INGENIERIA INDUSTRIAL

DAVID RODRIGUEZ CORTES

ESTASIDTICA INFERENCIAL II

SERIES DE TIEMPO

JORGE RIVERA

XALAPA, VER. 12 DE ENERO DEL 2018

 SERIES DE TIEMPO
¿Qué es y cuando se usa?
En Estadística se le llama así a un conjunto de valores observados durante una
serie de períodos temporales secuencialmente ordenada, tales períodos pueden
ser semanales, mensuales, trimestrales o anuales.
Se representa por medio de una gráfica de líneas sobre cuyo eje horizontal se
representan los períodos y en cuyo eje vertical se representan los valores de la
serie de tiempo.
Ejemplo de gráficos de series de tiempo:

Analizar una serie de tiempo tiene como objetivos:

 Determinar si se presentan ciertos patrones o pautas no aleatorias.
 Aislar y entonces estudiar sus componentes a fin de proporcionar claves
para movimientos futuros.
 Hace posible pronosticar los movimientos futuros, así como otros
aspectos que estén sincronizados.
Por serie de tiempo nos referimos a datos estadísticos que se recopilan,
observan o registran en intervalos de tiempo regulares (diario, semanal,
semestral, anual, entre otros).
El término serie de tiempo se aplica por ejemplo a datos registrados en forma
periódica que muestran, por ejemplo, las ventas anuales totales de almacenes,
el valor trimestral total de contratos de construcción otorgados, el valor trimestral
del PIB.
 Para llevar a cabo un análisis de este tipo, primero se deben identificar los
componentes de la serie de tiempo, después aplicar las técnicas estadísticas
para su análisis y, finalmente, hacer las proyecciones o pronósticos de eventos
futuros.
De esta forma, el análisis de series de tiempo es el procedimiento por el cual se
identifican y aíslan los factores relacionados con el tiempo que influyen en los
valores observados en las series de tiempo para que una vez identificados, estos
factores puedan contribuir a la interpretación de valores históricos de series de
tiempo y hasta entonces pronosticar valores futuros de series de tiempo.
COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO
El método clásico identifica cuatro influencias o componentes:
 Tendencia (T)
 Fluctuaciones cíclicas (C)
 Variaciones estacionales (E)
 Variaciones irregulares (I)
Los cuales tienen una relación multiplicativa que dan forma al modelo clásico de
series de tiempo, es decir, para cualquier período designado en la serie de
tiempo, el valor de la variable está determinado por los cuatro componentes en
la siguiente forma:
Y=TxCxExI
cuyas características son las siguientes:
Nombre y forma Ejemplos Otros datos Técnica a
utilizar
Tendencia (T) - Es el movimiento general Ventas a -Se miden en años.
a largo plazo de los valores de serie de largo plazo. -Algunas se mueven
tiempo (y) sobre un extenso periodo de Oferta de continuamente hacia Mínimos
años. empleo. arriba, otras declinan y cuadrados
Precios de otras más permanecen
acciones. sin cambio en cierto
periodo.
Fluctuaciones cíclicas (C) – Empleo -Se mide en años.
Movimientos ascendentes y La -Ascenso y descenso en
descendentes recurrentes respecto a la producción periodos mayores de un Valores
tendencia con una duración de varios El precio de año. cíclicos
años las acciones -Periodos de relativos
prosperidad seguidos de
recesión, depresión y
luego recuperación.
Variaciones estacionales (E) – Ventas altas -Solo se aprecian si se
Movimientos ascendentes y en navidad y tienen datos trimestrales
descendientes respecto de la tendencia bajas o mensuales. Promedios
que se consuman dentro de un año y se después -Patrones de cambio móviles
repiten anualmente. Se identifican más en Consumos dentro de un mismo año.
periodos mensuales o trimestrales. relacionados Tales patrones se
con las repiten cada año.
estaciones
del año
Variaciones irregulares (I) – Variaciones Guerras
erráticas respecto de la tendencia que no Huelgas -No se puede predecir No existe
pueden atribuirse a influencias cíclicas o Desastres no medir. técnica
estacionales. naturales

ANALISIS DE TENDENCIA
La tendencia secular o tendencia a largo plazo de una serie es por lo común el
resultado de factores a largo plazo.
En términos intuitivos, la tendencia de una serie de tiempo caracteriza el patrón
gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran
consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reducción
de la misma, tales como: cambios en la población, en las características
demográficas de la misma, cambios en los ingresos, en la salud, en el nivel de
educación y tecnología.
Un ejemplo de cómo se observan las tendencias se encuentra en el siguiente
Gráfico donde se observa una tendencia en cuanto al crecimiento de usuarios
de internet en México que va de 2005 a 2010; ello nos da un patrón del
comportamiento de esta serie de tiempo; ahora sólo faltaría analizar
detalladamente con el método de mínimos cuadrados.

Para el caso de tendencias a largo plazo, su comportamiento se ajusta a una

línea recta, llamada por esta razón línea de tendencia, es decir, se aproxima a
una ecuación de recta, que recibe el nombre de ecuación de tendencia y que es
de la forma:
y = a + bt
Dónde:
y: Valor proyectado, estimado o pronosticado de la variable y.
a: Punto donde la recta corta al eje y.
b: La pendiente de la recta de tendencia.
t: Cualquier valor de tiempo seleccionado.
Cuyos coeficientes se calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados
visto anteriormente con las siguientes fórmulas:
 n (∑ty) − (∑x)(∑t)
𝒃=
n(∑t2) − (∑t)2
∑𝑦 ∑t
𝐚= −𝑏
𝑛 𝑛
Análisis de Variaciones Cíclicas
Con frecuencia las series de tiempo presentan secuencias alternas de puntos
abajo y arriba de la línea de tendencia que duran más de un año, esta variación
se mantiene después de que se han eliminado las variaciones o tendencias
estacional e irregular.
Un ejemplo de este tipo de variación son los ciclos comerciales cuyos períodos
recurrentes dependen de la prosperidad, recesión, depresión y recuperación, las
cuales no dependen de factores como el clima o las costumbres sociales.
Como se dijo antes, estos dos componentes, el de tendencia y el cíclico,
solamente se aplica para datos anuales. Concretamente, el componente cíclico
puede identificarse como el, que persistiría en los datos luego de eliminada la
influencia del componente de tendencia. Esta eliminación se realiza dividiendo
cada uno de los valores observados entre su valor de tendencia correspondiente,
mediante la siguiente fórmula:
𝒚 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝑇 ∗ 𝐶
= =𝐶
𝑦 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑇
El resultado de este cociente se multiplica por 100 a fin de que el promedio de
estas variaciones cíclicas relativas sea de 100%. De esta forma, un valor cíclico
relativo de 100 indicaría la ausencia de toda influencia cíclica en el valor de la
serie de tiempo anual.
Se puede elaborar una gráfica de ciclos, en la que se describen los ciclos
relativos para cada año, esta permite facilitar la interpretación de los relativos
cíclicos ya que hacen más evidentes las cumbres y valles que se presentan.

Métodos que utiliza.

Métodos simples de pronóstico y suavización
Los métodos simples de pronóstico y suavización modelan los componentes de
una serie que habitualmente se observa fácilmente en una gráfica de series de
tiempo de los datos. Este enfoque descompone los datos en sus partes
componentes y luego extiende las estimaciones de los componentes en el futuro
para generar pronósticos. Puede elegir entre los métodos estáticos del análisis
de tendencia y descomposición o los métodos dinámicos de promedio móvil,
suavización exponencial individual y doble y el método de Winters. Los métodos
estáticos tienen patrones que no cambian con el tiempo, los métodos dinámicos
tienen patrones que sí cambian con el tiempo y las estimaciones se actualizan
utilizando los valores contiguos.
Se puede utilizar dos métodos combinados. Es decir, puede elegir un método
estático para modelar un componente y un método dinámico para modelar otro
componente. Por ejemplo, puede ajustar una tendencia estática usando un
análisis de tendencia y modelar dinámicamente el componente estacional en los
residuos usando el método de Winters. Alternativamente, puede ajustar un
modelo estacional estático usando la descomposición y modelar dinámicamente
el componente de tendencia en los residuos usando la suavización exponencial
doble. También se puede aplicar un análisis de tendencia y descomposición
juntos para poder usar la selección más amplia de modelos de tendencia
ofrecidos por el análisis de tendencia. Una desventaja de la combinación de
métodos es que los intervalos de confianza para los pronósticos no son válidos.
Análisis de tendencia
Ajusta un modelo de tendencia general a los datos de las series de tiempo. Elija
entre los modelos de tendencia lineal, cuadrático, crecimiento o decadencia
exponencial y curva S. Utilice este procedimiento para ajustar la tendencia
cuando sus series no incluyan un componente estacional.
Pronósticos:
 Longitud: largo
 Perfil: extensión de la línea de tendencia

Descomposición
Separa las series de tiempo en componentes de tendencia lineal, componentes
estacionales y el error. Elija si el componente estacional es aditivo o multiplicativo
con la tendencia. Utilice este procedimiento para pronosticar cuando haya un
componente estacional en sus series o cuando desee examinar la naturaleza de
los componentes.
Pronósticos:
 Longitud: largo
 Perfil: tendencia con patrón estacional
Promedio móvil
Suaviza los datos al promediar las observaciones consecutivas en una serie.
Puede usar este procedimiento cuando los datos no tengan un componente de
tendencia. Si tiene un componente estacional, establezca la longitud del
promedio móvil igual a la longitud del ciclo estacional.
∑𝑛𝑡 = 1 𝑋𝑡 − 1
𝑋𝑡 =
𝑛
Donde:
Xt= es el promedio de ventas en unidades en el período t
∑= es la sumatoria de datos
Xt-1= son las ventas reales en unidades de los períodos anteriores a t
N= el número de datos
Pronósticos:
 Longitud: corto
 Perfil: línea plana

Suavización exponencial individual

Suaviza los datos usando la fórmula de pronóstico de ARIMA óptimo (0,1,1) de
un paso adelante. Este procedimiento funciona mejor sin un componente de
tendencia o estacional. El componente dinámico individual en un modelo de
promedio móvil es el nivel.
Pronósticos:
 Longitud: corto
 Perfil: línea plana

Suavización exponencial doble

Suaviza los datos usando la fórmula de pronóstico de ARIMA óptimo (0,2,2) de
un paso adelante. Este procedimiento puede funcionar adecuadamente cuando
hay una tendencia, pero también puede servir como un método de suavización
general. La suavización exponencial doble calcula las estimaciones dinámicas
para dos componentes: nivel y tendencia.
Pronósticos:
 Longitud: corto
 Perfil: línea recta con pendiente igual a la última estimación de tendencia

Método de Winters
Suaviza los datos mediante la suavización exponencial de Holt-Winters. Utilice
este procedimiento cuando haya tendencia y estacionalidad, siendo estos dos
componentes o aditivos o multiplicativos. El Método de Winters calcula
estimaciones dinámicas para tres componentes: nivel, tendencia y estacional.
Pronósticos:
 Longitud: de corta a mediana
 Perfil: tendencia con patrón estacional

Análisis de correlaciones y modelo ARIMA

El modelo ARIMA (promedio móvil integrado autorregresivo) también utiliza los
patrones en los datos, pero estos patrones podrían no visualizarse fácilmente en
una gráfica de los datos. En lugar de ello, el modelo ARIMA utiliza las funciones
de diferenciación, autocorrelación y autocorrelación parcial para ayudar a
identificar un modelo aceptable.
El modelo ARIMA puede utilizarse para modelar muchas series de tiempo
diferentes, con o sin componentes de tendencia o estacionales y para generar
pronósticos. El perfil del pronóstico depende del modelo que se ajusta. La ventaja
del modelo ARIMA comparado con los métodos simples de pronóstico y
suavización es que es más flexible para ajustarse a los datos. Sin embargo, la
identificación y el ajuste de un modelo pueden consumir mucho tiempo y el
modelo ARIMA no se automatiza con facilidad.
Diferencias
Calcula y almacena las diferencias entre los valores de los datos de una serie de
tiempo. Si desea ajustar un modelo ARIMA, pero los datos tienen un componente
de tendencia o estacionalidad, la diferenciación de los datos es un paso común
para evaluar los modelos ARIMA probables. Las diferencias se utilizan para
simplificar la estructura de correlaciones y para revelar cualquier patrón
subyacente.
Desfase
Calcula y almacena los desfases de una serie de tiempo. Cuando usted aplica
un desfase a una serie de tiempo, Minitab mueve los valores originales hacia
abajo en la columna e inserta valores faltantes en la parte superior de la columna.
El número de valores faltantes insertados depende de la longitud del desfase.
Autocorrelación
Calcula y crea una gráfica de las autocorrelaciones de una serie de tiempo. La
autocorrelación es la correlación entre observaciones de una serie de tiempo
separadas por k unidades de tiempo. La gráfica de las autocorrelaciones se
denomina función de autocorrelación (ACF). Como guía para elegir los términos
que incluirá en un modelo ARIMA, observe la ACF.
Autocorrelación parcial
Calcula y crea una gráfica de autocorrelaciones parciales de una serie de tiempo.
Las autocorrelaciones parciales, al igual que las autocorrelaciones, son
correlaciones entre conjuntos de pares de datos ordenados de una serie de
tiempo. Como sucede con las correlaciones parciales en el caso de la regresión,
las autocorrelaciones parciales miden la fuerza de la relación con otros términos
que están siendo evaluados. La autocorrelación parcial en un desfase de k es la
correlación entre los residuos en el tiempo t de un modelo autorregresivo y las
observaciones en el desfase k con los términos para todos los desfases
intermedios presentes en el modelo autorregresivo. La gráfica de
autocorrelaciones parciales se denomina función de autocorrelación parcial
(PACF). Como guía para elegir los términos que incluirá en un modelo ARIMA,
observe la PACF.
Intercorrelación
Calcula y crea una gráfica de las correlaciones entre dos series de tiempo.
ARIMA
Ajusta un modelo ARIMA de Box-Jenkins a una serie de tiempo. En ARIMA,
"autorregresivo", "integrado" y "promedio móvil" se refieren a los pasos de filtrado
que se toman para calcular el modelo ARIMA hasta que solamente queda el ruido
aleatorio. Utilice ARIMA para modelar el comportamiento de las series de tiempo
y para generar pronósticos.
Aplicación en la industria.
La técnica de serie de tiempo dentro de la industria se puede aplicar dentro de
los procesos de producción o en el área de ventas, realizando en cada una de
las áreas diferentes acciones como inventarios, check list, formatos de entrada
y salida según sea el caso, tanto de materia prima (entrada) como de producto
a entregar (salida o venta).
En el caso de algún proceso la técnica de series de tiempo se utiliza realizando
check list de todo el proceso que se lleva a cabo para la obtención de lo que se
esté produciendo, ya sea herramientas, comestibles, maquinaria, entre otros.
Si hablamos de alguna venta o proporcionar un servicio, se lleva una bitácora
diaria de todas las actividades realizadas en una tienda de autoservicio, como
los son inventarios, cortes de cajas, recibo de producto, así como toda la
mercancía que sale, todo esto metódicamente dentro de una base de datos
donde cada producto está registrado.

Ejemplo.
Una empresa textil presenta en el siguiente tabulado el reporte de ventas de
prendas tipo casual correspondiente al año 2016.

MES VENTAS REALES (2016)

Enero 803
Febrero 690
Marzo 385
Abril 870
Mayo 980
Junio 105
Julio 108
Agosto 225
Septiembre 400
Octubre 320
Noviembre 100
Diciembre 467

Teniendo en cuenta los datos anteriores, se debe calcular un pronóstico

mediante la técnica de Promedio Móvil utilizando:
 Un período de 3 meses (a partir de abril de 2009)
 Un período de 6 meses (a partir de julio de 2009)

El objetivo consiste en identificar con cuál de los dos períodos del pronóstico se
obtiene mayor precisión al compararse con las ventas reales del reporte.
Pronóstico con un período móvil de 3 meses, su cálculo tendrá en cuenta tres
períodos, es decir, Enero, Febrero y Marzo.

803 + 690 + 385

X4(Abril) =
3

X4(Abril)=526

690 + 385 + 870

X5(Mayo) =
3

X5(Mayo) = 648

385 + 870 + 980

X6(junio) =
3

X6(Junio) = 745

Efectuando las previsiones restantes obtenemos el siguiente resultado:

VENTAS REALES PRONÓSTICO 3

MES
(2016) MESES
Enero 803
Febrero 690
Marzo 385
Abril 870 526
Mayo 980 648
Junio 105 745
Julio 108 651
Agosto 225 397
Septiembre 400 146
Octubre 320 244
Noviembre 100 315
Diciembre 467 296

El pronóstico restante al ser un pronóstico con un período móvil de 6 meses, este

deberá efectuarse a partir del mes de Julio, es decir que para su cálculo tendrá
en cuenta seis períodos, es decir, Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo y Junio.

803 + 690 + 385 + 870 + 980 + 105

X7(Julio) =
6

X7(Julio) = 369
 690 + 385 + 870 + 980 + 105 + 108
X8(Agosto) =
6

X8(Agosto) = 523

385 + 870 + 980 + 105 + 108 + 225

X9(Septiembre) =
6

X9(Septiembre) = 446

870 + 980 + 105 + 108 + 225 + 400

X10(Octubre) =
6

X10(Octubre) = 448

105 + 108 + 225 + 400 + 320 + 100

X11(Noviembre) =
6

X11( Noviembre) = 210

108 + 225 + 400 + 320 + 100 + 467

X12(Diciembre) =
6

X12(Diciembre) = 270

De esta manera se efectúan las previsiones restantes obteniendo el siguiente

resultado:

VENTAS REALES PRONÓSTICO 3 PRONÓSTICO 6

MES
(2016) MESES MESES
Enero 803
Febrero 690
Marzo 385
Abril 870 655
Mayo 980 648
Junio 105 745
Julio 108 651 639
Agosto 225 397 523
Septiembre 400 146 446
Octubre 320 244 448
Noviembre 100 315 210
Diciembre 467 296 103