Cálculo II

Última unidad
Series, sucesiones, y la ctm. :)

Introducción:
Ya wn, no les pude hacer resumen para las pruebas anteriores.
Pero ahora no les fallaré.
Y aquí está…
El resumen de la oh-tan-temida última unidad…
Series y sucesiones!

Hace medio semestre se veían tan lejanas estas cosas. :(

Pero bueno, no quiero ponerme a hablar de la fugacidad de la vida y todas esas cosas.
xD (Siempre lo hago en todos mis resúmenes ¬¬)

No les tengo que decir que a estas alturas más les vale saber integrar bien.
Y saber sacar límites bien.
Dominar L’Hôpital!

De todos modos…
Que comience el juego!

Encontraran muchos errores de signo que a estas alturas no estoy dispuesto a revisar,
no los tomen en cuenta y traten de entender la materia, no se desgasten en
pequeñeces.

Brian Keith N.
Parte I

Sucesiones.
Una sucesión es un conjunto de números ordenados que siguen una regla.
Por ejemplo {1, 2, 3, 4} :O

Una sucesión puede ser finita o infinita.

Una sucesión finita termina, es decir: {1,2,3,4,…,n}
Esa sucesión termina en n.
Pero por ejemplo: {1,2,3,4,…}
Esa sucesión nunca termina. D:

Tened en cuenta entonces:

Sucesiones finitas y sucesiones infinitas.
La primera termina, la segunda no, obviamente.

En términos más formales una sucesión es un tipo de función.

“Función sucesión”
Se denota por: f (n)  an
O alternativamente: {an }
Llamado también “termino enésimo”
El dominio de una función sucesión son todos los números reales positivos.
Es decir los números naturales.
Su contra dominio son los elementos de la sucesión.

Por ejemplo:
f (n)  2n  1
La sucesión de los números impares, obviamente su contra dominio son los impares.

Otro ejemplo de función sucesión:

Sus elementos serían:

1 1 1 
 ,1, ,1, ,...
3 5 7 

Ahora que sabemos lo que es una sucesión.

Podemos pasar a lo que nos importa.
Límite de una sucesión.
Que les digo, es exactamente lo mismo que sacar límite en una función normal.
Los mismos teoremas se aplican.
L’Hôpital también. D:

Lo que nos importa a nosotros son los límites al infinito.

Si una sucesión tiene límite definido, es decir, tiende a un número concreto diferente
de infinito.
Se dirá que esa sucesión converge al límite.

Por ejemplo:
1
f ( n) 
n
Claramente esta sucesión converge a 0.
f (n)  2n  1
Claramente no converge pues al hacer “n” lo suficientemente grande este crecerá y
crecerá sin freno.
Luego, cuando una sucesión no converge diremos que…
Adivinen…
*Redoble de tambores*
*Música dramática*
DIVERGE!

Entonces, es muy simple.

Si algo da infinito, diverge.
Si algo no existe, diverge.
Si existe, diverge. ^^
Si una sucesión converge su valor de convergencia es ÚNICO.

¿Lindo, no?
Nada que no supiésemos. :O

Un ejercicio simple de convergencia:


f (n)  n  sen( )
n
Determinemos si converge o no. :D

n lim  n  sen( ) Forma 0  
n
  
sen( )  2 cos( )
Hacemos un arreglo. n lim  n Aplicamos L’hôpital… lim n n

 2
n
1 1
n n
Muy feo, pero si simplificamos nos queda esto:

nlim   cos( ) Lo cual claramente nos queda π, pues coseno de 0 es 1…
n
Por lo tanto la sucesión converge a π.
Sucesiones crecientes y decrecientes.
Una sucesión se dice creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
Por ejemplo:
{1,2,3,4} es una sucesión creciente.
Una sucesión se dice decreciente si cada término es menor o igual que el anterior.
1
f (n)  Esta sucesión es decreciente pues cada termino es menor que el anterior.
n
Cuando en una sucesión cada término es estrictamente mayor que el anterior, se le
dice estrictamente creciente.
Por ejemplo:
{1,1,2,3}
Es una sucesión creciente, pero no es estrictamente creciente.
Cuando en una sucesión cada término es estrictamente menor que el anterior se le
dice estrictamente decreciente.

Una sucesión que es solo creciente o decreciente se le dice monótona.

Los tres ejemplos anteriores son monótonos.
Una sucesión puede ser monótona solo para algunos valores:
{1,1,2,3,2,3,2,3…}
Esa sucesión sería monótona durante los primeros 4 términos ( 1  n  4 ), pero luego
dejaría de serlo.

Pero por ejemplo:

(1) n
f ( n) 
n
Esta sucesión no es monótona, pues no es ni creciente ni decreciente.
Ese tipo de sucesiones, se llaman sucesiones alternas.
Sucesiones de la forma {(1)n  an } ó {(1)n 1  an } con an  0 ó an  0 , de modo que la
alternancia es causada solo por el (-1).
En el primer caso, se cumple que el primer término es negativo, en el segundo caso,
positivo.
Pues el signo cambia dependiendo de si n es par o impar.

Vamos a analizar la monotonía de una sucesión.

Por ejemplo esta mierda:
 n   (1) 
n 1

  
y 
 2n  1  n 
La primera…
Pues bien, primero analizamos unos cuantos términos y vemos que claramente van
aumentando…
1 2 3 4 5 
 , , , , ,...
 3 5 7 9 11 
Esto nos da la impresión que la sucesión es creciente, pues analicemos el termino
enésimo, y el termino enésimo más uno…
 n n 1 
..., , ,... (Para obtener el siguiente termino se reemplaza en la función el
 2n  1 2n  3 
valor “n+1”
Ahora nuestra intuición nos dice que es creciente, probémoslo:
n n 1

2n  1 2n  3
Como n es un número natural, podemos multiplicar por el mínimo común múltiplo sin
alterar la dirección de la inecuación para dejar una inecuación más bonita…
2n 2  3n  2n 2  3n  1
Lo cual nos da… 0 menor o igual que 1…
0 1
Lo cual siempre es cierto, finalmente podemos concluir que la sucesión es creciente.
 (1) n 1 
 
 n 
Analizamos los primeros términos para tener una idea intuitiva de que tipo de sucesión
es…
 1 1 1 
1, , , ,... Claramente no es monótona. Es una sucesión alternada.
 2 3 4 

Para muchos casos sale más simple usar el criterio de la primera derivada.
Tomemos por ejemplo la misma función sucesión de antes:
 n 
 
 2n  1
Derivemos…
 (2n  1)  2n   1 
  2
Pero se cumple que esto es siempre mayor que 0…
 (2n  1)   (2n  1) 
2

 1 
 2
 0 Luego la sucesión es creciente.
 (2n  1) 
Sin embargo como algunas sucesiones contienen cosas que no podemos derivar…
Tendríamos que usar el otro método…

Cotas de una sucesión.

Existen dos tipos de cotas.
Las cotas inferiores se definen como números reales cualquiera tal que la sucesión
siempre sea mayor que ella.
Las cotas superiores se definen como números reales cualquiera tal que la sucesión
siempre sea menor que ella.

Si una sucesión tiene cotas inferiores, entonces existe un número que es mayor que
todas las otras cotas inferiores, pero menor que la sucesión.
Ese número se llama máxima cota inferior. (O ínfimo)
Si una sucesión tiene cotas superiores, entonces existe un número que es menor que
todas las otras cotas superiores, pero mayor que la sucesión.
Ese número se llama mínima cota superior. (O supremo)
Una sucesión es acotada si y solo sí tiene una cota inferior y una cota superior.
Teorema de la existencia.
Una sucesión monótona acotada es convergente.
Este teorema nos garantiza la existencia de un límite para la sucesión, pero no nos dice
como encontrarlo.
Por eso se le llama “Teorema de la existencia”.
Y eso suena como algo que da miedo. D:
Del teorema anterior se cumple el reciproco.
Una sucesión monótona convergente es acotada.
Con lo cual se concluye que para sucesiones monótonas:
La convergencia y el acotamiento son propiedades equivalentes.

Antes de empezar con series veremos unas cosas más sobre sucesiones.
Si una sucesión {an } converge a L.
2
Entonces la sucesión {an } converge a L2

¿Recuerdan las sucesiones geométricas de álgebra?

Pues bien, esas nos sirven, y hay algunas propiedades de ellas que nos van a servir.
Recuerden que una sucesión geométrica tiene la forma: {a  r n }
Supongamos tenemos una sucesión geométrica con una cierta razón “r”.
Si 0  r  1 entonces la sucesión CONVERGE a 0.
Si r  1 entonces la sucesión DIVERGE.

La función factorial crece más rápido que cualquier función exponencial.

Recuerden esto:
an n!
n lim  { }  0 y n lim { n }  
n! a
Teorema del valor absoluto
n lim  { an }  0n lim  {an }  0

Si tenemos una sucesión alternada podemos usar este teorema para olvidarnos del
problema del signo y obtener más fácilmente el límite.

Teorema de Intercalación para sucesiones.

Es parecido al de funciones.
Si tenemos las siguientes sucesiones.
{an } {bn } {cn }
Y se cumple que en al menos un punto:
{an }  {bn }  {cn }
Y que n lim {an }n lim {cn }  L
Entonces…
n lim  {bn }  L

Porque lógicamente si una sucesión se encuentra entre otras dos sucesiones siempre,
y estás después tienden las dos al mismo valor, la sucesión de al medio se vera
atrapada entre ambas y tendrá que pasar por ahí.
Parte II

Series y Convergencia

Pues bien…
Aquí empieza la unidad propiamente tal, lo anterior era más que nada un repaso de
álgebra.
Pues bien, imagina tenemos una sucesión de mierda.
m1, m2 , m3 ,..., mn ,...
Donde “m” representa cada pedazo de mierda.

Pues bien, imagina ahora que queremos combinar toda la mierda para tener una
super- mierda!
Empezamos por m1 , luego vamos agregando más y más mn a la suma.
S1  m1
S 2  m1  m2
S3  m1  m2  m3
Esta nueva estructura se llama serie.
S 4  m1  m2  m3  m4

S n  m1  m2  m3  m4  ...  mn
Una serie es la enésima suma de los elementos de una sucesión.
Estos elementos forman a su vez una nueva sucesión.
S1, S2 , S3 ,..., Sn ,...
Sn  Esto es una serie.

Si tenemos una sucesión infinita, entonces obtenemos una serie infinita.

Que se denota de la siguiente forma:
Usando el símbolo de sumatoria, cuando n va hacia infinito. :O


a
n 1
n Donde an es el término enésimo de la sucesión, no de la serie.

Una serie se dice de términos positivos si y solo si todos sus términos son positivos, y
su suma es positiva.
En estas series se cumplen los siguientes puntos:

 Cambiar el orden de una serie definida positiva no afecta el resultado final,

pues la suma es conmutativa.
 Eliminar los primeros “k” términos de una serie positiva NO afecta la
convergencia.
 Si dos series positivas son diferentes por los primeros términos pero tras cierto
punto se vuelven equivalentes, podemos usar lo anterior para “cortar” la serie
ahí y analizar desde entonces.
Por otro lado tenemos las series alternas, formadas por sucesiones alternas, que son
 
de la forma  (1)
n 1
n
 an ó  (1)
n 1
n 1
 an donde an  0 ó an  0 .

Es decir que la alternancia es causada SOLO por el (-1).


 Las series alternas de la forma  (1)
n 1
n
 an tienen su primer término negativo.

 Las series alternas de la forma  (1)
n 1
n 1
 an tienen su primer término positivo.

 Al tener signos diferentes, es decir, hay restas! Al tener restas, perdemos la

conmutatividad… Ya no podemos cambiar el orden.
 Eliminar los primeros “k” términos de una serie alterna no afecta la
convergencia.
 De una misma sucesión positiva se pueden obtener dos series alternas.

Para las series alternas tenemos un criterio aparte, que veremos cuando terminemos
los criterios para las series positivas.

Si la serie no es ni alterna ni definida positiva igual podemos eliminar los primeros “k”
términos sin afectar la convergencia.

Otra cosa que nos será útil a la hora de analizar, la suma o diferencia de series
convergentes es convergente.
Si al analizar separamos en sumas las series para analizarlas tenemos que:

1. La suma de series divergentes es divergente.

2. La suma o diferencia de series divergentes con convergentes es divergente.
3. La diferencia entre dos series divergentes puede ser cualquier cosa.

Hasta ahora no hemos visto nada nuevo, todo esto es simple álgebra con un poquito
de cálculo I metido por ahí.
Pero bien, ahora empieza lo entretenido…

A nosotros nos interesan las series convergentes.

El problema es, que a diferencia de las sucesiones comunes y corrientes.
No tenemos el término enésimo.

Entonces no podemos calcular la convergencia con un mero límite al infinito…

Y mucho menos podemos calcular a que valor converge…
Entonces, nos vemos en un grave problema!
D:
¿Qué hacer?
Criterios de Convergencia.
Bien compañeros míos, AQUÍ comienza lo entretenido.

Una observación importante antes de empezar:

Todos los criterios de convergencia dan el mismo resultado.
(O en su defecto no deciden)

Lo primero que debemos hacer es ver si nuestra serie es una serie telescópica o una
serie geométrica.
Estas son las únicas series que podremos encontrar el valor al que convergen.
Los criterios de convergencia son innecesarios si tenemos ante nosotros una de esas.

Series Geométricas.

Una serie geométrica es de la forma  ar
n 0
n
.

Converge si 0  r  1 y diverge si r  1
En el caso de que converja…
a
Se cumple que su suma es .
1 r
a(r n  1)
En realidad la suma es Sn  , pero como “n” tiende a infinito y “r” está entre 0
r 1
y 1… Ese término se morirá y quedará lo anterior… Nótese el cambio de signo.

Nótese que la serie geométrica empieza del 0, esto implica que hay que ajustarla para
que empiece del 0 si es que no lo hace. :O

Series Telescópicas.
 
Una serie telescópica tiene la forma  (an  an 1 ) o bien  (an 1  an )
n 1 n 1
n
Por álgebra sabemos que  (a
k 1
k  ak 1 )  a1  an 1 si es de la primera forma
n
Y por otro lado  (ak 1  ak )  an 1  a1 si es de la segunda forma.
k 1
(Si se dan cuenta basta con cambiarle el signo a una forma para llegar a otra)

Ahora tomemos el límite de esas dos cuando “n” tiende a infinito…



 (a
n 1
n  an 1 )n lim  (a1  an 1 ) Como “n+1” tiende a infinito cuando “n” tiende a

infinito.


 (a
n 1
n 1  an )n lim  (an 1  a1 ) Y como a1 es una constante se puede sacar del límite…

Entonces podemos reescribir esto de la siguiente forma…



 (a
n 1
n  an 1 )  a1 n lim  (an ) La serie converge solo si el límite de an existe.
 

 (a
n 1
n 1  an )n lim  (an )  a1 La suma de la serie son estas dos formulas que están al

lado, nótese que basta con cambiar el signo…

Es posible que una serie sea telescópica solo que no salte a simple vista, entonces
tenemos que recurrir a fracciones parciales u otro arreglo algebraico para telescópizar
una serie.
Otra cosa importante sobre las telescópicas, LA DIFERENCIA SIEMPRE DEBE DE SER 1.
Si es una diferencia hacia arriba o hacia abajo da lo mismo, pero debe ser 1.

Si la serie resulta no ser ni geométrica ni telescópica, solo entonces recurrimos a los

criterios de convergencia.
Recuerden revisar bien por cualquier arreglo algebraico posible.
Si se puede escribir como suma de fracciones parciales o algo parecido.

De todos modos, si no podemos reducirla a uno de esos dos tipos…

Como no tenemos el término enésimo de la serie, podemos recurrir a algo diferente
para comprobar la convergencia de esta.

Criterio del término enésimo o de la divergencia.

Un teorema dice que si una serie converge, entonces n lim  (an )  0 .
Esto significa que los elementos de la sucesión que forman la serie convergen a 0.
Aunque esto no significa que si los elementos de dicha sucesión convergen en 0
entonces la serie converge también.
Si bien esto no nos da un criterio de convergencia, nos da un criterio para la
divergencia.

 (a ) Tomemos esa serie de ahí, si no es geométrica ni telescópica, lo primero que se

n 1
n

debe hacer es probar este criterio.

Es bastante simple.
Basta con tomar n lim  (an )
Si el límite es distinto de 0, entonces la serie diverge.
Si el límite es igual a 0 entonces el criterio no decide.

¿La explicación de esto?

Pues es bastante simple, supongamos que n lim  (an )  L , donde L es distinto de 0.
Entonces se cumple lo siguiente…
Con un “n” lo suficientemente grande esos últimos valores de la sucesión valdrán “L” o
un valor lo suficientemente cercano.
Reemplazamos L en el valor de las enésimas sumas…

Sn 1  a1  a2  a3  a4  ...  an 1  Sn 1  a1  a2  a3  a4  ...  L
Sn  a1  a2  a3  a4  ...  an 1  an  Sn  a1  a2  a3  a4  ...  L  L
Sn1  a1  a2  a3  a4  ...  an1  an  an1  Sn  a1  a2  a3  a4  ...  L  L  L
Como “L” es un valor diferente a 0, la serie decrecerá o crecerá sin límite, pues cada
vez se le agregará un “L” más. ¿Lo ves?

Si “L” se hace 0 no se puede concluir nada. ¿Tras que momento se hace despreciable la
diferencia con 0? Es como tomar el x lim  ( x ) eso va al infinito, a pesar de que cada
vez crece más y más lento… Pues la pendiente de su curva tiende a 0… Lo que
implicaría que en algún momento deja de crecer.
Sin embargo… Siempre crece.
Es algo parecido lo que pasa con las series.

La Serie Armónica

1
n 1 n
Esta serie es un tipo especial de serie que debemos de entender bien. :O
Pues apenas la veamos debemos de saber que es divergente.

¿Por qué?
Pues he aquí la demostración.
Primero, intentemos usar el criterio de divergencia recién visto…
1
n lim  ( )  0 El criterio de divergencia NO decide.
n

1
Imagina el gráfico de f ( x)  Nosotros sabemos que el área bajo esa curva es
x
infinita. (Por impropias)
1 
Ahora bien, cada término de la sucesión   puede ser visto como el área de un
n
rectángulo de altura 1/n y ancho 1.

Sin embargo, si recordamos de la definición de una integral definida, esta viene dada
por la aproximación de la suma de área de rectángulos…
Esta se podía hacer por exceso, por defecto o por punto medio.
Como la suma de los rectángulos de altura 1/n y ancho 1 es una aproximación del área
bajo la curva de 1/x que EXCEDE a esta.
Y como sabemos que el área bajo esa curva es infinita…
Y la suma de los rectángulos la excede… Esa suma del área rectángulos es infinita
también.
Luego… ¿Esa suma quien es?
La Serie Armónica.
Luego como esta suma crece sin límite…
Implica una sola cosa…
La serie armónica diverge.

Criterio de la Integral.
De la generalización de nuestra demostración anterior podemos concluir algo.
Si tenemos una serie cualquiera:


a
n 1
n Primero probamos analizando si no es geométrica o telescópica, o si es separable

en series cuya convergencia ya conocemos de antes.

Si fallan los criterios anteriores…
Podemos recurrir al criterio de la integral, siempre y cuando f (n)  an sea una función
integrable.
Pero además debe de cumplir con las siguientes condiciones:
 f (n)  an POSITIVA, la sucesión debe tener términos positivos, no se puede
analizar si tiene términos negativos.
Para probar que una función es positiva, debemos de probar algebraicamente que
f (n)  an  0 n  1 Generalmente no es necesario hacer ningún arreglo para probarlo.
Pero en caso de ser necesario, tendremos que jugar con la función para probar que es
siempre positiva. (Pero si es demasiado complicado, conviene usar otro criterio.)
 f (n)  an CONTINUA, la sucesión debe de ser continua, sino no se podrá
realizar la integración.
Basta hacer un análisis de continuidad a f (n)  an , si en algún punto se indefine o es
discontinua, inmediatamente el criterio de la integral se vuelve inútil.
 f (n)  an DECRECIENTE para n  m; m  1, no importa que tan grande sea “m”,
siempre y cuando después de ese punto la función se vuelva decreciente.
(Recuerden que una serie se puede cortar sin afectar su convergencia, luego
bastaría con evaluar la convergencia desde ese punto)
Para probar que una función es decreciente basta con analizar su primera derivada:
f ' (n)  an  0 n  m; m  1
O probar que:
f (n)  f (n  1) n  m; m  1
Lo primero es mucho más simple, y lo segundo sería MUY tonto hacerlo,
especialmente porque en los únicos casos que se necesita probar el crecimiento o
decrecimiento de una función de esa manera es cuando esta incluye factoriales o algo
así.
El criterio dice así:


 f (n)  L  La Integral Converge  La serie CONVERGE.

r


 f (n)    La Integral Diverge  La serie DIVERGE.

r

Nótese que no se puso 1, sino “r”.

Pues el criterio de la integral debe empezar de donde empieza la serie. Si la serie
empieza en 2, nuestra integral empieza en 2.

El criterio es bastante simple, solo basta con integrar. :D

La relación entre la convergencia de una integral impropia de primera especie y las
series infinitas se debe a la semejanza de la estructura de Riemman con la de las series
infinitas.

Simplemente comparen una serie infinita:  an
n 1
n
Con la definición de integral definida: n lim   f (n)n
k 1
Es bastante parecido, pues en ambos casos “n” va al infinito.
Y en ambos casos se evalúa una “función” en la sumatoria.

De todos modos, eso no nos interesa, solo por si querían entenderlo un poquito mejor.
xD

Las P-Series o Series Hiper-armónicas.

Este es bastante simple…

1
Si tenemos una serie de la forma  p
n 1 n
Estas series especiales reciben el nombre de P-Series o “Hiper-armónicas”
Pero P-series suena mejor.
Suena como algún tipo de robot prototipo usado como armamento de destrucción
masiva.
Aunque Hiper-armónicas suena como entre épico, tonto y hippie.

Oh, lo siento, me desvió del tema. xD

La serie CONVERGE si P  1 .
La serie es ARMÓNICA si P  1 . Por lo tanto DIVERGE.
La serie DIVERGE si P  1 .

¿Simple no?
Bastante bonito.

¿Por qué?
Análisis de casos:
Usando los criterios que conocemos…
Si P es menor que 0…
 
1
n 1 n
p
Se transforma en: 
n 1
n  p Que claramente diverge, pues n lim  (n p )   P  0

Si P es igual a 0…
 
1
n 1 n
p
Se transforma en: 
n 1
1 Que claramente diverge, pues n lim  (1)  1

Si P está entre 0 y 1

1
n 1 n
p
Se puede evaluar con el criterio de la integral, pues es continua, decreciente y

positiva para todo n>1

 b
1  1   1 1  1  1 
1 n p b lim   ( p  1)  n p 1  b lim   ( p  1)  b p 1  ( p  1) 1p 1   ( p  1) b lim   b p 1  1
1
Sea k  p  1
Sustituimos

1 1 1 
1 n p  k b lim   bk  1 Pero como 0  p  1  k  0
Luego como es menor que 0 y está en el denominador podemos pasar “k” al
numerador…
 Lo cual nos indica que la integral diverge. :O
1 1
1 n p k b 
  lim b k
 1 

En el caso que P sea igual a 1, se cumple que es una serie armónica, luego diverge.

Si P es mayor que 1.
 b
1  1   1 1  1  1 
1 n p b lim   ( p  1)  n p 1  b lim   ( p  1)  b p 1  ( p  1) 1p 1   ( p  1) b lim   b p 1  1
1
k  p 1

1 1 1 
n
1
p
 b lim   k  1 Pero ahora K es mayor que 0, luego se queda ahí…
k b 
Al evaluar el límite obtenemos…

1 1 1 1
1 n p   k   p  1  1  p

1 1
n
1
p

1 p
; P  1

Entonces ahí esta la demostración del criterio de las series P.

Ahora apliquemos este nuevo criterio a nuestro favor…
Ved!

1
n 1 (1  5n)
2

Por analogía con las series P...

¿Esa serie, converge o diverge?
Claramente converge.
Si se dan cuenta, en esencia esa es una serie P, solo que no se ve tan a simple vista.
Sin embargo, NO PODEMOS decir así como así que eso es una serie P…
Para eso existe otro criterio de convergencia…

Y es ahora que empezamos con los criterios que requieren más memoria. D:
Los criterios de comparación.

Existen dos criterios de comparación.

La Comparación Directa y la Comparación Asintótica.
Esta última también se le llama “comparación por paso al límite”.

Estos dos nuevos criterios de basan en comparar el comportamiento de una serie con
el de una serie cuya convergencia ya conocemos.
Estos dos criterios solo se pueden aplicar en series definidas positivas.
Repito: Los dos criterios de comparación SOLO se pueden usar en series positivas,
ningún otro tipo.

Al igual que el criterio de la integral.

Recuerden eso bien.
Estos tres criterios (Integral, comparación directa y asintótica) solo se pueden usar en
series positivas!

Y lo repito, porque SÉ que más de uno se le olvidará. ¬¬

Así que no lo olviden. >:(

Criterio de la Comparación Directa.

El criterio de comparación directa se basa en el principio de acotamiento de una
sucesión.
Tenemos las siguientes series:
 

 a y b
n 1
n
n 1
n


Sabemos sobre la convergencia (O divergencia) de b
n 1
n .

Pero queremos saber si a
n 1
n es convergente o no.

Pues el criterio dice como sigue.

 
Si an  bn n y  bn es divergente   an diverge.
n 1 n 1
 
Si an  bn n y b
n 1
n es convergente   an converge.
n 1
Ahora la explicación intuitiva.
Si an  bn n , entonces obviamente la suma de los “n” elementos de an será mayor
que la suma de los elementos de bn
Y como la suma de los elementos de bn crece sin límite… la suma de los elementos de

an también crecerá sin límite, luego  an es divergente.
n 1
El otro sigue la misma lógica.
Si an  bn n , entonces la suma de los “n” elementos de an será menor que la suma de
los elementos de bn
Pero como la suma de los elementos de bn tiene un límite, pues converge, entonces la
suma de los elementos de an también debe de ser convergente, pues no puede
excederse a la suma de los elementos de bn , es decir tiene una cota superior, y al
tener una cota superior eso nos garantiza que tiene una mínima cota superior. Lo que
garantiza su convergencia.
Ahora tenemos el poder! EL PODER! Para probar que el ejemplo que di recién es
convergente. xD

1

n 1 (1  5n)
2

Intuitivamente sabemos que eso puede converger.

Pero debemos probarlo.
Busquemos entonces una serie que sea convergente y que todos los términos
enésimos de la sucesión que la forma sean mayores o iguales que los elementos de la
primera serie.

1

n 1 n
2
Una P-serie convergente.

1 1
Se ve claramente que:  2 n
(1  5n) 2
n
Para demostrarlo realice la inecuación y llegue a algo verdadero.
Al ser todos y cada uno de los términos enésimos de la serie que queremos analizar
menores que los de la serie que conocemos.
(Aunque NO es necesario que TODOS sean menores o iguales, recuerden que
podemos CORTAR una serie en el término que queramos de modo que tomemos
desde que los términos empiecen a ser menores o iguales.)

Como an es menor que la serie bn y al ser bn convergente, no queda más que decir que
an también converge.
Si nos hubiese dado que an es mayor que bn entonces el criterio no decide.

Una buena estrategia para escoger con que comparar es tomar el término de mayor
grado en el numerador y el denominador y usar esos en la nueva serie.
Por ejemplo si tenemos.


n( n  2) 
n3 / 2 
1

n 1 a  (n  2)(n  1)
5 2 3
Ahí tomamos 
n 1 n
5
 
n 1 n
7/2
nótese como nos olvidamos del

a 5 , pues es una constante.

El problema es que para probar que una serie es mayor o menor que otra hay que
recurrir a varios trucos algebraicos y puede que no siempre sea posible.
Para ahorrarnos los arreglos truchos, recurrimos al siguiente método comparativo…

Criterio de Comparación por paso al Límite.

(También se le dice Comparación Asintótica)
Este criterio es simple y se basa en las propiedades de los límites y las sumas.
Lo que hacemos con este criterio es analizar que tan rápido crece una serie en
comparación con una cuya convergencia conocemos.

El criterio dice así:

 
a
Si n lim  n   y  bn converge   an converge.
bn n 1 n 1
 
an
Si n lim   0 y  bn diverge   an diverge.
bn n 1 n 1

La explicación intuitiva es como sigue.


a
1. Si n lim  n   y  bn converge entonces se cumple que an crece "L" veces lo
bn n 1

que bn , pues ese límite mide el crecimiento de una de las sucesiones respecto a
la otra. Entonces podríamos decir que la suma de an es “L” veces la suma de bn ,

pero la suma de bn está definida, porque la serie es convergente, luego… a
n 1
n

es convergente.

a
2. Si n lim  n  0 y  bn diverge entonces se cumple que an crece "L" veces lo
bn n 1

que bn . Entonces podríamos decir que la suma de an es “L” veces la suma de bn ,


pero la suma de bn es infinita, porque la serie es divergente, luego… a
n 1
n es

divergente.

a
3. Si n lim  n   y  bn converge entonces se cumple que an crece
bn n 1

infinitamente más rápido que bn . Entonces podríamos decir que la suma de an

es infinitamente mayor que la suma de bn , pero esto no nos dice nada, pues se
cumple para todos los valores reales, luego… el criterio no decide.

a
4. Si n lim  n  0 y  bn diverge entonces se cumple que an crece 0 veces más
bn n 1

rápido que bn . Entonces podríamos decir que la suma de an es 0 veces la suma

de bn , pero esto no nos dice nada, pues esto nos da una indeterminación de la
forma 0   , luego… el criterio no decide.
Ahí está explicado de forma simple las razones del porque, pero no está formal…
¿Pero a quién le importa la formalidad?
Los criterios de comparación solo se usan para series racionales, ya que para los otros
tipos de funciones es mejor usar otros métodos.
También se pueden utilizar con funciones trigonométricas, recordando que estas
siempre toman valores entre -1 y 1, y estando seguro que la serie es definida positiva.

El criterio de comparación ya sea por límite o directo es generalmente usado para


P ( n)
series de la forma  . Donde P y Q son polinomios.
n 1 Q ( n)

(Aunque nada impide que lo usemos en otro tipo de series, solo que ahí es más fácil.)
Ahora vienen dos criterios de convergencia que se pueden aplicar a cualquier tipo de
serie, no importa si son positivas o no.
¿Por qué?
Porque ahora aplicamos valor absoluto.
Si la serie es de términos positivos, obviamos las barras.

El criterio de la razón. (O cociente)

Este criterio analiza el comportamiento de serie en el infinito respecto a si misma, si
cada término es mayor que el que sigue o no.


an 1
Si n lim   1   an converge.
an n 1


an 1
Si n lim   1   an diverge.
an n 1


an 1
Si n lim   1   an el criterio no decide.
an n 1

La explicación, lo que analizamos aquí es si el termino n+1 crece más rápido que el
termino n.
-Si este crece más rápido, obviamente la serie va a ser divergente, pues cada término
siguiente es mayor que el otro, luego la suma dará infinito.
-Si este crece más lento, obviamente va a ser convergente, porque el termino n
terminará “absorbiendo” al pequeño termino n+1.
(Recuerden que esto se usa después de tomar el criterio de la divergencia, es decir que
el término enésimo converge a 0.)
-Si crecen al mismo ritmo… no se puede concluir nada, por simple lógica.

¿Bastante intuitivo no?

Este criterio se utiliza cuando la función a analizar tiene factoriales, siempre… SIEMPRE
que tengamos factoriales este es el criterio a usar.
Porque recordaremos la siguiente propiedad factorial:
(n  1)! (n  1)  n! (No olviden los paréntesis)
Como el termino (n+1)! estará arriba cuando usemos el criterio y el termino n! abajo,
podremos simplificar. Esa es la idea principal detrás de este método.
Y recuerden, si ven factoriales, después de probar el criterio de la divergencia, este es
su segundo paso.

NO lo usen para funciones racionales con polinomios, y mucho menos para

trigonométricas. Para eso están los criterios anteriores.

Un buen momento para usar este criterio es cuando combinan series geométricas con
polinomios normales por ejemplo de la forma:

P( x)  a n

n 1 Q ( x )  b
n

Queda demás decir que si ven una factorial, no hay más método que este.

El criterio de la raíz enésima. :O

Bien, este criterio es bastante simple.

Si n lim  n an  1   an converge.
n 1

Si n lim  n an  1   an diverge.
n 1

Si n lim  n an  1   an el criterio no decide.
n 1


[ f (n)]n
Este criterio solo se utiliza para analizar series de la forma  n
donde “f” y “g”
n 1 [ g ( n)]
son sucesiones cualquiera.
También puede ser que “g” ó “f” sean 1 dejando series de la forma:
 
1
n 1 [ g ( n)]
n
ó 
n 1
[ f (n)]n

El criterio analiza el comportamiento de las sucesiones sin su potencia para ver la

convergencia.
(Pruébenlo en una serie geométrica simple, verán que todo encaja!)

Este criterio se basa en las series geométricas, solo que ahora lo podemos aplicar a
cualquier función con potencias enésimas.
Una serie geométrica con r  1 es convergente.
Una serie geométrica con r  1 es divergente.
Una serie geométrica con r  1 , no es una serie geométrica propiamente tal, luego el
criterio no decide.
Es una lógica bastante simple, lo ven? :D
(No es la demostración formal, pero bueno…)

El criterio de la raíz se usa si TODOS los términos de la serie están elevados a “n”, (o en
su defecto son iguales a 1) si uno falla, lo mejor será usar otro método.
Aunque es posible usarlo cuando uno de las sucesiones no tiene potencia enésima, el
problema es que sufriremos de un límite feo y posiblemente tengamos que hacer
L’Hôpital.

Otro tipo de series en las que se puede usar el criterio de la raíz serían las de la forma:


 g ( x)  [ f (n)]
n 1
n

De todos modos, es importante que dominen los criterios de la raíz y del cociente,
pues son los más importantes. ;)
El cociente más que nada.

Bueno finalmente hemos llegado al final de los criterios de convergencia, o sea, aun no
terminamos, nos falta un poquito no más. xD

Criterio de Leibiniz.
(También llamado Criterio de las Series Alternas)
Es bastante simple en realidad, no hay nada que temer. xD

Primero definiremos algunas cosas:

Convergencia absoluta:
Una serie de términos positivos y negativos es absolutamente convergente sí y solo si
en valor absoluto converge.
Convergencia condicional:
Una serie alterna es condicionalmente convergente si su termino enésimo en valor
absoluto diverge, pero por criterio de Leibiniz la serie alterna converge.

Noten que la convergencia condicional solo es para las series alternas.

La convergencia absoluta en cambio es para todas las series que tengan términos
positivos y negativos.


Imagina tenemos la serie alterna:  (1)
n 1
n
 an

Para probar su convergencia primer tomaremos el criterio del término enésimo.

n lim  an  0 (O en su defecto probamos que es una serie telescópica/geométrica)

Porque es lo primero que siempre hace.

Si el criterio no decide probamos lo que sigue…

 
¿Es la serie  (1) n  an   an convergente?
n 1 n 1
Si esta serie es convergente (Usamos cualquier otro criterio para probarlo) entonces la

serie alterna  (1)
n 1
n
 an también es convergente. (Por teorema del valor absoluto)

Entonces… Se dice que la serie  (1)
n 1
n
 an es absolutamente convergente.

(Ahí termina el ejercicio si es que se cumple eso)

 
Si nos da que a
n 1
n es divergente…

Debemos de usar el Criterio de Leibiniz.

Dice así:

Si n lim  an  0 y an 1  an entonces la serie alterna  (1)
n 1
n
 an converge.

Es decir hay que probar el criterio del término enésimo, y ver que la sucesión que
forma la serie sea decreciente.
O en su defecto probar que:
an 1
 1 ó bien f ' (n)  0 n  m; m  1
an
Es decir que la primera derivada sea menor que 0. (Entonces la función es decreciente)

Si se cumplen esas condiciones, decimos que converge por criterio de Leibiniz.

Si la serie converge en Leibiniz pero no converge cuando se toma valor absoluto,

decimos que la serie es condicionalmente convergente.

Recuerden bien lo de convergencia absoluta y convergencia condicional.

Es muy importante.
Por si no lo notaron por la cantidad de efectos que puse al texto!

Criterio de la razón para la convergencia absoluta.

Si tenemos una serie alterna, podemos directamente usar el criterio de la razón, y solo
recurrir a Leibiniz en caso de que el criterio de la razón NO DECIDA.

Criterio de la Convergencia Absoluta.

Ahora si queremos estudiar una serie que no es ni definida positiva, ni alterna, como
por ejemplo:

sen(n)
La serie  toma valores positivos y negativos, pero NO es alterna…
n 1 n2
Luego…
¿Qué hacemos?
Pues si bien no es alterna, podemos usar el criterio de convergencia absoluta.

sen(n)
Veamos si converge la serie 
n 1 n2
Como sen(n)  1 para todo “n”, entonces podemos usar comparación directa con la

1
serie…  2
Una serie P convergente, pues 2 es mayor que 1.
n 1 n
Se cumple que:
sen(n) 1
2
 2
n n
 
sen(n)
Luego tenemos por comparación directa que 
n 1 n2
converge.

Luego, por el teorema de convergencia absoluta…


sen(n)
La serie  es absolutamente convergente.
n 1 n2

Bueno, hemos terminado con los criterios de convergencia.

Ahora veremos unos dos detalles que nos faltan:

Error de las series alternas.

Esto no es muy complejo, si tenemos una serie alterna convergente.


 (1)
n 1
n
 an

Y queremos aproximar el valor de su suma, podemos tomar los “n” primeros terminos.
Entonces un teorema dice que el “error” por no tomar toda la serie en cuenta cuando
hacemos la suma, será menor que el valor absoluto del siguiente termino.

Es decir... Si “S” es la suma y S n la suma hasta el enésimo termino…

Se cumple lo siguiente.
S  Sn | an 1 |
Error | an 1 |
Es bastante simple, si aproximamos con 6 términos, el error será menor que el valor
del séptimo término.
Simple!

Aplicaciones de las series geométricas.

Bueno, esto lo deberían saber de álgebra I.
Pero estoy seguro que se les olvido.
De todos modos, si tenemos algún fenómeno que se repita y vaya disminuyendo a una
razón constante… Entonces podemos escribirlo como una serie geométrica

Que si no olvidaron a estas alturas, son de la forma  ar n .
n 0
Donde “a” es el termino inicial.
a
Se cumple que su suma en el infinito es .
1 r
a(r n  1)
Y su suma en un termino “n” cualquiera es Sn  .
r 1
Recuerden eso, porque demás sale un problema de los típicos que hacen de series
geométricas.

Bueno ahora sí que sí terminamos con la segunda parte.

Ahora se nos viene la parte que nos sirve de la materia.
:O
Las series de potencias!
(Polinomios infinitos)
Parte III

Series de Potencias y Aproximaciones Polinomiales

Series de Potencias
Les diré que lo que viene no es tan complicado.
Es un tanto latoso eso sí.
Una serie de potencias es un polinomio infinito.
Son de la forma:
 

a
n0
n  x n ó de forma más general a
n0
n  ( x  c) n

Noten que N empieza en 0!

Donde X es una variable! :O
¿Empieza a dar miedo, no?
(Las series anteriores eran de términos constantes)
De todos modos, a nosotros nos interesan las series de potencias convergentes.
Para eso debemos determinar para qué valores de X la serie es convergente.

Intervalo de Convergencia
Nosotros ser expertos en convergencia ahora, así que eso no debería ser problema.

Para analizar la convergencia de una serie de potencias recurrimos al criterio de la

razón, y en algunos casos, el de la raíz.


xn
Sea  n! una serie de potencias.
n 0
Analicemos su intervalo de convergencia!
Tiene un factorial, criterio de la razón!
x n 1 xn  x
(n  1)! (n  1)  (n)! x n  x  n! x 1
lim   lim   lim  n  n lim   x n lim  0
n
x n n
x n n
x  (n  1)  (n)! (n  1) (n  1)
n! n!

Eso es 0 para cualquier valor de X.

0 es menor que 1.
Luego converge para cualquier valor de X.
Intervalo de convergencia: (,)

xn
La serie  converge absolutamente para todo x   , 
n 0 n!
Analicemos otra serie de potencias:


2
n0
n
 xn

Puras potencias enésimas, me suena a criterio de la raiz!

n lim  n 2n  x n n lim  2 x  2 x
Esto diverge si 2 x  1
Converge si 2 x  1
Y el criterio no decide si 2 x  1

 1 1
Entonces claramente, la serie de potencias convergen en   , 
 2 2
Analicemos ahora los dos casos cuando el criterio no decide.
Si X=1


2
n 0
n
Serie geométrica con r  1 , luego divergente.

Si X=-1


 (1)
n0
n
 2n Serie geométrica alterna, por criterio de la razón para la convergencia

absoluta, diverge.
 1 1
Luego, el intervalo de convergencia es   , 
 2 2

 1 1
La serie
n0
2
 x n converge absolutamente para todo x    , 
n

 2 2
En el caso de que en los extremos la serie si sea convergente, entonces basta con
cerrar el intervalo por ese lado.


Si tenemos una serie de potencias de la forma a
n0
n  xn

Entonces se cumple que:


1. La serie  an  x n es absolutamente convergente solo para X=0
n0

2. La serie  an  x n es absolutamente convergente para todo X.
n0

3. La serie  an  x n tiene un intervalo de convergencia  r, r  donde “r” se llama radio
n0
de convergencia.

En realidad las dos primeras son casos particulares de la tercera, la primera es el caso
r  0 y la segunda es el caso r  
 
Si tenemos una serie de potencias de la forma a
n0
n  ( x  c) n

Entonces se cumple que:


1. La serie  an  ( x  c) n es absolutamente convergente solo para x  c .
n0

2. La serie  an  ( x  c) n es absolutamente convergente para todo x.
n0

3. La serie  an  ( x  c) n tiene un intervalo de convergencia c  r , c  r  donde “r” es el
n0

radio de convergencia.

Al igual que antes, las dos primeras son casos particulares de la tercera, la primera es
el caso r  0 y la segunda es el caso r  

Los intervalos de convergencia, pueden estar abiertos por ambos lados, estar cerrados
por ambos lados, o estar abiertos en uno y cerrados por el otro.

Un ejercicio simple: (No)

Intervalo de convergencia de esta serie:

n n ( x  2) n

n0 n!
Claramente, criterio de la razón.

(n  1) n 1 ( x  2) n 1 (n  1) n (n  1)( x  2)( x  2) n
(n  1)! (n  1)n!
n lim   n lim  
n ( x  2)
n n
n n ( x  2) n
n! n!
(n  1)n (n  1)( x  2)( x  2)n n! (n  1)n ( x  2) (n  1)n
n lim  n lim   x  2 n lim  
n n ( x  2)n (n  1)n! nn nn

 n  1
n

 x  2 n lim    Forma indeterminada  1 Nos olvidaremos del |x-2| pues la
 n 
variable del límite es “n” no “x”.
Aplicamos logaritmo natural.
 n  1  n  1
n n

n lim  y  n lim     n lim  ln( y ) n lim  ln  

 n   n 
 n 1
ln  
 n 1  n 
n lim  n  ln    n lim  Arreglo algebraico…
 n  1
n
1
Vamos a hacer el siguiente cambio de variable. Sea U   n  u 0
n
  1 1
ln 1  
 n ln 1  u  L ' H
1  u  lim 1  1
n lim 
1
u lim 0
u  u lim 0
1 u 0
1 u
n
 n 1
n

n lim  ln( y )  n lim  ln  

 n 
n lim  ln( y )  1
n lim  y  e
 n 1
n

n lim    e
 n 

¿Bonito el ejercicio no? :(

 n  1
n

x  2 n lim     x  2 e
 n 
Entonces, la serie de potencias es convergente si el límite es menor que 1.
Divergen si es mayor que 1.
Y no decide si es igual a 1…
x  2 e 1
1 1 1
x2   x 2  x 2
e e e
 1 1
Luego, la serie tiene un intervalo de convergencia  2  ,2  
 e e
Analicemos los casos extremos…

n n ( x  2) n
En la serie original 
n0 n!
1
Caso 1: Si x  2 
e
1 1 n n n 1 n
 n (2   2) n  n ( )  ( 1) n ( )
n n

n 0
e
n!

n 0 n!
e 

n 0 n!
e

1
Caso 2: Si x  2 
e
1 n 1 n n 1 n
 n (2   2) n
n
 n ( )  n ( )

n 0 n
e
!

n 0 n
e 
!

n 0 n
e
!
Si se dan cuenta, las dos series son iguales, solo que una es la versión alterna de la
otra.
Si probamos la convergencia de la serie del segundo caso, por teorema de la
convergencia absoluta habremos probado que la serie del primer caso es convergente.
No al revés.
(Puede que la serie alterna converja por Leibiniz).
Probar la convergencia de esas dos series que puse ahí es bastante complicado, y nos
gastará mucho tiempo, además que lo intente hacer y me dio algo feo, así que no nos
compliquemos la vida y no las hagamos. :D

Pero recuerden, que TIENEN que analizar los extremos para encontrar el intervalo de
convergencia.

Si al hacer un análisis de intervalo de convergencia ocurre uno de estos dos casos:

1. El límite nos da 0, entonces la serie de potencias converge para TODO valor de X.
2. El límite nos da infinito, entonces la serie de potencias converge SOLO en 0.

Funciones expresadas como series de potencias


Supongamos tenemos la siguiente serie  an  x n
n0

Con intervalo de convergencia  r, r 

(Si esta abierto o cerrado en los extremos da igual)
Entonces podemos definir una función…

f ( x)   an  x n x  (r , r )
n 0

Esto significa que podemos aproximar el valor de la función en el intervalo  r, r 

Usando los polinomios hasta un cierto grado. (Ya que no podemos tomar el polinomio
entero... es infinito!)
¿Y saben para que nos servirá esto?
Para aproximar esas integrales reqls que no se pueden hacer normalmente!

Bueno ya terminamos con eso…

Ahora…
Aprenderemos a derivar e integrar sumas infinitas.
¿Da miedo como suena eso no?
Pero es muy fácil. :D

Si tenemos esta serie de potencias:  an  x n
n0

Que define una función f (x) con dominio  r, r  .

Y queremos derivarla…
Basta con… Bajar el exponente y restarle 1.

f ' ( x)   n  an  x n 1 x   r , r 
n 1
Noten como N empieza de 1 ahora.
Si queremos integrarla…

an  t n 1
 t   r , r 
t
0 f (t ) 
n 0 n  1
Basta con integrar normalmente.

Se cumple por teorema que ambas series tienen el mismo radio de convergencia.
Excepto por los extremos, ahí puede ser diferente.
Debemos analizar la convergencia en los extremos.
SIEMPRE ANALIZAR LA CONVERGENCIA EN LOS EXTREMOS!
Si la serie derivada converge en alguno de los extremos, ese extremo pertenece al
dominio de la función derivada.
Si la serie integrada converge en alguno de los extremos, ese extremo pertenece al
dominio de la función integrada.

Un ejercicio típico nos daría una serie y nos pediría integrarla y derivarla, dando los
intervalos de convergencia de la serie original, la integral y la derivada.
Para eso tendríamos que revisar los extremos en cada caso.
Y recordar que el intervalo permanece constante salvo los extremos.


Si tenemos una serie de la forma a
n0
n  ( x  c) n con intervalo de convergencia

c  r, c  r 

Que define una función… f ( x)   an  ( x  c) n x  (c  r, c  r )
n 0
Entonces su derivada es…

f ' ( x)   n  an  x n 1 x  (c  r, c  r )
n 1
Y la integral…

an  t n 1

f (t )  
t
c n 0 n  1
t  (c  r, c  r )

¿Ven como el primer caso que mostré es un caso particular cuando C=0?

Otra cosa que nos pueden pedir es usar las series para aproximar la integral definida
de una función que no podemos integrar.
¿Cómo hacer eso?
Pues para eso están las…

Series de Taylor y Maclaurin

Imaginen tenemos una integral definida…

1

2
et dt
0
Por el punto de partida que tiene esa integral…

Vemos que su serie asociada debe de ser de la forma f ( x)   an  x n x  (r , r )
n 0
Esa serie se llama “Serie de Maclaurin”.

Si la serie fuese de la forma f ( x)   an  ( x  c) n x  (c  r, c  r )
n 0
Entonces se llamaría “Serie de Taylor”
Las series de Maclaurin son un caso particular de las series de Taylor, cuando C=0.
Bueno… Volvamos a lo que nos importa.
¿Cómo chucha aproximamos esa wea?

Pues bien, un teorema cuya demostración no les interesa.

(Y tampoco se hacerla así que no la pondré aquí)
Dice que la serie de Taylor que representa una función está dada por…

f ( n ) (c )
f ( x)    ( x  c) n x  (c  r, c  r )
n0 n!
Luego la serie de Maclaurin…

f ( n ) (0)
f ( x)    ( x) n x  (r , r )
n0 n!

En español…
Primero que todo, lo que queremos es aproximar por lo tanto una serie infinita no nos
sirve, solo tomaremos los “n” primeros términos.
Una aproximación fiel sería hasta el quinto término, puede ser cualquiera, pero yo
quiero el quinto.

Entonces… Un ejemplo ilustrativo…

Lo de recién…
La función f (t )  et como la expresamos en series de potencias?
2

Pues veamos lo que tenemos.

(Como no nos interesa la serie de Taylor en este caso, tomaremos la de Maclaurin)

f ( n ) (0)
f (t )    (t ) n
n0 n !
El n! no es ningún misterio, la función factorial es dominada por todos.
Como queremos el quinto termino, y N comienza a contar desde 0, tomamos hasta 4!
0! 1 1! 1 2! 2 3! 6 4! 24
(n )
Pero por otro lado f (0) …
¡¿Qué mierda es esa wea?!
La enésima derivada evaluada en 0.
Derivamos 4 veces…
Pero esperad!
Derivar f (t )  et 6 veces es algo inhumano! Horrible!
2

Por eso haremos un cambio de variable lindo… Esto es importante.

f (u)  eu u  t2
Derivemos…
f (u)  eu f ' (u)  eu f ' ' (u)  eu f ' ' ' (u)  eu f ( 4) (u)  eu
Entonces…
Evaluamos en 0…
Y todas esas derivadas valen 1. :O!!!!
Omg!
Si hubieses tomado el camino largo hubiese quedado la cagá.
Entonces tenemos todo ahora…
Representaremos como serie la función.
f (u)  eu u  t2
Como f (n ) (0) permanece constante y siempre es 1…
Es bastante fácil encontrar el término enésimo de la sucesión que forma la serie…

1
f (u )    (u ) n Revirtamos el cambio de variable…
n  0 n!
Queríamos aproximar la integral de 0 a 1…
Luego tenemos que integrar esa función…
Revertimos el cambio de variable.
 
1 1
f (t )    (t 2 )n    t 2 n
n  0 n! n  0 n!
Integremos…
El factorial no se integra ni se deriva.

1
 f ( t )  
n 0 ( 2 n  1 )  n !
 t 2 n 1

Escribamos los primeros 5 términos…


1 1 1 1 7 1 9

n  0 ( 2n  1)  n!
 t 2 n 1  t   t 3   t 5 
3 10 42
t 
216
t

Evaluando en 0 se nos muere todo.

Evaluando en 1 nos queda…
1 1 1 1
1     1.461772487...
3 10 42 216

Revisemos con la calculadora que hace integrales!

1
e dt  1.462651746...
t2
0
¿Ven el poder de las series?
Ven como logramos aproximar el valor de una integral maligna. :D

Pero justamente… lo que hicimos fue aproximar…

Entonces debe de haber un error en nuestra aproximación!
¿Cómo lo calculamos?

El error o resto viene dado por la siguiente formula.

f ( n 1) ( z )
R n ( x)   ( x  c)n 1
(n  1)!
Eso es para una serie de Taylor, para una serie de Maclaurin.
Basta con hacer C=0.
f ( n 1) ( z )
R n ( x)   ( x) n 1
(n  1)!
En ambos casos Z es un número entre C y X.
En el caso de Maclaurin entre 0 y X.
X siendo el límite superior de integración en nuestra integral maligna.
Esta formula se llama “Error de Lagrange”.
En nuestro caso Z debería estar entre 0 y 1
Y como es una serie de Maclaurin… Escribamos…
f ( n 1) ( z )
R n ( x)   ( x) n 1
(n  1)!
f ( n 1)  et
2

En realidad esa no es la derivada, pero por los cambios de variable que hicimos si se
cumple en este caso.
0  z  1 … Aplicando la función resto a ambos lados de la inecuación…
Recordemos también que tomamos hasta n=4…
f ( n 1) ( z )  e z f ( n 1) (0)  e0  1 f ( n 1) (1)  e1  e
2 2 2

1 e
 Error   0.02265234857...
120 120
El error sería menor o igual que ese número feo…
Como tiene UN cero después de la coma, podemos decir que tenemos al menos UN
decimal exacto.
Si comparamos con lo que obtuvimos…
Aproximacion  1.461772487...
Calculador a  1.462651746...
Vemos que los resultados nos apoyan!

Una cosa más.

Pn ( x)  f ( x)  Rn ( x)
Donde P es el polinomio de Taylor y R el resto de Lagrange.
Cuando “n” tiende a infinito…
n lim  Pn ( x)n lim  ( f ( x)  Rn ( x))

n lim  Pn ( x )  f ( x )  n lim  Rn ( x )

n lim  Pn ( x)  f ( x)  0 El resto se hace 0 cuando “n” tiende a infinito.

nlim  Pn ( x)  f ( x)
Es decir que el polinomio de Taylor de grado infinito es la aproximación perfecta,
aunque obviamente es imposible tener una aproximación perfecta. xD

Por lo que vimos antes, la técnica esta en saber derivar.

Y para eso hacemos esos cambios de variables.
Pues si encontramos la serie de potencias de una función simple, por una regla que no
tengo idea porque se cumple, basta con reemplazar por la variable más compleja. ;)

Si quisiéramos encontrar la serie de potencias de la función f ( x)  sen( x 2 ) entonces

basta con encontrar la serie de potencias de la función f ( x)  sen( x) y luego
reemplazar por x 2 en lo que nos quede. :D

Suena simple!
Lo es! :D

Lo más raro aquí es el error. ¬¬

Que se muera. :(
De todos modos…
Ya estamos casi por terminar!

Método de las integrales/derivadas.

Además de las series de Taylor y Maclaurin, podemos hallar nuestras series de
potencias de otra forma…!

Otro ejemplo es necesario.

Imaginen queremos encontrar la expresión en series de la función arco tangente.
Esto es complicado.
Para hacerlo tenemos que analizar la función…
f ( x)  arctan( x)
Eso no se puede escribir directamente como una serie de potencias.
Pero su derivada…
1
f ' ( x) 
1  x2
Eso suena como algo que podríamos expresar como serie de potencias.
Pero vean ahí, un cuadrado.
Podemos simplificar esto para hacer la construcción más simple.
1
f ' (u )  u  x2
1 u
Ahora bien, a que estructura se parece eso? D:
Es la suma de una serie geométrica.
Recordemos
a
S
1 r
Aquí nuestro a  1 r  u
Luego…
 
f ' (u )   (u ) n   (1) n u n
n 0 n 0
Revertir cambio de variable…

f ' ( x)   (1) n x 2 n
n 0

Una serie geométrica alterna con r  x 2

Solo converge cuando r  1  x 2  1  x  (1,1)
Integrar…

(1) n x 2 n 1
f ( x)  
n0 2n  1
Luego, ahí está nuestra representación del arco tangente en función de una serie de
potencias para los valores de X entre -1 y 1.

Aproximemos el valor de arctan(1) .(Que sabemos es pi/4)

Tomemos n=5
 x3 x5 x 7 x9 x11
arctan( x)  x     
3 5 7 9 11
1 1 1 1 1
arctan(1)  1       0.7440
3 5 7 9 11
Bastante cercano al valor de pi/4 según la calculadora que es 0.7854
aproximadamente.
El error, por criterio de la series alternas, será menor que el valor absoluto del termino
n=6.
1
Error   0.07692...
13
La diferencia entre el valor que nosotros calculamos y el de la calculadora es
aproximadamente 0.0414, que es menor que el error.
Lo que confirma nuestra aproximación. ^^
Bastante simple, no?

Bueno, ahora nos falta lo último…

Solo esto y somos libres!
LIBRES WN! LIBRES!

Series binomiales.
Esto es lo último wn, después simplemente vemos ejercicios.
Esto es bastante bonito…
Álgebra I!
Teorema del binomio…!
Pero generalizado.

f ( x)  ( x  1)m
Un binomio elevado a “m”.
Encontremos la serie de Maclaurin para dicho polinomio…

f ( n ) (0)
Tenemos que las series de Maclaurin son de la forma f ( x)    ( x) n
n0 n!
Encontramos las enésimas derivadas y evaluamos en 0.
f ' ( x)  m( x  1) m 1 

0
m
f ' ' ( x)  m(m  1)( x  1) m  2 

0
m(m  1)
f ' ' ' ( x)  m(m  1)(m  2)( x  1) m  3 

0
m(m  1)(m  2)
...
f ( n ) ( x)  m(m  1)(m  2)...(m  n  1)( x  1) m  n 

0
m(m  1)(m  2)...(m  n  1)
Luego usamos la formula de Maclaurin...

m(m  1)(m  2)...(m  n  1)
f ( x)    ( x) n
n 0 n !
Que feo se ve. D:
Si vemos bien, eso es una serie geométrica de razón X.
Luego está serie converge si y solo si | x | 1
Es decir, el dominio de la función definida por el la serie binomial es (1,1)
 Después de eso…
Tenemos dos opciones.
Si m    La serie de Maclaurin es un polinomio de grado “m”.
Si m    La serie de Maclaurin es infinita.

Hallemos la serie que representa el arco seno.

Seguimos la misma lógica que con arco tangente…
f ( x)  arcsen( x)
1 1
f ' ( x)   f ' (u )  u   x2
1 x 2
1 u
Teniendo esto… Vemos que…
1 1
f ' (u )   (1  u ) 2
1 u
Podemos encontrar la serie binomial…
1 1 1 1
1   (  1)(  2)...(  n  1)
f ' (u )  (1  u ) 2   2 2 2 2  (u ) n
n0 n!
1 3 5 1
  ( )( )...(  n)
f ' (u )   2 2 2 2  (u ) n
n 0 n!
Revertimos el cambio de variable.
1 3 5 1
  ( )( )...(  n)
f ' ()   2 2 2 2  ( x 2 ) n
n 0 n!
1 3 5 1
  ( )( )...(  n)
f ' ( x)   (1) n 2 2 2 2  x2n
n 0 n!
Integramos…
1 3 5 1
  ( )( )...(  n)
f ( x)   (1) n 2 2 2 2  x 2 n 1
n 0 (2n  1)  n!
Tenemos una aproximación del arco seno!

1
Encontremos el valor de arcsen( ) que sabemos es pi/6.
2
Con n=4 reemplazamos en la formula hasta el quinto termino…
1 3 3 5 5 7 35
arcsen( x)  x 
x  x  x   x9
6 40 112 1152
1 1 1 1 3 1 5 1 35 1
arcsen( )         
2 2 6 8 40 32 112 128 1152 512
1 1 1 3 5 35
arcsen( )       0.5235973099...
2 2 48 1280 14336 489824
Adivinen cuanto es pi/6 según la calculadora. ;)

 0.5235987756...
6
Muy cercano.
El error sería menor que el sexto termino…
(Es la forma simple de decir que usemos la formula de Lagrange)

Que es aproximadamente 0.000004208…

Nótese que tiene 5 decimales nulos después de la coma…
Y que nuestra aproximación tiene una exactitud de 5 cifras decimales. ;)
¿Hermoso no?
Este ejercicio cubrió casi todo. ;D

Si la serie binomial no tiene la forma f ( x)  ( x  1)m entonces tenemos que factorizar o

hacer algún arreglo, pues TIENE que tener esa forma.
Por ejemplo f ( x)  (2 x3  3)m
Primero factorizamos por -3.
2
f ( x)  (3( x3  1))m
3
Luego hacemos un cambio de variable.
2
f (u )  (3(u  1))m u   x3
3
f (u)  (3) (u  1)
m m

Ese (3) m queda fuerza de la serie ahora, pues es una constante una vez tengamos lista
la serie de potencias, simplemente la multiplicamos por fuera por ese número.
Es bastante simple. ;D

Adivinen…
TERMINAMOS!
TERMINAMOS CONCHETUMARE! XD

Bueno, esto ha sido todo en el “resumen” de Series y Sucesiones…

Espero que lo pongan a buen uso. :D
No me desgaste leyendo el Leithold y el Larson y buscando en Internet que mierda
significa el maldito resto de Lagrange para que lo desperdicien.
Quiero ver que a todos les vaya bien en la última prueba, o que al menos lo intenten.
Yo les dejo el resumen con todas las ideas, queda en sus manos hacer ejercicios.
Y si falto algo, o hay un error, díganme para que lo corrija. xD
Cualquier cosa me preguntan en la U si es que no estoy estresado u ocupado en alguna
otra cosa. xD
Bueno eso es todo.
Farewell. :)
Brian Keith N.