6 Proporcionalitat

PROPORCIONALITAT

Abans de començar

INVESTIGA
En època de rebaixes, ben segur que has vist en els aparadors cartells com el de la fotografia.
Si les sabates que t'agraden valien 55 € i ens fan un descompte del 20%, quant estalviaràs?
Quant pagaràs realment?

Per elaborar aquest pastís és necessari Els plànols han de dibuixar-se mantenint les
mantenir les proporcions entre els seus proporcions amb la realitat.
ingredients.

IES LA CREUETA 82 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

1. Raó i Proporció
RAÓ ENTRE DOS NOMBRES

Estem acostumats a donar informació sobre situacions de El pot de pintura gran pesa 4,5 kg i el
xicotet 1,5 kg.
la vida quotidiana utilitzant nombres. Hi ha vegades on un
Quina és la raó entre el pes del pot gran
únic nombre no és suficient i hem de comparar-lo amb una
i el pes del pot xicotet?. Què indica?
altra quantitat per a poder comprendre millor la situació.
Quan comparem dues quantitats formen una raó.

Raó és el quocient entre dos

Raó és el quocient entre dos
nombres a i b.
nombres a i b.
S’escriu a/b i es llegeix "a és a b".
S’escriu a/b i es llegeix "a és a b".

Una raó no té unitats i serveix per comparar: indica el

nombre de vegades que una quantitat és més gran que
Pes pot gran 4,5
una altra.
= =3
Pes pot xicotet 1,5
Observa que una raó no és una fracció, en una raó els
La raó és 3 i ens indica que el pot gran
nombres poden ser decimals i en una fracció són enters.
pesa 3 vegades més que el xicotet.

PROPORCIÓ
Una proporció és una igualtat entre dues raons:

a c
= "a és a b com c és a d"
b d

• a i d s’anomenen extrems
• b i c s’anomenen mitjos
Les proporcions complixen la següent relació fonamental:

En una proporció el producte de mitjos és igual al producte d’extrems.

a ⋅d=c ⋅b

CÀLCUL DE LA QUARTA PROPORCIONAL

Donat que el producte de mitjos és igual al d’extrems, Troba la quarta proporcional
x 6 6 ⋅24
podem calcular qualsevol terme d’una proporció coneixent = ⇒ x= =36
24 4 4
els altres tres. 7 x 7 ⋅16
= ⇒ x= =56
• S'anomena quarta proporcional al terme que desconeixem 2 16 2
16 8 16 ⋅7
en una proporció. El representarem amb la lletra x. Observa = ⇒ x= =14
x 7 8
a la dreta com es calcula.

IES LA CREUETA 83 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

Exercicis resolts
1. Un rectangle mesura 50 cm d’amplada i 20 cm de alçada. Troba la raó entre la seua
amplada i la seua alçada.
Què ens indica la raó?
Solució: Calculem el quocient amplada del rectangle/alçada = 50/20=2,5
La raó és 2,5 i indica que l’amplada és 2,5 vegades l’alçada.

2. Una bossa gran de magdalenes costa 5,2 € i una bossa xicoteta costa 1,3 €. Trobar la raó
entre el preu de la bossa gran i el de la xicoteta.
Explica què indica la raó.
Solució: Calculem el quocient preu bossa gran/preu bossa xicoteta = 5,2/1,3= 4.
La raó és 4 i indica que el la bossa gran costa 4 vegades més que la bossa xicoteta.

3. Una xiqueta té 15 anys i el seu pare 45. Trobar la raó entre l’edat de la filla i l’edat del pare.
Explica què significa la raó.
Solució: Calculem el quocient edat filla/edat pare = 15/45 = 1/3
La raó és 1/3 i indica que l’edat de la filla és la tercera part de l’edat del pare.

4. Formen proporció les següents raons?

12 2 3 6 5 25
a) i b) i c) i
60 3 2 4 4 20
Solució: a) 12⋅3≠60⋅ 2 ⇒ No formen proporció
b) 3⋅ 4=2⋅ 6 ⇒ Si que formen proporció
c) 5 ⋅20=4 ⋅25 ⇒ Si que formen proporció

5. Trobar la quarta proporcional de les següents proporcions:

x 8 32 8 9 x 5 10
a) = b) = c) = d) =
4 2 x 5 7 7 12 x
4 ⋅8 32 32 ⋅5 160
Solució: a) x= = =16 b) x= = =20
2 2 8 8
7 ⋅9 63 10 ⋅12 120
c) x= = =9 d) x= = =24
7 7 5 5

IES LA CREUETA 84 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

2. Proporcionalitat directa
MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS
Magnitud és una propietat que es pot mesurar i expressar
amb nombres.
Exemple de magnituds són:
• nombre de llibretes Les dues magnituds (nre. pilotes i preu)
• Kg de fruita que comprem són directament proporcionals perquè a

• preu a pagar doble, triple,.. quantitat de la primera li

correspon doble, triple,... quantitat de la
En ocasions les magnituds estan relacionades.
segona.

Dues magnituds són directament

Dues magnituds són directament
proporcionals si, al multiplicar una d’elles
proporcionals si, al multiplicar una d’elles
per un nombre, l’altra queda multiplicada
per un nombre, l’altra queda multiplicada
pel mateix nombre.
pel mateix nombre. Edat i alçada no són directament
proporcionals. A doble, triple... edat no
li correspon doble, triple, alçada.
CONSTANT DE PROPORCIONALITAT DIRECTA
Les quantitats de dues magnituds que es corresponen amb una taula com aquesta:

Magnitud 1a (x) a b c ...

Magnitud 2a (y) a' b' c' ...

són directament proporcionals si es verifica que a'/a = b'/b = c'/c = ... = k, essent k la
raó de proporcionalitat.
La constant de proporcionalitat directa,
La constant de proporcionalitat directa,
k, es calcula dividint una quantitat
k, es calcula dividint una quantitat
qualsevol de la 2a magnitud entre la
qualsevol de la 2a magnitud entre la
corresponent de la 1a.
corresponent de la 1a.
Exercici resolt
6. Raona si els següents parells de magnituds són o no directament proporcionals
a. El nombre d’obrers i el temps que tarden en acabar una obra.
b. El nombre d’entrades al cine i el preu que hem de pagar.
c. El pes d’una persona i la seua alçada.
d. Les distàncies en un mapa i les distàncies reals.
Solució: a) No. Si en l’obra treballen el doble d’obrers no tardaran el doble de temps en
acabar-la, al contrari tardaran menys en fer-ho.
b) Sí. Si comprem el doble, triple.. d’entrades haurem de pagar el doble, triple ... de diners.
c) No. Quan una persona dobla la seua alçada no dobla automàticament el seu pes.
d) Sí. Doble, triple… distància en la vida real li correspon doble, triple… distància en el mapa.

IES LA CREUETA 85 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

7. Donada la següent taula de valors directament proporcionals, completa-la i calcula la

constant de proporcionalitat.

x 4 6 9
y 40 64 72

Solució: La constant de proporcionalitat és 72/9=8

64 72 64 ⋅9 579
Per tant = ⇒ x= = =8 i així amb totes les raons
x 9 72 72
x 4 5 6 8 9
y 32 40 48 64 72

MÈTODE DE REDUCCIÓ A LA UNITAT

En molts problemes de la vida real intervenen dues magnituds directament proporcionals.
Coneixent tres quantitats ens demanen calcular una quarta dada.
Per a resoldre'ls disposem de dos mètodes, el primer és el mètode de reducció a la unitat, que
consta dels passos següents:

• Comprovar que les dues magnituds són directament proporcionals.

• Calculem el valor corresponent a una unitat de la 1a magnitud mitjançant una
divisió.
• Multiplicant adequadament es calcula el valor desitjat.

Exercicis resolts
8. Si 5 llapis costen 2 €. Quant costaran 8 llapis?
Solució:
1r) Són directament proporcionals. Doble, triple, ... nre. de llapis costaran doble,
triple, ...
2n) Calculem quant costarà un llapis: 2/5=0,40 €
3r) Calculem quant costaran 8 llapis: 0,40 · 8= 3,20 €

9. Si per 3 hores de treball un obrer cobra 12 €. Quant cobrarà per 7 h?

Solució:
1r) Són directament proporcionals. Doble, triple, ... nre. de hores cobrarà doble,
triple, ...
2n) Calculem quant cobrarà per una hora: 12/3=4 €
3r) Calculem quant cobrarà per 7 hores: 4 · 7= 28 €

IES LA CREUETA 86 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

L’altra forma de resoldre els problemes en què intervenen dues

magnituds directament proporcionals és mitjançant una regla
de tres directa simple.

Regla de tres simple directa. Passos

• Comprovar que les dues magnituds són directament
proporcionals.
• Separar en dues columnes les magnituds.
• Identificar el que ens demanen calcular. L'anomenarem x.
• Escriure la proporció i trobar la quarta proporcional.

Exercicis resolts
10. En una fàbrica de cotxes se'n fan 380 unitats cada 5 hores. Quants cotxes es fabricaran en
12 hores, mantenint el mateix ritme?
Solució:
1r) Són directament proporcionals. Doble, triple, ... nre. de hores fabricarà doble, triple, ...
nombre de cotxes
2n) Hores Cotxes
5 ------ 380
12 ------ x
5 380 380 ⋅12 4560
3 r) ⇒ = ⇒ x= = =912 cotxes
12 x 5 5

11. Si per 4 hores de treball un obrer cobra 24. Quant cobrarà per 13 h?
Solució:
1r) Són directament proporcionals. Doble, triple, ... nre. de hores cobrarà doble, triple, ...
quantitat d'euros
2n) Hores Euros
4 ------ 24
13 ------ x
4 24 24 ⋅13 312
3 r) ⇒ = ⇒ x= = =78 euros
13 x 4 4

IES LA CREUETA 87 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

3. Percentatges
SIGNIFICAT DEL TANT PER CENT
És molt habitual escoltar notícies com les següents:
"Les vendes d'automòbils han baixat un 20%" , "Ho rebaixem tot un
25%", "El 45% dels espanyols utilitza Internet".
Expressar un tant per cent (20%, 25%, 45%) d'una quantitat (venda,
preu, població ...) equival a dividir aquesta quantitat en 100 parts i agafar el tant per cent
indicat.
Un percentatge (el seu símbol és %) és una raó de denominador 100. Es pot expressar com
una fracció i com un decimal.
EXEMPLE: El 30 % de la població utilitza Internet.
Es llegeix “el trenta per cent de la població utilitza Internet”

30 30
Com a fracció s'escriu: Com a decimal: =0,3
100 100

CÀLCUL DE PERCENTATGES
Per calcular el tant per cent d'una quantitat disposem de diversos mètodes:
1. El percentatge és una fracció.
2. El percentatge és un decimal.
3. El percentatge és una proporció i podem utilitzar una regla de tres simple directa.
Observa en l’exemple com es calcula el tant per cent d’una
quantitat segons els diferents mètodes.
EXEMPLE: S’ompli el 92% d’un dipòsit de 500 litres de
capacitat. Quants litres s’han necessitat?
92
Mètode 1) Escriure en forma de fracció 92% ⇒
100
Convertir “de” en una multiplicació i operar
92 92 92 ⋅500 46000
de 500 ⇒ ⋅500= = =460 litres
100 100 100 100
Mètode 2) Passar a forma decimal 92% ⇒ 0,92
Convertir “de” en una multiplicació y operar: 0,92 de 500 ⇒ 0,92 ⋅500=460 litres
Mètode 3) Anomenem x a la quantitat desconeguda.
Escriure una regla de tres, formar la proporció i resoldre.

% litres
100 ----- 500 100 500 92 ⋅500 46000
⇒ = ⇒ x= = =460 litres
92 ----- x 92 x 100 100

IES LA CREUETA 88 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

CÀLCUL DEL TOTAL CONEIXENT LA PART I EL PERCENTATGE

Per calcular el total utilitzarem les proporcions, recorda que:
1. La quantitat desconeguda s'anomena x.
2. El 100% correspon sempre al total.
EXEMPLE: Un dipòsit que conté 460 litres d’aigua, està ple al 92% de la
seua capacitat, quants litres caben?

% litres
92 ----- 460 92 460 100 ⋅460
⇒ = ⇒ x= =500 litres
100 ----- x 100 x 92

CÀLCUL DEL PERCENTATGE CONEIXENT LA PART I EL TOTAL

Per calcular el percentatge utilitzarem les proporcions, recorda que:
1. La quantitat desconeguda s'anomena x.
2. El 100% correspon sempre al total.
EXEMPLE: En un dipòsit de 500 litres de capacitat, aboquem 460 litres
d’aigua, quin percentatge hem omplit?.

litres %
500 ----- 100 500 100 460 ⋅100
⇒ = ⇒ x= =92 %
460 ----- x 460 x 500

Exercicis resolts
12. Escriu en forma de fracció i de nombre decimal: a) 55 % b)39 % c) 90 %
55 39 90
Solució: a) =0,55 b) =0,39 c) =0,9
100 100 100

13. Calcula el 35 % de 500 utilitzant els tres mètodes.

35 35 17500
Solució: a) de 500 ⇒ ⋅500= =175 b) 0,35 de 500 ⇒ 0,35 ⋅500=175
100 100 100
% Quantitat
c)
100 ----- 500
100 500 35 ⋅500 17500
35 ----- x ⇒ = ⇒ x= = =175
35 x 100 100

14. S’ha omplit el 66% d’un dipòsit amb 198 litres. Calcula la seua capacitat
Solució:
% litres
66 ----- 198
66 198 100 ⋅198 19800
100 ----- x ⇒ = ⇒ x= = =300 litres
100 x 66 66

IES LA CREUETA 89 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

3. Proporcionalitat inversa
CONSTANT DE PROPORCIONALITAT
Dues magnituds són inversament proporcionals si
en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre,
l’altra queda dividida (o multiplicada) por el mateix
nombre.
Si a un valor m1 de la primera magnitud li correspon
un valor m2 de la segona magnitud, es pot comprovar
que el producte d’aquests dos valors és sempre
constant. A aquest producte se l’anomena constant
de proporcionalitat inversa.

Constant de proporcionalitat: = m 1 ⋅m 2

REGLA DE TRES INVERSA

Una manera molt fàcil de resoldre una activitat de
proporcionalitat inversa és un procediment anomenat
regla de tres inversa.
Regla de tres simple inversa. Passos

• Comprovar que les dues magnituds són

inversament proporcionals.
• Separar en dues columnes les magnituds.

• Identificar el que ens demanen calcular.

L'anomenarem x.

• Utilitzar la constant de proporcionalitat per

calcular la quantitat desconeguda.

REDUCCIÓ A LA UNITAT
Un altre procediment, que s’anomena de reducció a la unitat, consisteix en calcular el valor de
la segona magnitud corresponent a una unitat de la primera.

EXEMPLE: 18 alumnes ha pagat 6 euros cadascun per a comprar un regal a una companya,
quant hauran de pagar cada un si al final participen 24 alumnes
- Reducció a la unitat
1.- Calcularem quin és el valor total del regal: 18 ⋅6=108 €
2.- Dividim el preu entre els alumnes: 108 :24=4,50 €

IES LA CREUETA 90 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

Exercicis resolts
15. Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores en realitzar un viatge. Quant temps
tardarà en el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h?
Solució: Si circula a menys velocitat tardarà més temps → Proporcionalitat Inversa
- Regla de tres inversa

Velocitat Temps
90 ----- 12 90 ⋅12
⇒ 90 ⋅12=80 ⋅x ⇒ x = =13,5 h
80 ----- x
80
- Reducció a la unitat
1.- Calcularem la distància total del viatge: 90 ⋅12=1080 km
2.- Dividim la distància entre la velocitat: 1080 :80=13,5 h

16. 6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran nombre de còpies, quant temps
tardarien 4 fotocopiadores en realitzar el mateix treball?
Solució: Si funcionen menys fotocopiadores tardaran més temps → Proporcionalitat Inversa
- Regla de tres inversa

Fotocopiadores Temps
6 –------- 6 6 ⋅6
⇒ 6 ⋅6=4 ⋅x ⇒ x = =9 h
4 –------- x
4
- Reducció a la unitat
1.- Calcularem el total de hores que es necessiten per fer les copies: 6 ⋅6 =36 h
2.- Dividim el total d'hores entre el nombre de fotocopiadores: 36 :4 =9 h

17. En repartir una quantitat d’euros entre 7 persones cada una rep 12 euros. Quant rebrien si
el repartiment es fes entre 6 persones?
Solució: Si són més persones rebran menys euros → Proporcionalitat Inversa
- Regla de tres inversa

Persones Euros
7 ------ 12 7 ⋅12
⇒ 7 ⋅12=6 ⋅x ⇒ x = =14 €
6 ------ x
6
- Reducció a la unitat
1.- Calcularem el total d'euros a repartir: 12 ⋅6=72 €
2.- Dividim el total d'euros entre el nombre de persones: 84 :6=14 €

IES LA CREUETA 91 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

Exercicis per començar

1. Alícia va pagar 6 € per 5 kg de peres. 11. En un estable 20 cavalls consumixen un
Quants quilos va comprar si va pagar 12 €? camió d'alfals en 6 dies. Si arriben 10 nous
cavalls, en quants dies es menjaran tot el
2. Un obrer guanya 280 € per 56 hores de camió d'alfals?
feina. Quant guanyarà si treballa 65 hores?
12. Tres aixetes aboquen aigua de forma
3. Si 15 obrers tarden 35 dies en acabar constant omplint un dipòsit en 10 hores, si
una obra, quants d’obrers es necessitarien utilitzem 10 aixetes per a omplir el dipòsit,
per acabar l’obra en 21 dies? quant temps tardaran en omplir-lo?

4. Viatgem a un país llunyà la moneda del 13. Amb 59 kg de farina s’elaboren 118 kg
qual és el yin-zu. Si un yin-zu equival a 4 € . de pa. Quants kg de farina es necessiten per
quants yin-zu ens donaran per 453 €? fabricar 16 kg de pa?

6. Cinc obrers tarden 6 hores a construir 14. L’escala d’un mapa és 1:400000. La
una tàpia, quant tardaran 2 obrers? distància en el mapa de dues ciutats és de 4
cm. Quina distància les separa en la realitat?
7. Un motorista tarda 4 hores en recórrer
276 km. Si manté una velocitat constant 15. Per a menjar dues persones es
quant tardarà en recórrer 414 km? necessiten 120 g d’arròs, quant arròs
necessitaran per dinar 3 persones?
8. Si d'un llibre llig 9 pàgines diàries,
tardaré 26 dies acabar-lo. Si en llig 13 16. Un cotxe que circula a 110Km/h.
pàgines diàries, quants dies em duraria la invertix 9 hores en cobrir la distància que
seua lectura? separa dues ciutats, si torna a realitzar el
viatge i empra 11 hores. A quina velocitat
9. Un grup d'alumnes per al seu viatge circula en el segon viatge?
d'estudis contracta un autobús a preu fixe.
Inicialment anaven al viatge 22 alumnes 17. En un concessionari es venen 8100
sent el preu per persona de 15 euros. Si vehicles a l’any, dels quals el 67% són
finalment van al viatge 15 alumnes, quant turismes. Trobar el nombre de turismes que
ha de pagar cadascú? es venen a l’any en aquest concessionari.

10. En una oficina es gasten 525 fulls en 5 18. El preu d’un article és de 7000 €, però
dies. Quants fulls es gastaran en 24 dies? té un 51% de recàrrec. Quant pagarem en
realitat?

IES LA CREUETA 92 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

19. En una ciutat s’envien 9800 missatges 24. Dels 4200 alumnes matriculats en
de mòbil diaris. El 57% dels quals són institut 462 estudien anglès, quin
missatges multimèdia. Quants missatges percentatge representen?
multimèdia s’envien al dia?.
25. En les rebaixes comprem un article que
20. El 17% dels alumnes d’institut estudien valia 50 € per 40 €. Quin és el descompte
anglès. Si hi ha 9200 alumnes d’institut, que ens han fet?
quants estudien anglès?
26. El preu d’un article és de 800 €, però el
21. La Maria rep el 48% dels diners de les venedor ens fa un 13% de descompte.
vendes que aconsegueix. Si vol guanyar Quant pagarem en realitat?
2976 €, quant haurà de vendre?
27. El preu d’un article sense IVA és de
22. El 38% de les dones enquestades 4000 €. Si l’IVA és del 21%, quant pagarem
afirmen que practiquen algun esport. Si en realitat?
sabem que aquestes eren 228 quantes foren
enquestades? 28. El preu d’un article sense IVA és de 200
€. Si l’IVA és del 4%, quant pagarem en
23. Dels 2300 vehicles que es venen en un realitat?
concessionari 690 són turismes. Expressa
aquesta quantitat amb un percentatge.

Exercicis finals
29. Digues si les següents magnituds són 30. Digues si les següents magnituds són
directament proporcionals, inversament directament proporcionals, inversament
proporcionals o no són proporcionals i proporcionals o no són proporcionals i
explica per què. explica per què.
a) La quantitat de tela i el nombre de a) Les pàgines d'un llibre i el seu preu.
vestits de la mateixa talla que b) La velocitat d'un cotxe i el temps que
confeccionarem. tarda en recórrer un trajecte.
b) L'edat d'una persona i el seu pes. c) El pes d'un meló i el seu preu.
c) L'edat d'una persona i la seua força d) El temps que roman oberta una aixeta i
física. la quantitat d'aigua que s'aboca.
d) El preu de les pomes i els quilos que puc e) El nombre de vaques que té un ramader
comprar amb els diners que duc. i la quantitat de menjar que necessita per a
e) El nombre d'amics que paguen un regal alimentar-les.
i el que ha de pagar cada un.

IES LA CREUETA 93 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

31. Expresseu mitjançant una raó: 37. Per fer dos postres es fan servir 50 g de
a) De 1200 cargols 32 han sortit farina. Si hem gastat 450 g de farina,
defectuosos. quants postres hem fet?
b) En un cistell tenim 8 creïlles i 4 cebes.
c) Hem contestat bé 15 preguntes d'un 38. Comprova si aquestes parelles de raons
total de 20. verifiquen la propietat de les proporcions:
7 5 3 12 2 5
a) i b) i c) i
32. Identifiqueu quines raons formen una 2 3 5 20 3 4
proporció: 7 21 11 33
d) i e) i
8 6 9 2 10 50 30 20 6 18 6 24
a) , , , b) , , ,
2 3 5 1 2 10 8 5
39. Comproveu si els següents parells de

33. Una botiga ha guanyat 3400 euros en magnituds són directament proporcionals:

vendes, però després de restar compres de a) Magnitud A 2 5 8 12

material, impostos i altres despeses, ha Magnitud B 3 7.5 12 18

obtingut uns beneficis de 620 euros sobre el b) Magnitud C 4 6 9 12

guany obtingut. Quina és la raó entre les Magnitud D 8 12 18 22
vendes i els beneficis?

40. Completeu la taula sabent que A i B són

34. Comproveu si les següents raons magnituds directament proporcionals:
formen una proporció: Magnitud A 2 6 x 10
a) 6/18 i 5/15 b) 4/12 i 5/18 Magnitud B 8 24 32 y
c) 5/7 i 20/28 d) 8/12 i 4/6

41. Per a cuinar una paella d'arròs per a 10

35. Trobeu el valor de x per tal que les persones posem un kg d'arròs. Quina
següents raons formen una proporció: quantitat d'arròs necessitarem si venen 6
4 x 45 36 persones més a menjar? Quants grams
a) i b) i
6 18 x 48
representa això per persona?
11 33 7 x
c) i d) i
x 21 14 4
42. Un jugador de futbol fa dos gols cada 12
llançaments a porta. Si sempre manté la
36. Calcula el terme desconegut d en cada
mateixa eficàcia, quants llançaments haurà
una de les proporcions:
fer per a marcar 7 gols?
0,2 18 4 2
a) = b) =
5 d d 11
43. A una caixa caben 24 llibres de 5 cm
d 2 d 7
c) = d) = d'amplària. Quants llibres de 3 cm
25 10 7,5 15
d'amplària cabran?

IES LA CREUETA 94 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

44. Comproveu si els següents parells de 51. Calculeu:

magnituds són inversament proporcionals a) 12% de 300 b) 7% de 500
a) Magnitud A 4 6 12 c) 25% de 64 d) 120% de 40
Magnitud B 9 6 3
52. Per a pintar un pis, un pintor ha
b) Magnitud C 3 4 9
treballat 30 hores a raó de 15 euros/hora. El
Magnitud D 8 6 3
material empleat val 120 euros.
a) Quants diners hauria de cobrar per la
45. Una persona quan es bebè de 0.6 m
seua feina?
pesa 4 kg i d'adult fa 1.80m i pesa 80 kg. La
b) Quants diners hauria de cobrar per la
massa i la talla d'una persona són
feina i el material?
directament proporcionals?
c) Si aplica un augment del 21% d'IVA, quin
serà el cost total?
46. Sabem que A i B són magnituds
inversament proporcionals, completeu la
53. Un ordinador costa 1202 euros. Durant
taula
les rebaixes hi fan un descompte del 15%.
Magnitud A 20 30 60 y
a) Quant han rebaixat l'ordinador?
Magnitud B 63 42 x 14
b) Quant costa durant les rebaixes?

47. A una festa érem 10 persones i

54. A la carta d'un restaurant els preus no
pensàvem repartir 6 cm de «braç de gitano»
inclouen el 10% d' IVA. Un clients ha menjat
a cadascun, però han vingut dues persones
una amanida per 3,16 €, un lluç per 6,25 € i
més de les que fèiem compte. Quant de tros
postres per 4,78€. Quant pagarà en total el
correspondrà a cada un?
client?

48. Un ciclista a 40 km/h dóna una volta a

55. El 60% del cos humà és aigua. Quina
un circuit en 30 minuts. Quina tindrà que
quantitat d'aigua hi ha en una persona de
ser la seua velocitat per recórrer el mateix
75 kg?
circuit en 25 minuts?

56. Al comprar una camisa que marcava

49. huit telers fabriquen certa quantitat de
60€ ens han cobrat 51 €.
tela en 12 hores. Quant de temps tardaran a
a) Ens han augmentat el preu o ens han fet
fabricar la mateixa quantitat de tela si
una rebaixa?
s'avarien dos telers?
b) Quin descompte, en euros, ens han fet?
c) Quin ha estat el percentatge de
50. Comprem un pastís de 12 € entre tres
descompte?
persones. Quant haurem de pagar si ve una
persona més?

IES LA CREUETA 95 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

57. Un CD de música que costava 24€ ara 61. Una ciutat té actualment 300000
costa 28,8€. habitants. Si el seu ritme de creixement és
a) De quants euros ha estat l'augment? del 4% anual, quin serà el nombre
b) Quina ha sigut el tant per cent d'habitants l'any que ve? I d'ací a dos anys?
d'augment que s'ha aplicat?
62. El bronze és un aliatge de coure, estany
58. Hem comprat una televisió i, després de i zinc. El 88% és coure, el 8% estany i el
fer-nos un 20% de descompte, ens ha 4% zinc. Si una peça de bronze pesa 4,8 kg,
cobrat 400 euros. Quin era el preu real de la quant coure té?
televisió?
63. Calcula el preu d'una càmera de fotos si
59. El 60% dels alumnes es comunica per ens indiquen que hem de pagar 215 € més
internet amb els amics. Si en una classe són el 21% d' IVA.
24 els que ho fan, quants alumnes hi ha a la
classe? 64. Un empleat que cobra 950€, ha rebut
un augment de 85€ i un altre que cobra
60. Troba el valor de la lletra n: 800€ n'ha rebut un de 110€. Qui ha rebut
a) 3% de 420 és n un augment més gran en percentatge?
b) 12% de 4000 és n
c) n% de 4200 és 2604 65. El nombre de socis d'un club va
d) n% de 125 és 10 augmentar un 40% el primer any de la seua
e) n% de 620 és 403 creació i va baixar un 20% el segon any. Si
f) n% de 200 és 3 els socis fundadors van ser 250, quants n'hi
g) 5% de n és 16 havia al final del segon any?
h) 52% de n és 312

IES LA CREUETA 96 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

Per saber-ne més

L'IVA
L'IVA és l'impost sobre el valor afegit, i és una taxa que
paguem a l'estat per la compra de tots els productes.
S'afegeix al valor dels productes i varia d'uns a altres.
T’has fixat que hi ha diferents tipus d’IVA? Saps quin
percentatge d’IVA s’aplica a cada producte?
IVA SÚPER REDUÏT ( 4% )
S’aplica a béns i serveis de primera necessitat: pa, verdures, fruites, llet, formatges, ous,
hortalisses, … que no hagin estat modificats de cap forma. Llibres, periòdics i revistes no
publicitàries; medicaments; cadires de rodes per minusvàlids i pròtesis; Habitatges de
Protecció Oficial.
IVA REDUÏT ( 10% )
S’aplica a entrades a museus, galeries d'art, … aigua; perruqueries; dentistes; serveis
d’hostaleria; transport de viatgers; edificis, habitatges i places de garatge; complements
per al diagnòstic o alleujament malalties i aliments no inclosos en l’IVA súper reduït ...
IVA NORMAL ( 21% )
S’aplica a electrodomèstics, roba, calçat, bricolatge, tabac, begudes alcohòliques, etc.

Autoavaluació √
1. En un institut hi ha 42 xiquets i 21 6. Si 3 DVDs valen 24 euros, quant valdran
xiquetes. Troba la raó entre el nombre de 5 DVDs? Utilitzant una regla de tres.
xiquets i el nombre de xiquetes. Què indica
7. El 35% dels arbres d’un parc es van
la raó?
plantar en abril. Si en total hi ha 600 arbres,

2. L’edat d’una persona i el seu pes, són quants es van plantar en abril?

magnituds directament proporcionals? 8. Un videojoc valia 8 euros i he pagat 6

euros. Quin percentatge m’han rebaixat?
3. Formen proporció les següents raons? 8/3
i 64/24 9. Una agència de viatges ha venut 560
places d’un avió, la qual cosa suposa un
4. Calcula la quarta proporcional de la
28% del total. De quantes places disposa
següent proporció: 2/9 = 16/x
l’avió?
5. Si 7 DVDs valen 14 euros, quant valdran
10. Un sofà que valia 5500 euros s’ha
2 DVDs? L’has de resoldre utilitzant el
rebaixat un 12%. Quant pagarem ara?
mètode de reducció a la unitat.

IES LA CREUETA 97 MATEMÀTIQUES 1r ESO

 PROPORCIONALITAT

Recorda
1. Raó i Proporció 2. Proporcionalitat directa.
Raó: quocient entre dos nombres. Dues magnituds són directament
Proporció: igualtat entre dos raons proporcionals si al el doble, triple de la

a c primera li correspon doble, triple de la

= Es llegeix: "a és a b com c és a d"
b d segona...

a i d s’anomenen extrems
La constant de proporcionalitat directa, k,
b i c s’anomenen mitjos
és el quocient entre una quantitat qualsevol
de la 2a magnitud i la corresponent de la 1a.
Propietat fonamental de les proporcions:
El producte de mitjos és igual al producte
Reducció a la unitat
d’extrems: a ⋅d=b ⋅c 1) Veure que les dues magnituds són
directament proporcionals.
2) Dividint trobar el valor d’una de les dues
3. Percentatges
magnituds que correspon a una unitat de
Percentatge o tant per cent es la quantitat
l’altra.
que hi ha en cada 100 unitats.
3) Multiplicant es troba el valor demanat.
S’expressa mitjançant el símbol %.
Un percentatge és equivalent a una raó de
Regla de tres simple directa
denominador 100 i també al nombre
1) Veure que les dues magnituds són
decimal corresponent.
directament proporcionals.
2) S'escriu Magnitud 1 Magnitud 2
Per resoldre problemes utilitzarem les
a –-------- b
proporcions, recorda que:
c –-------- x
1. La quantitat desconeguda s'anomena x.
c ⋅b
2. El 100% correspon sempre al total. 3) Es calcula x=
a
4. Proporcionalitat inversa
Dues magnituds són inversament proporcionals si al multiplica o divideix una d’elles per
un nombre, l’altra queda dividida o multiplicada pel mateix nombre.
Si a un valor m1 de la primera magnitud li correspon un valor m 2 de la segona magnitud, es
pot comprovar que el producte d’aquests dos valors és sempre constant. A aquest producte
se l’anomena constant de proporcionalitat inversa.

Constant de proporcionalitat: = m 1 ⋅m 2

IES LA CREUETA 98 MATEMÀTIQUES 1r ESO