Dos Osciladores Acoplados
Dos Osciladores Acoplados
Dos Osciladores Acoplados
Sea un sistema formado por dos osciladores acoplados, formado por dos partículas de masas
m1 y m2 situadas en los extremos de dos muelles de constantes elásticas k1 y k3. El
acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un muelle de constante k2, tal
como se puede ver en la figura.
Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda k1x1 y una
fuerza hacia la derecha debida a la deformación del muelle central k2(x2-x1), suponemos
que x2 es mayor que x1.
Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda k3x2 y otra fuerza
hacia la izquierda debida a la deformación del muelle central k2(x2-x1)
El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.
Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones
del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden
2
d x1
m1 2
= −k1 x1 + k2 (x2 − x1 )
dt
2
d x2
m2 2
= −k3 x2 − k2 (x2 − x1 )
dt
En forma matricial
m1 0 d
2 x1 (k1 + k2 ) −k2 x1
( ) ( ) + ( )( ) = 0
dt2
0 m2 x2 −k2 (k2 + k3 ) x2
2
d x
M + Kx = 0
dt2
x1=X1sin(ωt+φ), x2=X2sin(ωt+φ)
2
(k1 + k2 − m1 ω ) X1 − k2 X2 = 0
{
2
−k2 X1 + (k2 + k3 − m2 ω ) X2 = 0
k1 +k2 2 −k2
⎛ − ω ⎞
m1 m1 X1
( ) = 0
−k2 k2 +k3
⎝ − ω
2 ⎠ X2
m2 m2
Tenemos un sistema homogéneo, los cuadrados de las frecuencias de los modos normales de
vibración se calculan haciendo que el determinante de los coeficientes sea igual a cero
k1 +k2 2 −k2
∣ − ω ∣
m1 m1
∣ ∣
= 0
∣ −k2 k2 +k3 2
∣
∣ − ω ∣
m2 m2
Obtenemos una ecuación de segundo grado en ω2 con dos raíces. Para cada una de las dos
frecuencias angulares ω1 y ω2 el sistema homogéneo nos proporciona una relación entre X1 y
X2 que denominaremos r1 y r2.
(1) 2
X k1 +k2 −m1 ω1 k2
2
r1 = = =
(1) 2
k2 k2 +k3 −m2 ω
X 1
1
(2) 2
X k1 +k2 −m1 ω2 k2
2
r2 = = =
(2) 2
k2 k2 +k3 −m2 ω
X 2
1
(1) (2)
⎧x = X sin (ω1 t + φ1 ) + X sin (ω2 t + φ2 )
⎪
⎪ 1 1 1
⎪
(1) (2)
⎨ x2 = X sin (ω1 t + φ1 ) + X sin (ω2 t + φ2 ) =
2 2
⎪
⎪
⎩
⎪ (1) (2)
r1 X sin (ω1 t + φ1 ) + r2 X sin (ω2 t + φ2 )
1 1
(1) (2)
determinamos las constantes desconocidas: φ1 , φ2 , X
1
,X
1
(1) (2)
⎧x
⎪ 01 = X1 sin (φ1 ) + X sin (φ2 )
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
⎪x
(1) (2)
02 = r1 X sin (φ1 ) + r2 X
1
sin (φ2 )
1
⎨
(1) (2)
⎪
⎪ v01 = ω1 X cos (φ1 ) + ω2 X cos (φ2 )
⎪
⎪
1 1
⎪
⎪
⎪
⎩ (1) (2)
v02 = ω1 r1 X cos (φ1 ) + ω2 r2 X cos (φ2 )
1 1
Ejemplo
Vamos a determinar la respuesta del sistema formado por dos partículas de masas m1=10 y
m2=1 unidas por muelles de constantes k1=30, k2=5 y k3=0. Las condiciones iniciales en el
instante t=0, son las siguientes: posición inicial x01=1, x02=0, velocidad inicial v01=0, v02=0.
%condiciones iniciales
X0=[1,0];
V0=[0,0];
X1_sin=(r(2)*X0(1)-X0(2))/(r(2)-r(1));
X1_cos=(r(2)*V0(1)-V0(2))/(sqrt(w2(1))*(r(2)-r(1)));
X2_sin=(r(1)*X0(1)-X0(2))/(r(1)-r(2));
X2_cos=(r(1)*V0(1)-V0(2))/(sqrt(w2(2))*(r(1)-r(2)));
X1=sqrt(X1_sin^2+X1_cos^2);
fi1=atan2(X1_sin,X1_cos);
X2=sqrt(X2_sin^2+X2_cos^2);
fi2=atan2(X2_sin,X2_cos);
%representación gráfica
hold on
plot(t,x1,'b');
plot(t,x2,'r');
title('Dos osciladores acoplados')
ylabel('x_1,x_2')
xlabel('t')
grid on
hold off
En la ventana de comandos aparecen los cuadrados de las frecuencias de los modos normales
de vibración
w2 =
6.0000
2.5000
Tenemos un sistema homogéneo del tipo (A-λI)X=0, donde I es la matriz unidad. Los
cuadrados de las frecuencias de los modos normales de vibración son los valores propios λ=ω2
de la matriz A.
k+k2 −k2
∣ 2 ∣
− ω
∣ m m ∣
= 0
∣ −k2 k+k2 ∣
2
∣ − ω ∣
m m
Calculamos mediante la función eig de MATLAB los valores propios y vectores propios de la
matriz A
k+k2 −k2
m m
( )
−k2 k+k2
m m
>> syms k k2 m;
>> A=[(k+k2)/m,-k2/m;-k2/m,(k+k2)/m];
>> [V,D]=eig(A)
V =
[ 1, -1]
[ 1, 1]
D =
[ k/m, 0]
[ 0, (k + 2*k2)/m]
Los valores propios λ=ω2 (cuadrado de las frecuencias angulares) están en la diagonal de la
matriz D.
k k + 2k2
2 2
ω = ω =
1 2
m m
2 (1) (2)
ω 0 X X
1 1 1
D = ( ) V = ( )
2 (1) (2)
0 ω X X
2
2 2
o simplemente [1;1]
La ecuación del movimiento de cada una de las partículas es la superposición de los modos
normales de vibración
(1) (2)
x1 = X sin (ω1 t + φ1 ) + X sin (ω2 t + φ2 )
1 1
{
(1) (2)
x2 = X sin (ω1 t + φ1 ) + X sin (ω2 t + φ2 )
2 2
(1) (2)
x1 = X sin (ω1 t + φ1 ) + X sin (ω2 t + φ2 )
1 1
{
(1) (2)
x2 = X sin (ω1 t + φ1 ) − X sin (ω2 t + φ2 )
1 1
(1) (2)
determinamos las constantes desconocidas φ1 , φ2 , X
1
,X
1
(1) (2)
⎧
⎪ x01 = X sin (φ1 ) + X sin (φ2 )
⎪
⎪
1 1
⎪
⎪
⎪
⎪ (1) (2)
x02 = X sin (φ1 ) − X sin (φ2 )
1 1
⎨
(1) (2)
⎪
⎪ v01 = ω1 X cos (φ1 ) + ω2 X cos (φ2 )
⎪
⎪
1 1
⎪
⎪
⎩
⎪ (1) (2)
v02 = ω1 X cos (φ1 ) − ω2 X cos (φ2 )
1 1
Ejemplo
Supongamos que la constante de los muelles es k=10 y la constante del acoplamiento k2=0.5,
la masa m=1 de ambas partículas. Se desvía la primera partícula x01=1 de la posición de
equilibrio y se suelta. Vamos a determinar el movimiento de cada partícula.
(1) 1 (1)
X sin (φ1 ) = X cos (φ1 ) = 0
1 2 1
(2) 1 (2)
X sin (φ2 ) = X cos (φ2 ) = 0
1 2 1
1 π 1 π 1 1
x1 = sin (ω1 t + ) + sin (ω2 t + ) = cos (ω1 t) + cos (ω2 t)
2 2 2 2 2 2
1 π 1 π 1 1
x2 = sin (ω1 t + ) − sin (ω2 t + ) = cos (ω1 t) − cos (ω2 t)
2 2 2 2 2 2
%representación gráfica
t=linspace(0,40,400);
x1=X1*sin(w1*t+fi1)+X2*sin(w2*t+fi2);
x2=X1*sin(w1*t+fi1)-X2*sin(w2*t+fi2);
hold on
plot(t,x1,'b');
plot(t,x2,'r');
title('Dos osciladores acoplados')
ylabel('x_1,x_2')
xlabel('t')
hold off
Estudio energético
La energía total del sistema es la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la
energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle
izquierdo que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que
se deforma x2-x1.
1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
E = Ek + Ep = mv + mv + kx + kx + k2 (x2 − x1 )
2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
E = ( mv + (k + k2 )x ) + ( mv + (k + k2 )x ) − k2 x1 x2
2 1 2 1 2 2 2 2
Una vez agrupados los términos, el primer paréntesis depende solamente de x1 y puede
denominarse la energía del primer oscilador, el segundo término depende solamente de x2 y
puede llamarse energía del segundo oscilador. El último término, que depende de x1 y x2 se
denomina energía de acoplamiento o de interacción. Este término es el que describe el
intercambio de energía entre los dos osciladores.
Actividades
Se introduce:
la constante elástica de los dos osciladores, en el control titulado Cte. muelles.
la constante elástica del muelle central, en el controltitulado Cte. acoplamiento
la masa de las partículas se ha tomado como la unidad.
la posición inicial de la partícula de la izquierda (una cantidad menor o igual que la
unidad), en el control titulado Posición inicial de 1
la posición inicial de la partícula de la derecha, en el control titulado Posición inicial de
2.
las velocidades iniciales se toman como cero.
Segundo modo normal: introducir la misma cantidad pero con signos opuestos en dichos
controles, por ejemplo, 1.0 en Posición inicial 1, y –1.0 en Posición inicial 2.
k muelles: 10
k2 acoplamiento: 0.5