Unidad 3. Electrodinamica. Maria Jesus AL.S.
Unidad 3. Electrodinamica. Maria Jesus AL.S.
Unidad 3. Electrodinamica. Maria Jesus AL.S.
Donde;
1
𝜌=
𝜎
Se llama resistividad. Como se ve, la cantidad
1
𝑅=𝜌
𝑆
Depende solo del hilo. Se llama resistencia eléctrica de dicho hilo. Sustituyendo,
resulta:
𝑉𝐴𝐵
𝑖=
𝑅
o bien, llamando a VAB simplemente V,
𝑉
𝑖=
𝑅
Esta fórmula se llama ley de Ohm para los conductores filiformes. De ella se deduce
que la unidad de resistencia es el V/A (voltio16 por amperio), que se llama ohmio17
y se representa en el Sistema Internacional por la letra griega omega mayúscula Ω.
Como
1
𝑅=𝜌
𝑆
Despejando
ρ se deduce que la unidad de resistividad es el Ωm2/m=Ωm, y la de conductividad el
Ω-1m-1. En el Sistema Internacional de Unidades el Ω-1 se llama siemens, de
símbolo S, por lo que la unidad de conductividad es el S/m (siemens por metro).
Conviene aclarar que, cuando se habla del potencial del extremo A de un hilo, se
entiende que todos los puntos de la sección recta que contiene al punto A tienen el
mismo potencial. De hecho, esta situación es la que se produce en la práctica, por eso
puede hablarse de diferencia de potencial entre los extremos de un hilo de sección
no despreciable. La hipótesis de campo uniforme utilizada es una condición
necesaria (y suficiente) para que la corriente en el hilo uniforme sea estacionaria, ya
que, en un hilo conductor homogéneo de sección uniforme, solo un campo uniforme
produce una corriente estacionaria, pues, al ser un tubo de corriente, la intensidad
i=js en cada sección recta debe ser la misma; como todas las secciones rectas son
iguales, también lo es j en cada punto y, como j= σ E, y σ es la misma en todos los
puntos, también E lo es. Un campo electrostático uniforme en un conductor
uniforme y homogéneo no requiere una distribución especial de su carga libre. En
efecto: la ley de Gauss
𝜌
∇∙𝐸 =
𝜀
Aplicada a nuestro caso de campo en la dirección l toma la forma,
𝑑𝐸 𝜌
=
𝑑𝑙 𝜀
pero como E es uniforme, no depende de l y la derivada es cero, por lo que la densidad
de carga también lo es: no hay ningún exceso de carga en ningún punto del interior
del conductor, es decir, la distribución de carga en el conductor cuando circula por
él una corriente estacionaria es la misma que en el equilibrio electrostático, o sea,
densidad de carga interior nula. Dicho de otro modo: si obtuviéramos una fotografía
instantánea, la distribución de las cargas en el conductor que aparecería en la
fotografía sería la misma que en equilibrio electrostático. Eso quiere decir que las
cargas que se van desplazando van siendo inmediatamente reemplazadas, como si
se tratara de un fluido incompresible
Volviendo a la resistencia, el hilo conductor establece una relación fija entre la
diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad que pasa por él:
𝑉
𝑖= ; 𝑉 = 𝑅𝑖
𝑅
Por eso, el concepto de resistencia se extiende a
cualquier objeto con dos extremos, que llamaremos
terminales, que, cuando existe entre ellos una
diferencia de potencial V, circula por el objeto una
intensidad i, de forma que existe un número real
positivo R tal que 𝑖 = 𝑉/𝑅 o, lo que es equivalente, 𝑉 =
𝑅𝑖. El símbolo de una resistencia, es el de la figura.
La resistividad
La resistividad eléctrica específica ρ es la propiedad que presenta cualquier material,
de oponerse al paso de una corriente eléctrica, siendo su expresión matemática:
(𝑅)(𝐴)
𝜌=
𝑙
Dónde:
R es la resistencia del material.
A: Área del material.
l: Longitud del material.
I: Corriente eléctrica aplicada al material.
Es decir, la resistividad de un material es la
resistencia eléctrica de un cubo de arista l de dicho material, cuando se hace pasar a
través del mismo una corriente I perpendicular a una de sus caras; siendo en este
caso ρ=R. Las unidades de la resistividad en el sistema M.K.S. es Ohmm.
Por otro lado, se tiene que la resistividad posee una magnitud inversa la cual tiene
como nombre conductividad eléctrica y se expresa como:
1
𝜎=
𝜌
Sus dimensiones son: mhos/ m.
Existen diversos factores que intervienen en la variación de la resistividad. Gracias
al conocimiento de estos factores es posible interpretar la variación de la resistividad
en un medio estudiado con base en sus características.
Factores que intervienen en la resistividad.
Una roca se define como un agregado de minerales que contiene poros; los cuales
pueden estar llenos de gases y/o fluidos. Los factores que intervienen en la variación
de la resistividad eléctrica de este agregado son:
a) Resistividad de los minerales que conforman la roca.
b) Porosidad.
c) Grado de humedad.
d) Resistividad de los fluidos contenidos en los poros de las rocas.
e) Doble Capa Eléctrica y Capacidad de Intercambio Catiónico.
f) Temperatura.
3.3 Condensadores y Capacitancia.
La capacitancia es la razón de cargo obtenido por el potencial adquirido de los
conductores. Unidad de capacidad es de Coulomb por Volt y se llama como Farad
(F).
𝑄
𝐶
𝑉
Capacitancia es una magnitud escalar. Gráfico a continuación muestra la relación de
un cargo ganado y el potencial de ganado de ámbito conductor.
Existe una relación lineal entre la carga ganó y ganó potencial. Pendiente de la gráfica
nos da la capacidad de la esfera.
𝑄
𝑇𝑎𝑛𝜃 = =𝐶
𝑉
Como he dicho antes, faradio es la unidad de capacidad, sin embargo, que
comúnmente usamos (𝑝𝐹)𝑝𝑖𝑐𝑜𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 10 − 12𝐹, (𝑚𝐹)𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 = 10 −
6𝐹 𝑦 (𝑁𝐹)𝑛𝑎𝑛𝑜𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 = 10 − 9𝐹.
𝑄 = 𝐼2 ∙ 𝑅 ∙ 𝑡 = 𝑃 ∙ 𝑡
P= Potencia Eléctrica
(W) I = Corriente eléctrica
(A) R = Resistencia del material (Ω)
Q = energía calorífica producida por la corriente
(J) t = tiempo (s)
En este efecto se basa el funcionamiento de diferentes electrodomésticos como los
hornos, las tostadoras y las calefacciones eléctricas, y algunos aparatos empleados
industrialmente como soldadores, hornos de aceros, etc., en los que el efecto útil
buscado es, precisamente, el calor que desprende el conductor por el paso de la
corriente. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones es un efecto indeseado y
la razón por la que los aparatos eléctricos y electrónicos necesitan un ventilador
que disipe el calor generado y evite el calentamiento excesivo de los diferentes
dispositivos.
3.5 Inductancia.
El comportamiento de un circuito eléctrico es también afectado por su inductancia.
En cualquier circuito, la cantidad de inductancia depende del número de bobinas y
giros de alambre. El tamaño del alambre también contribuye a la inductancia del
circuito. La inductancia afecta al circuito de manera similar que el peso o masa
afecta a un sistema mecánico. Una gran cantidad de masa, por ejemplo un
automóvil, no podrá fácilmente empezar a rodar en tanto no se aplique una fuerza
adecuada, pero una vez que este lo hace, no es fácil detenerlo. El movimiento de un
gran peso tiende a continuar después de que la fuerza que requirió para su
movimiento inicial es retirada, a esto se le llama inercia. De manera similar, la
corriente en un circuito con gran inductancia no incrementara de manera
instantánea después de que un voltaje es aplicado, sin embargo, después de que la
corriente empieza a circular en el circuito inductivo, no será fácil pararla. De hecho,
la inductancia tendera a mantener la corriente aun y cuando el voltaje sea retirado.
En otras palabras, la inductancia causa una inercia eléctrica. Tal como todos los
objetos físicos que tienen peso, todos los circuitos eléctricos tienen algo de
inductancia, el peso es medido en unidades tales como gramos, kilogramos onzas o
libras, la cantidad de inductancia, o el tamaño de inducción son descritos en
unidades llamados henrios (H).
Una inductancia es un elemento especialmente diseñado para tener un efecto
inductivo muy grande. Esto se logra enrollando el conductor alrededor de un núcleo.
Su aplicación es muy variada: filtros, generadores, motores, transformadores,
antenas, etc. La Figura muestra el símbolo utilizado para representar este elemento
y la relación entre voltaje y corriente de acuerdo a la convención pasiva.
∑ 𝒊𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = ∑ 𝒊𝒔𝒂𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
∑𝒊 = 𝟎
La regla de las mallas o segunda Ley de Kirchhoff Esta regla es una consecuencia
del principio de conservación de energía, la energía que gana la unidad de carga al
recorrer la malla debe ser igual a la energía convertida en calor, mecánica o
cualquier otro tipo de energía. La regla de las mallas establece que la suma de la
consecuencia de las diferencias de potencial encontradas en el recorrido de
cualquier camino cerrado (malla) de un circuito es cero. Como el potencial está
directamente relacionado con la energía potencial de los portadores, la regla de las
mallas no es sino una forma de expresar la conservación de la energía. Podemos
escribir la regla de las mallas como:
∑𝑽 = 𝟎
∑ 𝜺 = ∑ 𝑹𝒊
para escribir las ecuaciones originadas por la regla de las mallas debemos tener
presente dos principios ya vistos:
1. Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente, el cambio de potencial
es − 𝑖𝑅 ; en el sentido contrario es + 𝑖𝑅 .
2. Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem, el cambio de potencial
es + 𝜀 ; en el sentido contrario es − 𝜀
Resolución de circuitos mediante la aplicación de las Leyes de Kirchhoff
Entendemos por resolución de un circuito a calcular todas las corrientes que
circulan por el mismo. Buscaremos plantear, basándonos en las reglas de
Kirchhoff, tantas ecuaciones como corrientes incógnitas tengamos. A continuación
resumimos los pasos a seguir:
• Dado el circuito identificamos los nodos del mismo. Si bien no lo demostramos la
cantidad de ecuaciones de nodos que podemos plantear es igual a 𝑛 − 1 , siendo n
el numero de nodos totales del circuito.
• Dibujamos las corrientes, dándole un sentido arbitrario de circulación. Si luego de
resolverlo el valor de la corriente da positivo es sentido arbitrario es el correcto de
la corriente, si da negativo es sentido es el contrario. Planteamos todas las
ecuaciones de nodos independientes.
• Conociendo la cantidad de incógnitas, vemos la cantidad de ecuaciones de mallas
que necesitaremos plantear, identificamos las mallas con las que vamos a trabajar y
fijamos un sentido arbitrario para recorrerla. Planteamos las ecuaciones de mallas.
• Una vez que planteamos la cantidad de ecuaciones necesarias para resolver todas
las corrientes incógnitas, utilizamos cualquier método, algebraico o no, para
despejar las incógnitas.
• Muchas veces es posible realizar simplificaciones a nuestro circuito, por ejemplo
encontrando resistencias equivalentes para una red de resistencias, a fin de
disminuir el número de incógnitas con el cual trabajamos, debemos tener presente
que al finalizar debemos hallar también las corrientes originales que pasa por cada
resistencia.
CARGA DE UN CONDENSADOR
Diferencial. Se pueden
Separar variable
Al integrar se tiene
Despejando q
DESCARGA DE UN CONDENSADOR.
Debido a que la diferencia de potencial en el condensador es IR = q/C, la razón de
cambio de carga en el condensador determinará la corriente en el circuito, por lo
tanto, la ecuación que resulte de la relación entre el cambio de la cantidad de carga
dependiendo del cambio en el tiempo y la corriente en el circuito, estará dada
remplazando I = dq/dt en la ecuación de diferencia de potencial en el condensador: