Cajetin Ref. Acm
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Índice I
1. Integrales Múltiples 2
1.1. Integral doble sobre rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Integral doble Recintos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Propiedades fundamentales de la integral doble . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Promedio integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Algunas técnicas para el cálculo de integrales dobles . . . . . . . . . . 10
1.5.1. Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2. Simetrı́a en el recinto y pariedad de la función . . . . . . . . . 13
1.6. Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1. Definición. Recinto estandar de R3 . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2. El cambio de variable en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3. El cambio de variable a coordenadas cilı́ndricas (ρ, θ, z) . . . . 18
1.6.4. El cambio de variable a coordenadas esféricas(r, θ, ϕ) . . . . . 19
1.6.5. Simetrı́a en el recinto y pariedad de la función . . . . . . . . . 19
1.7. Aplicaciones de las integrales múltiples a la fı́sica . . . . . . . . . . . 20
1.7.1. Aplicaciones de las integrales dobles a la fı́sica . . . . . . . . . 21
1.7.2. Masa de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.3. Momento de inercia de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.4. Momentos estáticos respecto a los ejes . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.5. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.6. Caso de figuras geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.1. Momentos estáticos respecto a los planos coordenados: . . . . 23
i
ÍNDICE 1
Referenciales 29
Índice alfabético 30
Capı́tulo 1
Integrales Múltiples
Si P y Q son dos particiones de [a, b] × [c, d], diremos que P es más fina que Q
si Q ⊂ P
2
1.1. INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 3
Solución
1.1. INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS 4
Solución
Sean las particiones cualesquiera P1 = {x0 , x1 , ..., xn } y P2 = {y0 , y1 , ..., ym } de
[0, 1] en cada Ri j = [xi−1 , xi ]×[yj−1 , xj ], la función alcanza un valor máximo Mi j = 1
y un valor mı́nimo mi j = 0. Puesto que en Ri j hay puntos con las dos coordenadas
irracionales y racionales respectivamente. Entonces
n X
X m
s(f, P1 × P2 ) = mi j (xi − xi−1 )(yi − yi−1 ) = 0
i=1 j=1
n X
X m
S(f, P1 × P2 ) = Mi j (xi − xi−1 )(yi − yi−1 ) = 1[1][1] = 1
i=1 j=1
En consecuencia:
lı́m s(f, P n ) 6= lı́m S(f, P n )
n→∞ n→∞
Luego f no es integrable en I.
R4R3
Ejemplo 1.1.3. Usando definición, halle 1 1
(x + y − 2)dy dx.
Solución
Considerando particiones regulares, se tiene que
Z 4Z 3 Xn X
m
(x + y − 2)dy dx = lı́m f (x∗i , yj∗ ) ∆x∆y
1 1 n→∞ , m→∞
i=1 j=1
4−1 3 3−1 2
donde ∆x = n
= n
, ∆y = m
= m
, x∗i = 1 + i n3 , yj∗ = 1 + j 2
m
3i 2j
f (x∗i , yj∗ ) = x∗i + yj∗ − 2 = n
+ m
.
Luego
Z 4Z 3 Xn X m
3i 2j 3 2
(x + y − 2)dy dx = lı́m ( + )
1 1 n→∞ , m→∞
i=1 j=1
n m nm
Xn X m
18 i 12 j
= lı́m 2
+ 2
n→∞ , m→∞
i=1 j=1
n m m n
Xn
18 i m 12 m(m + 1)
= lı́m ( 2 + 2 )
n→∞ , m→∞
i=1
n m m n 2
Xn
18 i 12 (m + 1)
= lı́m ( 2 + )
n→∞ , m→∞
i=1
n m n 2
18 n(n + 1) 12
= lı́m + (m + 1)n
n→∞ , m→∞ n2 2 mn
= 15
RR
Ejemplo 1.2.1. Halle A = D
xy 2 dx dy donde D la región comprendida entre la
parábola y = x2 y la recta y = 2x.
Solución
Z 2 Z 2x
A = xy 2 dy dx
0 x2
Z 2
xy 3 2x
= | 2 dx
0 3 x
Z 2
8x4 x7
= ( − )dx
0 3 3
32
= Figura 1.8: Rectángulo considerado es vertical
5
Z 4 Z √
y
A = xy 2 dx dy
0 y/2
Z 4
x2 y 2 √y
= | dy
0 2 y/2
Z 4
y2 y2
= (y − )dy
0 2 4
32
= Figura 1.9: Rectángulo considerado es horizontal
5
Solución
0 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
1 ≤ x2 + y 2 + 1 ≤ 5
Z Z Z Z Z Z
2 2
dx dy ≤ (x + y + 1)dx dy ≤ 5dx dy
D Z ZD D
NOTA 1.4.1.
NOTA 1.4.2. Se dice que un conjunto D ⊂ R2 tiene contenido nulo si para todo
ε > 0 existe un conjunto finito de rectángulos I1 , I2 , ..., In tal que
n
X
D⊂ ∪ni=1 Ii , área(Ii ) ≤ ε
i=1
por ejemplo, tienen contenido nulo, los conjuntos finitos, la unión finita de con-
juntos de contenido nulo, los segmentos, las curvas en R2 .
Solución
Primero calculemos
Z Z Z πZ π
f (x, y)dx dy = x sen2 (xy) dx dy
D
Z0 π Z0 π · ¸
1 − cos(2xy)
= x dy dx
0 0 2
Z π· ¸
π x sen(2 π x)
= − dx
0 2 4
π 3 cos(2π 2 ) − 1
= +
4 8π
Luego el valor promedio de f en D es:
π3 cos(2π 2 )−1
4
+ 8π
p= 2
≈ 0, 7839
π
Ejemplo 1.4.2. Halle el volumen del sólido acotado por los otros tres planos coor-
denados, la superficie z = x2 + y 2 y el plano x + y = 1.
1.5. ALGUNAS TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES 10
Solución
Figura 1.10:
Z 1 Z 1−x
V (S) = (x2 + y 2 ) dy dx
0 0
Z 1
y 3 1−x
= (x2 y + | dx
0 3 0
Z 1
(1 − x)3
= (x2 (1 − x) + ) dx
0 3
1
= Figura 1.11: Rectángulo considerado es vertical
6
Una prueba rigurosa de este teorema resulta ser un tanto elaborada y la omitire-
mos. Sin embargo, puede usarse el siguiente argumento intuitivo para encontrar la
fórmula enunciada.
Sea T (u, v) = (x(u, v), y(u, v))
Sea D∗ el rectángulo de área infinitesimal de esquinas con coordenadas (u, v),
(u+∆u, v), (u, v+∆v) y (u+∆u, v+∆v). Bajo la transformación T , las coordenadas
1.5. ALGUNAS TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES 11
Figura 1.12:
= |J(u, v)| ∆u ∆v
1.5. ALGUNAS TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES 12
Luego:
(f ◦ T )(u, v) ∆u ∆v = f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| ∆u ∆v
NOTA 1.5.1.
¯ ¯
¯ ∂(x, y) ¯
J = ¯¯ ¯= ¯ 1 ¯
∂(u, v) ¯ ¯¯ ∂(u,v) ¯¯
∂(x,y)
Ejemplo 1.5.1. Sea D la región de primer cuadrante delimitada por las curvas
RR
x2 + y 2 = 4 , x2 + y 2 = 9 , x2 − y 2 = 4 y x2 − y 2 = 1 . Halle D
x y dx dy
Solución
Figura 1.13:
Z Z Z Z r r
u+v u−v 1
x y dx dy = √ du dv
D D∗ 2 2 4 u2 − v 2
Z 9 Z 4
1
= du dv
4 1 8
15
=
8
1.5. ALGUNAS TÉCNICAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES 13
Solución
x3 sen2 y
Se tiene que f (x, y) = 2 es impar en x, esto es,
x + 1 + tan2 y
f (−x, y) = −f (x, y) y tambien se tiene que el recinto D que es un cuadrado cen-
trado en el origen, es simétrico respecto al eje OY , luego por la parte (c) del último
resultado se tiene: Z Z
x3 sen2 y
dx dy = 0
D x2 + 1 + tan2 y
Ejemplo 1.5.3. Halle el volumen del sólido S limitado por el cono z 2 = x2 + y 2 y
el paraboloide 3z = x2 + y 2 .
Solución
La proyección del sólido S en el plano XY está acotado porla intersección del
cono z 2 = x2 + y 2 y el paraboloide 3z = x2 + y 2 :
1.6. INTEGRAL TRIPLE 14
Figura 1.14:
2 +y 2
x2 + y 2 = ( x 3
)2 ⇒ x2 + y 2 = 9. Luego el volumen del sólido considerando
las simetrı́as, estarı́a dado por:
Z 3Z √
9−x2 p x2 + y 2
V =4 ( x2 + y 2 − )dy dx
0 0 3
El cálculo de la integral no es sencillo,para lo cual realicemos un cambio de variables.
Usemos coordenadas polares:
x = r cosθ
y = r senθ
π
considerando la simetria ¯ ¯se tiene: 0 ≤ r ≤¯ 3 y 0 ≤ θ ≤ 2 . En este caso
¯ del sólido
¯ ¯ ¯ ¯
¯ xr xθ ¯ ¯ cosθ −r senθ ¯
¯
el jacobiano J(r, θ) = ¯ ¯ ¯ ¯ = r ⇒ |J(r, θ)| = r
¯=¯ ¯
¯ yr xθ ¯ ¯ senθ r cosθ ¯
Luego
Z 3Z π
2 r2 9π
V =4 (r − ) r dθ dr =
0 0 3 2
V (Q) → V (Qi )
1.6. INTEGRAL TRIPLE 15
a medida que los pequeños cubos se hacen más y más finas, es decir, cuando el
volumen del cubo de mayor volumen tiende a cero (en tal caso se dice que la norma
de esos cubos tiende a cero). Si hacemos que los cubos pequeños sean del mismo
tamaño no necesitamos que hablar de la norma, entonces
Xn
V (Q) = lı́m V (Qi )
n→∞
i=1
Si se denota por ∆Vi al volumen del i-ésimo cubo completamente contenido en Q, y
si f (x, y, z) es una función continua definida en Q, entonces la integral triple de f
sobre la región Q se define por medio de la expresión
Z Z Z n
X
f (x, y, z)dV = lı́m f (x∗ , y ∗ , z ∗ )∆Vi
Q n→∞
i=1
∗ ∗ ∗
donde el punto (x , y , z ) es un punto arbitrario dentro del i-ésimo cubo. El simbolo
dV = dx dy dz se llama elemento de volumen en coordenadas rectangulares y en
cierto modo, representa un volumen infinitesimal.
Notemos que dV se puede expresar de las siguientes maneras:
T echo piso
z}|{ z }| {
dz dx dy
dz dy dx
dx dy dz
dx dz dy
dy dx dz
dy dz dx
Ejemplo 1.6.1. Usando integrales triples halle el volumen del sólido acotado por el
paraboloide z = x2 + y 2 y el plano z = y + 2. Muestre todo los orden de integración.
Solución
Z Z √ Z
3/2 1/2+ 9/4−x2 y+2
V = √ dz dy dx
−3/2 1/2− 9/4−x2 x2 +y 2
81 π
=
32
Figura 1.15:
Z 2 Z y+2 Z √z−y2
V = √ dx dz dy
−1 y2 − z−y 2
81 π
=
32
Figura 1.16:
1.6. INTEGRAL TRIPLE 17
Figura 1.17:
Z Z √ Z √ Z Z √ Z √
1 z z−x2 2 z z−x2
V = √ √
dy dx dz + 2 √ √
dy dx dz
0 − z − z−x2 1 9/4−(z−5/2)2 − z−x2
Z 2 Z √9/4−(z−5/2)2 Z √
z−x2
+ √ dy dx dz
9/4−(z−5/2)2 z−2
1 −
Z 4 Z √9/4−(z−5/2)2 Z √z−x2
+ √ dy dx dz
2 − 9/4−(z−5/2)2 z−2
81 π
=
32
∂(x, y, z) xu xv xw
J(u, v, w) = det{ } = det yu yv yw
∂(u, v, w)
zu zv zw
Figura 1.18:
donde | J(r, θ, z) |= ρ
NOTA 1.6.1. El cambio a coordenadas cilindricas se usan si las figuras que delimi-
tan el recinto de integración tienen expresión sencilla en coordenadas cilindricas, o si
es de revolucion que tenga al eje Z como eje de simetrı́a, por ejemplo el paraboloide
z = x2 + y 2 etc.
1.6. INTEGRAL TRIPLE 19
Figura 1.19:
NOTA 1.6.2. Las coordenadas esféricas se usan si las figuras que delimitan el
recinto de integración tienen expresión sencilla en coordenadas esféricas, o tienen
punto de simetrı́a.
NOTA 1.6.3. Se dice que un conjunto D ⊂ R3 tiene contenido nulo si para todo
ε > 0 existe un conjunto finito de paralelepı́pedos I1 , I2 , ..., In tal que
Xn
n
D ⊂ ∪i=1 Ii , volumen(Ii ) ≤ ε
i=1
por ejemplo, tienen contenido nulo, los conjuntos finitos, la unión finita de conjuntos
de contenido nulo, los segmentos, los rectángulos y en general cualquier polı́gono
plano.
Las integrales múltiples no sólo se usan para calcular áreas planas y volúmenes,
tambien tiene otras aplicaciones en estadı́stica matemática, probabilidad, mecánica
clásica, hidrodinámica y electromagnetismo, entre otras. Veamos algunas de a sus
aplicaciones fı́sicas [13].
1.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES A LA FÍSICA 21
La masa o masa inercial se define en fı́sica como la resistencia que ofrece un cuerpo
a cambiar su estado de movimiento(ya sea de reposo o de movimiento rectilineo),
bajo la acción de una fuerza [13].
Se efectúa una partición de R en subregiones Rk ,con K = 1, 2, ..N . En cada Rk ,
se escoge un punto (xk , yk ). Considerando la densidad en Rk , como constante e igual
a δ(xk , yk ), una aproximación a la masa de la lámina L serı́a:
N
X
δ(xk , yk ) µ(Rk )
i=1
Luego: Z Z
M (L) = δ(x, y) dx dy
R
RR
Respecto al eje OX : Ix (L) = R
y 2 δ(x, y) dx dy
RR
Respecto al eje OY : Iy (L) = R
x2 δ(x, y) dx dy
RR
Respecto al origen : Io (L) = R
(x2 + y 2 ) δ(x, y) dx dy
El centro de gravedad o centro de masa de una lámina plana es aquel punto donde
se podrı́a concentrar toda su masa sin que variaran sus momentos estáticos [13].
1 Si el cuerpo tiene masa m y gira (o rota) a una distancia r del centro de rotación, entonces el momento de inercia está
dado por I = mr2 . Cuando una patinadora gira rápidamente alrededor de su eje, siempre pone los brazos lo más cerca
posible del cuerpo para disminuir r y reducir ası́ el momento inercial I. Entonces como el valor I w(momento angular) se
conserva, siendo que I disminuyó, la velocidad angular w de la patinadora aumenta lo que le permite dar mayor número
de giros por unidad de tiempo.
1.8. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 23
RR RR
My (L) x δ(x, y) dx dy Mx (L) y δ(x, y) dx dy
xG (L) = = RR R
, yG (L) = = R RR
M (L) R
δ(x, y) dx dy M (L) R
δ(x, y) dx dy
Las figuras geométricas del plano, salvo que se especifique otra cosa, se consider-
arán como objetos materiales con densidad constante δ(x, y) = 1. Los momentos de
dichas figuras suelen llamarse entonces momentos de área y el centro de gravedad
o centro de masa, centroide.
Son análogas al caso de las integrales dobles. Se considera ahora un sólido S que
ocupa la posición de una región R en el espacio, siendo δ(x, y, z) la densidad de
masa en cada punto P (x, y, z). Con razonamientos similares a los citados para las
integrales dobles, se verifica:
RRR
Volumen de S : V (S) = R
dx dy dz
RRR
Masa de S : m(S) = R
δ(x, y, z) dx dy dz
Z Z Z
My z (S) = x δ(x, y, z) dx dy dz
R
Z Z Z
Mx z (S) = y δ(x, y, z) dx dy dz
R
Z Z Z
Mx y (S) = z δ(x, y, z) dx dy dz
R
1.8. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 24
G = (xG , yG , zG ) donde:
My z (S) Mx z (S) Mx y (S)
xG = , yG = , zG = ,
m(S) m(S) m(S)
Z Z Z
Ix (S) = (y 2 + z 2 ) δ(x, y, z) dx dy dz
R
Z Z Z
Iy (S) = (x2 + z 2 ) δ(x, y, z) dx dy dz
R
Z Z Z
Iz (S) = (x2 + y 2 ) δ(x, y, z) dx dy dz
R
Z Z Z
Io (S) = (x2 + y 2 + z 2 ) δ(x, y, z) dx dy dz
R
Ejemplo 1.8.1. Un cuerpo está limitado por dos superficies esféricas concéntricas
de radios a y b (a < b). Suponiendo que la densidad del material en cada punto
es inversamente proporcional a la distancia de tal punto al centro de la corona, y
siendo 1 tal densidad en la superficie esférica de radio menor. Halle la masa total
del cuerpo.
Solución
Sea δ = δ(x, y, z) la densidad en cada punto P = (x, y, z) comprendido entre las
esferas concéntricas de radios a y b (0 < a < b):
1 k
δ d(O, P ) ⇒ δ = p
α x2 + y 2 + z 2
k
Se tiene que δ = 1 si R = a (radio menor). Entonces
Z Z Z 1 = a , luego: k = a.
a
La masa total del cuerpo está dada M = p dx dy dz
E x2 + y 2 + z 2
Para calcular la integral triple usemos coordenadas esféricas:
| J(r, θ, ϕ) |= r2 senϕ
1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS 25
Se tiene: E ∗ : a ≤ r ≤ b , 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤ π Entonces:
Z Z Z
a
M = p dx dy dz
E x + y2 + z2
2
Z Z Z
a 2
= r senϕdr dθ dϕ
E∗ r
Z π Z 2π Z b
= r senϕdr dθ dϕ
0 0 a
= 2 a π (b − a2 ) 2
2. Dibuje las regiones del plano que dan lugar a las integraciones sucesivas sigu-
ientes y cambiar el orden de integración en
Z 1 Z 2y
a) dx dy
0 y
Z 2 Z x3
b) dy dx
1 x2
3. Halle:
Z 1Z 1
3
a) √
ey dy dx
0 x
Z 2 Z Lny
b) e−x dx dy
0 0
c) Resolver la integral.
1.9. EJERCICIOS PROPUESTOS 26
21. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, el plano
2x + 3y − 12 = 0 y el cilindro z = y 2 /2.
24. Determine las coordenadas del centro de gravedad de la región sólida S limitada
√ √
ppor las superficies y = x , y = 2 x , z = 0 , x + z = 6.
34. Calcule la masa del sólido limitado por el hiperboloide de dos hojas x2 + y 2 −
z 2 + 1 = 0 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 en el semiespacio z ≥ 0, y cuya densidad
en cada punto es δ(x, y, z) = z 2 .
Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 ≤ x ≤ 2y 2 , z 2 ≤ y ≤ 2z 2 , x2 ≤ z ≤ 2x2 }
cuya densidad en cada punto es δ(x, y, z) = xyz. Se sugiere tomar como nuevas
variables
x y z
u= 2
, v= 2 , w= 2
y z x
Referenciales
[2] Apostol Tom, M. Cálculus Vol II. Ed. Reverte. Barcelona 2001.
[4] Edwards, Jr., D. Cálculo con Geometrı́a Analı́tica, ed.,Prentice Hall, Mexico,
1998.
[6] Galindo Soto, F. Guı́a práctica de cálculo infinitesimal en varias variables. Ed.
Thomson. Madrid 2005.
[8] Lima, E. Curso de Análise, Volume 2. Ed. Projeto Euclides. IMPA. Rio de
Janeiro 1981.
[10] Llorens fuster, J. Introducción a derive 6. Ed. Deisoft, c.b. Valencia España
2003.
[12] Stewart, J. Cálculo Mutivariable. Cuarta Edición Ed. Thomson Learning 2006.
29
Índice alfabético
cambio de variable en R3 , 18
cambio de variables, 10
coordenadas cilı́ndricas, 18
coordenadas esféricas, 19
promedio integral, 8
teorema de Fubini, 6
30