T = 1s.
5.11.4.2. Sistemas con oscilaciones ocultas

Como se analizó en la sección 3.3.8, si no se cumple el teorema del muestreo pueden existir
oscilaciones ocultas que no se observan en los instantes de muestreo. Con el retenedor de orden
cero, la señal de control entre muestreos es constante, por lo que la oscilación entre muestreos la
determina la dinámica del sistema en red abierta. Si esta dinámica es oscilatoria con frecuencia
múltiplo entero de la frecuencia de muestreo ωs , no se observará la oscilación, ver el ejemplo
3.9. Si se cambia el perı́odo de muestreo se podrán observar oscilaciones con frecuencias alias
por el sobrelapamiento frecuencial.
El comportamiento de la salida continua entre muestreos se puede analizar mediante si-
mulación o con la transformada Zm modificada; para esto último, se considera el muestreador
ficticio de la figura 3.14 con un retardo de (m − 1)T , ası́ el modelo del proceso continuo G(s)
precedido del retenedor de orden cero tiene la función de transferencia de pulsos:
n G(s) o
G(z, m) = Zm 1 − z −1 . (5.83)
s
Ejemplo 5.23
Sea el sistema de tiempo continuo:
4π 2
G(s) = .
(s + 1)(s2 + 0.05πs + 4π 2 )
Los modos oscilatorios del sistema tienen muy poco amortiguamiento y una frecuencia de la
oscilación amortiguada de aproximadamente la frecuencia natural de 2π, esto es un perı́odo de

oscilación de un segundo. La figura 5.73 muestra la respuesta al escalón del sistema de tiempo
continuo, sus valores muestreados con T = 1s y señales muestreadas con diferentes retardos,
calculadas con (5.83). Las señales muestreadas no muestran la oscilación del sistema pues la
frecuencia de muestreo es igual a la de la señal continua, pero cambian de magnitud para los
valores entre muestreos, lo que indica la presencia de la oscilación oculta. La figura 5.74 muestra
la respuesta del sistema con un muestreo de T = 0.9s; se observa la oscilación con la frecuencia
alias de ω0 = 2π − 2.22π = 0.22π, para un perı́odo de oscilación de 9s. △
c(k−3T/4)
c(k−T/4)
0.8
c(t)
c(t), c(k)
0.6 c(k)
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tiempo (sec)
Figura 5.73: Respuestas al escalón para un sistema con oscilación oculta, T = 1s.
Otra fuente de oscilaciones ocultas son las causadas por la oscilación de la señal de control;
esto se da cuando existen polos oscilatorios en el controlador, como ocurre si se cancelan ceros
de muestreo del proceso con polos en el controlador; note de la función de sensibilidad de salida:
A(z)
Ss = R(z) = 1+GcG c (z)
(z)Gp H(z) que los polos del controlador lo son de esta función, por lo que un
modo oscilatorio en el controlador generará oscilaciones en la señal de control. Si la estrategia de
diseño del controlador es realizar la cancelación, la oscilación oculta no se detectará cambiando
el perı́odo de muestreo como sucede en el caso del muestreo lento de la oscilación.
Ejemplo 5.24
Sea el sistema de tiempo continuo doble integrador: G(s) = s12 ; de la tabla 3.7 su función de
z+1 4z−2
transferencia de pulsos para T = 1s es: G(z) = 2(z−1) 2 . El controlador Gc (z) = z+1 cancela el
cero de muestreo en z = −1 y genera una ecuación caracarı́stica: z 2 = 0, con dos polos en el

origen por lo que la respuesta alcanza el valor estacionario ante un escalón de entrada en dos

0.8
c(t), c(k)
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo (sec)
Figura 5.74: Respuesta escalón, sistema con oscilación oculta, T = 0.9s.
perı́odos de muestreo. La figura 5.75 muestra la simulación de la salida tanto continua como
muestreada y la señal de control. La señal de salida muestreada alcanza el valor final en dos
perı́odos y permanece en él; sinembargo la señal de control es oscilatoria e induce una oscilación
sostenida de la señal de tiempo de continuo. △
En general no es conveniente cancelar ceros poco amortiguados, por las oscilaciones que se
generan en la señal de control; la figura 5.76 muestra la región de ubicación de los ceros que si
se pueden cancelar.
Es importante analizar vı́a simulación o con la transformada Zm modificada el comporta-
miento del sistema entre muestreos para detectar oscilaciones ocultas; éstas no aparecerán si se
escoge apropiadamente el perı́odo de muestreo y se diseña el controlador sin polos oscilatorios.

5.12. ESPECIFICACIONES PARA LA RESPUESTA TEMPORAL DISCRETA DE SISTEMAS DE CONTROL
2
c(t), c(k)
−1
0 1 2 3 4 5 6
15
10
5
a(k)
0
−5
−10
−15
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo
Figura 5.75: Respuesta escalón, sistema con oscilación oculta en la señal de control.
Región de
ceros cancelables
ρ cte
wn cte
Figura 5.76: Región de ceros cancelables.
5.12. Especificaciones para la respuesta temporal discreta

de sistemas de control
Al igual como se hizo en la sección 5.7 para los sistemas de tiempo continuo, se pueden
definir los requerimientos de error permanente y de respuesta transitoria; para esta última,
se especifican las áreas deseadas en el plano Z de ubicación deseada para los polos complejos
dominantes del sistema, correspondientes a una especificación temporal de desempeño.

5.13. LIMITACIONES EN LA RESPUESTA TEMPORAL PARA SISTEMAS DE CONTROL DIGITALES
Grado de amortiguamiento ρ ≥ ρmin área limitada por la espiral logarı́tmica de ρ = ρmin .
Plano Z
Tiempo de estabilización: en tiempo continuo ts ≈ 3−4 α ≤ tsmax , α parte real de las

raı́ces; en el plano Z corresponde al área limitada por el interior del cı́rculo de radio
r = eαT ; r ≤ e−(3−4)T /tsmax .
Tiempo de subida: área dentro del cı́rculo de radio unidad y la curva de ωn constante,
2.4
ωnmin ≥ trmax
5.13. Limitaciones en la respuesta temporal para sistemas

de control digitales
Las limitaciones analizadas en la sección 5.8 para los sistemas de tiempo continuo son
extrapolables directamente a los sistemas de control digital. Se obtienen conclusiones similares
a las dadas en 5.8.5 para las restricciones estructurales en los sistemas de control digital.
Para el análisis de las limitaciones por robustez y rechazo a disturbios, en esta sección se
presentarán las funciones de sensibilidad discretas. Para las limitaciones de los componentes del
sistema de control, se tratarán aspectos especı́ficos de los sistemas de control digitales: el filtro
de antiplegamiento, los convertidores análogo digital A/D, digital análogo D/A y el cálculo de
la ley de control en el procesador digital.

5.13.1. Funciones de sensibilidad discretas

Sea: n G (s)H(s) o
p
Gp H(z) = Z 1 − z −1
s
la función de transferencia de pulsos entre la salida del controlador A(z) y la señal de medi-
da muestreada B(z); Gp (s) es la función de transferencia de la planta de tiempo continuo a
controlar y H(s) la dinámica de los filtros de medida y de antiplegamiento de la señal medida.
Las funciones de sensibilidad son:
Función de sensibilidad del sistema:
E(z) 1
S= = . (5.84)
R(z) 1 + Gc (z)Gp H(z)
Función de sensibilidad complementaria

B(z) Gc (z)Gp H(z)
T = = . (5.85)
Igualmente se cumple: T (z) + S(z) = 1.
Función de sensibilidad de entrada: no existe función de transferencia discreta entre la
perturbación de entrada a la planta y la salida medida digital; para el análisis se considera
la función de transferencia entre la salida digital B(z) y una perturbación De (z) en la
señal de control a la entrada del retenedor de orden cero:
B(z) Gp H(z)
Se = = . (5.86)
De (z) 1 + Gc (z)Gp H(z)
La función de sensibilidad de salida: es la función de transferencia entre la señal de control

A(z) y la referencia R(z):
A(z) Gc (z)
Ss = = . (5.87)
5.13.2. Filtro de antiplegamiento

Como se analizó en la sección 3.3.8 se debe evitar el plegamiento de las señales de alta
frecuencia de la señal medida filtrando previamente la señal análoga para limitar su ancho de
banda. Sinembargo el filtro es un elemento dinámico adicional en el lazo el cual genera atraso
y afecta el desempeño del sistema de control.
La solución más simple es incluir un filtro análogo antes del muestreador; los filtros paso bajo
más usados son los de Bessel y de Butterworth, ver la ecuación (10.33) para la estructura de
los filtros Butterworth; los filtros de Bessel son muy usados en aplicaciones de alto desempeño
por tener una curva plana de magnitud versus la frecuencia lo que no distorsiona las señales;
los filtros de Bessel se definen por:
n
X (2n − i)!
DB (0)
Gf a (s) = ; DB (s) = n−i i!(n − i)!
si , (5.88)
DB (s/ω0 ) i=0
2

donde n es el orden del filtro y ω0 es su frecuencia de corte ωc . Para n = 2, el filtro es:

3 √ √
Gf a (s) = s2 s
; ωn = 3ω0 , ρ = 3/2. (5.89)
ω02
+ 3 ω0 + 3
En baja frecuencia el filtro de Bessel tiene una caracterı́stica de desfase lineal con la fre-
cuencia por lo que se puede aproximar a un tiempo muerto el cual se adiciona a la dinámica del
proceso a controlar Gp (s); la tabla 5.4 presenta la aproximación de tiempo muerto para diversos
órdenes de este filtro. Esta propiedad del filtro permite simplificar el diseño del controlador,
reduciendo su orden, por ello se encuentran comúnmente en los sistemas de control digitales.
Tabla 5.4: Aproximación de Tm para filtros Bessel de diferente orden y con ωc = ω0 .
Orden ω0 Tm
2 1.3
4 2.1
6 2.7
En el análisis de los sistemas de control digital a menudo debe tenerse en cuenta el efecto
del filtro de antiplegamiento, ello depende del tipo de filtro, la magnitud del ruido, su rango
de frecuencia, el ancho de banda del sistema controlado y la frecuencia de muestreo escogida.
Para una atenuación de 0.1 en la frecuencia de Nyquist ω2s , un filtro de Bessel de sexto orden
requiere una frecuencia de corte de ω0 = ω5s Aström and Wittenmark [1997]; para la práctica
de muestrear entre T = ω0.2 Tb
y T = ω0.6Tb
, donde ωT b es el ancho de banda del sistema en red
cerrada, se tienen frecuencias de muestreo entre 10πω 3
Tb
y 10πωT b . Por lo tanto la frecuencia
2πωT b
de corte del filtro está entre ω0 = 3 y ω0 = 2πωT b . Usando la aproximación de la tabla
5.4, el retardo de fase del filtro en la frecuencia ω es: φ(ω) ≈ − 2.7
ω0 ω (ver ecuación (9.16); en la
frecuencia de ancho de banda del sistema, el filtro de antiplegamiento genera un retraso entre:
2.7 2.7 180 3 180
φ(ωT b ) ≈ − ωT b = − = −24.6o y − 2.7 = −73.9o
ω0 2π π 2π π
lo que muestra en este caso que es necesario tener en cuenta la dinámica del filtro en el modelo
del sistema, lo cual se puede realizar mediante la aproximación de tiempo muerto dada.
La salida del conversor D/A cambia en escalones cada perı́odo de muestreo; en sistemas con
modos oscilatorios de bajo amortiguamiento, los pequeños saltos pueden excitar estos modos;
en tal caso se pueden usar filtros análogos a la salida del conversor para suavizar la señal de
control antes de aplicarla al actuador.
Ejemplo 5.25
Se considera el sistema de control de la excitación del ejemplo 4.2 con el controlador PI
digital:
8(z − e−T )
Gc1 (z) = , (5.90)
z−1
equivalente discreto (sección 10.8) del utilizado en el ejemplo. Se busca el sistema realimentado
tres veces más rápido que en red abierta (ωT b = 5/3). El perı́odo de muestreo es T = 0.2s

y se tiene una señal indeseada sinusoidal en la medida: 0.1sen4πt; para evitar su efecto en
el sistema de control, se agrega un filtro Bessel de segundo orden con frecuencia de corte
ω0 = 2πω3 T b = 0.4π:
4.74
Gf a (s) = 2 .
s + 3.77s + 4.74
El sistema de control con el filtro y el controlador Gc1 (z) es inestable; se reajusta el controlador
a Gc2 (z) = 3.4(z − e−T /5 )/(z − 1). La figura 5.77 presenta la salida del voltaje en terminales
V T y la variable manipulada de la tensión de campo EF , para el sistema de control digital sin
el filtro de antiplegamiento y con él. Sin el filtro la salida del sistema presenta una oscilación
estacionaria inaceptable con valores pico a pico de ±0.015; con el filtro la respuesta del sistema
es aproximadamente 1.5s más lenta pero no hay la oscilación estacionaria; la respuesta del
sistema de control digital con el filtro de antiplegamiento se puede lograr más rápida con otro
tipo de controlador o usando un filtro de mayor orden. △
1.4
1.2 Con filtro
1
0.8 Sin filtro
VT
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8
7
6
5 Sin filtro
4
EF
3 Con filtro
2
1
0
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (s)
Figura 5.77: Respuestas al escalón, sistema de excitación, con y sin filtro de antiplegamiento.
5.13.3. Conversores A/D y D/A

La principal fuente de error de los conversores A/D y D/A es su resolución finita:
δ = 1/2NB de su plena escala, donde NB es el número de bits del conversor. La cuantificación
es un fenómeno no lineal complejo difı́cil de analizar por lo que a menudo la simulación es
la herramienta apropiada para detectar problemas. En muchos casos se observan oscilaciones
de ciclo lı́mite; un análisis con la función descriptiva Aström and Wittenmark [1997] predice

siempre oscilaciones para sistemas de lazo abierto inestables (con integradores por ejemplo) o
para sistemas con margen de ganancia (ver sección 9.2.5) menor a 1.27.
Dada la naturaleza de pequeña señal de la cuantificación, algunos de sus efectos se pueden
capturar con análisis lineal; para ello se asumen los conversores como ganancias lineales con un
disturbio aditivo; el disturbio se puede caracterizar como determinı́stico o estocástico. Para el
primer caso el disturbio es constante con magnitud del error de cuantificación δ; en el segundo
es un ruido blanco con distribución rectangular entre (0, δ) y varianza de δ 2 /12. De esta forma,
para el conversor A/D el efecto del redondeo es el mismo del ruido de medición, por lo que se
debe analizar la función de sensibilidad de salida (5.87) para verificar su efecto en la señal de
control para las frecuencias donde el controlador tiene alta ganancia. El efecto del redondeo en
el conversor D/A es el de un disturbio a la entrada del proceso por lo que se analiza con la
función de sensibilidad de entrada (5.86).
Ejemplo 5.26
La figura 5.78 muestra la simulación del sistema del ejemplo anterior con el controlador
Gc1 (z), considerando la alinealidad de la cuantificación para un conversor A/D de 6 bits, re-
solución de 1.5625 %.
1.02
1.01
VT
0.99
0.98
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1.5
1.3
1.1
EF
0.9
0.7
0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo
Figura 5.78: Simulación, sistema de control digital de excitación con conversor A/D de 6 bits.
Se observa que el sistema tiende a una oscilación sostenida con pequeños pulsos de duración
de un perı́odo de muestreo en la señal de control; estos pulsos se generan al cambiar la señal de
realimentación en el nivel de resolución; la magnitud del salto en la señal de control es por lo
tanto la resolución del conversor A/D por la ganancia transitoria del controlador: 0.015625∗8 =

0.125, el cual es muy elevado y debe por lo tanto escogerse un conversor de mayor resolución.
La figura 5.79 muestra la respuesta del sistema considerando la resolución finita en el conver-
sor D/A. En este caso los saltos de la señal de control son de magnitud igual a la resolución del
1.02
1.01
VT
0.99
0.98
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1.5
1.3
1.1
EF
0.9
0.7
0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Tiempo
Figura 5.79: Simulación, sistema de control digital de excitación con conversor D/A de 6 bits.
conversor D/A; la magnitud de la variación en la señal de salida es la resolución del conversor

D/A sobre la ganancia transitoria del controlador: 0.015625/8 = 0.002, el cual esta dentro de
la banda de regulación estacionaria exigida para esta clase de sistemas. △
Dado que la cuantización es un fenómeno no lineal, no todos los sistemas de control digital
responderán como en el ejemplo anterior, por lo que el análisis debe realizarse caso por caso;
en la práctica se utilizan conversores D/A de alrededor 10 bits y A/D de 14 bits, por lo que los
efectos de la cuantización son despeciables es esos casos.
Los procesos de conversión A/D/A toman tiempo y generan retardos en órdenes de mi-
crosegundos a a milisegundos, en particular si el convertidor se usa multiplexado para varias
señales; en tal caso se generan tiempos muertos por la conversión, los cuales se adicionan a los
requeridos por la ejecución de la ley de control en el procesador digital.
5.13.4. El procesador digital

La implementación del algoritmo de control genera diversas limitaciones en el desempeño
del sistema, debidas al perı́odo de muestreo, el retardo computacional y la longitud de palabra.
Un perı́odo de muestreo muy largo imposibilita reconstruir adecuadamente las señales; uno
muy corto incrementa la carga computacional del procesador y de las redes de comunicación

5.14. RESPUESTA TEMPORAL DE LAS ECUACIONES DINÁMICAS CONTINUAS
de control, pudiendo generar pérdida de información. Los procesos de conversión A/D/A, la

transmisión de los datos y el cálculo de la ley de control toman tiempo generando un retardo
computacional ; se debe verificar que este retardo no sea superior al perı́odo de muestreo; si es
importante, se genera un retardo fraccional del perı́odo de muestreo. La longitud de palabra
es finita en los procesadores digitales lo que genera errores por acumulaciones de redondeos en
operaciones aritméticas, cambios abruptos de una variable por rebose y la cuantificación de los
coeficientes de las ecuaciones de diferencias, lo cual desplaza los polos y ceros del controlador.
En la sección 6.5 del próximo capı́tulo se presentarán los aspectos básicos de la implementación
de las leyes de control en el procesador digital, en donde se analizarán con más detalle estos
aspectos.
5.14. Respuesta temporal de las ecuaciones dinámicas con-

tinuas
Dado un sistema representado en el espacio de estados:
Ẋ(t) = AX(t) + BR(t) Ecuación de estado
C(t) =⊂ X(t) + DR(t) Ecuación de salida

en esta sección se calcula la respuesta C(t) para una entrada R(t) y un estado inicial X(0)
dados; C(t) se puede calcular de la ecuación de salida si se conoce la evolución de X(t); esta
última se calcula resolviendo la ecuación de estado. La ecuación de estado se puede resolver
como la suma de la solución de la ecuación homogénea y la forzada.
5.14.1. Solución homogénea

La ecuación homogénea:
Ẋ(t) = AX(t), X(0), (5.91)
está caracterizada por la matriz de estado A; en el análisis de su solución es importante conocer
ciertas propiedades de esta matriz.
5.14.1.1. Ecuación caracterı́stica

Como se sabe, la ecuación caracterı́stica juega un papel importante en el estudio de los
sistemas lineales; de una función de transferencia se obtiene igualando a cero el polinomio
del denominador; para los sistemas descritos por variables de estado se obtiene a partir de la
definición de las matrices de transferencia (2.126):
C(s)
G(s) = =⊂ (sI − A)−1 B + D, (5.92)
R(s)
siempre y cuando (sI − A) no sea singular. Esta ecuación equivale a:
adj(sI − A)
G(s) =⊂ B + D,
|sI − A|

⊂ [adj(sI − A)]B + |sI − A|D

G(s) = ,
|sI − A|
luego, la ecuación caracterı́stica es:

|sI − A| = 0. (5.93)
Ejemplo 5.27
Hallar la ecuación caracterı́stica para el sistema:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −2x1 − 3x2 + r
c= x2 .
Del sistema:
0 1
A= ,
-2 -3

1 0 0 1 s 0 0 1
sI − A = s − = − ,
0 1 -2 -3 0 s -2 -3

s -1
sI − A = ;
2 s+3
luego la ecuación caracterı́stica es:

|sI − A| = s(s + 3) + 2 = s2 + 3s + 2.
△
5.14.1.2. Valores propios

Los valores propios de la matriz A se calculan como los valores escalares λ para los cuales
existe solución no trivial φ 6= 0 de la ecuación:
(λI − A)φ = 0, (5.94)
donde φ es un vector n×1. Para una solución no trivial debe cumplirse: |λI −A| = 0, equivalente
a (5.93), luego los valores propios de A, λ1 , λ2 , · · · λn son solución de la ecuación caracterı́stica,
son por lo tanto los polos del sistema.
Las raı́ces de la ecuación caracterı́stica se denominan valores propios de la matriz A; obsérve-
se que si el sistema se da en la forma canónica controlable (ver sección 2.7.3), los coeficientes
de la ecuación caracteristica: sn + a1 sn−1 + ... + an vienen dados en la última fila de la matriz
A.
Ejemplo 5.28
La matriz A del ejemplo anterior está en la forma canónica controlable; luego la última fila
son los coeficientes de la ecuación caracterı́stica: −a2 , −a1 ; la ecuación es: s2 + 3s + 2 = 0,
(s + 1)(s + 2) = 0; los valores propios de A son: λ1 = −1; λ2 = −2. △

5.14.1.3. Vectores propios

Para el i-ésimo valor propio λi de una matriz A real, se define el vector propio derecho de
A asociado a λi , al vector φi que satisface la ecuación matricial (5.94):
(λi I − A)φi = 0, i = 1, 2 · · · (5.95)
El vector propio φi es de la forma:

 
φi1
 φi2 
 
φi =  .. .
 . 
φin
Si hay valores propios complejos conjugados y el vector propio φi es el asociado al modo λi ,

entonces para el valor propio λ∗i el vector propio es φ∗i . Nótese de la ecuación (5.94) que kφi , con
k escalar, es también solución, luego los vectores propios se pueden escalar con una constante.
Similarmente, se define al i-ésimo vector fila ψi que satisface:
ψi (λi I − A) = 0, i = 1, 2 · · · (5.96)
como el vector propio izquierdo asociado al valor propio λi . El vector propio ψi es de la forma:
ψi = [ψi1 , ψi2 , · · · , ψin ] .
Los vectores propios derecho e izquierdo de diferentes valores propios λi , λj son ortogonales:
ψj φi = 0. (5.97)
Para un mismo valor propio λi se cumple: ψi φi = ci , con ci una constante no nula; con un
adecuado escalamiento, los vectores propios se pueden normalizar de tal forma que:
ψi φi = 1. (5.98)
Ejemplo 5.29
El vector propio derecho para el sistema del ejemplo anterior, φ1 asociado al valor propio
λ1 = −1 se obtiene de:
(−I − A)φ1 = 0,

-1 0 0 1 φ11
− = 0,
0 -1 -2 -3 φ12

-1 -1 φ11
= 0,
2 2 φ12
)
−φ11 − φ12 = 0
φ11 = −φ12 ;
2φ11 + 2φ12 = 0

es una sola ecuación para dos incógnitas, por lo que existen infinitas soluciones; asumiendo
φ11 = 1, entonces φ12 = −1, ası́:
1
φ1 = .
−1
Para el vector propio derecho φ2 asociado a λ2 = −2:
(−2I − A)φ2 = 0,

−2 −1 φ21
= 0,
2 1 φ22
)
−2φ21 − φ22 = 0
φ22 = −2φ21 ;
2φ21 + φ22 = 0
si φ22 = 2, entonces φ21 = −1, ası́:

−1
φ2 = .
2
Similarmente los vectores propios izquierdos se calculan de:

-1 -1
[ψ11 , ψ12 ] = 0,
2 2
ψ11 = 2ψ12 ;
con ψ12 = 1, entonces ψ11 = 2, ası́:

ψ1 = [2, 1] .

-2 -1
[ψ21 , ψ22 ] = 0,
2 1
ψ21 = ψ22 ;
con ψ21 = 1, entonces ψ22 = 1, ası́:

ψ2 = [1, 1] .
Note que se cumple: ψ1 φ1 = ψ2 φ2 = 1. △

Sean las matrices:

φ = [φ1 , φ2 , · · · , φn ], (5.99)
ψ = [ψ1T , ψ2T , · · · , ψnT ]T ; (5.100)
las columnas de φ son los vectores propios derechos y las filas de ψ los vectores propios izquierdos.
En el MATLAB se pueden calcular los vectores propios ası́:
>> A=[0,1;-2,-3];
>> eig(A)%calcula los valores propios
ans =
-1
-2
>> [VD,L]=eig(A)%calcula la matriz VD de vectores propios derechos
VD =
0.7071 -0.4472
-0.7071 0.8944
L =
-1 0
0 -2
>> [VIT,L]=eig(A’);VI=VIT’%la matriz VIT es la traspuesta de la

matriz de vectores propios izquierdos VI
VI =
0.8944 0.4472
0.7071 0.7071
Cada vector propio lo calcula normalizado para magnitud unitaria: kφk = kψk = 1.
De (5.95) se cumple:
Aφ1 = λ1 φ 1
Aφ2 = λ2 φ 2
..
.
Aφn = λn φ n ,
lo que se escribe como:

Aφ = φΛ, (5.101)
donde Λ es la matriz diagonal con los valores propios en la diagonal:

 
λ1 0 ··· 0
 0 λ2 ··· 0 
 
Λ= .. .. .. .. . (5.102)
 . . . . 
0 ··· λn
De (5.101) se obtiene una forma de obtener la matriz diagonal Λ:
Λ = φ−1 Aφ. (5.103)
De la ecuación (5.98) se obtiene:
ψφ = I,
luego la matriz de vectores propios izquierdos se puede calcular como la inversa de la matriz de
vectores propios derechos:
ψ = φ−1 .
5.14.1.4. Matriz de transición de estado

De manera similar al caso escalar: ẋ = a x donde la solución es de la forma:
x(t) = f (t) x(0) = eat x(0),
la solución de la ecuación de estado lineal homogénea (5.91) es de la forma : X(t) = Φ(t)X(0),

donde Φ(t) es una matriz n × n, conocida como la matriz de transición de estado; reemplazando
la solución en la ecuación diferencial se obtiene que la matriz de transición de estado debe
satisfacer la ecuación diferencial matricial:
Φ̇(t) = AΦ(t).
Aplicando la trasformada de Laplace a la ecuación de estado homogénea:
sX(s) − X(0) = AX(s),
−1
X(s) = (s I − A) X(0).
Tomando la transformada inversa de Laplace:
−1

X(t) = L−1 (s I − A) X(0), t ≥ 0,
por lo tanto,
−1
Φ(t) = L−1 (s I − A) . (5.104)
De forma alterna, suponiendo una solución clásica de ecuaciones diferenciales en la forma
de un vector en series de potencia del tiempo:
X(t) = K0 + K1 t + K2 t2 + · · · Kj tj + · · · ; Ki(n×r)

al reemplazar en la ecuación de estado homogénea, se obtiene:

1 1
X(t) = I + At + A2 t2 + · · · + Aj tj + · · · X(0),
2! j!
de donde por analogı́a con la serie infinita de potencias de la función exponencial escalar, se
denomina:
X∞
Aj tj
Φ(t) = eAt = ( ) : Matriz exponencial de A.
j=1
j!
La matriz de transición de estado es una transformación de la condición inicial que define

la evolución libre (no forzada) del sistema:
X(t) = Φ(t) X(0), (5.105)
gobernando la respuesta debida a las condiciones iniciales del sistema, definiendo por completo
la transición del estado desde el instante inicial t = 0, a cualquier tiempo t, cuando las entradas
son nulas.
Nótese que Φ(t) solo depende de la matriz A; de (5.105) la evolución de cada estado es
en general una combinación lineal de modos asociados a todos los estados. Considerando la
transformación:
X = φZ (5.106)
el nuevo vector de estado Z tiene la representación:
Ẋ = AX = φŻ,
AφZ = φŻ,
Ż = φ−1 AφZ = ΛZ. (5.107)
Si los valores propios λ1 , λ2 , · · · λn son distintos entonces (5.107) corresponde a n ecuaciones
diferenciales desacopladas de primer orden:
z˙i = λi z, i = 1, 2, · · · , n
cuyas soluciones son:

zi (t) = zi (0)eλi t , (5.108)
donde zi (0) es la condición inicial de zi calculada de:
Z(0) = φ−1 X(0) = ψX(0),
zi (0) = ψi xi (0). (5.109)

La matriz de transición de estado es por lo tanto:
 λt 
e 1 0 ··· 0
 0 e λ2 t
··· 0 
 
Φ(t) = eΛt =  . .. .. .. .
 .. . . . 
0 0 ··· eλ n t

Si hay valores propios repetidos, Φ(t) tendrá, además de eλ1 t , eλ2 t · · · eλn t términos tales
como: teλi t , t2 eλi t .
La respuesta en las coordenadas originales es:
 
z1 (t)
 z2 (t) 
 
X(t) = φZ(t) = [φ1 , φ2 , · · · , φn ]  .  ;
 .. 
zn (t)
usando (5.108) la ecuación anterior se escribe:

n
X
X(t) = φi zi (0)eλi t , (5.110)
i=1
xi (t) = φi1 z1 (0)eλ1 + φi2 z2 (0)eλ2 + · · · + φin zn (0)eλn , (5.111)

donde las constantes zi (0) se obtienen del producto escalar (5.109).
Se observa que la respuesta a las condiciones iniciales es una combinación lineal de los n
valores propios de A; el coeficiente zi (0) = ψi xi (0) da el peso con el que se excita el i-ésimo
modo a partir de las condiciones iniciales; si el vector de condiciones iniciales está alineado con el
j-ésimo vector propio derecho φj , de (5.97), los zi (0) serán nulos para todo i 6= j y solo el modo
j-ésimo se excita. Si el vector de condiciones iniciales no está alineado con un solo vector propio
derecho, se puede representar como una combinación lineal de los vectores propios derechos; si
hay alguna componente nula en la dirección de algún vector propio derecho, ese modo no se
excitará.
Ejemplo 5.30
De (5.104) para la matriz
0 1
A=
-2 -3
la matriz de transición de estado es:

s −1 −1 1 s+3 1
sI − A = ; (sI − A) = 2 .
2 s+3 s + 3s + 2 −2 s

At −1
−1
2e−t − e−2t e−t − e−2t
e =L (s I − A) = .
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t
Si el vector de condiciones iniciales es:

1
X(0) = φ1 = ,
−1
la evolución del estado será:

2e−t − e−2t e−t − e−2t 1 e−t
X(t) = = ;
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t −1 −e−t

en ninguno de los estados (y en consecuencia en la salida) aparece el transitorio con constante

de tiempo de 0.5s.
Si el vector de condiciones iniciales está en la dirección de φ2 :

−1
X(0) = φ2 = ,
2
la evolución del estado será:

2e−t − e−2t e−t − e−2t −1 −e−2t
X(t) = = ;
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t 2 2e−2t
solo el modo e−2t se excita. △
En general cualquiera que sea la fuente de excitación de un modo del sistema, por condiciones
iniciales o la entrada, con la transformación:
X(t) = φZ(t) = [φ1 , φ2 , · · · , φn ]Z(t) (5.112)
en Z(t) los modos están desacoplados, luego los vectores propios derechos muestran cómo se
ponderan los diferentes modos eλi t , i = 1, 2, · · · , n para cada variable de estado xi (t) dada; el
grado de actividad del i-ésimo modo eλi t en la variable de estado xk (t), lo da el elemento φik
de φ. De:
Z(t) = ψX(t) = [ψ1T , ψ2T , · · · , ψnT ]T X(t); (5.113)
el vector propio izquierdo ψi indica qué combinación de las variables de estado originales genera
un comportamiento únicamente con el modo i-ésimo.
5.14.2. Propiedades de la matriz de transición de estado

1. Φ(0) = eA0 = I.
−1
2. Φ(t) = eAt = (e−At ) luego Φ−1 (t) = Φ(−t).
De esta propiedad : x(t) = eAt x(0) luego x(0) = Φ(−t) x(t),

lo que indica que la transición en el tiempo se puede dar en cualquier dirección.
k
3. Φ(t) = eAt eAt · · · eAt = ekAt = Φ(kt).
4. Φ(t2 − t1 ) Φ(t1 − t0 ) = eA(t2 −t1 ) eA(t1 −t0 ) = eA(t2 −t0 ) = Φ(t2 − t0 ).
Esta propiedad muestra que el proceso de transición del estado se puede dividir en varias
transiciones secuenciales.

5.14.3. Solución total de la ecuación de estado

Al aplicar la transformada de Laplace a la ecuación de estado no-homogénea:
Ẋ(t) = A X(t) + B R(t),
se obtuvo en el capı́tulo 2:
−1 −1
X(s) = (sI − A) X(0) + (sI − A) B R(s).
Tomando la transformada inversa de Laplace:

Z t
X(t) = eAt X(0) + eA(t−τ ) B R(τ ) dτ, t ≥ 0;
0
si el tiempo inicial es t0 , la solución se modifica a :

Z t
X(t) = eA(t−t0 ) X(t0 ) + eA(t−τ ) B R(τ ) dτ, t ≥ t0 . (5.114)
t0
Una vez calculado X(t), el vector de salida es:

Z t
C(t) =⊂ eA(t−t0 ) X(t0 ) + ⊂ eA(t−τ ) B R(τ ) dτ + D R(t), t ≥ t0 . (5.115)
t0
Ejemplo 5.31
Calcular la salida del sistema dinámico:
ẋ1 (t) = x2 (t)

ẋ2 (t) = −2x1 (t) − 3x2 (t) + r(t)
c(t) = x1 (t) + x2 (t),
con x1 (0) = 1, x2 (0) = 0 y r(t) = µ(t).

La representación vectorial - matricial es :

ẋ1 0 1 x1 0 x1
= + r(t); c(t) = 1 1 .
ẋ2 −2 −3 x2 1 | {z } x2
| {z } | {z } ⊂
A B
En el ejemplo 5.30 se obtuvo la matriz de transición de estado:

2e−t − e−2t e−t − e−2t
eAt = ,
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t
luego la solución de la ecuación de estado es:

Z t
2e−t − e−2t e−t − e−2t 1 A(t−τ ) 0
x(t) = + e dτ ,
−2e−t + 2e−2t −e−t + 2e−2t 0 0 1

Z t
2e−t − e−2t e−(t−τ ) − e−2(t−τ )
x(t) = + dτ ,
−2e−t + 2e−2t 0 −e−(t−τ ) + e−2(t−τ )
 
−t t −2t 1 2t 1
 e e −1 −e 2e − 2 
2e−t − e−2t  
x(t) = +


.
−2e−t + 2e−2t  
−t t −2t 1 2t 1
−e e − 1 + 2e 2e − 2
Note que el vector de condiciones iniciales excita ambos modos en los estados; simplificando se
obtiene:
0.5 + e−t − 0.5e−2t
x(t) = ;
−e−t + e−2t

x1
c(t) = 1 1 = 0.5 + 0.5e−2t .
x2
△
Con el MATLAB la solución es:
>> syms s
>> A=[0,1;-2,-3];B=[0;1];C=[1,1];D=[0];CI=[1;0];I=[1,0;0,1];
>> F=inv([s*I-A])
F =
[ (s+3)/(s^2+3*s+2), 1/(s^2+3*s+2)]
[ -2/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]
>> X=F*CI+F*B*(1/s)
X =
(s+3)/(s^2+3*s+2)+1/s/(s^2+3*s+2)
-1/(s^2+3*s+2)
>> x=ilaplace(X)
x =
exp(-t)-1/2*exp(-2*t)+1/2
-2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)
>> c=ilaplace(C*X)
c =
exp(-t)-1/2*exp(-2*t)+1/2-2*exp(-3/2*t)*sinh(1/2*t)
Este ejemplo para un sistema monovariable ilustra que se requieren más cálculos que utilizar
directamente la solución vı́a la transformada de Laplace. La utilidad en más evidente para el
caso multivariable.

5.14.4. Ganancias y ceros de las ecuaciones dinámicas

De la solución (5.115) no es evidente cual es el valor inicial y el estacionario de la salida ante
una entrada escalón. De la ecuación de salida: Y =⊂ X + DU , si hay un escalón en la entrada
como las variables de estado no cambian instantáneamente, la respuesta inicial la definen los
elementos de la matriz D, ası́ la ganancia transitoria de la matriz de funciones de transferencia
del sistema es:
G(∞) = D. (5.116)
El valor estacionario del estado X∞ se puede calcular directamente de la representación de
estado haciendo Ẋ = 0 en la ecuación de estado:
X∞ = −A−1 BU∞ .
Reemplazando en la salida:
Y∞ = D− ⊂ A−1 BU∞ .
La ganancia estacionaria de las matrices de transferencia es:
G(0) = D− ⊂ A−1 B. (5.117)
Los ceros se calculan resolviendo las ecuaciones dinámicas en frecuencia con la salida nula
Y (s) = 0:
sX(s) = AX(s) + BU (s),
0 =⊂ X(s) + DU (s);
organizando las ecuaciones de forma matricial:

sI − A −B X(s)
= 0.
⊂ D U (s)
La solución para entrada U (s) y estado X(s) no nulos es que la matriz de la izquierda no tenga
rango pleno; por lo tanto, los ceros de un sistema continuo representado en el espacio de estado,
son los valores de s que hacen que pierda rango la matriz:

sI − A −B
N (s) = . (5.118)
⊂ D
Se observa que los ceros dependen de las matrices A, B, ⊂ y D, esto es de como las entradas
y las salidas se acoplan a los estados; si B o ⊂ son cuadradas de rango pleno, hay n filas o
columnas linealmente independientes para cualquir valor de s y el sistema no tiene ceros; esto
ocurre cuando hay actuadores o medidores para todos los estados.
Ejemplo 5.32
El sistema del ejemplo anterior tiene ganancia transitoria nula pues la matriz D = 0; la
ganancia estacionaria es:

−1 −1.5 −0.5 0 −0.5
G(0) = − ⊂ A B = −[1 1] = −[1 1] = 0.5.
1 0 1 0

5.15. RESPUESTA TEMPORAL DE LAS ECUACIONES DINÁMICAS DISCRETAS
La matriz de ceros es:  

s −1 0
N (s) =  2 s+3 −1  ;
1 1 0
su determinante es: |N (s)| = s + 1, luego el sistema tiene un cero en s = −1; como se observa
en la matriz, para este valor la primera y segunda columnas son iguales. △
5.15. Respuesta temporal de las ecuaciones dinámicas dis-

cretas
Se considera el sistema de tiempo discreto en representación de estado de la sección 3.5:
X(k + 1) = G X(k) + H U (k)
Y (k) = E X(k) + D U (k)

Por recurrencia:
k=0 X(1) = GX(0) + HU (0)
k=1 X(2) = GX(1) + HU (1) = G2 X(0) + GHU (0) + HU (1)
k=2 X(3) = GX(2) + HU (2) = G3 X(0) + G2 HU (0) + GHU (1) + HU (2)

..
.
k−1
X
X(k) = Gk X(0) + Gk−j−1 H U (j) ; k = 1, 2, 3 · · · (5.119)
j=0
El primer sumando corresponde a la solución de la ecuación homogénea y la sumatoria a

la solución forzada. La matriz Φ(k) = Gk es la matriz de transición de estado discreta; esta
matriz satisface:
Φ(k + 1) = GΦ(k), Φ(0) = Φ0 .
Con X(k) calculado se puede obtener Y (k) con la ecuación de salida discreta.
Similarmente al caso continuo, la solución de las ecuaciones de estado discretas se puede
obtener mediante la transformada Z; aplicando la transformada Z a la ecuación de estado:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k), se obtiene:
zX(z) − zX(0) = GX(z) + HU (z),
(zI − G) X(z) = zX(0) + HU (z),
−1 −1
X(z) = (zI − G) zX(0) + (zI − G) HU (z), (5.120)

5.15. RESPUESTA TEMPORAL DE LAS ECUACIONES DINÁMICAS DISCRETAS
luego la matriz de transición de estado se calcula mediante:

Gk = Z −1 (zI − G)−1 z (5.121)
y la solución forzada es:
k−1
X −1

Gk−j−1 H U (j) = Z −1 (zI − G) HU (z) . (5.122)
j=0
Ejemplo 5.33
Para el sistema discreto en espacio de estado:

0 1 1
X(k + 1) = GX(k) + HU (k); G = ;H = ,
−0.6 −1 1
se desea calcular la evolución del estado X(k) para la entrada escalón U (k) = µ(k) y con con-
T
diciones iniciales: X(0) = 1 −1 .
Para calcular la matriz de transición de estado discreta:

−1
−1 z −1 1 z+1 1
(zI − G) = = (z+0.2)(z+0.8) ;
0.16 z+1 −0.16 z
su transformada z inversa da:
 4 k k k k 
3 (−0.2) − 31 (−0.8) 5
3 (−0.2) − 53 (−0.8)
Φ(k) =  .
4 k 4 k k k
− 15 (−0.2) + 15 (−0.8) − 31 (−0.2) + 4
3 (−0.8)
De (5.120) se tiene:
−1 z
X(z) = (zI − G) zX(0) + HU (z) ; U (z) = z−1 ;
 2

z
z−1
 
zX(0) + HU (z) =  ,
2
−z +2z
z−1

z z2 + 2
X(z) = ,
(z+0.2)(z+0.8)(z−1) −z 2 + 1.84z
 k k 
− 17
6 (−0.2) +
22
9 (−0.8) + 25
18
X(k) = Z −1
X(z) = . △
17 k 38 k 7
30 (−0.2) + 45 (−0.8) + 18

5.16. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DINÁMICAS DE TIEMPO CONTINUO
5.16. Discretización de las ecuaciones dinámicas de tiem-

po continuo
En esta sección se considera a un sistema de tiempo continuo descrito en variables de es-
tado, el cual se controla digitalmente; se desea obtener a partir de su representación de estado
continuo, la representación de estado discreta; la figura 5.80 ilustra el caso.
U (k) u(t) x(t)

+
ROC Ẋ = AX + BU E y(t)
+
D Y (k)
T
Figura 5.80: Discretización de un sistema representado en espacio de estado.
La solución de la ecuación de estado continua es:

Z t
X(t) = eA(t−t0 ) X(t0 ) + eA(t−τ ) B U (τ )dτ ;
t0
como interesa sólo la solución en los instantes de muestreo, se considera: t = kT + T y t0 = kT

Z kT +T
X(kT + T ) = eAT X(kT ) + eA(kT +T −τ ) B U (τ )dτ,
kT
como U (t) es constante entre muestreos: U (t) = U (kT ), luego:
Z kT +T
AT
X(kT + T ) = e X(kT ) + eA(kT +T −τ ) dτ B U (kT ).
kT
Realizando el cambio de variable: η = kT + T − τ en la integral de la anterior ecuación, se
obtiene: Z kT +T Z 0 Z T
eA(kT +T −τ ) dτ = eAη (−dη) = eAη dη.
kT T 0
Por lo tanto:
X(kT + T ) = G(T )X(kT ) + H(T )U (kT ), (5.123)
donde:
G(T ) = eAT , (5.124)
Z T

H(T ) = Aη .B. (5.125)
e dη
0
Se observa que la matriz del sistema discreto G y la de entrada discreta H dependen del perı́odo
de muestreo.
La ecuación de salida es:
Y (kT ) = E X(kT ) + D U (kT ). (5.126)

Ejemplo 5.34
0 1
Se tiene el sistema de tiempo continuo: Ẋ = AX + BU, Y = EX; con A = ,
0 −2
0
B= , E = 0 1 ; se desea obtener la representación de estado de tiempo discreto con
1
un perı́odo de muestreo de T = 1s.
Una forma de calcular la matriz del sistema de tiempo discreto: G(T ) es a partir de la
transformada inversa de Laplace de (s I − A)−1 , evaluando t en T :
−1

G(T ) = eAT = L−1 (s I − A) t−→T
, (5.127)
1

0 2 (1 − e−2T )
G(T ) = .
0 e−2T
La matriz de entrada es:
 
1 e−2T −1
RT 1 1
− e−2τ ) 0 2 (T + )
2 (1
2
H(T ) = dτ = ;
0 0 e−2τ 1 1 −2T
2 (1 −e )
con T = 1 se obtiene:
1 0.43 0.28
G(T ) = ; H= .
0 0.13 0.43
Las ecuaciones dinámicas en tiempo discreto son:

x1 (k + 1) 1 0.43 x1 (k) 0.28
= + u(k),
x2 (k + 1) 0 0.13 x2 (k) 0.43

x1 (k)
y(k) = 1 0 .
x2 (k)
△
El comando del MATLAB c2d directamente calcula el modelo discreto.

Ejemplo 5.35
En el ejemplo 2.7 se obtuvo el modelo de compartimentos para medicina, ecuaciones (2.39);
sean los parámetros: k0 = q2 /V1 , k1 = q/V1 , k2 = q/V2 y b0 = c0 /V1 , la entrada u = q1 y la
salida y = c2 ; el modelo se escribe como:
dc1
= − (k1 + k0 )c1 + k1 c2 + b0 u
dt
dc2
= k2 c 1 − k2 c 2
dt
y = c2 .
Para un modelo normalizado se tienen los parámetros: k0 = 1/400, k1 = 1/2150, k2 = 1/450 y

b0 = k0 . El modelo continuo es:

>> k0=1/400;k1 =1/2150; k2 = 1/450; b0 =k0;

>> A=[-k0-k1,k1;k2,-k2]
A =
-0.0030 0.0005
0.0022 -0.0022
>> B=[b0;0]
B =
0.0025
0
>> C=[0 1]
C =
0 1
>> D=0
D =
0
Los valores propios son:
>> eig(A)
ans =
-0.0037
-0.0015
es un sistema de segundo orden con constantes de tiempo de τ1 = 1/0.0037 = 270s y τ2 =

1/0.0015 = 666.7s. El sistema se discretiza con un perı́odo de muestreo de T = 60s.
>> G=ss(A,B,C,D);
>> Gd=c2d(G,60)
a =
x1 x2
x1 0.8386 0.0239
x2 0.1142 0.8768
b =
u1
x1 0.1375
x2 0.009024
c =
x1 x2
y1 0 1

d =
u1
y1 0
La figura 5.81 muestra las respuestas al escalón, continua y discreta. Se observa la respuesta
sobreamortiguada con suficiente frecuencia de muestreo para control. △
0.9
0.8
0.7
0.6
y(t),y(k)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Tiempo (sec)
Figura 5.81: Respuesta al escalón del modelo de compartimentos para medicina.
Las ecuaciones (5.124) y (5.125) permiten también hallar la contraparte continua de un

modelo discreto:
1
A= log G. (5.128)
T
Z !−1
T
B= eAη dη H. (5.129)
0
siempre y cuando la matriz G del sistema discreto no tenga polos en el eje real negativo. En el
MATLAB, el comando ‘logm(G)’ calcula la matriz logarı́tmica de G.
Ejemplo 5.36
En el ejemplo 3.1 se planteó el modelo de tiempo discreto (3.6) para un servidor de Internet,
con G = 0.43 y H = 0.47; si se desea diseñar un control de tiempo continuo para el sistema

5.17. RESUMEN
con T = 60s, se tiene:

1
A= log 0.43 = −0.014,
60
Z 60
0.014η
B= e dη 0.47 = 0.011,
0
luego la ecuación diferencial:
ċ(t) = −0.014c(t) + 0.011m(t),
representa al servidor como una planta a controlar de tiempo continuo. △
5.17. Resumen
Este capı́tulo se dedicó al análisis en el dominio del tiempo de sistemas de control lineales en
tiempo continuo y en tiempo discreto. Para calcular la respuesta se utilizaron señales de prueba
como la escalón, rampa y parábola. La respuesta temporal se divide en respuesta transitoria y
de estado estable. El error de estado estable es una medida de la exactitud del sistema cuando el
tiempo se aproxima al infinito; el error se caracteriza dependiendo del número de integraciones
en la señal de entrada, el punto de entrada de la señal al lazo de control y las integraciones en el
controlador y la planta. Si los sistemas son estables, las integraciones aseguran una entrada nula
al integrador en estado estable, por ello las integraciones en el controlador serie cuya entrada es
el error, aseguran errores estacionarios nulos para entradas con igual número de integraciones,
independientemente de donde se aplique la señal de entrada al lazo. Las integraciones de la
planta no afectan los errores permanentes por los disturbios de entrada al proceso.
La respuesta transitoria al escalón de un sistema lineal es una suma de exponenciales y
sinusoides acotadas exponencialmente. Se puede por lo tanto analizar a partir de las respuestas
de los sistemas de primer y segundo orden. Estas respuestas se caracterizan en términos de
caracterı́sticas como el subpaso, sobrepaso máximo, tiempo de subida, tiempo de retardo y
tiempo de estabilización. Los sistemas de primer orden se especifican con la constante de tiempo;
los sistemas de segundo orden con el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural no
amortiguada. La adición de un polo a un sistema subamortiguado de segundo orden disminuye
el sobrepaso y aumenta el tiempo de subida; se pueden considerar polos dominantes si su parte
real es inferior es 5 veces la parte real de los demás polos y ceros; un cero cercano hace disminuir
el residuo del polo y no le permite asegurar la dominancia. Los ceros lentos disminuyen el tiempo
de subida y aumentan el sobrepaso; los de fase no mı́nima generan subpaso en la respuesta.
Para el diseño se establecen especificaciones de desempeño deseadas para la respuesta tem-
poral de los sistemas; estas se dan en términos del error permanente aceptable, un coeficiente
de amortiguamiento alrededor de 0.7 para los polos dominantes y una velocidad de respues-
ta asociada a la del sistema en red abierta; las especificaciones se pueden dar como áreas de
posición deseada de los polos de red cerrada del sistema.
Las especificaciones deben respetar las limitaciones existentes en los sistemas de control
realimentados:
El ruido de medida limita la máxima velocidad de respuesta en red cerrada y la ganancia

del controlador en alta frecuencia.

5.17. RESUMEN
Los actuadores limitan los valores máximos de la variable manipulada, su rata de cambio
y su mı́nima resolución.
Las incertidumbres de modelado limitan la máxima velocidad de respuesta en red cerrada.
El rechazo de los disturbios exige una velocidad de respuesta mı́nima del lazo.
Los tiempos muertos disminuyen la capacidad de rechazar los disturbios.
Los polos y ceros de las funciones de sensibilidad.
La acción integral en el controlador mejora el error permanente pero impone compromisos
en la respuesta transitoria; si el sistema en red cerrada es más rápido que en red abierta,
habrá sobrepaso; si hay un polo inestable en red abierta, el sistema en red cerrada debe ser
más rápido que el polo inestable para limitar el sobrepaso; con ceros lentos, el sobrepaso
aumenta con la velocidad de respuesta de red cerrada; los ceros de fase no mı́nima, limitan
la velocidad de red cerrada a ser menor que la del cero para evitar grandes subpasos.
El análisis de la respuesta temporal de los sistemas discretos es una extensión del análisis de
tiempo continuo a través de la correlación entre los planos S y Z. Los sistemas discretos tienen
sinembargo ciertos comportamientos que no tienen los continuos, como la respuesta oscilatoria
de un sistema de primer orden para raı́ces en el eje real negativo del plano Z y los transitorios
de duración finita para los polos en el origen.
Los sistemas de datos muestreados tienen funciones de transferencia de pulsos de grado
relativo uno; existen por lo tanto ceros de muestreo si el grado relativo de la planta continua es
mayor a uno. Estos ceros dependen del perı́odo de muestreo y pueden ser de fase no mı́nima. Si
estos sistemas son oscilatorios con frecuencias de oscilación múltiplo entero de la de muestreo,
tendrán oscilaciones ocultas; también las habrá si el controlador tiene modos oscilatorios. Por
lo anterior el controlador no debe tener modos oscilatorios y la frecuencia de muestreo debe lo
ser lo suficientemente alta; también debe analizarse la respuesta entre muestreos del sistema,
vı́a simulación o con la transformada Zm modificada.
Para los sistemas de control digitales también se definen especificaciones deseadas de desem-
peño como un área deseada para las raı́ces en el plano Z y deben respetar las limitaciones de
desempeño similares a las del caso continuo; los procesos de conversión y tratamiento de señal
imponen restricciones adicionales; la dinámica del filtro de antiplegamiento debe incluirse en
muchos casos para lo cual se pueden usar aproximaciones como retardos para los filtros de
Bessel; los conversores A/D y D/A generan errores de cuantificación que pueden analizarse
como señales de disturbio en la realimentación y a la entrada del proceso. El procesamiento
de señal impone tiempos de muestreo mı́nimos para respetar el tiempo muerto fraccional del
retardo computacional y genera errores por redondeo en los cálculos y por la cuantificación de
los parámetros.
Finalmente se obtuvo la respuesta temporal de las ecuaciones dinámicas continuas y discre-
tas. La solución debida a las condiciones iniciales la define la matriz del sistema A; sus valores
propios son los polos del sistema; sus vectores propios derechos muestran cómo se ponderan
los diferentes modos para cada variable de estado; estos vectores también permiten calcular la
matriz de transformación para obtener la representación de estado con la matriz del sistema dia-
gonal, donde los elementos de la diagonal son los valores propios; también la matriz del sistema
define la matriz de transición de estado con la cual se calcula la solución explı́cita (homogénea

y forzada) de las ecuaciones de estado. De la representación de estado se pueden calcular direc-

tamente las ganancias transitoria y permanente de la matriz de funciones de transferencia y sus
ceros. Para un sistema continuo en representación de estado, las ecuaciones (5.124) y (5.125)
permiten calcular directamente la matriz del sistema G y de entrada H de la representación de
estado discreta.

En el análisis de los sistemas de tiempo discreto se utiliza el operador retardo:
qx(k) = x(k + 1), el cual es equivalente a z −1 , con z escalar y no complejo como se usa con la
transformada Z. También se utiliza el operador delta definido por: δx(k) , x(k+1)−x(k)
T = q−1
T ;
cualquier función de transferencia discreta se puede analizar con estos operadores reemplazan-
do: q = z −1 o z −1 = δT + 1; el operador δ tiene la ventaja de relacionar directamente el
tiempo continuo con el discreto cuando G(T → 0) = G, donde G es la función de transferencia
de tiempo continuo. Las implementaciones a partir de este operador son mejor condiciona-
das para altas frecuencias de muestreo. Sobre detalles de este operador, ver el capı́tulo 12 de
Goodwin et al [2001]. Sobre las limitaciones especı́ficas de los sistemas de control digitales, ver
el capı́tulo 9 de Aström and Wittenmark [1997] en donde se realiza el análisis no lineal de la
cuantificación con la función descriptiva. Un análisis detallado sobre las propiedades de las di-
ferentes implementaciones de los sistemas discretos se presenta en Nagle and Nelson [1981]. Las
limitaciones estructurales de tiempo continuo y discreto se encuentran en Goodwin et al [2001].
La respuesta temporal de los sistemas de control se encuentra en muchos libros de texto como
Dorf and Bishop [2005], Kuo [1996] y Ogata [1998].

Ejercicio 5.1
Caliente un litro de agua en la estufa con ajuste ‘bajo’, durante 5 minutos; observe la tem-
peratura cada 30s con un termómetro de cocina. ¿Cómo es su evolución con la estufa prendida
y apagada? ¿Cuál serı́a la temperatura a alcanzar si se deja la estufa prendida indefinidamente?
¿Cómo cambia ésta evolución si se calientan 5 litros de agua? ¿Cómo se afecta la evolución con
la forma del recipiente utilizado?
Ejercicio 5.2
Un conductor nota desinflada la llanta de su vehı́culo; la infla aplicando un compresor
durante 10s, midiendo luego la presión durante 5s y ası́ sucesivamente hasta lograr la presión
deseada para la llanta. ¿Cómo es la evolución en el tiempo de la presión observada? ¿Cómo
es esta evolución si desea desinflar la llanta y para ello quita el gusanillo y aplica el mismo
proceso de medición de la presión? ¿Cómo cambian éstas evoluciones con el volumen de aire de
la llanta?
Ejercicio 5.3
Un conductor enciende su viejo vehı́culo con carburador mecánico, en una mañana frı́a;
cuando lleva el acelerador a una posicı́on dada, observa inicialmente que el motor trata de

apagarse bajando sus RPM y luego de ello si responde a las RPM deseadas. ¿Cuál es la dinámica
de este sistema de control?
Ejercicio 5.4
Organice de nuevo el péndulo del ejercicio 2.3; una vez se estabilice la masa, desplace el
extremo superior rápidamente a unos 10cm de la posicón inicial, manteniendo la misma altura.
Observe la posición de la masa con respecto a su posición inicial. ¿Cómo es la forma de evolución
de la posición de la masa? ¿Cuántas oscilaciones observa? ¿Cuál es la máxima desviación?
¿Cuáles son los parámetros de la dinámica oscilatoria del sistema?

Ejercicio 5.5
Se tiene una carga inercial Jl acoplada al eje de un motor con inercia Jm y potencia H, a
través de un reductor de velocidad de relación: η = ωcarga /ωmotor ; el motor se arranca a par
constante nominal, hasta la velocidad nominal de ωN ; se considera que todas las unidades de
los parámetros y variables están en el Sistema Internacional. Calcule el tiempo que tarda el
motor en alcanzar la velocidad nominal.
Ejercicio 5.6
Un sistema de control de velocidad gira una carga a velocidad constante ωe , en un plano
vertical, como se muestra en la figura 5.82. El frotamiento en el sistema es despreciable.
ωe
m
θ l
mg
Figura 5.82: Carga de un motor.
1. Calcule la variación del par de carga en función de θ y determine su evolución temporal.

2. Si el sistema de control tiene los lı́mites operativos dados en la figura 5.83,
¿Es capaz de posicionar la carga a cualquier ángulo θ?

¿Puede posicionarla en θ = 0, independientemente de la posición inicial?
¿Es capaz de mantener la velocidad constante ωe ?

Figura 5.83: Lı́mites operativos del sistema de control de velocidad.
¿Es capaz de mantener una velocidad constante ωe′ menor que ωe ?
Ejercicio 5.7
Un sistema mecánico rotacional con J = 0.1 en unidades del SI, con frotamiento despre-
ciable, gira a 1000 RP M , cuando se le aplica un par motor constante de 10N − m, durante
1s; luego de 2s, se aplica un par de fricción tf = 0.1ω indefinidamente; calcule la evolución
temporal de la velocidad ω.
Ejercicio 5.8
Se tiene un motor con ventilación externa, de 500kW , 1.8T on, con eficiencia nominal de
0.94; a la potencia nominal, el motor incrementa su temperatura en 50o C. Utilice el modelo
térmico simplificado del ejemplo 2.4 para calcular:
1. La evolución temporal de la temperatura si se arranca a temperatura ambiente de 40o C,
con sobrecarga del 10 %.
2. La máxima potencia a aplicar durante 5 min, para no sobrepasar los 100o C.
Ejercicio 5.9
Para el ejercicio 2.7, la ecuación diferencial:
dc
V = −qc,
dt
describe la evolución de la concentración del medicamento en el compartimento; calcule la
evolución temporal de la concentración c, después de inyectarse una cantidad conocida m de
medicamento; calcule la concentración inicial y los parámetros del modelo, si se miden varias
muestras de la concentración del medicamento.
Ejercicio 5.10
Considere el sistema de control de posición mecánico, con realimentación unitaria y función
de transferencia de lazo abierto:
K
G(s) = .
s(Js + F )

Analice los efectos de variar los valores de K y F sobre el error permanente de velocidad essv ;
mediante un programa de simulación, trace curvas de respuesta a una rampa unitaria, para
valores de K = 0.1, 1 y 10; asuma J = F = 1.
Ejercicio 5.11
Sea un sistema de control realimentado unitario con función de transferencia de red cerrada:
C(s) ks + b
= 2 .
R(s) s + as + b
Calcule la función de transferencia de red abierta G(s) y los errores permanentes de posición y
de velocidad.
Ejercicio 5.12 Ogata [1998]

Demuestre que el error permanente de velocidad es nulo essv = 0, si la función de transfe-
rencia en lazo cerrado de un sistema realimentado unitario es:
C(s) an−1 s + an
= n n−1
.
R(s) s + a1 s + ... + an−1 s + an
Ejercicio 5.13
Un modelo normalizado para el sistema de control de velocidad de un vehı́culo para los
ejercicios 1.13 y 2.13 es:
1
Va (s) = V1 (s) − T1 (s) ,
20s + 1
4s + 1
V1 (s) = X(s) − Va (s) .
s
Halle las respuestas al escalón unitario en la entrada de referencia X(s) y en el disturbio T1 (s).
Ejercicio 5.14
Obtenga las respuestas al escalón unitario de los sistemas realimentados unitarios, cuyas
funciones de transferencia en lazo abierto son:
1
1. G(s) = .
s(s + 1)
2s + 1
2. G(s) = .
s2
Obtenga los tiempos de subida, de pico, los sobrepasos máximos y los tiempos de estabilización.
Ejercicio 5.15
Considere el sistema en lazo cerrado descrito mediante la función de transferencia:
C(s) ωn2
= 2 .
R(s) s + 2ρωn s + ωn2
Determine los valores de ρ y ωn para que el sistema responda a una entrada escalón con un
sobrepaso del 10 % y con un tiempo de estabilización de 1s, evaluado con el criterio del 2 %.

R(s) + + 16 1 C(s)
s+0.8 s
− −
k
Ejercicio 5.16
Para el sistema de la figura 5.81, determine el valor de k de modo que el coeficiente de
amortiguamiento ρ sea 0.5. Luego obtenga el tiempo de subida tr , el tiempo pico tp , el sobrepaso
máximo Mt y el tiempo de estabilización ts , para la respuesta al escalón unitario.
Ejercicio 5.17 Kuo [1996]

Analice y compare las respuestas al escalón unitario, para los sistemas de control de posición
de las siguientes figuras; evalúe cuál es el más rápido y cuál tiene menor sobrepaso. ¿Cuáles son
los errores estacionarios ente entradas escalón y rampa?
R(s) + 1 C(s)
5 s(5s+1) Control P
−
R(s) 1 C2 (s)
+ 5(1 + 0.8s) s(5s+1) Control PD
−
R(s) + + 1 1 C3 (s)
5 5s+1 s Control P con
− − realimentación
0.8 de velocidad
Ejercicio 5.18 Para el modelo de la turbina hidráulica:

Y (s) 1 − Is
= ,
U (s) 1 + I2 s
simule y compare las diferentes respuestas al escalón para I = 1, 2 y 4.
Ejercicio 5.19 Para el sistema:

1−s
G(s) =
(s + 1)2
con entrada escalón, calcule el subpaso y el tiempo para el cual ocurre.


1
zs +1
G(s) =
(s + 1)2
simule las respuestas al escalón para z = 10, 2, 0.5, −0.5, −2; analice el efecto del cero con
respecto a la velocidad del transitorio, el subpaso y el sobrepaso.
Ejercicio 5.21
¿Es posible diseñar un controlador para el sistema de la figura 4.2 sin sobrepaso al escalón
de referencia ni error permanente a disturbios de entrada en rampa?
Ejercicio 5.22
A partir de las restricciones de la respuesta temporal, analice la dificultad de controlar la
planta:
4(s − a)
G(s) = , a > 0,
(s + a)(s − 4a)
usando un controlador serie con acción integral.
Ejercicio 5.23
Analice en simulación el control de posición de una planta sin fricción con modelo:
1
G(s) =
s2
usando el controlador PD:
5(s + 1)
Gc (s) = ,
(s + 5)
con respecto a:
1. Saturación de la señal de control: −2 ≤ u(t) ≤ 2.
2. Banda muerta del actuador en el intervalo: (-BMm,BMx) = (−0.01, .01).
3. Huelgo (Backlash) de ±0.01 a la salida de la planta.
4. Alinealidad de cuantificación en la realimentación con resolución de 2−6 .
Ejercicio 5.24 Para el sistema de la figura 5.44, sea:

1 0.5s + 0.5
Gp (s) = , Gc (s) = , H(s) = 1.
s+1 s
Analice en simulación la respuesta a un escalón del disturbio D(s), para T = 0.5, 1 y 2s.
Compare las respuestas para T = 2, con la obtenida para disturbios a la entrada y salida del
proceso.
Ejercicio 5.25
Resuelva los ejercicios 4.6, 4.7 y 4.8, utilizando el análisis temporal visto en este
capı́tulo.

R(s) + E(s) + U (s) U ∗ (s) 1 1

Y (s)
ROC s s
T
− −
Kt
Figura 5.85: Sistema de control para el ejercicio 5.26
Ejercicio 5.26
El diagrama de bloques de un sistema de control de datos muestreados se muestra en la
figura 5.82.
1. Encuentre las constantes de error KP∗ , KV∗ , KA
∗
.
Y (z) Y (z)
2. Derive las funciones de transferencia E(z) y R(z) .
3. Calcule la respuesta al escalón unitario y(kT ) para k = 0 a 50 para T = 0.1 s y Kt = 5.

4. Repita el punto anterior para T = 0.1 s y Kt = 1. ¿Qué efecto tiene en la respuesta
temporal la variación del parámetro Kt ?
Ejercicio 5.27
Para el sistema de control digital del ejercicio 3.8, calcule la respuesta del sistema en los
instantes de muestreo, si se aplica un escalón unitario en la entrada.
Ejercicio 5.28
Para el sistema del ejercicio 3.10, figura 3.35, calcule la salida c(kT ) para un escalón unitario
en la entrada r(kT ).
Ejercicio 5.29
Para el sistema de control digital del ejercicio 3.11, calcule la respuesta a un escalón de
entrada.
Ejercicio 5.30
Analice la respuesta a un escalón unitario en la entrada de un filtro de media móvil con
N = 5.
Ejercicio 5.31
Para el diagrama de bloques del sistema de control de datos muestreados de la figura 5.86,
se calculó en el ejercicio 3.7 la función de transferencia en lazo cerrado. Calcule la respuesta en
los instantes de muestreo a un escalón unitario de entrada, para los perı́odos de muestreo de
T = 0.1s y 0.05 s. ¿Cómo se afecta la respuesta?
Ejercicio 5.32
Se desea que un sistema de datos muestreados responda con la dinámica de un sistema
continuo con tiempo de estabilización menor a 4s (criterio del 2 %), sobrepaso menor al 15 % y
tiempo de subida menor de 1s; dibuje el área deseada de ubicación de las raı́ces en el plano Z.

R(s) + E(s) E ∗ (s) U (s) C(s)

5
T ROC s(s+2)
−
Figura 5.86: Sistema de control del ejercicio 5.31.
Ejercicio 5.33
Analice las respuestas al escalón para las funciones de transferencia de pulsos del ejercicio
5.20, con los diferentes valores del cero z.
Ejercicio 5.34
Analice con qué perı́odos de muestreo pueden aparecer oscilaciones ocultas, para la función
de transferencia de pulsos del sistema de tiempo continuo:
1
G(s) = .
s2 +1
Igualmente, analice las oscilaciones que pueda generar la señal de control si se utiliza el contro-
lador:
21z − 16.5
Gc (z) = ,
z+1
con T = 0.2s.
Ejercicio 5.35
Para el sistema del ejercicio anterior, se tiene el controlador:
az + b
Gc (z) =
z+1
con a y b parámetros ajustables y perı́odo de muestreo de T = 0.2s; se desea que el sistema
responda en red cerrada con una ecuación caracterı́stica que tenga un coeficiente de amorti-
guamiento ρ = 0.5 y frecuencia amortiguada ωn = k, con k < 1; analice para la respuesta al
escalón del sistema el efecto del cero del controlador.
Ejercicio 5.36
Analice en simulación el efecto de la cuantización debida a los conversores A/D y D/A de
6bits, para el control digital del sistema doble integrador: G(s) = 1/s2 analizado en el ejercicio
5.23, usando los controladores:
5z − 4.368
Gc1 (z) = ,
z − 0.368
5z − 3.1
Gc2 (z) = .
z − 0.368

Ejercicio 5.37
El sistema doble integrador, con perı́odo de muestreo de 1s, se controla con:
z − 0.95
Gc (z) = .
z − 0.15
Diseñe un filtro Bessel de segundo orden de antireplegamiento de frecuencia con frecuencia de
corte de ω0 = 5rad/s; analice los desempeños del sistema con y sin filtro ante un escalón de
entrada. Compare las respuestas temporales para ambos casos si existe un ruido senoidal en la
realimentación con frecuencia de 20rad/s.
Ejercicio 5.38
Para el sistema dinámico:

0 1
ẋ(t) = Ax(t) + R(t), (5.130)
1 0

0 1
C(t) = x(t), (5.131)
1 0
calcule:
1. Los valores propios y vectores propios derechos.
2. La matriz de transición de estados.
3. Las salidas
para:

1 µ(t)
x(0) = , R(t) = .
0 µ(t)
4. Las ganancias transitorias, estacionarias y los ceros de la matriz de transición de estados.
Para cada una de las siguientes matrices sistema:

0 1
1. A = .
−2 −1

0 1
2. A = .
−1 0

0 1
3. A = .
1 0
Ejercicio 5.39
Para el sistema de la figura, escriba las ecuaciones dinámicas y resuélvalas para obtener c(t)
con x(0) = [1 0 0]T y R(s) = 1/s.
Ejercicio 5.40
En el ejercicio 2.21 se obtuvo un modelo en espacio de estados para las ecuaciones diferen-
ciales:
ċ1 − 2c2 + c1 = 0,
c̈2 + 3ċ2 + 8c2 + 3c1 = u̇1 + 3u1 + 3u2 .
Para el sistema, calcule:

R(s) + E(s) 10 C(s)

s(s+4)(s+5)
−
1. Los valores propios y vectores propios derechos asociados al sistema.
3. Calcule la evolución temporal de c1 (t) y c2 (t) debida a las condiciones iniciales: c1 (0) = 1,
u1 (0) = u2 (0) = 0, c2 (0) = 1, ċ2 (0) = 0; u1 = u2 = 0.
Ejercicio 5.41
En el ejercicio 2.22 se obtuvo un modelo en espacio de estados para las ecuaciones diferen-
ciales:
ċ1 + c1 + c2 = u1 ,
ċ2 + c2 − c1 = u2 .
Para el sistema, calcule:
1. Los valores propios y vectores propios derechos.

3. Calcule la evolución temporal de c1 (t) y c2 (t) debida a las condiciones iniciales: c1 (0) = 0
c2 (0) = 1; u1 = u2 = 0.
Ejercicio 5.42
Para el el sistema:
r(t) = µ(t) + e(t) C(t)

1
ROC s+1 C(kT )
− T =1
T =1
Escriba las ecuaciones dinámicas discretas y resuélvalas para obtener c(kT ), con c(0) = 1,
ċ(0) = 0.
Ejercicio 5.43
En el ejercicio 3.10, se obtuvo la representación de estado de tiempo discreto para el sistema
de la figura 3.35; calcule c(kT ) si r(kT ) = 0, c(t = 0) = 1 y T = 1s.

Ejercicio 5.44
Para el sistema de la figura 5.87, las ecuaciones de estado son:
ẋ1 = x2 ,
ẋ2 = −2x1 + 3x2 + r.

Obtenga las ecuaciones de estado discretas con T = 0.2seg y resuélvalas para calcular c(kT ),
si la entrada U (t) es un escalón unitario y las condiciones iniciales son nulas.
C ∗ (t)
U (t) U ∗ (t) r(t) C(t) T
T
ROC ẋ = Ax + Br
Ejercicio 5.45
Sea el sistema de la figura 5.88; obtenga las ecuaciones de estado y de salida discretas para
el sistema en red cerrada.
r(t) + u(kT ) ẋ1 = −x1 + u c(t)

T
ROC ẋ2 = −x1
c = −x2
−
Figura 5.88: Sistema de control del ejercicio 5.45.
Ejercicio 5.46
Luego del modelado matemático de un sistema, se obtiene su representación de estado:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −x1 − 2x2 + u
c= x1 .
Si el sistema se muestrea con un perı́odo de T = 0.5s y tiene un retenedor de orden cero,

obtenga la representación de estado en tiempo discreto. Calcule la respuesta del sistema para
las condiciones iniciales: x1 = 1, x2 = 0.
Ejercicio 5.47
Calcule el modelo de tiempo continuo para el modelo discreto con las matrices de su repre-
sentación de estado:
1.723 −0.741 0.125
G= ;B = .
1 0 0

Ejercicio 5.48
Un sistema de control digital con perı́odo de muestreo de un segundo, controla la planta con
función de transferencia:
0.25
G(s) = 2 .
s + 0.4s + 0.25
El sistema se controla de forma que la ecuación caracterı́stica del sistema realimentado sea
dominada por el polinomio: z 2 + 0.5z + 0.25. Al comparar las dinámicas de ambos sistemas,
se puede afirmar que el sistema realimentado es más
A. rápido y amortiguado.
B. lento y amortiguado.
C. rápido y oscilatorio.
D. lento y oscilatorio.
Ejercicio 5.49
Un proceso con función de transferencia: G(s) = 1/(s + 1), se le regula su salida con el
controlador proporcional integral: k(s + 9/4)/s . Se √
requiere que el sistema en lazo cerrado
responda con un coeficiente de amortiguamiento de 2/2; cumpliendo este requerimiento, el
ajuste para la ganancia proporcional k del controlador que da la velocidad de respuesta más
rápida posible, es
A. k = 1/2.
B. k = 1.
C. k = 2.
D. k = 4.
Ejercicio 5.50
Luego del modelado matemático de un sistema, se obtiene su representación de estado:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −x1 + u
c= x1 .
Si el sistema se muestrea con un perı́odo de T = 0.5s y tiene un retenedor de orden cero, la
matriz del sistema para su representación de estado en tiempo discreto es

0.88 0.48
A. .
0.48 −0.88

0.88 0.48
B. .
−0.48 0.88

−0.88 0.48
C. .
0.48 −0.88

0.88 −0.48
D. .
0.48 0.88


1. Analice las caracterı́sticas de la respuesta temporal continua para el sistema en red abierta.
2. Analice las limitaciones estructurales en el desempeño de la respuesta temporal (continuo

o discreta) del sistema de control.
3. Defina especificaciones deseadas de desempeño para la respuesta temporal dominante del

sistema de control; muestre las especificaciones para la respuesta transitoria como un área
deseada para las raı́ces de red cerrada.
4. Simule el sistema de control con un controlador P, PI, PD o PID ajustado con un método
empı́rico (ver próximo capı́tulo); verifique si se cumplen las especificaciones deseadas de
desempeño (tiempo continuo o discreto).
5. Realice las actividades sugeridas de proyecto para el capı́tulo 4, mediante el análisis de la

respuesta temporal visto en este capı́tulo.
6. Analice los efectos en el comportamiento del sistema realimentado en cuanto a: ruido,

alinealidades y dinámica del sensor; diseñe filtros de antiplegamiento y analice su efecto
en el comportamiento del sistema de control digital.
7. Analice en simulación los efectos en el desempeño del sistema de control debidos a las
alinealidades en el actuador.
8. Analice el desempeño del sistema con respecto a los disturbios.
9. Para el sistema de control digital, seleccione un perı́odo de muestreo apropiado (ver sección
6.7.8); analice la posibilidad de oscilaciones ocultas y el efecto de la cuantización en los
conversores A/D y D/A.
10. Analice la respuesta temporal del sistema de control para su representación en el espacio
de estado (continua y/o discreta); evalúe las ganancias transitoria y estacionaria y los
ceros de la matriz de transferencia del sistema.

Capı́tulo 6
Análisis de las acciones de control
6.1. Introducción
Un control automático compara el valor medido de la salida de una planta con el valor
deseado, determina la desviación y produce una señal de control que busca reducir la desviación
a cero o a un valor pequeño. La forma en que el control automático produce la señal de control
recibe el nombre de acción de control.
En este capı́tulo se presentan las acciones de control básicas utilizadas comúnmente en los
controles automáticos industriales; se estudiarán las acciones de control serie que calculan la
acción de control a partir del error: Todo-Nada, Proporcional (P), Integral(D), Proporcional-
Integral (PI), Proporcional-Derivativa (PD), Proporcional-Integral-Derivativa (PID) y de ade-
lanto atraso; para la acción de control PID se analizarán los principales efectos de cada compo-
nente en el funcionamiento del sistema, se presentarán criterios de ajuste empı́ricos, los cuales
utilizan pocas mediciones sobre la planta real para aplicar una regla heurı́stica de ajuste. Se
introducirá el diseño por asignación de polos para plantas hasta de segundo orden con un
controlador PID.
Se analizará la extensión del algoritmo PID al general RST, el cual utiliza filtros de cualquier
orden sobre la referencia, la señal de realimentación y el error con lo que se explota plenamente
la flexibilidad de programación de los sistemas de control digitales; también se analizará la
representación general de estado de una acción de control.
Finalmente se presentará la forma de implementar estas acciones de control, la análoga
mediante amplificadores operacionales y los algoritmos de las ecuaciones de recurrencia para la
implementación digital; para esta última, se analizarán aspectos prácticos como la selección del
perı́odo de muestreo, la longitud de palabra, compensación de efectos no lineales y aspectos de
operación.
Lúdica 6.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 30 minutos y requiere de un plano, un cilindro
de alrededor 5cm de diámetro, un cilindro con diámetro menor a 2cm y peso mayor a 100g (un
marcador para tablero) y una regla.
1. Apoye el centro del plano sobre el cilindro de mayor diámetro y ambos sobre una superficie
plana; con posición inicial de un extremo del plano apoyado a la superficie, lleve el cilindro
324
6.2. ACCIÓN TODO NADA
pequeño desde el otro extremo al centro del plano; hágalo solo apoyando rápidamente los
extremos del plano a la superficie. Analice que tan rápido se posiciona el cilindro cerca
del centro y con qué error permanente lo hace.
2. Ahora se trabaja el plano como en la lúdica 3.1 (alcance del cilindro pequeño de 3m
±3cm de error). Calcule la altura del plano, como 7cm más un veinteavo del error; repita
el experimento hasta diez veces o hasta que el cilindro alcance una distancia dentro de la
banda admisible de 2.97 a 3.03m. Tabule los datos en una tabla y grafı́quelos.
3. Calcule la nueva altura del plano como la altura anterior más un veinteavo del error.
Repita el experimento hasta diez veces o hasta alcanzar la banda admisible de error.
Tabule los datos en una tabla y grafı́quelos.
4. Calcule la nueva altura del plano como la mitad del error medido más un veinteavo de la
diferencia entre el error medido y el error anterior. Repita el experimento hasta diez veces
o hasta alcanzar la banda admisible del error. Tabule los datos en una tabla y grafı́quenlos.
5. Realice otros experimentos de 2 a 4 con mayores ganancias del error.
6. ¿Que puede concluir sobre la forma de la evolución del error para los diferentes algoritmos?
¿Cómo cambian los desempeños para cada caso? ¿Qué tipo de acción de control se realiza
en los pasos 2 a 4? ¿Cuales son los parámetros de cada ley de control? ¿Cómo cambian
los desempeños para cada caso?
6.2. Acción Todo Nada

En el paso 1 de la lúdica anterior, la inclinación del plano (la señal de control) solo toma
dos posiciones, lo que exige conmutar rápidamente entre ambas para poder mantener el cilindro
cerca al centro. Esta acción de control se denomina Todo Nada (On Off en inglés). El controlador
Todo Nada es una forma simple de implementar un control de alta ganancia; por su simplicidad
y economı́a, es de uso extendido en control de sistemas de bajo orden.
6.2.1. Definición
La figura 6.1 muestra el diagrama de bloques de esta acción de control. Es una acción muy
Figura 6.1: Acción de control Todo Nada.

6.2. ACCIÓN TODO NADA
simple en donde la señal de control solo tiene dos valores: A1 para errores positivos y A2 para
errores negativos:
A1 , si e(t) > H/2
a(t) = .
A2 , si e(t) < −H/2
Generalmente A2 es cero o −A1 ; también se puede tener un controlador de tres posiciones
diferentes: A1 , A2 y cero. La histéresis H, es el rango en el cual se debe desplazar la señal de
control antes de que se produzca la conmutación; con ello la señal de control mantiene su valor
hasta que el error supere ±H/2, con lo que se limita la frecuencia de conmutación.
Nótese que el controlador Todo Nada es no lineal, convirtiendo la señal análoga o discreta
del error en una señal de control cuantificada con dos o tres posiciones.
6.2.2. Funcionamiento
El funcionamiento de este controlador se ilustrará con un ejemplo.
Ejemplo 6.1
La figura 6.2 muestra el diagrama de bloques en SIMULINK para simular el control Todo
Nada de un sistema de primer orden con constante de tiempo τ =1s; el controlador tiene los
parámetros: A1 = 2, A2 = 0 y H = 0.2.
Figura 6.2: Modelo del sistema de control Todo-Nada.
La figura 6.3 muestra la simulación del sistema de control; se aplica un escalón durante 2s y
luego la referencia es nula; la salida busca la referencia de 1 y se queda oscilando a su alrededor
con error de ±0,1; se observa que la evolución de la oscilación corresponde a los transitorios de
subida y bajada. Como el rango de variación de la señal de control (de cero a dos) es simétrico
con respecto al valor requerido para lograr la referencia de uno, la duración de la señal de
control en A1 es igual a la duración de la señal en A2 .
Con la salida oscilando dentro de la histéresis, si H ≪ ref , la evolución temporal se puede
aproximar a una recta con pendiente ±ref /τ ; luego el perı́odo TT N de la oscilación es:
2τ H
TT N ≈ . (6.1)
ref
Esta ecuación permite relacionar la frecuencia de la oscilación con la histéresis; hay por lo tanto
un compromiso entre la precisión permanente (baja H) y el perı́odo de la oscilación TT N el cual
se busca grande para evitar un desgaste excesivo del actuador. △

6.3. ACCIÓN PID
1.5
ref(t), c(t)
TTN c(t)
0.5
ref(t)
0
0 1 2 3 4 5
2
a(t)
−1
0 1 2 3 4 5
Tiempo(s)
Figura 6.3: Respuesta del sistema de control Todo-Nada.
6.3. Acción PID

En los pasos 2 a 4 la señal de control (inclinación del plano) se calcula como Proporcional
al error (paso 2), a su Integral (paso 3) y a la suma de un término proporcional al error con
otro proporcional a la Derivada del error (paso 4). Este tipo de acción de control se denomina
PID por sus componentes Proporcional, Integral y Derivativa del error:
Z t
d
a(t) = kp e(t) + ki e(t)dt + kd e(t). (6.2)
0 dt
Este controlador es el más utilizado en la industria por su sencillez, facilidad de ajuste,
flexibilidad y robustez; se usa en cerca del 95 % de los lazos de control industriales.
En esta sección se estudiarán cada una de estas acciones, definiéndola y analizando sus
efectos en el comportamiento del sistema.
6.3.1. Acción Proporcional P

6.3.1.1. Definición
La figura 6.4 muestra el diagrama de bloques de este controlador. La acción de control
Proporcional genera la señal de control de la forma:
a(t) = kp e(t).

6.3. ACCIÓN PID
r(t) + e(t) a(t)

kp
−
b(t)
Figura 6.4: Controlador Proporcional.
kp es la ganancia proporcional .
Históricamente también se ha usado el término Banda Proporcional BP [ %] para definir la
ganancia; es la relación entre la desviación porcentual del error a la variación en el pleno rango
de la señal de control:
aM ax − aM in [ %]
BP [ %] = ,
kp
si la variación de la señal de control es del 100 % como es la práctica usual:
100
BP [ %] = . (6.3)
kp
6.3.1.2. Funcionamiento
Para analizar los efectos de la acción Proporcional, se considera el sistema de control de la
excitación con un controlador P, ver la figura 6.5.
VR (s) + 1 VT (s)
−
kp τG s+1
Figura 6.5: Control proporcional de la excitación.

VT (s) kp /(1 + kp )
= τG .
VR (s) 1+kp s + 1
τG
La constante de tiempo equivalente del sistema en red cerrada es: τeq = , luego a
1 + kp
mayor acción proporcional, mayor es la velocidad de respuesta.
1
Para el régimen estacionario, el error de posición es: essp = 1+k p
; a este error se le de-
nomina corrimiento y disminuye, aumentando la ganancia proporcional kp . El corrimiento es
caraterı́stico de una planta tipo cero sujeta a una acción P. Plantas tipo 1 o mayor, no tienen
corrimiento respecto a la referencia, pero como se analizó en el capı́tulo anterior sección 5.4.3,
si existe por señales perturbadoras de entrada a la planta; para la figura 6.6, con un escalón
unitario de disturbio, el error permanente es: esspd = G−1 c (0)
= − k1p , existe por tanto un error
permanente debido al disturbio, el cual se puede disminuir usando alta ganancia proporcional en
el controlador, respetando el grado de estabilidad requerido; por las limitaciones en estabilidad,
plantas de alta ganancia tendrán menor ganancia proporcional con mayor corrimiento.

6.3. ACCIÓN PID
D(s)
+
R(s) + E(s) 1 C(s)
−
kp + s(τs+1)
Figura 6.6: Planta tipo 1 con acción P y disturbio de entrada.
El uso de alta ganancia para disminuir el error permanente en sistemas de orden 2 o más,
se limita por la pérdida de amortiguamiento, generándose oscilaciones y llegando incluso a
producir inestabilidad. El error permanente se puede eliminar de forma manual adicionando
una compensación en la señal de control ab (t); usualmente esta compensación se ajusta en el
control manual como el valor requerido en la señal de control para la operación nominal; en
control automático se mantiene constante por lo que la compensación solo es efectiva hasta
que varı́e la magnitud del disturbio o la ganancia del proceso; el error se corrige de manera
automática utilizando la acción integral.
6.3.2. Acción Integral I

La figura 6.7 muestra el diagrama de bloques de este controlador.
Figura 6.7: Controlador Integral.
La acción integral genera la señal de control de la forma:

Z t
a(t) = ki e(t)d(t);
0
ki
A(s) = E(s),
s
donde ki , se denomina ganancia integral ; ki = 1/TI , donde TI es el tiempo de acción integral .
Este tiempo corresponde al tiempo que tarda la señal de control en alcanzar la señal de error,
cuando se aplica un escalón de error en lazo abierto, como se ilustra en la figura 6.8.
Se observa que a menor tiempo integral TI , mayor es la pendiente en la señal de control a(t)
y por tanto mayor es la acción integral. Al tiempo integral se le denomina también tiempo de
reposición, en alusión a la corrección automática del corrimiento de la acción P. A ki = 1/TI

6.3. ACCIÓN PID
a(t)
e(t)
TI t
Figura 6.8: Respuesta al escalón de la acción Integral.
también se le denomina Frecuencia de Reposición [RPM]; corresponde al número de veces por

minuto en que la acción I alcanza el escalón de error. Una frecuencia de reposición de 2 RPM
indica que en un minuto la señal de control a(t) ha duplicado el escalón de error e(t).
Para analizar los efectos de la acción integral, se considera el sistema de control de la
excitación sujeto a una acción Integral; la función de transferencia de red abierta es:
1
GH(s) = .
TI s(τG s + 1)
La función de transferencia del sistema es:
VT (s) 1 1/TI τG
= = 2 ,
VR (s) TI s(τG s + 1) + 1 s + τ1G s + 1/TI τG
p q
luego la frecuencia natural es ωn = 1/TI τG y el coeficiente de amortiguamiento: ρ = 21 τTGI .
El sistema ahora puede ser subamortiguado oscilatorio a diferencia del lazo abierto que es de
primer orden; como se ha aumentado en uno el grado de la ecuación caracterı́stica, se tiene un
sistema menos estable.
Ahora se compara la velocidad de respuesta de la acción I con respecto a la P; con la acción
P la velocidad de respuesta es:
ts = 4τeq = 4τG /(1 + kp ).
Con la acción I, asumiendo que el sistema es subamortiguado:
1
ts = 4/ρωn ; ρωn = , ts = 8τG .
2τG
El sistema controlado con acción P es mucho más rápido que el lazo abierto, mientras que
con la acción I, se hace dos veces más lento. Como la acción de control Integral actúa con el
error acumulado, es una acción lenta.
Para el análisis del régimen estacionario, el sistema con la acción integral es tipo 1, luego
la constante de error de posición es infinita y el error permanente de posición nulo; también se
eliminan los errores permanentes debidos a los disturbios, ver la sección 5.4.3.

6.3. ACCIÓN PID
Obsérvese que la señal de control en un instante dado, es el área bajo la curva del error
hasta ese momento; por ello, si el error es nulo, la señal de control no necesariamente debe ser
nula; el valor que permanece se denomina remanencia estacionaria RE, ver la figura 6.9.
e(t)
a(t)
RE
t
Figura 6.9: Remanencia estacionaria de la acción Integral.
Por otro lado, un efecto indeseado de la acción de control se da con la saturación del actuador;
el ejemplo 5.10 mostró cómo durante la saturación del actuador, la integración del error en red
abierta genera oscilaciones indeseables en el sistema.
6.3.3. Acción Proporcional Integral PI

La figura 6.10 muestra el diagrama de bloques de esta acción de control.
R(s) + E(s) kp (1+TI s) A(s)
− TI s
B(s)
Figura 6.10: Controlador Proporcional Integral.
La señal de control es una combinación de las acciones P e I:

Z t
kp
a(t) = kp e(t) + e(t)dt;
TI 0
A(s) kp (1 + TI s)
= .
E(s) TI s
La respuesta al escalón en el error e(t), en lazo abierto se muestra en la figura 6.11. En este
caso la frecuencia de reposición 1/TI es el número de veces por minuto que la acción I duplica
la componente de acción P.

6.3. ACCIÓN PID
a(t)
2kp acción PI
kp
acción P
TI t
Figura 6.11: Respuesta al escalón de la acción Proporcional Integral.
Para el análisis, se considera al sistema de control de la excitación con acción PI, ver la
figura 6.12.
VR (s) + kp (1+TI s) 1 VT (s)

− TI s τG s+1
Figura 6.12: Control proporcional integral de la excitación.
La función de transferencia es:

VT (s) kp (TI s + 1)/TI τG
= 1+k k
.
VR (s) 2
s + τG p s + TI pτG
El coeficiente de amortiguamiento:
r
1 + kp 1 TI
ρ= p
kp 2 τG
1 + kp
se incrementa en el factor p con respecto al amortiguamiento calculado para la acción I,
kp
por lo tanto, la adición del cero mejora el amortiguamiento.
4τG
En cuanto a la velocidad de respuesta el tiempo de estabilización es: ts = , más rápido
1 + kp
que con la acción I; sinembargo, para un amortiguamiento ρ apropiado, la ganancia kp con la
acción PI es menor que la obtenida para la acción P y por ello, la acción PI es más lenta que
la P.
Para el comportamiento en régimen estacionario, de nuevo el sistema es tipo 1 y el e-rror
de posición es nulo essp = 0, eliminando el corrimiento. El PI también elimina los errores
permanentes debidos a perturbaciones a la entrada o salida del proceso.
Como la acción de control PI aprovecha las ventajas de las acciones P e I, es la acción de
control de mayor uso en sistemas de control.

6.3. ACCIÓN PID
6.3.4. Acción Proporcional Derivativa PD

La figura 6.13 muestra el diagrama de bloques del controlador PD.
R(s) + E(s) A(s)

kp (1 + Td s)
−
B(s)
Figura 6.13: Control Proporcional Derivativo.
La señal de control es una combinación de las acciones P y D:

d
a(t) = kp e(t) + kp Td e(t);
dt
A(s)
= kp (1 + Td s),
E(s)
Td : es el tiempo derivativo, es el tiempo que tarda en alcanzar la acción P a la acción D cuando
el error es una rampa en lazo abierto, ver la figura 6.14.
a(t)
PD
P
Td t
Figura 6.14: Respuesta a la rampa de la acción Proporcional Derivativa.
Td también corresponde al tiempo que adelanta la acción derivativa a la acción proporcional,

esto es un efecto anticipativo, por ello se la llama también, tiempo de preacción. La acción de
control derivativa es rápida pues actúa en función de la rata de variación del error; en régimen
estacionario constante esta acción es nula por lo que en un controlador en serie con el error,
requiere el uso de la acción proporcional.
La acción derivativa pura tiene alta ganancia en alta frecuencia; con ello genera señales
muy grandes con cambios rápidos de la referencia o por el ruido de la medición; como se
analizó en la sección 5.8.1 para evitar amplificar el ruido de medición se requiere limitar la
ganancia del controlador en alta frecuencia; por ello la acción PD se filtra, teniendo la función
de transferencia:
A(s) (1 + Td s)
= kp (6.4)
E(s) (1 + Td′ s)

6.3. ACCIÓN PID
donde Td′ es la constante de tiempo del filtro; tı́picamente los controladores industriales definen
esta constante como una fracción de la constante de tiempo derivativa:
Td
Td′ = ,
N
con N en el rango: 3 ≤ N ≤ 20.
Para el análisis, se considera un sistema de control de la excitación con excitatriz DC y
acción PD, como se muestra en la figura 6.15.
IL (s)
+
VR (s) + 1 1 VT (s)
kp (1 + Td s) τE s+1 τG s+1 +
−
Figura 6.15: Control proporcional derivativo de la excitación.

kp
VT (s) τE τG (1 + Td s)
= τE +τG +kp +Td 1+kp
.
VR (s) s2 + s+
τE τG τE τG
Se observa que la constante de tiempo derivativa Td aumenta el coeficiente del término en s y

por lo tanto mejora el amortiguamiento del sistema realimentado.
Los errores permanentes de posición y debidos al disturbio IL son:
1 1
essp = , esspd = − .
1 + kp kp
Ambos errores se mejoran aumentando kp ; ası́, aunque la acción D no afecta directamente el

error permanente, al añadir amortiguamiento se puede usar una mayor ganancia proporcional
y se pueden disminuir los errores permanentes de posición essp y debidos a los disturbios esspd .
6.3.5. Acción Proporcional Integral Derivativa PID

La figura 6.16 muestra el diagrama de bloques y su reducción para el controlador PID
paralelo.
La señal de control se obtiene de la suma de las acciones Proporcional, Integral y Derivativa:
Z t
k d
a(t) = ke(t) + e(t)dt + kT2 e(t), (6.5)
T1 0 dt

6.3. ACCIÓN PID
k
R
+ k + A
− T1 s +
+
B
kT2 s
R(s) + E(s) k(1+T1 s+T1 T2 s2 ) A(s)
− T1 s
B(s)
Figura 6.16: Control Proporcional Integral Derivativo paralelo.
donde el error e(t) = r(t)−b(t); como la ganancia k afecta las tres componentes del controlador,
se le denomina PID dependiente paralelo; la forma de la ecuación (6.2) se conoce como PID
independiente paralelo.
Las figuras 6.17 y 6.18 muestran las respuestas del controlador en red abierta al escalón y a
la rampa en el error, respectivamente.
a(t)
impulso
Figura 6.17: Respuesta al escalón de la acción Proporcional Integral Derivativa.
a(t) PID
PD
Figura 6.18: Respuesta a la rampa de la acción Proporcional Integral Derivativa.

6.3. ACCIÓN PID
La función de transferencia de la ley de control (6.5) es:

A(s) 1
=k 1+ + T2 s . (6.6)
E(s) T1 s
q
1 +
Los ceros del controlador son: Z1−2 = − − T1 2 − 4T1 T2 , son reales si T1 > 4T2 ; en tal
2T2
caso, la función de transferencia del controlador es:
A(s) kp (1 + TI s)(1 + Td s)
= (6.7)
E(s) TI s
donde: kp = k/T1 Z1 , TI = −1/Z1 , Td = −1/Z2 . Con ceros reales, se tiene una cascada de
un PI y un PD, en tal caso se denomina PID interactivo dependiente o serie. Este controlador
también se le añade el filtrado de la derivación con constante de tiempo Td′ .
Se considera el sistema de control de la excitación con excitatriz, actuador de dinámica
apreciable y acción de control PID, ver la figura 6.19.
IL (s)
+
VR (s) + kp (TI s+1)(Td s+1) 1 1 1 VT (s)
− TI s τA s+1 τE s+1 τG s+1 +
Figura 6.19: Control proporcional, integral y derivativo de la excitación.
Con TI = τG , Td = τE , τA = 0.5, se obtiene el diagrama de bloques:

IL (s)
+
VR (s) + kp 1 VT (s)
− TI s τA s+1 +
Figura 6.20: Control proporcional, integral y derivativo de la excitación.

VT (s) kp /TI τA
= k
.
VR (s) s + τ1A s + TI pτA
2
El tiempo de estabilización es: ts ≃ 4τA = 1.5s, luego el sistema tiene una alta velocidad de
respuesta en red cerrada. q
TI
El coeficiente de amortiguamiento es: ρ = √1 τ , se puede ajustar con la ganancia
2 kp A
proporcional; para kp = 10, se obtiene un amortiguamiento apropiado de ρ = 0.5.

6.3. ACCIÓN PID
Como el sistema es tipo 1 por la acción integral en el controlador, los errores permanentes
de posición y de los disturbios son nulos: essp = esspd = 0.
El controlador PID suma las caracterı́sticas de funcionamiento de las acciones P, I y D.
6.3.6. Ajuste empı́rico

Los métodos empı́ricos de ajuste han sido una manera de ajustar el controlador PID a partir
de mediciones realizadas sobre la planta real y usando una regla heurı́stica para su ajuste. Por
ahorra esfuerzos en el modelado son de amplio uso en la práctica; en esta sección se estudiarán
los métodos más conocidos:
1. El método de oscilación de Ziegler-Nichols (Z-N).
2. El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols.
3. El método de la curva de reacción de Cohen-Coon.
6.3.6.1. El método de oscilación de Ziegler-Nichols

El método de oscilación de Ziegler-Nichols solo es válido para plantas estables en red abierta;
aplica para la forma estándar del controlador como en la figura 6.16; esto es para:
A(s) 1 Td s
= kp 1 + + . (6.8)
E(s) TI s 1 + TNd s
El método se aplica mediante los siguientes pasos:
1. Usar sólo el control proporcional con ganancia proporcional kp pequeña.
2. Aplicar escalones de pequeña señal y observar la señal de control a(t), aumentando progre-
sivamente la ganancia proporcional kp , hasta observar una oscilación sostenida; la oscila-
ción debe ser lineal y no debe confundirse con las variaciones producidas por amplificación
del ruido de medición.
3. Registrar la ganancia para la cual se obtiene la oscilación, ganancia crı́tica kp = kc y el

perı́odo de esta oscilación Tc .
4. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo a la tabla:
Tabla 6.1: Ajuste del PID con el método de oscilación de Ziegler-Nichols.
Acción kp TI Td
P 0.50kc − −
PI 0.45kc Tc /1.2 −
PID 0.60kc 0.5Tc Tc /8

6.3. ACCIÓN PID
El ajuste busca un sistema subamortiguado con decaimiento del segundo pico al primero de
1/4, para procesos de primer orden con tiempo muerto:
ke−Tm s
Gp (s) = . (6.9)
τs + 1
La figura 6.21 muestra las respuestas al escalón de referencia para sistemas con modelo
dado por (6.9), para k = 1, τ = 1s y diferentes tiempos muertos: Tm = 0.5, 1 y 2s. Se
utilizó un controlador PI ajustado mediante el método de oscilación de Ziegler-Nichols. La
tabla 6.2 presenta los resultados de aplicar el método y el ajuste de los controladores para cada
proceso.
1.4
1.2
Tm=0.5
Tm=1
0.8
c(t)
0.6
Tm=2
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Tiempo (s)
Figura 6.21: Desempeños, método de oscilación de Z-N, para PI con primer orden y varios Tm .
Tabla 6.2: Ajuste del PI con el método de oscilación de Ziegler-Nichols.
Tiempo muerto kc Tc kp TI
0.5 3.8 1.7 1.71 1.42
1 2.26 3.1 1.02 2.58
2 1.52 5.5 0.68 4.58
Se observa una gran sensibilidad del desempeño del sistema con la relación Tm /τ ; el método
busca la ganancia para el sistema marginalmente estable, forzar esta condición en el proceso

6.3. ACCIÓN PID
puede ser inconveniente y riesgoso, por ello existe una versión modificada que busca la osci-
lación con decaimiento entre picos de 1/4; el método busca un desempeño en red cerrada con
decaimiento a un cuarto entre picos, lo que corresponde a un bajo amortiguamiento, pues para
un sistema de segundo orden, el decamiento del rebase máximo a un cuarto corresponde a un
amortiguamiento aproximado de ρ =0.25.
6.3.6.2. El método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols

El modelo del proceso (6.9) se puede obtener fácilmente a partir de la respuesta al escalón
de entrada en pequeña señal. El método de la curva de reacción busca identificar el modelo
y a partir de ello ajustar el controlador PID. Este método aplica para la forma estándar del
controlador ecuación (6.8). El método se aplica mediante los siguientes pasos:
1. Llevar en control manual la planta cerca a su punto de operación nominal; la salida en

este punto se denota por y(t) = yi y la entrada por u(t) = ui .
2. En un instante inicial t0 se aplica un cambio de escalón en la entrada de ui a uf ; el escalón

debe ser pequeño (5-10 %), sin saturar el actuador.
3. Se registra la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación, ver la figura
6.22.
yf
Tangente de
máxima pendiente
c(t)
yi
0 t0 t1 t2
Tiempo (s)
Figura 6.22: Curva de reacción del proceso.

6.3. ACCIÓN PID
4. Se calculan los parámetros del modelo con las ecuaciones:

yf − yi
k= ; T m = t1 − t0 ; τ = t2 − t1 ; (6.10)
uf − ui
en donde los tiempos t1 y t2 se obtienen como se muestra en la figura 6.22.
5. Ajustar los parámetros del controlador PID de acuerdo a la tabla 6.3.
Tabla 6.3: Ajuste del PID con el método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols.
Acción kp TI Td
P τ /kTm − −
PI 0.9τ /kTm 3Tm −
PID 1.2τ /kTm 2Tm 0.5Tm
La figura 6.23 muestra las respuestas al escalón de referencia para sistemas con modelo
dado por (6.9), para k = 1, τ = 1s y diferentes tiempos muertos: Tm = 0.5, 1 y 2s, usando
el controlador PI ajustado mediante el método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols. La
tabla 6.4 presenta los parámetros de ajuste de los controladores para cada proceso.
1.4
1.2
Tm=0.5
0.8
Tm=1
c(t)
0.6
0.4
Tm=2
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Tiempo (s)
Figura 6.23: Desempeños, método curva de reacción de Z-N, PI con primer orden y varios Tm .
Se observa igualmente una gran sensibilidad del desempeño del sistema con la relación Tm /τ .

6.3. ACCIÓN PID
Tabla 6.4: Ajuste del PI con el método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols.
Tiempo muerto kp TI
0.5 1.8 1.5
1 0.9 3
2 0.45 6
6.3.6.3. El método de la curva de reacción de Cohen-Coon

Para mermar la sensibilidad del desempeño del sistema con la relación Tm /τ del ajuste con
la curva de reacción de Ziegler y Nichols, para la misma curva Cohen y Coon propusieron el
ajuste de la tabla 6.5.
Tabla 6.5: Ajuste del PID con el método de la curva de reacción de Cohen-Coon.
Acción kp TI Td
τ
P kTm (1 + Tm /3τ ) − −
τ
PI kTm (0.9 + Tm /12τ ) Tm (30τ + 3Tm )/(9τ + 20Tm ) −
τ
PID kTm (4/3 + Tm /4τ ) Tm (32τ + 6Tm )/(13τ + 8Tm ) 4Tm τ /(11τ + 2Tm )
La figura 6.24 muestra las respuestas al escalón de referencia para los sistemas analizados
anteriormente, con el controlador PI ajustado con la tabla de Cohen-Coon para la curva de
reacción. La tabla 6.6 presenta los parámetros de ajuste de los controladores para cada proceso.
Tabla 6.6: Ajuste del PI con el método de la curva de reacción de Cohen-Coon.
Tiempo muerto kp TI
0.5 1.88 0.83
1 0.98 1.14
2 0.53 1.47
Aunque hay sensibilidad del desempeño del sistema con la relación Tm /τ , esta es menor
que con el método de Ziegler Nichols; se observa en las respuestas transitorios que se presentan
sobrepasos elevados.
De las respuestas obtenidas se observa que los métodos empı́ricos tienen limitaciones aunque
se pueden usar como una guı́a inicial para el ajuste. En el capı́tulo 10 se presentarán métodos
más rigurosos que permiten ajustar los parámetros del controlador para obtener la dinámica
deseada de red cerrada. El programa MATLAB tiene ayudas para la sintonı́a automática del
controlador PID, ver en el GUI SISOTOOL, la pestaña Automated Tuning opción PID Tuning,

6.3. ACCIÓN PID
1.6
Tm=0.5
1.4
Tm=1
1.2
1
c(t)
0.8
0.6
Tm=2
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Tiempo (s)
Figura 6.24: Desempeños, curva de reacción de Cohen-Coon, PI con primer orden y varios Tm .
Classical Design Formulas, Formulas: Ziegler-Nichols frequency response, Ziegler-Nichols step

response.
Para propósitos de comparación, la figura 10.48 muestra los desempeños logrados con un
controlador PI y un predictor de Smith; si se conoce bien la dinámica del proceso, este pre-
dictor permite ajustar el controlador PI de forma independiente del tiempo muerto; nótese la
uniformidad del transitorio lograda independientemente de la relación Tm /τ .
6.3.7. Ajuste por asignación de polos

En esta sección se presenta una introducción al diseño por asignación de polos, aplicado al
caso de controladores PID; la generalización de la técnica se presentará en la sección 10.4. Las
funciones de sensibilidad definen los desempeños del sistema a la referencia, los disturbios y
las incertidumbres; todas ellas tienen como polos las raı́ces de la ecuación caracterı́stica. Con
la asignación de polos se obtiene el controlador Gc (s) para el sistema a controlar: Gp (s), que
define una ecuación caracterı́stica dada en red cerrada: P (s) = 0.
En esta sección se considera el controlador PID estándar:
!
Nc (s) ki kd s
Gc (s) = = kp 1 + + ,
Dc (s) s kd
1+ s
N

6.3. ACCIÓN PID
el cual se diseñará a partir de la forma polinómica:

Nc (s) n2 s2 + n1 s + n0
= (6.11)
Dc (s) d2 s 2 + d1 s
en donde:
d1 = 1/kp
kd
d2 = N kp
n0 = ki
n1 = (1 + ki kd /N )
n2 = kd (1 + 1/N ). (6.12)
Obtenidos los coeficientes ni , di , los parámetros del controlador PID son:
kp = 1/d1
ki = n0
kd = n2 − d2 /d1
d1 n2
N= d2 − 1. (6.13)
Como planta a controlar Gp (s) se considera a un sistema de segundo orden estrictamente propio:
B(s) b1 s + b0
Gp (s) = = 2
, b0 , a0 ≥ 0. (6.14)
A(s) a2 s + a1 s + a0
La condición b0 , a0 ≥ 0 implica que la planta es de respuesta directa; en caso de ser de respuesta
inversa, basta cambiar los signos de b0 y b1 y el resultante del diseño para kp .
La ecuación caracterı́stica deseada define el polinomio caracterı́stico P (s) del lazo cerrado:
P (s) = pnp snp + · · · + p1 s + p0 ,
este polinomio lo escoge el diseñador para cumplir con las especificaciones deseadas de desem-
peño; ası́, para obtener los polinomios del controlador Nc (s) y Dc (s), se debe resolver la ecuación:
A(s)Dc (s) + B(s)Nc (s) = P (s); (6.15)
esta ecuación se denomina ecuación diofántica y tiene solución si no existen factores comunes
entre A(s) y B(s) (son polinomios coprimos, sin cancelaciones polo-cero) y el orden de P (s) es:
np = 4 Goodwin et al [2001]. Reemplazando en (6.15) los polinomios definidos:
(a2 s2 + a1 s + a0 )(d2 s2 + d1 s) + (b1 s + b0 )(n2 s2 + n1 s + n0 ) = p4 s4 + p3 s3 + p2 s2 + p1 s + p0
desarrollando el producto de polinomios e igualando los coeficientes de ambos lados se obtiene
un juego de ecuaciones que permite calcular los coeficientes de los polinomios del controlador;
en forma matricial el conjunto de ecuaciones es:
    
0 0 b0 0 0 d1 p0
 a 0 0 b1 b0 0   d 2   p 1 
    
 a1 a0 0 b1 b0   n0  =  p2  (6.16)
    
 a2 a1 0 0 b1   n1   p3 
0 a2 0 0 0 n2 p4

6.3. ACCIÓN PID
cuya solución es:

   −1  
d1 0 0 b0 0 0 p0
 d2   a0 0 b1 b0 0   p1 
     
 n0 = a1 a0 0 b1 b0   p2 . (6.17)
     
 n1   a2 a1 0 0 b1   p3 
n2 0 a2 0 0 0 p4
La inversa de la matriz siempre existe si se cumple la condición de polinomios coprimos en el
modelo del proceso.
Ejemplo 6.2
Se desea diseñar un controlador PID para estabilizar al sistema oscilador:
1
Gp (s) = ; (6.18)
s2 +1
la dinámica de red cerrada se debe estabilizar con amortiguamiento de ρ = 0.7 y la misma
frecuencia natural: ωn = 1; el polinomio caracterı́stico se escoge:
P (s) = (s2 + 1.4s + 1)(s2 + 5.6s + 16) = s4 + 7s3 + 24.84s2 + 28s + 16
donde el segundo par de polos complejos se escogen alejados de los dominantes con ρ = 0.7 y
ωn = 4. La solución con el MATLAB es:
>> P=[16,28,24.84,7,1]’;
>> M=[0,0,1,0,0;1,0,0,1,0;0,1,0,0,1;1,0,0,0,0;0,1,0,0,0];
>> X=inv(M)*P
X =
7.0000
1.0000
16.0000
21.0000
23.8400
por lo tanto el controlador PID es:

>> Gc=zpk(tf([X(5) X(4) X(3)],[X(2) X(1) 0]))
Zero/pole/gain:
23.84 (s^2 + 0.8809s + 0.6711)
-------------------------------
s (s+7)
La figura 6.25 muestra las respuestas (salida, arriba; señal de control, abajo), del sistema con-
trolado ante escalones de referencia y disturbios de salida; se logra estabilizar al sistema en
red cerrada aunque hay señales de control muy grandes. Nótese que el controlador tiene ceros
complejos, por lo que debe ser un PID paralelo. △

6.4. ACCIÓN DE CONTROL DE ADELANTO ATRASO
Respuesta a la referencia Respuesta al disturbio

1
1
0.5
c(t)
c(t)
0.5
0
0 −0.5
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
30 10
20 0
u(t)
u(t)
10 −10
0 −20
−10 −30
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
Figura 6.25: Respuestas PID a cambios en referencia y disturbio.
Si hay restricciones adicionales como limitar la ganancia del controlador en alta frecuencia
para no amplificar el ruido de medición o si el sistema a controlar es de mayor orden, la
estructura a obtener en el controlador con el método de asignación de polos ya no será del tipo
PID.
6.4. Acción de control de Adelanto Atraso

Si para la estructura del controlador PD de la ecuación (6.4) se considera la ubicación del
polo como un grado de libertad, se tiene:
A(s) (T1 s + 1)
= kp ; (6.19)
E(s) (T2 s + 1)
si T1 > T2 se tiene un aumento de la ganancia transitoria con respecto de la estacionaria kp ;

por su caracterı́stica de respuesta de frecuencia de adelantar la fase, esta acción de control se
denomina compensador de adelanto de fase. Por aumentar la ganancia a altas frecuencias puede
amplificar el ruido de medición.
Si en la ecuación (6.19) T1 < T2 la reducción de ganancia transitoria permite aumentar
la estacionaria kp ; con T2 muy elevado, el polo está muy cerca al origen y el compensador se
comporta como un PI. Esta acción de control se denomina compensación de atraso de fase
por su caracterı́stica de respuesta de frecuencia; esto es una desventaja del controlador pues el
retraso de fase puede disminuir la estabilidad del sistema.
En el capı́tulo 9 se analizará la respuesta de frecuencia de estas acciones de control; en el
capı́tulo 10 se presentarán ejemplos de ajuste.
6.5. Acción de control RST

El controlador PID tiene dos polos y dos ceros en serie con el error; su estructura proviene
de las primeras implementaciones análogas de este controlador. Pese a su simplicidad es el

6.5. ACCIÓN DE CONTROL RST
controlador más utilizado en la industria; procesos de primer orden con bajas exigencias de
desempeño se controlan bien con un PI; incluso es el caso para sistemas de orden elevado sin
grandes exigencias en velocidad de respuesta, la acción integral elimina el corrimiento y la
velocidad la define la acción proporcional. Sistemas de segundo orden con dos constantes de
tiempo que difieren en magnitud se pueden controlar bien con un PID; en este caso la acción
derivativa permite aumentar la velocidad de respuesta de red cerrada. Igualmente para sistemas
de alto orden con exigencias de velocidad de respuesta, la acción derivativa permite amortiguar
el sistema de control y aumentar la ganancia proporcional para mayor velocidad.
Sinembargo, como se observó en el ajuste empı́rico, los desempeños del controlador PID no
son apropiados para sistemas con grandes tiempos muertos; también el controlador está limitado
para alcanzar buen desempeño con sistemas oscilatorios (ver ejemplo 10.16) y sistemas de alto
orden con exigencias altas de control, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6.3
Para controlar el proceso:
1
Gp (s) =
(s + 1)3
se utiliza el controlador PID paralelo:
1 0.6s
GP ID = 3.4 1 + + ,
2s 0.06s + 1
y el controlador RST continuo:
s(s2 + 11.4s + 57)U (s) = (8s3 + 77s2 + 307s + 512)R(s) − (143s3 + 571s2 + 868s + 512)C(s).
La figura 6.26 muestra las respuestas de los sistemas de control ante escalones de referencia y
de disturbios de entrada al proceso; se observa como en el seguimiento aunque la respuesta del
controlador PID tiene un tiempo de subida menor por el gran esfuerzo de control, el controlador
RST tiene menor tiempo de establecimiento; el controlador RST logra un menor error en el
rechazo del disturbio. △
1.5 0.1
0
1
C(t)
C(t)
−0.1
0.5
−0.2
0 −0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(sec) (sec)
PID RST
RST PID
10 1.5
8
1
U(t)
U(t)
4
0.5
2
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 6.26: Respuestas RST y PID a cambios en referencia y disturbio de entrada.

6.5. ACCIÓN DE CONTROL RST
Como se comentó en el capı́tulo 4 se puede requerir un elemento dinámico adicional en

la entrada de referencia; igualmente en la señal de realimentación se pueden requerir filtros
dinámicos; con el advenimiento de los controladores digitales, su flexibilidad de programación
permite tener componentes dinámicos de orden mayor a dos y actuando adicionalmente sobre las
señales de referencia y medida; esto solo exige unas lı́neas de código adicionales en el algoritmo
de control. Una estructura general para este tipo de controlador discreto se muestra en la figura
6.27, en donde por la notación usada para definir cada componente dinámico se le denomina
controlador RST.
Figura 6.27: Sistema de control con controlador RST.
En este controlador Rc , Sc , Tc , Bd y Ad son todos polinomios en z −1 ; esta arquitectura

permite explotar al máximo la flexibilidad de programación de los controladores digitales; la
ley de control que implementa es:
Rc (z) Gf (z) Tc (z)Bd (z)

U (z) = − Y (z) + R(z), Gf (z) =
Sc (z) Sc (z) Ad (z)
que corresponde en tiempo discreto a:
Sc (z −1 )u(kT ) = −Rc (z −1 )y(kT ) + Gf (z −1 )r(kT ); (6.20)
esta ley de control corresponde a una representación general de entrada salida.

Si la planta discreta a controlar es:
B(z) n G (s) o
p
G(z) = =Z 1 − z −1
A(z) s
las funciones de transferencia de red abierta GRA (z) y red cerrada T (z) son:
B(z)Rc (z) B(z)Gf (z)

GRA (z) = , T (z) = ;
A(z)Sc (z) A(z)Sc (z) + B(z)Rc (z)
donde:
P (z) = A(z)Sc (z) + B(z)Rc (z) = 1 + p1 z −1 + p2 z −2 + ...
es la ecuación caracterı́stica del sistema que define los polos de red cerrada; los polinomios Rc (z)
y Sc (z) permiten definir la dinámica de red cerrada del lazo, la cual se encarga de rechazar
los disturbios D(z) sin amplificar el ruido de medición N (z); adicionalmente los polinomios

6.6. ACCIÓN DE CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS
fuera del lazo Tc (z), Bd (z) y Ad (z) permiten cumplir especificaciones de desempeño para el
seguimiento de la referencia R(z), con lo que se pueden tener desempeños adecuados para
requerimientos de regulación de perturbaciones y seguimiento de la referencia de acuerdo al
modelo deseado definido por Bd /Ad . Como los polinomios del controlador se pueden escoger de
cualquier orden, se pueden cumplir exigencias adicionales como rechazo de perturbaciones en
rampa o sinusoidales, bloqueo del lazo en ciertas frecuencias para no excitar modos resonantes
del proceso y filtrado adicional para un diseño robusto.
La figura 6.28 muestra como el controlador PID es un caso particular del controlador RST,
para Tc = Rc y Bd /Ad = 1.
Figura 6.28: Controladores PID y RST.
En el capı́tulo 10 se presentará el diseño por asignación de polos de este controlador.
6.6. Acción de control por realimentación de estados

Para un sistema con representación de estado, una ley de control simple consiste en reali-
mentar la combinación lineal de los estados; para sistemas de una entrada y una salida, la ley
de control es:
u(t) = f r(t) − k1 x1 (t) − k2 x2 (t) − ... − kn xn (t), (6.21)
 
x1 (t)
 x2 (t) 
 
u(t) = f r(t) − [k1 k2 · · · kn ]  .  = f r(t) − KX(t), (6.22)
 .. 
xn (t)
donde K es la matriz de realimentación de estado y f es una ganancia para ajustar el error
permanente a cero. La figura 6.29 muestra el diagrama de bloques de esta acción de control.
Mediante esta ley de control se pueden ajustar los polos de red cerrada a los valores deseados
para un desempeño adecuado y esto sin agregar ceros a la dinámica de red cerrada.

6.6. ACCIÓN DE CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS
Figura 6.29: Acción de control por realimentación del estado.
Ejemplo 6.4
El sistema oscilador (6.18) tiene la representación de estado:

ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0
= + u(t), (6.23)
ẋ2 (t) −1 0 x2 (t) 1

x1 (t)
y(t) = [1 0] , (6.24)
x2 (t)
con la acción de control:

x1 (t)
u(t) = f r(t) − [k1 k2 ]
x2 (t)
en la ecuación de estado (6.23) se obtiene:

ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0 0 x1 (t)
= + f r(t) + [−k1 − k2 ] ,
ẋ2 (t) −1 0 x2 (t) 1 1 x2 (t)

ẋ1 (t) 0 1 x1 (t) 0
= + r(t).
ẋ2 (t) −k1 − 1 −k2 x2 (t) f
Se observa que la matriz del sistema realimentado Ac depende de las ganancias de la matriz
de realimentación de estados; para asignar la dinámica de red cerrada igual a la del ejemplo
6.3: s2 + 1.4s + 1, de la ecuación (5.93) se calcula la ecuación caracterı́stica del sistema en red
cerrada:

s −1

0 = |sI − Ac | = = s2 + k2 s + k1 + 1 = s2 + 1.4s + 1,
k1 + 1 s + k2
luego: k1 = 0 y k2 = 1.4; de la ecuación (5.117) la ganancia estacionaria de la función de

transferencia del sistema controlado es:
−1
0 1 0
G(0) = D − CA−1 c B = −[1 0] = f = 1.
−1 −1.4 f

6.7. IMPLEMENTACIÓN DE ACCIONES DE CONTROL
La figura 6.30 muestra la respuesta al escalón de referencia del sistema controlado; se observa que
logra amortiguar la respuesta con poco esfuerzo de control, esto lo hace usando la información
interna del sistema la rata de cambio de la salida x2 (t) para generar la acción de control que
amortigua; sinembargo como no realimenta la salida c(t), el sistema de control no rechaza el
disturbio de salida; en el capı́tulo 11 se verá como diseñar sistemas con realimentación de estados
y rechazo de disturbios. △
1
c(t)
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
1.5
1
u(t)
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
Figura 6.30: Respuesta del sistema con realimentación de estado.
Como no todos los estados del sistema son medidos, se requiere utilizar un observador de
estados, el cual es un elemento dinámico adicional en la ley de control; a esta ley de control se le
pueden adicionar integradores sobre el error de las referencias y salidas medidas para aumentar
el tipo de sistema y mejorar el error permanente. Con dinámica en la ley de control y un sistema
multivariable, el controlador se representa como un sistema en variables de estado Xc (k) con
entradas Y (k) y R(k) y salidas U (k):
Xc (k + 1) = Gc Xc (k) + Hy Y (k) + Hr R(k)

U (k) = Cc Xc (k) + Dy Y (k) + Dr R(k), (6.25)
esta ley de control corresponde a una representación general de estado. El análisis y diseño de
esta acción de control se verá en el capı́tulo 11.
6.7. Implementación de acciones de control

En la sección 5.8.2 se analizó la pérdida de desempeño de un sistema de control con acción
integral por la saturación del actuador. En la sección 5.13.4 se analizaron otras limitaciones en el
desempeño del sistema asociadas a la implementación del algoritmo de control en el procesador

digital. En esta sección se presentan los principales aspectos a considerar en la implementación

de la ley de control, con énfasis en la PID; se presentará brevemente la implementación análo-
ga del controlador PID con amplificadores operacionales; en la actualidad la mayorı́a de los
controladores son digitales, por lo que se presentará la implementación digital con más detalle.
Los aspectos analizados para ley de control PID o RST, se pueden extender a las otras leyes y
estructuras de control presentadas en la sección anterior.
6.7.1. Implementación análoga de acciones de control

La figura 6.31 presenta la configuración general de un amplificador operacional para control.
IR IF
UR
ZR (s) ZF (s)
IB I=0
UB
ZR (s)
−
+
UA
R0
Figura 6.31: Estructura del amplificador operacional para control.
ZF (s) y ZR (s) son las transimpedancias de los circuitos de cuatro terminales (cuadripolos),
esto es la relación entre el voltaje de entrada a la corriente de salida del cuadripolo. Son
función de la frecuencia pues se calculan utilizando las impedancias operacionales: Ls para la
inductancia y 1/Cs para la capacitancia.
UR (s) = ZR (s)IR (s); − UB (s) = ZR (s)IB (s); UA (s) = ZF (s) IF (s).
De la ley de corrientes de Kirchoff: IR + ID + IF = 0, luego:
UR (s) UB (s) UA (s)

− = − ,
ZR (s) ZR (s) ZF (s)
ZF (s)
UA (s) = − [UR (s) − UB (s)]. (6.26)
ZR (s)
A esta configuración se le pueden sumar otros amplificadores operacionales para la adición
de más señales y filtros y con ello implementar leyes de control más elaboradas; la configuración
básica solo permite implementar acciones de control simples como la PID de la siguiente sección.

Figura 6.32: Implementación del controlador PID con amplificador operacional.
6.7.2. Implementación análoga del controlador PID

Un controlador PID se obtiene con el circuito de la figura 6.32. El parámetro 0 <∝< 1 es
la posición relativa del cursor en el potenciómetro RP , con ello la tensión en realimentación es
∝ UA , la cual se aplica al amplificador operacional seguidor de tensión en la realimentación.
Las transimpedancias son:
(RI CI s + 1)[(RA + RD ) CD s + 1]
ZR (s) = RR ; ZF (s) = ,
∝ CI s(RA CD s + 1)
luego la función de transferencia entre la señal de control UA (s) y el error E(s) = UR (s)−UB (s)
es:
UA (s) RI (RI CI s + 1) ((RA + RD )CD s + 1)
=− .
UR (s) − UB (s) αRR R I CI s RA CD s + 1
El circuito corresponde a un PID serie de la ecuación (6.7), con los parámetros:
kp = RI /αRR , Td′ = RA CD , TI = RI CI y TD ≈ RD CD , dado que RA ≪ RD .
6.7.3. La acción de control PID práctica

A la ley de control (6.5) se le realizan varias modificaciones en su implementación práctica.
Como se comentó en la sección 6.3.4 la acción derivativa debe filtrarse para evitar amplificar el
ruido de medición; para evitar acciones de control muy fuertes por cambios rápidos en escalón
de la referencia, en ciertas aplicaciones se deriva solo la salida y se escala la componente de
la referencia R(s) de la acción P en una fracción b; la dinámica teórica (6.6) se modifica en la
siguiente acción de control PID práctica:
h 1 Td s i
A(s) = ± kp bR(s) − B(s) + R(s) − B(s) + cR(s) − B(s) + Ab (s) , (6.27)
Ti s 1 + TNd s

donde con c = 0 se toma solo la derivada de la salida y Ab (s) es la transformada de Laplace

del término de compensación (bias) en la señal de control ab (t), para la acción P o PD definido
en la sección 6.3.1. El signo ± define si se tiene una acción de control directa (+) o inversa
(−), dependiendo de la polaridad de la ganancia del proceso; si un incremento de la variable
manipulada disminuye la salida controlada (como en el enfriamiento de una nevera), se debe
usar una acción de control inversa en el controlador.
La estrutura PID de la ecuación (6.27) se conoce como la forma estádar o forma ISA del
PID y es muy utilizada en controladores comerciales; otras formas similares se obtienen a partir
de la serie (6.7):
h 1 1 + scTds 1 1 + sTds i
A(s) = ± kps b + s s R(s) − 1 + s s B(s) + Ab (s) , (6.28)
sTi 1 + sTd /N sTi 1 + sTd /N
y de la paralela (6.2):
h kp kdp s i
A(s) = ± kpp bR(s) − B(s) + i R(s) − B(s) + k p cR(s) − B(s) + Ab (s) . (6.29)
s 1 + Nd s
Tener componentes separadas de la referencia y la salida medida del proceso en el cálculo
de la acción de control (6.27), permite lograr mejores desempeños para el rechazo de disturbios
y el seguimiento de la referencia; sinembargo, el análisis y diseño del controlador se dificulta
con métodos analı́ticos. Adicionalmente en la acción de control PID práctica (6.27) se pueden
tener filtros adicionales para la referencia y la señal de control; en algunas aplicaciones se usan
no linealidades como una banda muerta sobre el error para mermar la frecuencia de activación
de la acción de control en actuadores mecánicos, o un valor cuadrático del error e|e| para tener
ganancias elevadas con errores grandes en la acción P, lo que es útil en aplicaciones con disturbios
de baja frecuencia en la medida, como ocurre en el control de nivel de tanques suavizadores de
flujo.
También en la implementación hay que considerar señales de control especiales por el tipo
de actuador disponible; tal es el caso de actuadores de dos o tres posiciones como calentadores
o enfriadores (prendido y apagado) y motores (dos sentidos de giro y parado), en donde solo
se tienen los valores positivo A1 , negativo A2 y cero; para ello lo usual es convertir la señal de
control en una modulación de ancho de pulso; para un perı́odo de modulación Tm la señal de
control es el ancho del pulso Tp :
a(kT ) − A2
Tp (kT ) = Tm . (6.30)
A1 − A2
El ancho del pulso varı́a linealmente entre cero para a(kT ) = A2 y Tm para a(kT ) = A1 ; el
perı́odo de modulación debe ser lo suficientemente pequeño para que las componentes de alta
frecuencia de la señal de control sean filtradas por el proceso y no aparezcan en la señal de
salida.
6.7.4. Discretización de la acción de control PID

Como se mencionó atrás, en la actualidad prácticamente todos los controladores se imple-
mentan digitalmente; la ley de control (6.27) se debe por lo tanto discretizar para su imple-
mentación digital. En el capı́tulo 10 se presentarán técnicas generales de discretización de una

acción de control análoga; por estar tan difundido el uso del controlador PID se tienen métodos
especı́ficos para su discretización.
La componente proporcional es estática y se discretiza directamente a:

P (kT ) = kp br(kT ) − b(kT ) + ab (kT ). (6.31)
La integral en (6.27) se puede discretizar con la aproximación rectangular a:
kp T
I(kT ) = I(kT − T ) + e(kT ). (6.32)
Ti
Discretizando la derivación:
Td dD dr db
+ D = kp T d c − ,
N dt dt dt
con la diferencia de dos datos se tiene:
Td kp T d
D(kT ) − D(kT − T ) + D(kT ) = cr(kT ) − cr(kT − T ) − b(kT ) + b(kT − T ) ,
NT T
Td kp N T d
D(kT ) = D(kT − T ) + cr(kT ) − cr(kT − T ) − (b(kT ) − b(kT − T )) . (6.33)
Td + N T Td + N T
La señal de control es la suma de la acción P (6.31), I (6.32) y D (6.33):
h i
a(kT ) = ± P (kT ) + I(kT ) + D(kT ) . (6.34)
Aplicando la transformada Z:
h 1 1 − z −1
A(z) = ± kp bR(z) − B(z) + Ab (z) + KI −1
E(z) + KD (cR(z) − B(z))
1−z 1 + s1 z −1
(6.35)
k T k NT Td
donde KI = Tpi , KD = Tdp+N dT y s1 = − Td +N T ;a este algoritmo se le conoce como la forma
posicional del controlador PID.
Cualquier otra discretización llevará a una ley de control en la forma general (6.20) con
Rc , Sc y Tc polinomios de segundo orden en z −1 , con la acción integral en el polinomio:
Sc = (1 − z −1 )(1 + s1 z −1 ).
Para el controlador PID estándar paralelo:
1 Td s
Gc (s) = kp [1 + + ]
Ti s Td
1+ s
N
el controlador PID discreto se obtiene de (6.35) con b = c = 1:
Rc (z) r0 + r1 z −1 + r2 z −2
Gc (z) = = ; (6.36)
Sc (z) (1 − z −1 )(1 + s1 z −1 )

los parámetros del controlador discreto son:

s1 = −Td /(Td + N T )
T
r0 = kp (1 + − N s1 )
Ti
T
r1 = kp [s1 (1 + + 2N ) − 1]
Ti
r2 = −kp s1 (1 + N ) (6.37)
Se observa que se requiere 0 ≤ |s1 | ≤ 1 para que el filtro 1/(1 + s1 z −1 ) tenga un equivalente
Td
continuo de primer orden: 1/(1 + s), por lo tanto, pueden obtenerse PID discretos sin tener
N
un equivalente PID continuo, por ejemplo si −1 < |s1 | < 0.
6.7.5. Acción de control incremental

En ciertas aplicaciones con acción integral es ventajoso calcular la acción de control como
un incremento de la señal de control; tal es el caso cuando se tienen actuadores con integración
como los servos o un motor eléctrico. Usando el incremento de la señal de control:
∆u(kT ) = u(kT ) − u(kT − T )
y factorizando el integrador en el polinomio S en (6.20): S(z −1 ) = (1 − z −1 )S ′ (z −1 ), se tiene:
∆u(kT )S ′ (z −1 ) = −R(z −1 )y(kT ) + T (z −1 )r(kT ); (6.38)
este algoritmo se denomina forma incremental o de velocidad del controlador. Esta imple-
mentación facilita la implementación de los cambios manual-automático sin saltos, ver la sec-
ción 6.7.12. Como requiere la acción integral, no permite la implementación de la acción de
control PD; la acción P se puede implementar realimentando el estado previo de la salida
K.J.Aström and T.Hagglund [1995]:
∆u(kT ) = kp e(kT ) + ub (kT ) − u(kT − T )
donde ub (kT ) es el nivel del bias; como ∆u(kT ) = u(kT ) − u(kT − T ) se tiene efectivamente la
acción P:
u(kT ) = kp e(kT ) + ub (kT ).
6.7.6. El ejecutivo de control

La implementación de la ley de control en el procesador digital puede realizarse de múltiples
formas dependiendo del problema de control, la tecnologı́a y la representación utilizada; el
cálculo de la ley de control a partir de la función de transferencia discreta del controlador Gc (z)
es directo a partir de su correspondiente ecuación de diferencias (6.20) o de la representación
de estado (6.25) del controlador.
Para un controlador dedicado en la bucla tı́pica de control digital, con requerimientos bajos
de visualización y comunicación con el operador y con un reloj para avanzar el ı́ndice k cada
perı́odo de muestreo, el algoritmo ejecutivo básico para la ley de control es:

0. Inicialización: T , parámetros del controlador, valores iniciales, k = 1.
1. Leer c(k) y r(k).

2. Calcular a(k).
3. Escribir a(k).
4. Actualizar estado del controlador.
5. Cuando k 7→ k + 1 vaya a 1.
El ejecutivo anterior muestra las tareas básicas a realizar para implementar la ley de control;
hay otras tareas que se implementan como visualizar y/o comunicar información (después de
3.), gestionar la parada del lazo por una interrupción externa, verificar si el tiempo del ciclo es
menor al perı́odo de muestreo, entre otras. Para la lectura del conversor A/D, luego de ordenar
la lectura se debe esperar a que el dispositivo realice la conversión para leer el dato; también
se verifica sobrerango y se normaliza el dato. En la escritura se verifica si hay sobrerango, en
tal caso se envı́a el valor máximo (saturación) al conversor.
El ejemplo siguiente presenta un ejecutivo de control para una función de transferencia
discreta de segundo orden, con el cual se puede implementar el controlador PID discreto dado
en la ecuación (6.36).
Ejemplo 6.5
La función de transferencia discreta de segundo orden:
A(z) b0 z 2 + b1 z + b 2
= 2 (6.39)
E(z) z + a1 z + a2
tiene la ecuación de diferencias:
a(k) = −a1 a(k − 1) − a2 a(k − 2) + b0 e(k) + b1 e(k − 1) + b2 e(k − 2), (6.40)
con: e(k) = r(k) − c(k).

Para la implementación de este controlador se usa el siguiente ejecutivo de control:
0. Inicialización: T, ai , bi , a(−1, 0), e(−1, 0), a2 (0), k = 1.

2. e(k) = r(k) − c(k).
3. a1 (k) = b0 .e(k).
4. a(k) = a1 (k) + a2 (k − 1).
5. Escribir a(k).
6. a2 (k) = −a1 .a(k − 1) − a2 .a(k − 2) + b1 .e(k − 1) + b2 .e(k − 2).
7. Cuando k 7→ k + 1 vaya a 1. △

El ejecutivo de control y el tipo de procesador utilizado en la implementación de la acción de

control impactan la selección del perı́odo de muestreo, pues debe ser mayor al tiempo requerido
por el ejecutivo de realizar un ciclo; la forma como se realicen los cálculos igualmente impacta
este tiempo, ası́ como los efectos que se generan por la longitud de palabra finita del procesador;
como se mencionó en el capı́tulo 5, estos aspectos generan diversas limitaciones en el desempeño
del sistema, a continuación se analizan con más detalle.
6.7.7. El retardo computacional

El retardo computacional es el tiempo muerto que toma la conversión A/D/A, la transmisión
de los datos y el cálculo de la ley de control; hay retardos aperiódicos producidos por el bloqueo
del ejecutivo de control por otras tareas de mayor prioridad (seguridad) o el acceso a recursos
compartidos.
El retardo en el cálculo de la ley de control depende de la forma como se ejecuta el algoritmo
de control; en algunos casos, se adquiere la salida y se calcula la ley de control, la cual solo se
envı́a al conversor D/A al inicio del muestreo siguiente; esto genera un retardo de un perı́odo de
muestreo y por lo tanto un polo en z = 0 en la función de transferencia discreta del controlador.
Con procesadores suficientemente rápidos, se busca actualizar la señal de control lo más pronto
posible, como lo hace el ejecutivo de control presentado en la sección anterior el cual reduce el
tiempo de cómputo entre la lectura del conversor A/D y la escritura de la señal de control en
el conversor D/A; sin embargo, se genera un retardo fraccional del perı́odo de muestreo, el cual
en algunos casos puede ser variable, dependiendo de la programación del algoritmo de control.
6.7.8. Selección del perı́odo de muestreo

La selección del perı́odo de muestreo es un aspecto crucial para el correcto desempeño del
sistema de control digital; se requiere muestrear suficientemente rápido para abarcar el ancho de
banda de la señal medida y poder reconstruir adecuadamente la señal de control. Sinembargo
se debe respetar el retardo computacional y evitar sobrecargar el procesador y las redes de
comunicación de control, pues se puede generar pérdida de información.
En términos de la respuesta temporal del sistema, la selección del perı́odo de muestreo debe
realizarse para la velocidad del sistema en red cerrada, la cual la mayorı́a de las veces (ver
las limitaciones de velocidad de red cerrada por ceros de fase no mı́nima en la sección 5.8.5)
es mayor que la de red abierta. Si se requiere una respuesta en red cerrada sin oscilación, es
aceptable muestrear entre 15 a 40 veces el tiempo de estabilización de la salida análoga; si el
sistema se aproxima a un primer orden con contante de tiempo equivalente τeq , el tiempo de
estabilización es ts ≈ 4τeq , luego el perı́odo de muestreo está entre T = 0.1τeq a T = 0.25τeq ,
esto es, se tienen entre 4 y 10 muestreos durante la constante de tiempo del sistema.
Si la respuesta del sistema es oscilatoria, un muestreo apropiado es un factor entero entre
10 a 30 veces la frecuencia de oscilación. También se pueden tener entre 4 y 10 muestreos del
tiempo de subida; para sistemas de segundo orden con amortiguamientos entre 0.5 y 0.7, estos
criterios dan el rango:
0.2 ≤ ωn T ≤ 0.6. (6.41)
La sección 9.7.3 define otros criterios para la selección del perı́odo de muestreo a partir del
análisis de la respuesta en frecuencia del sistema.

En Aström and Wittenmark [1997] se recomienda para sistemas de control de procesos, los
perı́odos de muestreo presentados en la tabla 6.7.
Tabla 6.7: Perı́odos de muestreo recomendados para sistemas de control de procesos.
Variable Perı́odo de muestreo T [s]

Flujo 1-3
Presión 1-5
Nivel 5-10
Temperatura 10-20
Un controlador digital comercial tiene perı́odos de muestreo en órdenes de 200ms, por lo que
el sistema de control digital se puede analizar como si fuera continuo para este tipo de procesos.
Para un controlador PI un criterio práctico para escoger el perı́odo de muestreo es:
T ≈ (0.1 − 0.3)TI , (6.42)

esto da para el ajuste por Ziegler-Nichols: T ≈ (0.3 − 1)Tm , ó T ≈ (0.1 − 0.3) Tc .
Con un controlador PID debe asegurarse de no afectar la acción derivativa, para lo cual
TN
≈ (0.2 − 0.6)TI , (6.43)
Td
esto da para el ajuste por Ziegler-Nichols perı́odos de muestreo entre: T ≈ (0.01 − 0.06) Tm ,
mucho menores que para el PI.
6.7.9. Longitud de palabra

Los procesadores digitales en los que se implementa la ley de control tienen longitud de
palabra finita, tı́picamente de 8, 16 o 36 bits; una precisión finita en los cálculos genera errores
por:
Acumulaciones de redondeos en operaciones aritméticas; si en representación de punto

flotante con tres dı́gitos de precisión se calcula 1.00 × 104 + 1 − 1,00 × 104 la primera
suma es 1.001 × 104 que por la precisión se redondea a 1.00 × 104 , luego el resultado
es cero y no uno; esto muestra que en las implementaciones se deben evitar las restas de
números grandes. El redondeo es un error de cuantificación por lo que se puede modelar
y analizar de la misma forma a como se hizo para los conversores; sinembargo, en muchos
computadores y lenguajes de programación se implementan las operaciones aritméticas
en doble precisión, por lo que estos errores de redondeo son muy pequeños.
Cambios abruptos de la magnitud por rebose; en este caso se pasa del valor máximo
posivo o mı́nimo negativo a cero, generándose un cambio muy grande en las señales de
control con efectos muy dañinos para el desempeño del sistema; por ello se normalizan las
ecuaciones de forma que las magnitudes en los cálculos no sean muy grandes.

Cuantificación de los coeficientes de las ecuaciones de diferencias; estos errores en la repre-

sentación de los coeficientes desplazan la ubicación de los polos y los ceros del controlador;
sea la ecuación caracterı́stica:
D(z, ai ) = 0 = z n + a1 z n−1 + · · · + an = (z − p1 )(z − p2 ) · · · (z − pn )
con polos no repetidos; un cambio en un parámetro de ai a ai + ∆ai genera un cambio en

la ubicación del polo pj a pj + ∆pj ; la ecuación caracterı́stica evaluada en el polo z = pj se
puede considerar como una función no lineal (hay productos) de dos variables, de z y del
parámetro que varı́a ai ; la expansión en series de Taylor tomando solo el primer término
es:
dD dD
D(pj + ∆pj , ai + ∆ai ) ≈ D(pj , ai ) + ∆pj + ∆ai = 0,
dz z=pj dai z=pj
como D(pj , ai ) = 0, se obtiene:

dD
dai
∆pj ≈ − z=pj ∆ai ; (6.44)
dD
dz
z=pj
Q
dD
como da i
= pjn−i y dD
dz = k6=j (pj − pk ), (6.44) es:
z=pj z=pj
pjn−i
∆pj ≈ − Q ∆ai . (6.45)
k6=j (pj − pk )
Si hay m polos repetidos en z = pj la expresión anterior es:
pjn−i
∆pj ≈ − Q (∆ai )1/m . (6.46)
k6=j (pj − pk )
Si el controlador tiene polos estables, |pj | < 1, el mayor valor para el numerador es 1
para i = n, luego el coeficiente an es el de mayor sensibilidad para desplazar los polos. Se
observa que los polos cercanos tienen alta sensibilidad; igualmente de (6.46) la sensibilidad
es mayor si existen polos repetidos.
Ejemplo 6.6
Se considera un controlador con función de transferencia discreta (6.39); la implementación
directa (6.40) se denomina ası́ porque los coeficientes de la función de transferencia ai , bi apare-
cen explı́citamente en el algoritmo de control; se emplean 5 multiplicaciones, 4 sumas y 4 datos
en memoria: a(k − 1), a(k − 2), e(k − 1) y e(k − 2); esta implementación tiene la ventaja de que
los coeficientes ai , bi multiplican valores retardados de la entrada y la salida, lo que permite
cambiar directamente los parámetros sin necesidad de recalcular variables internas; sinembargo,
esto hace que la posición de los polos y ceros sea altamente sensitiva a los errores de redondeo;
para p1 = 0.45 y p2 = 0.95, D(z) = z 2 − 1.4z + 0.4275 la variación de p1 por una disminución
del 1 % en a2 , ∆a2 = −0.01 de (6.45) es:
1 0.01
∆p1 ≈ − ∆a2 = = −0.02;
p1 − p2 0.45 − 0.95

el polo se desplaza el doble de lo que cambia el parámetro; el desplazamiento exacto se calcula

factorizando: D(z) = z 2 − 1.4z + 0.4275 ∗ 0.99 = (z − 0.9584)(z − 0.4416) luego el polo en
z = 0.45 dismuye 1.9 %.
La implementación paralela de (6.39) se obtiene con la salida expandida en fracciones par-
ciales: h r
1 r2 i
A(z) = − E(z) = A1 (z) + A2 (z),
z − p1 z − p2
−1
r1 z r2 z −1
donde A1 (z) = 1−p 1z
−1 E(z), A2 (z) = 1−p2 z −1 E(z); la ecuación se implementa con las ecuacio-
nes en diferencias:
a1 (k) = p1 a1 (k − 1) + r1 e(k − 1),

a2 (k) = p2 a2 (k − 1) + r2 e(k − 1),
a(k) = a1 (k) + a2 (k),
las cuales requieren 4 multiplicaciones, 3 sumas y 3 datos en memoria: a1 (k − 1), a2 (k − 1) y

e(k − 1) disminuyendo el requerimiento de memora al procesador; la disminución de los cálculos
merma los errores de redondeo de las operaciones matemáticas.
Con esta implementación, los polos aparecen directamente en las ecuaciones de diferencia
por lo que un cambio de los parámetros p1 ó p2 , afecta de la misma manera la ubicación de los
polos de la función de transferencia discreta. △
Los errores por el redondeo de los parámetros aumentan con el orden del controlador, por
lo que para la implementación se utiliza la función de transferencia factorizada, bien sea en
multiplicación o suma de términos de primer y segundo orden.
El perı́odo de muestreo también afecta los errores de redondeo, como lo ilustra el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 6.7
En el ejemplo 3.6 se obtuvo la ecuación de diferencias de la integración aproximada por la
regla trapezoidal; en un controlador PID esta acción se pondera con la constante de tiempo
integral Ti de la forma:

T
a(k) = a(k − 1) + e(k) + e(k − 1) .
2Ti
Un perı́odo de muestreo pequeño de T = 0.01s con tiempo integral alto Ti = 360s da una
T
relación 2T i
= 1.4 × 10−5 en órdenes de la resolución para 16 bits: 2−16 = 1.7 × 10−5 ; para
evitar redondeos, se utiliza en los controladores comerciales resolución de 24 bits en el cálculo
de la acción integral. △
El ejemplo anterior también pone de manifiesto que utilizar frecuencias de muestreo altas
exige alta precisión en la representación de los coeficientes de las ecuaciones de diferencia.
En aplicaciones de uso masivo, bajo costo y alto desempeño, es importante reducir el área
del procesador y su consumo; en tal caso se pueden usar procesadores con aritmética de punto
fijo para la cual el hardware requerido es más simple y las operaciones más rápidas que para la
representación de punto flotante. Sinembargo, la representación de punto fijo tiene menor rango
de valores que la de punto flotante y menor precisión, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.8
Con tres dı́gitos de precisión y un decimal en punto fijo se pueden representar los números
12.3, 1.2, 0.1 mientras que en punto flotante con dos dı́gitos de precisión y un exponente de
un dı́gito, se representa desde 12 × 10−9 = 0.000000012 hasta 12 × 109 = 12000000000. La
representación de punto flotante requiere más memoria para codificar la posición del punto
decimal, pero esto permite más precisión en las operaciones; el producto: 1.2 × 1.2 en punto
fijo es 1.4 mientras que en punto flotante podrı́a ser: 12.0 × 10−1 × 12.0 × 10−1 = 14.4 × 10−1 ,
por lo que la libertad de posición del pundo decimal evita afectar el resultado por el redondeo.
△
6.7.10. Antiembalamiento
El siguiente ejemplo ilustra el deterioro del desempeño de un sistema de control cuando hay
saturación del actuador y acción integral en el controlador.
Ejemplo 6.9
1
En el ejemplo 4.2 se analizó el control de la excitación del generador Gp (s) = 1+5s con
el controlador PI: Gc = 8(s + 1)/s; la ganancia transitoria del controlador es de 8 por lo que
habrá saturación si el actuador tiene un lı́mite máximo de 2. La figura 6.33 muestra la salida y
la señal de control para la respuesta al escalón de entrada utilizando el PI equivalente discreto
dado en (5.90), con perı́odo de muestreo T = 0.2s. La integración del error durante la saturación
mantiene la variable manipulada saturada por más de 6s lo que provoca un sobrepaso elevado
del 50 % en el transitorio. △
Hay muchas alternativas para evitar el embalamiento del integrador; la base de ellas es tener
una respuesta acotada del controlador cuando ocurre la saturación; para ello se requiere medir
o estimar la variable manipulada saturada y cambiar la dinámica de integración a una estable
en tal evento.
La estructura del controlador RST, ver la figura 6.27, facilita la implementación de la función
de antiembalamiento, pues la salida u(z) es la salida del bloque 1/S(z −1 ) el cual realiza la
acción integral. La figura 6.34 presenta el controlador RST con la función de antiembalamiento;
la variable manipulada saturada es u(k):

 umax si a(k) ≥ umax
u(k) = Sat(a(k)) = a(k) si umin < a(k) < umax ;

umin si a(k) ≤ umin
si se mide, el bloque de la saturación corresponde al actuador (con dinámicas adicionales si

aplica); si no se mide, el bloque corresponde al modelo del actuador para estimar la variable
manipulada saturada; A(z −1 ) es un polinomio estable que define la dinámica que actúa sobre
e(k) cuando hay saturación; cuando no hay saturación a(k) = u(k) y la función de transferencia
U (z)/E(z) es:
1
U (z) A 1 1
= = = ,
E(z) 1 + S−A
A
A + S − A S
la acción integral requerida.

1.5
Sin antiembalamiento
1
VT
0.5
Con antiembalamiento
0
0 5 10 15 20
2.5
2
1.5
EF
1
0.5
Con antiembalamiento Sin antiembalamiento
0
−0.5
0 5 10 15 20
Tiempo (s)
Figura 6.33: Respuesta, control de excitación sin y con antiembalamiento en integración.
Figura 6.34: Controlador RST con antiembalamiento.
Ejemplo 6.10
Para el ejemplo anterior, el controlador PI discreto (5.90) en z −1 es:
8 − 8e−T z −1
Gc1 (z −1 ) = ;
1 − z −1
se implementa con la estructura generalizada de entrada salida RST de acuerdo a la figura 6.34
con:
R(z −1 ) = T (z −1 ) = 8 − 8e−T z −1 , A(z −1 ) = 1 − 0.1z −1 , S(z −1 ) = 1 − z −1 , S − A = −0.9z −1 .

En la figura 6.33 se muestra también la salida y la variable manipulada para la respuesta al

escalón de entrada utilizando la estrategia de antiembalemiento de la figura 6.34; con la salida
cerca de la referencia, el error es pequeño y cuando no se requiere una variable manipulada
mayor a 2, la tensión de campo Ef va rápidamente al valor final, lo que evita el sobrepaso
presentado por la acumulación de la integral de error; la salida alcanza la referencia en la mitad
del tiempo requerido sin el uso de la función de antiembalamiento. △
Esta técnica también aplica a la saturación en la rata de cambio de la variable manipulada,

como la analizada en el ejemplo 5.10, ver el ejercicio 6.27.
Igualmente se puede usar para la acción de control con la estructura general de estado (6.25);
sumando:
K U (k) − Cc Xc (k) − Dy Y (k) − Dr R(k) (6.47)
a la ecuación de estado se obtiene:

Xc (k + 1) = Gc Xc (k) + Hy Y (k) + Hr R(k) + K U − Cc Xc − Dy Y − Dr R , (6.48)
Xc (k + 1) = [Gc − KCc ]Xc (k) + [Hy − KDy ]Y (k) + [Hr − KDr ]R(k) + KU (k), (6.49)

U (k) = Sat Cc Xc (k) + Dy Y (k) + Dr R(k) . (6.50)
La matriz K define la dinámica de la ecuación de estado (matrices entre corchetes en (6.49))

del controlador cuando hay saturación; si no hay saturación el sumando (6.47) en (6.48) es cero
y el controlador se rige por su dinámica (6.25).
La implementación del mecanismo de antiembalamiento se simplifica en la representación
de espacio de estado cuando se usa un observador, ver capı́tulo 11; en tal caso basta saturar la
señal de control con la que se implenta el observador en la figura 11.3.
6.7.11. Compensación de banda muerta

La banda muerta se encuentra en la práctica asociada a la fricción en actuadores mecánicos
como válvulas o servomecanismos hidráulicos como el de la figura 1.12 analizado en el ejemplo
5.10. Las deficiencias de desempeño generadas por el movimiento mı́nimo de variables mani-
puladas mecánicas son difı́ciles de subsanar, debido a que los fenómennos de fricción son más
complejos que la banda muerta; en algunos casos como en el control de PH, se combinan dos
o más actuadores, usando los más grandes para la mayor parte de la acción de control y uno
pequeño de alta resolución para realizar el acción de control fina.
Otra solución práctica es mantener vibrando el actuador para evitar su ‘pegado’, sumando
a la señal de control una señal de alta frecuencia (dither ); la dinámica paso bajo del sistema
filtra el efecto de esta señal en la salida, pero se aumenta el desgaste del actuador.
Si se conoce con relativa exactitud la banda muerta y ella actúa en serie con el controlador,
se puede compensar sumando su valor a la señal de control:

 BMx si a(k) > 0
u(k) = ka a(k) + 0 si a(k) = 0 , (6.51)

BMm si a(k) < 0
donde ka es la ganancia del actuador. La figura 6.35 muestra el diagrama de bloques de la
compensación de la banda muerta.

Figura 6.35: Compensación de la banda muerta.
Ejemplo 6.11
Para analizar la compensación de la banda muerta, se considera el sistema de control de
un servomecanismo hidráulico sin realimentación mecánica, ver la figura 6.36,con una banda
muerta grande de ±0.2. La figura 6.37 muestra la salida del servo y la señal de control con y sin
compensación de la banda muerta, ante un escalón unitario en la referencia y un escalón de -0.1
en el disturbio de salida; con la banda muerta el sistema tarda más en alcanzar el valor de la
referencia tanto para el seguimiento de la entrada como para el rechazo del disturbio; también
aparece un error permanente que la acción de integral trata de restablecer muy lentamente,
como se observa en la pequeña pendiente de la señal de control después de los transitorios
rápidos. △
Figura 6.36: Servomecanismo integrador con compensación de banda muerta.
La efectividad de la compensación depende de la precisión de los parámetros del modelo

y de que la zona muerta esté en serie con la señal de control; tal no es el caso para el servo
analizado en el ejemplo 5.10, ver el ejercicio 6.24.
6.7.12. Aspectos operacionales

La implementación de la ley de control requiere cumplir requisitos adicionales a los analiza-
dos en las secciones precedentes, concernientes a la operación del sistema de control; el sistema
debe poder responder de forma manual por el operador; los controladores también interactúan
con otros controladores como en las estructuras de control paralelo, cascada o directa; también
hay modos de operación como el arranque y la parada en los que las funciones de mando a
eventos discretos interactúan con el control regulatorio de una manera no lineal. Igualmente,
los parámetros de la ley de control se deben poder ajustar durante la operación en automático.

1.3
1.2
x(t)
1.1
0.9
Con compensación de BM
Sin compensación de BM
3
2
u(t)
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (s)
Figura 6.37: Respuestas del servo hidráulico con y sin compensación de banda muerta.
En los diferentes cambios de los modos de operación y de los parámetros del controlador se
deben realizar transiciones suaves que eviten discontinuidades y cambios bruscos en la operación
del sistema.
6.7.12.1. Cambios manual automático

En control manual el operador define el valor de la variable manipulada en el proceso,
como se muestra en la configuración tı́pica de la figura 6.38. La señal de control del control
manual um (k) se obtiene de un generador de rampas, el cual se implementa con un integrador
cuyas entradas son pulsos positivos o negativos cuya duración la define el tiempo que duren
presionados los botones de subir (+) o bajar (-). Estando en un modo de operación se debe
garantizar que las señales de salida de los modos de control um (k) y ua (k) son iguales, para
realizar una transferencia sin saltos en el cambio de modo de operación; se debe por lo tanto
ajustar el estado del control que no esté activo (el integrador para el control manual), para
que su señal de control siga la variable manipulada del proceso. Esto es muy simple de realizar
para la forma incremental (6.38) de un controlador con acción integral pues se puede usar el
mismo integrador para ambos modos de operación, simplemente en control manual la entrada
al integrador incremental son los pulsos um (kT ) de los botones de subir y bajar:
∆u(kT ) = u(kT ) − u(kT − T ) = um (kT ),

Figura 6.38: Modos de control manual y automático.
luego:
u(kT ) = u(kT − T ) + um (kT ), (6.52)
lo que corresponde a la aproximación rectangular de la integral con entrada los pulsos um (kT ).
La figura 6.39 muestra el diagrama de bloques de este arreglo, donde se utiliza un integrador
con antiembalamiento.
Figura 6.39: Control manual y automático para un controlador con integrador incremental.
Para la forma posicional del controlador PID o en general para el controlador RST, la
función de antiembalamiento controla la salida del controlador cuando se abre el lazo de control
por la saturación del actuador; esto se puede aprovechar para seguir la variable manipulada
del proceso cuando el controlador no está en operación; la figura 6.40 muestra el esquema de
control manual y automático con transferencia sin saltos para este caso.
Con la operación en control manual la señal de control del RST es:
(A(z −1 ) − S(z −1 )u(k) + e(k)
aa (k) = ;
A(z −1 )

Figura 6.40: Control manual y automático para el controlador RST.
haciendo r(k) = y(k) durante la operación en control manual, el error se hará nulo (luego de los
retardos definidos por el orden de los polinimios R y T) y dado que A(z −1 ) se escoge estable y
para transitorios rápidos, la señal de control aa (k) seguirá la salida del actuador u(k). El control
manual tiene la misma estructura del control automático, luego asegurando rm (k) = 0 durante
la operación en automático, se hará el seguimiento de u(k) durante este modo de operación.
Para el generador de rampas en control manual, se escoge Sm (z −1 ) = 1 − z −1 ; el polinomio
Am (z −1 ) define la dinámica del seguimiento. El esquema se puede extender a otros controladores
de más modos de operación. En este esquema el seguimiento de la variable manipulada con el
controlador inactivo se realiza en red abierta; en sistemas complejos con muchas interacciones
puede requerirse un controlador del controlador, para eliminar los efectos de las interacciones,
ver por ejemplo el esquema propuesto en Goodwin et al [2001].
El mismo concepto aplica para la ley de control en la representación general de estado con
antiembalamiento dada por las ecuaciones (6.49) y (6.50); note que U (k) en (6.49) impone el
seguimiento al estado del controlador Xc (k) cuando ésta ley de control no esté activa.
6.7.12.2. Inicialización
En el inicio de operación del controlador automático se requiere inicializar su estado antes de
que entre a operar para realizar luego la transferencia sin saltos al modo de control automático;
esto usualmente se realiza operando el controlador en control manual un corto perı́odo hasta que
los transitorios de seguimiento de la variable manipulada terminen. Si no hay acción integral,
se debe ajustar el valor del bias ab (k) en (6.35), con r(k) = b(k), para igualar la salida del
controlador a la salida del control manual.

6.7.12.3. Cambios de parámetros

Para facilitar la sintonı́a del controlador se requiere que sus parámetros se puedan ajustar
en lı́nea; esto puede generar igualmente saltos indeseados en la señal de control; el siguiente
ejemplo ilustra este caso.
Ejemplo 6.12
El siguiente ejecutivo de control implementa una acción de control PI:
0. Inicialización.
2. e(k) = r(k) − c(k).

3. a(k) = kp (k). e(k) + i(k)/TI (k) .
4. Escribir a(k).
5. i(k) 7→ i(k) + e(k).T .

se observa en el cálculo de la señal de control 3. que con error nulo e(k) = 0 un cambio en los
parámetros kp (k) o TI (k) genera un salto en la señal de control a(k). △
Una condición de operación deseable de imponer al sistema de control, es que en estado

estable y con error cero, la señal de control no varı́e con los cambios de parámetros en la ley de
control. Esto depende de la forma como se implementa el algoritmo de control. En general como
el estado del controlador depende de los parámetros, se debe garantizar que su actualización
dependa también de los parámetros.
Ejemplo 6.13
El siguiente ejecutivo de control implementa una acción de control PI sin saltos en la señal
de control por cambios en los parámetros.
0. Inicialización.
2. e(k) = r(k) − c(k).
3. a(k) = kp (k).e(k) + i(k).
4. Escribir a(k).
5. i(k) 7→ i(k) + e(k).kp (k).T /TI (k).
ahora el estado del integrador depende también de los parámetros y con error nulo, los cambios
en los parámetros no generan saltos en la señal de control. △

6.8. RESUMEN
La ley de control de forma incremental (6.38) garantiza los cambios de parámetros sin saltos
con error nulo en régimen estacionario; con T (1) = R(1) en régimen permanente, el lado derecho
de la ecuación (6.38) es proporcional al error, luego si es cero la señal de control no se afecta
con los cambios en los coeficientes de los polinomios R(z −1 ) y T (z −1 ); el polinomio S ′ (z −1 )
impone cálculos de ∆u(kT ) en función de los valores anteriores: ∆u(kT − T ), ∆u(kT − 2T )....;
con el sistema en régimen constante, estos valores son nulos y tampoco se generan saltos en la
señal de control con cambios en los coeficientes del polinomio S ′ (z −1 ).
Para algoritmos en la forma posicional, se deben incluir los parámetros ajustables en el
cálculo del estado del controlador; para el algoritmo PID (6.34), la componente PI se puede
calcular como se hizo en el ejemplo anterior; la acción D es nula en régimen constante, por lo
que cambios de los parámetros Td y N en (6.33) no generan cambios en la señal de control.
Para el controlador RST de posición (6.20) el estado del controlador son las entradas r(k) y
y(k) y la salida u(k) retardadas, en un arreglo para el cual no hay garantı́a de evitar los saltos
de la salida con los cambios de los parámetros. Para la representación general de estado de un
controlador (6.25), habrán cambios de parámetros sin saltos de la acción de control, si se escoge
una representación de estado que no requiera cambiar los parámetros de las matrices Cc , Dy y
Dr .
6.8. Resumen
En este capı́tulo se presentaron las acciones de control más importantes para resolver pro-
blemas de control. El controlador más utilizado en la práctica genera la señal de control como
una combinación de acciones Proporcional, Integral y derivativa del error; sus principales carac-
terı́sticas de funcionamiento son:
La acción Proporcional tiene alta velocidad de respuesta en el transitorio pero corrimiento
en el régimen estacionario.
La acción Integral elimina el corrimiento pero merma la estabilidad y la velocidad de

respuesta del transitorio.
La acción Derivativa tiene un efecto anticipativo en la señal de control por responder a

la rata de cambio del error, con ello aporta amortiguamiento y trata de estabilizar (con
excepción de los sistemas de fase no mı́nima); por su alta ganancia en alta frecuencia
amplifica el ruido de realimentación.
La tabla 6.8 muestra los efectos en el desempeño de un sistema de control estable de la

acción P, I o D en el tiempo de subida tr , el sobrepaso Mp , tiempo de estabilización ts , error
permanente ess y la estabilidad Li Yun and Chong [2006].
Para el ajuste de los parámetros de la acción de control PID se pueden usar métodos
empı́ricos como el de ganancia crı́tica o la curva de reacción de Ziegler y Nichols; con ellos
a partir de una prueba simple sobre el proceso real y una regla heurı́stica, se puede ajustar el
controlador; sinembargo éstos métodos están limitados a sistemas estables amortiguados en red
abierta; son muy sensibles a las dinámicas del proceso como a la relación Tm /τ para sistemas
de primer orden con constante de tiempo τ y tiempo muerto Tm y obtienen respuestas en red
cerrada con bajo amortiguamiento.

6.8. RESUMEN
Tabla 6.8: Efectos de cada acción de control en el desempeño de un sistema de control.
tr Mp ts ess Estabilidad
Aumentar kp Disminuye Aumenta Aumenta poco Disminuye Empeora
Aumentar ki Disminuye poco Aumenta Aumenta Disminuye mucho Empeora
Aumentar kd Disminuye poco Disminuye Disminuye Disminuye poco Mejora
Sin acción integral pura, el controlador PID se puede analizar como un compensador de
adelanto y/o atraso de fase. La acción de control PID es un caso particular de la forma general
de un controlador en representación de entrada salida:
R T
u=− y + r.
S S
Esta forma usa el filtro discreto T sobre la referencia r, el filtro R sobre la señal de realimentación
y y el filtro 1/S sobre el error; con R = T y los filtros de segundo orden, se obtiene la acción de
control PID. Por su flexibilidad y generalidad, el controlador RST permite resolver problemas
de control para dinámicas de plantas más complejas y requisitos de diseño más exigentes.
Para el diseño en el espacio de estado, la acción de control se puede representar en la
forma general de estado de la ecuación (6.25); con ella se pueden asignar arbitrariamente los
modos del sistema realimentado y cumplir con diferentes requisitos de desempeño tanto para el
seguimiento de la referencia como para su regulación ante disturbios.
Las acciones de control se pueden implementar de forma análoga utilizando amplificadores
operacionales, pero en la actualidad las implementaciones son digitales; la ley de control análoga
se puede discretizar para obtener las ecuaciones de diferencia que representan el controlador;
estas ecuaciones pueden ser de forma posicional o incremental, dependiendo de como se escriba
el algoritmo de integración. Las ecuaciones de diferencia se implementan directamente en el pro-
cesador digital con un ejecutivo de control que realiza las tareas de: inicializar los parámetros
y variables, leer las entradas al controlador, calcular la señal de control, enviarla al conversor
D/A, actualizar el estado del controlador y gestionar la periodicidad de las tareas anteriores.
Esta periodicidad corresponde al perı́odo de muestreo del sistema el cual debe escogerse apro-
piadamente para una adecuada implementación digital de la acción de control; se requiere un
perı́odo de muestreo entre 15 y 40 veces el tiempo de estabilización o 10 a 30 veces la frecuencia
de oscilación de la respuesta del sistema en red cerrada. En la implementación digital se gene-
ran tiempos muertos por el retardo computacional y errores por redondeo en las operaciones
aritméticas, reboses o la cuantificación de los parámetros; esto último cambia la ubicación de
los polos y ceros del controlador por lo que para evitar una amplificación de este error, debe
usarse una implementación de la ley de control en paralelo o cascada de bloques de primer y
segundo orden.
La saturación del actuador con una acción de control integral genera sobrepasos elevados y
oscilaciones en el sistema; para evitarlos, se debe medir o estimar la variable manipulada salida
del actuador, con el fin de cambiar la integración a una dinámica estable en el evento de la satu-
ración. La figura 6.34 y las ecuaciones (6.49) y (6.50) presentan funciones de antiembalamiento
para las representaciones generales de la acción de control en entrada salida y estado. Estas
funciones con una actualización del estado del controlador dependiendo de los parámetros, per-

miten una adecuada inicialización en el arranque del controlador y los cambios sin saltos en la
señal de control, por cambios de los parámetros del controlador o entre los modos de control
automático y manual, cuando el sistema opera en régimen estacionario y sin error permanente.

Sobre el controlador PID el libro K.J.Aström and T.Hagglund [1995] presenta un excelente
análisis sobre las bases y aspectos avanzados, métodos de ajuste, aplicaciones industriales e in-
formación sobre controladores comerciales; se recomienda el estudio del método del relé para la
sintonı́a del controlador, el cual presenta grandes ventajas con relación al de ganancia crı́tica de
Ziegler y Nichols; el método ha sido exitosamente implementado en controladores comerciales.
La continuación de este libro K.J.Aström and T.Hagglund [2005] presenta además modernos
métodos de ajuste y dedica un capı́tulo al análisis de la puesta en marcha, supervisión y diagnós-
tico en lı́nea del desempeño del sistema de control, de interés práctico para el mantenimiento de
la solución al problema de control. El libro tiene como complemento un módulo de aprendizaje
interactivo para el PID, disponible en http://www.calerga.com/contrib/1/index.html (consul-
tado Nov.2010).
En el capı́tulo 1 de Johnson and H.Moradi [2005] se presentan las funcionalidades más im-
portantes de los controladores PID comerciales y las funciones PID en sistemas comerciales de
supervisión y control. El libro presenta métodos clásicos y modernos de análisis y diseño del
PID, con extensiones a los controladores PID multivariable, óptimo y predictivo.
Una exhaustiva revisión de métodos de ajuste del controlador PID se encuentra en O’Dwyer
[2009].
Para aspectos prácticos de la sintonı́a del controlador PID en control de procesos, ver
http://www.controlguru.com/ (consultado Nov.2010).
La sección 6.5 está basada principalmente el capı́tulo 9 de Aström and Wittenmark [1997],
en donde se encuentran más detalles y referencias sobre la implementación digital; para quien
implemente el controlador, se recomiendan las secciones sobre los aspectos a considerar de
seguridad, comunicaciones y de programación en tiempo real.

Ejercicio 6.1
Se considera de nuevo el péndulo de los ejercicios 2.3 y 5.4; para la masa en equilibrio,
desplácela y observe la oscilación obtenida; plantee un modelo de control para el sistema.
Repita el procedimiento anterior, pero después de la primera oscilación trate de llevar la
masa al equilibrio lo más pronto posible, desplazando con su brazo el extremo superior. ¿Cuantas
oscilaciones realiza la masa con su acción de control? ¿Cuál es el modelo del sistema controlado?
¿Cuál es la acción de control implementada?
Ejercicio 6.2
Repita el ejercicio anterior para el sistema de masa con nylon elástico de la lúdica 5.2.

Ejercicio 6.3
La primera noción de acción PID como se conoce actualmente la planteó Minorski Minorsky
[1922] en el desarrrollo de sistemas de control de barcos; esto lo hizo observando cómo los
conducı́an los más experimentados pilotos.
Analice las acciones de control utilizadas en la conducción de un vehı́culo para su posicio-
namiento en un plano.

Ejercicio 6.4
Analice en simulación digital cómo cambia el comportamiento del controlador Todo-Nada
del ejemplo 6.1, para el proceso:
e−sTm
G(s) = ,
s+1
con tiempos muertos de Tm = 0.5 y Tm = 1.
Ejercicio 6.5
Aplique el método de oscilación de Ziegler y Nichols al proceso:
1
Gp (s) =
(s + 1)4
para ajustar un controlador PID en la forma estándar (6.8) con N = 10. Compare el desempeño
logrado a la respuesta al escalón de entrada con la obtenida para el PID serie, ecuación (6.7).
Ejercicio 6.6
Para los sistemas:
e−s e−s
G(s) = e−s , G(s) = , G(s) = ,
s (s + 1)2
determine los parámetros de las acciones de control P, PI y PID con los métodos de ajuste
empı́ricos presentados en este capı́tulo; compare en simulación los resultados obtenidos con los
diferentes métodos, para las respuestas a escalones de entrada y disturbios de salida.
Ejercicio 6.7
Para el control del sistema oscilador de la figura 6.41 se desea que la ecuación caracterı́stica
R(s) + 1 C(s)
Gc (s) s2 +1
−
Figura 6.41: Sistema para el ejercicio 6.7.
π
en red cerrada, esté dominada por una dinámica de segundo orden con tiempo de pico de √
3
segundos y sobrenivel porcentual del 16 %.

1. Obtenga la ecuación caracterı́stica deseada, si el sistema en lazo cerrado es de segundo

orden.
2. Obtenga una ecuación caracterı́stica deseada, si el sistema en lazo cerrado es de tercer
orden.
3. Analice si es posible cumplir las especificaciones dadas, para cada una de las siguientes
acciones de control:
a) Gc (s) = kp .
ki
b) Gc (s) = s .
c) Gc (s) = kp (TiTs+1)
is
.
d ) kp (Td s + 1).
En caso de poder cumplir las especificaciones, ajuste apropiadamente el controlador.
Ejercicio 6.8
Para el sistema oscilador del ejercicio anterior, diseñe controladores PID para obtener
dinámicas de red cerrada dominadas por un par de polos complejos con coeficiente de amorti-
guamiento de ρ = 0.7 y frecuencias naturales de 2 y 4 rad/s. Compare los desempeños obtenidos
ante escalones de referencia y disturbios de salida.
Ejercicio 6.9
Analice las condiciones para la asignación de polos del controlador:
n1 s + n0
Gc (s) = , (6.53)
d1 s + d0
controlando el sistema de segundo orden (6.14). Cuáles son los parámetros del controlador PD
en función de los parámetros del controlador (6.53). Analice si es posible controlar el sistema
oscilador (6.18) para obtener en red cerrada el par de polos complejos dominantes: (s2 +1.4s+1).
Ejercicio 6.10
Diseñe la acción de control por realimentación de estados (6.21), para que el sistema do-
ble integrador: Gp (s) = 1/s2 tenga polos de red cerrada con amortiguamiento de ρ = 0.7 y
frecuencia natural ωn = 1.
Ejercicio 6.11
Diseñe la acción de control por realimentación de estados (6.21), para que el sistema:
Gp (s) = 1/(s + 1)2
tenga polos de red cerrada con amortiguamiento de ρ = 0.7 y frecuencia natural ωn = 2.
Ejercicio 6.12
El sistema de control de carga de un servidor de Internet presentado en el ejemplo 1.12, se
modeló en el ejemplo 3.1; defina unas especificaciones adecuadas de desempeño, seleccione y
ajuste una acción de control adecuada.

Ejercicio 6.13
En el ejemplo 5.5 se analizó un sistema de control de la excitación con diferentes acciones de
control análogas; seleccione un perı́odo de muestreo apropiado, discretice las diferentes acciones
de control usadas en el ejemplo con las aproximaciones realizadas para la discretizacion del PID
y analice la dominancia de los polos de red cerrada del sistema de tiempo discreto obtenido.
Ejercicio 6.14
Para el sistema de control digital de la figura 6.42, se desea: lı́mk→∞ e∗ (kT ) → 0 para
E ∗ (s)
R(s) + E(s) 1 C(s)
Gc(z) ROC C(kT )
2s+1
− T = 1s
T = 1s
R(s) = 1/s y una dinámica dominada por un par de polos complejos conjugados con coeficiente
de amortiguamiento ρ = 0.5 y tiempo de estabilización igual a 6 segundos (criterio del 5 %).
Seleccione y ajuste la acción de control Gc (z) de tipo PID más simple posible que cumpla
con estas especificaciones.
Ejercicio 6.15
Para el sistema de control digital:
1
D(s) = s
+
R(s) + E(s) E ∗ (s) + C(s)
1
Gc (z) ROC s+1
− T = 0.5
Se desea:
1. Error de estado estable debido al disturbio e∗sspd = 0
2. Respuesta transitoria sobreamortiguada o dominada por un par de polos conjugados com-
plejos con coeficiente de amortiguamiento ρ ≥ 0.5
3. Tiempo de estabilización ts ≤ 2 seg, criterio del 2 %.
Seleccione y ajuste la acción de control PID más simple posible que cumpla con las especifica-
ciones dadas.
Ejercicio 6.16
Para el sistema de la √figura 6.43, se desea una ecuación caracterı́stica en red cerrada de
√
segundo orden con ρ = 22 y ωn = 2. Ajuste el controlador proporcional derivativo, para
cumplir la especificación deseada.

R(z) + 1 C(z)
Kp + Kd (1 − z −1 ) 2(z−1)
−
Ejercicio 6.17
Se desea que el sistema descrito por la función de transferencia discreta:
0.1z + 0.06
G(z) = ,
(z − 0.6)2
responda con una dinámica en red cerrada dominada por un par de polos complejos conjugados
con coeficiente de amortiguamiento de 0.5 y tiempo de estabilización menor de 4 seg, evaluado
con el criterio del 5 %. Para ello se dispone de un controlador PID digital, el retenedor de orden
cero y perı́odo de muestreo de T = 0.5 seg. Seleccione la acción de control PID digital más
simple posible que cumpla con las especificaciones deseadas.
Ejercicio 6.18
Escoja el perı́odo de muestreo para la implementación digital del sistema de control del
ejercicio 5.13.
Ejercicio 6.19
Escoja el perı́odo de muestreo adecuado para el sistema de control digital de la figura 3.35.
Ejercicio 6.20
Para el sistema en red cerrada del ejercicio 4.8, escoja el perı́odo de muestreo adecuado;
compare los desempeños obtenidos con escalones de entrada y disturbio, para el sistema de
control digital con el controlador PD ideal y con el filtro de alta frecuencia para N = 2 y 10.
Ejercicio 6.21
Para el controlador:
b2
Gc (z) = ,
(z + a)2
con b = 1 + a calcule la sensitividad de los polos con respecto a los coeficientes para implemen-
taciones directa y paralela. Evalúela para a = 0.98, con una variación del 1 % en a.
Ejercicio 6.22
La figura 6.44 muestra una función de antiembalamiento para un controlador PID estándar.
la ganancia kg ajusta la dinámica del control durante la saturación; analice la filosofı́a de
operación de esta función; aplı́quela y verifique su operación para el sistema analizado en el
ejemplo 6.10.
Ejercicio 6.23
Analice en simulación el comportamiento de la compensación de banda muerta del ejercicio
6.11, con respecto a disturbios antes del integrador y en la señal de control.

Figura 6.44: Función de antiembalamiento para un controlador PID.
Ejercicio 6.24
La compensación de la banda muerta solamente es efectiva si la alinealidad está en serie con
la señal de control; tal no es el caso para el servo analizado en el ejemplo 5.10; para el sistema
de control de ese ejemplo, analice en simulación digital la compensación de la banda muerta.
Ejercicio 6.25
Para el controlador PID con antiembalamiento de la figura 6.44 proponga una función de
transferencia sin saltos entre los modos de operación manual y automático.
Ejercicio 6.26
Proponga un ejecutivo de control para el controlador PID de la figura 6.44 con funciones
que eviten saltos en la señal de control por cambios de parámetros y cambios entre los modos
de operación manual y automático.
Ejercicio 6.27
La figura muestra el diagrama de bloques del controlador RST con funciones de antiembala-
miento por saturación de magnitud y rata de cambio de la variable manipulada, Goodwin et al
[2001].
La realimentación positiva sobre el bloque de saturación antes de la salida u(k) tiene la dinámi-
Figura 6.45: Controlador RST con antiembalamiento de magnitud y rata de cambio.
ca: 1/(1 − z −1 ) lo que corresponde a la integral discreta; la entrada al bloque es por lo tanto

la aproximación de la derivada de u(k); note que si ninguna saturación se activa, la señal de

realimentación u(k − 1) se anula y a(k) = u(k). Analice la respuesta del sistema de control del
servomecanismo hidráulico del ejemplo 5.10, con y sin la función de antiembalamiento de la
−3T
figura 6.45, con el controlador PI: Gc (z) = 3z−3e
z−1 , T =0.2s, τ = 1, posición de salida entre
0 y 1.5 y lı́mites de velocidad de ±0.1.
Ejercicio 6.28
Proponga un sistema de antiembalamiento de un controlador RST como el de la figura
6.45 para limitar la aceleración de la señal de control. Extiéndalo a la limitación de magnitud,
velocidad y aceleración de la señal. Analice en simulación el efecto en el desempeño del sistema
de control para el proceso:
1
G(s) = ,
s(s + 5)
con el controlador
5(s + 1)
Gc (s) =
s
y lı́mites de velocidad y aceleración de ±0.1.
Ejercicio 6.29
Un sistema de control digital con perı́odo de muestreo de π/3s, controla la planta con función
de transferencia discreta: G(z) = z/(z 2 − z + 1). La entrada deseada es un valor constante y se
quiere alcanzar con un error menor del 10 % en régimen estacionario. El sistema dispone de un
controlador Gc (s) de tipo proporcional, integral y derivativo, PID. Para controlar este sistema
cumpliendo las especificaciones dadas, la acción de control más apropiada es la
A. integral.
B. proporcional derivativa.
C. proporcional integral.
D. proporcional.
Ejercicio 6.30
Se desea que el sistema descrito por la función de transferencia discreta: G(z) = 0.4/(z−0.6)
responda con una dinámica en red cerrada más rápida que la de red abierta y que regule sin
error entradas de referencia constantes. Para ello se dispone de un controlador PID digital, el
retenedor de orden cero y perı́odo de muestreo de T = 0.5s. La acción de control PID digital
más simple posible que cumple con las especificaciones deseadas es la
A. integral.
B. proporcional derivativa.
C. proporcional integral.
D. proporcional.


Las principales actividades de proyecto sugeridas para este capı́tulo están asociadas a las
actividades de ingenierı́a de detalle sección 1.4.4 y de puesta en marcha, sección 1.4.5, del
sistema de control, en particular a la selección, montaje, prueba y ajuste de un controlador
PID comercial, o bien a la implementación de la acción de control PID en caso de utilizarse un
sistema de desarrollo rápido de prototipos.
1. Consulte los proveedores en Internet y locales del controlador; consulte manuales de
fabricantes de controladores autónomos y las funciones disponibles de controladores lógi-
cos programables y sistemas de control distribuidos; identifique:
a) La nomenclatura utilizada por el fabricante para las variables y los parámetros del
controlador.
b) Las estructuras de control disponibles para la acción de control PID.
c) Los filtros digitales disponibles para la referencia y la señal de realimentación.
d ) Los filtros de antiplegamiento frecuencial disponibles para las señales de realimenta-
ción.
e) Las funcionalidades para operar bajo esquemas de control con más variables como
el control directo y el cascada (ver el capı́tulo 10).
f ) Sistemas que permitan configurar la acción de control RST o la realimentación de
estados.
g) Las interfaces hombre-máquina disponibles como tendencias, alarmas, seguridad, re-
portes, modos de operación, menús de parametrización, etc.
h) Los modos de operación: inicialización, arranque/parada, parada de emergencia, au-
tomático/manual, operación en falla y recuperación.
i ) Las entradas y salidas disponibles (rangos, número de bits, etc.) y la conectividad
del controlador con redes de control.
j ) Las opciones disponibles para el tipo de señal de control.
k ) Los rangos de ajuste del perı́odo de muestreo.
l ) Las funcionalidades disponibles para soportar el ajuste en lı́nea del controlador, como
el autoajuste, prueba de relé, simulación, etc.
m) Las funcionalidades para el ajuste automático en lı́nea, como ganancias programadas
o adaptativo.
n) Las funciones disponibles para la supervisión y diagnóstico en lı́nea del desempeño
del controlador.
2. A partir de las especificaciones deseadas de desempeño definidas en las actividades de

los capı́tulos anteriores, seleccione el perı́odo de muestreo requerido para el procesador
digital.
3. Seleccione un controlador comercial PID o una plataforma de desarrollo adecuada para

implementar la acción de control PID.

4. Evalúe en el controlador escogido o implemente y evalúe, la acción de control PID.
5. Evalúe en el controlador escogido o implemente y evalúe, la inicialización, arranque y

parada del sistema.
6. Evalúe en el controlador escogido o implemente y evalúe, las funciones para los cambios
sin saltos en la señal de control, por cambios de los parámetros del controlador o entre
los modos de control automático y manual.
7. Verifique la correcta gestión de los reboses en el controlador.
8. Verifique el correcto desempeño o implemente y evalúe, el filtro de antiplegamiento fre-

cuencial.
9. Evalúe en el controlador escogido o implemente y evalúe, la función de antiembalamiento

del controlador.
10. Ajuste el controlador PID con uno de los métodos empı́ricos vistos. Verifique si se cumplen
las especificaciones deseadas de desempeño.
11. Si es disponible, use la función de soporte para el ajuste en lı́nea del controlador; compare
el desempeño logrado con este ajuste, con relación al logrado en el punto anterior.
12. Calcule o mida el retardo de cómputo del controlador. Analice los efectos en el desempeño
del sistema por los retardos de cómputo y la longitud de palabra finita del controlador y
los conversores A/D y D/A.
13. Si es disponible, evalúe la función de ajuste automático en lı́nea del controlador.
14. Si es disponible, evalúe las funciones de supervisión y diagnóstico en lı́nea del desempeño
del controlador.
15. Evalúe las demás funcionalidades disponibles en el controlador, como las interfaces hombre-
máquina, comunicaciones, seguridad, etc.

Capı́tulo 7
Análisis de la estabilidad de
sistemas dinámicos
7.1. Introducción
Entre los muchos tipos de especificaciones de desempeño utilizadas para el diseño de un
sistema de control, el requerimiento más importante es que el sistema sea estable; por lo general,
un sistema inestable se considera inútil. Existen muchas nociones de estabilidad, una de ellas
es considerar que un sistema es estable si al aplicarle una entrada de magnitud finita, su salida
es también finita.
Este capı́tulo trata las condiciones que se deben satisfacer para que los sistemas lineales
invariantes de una entrada y una salida, sean estables. Para estos sistemas, en la sección 4.7
se mostró que el requerimiento de estabilidad se puede definir en términos de los polos de la
función de transferencia en lazo cerrado. El análisis de estabilidad se realizará para los sistemas
continuos y discretos en términos de la estabilidad absoluta, esto es solo saber si el sistema es o
no es estable; para ello se estudiará el criterio de estabilidad de Routh para sistemas continuos y
el de Jury para los discretos; estos criterios se desarrollaron para evitar el entonces difı́cil cálculo
numérico de las raı́ces del polinomio caracterı́stico; hoy en dı́a con las poderosas herramientas de
análisis numérico como el programa MATLAB, ello ya no es una limitante y se pueden calcular
las raı́ces de la ecuación caracterı́stica fácilmente con el comando ‘pole’, ver el ejemplo 2.14, o
para una representación de estado, los valores propios de la matriz del sistema con el comando
‘eig(A)’; sinembargo, estas herramientas aún son útiles pues también permiten obtener las
relaciones entre los coeficienctes de la ecuación caracterı́stica y la estabilidad; estos coeficientes
dependen como ya se sabe de los parámetros del modelo del proceso y del controlador.
En el análisis de la estabilidad interesa conocer que tan cerca está de ser inestable un
sistema estable; este análisis se conoce como de estabilidad relativa y se presentará en los dos
próximos capı́tulos. El análisis de estabilidad se realizará en este capı́tulo para la planta nominal;
sinembargo, en el ejemplo 5.7 se observó un caso donde el sistema de control nominal es estable,
pero un muestreo sobre la incertidumbre del modelo arrojó un comportamiento inestable en red
cerrada; es importante igualmente saber cuándo la incertidumbre del modelo permite sistemas
controlados inestables; en la sección 9.2.4 se analizará esta noción de estabilidad, conocida como
380
7.2. ESTABILIDAD ABSOLUTA NOMINAL
estabilidad robusta.
7.2. Estabilidad absoluta nominal

7.2.1. Estabilidad de entrada limitada y salida acotada
Lúdica 7.1
1. Analice la respuesta del cilindro para una inclinación dada. ¿Cuál es la dinámica básica
a controlar?
2. Se busca posicionar el cilindro en el centro, partiendo desde un extremo; inicie todos los
ensayos con las mismas condiciones iniciales, cilindro quieto en un extremo sin inclinación
del plano. Si es necesario, realice varios ensayos antes de realizar la observación final.
Defina caracterı́sticas apropiadas para evaluar el desempeño en cada uno de los siguientes
casos:
a) Con el plano en sus manos a la altura del pecho.
b) El plano sostenido desde un extremo con una sola mano, con el brazo completamente
extendido al frente, accionando solo con la articulación del hombro.
3. De acuerdo al desempeño logrado para cada caso, ¿qué pueden concluir acerca del com-
portamiento del sistema?
En la sección 4.7 se observó que la dinámica en red abierta del plano y el cilindro es inestable,
en el sentido que para una inclinación dada del plano, el cilindro rueda hasta salirse del plano;
esta es una respuesta no acotada para una entrada acotada; la dinámica de este sistema es la
de una masa sometida a una fuerza (la gravedad por el seno de la inclinación del plano), lo
que corresponde para la posición como salida, a un doble integrador (o a un integrador con
dinámica de primer orden si se considera la fricción viscosa); la evolución de la posición para
una inclinación dada del plano es por lo tanto parabólica con el tiempo. La realimentación
estabiliza esta dinámica en el paso 2a pero es difı́cil lograrlo con el brazo extendido en el paso
2b.
Se dice que un sistema lineal, invariante y monovariable, tiene estabilidad de Entrada
Limitada-Salida AcotadaELSA (en inglés BIBO, ‘Bounded Input-Bounded Output’), si toda
entrada acotada produce una salida acotada. Esta propiedad esta muy asociada con la res-
puesta al impulso continua g(t) o discreta g(k) del sistema; sea el sistema de tiempo continuo
descrito por su función de transferencia:
C(s)
= G(s). (7.1)
R(s)
La condición de estabilidad ELSA exige que si |r(t)| ≤ N < ∞ para t ≥ 0, entonces
|c(t)| ≤ M < ∞ para t ≥ 0.
A partir de la respuesta calculada vı́a la integral de convolución:
Z ∞ Z ∞
|c(t)| ≤ |r(t − τ )||g(τ )|dτ ≤ N |g(τ )|dτ ≤ M
0 0

se requiere que el área de la curva debajo de |g(τ )| debe ser finita; note que es necesario que
lı́m g(t) → 0, para que el sistema continuo sea ELSA estable.
t→∞
Para los sistemas lineales invariantes monovariables de tiempo discreto, la definición de

estabilidad ELSA es la misma; un análisis similar lleva a que se debe cumplir la condición:
∞
X
|g(k)| < ∞,
0
lo cual exige que lı́m g(k) → 0, para que el sistema discreto sea ELSA estable.
k→∞
Las condiciones anteriores en g(t) o g(k) permiten relacionar la estabilidad ELSA con la
ubicación de las raı́ces en los planos S o Z respectivamente.
1. Plano S: Polo(s) en el semiplanoR izquierdo, g(t) es acotada y decrece asintóticamente:

∞
lı́m g(t) → 0; esto garantiza que 0 |g(τ )|dτ sea acotada, luego el sistema es estable.
t→∞
Plano Z: Polo(s) dentro del cı́rculo
Punitario, g(k) es acotada y decrece asintóticamente:
∞
lı́m g(k) → 0; esto garantiza que 0 |g(k)| sea acotada, luego el sistema es estable.
k→∞
2. Plano S: Polo(s) en el semiplano derecho lı́m g(t) → ∞, luego el sistema no es ELSA

t→∞
estable; un sistema que no es estable ELSA, se define como inestable.
Plano Z: Polo(s) fuera del cı́rculo unitario lı́m g(k) → ∞, luego el sistema es inestable.
k→∞
3. Plano S: Si hay un polo en el origen o complejos no repetidos en el eje imaginario, |g(t)|

es constante o una sinusoide no amortiguada y asintóticamente no tiende al infinito; sin
embargo, la integral de g(t) no es acotada y el sistema es ELSA inestable.
Plano Z: Un polo simple en z = 1, tiene una secuencia de respuesta al pulso unitario
constante; pares de polos complejos no repetidos en el cı́rculo imaginario o un polo simple
en z = −1 tienen respuestas oscilatorias acotadas. Sin embargo, la sumatoria de |g(k)| no
es acotada y el sistema es ELSA inestable.
Por razones prácticas, cuando las raı́ces de la ecuación caracterı́stica están en el eje com-
plejo jω o en el cı́rculo de radio unidad del plano Z, se dice que el sistema es marginalmente
estable o inestable. La acción de control integral adiciona polos en s = 0 o z = 1 y en
principio es inestable, sin embargo, se observó en los capı́tulos pasados que es muy útil.
7.2.2. Estabilidad interna

Sin pérdida de generalidad, para el análisis de estabilidad interna en esta sección se considera
el sistema de la figura 4.2 realimentado unitario: H(s) = 1, ver la figura 7.1.
Para las señales de salida C(s) y A(s) y las cuatro entradas, existen ocho funciones de
transferencia entre cada salida y cada entrada; estas ocho funciones corresponden a las cuatro
funciones de sensibilidad definidas en la sección 4.2.2 con signo positivo o negativo para T y Ss :
C 1
=S= , (7.2)
Ds 1 + Gc Gp

Figura 7.1: Sistema de control realimentado.
C Gp
= Se = , (7.3)
De 1 + Gc Gp
C C Gc Gp
= =T = , (7.4)
R −N 1 + Gc Gp
A(s) A(s) A(s) A(s) Gc
= = = = Ss = . (7.5)
R −N −Ds −N 1 + Gc Gp
Se define el sistema de control como internamente estable, si las funciones de sensibilidad (7.2)
a (7.5) son estables. Esto equivale a exigir que todas las señales en el lazo sean acotadas para
cada conjunto de entradas r(t), de (t), ds (t) y n(t) acotadas.
La estabilidad interna se puede asociar también a las raı́ces de la ecuación caraterı́stica.
Sean Gc (s) = Rc (s)/Sc (s) y Gp (s) = B(s)/A(s); luego el sistema realimentado es internamente
estable, si y solo si las raı́ces de la ecuación caracterı́stica:
A(s)Sc (s) + B(s)Rc (s) = 0
tienen parte real negativa.

La noción de estabilidad interna es más fuerte que la de estabilidad ELSA de la referencia
a la salida; ella exige adicionalmente que no hayan cancelaciones de polos inestables entre la
planta Gp (s) y el controlador Gc (s). Este mismo criterio aplica a otros controladores distintos
al serie analizado, como el RST.
Ejemplo 7.1
Para: Gc (s) = (−s+1)
s y Gp (s) = 1
(s+1)(−s+1) , la función de transferencia entre la salida C(s)
y la entrada de referencia R(s):
C(s) 1
T (s) = = 2
R(s) s +s+1

es estable. Sin embargo, la función de transferencia entre la salida C(s) y la perturbación de

entrada De (s):
C(s) s
Se (s) = =
De (s) (−s + 1)(s2 + s + 1)
es inestable; el lazo cerrado no es internamente estable, ya que:
A(s)Sc (s) + B(s)Rc (s) = (−s + 1)(s2 + s + 1)
tiene una raı́z inestable. △
De lo anterior, el problema de determinar la estabilidad ELSA o interna de un sistema, se

reduce a poder saber si el polinomio caracterı́stico:
P (s) = snp + pnp −1 snp −1 · · · + p1 s + p0 ,
con coeficientes pi reales, tiene todas sus raı́ces con parte real negativa, esto es, si es Hurwitz.
Por supuesto que para ello se puede simplemente calcular las raı́ces del polinomio; sinembargo,
en muchos casos es útil estudiar la relación entre la posición de las raı́ces y ciertos coeficientes
del polinomio. Algunas propiedades polinomiales de interés para ello son:
1. El coeficiente pnp −1 satisface:
n
X
pnp −1 = − λi ,
i=1
donde los λ1 , λ2 ...λn son las raı́ces de P (s)

2. El coeficiente p0 satisface:
n
Y
n
p0 = (−1) λi .
i=1
3. Si todas las raı́ces de P (s) tienen parte real negativa, entonces necesariamente pi > 0, i ∈
{0, 1, ...(n − 1)}.
4. Si cualquiera de los coeficientes del polinomio es no positivo (negativo o cero), entonces
al menos una de las raı́ces tiene parte real no negativa.
7.2.3. Estabilidad de sistemas continuos con el criterio de Routh-

Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz es un algoritmo de aplicación directa para evaluar la estabilidad
absoluta de un sistema de tiempo continuo determinando el número de polos de lazo cerrado
que caen en el semiplano derecho, sin calcular las raı́ces de la ecuación caracterı́stica. También
indica el número de raı́ces que están sobre el eje imaginario jω; es uno de los métodos más
usados para determinar si un polinomio es Hurwitz o no, basándose en sus coeficientes.
El método es el siguiente:
1. Ordenar la ecuación caracterı́stica de la forma:
a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an = 0; an 6= 0.

2. Verificar que todos los coeficientes de la ecuación tienen el mismo signo y ninguno de
los coeficientes es igual a cero (condición necesaria pero no suficiente); de lo contrario,
existe al menos una raı́z que es imaginaria o tiene parte real positiva y el polinomio no es
Hurwitz.
3. Elaborar la tabla.
sn a0 a2 a4 . . .
n−1
s a1 a3 a5 . . .
sn−2 b1 b2 b3 . . .
sn−3 c1 c2 c3 . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
s1 d1 . . . . .
s0 f1 . . . . .
a1 a2 − a0 a3 a1 a4 − a0 a5 a1 a6 − a0 a7
b1 = , b2 = , b3 = , ...
a1 a1 a1
b1 a 3 − a 1 b2 b1 a 5 − a 1 b3
c1 = , c2 = , ...
b1 b1
etc...hasta la fila enésima.
El arreglo anterior se conoce como tabulación de Routh o arreglo de Routh. La columna de

si , i = 1, ..., n en el lado izquierdo se utiliza para propósitos de identificación. La columna de
referencia mantiene el rastro de los cálculos y el último renglón de la tabulacion de Routh es el
renglón de s0 .
Una vez que la tabulación de Routh se ha completado, el último paso es aplicar el criterio,
el cual establese que: El número de cambios de signos en los elementos de la primera columna
es igual al número de las raı́ces con parte real positiva o en el semiplano derecho del plano S.
Por lo tanto, un polinomio será Hurwitz si tiene todos sus coeficentes y elementos de la
primera columna de la tabulación de Routh, positivos.
Se dificulta aplicar el criterio cuando:
1. El primer elemento de una fila es cero, tendiendo a infinito los elementos de la fila siguiente.
En este caso, se reemplaza el elemento nulo por un número positivo pequeño ǫ.
2. Los elementos de una fila son nulos; esto es debido a:
Pares de raı́ces reales equidistantes del eje imaginario.

Pares de raı́ces complejas, simétricas al origen.
En este caso crea la ecuación auxiliar, con los coeficientes de la fila superior a la fila nula y se
reemplaza la fila nula con los coefientes de la ecuación auxiliar; esta ecuación es de orden par
y sus raı́ces son también de la ecuación caracterı́stica.

Ejemplo 7.2
Este ejemplo ilustra cómo el método permite analizar la estabilidad absoluta en función de
parámetros del sistema. Se considera el sistema de control de la excitación de un generador con
excitatriz de la figura 5.4:
1
Gp (s) = τe , τg > 0,
(τe s + 1)(τg s + 1)
con un controlador integral:

kI
Gc (s) = .
s
La dinámica de red abierta es:
kI
G(s) =
s(τe s + 1)(τg s + 1)
por lo que la ecuación caracterı́stica será:
τe τg s3 + (τe + τg )s2 + s + kI = 0.
Se organiza la tabla de Routh:
s3 τe τg 1
s2 τe + τg kI
s1 1 − τeq kI 0
s0 kI
τe τg
donde τeq = τe +τg ; para que todos los elementos de la primera fila sean positivos, se requiere:
1 τe +τg
1 − τeq kI > 0 y kI > 0, luego: 0 < kI < τeq = τe τg .
τe +τg
Por otro lado, si la ganancia kI es la ganancia crı́tica: kIc = τe τg , la fila s1 es nula y hay
raı́ces conjugadas en el eje complejo; la ecuación auxiliar es:
τe + τg
(τe + τg )s2 + = 0,
τe τg
1
s2 = −
,
τe τg
s
1
s1−2 = ±j ,
τe τg
q
luego el sistema oscila con la frecuencia: ωo = τe1τg .
Dividiendo la ecuación caracterı́stica por la ecuación auxiliar se obtiene la tercera raı́z en:
s3 = − τ1eq . △

7.2.4. Estabilidad de sistemas discretos con la prueba de Jury

Para la ecuación caracterı́stica de un sistema de tiempo discreto, la prueba de estabilidad de
Jury permite evaluar la estabilidad absoluta; para la ecuación caracterı́stica organizada en la
forma:
P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an , a0 > an ,
el sistema es estable si cumple todas las condiciones:
1. |an | < a0 ,
2. P (z)|z=1 > 0,

> 0 Si n es par
3. P (z)|z=−1 = ,
< 0 Si n es impar
4.
|bn−1 | > |b0 |
|cn−2 | > |c0 |
.
.
.
|q2 | > |q0 |,
donde los coeficientes bk , ck , ..., qk de la última condición, se calculan a partir de la siguiente

tabla.
z0 z1 z2 z3 . . . z n−2 z n−1 zn
1 an an−1 an−2 an−3 . . . a2 a1 a0
2 a0 a1 a2 a3 . . . an−2 an−1 an
3 bn−1 bn−2 bn−3 bn−4 . . . b1 b0
4 b0 b1 b2 b3 . . . bn−2 bn−1
5 cn−2 cn−3 cn−4 cn−5 . . . c0
6 c0 c1 c2 c3 . . . cn−2
. . . . .
. . . . .
. . . . .
2n − 5 p3 p2 p1 p0
2n − 4 p0 p1 p2 p3
2n − 3 q2 q1 q0
con:
an an−1−k
bk = det k = 0, 1, 2, ..., n − 1,
a0 ak+1

bn−1 bn−2−k
ck = det k = 0, 1, 2, ..., n − 2,
b0 bk+1

.
.
.

p3 p2−k
qk = det k = 0, 1, 2.
p0 pk+1
Note que la última fila tiene 3 elementos, con excepción de los sistemas de segundo orden para
los cuales habrá 2n − 3 = 1, un elemento; observe que los elementos de una fila par son los de
la fila impar superior, en sentido inverso.
Ejemplo 7.3
En este ejemplo se evalúa la estabilidad del sistema con ecuación caracterı́stica:
P (z) = z 4 − 1.2z 3 + 0.07z 2 + 0.3z − 0.08 = 0.
Los coeficientes de la ecuación caracterı́stica son:
a0 = 1, a1 = −1.2, a2 = 0.07, a3 = 0.3, a4 = −0.08.
Se verifica si se cumplen las condiciones:
1. |an | < a0 : | − 0.08| < 1, cumple.
2. P (1) = 0.09 > 0, cumple.
3. P (−1) = 1.89 > 0, cumple.
4.
z0 z1 z2 z3 z4
1 −0.08 0.3 0.07 −1.2 1
2 1 −1.2 0.07 0.3 −0.08
3 −0.994 1.176 −0.075 −0.204
4 −0.204 −0.075 1.176 −0.994
5 0.946 −− 0.315
|b3 | = | − 0.994| = 0.994 > |b0 | = | − 0.204| = 0.204, cumple.
|c2 | = |0.946| = 0.946 > |c0 | = | − 0.315| = 0.315, cumple.
Por lo tanto el sistema es estable. △
Ejemplo 7.4
Este ejemplo ilustra el uso del método de Jury para evaluar la estabilidad en función del
rango de valores de la ganancia k; se considera el sistema de control de la figura 7.2.
C(z) k(0.3679z + 0.2642)
= 2
R(z) z + (0.3679k − 1.3679)z + 0.3679 + 0.2642k
por lo que la ecuación caracterı́stica es:
1 z 2 + (0.3679k − 1.3679) z + 0.3679 + 0.2642k .
|{z} | {z } | {z }
a0 a1 a2
Como el sistema es de segundo orden solo se requiere verificar las primeras tres condiciones:

R(z) + (0.3679z+0.2642)
C(z)
k (z−0.3679)(z−1)
−
Figura 7.2: Sistema de control.
1. |a2 | < a0 .
2. P (1) > 0.
3. P (−1) > 0.
De la condición 1. se obtiene:
|0.3679 + 0.2642k| < 1,
−5.1775 < 2.3925k.
P (1) = 0.6321k > 0,
k > 0.
P (−1) = 2.7358 − 0.1037k > 0,
k < 26.38.
La solución es la intersección de las tres condiciones previas:
0 < k < 2.3925.
7.2.5. Estabilidad de sistemas discretos con el método de Routh

Si se usa la transformada bilineal :
z+1
W = ,
z−1
el interior del cı́rculo unitario |z| < 1 corresponderá en el plano complejo de W = σ + jω a:
W +1 σ + jω + 1
z= = ;
W −1 σ + jω − 1
luego:
σ + jω + 1 (σ + 1)2 + ω 2

< 1; < 1,
σ + jω − 1 (σ − 1)2 + ω 2

7.3. RESUMEN
σ 2 + 2σ + 1 + ω 2 < σ 2 − 2σ + 1 + ω 2 ; σ < 0,
lo que corresponde al semiplano izquierdo; por lo tanto, se puede aplicar el criterio de Routh
en el dominio de W para evaluar la estabilidad absoluta.
Ejemplo 7.5
Sea el polinomio:
P (z) = z 3 − 1.3z 2 − 0.08z + 0.24 = 0;
con
W +1 W + 1 3 W + 1 2 W + 1
z= , P (W ) = − 1.3 − 0.08 + 0.24 = 0,
W −1 W −1 W −1 W −1
W 3 − 7.57W 2 − 36.43W − 14.14 = 0.
El sistema es inestable pues los coeficientes no tienen el mismo signo.
Usando el comando ‘pole’ del MATLAB se obtienen directamente los polos de ambas ecua-
ciones caracterı́sticas:
>> pole(tf(1,[1 -1.3 -0.08 0.24],1))
ans =
1.2000
0.5000
-0.4000
%El polo en z=1.2 es inestable por ser mayor a 1.
>> pole(tf(1,[1 -7.57 -36.43 -14.14]))
ans =
10.9990
-3.0006
-0.4284
%El polo en W=10.999 es inestable por ser positivo
△
El cálculo de la estabilidad absoluta del modelo nominal para un sistema discreto a través
de la transformada bilineal exige más cálculos que el método de Jury, pero permite calcular la
frecuencia de oscilación ωo para la ganancia crı́tica kc .
7.3. Resumen
En este capı́tulo se dieron las definiciones de estabilidad de entrada-salida e interna en
tiempo continuo y discreto, para sistemas nominales lineales e invariantes en el tiempo. La
condición para la estabilidad la define las raı́ces de la ecuación caracterı́stica. Para que un
sistema en tiempo continuo sea estable, las raı́ces de la ecuación caracterı́stica deben localizarse
en el semiplano izquierdo del plano S. Para que un sistema en tiempo discreto sea estable, las
raı́ces de la ecuación caracterı́stica deben localizarse dentro del cı́rculo unitario en el plano Z.
La estabilidad de entrada limitada-salida acotada para la entrada de referencia y la salida
del sistema controlado, no es suficiente para garantizar que el sistema de control es internamente

estable; se requiere que todas las funciones de sensibilidad lo sean, lo que se da si no existen
cancelaciones de polos o ceros en el semiplano derecho.
Las condiciones necesarias para que un polinomio P (s) no tenga ceros sobre el eje jω y
en el semiplano derecho del plano S, es que todos sus coeficientes deben ser del mismo signo
y ninguno puede ser cero. El criterio de Routh-Hurwitz, verifica las condiciones necesarias y
suficientes para que P (s) tenga ceros solamente en el semiplano izquierdo del plano S.
Para sistemas en tiempo discreto, se debe verificar la ecuación caracterı́stica P (z) para
raı́ces sobre y fuera del cı́rculo unitario en el plano Z, esto se puede verificar directamente con
la prueba de estabilidad de Jury. El criterio de Routh Hurwitz no puede aplicarse directamente
a esta situación, pero se puede aplicar al sistema transformado vı́a la transformada bilineal,
pues esta transformación lleva el cı́rculo unitario en el plano Z al eje imaginario del plano W .
Esto además permite el cálculo la frecuencia de oscilación para la ganancia crı́tica del sistema.

Sobre los aportes previos y el origen del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, ver el
capı́tulo 2 de Mayr [1982] y Bissell and Stodola [1989].
Un primer método de estabilidad para sistemas discretos fue el de Schur-Cohen Cohen [1966];
en Jury and Anderson [1973] Jury propone su algoritmo de estabilidad para sistemas discretos
como una forma simplificada de este método.

Ejercicio 7.1
En el ejercicio 4.1 se analizó el control de un automóvil para mantenerlo centrado en la vı́a.
¿Cómo es el comportamiento de este sistema de control con un conductor ebrio?
Ejercicio 7.2
Se considera el péndulo invertido en la mano del ejemplo 1.3; intente equilibrar la barra obser-
vando su extremo superior, el centro y la mano. Analice la estabilidad del sistema controlado
para cada caso.

Ejercicio 7.3
Se observa que el comportamiento en red cerrada de un proceso desconocido corresponde a
la función de transferencia:
100
T (s) = 2 .
s + 10s + 100
Se analiza el controlador y se identifica que corresponde al PI:
10(s + 1)
Gc (s) = .
s

Verifique analı́ticamente la estabilidad interna del sistema de control. Analice el diseño con
relación a la magnitud de la señal de control para escalones en la referencia y la respuesta a
disturbios de entrada y salida.
Ejercicio 7.4
Analice la estabilidad interna del sistema controlado del ejercicio anterior, si el controlador es
análogo e implementa erróneamente la acción de control integral, con la función de transferencia:
10(s + 1)
Gc (s) = ,
s+ǫ
donde ǫ es un número positivo o negativo pequeño.
Ejercicio 7.5
El sistema:
2z −1 + 2z −2
Gp (z) = ,
1 − 2z −1 + z −2
se controla de forma que su función de transferencia de red cerrada es: T (z) = z −2 . Analice la
estabilidad del sistema controlado.
Ejercicio 7.6
Utilizando un programa de cálculo de raı́ces, analice la estabilidad de las ecuaciones carac-
terı́sticas:
s4 + 12s3 + s2 + 2s + 10 = 0,
z 3 + 2z 2 + 1.2z + 0.5 = 0.
Ejercicio 7.7
La figura 7.3 muestra un péndulo invertido que representa la situación del ejercicio 7.2 en
una sola dirección; el péndulo tiene longitud l y la masa m concentrada en su extremo superior;
la base de masa M es móvil con desplazamientos y debidos a la fuerza aplicada f .
Figura 7.3: Diagrama esquemático de un péndulo invertido.

Considerando pequeñas desviaciones del ángulo de desplazamiento del péndulo θ, si se ob-

serva este ángulo la función de transferencia es Goodwin et al [2001]:
Θ(s) 1 −1
= (7.6)
F (s) M l (s2 − (M +m)g )
lM
donde g es la aceleración de la gravedad.

Si su acción de control sobre el péndulo es de la forma:
F (s) kp (Td s + 1)
=
Θr (s) − Θ(s) 0.1Td s + 1
con el valor deseado del ángulo Θr (s) = 0, analice el rango de valores de kp y Td para que el
sistema controlado sea estable.
Ejercicio 7.8
Para el ejercicio anterior, si se observa la posición de la mano y, la función de transferencia
del péndulo es:
Y (s) 1 s2 − g/l
= . (7.7)
F (s) M s2 (s2 − (M +m)g )
lM
Analice si es posible estabilizar el sistema con la acción de control:
F (s) kp (Td s + 1)
= .
Yr (s) − Y (s) 0.1Td s + 1
De acuerdo con las restricciones estructurales por polos inestables y ceros de fase no mı́nima
de la sección 5.8.5, analice la dificultad de estabilizar el péndulo observando la posición de la
mano.
Ejercicio 7.9
El proceso:
1
Gp (s) =
s2 + 0.2s + 1
se controla con el PI:
kp (s + 1/TI )
Gc (s) = ;
s
los parámetros kp y TI se representan en un plano con kp en el eje horizontal y TI en el vertical.
Determine las regiones en este plano para las cuales el sistema en lazo cerrado es estable.
Ejercicio 7.10
En el ejemplo 6.3 se controló el proceso:
1
Gp (s) =
(s + 1)3
con el controlador PID:
kI kd
Gc (s) = kp 1 + + ,
s 0.1kd s + 1
usando los parámetros: kp = 3.4, kI = 0.5, y kd = 0.6; ajustando los parámetros dados de
dos acciones de control, calcule el rango de valores del parámetro restante para que el sistema
sea estable. Si aplica, obtenga la ganancia crı́tica y la frecuencia de la oscilación sostenida.

Ejercicio 7.11
El sistema de primer orden:
1
Gp (s) =
τs + 1
se controla con el controlador digital integral:
kI z
Gc (z) = .
z−1
Calcule los lı́mites de la ganancia integral kI en función del número de muestreos por constante
de tiempo: Nτ = τ /T , para que el sistema de control digital sea estable.
Ejercicio 7.12
Plantee como utilizar el criterio de Routh-Hurwitz para analizar si una ecuación carac-
terı́stica tiene polos lentos, con velocidad de respuesta menor a una constante de tiempo τmin
dada.
Ejercicio 7.13
El sistema de tiempo discreto:
z + 0.7
Gp (z) =
10.6(z − 0.6)2
se controla con el controlador digital integral:
kI z
Gc (z) = .
z−1
Calcule la ganancia integral kI crı́tica y la frecuencia de oscilación.
Ejercicio 7.14
Seleccione la afirmación que considere correcta.
El criterio de Routh-Hurwitz se aplica directamente al sistema dinámico
1. continuo con tiempo muerto.
2. continuo no lineal.
3. discreto lineal.
4. discreto con transformada bilineal.
Ejercicio 7.15
Un sistema dinámico de tercer orden tiene las siguientes dos primeras filas de la tabulación
de Routh.
s3 4 4
s2 4 4
Para el sistema se puede afirmar que tiene
A. dos raı́ces reales, una positiva y una negativa de igual magnitud.
B. dos raı́ces complejas: s = j, s = −j y una raı́z real negativa.
C. dos raı́ces complejas: s = 2j, s = −2j y una raı́z real positiva.
D. dos raı́ces complejas: s = −2 + 2j, s = −2 − 2j y una raı́z real negativa.


1. A partir de las especificaciones deseadas de desempeño, defina una dinámica deseada sin
ceros para el sistema en red cerrada, que sea:
a) de al menos un orden menor a la dinámica de red abierta (actuador, planta y medida),
b) y máximo de segundo orden.
Considerando el modelo nominal del proceso y el perı́odo de muestreo escogido en las
actividades de proyecto del capı́tulo anterior, diseñe un controlador digital serie para
obtener la dinámica de red cerrada deseada; analice la estabilidad interna del sistema
controlado. Si el sistema es estable, analice el diseño con relación a la magnitud de la
señal de control para escalones en la referencia y la respuesta a disturbios de entrada y
salida al proceso.
2. Analice el punto anterior, para un diseño que obtenga la función de transferencia de red
cerrada sin ceros y con polos en el origen del plano Z.
3. Considere el modelo nominal del proceso con el controlador PID ajustado en el paso 10
del capı́tulo 6; calcule el rango de la ganancia de una acción de control, manteniendo las
demás en el ajuste dado, de forma que el sistema sea estable en lazo cerrado. Si aplica,
obtenga la ganancia crı́tica y la frecuencia de la oscilación sostenida en cada caso.
4. Para el modelo nominal del proceso con el controlador PID ajustado en el paso 10 del
capı́tulo anterior, calcule el rango de valores del perı́odo de muestreo para el cual el sistema
controlado es estable.

Capı́tulo 8
Análisis mediante el lugar

geométrico de las raı́ces
8.1. Introducción
Las caracterı́sticas básicas de la respuesta transitoria de un sistema realimentado las deter-
minan los polos de lazo cerrado, por lo que en el análisis de un sistema de control es importante
poder ubicar estos polos en lugares apropiados del plano S. En el diseño de un sistema de
control, el ajuste de los parámetros del controlador cambia las posiciones de los polos y ceros de
lazo abierto, buscando ubicar los polos del lazo cerrado en las posiciones deseadas del plano S.
Como los polos de lazo cerrado son las raı́ces de la ecuación caracterı́stica, es importante para
el análisis conocer los efectos en la ubicación de las raı́ces de lazo cerrado cuando cambia un
parámetro en la ecuación caracterı́stica. El lugar geométrico de las raı́ces son las trayectorias
de la ecuación caracterı́stica cuando un parámetro de ella varı́a.
A continuación se presentan los conceptos básicos del método del lugar de las raı́ces, el
procedimiento general para dibujar los lugares de las raı́ces y se analizan los efectos de adicionar
polos y ceros al lugar, para sistemas de tiempo continuo; al final se presentará la técnica del
lugar de las raı́ces para sistemas de tiempo discreto.
8.2. Lugar geométrico de las raı́ces en tiempo continuo

Lúdica 8.1
1. Se busca posicionar el cilindro en el centro, partiendo desde un extremo; inicie todos los
ensayos con las mismas condiciones iniciales, cilindro quieto en un extremo sin inclinación
del plano. Si es necesario, realice varios ensayos antes de realizar la observación final.
Defina caracterı́sticas apropiadas para evaluar el desempeño en cada uno de los siguientes
casos:
396
8.2. LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES EN TIEMPO CONTINUO
2. Con el plano al frente sostenido con el pulgar hacia arriba del plano, realice el experimento
para cada uno de los siguientes casos:
a) Con el extremo del plano opuesto al de sujeción con la mano, apoyado al espaldar
de una silla.
b) Con el plano pivotado en el centro.
c) Con el plano pivotado lo más cerca posible de la mano. Ver la figura 8.1.
Figura 8.1: Ensayos con el plano pivotado.
d ) Con el plano sin apoyo y el brazo pegado al cuerpo, accionando con la muñeca.
e) Con el plano sin apoyo y el brazo pegado al cuerpo hasta el codo, accionando con la
articulación del codo.
f ) Con el plano sin apoyo y el brazo recto al frente, accionando con la articulación del
hombro. Ver la figura 8.2.
3. ¿Con el plano pivotado, cómo es el comportamiento del sistema controlado con relación
a la posición del apoyo?
¿Cómo es el comportamiento del sistema controlado, con el plano con apoyo y sin él?
¿Cómo es el comportamiento del sistema controlado con el plano sin apoyo, con relación
a la articulación usada para desplazarlo?
¿Que puede concluir acerca del comportamiento del sistema?
¿Puede esbozar algún gráfico que de información general del funcionamiento del sistema
para los diferentes casos estudiados?

Figura 8.2: Ensayos con el plano sin pivote.
En esta actividad se observa cómo cambia la respuesta del sistema controlado con la posición
del pivote o la longitud entre el plano y el punto de giro de la articulación; entre más cerca el
pivote a la mano, mayor es la amplificación entre el desplazamiento de la mano y el ángulo del
plano; sucede lo mismo con el ángulo de la articulación y la longitud entre ésta y el plano. Si
se dibujan en el plano S los cambios de los polos del sistema realimentado con el cambio de un
parámetro, se obtiene el lugar geométrico de las raı́ces; el parámetro más usado para este lugar
es la ganancia de amplificación del error.
8.2.1. Variación de los polos de red cerrada

G(s) kN (s)
Sea la forma canónica de un sistema de control: T (s) = 1+GH(s) , donde GH(s) = D(s) con
G(s)D(s)
k un parámetro que varı́a; ası́ T (s) = D(s)+kN (s) y la ecuación caracterı́stica es:
D(s) + kN (s) = 0. (8.1)
Si k es pequeño y tiene a cero, las raı́ces de la ecuación caracterı́stica (8.1) son las raı́ces de
D(s) = 0, los polos de red abierta; si k es muy grande, las raı́ces de la ecuación caracterı́stica

son las raı́ces de N (s) = 0, los ceros de red abierta; por lo tanto, para k : [0, ∞), los polos de red
cerrada varı́an desde los polos de red abierta hacia los ceros de red cerrada, donde terminan.
8.2.2. Criterios de magnitud y ángulo

Un punto s1 pertenece al lugar geométrico de las raı́ces si cumple:
D(s1 ) + kN (s1 ) = 0
o bien:
GH(s1 ) = −1,
por lo que se debe cumplir:
1.
∠GH(s1 ) = ±180(2L + 1), L = 0, 1, 2, ... (8.2)
Esta expresión se denomina criterio del ángulo y define qué punto del plano S pertenece
al lugar geométrico de las raı́ces.
2. D(s )
1
|GH(s1 )| = 1, o bien: |k| = . (8.3)
N (s1 )
Esta expresión se denomina criterio de magnitud y da la ganancia k en el punto del lugar
geométrico de las raı́ces.
Con estos dos criterios se podrı́a trazar el lugar geométrico de las raı́ces por tanteos en el plano
s; esta evaluación de forma gráfica se ilustra en la figura 8.3, donde se tiene un sistema con un
cero en s = −2 y un par de polos complejos en s = −1 ± j para la función de transferencia de
lazo abierto.
El criterio del ángulo se evalúa restándole a la suma de los ángulos de los ceros, los ángulos
de los polos; estos ángulos se obtienen entre el eje real o un eje de jω constante y el vector
dirigido entre el cero o polo y el punto s1 ; esto es:
∠GH(s1 ) = γ − β − α;
si se cumple, el punto s1 será una raı́z de lazo cerrado para algún valor de k.
El criterio de magnitud es:
Q
magnitud de los vectores desde los polos de GH a s1
|k| = Q ,
magnitud de los vectores desde los ceros de GH a s1
A.C
|k|s=s1 = .
B
La construcción del lugar por esta vı́a serı́a muy dispendiosa manualmente; el comando
‘rlocus(GH)’ del MATLAB traza el lugar de las raı́ces de la función de transferencia GH. Antes
de disponer de programas como éste, se utilizaban reglas de construcción que simplificaban la
obtención del lugar; las reglas aún son útiles pues muestran los patrones de variación de los
polos de red cerrada, lo que es útil para el análisis del sistema de control.

Plano S jω
α
K=0
A
−1 + j
S1
B γ
K=∞
−2 0 σ
C
β
K=0
−1 − j
Figura 8.3: Evaluación gráfica de los criterios de magnitud y ángulo.
8.2.3. Reglas de construcción

A continuación se presentan las reglas para construir el lugar de las raı́ces cuando el paráme-
tro k > 0 varı́a positivamente; reglas similares aplican para k negativos, ver Kuo [1996]; las reglas
son:
1. Ordenar la ecuación caracterı́stica de forma que el parámetro a variar aparezca como
factor:
Ym
k (s + zi )
i=0
1+ n = 0.
Y
(s + pj )
j=0
2. Las n ramas del lugar, parten de los polos −pj hacia los ceros −zi .
3. Hay lugar en el eje real, a la izquierda de un número impar de polos y ceros.
4. El lugar tiende a ası́ntotas rectas para s → ∞ que cortan el eje real en:
n
X m
X
pi − zj
i=1 j=1
σc = −
n−m
y forman un ángulo con el eje real de:
(2l + 1)180
β= [grados] l = 0, 1, 2, ...|n − m| − 1.
n−m

5. El lugar entra o sale al eje real desde el punto σB , obtenido de resolver:

n
X X m
1 1
= .
i=1
σ B + pi σ
i=1 B
+ zi
Los puntos de ruptura del lugar corresponden a raı́ces de orden múltiple, reales o com-
plejos; en general, los puntos de ruptura del lugar deben satisfacer:
dGH(s) dk
=0⇔ = 0.
ds ds
Estas ecuaciones son solo una condición necesaria; adicionalmente deben satisfacer la
ecuación caracterı́stica para algún k real.
6. El lugar parte o llega desde polos o ceros complejos formando ángulos de:
ΘP = 180 + ∠GH ′ (pc ) Partida de polos complejos pc ,
ΘL = 180 − ∠GH ′′ (zc ) Llegada a ceros complejos zc ,

donde, ∠GH ′ (pc ) , ∠GH ′′ (zc ) son los ángulos de GH sin considerar la contribución del
polo o el cero.
7. Evaluar el corte del lugar geométrico de las raı́ces con el eje imaginario mediante el criterio
de Routh.
8. Con los criterios de magnitud y ángulo determinar el lugar con suficiente exactitud alre-
dedor de eje jω y el origen del plano S.
Cabe anotar que la regla 7 permite calcular el k crı́tico (kc ) para inestabilidad, cuando k
corresponde a la ganancia de lazo abierto; kc permite calcular la medida de estabilidad relativa:
margen de ganancia M G; este margen corresponde al factor por el cual se puede multiplicar la
ganancia actual k0 del sistema, antes de ser inestable.
kc
MG = . (8.4)
k0
Un sistema con una ganancia k = 3 y M G = 2, se le puede duplicar la ganancia para alcanzar
la crı́tica: kc = 3 ∗ 2 = 6.
Ejemplo 8.1
Este ejemplo ilustra el uso de las reglas para trazar el lugar de las raı́ces para el sistema
de control de la excitación con excitatriz y acción integral, variando la ganancia de integración
kI , para τE = 0.5 y τG = 1. También se calcula la ganacia kI y las raı́ces de red cerrada que
tengan un coeficiente de amortiguamiento ρ = 0.5. La función de transferencia de red abierta
es:
kI 2kI
G(s) = = ,
s(s + 1)(0.5s + 1) s(s + 1)(s + 2)
k
= , k = 2kI .
s(s + 1)(s + 2)

1. Parámetro de variación k: polos de red abierta en s = 0, − 1, − 2 no hay ceros de red

abierta.
2. Tres ramas.
3. Lugar en el eje real (−∞, − 2) ∪ (−1, 0).
4. 3 Ası́ntotas:
* Centroide:
1+2
σc = − = −1.
3
* Ángulos con eje real:
180
l = 0, β = = 60; l = 1, β = 180; l = 2, β = 300.
3
5. Punto de separación:
1 1 1
+ + = 0,
σB σB + 1 σB + 2
2
3σB + 6σB + 2 = 0;
σB1 = −0.42, σB2 = −1.57.
Como no hay lugar en el eje real entre (−2, − 1), el punto de separación es σB1 = −0.42;
el punto σB2 corresponde al lugar para k < 0.
6. No hay polos o ceros complejos de red abierta.
7. Se obtuvo en el ejemplo 7.2 la ganancia integral crı́tica: kIc = ττEE+τ

τG = 3 luego k = 6 y la
G
q √
frecuencia de oscilación: ωc = τE1τG = 2. La tercera raı́z se calculó en s3 = − τ1eq = 3,
para k = 6.
8. Puntos en cercanı́a del origen:
En el punto de despegue:
1
k= = 0.385.
GH(−0.42)
Raı́z real:
s3 + 3s2 + 2s + 0.385
= s + 2.16.
(s + 0.42)2

Raı́ces complejas con ρ = 0.5, corresponden a un ángulo con el eje real de: θ = 60o
Se asume la parte real = −0.4 (menor que -0.42)
sP = −0.4 ± j0.4 tan(θ) = −0.4 ± j0.7.
Criterio del ángulo:
∠GH(sP ) = −∠sP − ∠(sP + 1) − ∠(sP + 2) = 180;

∠GH(sP ) = −193 N o cumple;
sP = −0.3 ± j0.3 tan(θ) = −0.3 ± j0.5,
∠GH(−0.3 ± j0,5) = −173 N o cumple;
∠GH(−0.33 ± j0.58) = −180 Cumple!
Criterio de la magnitud:

k

s(s + 1)(s + 2) = 1,
sP

s(s + 1)(s + 2) = k,

sP
k = 1.04 ; kI = 0.52.
Para k = 1.04 la tercera raı́z está en:
s3 + 3s2 + 2s + 1.04
= s + 2.33.
(s + 0.33 + j0.58)(s + 0.33 − j0.58)
Con k0 = 1.06, se tiene un margen de ganancia de:

kc 6
MG = = = 5.77.
ko 1.04
La figura 8.4 muestra el lugar geométrico de las raı́ces.

jω
K→∞
j2
K=6
ρ = 0.5
j
60◦
K = 1.04
K = 6 K = 0.385
−3 −2 −1 0 σ
K = 1.04 K = 0.385
−j
−j2
K→∞
Figura 8.4: Lugar geométrico de las raı́ces
8.2.4. Contorno de las raı́ces

El lugar de las raı́ces se puede obtener para más de un parámetro, en cuyo caso se denomina
contorno de las raı́ces. El siguiente ejemplo ilustra el análisis con el contorno de las raı́ces.
Ejemplo 8.2
Se considera el sistema de control de la excitación con excitatriz, acción integral y red
estabilizadora, ver el diagrama de bloques en la figura 8.5 y el reducido en la figura 8.6.
Con τF = τG , la función de transferencia de la realimentación es: H(s) = 1 + T s. Se desea
diseñar el sistema de control, calculando kI y T para que el sistema cumpla las especificaciones:
1
a) essv ≤ 3,
b) ρ ≥ 0.4,
c) ts ≤ 6 seg (5 %).
Las especificaciones en términos de ganancia y ubicación deseada de las raı́ces son:
a)
1 1
essv = ≤ , KV ≥ 3.
KV 3

vR(s)
+ 1 1 vT (s)
kI
s τE s+1 τGs+1
−
Ts
+ τF s+1
+
Figura 8.5: Sistema de control de la excitación con acción I y red estabilizadora.
vR(s) + kI
vT (s)
s(s+1)(s+2)
−
1 + T(τs(τGs+1)
s+1)
F
Figura 8.6: Sistema de control de la excitación.
k(1 + T s) k
KV = lı́m s = ,
s→+∞ s(s + 1)(s + 2) 2
k ≥ 6.
b) Raı́ces de red cerrada en el semiplano izquierdo por debajo de la lı́nea: θ = cos−1 (0.4) =
66.4o .
c) ts = ρw3 n ≤ 6s (5 %) luego ρwn ≥ 0.5 esto es tener raı́ces complejas con parte real
≥ 0.5.
La figura 8.7 muestra el área deseada para las raı́ces del sistema de control en red cerrada.
La función de transferencia de red abierta es:
k(1 + T s)
GH(s) = .
s(s + 1)(s + 2)
Se consideran inicialmente las variaciones de k, asumiendo T = 0:
k
GH1 (s) = .
s(s + 1)(s + 2)
Esta función de transferencia de red abierta GH(s) tiene el lugar del ejemplo anterior,
ver la figura 8.4.

Area Deseada
jω
de Localizacion
de las Raices
−0.5 σ
Figura 8.7: Área deseada para las raı́ces.
Para las variciones de T , se asume k constante, la ecuación caracterı́stica es:
s3 + 3s2 + 2s + k(1 + T s) = 0;
para cumplir la regla 1, se divide la ecuación caracterı́stica por los términos restantes al
del parámetro de variación:
kT s
1+ = 0,
s3 + 3s2 + 2s + k
kT s
GH2 (s) = .
s3 + 3s2 + 2s + k
Los polos donde inicia el lugar de GH2 (s) dependen de k y corresponden al lugar de GH1 (s);
para k = 6, se tienen polos en el eje complejo y la tercera raı́z en s = −3, ver la figura 8.8.
Las ası́ntotas tienen centroide en σc = −1.5 con ángulos β = ± 90o . Como el coeficiente
de s2 en la ecuación caracterı́stica es 3 independiente de k y corresponde a la suma de los polos
de GH2 (s), entonces la ası́ntota es del contorno.√
El lugar sale de los polos complejos en s = j 2 con un ángulo de partida:

s
θd = 180 + ang √ = 154.8o .
(s + j 2)(s + 3) s=j √2
Graficando GH2 (s) para los valores de k = 3, 6 y 20, se obtiene el contorno de las raı́ces de la
figura 8.9.
Para ajustar los parámetros de control que den las raı́ces de red cerrada cumpliendo las
especificaciones, se observa en la figura 8.9 que con k = 6 y T = 1, las raı́ces están dentro
del área deseada con polos en: s1−2 = −1 ± j2.23 que corresponden al polinomio de segundo
orden: s2 + 2s + 6 el cual tiene un coeficiente de amortiguamiento ρ = 0.41 ≥ 0.4 y parte real
ρωn = 1 ≥ 0.5. La tercera raı́z está en s3 = −1, por lo que se cumplen las especificaciones. △

jω
ΘD
k=6
−3 −1.5 σ
asintota
Figura 8.8: Mapa de polos y ceros para k = 6.
Los contornos de las raı́ces se crean fácilmente con el comando ‘rlocus’ invocando varios
argumentos; los siguientes comandos generan el contorno para k = 3, 6 y 20:
>> s=tf(’s’);G1=1/(s*(s+1)*(s+2));
>> G2=s/(s*(s+1)*(s+2)+3);G3=s/(s*(s+1)*(s+2)+6);G4=s/(s*(s+1)*(s+2)+20);
>> rlocus(G1,G2,G3,G4)
El programa de comandos MATLAB:
clf;s=tf(’s’);G1=1/(s*(s+1)*(s+2));
rlocus(G1)
hold;
for i=1:20
G2=s/(s*(s+1)*(s+2)+i);
rlocus(G2)
end
genera el contorno de la figura 8.10 para k = 1, 2, 3, · · · 20.

T →∞
T =1
K→∞
Plano S T = 1/2
T =1 T = 7/30
T = 1/2 K = 20, T = 0
T =1
Asintota del contorno
K = 6, T = 0
T = 1/2
K = 3, T = 0
Contorno de las raices
K = 20
T =0
T =∞
−4 3.85 −3 −2 −1 0 σ
Contorno de las raices sobre el eje real
K = 3, T = 0
T = 1/2
K = 6, T = 0
T = 1/2
T =1 K = 20, T = 0
T = 7/30
K=3
T = 1/2 K→∞
K=6
T →∞ T =1
K = 20
Figura 8.9: Contorno de las raı́ces.
8.2.5. Efectos en el lugar de las raı́ces al adicionar polos y ceros

En general entre mayor es el orden de la ecuación caracterı́stica, hay más tendencia a la
inestabilidad, por lo que al adicionar polos a la función de transferencia de red abierta, el
lugar tenderá más hacia la derecha del plano complejo; la figura 8.11 muestra varios lugares de
las raı́ces adicionando polos a la función de transferencia de red abierta; arriba a la derecha:
K K
GH(s) = s(s+a) ; arriba a la izquierda: GH(s) = s(s+a)(s+b) ; abajo a la derecha: GH(s) =
K K
s(s+a)(s+b)(s+c) ; abajo a la izquierda: GH(s) = s(s+a)(s2 +bs+c) . Nótese como los ángulos de las
ası́ntotas disminuyen con el aumento de polos de red abierta, llegando las raı́ces al eje complejo
con una ganancia crı́tica Kc cada vez menor.
La figura 8.12 muestra los efectos sobre el lugar de las raı́ces al adicionarle ceros a la función

8.3. LUGAR DE LA RAÍCES PARA SISTEMAS DISCRETOS
15
10
5
Eje imaginario
−5
−10
−15
−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Eje real
Figura 8.10: Contorno de las raı́ces generado con el MATLAB.
K(s+b)
de transferencia de red abierta; arriba a la derecha: GH(s) = s(s+a) ; arriba a la izquierda:
2
GH(s) = K(ss(s+a)
+bs+c) K(s+c)
; abajo: GH(s) = s(s+a)(s+b) . En general los ceros de fase mı́nima tratan
de estabilizar al sistema (excepto con sistemas que sean de fase no mı́nima), por lo que se
observa una tendencia de los lugares hacia la izquierda. El ángulo de las ası́ntotas aumenta y
para los lugares de la figura 8.12 los sistemas son estables para todo valor de la ganancia K.
8.3. Lugar de la raı́ces para sistemas discretos

Para un sistema de control digital, su ecuación caracteristica:
1 + GH(z) = 0,
tiene la misma forma de la ecuación caracterı́stica usada para trazar el lugar de las raı́ces en el
plano S: 1 + GH(s) = 0; por lo tanto, las reglas de construcción del lugar de las raı́ces en el
plano Z son las mismas usadas para determinar el lugar en el plano S.
Claro está que la ubicación de las raı́ces en el plano Z tiene un significado distinto con
relación a la respuesta transitoria, permanente y la estabilidad del sistema, como se analizó en
la sección 5.11.

K→∞ jω
K→∞ jω Plano S K→∞
Plano S b=∞
K=0 K=0 K→∞ K=0 K=0 K=0

−a −a/2 0 σ −b −a 0 σ
K→∞
K→∞ K→∞
(a) (b)
K→∞
K→∞ K→∞ jω K → ∞ jω
Plano S
K→∞ K→∞
b=c=∞
K=0
c=∞
Plano S
K=0 K=0 K=0 K=0 K=0 K=0
−c −b −a 0 σ −a 0 σ
K→∞ K=0
K→∞
K→∞ K→∞
K→∞ K→∞
Figura 8.11: Efecto en el lugar de las raı́ces al adicionar polos a GH(s).
Ejemplo 8.3
Este ejemplo analiza con el lugar de las raı́ces el sistemas de tiempo discreto de la figura
8.13, que corresponde a una planta de primer orden sujeta a una acción de control integral; se
analizan los efectos sobre el comportamiento del sistema de variar el perı́odo de muestreo, para
T = 0.5, 1 y 2s.

kz 1 − e−T s kz 1 − e−T
G(z) = Z = .
z−1 s(s + 1) z − 1 z − e−T
La tabla 8.1 muestra los valores de G(z), para cada valor del perı́odo de muestreo T . La figura
8.14 muestra los lugares generados al variar k con el valor de los polos para k = 2.
De los lugares de las raı́ces se observa:

jω jω
Plano S
b=∞ Plano S
K=∞
K→∞
K=∞ K=0 K=0 K=0 K=0
−b −a −a/2 0 σ −b −a −a/2 0 σ
K→∞
K→∞
(a) (b)
K→∞ jω
K→∞
Plano S c→∞
K=∞ K=0 K=0 K=0

−c −b −a 0 σ
K→∞ K→∞
(c)
Figura 8.12: Efecto en el lugar de las raı́ces al adicionar ceros a GH(s).
R(z) k C(z)
+ 1−e−T s 1
− δT 1−z −1 s s+1
Figura 8.13: Sistema de control digital.

Tabla 8.1: Función de transferencia de red abierta para diferentes perı́odos de muestreo.
T G(z)
0.3935kz
0.5 (z−1)(z−0.6065)
0.6321kz
1 (z−1)(z−0.3679)
0.8647kz
2 (z−1)(z−0.1353)
Im Plano Z T=0.5 seg

K=2
K = 8.165 K = 0.1244
K = 8.041
0.6065 1 Re
−0.7788
Circulo unitario Z1−2 = 0.41 ± j0.66

ρ = 0.24 θ = 58.2
Im Plano Z
K = 4.083 T=1 seg
K=2
K = 4.328 K = 0.2449
0.3679 1
Re
Z1−2 = 0.051 ± j0.6

Circulo unitario ρ = 0.32 θ = 85.1
Im
Plano Z T=2 seg
K = 0.4622
K = 2.626 K = 2.164
1 Re
K=2 0.1353
Circulo unitario
Z1−2 = 0.3 ± j0.21
ρ = 0.36 θ = 143.9
Figura 8.14: Lugares de las raı́ces para varios T . Arriba T = 0.5; centro T = 1 y abajo T = 2.

Si el perı́odo de muestreo T aumenta, la ganancia crı́tica Kc disminuye junto con el

margen de ganancia por lo que el sistema se vuelve menos estable. Las ganancias crı́ticas
son: Kc =8.165, 4.328 y 2.626, disminuyendo con el aumento del perı́odo de muestreo.
Si la rata de muestreo no es lo sufientemente alta, el coeficiente de amortiguamiento ρ, no
es indicador de estabilidad relativa; los coeficientes de amortiguamiento son ρ=0.24, 0.32
y 0.36 aumentando a pesar de disminuir la frecuencia de muestreo.
La figura 8.15 muestra las respuestas a un escalón unitario en la referencia, para la ganancia
K = 2 y los diferentes perı́odos de muestreo considerados.
K=2
c(kT )
1.5
1.0
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
kT (s)
c(kT )
1.5
1.0
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
kT (s)
c(kT )
1.5
1.0
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 kT (s)
Figura 8.15: Respuestas a un escalón unitario en la referencia
Se observa que con un perı́odo de muestreo alto sube un poco el sobrepaso y la salida discreta
c(kT ) ya no da una buena representación de la salida continua c(t); el número de muestras por

360
ciclo de la oscilación amortiguada: m = θ es para cada caso:
T=0.5, θ = 58.2, m = 6.18;
T=1, θ = 85.1, m = 4.23;
T=2, θ = 143.9, m = 2.5,
bajos pues se recomienda tomar de 8 a 10 muestras por ciclo.
La figura 8.16 muestra las respuestas a una rampa unitaria en la referencia, con el error
permanente.
K=2
c(kT )
Error de estado estable = 0.25
6
0 1 2 3 4 5 kT (s)
c(kT )
Error en estado permanente = 0.50
6
0 1 2 3 4 5 6 kT (s)
c(kT )
10 Error en estado permanente = 1.00
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 kT (s)
Figura 8.16: Respuestas a una rampa unitaria en la referencia.
La constante de error de velocidad es:

(1 − z −1 )G(z)
KV = lı́m
z→1 T
y para cada valor del perı́odo de muestreo es:
2
T=0.5 Kv = 0.5 = 4,

8.4. RESUMEN
2
T=1 Kv = 1 = 2,
2
T=2 Kv = 2 = 1,
luego el error permanente de velocidad e∗ssv se incrementa de forma proporcional al perı́odo de
muestreo T . △
8.4. Resumen
En esta unidad se ha presentado la técnica del lugar geométrico de las raı́ces para sistemas
de control lineales tanto continuos como discretos. Este lugar corresponde a la variación de
los polos de red cerrada cuando cambia un parámetro en el sistema; para valores bajos del
parámetro, el lugar parte de los polos de red abierta y con el aumento del parámetro se dirige a
los ceros de red abierta, donde termina; si hay más polos que ceros, el lugar tiende a ası́ntotas
rectas que buscan ceros en infinito.
La gráfica es útil para el análisis y diseño de los sistemas de control, pues muestra las
contribuciones de los cambios del parámetro y de la ubicación de los polos y ceros de red
abierta, a los polos de red cerrada, con lo que se puede ajustar la ganancia y los polos y ceros
del controlador. En general, la adición de polos orienta el lugar hacia el semiplano derecho y la
de ceros hacia el izquierdo.
El criterio del ángulo permite verificar si un punto del plano S o Z pertenece al lugar;
el criterio de magnitud da el valor de la ganancia para un punto perteneciente al lugar. Con
estos criterios se plantean reglas que facilitan la construcción manual del lugar de las raı́ces;
sinembargo, en la actualidad se utilizan programas de computadora para realizar la gráfica del
lugar o del contorno de las raı́ces en caso de variar más de un parámetro.
Las propiedades y la construcción del lugar geométrico de las raı́ces en el plano Z son en
esencia las mismas que aquellas para sistemas de tiempo continuo, pero el análisis se debe
realizar con las interpretaciones de la ubicación de los polos para cada plano en particular.

La técnica del lugar geométrico de las raı́ces fue propuesta por Evans en el artı́culo; Evans
[1950]. Las reglas para k negativos y para más detalles de la técnica del lugar de las raı́ces,
ver el capı́tulo 8 de Kuo [1996]. Para el lugar de las raı́ces de sistemas con tiempo muerto, ver
Ogata [1998].
La interfaz gráfica del MATLAB para análisis de sistemas de una entrada una salida: ‘siso-
tool’ permite obtener el lugar de las raı́ces en función de polos y ceros ajustables del controlador,
ası́ como les especificaciones de funcionamiento sobre el plano S o Z; se anima al lector a ex-
plorar esta poderosa herramienta de análisis.


Ejercicio 8.1
El lugar de las raı́ces permiten analizar el efecto de dinámicas que solo son importantes con
alta ganancia y alta velocidad de respuesta del sistema controlado; realice el control del cilindro
en el plano para el paso 2d , de la lúdica 8.1 actuando para alcanzar el centro lo más rápido
posible; analice la respuesta con relación a la flexibilidad del plano.
Ejercicio 8.2
¿Cómo cambiarı́a la respuesta del ejercicio 6.1 luego de fatigarse la persona que lo realiza?
¿Cómo puede obtener un boceto del lugar de las raı́ces para este sistema?

Ejercicio 8.3
La figura muestra un sistema de control para un sistema de primer orden con un controlador
PI.
R(z) C(z)
+
k(z−a) 0.4
− z−1 z−0.6
T = 0.5seg
1. Con a = 0, calcule el rango de valores de k para el cual el sistema es estable.
2. Con a = 0, muestre que el lugar de las raı́ces complejas para variaciones de k, describe
una circunferencia en el plano Z con centro en el origen.
3. Con a = 0, calcule el lugar de las raı́ces en el eje real, el centroide y ángulo de las ası́ntotas
y los puntos de despegue o llegada del lugar al eje real.
4. Trace un boceto manual del lugar de las raı́ces con a = 0 en el ábaco de la figura 8.18;
analice si el sistema puede responder como uno de tiempo continuo, con tiempo de esta-
bilización menor de 4 segundos evaluado con el criterio del 2 %.
5. Utilice los criterios de magnitud y ángulo para calcular k y a, de forma que el sistema
tenga un par de polos complejos con coeficiente de amortiguamiento ρ = 0.5 y frecuencia
natural ωn = 1.88
Ejercicio 8.4
La figura 8.19 muestra el lugar de las raı́ces para la variación de la ganancia k de un sistema
de control digital realimentado unitario, con perı́odo de muestreo de 1s.

1
0.5π/T
0.6π/T 0.4π/T
0.8 0.7π/T 0.1 0.3π/T
0.2
0.3
0.6
0.8π/T 0.2π/T
0.4
0.5
0.4 0.6
0.7
0.9π/T 0.1π/T
0.8
0.2
0.9
π/T
0
π/T
−0.2
0.9π/T 0.1π/T
−0.4
0.8π/T 0.2π/T
−0.6
−0.8 0.7π/T 0.3π/T
0.6π/T 0.4π/T
0.5π/T
−1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura 8.18: Ábaco del plano Z para diferentes amortiguamientos y frecuencias naturales.
1. Calcule el rango de valores de k para el cual el sistema es estable.
2. ¿Cuál es la frecuencia de la oscilación para el sistema marginalmente estable?
3. Ajuste k de forma que el sistema tenga un par de polos complejos conjugados con coefi-
ciente de amortiguamiento ρ = 0.5- ¿Cuál es el margen de ganancia para este ajuste? ¿El
sistema se puede aproximar a uno de segundo orden?
Ejercicio 8.5
Con la ayuda de un programa de computador, trace los lugares de las raı́ces para los sistemas
de los ejercicios 5.16 y 5.26, con respecto a las ganancias de la realimentación.
Ejercicio 8.6
Considere los sistemas con realimentación unitaria y las funciones de transferencia de red
abierta:
1.
k
G(s) = ,
(s + 1)3

Root Locus
1
0.5π/T
0.6π/T 0.4π/T
ρ
0.8 0.7π/T 0.1 0.3π/T
0.2
0.6
0.3 k=1
0.8π/T 0.4 0.2π/T
k=0.62
0.5 k=0.42
0.4 0.6 k=0.35
0.7 k=0.30
0.9π/T 0.1π/T
0.8
0.2 k=0.26
0.9
Imaginary Axis
k=0.15
π/T
0
π/T
k=0.16
−0.2
k=1
k=0.18
0.9π/T 0.1π/T
−0.4 k=0.20
0.8π/T 0.2π/T k=0.23

−0.6
−0.8 0.7π/T 0.3π/T
0.6π/T 0.4π/T
0.5π/T
−1
−1 −0.5 0 0.5 1
Real Axis
Figura 8.19: Lugar de las raı́ces para el ejercicio 8.4.
2.
k(s + 1)
G(s) = ,
s2
3.
k(s + 2)
G(s) = ,
s2 + 1
4.
k(s + 2)
G(s) = ,
s2 (s + 1)
5.
k(s + 2)2
G(s) = .
(s2 + 4)(s + 5)2

Con la ayuda de un programa de computador, grafique los lugares geométricos de las raı́ces;
calcule si existe, el rango de valores de la ganancia k para el cual el sistema es estable.
Ejercicio 8.7
El sistema oscilador:
1
G(s) =
s2 + 1
se controla con:
Gc (z) = a + bz −1 ,
responda en red cerrada con una ecuación caracterı́stica que tenga un coeficiente de amortigua-
miento ρ = 0.7 y frecuencia amortiguada ωn = 2. Con la ayuda de un programa de computador,
trace el contorno de las raı́ces para variaciones de a y b; encuentre si existen los parámetros que
cumplan con la dinámica deseada.
Ejercicio 8.8
El sistema doble integrador:
1
G(s) =
s2
se controla con:
az − b
Gc1 (z) = ,
z − 0.368
responda en red cerrada con una ecuación caracterı́stica que tenga un coeficiente de amortigua-
miento ρ = 0.7 y frecuencia amortiguada ωn = 1. Con la ayuda de un programa de computador,
trace el contorno de las raı́ces para variaciones de a y b; encuentre si existen los parámetros que
cumplan con la dinámica deseada.
Ejercicio 8.9
La figura 8.20 muestra el lugar de las raı́ces para el sistema:
k
G(s) = .
s(s2 + 6.4s + 16)
Para las siguientes preguntas, marque LA opción que considere correcta.
1. El rango de valores de k para el cual el sistema es estable es
A. 0 < k < 12.8.
B. 0 < k < 80.
C. 0 < k < 102.4.
D. 0 < k < 144.
2. La frecuencia de oscilación [rad/s] para el sistema marginalmente estable es
A. 0.16.
B. 1.

5
0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16
k=144
4 k=102.4
k=80
3
0.94 k=44.8
2
k=24
k=12.8 k=16
0.985
Eje imaginario
1
k=102.4
8 7 6 5 4 3 2 1
0
k=144 k=80 k=44.8 k=24 k=16 k=12.8

−1
0.985
−2
0.94
−3
−4
0.86 0.76 0.64 0.5 0.34 0.16

−5
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
Eje real
Figura 8.20: Lugar de las raı́ces para el ejercicio 8.9.
C. 4.
D. 80.
3. La ganancia k para que el sistema tenga un amortiguamiento de 0.76 es
A. 12.8.
B. 16.
C. 24.
D. 80.
4. Si el sistema tiene un par de polos complejos con amortiguamiento de 0.76, el margen de

ganancia es
A. 11.25.
B. 6.4.
C. 4.26.

D. 3.21.
5. El sistema tiene un par de polos complejos dominantes para un k de

A. 12.8.
B. 16.
C. 24.
D. 44.8.
6. Para el sistema se puede afirmar que
A. no puede tener un par de polos complejos con amortiguamiento menor de 0.9.

B. es dominado por un par de polos complejos a baja ganancia.
C. puede tener polos complejos en red cerrada con frecuencia natural de ωn = 2rad/s.
D. puede tener tres raı́ces reales.
7. El criterio del ángulo evaluado para s = −3.2 es
A. 0o .
B. 90o .
C. -90o .
D. 180o .
8. El criterio de magnitud evaluado para s = −6 es
A. 6.
B. 24.
C. 44.8.
D. 80.
9. El lugar tiene
A. una ası́ntota.
B. dos ası́ntotas.
C. tres ası́ntotas.
D. cuatro ası́ntotas.
10. El centroide de las ası́ntotas está en
A. cero.
B. -1.06.
C. -2.13.
D. 1.06.


1. Defina especificaciones deseadas de desempeño para la respuesta temporal dominante del
sistema de control; muestre las especificaciones para la respuesta transitoria como un área
deseada para las raı́ces de red cerrada.
2. Considere el modelo nominal del proceso y el perı́odo de muestreo escogido en las acti-
vidades de proyecto previas. Utilice una acción de control proporcional o integral si la
requiere; trace el lugar de las raı́ces para la ganancia proporcional kp o la integral ki y
verifique si se cumplen las especificaciones. Calcule si existe, la ganancia crı́tica kc y las
raı́ces de red cerrada para ganancias kc /2 y kc /3. Calcule si existe, la ganancia para tener
dos raı́ces reales iguales.
3. Analice si el sistema puede tener una ecuación caracterı́stica con un par de polos complejos
con coeficiente de amortiguamiento mayor o igual a 0.5; en tal caso, calcule la ganancia
para un amortiguamiento de 0.5 y el margen de ganancia. ¿La dinámica del sistema se
puede aproximar a la de segundo orden?
4. Considere el modelo nominal del proceso con el controlador PID ajustado en el paso 10
del capı́tulo 6; trace el lugar de las raı́ces para variaciones de la ganancia de una acción de
control, manteniendo las demás en el ajuste dado. Si aplica, obtenga la ganancia crı́tica
y la frecuencia de la oscilación sostenida en cada caso.
5. Para el paso anterior, analice los cambios de desempeño para diferentes perı́odos de mues-
treo mediante los lugares de las raı́ces para la ganancia proporcional.
6. Para el paso 4 trace contornos de las raı́ces para las variaciones de la ganancia proporcional
con otra acción de control.
7. Verifique a partir del análisis realizado, si se cumplen las especificaciones deseadas de

desempeño.

Capı́tulo 9
Análisis de la respuesta en
frecuencia
9.1. Introducción
Por el término respuesta en frecuencia se entiende la respuesta en estado de régimen perma-
nente de un sistema ante una entrada sinusoidal. Esta respuesta se puede representar gráfica-
mente de diversas formas; también tiene una estrecha relación con la función de transferencia
del sistema, lo que hace de esta herramienta un método muy poderoso para analizar y diseñar
sistemas de control. Este método es especialmente útil para controlar el ancho de banda del
sistema y evitar amplificar ruido en el lazo; también lo es para evaluar la estabilidad incluyendo
variaciones de la función de transferencia a controlar (estabilidad robusta) y para sistemas con
tiempos muertos.
En este capı́tulo se presentará el análisis en el dominio de la frecuencia de una función de
transferencia por medio de diagramas de magnitud y fase de bode, gráficas polares, y el criterio
de estabilidad de Nyquist tanto para sistemas de tiempo continuo como discretos.
9.2. Respuesta frecuencial de sistemas continuos

Lúdica 9.1
Esta actividad tiene una duración estimada de una hora y requiere de al menos dos per-
sonas para realizarla; se usan 50cm de nylon inelástico, 50cm de nylon elástico, una masa de
aproximadamente 150g, un vaso con diámetro D de 5cm aproximadamente, un reloj y lapiceros.
1. Ate un extremo del nylon elástico a la masa y el otro extremo al nylon inelástico, marque
esta última unión con plastilina lo que definirá el desplazamiento x(t) del nylon inelástico;
observe que el desplazamiento máximo X de x(t) es πD. Pase el extremo libre del nylon
inelástico por un pivote y luego átelo a un lapicero, como se muestra en la figura 9.1.
Una persona girará a un ritmo ω constante el lapicero sobre el vaso; el ritmo se define
a partir del conteo muestreado de los segundos del reloj o desde cualquier otro patrón
423
9.2. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS CONTINUOS
Figura 9.1: Sistema oscilador para la lúdica 9.1.
rı́tmico. El pivote convierte el desplazamiento horizontal del nylon inelástico en un des-

plazamiento vertical que excita al sistema oscilador de masa y resorte.
2. Desplace con la mano la masa para observar su oscilación libre; tome nota del número
total de oscilaciones y su frecuencia ωd .
3. Para los siguientes casos, observe la desviación pico a pico Y de la masa m y su altura
y(t) para un punto de referencia dado de x(t) (el máximo o mı́nimo, por ejemplo); tome
datos, solo después de alcanzar un movimiento periódico uniforme. Registre en una tabla:
ω, Y y x(t).
a) Al ritmo más lento posible, asegurando una velocidad uniforme del lapicero.
b) Un poco más rápido que en el paso anterior, donde observe que Y aumenta.
c) Al ritmo donde se observe la máxima Y .
d ) Al ritmo donde la posición de la masa y(t) esté en contrafase con la de x(t) (si es
posible).
e) Más rápido que en el paso anterior y donde observe iguales desplazamientos pico a
pico X y Y (si es posible).

f ) Más rápido hasta observar que Y es un 70 % de X (si es posible).

g) Lo más rápido posible, asegurando una velocidad uniforme del lapicero.
4. ¿Cuál es aproximadamente la dinámica del sistema masa resorte? ver ejemplo 5.3.
5. ¿Cuál es la relación de magnitudes Y /X y de desfase entre las sinusoides del nylon inelásti-
co y de la masa, a ritmos muy bajos y a ritmos muy altos?
6. ¿Cuál es la máxima relación de magnitudes Y /X? En qué frecuencia se obtiene?
7. ¿En el paso 3d cuál es la relación Y /X? Si fuera uno, serı́a más fácil o difı́cil controlar el
sistema?
8. ¿En el paso 3e que desfase se observa? Si fuera de 180o , serı́a más fácil o difı́cil controlar
el sistema?
9. ¿Que puede concluir acerca del comportamiento del sistema?
10. ¿Puede esbozar algún(os) gráfico(s) que de(n) información general del funcionamiento del
sistema para los diferentes casos analizados?
En la lúdica anterior se analiza la respuesta en estado estable del sistema masa resorte a
una señal sinusoide de entrada con frecuencia variable: x(t) = Xcos(ωt) y la salida es también
una señal sinusoidal y(t) = Y cos(ωt + φ) de la misma frecuencia pero de magnitud y fase
diferentes. Este análisis se denomina respuesta de frecuencia y como se observa en la lúdica
9.1 la determinación experimental de la respuesta en frecuencia es simple por la facilidad de
generar x(t) y de medir y(t).
Y
La relación de magnitudes X (ω) y el desfase φ(ω) son función de la frecuencia ω de la
entrada y están directamente relacionados con la función de transferencia. Como la función
coseno se expresa por la identidad de Euler como: cos(ωt) = (ejωt + e−jωt )/2, interesa conocer
la respuesta del sistema dinámico a la entrada exponencial compleja: x(t) = ejωt .
1 1
Con X(s) = s−jω la transforma de Laplace de la salida es Ye+ (s) = s−jω G(s); expandiéndola
en fracciones parciales:
G(jω)
Ye+ (s) = + Yt (s),
s − jω
donde:
nj
p X
X rji
Yt (s) =
j=1 i=1
(s − pj )i
son los términos de la expansión de los polos de G(s), estos términos en el dominio del tiempo
decrecen exponencialmente si el sistema es estable, por lo que la respuesta a ejωt en estado
estable es:
ye+ (t → ∞) = G(jω)ejωt . (9.1)
La función G(jω) es compleja y puede expresarse en coordenadas polares como:
G(jω) = |G(jω)| ejφ(ω) (9.2)

donde φ(jω) = ∠G(jω) es el ángulo de G(jω), ası́ la salida en estado estable (9.1) es:
ye+ (t → ∞) = G(jω)ejωt = |G(jω)| ej(ωt+φ(ω)) ; (9.3)
de (9.3) promediando las respuestas a Xejω y Xe−jω se obtiene la respuesta en estado estable
para x(t) = Xcos(ωt):
X 1 j(ωt+φ(ω))
y(t → ∞) = (ye+ + ye− ) = X|G(jω)| e + e−j(ωt+φ(ω)) , (9.4)
2 2
y(t → ∞) = X|G(jω)|cos(ωt + φ(ω)). (9.5)
Por lo tanto, la respuesta en estado estable a una sinusoide de entrada, es una sinusoide de
la misma frecuencia con amplitud: Y = X|G(jω)| y desfase ∠G(jω), donde G(jω) es la función
de transferencia del sistema evaluada en s = jω:
Y

G(s) = G(jω) = (ω) ejφ(ω) ; (9.6)
s=jω X
G(jω) se denomina función de transferencia sinusoidal función de transferencia sinusoidal y es
una función compleja de la frecuencia ω:
G(jω) = U (jω) + jV (jω). (9.7)
Por lo anterior, la respuesta de frecuencia permite también obtener experimentalmente el modelo

matemático de un sistema dinámico lineal.
Ejemplo 9.1
Este ejemplo ilustra el uso del MATLAB para obtener la función de transferencia o la
representación de estado de un sistema dinámico continuo, a partir de los datos experimentales
de su respuesta en frecuencia. La tabla 9.1 muestra los datos experimentales para la ganancia
Tabla 9.1: Datos de la respuesta de frecuencia del ejemplo 9.1.
Frecuencia [Hz] Y /X Fase[o ]

0.1 1 -20
0.3 1.1 -55
0.4 1.5 -80
0.5 2 -135
0.6 1 -200
0.7 0.5 -220
0.8 0.3 -230
1.0 0.1 -240
(relación entre los máximos de la salida y la entrada) Y /X y el desfase en grados para ocho
valores de la frecuencia de la sinusoide de entrada. Los datos se tomaron con una precisión de
un decimal para la ganancia y de 5o para la fase. El comando ‘frd’ crea modelos de datos de

respuesta de frecuencia, compatibles con los modelos tipo función de transferencia y espacio
de estado; la conversión directa tiene la restricción que no construye el modelo del ruido. Para
la función de transferencia se puede realizar la identificación con el método de error de salida,
comando ‘oe’ (ver la sección 3.6.2); la identificación con el método de error de predicción ‘pem’
obtiene el modelo de espacio de estado con K = 0.
>> w = [0.1;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7;0.8;1];% vector de frecuencias

>> Y=[1;1.1;1.5;2;1;0.5;0.3;0.1];% vector de magnitudes
>> F=[-20;-55;-80;-135;-200;-220;-230;-240];% vector de ángulos
>> j = sqrt(-1);
>> Guv = Y.*exp(j*F*pi/180);% convierte a datos complejos
>> Gw=frd(Guv,w.*2*pi)
Frequency(rad/s) Response
---------------- --------
0.6283 0.9397 - 0.3420i
1.8850 0.6309 - 0.9011i
2.5133 0.2605 - 1.4772i
3.1416 -1.4142 - 1.4142i
3.7699 -0.9397 + 0.3420i
4.3982 -0.3830 + 0.3214i
5.0265 -0.1928 + 0.2298i
6.2832 -0.0500 + 0.0866i
Continuous-time frequency response.
>> Gs=oe(Gw,[1 3])% orden tres sin ceros

Continuous-time IDPOLY model: y(t) = [B(s)/F(s)]u(t) + e(t)
B(s) = 22.67
F(s) = s^3 + 3.073 s^2 + 12.38 s + 22.3
Estimated using OE from data set Gw
>> X=pem(Gw,3) %orden tres
State-space model: dx/dt = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
A =
x1 x2 x3
x1 -0.16197 -3.4714 0.98337
x2 2.58 -0.79696 3.7155
x3 0.16001 -0.3982 -2.253
B =
u1
x1 0.8034
x2 -0.96182
x3 -0.48318
C =
x1 x2 x3
y1 0.54534 1.4995 -2.1074

D =
u1
y1 0
x(0) =
x1 0
x2 0
x3 0
Estimated using PEM from data set Gw
>> compare(Gw,Gs,X)
La figura 9.2 muestra la salida del comando ‘compare’ con la comparación de las curvas de
magnitud versus la frecuencia, entre los datos medidos y los obtenidos usando los modelos
identificados; se observa el buen ajuste de los modelos identificados, pese a la poca cantidad de
datos, lo que muestra la compresión de información de la respuesta de frecuencia. Si se tienen
datos de la respuesta temporal, se pueden también realizar las validaciones en el dominio del
tiempo vistas en el sección 3.6.4. △
1
10
Function Gw
Gs Fit: 97.12%
X Fit: 97.33%
Magnitud
0
10
−1
10 0
10
Frecuencia [Rad/s]
Figura 9.2: Validación de la identificación con datos de respuesta de frecuencia.
9.2.1. Gráficas de respuesta en frecuencia nominales

En el análisis y diseño de sistemas de control y filtros se usan diversas representaciones
de la respuesta de frecuencia de un sistema, en esta sección se presentan las más usadas para

el caso del modelo nominal; en la siguiente sección se verán las gráficas para sistemas con
incertidumbre.
9.2.1.1. Diagrama de Nyquist

El diagrama de Nyquist es el trazo de la parte real U versus la imaginaria V de G(jω);
también se llama gráfica polar de G(jω). Esta gráfica permite evaluar la estabilidad con el
criterio de Nyquist al igual que medidas de desempeño robusto, como se verá más adelante. No
es sencillo trazarla manualmente y no indica el efecto de los polos o ceros individuales por lo
que debe obtenerse con un programa de computador. La figura 9.3 muestra los diagramas de
Nyquist obtenidos con el comando ‘nyquist’ del MATLAB, para las respuestas de frecuencia de
los datos Gw y los modelos identificados Gs y X en el ejemplo 9.1.
0.5
0
Eje imaginario
−0.5
Gw
−1 Gs
X
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Eje real
Figura 9.3: Diagrama de Nyquist de los datos y los modelos identificados.
9.2.1.2. Diagramas de Bode

Los diagramas de Bode son dos gráficos, la magnitud (en decibeles) y la fase versus el
logaritmo en base 10 de la frecuencia:
20log|G(jω)| vs log ω,
φ(ω) vs log ω.
La figura 9.4 muestra el diagrama de Bode de los datos y la función de transferencia Gs del
ejemplo 9.1, trazados con el comando ‘bode’ del MATLAB; se valida igualmente la fase de los
modelos identificados.
Con el eje de frecuencias lineal en logω se logra una representación compacta de la respuesta
de frecuencia para intervalos grandes de frecuencia; el eje de frecuencias usualmente se da
en décadas, donde una década corresponde a un intervalo de frecuencias dentro del cual la

Bode Diagram
20
Gw
0 Gs
Magnitud (dB)
−20
−40
−60
−80
0
Fase (grados)
−90
−180
−270
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Frequency (Hz)
Figura 9.4: Diagrama de Bode de los datos y la función de transferencia identificada.
frecuencia final es diez veces la inicial. La fase se da en una escala lineal en grados o radianes. La
magnitud en decibeles permite buena precisión para valores grandes y pequeños de la magnitud
de la función de transferencia sinusoidal |G(jω)|, con trazos que tienden a lı́neas rectas y la
facilidad de adicionar polos o ceros sumando las gráficas de cada término, con lo que se simplifica
el cálculo y la descripción gráfica de la respuesta de frecuencia.
Aunque los programas de computador dibujan el diagrama de Bode completo, es importante
para el análisis conocer la forma de los diagramas de Bode de polos y ceros de primer y segundo
orden y del tiempo muerto. Para el trazo de un diagrama de Bode, conviene primero llevarlo a
la forma de Bode:
m
Y
jω
kB 1+ e−sTm
j=1
z j
G(jω) =
Yn q 2 ! , (9.8)
N jω Y jω ω
(jω) 1+ 1 + 2ρk −
i=1
pi ωk ωk
k=1
donde kB es la constante de Bode. Si hay ceros complejos tendrán la misma forma de los polos
complejos en (9.8).
De (9.8), la magnitud en decibeles [db] es:
m
X jω
20log |G(jω)| = 20logkB + 20
log 1 + − 20log (jω)N − · · ·
j=1
zj

La fase es:
Xm
−1 ω
φ(jω) = tan − ωTm − N (90o ) · · ·
j=1
z j
se observa por lo tanto que los diagramas de magnitud y fase total, son la suma gráfica de cada
factor individual y que existen solo cinco términos simples:
1. Ganancia constante kB .
2. Polos o ceros en el origen.
3. Polos o ceros en el eje real.
4. Tiempo muerto.
5. Polos o ceros conjugados complejos.
Ganancia constante. La curva de magnitud es una recta horizontal de altura 20logkB ; la

curva de fase es: φ(jω) = 0o , kB > 0; φ(jω) = −180o , kB < 0, ver la figura 9.5.
20Log10K dB (K=10)
40
30
20
 G(jω)  (dB)
10
−10
−20
−30
−40
180
135
90
∠ G(jω) (Grados)
45
∠ K (K>0)
0
−45
−90
−135
∠ K (K<0)
−180
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
ω (rad/s)
Figura 9.5: Magnitud en decibeles y fase para la ganancia constante.

Polos o ceros en el origen. La curva de magnitud tiene una pendiente de menos (mas)
N 20 decibeles por década ∓N 20db/dec; en ω = 1 la magnitud es N 20 log (1) = 0db. La fase es
constante con valor de ∓90o , ver la figura 9.6.
60 2
(jω
)
cada
/dé ω)
40
dB ada (j
+40 B/déc
+20d
20
 G(jω)  (dB)
−20dB
−20 /décad
a (1/jω
)
−40
−40
dB/d
−6 éca
0d da (
−60
B/ 1/jω 2
dé )
ca
da
−80 (1/
jω) 3
−100
180
2
∠ (jω)
90
∠ (jω)
∠ G(jω) (grados)
∠ (1/jω)
−90
2
∠ (1/jω)
−180
−270
3
∠ (1/jω)
−360
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
ω (rad/s)
Figura 9.6: Magnitud en decibeles y fase para polos o ceros en el origen.
Polos o ceros en el eje real. La figura 9.7 muestra los diagramas de Bode de un polo
o cero real en el semiplano izquierdo: (1 + jωT )±1 y de un polo o cero real en el semiplano
derecho: (1 − jωT )±1 . En baja frecuencia con relación a la frecuencia 1/T , no hay aporte de
magnitud ni de fase; en alta frecuencia la curva de magnitud tiende a ası́ntotas con pendiente
±20db/dec; las curvas de fase pasan de cero a ±90o , con una transición desde una década antes
hasta una después de 1/T ; en ω = 1/T las fases son ±45o . Se observa en la figura que las curvas
de magnitud no cambian con el signo del polo o cero (ubicación en el semiplano izquierdo o
derecho): p
20log|1 + jωT | = 20log|1 − jωT | = 20log 1 + ω 2 T 2 ; (9.9)
1 1 p

20log = 20log = −20log 1 + ω 2 T 2 . (9.10)
1 + jωT 1 − jωT
Mientras que las curvas de fase cambian de signo con el signo del polo o cero:
∠{1 + jωT } = tan−1 ωT = −∠{1 − jω}; (9.11)

40
30
20
G(s) = 1+Ts
10
G(jω) (dB)
Asintóticas
0
−10 1
G(s) = −−−−−−−−−−−−
−20 1+Ts
−30
−40
90
45
∠G(jω) (grados)
G(s) = 1+Ts
0
1
G(s) = −−−−−−−−−
1+Ts
−45
−90
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
ω (rad/seg)
Figura 9.7: Magnitud en decibeles y fase para polos o ceros en el eje real negativo.
n 1 o n 1 o
∠ = −tan−1 ωT = ∠ . (9.12)
1 + jωT 1 − jωT
Nótese en las expresiones (9.9) a (9.12) que las curvas de magnitud y de fase cambian de
signo con sus recı́procos, lo cual es una propiedad general de los diagramas de Bode; los ceros
en el semiplano izquierdo generan avance de fase que es estabilizador, sinembargo los ceros en
el semiplano derecho generan por el contrario atraso de fase.
La figura 9.8 presenta los diagramas de Bode de las funciones de transferencia:
±s + 1
G±d (s) = ,
0.1s + 1
±0.1s + 1
G±t (s) = .
s+1
s+1
La función G+d (s) = 0.1s+1 tiene el cero a más baja frecuencia que el polo, por lo que
genera avance de fase; obsérvese la simetrı́a de la curva de fase en forma de campana; para una
función de avance de fase: (s + z)/(s + p) con |z| < |p|, igualando a cero la derivada de la fase
se demuestra que el avance de fase máximo φm es:
p − z
φm = arcsen (9.13)
p+z

20
10
Magnitud (dB)
|±jω+1|
|0.1jω+1|
0
|±0.1jω+1|
|jω+1|
−10
−20
90
∠{jω+1}
∠{0.1jω+1}
Fase (deg)
0
∠{0.1jω+1}
∠{jω+1}
−90
∠{−jω+1} ∠{−0.1jω+1}
∠{0.1jω+1} ∠{jω+1}
−180
−2 −1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/sec)
±s+1 ±0.1s+1
Figura 9.8: Diagramas de bode de 0.1s+1 y s+1 .
y que se alcanza en la frecuencia:

√
ωm = pz, (9.14)
la cual corresponde a la media geométrica entre el polo y el cero.
−s+1
La función G−d (s) = 0.1s+1 tiene el cero a más baja frecuencia que el polo pero está en
el semiplano derecho; la curva de magnitud es igual a la de G+d (s) pero la curva de fase esta
siempre con atraso de fase.
La función de atraso de fase G+t (s) = 0.1s+1
s+1 es la recı́proca de la de adelanto G+d (s), por
lo que tiene sus curvas cambiadas de signo; con esta función se aprovecha para el diseño del
sistema de control, la disminución de la ganancia en bajas frecuencias; la curva de atraso de fase
tiene un valor mı́nimo de −φm en la frecuencia (9.14); la función con el cero en el semiplano
derecho: G−t (s) = −0.1s+1
s+1 , no tiene la curva de fase con un mı́nimo, de esto se deriva el nombre
de cero de fase no mı́nima a los ubicados en el semiplano derecho.
Los sistemas con polos o ceros en el semiplano izquierdo se denominan sistemas de fase
mı́nima y tienen la propiedad de tener una relación unı́voca entre las curvas de magnitud y
fase, Bode mostró la relación:
π d log |G(jω)|
∠G(jω) ≈ [rad], (9.15)
2 d log ω

entre la fase y la pendiente de la curva logarı́tmica de magnitud; una pendiente de Rω = −1

en decimales indica que la magnitud de |G(jω)| cae en un factor de diez (-20db) cuando la
frecuencia se incrementa en un factor de diez (década), lo que equivale a −20 decibeles por
década. Para una pendiente Rω constante de la curva de magnitud, la fase es de Rω π/2; esta
aproximación no es válida cerca a frecuencias naturales de polos o ceros de orden dos con
bajo amortiguamiento; la relación es exacta para sistemas integradores o derivadores puros:
G(s) = 1/sN .
Tiempo muerto. La función de transferencia sinusoidal del tiempo muerto es:
e−jωTm = 1 ∠ − Tm ω; (9.16)
a una frecuencia dada, el tiempo muerto no cambia la magnitud pero si adiciona un retardo de
fase de Tm ω o ; la figura 9.9 muestra la respuesta de frecuencia del tiempo muerto para Tm = 1.
0.5
Magnitud (dB)
−0.5
−1
0
−180
Fase (deg)
−360
−540
−720
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Figura 9.9: Diagramas de bode de la función de transferencia del tiempo muerto.
La curva de magnitud es 0db. La curva de fase decrece rápidamente para ω ≥ 1; como el eje
de la frecuencia es logarı́tmico, el aumento del retraso de fase es exponencial, es por lo tanto es
un sistema de fase no mı́nima.

Polos o ceros conjugados complejos. La figura 9.10 muestra los diagramas de bode para
los polos complejos G(jω) = [(1 + (2ρ/wn )jω + (jω/wn )2 ]−1 . La magnitud pasa de cero en
baja frecuencia con relación a ωn a una recta asintótica en alta frecuencia con pendiente de
−40db/dec; la fase pasa de cero a baja frecuencia a 180o en alta frecuencia; las transiciones de
las curvas de magnitud y fase dependen del coeficiente de amortiguamiento ρ.
40
30
ρ = 0.05
20
ρ = 0.1
10 ρ = 0.2
G(jω) (dB)
ρ = 0.3
−10
ρ = 0.5
−20 ρ=1
−30
−40
0
ρ = 0.05
ρ = 0.1
−45 ρ = 0.2
∠G(jω) (grados)
−90
ρ = 0.3
ρ = 0.5
ρ=1
−135
−180
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
u=ω/ωn Relación de frecuencia
Figura 9.10: Magnitud en decibeles y fase para polos complejos.
Ejemplo 9.2
Se considera un sistema de control de la excitación con excitatriz y acción integral de un
generador de baja potencia para una red eléctrica industrial:
kI
G(s) = ,
s (s + 1) (0.1s + 1)
con ganancia integral kI = 2; se desea analizar su respuesta frecuencial de red abierta mediante
los diagramas de Bode; primero se organiza la función de transferencia en red abierta en la

forma de Bode:
2
G(jω) = jω
. (9.17)
jω (jω + 1) 10 +1
Las aproximaciones asintóticas de cada término son:
1. Constante de Bode: la magnitud en decibeles es: M db = 20 log2 = 6db.
2. Término 1/jω: la curva de magnitud tiene pendiente de−20db/dec y en ω = 1 es 0db; la

fase es de −90o constante.
3. Término 1/(jω + 1): magnitud con pendiente de −20 db/dec a partir de ω = 1; fase con
pendiente de −45o / dec para 0.1 ≤ ω ≤ 10.
4. Igual al término 3. para la frecuencia ω = 10.
50
Magnitud (dB)
−50
−100
−90
−135
Fase (deg)
−180
−225
−270
−1 0 1 2
10 10 10 10
Figura 9.11: Diagramas de Bode para el ejemplo 9.2.
La gráfica 9.11 presenta los diagramas de Bode; en baja frecuencia la curva de magnitud tiene
una pendiente de −20db/dec debida al integrador; en ω = 1 entra el término 1/(jω + 1) para
cambiar la pendiente a −40db/dec; en ω = 1 este término resta tres decibeles a los 6db del
término de Bode, por ello la altura de la curva es de 3db; en ω = 10 entra el otro polo para una
pendiente de alta frecuencia de −60db/dec.
La curva de fase tiene −90o en baja frecuencia por el integrador; en ω = 0.1 la fase tiene
una pendiente de −45o /dec hasta ω = 1 donde actúa la fase del término 1/( jω 10 + 1) para una

fase de −90o /dec hasta ω = 10 donde deja de actuar la fase del término 1/(jω + 1); se observa
que la fase tiende asintóticamente en alta frecuencia a −90g, donde g = 3 es el grado relativo
de G(s).
La figura 9.12 muestra las curvas de magnitud de las respuestas de frecuencia para las
funciones de sensibilidad del sistema obtenidas con el comando ‘bodemag’. La respuesta para
S T
3 2
Magnitud (abs)
Magnitud (abs)
1.5
2
1
1
0.5
0 0
−1 0 1 2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/sec) Frecuencia (rad/sec)
Se Ss
1.5 4
Magnitud (abs)
Magnitud (abs)
3
1
2
0.5
1
0 0
−1 0 1 2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10 10 10 10
Figura 9.12: Diagramas de magnitud de Bode, funciones de sensibilidad, ejemplo 9.2.
la magnitud de la respuesta frecuencial de la función de sensibilidad |S(jω)| muestra buena

atenuación a disturbios de salida de baja frecuencia, pero alta amplificación en frecuencias
cercanas a 1.5 rad/s; la respuesta de red cerrada |T (jω)| también muestra alta ganancia en
esas frecuencias. La respuesta de la función de sensibilidad de entrada |Se (jω)| muestra que se
atenúan los disturbios de entrada al proceso en baja y alta frecuencia, pero no en cierta banda
de frecuencias en donde hay incluso amplificación; finalmente la respuesta de la sensibilidad de
salida |Ss (jω)| muestra que la amplitud de la señal de control se amplifica en un factor máximo
de tres, admisible en estos sistemas y que se atenúa adecuadamente en alta frecuencia por lo
que no se amplifica el ruido. △
9.2.1.3. Carta de Nichols

El lugar de Black es el trazo de la curva de magnitud en decibeles versus la fase:
20log|G(jω)| vs φ(jω),

con parámetro la frecuencia ω; esta gráfica presenta información equivalente a la del diagrama
de Bode en una sola gráfica; la ventaja es que facilita obtener la información de la respuesta de
frecuencia de red cerrada:
G(jω)
T (jω) =
1 + G(jω)
a partir de la respuesta de frecuencia de red abierta G(jω), para sistemas con realimentación
unitaria H(jω) = 1.
Con G(jω) = U (ω) + jV (ω):
G(ω) U (ω) + jV (ω)

T (jω) = = .
1 + G(ω) 1 + U (ω) + jV (ω)
La magnitud MT (ω) de la función de transferencia sinusoidal de red cerrada es:

p
U (ω)2 + V (ω)2
MT (ω) = |T (jω)| = r 2 ;
1 + U (ω) + V (ω)2
manipulando algabraicamente se obtiene:

2
MT (ω) MT (ω)2
= U (ω) − + V (ω)2 . (9.18)
1 − MT (ω)2 1 − MT (ω)2
Esta ecuación describe una familia de cı́rculos de magnitud

2 de red cerrada MT(ω) constante en
MT MT
el diagrama de Nyquist para G(jω), con centro en 1−M 2 , 0 y radio 1−M 2 . La intersección
T T
de la gráfica de Nyquist para G(jω) con el cı́rculo de MT constante, da la magnitud de T (jω)
en la frecuencia indicada para G(jω).
De forma similar, se obtienen los cı́rculos NT de fase constante para T (jω). Nichols pasó los
cı́rculos de MT y NT constantes del plano polar al plano de Black y obtuvo lo que se conoce
como la carta de Nichols; en ella se tienen los contornos de MT [db] y NT [o ] constantes, en
ejes coordenados de 20log|G(jω)| vs φ[o ].
Ejemplo 9.3
La figura 9.13 muestra la carta de Nichols creada con los comandos ‘nichols’ y ‘ngrid’ para la
2
función de transferencia G(s) = s(s+1)(0.1s+1) del ejemplo 9.2. La gráfica tiene como parámetro
a la frecuencia ω y se han marcado algunas frecuencias de interés (ver sección 9.2.5.7). La curva
de respuesta de frecuencia mantiene la fase en −90o en baja frecuencia, por lo que sigue el
contorno de MT = 0db; esto se debe a la acción integral del controlador que garantiza una
ganancia unitaria en estado estable. Luego al aumentar la frecuencia, la curva corta contornos
positivos cada vez mayores, lo que indica un aumento de la ganancia de red cerrada con la
frecuencia; después de alcanzar un MT máximo, la curva corta contornos de valores cada vez
menores, indicando la pérdida de ganancia del sistema a alta frecuencia. △
9.2.1.4. Diagrama de Nyquist y la función sensibilidad

Para la función de sensibilidad un análisis similar al realizado para los cı́rculos de MT
constante permite obtener los cı́rculos de magnitud constante MS de la función de sensibilidad

40
0 dB
30 0.25 dB
Ganancia de red abierta (dB)
0.5 dB
20 1 dB
−1 dB
10 3 dB
−3 dB
6 dB
ωSb=0.81
0 ωg=1.24
−6 dB
ωTb=2.04 −12 dB
−10
−20 dB
−20
−225 −180 −135 −90 −45 0
Fase de red abierta (deg)
2
Figura 9.13: Carta de Nichols para el sistema G(s) = s(s+1)(0.1s+1) .
en la gráfica de Nyquist:
2 2
1
= 1 + U (ω) + V (ω)2 . (9.19)
MS (ω)
Esta ecuación describe una familia de cı́rculos para cada magnitud de la función sensibilidad
MS (ω), con centro en el punto crı́tico (−1, 0) y radio 1/MS . Por lo tanto, el vector trazado desde
el punto crı́tico hasta la gráfica de Nyquist tiene magnitud igual al inverso de la magnitud de
la función sensibilidad: |1 + GH(jω)|.
La intersección de la gráfica de Nyquist para GH(jω) con el cı́rculo de MS constante, da la
magnitud de S(jω) en la frecuencia indicada para GH(jω). La figura 9.14 ilustra caracterı́sticas
de interés que se definirán en la sección 9.2.5, para la función de sensibilidad del sistema con
1
función de transferencia de red abierta: GH(s) = s(s+1) .
9.2.2. Gráficas de respuesta en frecuencia para sistemas inciertos (I)

Las gráficas de respuesta de frecuencia se pueden trazar para los modelos con incertidumbre
planteados en la sección 2.6.5.
Los comandos del MATLAB:
Delta = ultidyn(’Delta’,[1 1], ’Type’,’GainBounded’,’Bound’,1);
W = makeweight(0,10,1.1); G = tf(1,[1 1 0])*(1+W*Delta);

2.5
2
MS=1.47
1.5
1 MS=0.7
Eje imaginario
0.5
−0.5 ωSr=1.17
−1
−1.5 ωSb=0.56
−2
−2.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Eje real
1
Figura 9.14: Diagrama de Nyquist de GH(s) = s(s+1) y cı́rculos de MS constantes.
nyquist(usample(G,100),’y’,G.NominalValue,’.-’);
permiten obtener las gráficas de Nyquist para la función de transferencia del sistema dinámico
incierto:
1 1.1s
G(s) = Gm (s) 1 + W (s)∆(s) , Gm (s) = , W (s) = , (9.20)
s(s + 1) (s + 4.6)
ver la figura 9.15. Se tiene el modelo nominal Gm (s) con una incertidumbre multiplicativa con
función de peso W (s). En una frecuencia dada ω1 , el vector Gm (jω1 ) da la posición en el plano
de Nyquist de la función de transferencia sinusoidal nominal; en este punto se suma el término
Gm (jω1 )W (jω1 )∆(jω1 ), en donde la función ∆(jω1 ) es un conjunto de infinitas funciones de
transferencia estables evaluadas en jω1 con magnitud limitada |∆(jω1 )| < 1, esto genera un
disco de incertidumbre de radio |Gm (jω1 )W (jω1 )| centrado en el punto Gm (jω1 ). En la medida
que varı́a la frecuencia, el disco se desplaza centrado sobre la curva de Gm (jω) cambiando su
radio con la función de peso W (jω). Gráficas de Nyquist como ésta para sistemas inciertos,
permiten evaluar la estabilidad de los sistemas con su incertidumbre, ver la sección 9.2.4.
Los diagramas de Bode también se pueden usar para el análisis de los sistemas inciertos en
frecuencia; la figura 9.16 muestra los diagramas de Bode para el sistema de control de posi-
cionamiento del lector de un disco de almacenamiento óptico, presentado del ejemplo 2.11. La
incertidumbre solo es paramétrica para los porcentajes de variación dados en la tabla 2.13, se
observa en la curva de magnitud que la incertidumbre es relativamente constante con la fre-
cuencia. Las incertidumbres paramétricas tienen las desventajas de requerir un mayor esfuerzo

0.8
0.6
0.4
Eje imaginario
0.2
−0.2
−0.4
|Gm(jω1)|
−0.6
|WGm(jω1)|
−0.8
−1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
Eje real
Figura 9.15: Diagrama de Nyquist para el sistema (9.20).
en el modelado y que no tienen en cuenta las dinámicas no modeladas, como si lo hace la

incertidumbre paramétrica no estructurada como la dada en la ecuación 2.79.
Ejemplo 9.4
Se tiene un sistema de primer orden con ganancia y constante de tiempo de un segundo y
variaciones de cada parámetro del 20 %. La figura 9.17 muestra el diagrama de la magnitud de
Bode para la función de transferencia del error multiplicativo:
G(s) − Gm (s)
G∆ (s) = ,
Gm (s)
obtenido mediante los comandos del MATLAB:
>> k=ureal(’k’,1,’Percentage’,20);tau=ureal(’tau’,1,’Percentage’,20);
>> G=tf(k,[tau,1]);T=0.9;W=0.2*(2.25*T*s+1)/(T*s+1);
>> bodemag((usample(G,200)-G.NominalValue)/G.NominalValue,’y’,W,’.-’);
Para ajustar la cota |G∆ (jω)| < e(ω), la máxima ganancia se puede acotar en baja frecuencia
a 0.2 y en alta frecuencia a 0.45; para estas cotas se obtiene la función de peso
0.2(2.25T s + 1)
W (s) = ,
Ts + 1

100
80
Magnitud (dB)
60
Incertidumbre
40 Gm
20
0
−45
Fase (deg)
−90
−135
−180
0 1 2 3
10 10 10 10
Frecuencia (Hz)
Figura 9.16: Diagrama de Bode para la ecuación diferencial (2.48).
donde T =0.9 se obtiene por ajuste sobre la gráfica de Bode. En la figura 9.17 se observa también
la respuesta de frecuencia para la magnitud de la función de peso: W (jω), la cual siempre es
mayor que la máxima |G∆ (jω)|. △
9.2.3. Criterio de estabilidad de Nyquist

La respuesta de frecuencia de un sistema dinámico permite evaluar la estabilidad del sistema
sin tener que calcular las raı́ces de la ecuación caracterı́stica; la idea es examinar si una señal
sinusoidal se amplifica o reduce a lo largo del lazo de realimentación; suponga que se excita
un sistema en red abierta con una sinusoide de frecuencia ω1 ; si la sinusoide de salida tiene la
misma amplitud de la entrada y se desfasa 180o , al realimentarla negativamente se tendrá la
misma señal de la entrada dando un error igual al doble de la señal, el cual genera una sinusoide
de salida del doble de magnitud y ası́ sucesivamente; intuitivamente se observa que la respuesta
de frecuencia de un sistema en red abierta no debe valer -1, esto es magnitud unitaria y fase de
180o .
Nyquist investigó la estabilidad de un sistema realimentado a partir de su respuesta de
frecuencia en red abierta GH(jω). Para ello utilizó el principio del argumento de la teorı́a de
variable compleja. Este principio establece que si una trayectoria cerrada con cierta dirección
(destrogiro o sinestrogiro) en el plano S, no pasa por ningún polo o cero de GH(s) y encierra
Np polos y Nc ceros de GH(s), entonces en el plano de GH(s) la proyección de la trayectoria
dará N = Nc − Np rodeos al origen en la misma dirección. Los rodeos de una trayectoria en un

0.5
0.45 |G∆(jω)|
|W(jω)|
0.4
0.35
Magnitud (abs)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Figura 9.17: Diagrama de Bode del error multiplicativo para el sistema del ejemplo 9.4.
plano a un punto se determinan con un eje perpendicular al plano en el punto y atando una
cuerda desde este eje hasta la trayectoria; al recorrer la trayectoria el número de rodeos son las
vueltas dadas por la cuerda sobre el eje.
Nyquist definió la trayectoria Γ de la figura 9.18 la cual recorre el eje complejo desde
jω = − ∞ hasta jω = ∞, luego hace un semicı́rculo de radio R → ∞ abarcando el
semiplano derecho; si hay polos en el eje complejo como es el caso de la figura para el polo en el
origen, se evitan con un pequeño semicı́rculo de radio r → 0. Esta trayectoria es un buscador de
polos inestables para cualquier función de transferencia; al aplicarla a la ecuación caracterı́stica:
1 + GH(s) = 0, se analiza si la imagen de la trayectoria en el plano de GH(s) rodea el punto
crı́tico: (−1, 0).
9.2.3.1. GH(s) sin polos en el semiplano derecho

El criterio de estabilidad de Nyquist establece para GH(s) con polos en el semiplano iz-
quierdo o en el eje complejo, Re{polos de GH} ≤ 0, que el sistema realimentado será estable
si y solo si el lugar de GH(jω) recorrido en el sentido de frecuencias crecientes, no rodea (deja
a la izquierda) el punto (−1, 0). El número N de rodeos corresponde al número Z de polos
inestables de red cerrada.
Nótese que como GH(s) es propia con mayor o igual número de polos que ceros, la trayec-
toria para el semicı́rculo de radio R tiende a cero o una constante; como cualquier función de
transferencia sinusoidal cumple GH(jω) = −GH(−jω), entonces basta obtener GH(jω) con ω

Figura 9.18: Trayectoria de Nyquist.
entre [o, ∞), la porción para (−∞, 0] es la imagen espejo de la anterior con respecto al eje real.
Ejemplo 9.5
La figura 9.19 muestra las gráficas de Nyquist de la función de transferencia sinusoidal (9.17)
del ejemplo 9.2, para kI = 2 y kI = 20, obtenida con el comando ‘nyquist’ del MATLAB. En
alta frecuencia las gráficas de Nyquist tienden al origen; en baja frecuencia, como hay un polo
en el origen se debe circunvalar con el semicı́rculo mostrado en la figura 9.18; el semicı́rculo de
radio r se proyecta en la gráfica de Nyquist como un cı́rculo de radio infinito cerrando sobre el
semiplano derecho (no mostrado en la figura 9.19).
Para kI = 2 el lugar de Nyquist no rodea el punto crı́tico; para kI = 20 lo rodea dos veces,
indicando que el sistema tiene dos polos inestables en red cerrada. △
La ganancia crı́tica kc para la cual el sistema es marginalmente estable y la frecuencia de la

oscilación ωo se calculan con el corte de la gráfica de Nyquist con el eje real, el cual se da con
el valor nulo de la parte imaginaria de GH(jω).

0.5
0.4
kI=2
0.3
kI=20
0.2
Eje imaginario
0.1
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
Eje real
Figura 9.19: Gráficas de Nyquist para el ejemplo 9.5.
Ejemplo 9.6
Sea la función de transferencia sinusoidal de red abierta para el sistema de control de la
excitación:
kI
GH(jω) = ,
jω (τe jω + 1) (τg jω + 1)
k
GH(jω) = I .
ω − τe τg ω 3 j − τe + τg ω 2
Racionalizando se obtiene:

ω − τe τg ω 3 j + τe + τg ω 2
−kI
GH(jω) = 2 2 . (9.21)
ω − τe τg ω 3 + τe + τg ω 4

La parte imaginaria es nula con: ω − τe τg ω 3 = 0, luego la frecuencia de oscilación es:
s
1
ωo = .
τe τg
En esta frecuencia, la parte real de (9.21) es:

−kI τe τg
;
τe + τg

para el valor de -1 se obtiene la ganancia crı́tica:

τe + τg
kIc = .
τe τg
Con la ganancia kIc la gráfica de Nyquist pasa por el punto crı́tico en la frecuencia ωo ; para
ganancias mayores a kIc el lugar de Nyquist rodea el punto crı́tico y el sistema es inestable.
Estos valores de ganancia crı́tica y frecuencia de oscilación coinciden con los calculados con el
método de Routh en el ejemplo 7.2. △
9.2.3.2. GH(s) con polos en el semiplano derecho

Para sistemas con P polos inestables en red abierta, el criterio de estabilidad de Nyquist
establece que el número Z de polos inestables de red cerrada es:
Z =N +P (9.22)
donde N es el número de rodeos destrogiro sobre el punto crı́tico (−1, 0) que realiza la imagen
de la trayectoria Γ (figura 9.18) sobre GH(s). Para que el sistema sea estable, se requieren al
menos N = −P rodeos sinestrogiro.
Ejemplo 9.7
Se considera el control PD para el péndulo invertido del ejercicio 7.7, con la función de
transferencia de red abierta:
kp (s + 2)
GH(s) = .
(s + 20)(s + 1)(s − 1)
La dinámica del péndulo tiene un polo inestable, P = 1. La figura 9.20 muestra los diagramas
de Nyquist para este sistema con kp = 5 y kp = 20. Obsérvese que en la frecuencia nula:
GH(0) = −kp /10 está sobre el eje real negativo, por lo que la gráfica de Nyquist rodea el punto
crı́tico si kp > 10. Con kp = 20 el rodeo del punto crı́tico es negativo (destrogiro) N = −1, por
lo que el número de polos inestables de red cerrada es Z = N + P = −1 + 1 = 0 y el sistema
es estable. Para kp = 5, no hay rodeos del punto crı́tico y el sistema tiene un polo inestable en
red cerrada. Este ejemplo confirma lo analizado en el capı́tulo 7, de requerirse alta ganancia y
alta velocidad del sistema de control para estabilizar plantas con polos inestables. △
Los dos ejemplos anteriores ilustran las ventajas del análisis de Nyquist de establecer la
estabilidad del sistema realimentado a partir de la respuesta de frecuencia de red abierta; ello
facilita escoger el controlador para que la curva de Nyquist tenga la forma deseada sin rodear
el punto crı́tico, ver la sección 10.7; el criterio de estabilidad se puede extender fácilmente a
los sistemas inciertos como se verá en la próxima sección; finalmente el método da medidas de
estabilidad relativa, definiendo márgenes que indiquen la cercanı́a de la curva de Nyquist al
punto crı́tico, como se verá en la sección 9.2.5.
9.2.3.3. Criterio de estabilidad de Nyquist generalizado

La mayorı́a de los programas de cómputo obtienen solo la respuesta de frecuencia entre
cero e infinito por lo que el análisis de los rodeos al punto crı́tico debe realizarse manualmente;

1
kp=5
0.8
kp=20
0.6
0.4
Eje imaginario
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0
Eje real
Figura 9.20: Gráfica de Nyquist para el ejemplo 9.7.
con polos en el eje complejo el análisis se dificulta aún más por las circunvalaciones de estos
polos, ver el ejemplo 9.5. Yeung Yeung [1985] introdujo una versión simplificada del criterio
de Nyquist que solo requiere usar la parte positiva del eje jω de la trayectoria de Nyquist. El
criterio aplica para funciones de transferencia de red abierta GH(s) estrictamente propias (con
más polos que ceros), estables o inestables, con Pω polos en el eje complejo. El criterio utiliza
el ángulo α formado por el eje real y un vector con origen en el punto crı́tico (-1,0) dirigido a
la gráfica de GH(jω), ver la figura 9.21.
La magnitud de este vector es |1 + GH(jω)|, el inverso de la respuesta de frecuencia de la
función de sensiblidad S = 1/(1 + GH(jω)). El criterio de estabilidad de Nyquist en función del
ángulo α establece que el sistema en red cerrada es estable si y solo si el ángulo total recorrido
por α(jω) para frecuencias crecientes es positivo (sinestrogiro), siendo los polos inestables del
lazo cerrado:
α
Z = P + 0.5Pω − . (9.23)
180

0.5
0
α
Eje imaginario
|1+GH(jω)| |GH(jω)|
−0.5
−1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
Eje real
Figura 9.21: Definición del ángulo α.
Ejemplo 9.8
La gráfica de Nyquist para GH(jω) en la figura 9.21 corresponde a la analizada en el ejemplo
9.5 para:
2
GH(s) = .
s(s + 1)(0.1s + 1)
Se tiene P = 0 y Pω = 1; α(j0) = −90; α(j∞) = 0, luego el recorrido es α(∞) − α(0) = +90,
ası́:
Z = 0.5 × 1 − 90/180 = 0
y el sistema es estable. △
Ejemplo 9.9
La figura 9.22 muestra la gráfica de Nyquist para la función de transferencia de red abierta:
k(s2 − 0.1s + 0.4)

GH(s) = ,
s(s2 − 0.4s + 1)
con k = 2; la función de transferencia GH(s) tiene dos polos inestables: P = 2 y uno en el eje
complejo: Pω = 1; el ángulo α es -90 en baja frecuencia, da un rodeo al punto crı́tico de +360o
y termina en 0o en alta frecuencia para un recorrido total de +450o , luego el número de polos
inestables en red cerrada es:
Z = 2 + 0.5 − 450/180 = 0

−1
Eje imaginario
−2
−3
−4
−5
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5
Eje real
Figura 9.22: Gráfica de Nyquist para el ejemplo 9.9.
y el sistema es estable en red cerrada. La figura 9.23 muestra el lugar de las raı́ces para este
sistema cuando varı́a la ganancia k. El lugar corta dos veces el eje complejo del plano S; en
la gráfica de Nyquist hay dos cortes con el eje real en la gráfica 9.22, por ello con baja y
alta ganancia el sistema es inestable; cuando la estabilidad depende de múltiples valores de la
ganancia, el sistema se denomina condicionalmente estable. △
9.2.4. Estabilidad robusta (I)

Si se diseña un controlador Gc (s) para el modelo nominal de la planta Gm (s) de forma
que el sistema en red cerrada es estable, es importante poder garantizar la estabilidad para las
incertidumbres del modelo, esto es si la dinámica real del sistema cambia a:

G(s) = Gm (s) + Ge (s) = Gm (s) 1 + G∆ (s) ,
el sistema controlado con el mismo Gc (s) sigue siendo estable; esta noción se denomina esta-
bilidad robusta.
La figura 9.24 muestra las gráficas de Nyquist para las funciones de transferencia en red
abierta con el modelo nominal Gm (s)Gc (s) y el real G(s)Gc (s), este último corresponde al
borde izquierdo del disco de incertidumbre analizado en la figura 9.15 para la incertidumbre
multiplicativa. Se asume que G(s) y Gm (s) tienen el mismo número de polos inestables, por
lo tanto el sistema real será estable si y solo si la gráfica de Nyquist de GGc (jω) encierra el

0.8
System: untitled1
0.6 Gain: 2.02
Pole: −0.083 + 0.741i
0.4 Damping: 0.111
Overshoot (%): 70.3
Eje complejo
Frequency (Hz): 0.119

0.2
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3
Eje real
Figura 9.23: Lugar de las raı́ces para el ejemplo 9.9.
punto crı́tico (-1,0) el mismo número de veces y en la misma dirección que lo hace la gráfica de
Gm Gc (jω); de la figura 9.24 se observa que una condición suficiente para lo anterior es:
|Ge Gc (jω)| < |1 + Gm Gc (jω)|, ∀ω, (9.24)
luego:
|Ge Gc (jω)|
= |Ge (jω)Sm (jω)Gc (jω)| < 1, ∀ω, (9.25)
|1 + Gm Gc (jω)|
donde Sm (s) es la función de sensibilidad nominal. Esta restricción impone tener un buen
conocimiento del modelo en frecuencias donde la magnitud de la función de sensibilidad |Sm (jω)|
alcanza su máximo; como el valor mı́nimo del vector 1+Gm Gc (jω) en la figura 9.24 da la menor
distancia al punto crı́tico, para garantizar la estabilidad robusta se debe acotar el valor
máximo de la función de sensibilidad.
En términos de la incertidumbre multiplicativa, como Ge (jω) = Gm (jω)G∆ (jω), la ecuación
anterior es equivalente a:
|Gm Gc (jω)G∆ (jω)|
= |Tm (jω)G∆ (jω)| < 1, ∀ω, (9.26)
|1 + Gm Gc (jω)|
donde Tm (s) es la función de transferencia nominal de red cerrada. Esta condición indica que la
respuesta de frecuencia en red cerrada debe ser pequeña en las frecuencias donde la incertidum-
bre es grande, lo cual ocurre usualmente en alta frecuencia, lo que impone un lı́mite máximo

0.5
0
Eje imaginario
1+GmGc(jω1)
−0.5
GmGc(jω1)
−1
GeGc(jω1)
−1.5
GGc(jω) GmGc(jω)
−2
−1.5 −1 −0.5 0 0.5
Eje real
Figura 9.24: Diagramas de Nyquist para la planta nominal Gm Gc (ω) y la real GGc (jω)
a la respuesta de frecuencia de red cerrada; igualmente, en las frecuencias donde |T (jω)|

es grande, se debe tener un buen conocimiento del modelo. Estas son condiciones consistentes
con el análisis de la sección 5.6 para el desempeño con incertidumbre; sinembargo, la restricción
de estabilidad robusta (9.26) es menos exigente que la de desempeño robusto (5.46).
Con una incetidumbre multiplicativa no estructurada: G∆ (jω) = W (jω)∆(jω), la condición
(9.26) es:
|Tm (jω)W (jω)| < 1, ∀ω. (9.27)
Ejemplo 9.10
En el ejemplo 5.7 se analizó en el dominio del tiempo el sistema de control de la excita-
ción modelado con incertidumbre en la ganancia del generador k ∈ [0.8, 1.1] e incertidumbre
multiplicativa por error de modelado en alta frecuencia con frecuencia de corte de 10rad/s:
k 0.11s
G(s) = 1+ ∆(s) .
5s + 1 0.1s + 1

El sistema se controla con los PI Gc1 (s) = 8s + 8/s y Gc2 (s) = 70 + 500/s, para respuestas en
red cerrada con amortiguamiento de 0.71 y frecuencias naturales de 1.26 y 10 respectivamente.
Para el análisis de los sistemas inciertos el MATLAB dispone de comandos que calculan
dentro del conjunto de incertidumbres el peor caso que da la máxima ganancia de una función de
transferencia sinusoidal, como el genérico ‘wcgain’ para cualquier función o el comando ‘wcsens’
para las funciones de sensibilidad. Con ellos se puede directamente calcular la distancia más
corta al punto crı́tico de la función de transferencia sinusoidal de red abierta para el sistema
incierto: |1 + GGc (jω)|min = 1/Smax , ver la figura 9.24; la figura 9.25 muestra las funciones de
sensibilidad nominales y máximas (para el peor caso) calculadas con los comandos:
>> S1 = feedback(1,G*Gc1); S2 = feedback(1,G*Gc2);
>> [S1max,pci1] = wcgain(S1); [S2max,pci2] = wcgain(S2);
>> S1max
S1max =
LowerBound: 1.5115
UpperBound: 1.5868
CriticalFrequency: 2.9488%frecuencia para la cual se da S1max
>> S2max
S2max =
LowerBound: Inf
UpperBound: Inf
CriticalFrequency: 6.1324%frecuencia para la cual se da S2max
>> bodemag(S1.Nom,’b’,usubs(S1,pci1),’r’,S2.Nom,’b.-’,usubs(S2,pci2),’r.-’)
Ambas sensibilidades nominales no tienen valores máximos elevados, pero S2m rechaza dis-
turbios de salida hasta más altas frecuencias de lo que lo hace S1m . En S1max y S2max se dan
las cotas dentro de las cuales se encuentra el máximo valor posible para las funciones de sen-
sibilidad; la peor función de sensibilidad para el sistema con el controlador Gc1 (s) = 8s + 8/s
tiene un valor máximo de 1.5868 lo que indica que la distancia mı́nima de la curva de Gc1 G(jω)
al punto crı́tico, es de 1/1.5868=0.63, por lo que el sistema siempre es estable para cualquier
valor de la incertidumbre. Para el controlador Gc2 (s) = 70 + 500/s las cotas son infinitas lo que
indica que el sistema es inestable para algún conjunto de incertidumbres.
Para analizar la estabilidad robusta verificando si se cumple la desigualdad (9.26) se requiere
tener el modelo con incertidumbre multiplicativa no estructurada G∆ (s) = W (s)∆(s) que
incluya la incertidumbre paramétrica de la ganancia k; con un procedimiento similar al realizado
en el ejemplo 9.4 se obtiene la función de peso:
0.2(1.25s + 1)
W (s) = . (9.28)
0.2s + 1
La figura 9.26 muestra las magnitudes de las respuestas de frecuencia para las funciones
|Tm1,2 (jω)G∆ (jω)| = |Tm1,2 (jω)W (jω)|; se observa que el sistema con el controlador Gc1 (s)
cumple la cota (9.26) mientras que no lo hace para el controlador Gc2 (s). △
9.2.5. Caracterı́sticas de la respuesta en frecuencia

Como se vió en el capı́tulo 1, las caracterı́sticas de funcionamiento son valores importantes
de la respuesta que definen sus principales propiedades para facilitar el análisis; sobre ellas se

1.8
1.6
1.4
S2max
Magnitud (abs)
1.2 S1max
1
0.8
S1m
0.6
0.4 S2m
0.2
−1 0 1
10 10 10
Figura 9.25: Sensibilidades nominales y de máx. magnitud, sistema de excitación incierto.
definen las cotas o rangos que especifican el comportamiento adecuado del sistema a cumplir
en el diseño del controlador. Es esta sección se presentan las caracterı́sticas de la respuesta de
frecuencia más importantes en el análisis y diseño de los sistemas de control; se dan las fórmulas
de cálculo para los sistemas de segundo orden.
Primero se presentan márgenes de estabilidad relativa que definen la cercanı́a de la curva de
Nyquist al punto crı́tico; luego se presentarán caracterı́sticas de máximos de ganancia del lazo
cerrado T (s) y de la función de sensibilidad S(s) y frecuencias de ancho de banda del sistema
asociadas a la velocidad de respuesta.
9.2.5.1. Margen de ganancia

El margen de ganancia es el menor recı́proco de la función de transferencia sinusoidal de red
abierta GH(jω) en la frecuencia donde la fase es 180o ; esta frecuencia se denomina frecuencia
de fase crı́tica ωπ .
1
MG = , (9.29)
|GH(jωπ )|
M G = −20log|GH(jωπ )| [db]. (9.30)

1.4
|T1m(jω)W(jω)|
1.2
|T2m(jω)W(jω)|
1
Magnitud (abs)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Figura 9.26: Funciones |T1,2m (jω)W (jω)| para el sistema de control de la excitación incierto.
El margen de ganancia es el mı́nimo factor por el cual se puede aumentar la ganancia del
sistema para que alcance el lı́mite de estabilidad, es pues un margen contra variaciones de la
ganancia estática del sistema. Para para los sistemas de segundo orden la fase va asintóticamente
a 180o por lo que el margen de ganancia es infinito. En la gráfica de Nyquist el aumento de
ganancia expande la curva radialmente; en los diagramas de Bode desplaza hacia arriba la curva
de ganancia.
9.2.5.2. Margen de fase

El margen de fase M F se define como el menor ángulo que el lugar de GH(jω) se debe
girar alrededor del origen para que un punto de magnitud unitaria, |GH(jωg )| = 1, pase por el
punto crı́tico (−1, 0); ωg se denomina frecuencia de ganancia crı́tica.
M F = 180o + ∠GH(jωg ) [o ]. (9.31)
Para un sistema de segundo orden subamortiguado, la frecuencia de ganancia crı́tica es:

qp
ωg = ωn (1 + 4ρ4 ) − 2ρ2 [rad/s] (9.32)

y el margen de fase es:

2ρ
M F = tan−1 qp [o ]; (9.33)
(1 + 4ρ4 ) − 2ρ2
M F ≈ 100ρ [o ]. (9.34)
En la gráfica de Nyquist el aumento de fase gira la curva de respuesta de frecuencia; en los
diagramas de Bode desplaza hacia abajo la curva de fase.
9.2.5.3. Margen de retardo

El margen de fase es una salvaguarda contra la incertidumbre de tiempo muerto, de (9.16)
el retardo de tiempo muerto Tm no cambia la magnitud pero si adiciona retardo de fase; se
puede por lo tanto, interpretar el margen de fase como un margen de retardo, entendido como
el tiempo de retardo máximo que se puede adicionar a la dinámica de lazo abierto GH(s), antes
de que el sistema se haga inestable en red cerrada. Como el margen de fase M F se calcula en
la frecuencia de ganancia crı́tica ωg , entonces:
MF
MR = [s], (9.35)
ωg
con ambas unidades de M F y ωg en grados o radianes. Sistemas con curvas de magnitud de

red abierta de alta pendiente tienen márgenes de fase y de retardo directamente relacionados;
si existen picos en alta frecuencia en la curva de magnitud, el margen de retardo es una medida
más exacta de estabilidad relativa por considerar en su cálculo la frecuencia ωg .
Los márgenes de ganancia y de fase M G y M F se establecen fácilmente en la gráfica de
Nyquist, ver la figura 9.27; el margen de ganancia es el inverso del corte más cercano al punto
crı́tico de la curva de Nyquist con el eje real negativo. El margen de fase es el ángulo más
pequeño entre el eje real y el corte de la curva de Nyquist con el cı́rculo de radio unidad.
Para sistemas estables en red abierta con curvas de ganancia y de fase decrecientes mo-
notónicamente, los márgenes de ganancia y de fase se obtienen gráficamente de los diagramas
de Bode; para el margen de ganancia se ubica la frecuencia donde la fase es -180o ; en esa fre-
cuencia la distancia en decibeles por debajo de cero de la curva de ganancia es el margen de
ganancia. Para el margen de fase se ubica la frecuencia donde la curva de magnitud pasa por
cero decibeles (ganancia unitaria), en esa frecuencia la fase por encima de -180o es el margen
de fase.
Ejemplo 9.11
Se analiza la estabilidad relativa del sistema de control de la excitación con excitatriz y
acción integral del ejemplo 9.2 el cual se ajustó con una ganancia kI = 2; se desea calcular la
ganancia de la acción integral kI para obtener un margen de fase de M F = 60o .
La figura 9.28 muestra el diagrama de Bode del sistema con los márgenes de ganancia, fase
y retardo.
La fase pasa por -180o en ωπ =3.16 rad/s; en esa frecuencia la curva de ganancia está -14.8db
por debajo de cero siendo éste el margen de ganancia.
La ganancia pasa por cero decibeles en ωg =1.24rad/s; en ésta frecuencia la fase es −148,3o
por lo que el margen de fase es de 180 − 148.3 = 31.7o . De la aproximación ρ ≈ 0.01M F

Figura 9.27: Márgenes de estabilidad en el diagrama de Nyquist.
50
System: G
Gain Margin (dB): 14.8
At frequency (rad/sec): 3.16
Magnitud (dB)
0 Closed Loop Stable? Yes
−50
−100
−90
−135
Fase (deg)
System: G
−180 Phase Margin (deg): 31.7
Delay Margin (sec): 0.445
−225 Closed Loop Stable? Yes
−270
−1 0 1 2
10 10 10 10
2
Figura 9.28: Márgenes de ganancia y de fase para el sistema G(s) = s(s+1)(0.1s+1) .

el amortiguamiento es aproximadamente de 0.31, bajo con un sobrepaso elevado del 40 %. El

margen de retardo es: 31.7 × π/(180 × 1.24) = 0.446.
Para lograr un margen de fase de 60o , se observa que la fase pasa por −120o en ω =0.5rad/s;
en esta frecuencia la curva de magnitud es de 11db; variar la ganancia integral kI equivale a
variar la constante de Bode, luego incrementos o decrementos en la ganancia kI suben o bajan la
curva de magnitud; para bajar 11db, se requiere multiplicar la ganancia inicial por una constante
de atenuación kAT ; luego 20logkAT = −11 ası́, kAT = 0.28. La ganancia para el margen de fase
de 60o es por lo tanto: kI60 = 0.28 × 2 = 0.56. △
La interpretación de los márgenes de ganancia y de fase es múltiple si la gráfica de Nyquist

tiene varias veces magnitud unitaria o corta el eje real negativo varias veces, en tal caso el
margen es el de menor valor; si la función de transferencia de red abierta tiene polos inestables,
el criterio de Nyquist exige analizar el número de circunvalaciones del punto crı́tico y no solo
su cercanı́a a la gráfica de respuesta de frecuencia, en tal caso márgenes de ganancia y fase
positivos no garantizan la estabilidad; la figura 9.29 muestra los diagramas de Bode del sistema
analizado en el ejemplo 9.9 con la ganancia k = 0.2; hay dos frecuencias con fase de −180o y
el margen de ganancia positivo de 10.9db corresponde a la frecuencia de 0.96rad/s; el margen
de fase también es positivo de 90.7o ; los márgenes son positivos pero el sistema es inestable.
40
20
Magnitud (dB)
−20
−40
−45
−90
Fase (deg)
−135
−180
−225
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Figura 9.29: Márgenes de ganancia y de fase para el ejemplo 9.9 con k = 0.2.
Otra limitación de los márgenes de ganancia y de fase es que buenos márgenes no garantizan
que la curva de Nyquist esté lejos del punto crı́tico; la figura 9.30 muestra la gráfica de Nyquist

0
Eje imaginario
−0.5
−1
System: G
Phase Margin (deg): 77.7
Closed Loop Stable? Yes
−1.5
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
Eje real
1.5(s2 +0.3s+1.5)
Figura 9.30: Gráfica Nyquist para G = s(s+3)(s2 +0.2s+1.2) .
de la función para la transferencia:
1.5(s2 + 0.3s + 1.5)

G= .
s(s + 3)(s2 + 0.2s + 1.2)
El margen de ganancia es infinito y el margen de fase es de 77.7o suficientemente grandes pero

igualmente se observa la cercanı́a de la gráfica de Nyquist al punto (−1, 0).
9.2.5.4. Margen del módulo

El margen del módulo M M es una medida más global de la distancia entre el punto crı́tico
(−1, 0) en la gráfica polar y el lugar de GH(jω); es el radio del cı́rculo centrado en (-1,0)
tangente a GH(jω), ver la figura 9.27.
1
M M = |1 + GH(jω)|min = . (9.36)
|S(jω)|max
Si se reduce el máximo de la función sensibilidad S = 1/(1 + GH(jω)), el margen del módulo

M M aumenta, mejorando la estabilidad relativa; de acuerdo a lo analizado en la sección 9.2.4
también implica mejorar la estabilidad robusta. para los sistemas de segundo orden, el margen
de módulo es el inverso de Smax dada en la ecuación (9.43).

Imponer un margen de módulo garantiza márgenes de ganancia y de fase; en la figura (9.27),

considerando una bisectriz en el ángulo del margen de fase se obtiene:
1
= 2sen(M F/2),
S(jωg )
1
como el margen del módulo es el mı́nimo del inverso de la función sensibilidad: M M ≤ S(ωg ) ,
imponer un margen de módulo garantiza el mı́nimo margen de fase:
MM
M F ≥ 2arcsen( ). (9.37)
2
En la frecuencia de fase crı́tica se cumple: GH(jωπ ) = −1/M G, luego:
1 1
=1− ≥ MM (9.38)
S(jωπ ) MG
de donde se obtiene la cota mı́nima para el margen de ganancia a partir del margen del módulo:
1
MG ≥ . (9.39)
1 − MM
Ejemplo 9.12
En la figura 9.12 se muestra la función de sensibilidad S para el el sistema analizado en
ejemplos anteriores con función de transferencia (9.17); el margen del módulo se calcula como
el inverso del valor máximo de la función sensibilidad:
>> s=tf(’s’);G=2/(s*(0.1*s+1)*(s+1));
>> MM=1/norm(feedback(1,G),’inf’)
MM =
0.4595
De (9.37) el margen de fase es mayor de 26.61o (medido es de 31.7o ) y de (9.39) el margen de

ganancia es mayor a 1.85 (medido de 5.5). △
9.2.5.5. Margen de estabilidad robusta (I)

Para los sistemas inciertos interesa analizar la estabilidad con relación al tamaño de la
incertidumbre; para el caso de una incertidumbre multiplicativa, ello corresponde a analizar
para la gráfica 9.15 qué tanto se puede amplificar el disco de la incertidumbre antes de que
el sistema pierda la estabilidad robusta analizada en la sección 9.2.4. El margen de estabilidad
robusta M ER es el tamaño de la menor desviación de la incertidumbre (con relación a la
nominal) que hace al sistema inestable.
Ejemplo 9.13
El comando ‘robuststab’ del MATLAB calcula las cotas dentro de las cuales se encuen-
tra el margen de estabilidad robusta; para el sistema de control de la excitación con los dos
controladores PI analizados en el ejemplo 5.7, los ı́ndices de estabilidad robusta són:

>> robuststab(T1)
ans =
UpperBound: 2.5170
LowerBound: 2.5074
DestabilizingFrequency: 2.2377
>> robuststab(T2)
ans =
UpperBound: 0.8103
LowerBound: 0.8103
DestabilizingFrequency: 8.4515
Un margen de estabilidad robusta mayor a uno indica que el sistema es robustamente estable
y que la incertidumbre se puede amplificar en 100M ER % y el sistema es estable para todas
las incertidumbres. El margen para el controlador Gc2 (s) de 0.81 indica que el sistema es
robustamente estable para valores de incertidumbres que varı́en menos del 81 % de su rango
de variación permitido o que hay un conjunto de incertidumbres que con un 19 % de variación,
hacen al sistema realimentado inestable. △
9.2.5.6. Máximos de magnitud y frecuencias de máximos

Los valores máximos de las curvas de magnitud de la función de transferencia de red cerrada
Tmax = |T (jω)|max y de la función de sensibilidad Smax = |S(jω)|max , son indicativos de
desempeño y robustez; valores superiores a cuatro (4) se consideran de pobre desempeño y baja
estabilidad robusta. Por la restricción S + T = 1, con valores máximos altos, los picos se dan en
frecuencias cercanas, ver por ejemplo la figura 9.31 para la función de transferencia sinusoidal
(9.17).
La magnitud máxima de T (jω) se denomina máximo pico de resonancia y la frecuencia
donde ocurre la frecuencia de resonancia ωT r . El máximo pico de resonancia permite preveer
cuál será la máxima salida del sistema controlado para el barrido de frecuencia; sistemas con
Tmax elevados se pueden destruir si se exitan con frecuencias cercanas a la de resonancia y es
por ello que se considera como un indicio de la estabilidad relativa del sistema.
Para sistemas de segundo orden:
1 √
Tmax = p , 0 ≤ ρ ≤ 2/2, (9.40)
2ρ 1 − ρ 2
p √
ωT r = ωn 1 − 2ρ2 , 0 ≤ ρ ≤ 2/2 (9.41)
En la carta de Nichols, el cı́rculo de mayor MT tangente a la función de transferencia sinu-
soidal de red abierta G(jω) corresponde a la magnitud pico de frecuencia Tmax y la frecuencia
en el punto de tangencia corresponde a la frecuencia de resonancia ωT r .
Ejemplo 9.14
En la figura 9.13 se muestra la carta de Nichols para la función de transferencia (9.17); se
observa que la curva casi toca la lı́nea de 6db de red cerrada; de la gráfica 9.31, Tmax = 1.84
que corresponde a 5.3db.
Sobre la gráfica de Nyquist se pueden igualmente sobreponer los cı́rculos de MT constante
de red cerrada; la figura 9.32 muestra esta gráfica de Nyquist, con la frecuencia de resonancia
ωT r = 1.28. △

2.5 System: S
Frequency (rad/sec): 1.55
Magnitude (abs): 2.16
System: T
2 Magnitude (abs): 1.84
|S(jω)|
|T(jω)|
Magnitud (abs)
1.5
0.5
0
−1 0 1
10 10 10
2
Figura 9.31: Gráficas de |S(jω)| y |T (jω)| para G(s) = s(0.1s+1)(s+1) .
Para los sistemas de segundo orden, la figura 9.33 muestra las curvas de magnitud para la
respuesta de frecuencia de la función de sensibilidad S(jω); la forma de la curva con un máximo
aplica en general a los sistemas de control de grado relativo mayor a uno, o bien, de la ecuación
(9.38) se observa que:
1
|S(jωπ )| = >1
1 − M1G
luego si existe ωπ entonces forzosamente |S(jω)|max > 1. En baja frecuencia la ganancia de la
función sensibilidad es pequeña por la alta ganancia en GH(jω), si hay integración en GH(jω)
la ganancia de la función sensibilidad es nula en la frecuencia cero. En alta frecuencia, como
los sistemas fı́sicos tienen grado relativo estrictamente mayor a cero, la ganancia de GH(jω)
tiende a cero y la función de sensibilidad tiende a uno. Se observa que el valor máximo aumenta
inversamente con el coeficiente de amortiguamiento ρ.
Para los sistemas de segundo orden, la frecuencia del máximo ωSr y el máximo Smax para
la función de sensibilidad:
−ω 2 + 2ρωn ωj
S(jω) = 2
ωn − ω 2 + 2ρωn ωj
son:
s p
1 + 1 + 8ρ2
ωSr = ωn , (9.42)
2

2
2 dB 0 dB −2 dB
1.5
4 dB −4 dB
1
6 dB −6 dB
Eje imaginario
0.5 10 dB −10 dB
20 dB −20 dB
0
−0.5
System: G
Real: −0.82
−1 Imag: −0.488
−1.5
−2
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Eje real
2
Figura 9.32: Gráfica de Nyquist para G(s) = s(0.1s+1)(s+1) .
v p
u1
u + 4ρ2 + 1 + 8ρ2 2ρ2 + 1
u2 2
Smax =t p . (9.43)
1 2 2 2 1
2 + 4ρ + 1 + 8ρ 2ρ − 2
El máximo Smax (ρ) se aproxima a:

1
Smax ≈ 1 + . (9.44)
ρ(1.92 + 4.74ρ)
La figura 9.34 muestra el máximo de la función de sensibilidad en función del coeficiente de
amortiguamiento para los sistemas de segundo orden.
En la gráfica de Nyquist para G(jω) con los cı́rculos de MS constantes, el cı́rculo de ma-
yor MS (menor radio) tangente a la función de transferencia sinusoidal de red abierta G(jω)
corresponde al máximo de la función de sensibilidad Smax , su radio es el margen del módulo
M M y la frecuencia en el punto de tangencia corresponde a la frecuencia de resonancia ωSr .
Ejemplo 9.15
La figura 9.35 muestra las caracterı́sticas de la función sensibilidad en la gráfica de Nyquist
con los cı́rculos de MS constantes, para el sistema de control de la excitación con acción integral.
El máximo de la función sensibilidad Smax y la frecuencia de resonancia ωSr corresponden a
los de la figura 9.31. △

−1 0 1
10 10 10
6
5 ρ = 0.1
4
Magnitud (abs)
3
ρ = 0.2
2 ρ = 0.3
ρ = 0.5
ρ = 0.4
ρ = 0.6
1 ρ = 0.8
ρ = 0.7
ρ = 0.9
ρ=1
0
Frecuencia (ω/ωn) (rad/sec)
Figura 9.33: Curvas de magnitud de la función sensibilidad, sistema orden 2 con diferente ρ.
9.2.5.7. Bandas, frecuencias de corte y anchos de banda

En la banda pasante las señales con frecuencias en esta banda pasan a través del sistema
con aproximadamente la misma atenuación o amplificación; en la banda de parada, las señales
con componentes frecuenciales en esta banda no pasan a la salida, esto es, la magnitud de la
función de transferencia sinusoidal en la banda de parada es mucho menor que la magnitud en
la banda pasante. Entre estas dos bandas se tiene una banda de transición intermedia.
La frecuencia de corte ωc , √es la frecuencia para la cual la magnitud en decibeles de una
respuesta frecuencial está 3db ( 2/2 en decimales) por debajo de:
su valor a frecuencia cero para respuestas frecuenciales paso bajo o de rechazo de banda,
su valor a alta frecuencia, para respuestas frecuenciales paso alto,
la magnitud máxima en la banda pasante, para respuestas frecuenciales pasa banda.
El ancho de banda ωab , mide la banda pasante o de rechazo: ωab = ωc1 − ωc2 , donde:
ωc1 > ωc2 ≥ 0, siendo ωci las frecuencias de corte en cada lado de la banda pasante. Para los
sistemas paso bajo, ωc2 = 0.
Los anchos de banda de la función de transferencia sinusoidal de red cerrada T (jω) y de
la función sensibilidad S(jω) están asociados a la velocidad de respuesta de los sistemas de
control, entre mayor son, más componentes de alta frecuencia pasan a la salida y menor es el
tiempo de subida de la respuesta al escalón del sistema; también ello implica más sensibilidad al

5.5
4.5
3.5
Smax
2.5
1.5
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
ρ
Figura 9.34: Máximo de la función de sensibilidad, sistema orden 2 con diferente ρ.
ruido de alta frecuencia y como se ha analizado anteriormente, a las incertidumbres del sistema.
Los sistemas con bajo ancho de banda tienen respuestas temporales lentas y mayor robustez a
las incertidumbres.
La función de transferencia sinusoidal de red cerrada T (jω) es del tipo paso bajo con ga-
nancia de baja frecuencia por acción del control de aproximadamente cero decibeles, por lo que
el ancho de banda es la mayor frecuencia ωT b donde la curva de magnitud vale −3db; para los
sistemas de segundo orden normalizados con 20log|T (0)| = 0 el ancho de banda para T (jω) es:
q p
ωT b = ωn (1 − 2ρ2 ) + 4ρ4 − 4ρ2 + 2. (9.45)
De la ecuación (9.38) y la restricción: S + T = 1 se obtiene:
−1
T (jωπ ) = .
MG − 1
Con márgenes de ganancia de 2.41, se tiene ωπ = ωT b ; este margen de ganancia es usual en
muchos diseños por lo que se observa que en la frecuencia del ancho de banda ωT b la fase de
T (jω) y de GH(jω) es de -180o , esto indica que a pesar de tenerse una magnitud de la salida
del 70.7 % de la entrada, no hay buen desempeño del seguimiento a la referencia. No basta por
lo tanto garantizar |T (jω)| ≈ 1 para un buen desempeño de seguimiento sin garantizar poco
retraso de la fase de red cerrada.
Desde el punto de vista del desempeño, es un mejor indicador el ancho de banda ωSb para la
función de transferencia sinusoidal de la sensibilidad S(jω); la función de sensibilidad relaciona

2.5
2
Ms=2.16
1.5
Ms=1
1 Ms=0.7
Eje imaginario
0.5
−0.5
−1
ωSr=1.55
−1.5
ωg=1.24
−2 ωSb=0.81
−2.5
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Eje real
2
Figura 9.35: Diagrama de Nyquist de G(s) = s(0.1s+1)(s+1) y cı́rculos de MS constantes.
la señal de error con la entrada, por lo que su ancho de banda garantiza tener el error del sistema
suficientemente acotado hasta la frecuencia ωSb ; tener |S(jω)| ≈ 0 garantiza buen desempeño
independientemente de la fase. Como S(jω) es del tipo paso alto con ganancia de alta frecuencia
cero decibeles, el ancho de banda es la menor frecuencia ωSb donde la curva de magnitud vale
−3db; para los sistemas de segundo orden el ancho de banda para S(jω) es:
s r
1
ωSb = ωn 2 ρ4 + ρ2 + − (2ρ2 + 1). (9.46)
2
El ancho de banda en la gráfica de Nyquist con los cı́rculos de MS constantes, corresponde a

la intersección
√ de la gráfica de Nyquist
√ para G(jω) con el cı́rculo de MS constante de magnitud
MS = 2/2 (cı́rculo de radio= 2), ver por ejemplo las gráficas 9.14 y 9.35.
Para la respuesta de frecuencia de red abierta GH(jω) la frecuencia de ganancia crı́tica ωg
se utiliza para el análisis y diseño como estimación del ancho de banda de red abierta, separando
la banda de alta y baja ganancia; para sistemas con margen de fase menor a 90o , ωg está entre
ωSb y ωT b :
ωSb ≤ ωg ≤ ωT b .
Ejemplo 9.16
La figura 9.13 muestra la carta de Nichols con las frecuencias de anchos de banda de interés
para el sistema de control de la excitación con acción integral. Como la curva sigue en baja

frecuencia la lı́nea de cero decibeles, el ancho de banda de red cerrada ωT b corresponde a la

frecuencia donde la curva de respuesta de frecuencia corta la lı́nea de −3db de red cerrada;
obsérvese que esta lı́nea es bastante plana para la fase de red abierta entre −225o y −135o
intervalo para el cual la curva de respuesta de frecuencia usualmente corta la lı́nea de −3db, la
altura de la lı́nea corresponde aproximadamente a una magnitud de −7db para la magnitud de
red abierta |GH(jω)|; esto indica que una aproximación del ancho de banda de red cerrada en
el diagrama de bode de red abierta, es la mayor frecuencia donde la curva de magnitud vale
−7db. En la figura 9.28 la frecuencia para 20log|GH(jω)| = −7db es de 1.97rad/s, muy cercana
a la medida en la figura 9.13.
10
0
Magnitud (dB)
System: S System: T
−10 Frequency (rad/sec): 0.812 Frequency (rad/sec): 2.04
Magnitude (dB): −3 Magnitude (dB): −3.01
−20
−30
−40
180
90
Fase (deg)
0
System: T
System: T Frequency (rad/sec): 2.04
−90 Phase (deg): −155
Phase (deg): −30.7
−180
−270
−1 0 1
10 10 10
2
Figura 9.36: Diagramas de Bode de T (jω) y S(jω) para G(s) = s(s+1)(0.1s+1) .
La figura 9.36 muestra los diagramas de Bode de T (jω) y S(jω) con sus respectivas frecuen-
cias de ancho de banda ωT b = 2.04rad/s y ωSb = 0.81rad/s. La fase de T (jω) en ωSb = 0.81
es de solo −30.7o mientras que para ωT b = 2.04 es de −155o mostrando degradación del
seguimiento en esta frecuencia. △
9.2.5.8. Ratas de corte

La relación (9.15) exige no tener pendientes Rω elevadas de la curva logarı́tmica de magnitud
versus el logaritmo de la frecuencia, en ciertas frecuencias de interés; en red abierta se analiza
la rata de corte de log|GH(jω)| en la frecuencia de ganancia crı́tica ωg pues si es mayor de −2
(−40db/dec) la fase es inferior a -180o y el sistema es inestable. En red cerrada se analiza la

rata de corte de log|T (jω)| en la frecuencia del ancho de banda ωT b , como un indicativo de la
capacidad del sistema para discriminar señal de ruido.
Ejemplo 9.17
2
La figura 9.37 muestra las curvas de magnitud en decibeles para G(s) = s(s+1)(0.1s+1) y
G(s)
T (s) = 1+G(s) .
20
15
10
System: G
Frequency (rad/sec): 1.1 System: T
5 Magnitude (dB): 1.69 Frequency (rad/sec): 1.8
Magnitude (dB): 0.107
Magnitud (dB)
0
System: G
−5 Frequency (rad/sec): 1.32
Magnitude (dB): −0.887 System: T
−10 Magnitude (dB): −4.45
−15
−20
−25
−30
−1 0 1
10 10 10
2
Figura 9.37: Diagramas de Bode de 20log|G(jω)| y 20log|T (jω)|. para G(s) = s(s+1)(0.1s+1) .
Alrededor de ωg = 1.24rad/s y de ωT b = 2.04rad/s se han tomado datos de la magnitud

para un incremento de la frecuencia de 1.2; para este incremento, una pendiente de −20db/dec,
corresponde a una atenuación de la curva de magnitud de 20log(1/1.2) = −1.58db/1.2ω. La
curva 20log|G(jω)| disminuye 1.69 + 0.89 = 2.58db en el intervalo de frecuencia dado, por lo
tanto la pendiente es de −2.58 × 20/1.58 = −32.66db/dec. El mismo cálculo para la curva de
20log|T (jω)| alrededor de ωT b da una pendiente de −57.68db/dec· △
La figura 9.37 muestra que la magnitud de la respuesta de frecuencia de red cerrada tiende a
la de red abierta en alta frecuencia; esta es en general una propiedad de los sistemas con grado
relativo mayor o igual a uno; para la función de transferencia de red abierta:
kt (s + z1 )(s + z2 ) . . . (s + zm )
GH(s) = (9.47)
sN (s + p1 )(s + p2 ) . . . (s + p(n−i) )
en alta frecuencia se comporta como:
kt
GH(s → ∞) = ,
sg

donde g ≥ 1 es el grado relativo; la función de transferencia de red cerrada se comporta como:

kt
sg kt
T (s → ∞) = kt
= ,
1+ sg
sg
luego las curvas de magnitud de ambas funciones tienden a una de pendiente −g con altura
dada por la constante kt . Las curvas de fase tienden a −90o g si GH(s) es de fase mı́nima.
La figura 9.38 muestra las curvas de magnitud de Bode para las funciones de sensibilidad,
de red cerrada, de lazo abierto y de su inversa; en baja frecuencia la función de transferencia
de red abierta queda dominada por el tipo de sistema:
kB
GH(s → 0) = ,
sN
donde kB es la constante de Bode de la ecuación (9.8). La función de sensibilidad se comporta
como:
1 sN
S(s → 0) = = ,
1 + skNB kB
luego en baja frecuencia por la alta ganancia de GH(s), la magnitud de la función de sensibilidad
tiende al inverso de la magnitud de la función de transferencia de red abierta, variando con una
pendiente de +N 20db/dec a una altura definida por la constante de Bode.
60
T
S
40
GH
1/GH
20
Magnitud (dB)
−20
−40
−60
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
2
Figura 9.38: Magnitud de Bode para S(jω), T (jω), GH(s) = s(0.1s+1)(s+1) y 1/GH(s).

En la gráfica 9.38 se observan claramente tres zonas de frecuencia bien diferenciadas: baja,
media y alta con relación a la frecuencia de ganancia crı́tica ωg ; en baja y alta frecuencia,
las funciones de transferencia de red cerrada T y S (igualmente para Se y Ss ) tienden a sus
aproximaciones asintóticas de baja y alta frecuencia. En baja frecuencia hay el comportamiento
definido por el control mientras que en alta frecuencia el control no actúa y la respuesta es la
de lazo abierto. Para este ejemplo, aproximadamente entre 0.2 y 10 rad/s, las curvas están en
la zona de transición alrededor de ωg , su comportamiento en esta zona es determinante para la
estabilidad y robustez del sistema.
9.2.5.9. Sensibilidades de entrada y salida

Las caracterı́sticas de la respuesta de frecuencia analizadas en la sección anterior, aplican a
las funciones de transferencia red abierta GH(s), red cerrada T (s) y la función de sensibilidad
S(s). Las caracterı́sticas de la respuesta a los disturbios de entrada al proceso y de la señal
de control se analizan con las magnitudes de las respuestas de frecuencia de las funciones de
sensibilidad de entrada Se (s) y de salida Ss (s). Para su análisis aplican las caracterı́sticas de
máximos, bandas y ratas de cortes de sus curvas de magnitud.
La función de sensibilidad de entrada da la respuesta del sistema a disturbios de entrada al
proceso; se relaciona con las funciones de sensibilidad S(s) y de red cerrada T (s) por:
Se (s) = S(s)Gp (s) = T (s)/Gc (s).
En baja frecuencia donde usualmente se tienen los disturbios, T (s → 0) ≈ 0 luego:
Se (s → 0) ≈ 1/Gc (s). Como usualmente el controlador tiene alta ganancia en baja frecuencia, la
sensibilidad de entrada tiene baja ganancia en baja frecuencia; para un controlador con acción
integral: Se (s → 0) ≈ s/kI , la magnitud es por lo tanto creciente con +20db/dec a una altura
definida por la ganancia de la acción integral kI . En alta frecuencia, S(s → ∞) = 1, entonces
Se (s → ∞) ≈ Gp (s) y la respuesta frecuencial de la sensibilidad de entrada se comporta como
la respuesta frecuencial del proceso en alta frecuencia, teniendo por lo tanto baja ganancia.
De lo anterior, la respuesta de frecuencia de la función sensibilidad de entrada Se (jω) tiene
baja ganancia en baja frecuencia por la acción del controlador para rechazar los disturbios y
también baja ganancia en alta frecuencia por el filtrado del proceso, es por lo tanto pasobanda
y de interés son su ancho de banda y la ganancia máxima.
La función de sensibilidad de salida permite analizar la señal de control; corresponde a:
Ss (s) = SGc (s) = T (s)/Gp (s);
en baja frecuencia se comporta como: Ss (s → 0) = 1/Gp (s) y en alta frecuencia:
Ss (s → ∞) = Gc (s); tı́picamente se busca en el diseño una respuesta pasobajo, por lo que
interesa conocer su máxima ganancia para verificar rango y saturación del actuador, el ancho
de banda y su rata de corte para verificar la máxima rata de cambio en el tiempo (ver sección
5.8.2) y el correcto filtrado del ruido en alta frecuencia.
Ejemplo 9.18
La figura 9.39 muestra los diagramas de magnitud de Bode de las respuestas de frecuencia
1
del proceso 20log|Gp (jω)|, Gp (s) = (0.1s+1)(s+1) , controlador 20log|Gc (jω)|, sensibilidad de
10s
entrada 20log|Se (jω)|, Se = (s+10.21)(s2 +0.79s+1.96) y de la sensibilidad de salida 20log|Ss (jω)|,
2(s+10)(s+1)
Ss = (s+10.21)(s2 +0.79s+1.96) , para el sistema de control de la excitación con acción integral.

60
40 Se
Ss
Gc
20 Gp
Magnitud (dB)
−20
−40
−60
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
Figura 9.39: Magnitud de Bode, Gp (jω), Se (jω) y Ss (jω).
Se observa que la magnitud de la sensibilidad de entrada Se en baja frecuencia es el inverso

de la magnitud del controlador, correspondiendo a −20log|Gc (jω)|; en alta frecuencia tiende a
la curva de magnitud del proceso. La magnitud de la función sensibilidad de salida Ss es igual
a la del proceso en baja frecuencia por tener éste ganancia unitaria; en alta frecuencia tiende a
la curva de magnitud del controlador. Igualmente se observan las zonas de baja, media y alta
frecuencia con relación a la frecuencia de ganancia crı́tica ωg . △
9.2.6. Correlación tiempo-frecuencia

Una desventaja del método de análisis en respuesta de frecuencia, es su relación indirecta
con la respuesta transitoria del sistema; en términos generales, los transitorios rápidos están
asociados al comportamiento de la respuesta frecuencial en altas frecuencias y viceversa, pero
no hay relaciones precisas entre estos dominios.
En la sección anterior se presentaron las expresiones analı́ticas de las caracterı́sticas de la
respuesta de frecuencia para los sistemas de segundo orden, a partir de ellas y las obtenidas
para la respuesta al escalón en la sección 5.5.4, se plantean las siguientes correlaciones:
El margen de fase M F es función casi lineal del coeficiente de amortiguamiento ρ por lo
que se puede asociar con el grado de amortiguamiento del sistema y las oscilaciones de la
respuesta en el tiempo.
Las magnitudes máximas de las ganancias de las funciones de transferencia de red cerrada

y de la función sensibilidad, Tmax y Smax varı́an inversamente con el amortiguamiento

ρ al igual que lo hace el sobrepaso máximo; picos elevados de Tmax o Smax , usualmente
conllevan grandes sobrepasos en la respuesta temporal.
Los anchos de banda ωg , ωT b , ωSb son inversamente proporcionales al tiempo de subida.
Para coeficientes de amortiguamiento pequeños ωT r ≈ ωSr ≈ ωg ≈ ωn .
Para sistemas de orden superior al segundo se pueden aplicar estas correlaciones si existe
un par de polos complejos dominantes.
En general aplica que las curvas de fase no mı́nimas que son acotadas con el aumento de
la frecuencia, corresponde a ceros de fase no mı́nima los cuales implican subpasos; las fases no
mı́nimas sin acotamiento con la frecuencia corresponden a tiempos muertos.
La respuesta permanente si tiene una relación directa con la respuesta de frecuencia, puesto
que el tipo de sistema determina la forma de la curva de magnitud de red abierta 20log|GH(jω)|
a baja frecuencia. El tipo de sistema se obtiene analizando la pendiente de la curva en baja
frecuencia y de su altura se calculan las constantes de error KP , KV , KA , ası́:
Para sistemas de tipo cero la ası́ntota de baja frecuencia es una horizontal de altura
20 log KP ya que:
KP = lı́m GH(s) = lı́m GH(jω).
s→0 jω→0
Para sistemas tipo uno:

KV = lı́m GH(jω)jω.
jω→0
KV
Si solo se considera el polo en el origen a baja frecuencia: GH(jω) = jω ; en ω = 1 se
tiene:
20log|GH(jω)|ω=1 = 20logKV ,
luego la intersección de la ası́ntota de baja frecuencia o su prolongación con la recta
ω = 1 vale 20logKV .
De forma análoga, para sistemas tipo 2, la intersección de la ası́ntota de baja frecuencia
con ω = 1 es 20logKA .
Calculadas las constantes de error, se puede conocer el error permanente ess para cada entrada
tı́pica.
Ejemplo 9.19
La figura 9.40 muestra los diagramas de Bode para la respuesta de frecuencia de red abierta
de un sistema dinámico.
En baja frecuencia se observa una pendiente de −40db/dec y la fase de −180o lo que indica
que es un sistema tipo dos. En ω = 1, la curva de magnitud es de 14db aproximadamente, por
lo que la constante de error de aceleración es: KA = 1014/20 ∼
= 5.
El margen de fase M F = 21.4o es bajo lo que indica un sistema poco amortiguado con
coeficiente de amortiguamiento ρ ≈ M F/100 = 0.21. La frecuencia de ganancia crı́tica es de
9.61, casi igual a ωT r = 9.59 y cercana a ωSr =10.5. El sistema se puede aproximar a uno de
segundo orden con ρ = 0.21 y ωn = 9.6, que tiene un sobrepaso aproximado (ecuación (5.25))
de 50.9 % y tiempo de estabilización de ts = 4/(0.21 × 9.6) ∼ = 2s; la figura 9.41 muestra
la respuesta al escalón del sistema; se observa que el sobrepaso es del 55.5 % y el tiempo de
estabilización de 1.94s muy cercanos a los estimados con la correlación tiempo frecuencia. △

9.3. ESPECIFICACIONES PARA LA RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS
100
80
Magnitud (dB)
60
40
20
0
Asíntota de baja frecuencia
−20
−40
−90
Fase (deg)
System: G
−120
−180
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
Figura 9.40: Diagramas de Bode de GH(jω) para el ejemplo 9.19.
9.3. Especificaciones para la respuesta frecuencial de sis-

temas de control continuos
Las caracterı́sticas de la respuesta frecuencial definidas en la sección 9.2.5 aplican sobre las
funciones de transferencia de red abierta GH(s) y de red cerrada T (s), S(s), Se (s) y Ss (s); los
márgenes buscan garantizar la estabilidad y el desempeño, las ratas de corte, las bandas y los
máximos, establecen los rangos frecuenciales de la respuesta y sus amplificaciones y atenuacio-
nes en estos rangos; al especificar lı́mites a estas caracterı́sticas, se estarán imponiendo unas
cotas dentro de las cuales deberán quedar las respuestas frecuenciales después del diseño del
controlador. En esta sección se presentan las especificaciones tı́picas de desempeño en frecuen-
cia para estas funciones de transferencia obtenidas de la correlación tiempo-frecuencia y de la
experiencia en diseño.
9.3.1. Función de red abierta

En la sección de las caracterı́sticas se observó que la respuesta frecuencial de red abierta
GH(jω) tiene tres zonas bien definidas. En baja frecuencia, la magnitud |GH(jω)| debe ser
grande para garantizar los errores permanentes requeridos; como S(s) = 1/(1 + GH(s)), alta
ganancia de |GH(jω)| permite una baja ganancia de |S(jω)| que garantice el rechazo de los
disturbios de salida. La pendiente de la curva de magnitud |GH(jω)| la define el tipo del sistema
el cual a su vez toma en cuenta los integradores del controlador utilizados para garantizar el

1.6
System: T
1.4 Peak amplitude: 1.55
Overshoot (%): 55.5
At time (sec): 0.321
1.2
System: T
Settling Time (sec): 1.94
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Tiempo (sec)
Figura 9.41: Respuesta al escalón de red cerrada para el sistema del ejemplo 9.19.
seguimiento de la referencia.
En alta frecuencia se tiene la incertidumbre del modelo; en las frecuencias donde la incerti-
dumbre multiplicativa es mayor de dos |G∆ (jω)| ≥ 2 el modelo de la planta no da información
de la fase pues tiene errores de ±180o o más; para garantizar la estabilidad del sistema se re-
quiere que la ganancia del lazo sea menor de uno. Considerando un margen adicional de error
de dos, la ganancia de la función de lazo abierto en alta frecuencia se debe limitar a ser menor
de uno, apartir de las frecuencias donde la incertidumbre multiplicativa tiene magnitud mayor
de uno. En alta frecuencia también se tiene el ruido que se debe evitar amplificar para la salva-
guarda del actuador y la calidad del control. Ello también exige una baja magnitud de |GH(jω)|
y pendientes negativas de −40db/dec o más. Para un controlador propio con máximo número
de ceros igual al número de polos, la pendiente de |GH(jω)| tendrá al menos la pendiente del
proceso |Gp (jω)|.
En la banda intermedia se define la estabilidad del sistema; se da alrededor de la frecuencia de
ganancia crı́tica ωg en el cruce de la curva de magnitud por 0db. Esta frecuencia debe escogerse
a partir de los compromisos de velocidad de respuesta, inyección de ruido, error permanente y
robustez del sistema. Su inverso define el tiempo de subida de la respuesta temporal. Para los
márgenes de estabilidad se acepta tı́picamente un margen de fase mı́nimo:
M F ≥ 30o (9.48)
y márgenes de ganancia mayores de dos:
M G ≥ 6db. (9.49)

La relación (9.15) impone restricciones en la máxima pendiente de la curva de ganancia Rω

en la frecuencia ωg , para obtener un margen de fase apropiado; para una pendiente constante,
se tiene la aproximación entre la pendiente Rω (ωg ) y el margen de fase:
2M F
Rω (ωg ) ≈ −2 + (9.50)
π
con la pendiente en decimales y el margen de fase en radianes. Para la cota del margen de fase
(9.48), esta aproximación define la máxima rata de corte de la curva de magnitud de red abierta
en ωg ; adicionalmente para limitar la magnitud de GH(jω) en alta frecuencia, se tiene el rango
de Rω (ωg ) entre:
− 1 ≤ Rω (ωg ) ≤ −5/3; (9.51)
− 20 ≤ Rω (ωg ) ≤ −100/3 [db/dec]. (9.52)
Las especificaciones deseadas de funcionamiento en frecuencia para GH(jω) se dan como
cotas en los diagramas de Bode o funciones de transferencia deseadas de red abierta GHd (jω).
Ejemplo 9.20
En el ejemplo 5.7 se analizó el control del generador Gp (s) = 1/(5s + 1) con dos controla-
dores PI; la figura 9.42 muestra las magnitudes de las respuestas de frecuencia de red abierta
8(s+1)
nominales: GH1 (s) = s(5s+1) y GH2 (s) = 500+70s
s(5s+1) .
Se ha utilizado la herramienta ‘sisotool’ del MATLAB la cual permite definir requerimientos
de diseño (clic derecho sobre la gráfica) de máximos, mı́nimos de las curvas de respuesta de
frecuencia y cotas mı́nimas de los márgenes de ganancia y de fase. Para el control del generador
se impone una cota mı́nima en la magnitud de respuesta de frecuencia en baja frecuencia para
cumplir los requisitos de error permanente; en este caso se tiene una pendiente de -20db/dec
en baja frecuencia para exigir una acción integral en el controlador asegurando un error de
posición nulo, la altura es de cero db aproximadamente una década por debajo de la ganancia
crı́tica ωg1 = 1.8. En alta frecuencia se impone una cota máxima de la magnitud para asegurar
la robustez del sistema; la cota se define en función de la incertidumbre (9.28), la cual pasa
de una magnitud de 0.2 en baja frecuencia a 1.25 en alta frecuencia teniendo magnitud uno
en ω = 6.5rad/s; se impone una cota superior con pendiente de −20db/dec a partir de la
frecuencia de 6.5rad/s. Se exige un margen de ganancia mayor a 6db y uno de fase mayor a
30o .
La pendiente para GH1 (jω) en ωg1 es de aproximadamente −24db/dec y para GH2 (jω) en
ωg2 es de aproximadamente de −25db/dec, ambas aceptables; los márgenes de ganancia son
infinitos y el margen de fase es de −67.5o para ambos sistemas; sinembargo el sistema con el
controlador Gc2 (s) no cumple el requisito de baja ganancia en alta frecuencia por robustez.
Para el diseño, una función de transferencia deseada simple que cumple estos requisitos es:
ωgd
GHd (s) = , (9.53)
s
en donde la frecuencia de corte deseada de red abierta ωgd , se escoge en función de la velocidad
de respuesta deseada en red cerrada: τRC = 1/ωgd ; para este ejemplo: ωgd = 1, que corresponde
a una constante de tiempo en red cerrada de un segundo 1s, para una velocidad de respuesta
5 veces más rápida que en red abierta. △

8(s+1) 500+70s
Figura 9.42: Magnitud de Bode para GH1 (s) = s(5s+1) y GH2 (s) = s(5s+1) .
9.3.2. Función de sensibilidad

La función sensibilidad S(s) relaciona el error con la referencia y también define la salida
debida a disturbios que entran después de la planta; de acuerdo a lo analizado en la definición del
ancho de banda, la magnitud de su respuesta de frecuencia es un buen indicador de desempeño
del sistema, por lo que es la función de red cerrada más apropiada para imponer caracterı́sticas
de desempeño a cumplir en el diseño. Las especificaciones tı́picas para esta función son:
El ancho de banda ωSb define hasta donde actúa el control para el rechazo de disturbios
y el seguimiento de la referencia; se define un ancho de banda mı́nimo ωSd en función de
la velocidad de respuesta deseada en red cerrada, tan grande como sea posible sin afectar
la estabilidad ni entrar en los rangos de frecuencia del ruido del sistema.
Máximo error de seguimiento en ciertas frecuencias. Para la frecuencia cero, se impone el
tipo del sistema para un error nulo o bien, la mı́nima magnitud |S(jω)|min = Smin < 1
para el error permanente máximo permitido.
Para el rechazo de un disturbio de salida D(s), se considera una sinusoidal de magnitud
máxima unitaria, que pasa por la dinámica del disturbio Gd (s) para su amplificación o

atenuación antes de entrar al lazo de realimentación, (ver sección 2.6.6); el error es:
Ed (s) = S(s)Gd (s)D(s);
para atenuar el error debido al disturbio se debe cumplir: |S(jω)Gd (jω)| < 1, ∀ω, luego:
1
|S(jω)| < , ∀ω; (9.54)
|Gd (jω)|
esto impone anchos de banda ωSb > ωDb donde ωDb es la frecuencia donde |Gd (jωDb )| = 1;
se observa que plantas con baja |Gd (jω)| y baja ωDb tienen menos exigencias de rechazo
del disturbio.
Para acotar el error de seguimiento de referencia, se considera una entrada sinusoidal de
magnitud R, el error de seguimiento es:
Er (s) = S(s)R(s),
luego se debe cumplir:

1
|S(jω)| < , ∀ω ≤ ωR , (9.55)
R
donde ωR es la frecuencia hasta la cual se desea garantizar el seguimiento. Esta condición
para una pendiente de |S(jω)| en baja frecuencia definida por el tipo del sistema, impone
un ancho de banda ωSb en |S(jω)|; por ejemplo para un sistema tipo uno la pendiente de
|S(jω)| es de +1, luego si |S(jωR )| < R1 entonces ωSb > RωR .
Pico máximo:
Smax ≤ 2 (6db). (9.56)
Esta cota impone valores mı́nimos del margen del módulo:
M M ≥ 0.5 (−6db). (9.57)
De 9.37, la cota (9.57) garantiza márgenes de fase mayores a 29o y de (9.39) márgenes de
ganancia mayores a dos.
Las especificaciones anteriores se pueden considerar en su conjunto con una función de

transferencia WS (s) cuya curva de magnitud acote la de la función de sensibilidad:
1
|S(jω)| < ∀ω, (9.58)
|WS (jω)|
lo que equivale a:
|WS (jω)S(jω)| < 1 ∀ω (9.59)
en donde se observa que la función WS (s) es una función de peso de la función sensibilidad.
Una función de peso tı́pica es:
s/Smax + ωSd
WS (s) = , (9.60)
s + ωSd Smin

20
10
Smax
−10
Magnitud (dB)
−20
−30
−40
Smin
−50
−60
−3 −2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10 10
Frecuencia ω / ωSd (rad/sec)
1 s+ωSd Smin
Figura 9.43: Magnitud de Bode para WS (s) = s/Smax +ωSd .
el inverso de esta función acota la magnitud de la función de sensibilidad en bajas frecuencias

en Smin < 1, en altas frecuencias en 1 ≤ Smax ≤ 2 y su ası́ntota tiene magnitud de uno en
ω = ωSd , la cual es aproximadamente la frecuencia del ancho de banda, ver la figura 9.43.
Para la función de transferencia deseada de red abierta (9.53) GHd (s) = ωgd /s, la función
de sensibilidad es: Sd = s/(s + ωgd ), la cual se puede acotar con la función (9.60) escogiendo
Smin = 0 y ωSd = ωgd .
Si se tiene una función de transferencia deseada de red abierta con pendiente de −40db/dec
en baja frecuencia, se puede utilizar la siguiente función de peso para la función de sensibilidad:
√
(s/ Smax + ωSd )2
WS (s) = √ . (9.61)
(s + ωSd Smin )2
Para cumplir la especificación de rechazo del disturbio (9.54), la función de peso WS (s) se
escoge similar a Gd (s) para las frecuencias donde |Gd (jω)| > 1.
Ejemplo 9.21
Para el ejemplo 9.20 se define una función de peso para la función sensibilidad con Smin = 0
para forzar la acción integral, Smax = 2 y ωSb = ωgd = 1, luego:
0.5s + 1
WS (s) = . (9.62)
s

La figura 9.44 muestra la cota para la función sensibilidad 1/|WS (jω)|, WS1(s) = s
0.5s+1 y las
1 s(5s+1) 1 s(5s+1)
funciones de sensibilidad S1 (s) = 1+GH1 (s) = 5s2 +9s+8 y S2 (s) = 1+GH2 (s) = 5s2 +71s+500 dadas
en el ejemplo. △
2.5
1/Ws
2 S1
S2
Magnitud (abs)
1.5
0.5
0
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
1
Figura 9.44: Magnitud de Bode para WS (s) , S1 (s) y S2 (s).
Ejemplo 9.22
Ahora se considera el generador para una red industrial del ejemplo 9.2; para el seguimiento
a la referencia se desea una respuesta bien amortiguada con tiempo de estabilización menor de
dos segundos y sobrepaso menor del 10 %. Para un escalón del disturbio, se desea que el error
permanente que genere sea nulo, la salida debida al disturbio no supere ±1, se rechace a menos
de ±0.1 en un segundo, con la señal de control entre sus lı́mites de ±10. El modelo del disturbio
se obtuvo en el ejemplo 2.28:
1.5(1 + 0.2s)
Gd (s) = . (9.63)
1 + 0.3s
A partir de la dinámica del disturbio Gd (s) se define una función de peso con cota de baja
frecuencia Smin = Gd (0) = 1.5, frecuencia de corte ωSd = 1/0.3 y lı́mite en alta frecuencia de
Smax = 1.5:
s/1.5 + 1/0.3
WS (s) = 1 .
s + 0.3×1.5

S y 1/ WS
3
Magnitud (abs)
2 I / WS
S
1
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
(rad/sec)
WS S
Magnitud (abs)
4
3
2
1
0
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
1
Figura 9.45: Magnitud de Bode para WS (s) y S(s).
s(0.1s+1)(s+1)
Arriba en la figura 9.45 se muestra la función de sensibilidad S(s) = 0.1s3 +1.1s2 +s+2 para
1 2/3s+10/3
el sistema y su cota máxima = WS (s) s+9/20 .
En baja y alta frecuencia se respeta la cota
máxima pero el ancho de banda es muy bajo para rechazar el disturbio y el máximo de la función
de sensibilidad es muy elevado, lo que muestra pobre desempeño y robustez. En la parte inferior
de la figura se muestra la función de sensibilidad pesada: WS (jω)S(jω); se observa que no se
respeta la cota máxima de uno establecida en (9.59).
La figura 9.46 muestra las respuestas a escalones de entrada y de disturbio; las respuestas
son oscilatorias, lentas con estabilización en diez segundos y con rebase de los valores máximos
especificados. △
9.3.3. Función de red cerrada

Un sistema de segundo orden con magnitud pico de frecuencia Tmax = 1.25 tiene un coefi-
ciente de amortiguamiento apropiado de ρ = 0.45; con un Tmax = 1.5 el margen de fase es de
60o y con Tmax = 2 es de 42o . Para un sistema al cual se le exije alta robustez y desempeño,
tı́picamente se impone la siguiente cota para Tmax :
Tmax ≤ 1.25 (≈ 2db) (9.64)
y con menos exigencias de desempeño hasta: Tmax ≤ 2 (6db) es aceptable.

1.5
1
Voltaje en terminales vT(t)
0.5
−0.5 CR
CD
−1
−1.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Tiempo (sec)
Figura 9.46: Respuestas a escalones de referencia y disturbio, sistema del ejemplo 9.22.
La frecuencia del ancho de banda ωT b está asociada igualmente a la de red abierta ωg y se

escoge en función de la velocidad de respuesta deseada en red cerrada. Normalmente con un
buen diseño, el ancho de banda de red cerrada queda acotado entre ωg ≤ ωT b ≤ 2ωg . Para no
amplificar el ruido debe haber una cota máxima para el ancho de banda y la rata de corte de
20log|T (jω)| en cercanı́as de ωT b debe ser de al menos −20db/dec.
De lo anterior, una función de peso tı́pica para la función de transferencia de red cerrada es:
s 1
WT (s) = + ; (9.65)
ωT d Tmax
el inverso de esta función acota la magnitud de la función de red cerrada en bajas frecuencias
en Tmax > 1, en altas frecuencias impone la rata de corte de −20db/dec y su ası́ntota tiene
magnitud de uno en ω = ωT d , ver la figura 9.47.
Para la función de transferencia deseada de red abierta (9.53) GHd (s) = ωgd /s, la función
de transferencia red cerrada es: Td = ωgd /(s + ωgd ), la cual se puede acotar con la función (9.65)
escogiendo ωT d = ωgd .
Si se tiene una función de transferencia deseada de red abierta con pendiente de −40db/dec
en baja frecuencia, se puede utilizar la siguiente función de peso para la función de transferencia
de red cerrada: s 1 2
WT (s) = +√ . (9.66)
ωT d Tmax

10
5 Tmax
−5
Magnitud (dB)
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
Frecuencia ω / ωTd (rad/sec)
1 1
Figura 9.47: Diagrama de magnitud de Bode para WT (s) = s/ωT d +1/Tmax .
9.3.4. Funciones de sensibilidad de entrada y de salida

La función de sensibilidad de entrada Se (s) da la salida debida a disturbios D(s) de entrada
al proceso, el error es:
ED (s) = Se (s)Gd (s)D(s) = S(s)Gp (s)Gd (s)D(s),
por lo tanto se puede especificar de manera similar a la realizada para el rechazo de disturbios
de la función de sensibilidad, ecuación (9.54):
1
|Se (jω)| < , ∀ω (9.67)
|Gd (jω)|
o con la misma función de sensibilidad:

1
|S(jω)| < , ∀ω. (9.68)
|Gp (jω)||Gd (jω)|
La función de sensibilidad de salida Ss (s) permite definir los máximos de la señal de control;
la especificación usual es no rebasar los lı́mites en magnitud de la señal de control umax para
evitar la saturación; para entradas de referencia de magnitud máxima R:
umax
|Ss (jω)| < , ∀ω. (9.69)
R

Para disturbios a la salida del proceso:

umax
|Ss (jω)| < , ∀ω. (9.70)
|Gd (jω)|
Para disturbios a la entrada del proceso:

umax
|Ss (jω)| < , ∀ω. (9.71)
|Gp (jω)||Gd (jω)|
Nótese que si desea evaluar la rata de cambio máxima de la señal de control vmax basta
reemplazar el lı́mite umax en las expesiones anteriores por vmax/ω .
Ejemplo 9.23
Para el sistema del ejemplo anterior se considera Tmax = 1.25 y máximo ancho de banda
de ωT d = 2ωg = 2/0.3, para la función de peso de red cerrada:
WT (s) = 0.15s + 0.8.
A la izquierda de la figura 9.48 se muestra la magnitud de la respuesta frecuencia para la función
T y 1/WT Se y 1/Gd
2 1.4
1/WT 1/Gd
1.8
T Se
1.2
1.6
1.4 1
Magnitud (abs)
Magnitud (abs)
1.2
0.8
0.6
0.8
0.6 0.4
0.4
0.2
0.2
0 0
−2 0 2 −2 0 2
10 10 10 10 10 10
Figura 9.48: Diagramas de magnitud de Bode y sus cotas, para T (s) y Se (s), ejemplo 9.23.
de transferencia de red cerrada y su cota 1/|WT (jω)|; en baja y alta frecuencia se cumple la
cota pero no lo hace en la banda de transición por la alta magnitud pico de frecuencia.
A la derecha de la figura 9.48 se observan las magnitudes de la función de sensibilidad de
entrada Se (s) y su cota 1/|Gd (jω)| donde Gd (s) lo define la ecuación (9.63). Existe una banda
de frecuencias en el rango de interés, donde el sistema no rechaza el disturbio.

9.4. DESEMPEÑO ROBUSTO (I)
10
9 umax / Gd
Ss
8
7
Magnitud (abs)
0
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
Figura 9.49: Magnitud de Bode para Ss (s) y su cota del ejemplo 9.23.
Para el análisis de la magnitud de la señal de control, en este sistema la referencia máxima

es R = 1 por lo que es suficiente analizar la restricción (9.70) ya que la magnitud de |Gd (jω)|
en alta frecuencia es uno. La figura 9.49 muestra la magnitud de la respuesta de frecuencia de
la función de sensibilidad de salida Ss (s) y la cota (9.70); a pesar de tener señales de control
con magnitudes de tres, dado el gran rango disponible en la magnitud de la señal de control el
sistema no se satura para disturbios a la salida en todo el rango de frecuencia. △
9.4. Desempeño robusto (I)

La restricción de desempeño (9.59) para el modelo nominal Gm (s) equivale a:
|WS (jω)| < |1 + Gm (jω)| ∀ω. (9.72)
Como se analizó para los cı́rculos de MS constantes en la gráfica de Nyquist ecuación (9.19), la
magnitud |1 + Gm (jω)| es la distancia del punto crı́tico al lugar de Gm (jω); la restricción (9.72)
indica que el lugar de Nyquist no se debe acercar más al punto crı́tico del radio
MS = |WS (jω)|.
Para la incertidumbre multiplicativa: G(s) = Gm (s) 1 + W (s)∆(s) , se tienen discos de
incertidumbre de radio Gm (jω)W (jω) centrados en Gm (jω), ver la figura 9.15. Para garantizar
el desempeño robusto, se requiere que el disco de radio |WS (jω)| centrado en el punto crı́tico
(-1,0) no se sobrelape con el disco de incertidumbre, ver la figura 9.50.
Para ello, debe cumplirse:
|WS (jω)| + |W (jω)Gm (jω)| < |1 + Gm (jω)| ∀ω, (9.73)

0.8
0.6
0.4
Eje imaginario
0.2 |WS(jω)|
0
|1+Gm(jω)|
−0.2
−0.4
−0.6
|W(jω)||Gm(jω)|
−0.8
−1
−1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2
Eje real
Figura 9.50: Discos de desempeño y de incertidumbre para el desempeño robusto.
que equivale a:
|WS (jω)| |W (jω)Gm (jω)|
+ < 1 ∀ω,
|1 + Gm (jω)| |1 + Gm (jω)|
DR = |WS (jω)Sm (jω)| + |W (jω)Tm (jω)| < 1 ∀ω. (9.74)

Nótese que el primer sumando en la restricción corresponde a cumplir el requisito de desem-
peño para el modelo nominal (9.59): |WS (jω)Sm (jω)| < 1 ∀ω y el segundo a cumplir el de
estabilidad robusta (9.27): |W (jω)Tm (jω)| < 1 ∀ω, por lo tanto un requisito necesario para
el desempeño robusto es cumplir el desempeño nominal y la estabilidad robusta; igualmente
garantizando el desempeño robusto se garantiza la estabilidad robusta y el desempeño nominal.
Para la estabilidad robusta se busca |Tm (jω)| pequeña y para desempeño nominal |Sm (jω)|
pequeña, sin embargo en una misma frecuencia ambas no pueden ser pequeñas por la restricción
S + T = 1; esta restrición implica igualmente que con desempeño robusto no se puede tener
alto desempeño |WS (jω)| > 1 y alta incertidumbre |W (jω)| > 1 en una misma frecuencia.
Para un diseño en frecuencia con la función de transferencia de red abierta Gm (s), es conve-
niente imponer condiciones en Gm (s) para el desempeño robusto (9.74). De (9.73) y dado que:
|1 + Gm | ≥ |Gm | − 1 > |WS | + |W Gm |, entonces:
|Gm | − |W Gm | > 1 + |WS |, |WS | < 1,

luego:
1 + |WS |
|Gm | > = minbf . (9.75)
1 − |W |
Igualmente teniendo en cuenta que |1 + Gm | ≥ 1 − |Gm | > |WS | + |W Gm | se obtiene:
1 − |WS |
|Gm | < = maxaf , |WS | < 1. (9.76)
1 + |W |
El lı́mite (9.75) en más útil en baja frecuencia donde |W | < 1 y |WS | > 1, lo que exige
una ganancia de red abierta |Gm (jω)| alta; el lı́mite (9.76) aplica en alta frecuencia donde la
incertidumbre es alta |W | > 1, no se exige alto desempeño |WS | < 1 y se requiere baja ganancia
en |Gm (jω)|.
Ejemplo 9.24
En el ejemplo 9.10 se analizó la estabilidad robusta del sistema de control de la excitación
incierto con dos controladores PI del ejemplo 5.7; para la incertidumbre multiplicativa (9.28):
W (s) = 0.2(1.25s + 1)/(0.2s + 1), la figura 9.26 mostró que la componente |W (jω)Tm (jω)|
en (9.74) es mayor que uno, por lo que no es robustamente estable. En este ejemplo se analiza
si el controlador Gc1 (s) = 8s + 8/s tiene desempeño robusto considerando la función de peso
para la función de sensibilidad (9.62): WS (s) = (0.5s + 1)/s utilizada en el ejemplo 9.21.
En la figura 9.51 se muestran las respuestas frecuenciales de magnitud para:
8(s + 1)
Gm (s) =
s(5s + 1)
y para |WS (jω)|, |W (jω)| y los lı́mites (9.75) y (9.76). Se observa que la ganancia de red abierta
cumple los lı́mites en baja y alta frecuencia, excepto en un pequeño intervalo de frecuencias
antes de la frecuencia para la cual |WS (jω)| = 1.
En la figura 9.52 se muestra la suma para el desempeño robusto DR de (9.74); se observa
que el sistema no tiene desempeño robusto pues rebasa levemente el valor de uno.
En la sección 10.9 se verá que los sobrepasos en el tiempo y frecuencia se disminuyen
eliminanado el cero del PI con un filtro de primer orden en la referencia, para este caso de
valor 1/(s + 1); en la figura se observa que con el filtro el sistema cumple con el requisito de
desempeño (9.62) para el generador con la incertidumbre (9.28).

3
10
2
10
|Gm(jω)|
1
10
minb f
Magnitud
|W (jω)|
0 S
10
|W(jω)|
−1
10
max
af
−2
10
−3
10
−2 −1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Figura 9.51: Análisis de desempeño robusto en red abierta para el sistema del ejemplo 9.24.
1.3
1.2
1.1
Sin filtro
1
|W S | + |W T |
m
0.9
Con filtro
0.8
s m
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
−2 −1 0 1 2 3
10 10 10 10 10 10
Figura 9.52: Análisis de desempeño robusto en red cerrada para el sistema del ejemplo 9.24.

9.5. LIMITACIONES EN LA RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS DE CONTROL CONTINUOS
Para la suma de las magnitudes en frecuencia que requiere DR en (9.74), se utilizó la

siguiente lista de comandos:
>> s=tf(’s’);Gp=1/(5*s+1);Gc1=8*(s+1)/s;
>> Ws=(0.5*s+1)/s;W=(0.25*s+0.2)/(0.2*s+1);
>> w=logspace(-2,3,80);DRs1=Ws*feedback(1,Gp*Gc1);DRt1=W*feedback(Gp*Gc1,1);
>> DRt2=W*feedback(Gp*Gc1,1)/(s+1);
>> DRs1f=frd(DRs1,w);DRt1f=frd(DRt1,w);DRt2f=frd(DRt2,w);
>> semilogx(abs(DRs1f)+abs(DRt1f),abs(DRs1f)+abs(DRt2f),’g.-’);
9.5. Limitaciones en la respuesta frecuencial de sistemas

de control continuos
En la sección 5.8 a partir del análisis temporal de los sistemas continuos, se encontraron
limitaciones fundamentales que aplican al desempeño alcanzable por un sistema de control;
varias de ellas derivan en restricciones en el ancho de banda mı́nimo o máximo alcanzable por
el sistema de control.
En las dos secciones precedentes se especificaron condiciones para un desempeño aceptable,
en términos de cotas en la función de transferencia de red abierta y en las funciones de sensibili-
dad de red cerrada. En esta sección se analizan restricciones fundamentales que aplican sobre las
respuestas de frecuencia de los sistemas de control estables en red cerrada y sus implicaciones
en el desempeño alcanzable por el sistema de control.
9.5.1. Limitaciones por las integrales de Bode en S y T

En las especificaciones para la función de sensibilidad S(s) se estableció la función de peso
(9.60) con valor máximo de Smax ≤ 2 y valor mı́nimo Smin < 1 en bajas frecuencias; interesa
tener la magnitud de la función sensibilidad pequeña en baja frecuencia, con el valor máximo
acotado, sabiéndose que en alta frecuencia tiende a uno (0 db); cabe preguntarse hasta dónde
es posible moldear esta función de sensibilidad, manteniendo la estabilidad en red cerrada.
En la figura 9.35 se observa el cı́rculo de MS constante de magnitud unitaria. El cı́rcu-
lo está centrado en el punto crı́tico (-1,0), por lo que pasa por el origen y está en el semi-
plano izquierdo del diagrama de Nyquist. Si la curva de GH(jω) entra al cı́rculo, la distancia
| 1 + GH (jω)| = 1 / | S(jω) | desde el punto crı́tico a la curva de GH(jω) será menor de
uno y la magnitud de la función de sensibilidad será mayor de uno. Como en alta frecuencia la
magnitud de GH(jω) tiende a cero, para entrar dentro del cı́rculo de MS = 1 se requiere que la
fase de GH(jω) sea mayor de -90o , esto es tener un grado relativo de al menos dos; los sistemas
con grado relativo uno con tiempo muerto o un cero de fase no mı́nima, la adición de fase debida
al tiempo muerto o el cero, gira en el sentido del reloj la curva de Nyquist y la hace entrar
al cı́rculo de MS = 1. Este comportamiento se puede analizar formalmente con la integral de
Bode para la función de sensibilidad. Se considera un sistema de control estable con función de
transferencia nominal de red abierta GH(s), con Np polos inestables en p1 , p2 , . . . pNp , tiempo

muerto Tm ≥ 0 y grado relativo g ≥ 1; la función de sensibilidad satisface:

Z ∞ Np
X
ln |S(jω)|dω = π pi , para Tm > 0; (9.77)
0 i=1
Z ∞ Np
X
π
ln |S(jω)|dω = −kt +π pi , para Tm = 0. (9.78)
0 2 i=1
donde kt = lı́ms→∞ sGH(s).

Las integrales de Bode en las anteriores ecuaciones son constantes; si no existen polos ines-
tables de red abierta y el sistema tiene grado relativo estrictamente mayor a uno, las integrales
en las ecuaciones anteriores deben ser nulas. El tener la integral de Bode finita, indica que no
importa que método de diseño se utilice, si se disminuye la magnitud de la función de sensibili-
dad en una cierta banda de frecuencias, se incrementará en otra parte, propiedad que se conoce
como el efecto de ‘colchón de agua’.
Téngase en cuenta que en las integrales de (9.77) y (9.78) la magnitud está en logaritmo
natural (para la magnitud dada en decibeles, basta multiplicarla por (ln 10)/20 para expresarla
en el logaritmo natural) y la frecuencia en un eje lineal.
1.15
A(+)
0
A(−)
ln |S(jω)|
−1.15
−2.3
−3.45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 9.53: Análisis gráfico de la integral de Bode.
En la figura 9.53 se muestra una función de sensibilidad con el eje lineal para la frecuencia;
el área negativa A(−) corresponde a valores de: |S(jω)| < 1 y la positiva para: |S(jω)| > 1;

para cumplir con la integral de bode nula, ambas áreas deben ser iguales, luego si se busca
mejorar el desempeño del rechazo a disturbios de salida disminuyendo la magnitud de la función
de sensibilidad en baja frecuencia, el área positiva aumentará incrementado el valor máximo,
disminuyendo la robustez y el desempeño transitorio.
Como la integral es infinita se podrı́a pensar en tener un poco por encima de uno el valor
de la función de sensibilidad en un amplio rango (infinito) de alta frecuencia; sinembargo re-
cuérdese que por los requerimientos de rechazo de ruido, |T (jω)| tiene banda limitada y es muy
pequeña en alta frecuencia por lo que la función de sensibilidad tendrá magnitud de uno en alta
frecuencia; esto indica que la integral de Bode debe asegurarse en la práctica en un intervalo
finito de frecuencias asociado al ancho de banda del sistema realimentado.
Para los sistemas con grado relativo uno y sin tiempo muerto, la integral debe ser negativa
e igual a −kt π2 , por lo que no es forzoso tener el área positiva A(+) ; es por ello que las funciones
de sensibilidad en el ejemplo 9.21 tienen valor máximo de uno, como lo muestra la figura
9.44. Estos sistemas se denominan pasivos y tienen funciones de transferencia llamadas reales
positivas, cuyo diagrama de Nyquist está todo en el semiplano derecho.
Si el sistema es inestable en red abierta, los polos inestables aportan valores positivos a las
integrales de Bode, por lo que estos sistemas tendrán valores máximos más grandes de |S(jω)|
que un sistema estable en red abierta; obsérvese igualmente que entre mayor valor tiene la parte
real del polo inestable (transitorio más rápido) mayor es el aporte positivo a la integral.
Ejemplo 9.25
Se considera el sistema con función de transferencia de red abierta:
k(s + 1)
GH(s) =
s(s − 1)
para k = 1, 2, 3, 4. En la figura 9.54 se muestran las diferentes curvas de magnitud de la función

de sensibilidad; con k = 1 el sistema tiene dos polos complejos en el eje imaginario y el pico de
|S(jω)| es infinito. Para estabilizar el sistema se requiere mayor ganancia, en la medida que esta
aumenta como kt = k, el término negativo a la derecha de (9.78) se hace más grande exigiendo
menores valores máximos de |S(jω)|. △
Si GH(jω) es estable y tiene un cero de fase no mı́nima: (−s + z), se cumple:

Z z
ln |S(jω)|dω ≈ 0, con |S(jω)| ≈ 1 para ω > z.
0
En este caso la integral de Bode debe ser nula en un intervalo finito de frecuencias acotado por
el cero z; si se disminuye la magnitud de S(jω) en baja frecuencia, el efecto de colchón de agua
forzará un pico elevado en |S(jω)|.
Para la función de transferencia de red cerrada T (s) estable, también aplica un principio de
conservación con la integral de Bode; para GH(s) al menos tipo uno (una integración o más),
grado relativo g > 1, Nz ceros de fase no mı́nima en z1 , z2 , . . . zNz , y tiempo muerto Tm ≥ 0, la
función de sensibilidad complementaria satisface:
Z ∞ Nz
X
1 1 π 1
ln |T (jω)|dω = − + πTm + π , (9.79)
0 ω2 KV 2 z
i=1 i

50
40
30 k=1
20
k=2
Magnitud (dB)
10
−10 k=3
−20 k=4
−30
−40
−50
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
k(s+1)
Figura 9.54: Funciones de sensibilidad de GH(s) = s(s−1) con diferentes k.
donde KV = lı́ms→0 sGH(s) es la constante de error de velocidad.

Los sistemas sin tiempo muerto ni ceros de fase no mı́nima, tienen la integral negativa e
igual a − K1V π2 , por lo que no es forzoso tener valores pico en la magnitud de T (jω); si el sistema
es tipo dos o más o la ganancia es alta, KV → ∞ y habrá máximo en |T (jω)|. Si el sistema
tiene ceros de fase no mı́nima en red abierta, éstos aportan valores positivos a la integral, cuyo
valor es mayor en la medida que estén más cercanos al eje complejo (ceros lentos).
Ejemplo 9.26
Se considera el sistema con función de transferencia de red abierta:
k(−s + 1)
GH(s) = ,
s(s + 5)2
para k = 1, 10, 15, 23. En la figura 9.55 se muestran las diferentes curvas de magnitud de la
función de sensibilidad complementaria; con k ≈ 23 el sistema tiene dos polos complejos en el
eje imaginario y el pico de |T (jω)| es infinito. Para menores ganancias, el término negativo a
la derecha de (9.79) se hace más grande exigiendo menores valores máximos de |T (jω)|. △
9.5.2. Limitaciones por tiempos muertos

En la sección 5.8.5 se planteó en el dominio del tiempo limitaciones de velocidad de respuesta
del sistema con tiempos muertos; esto en el dominio de la frecuencia equivale a limitaciones en
el ancho de banda y en la frecuencia de cruce de ganancia ωg en red abierta.

40
30
20 k=23
10
Magnitud (dB)
k=15
0
−10
k=10
−20
k=1
−30
−40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k(−s+1)
Figura 9.55: Funciones de sensibilidad complementaria, GH(s) = s(s+5)2 con diferentes k.
Sea la función de transferencia de red abierta con tiempo muerto: GHf m (s)e−Tm s ; la parte
GHf m (s) es de fase mı́nima por lo que el ángulo cumple (9.15); en la frecuencia de ganancia
crı́tica ωg para lograr un margen de fase M F , se tiene el retardo de fase admisible por el tiempo
muerto en la frecuencia crı́tica ωg Tm :
π
ωg Tm = π − M F + Rω (ωg ) .
2
Para la pendiente en ωg usual de Rω = −1 y un margen de fase mı́nimo de 30o (π/6) el retardo
de fase debido al tiempo muerto debe ser menos de π/3 ≈ 1; por lo tanto, el tiempo muerto
limita la frecuencia de ganancia crı́tica a ser menor de:
1
ωg ≤ . (9.80)
Tm
El tiempo muerto limita el ancho de banda alcanzable por el sistema de control.
Ejemplo 9.27
Sea el sistema con función de transferencia de red abierta:
ke−s
GH(s) = ;
s+1
de (9.80) la frecuencia de ganancia crı́tica debe ser menor de uno; con k = 1.12, 1.42 y 2.24 las
ganancias crı́ticas son 0.5, 1 y 2 respectivamente. En la figura 9.56 se muestran los diferentes

diagramas de Bode de la respuesta frecuencial en red abierta; el margen de ganancia pasa de

6.1 db a a tan solo 0.08db; el margen de fase con ωg = 1/Tm = 1 es bueno de 77o pero muy
pequeño para ωg = 2/Tm = 2. △
10
k=2.24; MG=0.08
Magnitud (dB)
k=1.42; MG=4.04
−10
k=1.12; MG=6.1
−20
0
−45 ωg=0.5; MF=124º
Fase (deg)
−90 ωg=1; MF=77º

−135 ωg=2; MF=1.7º
−180
−225
−270
−1 0 1
10 10 10
ke−s
Figura 9.56: Diagramas de bode para GH(s) = s+1 con diferentes ganancias k.
9.5.3. Limitaciones por ceros de fase no mı́nima y polos inestables

Se considera un cero de fase no mı́nima (−s + z) en GH(s), la función de sensibilidad S(s)
y su función de peso WS (s); note que el cero no se puede cancelar con el controlador por
estabilidad interna, luego será un cero de red cerrada T (s) y de la condición (5.57) en la página
261: S(z) = 1.
El principio del módulo establece que una función estable F (s) al evaluarse en el semiplano
derecho SP D del plano S tiene su máximo en el eje complejo:
máx |F (jω)| ≥ |F (s0 )|, ∀s0 ∈ SM D. (9.81)

∀ω
Aplicando el principio del módulo al producto WS (s)S(s) en s0 = z:
máx |WS (jω)S(jω)| ≥ |WS (z)S(z)| = |WS (z)|;

∀ω
de la condición (9.59) se debe cumplir 1 > máx∀ω |WS (jω)S(jω)|, luego:
|WS (z)| < 1. (9.82)

Para la función de peso: (9.60) en la página 477 la cota (9.82) es:

z/S
max + ωSd
|WS (z)| = <1
z + ωSd Smin
Si el cero es real, el ancho de banda ωSd debe respetar la cota máxima:
z(1 − 1/Smax )
ωSd < . (9.83)
1 − Smin
Si el cero está en el eje imaginario: s0 = j|z|, con Smin = 0, se debe respetar la cota máxima:
s
1
ωSd < |z| 1 − 2 . (9.84)
Smax
Para los lı́mites tı́picos: Smin = 0 y Smax = 2 y una función de transferencia deseada de red
abierta (9.53) GHd (s) = ωgd /s la cota (9.83) es:
z
ωSd = ωgd < (9.85)
2
y la cota (9.84) para el cero imaginario es:
ωSd = ωgd < 0.87|z|, (9.86)
menos exigente que la del cero real, como era de esperarse pues en el lugar de las raı́ces entre
más alejado el cero del eje complejo más halan los polos de red cerrada a la inestabilidad.
Se observa por lo tanto que, los ceros de fase no mı́nima imponen lı́mites superiores
en el ancho de banda del sistema de control.
Para GH(s) con un polo inestable en s = p, la función de sensibilidad lo tiene como cero:
S(p) = 0 luego la función red cerrada evaluada en el polo es: T (p) = 1; con un análisis similar
al realizado para el cero de fase no mı́nima para la función de sensibilidad complementaria T (s)
y su función de peso WT (s), se debe cumplir:
|WT (p)| < 1. (9.87)

Con la función de peso WT (s) dada en (9.65) la cota anterior es:
p 1

|WT (p)| = + < 1,
ωT d Tmax
de donde para un polo real, el ancho de banda ωT d debe respetar la cota mı́nima:
p
ωT d > (9.88)
1 − 1/Tmax
y para un polo imaginario:

|p|
ωT d > p . (9.89)
2
1 − 1/Tmax

Para el lı́mite máximo tı́pico: Tmax = 1.25 y la función de transferencia deseada de red abierta
GHd (s) = ωgd /s la cota (9.88) es:
ωT d = ωgd > 5p (9.90)
y para la cota (9.89) es:
5
ωT d = ωgd > p. (9.91)
3
Para controlar un sistema de red abierta inestable se requiere tener un ancho
de banda mı́nimo en el sistema de control.
Según Skogestad and Postlethwaite [2005] para Nz ceros y Np polos en el semiplano derecho,
se cumple para cada cero zj :
Np
Y |zj + pi |
máx |WS (jω)S(jω)| ≥ |WS (zj )| , (9.92)
∀ω |z − pi |
i=1 j
donde pi es el conjugado complejo de pi .

Si se tiene un sistema con un cero real de fase no mı́nima y un polo real inestable, de (9.92)
con peso unitario WS (s) = 1 se cumple:
z+p
máx |S(jω)| ≥ (9.93)
∀ω |z − p|
de donde para el lı́mite superior Smax = 2 se obtiene que para un desempeño aceptable del
sistema realimentado, la relación del cero z al polo p debe ser:
z ≥ 3p. (9.94)
Igualmente, para los sistemas con un polo inestable de red abierta y tiempo muerto, se
cumple:
máx |T (jω)| ≥ epTm (9.95)
∀ω
de donde para el lı́mite superior Tmax = 1.25 se obtiene que para un desempeño aceptable del
sistema realimentado, la relación del polo inestable p al tiempo muerto Tm debe cumplir:
pTm ≤ 0.22. (9.96)
Ejemplo 9.28
En los ejercicios 7.7 y 7.8 se analizó el control de un péndulo invertido en la mano; la
dinámica de este sistema observando el ángulo del péndulo es:
Θ(s) 1 −1
= (9.97)
F (s) M l (s − (M +m)g )
2
lM
q
la cual tiene un polo inestable en p = (MlM +m)g
; una longitud l corta y una masa m grande
dará un polo inestable más rápido y más difı́cil de estabilizar. Si la longitud del péndulo es
l = 1, g ≈ 10 y las masas m = 0.6M = 1 el polo esta en p = 4, exigiendo de (9.90) para un
buen desempeño, un ancho de banda ωgd = 20rad/s, esto es tiempos de estabilización en red
cerrada de 0.2s.

Si se observa la posición de la mano, la dinámica es:
Y (s) 1 s2 − g/l
= ; (9.98)
F (s) M s2 (s2 − (M +m)g )
lM
esta dinámica tiene los polospde la anterior, más dos en el origen, un cero estable y un cero
de fase no mı́nima en z = g/l; si la masa del péndulo es pequeña con relación a la de la
mano: m ≪ M el valor del polo p es muy cercano al del cero z y el sistema se hace en la
práctica imposible de estabilizar, note que (9.93) predice una magnitud pico de Smax tendiendo
al infinito cuando el polo y cero de faseqno mı́nima se acercan. Incluso con masas m grandes, la
estabilización es muy difı́cil pues p = z MM+m
> z y es deseable lo contrario de tener el cero z
lejano y el polo p cercano al origen.
El máximo de la función de sensibilidad (9.93) es:
p
1 + m/M + 1
Smax ≥ p ;
1 + m/M − 1
para una masa m = M este máximo debe ser superior a 5.82 mostrando que el sistema no
tendrá buen desempeño.
Si se observa la barra del péndulo a una longitud h desde la base, la nueva salida es:
yh = y − hsenθ que en pequeña señal es: yh ≈ y − hθ; tomando la transformada de Laplace:
Yh (s) = Y (s) − hΘ(s) y reemplazando Y (s) de (9.98) y Θ(s) de (9.97), se obtiene:
Yh (s) 1 s2 (lh − 1) + g/l

= . (9.99)
F (s) M s2 (s2 − (M +m)g )
lM
La posición del cero de fase no mı́nima cambia con la posición de la medida h sobre la barra
del péndulo; si se escoge: lh > 1 los ceros se convierten en imaginarios y el sistema es más
fácil de controlar; la cota (9.92) con WS (s) = 1 establece Smax ≥ 1. El sistema podrá alcanzar
buen desempeño siempre y cuando se logre el ancho de banda que permita la estabilización del
polo inestable. Este ejemplo ilustra cuán importante es la ubicación del sensor con relación al
desempeño alcanzable por el sistema de control. △
9.5.4. Limitaciones por atraso de fase

El atraso de fase de funciones de transferencia de red abierta GH(s) de fase mı́nima, en
principio no presenta limitaciones fundamentales; se puede en teorı́a cancelar los polos del
proceso con ceros del controlador, tener polos rápidos en el controlador para que sea realizable
y de esta forma lograr la ganancia crı́tica ωg en cualquier valor. Sinembargo en la práctica se
sabe que en alta frecuencia el modelo no es bien conocido para garantizar la cancelación y la
baja ganancia de la planta exigirá señales muy altas para su control generándose saturación
del actuador; por otro lado, con una estructura fija de controlador como el PID, lo anterior
tampoco se puede realizar para cualquier orden del proceso.
Para este último caso, se considera la frecuencia ωπp de ganancia crı́tica del proceso donde
la fase en red abierta es 180o (ωπp = 2π/Tc donde Tc es la frecuencia de oscilación crı́tica del
método de Ziegler y Nichols, ver sección 6.3.6); con un control P, ωg = ωπp ; con un PI el atraso

9.6. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS DISCRETOS
adicional de -90o dará: ωg < ωπp para garantizar la estabilidad; con un PID cascada con avance
de fase: Td′ = 0.05Td el máximo avance de fase φm es de 64.8o (ecuación 9.13 con p = 20z) el
cual permite lograr un buen margen de fase y buena velocidad de respuesta si se usa la cota:
ωg < ωπp . (9.100)
El ejemplo 10.15 ilustra el uso de esta cota en el diseño de un sistema de control sobreamor-
tiguado de alto orden.
9.6. Respuesta frecuencial de sistemas discretos

La respuesta en frecuencia para un sistema continuo GH(s) se obtiene evaluando la frecuen-
cia s en s = jω; para un sistema de tiempo discreto, la función de transferencia discreta GH(z)
se obtiene vı́a la transformación z = esT ; por lo tanto, la respuesta de frecuencia de los sistemas
discretos se obtiene evaluando z = ejωT que corresponde al cı́rculo de radio unidad en el plano
Z, |z| = 1.
La función de transferencia discreta de red abierta: GH(ejωT ) es la función de transferencia
discreta sinusoidal .
Se observa que:
ej(ω+(2π/T )T = ejωT × ej2π = ejωT ,
por lo que la respuesta frecuencial GH(ejωT ) es una función periódica con la frecuencia ω,
tanto en la magnitud como en la fase, con perı́odo 2π/T ; por la simetrı́a del plano Z con
el eje real, basta trazar GH(ejωT ) para ω ∈ [0, ω2s = Tπ ]; la porción de la curva para
ω ∈ [ Tπ , 2π π
T ] = [− T , 0] es el reflejo de GH(e
jωT
) con respecto al eje real. De lo anterior se
deduce que basta obtener la respuesta de frecuencia para el análisis y diseño de los sistemas de
control discretos o digitales hasta la frecuencia de Nyquist π/T .
Ejemplo 9.29
Se analiza la respuesta de frecuencia para el sistema de tiempo discreto: GH(z) = 1/(z−0.5);
a la izquierda en la figura 9.57 se observa el mapa del polo en el plano Z y el cı́rculo de radio
unidad; la respuesta de frecuencia es:
1 1
GH(ejωT ) = = ∠ − φ;
ejωT − 0.5 P
P es la magnitud del vector dirigido desde el polo en z = 0.5 al punto en el cı́rculo unitario
para la frecuencia dada en el plano Z; φ es el ángulo de este vector con el eje real.
A la derecha en la figura 9.57 se observa la respuesta de frecuencia del sistema en el diagrama
de Nyquist; la magnitud de GH(ejωT ) es el inverso de P y su ángulo −φ.
Nótese que siendo un sistema de primer orden, la función de transferencia GH(z) no es real
positiva pues entra al semiplano izquierdo en el plano de GH(z). △
9.7. Respuesta frecuencial de sistemas digitales

La respuesta de frecuencia de un sistema de control digital se obtiene aplicando una sinusoide
a la entrada del conversor análogo a digital y observando la sinusoide a la salida continua del

9.7. RESPUESTA FRECUENCIAL DE SISTEMAS DIGITALES
Figura 9.57: Respuesta de frecuencia de sistemas discretos; plano Z y diagrama de Nyquist.
proceso. Al muestrearse la señal, aparece el desdoblamiento frecuencial de la señal analizado en

la sección 3.3.8, apareciendo aparte de la frecuencia original, las frecuencias kωs ± ω,
k = 1, 2 . . .; la salida del controlador digital Gc (z) está definida por su función de transferencia
discreta sinusoidal Gc (ejωT ); esta señal se aplica al retenedor de orden cero y a la dinámica
continua del proceso Gp (s); la transmisión de la señal entre la sinusoide de entrada hasta
la componente fundamental de la sinusoide de salida, la describe la función de transferencia
Aström and Wittenmark [1997]:
 1 jωT
 T Gc (e )Gd (jω) ω 6= kπ/T
G(jω) = , (9.101)
 2 jωT j(π/2−ϕ)
G
T c (e )G d (jω)e senϕ ω = kπ/T
donde Gd (jω) es la respuesta de frecuencia de Gd (s) = 1s (1 − e−sT )Gp (s) y ϕ el desfase de la

sinusoide de entrada sen(ωt + ϕ).
Cuando la frecuencia de la entrada no es un múltiplo de la frecuencia de Nyquist π/T ,
la función G(jω) depende de la ganancia del muestreador 1/T , la función de transferencia
sinusoidal del algoritmo de control Gc (ejωT ), la función de transferencia sinusoidal continua del
1
retenedor jω (1 − e−jωT ) (ver la figura 3.8) y la del proceso Gp (jω).
Cuando la frecuencia de la entrada es proporcional a la de Nyquist, la transmisión de la señal
depende del ángulo de desfase de la entrada ϕ, esto es, de la sincronización entre la sinusoide
y los instantes de muestreo; por ejemplo si ω = ωs /T hay dos muestreos por perı́odo de la
sinusoide; si la sincronización es con la onda seno, ϕ = 0 el muestreo se realiza en los pasos
por cero de la sinusoide; si la sincronización se da con una onda coseno ϕ = π/2, se muestrean
los valores pico a pico de esta señal. Si se busca obtener experimentalmente la respuesta de
frecuencia de un sistema de control digital, se deben filtrar las componentes alias de frecuencia
kωs ± ω en la salida y sincronizar la sinusoide con el muestreo; incluso con un buen filtrado,
en la frecuencia de Nyquist habrá interacción con el primer alias ωs − ω; en la frecuencia de

Nyquist la magnitud y fase de la salida depende de la sincronización entre la sinusoide y el

muestreo.
Se puede igualmente analizar la respuesta de frecuencia de un sistema de datos muestreados,
entre la sinusoide de entrada y la de salida, solamente en los instantes de muestreo; en tal caso
se usa la función de transferencia de pulsos sinusoidal Gd (ejωT ), donde Gd (z) es la función de
transferencia de pulsos definida en (3.23). Sinembargo, esta información solo es válida en los
instantes de muestreo y no considera lo que sucede entre muestreos; si se calcula un margen de
fase con G(z) = Gc (z)Gd (z), |z| = 1, puede suceder que el sistema pierda la estabilidad con
un atraso de fase inferior en la planta Gp (s); una sinusoide a la entrada del sistema de datos
muestreados genera en la señal de salida múltiples sinusoides; si el filtro de antiplegamiento evita
que las demás sinusoides no se realimenten no hay problema y el comportamiento frecuencial del
sistema será el esperado; pero los filtros de antiplegamiento no son ideales; plantas con buena
atenuación en alta frecuencia con perı́odos de muestreo y filtros de antiplegamiento adecuados
no tienen mayores compromisos; de especial atención son las plantas con modos oscilatorios
cercanos a la frecuencia de Nyquist.
Ejemplo 9.30
Se considera un sistema de primer orden Gp (s) = 1/(s + 1) controlado por un sistema de
control digital con retenedor de orden cero y perı́odo de muestreo T = 0.05π = 0.157s; la
frecuencia de Nyquist es: 20rad/s; la figura 9.58 muestra los diagramas de Bode del sistema
continuo Gp (jω) y del digital Gd (ejωT ), obtenidos con el comando ‘bode’ del MATLAB.
0
Magnitud (dB)
−20
Gp
Gd
−40
−60
180
90
Fase (deg)
−90
−180
−1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Figura 9.58: Respuestas de frecuencia para Gp (s) y Gd (z) = 0.1454/(z − 0.8546).

La lı́nea vertical indica la frecuencia de Nyquist; las curvas son muy cercanas para las bajas
frecuencias con relación a la de Nyquist; la fase se desvı́a primero y una década por debajo de la
frecuencia de Nyquist la diferencia de fase es de 9.3o . El comando asume una sincronización con
una onda coseno, pues en las frecuencias múltiplo de Nyquist la transmisión de la sinusoide es
completa y la ganancia unitaria (0db). Una sincronización con onda seno darı́a ganancia nula en
estas frecuencias y la curva de ganancia del sistema digital estarı́a por debajo de la del sistema
continuo.
Nótese que la respuesta de frecuencia del sistema digital ya no tiende a las ası́ntotas rectas
como lo hase el sistema continuo; esto se debe a que no depende de forma polinómica racional
con la frecuencia jω sino de forma racional en términos ejωT . △
9.7.1. Estabilidad en la respuesta frecuencial de sistemas de control

digitales
Como la ecuación caracterı́stica de los sistemas de control digitales: 1 + GH(z) = 0
tiene la misma forma de los sistemas continuos, se puede también analizar su estabilidad con
el criterio de Nyquist, aplicado al lugar de GH(z = ejω ) con −π ≤ ω ≤ π, donde ω = ωT es
una frecuencia normalizada. Por supuesto que cambia la interpretación de la ubicación de los
polos de red cerrada con respecto a la estabilidad, que para los sistemas discretos corresponde
a polos con magnitud menor de uno.
Para el criterio generalizado de Nyquist de la sección 9.2.3 basta analizar el recorrido del
ángulo α entre el eje real negativo y el lugar de GH(ejω ), para las frecuencias crecientes de cero
a ω = π (ver la figura 9.59); en este caso se tiene:
α
Z = P + 0.5Pω − ,
180
donde P es el número de polos inestables de GH(z) (con magnitud mayor a uno), Pω los polos
de GH(z) con magnitud unitaria y Z es el número de polos inestables de red cerrada.
9.7.2. Caracterı́sticas y especificaciones frecuenciales para sistemas

discretos
Las caracterı́sticas de desempeño para los sistemas de control digitales son las mismas dadas
en la sección 9.2.5, para las cuales solo cambia GH(jω) por GH(ejω ). Igualmente la estabilidad
relativa se mide también con los márgenes de ganancia, fase, módulo y retardo.
Las especificaciones deseadas de desempeño se mantienen:
M G ≥ 2 (6db), M F ≥ 30o , M M ≥ 0.5 (− 6db).
El margen de retardo se asocia al perı́odo de muestreo y usualmente se especifica:

MF 2
MR = ≥ T,
ωg 3
lo que para un margen de fase de π/3 impone lı́mites máximos en la frecuencia de ganancia
crı́tica:
π
ωg ≤ , (9.102)
2T

Figura 9.59: Estabilidad de sistemas discretos.
la mitad de la frecuencia de Nyquist ωN .

Por estar acotada la respuesta frecuencial hasta π/T , los anchos de banda analizados deben
considerarse con relación a esta frecuencia; no deben acercarse a más de 0.8π/T .
9.7.3. Selección del perı́odo de muestreo

En la sección 6.7.8 se establecieron algunos criterios para la selección del perı́odo de muestreo
a partir de la respuesta temporal; para la respuesta en frecuencia un criterio es escoger la
frecuencia de muestreo entre 10 a 30 veces la frecuencia de ancho de banda del sistema en red
cerrada.
Si se conoce el comportamiento del sistema de control de tiempo continuo, se puede plantear
un criterio para la selección del perı́odo de muestreo, de forma que no se degrade el desempeño.
Se puede permitir que el margen de fase del sistema digital disminuya entre 5o y 15o con relación
al margen de fase del sistema de tiempo continuo, antes de la discretización.
De (9.101), la dinámica del muestreo y la retención de orden cero: T1s (1−e−sT ) para pequeños
muestreos se aproxima expandiendo la exponencial en sus tres primeros términos a:
1 − e−sT 1 − (1 − sT + s2 T 2 /2) sT
= =1−
sT sT 2
este resultado: 1 − sT /2 equivale a los dos primeros términos de la expansión en series de Taylor
de e−sT /2 ; luego el retenedor se aproxima al comportamiento de un tiempo muerto de T /2; con
esta aproximación para que la fase disminuya entre 5o y 15o se obtiene:
T ωg ≈ 0.15 a 0.5 (9.103)
donde ωg es la frecuencia de ganancia crı́tica del sistema continuo. El perı́odo de muestreo es
suficientemente pequeño y la frecuencia de Nyquist queda entre 2π y 20π/3 veces la frecuencia
ωg .

Ejemplo 9.31
Se analiza el control digital del generador para una red industrial del ejemplo 9.2; la planta
continua es:
1
Gp (s) =
(0.1s + 1)(s + 1)
y el controlador: Gc (s) = 2/s.
De (9.103), se escoge ωg T = 0.25, con ωg = 1.24 de la figura 9.28, se obtiene un perı́odo
de muestreo de T = 0.2s para una frecuencia de Nyquist de 5π.
Para este perı́odo de muestreo, la función de transferencia de pulsos con retenedor de orden
cero es:
0.105(z + 0.488)
Gd (z) = ; (9.104)
(z − 0.819)(z − 0.135)
nótese la aparicion del cero de muestreo en z = −0.488.
Usando la función de transferencia discreta (3.14) para la acción integral se tiene:
0.2(z + 1)
Gc (z) = . (9.105)
z−1
La figura 9.60 muestra los diagramas de Bode para la función de transferencia de pulsos
sinusoidal de red abierta del sistema de control digital.
50
Magnitud (dB)
0
System: G
−100
−90
−135
Fase (deg)
−180 System: G
Delay Margin (samples): 1.75
−270
−1 0 1 2
10 10 10 10
0.021(z+1)(z+0.488)
Figura 9.60: Diagramas de Bode de G(z) = (z−1)(z−0.819)(z−0.135) .

Los márgenes de ganancia y de fase disminuyen con relación a los del sistema de tiempo
continuo en la figura 9.28. La frecuencia de ganancia crı́tica por ser suficientemente baja con
relación a la de Nyquist se mantiene igual pues los cambios en la magnitud no son grandes, no
ası́ la de fase crı́tica que disminuye por el mayor atraso de fase del sistema de control digital.
La figura 9.61 muestra las magnitudes de las respuestas de frecuencia de la función de
sensibilidad y sensibilidad complementaria, para el sistema continuo y el digital. Se observa la
3
Sd
Sc
2.5 Td
Tc
2
Magnitud (abs)
1.5
0.5
0
−1 0 1 2
10 10 10 10
Figura 9.61: Diagramas de magnitud de Bode continuos y discretos de S y T , ejemplo 9.31.
pérdida de desempeño y robustez del sistema digital al aumentar los máximos Smax y Tmax .
Las frecuencias de resonancia y los anchos de banda se mantienen prácticamente inalterados.
△
9.7.4. Transformada bilineal

En el ejemplo 3.6 se aproximó la integración continua 1/s por la función de transferencia
discreta (3.14):
1 T z+1
≈
s′ 2 z−1
de donde:
1 + s′ T /2
z = esT ≈ . (9.106)
1 − s′ T /2

La transformación (9.106) se conoce como la transformada bilineal o la aproximación de Tustin;

el plano al que lleva la transformación se denomina s′ = w:

2 z−1
w= , (9.107)
T z+1
donde la respuesta de frecuencia de GH(jw) es racional en w.

Las principales propiedades de esta transformación son:
Los diagramas de Bode de las respuestas de frecuencia en el plano W tienen las mismas
propiedades gráficas de los diagramas para G(jω) del plano S; como se observó, la res-
puesta de frecuencia en el plano Z no es racional en ω por lo que no tiende a ası́ntotas
rectas; sinembargo, para las herramientas gráficas disponibles hoy en dı́a esto ya no es
una limitación; para quien tenga destrezas en el análisis y diseño de sistemas de control
en la frecuencia continua, el uso de la transformada bilineal es una opción.
La figura 9.7.4 muestra la transformación de la banda primaria definida en la sección
5.11.2 del plano S al plano W . La banda primaria en el plano S se transforma al interior
J ws bT
2
b 2 z+1
z = esT W = T z−1
b c a c a
d − T2
∞←c Plano W
d d
ws ↓
Plano S −J 2 Plano Z ∞
W
Figura 9.62: Transformación de la banda primaria del plano S al plano W .
del cı́rculo unitario en el plano Z; éste a su vez se traslada a todo el semiplano izquierdo
del plano W . Nótese que el origen del plano Z se traslada al punto w = −2/T en el plano
W ; igualmente se observa que cuando s varı́a de cero a jωs /2 sobre el eje complejo, z
varı́a de 1 a −1 a lo largo del cı́rculo unitario del plano Z y w varı́a de cero a infinito a
lo largo del eje imaginario del plano W .
Aunque los planos S y W se parecen geométricamente, existe distorsión entre ellos; la
relación entre la frecuencia de tiempo continuo ω y la frecuencia w se obtiene de la trans-
formación inversa:
2 [z − 1] 2 esT − 1 2 sT
w = = = tan ;
T [z + 1] T esT + 1 T 2
con s = jω, la expresión anterior da la frecuencia compleja en w: Im[w] = v en función

de la frecuencia continua ω:
2 ωT
v= tan . (9.108)
T 2

La ecuación (9.108), relaciona la frecuencia análoga ω a la ficticia v y define la distorsión

entre estas frecuencias; por ejemplo, un ancho de banda análogo ωT b se traslada al plano
W a un ancho de banda vT b = T2 tan[ ωT2b T ].
El factor de escala 2/T usado en la transformada w = T2 [z−1]

[z+1] mantiene las mismas cons-
tantes de error de G(s) en G(w). En efecto, si ωT es pequeño en (9.108): tan ωT ωT
2 ≈ 2 , lue-
go v ≈ ω y en baja frecuencia las respuestas frecuenciales se aproximan: G(jω) ≈ G(jv),
teniendo el mismo desempeño estacionario.
En general si:
bo z m + b1 z m−1 + . . . + bm
G(z) = m < n
z n + a1 z n−1 + . . . . + an
1 + T /2 w
y se aplica la transformación: z = 1 − T /2 w , entonces la forma de G(w) es:
β0 wn + β1 wn−1 + . . . + βn
G(w) = .
α0 wn + α1 wn−1 + . . . + αn
Luego los grados de los polinomios del numerador y denominador de G(w) pueden ser
diferentes a los de G(z); en general el comportamiento en alta frecuencia de G(s) y G(w)
no es el mismo; como el grado relativo de G(z) es siempre uno (ver sección 5.11.4) en
G(w) aparece un cero de fase no mı́nima en: w = 2/T correspondiendo al polo de la
transformación (9.106); con perı́odos de muestreo grandes, el cero estará más cerca de wg
generando un retraso de fase importante que disminuirá la estabilidad del sistema.
Ejemplo 9.32
Se analiza la respuesta de frecuencia en W del sistema del ejemplo 9.31; de (9.104) y (9.105)
la función de transferencia discreta es:
0.021(z + 1)(z + 0.488)
G(z) = .
(z − 1)(z − 0.819)(z − 0.135)
El paso del plano Z al plano W lo realiza el comando ‘d2c’ (de discreto a continuo) con el
método tustin:
>> s=zpk(’s’);Gp=1/((s+1)*(0.1*s+1));
>> z=zpk(’z’,0.2);Gc=0.2*(z+1)/(z-1);G=Gd*Gc;
>> Gw=d2c(G,’tustin’)
Zero/pole/gain:
-0.052241 (s+29.06) (s-10)
--------------------------
s (s+0.9967) (s+7.616)
La función G(s):
2
G(s) =
s(s + 1)(0.1s + 1)
tiene la integración, el polo en s = −1, el polo rápido en s = −10 y una constante de error de
velocidad: KV = 2; en el plano W , la función G(w):
2(0.034w + 1)(−0.1w + 1)
G(w) =
w(1.003w + 1)(0.131w + 1)

tiene el integrador, el polo en -1 pasa a −0.9967, el polo rápido sufre una mayor distorsión y
pasa a w = −7.616 y la constante de error de velocidad en la misma de G(s); hay además dos
ceros asociados al muestreo y la retención; el cero de muestreo en z = −0.488 va a uno muy
lejano en w = −29.06 y el otro cero es el de fase no mı́nima generado con la transformación
bilineal en w = 2/T = 10. Note que el cero en z = −1 va al infinito en G(w).
50
G(s)
G(w)
Magnitud (dB)
0
System: Gw
−100
−90
−135
Fase (deg)
−180 System: Gw
−225
Closed Loop Stable? Yes
−270
−315
−2 −1 0 1 2
10 10 10 10 10
2 2(0.034w+1)(−0.1w+1)
Figura 9.63: Diagramas de Bode de G(s) = s(s+1)(0.1s+1) y G(w) = w(1.003w+1)(0.131w+1) .
La figura 9.63 muestra los diagramas de Bode de G(jω) y G(jv); nótese la cercanı́a de
las curvas en baja frecuencia; las curvas para G(jv) tienden a ası́ntotas rectas; se observa
igualmente que los márgenes de estabilidad relativa son prácticamente iguales a los obtenidos
con los diagramas de Bode para G(z), ver la figura 9.60. △
9.7.5. Limitaciones en la respuesta frecuencial para sistemas de con-

trol digitales
Las limitaciones planteadas en la sección 9.5 para el desempeño alcanzable en frecuencia
de sistemas de control continuos, se pueden extrapolar directamente a los sistemas de control
digitales.
Como ilustración de lo anterior, se considera la versión de la integral de Bode (9.77) en
tiempo discreto para un sistema de control digital estable con función de transferencia nominal
de red abierta GH(z), con Np polos inestables en p1 , p2 , . . . pNp ; la función de sensibilidad S(z)

satisface:
Z π Np
X
jω
ln |S(e )|dω = π ln|pi |. (9.109)
0 i=1
Las ecuaciones (9.77) y (9.109) son muy similares la principal diferencia es el intervalo finito
para la integral en tiempo discreto; ası́, la compensación de áreas por debajo y arriba de 0db
debe realizarse hasta la frecuencia de Nyquist. Nótese igualmente que la presencia de polos
inestables rápidos de red abierta fuerza tener valores grandes mayores de uno de la función de
sensibilidad.
Ejemplo 9.33
1
Se considera el sistema de control de posición con función de transferencia: G(s) = s(s+1) ;
se discretiza con retenedor de orden cero y perı́odos de muestreo T = 1, 2, 3, y 3.9. La figura
9.64 muestra las diferentes funciones de sensibilidad obtenidas; en la medida que el perı́odo
de muestreo aumenta, la frecuencia de Nyquist disminuye y la integral (9.109) debe cumplirse
en un intervalo de frecuencia más pequeño; esto fuerza el tener valores máximos Smax más
elevados; igualmente se observa un aumento de la magnitud en la frecuencia de Nyquist. △
50
40
T=3.9
30
20 T=3
T=2
Magnitud (dB)
10
T=1
0
−10
−20
−30
−40
−50
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Figura 9.64: Diagramas de magnitud de la función de sensibilidad con diferentes T .
Las cotas obtenidas para plantas con polos y ceros en el semiplano derecho, aplican con su
correspondiente transformación al plano Z:
zz , pz = e(z,p)T .

Recuérdese además tener en cuenta la aparición de ceros de fase no mı́nima por el muestreo
y la retención. Anchos de banda mı́nimos para estabilizar plantas con polos inestables exigen
frecuencias de muestreo mı́nimas; en M.M. Seron and Goodwin [1997] se concluye que obtener
una función de sensibilidad para la componente
√ fundamental menor de: Smax < 2 exige tener
perı́odos de muestreo menores a: T < 3π/p. Se deben igualmente evitar las oscilaciones
ocultas analizadas en la sección 5.11.4.2; se tendrá una pobre sensibilidad si la frecuencia de
oscilación de los polos inestables es un múltiplo entero de la frecuencia de Nyquist. Las cotas
considerando sistemas con tiempo muerto son válidas siempre y cuando el perı́odo de muestreo
sea muy pequeño; el control solo en los instantes de muestreo degrada el desempeño con relación
al del sistema de tiempo continuo, por lo que estas cotas darán desempeños menores en tiempo
discreto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 9.34
La figura 9.65 muestra los diagramas de Bode para la discretización del sistema:
ke−s
GH(s) = ,
s+1
analizado en el ejemplo 9.27, utilizando un retenedor de orden cero y un perı́odo de muestreo
de T = 0.2s.
10
k=2.24; MG=−0.5
Magnitud (dB)
k=1.42; MG=3.4
−10
k=1.12; MG=5.5
−20
0
−45 ωg=0.5; MF=121º
ω =1; MF=70.7º
Fase (deg)
−90
g
−135 ωg=2; MF=−11.5º
−180
−225
−270
−1 0 1
10 10 10
Figura 9.65: Diagramas de bode para el sistema del ejemplo 9.27 en tiempo discreto.
La discretización degrada un poco los márgenes de estabilidad, pero su disminución es de

solo 6.3o en la frecuencia lı́mite: ωg = 1/Tm = 1; en ωg = 2 la fase se atrasa 13.2o con relación
al sistema continuo y el sistema es inestable. △

9.8. RESUMEN
9.8. Resumen
Esta unidad se dedicó al análisis de la respuesta de frecuencia de los sistemas de control.
Esta respuesta es la del sistema en estado estable a una entrada sinusoidal, con distintos valores
de la frecuencia de oscilación; la salida es también una sinusoide de la misma frecuencia pe-
ro con diferente magnitud y fase; esta respuesta se relaciona directamente con la función de
transferencia del sistema G(s) por:
Y

G(s) = G(jω) = (ω) ejφ(ω) = U (jω) + jV (jω)
s=jω X
Y
donde X (ω) es la relación de la magnitud de la sinusoide de salida Y a la de entrada X y φ(ω)
el ángulo de desfase entre las sinusoides de entrada y salida; tanto la relación de magnitudes
como el desfase, dependen de la frecuencia de la señal de entrada. Por esta relación, la res-
puesta de frecuencia permite obtener experimentalmente el modelo matemático en función de
transferencia del sistema.
Existen diversas gráficas de la respuesta de frecuencia; la gráfica de Nyquist es el trazo de
U (jω) vs V (jω), siendo la frecuencia ω un parámetro de la gráfica; en ella el vector trazado
desde el punto crı́tico hasta la gráfica de Nyquist tiene magnitud igual al inverso de la magnitud
de la función sensibilidad: |1 + GH(jω)|, lo que permite analizar caracterı́sticas de estabilidad
y desempeño del sistema en red cerrada a partir de la respuesta de frecuencia de red abierta.
Los diagramas de Bode son dos gráficos, la magnitud (en decibeles) y la fase versus el logaritmo
en base 10 de la frecuencia; estos gráficos tienen las propiedades de tender a ası́ntotas rectas,
permitir la adición de polos o ceros mediante la suma de los gráficos de cada término y poder
trazar el recı́proco de un término, cambiándole su signo. La carta de Nichols es el trazo de
la magnitud en decibeles versus la fase, sobre las curvas de magnitud y fase constantes de red
cerrada, permitiendo obtener caracterı́sticas de la respuesta de frecuencia de red cerrada a partir
del gráfico de red abierta.
Los sistemas de fase fase mı́nima tienen una relación unı́voca entre sus curvas de magnitud
y fase, cumpliendo la relación (9.15) de la página 434; los polos y ceros en el semiplano derecho
son de fase no mı́nima; los ceros de fase mı́nima generan adelanto de fase (estabilizante) y los
de fase no mı́nima, atraso de fase (desestabilizador); el tiempo muerto Tm también es de fase
no mı́nima, no cambia la magnitud pero adiciona un retardo de fase de Tm ω o .
El criterio de estabilidad de Nyquist permite conocer la estabilidad del sistema realimentado
a partir del análisis de los rodeos de la curva de respuesta de frecuencia de red abierta al punto
crı́tico (-1,0) en el plano de GH(jω); esto permite diseñar el controlador para asegurar la
estabilidad del sistema realimentado e igualmente analizar el desempeño en términos de la
cercanı́a de la curva de Nyquist al punto crı́tico.
En el capı́tulo también se analizaron las principales caracterı́sticas de desempeño en fre-
cuencia de un sistema de control; los márgenes de estabilidad relativa: ganancia, fase, retardo y
módulo, definen la cercanı́a de la curva de Nyquist al punto crı́tico; los valores máximos de las
curvas de magnitud para las funciones de sensibilidad permiten medir la estabilidad y el desem-
peño del sistema para diferentes entradas y salidas; las frecuencias de ancho de banda y las
pendientes de las curvas de magnitud en ellas de las funciones de sensibilidad, permiten definir
hasta dónde responde el sistema, bien sea para el rechazo a los disturbios o evitar amplificar el
ruido de medición.

9.8. RESUMEN
El comportamiento de las curvas de magnitud de las funciones de sensibilidad tiene tres

zonas bien diferenciadas: baja, media y alta con relación a la frecuencia de ganancia crı́tica ωg .
Tabla 9.2: Comportamiento en baja y alta frecuencia de las funciones de sensibilidad.
Función Baja ω Alta ω

1
|T (jω)| 1 |GH(jω)| → 0
1
|S(jω)| |GH(jω)| → 0 1
1
|Se (jω)| |Gc (jω)| |Gp (jω)|
1
|Ss (jω)| |Gp (jω)| |Gc (jω)|
La tabla 9.2 muestra el comportamiento en baja y alta frecuencia de las funciones de sensi-
bilidad: |T (jω)|, |S(ω)|, |Se (ω)| y |Ss (ω)|. En baja frecuencia hay el comportamiento definido
por el control mientras que en alta frecuencia el control no actúa y la respuesta es la de lazo
abierto. En la zona media alrededor de ωg , se define la estabilidad y robustez del sistema; en
lazo abierto, ello impone lı́mites en la pendiende de la curva de magnitud.
Otra ventaja del análisis por respuesta de frecuencia son las herramientas para obtener y
analizar las respuestas de frecuencia de los sistemas inciertos; las incertidumbres multiplicativas
no estructuradas generan un cı́rculo de incertidumbre centrado en la curva de respuesta de
frecuencia en el diagrama de Nyquist, con radio igual a la magnitud de la función de peso de la
incertidumbre; la estabilidad robusta se asegura si el cı́rculo de incertidumbre no toca el punto
crı́tico, lo que lleva a la condición (9.26). Para el desempeño robusto, no debe traslaparse con el
disco de peso de la función sensibilidad, de radio |WS (jω)| centrado en el punto crı́tico (-1,0),
llevando a la condición (9.74) de la página 485.
Una desventaja del análisis frecuencial es que no tiene relación directa con la respuesta
transitoria del sistema; para los sistemas de primer y segundo orden las caracterı́sticas de la
respuesta de frecuencia y del tiempo están bien definidas analı́ticamente lo que permite una
correlación entre estos dominios: el margen de fase M F con el coeficiente de amortiguamiento
ρ ≈ M F/100, los máximos Smax y Tmax están asociados con el sobrepaso y los anchos de banda
ωg , ωT b , ωSb son inversamente proporcionales al tiempo de subida.
El tipo de sistema se obtiene analizando la pendiente de la curva en baja frecuencia y
las constantes de error se calculan de la intersección de la ası́ntota de baja frecuencia o su
prolongación con la recta ω = 1, por lo que la respuesta permanente se puede calcular a partir
de la respuesta de frecuencia.
Para un desempeño adecuado se utilizan las siguientes cotas en las caracterı́sticas analizadas:
1
M G ≥ 6db, M F ≥ 30o , M M ≥ −6db, −20 ≤ Rω (ωg ) ≤ −100/3 [db/dec], |S(jω)| < |Gd (jω)| , ∀ω
1
(rechazo disturbio de salida), |S(jω)| < R , ∀ω ≤ ωR (seguimiento de referencia), Tmax ≤ 2db,
1
|Se (jω)| < |Gd (jω)| , ∀ω (rechazo disturbio de entrada) y las cotas (9.69), (9.70) y (9.71) en la
página 482 para respetar el máximo de la señal de control dependiendo de la entrada. Los anchos
de banda ωg , ωSb y ωT b deben definirse dependiendo de la velocidad requerida del sistema en
red cerrada, la banda de frecuencia deseada para rechazar el disturbio y las frecuencias del
ruido.

La respuesta de frecuencia de un sistema de control estable en red cerrada tiene limitaciones

fundamentales que acotan el desempeño alcanzable por el sistema. Las integrales de Bode (9.77)
y (9.78) para la función de sensibilidad S son finitas, lo que implica que independientemente
del método de diseño utilizado, si se disminuye la magnitud de la función de sensibilidad en
una cierta banda de frecuencias, se incrementará en otra banda de frecuencias. Los sistemas
con grado relativo uno tienen esta integral negativa por lo que no es forzoso tener un máximo
en la función de sensibilidad como es el caso para los sistemas de grado relativo igual o superior
a dos; los polos inestables de red abierta aportan valor positivo a la integral proporcional a su
magnitud, por lo que tendrán valores más altos de Smax entre más rápidos son. La integral de
Bode (9.79) para la función de sensibilidad complementaria T (s) no exige un pico en |T (jω)|
para los sistemas sin tiempo muerto ni ceros de fase no mı́nima en red abierta; estos ceros
aportan valores positivos a la integral inversamente con su magnitud, por lo que exigiran valores
altos en Tmax entre más lentos sean.
El tiempo muerto genera la limitación en ancho de banda: ωg ≤ 1/Tm ; un cero de fase no
mı́nimima en s = z de ωg < z/2; estos sistemas de fase no mı́nima limitan al máximo ancho
de banda alcanzable por el sistema de control. Para estabilizar un sistema de control de red
abierta con el polo inestable s = p, se requiere al menos tener el ancho de banda: ωg > 5p, luego
estos polos imponen mı́nimos anchos de banda para el sistema de control. El atraso de fase del
proceso exige anchos de bandas máximos menores que la frecuencia de fase crı́tica del proceso:
ωg < ωπp .
La respuesta de frecuencia de los sistemas discretos o digitales se obtiene evaluando z = ejωT ;
esta respuesta es periódica y por su simetrı́a solo se requiere obtenerla hasta la frecuencia de
Nyquist π/T ; para frecuencias proporcionales a la de Nyquist, la respuesta depende del ángulo
de desfase entre la sinusoide de entrada y los instantes de muestreo. Los diagramas de Bode en
el plano Z no tienden a ası́ntotas rectas; con la transformada bilineal se recobra esta propiedad
en el plano W .
Las caracterı́sticas de desempeño y estabilidad para los sistemas de control continuo se ex-
tienden directamente a los digitales cambiando GH(jω) por GH(ejω ). Para las especificaciones
de desempeño se debe considerar que en tiempo discreto la respuesta de frecuencia está acotada
hasta la frecuencia de Nyquist π/T por lo que los anchos de banda no deben acercarse a más
de 0.8π/T . Las limitaciones de desempeño igualmente se extrapolan directamente de las de
tiempo continuo, obteniéndose las integrales de Bode acotadas en un intervalo de frecuencia
finito. Los lı́mites por polos y ceros en el semiplano derecho del plano S aplican para los polos y
ceros fuera del cı́rculo de radio unidad en el plano Z; para el tiempo muerto, debe considerarse
en las cotas que habrá retardo adicional por la discretización.
Para la selección del perı́odo de muestreo en el dominio de la frecuencia, se considera una
frecuencia de muestreo apropiada entre 10 a 30 veces la frecuencia de ancho de banda del sistema
en red cerrada.

El análisis por respuesta de frecuencia fue primero introducido por Fourier Fourier [1807]
investigando la conducción de calor en sólidos; esta técnica se encuentra en los libros de texto
clásicos como Kuo [1996], Ogata [1998] y Dorf and Bishop [2005]; el criterio de Nyquist fue
primero publicado en Nyquist [1932], recientemente republicado en la colección de artı́culos

semilla de la teorı́a de control editados por T.Basar [2001]. Bode usó la teorı́a de variable
compleja en su libro Bode [1945] en donde quedaron las bases del análisis en respuesta de
frecuencia.
Los lı́mites fundamentales en la respuesta de frecuencia dados aplican para sistemas de tiem-
po discreto; para los sistemas de datos muestreados estos requisitos son condiciones necesarias
mas no suficientes pues solo garantizan el comportamiento en los instantes de muestreo; en el
capı́tulo 6 de M.M. Seron and Goodwin [1997] se analizan en detalle las restricciones para estos
sistemas incluyendo el comportamiento entre muetreos.
La interface gráfica del MATLAB para análisis de sistemas de una entrada una salida:
‘sisotool’ permite obtener las diferentes respuestas de frecuencia para la función de red abierta
y las diferentes funciones de sensibilidad, ajustándose en lı́nea ante la variación de la ganancia
o la posición de polos o ceros del controlador, lo que permite ganar fácilmente familiaridad con
el análisis de los sistemas de control mediante la respuesta de frecuencia.

Ejercicio 9.1
Se considera el péndulo del ejercicio 2.3; mediante una viela convierta un movimiento circular
uniforme en uno traslacional horizontal; excite el péndulo con diferentes frecuencias como se
hizo para la lúdica 9.1; analice el comportamiento de la respuesta de frecuencia del péndulo.
Ejercicio 9.2
El puente Tacoma Narrows en los EEUU se destruyó solo 4 meses después de puesto al
servicio en 1940; es un caso famoso del comportamiento frecuencial de un sistema; investigue lo
sucedido y su relación con las caracterı́sticas de respuesta de frecuencia dadas en este capı́tulo.
Ejercicio 9.3
Un sistema mecánico rotacional desvalanceado genera torques oscilatorios de perturbación
en el eje con componente fundamental proporcional a la velocidad; analice la respuesta durante
la acelaración en rampa de velocidad de un sistema rotacional desvalanceado con dos inercias
acopladas a través de un eje con torsión; aparte del mantenimiento adecuado, ¿qué precaución
debe tenerse en la operación de este sistema?
Ejercicio 9.4
Se considera el péndulo invertido en la mano del ejemplo 1.3; intente equilibrar la barra
observando su extremo superior, el centro y la mano. Analice la estabilidad y el desempeño
logrado en caso.

Ejercicio 9.5
Los siguientes datos se obtuvieron experimentalmente en una prueba de respuesta de fre-
cuencia para un sistema de control en red abierta.
La ganancia del sistema durante los experimentos fue la nominal.
1. Obtenga la función de transferencia de red abierta para el sistema.

Tabla 9.3: Datos de la respuesta de frecuencia del ejercicio 9.5.
Frecuencia [rad/s] Y/X [db] Fase [o ]

0.01 40 -90
0.1 19 -87
1 3 -65
2 0 -66
10 -12 -133
20 -22 -182
100 -60 -245
1000 -120 -270
2. Calcule los márgenes de ganancia, fase, módulo y retardo nominales.

3. Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener un margen de ganancia
de 10db.
4. Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener un margen de fase de 50o .
5. Calcule el error permanente para una entrada rampa unitaria en la referencia.
Ejercicio 9.6
En los ejercicios 1.13, 2.13 y 5.13 se analizó el sistema de control de velocidad de un vehı́culo;
el modelo es: 1
Va (s) = V1 (s) − T1 (s) ,
20s + 1
4s + 1
V1 (s) = X(s) − Va (s) .
s
Trace los diagramas de Bode de red abierta para el sistema y calcule los márgenes de ganancia
y de fase. Trace los diagramas de magnitud para las cuatro funciones de sensibilidad y calcule
los anchos de banda, las máximas ganancias y las frecuencias de los máximos para cada una
de ellas. ¿Cuál es la máxima ganancia entre el disturbio T1 (s) y la salida? ¿Cuál es la máxima
ganancia para la señal de control?
Ejercicio 9.7
Para el sistema:
1
zs +1
G(s) = 2 ,
(s + 1)2
obtenga las respuestas de frecuencia de red abierta para z = 10, 2, 0.5, −1, −2; analice el efecto
del cero con respecto a los márgenes de estabilidad, los anchos de banda: ωSb y ωT b y los
máximos: Smax y Tmax .
Ejercicio 9.8
Para el tiempo muerto: G(s) = e−Tm s analice la aproximación de primer orden de Padé:
Ga (s) ≈ 1−sT m /2
1+sTm /2 mediante sus curvas de respuesta de frecuencia hasta ω < 1/Tm .

Ejercicio 9.9
Calcule la ganancia crı́tica kc para la cual el sistema es marginalmente estable y la frecuencia
de la oscilación ωo a partir del corte de la gráfica de Nyquist con el eje real, para los sistemas
con función de transferencia de red abierta:
1.
k
G(s) = .
s(1 + T s)2
2.
k(1 + 10T s)
G(s) = .
s2 (1 + T s)2
3.
k
G(s) = .
(1 + T s)3
4.
ke−Tm s
G(s) = .
s
Ejercicio 9.10
Para cada una de las siguientes funciones de transferencia de red abierta, trace las gráficas
de Nyquist y analice la estabilidad del sistema realimentado.
1.
1
G(s) = .
s(s + 1)(s + 5)
2.
1
G(s) = .
s2 (s + 1)(s + 5)
3.
2
G(s) = .
(s + 1)4
4.
1
G(s) = .
s(s − 1)(s + 5)
5.
s − 0.5
G(s) = .
(s2 + 4)(s + 1)
6.
e−s
G(s) = .
s(s + 1)

Ejercicio 9.11
Para el sistema de control con función de transferencia de red abierta:
2
G(s) = ,
s(0.5s + 1)(0.1s + 1)
trace los diagramas de Bode y analice los márgenes de ganancia y de fase; evalúe una correlación
tiempo-frecuencia para el comportamiento del sistema en red cerrada.
Ejercicio 9.12
Para el control de posición de una planta sin fricción con modelo:
1
Gp (s) = ,
s2
se desea controlar con tiempos de estabilización a referencias escalón menores de 10s, margen de
ganancia mayor a 6db, margen de fase mayor a 30o , margen de módulo superior a 6db y errores
de seguimiento menores de 0.1 hasta frecuencias de 0.2rad/s; la señal de control se satura en:
−5 ≤ u(t) ≤ 5. Para ello se utiliza el controlador PD:
5(s + 1)
Gc (s) = . (9.110)
(s + 5)
Analice las respuestas de frecuencia del sistema y evalúe si cumple las especificaciones dadas.
Ejercicio 9.13
En el ejercicio 5.22 se analizó en el dominio del tiempo, la dificultad de controlar la planta:
4(s − a)
G(s) = , a > 0,
(s + a)(s − 4a)
usando un controlador serie con acción integral. Mediante el análisis de la respuesta de frecuencia
analice la dificultad de controlar este sistema; estime una cota mı́nima para el máximo de la
función de sensibilidad.
Ejercicio 9.14
Analice con la respuesta de frecuenica, la dificultad de controlar el sistema:
−s + 4
Gp (s) = ;
(−s + 1)(s + 2)
estime una cota mı́nima para el máximo de la función de sensibilidad.
Ejercicio 9.15
El sistema doble integrador del ejercicio 9.12 discretizado con retenedor de orden cero y
perı́odo de muetreo de T = 0.2s es:
0.02(z + 1)
Gp (z) = ,
(z − 1)2

se controla con la discretización del controlador continuo (9.110) por mapeo polo cero, dando
el controlador discreto:
3.487(z − 0.819)
Gc (z) = .
z − 0.368
Analice y compare las respuestas frecuenciales de los sistemas de control continuos y discretos;
evalúe si el sistema de tiempo discreto cumple las especificaciones dadas.
Ejercicio 9.16
Analice el sistema del ejercicio 9.15 en el plano W ; compare los diagramas de Bode de red
abierta con los obtenidos en el ejercicio 9.12.
Ejercicio 9.17
Para el antiplegamiento de frecuencia del sistema doble integrador analizado en el ejercicio
9.15, se diseña el filtro Bessel de segundo orden con frecuencia de corte de ω0 = 5rad/s:
75
Gf (s) = .
s2 + 15s + 75
Analice la respuesta frecuencial del sistema en tiempo discreto con el filtro y compárela con la
obtenida en los ejercicios 9.12 y 9.15; evalue si el sistema de tiempo discreto cumple las especi-
ficaciones dadas; de no hacerlo reajuste el controlador para este propósito. Analice la magnitud
de las respuestas frecuenciales con y sin filtro, para un ruido senoidal en la realimentación con
frecuencia de 10rad/s.
Ejercicio 9.18
1
G(s) =
s2 +1
se controla con:
10(z 2 − 1.85z + 0.866)
Gc (z) = ,
z(z − 1)
con perı́odo de muestreo de T = 0.2s; se desea que la respuesta de frecuencia del sistema
responda con: M F ≥ 40o , M G ≥ 6db M M ≥ 6db, Tmax ≤ 1.5; el máximo de la señal de
control es de ±10; analice si se cumplen las especificaciones en el plano W ; verifique si la
respuesta en el tiempo de red cerrada responde a escalores en la referencia con sobrepasos
menores del 15 % y tiempos de estabilización menores de 10s.
Ejercicio 9.19 (I)
En el ejemplo 2.27 se analizó el sistema dinámico incierto:
k
G(s) = (1 + W1 (s)∆(s))
τs + 1
1.1s
con ganancia nominal k = 5, variando entre 4.5 y 5.5, τ = 1 ± 20 % y W1 (s) = s+1 . El sistema
0.01(s+5)
se controla con el PI: Gc (s) = s .
1. Obtenga la función de peso W (s) para el modelo con incertidumbre multiplicativa no
estructurada:
5
G(s) = (1 + W (s)∆(s)) .
s+1

2. Trace los diagramas de Bode de red abierta. ¿Cuál es el peor margen para las muestras
dadas?
3. Calcule y trace los diagramas de magnitud para la función de sensibilidad nominal y la

peor función de sensibilidad.
4. Analice la estabilidad robusta del sistema: |Tm (jω)W (jω)| < 1. Calcule el margen de
estabilidad robusta del sistema.
5. Analice el desempeño robusto del sistema para la función de peso:
0.5s + 0.1
WS (s) = .
s + 0.1 × 0.1
Ejercicio 9.20
Se considera el sistema de control de la figura 9.66.
Figura 9.66: sistema de control
Para este sistema con k = 2, en las figuras 9.67 y 9.68 se muestran los diagramas de bode
de G(jω) y la carta de Nichols.

Bode Diagram
40
20
0
Magnitude (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
−90
−135
−180
−225
Phase (deg)
−270
−315
−360
−405
−450 −1 0 1 2
10 10 10 10
Frequency (rad/sec)
Figura 9.67: Diagrama de bode para el ejercicio 9.20.
Nichols Chart
0 dB
30 0.25 dB
0.5 dB
ω=0.1
20
1 dB
−1 dB
ω=0.2
Open−Loop Gain (dB)
3 dB
10
ω=0.4
−3 dB
6 dB
ω=1
0 −6 dB
ω=2
−12 dB
−10
ω=3
ω=4
ω=6
−20 dB
−20
−225 −180 −135 −90 −45 0
Open−Loop Phase (deg)
Figura 9.68: Diagrama de Nichols para el ejercicio 9.20.

A partir de los gráficos, calcule y/o estime:
1. Los márgenes de ganancia y fase.

2. La magnitud pico de frecuencia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda en red
cerrada.
3. Los errores permanentes de posición y velocidad.
4. La forma de onda de la salida en estado estable c(t) para r(t) = sen2t.
5. La forma de onda del error e(t) en estado estable para para una entrada sinusoidal r(t) =
sen2t.
6. El valor de k para que el sistema tenga un margen de ganancia M G = 10db.
7. El valor de k para que el sistema tenga un margen de fase de M F = 45o .
8. El valor de k para que el sistema tenga un ancho de banda de 1 rad/seg.
9. El valor de k para que el sistema sea marginalmente estable. ¿Cuál es la frecuencia de la

oscilación sostenida?
10. El valor máximo del tiempo muerto en la trayectoria directa, para que el sistema perma-
nezca estable.
11. El modelo del sistema en su función de transferencia continua: G(s).
Ejercicio 9.21
Para el sistema de la figura 9.66 con k = 1, las figuras 9.69 y 9.70 muestran los diagramas
de bode de G(jω) y la carta de Nichols.
Para las siguientes preguntas, marque LA opción que considere correcta.
1. El margen de ganancia en db es
A. −3.
B. 40.
C. 57.
D. 75.

Figura 9.69: Diagrama de bode para el ejercicio 9.21.
Figura 9.70: Diagrama de Nichols para el ejercicio 9.21.

2. El margen de fase en grados del sistema es
A. 43.
B. 79.
C. −8.
D. −13.
3. La magnitud pico de frecuencia de red cerrada en db es
A. 40.
B. 3.
C. 6.
D. −3.
4. La frecuencia de resonancia [rad/seg] del sistema en red cerrada es
A. 1.
B. 13.
C. 3.
D. 220.
5. El ancho de banda [rad/seg] es
A. 0.8.
B. 22.
C. 1.
D. 13.
6. El error permanente, para una entrada de referencia rampa unitaria es
A. 26.
B. 0.04.
C. 0.56.
D. 1.0.
7. El valor de k para obtener un margen de ganancia de 20db es
A. 10.
B. 662.
C. 0.07.
D. 71.
8. El valor de k para que el sistema tenga un margen de fase de 40o y responda lo más rápido
posible es

A. 126.
B. 32.
C. 1.1.
D. 0.2.
9. La magnitud pico de c(t) en régimen sinusoidal estacionario, si r(t) = 0 y d(t) = sen7t es
A. 1.1.
B. 3.2.
C. 0.35.
D. 10.
10. La función de transferencia de lazo abierto se puede representar por
k
A. G(s) = s(s2 +bs+c) , b2 < 4c.
k(as+1)
B. G(s) = (s2 +bs+c)2 , b2 < 4c.
k
C. G(s) = s(bs+1)2 .
k(as+1)
D. G(s) = s(bs+1)(cs+1)(ds+1) .

1. Diseñe e implemente el experimento para obtener los datos de la respuesta de frecuencia
nominal de tiempo continuo (o discreta si es del caso) para el sistema de control en
red abierta con ganancia proporcional kp = 1; si se requiere, incluya la dinámica del
controlador completo. Obtenga la función de transferencia nominal de red abierta, valide
el modelo obtenido y explique posibles diferencias. Compare los resultados obtenidos con
los resultados previos de modelado; explique posibles diferencias.
a) Calcule los márgenes de ganancia, fase, módulo y retardo nominales.
b) Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener un margen de ganancia
de 10db.
c) Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener un margen de fase
de 60o .
d ) Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener una Tmax = 2db.
e) Calcule en cuánto debe cambiarse la ganancia si se desea tener un 50 % más de ancho
de banda ωT b .
f ) Calcule el error permanente para una entrada de referencia unitaria con tantas inte-
graciones como tipo sea el sistema.
2. Analice las limitaciones estructurales en el desempeño de la respuesta en frecuencia (con-
tinua o discreta) del sistema de control. Estime una cota mı́nima para el máximo de la
función de sensibilidad.

3. Defina especificaciones deseadas de desempeño para la respuesta de frecuencia del sistema

de control, tanto para los diagramas de Bode de la función de transferencia sinusoidal de
red abierta como para los diagramas de magnitud para las cuatro funciones de sensibilidad.
4. Seleccione un perı́odo de muestreo apartir de las especificaciones deseadas para la respues-

ta de frecuencia del sistema de control; compárelo con el perı́odo de muestreo escogido en
las actividades de proyecto previas.
5. Diseñe filtros de antiplegamiento adecuados para el sistema de control digital.
6. Para el modelo nominal del sistema, ajuste un controlador PID digital con un método de
los vistos en el capı́tulo 6.
7. Analice las respuestas de frecuencia del sistema (red abierta y funciones de sensibilidad)
con el PID del punto anterior; calcule márgenes de estabilidad, anchos de banda, máximas
ganancias, frecuencias de los máximos, error de seguimiento, rechazo de disturbios de
entrada y salida, lı́mites de la señal de control para entradas de referencia y disturbios,
amplificación de ruido de medición, etc.; verifique si se cumplen las especificaciones.
8. Para el anális frecuencial del sistema incierto, realice las siguientes actividades:
a) Obtenga la función de peso W (s) para la incertidumbre multiplicativa no estruc-

turada, a partir del modelado de la incertidumbre realizado en las actividades de
proyecto del capı́tulo 2 y del análisis de la respuesta frecuencial de la función de
transferencia del error multiplicativo.
b) Trace los diagramas de Bode de red abierta. Calcule el peor margen para las muestras
dadas.
c) Calcule y trace los diagramas de magnitud para la función de sensibilidad nominal
y la peor función de sensibilidad.
d ) Analice la estabilidad robusta del sistema: |Tm (jω)W (jω)| < 1. Calcule el margen
de estabilidad robusta del sistema.
e) Analice el desempeño robusto del sistema.

Capı́tulo 10
Diseño en representación de
entrada-salida
10.1. Introducción
A lo largo del libro se han estudiado técnicas que permiten analizar el comportamiento
de los sistemas de control realimentados; el objetivo principal de los sistemas de control es
el de disminuir el error del sistema bien sea por cambios del proceso, ruidos o disturbios;
este objetivo se traduce en especificaciones deseadas de desempeño que deben lograrse con un
diseño apropiado; diseñar un sistema de control es por lo tanto encontrar uno que cumpla estas
especificaciones.
En este capı́tulo se analizan diferentes métodos de diseño de sistemas de control; se asume
la planta inalterable y se definen los polos y ceros del controlador que se usan como grados de
libertad para lograr el desempeño deseado. Se analizan inicialmente los aspectos generales del
diseño y se resumen las restricciones estudiadas en los capı́tulos precedentes de análisis; primero
se presenta el método de diseño por sı́ntesis para la asignación de polos con controladores serie
continuos de cualquier orden (en el capı́tulo 6 se estudió la asignación de polos para el PID
continuo); luego se presenta el diseño por análisis con el lugar de las raı́ces y la respuesta de
frecuencia, para controladores serie de bajo orden, continuos o discretos; métodos especı́ficos de
diseño de controladores digitales se tratan luego para controladores de adelanto atraso, PID y
el RST.
Para problemas de control más exigentes en desempeño, se pueden usar sensores adicionales
de variables intermedias o disturbios y generar las acciones de control desde señales diferentes
al error; estas estrategias complementan la del lazo serie y son muy empleadas en la práctica;
se estudiarán finalmente las acciones de control: paralela, directa de referencia y de disturbio y
el control en cascada de varios controladores.
524
10.2. EL MÉTODO DE DISEÑO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
10.2. El método de diseño de los sistemas de control

En la sección 1.4.1 se presentó el procedimiento de diseño de los sistemas de control; usual-
mente se requiere de ciclos, en los cuales se itera a través del modelado, análisis, diseño, simula-
ción, prueba e implementación. El diseño también puede tomar diferentes formas con diferentes
estrategias, no es lo mismo el diseño para un producto de consumo masivo como el posicionador
del láser de un DVD, o el control fino de posición en procesos de manufactura; en el primer caso
el bajo costo de la solución es determinante y debe llevar a soluciones simples; en el segundo,
puede ser más elaborada y está asociada a un análisis de costo-beneficio.
En muchos casos el diseño se desarrolla mediante las siguientes actividades:
1. Se analiza cualitativamente el sistema; se identifican los elementos y señales importantes

del lazo; se establecen objetivos de control.
2. Se modela el sistema; se simplifica el modelo de ser necesario.
3. Se analiza el modelo resultante, se determinan sus propiedades.
4. Se escogen las variables a controlar.
5. Se escogen las variables a medir y a manipular y sus respectivos sensores y actuadores.
6. Se definen unas especificaciones deseadas de desempeño, basadas en los objetivos de con-

trol.
7. Se escoge la estructura del control.
8. Se selecciona el tipo de acción de control a usar: PID, adelanto-atraso, RST, etc. Normal-
mente se buscan los controladores más simples que permitan cumplir las especificaciones.
9. Se diseña el controlador, esto es, se obtienen los parámetros (por análisis o sı́ntesis), que
permiten cumplir las especificaciones.
10. Se analiza el sistema controlado para verificar si cumple las especificaciones; si no se

cumplen, se cambia el tipo de controlador o las especificaciones.
11. Se verifica en simulación digital (y/o en un prototipo), la respuesta en frecuencia y/o la

temporal ante diversas entradas y perturbaciones; se analizan los efectos de dinámicas no
modeladas y alinealidades. Se realizan reajustes.
12. Se repite desde el paso 2 si es necesario. Se realizan reajustes.
13. Se escoge el soporte fı́sico y lógico y se implementa el control obtenido al sistema.
14. Se prueba y valida el sistema, verificando el desempeño temporal y/o frecuencial. Se

reajusta el controlador en lı́nea si es necesario.
Los pasos 1 a 3 y el 6, se han tratado en los capı́tulos anteriores; se vieron herramientas para
analizar el funcionamiento de un sistema de control, buscando determinar sus caracterı́sticas
en el dominio del tiempo y/o de la frecuencia: respuesta transitoria (duracion inicial y total,
máximo y mı́nimo) y permanante (errores estacionarios debidos a diversas entradas o cambios

10.3. RESTRICCIONES PARA EL DISEÑO
en parámetros), márgenes de estabilidad (ganancia, fase, retardo módulo), máximos de las

funciones de sensibilidad, frecuencias de máximos y anchos de bandas.
Diseñar el sistema de control, es encontrar uno que cumpla las especificaciones deseadas
de desempeño definidas en el paso 6; las especificaciones se establecen como valores o rangos
aceptables de las caracterı́sticas de desempeño para los cuales se considera que el comporta-
miento del sistema es apropiado, también se pueden dar en términos de un ı́ndice de desempeño.
En este capı́tulo se tratarán aspectos básicos de la selección de la estructura del control para
sistemas de una entrada una salida y se estudiarán los pasos 8, 9 y 10. Los pasos restantes se
analizaron brevemente en el capı́tulo 1 en el marco general del proyecto de control.
Se tratarán los dos métodos de diseño del controlador discutidos en la sección 1.4.1.4; por
análisis se estudiará el moldeo de la respuesta de frecuencia en red abierta y el diseño con el
lugar de las raı́ces; por sı́ntesis se verá la técnica de asignación de polos en tiempo continuo y
discreto.
10.3. Restricciones para el diseño

En el análisis temporal y frecuencial se plantearon diferentes restricciones de desempeño
para los sistemas de control; a continuación se resumen las más importantes.
1. La ecuación caracterı́stica define los polos para cualquier señal de entrada al lazo de
control; los ceros para las funciones de transferencia entre la salida y la referencia o los
disturbios, dependen de la señal de entrada; los polos de la medida son ceros de todas
estas funciones.
Por las restricciones algebraicas (sección 5.8.5.2, página 253), los ceros de T son los del
proceso, controlador y medida; en ellos S = 1. Los ceros de S son los polos del proceso,
controlador y medida; en ellos T = 1. Los ceros de Se son los del proceso y los polos del
controlador; los ceros de Ss son los del controlador y los polos del proceso.
2. Entre mayor es el tipo del sistema y su ganancia en baja frecuencia, mejor es la preci-
sión permanente; sin embargo, hay más tendencia a la inestabilidad con degradación del
transitorio.
3. La estabilidad interna (sección 7.2.2) exige que polos o ceros inestables de la planta no
se puedan cancelar; los polos se cancelan en alguna función de sensibilidad pero no en la
ecuación caracterı́stica; además, una cancelación en la práctica nunca es exacta, lo que
deja un polo inestable en red cerrada que aunque tenga residuo pequeño, con el tiempo
tenderá al infinito, dominando de manera inestable la respuesta del sistema.
4. El tiempo muerto baja los desempeños en el rechazo a disturbios y en general limita el

ancho de banda del lazo: ωg ≤ T1m (sección 9.5.2).
5. El sobrepaso en la respuesta al escalón se genera por acciones integrales en un controlador

serie que anulen la integral asintótica del error (sección 5.4.1); también se genera con una
acción integral y velocidad de respuesta de red cerrada mayor que la de red abierta; los
ceros lentos del proceso incrementan el sobrepaso y lo pueden generar aún si el sistema
es sobreamortiguado; entre más lento el cero z, mayor será el sobrepaso, lo que impone

10.3. RESTRICCIONES PARA EL DISEÑO
el compromiso entre una rápida velocidad de respuesta al escalón y pequeño sobrepaso:

1
Mp ≥ −zt s
(sección 5.5.7.3, página 238).
6. Los polos inestables del proceso también generan sobrepaso; para evitar un sobrepaso muy
grande, se debe ajustar la dinámica de red cerrada mayor que la del polo inestable más
rápido, por lo que se requiere tener el ancho de banda mı́nimo: ωT d = ωgd > 5p (sección
9.5.3, página 493).
7. Los ceros de fase no mı́nima generan subpaso; entre más lento el cero, mayor será el
subpaso, esto impone un compromiso entre una rápida velocidad de respuesta al escalón
y pequeño subpaso Mu > zt1s , lo que limita el máximo ancho de banda a ser menor de:
ωSd = ωgd < z2 (sección 9.5.3, página 493).
8. Los disturbios imponen anchos de banda mı́nimos en el lazo cerrado y cotas máximas en
S para rechazarlos, ver la sección 9.3.2.
Los polos del controlador son ceros de las funciones de transferencia para disturbios de
entrada o salida S y Se , por lo tanto, no habrá salida en estado estable debida al disturbio,
si los polos de la señal de disturbio son polos del controlador (principio de control por
modelo interno); también se eliminan en estado estable los efectos del disturbio de salida,
si sus polos son polos del proceso.
9. La incertidumbre del modelo exige |T (jω)| pequeña en alta frecuencia donde la incerti-
dumbre es grande, lo que impone un lı́mite máximo al ancho de banda en el lazo cerrado.
Igualmente, para la estabilidad robusta se debe acotar el valor máximo de la función de
sensibilidad.
En baja frecuencia, la sensibilidad S del sistema en red cerrada a variaciones en la planta
se reduce si se aumenta la ganancia de GH(jω) en el rango de frecuencias de interés.
10. El ruido en la medición se amplifica en los sistemas de control de alta ganancia en alta
frecuencia; esto limita el ancho de banda del lazo cerrado y exige un buen filtrado del
controlador en alta frecuencia.
11. Para evitar saturación del actuador se debe limitar el ancho de banda del lazo cerrado.
La respuesta mı́nima del actuador afecta la precisión de estado estable del sistema de
control.
12. Las integrales de Bode exigen que las magnitudes de la respuesta de frecuencia de T (jω)
y S(jω), tengan una diferencia de las áreas por debajo y encima de 0dbs finita; por ello
si se diseña el lazo para tener baja ganancia en un rango de frecuencias, las funciones de
sensibilidad van a incrementarse en otro rango de frecuencias.
Recuérdese que restricciones de diseño como la respuesta temporal inversa por ceros de
fase no mı́nima o las integrales de Bode para la respuesta de frecuencia, son fundamentales e
independientes del método de diseño del control.
Nótese que estas limitaciones provienen de diferentes fuentes, por ejemplo, el máximo ancho
de banda está limitado por la velocidad de respuesta del actuador y su máxima salida, los
errores de modelado, los retardos y los ceros inestables o complejos. De los diferentes factores,
se debe priorizar en el diseño el de mayor impacto, buscando que todos ellos generen errores
del mismo orden, esto es, manejando homogeneidad en el diseño.

10.4. DISEÑO DE CONTROLADORES CONTINUOS POR ASIGNACIÓN DE POLOS
10.4. Diseño de controladores continuos por asignación de

polos
10.4.1. Criterios de diseño
En el diseño por asignación de polos se definen los polos adecuados de red cerrada y para
obtenerlos se ajustan los polos y ceros del controlador; para ello son útiles los siguientes criterios
de diseño:
Para escoger los polos adecuados de red cerrada, lo usual es buscar polos dominantes
subamortiguados con coeficiente de amortiguamiento de ρ = 0.7 ó como se especificó en
(5.47) página 243, entre: 0.4 ≤ ρ ≤ 0.8; si no se admite sobrepaso, ρ = 1.
La respuesta del sistema la dominan los polos más cercanos al origen del plano S; la
respuesta es más rápida para los polos más a la izquierda del plano S.
Si los polos dominantes de red cerrada están más a la izquierda de los de red abierta,
el sistema tendrá mayor velocidad de respuesta, ancho de banda y menor robustez; las
señales de control son más grandes, lo que puede exigir un actuador mayor.
Polos y ceros del compensador pueden cancelar ceros y polos estables de la planta. Con
acción integral en el controlador, la cancelación de polos lentos del proceso merma el
sobrepaso, pero el modo lento aún aparece en Se haciendo la respuesta a disturbios de
entrada muy lenta (sin la cancelación el modo no aparece en Se ); también es cero de
Ss generando un gran esfuerzo de control ante variaciones de la referencia; esto se evita
cancelando este cero con un polo en la entrada de referencia.
Como los polos rápidos del proceso con relación a ωg son ceros de S, el máximo será grande
en cercanı́a de los polos rápidos, perdiendo robustez el sistema de control. Para evitar-
lo deben escogerse polos de red cerrada cerca a los polos rápidos del proceso, o bien,
cancelarlos con ceros del controlador.
Los ceros lentos del proceso son ceros de T por lo que cerca a ellos aumentará su máximo,
lo que implica pérdida de robustez y aumento del sobrepaso a escalones de referencia;
también son ceros de Se pero procesos sobreamortiguados y lentos, atenúan el efecto del
cero; el efecto de los ceros lentos del proceso se elimina en T y Se escogiendo polos de red
cerrada cerca a los ceros lentos del proceso; su efecto en T se elimina también cancelando
el cero lento del proceso con polos del controlador o filtros de referencia. Los ceros lentos
del controlador son ceros de T y de Ss por lo que se elimina su efecto cancelándolos con
filtros de referencia.
En la práctica, los polos y ceros de la planta varı́an o su valor es impreciso generando
una cancelación inexacta en la función de transferencia de red cerrada; sin embargo, el
polo no cancelado queda muy cerca del cero en red cerrada, por lo que su residuo en la
expansión de fracciones será muy pequeño, contribuyendo poco a la respuesta transitoria
en red cerrada, pudiéndose despreciar, ver la figura 10.1.

jω
Polo de la planta
Polo de red cerrada
Cero del compensador,

cero de la red cerrada
Figura 10.1: Cancelación polo cero en red abierta y red cerrada.
10.4.2. El método de diseño

En la sección 6.3.7 se introdujo la asignación de polos para plantas de segundo orden estric-
tamente propias y un controlador bipropio hasta orden dos con acción integral, que permite el
ajuste del controlador PID continuo. En esta sección se extiende la asignación de polos a plan-
tas y controladores continuos de cualquier orden adicionándoles restricciones de diseño como
cancelaciones polo cero o rechazo en estado estable de disturbios de diferentes frecuencias. En
las secciones siguinentes se presentará la asignación de polos para los sistemas de control digital
con el controlador PID y el genérico RST.
Se considera la planta estrictamente propia a controlar:
B(s) bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0
Gp (s) = = , m < n. (10.1)
A(s) an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0
y la ley de control: !
Rc (s)
U (s) = Gf (s)R(s) − Y (s) . (10.2)
Sc (s)
donde:
Sc (s) = dns sns + dns −1 sns −1 + . . . + d1 s + d0 ,
Rc (s) = nnr snr + nnr −1 snr −1 + . . . + n1 s + n0 ,
y Gf (s) es una función de transferencia a diseñar para cumplir requisitos especı́ficos del segui-
miento a la referencia.
La función de transferencia en red cerrada es:
Y (s) Rc (s)B(s)
T (s) = = Gf (s) (10.3)
R(s) A(s)Sc (s) + B(s)Rc (s)
El polinomio caracterı́stico: A(s)Sc (s) + B(s)Rc (s) se diseña para cumplir los requisitos de
regulación de disturbios del sistema de control, ajustándolo para obtener el polinomio deseado

P (s) del lazo cerrado:

P (s) = pnp snp + · · · + p1 s + p0 .
10.4.2.1. Diseño de la regulación

Con un desarrollo similar al realizado en la sección 6.3.7, hay solución única de la ecuación
diofántica:
A(s)Sc (s) + B(s)Rc (s) = P (s),
si no existen factores comunes entre A(s) y B(s) y los órdenes son Goodwin et al [2001]:
np = 2n − 1, nr = ns = n − 1; (10.4)
estos grados corresponden a polinomios del mı́nimo orden para un controlador bipropio; la
solución es:
 
d0  
 d1  p0
   p1 
 d2   
   p2 
 ..   
 .   p3 
   
 dns   
  = M −1  p4  , (10.5)
 n0   .. 
   . 
 n1   
   .. 
 n2   . 
   
 .   p 
 ..  np −1
pnp
nnr
con la matriz:  
a0 0 . . . 0 b0 . . 0
 a1 a0 . . . . b1 b0 . 0
 
 a2 a1 a0 . . 0 b2 b1 . 0
 
. a2 a1 a0 . 0 . . . b0 
 
M =
. . . . . . . . . . 
,
 an . . . . a0 bm . . . 
 
0 an . . . . 0 . . . 
 
. . . . . an−1 . . . bm 
0 . . . 0 an 0 . 0 0
la cual se construye fácilmente con los coeficientes del polinomio del denominador del proceso
ai hasta la columna ns + 1 y luego con nr + 1 columnas construidas con los coeficientes bi del
polinomio del numerador del proceso.
La solución implica un controlador bipropio con el mismo orden en numerador y deno-
minador; si se desea obtenerlo estrictamente propio, los grados mı́nimos de Rc (s) y Sc (s) son:
nr = n − 1 y ns = n, en cuyo caso el grado de P (s) es np = 2n.

10.4.2.2. Diseño con restricciones

Para cumplir las especificaciones de desempeño se puede requerir incluir polos o ceros adi-
cionales al controlador o forzar cancelaciones polo-cero, como se analizó en la sección 10.4.1; el
método de diseño por asignación de polos permite cumplir estos requerimientos.
Imponer polos o ceros. Para forzar ciertos polos o ceros en el controlador, se factoriza en
la forma:
Rc (s) = Rc′ (s)Hr (s),
Sc (s) = Sc′ (s)Hs (s),
donde Hr (s) y Hs (s) son los polinomios que contienen los polos o ceros preespecificados para
el controlador y Rc′ (s) y Sc′ (s) son los polinomios del controlador para la asignación de polos.
Con esta factorización, la ecuación diofántica es:
AHs Sc′ + BHr Rc′ = A′ Sc′ + B ′ Rc′ = P. (10.6)
Su solución corresponde a considerar un nuevo proceso con A′ = AHs y B ′ = BHr , para el cual
aplica directamente la solución vista en la sección anterior; el controlador se garantiza propio
con un grado mı́nimo en P (s) de:
np = 2n − 1 + nd ,
donde nd es el orden del polinomio Hs (s) y los grados de los polinomios Sc′ y Rc′ son:
n′r = n′s = n + nd − 1. (10.7)
A continuación se presentan los requerimientos más usuales que preespecifican polos o ceros
en el controlador.
Error permanente ess nulo para escalones en la entrada de referencia o en perturbaciones
de entrada o salida al proceso; esto exige tener al menos una integración en el controlador.
En este caso el polinomio preespecificado es Hs (s) = s, aumentando en uno el orden del
sistema de control; se obtiene el grado nr = n un orden mayor al de ns = nr − 1 pues la
integración adicional garantiza el controlador propio; el mı́nimo grado de P (s) es 2n.
Para el rechazo de una perturbación armónica de frecuencia ωp :
Hs (s) = s2 + ωp2 ,
que corresponde a tener un par de polos complejos no amortiguados; si solo se desea dar
cierta atenuación, los polos son complejos amortiguados, dando el coeficiente de amorti-
guamiento la atenuación deseada.
En general por el principio de control por modelo interno, se tendrán en Hs (s) los polos de
cada una de las señales para las cuales se desea eliminar el error permanente; por ejemplo,
si se desea eliminar los errores estacionarios de una referencia en rampa y rechazar la
perturbación harmónica, se tendrá el polinomio: Hs (s) = s2 (s2 + ωp2 ).

En ocasiones se requiere eliminar en la señal de control ciertas frecuencias; tal es el caso

de plantas con modos oscilatorios de alta frecuencia, pero relativamente cercanos al ancho
de banda de red cerrada, lo que exige un bloqueo de la señal de control en la frecuencia
de resonancia. Para no tener una frecuencia ωp en la señal de control u(t), se deben tener
los ceros en el controlador:
Hr (s) = s2 + ωp2 ;
como estos ceros lo son de la función de sensibilidad de salida: |Ss (jωp )| = 0, bloquean la
señal de control en la frecuencia ωp ; por la forma de la curva de magnitud de la respuesta
de frecuencia con ganancia nula en ωp , a esta dinámica se le denomina filtro muesca.
Para garantizar robustez, se pueden necesitar términos en Hr (s) o Hs (s), de forma que
se moldee la magnitud de S(s); tal es el caso de incluir polos en el controlador en alta
frecuencia para atenuar la amplificación del ruido (atenuar Ss ) y disminuir Smax .
Ejemplo 10.1
1
Se considera el sistema del ejemplo 6.3: Gp (s) = (s+1) 3 ; se requiere acción integral en el
controlador por lo que el orden de P (s) es: np = 2n − 1 + 1 = 6.

Se escoge el polinomio caracterı́stico:
P (s) = (s + 2)(s + 4)(s2 + 2.8s + 4)(s2 + 5.6s + 16),
P (s) = s6 + 14.4s5 + 94.08s4 + 348.5s3 + 752.6s2 + 921.6s + 512,

el cual tiene dos pares de polos complejos con el mismo amortiguamiento ρ = 0.7 y frecuencias
naturales: ωn1 = 2, ωn2 = 4; esta dinámica previene la amplificación del ruido de medición.
Los grados de los polinomios del controlador para la asignación de polos son: nr = n = 3
y n′s = nr = 3; ns = n′s − nd = 3 − 1 = 2; el polinomio A′ (s) = s4 + 3s3 + 3s2 + s, luego:
a′0 = 0, a′1 = 1, a′2 = 3, a′3 = 3 y a′4 = 1; b0 = 1.
La matriz M es:
 ′   
a 0 0 0 b0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
a′1 a′0 0 0 b0 0 0  1 0 0 0 1 0 0
 ′   
a2 a′1 a′0 0 0 b0 0  3 1 0 0 0 1 0
 ′   
M = ′ ′  
a3′ a2′ a1′ 0 0 0 b0  = 3 3 1 0 0 0 1

 a4 a3 a2 0 0 0 0   1 3 3 0 0 0 0
   
 0 a′4 a′3 0 0 0 0  0 1 3 0 0 0 0
0 0 a′4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
La solución de (10.5) es (ver el ejemplo 6.2 para la solución con el MATLAB):
Rc (s) = 142.66s3 + 570.56s2 + 86.72s + 512
Sc (s) = s(s2 + 11.4s + 56.88)

△

Ejemplo 10.2
Se tiene el sistema: Gp (s) = 1/(2s + 1), con el disturbio de salida: d(t) = k1 + k2 sen(3t + k3 );
se desea un sistema en red cerrada sin errores estacionarios debidos al disturbio y una dinámica
dominada por un sistema de orden dos con ρ = 0.7 y constante de tiempo equivalente igual a
la mitad de red abierta.
Para rechazar las componentes constante y sinusoidal del disturbio, el polinomio de polos
preespecificados es: Hs (s) = s(s2 + 9), con nd = 3; el proceso tiene grado n = 1, por lo que el
grado mı́nimo de P (s) es: np = 2n − 1 + nd = 2 − 1 + 3 = 4; los polos dominantes de red cerrada
tienen el polinomio caracterı́stico: s2 + 2s + 2; los dos polos restantes se ubican en s = −3, por
lo que el polinomio caracterı́stico es: P (s) = (s2 + 2s + 2)(s + 3)2 . Los grados de los polinomios
restantes del controlador son: nr = n′s = n′a − 1 = 3 y ns = n′s − nd = 0; la ecuación diofántica
a resolver es:
(2s + 1)s(s2 + 9)d0 + n3 s3 + n2 s2 + n1 s + n0 = (s2 + 2s + 2)(s + 3)2 ,
la que le corresponde la matriz:

 
0 1 0 0 0
9 0 1 0 0
 
M =
18 0 0 1 0
.
1 0 0 0 1
2 0 0 0 0
La solución es:
Rc (s) = 7.5s3 + 14s2 + 25.5s + 18
Sc (s) = 0.5s(s2 + 9)
La función de transferencia de red cerrada:
7.5s3 + 14s2 + 25.5s + 18
T (s) = ,
(s2 + 2s + 2)(s + 3)2
tiene los ceros poco amortiguados del controlador (ρ = 0.3), que le inyectan oscilación a la
respuesta al escalón en la referencia, como lo muestra la figura 10.2; es el precio pagado por el
rechazo en estado estable del disturbio oscilatorio. La figura 10.3 muestra las curvas de ganancia
para la respuesta de frecuencia de la función de sensibilidad |S(jω)| y la función de sensibilidad
complementaria |T (jω)|; se observa en S la ganancia nula en la frecuencia del disturbio ωp = 3;
como la integral de Bode fuerza a aumentar la ganancia de la función de sensibilidad S en bajas
frecuencias, se desmejora el rechazo a disturbios en esas frecuencias. △
Cancelar polos o ceros. Para forzar una cancelación polo cero entre controlador y proceso,
se considera el proceso con factorización:
A(s) = A+ (s)A′ (s), B(s) = B+ (s)B ′ (s),
con A+ (s) y B+ (s) los polinomios con los polos y ceros en el semiplano izquierdo que se desean
cancelar. Para la cancelación, el controlador es de la forma:
Rc (s) = A+ (s)Rc′ (s), Sc (s) = B+ (s)Sc′ (s),

1.2
0.8
y(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6
Tiempo (sec)
Figura 10.2: Respuesta escalón de referencia con rechazo de disturbio constante y oscilatorio.
con el cual se obtiene la ecuación diofántica:

A+ A′ B+ Sc′ + B+ B ′ A+ Rc′ = A+ B+ A′ S ′ + B ′ R′ = P (s),
luego el polinomio caracterı́stico debe tener los polos y los ceros a cancelar del proceso:
P (s) = A+ (s)B+ (s)P ′ (s);
note que la ecuación diofántica a resolver:
A′ Sc′ + B ′ Rc′ = P ′ (10.8)
solo toma en cuenta los polos y ceros no cancelados del proceso.
Ejemplo 10.3
Se diseña un controlador para el sistema de control de la excitación tratado en el ejemplo
9.22; la planta a controlar es: Gp (s) = 1/(0.1s + 1)(s + 1).
Para un tiempo de estabilización
√ menor de dos
√ segundos con sobrepaso menor del 10 %, se
escoge: 1/ρωn = 0.25, ρ = 2/2 luego ωn = 32 y P (s) tiene el polinomio: s2 + 8s + 32.
De acuerdo a los criterios de diseño de la sección 10.4.1, se cancela el polo rápido en s = 10:
A+ (s) = 0.1s + 1, Rc (s) = (0.1s + 1)Rc′ (s). Se requiere acción integral en el controlador, por
lo que el polinomio: A′ (s) = s(s + 1), con n′ = 2.

1.4
1.2 |T(jω)| |S(jω)|
1
Magnitud (abs)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−1 0 1 2
10 10 10 10
Frequencia (rad/sec)
Figura 10.3: Respuestas de la magnitud de frecuencia, de S(s) y T (s).
Como hay un polo y un cero preestablecidos, el controlador restante se diseña bipropio:

np = 2n′ − 1 = 3; n′r = n′s = n′ − 1 = 1; ubicando el tercer polo de P (s) en s = −10, la ecuación
diofántica a resolver (10.8) es:
(s2 + s)(d1 s + d0 ) + n1 s + n0 = (s2 + 8s + 32)(s + 10);
su solución con la componente preestablecida, da el controlador:
(0.1s + 1)(95s + 320)

Gc (s) = .
s(s + 17)
El cero está en s = −3.37, más lento que la parte real de los polos dominantes, incrementando
el sobrepaso a escalones de referencia; se elimina con el filtro para la referencia:
Gf (s) = 3.37/(s + 3.37).
La respuesta al escalón en la referencia y la señal de control se muestran en la figura 10.4;
la respuesta se estabiliza en 1.15s, tiempo menor del exigido de 2s; el sobrepaso es de solo el
3.3 %.
La figura 10.5 muestra la respuesta al disturbio y la señal de control; ambas señales se
mantienen dentro de los lı́mites especificados de ±1 y ±10, respectivamente. En t = 1s, la
salida es yd (1) = 0.047, menor de 0.1, lo especificado. Por lo tanto, el sistema cumple con las
especificaciones dadas en el ejemplo 9.22 de la página 479. △

1
yr (t)
0.5
0
0 0.5 1 1.5
Tiempo (sec)
2
ur (r)
0
0 0.5 1 1.5
Tiempo (sec)
Figura 10.4: Respuesta al escalón en la referencia del sistema de control del ejemplo 10.3.
0
yd (t)
−0.5
−1
0 0.5 1 1.5
Tiempo (sec)
0
ud (t)
−5
−10
0 0.5 1 1.5
Tiempo (sec)
Figura 10.5: Respuesta al escalón de disturbio para el sistema de control del ejemplo 10.3.

10.4.2.3. Diseño del seguimiento

Al utilizar la dinámica Gf (s) en la entrada de referencia se tiene un control con dos grados de
libertad; el objetivo de esta dinámica es cumplir requerimientos especı́ficos para el seguimiento
de la referencia, en cuanto a velocidad de respuesta, sobrepaso, ancho de banda, etc.; con ello se
evita tener alta ganancia en el controlador del lazo Gc (s) = Rc (s)/Sc (s), para forzar GRC = 1
en ciertas frecuencias, lo que mejora la estabilidad robusta del lazo.
Un caso de interés es imponer a la dinámica de red cerrada T (s) un modelo de seguimiento
deseado: Gs (s) = B d (s)
Ad (s) , con polinomios Bd (s) y Ad (s) de grados: md y nd ; se asumen ceros
del controlador y del proceso en el semiplano izquierdo, si hay ceros de fase no mı́nima deben
incluirse en Bd (s); de (10.3) Gf (s) es:
Bd (s) P (s)
Gf (s) = Tc (s), Tc (s) = , (10.9)
Ad (s) Rc (s)B(s)
en donde la selección del modelo deseado debe garantizar una Gf (s) realizable, con grado
relativo: gf = nf − mf ≥ 0.
Ejemplo 10.4
Para el ejemplo 10.1 se desea una dinámica de seguimiento:
8
Gs (s) = . (10.10)
(s + 2)(s2 + 2.8s + 4)
la cual tiene los modos más lentos del polinomio caracterı́stico P (s); se tienen los grados:
m = 0, md = 0, nd = 3, np = 6, nr = 3, para los cuales el grado relativo de la dinámica de
seguimiento es gf = md − nd + np − nr − m = 0; en (10.9) la dinámica Tc (s) es:
P (s) (s + 2)(s + 4)(s2 + 2.8s + 4)(s2 + 5.6s + 16))

Tc (s) = =
Rc (s)B(s) (142.66s3 + 570.56s2 + 86.72s + 512)
luego la dinámica de seguimiento es:
8(s + 2)(s + 4)(s2 + 2.8s + 4)(s2 + 5.6s + 16)
Gf (s) = ,
(s + 2)(s2 + 2.8s + 4)(142.66s3 + 570.56s2 + 86.72s + 512)
la cual simplifica a:
8(s + 4)(s2 + 5.6s + 16)
Gf (s) = .
(142.66s3 + 570.56s2 + 86.72s + 512)
Note que es posible tener anchos de banda más grandes para el seguimiento de la referencia
que el del lazo de realimentación definido por el polinomio caracterı́stico P (s), el cual tiene la
limitación de no amplificar el ruido de medición; para este ejemplo la dinámica deseada (10.10)
impone un ancho de banda entre la referencia y la salida de 1.47rad/s; si se desea seguir señales
de referencia hasta 5rad/s, un diseño es cancelar con Gf (s) la dinámica lenta imponiendo la
de seguimiento en red cerrada:
64
Gs (s) = ,
(s + 4)(s2 + 5.6s + 16)

10.5. DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES POR ASIGNACIÓN DE POLOS
la cual tiene un ancho de banda de 2.95rad/s y agregar la red de avance de fase:

(0.5s + 1)/(0.05s + 1), con la cual se obtiene un ancho de banda de 5.9rad/s con un máximo
aceptable de 2db. En este caso la dinámica del filtro de seguimiento es:
64(s + 2)(s2 + 2.8s + 4)(0.5s + 1)
Gf (s) = .
(142.66s3 + 570.56s2 + 86.72s + 512)(0.05s + 1)
El costo pagado es un mayor esfuerzo de control en los transitorios pues la ganancia transitoria
entre la referencia y la señal de control pasa de 8 con el primer diseño, a 640 para el mayor
ancho de banda. △
10.5. Diseño de controladores digitales por asignación de

polos
Aqui se presenta el uso de la técnica de asignación de polos a los controladores digitales;
inicialmente se presenta el diseño de los controladores PID digitales obtenidos en la sección
6.7.4, en su forma posicional y de velocidad. Luego se presenta el diseño de controladores RST
digitales.
10.5.1. PID digital de posición

En la sección 6.7.4 se discretizó el controlador PID continuo en forma posicional:
 
 1 Td s 
Gc (s) = kp 1 + +
TI s Td 
1+ s
N
obteniéndose:
Rc (z) r0 + r1 z −1 + r2 z −2
Gc (z) = =
Sc (z) (1 − z −1 )(1 + s1 z −1 )
donde los parámetros del PID discreto se obtienen de las ecuaciones (6.37) en la página 355.
Calculados éstos, los parámetros del controlador equivalente continuo son:
r0 s1 − r1 − (2 + s1 )r2
kp =
(1 + s1 )2
kp (1 + s1 )
TI = T
ro + r1 + r2
Td s1 T
= −
N 1 + s1
s21 r0 − s1 r1 + r2
Td = T (10.11)
kp (1 + s1 )3
B
Tc .
Sc A Rc B
T = = ,
Rc B Sc A + R c B
1+
Sc A

donde: P = Sc A+Rc B son los polos deseados de red cerrada y Rc B son los ceros de red cerrada.
Las especificaciones de desempeño se imponen en la función de transferencia de red cerrada:
T (z), definiendo el polinomio caracterı́stico: P (z) = 1 + p1 z −1 + p2 z −2 , de forma que se obtenga
un coeficiente de amortiguamiento ρ y frecuencia natural ωn , adecuados en red cerrada. Los
ceros de red cerrada son los del proceso B y los del controlador Rc estos ceros dependen de A, B
y P y por lo tanto no se definen de antemano, recuérdese que los ceros de Rc pueden aumentar
el sobrepaso.
Si P no tiene como factor a B, no hay cancelación polo-cero en red cerrada en tal caso, el
controlador se puede usar con ceros del proceso B de fase no mı́nima; recuérdese que los ceros
de fase no mı́nima son frecuentes en los sistemas de datos muestreados, ver la sección 5.11.4.1.
En esta sección se consideran sistemas de primer o segundo orden con tiempo muerto Tm < T
y muestreo suficientemente rápido de forma que la discretización de estas plantas de primer o
segundo orden, lleve a:
B(z) b1 z −1 + b2 z −2
G(z) = = (10.12)
A(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2
En las tablas 3.7 y 3.8 se presentan las funciones de transferencia de pulsos de plantas de primer
y segundo orden y con retardo fraccional.
Al especificarse la frecuencia natural, el perı́odo de muestreo se puede definir bajo el criterio
dado en (6.41).
Para el cálculo de los parámetros del controlador, se debe resolver P = ASc +BRc , conocidos
los pi , ai , bi para calcular los ri y s1 ; esto se logra igualando los coeficientes de los polinomios
P y (ASc + BRc ):
P (z −1 ) = 1 + p1 z −1 + p2 z −2 = A(z −1 )Sc (z −1 ) + B(z −1 )Rc (z −1 )
1+p1 z −1 +p2 z −2 = (1+a1 z −1 +a2 z −2 )(1−z −1 )(1+s1 z −1 )+(b1 z −1 +b2 z −2 )(r0 +r1 z −1 +r2 z −2 )
de donde:
p1 = b1 r0 + s1 + a1 − 1
p2 = b2 r0 + b1 r1 + s1 (a1 − 1) + a2 − a1
0 = b2 r1 + b1 r2 + s1 (a2 − a1 ) − a2
0 = b2 r2 − a2 s1
Sea D = (a1 − 1)b1 b22 − b32 − [a2 − a1 ]b21 b2 − a2 b31 , D 6= 0 si A y B son primos entre sı́, entonces
la solución en MATLAB es:
>> P=[1,p1,p2,0,0]’;
>> M=[1,0,0,0,0;a1-1,1,b1,0,0;a2-a1,a1-1,b2,b1,0;-a2,a2-a1,0,b2,b1;0,-a2,0,0,b2];
>> X=inv(M)*P% X=[1,s1,r0,r1,r2]’
Ejemplo 10.5
Para
e−3s
Gp (s) = ,
10s + 1
se desea un sobrepaso: SP < 10 % y una dinámica de red cerrada con ρ = 0.8 y ωn = 0.05.

De la ecuación (6.41): 0.2 ≤ ωn T ≤ 0.6, para ωn = 0.05 se tiene: 4 < T < 12, se escoge
T = 5. De 3.8 con T = 5, τ = 10 y Tm = 3, los polinomios del numerador y denominador de
G(z) son:
B(z −1 ) = 0.1813z −1 + 0.2122z −2

−1
A(z ) = 1 − 0.6065z −1
El código MATLAB que resuelve el problema es:

>> s=tf(’s’);Gp=exp(-3*s)/(10*s+1);G=c2d(Gp,5)
Transfer function:
0.1813 z + 0.2122
z^(-1) * -----------------
z - 0.6065
>> A=get(G,’den’); a1=A{1}(2);a2=0;
>> B=get(G,’num’); b1=B{1}(1);b2=B{1}(2);
>> T=get(G,’Ts’);%datos del modelo del proceso
>> rho=0.8;wn=0.05;p1=-2*exp(-rho*wn*T)*cos(wn*T*sqrt(1-rho^2));
>> p2=exp(-2*rho*wn*T);% dinámica deseada
>> M=[1,0,0,0,0;a1-1,1,b1,0,0;a2-a1,a1-1,b2,b1,0;-a2,a2-a1,0,b2,b1;0,-a2,0,0,b2]
M =
1.0000 0 0 0 0
-1.6065 1.0000 0.1813 0 0
0.6065 -1.6065 0.2122 0.1813 0
0 0.6065 0 0.2122 0.1813
0 0 0 0 0.2122
>> P=[1,p1,p2,0,0]’
P =
1.0000
-1.6191
0.6703
0
0
>> X=inv(M)*P
X =
1.0000
-0.0238 s1
0.0621 r0
0.0681 r1
0 r2
Luego el controlador PID tiene los polinomios:
Rc (z −1 ) = 0.0621 + 0.0681z −1
Sc (z −1 ) = (1 − z −1 )(1 − 0.0238z −1 )

El sistema tiene unos márgenes de estabilidad apropiados de: ganancia de 7.712 (≥ 2), fase:
67.2 (o > 30o ), módulo: 0.7551 (≥ 0.5) y de retardo: 45.4 s (> T = 5). De (10.11), existe un
PID continuo con: kp = −0.073, TI = −2.735, Td = −0.122 y Td /N = 0.122.
La figura 10.6 muestra la respuesta del sistema y la señal de control para un escalón de
entrada.
ωn=0.15
1
c(kT)
ωn=0.1
0.5
ωn=0.05
0
0 20 40 60 80 100
Tiempo (sec)
1.5
ωn=0.15
u(kT)
1 ωn=0.1
0.5 ωn=0.05
0
0 20 40 60 80 100
Tiempo (sec)
Figura 10.6: Respuestas escalón, PID digital para diferentes ωn de red cerrada.
Se observa que la señal de control tiene una respuesta al escalón filtrada sin exceder el valor
final, por lo que la respuesta en red cerrada es más lenta que en red abierta.
El PID digital puede lograr una respuesta más rápida, considerando una ωn = 0.1, para el
doble de velocidad del caso anterior; el controlador es:
Rc (z −1 ) = 0.8954 − 0.4671z −1
Sc (z −1 ) = (1 − z −1 )(1 + 0.16343z −1 )
En este caso r1 es negativo, por lo que el cero de Rc es positivo en z = 0.502, más cerca a
z = 1, aumentando el sobrepaso; no hay equivalente PID continuo pues s1 = 0.1634 es positivo.
Los márgenes de estabilidad son: margen de ganancia: 6.046, margen de fase: 65.9o , margen de
módulo: 0.759 y el margen de retardo es 16.8s. En la figura 10.6 se aprecia el aumento en la
velocidad de respuesta y un ligero aumento del sobrepaso.

Para una frecuencia natural de red cerrada de: ωn = 0.15rad/seg, el controlador es:
Rc (z −1 ) = 1.6874 − 0.8924z −1
Sc (z −1 ) = (1 − z −1 )(1 + 0.3122z −1 )
El cero está en 0.53 para un mayor sobrepaso; tampoco hay un PID equivalente continuo. Los
márgenes de estabilidad disminuyen a margen de ganancia: 3.681, margen de fase de 58.4o ,
margen de módulo de 0.664 y margen de retardo de 9.4s. En la figura 10.6 se observa más
aumento del sobrepaso. △
10.5.2. PID digital de velocidad

El sobrepaso debido al cero del controlador se puede evitar usando un PID en forma de
velocidad, donde la acción PD solo actúa sobre la medida, como se observa en la figura 10.7.
Figura 10.7: Diagrama de bloques del controlador PID de velocidad.
En este caso el controlador tiene la estructura general RST:
Sc (z)U (z) + Rc (z)Y (z) = Tc (z)R(z),
con Rc (z) = r0 + r1 z −1 + r2 z −2 y Sc (z) = (1 − z −1 )(1 + s1 z −1 ).

En red cerrada se obtiene:
Tc B
T (z) =
ASc + BRc
La función de transferencia discreta de red cerrada deseada T (z), se puede especificar como:
P (1) B(z)
T (z) = ,
B(1) P (z)
P (1)
en donde el factor ajusta la ganancia estática igual a uno, P (z) son los polos deseados de
B(1)
P (1)
red cerrada y B(z) es el cero del proceso G(z). Se tiene el filtro de entrada: Tc = , como
B(1)
P = ASc + BRc , entonces: P (1) = A(1)Sc (1) + B(1)Rc (1) = B(1)Rc (1), luego:
Tc = Rc (1).
Son los mismos polinomios para Rc y Sc obtenidos para el PID de posición, solo cambia Tc
que es una constante que preserva la ganancia unitaria del sistema en red cerrada.

Figura 10.8: PID continuo equivalente en forma de velocidad.
El PID continuo equivalente se muestra en la figura 10.8.

En este caso, las ecuaciones que relacionan el PID continuo con el discreto son:
(r1 + 2r2 )
kp = −
1 + s1
(r1 + 2r2 )
TI = −T
ro + r1 + r2
Td s1 T
= −
N 1 + s1
s1 r1 + s1 r2 − r2
Td = T (10.13)
(r1 + 2r2 )(1 + s1 )
Ejemplo 10.6
Se tiene un PID de velocidad para el mismo proceso del ejemplo anterior. Para: T = 5s,
ωn = 0.15rad/seg y ρ = 0.8, el PID de velocidad es:
Rc (z −1 ) = 1.6874 − 0.8924z −1
Sc (z −1 ) = (1 − z −1 )(1 + 0.3122z −1 )
Tc (z −1 ) = 0.795
Por ser s1 positivo no hay equivalente PID continuo. La figura 10.9 muestra las señales para la
respuesta al escalón de referencia, donde se aprecia como baja el sobrepaso. △
10.5.3. Diseño del RST digital

En la sección 6.5 se introdujo este controlador, ver la figura 6.27 en la página 347.
Como para el diseño en tiempo continuo, el diseño del RST digital por asignación de polos
aplica a plantas con polos y ceros de fase mı́nima o no mı́nima, de cualquier grado en el
numerador y denominador, pero sin factores comunes entre ellos. Una ligera diferencia es que el
digital si considera el retardo del proceso, puesto que su discretización (ver sección 3.4.4) genera
funciones de transferencia de pulsos polinómicas racionales en z −1 con polos en el origen; en
tiempo continuo el tiempo muerto debe aproximarse a una función polinómica como la de
Padé para aplicar el método de asignación de polos.

1
c(kT)
0.5
0
0 20 40 60 80 100
Tiempo (sec)
1.4
1.2
u(kT)
0.8
0 20 40 60 80 100
Tiempo (sec)
Figura 10.9: Desempeño PID digital de velocidad, para ωn = 0.15 de red cerrada.
Se considera un proceso a controlar:
z −d B(z)
G(z) = ,
A(z)
donde d es el número entero de muestreos contenidos en el tiempo muerto,
A(z −1 ) = 1 + a1 z −1 + ........... + ana z −na ,

B(z −1 ) = b1 z −1 + ........... + bnb z −nb = z −1 B ∗ (z −1 ), na ≥ nb ,
y la ley de control RST:

Rc (z) Gf (z)
U (z) = − Y (z) + R(z),
Sc (z) Sc (z)
con los polinomios Sc (z) y Rc (z) de la forma:
Sc (z −1 ) = 1 + s1 z −1 + .... + sns z −ns (10.14)

Rc (z −1 ) = r0 + r1 z −1 + .... + rnr z −nr (10.15)
y Gf (z) = Tc (z)Bd (z)/Ad (z), es una función de transferencia discreta a diseñar para cumplir
requisitos especı́ficos del seguimiento a la referencia.


z −d Gf (z)B(z)
T (z) =
A(z)Sc (z) + z −d B(z)Rc (z)
El polinomio caracterı́stico: A(z)Sc (z) + z −d B(z)Rc (z) se diseña para cumplir los requisitos de
regulación de disturbios del sistema de control, ajustándolo para obtener el polinomio deseado
P (z):
P (z) = 1 + p1 z −1 + ........... + pnp z −np .
10.5.3.1. Diseño de la regulación

Para calcular los polinomios Sc (z) y Rc (z), se debe resolver la ecuación Diofántica:
A(z −1 )Sc (z −1 ) + z −d B(z −1 )Rc (z −1 ) = P (z −1 ) (10.16)
con los polinomios A y B primos entre ellos; el primer sumando de la ecuación tiene grado
na + ns y el segundo d + nb + nr ; esta ecuación puede tener infinitas soluciones, pero hay
solución única con un controlador realizable de mı́nimo orden, si se igualan los grados de cada
sumando a: na + nb + d − 1 Landau [1993]:
ns = nb + d − 1 (10.17)
nr = na − 1 (10.18)
np ≤ na + nb + d − 1 (10.19)
La ecuación diofántica en la forma matricial es: M X = P , donde:

     
1 1 1 0 . . . 0 b′0 . . 0
 s1   p1   a1 1 . . . . b′1 . . . 
     
 .   .   a2 a . . . 0 b′2 . . b′0 
     1 
 .   .   . a2 . . . 1 . . . b′1 
     
X= s
 ns 
 P =  p 
 np  M = 
 . . . . . a 1 . . . b′2 
 r0   0  ana . . . . a2 b′n . . . 
     
 .   .   0 ana . . . . 0 . . . 
     
 .   .   . . . . . . . . . . 
rnr 0 0 . . . 0 ana 0 . 0 b′nb
donde M es la matriz de Silvester, cuadrada de orden na +nb +d, con: b′i = 0, i = 0, 1, 2, . . . d−1,
b′i = bi−d ; i > d (los coeficientes del polinomio B(z −1 ), se apilan en las columnas después de d
ceros); son nb + d columnas con elementos ai y na columnas con elementos b′i .
El vector de los coeficientes de los polinomios Rc y Sc , se obtiene de: X = M −1 P .
10.5.3.2. Diseño con restricciones

Al igual que en el caso continuo, para las partes preespecificadas de Rc y Sc , se factorizan
como:
Rc (z −1 ) = Rc′ (z −1 )Hr (z −1 )
Sc (z −1 ) = Sc′ (z −1 )Hs (z −1 )

Hr y Hs : preespecificados.
La ecuación diofántica es:

AHs Sc′ + z −d BHr Rc′ = P (10.20)
donde AHs es el nuevo A′ y BHr el nuevo B ′ .
Los casos analizados en tiempo continuo que exigen partes fijas en Rc y Sc , son:
Error permanente ess nulo para entrada de referencia o una perturbación escalón:
Hs (z −1 ) = (1 − z −1 )
Rechazo de perturbación armónica de frecuencia ωp :
Hs (z −1 ) = 1 − 2cosωp T z −1 + z −2
Son ceros complejos no amortiguados; para dar solo cierta atenuación, los ceros serán
complejos amortiguados, dando el coeficiente de amortiguamiento la atenuación deseada.
Para el bloqueo de señal en u(kT ), se deben tener ceros en Rc (z −1 ) que filtren la señal
en la frecuencia ωp dada.
Hr (z −1 ) = 1 − 2cosωp T z −1 + z −2
Igualmente para un diseño robusto se pueden definir términos en Hr y Hs para corregir

la respuesta de frecuencia de S en ciertas zonas de frecuencia.
10.5.3.3. Diseño del seguimiento

El polinomio Gf (z) define la dinámica del seguimiento; se considera seguir las respuestas
del modelo de seguimiento:
Bd (z) z −(1+d) (bd1 + bd2 z −1 )

Gs (z) = = , (10.21)
Ad (z) 1 + ad1 z −1 + ad2 z −2
ver la figura 10.10. Por la restricción de causalidad, el retardo z −(1+d) no se puede compensar;
Figura 10.10: Modelo de referencia; y ∗ (t) es la trayectoria deseada para la salida.
Bd (s) ωn2
para un sistema normalizado de segundo orden: Gs (s) = = 2 , de la tabla
Ad (s) s + 2ρωn s + ωn2

3.7 los coeficientes en (10.21) son:
a
bd1 = 1 − r(cosωd T + senωd T )
ωd
a
bd2 = r2 + r senωd T − cosωd T
ωd
ad1 = −2rcosωd T
ad2 = r2 ; a = ρωn ; r = e−ρωn T ; 0 ≤ ρ < 1 (10.22)
z −d B z −d B ∗ z −1 z −(1+d) B ∗
Como G(z) = = = , la dinámica en red cerrada es:
A A A
Y (z) Bd (z) Tc (z)B ∗ (z)
T (z) = = z −(1+d) . .
R(z) Ad (z) P (z)
Nótese que Tc (z) debe:

Cancelar la dinámica de regulación P (z), la cual se asume diferente a la de seguimiento
Ad (z).
Generar una ganancia de estado estable unitaria entre y(t) y y ∗ (t).
Por lo tanto, 
 P (z −1 )
−1 , si B(1) 6= 0
Tc (z ) = B(1) (10.23)

P (z −1 ), si B(1) = 0
B(1) = 0 solo en el caso en que exista una derivada en B(z).
La ley de control es:
Sc (z −1 )u(t) + Rc (z −) )y(t) = Tc (z −1 )y ∗ (t + d + 1),
como se muestra en la figura 10.11.

La función de transferencia total en red cerrada del sistema es:
z −(d+1) Bd (z −1 ) B ∗ (z −1 )
T (z −1 ) = .
Ad (z −1 ) B(1)
Ejemplo 10.7
Sea el proceso:
B(z −1 ) 0.1z −1 + 0.2z −2
−1
=
A(z ) 1 − 1.3z −1 + 0.42z −2
el cual tiene un cero de fase no mı́nima y polos en z1 = 0.6 y z2 = 0.7. Se tiene un perı́odo de
muestreo de T = 1 segundos; se requiere acción integral en el controlador y dinámicas deseadas
de:
Bd (z −1 ) 0.09z −1 + 0.06z −2
Seguimiento con ωn = 0.5; ρ = 0.9; por lo tanto: =
Ad (z −1 ) 1 − 1.24z −1 + 0.4z −2

Figura 10.11: Controlador RST para seguimiento y regulación.
Regulación con ωn = 0.4; ρ = 0.9, esto es: P (z) = 1 − 1.37z −1 + 0.48z −2
En (10.20), Hr = 1 y Hs = (1 − z −1 ); los grados de los polinomios del controlador para la

asignación de polos son: n′r = n′a − 1 = 3 − 1 = 2 y n′s = nb + d − 1 = 2 + 0 − 1 = 1; el polinomio
A′ (z) = A(z)Hs (z) = (1 − 1.3z −1 + 0.42z −2 )(1 − z −1 ) = 1 − 2.3z −1 + 1.72z −2 − 0.42z −3 ,
luego: a′1 = −2.3, a′2 = 1.72, a′3 = −0.42; b1 = 0.1 y b2 = 0.2.
La matriz M es:
   
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
a′1 1 b1 0 0   −2.3 1 0.1 0 0 
 ′   
M = a
 ′2 a ′
1 b 2 b 1 0 
 = 
 1.72 −2.3 0.2 0.1 0 
a3 a′2 0 b2 b1  −0.42 1.72 0 0.2 0.1
0 a′3 0 0 b2 0 −0.42 0 0 0.2
El vector P es:
P = [1, −1.37, 0.48, 0, 0]T
Resolviendo:
X = M −1 P = [1.00, 0.63, 3.01, −3.96, 1.32]T
La ley de control es:
Sc (z −1 ).u(t) + Rc (z −1 ).y(t) = Tc (z −1 )y ∗ (t + d + 1);
Bd (z −1 )
y ∗ (t + d + 1) = r(t),
Ad (z −1 )
donde:

Rc (z −1 ) = 3.01 − 3.96z −1 + 1.32z −2
Sc (z −1 ) = (1 + 0.63z −1 )(1 − z −1 ) = 1 − 0.37z −1 − 0.63z −2

Tc (z −1 ) = 3.33 − 4.58z −1 + 1.62z −2
El sistema en red cerrada tiene los márgenes de estabilidad adecuados, de ganancia: 2.703, de
fase: 65.4o , de módulo: 0.618 y de retardo: 2.1s. La figura 10.12 muestra la respuesta en el
tiempo del sistema controlado para el seguimiento y la regulación; se observa que se obtiene el
desempeño deseado. △
0.9
0.8
0.7
0.6
C(t)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1.2
0.8
U(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tiempo [s]
Figura 10.12: Desempeño RST en seguimiento y regulación, diseño por asignación de polos.
10.5.3.4. Diseño con cancelación de polos o ceros

Al igual que en el caso continuo, polos o ceros del proceso dentro del cı́rculo de radio unidad
se pueden cancelar con el controlador; el procedimiento es equivalente al analizado para el
tiempo continuo. El ejemplo siguiente ilustra el caso de cancelar los ceros B(z) de la planta.
Ejemplo 10.8
Se considera una planta con ceros B(z) de fase mı́nima. Para el diseño de la regulación,
Sc (z) contiene los ceros B(z) de la planta:
Sc (z) = B ∗ (z)Sc′ (z).

10.6. DISEÑO CON EL LUGAR DE LAS RAÍCES

z −(1+d) B ∗ (z) z −(1+d)
T (z) = = ,
A(z)Sc (z) + z −(1+d) B ∗ (z)Rc (z) A(z)Sc′ (z) + z −(1+d) Rc (z)
luego se tiene la ecuación caracterı́stica:
P (z) = P ′ (z)B ∗ (z); P ′ (z) = A(z)Sc′ + z −(1+d) Rc (z).
La ecuación diofántica tiene solución única escogiendo:
n′s = d (10.24)
nr = na − 1 (10.25)
n′p = na + d. (10.26)
La ecuación M X = P ′ , tiene los vectores X y P ′ y la matriz M de Silvester:

     
1 1 1 0 0
 s′1   p′1   a1 1 .
     
 .   .   a2 a 0 .
     1 
 .   .   . . . . . 1 1 .
 ′   ′   
X= s
 d 
 P ′
=  pn 
 ′ a  M =  ad
 a d−1 . . . a 1 a 1 1 .

 r0  pn +1  ad+1 ad a2 0 .
   a   
 .   .  ad+2 ad+1 . .
     
 .   .   . 0
rna −1 p′na +d 0 0 . . . 0 ana 0 0 1
La matriz M es cuadrada de orden na + d + 1; las primeras d + 1 columnas se organizan con

los elementos ai y las últimas na columnas con unos y ceros. Como M es triangular inferior se
puede resolver el sistema de ecuaciones sin inversión de la matriz.
Para el diseño del seguimiento: Tc (z) = P ′ (z); al cancelar los ceros de la planta, ya no hay
ceros en red cerrada que afecten la dinámica de seguimiento, por lo que se obtiene una dinámica
de seguimiento independiente de la dinámica de regulación. La estructura del controlador se
muestra en la figura 10.13. △
Cabe anotar que el seguimiento y la regulación independientes no se puede aplicar a plantas
con ceros de fase no mı́nima, los cuales pueden aparecer por el muestreo, incluso si el sistema
continuo no los tiene, como se analizó en la sección 5.11.4; tampoco es conveniente cancelar
ceros poco amortiguados, por las oscilaciones que se generan en la señal de control u(t); la
figura 5.76 muestra la región en el plano Z de los ceros cancelables.
10.6. Diseño con el lugar de las raı́ces

El lugar de las raı́ces permite ajustar el parámetro de variación para el cual se traza; para una
planta inalterable en un lazo simple un primer paso de diseño para cumplir las especificaciones
es ajustar la ganancia proporcional kp del lazo; debe ser lo más alta posible para disminuir el
error de estado estacionario, pero respetando los requerimientos de estabilidad relativa; esto

Figura 10.13: Controlador RST, cancelando los ceros de la planta.
impondrá un kp máximo, para el cual habrá un error permanente debido a disturbios o bajo
tipo en la planta.
Si GH(s) es de primer orden, se puede ajustar kp para cumplir el error permanente y
verificar que se obtenga la velocidad de respuesta apropiada. Si GH(s) es de segundo orden,
el lugar de las raı́ces es de la forma mostrada en la figura 10.14, donde el polo lento puede ser
jω
kp
Figura 10.14: Lugar de las raı́ces para un sistema de segundo orden con control P.
incluso un integrador; con el sistema subamortiguado la parte real de las raı́ces no depende de
kp ; ajustando kp para coeficiente de amortiguamiento ρ = 0.7, si el tiempo de estabilización:
4
ρωn es mayor que el deseado, entonces el control Proporcional no es adecuado aún si se cumple
con el error permanente.
Si GH(s) es de tercer orden o más, con alta ganancia el sistema se hace inestable, pudiéndose
calcular la kp crı́tica con el criterio de Routh.
Si kp no es suficiente para cumplir las especificaciones, se adicionan polos y ceros al contro-
lador; para especificaciones en el tiempo en términos de una ubicación deseada de las raı́ces, el
lugar de las raı́ces permite fácilmente ajustar controladores con dos parámetros, al aplicar los

criterios de magnitud y ángulo.
Ejemplo 10.9
1
Sea el proceso: Gp (s) = (s+2)(s+0.5) a controlar con un PI. Se requiere un sobrepaso menor
del 10 % y tiempo de estabilización máximo de: ts ≤ 16/3s.
Para el diseño se definen polos deseados de red cerrada por los cuales debe pasar el lugar;
se asigna: ρω4n = 163 , luego: ρωn = 0.75; también se define un sobrepaso de: Mp = 10 % para
el cual el coeficiente de amortiguamiento es: ρ = 0.6. Lapfrecuencia natural de los polos de
red cerrada es: ωn = 0.75/0.6 y la amortiguada: ωd = ωn 1 − ρ2 = 1; por lo tanto, los polos
deseados están en: s1−2 = −0.75 ± j.
kp (s+1/TI )
La función de transferencia de red abierta es: GH(s) = s(s+0.5)(s+2) , por lo que basta
ajustar el cero para que el lugar pase por la raı́z deseada, como se muestra en el mapa de polos
y ceros del sistema, figura 10.15.
jω
θT i σ
−2 −1
Ti −3/4 −0.5
kp (s+1/TI )
Figura 10.15: Mapa de polos y ceros de: GH(s) = s(s+0.5)(s+2) .
El criterio del ángulo es:
kp (s + 1/TI )
∠ = −180,
s(s + 0.5)(s + 2) s=−0.75+j
de donde θT i = 89o , por lo que se tiene el cero en la parte real de las raı́ces deseadas de red
cerrada −0.75; ası́, 1/TI = 0.75, TI = 4/3s.
La ganancia proporcional kp se ajusta con el criterio de magnitud:
kp (s + 0.75)

= 1; kp = 2.2;
s(s + 0.5)(s + 2) s=0.75+j
con esta ganancia kp = 2.2 la tercera raı́z esta en s = −0.96; la figura 10.16 muestra la
respuesta al escalón en red cerrada; se observa un sobrepaso elevado por el cero en s = −0.75;
filtrándolo con Gf (s) = 0.75/(s + 0.75) se obtiene una respuesta con sobrepaso del 1.24 % y
tiempo de estabilización de 3.73s, que cumple con las especificaciones dadas. △
Para acciones de control con dos parámetros ajustables, el contorno de las raı́ces da una
idea global del efecto de cada uno de ellos y permite su ajuste.

1.2
Sin filtro
1
Con filtro
0.8
y(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
Tiempo (sec)
Figura 10.16: Respuestas al escalón en la referencia para el sistema del ejemplo 10.9.
Ejemplo 10.10
815265
Para el sistema de control de posición: Gp (s) = se desea un error permanente
s(s + 361.2)
de velocidad: essv ≤ 0.000433, un sobrepaso: Mp ≤ 5 % y tiempo de estabilización ts ≤ 0.005s,
sujeto a una acción proporcional derivativa: Gc (s) = kp (1 + Td s) = kp + kd s.
La acción derivativa solo actúa durante los transitorios, por lo que se debe ajustar kp en
función de los requerimientos de error estacionario y Td en función de la respuesta transitoria
y la estabilidad relativa requeridas.
C(s) 815265(kp + kd s)
= 2
R(s) s + (361.2 + 815265kd )s + 815265kp
Se ha adicionado un cero en red cerrada y en el denominador un término función de kd que

aumenta el coeficiente de s y por ende aumenta el amoriguamiento.
1
KV = lı́m sG(s) = 2257.1kp ; essv = = 0.000443/kp , kp ≥ 1.
s→0 KV
De la ecuacion caracterı́stica el coeficiente de amortiguamiento es:
361.2 + 815265kd
ρ= p ;
2 815265kp

ajustando kp = 1 y escogiendo ρ = 1 se obtiene: kd = 0.00177.

k
Se observa que el cero de red cerrada en s = − kdp , se acerca al origen si kd aumenta, lo que
aumenta el sobrepaso.
La ecuación caracterı́stica con kd como parámetro de variación es:
815265kd s
1+ =0
s2 + 361.2s + 815265kp
La figura 10.17 muestra el contorno de las raı́ces para variaciones de kd , en donde se observa el
efecto amortiguador de la ganancia derivativa.
jω
Kp = 1 j884
ρ = 0.2
Kp = 1/4
Kd ↑ j403
Kd = 0.00177 −903 −486 −180 σ
j403
Kp = 1/4
Kd = 0
j884
Kp = 1
Kd = 0
Figura 10.17: Contorno de las raı́ces para el sistema del ejemplo 10.10.
La respuesta al escalón de la referencia se muestra en la figura 10.18 para la acción P y la

PD; nótese la amortiguación de la respuesta; el sistema tienen un sobrepaso del 4.2 % y tiempo
de estabilización de 4.9ms, cumpliendo las especificaciones dadas para el sistema de control. △
Todos los criterios para el diseño por el lugar de las raı́ces en tiempo continuo aplican para
los sistemas de tiempo discreto, como lo ilustra el siguiente ejemplo que diseña un controlador
de avance de fase.
Ejemplo 10.11
Se diseña el sistema de control digital de la figura 10.19 por el lugar de las raı́ces.
Se desea que el sistema en red cerrada tenga un par de polos complejos conjugados dominan-
tes para un tiempo de estabilización ts = 2s con coeficiente de amortiguamiento
p de: ρ = 0.5.
La frecuencia natural es: ωn = 4 y la natural amortiguada: ωd = ωn 1 − ρ2 = 3.46. Como
ωs
la frecuencia de muestreo es: ωs = 2π T = 31.42, se tienen: ωd ≈ 9 muestreos por ciclo de la
oscilación amortiguada.

1.6
1.4
Control P
1.2
1
C(t)
0.8
Control PD
0.6
0.4
0.2
0
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
Tiempo (sec)
Figura 10.18: Respuesta control de posición con acciones P y PD para el ejemplo 10.10.
Figura 10.19: Sistema de control digital del ejemplo 10.11
Los polos p deseados en el plano Z son:

r =| z |= e−ρωn T = 0.67; θ = T ωd = 0.69 rad; p1,2 = 0.515 ± j0.428
La función de transferencia discreta a controlar es:
n 1 − e−T s o 0.0175(z + 0.876)
G(z) = Z 2 =
s (s + 2) (z − 1)(z − 0.67)
n o
El ángulo en un polo deseado es: ∠ G(z) = −231.26o , por lo que se requiere adicionar
z=p1
51.26o para cumplir el criterio del ángulo.
Asumiendo un controlador de la forma: Gc (z) = k z+α
z+β y cancelando el polo en z = 0.67 se
obtiene: α = −0.67; β se calcula para aportar el avance de fase deseado:
n z + 0.876 o 0.482

∠ = 17.1 − 138.56 − tan −1 = −180,
(z − 1)(z + β) z=0.515+j0.428 β + 0.51

de donde β = −0.254.
0.017(z + 0.876)
Gc G(z) = k ,
(z − 0.254)(z − 1)
para la cual el criterio de magnitud:
| Gc (z)G(z) |z=0.515+j0.428 = 1
permite calcular la ganancia del controlador: k = 12.67, luego el controlador diseñado es:
z − 0.67
Gc (z) = 12.67 .
z − 0.254
La función de transferencia de red cerrada:
C(z) 0.222z + 0.195
= 2 ,
R(z) z − 1.031z + 0.449
tiene un cero en z = −0.876 y los polos complejos dominantes deseados. La figura 10.20 muestra
la respuesta al escalón del sistema diseñado. △
Respuesta al escalon
1.4
SP = 16%
1.2
Ts = 2.0s
0.8
Amplitud
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (sec)
Figura 10.20: Respuesta del sistema de control digital, diseñado por lugar de raı́ces.

10.7. DISEÑO CON LA RESPUESTA DE FRECUENCIA
10.7. Diseño con la respuesta de frecuencia

La técnica clásica de diseño con la respuesta de frecuencia es el moldeo de la función de
transferencia sinusoidal de red abierta GH(jω), para lograr márgenes de ganancia y fase apro-
piados; luego se verifican las respuestas de frecuencia y del tiempo de red cerrada y se reajusta el
controlador si no se cumplen los demás requerimientos; lo anterior requiere la iteración de varios
ensayos hasta lograr una respuesta apropiada para cumplir las especificaciones de desempeño.
Existen muchos procedimientos especı́ficos para lo anterior que muestran los diversos com-
promisos inherentes al diseño de un sistema de control; en esta sección se presentan varios
ejemplos para el ajuste de controladores PID y de adelanto-atraso de fase. Se puede acudir
también al programa MATLAB, ver en el GUI SISOTOOL, la pestaña Automated Tuning
opción Loop Shaping.
Ejemplo 10.12
Para el ajuste por respuesta de frecuencia de un controlador PD kp desplaza la curva de
magnitud hacia arriba o abajo y Td corre la curva con pendiente positiva de 20db/dec a la
izquierda si aumenta o a la derecha si disminuye, ver la figura 10.21.
dB
20 dec
Td Td
Kp
1/Td ω
Figura 10.21: Cambios en la curva de magnitud del PD por cambios en sus parámetros.
La acción P tiende a aumentar ωg y el ancho de banda; la acción D mejora los márgenes de

estabilidad: M G, M F , pero puede amplificar ruido a altas frecuencias y es ineficaz si la curva
de fase es muy pendiente en cercanı́as de ωg , pues el aumento de ωg y la rápida disminución de
la fase pueden hacer que la fase adicionada por el controlador no sea suficiente.
Para el sistema del ejemplo 10.10, se diseña el controlador PD por respuesta de frecuencia;
se requiere: essv ≤ 0.00443, M F ≥ 70o , Tmax ≤ 1.05, ωT b ≤ 2000 rad/seg. Las curvas de
respuesta de frecuencia para kp = 1 y diferentes valores de kd se muestran en la figura 10.22.
El margen de ganancia es infinito para cualquier valor de kd ; con kd = 0.00177, el margen de
fase es: M F = 82.9o , la magnitud máxima de red cerrada: Tmax = 1.025 y el ancho de banda
ωT b = 1669rad/s cumpliéndose los requisitos exigidos. △
Ejemplo 10.13
Se considera una planta de segundo orden tipo uno, sujeta a una acción de control PI, como
se muestra en la figura 10.23; nótese que no es posible cancelar el polo de la planta con el cero
del controlador, pues se obtiene un sistema marginalmente estable en red cerrada.

50
Magnitud (dB)
0
kd=0.00;MF=22º
kd=0.0005;MF=46º
−50
kd=0.00177;MF=83º
kd=0.0025;MF=89º
−100
−90
Fase (deg)
−135
−180
1 2 3 4 5
10 10 10 10 10
815265(1+kd s)
Figura 10.22: Respuestas de frecuencia de GH(s) = s(s+361.2) para diferentes valores de kd .
Figura 10.23: Planta de segundo orden tipo uno, con control PI.

kp (s + 1/TI )
GH(s) = ;
T s2 (s + 1/T )
el sistema es estable solo si el cero en s = −1/TI está antes del polo en s = −1/T ; luego:
1 1
TI < T ; TI > T . La figura 10.24 muestra la forma general de la respuesta de frecuencia de red
abierta del sistema.
Nótese la simetrı́a de la curva, por lo que se busca con el diseño obtener al máximo margen
de fase ubicando la frecuencia de ganancia crı́tica ωg en la frecuencia de máximo avance de fase

−40db/dec
Magnitud (dB)
−20db/dec
0
−40db/dec
Fase (deg)
MF
1/TI ωg 1/T
−180
Figura 10.24: Respuesta de frecuencia, planta de segundo orden tipo uno, con control PI.
√
(9.14), correspondiente a la media geométrica entre el cero y el polo: ωg = 1/ TI T .
Evaluando el ángulo de GH(s) en ωg , se obtiene la relación:
TI − T
sen M F = . (10.27)
TI + T
Especificando un margen de fase deseado M Fd apropiado, TI se ajusta:
1 + sen M Fd
TI = T . (10.28)
1 − sen M Fd
De | GH(jωg ) |= 1 se obtiene:
1
kp = √ ; (10.29)
TI T
este diseño logrando el margen de fase deseado en el máximo de la fase, se denomina de simetrı́a
óptima.

El sistema es de tercer orden pero por la simetrı́a de GH(jω), se puede ajustar el controlador
PI analı́ticamente en el dominio del tiempo; la función de transferencia de red cerrada es:
C(s) kp (s + 1/TI )
= · .
R(s) T s 3 + 1 s 2 + kp s + kp
T T TI T
2 k
Reemplazando el kp ajustado en (10.29), la ecuación caracterı́stica es: s3 + sT + Tp s + kp3 = 0.
La raı́z real está en s = −kp , por lo que se factoriza: (s + kp )(s2 + (1/T − kp )s + kp2 ), de donde
q
los polos complejos tienen: ρ = 21 ( TTI − 1) y ωn = kp .
√
2
Para un coeficiente de amortiguamiento de: ρ = 2 , TI y kp se ajustan:
√
TI = ( 2 + 1)2 T ≈ 5.8T (10.30)
1 1 1
kp = √ = √ ≃ (10.31)
TI T T ( 2 + 1) 2.4T
1.4
1.2
Sin filtro
1
Amplitud
0.8 Con filtro
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Time (sec) T)
1/ sqrt(T I
Figura 10.25: Respuesta al escalón de la planta de segundo orden tipo uno, con control PI.
La respuesta a un escalón unitario en la referencia se muestra en la figura 10.25; muestra un

sobrepaso elevado debido al cero de red cerrada, pero se elimina usando el filtro en la referencia:
1
Gf (s) = TI s+1 . △

Para el diseño por respuesta de frecuencia de los sistemas de control digitales aplican los
mismos criterios del diseño de los sistemas continuos, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.14
Figura 10.26: Sistema de control digital.
Para el sistema de control digital de la figura 10.26, se desea diseñar el controlador Gc (z) en
el plano W para: M F = 50o , M G ≥ 10db, con una constante de error de velocidad: Kev = 2.
El proceso a controlar en el plano W se obtiene con las transformaciones:
n 1 − e−T s o
G(z) = Z = G(w),
s2 (s + 1) 1+0.1w
z= 1−0.1w
w w
(1 + 300.2 )(1 − 10 )
G(w) = w .
w(1 + 0.997 )
Se considera un controlador de la forma: Gc (w) = k 1+w/α

1+w/β ; la constante de error de velocidad
es:
Kev = lı́m wGc (w)G(w) = k = 2.
w→0
La gráfica a trazos en la figura 10.27 muestra la respuesta de frecuencia de kG(w); los márgenes
son: M G = 13.3db y M F = 31.60 .
Cancelando con el cero del controlador el polo en w = −0.997, la nueva frecuencia de cruce
por cero es de 2 rad/s; en esta frecuencia la fase es: G(j2) = −162o , por lo que se deben
adicionar 32o en v = 2, para lograr el margen de fase de 50o ; esto se logra con:
2 2
arctan − arctan = 32o ,
0.997 β
de donde β = 3.27 y el controlador diseñado es:
w
1 + 0.997
Gc (w) = 2 w .
1 + 3.27
El trazo continuo en la figura 10.27 muestra la respuesta de frecuencia del sistema compensado;
el margen de fase es: M F = 51.6o y el de ganancia: M G = 14.3db, cumpliendo los especificados.
Para obtener el controlador en el plano Z, se reemplaza: w = T2 z−1 z−1
z+1 = 10 z+1 , ası́:
1 z−1
1+ 0.997 [10( z+1 )] z − 0.818
Gc (z) = 2 1 = 5.43
1 + 3.27 [10( z−1
z+1 )]
z − 0.507

50
Compensado
Magnitud (dB)
Sin compensar
0
−50
−90
−135
Fase (deg)
−180
−225
−270
−2 −1 0 1 2 3 4
10 10 10 10 10 10 10
Figura 10.27: Diseño por respuesta en frecuencia del sistema de la figura 10.26.
z+0.935
La función de transferencia discreta de red abierta: Gc (z)G(z) = 0.108 (z−1)(z−0.507) tiene:
o
M G = 14.3db y M F = 51.7 , prácticamente iguales a los del plano W .
La función de transferencia discreta de red cerrada es:
C(z) 0.1018(z + 0.935)
= ,
R(z) (z − 0.702 + j0.329)(z − 0.702 − j0.329)
tiene un cero despreciable y polos complejos con ρ = 0.5 y θ = 25.15o , luego hay
360/25.15 = 14.3 muestreos por ciclo.
El diseño cumple los requerimientos; nótese que la regla de aproximación ρ ∼
= M F/100 se
cumple; no serı́a ası́ si la frecuencia de muestreo fuera muy baja. △
Se considera el controlador PID serie de la ecuación (6.7):

kp (1 + TI s)(1 + Td s)
Gc (s) = ,
TI s(1 + Td′ s)
consistente en la cascada de un PI y un PD; en la respuesta de frecuencia del controlador, figura
10.28, se observa que en baja frecuencia actúa como PI y en alta frecuencia actúa como PD.
El PID se utiliza para plantas de segundo orden o más; se estudiará el ajuste para una planta
con gran atraso de fase de tercer orden y una con un polo real y dos complejos conjugados con
bajo amortiguamiento.

M db
Td, = 0
1/Ti 1/Td 1/Td, ω
1/Td 1/Td, ω
1/Ti
Figura 10.28: Respuesta de frecuencia de un PID serie.
Ejemplo 10.15
Se tiene un controlador serie PID para controlar el proceso:
1
Gp (s) = ,
(s + 1)3
al cual se le desea rechazar disturbios hasta ωSd = 1rad/s con error nulo para disturbios
constantes.
Por ser el sistema de orden tres y requerir acción integral, se utilizan
√ las tres acciones del
controlador PID. La frecuencia de fase crı́tica de la√planta es: ωπp = 3; se escoge la frecuencia
de ganancia crı́tica un poco por debajo: ωg = 0.9 3 ≈ 1.5.
El cero del PI en s = 1/TI debe estar antes o ser igual a los polos de red abierta para
aportar pendiente positiva en ωg ; si es más lento que los polos del proceso, en el lugar de las
raı́ces habrá un polo lento de red cerrada saliendo del origen en busca de este cero; si el sistema
es de alta ganancia, el polo queda muy cerca del cero el cual es de red cerrada cancelando el
efecto del polo lento; en este caso por la gran pendiente negativa del proceso a partir de ω = 1,
no se pueden tener altas ganancias por lo que es preferible ubicar el cero en el valor de un
polo de red abierta: 1/TI = 1, luego TI = 1. La componente derivativa de √ adelanto de fase se
escoge con frecuencia central (9.14) un poco por arriba de ωg : ωm = 2 = 20z, luego el cero es
1/Td = 0.44, Td = 2.2 y Td′ = Td /20 = 0.11. Finalmente la ganancia proporcional kp se ajusta
para obtener la ωg : |GH(ωg ) = 1|, de donde kp = 1.4, el PID es:
1.4(s + 1)(2.2s + 1)
Gc (s) = .
s(0.11s + 1)(0.01s + 1)

50
0
Magnitud (dB)
−50
−100
G.M.: 13.6 dB
Freq: 3.62 rad/sec
Stable loop
−150
−90
−180
Fase (deg)
−270
P.M.: 40.6 deg

Freq: 1.5 rad/sec
−360
−1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frequencia (rad/sec)
Figura 10.29: Diagramas de bode para el sistema: Gp (s) = 1/(s + 1)3 con control PID.
La figura 10.29 muestra el diagrama de bode de GH(s) con el PID ajustado. Se observan
buenos márgenes de ganancia y de fase. Se ha adicionado un polo rápido al controlador con
frecuencia de corte de 100 para contribuir a disminuir la ganancia en alta frecuencia; el sistema
tiene un tiempo de estabilización de 4.8s ante respuestas a escalones de entrada; sin embargo
la ganancia transitoria del controlador es de 28 la cual es muy elevada generando saturación en
la señal de control; como el objetivo principal es de rechazo de los disturbios, la referencia se
puede filtrar para cancelar el cero de la acción derivativa, esto es un filtro lento a la entrada de
1/(1 + 2.2s).
La figura 10.30 muestra las funciones de sensibilidad del sistema. El ancho de banda de
la función de sensibilidad es de ωS = 1.04rad/s cumpliendo la especificación requerida; su
máximo es Smax = 1.9 menor de dos; el ancho de banda de red cerrada entre la referencia y la
salida es de ωT = 0.43, bajo, definido por el filtro de la referencia. Los disturbios de entrada
al proceso se rechazan bien y solo alcanzan máximos de 0.73; el valor máximo de la señal de
control es inferior a tres. △
Se considera el sistema de tercer orden:
ωn2
Gp (s) = ,
(τ s + 1)(s2 + 2ρωn s + ωn2 )
con bajo amortiguamiento del modo oscilatorio: 0 < ρ ≪ 1. En el ejemplo 6.2 se diseñó un PID
para el oscilador puro (τ = 0) inyectándole amortiguamiento, dando un controlador bipropio

S
2.5 T
Se
Ss
2
Magnitud (abs)
1.5
0.5
0
−1 0 1 2
10 10 10 10
Figura 10.30: Magnitud de las funciones de sensibilidad para el ejemplo 10.15.
PID paralelo con ceros complejos. En los ejercicios 10.15 y 10.16, se propone diseñar un contro-
lador digital RST, con el modo oscilatorio en alta frecuencia cerca del ancho de banda de red
cerrada. El ejemplo siguiente considera el caso de tener el modo oscilatorio en baja frecuencia.
Ejemplo 10.16
Sea el servomecanismo para el posicionamiento radial del lector de un DVD descrito en el
ejemplo 1.16. En Filardi [2003] se trasladan las exigencias de desempeño para el rechazo de
los disturbios periódicos debidos a la excentricidad, en términos de una cota máxima para la
función de sensibilidad Sd , ver la mostrada en la figura 10.31.
La atenuación de disturbios de baja frecuencia debe ser de al menos −67db en baja frecuen-
cia, hasta 25Hz. La pendiente es luego de +40db/dec hasta el ancho de banda de aproximada-
mente 1kHz; el máximo es de 3db.
En el ejemplo 2.11 se modeló el servomecanismo; para los parámetros nominales, ganancia
del sensor de 106 y del actuador de 10, se obtiene la función de transferencia del sistema a
controlar en su forma de Bode:
5.534 × 103
Gp (s) = s s2
( 4.025×10 + 1)( 1.374×10 −4 s + 1)
7 5 + 4.2 × 10
El modo oscilatorio tiene un coeficiente de amortiguamiento de 0.078 y frecuencia natural de

ωn = 370.7rad/s. La frecuencia del ancho de banda para la función de sensibilidad debe ser
mayor a 6.18Krad/s, mucho mayor que la frecuencia natural del modo oscilatorio, por lo que
los diagramas de Bode de red abierta del término oscilatorio se comportan con las ası́ntotas de
ωn2 /s2 en cercanı́as de ωg . El polo real tiene frecuencia de corte muy por encima del ancho de

Figura 10.31: Atenuación del disturbio mı́nima exigida Sd para el control de radial de un DVD.
banda del sistema por lo que puede despreciarse; ası́, la planta se aproxima a:
kB ωn2 7.604 × 108

Gp (s) ≈ 2
= .
s s2
Sea un PID serie para controlar el servomecanismo; con la acción integral, la dinámica de
red abierta se comporta con tres integradores que generan un atraso de fase de -270o , por lo
que debe usarse la acción derivativa para tener dos ceros que generen adelanto de fase suficiente
para estabilizar al sistema y lograr el margen de fase positivo. La función de transferencia de
red abierta con el PID es:
kp kB ωn2 TI s + 1 Td s + 1
GH(s) ∼
= · · ,
TI s 3 T1 s + 1 Td′ s + 1
en donde se ha adicionado el filtro de primer orden con constante de tiempo T1 para limitar la
ganancia en alta frecuencia del controlador. Nótese que a baja y alta frecuencia con relación a
ωg , la fase tiende a −270o , por lo que el sistema es condicionalmente estable ante cambios de
la ganancia proporcional.
Se tienen tres integradores y dos términos de adelanto de fase; para lograr el máximo avance
de fase, los dos términos de adelanto de fase deben tener la misma frecuencia de avance de fase
máximo ωm , teniéndose un ajuste con simetrı́a óptima. Un ajuste es considerar la constante de
tiempo TI como la más lenta, mayor que Td , con lo que el polo 1/(T1 s + 1) tendrá la constante
de tiempo más rápida, menor de Td′ ; las frecuencias de avance de fase máximas de los términos
PI y PD son: q
p
ωmP I = 1/ TI T1 ; ωmP D = 1/ Td Td′ .

La figura 10.32 muestra las curvas de fase de cada componente y la total, con la asignación:
p q
ωmP I = 1/ TI T1 = ωmP D = 1/ Td Td′ = ωg . (10.32)
Se observa que la fase es simétrica con respecto a ωg , lográndose el margen de fase M F máximo.
φ
φP ID
φP I
φP D
w
1 1 wg 1 1
Ti Td Td, T1
Figura 10.32: Curvas de fase para los términos PI, PD y PID.
De (10.27) se tienen las ecuaciones:

TI − T1 Td − Td′
sen φP I = , sen φP D = ,
TI + T1 Td + Td′
a partir de las cuales, imponiendo un avance de fase, se establece una relación entre las cons-
tantes de tiempo de cada red de avance de fase.
El margen de fase es:
M F = φP I + φP D − 90o .
La red de avance de fase del término PI se escoge con: φP I = 80o , y del PD con φP D = 70o ,
para un margen de fase de 60o . Con esta asignación, TI = 130T1 y Td = 32Td′ . Luego de varios
ensayos, se obtiene una frecuencia de ganancia crı́tica: ωg = 15K rad/s. Con esta frecuencia,
las relaciones entre las constantes de tiempo de cada red y de (10.32), se calculan las constantes
de tiempo del controlador.
√ La ganancia proporcional kp se ajusta para tener: | GH(jωg ) |= 1,
con ωg = ωm = 1/ TI T1 , con lo que se obtiene:
p ′
Td
kp = 2
√ .
kB ωn T I T 1 T d
El controlador diseñado es:
2.941 × 105 (s + 1312)(s + 2645)
Gc (s) =
s(s + 1.71 × 105 )(s + 8.51 × 104 )
La figura 10.33 muestra la respuesta de frecuencia en red abierta del sistema sin compensar y
compensado. El margen de ganancia del sistema controlado es de 23.8db y el de fase de 60.2o .
La figura 10.34 muestra las respuestas de magnitud de las funciones de sensibilidad S y T ; los
desempeños son: Smax = 1.9db, Tmax = 1.82db, ωSb = 9600rad/s y ωT b = 25000rad/s; se
observa que la función de sensibilidad cumple con la cota máxima Sd especificada en la figura
10.31. △

100
Compensado
50
Magnitud (dB)
Sin compensar
−50
−100
0
Fase (deg)
−90
−180
−270
1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10
Figura 10.33: Diagramas de Bode de red abierta del sistema sin compensar y compensado.
10
0
T
−10 S
Sd
−20
Magnitud (dB)
−30
−40
−50
−60
−70
−80
1 2 3 4 5 6
10 10 10 10 10 10
Figura 10.34: Diagramas de magnitud de red cerrada.

10.8. DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES POR EQUIVALENTE DISCRETO
10.8. Diseño de controladores digitales por equivalente

discreto
En el diseño por equivalente discreto, se asume inicialmente que el sistema de control es
continuo y se diseña el controlador análogo por cualquier técnica conocida; luego el controlador
análogo se discretiza para obtener el controlador digital; para el diseño del controlador análo-
go, se adiciona un retardo de primer orden que tome en cuenta la dinámica del retenedor de
−T s
orden cero: H0 (s) = 1−es ; usando la aproximación de Padé de primer orden para el retardo:
∼ 1−T s/2 , se obtiene:
e−T s = 1+T s/2
1 2 − Ts 2T
H0 (s) = [1 − ]=
s 2 + Ts 2 + Ts
Para no afectar la ganancia estática, se aproxima:
1
H0 (s) ≈ T
2 s+1
De esta forma se obtiene el sistema de tiempo continuo:
El sistema de control digital obtenido mediante este procedimiento es:
Gp (s)
Donde GD (z) es la discretización de Gc (s) y G(z) = (1 − z −1 )Z{ }.
s
Para aplicar el método descrito, se requiere obtener equivalentes discretos de funciones de
transferencia continuas. Si G(s) no tiene retenedor de orden cero, se puede discretizar mediante
técnicas de integración numérica o de mapeo polo-cero.
10.8.1. Discretización por integración numérica

Las técnicas de integración numérica, representan una función de transferencia: C(s)
R(s) = G(s)
por una ecuación diferencial, la cual se integra mediante una técnica numérica; la integración
discreta aproxima la derivada por diferencias de los datos discretos:
dc [c(kT + T ) − c(kT )] z−1
Euler (rectangular hacia adelante): ≈ ;s= .
dt T T

dc c(kT ) − c(kT − T ) z−1

Rectangular atrás: ≈ ;s= .
dt T Tz
2 z−1
Trapezoidal o bilineal (ver el ejemplo 3.6): s =
T z+1
Cada aproximacion es un mapeo del plano S al plano Z que aproxima: z = esT , como se muestra
en la figura.
Región de estabilidad
Plano z
Rectangular adelante: z = 1 + T s
1
Rectangular atrás: z =
1 − Ts
1 + T s/2
Bilineal: z =
1 − T s/2
Ejemplo 10.17
a
Se analiza en este ejemplo la discretización de la función de transferencia: G(s) = ,
s+a
con la aproximación rectangular adelante:
a
G1 (z) = z−1 ,
T +a
con la rectangular atrás:

a
G2 (z) = z−1
Tz +a
y con la transformada bilineal:
a
G3 (z) = 2 z−1 ;
T z+1 +a

la respuesta en frecuencia para G3 (z), evaluando z = ejω es:

a a
G3 (ejω ) = = 2
.
2 ejωT /2 −e−jωT /2
T ejωT /2 +e−jωT /2 +a T j tan ωT
2 +a
Luego la relación entre las frecuencias continua ωcon y discreta ωdis es:
2 ωdis T
ωcon = tan
T 2
Esta expresión define la distorsión en frecuencia debida a la aproximación bilineal; si la fre-
cuencia de corte continua es a, la discreta será:
2 aT
ωBD = tan−1
T 2
Note que si ωdis T es pequeño, entonces ωcon ≈ ωdis , esto es que hay baja distorsión; por el
contrario, si ωdis → ω2s , entonces ωcon → ∞, alta distorsión.
Se puede ajustar la frecuencia de corte del filtro continuo, para que al aplicar la transformada
bilineal la frecuencia de corte discreta sea la deseada; a esto se le denomina prewarping o
a
prealabeamiento; para G(s) = , a se ajusta a: a → T2 tan aT 2 , de forma que se tiene la
s+a
función de transferencia continua:
2/T tan aT /2
G′ (s) = ;
s + T2 tan aT /2
la cual al discretizarse da:

tan aT /2
G′ (z) = z−1 .
z+1 + tan aT /2
2 aT
Nótese que la frecuencia de corte del filtro digital es: ωBD = T tan−1 tan 2 = a, la deseada.
△
10.8.2. Discretización por mapeo polo-cero

En esta discretización se mapean los polos y ceros de G(s) mediante z = esT y se ajusta la
ganancia en una frecuencia especı́fica; el método tiene los siguientes pasos:
1. Polos y ceros finitos de G(s) en s = −a, se trasladan a polos o ceros en z = e−aT .
2. Si hay exceso de polos, los ceros infinitos de G(s) van a alta frecuencia ωs /2 en el sistema
discreto:
2π
z → eJ 2T T = −1 → z = −1: punto de mayor frecuencia, cumpliendo el teorema de
muestreo.
También se puede trasladar un cero infinito de G(s) a z = ∞ para que G(z) tenga
un polo más que un cero; esto garantiza que la expansión de G(z) en series de z −1 no
tenga término constante y el controlador tendrá al menos un retardo unitario, disponible
como tiempo de cálculo.

3. Ajustar las ganancias de G(s) y G(z) en una frecuencia especı́fica; la más usada es para
el estado estable: s = 0, z = 1, luego G(s) |s=0 = G(z) |z=1
Ejemplo 10.18
a
Se obtiene el equivalente discreto de G(s) = s+a por mapeo polo-cero.
1. Polo en s = −a → polo en z = e−aT
2. Cero infinito → cero en z = −1
k(z+1)
G(z) = z−e−aT
2k 1 − e−aT
3. G(s = 0) = 1 = G(z = 1) = → k =
1 − e−aT 2
(1 − eaT )(z + 1)
→ G(z) = △
2(z − e−aT )
5
Para G(s) = s+5 con a) fs = 3Hz y b) fs = 15Hz las figuras en siguiente página muestran
las respuestas de frecuencia para las diferentes funciones de transferencia discretas obtenidas
mediante los diferentes métodos.
Note que:
La regla rectangular adelante no aproxima bien para fs = 3Hz.
La transformada bilineal tiene un cero en z = −1 → eJ2πf T = −1 → 2πf T = π → f =

fs /2: en la mitad de la fs .
La transformada bilineal con predistorsión tiene el mismo ancho de banda del sistema
continuo.
Para fs = 15Hz las aproximaciones son adecuadas hasta la frecuencia de ancho de banda:
5
fc = 2π =0.8. △
Ejemplo 10.19
Discretización de un filtro Butterworth de 4o orden; la función de transferencia de este filtro
para un orden n par es:
n/2 h i
1 Y (2i + n − 1)π
Gf (s) = ; DB (s) = s2 − 2scos +1 (10.33)
DB (s/ω0 ) i=1
2n
donde ω0 es la frecuencia de corte del filtro. Para n = 2, el filtro es:
1 √
Gf (s) = s2
√ s ; ωn = ω0 , ρ = 2/2. (10.34)
ω02
+ 2 ω0 + 1
Para n = 4:

Figura 10.35: Respuestas frecuenciales de G(s) vs filtros aproximados para fs de 3 y 15Hz.
1
Gf (s) = 2 2 , (10.35)
( ωs 2 + 2 cos( π/8) ωs0 + 1)( ωs 2 + 2 cos( 3π/8) ωs0 + 1)
0 0

1.4
1.2
n=2
0.8
Amplitud
n=4 n=8
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15
Tiempo (sec)
Figura 10.36: Respuesta al escalón de filtros de distinto orden Butterworth.
La figura 10.36 muestra varias respuestas al escalón de filtros Butterworth de distinto orden.
El siguiente código de MATLAB discretiza el filtro (10.35) con ω0 = 1, mediante el mapeo
polo-cero con ωs = 10ω0 :
>> s=tf(’s’);[B,A]=butter(4,1,’s’);Gf=tf(B,A);zpk(Gf)
Zero/pole/gain:
1
----------------------------------------
(s^2 + 1.848s + 1) (s^2 + 0.7654s + 1)
>> Gd=c2d(Gf,2*pi/10,’matched’);zpk(Gd)
Zero/pole/gain:
0.0085724 (z+1)^3
-------------------------------------------------
(z^2 - 1.087z + 0.3132) (z^2 - 1.315z + 0.6182)
Sampling time: 0.62832
La figura 10.37 muestra los mapas de polos y ceros de los filtros en los planos S y Z.
La figura 10.38 muestra la respuesta al escalón del filtro discreto.
△

Plano s Plano z
=⇒
Figura 10.37: Mapas de polos y ceros de los filtros Butterworth continuo y discreto.
1.4
1.2
0.8
C(t)
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15
Tiempo (sec)
Figura 10.38: Respuesta al escalón de un filtro Butterworth discreto de 4to orden.
Luego de haber revisado diferentes técnicas de discretización de sistemas continuos, el si-

guiente ejemplo ilustra el diseño con esta técnica.
Ejemplo 10.20
1
Para el sistema del ejemplo 10.11: Gp (s) = , se desea diseñar el controlador GD (z)
s(s + 2)
a partir de la discretización del controlador continuo que obtenga un sistema en red cerrada
dominado por un par de polos complejos con ρ = 0.5 y un ts ≤ 2 seg (criterio del 2 %).

4 q √
1
Para = 2, se tiene: ρωn = 2, con ρ = 0.5 se tiene ωn = 4 rad/seg; ωd = 4 1 − 4 = 2 3,
ρωn √
se requiere por lo tanto tener polos en red cerrada en: s1−2 = −2 ± j2 3.
El perı́odo de la oscilación amortiguada es: 2π/ωd = 1.81 seg; luego para tener unos nue-
ve muestreos por ciclo de oscilación, se escoge un perı́odo de muestreo de: T = 0.2 seg. La
dinámica equivalente continua para el retenedor es:
1 1 10
GROC = T
= =
2 s+1 0.1s + 1 s + 10
El sistema a diseñar en tiempo continuo se muestra en la figura 10.39.
R(s) + 1 C(s)
Gc (s) 10
s+10 s(s+2)
−
Figura 10.39: Sistema equivalente de tiempo continuo.
El controlador continuo Gc (s) se puede diseñar con un cero que cancele el polo en s = −2, un
polo y una ganancia
√ ajustados de tal forma que se cumplan los criterios de ángulo y magnitud
en s1−2 = −2 ± j2 3, ası́:
s+2
Gc (s) = 20.25
s + 6.66
La dinámica en red cerrada:
C(s) 202.5
= √ √ ,
R(s) (s + 2 + j2 3)(s + 2 − j2 2)(s + 12.66)
tiene el tercer polo muy rápido, siendo despreciable.
Discretizando Gc (s) con mapeo polo-cero:
Polo en s = −6.66 → z = e−6.66T = 0.2644
Cero en s = −2 → z = e−2T = 0.6703
El controlador discreto es:

z − 0.6703
GD (z) = 13.57( ),
z − 0.2644
donde la ganancia k = 13.57 se ha obtenido igualando las ganancias en estado estable: Gc (0) =
GD (1). El controlador discreto es ligeramente distinto al obtenido con el diseño por el lugar de
las raı́ces del ejemplo 10.11 pues para éste no se hizo la aproximación del retenedor de orden
cero.

La dinámica discreta a controlar en red abierta es:

1 − e−0.2S 1 0.0175(z + 0.876)
G(z) = Z · =
s s(s + 2) (z − 1)(z − 0.6703)
La dinámica discreta de red abierta es:

(1 + 0.876z −1 )z −1
GD (z)G(z) = 0.2385 · ,
(1 − 0.2644z −1 )(1 − z −1 )
donde se observa que se cancela el polo en z = 0.6703. La dinámica discreta de red cerrada es:
C(z) 0.2385z −1 + 0.2089z −2

= ,
R(z) (1 − 1.0259z −1 + 0.4733z −2 )
√ 1.0259
la cual tiene polos en: r = 0.4733 = 0.688, cos θ = 2∗0.688 = 0.7456, θ = 41.8o .
√ 2 p
De r = e−ρθ/ 1−ρ y θ = ωn T 1 − ρ2 , se obtienen: ρ = 0.453 y ωn = 4.092, valores muy
cercanos a los esperados. La respuesta al escalón se muestra en la figura 10.40; se observa una
buena aproximación entre la respuesta del sistema continuo y el digital.
△
1.4
SP = 19%
1.2
1
SP = 16.5%
Ts = 2.0s
0.8
Amplitud
0.6
0.4
Respuesta del sistema de control análogo

Respuesta del sistema de control digital
0.2 diseñado mediante equivalente discreto
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Tiempo (sec)
Figura 10.40: Respuestas, control análogo y digital diseñado por equivalente discreto.

10.9. ESTRUCTURAS DE CONTROL
10.9. Estructuras de control

Lúdica 10.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 45 minutos y requiere de nylon inelástico,
pesas, lapiceros, papel, el cilindro y el plano de icopor. Esta actividad se realiza con al menos
tres personas.
PARTE I
1.) Dos personas sostienen la masa con una cuerda cada uno en un extremo; en un ex-
tremo una de ellas realizará movimientos periódicos repetitivos subiendo y bajando la masa;
en el otro extremo una segunda persona tiene los ojos cerrados y debe responder subiendo o
bajando la masa a la orden de la tercera persona; esta última se situará al frente de la masa y
buscará mantenerla a una altura dada.
2.) Se realiza el paso anterior con la segunda persona observando a la primara (no a la
masa), tratando de compensar su acción; también debe responder a la tercera persona.
Tome nota del desempeño logrado para cada caso. Defina el rol de cada persona con rela-
ción a los elementos y variables de control. Proponga un diagrama de bloques para describir
cualitativamente al sistema.
PARTE II
3.) Una persona sostiene el plano en sus manos a la altura del pecho con los ojos cerrados;
una segunda persona se ubica al frente de la primera y le indica (vı́a voz o tacto) la acción a
realizar sobre el plano para ubicar el cilindro en la posición que le muestre una tercera persona,
quien mostrará con el dedo las diferentes posiciones deseadas para el cilindro por debajo del
plano.
4.) Se repite el punto anterior con la primera persona observando el cilindro y la posición para
éste definida por el dedo de la segunda persona, la cual continúa respondiendo a las solicitudes
de la tercera persona como en el punto anterior.
Tome nota del desempeño logrado para cada caso. Defina el rol de cada persona con rela-
ción a los elementos y variables de control. Proponga un diagrama de bloques para describir
cualitativamente al sistema.
10.9.1. Estructura de control serie

La acción de control PID o la generalizada RST actúan sobre la señal de error o una versión
filtrada de ésta, como se muestra en la figura 10.41.
R(s) + U (s) C(s)

GC (s) GP (s)
−
H(s)
Figura 10.41: Estructura de control serie.
Esta estructura corresponde al arreglo de la bucla de realimentación tı́pica de la figura 1.26 o

su contraparte digital de la figura 1.29 y es la más utilizada en la práctica; sinembargo, en ciertos

casos se tienen medidas adicionales a la salida controlada y requerimientos especı́ficos para la

regulación y el seguimiento; en tales casos se utilizan otras estructuras de control diferentes a
la serie.
10.9.2. Estructura de control paralela

La estructura paralela o de realimentación usa un compensador dinámico en realimentación,
como se muestra en el diagrama de bloques de la figura 10.42.
Figura 10.42: Estructura de control paralela.
Se tiene una acción de control serie con el compensador Gc1 (s); a la señal de medida principal
B1 (s) se le adiciona la señal de salida del compensador paralelo Gc2 (s), el cual tiene como
entrada la variable auxiliar C2 (s) de la planta.
Esta acción de control se usó mucho en los primeros controladores mecánicos y neumáticos,
en donde Gc1 (s) era un controlador P de alta ganancia, y se realimentaba la señal de control
C2 (s) = U (s) con Gc2 (s) como reductor de la ganancia transitoria de la acción de control, ver
en el ejemplo 5.5 esta estructura control. También en algunos casos se usa como variable de
entrada al compensador paralelo la misma señal de salida C1 (s), la acción de control paralela
puede actuar sobre el error o sobre la señal de control; la figura 10.43 muestra otras estructuras
de control paralelo.
10.9.2.1. Diseño
Con H(0) = 1 y acción integral en el controlador serie Gc1 (s), para garantizar que la
entrada al controlador sea el error en estado estable: ess = lı́m s[R(s) − B1 (s) − B2 (s)]; esto
s→0
exige que B2 (s) = 0 para s = 0, por lo que el compensador paralelo debe tener un derivador;
en general se requiere una ganancia estacionaria nula en Gc2 (s) con un derivador pues la salida
del compensador paralelo B2 (s) se suma a la realimentación principal y su valor estacionario
debe ser nulo para no afectar el error permanente.
Como la planta a controlar usualmente es de atraso, la señal auxiliar está en adelanto con
la salida; esto y el uso de la derivación en el compensador paralelo disminuye el requerimiento

R(s) + U (s) C(s)

GC1(s) GP (s)
−
GC2(s)
H(s)
R(s) +
U (s) C(s)
GC1(s) GP (s)
−
GC2(s) GC2(s)
H(s)
Figura 10.43: Estructuras de control paralelo.
de avance de fase (ceros) en el controlador serie Gc1 (s). En general su ajuste se realiza con los
criterios para una acción derivativa o de adelanto de fase.
Podrı́a pensarse en evitarse la medida de C2 (s) utilizando derivadores para calcularla a partir
de C1 (s); sin embargo, la derivación repetida de señales genera ruido, por lo que es preferible
sensar directamente la variable auxiliar. El siguiente ejemplo ilustra un procedimiento de ajuste
de este compensador.
Ejemplo 10.21
Para el sistema de control de la exitación, con excitatriz y dinámica apreciable del actuador,
diseñar el compensador en serie y la red estabilizadora GR (s); se considera TG > TE > TA ;
se toma como variable auxiliar la tensión de campo del generador. La figura 10.44 muestra
los diagramas de bloques del sistema controlado y el diagrama reducido. Para no disminuir la
precisión en estado estable: Y2ee = 0 luego GR (s = 0) = 0 y debe haber derivación. Para que
GR (s) sea de fácil diseño e implementación y no se amplifiquen armónicos de Vf (s), se deben
tener polos en GR (s).
GC (s) [1 + GR (s) (1 + TG s)]
GH(s) =
(1 + TG s)(1 + TE s)(1 + TA s)
Cancelando el retardo intermedio con el adelanto de la realimentación auxiliar:
1 + GR (s)(1 + TG s) = 1 + TE s,
TE s
GR (s) = ;
1 + TG s
la figura 10.45 muestra el diagrama de bloques del sistema con el controlador paralelo diseñado.
Para el diseño el controlador serie (ver el diagrama de bloques equivalente, figura 10.46), GC (s)

Vr (s) + Vf (s) Vt (s)

1 1
Gc (s) (TA s+1)(TE s+1) TG s+1
−
Y2 (s)
+
GR (s)
+
Vr + Vt
1
GC (s) (TA s+1)(TE s+1)(TG s+1)
−
1 + GR (s)(TG s + 1)
Figura 10.44: Sistema de control general y reducido, ejemplo 10.21.
Vr + Vt
GC (s) 1
(TG s+1)(TE s+1)(TA s+1)
−
TE s + 1
Figura 10.45: Sistema de control con el controlador paralelo ajustado.
Vr (s) + Vt (s)
1
TE s+1 GC (s) 1
(TG s+1)(TA s+1)
−
Figura 10.46: Sistema de control equivalente para el diseño del controlador serie.
se puede escoger como un PI con TI = TG y KP para el ρ deseado; nótese que por el adelanto
en GR (s) no se requiere acción D en Gc (s). △

10.9.2.2. El predictor de Smith

Un controlador paralelo utilizado para control de procesos con grandes tiempos muertos es
el predictor de Smith Smith [1959], ver la figura 10.47.
Figura 10.47: El predictor de Smith.
En el controlador paralelo se usa un modelo del proceso sin tiempo muerto G b p (s) y la
b
estimación del tiempo muerto Tm ; la idea es tener en la realimentación la salida con predicción
B(s) = esTm C(s) de forma que el controlador serie solo se diseña para el proceso sin tiempo
muerto Gp (s).
La función del transferencia del sistema es:
C(s) Gc (s)Gp (s)e−sTm
= (10.36)
R(s) b p (s) − Gc (s)G
1 + Gc (s)G b p (s)e−sTbm + Gc (s)Gp (s)e−sTm
b
b p (s)e−sTm = Gp (s)e−sTm , la función de transferencia
Si el modelo estimado es igual al proceso: G
se simplifica a:
C(s) Gc (s)Gp (s)e−sTm
= (10.37)
R(s) 1 + Gc (s)Gp (s)
que corresponde a un sistema de control con función de transferencia de red abierta Gc (s)Gp (s)
en cascada con el tiempo muerto e−sTm , por lo que el controlador serie Gc (s) se diseña solo
para la dinámica del proceso sin tiempo muerto Gp (s).
Ejemplo 10.22
−Tm s
Para el proceso de primer orden con tiempo muerto: Gp (s) = eτ s+1 , la figura 10.48 muestra
las respuestas al escalón de referencia, para τ = 1s y diferentes tiempos muertos: Tm = 0.5, 1 y
2s. Se utiliza el mismo controlador PI con los parámetros kp = 3 y TI = 3/8 para los tres valores
del tiempo muerto. Se observa que el predictor cumple su objetivo de separar la dinámica del
proceso del tiempo muerto. △

1.4
1.2
0.8
c(t)
Tm=0.5
0.6
Tm=1
0.4 Tm=2
0.2
0
0 5 10 15 20 25
Tiempo (s)
Figura 10.48: Desempeños con predictor de Smith, PI y procesos de orden 1 con diferentes Tm .
El predictor de Smith se aplica a procesos Gp (s) estables, pues de lo contrario la salida

del predictor en la figura 10.47 serı́a inestable, perdiéndose la estabilidad interna del sistema.
También tiene limitación para el rechazo de disturbios en procesos con integración; la función
de transferencia equivalente para el controlador serie con el predictor sin error de modelado es:
U (s) Gc (s)
= Gcs (s) = (10.38)
R(s) − C(s) 1 + Gc (s)Gp (s)(1 − e−sTm )
si hay integración en la planta Gp (s) = G(s)/s, con G(0) = k y en el controlador Gc (s) =

Gpd (s)/s, Gpd (0) = kp , la ganancia estática del controlador con el predictor es:
Gc (s) s 1
Gcs (0) = lı́m −sT
= lı́m −sT
= (10.39)
s→0 1 + Gc (s)Gp (s)(1 − e m ) s→0 k(1 − e m ) kTm
es constante y no infinita, por lo que habrá error estacionario por disturbios constantes.
10.9.3. Estructura de control en cascada

La figura 10.49 muestra el diagrama de bloques para el control en cascada de dos lazos; la
estructura se puede usar con más lazos de control.
Se tiene una medida auxiliar en el proceso C2 (s), la cual se controla con Gc2 (s) en la bucla
interna; la referencia R2 (s) del controlador interno Gc2 (s) es la salida del controlador del lazo

Figura 10.49: Estructura de control en cascada.
externo Gc1 (s), por ello el nombre de esta estructura de control en cascada; también se le
denomina control maestro esclavo.
La idea es explotar los beneficios de la realimentación al subdividir una planta compleja
y resolver el problema de control a pasos, mediante controladores simples. De esta forma se
eliminan rápidamente los efectos de disturbios internos de entrada o salida a GP 2 (s), se corrigen
mejor las alinealidades e incertidumbres del lazo interno; una aplicación tı́pica de esta estructura
de control es el uso de un lazo de control interno de alta ganancia para la variable manipulada
del proceso, para mermar las limitaciones de desempeño asociadas a las alinealidades de los
actuadores, analizadas en la sección 5.8.2; con un lazo de control interno, el controlador externo
estará menos sujeto a saturación. Otras ventajas importantes son desde el punto de vista de
la implementación y la operación del sistema; el diseño y la implementación se pueden realizar
de forma sistemática por lazos, iniciando desde el más interno; una vez se verifica su correcta
operación se avanza hacia los lazos más externos. Operativamente el control manual se realiza
con el lazo interno y se pueden limitar señales intermedias importantes imponiendo saturaciones
en las referencias de los controladores que las gobiernan.
Por supuesto que lo anterior tiene su precio pues se requiere de un controlador y sensor por
cada lazo. También si las buclas tienen acción integral, la respuesta es más lenta ante cambios
en la referencia que la de un sistema con un solo lazo. Dadas las ventajas de esta estructura de
control, está ampliamente difundida en la industria.
10.9.3.1. Diseño del control en cascada

Como se mencionó el diseño de esta esta estructura de control se realiza por cada lazo desde
el más interno; para ilustrarlo se considera el control en cascada de tres lazos para una planta
sobreamortiguada de tercer orden, ver la figura 10.50.
La constante de tiempo Te4 corresponde a la dinámica del actuador o a la dinámica equiva-
lente de otra bucla interna. Se considera T1 > T2 > T3 > Te4 . Para seleccionar los controladores,
es conveniente por estandarización que todos los lazos sean del mismo tipo, en este caso por
controlar sistemas de primer orden, del tipo Proporcional Integral; el ajuste se realiza por pasos
comenzando por la bucla más interna:
Kp3 (1 + Ti3 s)
GH3 (s) =
Ti3 s(Te4 s + 1)(T3 s + 1)

Figura 10.50: Control en cascada de tres lazos.
Con Ti3 = T3 , se tiene:

C3 Kp3
= 2
R3 Ti3 Te4 s + Ti3 s + Kp3
1 Kp3
donde: 2ρωn = Te4 ; ωn2 = Ti3 Te4 ; despejando Kp3 se obtiene:
T3
Kp3 = (10.40)
4ρ2 Te4
con esta expresión se ajusta Kp3 para el ρ deseado.
La dinámica simplificada del lazo es:

C3 1
≈ Ti3
R3 Kp3 s +1
Ti3
La constante equivalente es: Te3 = Kp3 , Te3 = 4ρ2 Te4 .
Para el segundo lazo, la función de transferencia de red abierta es:

Kp2 (1 + Ti2 s)
GH2 (s) =
Ti2 s(Te3 s + 1)(T2 s + 1)
la cual tiene la misma forma de GH3 (s); igual sucede con GH1 (s); por tanto, Gc2 (s) y Gc1
se ajustan de la misma forma que Gc3 (s); si se asigna el mismo ρ para todos los lazos, el
procedimiento es recursivo, con escalamiento en el tiempo: α = 4ρ2 .
La constante de tiempo equivalente de todo el sistema de control, Te será Te = α3 Te4 , ası́,
para una respuesta total rápida, debe tenerse el menor retardo posible en la bucla más interna.
Es posible no utilizar el lazo interno 3, en cuyo caso Gc2 (s) puede ser un PI que se ajusta
,
con Te3 = Te4 + T3 ; o bien, Gc2 (s) puede ser un PID que cancela T2 y T3 con Te3 = Te4 + Td2 ;
en cualquier caso, Gc1 (s) será un PI ajustado de la misma forma; el PID mejora la velocidad
de respuesta a cambios en la referencia y no cuesta más que el PI, lo que permite reducir los
costos de la bucla no implementada.
Si una bucla interna tiene una integración:

kp (1 + TI s)
GH(s) =
TI T s2 (1 + Te s)

se ajusta por simetrı́a óptima: TI = (2ρ + 1)2 Te ; kp = 1/(2ρ + 1)Te .
1 C 1
Se usarı́a un filtro en la referencia TI s+1 y la dinámica simplificada del lazo será R = TI s+1 ,
2
donde Te1 = TI = a Te con a = (2ρ + 1).
Es posible también que el proceso a controlar no tenga una estructura en cadena por las
interacciones internas, como lo muestra la figura 10.51.
Y1 + Y2 Y3
G1 (s) G2 (s)
−
G3 (s)
Figura 10.51: Sistema de control con interacción interna.
En este caso, Y2 es la variable auxiliar medida para la bucla interna; para obtener la estruc-
tura en cadena, basta aplicar el álgebra de los diagramas de bloques, para obtener el diagrama
de la figura 10.52.
Y1 + Y2 Y3
G1 (s) G2 (s)
−
G2 G3 (s)
G1
1−G1 G2 G3
Figura 10.52: Sistema de control sin interacción interna.
Ejemplo 10.23
Se desea regular la velocidad w de un motor de corriente continua, con posibilidad de limitar
la corriente de armadura ia para protección del motor; esto lleva a una arquitectura de control
cascada de las variables ia y w, ver la fiura 10.53.
Si Tm < 4Ta el coeficiente de amortiguamiento ρ < 1; si Tm > 4Ta entonces ρ > 1, lo que es
más usual de encontrar en la práctica; el modelo del motor para el diseño del control cacada se
muestra en la figura 10.54.
Asumiendo Tm > 4Ta , factorizando el denominador de ia /ea con constantes de tiempo T1 y
T2 , agregando el retardo de primer orden T3 para el retardo equivalente del actuador y usando
un PID para la bucla de corriente, se tiene:
Kp2 (Ti2 s + 1)(Td2 s + 1) Tm s 1
GHI (s) = ,
Ti2 s(Td2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T3 s + 1)

ea + ia w
1 1
(Ta s+1) Tm s
−
eb
Figura 10.53: Modelo del motor de C.C.
ea + ia w ea ia w
1 1 Tm s 1
(Ta s+1) ⇒
Tm s (Tm Ta s2 +Tm s+1) Tm s
−
1 ⇓
Tm s √ p
wn = 1/ Tm Ta ; ρ = 21 Tm /Ta
Figura 10.54: Modelo para el control cascada del motor de C.C.
con T1 > T2 > T3 > Td, ; ajustando Ti2 = T1 , Td2 = T2 ,
Kp2 Tm /Ti2
GHI (s) = ,
(T2d s + 1)(T3 s + 1)
√
Kp2 se ajusta para ρ = 1/ 2.
ia Kp2 Tm /Ti2 K2′

= , , ≈
iaref T2d T3 s 2
+ (T2d + T3 )s + 1 (TeI s + 1)
Kp2 Tm ,
con K2′ = Ti2 y TeI = T2d + T3 .
El lazo de velocidad se muestra en la figura 10.55.
wr + K2, 1 w
Gc1 TeI s+1 Tm s
−
Figura 10.55: Diagrama para el control de velocidad del motor de C.C.
Gc1 (s) puede ser un PI ajustado por simetrı́a óptima:
Kp1 K2′ (Ti1 s + 1)

GHw (s) =
Ti1 Tm s2 (TeI s + 1)
Tm
Con Ti1 = (2ρ + 1)2 TeI y Kp1 = K2′ (2ρ+1)TeI . △

10.9.4. Estructuras de control directo

10.9.4.1. Estructura de control directo de disturbio
Las limitaciones de desempeño analizadas en los capı́tulos 4 y 5 con relación al rechazo de
disturbios desconocidos, exigen anchos de banda mı́nimos para un rechazo efectivo del disturbio,
pero esto puede estar en compromiso con las limitaciones por ruido o incertidumbre en el
modelo; si en la planta se mide el disturbio principal, se puede rechazar con la estrategia de
control directo del disturbio de la figura 10.56.
D(s)
GC2(s)
+ U +
R(s) C(s)
+ GC1(s) + GP 1(s) + GP 2(s)
−
H(s)
Figura 10.56: Estructura de control directo de disturbio.
El controlador serie Gc1 (s) rechaza el disturbio solo después de que éste desvı́a la salida
y genera error, con los retardos del proceso Gp2 (s) y de la medida; el controlador directo
de disturbio Gc2 (s) genera una acción correctiva U (s) mucho más rápida pues su entrada es
directamente la perturbación; con un conocimiento preciso de la dinámica del proceso Gp1 (s)
se puede compensar completamente el efecto del disturbio sobre la salida.
La salida debida solo al disturbio es:
Cd (s) = [Gc2 Gp1 + 1]Gp2 D(s)
La componente del disturbio en la salida se elimina escogiendo el controlador:

1
Gc2 (s) = − (10.41)
Gp1 (s)
Como Gp1 (s) es usualmente de atraso entonces Gc2 (s) será de adelanto con alta ganancia tran-
sitoria, luego la compensación durante el transitorio solo es efectiva si no hay saturación del
actuador. La reducción del efecto del disturbio por la realimentación permite reducir la ganan-
cia del controlador directo Gc2 (s) o bien disminuir la acción integral del controlador serie Gc1
mejorando la velocidad de respuesta y el amortiguamiento.
El control directo se puede usar en red abierta, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.24
El generador autorregulado autoexcitado se emplea bastante en pequeñas centrales de
energı́a por su simplicidad y economı́a, ver el diagrama de bloques en la figura 10.57. La au-
toexcitación se da a través del transformador saturable TPS, se toma el voltaje generado, se
rectifica y se alimenta el campo con Vs , lo que genera una realimentación positiva; el nivel de
saturación se ajusta para que el TPS lleve la tensión desde la remanencia hasta la nominal;

+ TI
Vt
Vf G
−
TPS
+
VI Transformador
-
Saturable
+
Vs
-
Figura 10.57: Generador con control directo de disturbio.
cuando hay corriente de carga en el generador (perturbación), la salida del transformador de

corriente TI rectificada VI alimenta al campo del generador, compensando la caı́da de tensión
en la reactancia interna del generador. El diagrama de bloques de la figura 10.58 describe este
sistema.
I
0.15
VI
+ −
Vs Vf 1 Vt
+ (Tg S+1) +
Figura 10.58: Modelo del control directo para el generador sincrónico.
La dinámica equivalente entre perturbación y salida para el generador es:

Vt 1 Tg s
=[ − 1] = −
0.15I Tg s + 1 Tg s + 1
La respuesta a un escalón unitario correspondiente a aplicar la carga nominal I(s) = 1/s, se
muestra en la figura 10.59, para distintos valores de la constante de tiempo del generador.
Nótese que el control directo es más efectivo entre menor sea el retardo entre el punto de
entrada del disturbio y la señal de compensación. △
El control directo de perturbaciones es de red abierta por lo que no compensa los efectos
de las variaciones parámetricas y los demás disturbios, por ello lo usual es encontrarlo como
complemento de un lazo de control serie.

Vt
[PU]
1.0
Tg
Sin control directo
0.85
Figura 10.59: Respuestas del voltaje en terminales con el control directo.
10.9.4.2. Estructura de control directo de referencia

En el capı́tulo 4 se usó en red abierta un controlador directo de referencia; en el ejemplo 4.1
se consideró que se puede utilizar también en red cerrada; igualmente en el controlador RST el
filtro Gf (s) afecta únicamente a la entrada de referencia. Para un mejor control de la respuesta
del sistema a la entrada de referencia se usa un controlador directo que ajusta la dinámica de
la señal de entrada, ver la figura 10.60.
U (s)
R(s) + C(s)
GC2(s) GC1(s) GP (s)
−
H(s)
Figura 10.60: Estructura de control directo de referencia en serie.
A esta estructura se le denomina de dos grados de libertad; como la salida de Gc2 (s) es
entrada de Gc1 (s), los controladores están en serie; el controlador Gc1 define la dinámica de
regulación para el rechazo de disturbios y el controlador directo Gc2 la dinámica para el segui-
miento de la referencia. Si la referencia tiene componentes de alta frecuencia (como escalones)
que pueden saturar el actuador y excitar las incertidumbres, se puede atenuar con una dinámica
Gc2 o como en el PID práctico con la constante de ganancia b; es muy común usar este com-
pensador para cancelar ceros lentos del controlador o del proceso que por ser también de red
cerrada, aumentan el sobrepaso de la salida ante escalones de la referencia.
En el control de servomecanismos de altas prestaciones con control de la 1a y 2a derivadas de
la referencia, se usan señales filtradas de la referencia que actúan directamente sobre la señal de
control, como muestra la figura 10.61; esto evita los retardos del controlador serie Gc1 (s) lo que
aumenta la velocidad de respuesta a la referencia y disminuye la señal de salida del controlador

serie, permitiendo reducirle la ganancia; también se facilita el control manual en caso de falla
del controlador.
GC2(s)
U (s)
+
R(s) + C(s)
GC1(s) + GP (s)
−
H(s)
Figura 10.61: Estructura de control directo de referencia en paralelo.
En cualquiera de los dos casos del control directo de referencia, el controlador directo Gc2 (s)
está por fuera del lazo de realimentación y no afecta por lo tanto la dinámica del lazo realimen-
tado; si éste esta mal diseñado o es inestable, el compensador directo no puede subsanar estas
deficiencias de funcionamiento.
En general se pueden encontrar las diversas estructuras de control analizadas en esta sección
en combinaciones de unas con otras; por ejemplo, al control en cascada de un servomecanismo
con múltiples lazos con control integral, se le puede adicionar un control directo de referencia
en paralelo para obtener una rápida respuesta ante cambios en la referencia. Sinembargo debe
recordarse que se requieren más controladores y medidas adicionales con el mayor costo en el
diseño, implementación y mantenimiento que ello implica, por lo que su utilización depende de
un análisis de costo beneficio, ver la sección 1.4.3.3 de justificación del proyecto en el capı́tulo
1.
En servomecanismos de altas prestaciones con control de velocidad y aceleración de la refe-
rencia, se puede usar el control en cascada más el control directo dinámico de la referencia. El
siguiente ejemplo ilustra esta estrategia de control.
Ejemplo 10.25
La figura 10.62 muestra el diagrama de bloques de un control en cascada de posición y
velocidad junto con un control directo serie y paralelo de la referencia.
Se tienen dos lazos de control en cascada con controladores PI para la velocidad y la posición;
los filtros con constantes de tiempo Tg1 y Tg2 eliminan los ceros de los controladores de posición
P Ix y velocidad P Iw .
La referencia de posicición se filtra con un modelo de referencia de segundo orden ajustado a
la dinámica deseada de seguimiento. Adicional a la referencia de posición filtrada, la referencia
de velocidad wr se suma a la referencia del lazo de control interno de velocidad, a través de
una ganancia K ajustable; con esta entrada directa de referencia el lazo de control velocidad
no ‘espera´ el error dinámico en la bucla externa de posición, aumentando la velocidad de
respuesta del sistema.
La figura 10.63 muestra la respuesta a un escalón de xr (t) sin el control directo y con el
control directo serie, usando un modelo de referencia con coeficiente de amortiguamiento ρ = 1.

Modelo de referencia
r + 1
1 1
(Tg1 s+1) Tm1 s+1 Tm2 s Control directo de la
wr K
− referencia de velocidad
con R(s) = 1/s: wr y xr : continuo
xr
+ x
+ + w 1
P Ix 1
P Iw 1 1
Tg2 s+1 T3 s+1 T2 s T1 s
− −
Figura 10.62: Control en cascada y directo de referencia.
1 1
xr
K=0 K=0
x
t t
Figura 10.63: Respuestas, control del servo a escalón de xr (t) y con modelo de referencia.
El error de seguimiento se reduce aún más con el control directo paralelo de velocidad; la
figura 10.64 muestra el error xr (t) − x(t) para distintos valores de K. Con K = T1 /Tm2 el error
xr − x
K=0
K = 0.5 TTm2
1
T1
K= Tm2
K = 1.5 TTm2
1
Figura 10.64: Error xr − x para distintos valores de K.

10.10. RESUMEN
es despreciable y la respuesta del sistema es la del modelo de referencia para cualquier r(t), aún
con cambios de parámetros y perturbaciones de carga. △
10.10. Resumen
Este capı́tulo se dedicó al diseño de sistemas de control lineales. Se revisaron las conside-
raciones fundamentales más importantes para el diseño, en términos de reglas, restricciones,
arquitecturas posibles y las especificaciones deseadas de desempeño tanto en el tiempo como
en la frecuencia. Se estudiaron diversos métodos de diseño: la sı́ntesis para la asignación de
polos con controladores PID y RST, que incluyó restricciones de diseño como el filtrado de
perturbaciones, el bloqueo de señales en el lazo o la cancelación de polos o ceros estables de la
planta; por análisis con el lugar de las raı́ces y la respuesta de frecuencia tanto para sistemas
de control digitales como continuos.
Para el diseño de un sistema de control digital, donde se conoce el controlador continuo
que responde apropiadamente (diseñado considerando un retardo de primer orden adicional
para tener en cuenta la dinámica del retenedor de orden cero) o una dinámica como la de un
filtro continuo a discretizar, se puede usar el equivalente discreto del sistema continuo obtenido
mediante discretización numérica (rectangular adelante, atrás o bilineal) o por mapeo polo-cero.
Aparte de la estructura de control serie de la bucla de realimentación tı́pica, en la práctica
se encuentran otras estructuras que calculan la acción de control a partir de:
Señales intermedias del proceso con acción sobre el error: paralela.
La referencia con acción sobre el error: directa de referencia en serie.
La referencia con acción sobre la salida del controlador serie: directa de referencia en
paralelo.
Un disturbio medible con acción sobre la salida del controlador serie: directa de disturbio.
Variables intermedias importantes del proceso y la cascada de controladores de los múlti-
ples lazos anidados: cascada.

Existen muchos programas de computador que facilitan el diseño de los sistemas de control.
La interfaz gráfica de usuario SISOTOOL del MATLAB, aparte de las herramietan gráficas
para el diseño como la respuesta de frecuencia y el lugar de las raı́ces, tiene la opción Automa-
ted Tuning para diseñar controladores con sintonı́a automática por optimización, control por
modelo interno, moldeo de la respuesta de frecuencia y una opción especı́fica para el diseño de
controladores PID. Igualmente la herramienta permite definir diversas arquitecturas de control,
para controladores serie o paralelo, el control directo de referencia y el control cascada. Para
diseño robusto, la opción Multimodel configuration permite considerar arreglos de modelos para
diferentes valores de los parámetros, ver detalles en MathWorks [2013].
El capı́tulo 5 de Aström and Wittenmark [1997] presenta un análisis detallado de la asig-
nación de polos robusta, que lleva a los criterios de diseño establecidos en la sección 10.4. El
capı́tulo se ilustra con el control de los sistemas doble integrador y oscilador.

Se recomienda consultar manuales de fabricantes e identificar las estructuras de control

disponibles de controladores autónomos, las funciones de control disponibles en los controladores
lógicos programables y en los sistema SCADA.
En control de procesos se utilizan otras estructuras de control adicionales a las presentadas
en este capı́tulo para ciertos problemas de control:
1. Control de relación entre dos variables; se controla una de las variables para mantener
una relación deseada entre ellas.
2. Varias salidas controladas con una sola variable manipulada; se realiza un control selectivo
entre las señales de control, para definir cuál actúa sobre la variable manipulada.
3. Una salida controlada con varias variables manipuladas; se reparte la ación de control
entre las variables manipuladas; se conoce como control de rango partido.
Estos sistemas de control son no lineales y se ajustan la mayorı́a de las veces de forma heurı́stica;
para un análisis de estas estructuras de control, ver Shinskey [1988].
Para estategias de control de plantas con tiempo muerto, el libro Normey and Camacho
[2007] presenta una buena revisión, con estrategias de control para procesos inestables o con
integración.
Para otras técnicas de diseño del RST como el control de mı́nima varianza, ver Landau
[1993].
El control H∞ permite diseñar controladores directamente imponiendo restricciones en las
funciones de sensibilidad de red cerrada, ver Skogestad and Postlethwaite [2005].
Existen técnicas analı́ticas que extienden el diseño con la respuesta de frecuencia a los siste-
mas multivariables (fuera del alcance de este libro), ver por ejemplo Skogestad and Postlethwaite
[2005].

Ejercicio 10.1
¿Que estrategia de control usa un piloto al observar la intensidad del viento durante el
despege o aterrizaje?
Ejercicio 10.2
¿Que estrategia de control usa el conductor de un automóvil, que al observar las curvas del
camino, actúa sobre la dirección para mantener el vehı́culo bien posicionado en medio de la
ruta?

Ejercicio 10.3
Desarrolle el procedimiento para resolver los diferentes ejemplos de controladores PID y
RST diseñados por asignación de polos en este capı́tulo.

Figura 10.65: PID continuo en forma de velocidad.
Ejercicio 10.4
Para el controlador PID de velocidad de la figura: 10.65 defina el procedimiento de sı́ntesis
del controlador para plantas de la forma: Gp (s) = a2 sb21+a
s+b0
1 s+a0
.
Ejercicio 10.5
Para el sistema oscilador Gp (s) = s21+1 , diseñe controladores PID para obtener dinámicas
de red cerrada dominadas por un par de polos complejos con coeficiente de amortiguamiento
ρ = 0.7 y frecuencias naturales de 2 y 4 rad/s. Compare los desempeños obtenidos ante escalones
de referencia y disturbios de salida.
Ejercicio 10.6
1
Para el proceso: Gp (s) = (s+1)(−0.5s+1) , diseñe un RST continuo de forma que tenga dinámi-
cas de seguimiento y regulación dominadas por un par de polos complejos conjugados con ωn = 5
y ρ = 0.7.
Ejercicio 10.7
Para el proceso: Gp (s) = 0.25s+1
(s+1)2 , diseñe un controlador PID continuo para obtener un par
de polos complejos conjugados dominantes con ωn = 3 y ρ = 0.7. Diseñe un RST continuo de
forma que elimine el error de posición, obtenga una dinámica de regulación dominada por un
par de polos complejos conjugados con ωn = 3 y ρ = 0.7 y una de seguimiento con el doble de
velocidad: ωn = 6 y ρ = 0.7. Compare los desempeños en seguimiento y regulación de ambos
controladores.
Ejercicio 10.8
Para el sistema de la figura 10.66, se desea una respuesta del sistema sin error permanente
debido al disturbio y con error nulo de velocidad; diseñe un controlador RST continuo de forma
que obtenga√ una dinámica dominante con ancho de banda igual al del disturbio y amortigua-
miento de 2/2.
Ejercicio 10.9
1
El sistema mecánico: Gp (s) = s(s+1) , tiene un modo resonante con frecuencia fr = 1Hz
diseñe un controlador RST continuo de forma que el sistema realimentado tenga un ancho
de banda de 0.8fr y atenúe la señal de control con un filtro muesca amortiguado para con
amortiguamiento de: ρ = 0.2.

d = 0.1sen( π2 t)
+
u(t) c(t)
1
s +
Figura 10.66: Planta con perturbación periódica.
Ejercicio 10.10
Para el sistema G(z) = 0.5(z−0.2)
z(z−0.6) con muestreo T = 0.5, diseñe controladores PID digitales
de posición y velocidad para obtener polos de red cerrada con ρ = 0.8 y ωn = 0.5; analice en
cada caso si existe el PID equivalente continuo. Diseñe un controlador RST digital para obtener
un error permanente nulo, una dinámica de regulación con ρ = 0.8 y ωn = 0.5 y una dinámica
de seguimiento igual a la de regulación sin ceros. Compare los desempeños en seguimiento y
regulación de los diferentes controladores.
Ejercicio 10.11
0.4
Para el sistema: G(z) = z−0.6 , con muestreo T = 1, diseñe controladores PID digitales de
posición y velocidad para obtener polos de red cerrada con ρ = 0.8 y ωn = 0.5; analice en cada
caso si existe el PID equivalente continuo. Diseñe un controlador RST digital y su modelo de
referencia Gs (z) = B d (z)
Ad (z) de forma que obtenga dinámicas de regulación y seguimiento iguales
con ρ = 0.8 y ωn = 0.5; se requiere error de posición nulo. Compare los desempeños en
seguimiento y regulación de los diferentes controladores.
Ejercicio 10.12
0.2z −1 +0.1z −2
Para el proceso: G(z) = 1−1.3z −1 +0.42z −2 , con T = 1, diseñe controladores PID digitales
de posición y velocidad para obtener polos de red cerrada con ρ = 0.9 y ωn = 0.4; analice en
cada caso si existe el PID equivalente continuo. Diseñe un controlador RST digital para obtener
dinámicas de seguimiento y de regulación iguales con: ρ = 0.9 y ωn = 0.4 rad/seg; considere
acción integral en el controlador. Compare los desempeños en seguimiento y regulación de los
diferentes controladores.
Ejercicio 10.13
Para el sistema de la figura 10.66, diseñe un controlador digital RST (T = 0.5seg) que
rechace la perturbación senoidal.
Ejercicio 10.14
Repita el ejercicio 10.13 con d = 0; considere que la planta tiene un modo resonante con
frecuencia de 0.25 Hz que no debe excitarse.
Ejercicio 10.15
Para el sistema mecánico con un modo resonante:
1
Gp (s) = ,
(s + 1)(s2 + 1)

diseñe un controlador RST digital, con acción integral, que no excite el modo resonante y
obtenga una respuesta en red cerrada dominada por un par de polos complejos con ρ = 0.7 y
ωn = 0.5. Analice las respuestas ante escalones en la entrada de referencia y de un disturbio
de entrada al proceso.
Ejercicio 10.16
Resuelva el ejercicio anterior con muestreo de T = 0.5s y el filtro de antiplegamiento
frecuencial:
4
Gf a = 2
s + 2.8s + 4
Ejercicio 10.17
Para el sistema:
1
Gp (s) = ,
(s + 1)2
diseñe con el lugar de las raı́ces, un controlador de adelanto de fase continuo de forma que el
sistema tenga polos complejos de red cerrada con ωn = 2 y ρ = 0.7. Compare el desempeño de
este controlador con el diseñado en el ejercicio 6.11, con relación al seguimiento de la referencia
y el rechazo de disturbios de salida.
Ejercicio 10.18
Diseñe con el lugar de las raı́ces, un controlador discreto de adelanto de fase con retenedor
de orden cero y perı́odo de muestreo de T = 0.2s, para el sistema del ejercicio 10.17.
Ejercicio 10.19
1
Para el sistema oscilador: Gp (s) = (s2 +1) , diseñe con el lugar de las raı́ces el controlador:
kp (Td s+1)
Gc (s) = Td′ s+1 ,
de forma que el sistema tenga polos complejos de red cerrada con ρ = 0.5
y tiempo de estabilización al 2 % menor de 4s.
Ejercicio 10.20
Diseñe la acción de control PI continua por el lugar de las raı́ces, para el sistema:
1
Gp (s) = ,
s(0.2s + 1)
de forma que obtenga polos de red cerrada con amortiguamiento de ρ = 0.7 y frecuencia natural
ωn = 1.
Ejercicio 10.21
Resuelva los ejercicios 10.19 y 10.20, con controladores discretos, retenedor de orden cero y
perı́odo de muestreo de T = 0.4s.
Ejercicio 10.22
Diseñe la acción de control PI continua por simetrı́a óptima para el sistema:
1
Gp (s) = ,
s(0.2s + 1)
de forma que obtenga un margen de fase de 70o .

Ejercicio 10.23
Resuelva el ejercicio anterior por simetrı́a óptima, para obtener polos complejos de red
cerrada con amortiguamiento de ρ = 0.7. Compare los desempeños de los dos diseños para la
respuesta a escalones de referencia.
Ejercicio 10.24
Diseñe en frecuencia las acciones de control P, I, PI, PD y PID serie continuas para el
sistema:
1
Gp (s) = ,
(0.4s + 1)(0.2s + 1)(0.05s + 1)
con Td′ = 0.1Td de forma que obtenga un margen de fase ≈ 45o . Compare las diferentes
respuestas de los controladores ante escalones de referencia.
Ejercicio 10.25
Para el sistema:
1
Gp (s) = ,
(s + 1)2
diseñe mediante la respuesta de frecuencia, un controlador de adelanto de fase continuo de
forma que el sistema tenga margen de fase de al menos 70o y frecuencia de ganancia crı́tica:
ωg ≥ 2. Compare el desempeño de este controlador con el diseñado en el ejercicio 10.17.
Ejercicio 10.26
Diseñe con la respuesta de frecuencia en el plano W , un controlador discreto de adelanto
de fase con retenedor de orden cero y perı́odo de muestreo de T = 0.2s, para el sistema del
ejercicio 10.25.
Ejercicio 10.27
Para el control de posición de una planta sin fricción con modelo: Gp (s) = s12 , se desea
controlar con ancho de banda de al menos 2rad/s, margen de ganancia mayor a 6db, margen
de fase mayor a 45o , margen de módulo superior a 0.5 y errores de seguimiento menores de
0.1 hasta frecuencias de 0.2rad/s; la señal de control se satura en: −10 ≤ u(t) ≤ 10. Diseñe el
kp (Td s+1)
controlador PD: Gc (s) = (T ′ s+1) , para cumplir las especificaciones dadas.
d
Ejercicio 10.28
Resuelva el ejercicio 10.27, con un controlador digital diseñado en el plano W , con perı́odo
de muetreo de T = 0.2s. Verifique los desempeños para la respuesta de frecuencia en el plano
Z.
Ejercicio 10.29
1
G(s) =
s2 + 1
se controla con un PID discreto, con perı́odo de muestreo de T = 0.2s; diseñe el controlador
en el plano W para obtener una respuesta de frecuencia con: M F ≥ 45o , M G ≥ 6db M M ≥
−6db, Tmax ≤ 1.5 y máxima amplificación en la señal de control de ±10; analice si se cumplen
las especificaciones en el plano Z.

Ejercicio 10.30
Obtenga equivalentes discretos (T =0.2s) del controlador PI: Gc = 8(s+1)/s por las técnicas
de integración y de mapeo polo-cero; analice y compare las diferentes respuestas de frecuencia
discretas.
Ejercicio 10.31
Obtenga el equivalente discreto por mapeo polo-cero para filtros Bessel:
n
X (2n − i)!
DB (0)
Gf a (s) = ; DB (s) = n−i i!(n − i)!
si ,
DB (s/ω0 ) i=0
2
para n = 4 y n = 6; seleccione un perı́odo de muestreo apropiado con relación a la frecuencia

de corte del filtro ω0 .
Ejercicio 10.32
Para el proceso: Gp (s) = 0.25s+1
(s+1)2 , diseñe un controlador PID por equivalente discreto, para
obtener un par de polos complejos conjugados dominantes con ωn = 3 y ρ = 0.7.
Ejercicio 10.33
Para el sistema:
1
Gp (s) = ,
(s + 1)2
diseñe mediante equivalente discreto, un controlador de adelanto de fase digital de forma que
el sistema tenga polos complejos de red cerrada con ωn = 2 y ρ = 0.7.
Ejercicio 10.34
Diseñe por equivalente discreto, un controlador PI digital para que el sistema:
1
Gp (s) = ,
s(0.2s + 1)
tenga polos de red cerrada con amortiguamiento de ρ = 0.7 y frecuencia natural ωn = 1.

1
Gp (s) = ,
(s + 1)2
diseñe mediante equivalente discreto, un controlador digital de adelanto de fase de forma que el
sistema tenga margen de fase de al menos 70o y frecuencia de ganancia crı́tica: ωg ≥ 2. Compare
el desempeño de este controlador con el diseñado en el ejercicio 10.25.
Ejercicio 10.36
Identifique el esquema de control del sistema de la figura 1.14.
Ejercicio 10.37
Para el sistema de la figura 2.42, adicione controles directos de disturbio para los sistemas
de control serie de temperatura en los tanques 1 y 2.

Ejercicio 10.38
Para el sistema:
e−10s
G(s) =
5s + 1
Analice en simulación el desempeño ante escalones de referencia y disturbio de entrada al
proceso, del sistema controlado con un predictor de Smith y el controlador PI:
8s + 8
Gc (s) =
s
Analice los efectos de tener un error de modelado del 20 % en el tiempo muerto.
Ejercicio 10.39
La figura muestra el diagrama de bloques para un sistema de control con un control en
cascada que utiliza como variable auxiliar la señal Vf .
Vf r (s)
Vr (s) + + Vf Vt
1 1
Gct Gcf 1
(Ta s+1) (Te s+1) (Tg s+1)
− −
Figura 10.67: Sistema de control en cascada.
Escoja y ajuste Gcf y Gct para este sistema de control.
Ejercicio 10.40
Para el sistema de control de la figura 10.67, diseñe un controlador directo de referencia con
un modelo de referencia de segundo orden con ρ = 1 y ωn = 2T1g .
Ejercicio 10.41
Para el sistema de control de la figura 10.68:
1
D(s) = s
R(s) + E(s) + + C(s)

1 1 1
Gc1 (s) Gc2 (s) 0.2s+1 s+1 s
-
+
Gc3 (s)
+
Figura 10.68: Sistema de control, ejercicios 10.41 y 10.42.

Se desea un error permanente nulo debido al disturbio d(t) y una dinámica C/R sin ceros
y con un par de polos complejos con ρ = 0.75 y ωn = 2 rad/seg. Seleccione y ajuste los
controladores Gci (s), i = 1, 2, 3 apropiados.
Ejercicio 10.42
Para el sistema de control de la figura 10.68, diseñe un controlador directo del disturbio.

1. Para el modelo nominal del sistema, diseñe un controlador PID por asignación de polos,
lugar de las raı́ces y la respuesta de frecuencia. Analice y evalúe el cumplimiento de las
especificaciones deseadas de desempeño con cada método. Discuta bondades y dificultades
de cada método.
2. Para el modelo nominal del sistema, diseñe por un controlador RST por asignación de
polos. Analice y evalúe el cumplimiento de las especificaciones deseadas de desempeño.
3. Analice las mejoras de desempeño utilizando otras estructuras de control diferentes a la
serie; evalúe la viabilidad económica de su implementación.
4. Verifique en simulación digital, la respuesta en frecuencia y/o la temporal ante diver-

sas entradas y perturbaciones; Analice el desempeño robusto de los sistemas de control
diseñados. Analice los efectos de alinealidades. Rediseñe si es del caso.
5. Escoja el soporte fı́sico y lógico e implemente el control.
6. Pruebe y valide el sistema, verificando el desempeño temporal y/o frecuencial. Reajuste

el controlador en lı́nea si es necesario.

Capı́tulo 11
Diseño en el espacio de estado
Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y muchas salidas interrelacio-
nadas. Los métodos en el espacio de estado para el análisis y sı́ntesis de sistemas de control son
más adecuados para tratar con sistemas con varias entradas y varias salidas. El diseño bajo la
representación de espacio de estado, se desarrolla en dos pasos independientes:
Se diseña la ley de control asumiendo que todos los estados son disponibles para propósi-
tos de realimentación; en la práctica, no es usual encontrar que todos los estados sean
medibles.
Diseñar un observador del estado, el cual calcula el vector de estados a partir de las salidas
y las entradas del proceso.
Al final la estrategia de control será la ley de control y el observador combinados, donde
la ley de control se calcula a partir de los estados observados en lugar de los estados reales;
se verá que la dinámica en lazo cerrado no se modifica por diseñar separadamente la ley de
control y el observador (principio de separación). En este capı́tulo se presentan los conceptos
fundamentales de la controlabilidad y observabilidad para el control por variables de estado
y el diseño de leyes de control y observadores de estado bajo este enfoque; la presentación se
realizará para los sistemas de control digitales, pero el método es directamente extrapolable
para los sistemas de control continuos.
11.1. Diseño de la ley de control

Una ley de control simple, consiste en realimentar la combinación lineal de estados; para
sistemas de una entrada, una salida:
u(k) = −k1 x1 (k) − k2 x2 (k) − ... − kn xn (k)

 
x1
 x2 
 
u(k) = −[k1 k2 ...kn ]  
 .  = −Kx(k),
 . 
.
602
11.1. DISEÑO DE LA LEY DE CONTROL
en donde K se conoce como la matriz de ganancias de la realimentación de estados.

La figura 11.1 muestra el diagrama de bloques de este arreglo.
u(k) x(k + 1) x(k)

+ y(k)
H Z I −1 E
+
−K
Figura 11.1: Realimentación de estado.
Para sistemas monovariables, la matriz K que permite obtener determinados modos de lazo
cerrado es única; para los sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, K es una matriz
de [r × m], con r el número de estados y m el número de salidas; no es única para obtener
ciertos modos de red cerrada, por lo que se puede optimizar el diseño imponiendo restricciones
adicionales a la forma de la respuesta.
Reemplazando u(k) en la ecuación de estado:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k),
X(k + 1) = GX(k) − HKX(k),

X(k + 1) = [G − HK]X(k).
La dinámica de lazo abierto son los valores propios de G y la dinámica del lazo cerrado los
valores propios de G − HK; por lo tanto, los polos de lazo cerrado se pueden definir escogiendo
apropiadamente la matriz K.
Considerando la ecuación caracterı́stica deseada:
αd (z) = (z − α1 )(z − α2 ).... = 0, (11.1)
se tendrán los polos deseados en: α1 , α2 , ...; la ecuación caracterı́stica del sistema en red cerrada
es:
det [zI − G + HK] = 0;
K se escoge igualando los coeficientes de ambas ecuaciones.
Ejemplo 11.1
Para el sistema de la figura 11.2 se requiere calcular K para obtener una ecuación carac-
terı́stica con una dinámica equivalente a la de un sistema continuo con ρ = 0.5 y un ωn = 3.6.
En el plano Z los polos deben estar en:
r = e−ρwn T = 0.835; θ = ωd T = 17.9o .

u(t) 1 x2 1 x1 y(t)
ROC s s
T T = 0.1s
u(k)
K
Figura 11.2: Sistema de control digital con realimentación de estados.
La ecuación caracterı́stica es:
(z − 0.837ej7.19 )(z − 0.837e−j7.19 ) = z 2 − 1.6z + 0.7 = 0.
La planta continua es:

h i
ẋ1 0 1 x1 0 x1
= + u; Y = 1 0 ;
ẋ2 0 0 x2 1 x2
discretizando:
1 T
G(T ) = eA T
= £−1 [(sI − A)−1 ]t = T = ,
0 1
 T2

Z T 2
H(T ) = [ eA T
dt] B =  ;
0
T
"  T2  #

1 0 1 T 2
det[zI − G + HK] = det z − +  k1 k2 = 0;
0 1 0 1
T
T2 T2
z 2 + [T k2 + k1 − 2]z + k1 − T k2 + 1 = 0.
2 2
Igualando coeficientes:
T2
T k2 + k1 − 2 = − 1.6,
2
T2
k1 − T k2 + 1 = 0.7.
2
Con T = 0.1, se obtiene: k1 = 10, k2 = 3.5. △
Para sistemas de alto orden los cálculos deben realizarse con un programa de manipulación
algebraica, o bien, aplicar técnicas analı́ticas tales como pasar a la forma canónica controlable
(FCC) o con la fórmula de Ackerman.

11.1.1. Diseño de K a partir de la forma canónica controlable

El cálculo de K se simplifica si el sistema se encuentra en la forma canónica controlable; si
la ecuación caracterı́stica es:
|zI − G| = z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + an = 0;
la forma canónica controlable de este sistema será:

   
0 1 0 . . . . 0 0
 0 0 1 0 . . . 0   0 
   
 .   . 
G= 
, H = 
 
.

 .   . 
 .   . 
−an − an−1 . . . . . −a1 1

Con: K = k1 k2 . . . kn , el sistema realimentado tiene la matriz sistema:
 
0 1 0 . . . . 0
 0 0 1 0 . . . 0 
 
 . 
G − HK =  
.

 . 
 . 
−an − k1 −an−1 − k2 . . . . . . − a1 − kn
La ecuación caracterı́stica en red cerrada es:
z n + (a1 + kn )z n−1 + (a2 + kn−1 )z n−2 + . . . + (an−1 + k2 )z + an + k1 = 0.
La ecuación caracterı́stica deseada:
z n + α1 z n−1 + . . . + αn−1 z + αn = 0;
igualando coeficientes:
a 1 + kn = α 1 → kn = α 1 − a 1
a2 + kn−1 = α2 → kn−1 = α2 − a2
.
.
.
an + k1 = α n → k1 = α n − a n
Si el sistema no se encuentra en la forma canónica controlable, se puede utilizar una transfor-
mación lineal:
X(k) = T X (K),
en donde T es una matriz n x n no singular y X el nuevo estado; ası́ el sistema:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k)

Y (k) = EX(k) + DU (k),

pasa a ser:
T X (k + 1) = G T X(k) + H U (k),
X (k + 1) = T−1 G T X (k) + T−1 H U (k),
Y (k) = E T X(k) + D U (k)
El sistema transformado tiene las matrices:
G = T−1 GT , H = T−1 H ; E = ET ; D = D.
Una transformación de este tipo se denomina de similitud ya que el sistema transformado

tiene las mismas propiedades dinámicas del sistema original, tales como la misma ecuación
caracterı́stica, función de transferencia y vectores propios; en efecto, la ecuación caracterı́stica
del sistema transformado es:
|zI − G| = |zI − T−1 GT| = |z T−1 T − T−1 GT|;
|T−1 (zT − GT)| = |T−1 (zI − G)T| = |T−1 ||zI − G||T|;

|T−1 ||T| |zI − G| = |zI − G|,
luego la ecuación es la misma y por ende los valores y vectores propios.
La matriz de funciones de transferencia del sistema transformado es:
G(z) = E(zI − G)−1 H + D,
= ET(zI − T−1 GT)−1 .T−1 H + D,

= E(zI − G)−1 H + D = G(z).
Para obtener G, H en la forma canónica controlable, la transformada T debe ser:
T = M W,
con: M = [H : GH : . . . : Gn−1 : H] de rango n, y:
 
an−1 an−2 . . . a1 1
 an−2 an−3 . . . 1 0 
 
 . 
 
W =   . .

 . 
 
 a1 1 . . . 0 0 
1 0 . . . 0 0
Los ai son los coeficientes de la ecuación caracterı́stica:
z n + a1 z n−1 + ... + an = 0.

Se puede mostrar Ogata [1998] que:

 
  0
0 1 0 . . . 0  
   0 
 .   
.
T−1 GT = 
 .  , T−1 H = 
 
;

   . 
.  
.
−an −an−1 . . . . −a1
1
ET = [bn − an b0 : bn−1 − an−1 b0 : . . . : b1 − a1 b0 ],

donde los bi son los coeficientes del polinomio del numerador de G(z).
Ejemplo 11.2
Para el ejemplo anterior, calcular k1 y k2 via la forma canónica controlable, con perı́odo de
muestreo T = 0.1.
Se obtuvo:
1 0,1 5 × 10−3
G = , H = .
0 1 0.1

5 × 10−3 1.5 × 10−2
M = [H : GH] = ;
0.1 0.1
el rango de M es dos y define el numero de columnas o filas linealmente independientes.

z−1 −0.1
|zI − G| = = (z − 1)2 = z 2 − 2z + 1 ; a1 = −2 , a2 = 1
0 z−1

a1 1 −2 1
W = = .
1 0 1 0

5 × 10−3 5 × 10−2 −1 100 −5
T = MW = ; T = .
−0.1 0.1 100 5
" #
x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 0
= + u(k),
x2 (k + 1) −1 2 x2 (k) 1
donde:
X(k + 1) = T−1 G T X (k) + T−1 u (k)
Si u(k) = −K X(k), con la ecuación caracterı́stica deseada: z 2 − 1.6 z + 0.7 = 0
α1 = − 1.6 , α2 = 0.7;

luego
k 1 = α2 − a2 = 0.7 − 1 = − 0.3,
k 2 = α1 − a1 = − 1.6 + 2 = 0.4.
En las coordenadas originales: u(K) = − K T−1 X (k), por lo que K = K T−1 .

100 −5
K = −0.3 0.4 = 10 3.5
100 5
Luego se obtienen los mismos valores: k1 = 10 y k2 = 3.5. △
Con este procedimiento, la matriz de realimentación K puede calcularse directamente de:
K = [αn − an : αn−1 − an−1 : . . . α1 − a1 ]T−1 .
Nótese que el procedimiento es aplicable si T tiene inversa T−1 ; esto no sucede en sistemas
donde el control no puede ubicar arbitrariamente todos los estados; la noción que describe
cuando un sistema puede controlarse completamente es la controlabilidad completa de estado.
11.1.1.1. Controlabilidad completa de estado

Lúdica 11.1
Esta actividad tiene una duración estimada de 15 minutos y requiere de dos cilindros y el
plano de icopor.
1.) Sostenga el plano en sus manos a la altura del pecho; ubique los dos cilindros cada uno
en un extremo; intente llevar los cilindros a posiciones de 1/3 y 2/3 de la longitud del plano,
respectivamente.
Proponga un diagrama de bloques para describir cualitativamente al sistema. Analice la
dificultad de lograr estos dos objetivos simultáneamente.
Esta lúdica ilustra un mecanismo donde el sistema no es completamente controlable; los dos
rodillos tienen la misma entrada para desplazarlos (la inclinación del plano) y claramente no
es posible que responda cada uno de manera diferente para alcanzar cierto estado de posición
en el plano. Como no se pueden alcanzar arbitrariamente todos los estados, el sistema no es
controlable.
Para definir formalmente la controlabilidad de estado, se considera un sistema de una entrada
y una salida:
X((k + 1)T ) = GX(kT ) + Hu(kT ),
X ∈ ℜn , u ∈ ℜ, u(kT ) constante entre muestreos, esto es, para: kT ≤ t < (k + 1)T , el sistema
es de estado controlable, si existe una señal de control, constante por secciones u(kT ) en un
intervalo finito de muestreos 0 ≤ kT ≤ nT , tal que, partiendo de cualquier estado inicial, el
estado X(kT ) puede transferirse a un estado deseado Xd en máximo n perı́odos de muestreo
(si u(kT ) no es limitado).
Esta definición permite obtener una prueba matemática de la controlabilidad de un sistema;
la solución de la ecuación de estado en el muestreo n es:
n−1
X
X(nT ) = Gn X(0) + Gn−j−1 H u(jT );
j=0

X(nT ) = Gn X(0) + Gn−1 Hu(0) + Gn−2 Hu(T ) + . . . + Hu((n − 1)T );

luego:
 
u((n − 1)T )
 u((n − 2)T ) 
vector columna n×1
z}|{  
 . 
X(nT ) − Gn X(0) = [ H : GH : . . . : G n−1
H]  .
| {z } 
 . 

Mn×n : M atriz de Controlabilidad  . 
u(0)
Existe solución (única para sistemas monovariables) para la secuencia de control que lleva
del estado inicial X(0) al X(nT ), si la matriz de controlabilidad M es invertible, o sea de rango
n; esto es, los vectores H, GH... deben ser linealmente independientes.
Para un sistema multivariable la condición es que M (n × nr) sea de rango n, en este caso
existen infinitas secuencias del vector de control que pueden llevar desde el estado inicial al final
en máximo n muestreos.
Se puede probar que si un sistema tiene controlabilidad completa de estado, entonces existe
una matriz K de realimentación de estados que permite asignar arbitrariamente todos los modos
de red cerrada.
Ejemplo 11.3
El sistema:

x1 (k + 1) 0 1 x1 (k) 1
= + u(k)
x2 (k + 1) −0.16 −1 x2 (k) −0.8

x1 (k)
y(k) = 1 0 ,
x2 (k)
tiene una matriz de controlabilidad:

1 −0.8
M = [H : GH] = ; det[M ] = 0;
−0.8 0.64
M es de rango uno por lo que el sistema no es de estado completamente controlable. △
Ejemplo 11.4
El sistema:
" #
x1 (k + 1) 0.1 0 x1 (k) 1
= + u(k).
x2 (k + 1) 0 0.2 x2 (k) 0
Al ser diagonal, los estados estan desacoplados, para ser de estado completamente controlable,
ningún elemento (fila para sistemas multivariables) de H debe ser nulo; en este caso el modo
λ = 0.2 no es controlable; como es estable, el sistema es estabilizable. △

11.1.1.2. Controlabilidad en el plano Z

La condición de controlabilidad de estado completo se establece en el plano Z en términos
de que no ocurran cancelaciones polo-cero en la función de transferencia discreta (sistemas
monovariables) o en la matriz de funciones de transferencia (sistemas multivariables); si ocurren
cancelaciones, el sistema será o no controlable, o no observable (ver más adelante) o ambos,
dependiendo de cómo se definan las variables de estado.
Ejemplo 11.5
El sistema con

0 1 1
G= , H= , E= 1 0 ;
−0.16 −1 −0.8
tiene:
y(z) z + 0.2
= E(zI − G)−1 H = .
u(z) (z + 0.8)(z + 0.2)
La cancelación del polo (z + 0.2) con el cero no permite controlar el modo en z = −0.2 y
el sistema no es de estado completamente controlable, como se verificó al evaluar

1 −0.8
|M | = = 0.
−0.8 0.64
11.1.1.3. Controlabilidad completa de salida

En el diseño de sistemas de control, se puede desear controlar la salida en lugar del estado
del sistema; la controlabilidad del estado no es ni necesaria ni suficiente para la controlabilidad
de la salida.
El sistema:
X((k + 1)T ) = GX(kT ) + HU (kT )
Y (kT ) = EX(kT ) + DU (kT ),
con n estados, r entradas y m salidas, se dice que es de salida completamente controlable
(SCC), si es posible construir un vector de control U (kT ) no acotado, sobre un número finito
de periodos de muestreos 0 ≤ kT ≤ nT tal que empezando desde la salida inicial Y (0), la
salida Y (kT ) se puede llevar a un punto arbitrario deseado Yd , en máximo n muestreos. De
forma análoga a la controlabilidad completa del estado, se puede mostrar que un sistema es de
Salida Completamente Controlable si y sólo si la matriz:
Ms = [ D : E H : E G H : . . . : E Gn−1 H ]m×(n+1)r
es de rango m; note que D y E aportan a la controlabilidad de salida. Esta matriz (al igual
que M para sistemas multivariables) puede no ser cuadrada; en tal caso se puede formar la
matriz Ms Ms∗ que es n × n; si esta matriz no es singular, Ms es de rango n.

11.1.2. Diseño de K mediante la fórmula de Ackermann

Ackermann usó el teorema de Carley - Hamilton (Una matriz G satisface su propia ecuación
caracterı́stica) para sistemas monovariables, lo que lleva a una fórmula directa para calcular K:
K = [0 0 0 . . . 1] [M ]−1 αd (G)
Donde αd (G) es αd (z) el polinomio caraterı́stico deseado reemplazando z por G; note que la
matriz [0 0 0 . . . 1] toma la última fila de la matriz [M ]−1 αd (G). (Ver Ogata [1998] para la
demostración de la fórmula de Ackermann).
Ejemplo 11.6
Para el sistema doble integrador, calcular K vı́a la fórmula de Ackermann.

1 0.1 5 × 10−3
G = , H =
0 1 0.1
Ecuación caracterı́stica deseada: z 2 − 1.6 z + 0.7 = 0; se calculó

5 × 10−3 1.5 × 10−2
M =
0.1 0.1

−100 15
−→ M −1 =
100 −5
2
1 0.1 1 0.1 1 0
αd (G) = + 1.6 + 0.7
0 1 0 1 0 1

0.1 0.04
αd (G) =
0 0.1

−100 15 0.1 0.04
−→ K = 0 1
100 −5 0 0.1
K = [10 3.5]
El mismo K obtenido con anterioridad. △
Ejemplo 11.7
El MATLAB tiene comandos para analizar la controlabilidad y diseñar la realimentación de
estados; a continuación se presenta el análisis y diseño del sistema doble integrador.
% Se verifica la controlabilidad:
>> G=[1 0.1;0 1]; H=[0.005;0.1]; M=ctrb(G,H)
M =
0.0050 0.0150

0.1000 0.1000
>> det(M)
ans =
-1.0000e-003
% Se define el sistema completo en espacio de estado:

>> Sis=ss(G,H,[1 0],0,0.1)
a =
x1 x2
x1 1 0.1
x2 0 1
b =
u1
x1 0.005
x2 0.1
c =
x1 x2
y1 1 0
d =
u1
y1 0
% Para pasar a la forma canónica controlable:

>> [SisFCC,T]=canon(Sis,’companion’)
a =
x1 x2
x1 0 -1
x2 1 2
b =
u1
x1 1
x2 0
c =
x1 x2
y1 0.005 0.015

11.2. DISEÑO DEL OBSERVADOR
d =
u1
y1 0
% Cálculo de la matriz de realimentación:

>>z=tf(’z’,0.1);P=zero(z^2-1.6*z+0.7);K=place(G,H,P)
K =
10.0000 3.5000
△
11.2. Diseño del observador

Como no todos los estados son medibles, se requiere de algoritmos que los reconstruyan a
partir de las medidas del sistema y del control aplicado; con el estado calculado x̃(k) se aplica
la ley de control u (k) = − K x̃(k), como se ilustra en la figura 11.3.
Figura 11.3: Observador de estados.
11.2.1. Observador de predicción

Una forma de estimar los estados es construir un modelo de la planta:
X̃(k + 1) = G X̃(k) + HU (k)
X̃ es la estimación del estado X(k); como G, H y U (k) son conocidos, el estimador funciona si
se puede obtener el correcto X̃(0) ajustado a X(0); la figura 11.4 ilustra el diagrama de bloques
del estimador.
Se desea que el error de observación: e(k) = X(k) − X̃(k) tienda asintóticamente a cero; la
dinámica del error de observación se calcula evaluando e(k + 1) en función de e(k):
e(k + 1) = X(k + 1) − X̃(k + 1) = GX(k) + HU (k) − GX̃(k) − HU (K)

x(0)
u(k) x(k) y(k)

Planta G,H E
x̃(k) ỹ(k)
Modelo G,H E
Observador de
Estimador Lazo Abierto
x̃(0)
Figura 11.4: Estimador de estados.
e(k + 1) = G e(k)
Se observa que la dinámica del error es igual a la de la planta sin control; si la planta es
estable, la dinámica del error será estable y X̃ −→ X pero a una velocidad de convergencia
inadecuada pues normalmente el control busca mejorar la velocidad de la planta G; si G es
inestable el error no converge a cero.
Se puede usar la salida Y (k) disponible, para mejorar el comportamiento dinámico del
error, tomando la diferencia (Y (k) − Ỹ (k)), con Ỹ (k) = E X̃(k) y usando esta diferencia para
disminuir el error e(k):
X̃(k + 1) = GX̃(k) + HU (k) + Ko [Y (k) − E X̃(k)]

| {z } | {z }
planta error de estimacion
Ko : Matriz de peso para ajustar la dinámica del observador.
x(k)
u(k) y(k)
Planta G,H E
x̃(k) +
ỹ(k)
Modelo G,H E
−
K0
Observador de prediccion estima x̃(k + 1) a partir del valor presente Y (k)
Figura 11.5: Observador de Predicción.

Reordenando:
X̃(k + 1) = [ G − Ko E ] X̃(k) + HU (k) + Ko Y (k)

| {z } | {z }
sus valores propios son los polos del observador entradas al observador
La dinámica del error e(k) = X(k) − X̃(k) es ahora:
e(k + 1) = (G − Ko E)e(k)
Los polos de (G − Ko E) definen la dinámica del error; se deben escoger lo suficientemente

rápidos para no afectar la respuesta del sistema en lazo cerrado; por lo menos cuatro veces más
rápido que los modos dominantes de lazo cerrado.
11.2.2. Observabilidad del estado

La matriz Ko se calcula de la misma forma que se calcula la matriz de realimentación K;
pero ¿siempre existirá una matriz Ko que ajuste los modos desedados para el observador? la
respuesta a esta pregunta es la noción de observabilidad ; un sistema no es observable si tiene
modos que no aparecen en sus salidas; por ejemplo, si en un sistema de control de posición solo
se mide la velocidad, no es posible calcular la posición inicial.
Para el análisis se considera el sistema:
X(kT + T ) = GX(kT )
Y (kT ) = EX(kT ),
con n estados y m salidas; el sistema es completamente observable, si conocida la salida Y (kT )
en un número finito de muestreos, es posible calcular el vector de estado inicial X(0); solo se
considera el sistema no-forzado pues:
k−1
X
Y (kT ) = EGk X(0) + EGk−j−1 HU (jT ) + DU (kT ),
j=0
y como G, H, E, D y U (kT ) son conocidos, los términos de la sumatoria dependientes de la

entrada son términos conocidos y pueden restarse a Y (kT ).
Para el sistema considerado:

Y (KT ) = EGk X(0);
conocidos los vectores de salida en los perı́odos de muestreo: Y (0), Y (T ), Y (2T ), . . . , se debe
poder calcular el vector de estado inicial: x1 (0), x2 (0), . . ., xn (0); como son n incógnitas,
bastarán solo n datos de Y (kT ), ası́:
Y (0) = E X (0),

Y (T ) = E G X (0), 
nm ecuaciones que
.
incluyen a
. 

. x1 (0), x2 (0), . . . , xn (0)
Y ((n − 1)T ) = E Gn−1 X (0)

entre las nm ecuaciones, se debe poder escoger n ecuaciones linealmente independientes, esto
exige que la matriz de observabilidad Nnm×m :
 
E
 EG 
 
 . 
N =


 . 
 . 
n−1
EG
debe ser de rango n; como el rango de una matriz es igual al de su transpuesta conjugada, la
observabilidad se puede evaluar de:
Rango{E ∗ : G∗ E ∗ : . . . (G∗ )n−1 E ∗ } = n

Si G y E son reales: E ∗ = E T , G∗ = GT .
De manera dual al caso de controlabilidad para un sistema desacoplado, la observabilidad se

garantiza, si no hay ninguna columna de E nula pues de serlo, el estado correspondiente no
aparece en la salida y no puede determinarse su valor inicial a partir de Y (kT ); igualmente, en
el plano Z si no existen cancelaciones polo-cero en la matriz de transferencia del sistema, se
garantiza la observabilidad.
Ejemplo 11.8
Sea el sistema doble integrador, con salida de velocidad:

1 0.1 5 × 10−3
G= , H= , E= 0 1 .
0 1 0.1
" #
T T T T 0 | 1 0 0 0 0
N = [E : G E ]= = ,
1 | 0.1 1 1 1 1
como: det[N T ] = 0, el rango es uno y el sistema no es observable. △

Ejemplo 11.9
Sea sistema:
   
0.1 0 0 0 1
 0 0.2 0 0   1 
G=  0
, H =  , E = 1 0 1 0 , D = 0.
0 0.3 0   0 
0 0 0 0.4 0
Por ser G diagonal, por inspección se pueden evaluar las condiciones de observabilidad y con-
trolabilidad de los estados: x1 : C y O; x2 : C y NO; x3 : NC y O; x4 : NC y NO. Usando
una descomposición de la función de transferencia discreta en fracciones parciales, se obtiene el
diagrama de la figura 11.6.
La función de transferencia controlable y observable es:
Y (z) 1
= .
U (z) z − 0.1

C,O
u(k) x1(k + 1) x1(k)
1
z−0.1
C,NO
x2(k)
1
x2(k + 1) z−0.2
+ y(k)
NC,O +
x3(k + 1) x3(k)
1
z−0.3
NC,NO
x4(k + 1) x4(k)
1
z−0.4
Figura 11.6: Diagrama de bloques para análisis de controlabilidad y observabilidad.
La función de transferencia discreta del sistema es:

Y (z) (z − 0.2)(z − 0.3)(z − 0.4)
= E(zI − G)−1 H = ,
U (z) (z − 0.1)(z − 0.2)(z − 0.3)(z − 0.4)
tiene tres cancelaciones polo-cero. △
De lo anterior, si el sistema se modela con una función de transferencia de ‘orden mı́nimo’ sin
cancelación polo-cero, se asegura que el sistema es controlable y observable independientemente
de cómo se obtenga el modelo en variables de estado, por tanto las propiedades de controlabi-
lidad y observabilidad se mantienen ante una transformación canónica no singular X = TX;
en el caso de existir cancelación polo-cero, las propiedades de controlabilidad y observabilidad
dependerán de la elección de las variables de estado.
Ejemplo 11.10
Sea: YU (z)
(z) z+2
= (z+1)(z+2) ; por descomposición directa, se obtiene la forma canónica controlable:

0 1 0
G = , H = , E = 1 1 .
−2 −3 1
Como se pudo llegar a la forma canónica controlable, hay garantı́a de que el par [G, H] es
controlable.
E 1 1
La matriz de observabilidad es: N = = , como es singular, el par
EG −2 −2
[G, E] no es observable.

Si los estados se toman para obtener la forma canónica observable:

0 −2 1
G= , H= , E= 0 1 ,
1 −3 1

1 −2
el sistema es observable, pero la matriz de controlabilidad: M = [H GH] = , es
1 −2
singular y el sistema no es controlable. △
11.2.3. Controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos

Las nociones de controlabilidad y observabilidad para los sistemas de tiempo continuo son
equivalentes a las vistas para los sistemas discretos; si al sistema de tiempo continuo:
Ẋ(t) = A X(t) + B U (t)
Y (t) = ⊂ X(t) + D U (t),

se le aplica la trasformación (5.106), se lleva a la forma diagonal:
Ż(t) = Λ Z(t) + φ−1 B U (t)
Y (t) = ⊂ φ X(t) + D U (t);

si la i-ésima fila de φ−1 B es nula, las entradas no tienen efecto en el i-ésimo modo, el cual no
es controlable. Igualmente si la i-ésima columna de ⊂ φ es nula, no hay contribución del modo
i-ésimo en la salida, el cual es por lo tanto inobservable.
Ası́, un sistema de tiempo continuo es de estado completamente controlable, si y solo si la
matriz:
[B : AB : . . . : An−1 B](n×nr)
es de rango n.
Es completamente controlable de salida, si y solo si la matriz:
[D : ⊂B : ⊂ AB : ⊂ A2 B : . . . : ⊂ An−1 B](m×(n+1)r)
es de rango m.
Es completamente observable, si y solo si la matriz:
[⊂∗ : A∗ ⊂∗ : . . . : (A∗ )n−1 ⊂∗ ](nm×m)
es de rango n.
11.2.4. Efecto de la discretización sobre la observabilidad y controla-

bilidad
Un sistema continuo con polos complejos puede tener cancelaciones polo-cero al discretizarlo;
un sistema continuo observable y controlable será observable y controlable al discretizarse, si
y solo si, para un par de polos conjugados complejos, su parte imaginaria ωd es diferente de:
nπ
T , n = ±1, ± 2, . . ..

Ejemplo 11.11
Se considera el sistema de tiempo continuo:
" #
x˙1 0 1 x1 0 x1
= + u, y = 1 0 .
x˙2 −1 0 x2 1 x2

0 1
[B : AB] = : rango = 2 −→ Controlable
1 0

1 0
[E T : AT B T ] = : rango = 2 −→ Observable
0 1
El sistema tiene valores propios λ1−2 = ± j; al discretizarlo, se obtiene:
" #
x1 [(k + 1)T ] cos(T ) sen(T ) x1 (kT ) 1 − cos(T )
= + u(kT )
x2 [(k + 1)T ] −sen(T ) cos(T ) x2 (kT ) sen(T )

x1 (kT )
y(kT ) = [1 0] = .
x2 (kT )

1 − cos(T ) cos(T ) + 1 − 2cos2 (T )
M = [H : GH] = .
sen(T ) −sen(T ) + 2cos(T )sen(T )
El rango de M es 2 si y solo si, T 6= nπ, n = ± 1, ± 2, . . .

T T T T 1 cos(T )
N = [E : G E ] = ;
0 sen(T )
N tiene rango 2 si y solo si T 6= nπ. △
Se debe por lo tanto escoger el perı́odo de muestreo suficientemente pequeño con relación a
la dinámica más rápida de la planta y diferente a nπωd ; note que si se muestrea el modo asociado
a ωd cumpliendo el criterio de 10 o más veces la frecuencia de oscilación: ωs = 2π/T = 10ωd ,
2π
T = 10ω d
, no hay riesgo de perder observabilidad o controlabilidad.
11.2.5. Cálculo de la matriz de realimentación del observador Ko

El cálculo se ilustra con un ejemplo.
Ejemplo 11.12
Para el sistema doble integrador, diseñar un observador de forma que el vector de error
tenga una respuesta sin oscilación ‘deadbeat’.

1 0.1 5 × 10−3
G= , H= , E= 1 0 .
0 1 0.1

Se verifica si es completamente observable:

1 1
N T = [E T : GT E T ] = ;
0 0.1
como det (N T ) = 0.1 6= 0 entonces el rango es dos y el sistema es observable.

La ecuación caracterı́stica del sistema es: det (zI − G) = z 2 − 2z + 1 = 0. Para una respuesta
sin oscilación, se debe alcanzar el valor final en el menor número de perı́odos de muestreo; como
el sistema es de segundo orden, en dos muestreos.
La ecuación carácterı́stica deseada para el observador es: z 2 = 0 .

k1 1 0.1 k1
Ko = ; G − Ko E = − 1 0 ,
k2 0 1 k2

1 − k1 0.1
G − Ko E = .
− k2 1

z − 1 + k1 − 0.1
det [zI − (G − Ko E)] = det ;
k2 z − 1
este determinante da la ecuación caracterı́stica del observador:
(z − 1 + k1 )(z − 1) + 0.1k2 = 0,
z 2 + (k1 − 2)z + 1 − k1 + 0.1k2 = 0.

Igualando coeficientes con la ecuación caracterı́stica deseada: z 2 = 0, se obtiene:
k1 = 2, k2 = 10.
△
11.2.5.1. Diseño de Ko a partir de la forma canónica observable

La matriz de realimentación del observador Ko se puede obtener llevando el sistema a la
forma canónica observable mediante la transformación: X(k) = QX̂(k), donde Q = (W N )−1 y
W es igual al caso de la forma canónica controlable.
Para el sistema:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k)
Y (k) = EX(k),
con |zI − G| = z n + a1 z n−1 + ... + an = 0, se obtiene:
X̂(k + 1) = Q−1 GQX̂(k) + Q−1 HU (k)
Ŷ (k) = EQX̂(k),

donde  
0 0 0 . . . −an
 1 0 0 . . . −an−1 
 
 0 1 0 . . . −an−2 
 
Q GQ = Ĝ = 
−1
 . 

 . 
 
 . 
0 0 0 . . 1 −a1
y
EQ = Ê = [0 0 . . . 1].
Ejemplo 11.13
Para el ejemplo 11.12:

1 1 a1 1 −2 1
NT = , W = = ;
0 0.1 1 0 1 0
" #−1
−1 −2 1 1 0 0 1
Q = (W N ) = = ;
1 0 1 0.1 10 10

0 −1
Ĝ = , Ê = 0 1 .
1 2

0 −1 k̂1 0 −1 − k̂1
Ĝ − K̂0 Ê = − 0 1 = ;
1 2 k̂2 1 2 − k̂2
det (zI − Ĝ + K̂0 Ê) = z 2 + (−2 + k̂2 )z + 1 + k̂1 = z 2

luego: k̂1 = −1; k̂2 = 2. La matriz de realimentación de estados es:

0 1 −1 2
Ko = Q K̂o = = ,
10 10 2 10
k1 = 2; k2 = 10.
△
El procedimiento anterior se reduce a:
 
αon − an
 αon−1 − an−1 
 
 . 
Ko = Q

,

 . 
 . 
αo1 − a1
donde los αoi son los coeficientes deseados de la ecuación caracterı́stica del observador y los ai
son los coeficientes de la ecuación caracterı́stica de la planta a controlar.

11.2.5.2. Diseño de Ko a partir de la fórmula de Ackermann

Para el cálculo de la matriz de realimentación del observador, también se usa la formula de
Ackermann para observadores:
 
0
 0 
 

−1  . 

Ko = αo (G)N  . 
 
 . 
1
αo (G) : Polinomio caracterı́stico del observador, con z = G.
Ejemplo 11.14
Para el sistema tratado en los ejemplos anteriores:
 −1
E
0
Ko = αo (G)  . . . 
1
EG
donde:
1 0.2
αo (G) = G2 = ;
0 1
luego:
−1
1 0.2 1 0 0 2
Ko = = .
0 1 0 0.1 1 10
La matriz Ko igual a la obtenida en los ejemplos anteriores. △
Ejemplo 11.15
Diseño del observador con el MATLAB para el sistema doble integrador:
% Modelo del doble integrador:
>> G=[1 0.1;0 1]; H=[0.005;0.1]; Sis=ss(G,H,[1 0],0,0.1);
>>z=tf(’z’,0.1);P=zero(z^2-1.6*z+0.7);K=place(G,H,P);
% Se verifica la observabilidad:
>> N=obsv(Sis)
N =
1.0000 0
1.0000 0.1000
>>det(N)
ans =
0.1000

Para el cálculo de la ganancia del observador, se utiliza la propiedad de dualidad entre el

problema de diseño del observador con el del diseño de la matriz de realimentación:
det(G − Ko E)′ = det(G′ − E ′ Ko′ )
Por lo anterior, se usan los comandos con la transpuesta de las matrices del sistema:
% Cálculo del observador por Ackerman:

>> Po=zero(z^2);Ko=acker(G’,[1 0]’,Po).’
Ko =
2
10
Con las matrices de realimentación de estado y del observador, se construye el controlador

y se analiza la respuesta del sistema en red cerrada:
>> regulador = reg(Sis,K,Ko);

>> SisRC=feedback(Sis,regulador,+1);% realimentación positiva
>> pole(SisRC) % los modos de RC son los del control por RE y del Observador
ans =
-0.0000 + 0.0000i
-0.0000 - 0.0000i
0.8000 + 0.2449i
0.8000 - 0.2449i
La respuesta al escalón se muestra en la figura 11.7; como no hay acción integral, se ha

ajustado la ganancia estática con el comando:
>> step(SisRC/dcgain(SisRC),3.5)
△
11.2.6. Observador corriente

En la ley de control U (k) = −K X̃(k), usando el observador de predicción:
X̃(K) = G X̃(k − 1) + HU (k − 1) + Ko [Y (k − 1) − E X̃(k − 1)],
el término: G X̃(k − 1) + HU (k − 1) calcula la predicción del estado, mientras que el término:

Ko [Y (k−1)−E X̃(k−1)] realiza la corrección de la estimación del estado; nótese que la corrección
no utiliza la medida de la salida en el instante k, Y (k), por lo que el control U (k) no depende
del error de estimación (Y (k) − Ŷ (k)), lo que genera error de observación particularmente
importante en sistemas rápidos con tiempos de cálculo elevados.
Esto se puede evitar calculando separadamente de un lado la predicción del estado:
V (k) = GX̃(k − 1) + HU (k − 1), la cual aproxima X̃(k) a partir de X̃ y U en el instante

Step Response
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time (seconds)
Figura 11.7: Respuesta al escalón de entrada para el sistema doble integrador.
(k − 1) y de otro lado la corrección de la estimación con la medida: Ko [Y (k) − EV (k)]; ası́ se

obtiene el observador corriente:
V (k) =GX̃(k − 1) + HU (k − 1)
X̃(k) =V (k) + Ko [Y (k) − EV (k)]. (11.2)
En la práctica, el observador no se puede implementar exactamente por los retardos de

tiempo de cálculo, pero el error de observación es menor que con el observador de predicción.
Se puede mostrar que el error de observación e(k) = X(k) − X̃(k), queda definido por la
ecuación de diferencias Ogata [1998]:
e(k + 1) = [G − Ko E G]e(k).
Por lo tanto, Ko se obtiene de la misma forma que con el observador de predicción, reemplazando
E por EG; de esta forma, la condición de observabilidad es que N G sea de rango n.
La matriz de realimentación del observador Ko a partir de de la fórmula de Ackermann es:
 
0
 0 
 
 . 
Ko = αo (G)(N G)−1  
 . .
 
 . 
1

11.2.7. Observador de orden reducido

Los observadores anteriores reconstruyen todo el vector de estados, pero pueden existir
estados que se miden directamente y no se requiera estimarlos, o bien, en general si hay m
salidas, ellas son combinación lineal de los estados y por lo tanto, no es necesario estimar m
de los estados, sino sólo n − m estados, usando un observador de orden reducido; sin embargo,
con ruido fuerte en la medida, el observador de orden completo se desempeña mejor que el
reducido, debido a que equivale a una compensación de más alto orden, lo que genera mayor
atenuación en las altas frecuencias del ruido; por otro lado la implementación del observador
reducido exige particionar el vector de estados entre los medidos y los no-medidos, lo que la
hace más compleja; por todo lo anterior, los observadores de orden reducido no son muy usados
en la práctica; para los detalles de su diseño, ver Ogata [1998].
Ejemplo 11.16
Observadores predictor y corriente para el doble integrador.
Observador Predictor:
La ecuación caracterı́stica del sistema en lazo cerrado fue:
z 2 − 1.6z + 0.7 = 0 con polos en z = 0.8 ± j0.25; ello correspondı́a a unos polos
equivalentes en el plano S con ρ = 0.5 y ωn = 3.6.
Se pueden ubicar los polos del observador con ρ cercano a 0.5 y con ωn mucho ma-
yor, para que la dinámica del observador sea mucho más rápida que la del sistema en
lazo cerrado; con frecuencia natural para el observador de 3.6 × 3 se obtienen los polos
deseados para el observador en z = 0.4 ± j0.4 y la ecuación caracterı́stica del observador
es: z 2 − 0.8z + 0.32 = 0; por lo tanto:
" #
z 0 1 0.1 k1
det[zI − G + Ko E] = det − + 1 0 ;
0 z 0 1 k2
z 2 + (k1 − 2)z + 1 − k1 + 0.1k2 = z 2 − 0.8z + 0.32 = 0;

k1 − 2 = −0.8 −→ k1 = 1.2,
1 − k1 + 0.1k2 = 0.32 −→ k2 = 5.2.
Las ecuaciones del estimador son:
x̃1 (k + 1) = x̃1 (k) + 0.1 x̃2 (k) + 0.005u(k) + 1.2[y(k) − x̃1 (k)]
x̃2 (k + 1) = x̃2 (k) + 0.1u(k) + 5.2 [y(k) − x̃1 (k)].
La figura 11.8 muestra los errores de estimación para el observador corriente y el de
predicción, donde x̃1p , x̃2p son los estados del observador predictor y x̃1c , x̃2c son los
estados del observador corriente.
La velocidad del transitorio se puede aumentar, con mayores ganancias en Ko (con k2 =
10, la duración del transitorio baja a dos muestreos) pero x̃1 y x̃2 serán más sensibles
al ruido de medida; este transitorio inicial de error de estimación no es muy importante,
comparado con el funcionamiento en largos perı́odos de tiempo de un sistema de regulación
en presencia de ruido de medida; si los disturbios en la planta son pequeños, polos lentos
del observador dan errores pequeños de estimación ante el ruido en la medición.

Error inicial en X2 X̃2C

(velocidad) } 1
X̃2P
X̃1P 0
Error inicial en X1
(posicion)=0 X̃1C
-1
0.5 1
Figura 11.8: Respuesta de los observadores predictor y corriente.
Observador Corriente:
Ubicando los polos también en z = 0.4 ± j0.4 :
" #
z 0 1 0.1 k1 1 0.1
det[zI − G + Ko EG)] = det − + 1 0 ;
0 z 0 1 k2 0 1
z 2 + (k1 + 0.1k2 − 2)z + 1 − k1 = z 2 − 0.8z + 0.32,

−→ k1 = 0.68 ; k2 = 5.2.
Para implementar las ecuaciones (11.2) del observador:

1 0.1 0.005
V (k) = X̃ (k − 1) + u(k − 1) (11.3)
0 1 0.1
h i
0.68
X̃(k) =V (k) + Y (k) − [1 0] V (k) (11.4)
5.2
se busca reducir el tiempo de cálculo al máximo; para ello se calcula antes del muestreo:
v1 (k) = x̃1 (k − 1) + 0.1 x̃2 (k − 1) + 0.005 u(k − 1),

v2 (k) = x̃2 (k − 1) + 0.1 u(k − 1);
′
x1 = (1 − 0.68) v1 (k),
′
x2 = (− 5.2) v1 (k) + v2 (k),
en donde las dos "

últimas #
ecuaciones calculan el término:
′ 0.68
X (k) = V (k) − [1 0]V (k) de la ecuación (11.4) de corrección de estimación
5.2
del observador.

Después de muestrear el valor de la medida y(k), se calcula:

′
x̃1 (k) = x1 + 0.68 y(k),
′
x̃2 (k) = x2 + 5.2 y(k). (11.5)
Luego se calcuları́a el control u(k). Como se puede observar en la figura 11.8, la respuesta
del observador corriente es un muestreo más rápida que la del predictor.
Si el tiempo de cálculo de (11.5) es elevado hay un retardo no considerado en el diseño, el
cual puede disminuir el amortiguamiento con relación a los polos diseñados; en tal caso,
se deben reubicar los polos deseados del observador o bien incluir el retardo de tiempo de
cálculo en el modelo del sistema. △
△
11.2.8. Efecto del observador en el lazo cerrado

En esta sección se analiza el efecto de tomar el estado estimado X̃(k) en lugar de X(k) en
la ley de control, sobre el desempeño de todo el sistema en red cerrada.
Si el sistema: X(k + 1) = GX(k) + HU (k); Y (k) = EX(k), se realimenta mediante:
U (k) = −Kc X̃(k), entonces el sistema realimentado es:
X(k + 1) = GX(k) − HKc X̃(k),

h i
X(k + 1) = G − HKc X(k) + HKc X(k) − X̃(k) . (11.6)
Para el observador predictor se obtuvo:
e(k + 1) = (G − Ko E)e(k), (11.7)
donde e(k) = X(k) − X̃(k).
La combinación de las ecuaciones (11.6) y (11.7) acopladas, da la dinámica completa de la

planta con la ley de control y el observador:
" #
X(k + 1) G − HKc HKc X(k)
= .
e(k + 1) 0 G − Ko E e(k)
La ecuación caracterı́stica es:

 
zI − (G − HKc ) HKc
det   = det[zI − (G − HKc )] × det[zI − (G − Ko E)],
0 zI − [G − Ko E]
lo que indica que tiene dos factores: αc (z) × αo (z) = 0, correspondiendo a los polos diseñados
para el control y para el observador. Esto se conoce como el principio de separación: la dinámica
total es la suma de la dinámica del control con la dinámica del observador y es lo que permite
el diseño independiente de la observación y el control.

11.3. DISEÑO DE SERVOSISTEMAS
11.2.9. Efecto de realimentar el estado en la controlabilidad y obser-

vabilidad
Si un sistema en red abierta es de estado completamente controlable y se controla mediante
la realimentación de estado: u(k) = −KX(k), se puede demostrar que el sistema en red cerrada
es también de estado completamente controlable; también, si el sistema no es controlable, no
existe realimentación de estados que haga que el sistema en red cerrada sea controlable. Por
otro lado, si un sistema en red abierta es controlable y observable, la realimentación de estado
puede destruir la observabilidad, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 11.17
Para el sistema doble integrador con T = 1:

1 1 0.5
G = ; H = ; E = [1 0] .
0 1 1
Se vió que el sistema es controlable y observable; controlándolo con la realimentación de estado:

u(k) = −[k1 k2 ]X(k) se obtiene la nueva matriz sistema:

1 − 0.5k1 1 − 0.5k2
G − HK = .
−k1 1 − k2
La matriz de observabilidad del sistema realimentado es:

E 1 0
N= = =
E(G − HK) 1 − 0.5k1 1 − 0.5k2
cuyo determinante es cero si la asignación de polos en red cerrada lleva a k2 = 2 y el sistema

realimentado no serı́a por lo tanto observable. △
11.3. Diseño de servosistemas

En los apartados anteriores se resolvió el problema del observador donde no hay entradas
de comandos; en los servosistemas el objetivo es seguir lo mejor posible una entrada variante;
en estos casos (también aplica al regulador), para eliminar el error permanente, se introduce un
integrador después de la diferencia entre el comando r(k) y la salida y(k), como se ilustra en la
figura 11.9.
Se asume que la planta es de estado completamente controlable y observable; las ecuaciones
dinámicas de la planta son:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k) (11.8)
Y (k) = EX(k), (11.9)

con n estados, m entradas, m salidas. La ecuación de estado del integrador es:
V (k) = V (k − 1) + r(k) − Y (k),
donde V (k) es el vector de error actuante (orden m) y r(k) el vector de entradas de comando.

r(k) V (k) U (k) X(k) Y (k)

K1 H Z −1 I E
G
V (k − 1) z I
−1
K2
Figura 11.9: Diagrama de bloques de servosistema con integración.
La ecuación se puede reescribir:

V (k + 1) = V (k) + r(k + 1) − Y (k + 1),
V (k + 1) = V (k) + V (k + 1) − E[GX(k) + HU (k)],
V (k + 1) = −EGX(k) + V (k) − EHU (k) + r(k + 1).
El vector de control U (k) es:
U (k) = −K2 X(k) + K1 V (k), (11.10)
con K1 y K2 matrices de parámetros ajustables para el diseño; de (11.10) la señal de control
en el instante (k + 1) es:
U (k + 1) = −K2 X(k + 1) + K1 V (k + 1),
U (k+1) = −K2 GX(k)−K2 HU (k)−K1 EGX(k)+K1 V (k)−K1 EHU (k)+K1 r(k+1). (11.11)
De (11.10): K1 V (k) = U (k) + K2 X(k) y sustituyendo en (11.11), se obtiene:

U (k + 1) = K2 − K2 G − K1 EG X(k) + Im − K2 H − K1 EH U (k) + K1 r(k + 1).
Se observa en (11.10) que U (k) es una combinación lineal de los vectores de estado X(k) y
V (k), entonces se puede definir el nuevo vector de estado aumentado con X(k) y U (k):
Ar
" # z }| {
X(k + 1) G H X(k)
=
U (k + 1) K2 − K2 G − K1 EG Im − K2 H − K1 EH U (k)

0
+ r(k + 1)
K1
La ecuación de salida es:
X(k)
Y (k) = E 0 .
U (k)
En este modelo de estado, se puede aplicar la técnica de ubicación de polos; si r(k) es un escalón
r(k) = r entonces: " #
X(k + 1) X(k) 0
= Ar + .
U (k + 1) U (k) K1 r

En estado estable, por la acción integral: Y (∞) = r, se obtiene:

" #
X(∞) X(∞) 0
= Ar + .
U (∞) U (∞) K1 r
Definiendo los vectores de error:

Xe (k) = X(k) − X(∞) y Ve (k) = U (k) − U (∞), se obtiene:
" #
Xe (k + 1) Xe (k)
= Ar ,
Ue (k + 1) Ue (k)
que equivale a:
" #
Xe (k + 1) G H Xe (k) 0
= + W (k),
Ue (k + 1) 0 0 Ue (k) Im
donde:
Xe (k)
W (k) = K2 − K2 G − K1 EG : Im − K2 H − K1 EH .
Ue (k)
Definiendo:
Xe (k)
X̂ = ;
Ue (k) (m+n)

G H
Ĝ = ;
0 0 (n+m)×(n+m)

0
Ĥ = ;
Im (n+m)×m

K̂ = − K2 − K2 G − K1 EG : Im − K2 H − K1 EH m×(n+m)
,
se obtiene:
X̂(k + 1) = ĜX̂(k) + ĤW (k),
W (k) = −K̂ X̂(k).
La matriz de controlabilidad es:

M̂ = Ĥ : ĜĤ : ... : Ĝn+m−1 Ĥ (n+m)×m(n+m) ,
cuyo rango es n + m, luego el sistema es completamente controlable; se puede probar Ogata

[1998] que una vez calculada K̂, K1 y K2 se obtienen de:
−1
G − In H
K2 : K1 = K̂ + [0 : Im ] .
EG EH

Ejemplo 11.18
Para la planta
Y (z) z −2 + 0.5z −3
=
U (z) 1 − z −1 + 0.01z −2 + 0.12z −3
se desea determinar K1 y K2 , bajo la estructura planteada, para obtener una respuesta dead-
beat.
La representación de estado en la forma canónica controlable es:

      
x1 (k + 1) 0 1 0 x1 (k) 0
 x2 (k + 1)  =  0 0 1   x2 (k)  +  0  u(k)
x3 (k + 1) −0.12 −0.01 1 x3 (k) 1
 
x1 (k)
y(k) = 0.5 1 0  x2 (k)  .
x3 (k)
El sistema en lazo cerrado tiene:
 
0 1 0 : 0
 0 0 1 : 0 
G H  
Ĝ = =
 −0.12 −0.01 1 : 1 ,

0 0  
.. .. .. : ..
0 0 0 : 0
 
0
 0 
 
Ĥ = 0
.

 .. 
1
La ecuación caracterı́stica deseada es: z 4 = 0. Con la fórmula de Ackermann se tiene:
−1 4
K̂ = 0 0 0 1 Ĥ ĜĤ Ĝ2 Ĥ Ĝ3 Ĥ Ĝ ,
 −1  4
0 0 0 1 0 1 0 0
 0 0 1 1   0 0 1 0 
K̂ = 0 0 0 1      ,
0 1 1 0.99   −0.12 −0.01 1 1 
1 0 0 0 0 0 0 0

= −0.12 −0.13 0.99 1 .
Finalmente: −1
G − I3 H
K2 K1 = K̂ + [0 : 1] ,
EG EH
 −1
−1 1 0 :0
 0 −1 1 :0 
 
K2 K1 = −0,12 −0,13 0,99 :2 
 −0,12 −0,01 0 :1 

 .. .. .. : .. 
−0 0.5 1 :0


K2 : K1 = −0.12 0.323 2 : 0.66 ,
por lo tanto:
K1 = 0.66,

K2 = −0.12 0.323 2
△
Ejemplo 11.19
Este ejemplo ilustra el uso del MATLAB para diseñar un servosistema con acción integral,
para la planta doble integrador. La planta a controlar es el doble integrador con el observador
diseñado en el ejemplo 11.15:
% Modelo del doble integrador:

>> G=[1 0.1;0 1]; H=[0.005;0.1]; Sis=ss(G,H,[1 0],0,0.1);
>>z=tf(’z’,0.1);P=zero(z^2-1.6*z+0.7);K=place(G,H,P);
% Cálculo del observador por Ackerman:
>> Po=zero(z^2);Ko=acker(G’,[1 0]’,Po).’;
% Cálculo de la planta a controlar, doble integrador con el observador:
>> reguladorS = reg(Sis,[0 0],Ko); SisRA1=feedback(Sis,reguladorS,+1);
>> Hb=[0 0 0 0 1]’;Gb=[SisRA1.a SisRA1.b;0 0 0 0 0] %Sistema aumentado
Gb =
1.0000 0.1000 0 0 0.0050

0 1.0000 0 0 0.1000
2.0000 0 -1.0000 0.1000 0
10.0000 0 -10.0000 1.0000 0
0 0 0 0 0
% A la dinámica deseada en red cerrada, se adicionan

% 3 polos iguales, 4 veces más rápidos que los deseados:
>> Ps=zero((z^2-1.6*z+0.7)*(z-0.5)^3);Ks=acker(Gb,Hb,Ps)
Ks =
-143.7500 13.6875 145.0000 -12.7500 -1.1000
Cálculo de la matriz de realimentación K12 = [K1K2]:
>> MA=[SisRA1.a-eye(4),SisRA1.b;SisRA1.c*SisRA1.a,SisRA1.c*SisRA1.b];
>> K12=[Ks+[0 0 0 0 1]]*inv(MA)
K12 =
135.6250 -7.8438 -127.5000 11.0000 1.2500

11.4. RESUMEN
>> K1=[K12(5)];K2=[K12(1) K12(2) K12(3) K12(4)]
K2 =
135.6250 -7.8438 -127.5000 11.0000
El lazo con la realimentación de estado K2, se cierra redefiniendo la salida de SisRA1 como
el vector de estado, matriz E identidad de orden cuatro.
>> SisRA2=ss(SisRA1.a,SisRA1.b,eye(4),[0],.1);SisRA3=feedback(SisRA2,K2,-1);
% Se define de nuevo como salida al primer estado:

>> SisRA4=ss(SisRA3.a,SisRA3.b,[1 0 0 0],[0],.1);
>> SisRC=feedback((z/(z-1))*K1*SisRA4,1,-1);
>> damp(SisRC) % Los modos de red cerrada son los deseados:
Eigenvalue Magnitude Equiv. Damping Equiv. Freq. (rad/s)
8.00e-001 + 2.45e-001i 8.37e-001 5.15e-001 3.47e+000

8.00e-001 - 2.45e-001i 8.37e-001 5.15e-001 3.47e+000
5.00e-001 5.00e-001 1.00e+000 6.93e+000
5.00e-001 + 9.29e-006i 5.00e-001 1.00e+000 6.93e+000
5.00e-001 - 9.29e-006i 5.00e-001 1.00e+000 6.93e+000
La figura 11.10 muestra la respuesta al esalón en la referencia; se observa que la acción

integral elimina el error permanente.
△
11.4. Resumen
En este capı́tulo se analizó la controlabilidad y la observabilidad de los sistemas de control
lineales e invariantes en el tiempo. Se revisaron las transformaciones útiles para el análisis
y diseño en el espacio de estados; como método básicos de diseño en el espacio de estados,
se presentó el método de ubicación de polos, asumiendo que todas las variables de estado se
pueden medir. Se realizó el diseño de los observadores de estado, que estiman las variables que
no son medibles; su estimación se basa en las mediciones de las señales de salida y de control
de la planta. Al final se analizó y se diseñó un control con acción integral para los sistemas de
control de seguimiento de referencia.

Los libros de texto clásicos como Ogata [1998] y Kuo [1996].

Step Response
1.4
1.2
1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Time (seconds)
Figura 11.10: Respuesta al escalón de entrada para el servosistema doble integrador.

Ejercicio 11.1
Considere un vaso desechable con dos agujeros en su base que alimentan cada uno a otros
dos vasos desechables, cada uno con un solo agujero en su base. Usted puede controlar el flujo
del lı́quido que entra al vaso con los dos agujeros; ¿qué puede concluir sobre la posibilidad de
controlar cada nivel de los vasos con un solo agujero?
Ejercicio 11.2
Considere dos vasos desechables con un agujero en su base cada uno, conectados hidráuli-
camente en cascada, con un flujo de agua de entrada controlable al primer vaso; compare los
desempeños logrados en el control del nivel del segundo vaso, si lo regula solamente observando
este nivel y observando los niveles de cada vaso. Si solo observa el nivel en el segundo vaso,
¿puede calcular cuál es el nivel del primero?

Ejercicio 11.3
Para:
X(k + 1) = GX(k) + HU (k)
Y (k) = EX(k)
U (k) = Kc X(k)

Con
1 1
G=
0 1
1
H= 2
1

E= 1 0
Calcule Kc para obtener polos de red cerrada en z = 0.6 ± J0.3.
Obtenga las ecuaciones del observador predictor y corriente para polos deseados en z =
0.1 ± j0.1.
Ejercicio 11.4
Con
1 T
G=
0 1
T2
H= 2
T
Calcule la transformación T, tal que si X = TX las ecuaciones en X estan en la forma canónica
controlable; calcule K para obtener una ecuación caracterı́stica αc (z) = z 2 − 1.6z + 0.7. Si se
aplica el control u = KX, calcule la K correspondiente con X como estado.
Ejercicio 11.5
Considere dos tanques iguales con capacitancia C y resistencia de descarga R1 , ubicados
uno al lado del otro, con una resistencia de interconexión en el fondo de valor R2 , ver la figura
11.11; analice la controlabilidad del sistema para una entrada de agua qi (t), que se divide de
por mitad para cada tanque en q1 . Analice la observabilidad del sistema si:
Mide uno de los niveles.
Mide el flujo q3 por R2 .
Ejercicio 11.6
Con
1 1
G=
0 1
1
H= 2
1
Verifique si el sistema es observable para:
1.
E= 0 1

Figura 11.11: Tanques en paralelo.
2.
E= 1 0
¿Por que hay pérdida de la observabilidad?
Ejercicio 11.7
Para el sistema de la figura 11.12, calcule k1 y k2 de forma que la respuesta a un escalón en
r(k), sea con oscilaciones muertas (deadbeat).
r(k) Y (k)
k1 Z −1
z −1 0.5
k2
Figura 11.12: Sistema de control de seguimiento.

Ejercicio 11.8
Para el sistema:
x1 (k + 1) = x1 (k) + x2 (k) − u(k)
x2 (k + 1) = x2 (k) + u(k)
y(k) = x1 (k)
u: entrada; y: salida; x1 , x2 : estados
Verifique que el sistema es controlable y/o observable.
Diseñe una ley de realimentación de estados de forma que el sistema tenga una dinámica
en lazo cerrado, de respuesta con oscilaciones muertas.
Ejercicio 11.9
Para el sistema de la figura 11.13:
Planta
u(k)
+ + x2 (k) + x1 (k) = y(k)
r(k) + +
k1 z −1 z −1
- + - + +
z −1 0.5 0.5
+
kc2
+
kc1
Figura 11.13: Sistema de control digital de seguimiento.
La representación de estado de la planta es:

0.5 1 0
x(k + 1) = x(k) + u(k)
0 0.5 1

y(k) = 1 0 x(k)
con
x1 (k)
x(k) =
x2 (k)
Determine la ganancia de la trayectoria directa k1 y las ganancias de realimentación kc1 ,
kc2 , de forma que la respuesta a una secuencia escalón unitario en r(k) sea con oscilaciones
muertas.
Si x2 (k) no es medible, se requiere usar un observador para la realimentación de estados;
obtenga las ecuaciones de un observador predictor, de forma que la respuesta al error de
observación inicial, sea con oscilaciones muertas.


1. Para el modelo nominal del sistema, diseñe por un control por realimentación de estados
con su observador si es del caso. Analice y evalúe el cumplimiento de las especificaciones
deseadas de desempeño.
2. Verifique en simulación digital, la respuesta en frecuencia y/o la temporal ante diver-

sas entradas y perturbaciones; Analice el desempeño robusto de los sistemas de control
diseñados. Analice los efectos de alinealidades. Rediseñe si es del caso.
3. Escoja el soporte fı́sico y lógico e implemente el control obtenido al sistema.
4. Pruebe y valide el sistema, verificando el desempeño temporal y/o frecuencial. Reajuste

el controlador en lı́nea si es necesario.
5. Discuta bondades y dificultades de este método con relación a los del capı́tulo anterior.

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Índice alfabético
acción de control de Adelanto Atraso, 345 carta de Nichols, 439

acción de control Integral I, 329 cero de fase no mı́nima, 232, 434
acción de control PID práctica, 352 cero de muestreo, 275
acción de control PID, discretización, 354 cero lento, 232
acción de control por realimentación de esta- coeficiente de amortiguamiento, 221
dos, 348 constante de amortiguamiento, 222
acción de control Proporcional Derivativa PD, constante de tiempo, 55, 218
333 constante de tiempo equivalente, 222
acción de control Proporcional Integral Deri- contorno de las raı́ces, 404
vativa PID, 334 control clásico, 27
acción de control Proporcional Integral PI, 331 control de rango partido, 597
acción de control Proporcional P, 327 control de relación, 597
acción de control RST, 346 control directo de referencia, 187
acción de control Todo Nada, 325 control distribuı́do, 36
acción de control, implementación, 351 control moderno, 27, 52
acción de control, implementación análoga, 351 control selectivo, 597
actuador, 21 controlabilidad completa de estado, 608, 616
algoritmo ejecutivo, 355 controlabilidad completa de salida, 617
alias, 150 controlador, 21
aliasing, 150 controlador PID dependiente, 335
análisis, 26 controlador PID estándar, 353
ancho de banda, 466 controlador PID independiente, 335
controlador PID interactivo, 336
banda de parada, 466 controlador PID paralelo, 334
banda de transición, 466 controlador PID serie, 336
banda pasante, 466 controlador PID, forma de velocidad, 355
banda proporcional, 328 corrimiento, 328
Black, 439 criterio de magnitud, 399
Bode, constante de, 430 criterio del ángulo, 399
Bode, forma de, 430
bus de campo, 34 década, 429
DeviceNet, 34
caldera, 14 diagrama de bloque, 5
calor especı́fico, 64 diagrama de Nyquist, 429
CAN, 34 dinámica no estructurada, 94
capacidad térmica, 64 disco de incertidumbre, 442
capacitancia, 55
642
ÍNDICE ALFABÉTICO
diseño, 27 función de transferencia de pulsos sinusoidal,

diseño por análisis, 28 500
diseño por sı́ntesis, 28 función de transferencia del error aditivo, 93
diseño robusto, 54 función de transferencia del error multiplicati-
disturbio, 21 vo, 93
función de transferencia discreta, 146
ecuación de estado, 101 función de transferencia discreta sinusoidal, 498
ecuación de salida, 102 función de transferencia discreta, implementa-
ecuación diofántica, 343 ción directa, 359
ecuaciones dinámicas, 102 función de transferencia discreta, implementa-
elementos de realimentación, 21 ción paralela, 360
error, 21 función de transferencia real positiva, 491
error actuante, 188
error de control, 188 ganancia crı́tica, 337
error de modelado, 54 ganancia integral, 329
error de sensibilidad, 238 ganancia proporcional, 328
error permanente de posición, 210 gráfic de flujo de señal, 127
espacio de estado, 101
especificación de control, 31 HART, 34
especificación de funcionamiento, 28 histéresis, 326
estabilidad absoluta, 380
inductancia, 55
estabilidad de Entrada Limitada-Salida Acota-
inertancia, 55, 66
da, 381
ingenierı́a básica, 26
estabilidad relativa, 380
ingenierı́a de detalle, 26
estabilidad robusta, 451
ingenierı́a de puesta en marcha, 26
estado, 100, 101
ingenierı́a del proceso, 26
Fieldbus Foundation, 34 inversión inicial, 39
filtro muesca, 532 ISA, 19
flujo neto de caja, 40
Jury, prueba de estabilidad, 387
forma canónica controlable, 117, 605
justificación económica, 31
fracción parcial, 79
frecuencia de corte, 466 lı́mite fundamental, 244
frecuencia de Nyquist, 150 lazo abierto, 7
frecuencia de reposición, 330 lazo cerrado, 7
frecuencia de resonancia, 462 ley de corrientes de Kirchhoff, 55
frecuencia natural, 221 ley de difusión de Fick, 69
frecuencia natural amortiguada, 222 ley de Faraday, 57
función de sensibilidad, 189 ley de Fourier, 63
función de sensibilidad complementaria, 189 ley de Hooke, 58
función de sensibilidad de entrada, 189 ley de Lenz, 57
función de sensibilidad de salida, 189 ley de Ohm, 56
función de sensibilidad del sistema, 192 ley de Poiseuille, 54
función de sensibilidad paramétrica, 193 ley de Stefan-Boltzmann, 63
función de transferencia, 27 ley de tensiones, 55
función de transferencia de pulsos, 155 ley de tensiones de Kirchhoff, 58

ley del enfriamiento de Newton, 63 proceso discreto, 17

linealización, 102 proceso por lotes, 18
lugar de Black, 439 Profibus, 34
lugar geométrico de las raı́ces, 396 proyecto, 25
punto crı́tico, 445
máximo pico de resonancia, 462 punto de reparto, 6
margen de estabilidad robusta, 461
margen de fase, 456 realimentación, 2
margen de ganancia, 401, 455 referencia, 20
margen de retardo, 457 regulación, 9
matriz de acoplamiento, 104 regulador de tensión, 22
matriz de entrada, 104 regulador de velocidad de Watt, 2
matriz de realimentación de estado, 349 remanencia estacionaria, 331
matriz de salida, 104 resistencia, 55
matriz de transición de estado discreta, 303 respuesta de frecuencia, 425
matriz del sistema, 104 respuesta permanente, 79
Modbus, 34 respuesta transitoria, 79
modelo ARMAX, 169 retardo computacional, 289, 357
modelo ARX, 169 retardo fraccional, 152
modelo Box-Jenkins, 169 retenedor de orden cero, 148
modelo error de salida, 169 Routh, tabla de, 385
modelo nominal, 54 ruido, 21
monovariables, 14 ruido blanco, 98
muestreo y retención, 15
multivariable, 14 salida controlada, 20
SCADA, 35
Nyquist, criterio de estabilidad de, 445 señal, 4
señal de control, 21
observabilidad, 613 señal de datos muestreados, 16
observabilidad completa de estado, 617 señal de entrada, 4
observador corriente, 621 señal de perturbación, 4
observador de estado, 350, 602 señal de realimentación, 21
observador de orden reducido, 621 señal de salida, 4
señal de tiempo discreto, 16
P & ID, 36 señal digital, 16
Perı́odo de Recuperación de la Inversión, 40 secuencia, 137
perturbación, 21 seguimiento, 9
planta, 4, 21 Serie de Fibonacci, 141
polo dominante, 228 servomecanismo, 10
polo rápido, 228 simetrı́a óptima, 546
principio de separación, 624 sistema, 4
principio del argumento, 444 sistema análogo, 17
principio del módulo, 494 sistema condicionalmente estable, 451
procesador digital, 16 sistema de control, 4
proceso, 4 sistema de control de lazo cerrado, 8
proceso continuo, 17 sistema de control digital, 17

sistema de datos muestreados, 17

sistema de fase mı́nima, 435
sistema digital, 17
sistema discreto, 17
sistema inestable, 382
sistema internamente estable, 383
sistema marginalmente estable, 382
sistema tipo N-ésimo, 259
sistema tipo N-enésimo, 209
sobrelapamiento frecuencial, 150
sobrenivel porcentual, 224
sumador, 6
tasa de descuento, 40
Tasa Interna de Retorno, 40
teorema del muestreo, 151
tiempo de acción integral, 329
tiempo derivativo, 333
transformada Z, 141
Transformada Z modificada, 152
transformada Z, propiedades, 145
transformada Z, tabla de transformadas, 144
transformada bilineal, 389, 504
transformada de Laplace, 27, 51
Valor Presente Neto, 39

valor propio, 292
valor singulare de Hankel, 124
variable, 4
variable de estado, 27, 100, 101
variable manipulada, 21
vector de estado, 101
vector propio, 292
vector propio derecho, 292
vector propio izquierdo, 292

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SISTEMAS DE CONTROL

Grupo de Investigación en Control Industrial

UNIVERSIDAD DEL VALLE COLCIENCIAS

Escuela de Ingenierı́a Eléctrica y Electrónica

3. Modelado de sistemas de control digitales 137

4. Análisis de las caracterı́sticas de los sistemas realimentados 187

5. Análisis de la respuesta en el tiempo 207

6. Análisis de las acciones de control 324

7. Análisis de la estabilidad de sistemas dinámicos 380

8. Análisis mediante el lugar geométrico de las raı́ces 396

9. Análisis de la respuesta en frecuencia 423

10.Diseño en representación de entrada-salida 524

11.Diseño en el espacio de estado 602

1.1. El reloj de agua de Ktesibios, Mayr [1982]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Vaso perforado y grifo de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1. Pulso de amplitud A en m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.1. Sistema de control en red abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.1. Caracterı́sticas de la respuesta de sistemas dinámicos. . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.1. Acción de control Todo Nada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

7.1. Sistema de control realimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

8.1. Ensayos con el plano pivotado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

9.1. Sistema oscilador para la lúdica 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

10.1. Cancelación polo cero en red abierta y red cerrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

11.1. Realimentación de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

1.1. Errores máximos de posición vertical y radial, discos de almacenamiento óptico. . 33

2.1. Variables y parámetros para diversos sistemas fı́sicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1. Secuencias de funciones de interés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1. Caracterı́sticas de la respuesta al escalón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.1. Ajuste del PID con el método de oscilación de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . 337

9.1. Datos de la respuesta de frecuencia del ejemplo 9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxiv

Presentación de los capı́tulos

1. Introducción, donde se describen los objetivos del capı́tulo y se referencia el contenido a

5. Ejercios lúdicos, para reforzar el aprendizaje de los conceptos.

1. La ingenierı́a de control: Este tema contextualiza el área de los sistemas de control,

2. Modelado: Para analizar y diseñar sistemas de control de altas prestaciones, se debe

3. Análisis: Una vez se tiene modelado el proceso, se realiza el procedimiento de análisis,

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxvi

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxvii

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto xxviii

Marı́a, Lina, Andrea y Alejandro.

El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingenierı́a y la

Figura 1.1: El reloj de agua de Ktesibios, Mayr [1982].

La máquina de vapor, motor de la revolución industrial, se le pudo controlar la velocidad

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 2

Figura 1.2: El regulador de Watt, Mayr [1982].

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 3

1.2. Definiciones y representación

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 4

Figura 1.3: Sistema de control de la excitación.

generador, VT REF ; la señal de salida es el voltaje generado en terminales de la máquina VT y

1.2.1. Diagramas de bloques

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 5

Figura 1.4: Representación en diagrama de bloques.

Figura 1.5: Sumadores.

Figura 1.6: Punto de reparto.

Sistemas de Control, Enfoque de Proyecto 6

1.2.2. Sistemas de control de lazo abierto y lazo cerrado

Figura 1.7: Plano y cilindro de Icopor.