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    Matriz hessiana

    y algunas aplicaciones de formas cuadráticas


    en Cálculo de varias variables
    Objetivos. Conocer algunas aplicaciones de formas cuadráticas en Cálculo de varias
    variables.
    Requisitos. Forma cuadrática, matriz asociada a una forma cuadrática, ı́ndices de inercia
    de una forma cuadrática, funciones de varias variables, matriz hessiana.
    1. Definición (matriz hessiana, matriz de las segundas derivadas parciales).
    Sea D un conjunto de Rn , a un punto interior de D, f : D → R una función que tenga
    segundas derivadas parciales continuas en el punto a. Entonces la matriz de las segundas
    derivadas parciales de la función f en el punto a,
      ∂2f 2f
    (a) . . . ∂x∂1 ∂x
     
    (D1,1 f )(a) . . . (D1,n f )(a) ∂x1 ∂x1 n
    (a)
    .. .. .. .. .. ..
    = ,
       
     . . . . . .
    ∂ 2f ∂ 2f
    (Dn,1 f )(a) . . . (Dn,n f )(a) ∂x ∂x
    (a) . . . ∂x ∂x (a)
    n 1 n n

    se denota por f 00 (x) o Hf (x) y se llama la matriz hessiana de la función f en el punto x.

    Criterio de convexidad en términos de la matriz hessiana


    2. Definición (función convexa). Sea D un conjunto convexo de Rn . Una función
    f : D → R se llama convexa en D si para todos a, b ∈ D y para todos λ, µ ≥ 0 tales que
    λ + µ = 1 se cumple la siguiente desigualdad:
    f (λa + µb) ≤ λf (a) + µf (b).
    3. Definición (función estrictamente convexa). Sea D un conjunto convexo de Rn .
    Una función f : D → R se llama estrictamente convexa en D si para todos a, b ∈ D tales
    que a 6= b y todos λ, µ > 0 tales que λ + µ = 1 se cumple la siguiente desigualdad:
    f (λa + µb) < λf (a) + µf (b).
    4. Teorema (criterio de convexidad en términos de la matriz hessiana). Sea D
    un conjunto convexo abierto de Rn y sea f ∈ C 2 (D). Entonces las siguientes condiciones
    son equivalentes:
    (a) La función f es convexa en D.
    (b) Para todo x ∈ D, la matriz f 00 (x) es no negativa definida: f 00 (x) ≥ 0.
    5. Teorema (condición suficiente para convexidad estricta en términos de la
    matriz hessiana). Sea D un conjunto convexo abierto de Rn y sea f ∈ C 2 (D). Si la
    matriz hessiana de f es positiva definida en todo punto x ∈ D:
    ∀x ∈ D f 00 (x) > 0,
    entonces f es estrictamente convexa en D.

    página 1 de 2
    Análisis de puntos crı́ticos por medio de la matriz hessiana
    6. Teorema (condición suficiente para el punto mı́nimo, el punto máximo y el
    punto silla, en términos de la matriz hessiana). Sea f ∈ C 2 (D), donde D es un
    subconjunto convexo de Rn , y sea a un punto interior de D tal que f 0 (a) = 0n .

    Si f 00 (a) > 0, entonces a es un punto de mı́nimo local de f .

    Si f 00 (a) < 0, entonces a es un punto de máximo local de f .

    Si f 00 (a) ≷ 0, entonces a no es punto extremo local de f .

    7. Observación. Si en las condiciones del teorema tenemos f 00 = 0 o f 00 5 0, entonces la


    matriz hessiana no permite hacer ninguna conclusioń (se necesita análisis más fino).

    8. Ejemplo.
    f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy.
    Derivadas:
    fx0 = 3x2 − 3y, fy0 = 3y 2 − 3x.
    Puntos crı́ticos: (1, 1) y (0, 0).
    Segundas derivadas:
    00 00 00
    fxx = 6x, fxy = −3, fyy = 6y.
    Matrices hessianas en los puntos crı́ticos:
       
    00 0 −3 00 6 −3
    f (0, 0) = ≷ 0, f (1, 1) = > 0.
    −3 0 −3 6

    Respuesta: (1, 1) es un punto de mı́nimo, (0, 0) es una silla.

    9. Ejercicios. Halle máximos y mı́nimos locales de las siguientes funciones:


    2 −y
    f (x, y) = ex (5 − 2x + y).

    f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2x.

    f (x, y) = (x + y 2 )ex/2 .
    8 x
    f (x, y) = + + y.
    x y

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