Conexos PDF

Espacios Topológicos Conexos
Simeón Casanova Trujillo
15 de mayo de 2018
Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 1 / 48

Un espacio topológico es conexo si no se puede partir en dos pedazos.

Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es conexo si no existen U, V abiertos en X,
no vacíos y disyuntos, tales que X = U ∪ V.
La anterior definición equivale a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

1 Dados U, V abiertos en X, no vacíos con X = U ∪ V, entonces
U ∩V =6 ∅.
2 Dados U, V abiertos en X con U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V, entonces
U = ∅ o V = ∅.
3 Los únicos subconjuntos de X que son simultáneamente abiertos y
cerrados, son X y ∅.

Otra caracterización de la conexidad: Un espacio topológico (X, τ ) es

conexo si y sólo si dado A ⊆ X distinto de X y de ∅, entonces F r(A) 6= ∅.
Demostración.
⇒: Sea A ⊆ X distinto de X y de ∅, y supongamos que F r(A) = ∅. Como
A = Ao ∪ F r(A), entonces A = Ao . De otro lado, Ao ⊆ A ⊆ A y en
consecuencia A = Ao = A, de donde A es un subconjunto propio y no
vacío de X, que es simultáneamente abierto y cerrado en X, es decir,
(X, τ ) no es conexo.
⇐: Supongamos que (X, τ ) no es conexo. Existen U, V abiertos no vacíos
y disyuntos en X, tales que X = U ∪ V. Así, U = U o = U. Dado que
F r(U) = U − U o , se sigue que F r(U) = ∅, lo que contradice hipótesis.

Ejemplos:
1 (X, τg ) es conexo.
2 Si |X| ≥ 2, entonces (X, τd ) no es conexo. En efecto, si escogemos
a ∈ X, entonces U = {a} y V = X − {a} son abiertos, no vacíos,
disyuntos y X = U ∪ V.
3 Sea X un conjunto infinito y consideremos en X la τcf . Supongamos
que U, V son abiertos no vacíos y disyuntos tales que X = U ∪ V.
Entonces U = X − V es finito y análogamente se tiene que V es finito,
o sea que X es finito, lo que contradice nuestra hipótesis sobre X.
Por lo tanto, (X, τcf ) es conexo.

1 Q con la topología usual de R restringida a Q, no es conexo. En

efecto, sea i ∈ I. Entonces Q = (−∞, i) ∪ (i, +∞) y (−∞, i),
(i, +∞) son abiertos, no vacíos y disyuntos en Q.
De forma análoga se tiene que I con la topología usual de R
restringida a I, no es conexo.
2 Si X = {a, b, c} y τ = {∅, X, {a}, {b, c}}, entonces (X, τ ) no es
conexo.
Definición
Sea (X, τ ) un espacio topológico y A ⊂ X. Se dice que A es un
subconjunto conexo de X, si (A, τ |A ) es conexo.

De la definición anterior se sigue que la propiedad de un espacio topológico

de ser conexo, no se heredera. En efecto, (R, τu ) es conexo (como veremos
adelante), pero Q con la topología usual de R restringida a Q, no es
conexo.
Definición
Sea I ⊆ R. I es un intervalo si y sólo si dados a, b en I con a < b, si
a < z < b entonces z ∈ I.
Proposición
Sea I ⊆ R. I es un intervalo si y sólo si I es conexo.
De esta última proposición se sigue que (R, τu ) es conexo.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico y A ⊆ X. (A, τ |A ) es conexo si y sólo si
(A, τ ) es conexo
Demostración: ⇒ Si (A, τ ) es disconexo, existen U, V ∈ τ abiertos no

vacíos y disyuntos de A con A = U ∪ V. Pero entonces:
A = A ∩ A = A ∩ (U ∪ V) = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V)
y como A ∩ U y A ∩ V pertenecen a τ |A , se tiene que entonces (A, τ |A ) es
disconexo.
⇐ Ejercicio

Proposición
Sea (X, τ ) un espacio topológico disconexo, de tal manera que existen U,
V abiertos no vacíos y disyuntos de X con X = U ∪ V. Si I es un
subconjunto conexo de X, entonces I ⊆ U o bien I ⊆ V.
Demostración: Si la tesis de la proposición no se cumple, se tendría

entonces que I ∩ U 6= ∅ y también I ∩ V 6= ∅. Por lo tanto,
I = I ∩ X = I ∩ (U ∪ V) = (I ∩ U) ∪ (I ∩ V)
Pero I ∩ U e I ∩ V son abiertos en I, no vacíos y disyuntos, o sea que I no

es conexo, lo que contradice la hipótesis sobre I.

Proposición
Un espacio topológico (X, τ ) es conexo si y sólo si dados a, b ∈ X con
a 6= b, existe I subconjunto conexo de X tal que {a, b} ⊆ I.
Demostración: ⇒: S (X, τ ) es conexo y a, b ∈ X con a 6= b, escogemos

I = X.
⇐: Si (X, τ ) es disconexo encontremos dos puntos a, b ∈ X de tal forma
que no exista ningún subconjunto conexo que los contenga. En efecto, por
nuestra suposición existen U, V abiertos no vacíos y disyuntos en X tales
que X = U ∪ V. Escojamos a ∈ U y b ∈ V (entonces a 6= b). Sea A
cualquier subconjunto de X que contenga a a y a b. Tenemos:
A = A ∩ X = A ∩ (U ∪ V) = (A ∩ U) ∪ (A ∩ V)
Pero A ∩ U y A ∩ V son abiertos, no vacíos y disyuntos en A, o sea que A
no es conexo.
Proposición
Sea (X, τ ) un espacio topológico y {Ci }i∈I una familia de subconjuntos no
vacíos y conexos de X, de tal forma que ∩i∈I Ci 6= ∅. Entonces
C = ∪i∈I Ci es un subconjunto conexo de X.
Demostración: Supongamos que C es disconexo. Existen G, H abiertos

en C, no vacíos y disyuntos con C = G ∪ H, G = C ∩ U , H = C ∩ V
siendo U, V ∈ τ . Sea x ∈ ∩i∈I Ci , dado que ∩i∈I Ci ⊆ ∪i∈I Ci = C,
entonces x ∈ G o bien x ∈ H. Supongamos que x ∈ G, entonces
x ∈ G ∩ Ci para todo i ∈ I (ya que x ∈ ∩i∈I Ci ) y al ser Ci conexo, se
tiene que Ci ⊆ G para todo i ∈ I. De esto último se sigue que
C = ∪i∈I Ci ⊆ G y en consecuencia H = ∅ (→←).

Proposición
Sea (X, τ ) un espacio topológico, A un subconjunto conexo de X y B un
subconjunto de X tal que A ⊆ B ⊆ A. Entonces B es un subconjunto
conexo de X.
Demostración: Supongamos que B es disconexo. Existen abiertos G∗ , H ∗
en B, no vacíos y disyuntos tales que B = G∗ ∪ H ∗ . Esto implica que
existen abiertos G, H en X tales que B = (B ∩ G) ∪ (B ∩ H), B ∩ G 6= ∅,
B ∩ H 6= ∅. Como A es conexo, entonces A ⊆ B ∩ G o bien A ⊆ B ∩ H.
Supongamos que A ⊆ B ∩ G, entonces A ⊆ G y A ∩ H = ∅ (si existiera
x ∈ A y x ∈ H, entonces x ∈ B ∩ H (porque A ⊆ B)). De esta última
igualdad se sigue que A ⊆ (X − H) y entonces A ⊆ X − H = X − H, así
que A ∩ H = ∅ y como B ⊆ A, entonces B ∩ H = ∅ (→←).
Nota: De esta proposición se sigue que si A es conexo, entonces A es
conexo.
Teorema
Sean (X, τ ), (Y, τ̂ ) espacios topológicos y f : (X, τ ) → (Y, τ̂ ) continua y
sobreyectiva. Si (X, τ ) es conexo, entonces (Y, τ̂ ) es conexo.
Demostración: Si (Y, τ̂ ) es disconexo, existen U, V abiertos no vacíos y

disyuntos en Y tales que Y = U ∪ V. Por la continuidad de f , f −1 (U) y
f −1 (V) son no vacíos, abiertos y disyuntos en X con
X = f −1 (U) ∪ f −1 (V), lo que contradice que X es conexo.
Por ejemplo, S 1 es conexo porque es la imagen continua del intervalo [0, 1]

por la aplicación f : [0, 1] → R2 dada por f (t) = (Cos(2πt), Sen(2πt)).

Teorema del Valor Intermedio

Sea f : [a, b] → R continua con f (a) 6= f (b), por ejemplo f (a) < f (b). Si
f (a) < z < f (b), existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = z.

Teorema de Bolzano
Sean (X, τ ) un espacio topológico. Demustre que las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1 (X, τ ) es conexo
2 Para toda función continua f : X → R y todos a, b ∈ X con
f (a) < f (b) y todo z ∈ R tal que f (a) < z < f (b), existe x0 ∈ X tal
que f (x0 ) = z.

Teorema
Sea Y = {0, 1} y consideremos en Y la topología discreta. Entonces, un
espacio topológico (X, τ ) es conexo si y sólo si no existe una función
continua y sobre f : X → Y .
Demostración: ⇒ Supongamos que (X, τ ) es conexo y que existe una

función continua y sobre f : X → Y . Por el anterior Teorema, Y también
es conexo (absurdo porque Y no es conexo ({0}, {1} son dos abiertos, no
vacíos y disyuntos en Y )).
⇐ Si (X, τ ) es disconexo, existen U, V abiertos no vacíos y disyuntos en
X, tales que X = U ∪ V. Definamos f : X → Y como:
(
0 si x ∈ U
f (x) =
1 si x ∈ V
Claramente f es continua, lo que contradice la hipótesis.
Ejercicio
Sea {(Xi , τi )}i∈I una familia de espacios topológicos. Demuestre que
Y
Xi
i∈I
es conexo (con la topología producto) si y sólo si para cada i ∈ I, Xi es

conexo.

Componentes de un espacio topológico

Sea (X, τ ) un espacio topológico. Una componente de X es un
subconjunto C de X que es conexo y maximal, es decir, si C ⊂ Y con
Y ⊂ X, entonces Y es disconexo.
Por ejemplo, si (X, τ ) es conexo, la única componente de X es C = X.

Las componentes de Q (como subespacio topológico de R), son los
conjuntos unitarios.
Ejercicio: Si X = {a, b, c, d, e} y
τ = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}, hallar las componentes de X.
Solución: {a}, {b, c, d, e}. Hay más conjuntos conexos, pero no son
maximales, como por ejemplo {b, d, e}.


Las componentes de un espacio topológico, son conjuntos cerrados.
Demostración: Sea C una componente de un espacio topológico (X, τ ).

Entonces C es conexo y sabemos que C también es conexo. Como C ⊆ C
y C es maximal, entonces C = C.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico y p ∈ X. Sea Ap la colección de todos
los subconjuntos conexos de X que contienen a p. Si Cp = ∪A∈Ap A,
entonces:
1 Cp es conexo.
2 Si B es un subconjunto conexo de X que contiene a p, entonces
B ⊆ Cp .
3 Cp es una componente de X
Demostración: Veamos 3, supongamos que C es un subconjunto conexo

de X tal que Cp ⊆ C. Entonces p ∈ C ya que p ∈ Cp , y por consiguiente
C ∈ Ap , o sea que C ⊆ Cp . Así, C = Cp y esto nos dice que Cp es un
subconjunto conexo maximal de X, e.d, Cp es una componente.

Teorema
Las componentes de un espacio topológico forman una partición de dicho
espacio
Demostración: Consideremos la colección C = {Cp : p ∈ X}. Entonces, C

consiste precisamente de las componentes de X. En efecto, por el anterior
Teorema sabemos que cada Cp es una componente. Recíprocamente, si C
es una componente de X escojamos p ∈ C. Luego C ⊆ Cp y como Cp es
una componente, entonces C = Cp , o sea que C ∈ C.

Para ver que C es una partición de X tenemos:

X = ∪Cp ∈C Cp
Sean Cp , Cq ∈ C tales que Cp ∩ Cq 6= ∅. Si a ∈ Cp ∩ Cq , entonces Cp
y Cq son subconjuntos conexos de X que contienen a a y por ende
Cp ⊆ Ca y Cq ⊆ Ca . Pero Cp y Cq son componentes, así que
Cp = Ca = Cq .
Corolario
Si C es un subconjunto conexo de X, entonces C está contenido en alguna
componente.
Demostración: Si C 6= ∅ es un subconjunto conexo de X, escojamos

p ∈ C. Luego, C ⊆ Cp .

Nota
Sea (X, τ ) un espacio topológico y definamos en X la siguiente relación:
x ∼ y si y sólo si existe una componente conexa en X que los contenga. La
relación ∼ es de equivalencia y además C = X/ ∼.

Proposición
Sean (X, τ ), (Y, τ̂ ) espacios topológicos y f : (X, τ ) → (Y, τ̂ ) una
aplicación continua. Demuestre lo siguiente:
1 Si C es un subconjunto conexo de X, existe una única componente
conexa K en Y , tal que f (C) ⊆ K.
2 Si f es homeomorfismo, entonces f transforma componentes conexas
en componentes conexas.
Usando 2) de esta proposición, demuestre que Rn y R no pueden ser

homeomorfos. Sugerencia: Suponga que existe f : R → Rn
homeomorfismo. Considere los espacios R − {0} y Rn − {f (0)} con las
respectivas topologías inducidas.

Espacios totalmente disconexos
Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es totalmente disconexo si para x ∈ X, su
componente conexa es {x}. Esto equivale a que los únicos subconjuntos
conexos de X son los conjuntos unitarios.
Ejemplos
1 Todo espacio topológico (X, τd ) discreto es totalmente disconexo. En
efecto, sea x ∈ X y Cx su componente conexa. Si Cx 6= {x},
entonces {x} y Cx − {x} formarían una separación de Cx , lo que
contradice que Cx es conexo.

1 Q con la topología usual de R restringida a Q, es totalmente

disconexo. En efecto, sea p ∈ Q y Cp su componente conexa.
Sabemos que Cp es un subconjunto conexo de X. Supongamos que
Cp − {p} =6 ∅ y escojamos q ∈ Cp − {p} (podemos suponer que
p < q). Si escogemos i ∈ I con p < i < q, entonces Q ∩ (−∞, i) y
Q ∩ (i, +∞) son abiertos no vacíos de Q. Como Cp es conexo, se
debe tener que Cp ⊆ Q ∩ (−∞, i) o bien Cp ⊆ Q ∩ (i, +∞). Si por
ejemplo Cp ⊆ Q ∩ (−∞, i), dado que Cp = Cq , entonces
Cq ⊆ Q ∩ (−∞, i) lo cual es absurdo porque q ∈ Cq .
De hecho, lo anterior es también una prueba de que un subconjunto
de Q con más de dos puntos es disconexo y como las componentes en
cualquier espacio topológico son conjuntos conexos, entonces las
componentes en Q son los conjuntos unitarios.

Ejercicio
Demuestre que un espacio topológico (X, τ ) es totalmente disconexo si y
sólo si para cada par de puntos distintos x, y ∈ X, existe una separación
X = U ∪ V con x ∈ U y y ∈ V.

Espacios localmente conexos
Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es localmente conexo si para x ∈ X y
U ∈ Vx , existe una vecindad conexa V de x tal que V ⊆ U .
Los siguientes ejemplos nos muestran que no existe una relación entre
conexidad y conexidad local.
Ejemplos
1 Rn es conexo (ya lo demsotramos en clase) y también es localmente
conexo. Para ver lo último, sea x ∈ Rn y U ∈ Vx . Sabemos que
cualquier bola abierta en Rn es homeomorfa a Rn (demostrarlo) y por
lo tanto es conexa. Por lo tanto, como U es vecindad de x, existe una
bola abierta B ⊂ Rn tal que x ∈ B ⊂ U , lo que demuestra que Rn es
localmente conexo.

1 Si (X, τd ) es un espacio discreto con |X| ≥ 2, ya vimos que (X, τd ) es

disconexo. Sea ahora x ∈ X y U ∈ Vx . Existe G abierto en X tal que
x ∈ G ⊆ U . Pero {x} es una vecindad conexa de x con
x ∈ {x} ⊆ G ⊆ U , o sea que (X, τd ) es localmente conexo.
2 Sea ahora Y = {(x, y) : y = Sen( x1 ), 0 < x ≤ 1}. Y es conexo porque
es la imagen continua de (0, 1] por la aplicación f : (0, 1] → R2 dada
por f (x) = Sen( x1 ). Es claro que el punto (0, 0) es un punto de
acumulación de Y , o sea que el conjunto X = Y ∪ {(0, 0)} es conexo
(de hecho, Y = Y ∪ {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1} y entonces Y ⊆ X ⊆ Y ).
Sin embargo, X no es localmente conexo porque si p = (0, 0)
podemos escoger una bola abierta con centro en p que no contiene
ninguna vecindad conexa de p.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1 (X, τ ) es localmente conexo
2 Dado U ∈ τ y C una componente conexa de U , entonces C ∈ τ .
3 Existe una base de τ formada por subconjuntos conexos de X.
demostración: 1) ⇒ 2): Sea p ∈ C. Como U es abierto, es vecindad de

cada uno de sus puntos. Por hipótesis, existe G conexo en X tal que
p ∈ G ⊆ U . Como C es componente, entonces p ∈ G ⊆ C, es decir, C es
un conjunto abierto.
2) ⇒ 1): Sea x ∈ X, U ∈ Vx y C la componente de U que contiene a x.
Por hipótesis C es un conjunto abierto, entonces x ∈ C ⊆ U , o sea que X
es localmente conexo.
Teorema
Sean (X, τ ), (Y, τ̂ ) espacios topológicos con (X, τ ) localmente conexo. Si
f : X → Y es continua abierta y sobreyectiva, entonces (Y, τ̂ ) es
localmente conexo.
Demostración: Sea y ∈ Y y U ∈ Vy . Como f es sobreyectiva, existe
x ∈ X tal que f (x) = y. Por la continuidad de f , f −1 (U ) ∈ Vx . Como X
es localmente conexo, existe V vecindad conexa de x tal que
x ∈ V ⊆ f −1 (U ). Entonces, y ∈ f (V ) ⊆ U y como f es abierta se tiene
que f (V ) es una vecindad (conexa por la continuidad de f ) de y, o sea que
Y es localmente conexo.

Conexidad por trayectorias
Definición
Sea (X, τ ) un espacio topológico, una trayectoria en X es una aplicación
continua α : [0, 1] → X. α(0), α(1) son los punto inicial y punto final de la
trayectoria, respectivamente.
Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es conexo por trayectorias si y sólo si dados
x, y ∈ X, existe una trayectoria α en X que conecta x y y, es decir,
α(0) = x y α(1) = y.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico conexo por trayectorias. Entonces (X, τ )
es conexo.
Demostración: Sea (X, τ ) un espacio conexo por trayectorias y fijemos
a ∈ X. Para cada x ∈ X existe una trayectoria αa,x en X que conecta a
con x. tenemos que la imagen de αa,x , im(αa,x ), es un subconjunto
conexo (y también compacto) de X. Pero
[ \
X= im(αa,x ) e im(αa,x ) 6= ∅
x∈X x∈X
por lo tanto X es conexo.

Nota
El recíproco del anterior Teorema no es cierto. Es decir, existen espacios
topológicos que son conexos pero no conexos por trayectorias.
En efecto, consideremos el espacio Y = {(x, y) : y = Sen( x1 ), x > 0} y

X = Y ∪ {(0, 0)}. Ya vimos queX es conexo. Pero X no es conexo por
trayectorias. Para ver esto, consideremos los puntos A = {0, 0} y
B = {x, y} = 6 {0, 0} y veamos que no existe una trayectoria que conecte A
con B. Supongamos que existe α : [0, 1] → Y continua. Entonces,
π1 ◦ α : [0,
n 1] → Roy π2 ◦ α : [0, 1] → R son continuas. Consideremos la
2 2
sucesión (2n−1)π . Tenemos que (2n−1)π → 0, pero
n∈N
2
(π2 ◦ α)( (2n−1)π ) = {−1, 1}, o sea que la sucesión
n o
2
(π2 ◦ α)( (2n−1)π ) no converge (→←) porque π2 ◦ α es continua.
n∈N

Teorema
Sea X un subconjunto abierto y conexo en Rn . Entonces X es conexo por
trayectorias.
Demostración:Sea X un subconjunto abierto y conexo en Rn y

x ∈ X.Consideramos dos subconjuntos de X:
1 A formado por los puntos de X que se pueden unir a x mediante una
trayectoria en X. Es calro que A 6= ∅ porque x ∈ A (la aplicación
α : [0, 1] → X dada por α(t) = x para todo t ∈ [0, 1], es continua).
2 B = X − A.
Veamos que A y B son abiertos.

Sea a ∈ A, entonces existe una trayectoria α en X que une x con a. Dado
que X es abierto y a ∈ X, existe > 0 tal que B(a; ) ⊆ X. Pero esta
bola también está contenida en A porque si y ∈ B(a; ), entonces y se
puede unir a a mediante el segmento de recta L que conecta y con a
(trayectoria continua). Por lo tanto, y se puede unir a x mediante una
curva continua en X, o sea que y ∈ A. Por lo tanto A es abierto.
Figura: x se une a y Scanned by CamScanner

Sea ahora b ∈ B, como b ∈ X existe > 0 tal que B(b; ) ⊆ X. Entonces

B(b; ) ∩ A = ∅ porque de lo contrario existiría y ∈ B(b; ) que se puede
unir a x mediante una trayectoria en X, o sea que b se puede unir a x
mediante una trayectoria en X, es decir, b ∈ A y esto no puede ser porque
A y B son disyuntos por definición. De esta manera, B(b; ) ⊆ B y se
sigue entonces que B es abierto.
Ahora bien, dado que X es conexo y X = A ∪ B entonces A = ∅ o B = ∅.
Pero ya vimos que A 6= ∅, o sea que B = ∅ y por ende X = A, es decir, X
es conexo por trayectorias.

Teorema
Sea X un subconjunto abierto y conexo en Rn . Entonces dos puntos
cualesquiera de X se pueden unir mediante una poligonal contenida en X.
Demostración: Ejercicio

Teorema
Sean (X, τ ), (Y, τ̂ ) espacios topológicos con (X, τ ) conexo por
trayectorias. Si f : (X, τ ) → (Y, τ̂ ) es continua y sobreyectiva, entonces
(Y, τ̂ ) es conexo por trayectorias.
Demostración: Sean v, w ∈ Y y a, b ∈ X tales que f (a) = v, f (b) = w.

Por hipótesis, existe α trayectoria en X que conecta a a y a b.
Consideremos la aplicación β : [0, 1] → Y dada por β(t) = (f ◦ α)(t).
Como f es continua, β también lo es y por lo tanto β es una trayectoria en
Y . Ahora bien, β(0) = f (α(0)) = f (a) = v y β(1) = f (α(1)) = f (b) = w,
es decir, β conecta a v con w y por ende Y es conexo por trayectorias.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico y a ∈ X. (X, τ ) es conexo por
trayectorias si y sólo si para x ∈ X, existe una trayectoria que une a con x.
Demostración: ⇒ es obvia por definición.

⇐ Sean ahora x, y ∈ X. Existen α1 , α2 trayectorias en X que conectan x
con a y a con y, respectivamente. Definamos α : [0, 1] → X como:
(
α1 (2t), si 0 ≤ t ≤ 12
α(t) =
α2 (2t − 1), si 21 ≤ t ≤ 1
Tenemos que α es una trayectoria en X que conecta x con y, es decir, X

es conexo por trayectorias.

Homotopía de trayectorias
Definición
Sean α, β : [0, 1] trayectorias en un espacio topológico (X, τ ) que tienen el
mismo punto inicial p y el mismo punto final q. Se dice que α es homótopa
a β, si existe una aplicación continua F : [0, 1] × [0, 1] → X que satisface
lo siguiente:
1 F (s, 0) = α(s), F (s, 1) = β(s) para todo s ∈ [0, 1].
2 F (0, t) = α(0) = p, F (1, t) = α(1) = q para todo t ∈ [0, 1].
F es en esencia una familia de trayectorias (una para cada tiempo t ∈ I).

La condición 2) expresa el hecho de que todas las F (s, t) poseen a α(0) y
a α(1) como los puntos inicial y final, respectivamente.
Si α es homótopa a β, escribiremos α ' β y se dice que F es una
homotopía de α en β.

Teorema
La relación ' entre trayectorias en un espacio topológico (X, τ ), es de
equivalencia.
Demostración:
α ' α, ya que F (s, t) = α(s) es una homotopía de α en α.
Si α ' β, existe F homotopía de α en β. La aplicación
F̂ : [0, 1] × [0, 1] → X dada por F̂ (s, t) = F (s, 1 − t) es una
homotopía de β en α, así que β ' α.
Si α ' β y β ' γ, existen F , G homotopías de α en β y de β en γ,
respectivamente. La aplicación H : [0, 1] × [0, 1] → X dada por:
(
F (s, 2t), si 0 ≤ t ≤ 21
H(s, t) =
G(s, 2t − 1), si 12 ≤ t ≤ 1
es una homotopía de α en γ, así que α ' γ.
Definición
Sean α, β caminos en un espacio topológico (X, τ ) tales que α(1) = β(0).
Entonces se pueden multiplicar estos caminos de la siguiente manera
(como se hizo en el ítem 3) del anterior Teorema):
(
α(2t), si 0 ≤ t ≤ 12
(α ∗ β)(t) =
β(2t − 1), si 21 ≤ t ≤ 1
Proposición
Si α ' β y σ ' ζ y suponiendo que se pueden multiplicar las respectivas
trayectorias, entonces
α∗σ 'β∗ζ
es decir, la multiplicación de caminos es compatible con la relación de
equivalencia entre caminos.
Definición
Una trayectoria α en un espacio topológico (X, τ ), tal que
α(0) = α(1) = x0 , es una trayectoria cerrada en X, o un lazo en X
basado en x0 .
Nótese que las trayectorias constantes (c : [0, 1] × [0, 1] → X dada por

c(s, t) = cte) son trayectorias cerradas.
Definición
Sea (X, τ ) un espacio topológico, x0 ∈ X. Designamos por Ω(X, x0 ) al
conjunto de los lazos en X basados en x0 y π1 (X, x0 ) = Ω(X, x0 )/ '.

Teorema
Sea (X, τ ) un espacio topológico, x0 ∈ X. Entonces:
1 La asignación π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 ) dada por
([α], [β]) 7→ [α] ∗ [β] =def [α ∗ β] es una función.
2 (π1 (X, x0 ), ∗) es un grupo (grupo fundamental de X basado en x0 ).

Definición

Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es simplemente conexo, si cada trayectoria
cerrada en X es homótopa a una trayectoria constante (es decir, la
trayectoria se puede deformar en un sólo punto).
Ejercicio: Expresar el hecho de que un espacio topológico sea simplemente

conexo en términos de su grupo fundamental.

Axiomas de separación
Definición
Un espacio topológico (X, τ ) es T1 si los conjuntos unitarios son cerrados;
y es T2 o Hausdorff si puntos distintos se pueden separar por vecindades,
es decir, para x y y en X con x 6= y, existen U ∈ Vx y V ∈ Vy tales que
U ∩ V = ∅.

Teorema
Un espacio topológico (X, τ ) es T1 si y sólo si dados x y y en X con
x 6= y, existen G, H ∈ τ tales que x ∈ G, y ∈/ G y y ∈ H, x ∈ / H.
Demostración: ⇒ Sean x y y en X con x 6= y. Entonces

x ∈ G = X − {y} y G ∈ τ . Análogamente y ∈ H = X − {x} y H ∈ τ .
⇐ Sea x ∈ X y veamos que X − {x} ∈ τ . En efecto, si a ∈ X − {x}
entonces a 6= x. Existe Ga ∈ τ tal que a ∈ Ga y x ∈
/ Ga . Así,
a ∈ Ga ⊆ X − {x}. Como a varía en X − {x}, entonces se sigue que
[
X − {x} = {Ga : a ∈ X − {x}}
y por lo tanto X − {x} es abierto.

Del anterior Teorema se sigue que todo espacio T2 es también un espacio

T1 . El recíproco no es cierto. Para ver esto, consideremos X = R y τcf .
Entonces (X, τ ) es T1 porque si x ∈ X, entonces X − {x} ∈ τ y así {x}
es cerrado. Sin embargo (X, τ ) no es T2 , ya que si G y H son abiertos,
entonces tanto G como H tienen infinitos elementos, y si fuera que
G ∩ H = ∅, entonces G ⊂ X − H y como X − H es finito se tendría que
G es finito (→←). Así que dos abiertos cualesquiera en τcf no pueden ser
disyuntos.

Conexos PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Conexos PDF

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Conexos PDF

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Espacios Topológicos Conexos

Simeón Casanova Trujillo

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 1 / 48

Un espacio topológico es conexo si no se puede partir en dos pedazos.

La anterior definición equivale a cualquiera de las siguientes afirmaciones:

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 2 / 48

Otra caracterización de la conexidad: Un espacio topológico (X, τ ) es

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 3 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 4 / 48

1 Q con la topología usual de R restringida a Q, no es conexo. En

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 5 / 48

De la definición anterior se sigue que la propiedad de un espacio topológico

De esta última proposición se sigue que (R, τu ) es conexo.

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 6 / 48

Demostración: ⇒ Si (A, τ ) es disconexo, existen U, V ∈ τ abiertos no

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 7 / 48

Demostración: Si la tesis de la proposición no se cumple, se tendría

Pero I ∩ U e I ∩ V son abiertos en I, no vacíos y disyuntos, o sea que I no

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 8 / 48

Demostración: ⇒: S (X, τ ) es conexo y a, b ∈ X con a 6= b, escogemos

Demostración: Supongamos que C es disconexo. Existen G, H abiertos

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 10 / 48

Demostración: Si (Y, τ̂ ) es disconexo, existen U, V abiertos no vacíos y

Por ejemplo, S 1 es conexo porque es la imagen continua del intervalo [0, 1]

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 12 / 48

Teorema del Valor Intermedio

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 13 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 14 / 48

Demostración: ⇒ Supongamos que (X, τ ) es conexo y que existe una

es conexo (con la topología producto) si y sólo si para cada i ∈ I, Xi es

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 16 / 48

Componentes de un espacio topológico

Por ejemplo, si (X, τ ) es conexo, la única componente de X es C = X.

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 17 / 48

Componentes de un espacio topológico

Demostración: Sea C una componente de un espacio topológico (X, τ ).

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 18 / 48

Demostración: Veamos 3, supongamos que C es un subconjunto conexo

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 19 / 48

Demostración: Consideremos la colección C = {Cp : p ∈ X}. Entonces, C

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 20 / 48

Para ver que C es una partición de X tenemos:

Demostración: Si C 6= ∅ es un subconjunto conexo de X, escojamos

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 21 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 22 / 48

Usando 2) de esta proposición, demuestre que Rn y R no pueden ser

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 23 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 24 / 48

1 Q con la topología usual de R restringida a Q, es totalmente

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 25 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 26 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 27 / 48

1 Si (X, τd ) es un espacio discreto con |X| ≥ 2, ya vimos que (X, τd ) es

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 28 / 48

demostración: 1) ⇒ 2): Sea p ∈ C. Como U es abierto, es vecindad de

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 30 / 48

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 31 / 48

por lo tanto X es conexo.

Simeón Casanova TrujilloEspacios Topológicos Conexos 15 de mayo de 2018 32 / 48

Sea ahora b ∈ B, como b ∈ X existe > 0 tal que B(b; ) ⊆ X. Entonces