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Licenciatura en Ciencia y Tecnología de los Alimentos

MATRICES
En esta guía debes identificar :

1. Las ideas y relaciones matemáticas utilizadas con su terminología y notación apropiadas.

2. El algoritmo adecuado para efectuar operaciones.
3. Saber decidir cuál es el procedimiento más oportuno en cada situación.
4. Analizar conjuntos de datos e informaciones y reconocer y descubrir las relaciones.
5. Elaboración tu correcta representación de la actividad .
6. Saber interpretar correctamente una representación gráfica para expresar un concepto y resaltar las
características más relevantes.
7. Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y comprender sus relaciones con el lenguaje
natural
8. Verificar conclusiones y realizar inferencias empleando distintas formas de razonamiento
9. Sistematizar y resumir conclusiones de un trabajo realizado e interpretar las ideas matemáticas
presentes en él
10. Reflexionar , analizar y los resultados
MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES

1. Dadas las matrices siguientes

,
se pide calcular las siguientes operaciones:

a)

b)
c) (A + I3)2 Solución:

d) A2 + 2A + I3 Solución:
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado
anterior.
e) AC Solución:
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 2

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:

h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

2. Dadas las matrices siguientes

,
se pide calcular las siguientes operaciones:

a)

b)
c) (A + I3)2 Solución:

,
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 3
d)
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado
anterior.
e) AC Solución:

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:
16
5
19
9
27
3
h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

3. Dadas las matrices siguientes

,
se pide calcular las siguientes operaciones:

a)

b)
c) (A + I3)2 Solución:
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 4
,

d)
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el
binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado anterior.
e) AC Solución:

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:
14
7
23
7
24
1
h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

4. Dadas las matrices siguientes

,
se pide calcular las siguientes operaciones:

a) b)
2
c) (A + I3) Solución:
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 5

,
d) A2 + 2A + I3 Solución:
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado
anterior.
e) AC Solución:

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:
2
13 5 3 199
(A + C)2 = 3 9 9 = 111
5 25 3 155

h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

5. Dadas las matrices siguientes

se pide calcular las siguientes operaciones:

a)
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 6

b)
c) (A + I3)2 Solución:

d)
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado
anterior.
e) AC Solución:

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:
16
3
32
7
27
7
h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

6. Dadas las matrices siguientes

,
se pide calcular las siguientes operaciones:
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 7

a)

b)
c) (A + I3)2 Solución:

d)
Como AI3 = I3A = A se puede utilizar el binomio de Newton y el resultado será entonces la matriz del apartado
anterior.
e) AC Solución:

f ) CA
Solución:

g) (A + C)2
Solución:
2
9 5 3 111
2
(A + C) = 3 9 13 = 119
5 17 3 111

h) A2 + 2AC + C2
Solución:

i)
Como (A + C)2 = (A + C)(A + C) = A2 + AC + CA + C2, entonces:

Cálculo de determinantes

7.Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 8

Solución:
(a) 9, (b) -9, (c) -16 (d) -46

8.Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

Solución:
(a) 8, (b) -16, (c) -21 (d) -53

9.Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

Solución:
(a) 7, (b) -21, (c) -24 (d) -56

10. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

Solución:
(a) 12, (b) -24, (c) -25 (d) -90
11. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades de éstos:

Solución:
(a) 10, (b) -25, (c) -24 (d) -84

Solución:
(a) 64, (b) -32, (c) -4 (d) -63
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 9
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 10
Aplicaciones de Matrices

1. Cierta fábrica de colonias posee tres marcas X, Y, Z, distribuyendo su producción en cuatro

tiendas. Los litros almacenados en la primera tienda vienen dados por la siguiente matriz:

La segunda tienda almacena el doble que la primera, la tercera la mitad y la cuarta el triple ¿Qué
volumen de producción se tiene almacenada en total?.

2. Tres individuos Gi, i = 1, 2, 3, transmiten un mensaje a otros cuatro Pi, i = 1, 2, 3, 4, según indica la

siguiente matriz: donde 1 en la posición (i,j) significa que G i se ha

comunicado con Pj; un 0 indica ausencia de relación. A su vez, los Pi se han relacionado con otros Qi, i

= 1, 2, 3, según muestra en la siguiente matriz:

Efectúa el producto R1·R2 e interpreta sus valores.

3. En una prueba de pentatlón tres atletas A 1, A2, A3 han obtenido las puntuaciones siguientes: Matriz
A:

La ponderación de la prueba varía según el jurado J i (i = 1, 2, 3) que califique, como muestra la

matriz J :

¿Cómo sería el podio según cada uno de los jurados?.

Aplicaciones de las Matrices Matrices Pág: 10

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 11
4. Una fábrica produce dos modelos de coches A y B, en tres acabados: GX, GD y Ti. Produce, al
mes, del modelo A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados GX, GD y Ti, respectivamente. Produce
del modelo B: 150, 50 y 10 unidades de análogos acabados. El acabado GX lleva 25 horas de taller
de chapa y 10 horas de montaje. El acabado GD lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y
el acabado Ti lleva 28 y 15 horas de chapa y montaje, respectivamente.

(a) Elabora dos matrices que contengan la información dada.

(b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que son necesarias para cada uno de los
modelos.

5. Los envíos humanitarios, en toneladas, de cierto país, a tres naciones del Tercer Mundo A, B, C,
cada uno de los años 1994 y 1995, se describen en la siguiente matriz:

Se estima que el valor de cada tonelada (en dólares) de esos artículos ha

sido: .

Calcula: a) El valor de la ayuda recibida por cada país, en esos años. b) El valor total de la ayuda
enviada en 1995.

6. Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañía de muebles .Por cada
juego de alcoba en caoba les pagan 500€; si es de cedro les pagan 400€ y si es de pino tratado les
pagan 100€. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero y
febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.

Producción Producción Salario/

enero febrero Unidad
A B
Caoba Cedro Pino Caoba Cedro PinoX
José   1  Caoba 500
2 0 3 2 3
Pedro    Cedro 400
 1 1 4  2 0 3 
Arturo    Pino 100
 1 2 3  2 1 4 

Calcule las siguientes matrices y decida que representan.

a) AX b) BX c) A  B D)  A  B X

7. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g

de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada
uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g
de roquefort y 80 g de camembert.Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y

Aplicaciones de las Matrices Matrices Pág: 11

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 12
100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres
clases de quesos.

Sol.- Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos, con las cantidades en gramos.

A B C
M  40 120 150  A  50  M  26 600 
     
R 160 120 80   B  80   R  25 600 
     
Ca  80 120 80  C 100  Ca  21 600 

Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos:

 26 600  M  26,6 
1    
  25 600   R  25,6 
1000    
 21 600  Ca  21,6 

8. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

En el pueblo en el que vivenhay dos fruterias, F1 y F2 .

En F1 , las peras cuestan 1,5 euros/kg, las manzanas 1 euro/kg, y las naranjas 2 euro/kg.
En F2 , las peras cuestan 1,8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas
2 euros/kg.

a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere

comprar cada persona (A, B, C).

b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.

c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría
cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

Solución:

P M N F1 F2
a) A  2 1 6 b) P  1,5 1,8 
   
B 2 2 4 M 1 0,8 
   
C  1 2 3  N  2 2 

c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:

P M N F1 F2 F1 F2
A  2 1 6  P  1,5 1,8  A  16 16,4 
     
B 2 2 4  M 1 0,8  B  13
    13,2 
     
  
C 1 2 3 N  2 2  C  9,5
 9,4 

Aplicaciones de las Matrices Matrices Pág: 12

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 13
9. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles,
H 1, H 2 y H 3 . La familia A necesita 2 habitacion es dobles y una sencilla, la familia B
necesita 3 habitacion es dobles y una sencilla, y la familia C necesita 1 habitación doble
y dos sencillas.
En el hotel H 1 , el precio de la habitación doble es de 84 euros/día, y el de la habitación
sencilla es de 45 euros/día. En H 2 , la habitación doble cuesta 86 euros/día, y la sencilla
cuesta 43 euros/día. En H 3 , la doble cuesta 85 euros/día, y la sencilla 44 euros/día.

a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una
de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.

c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que
tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.

Solución.-
D S H1 H2 H3
a) A  2 1 b) D  84 86 85 
   
B 3 1 S  45 43 44 
 
C  1 2 
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:

D S H1 H 2 H 3
A  2 1  H1 H 2 H 3 A  213 215 214 
  D  84 86 85   
B  3 1     B  297 301 299 
  S  45 43 44   

C  1 2  C  174 172 173 

10. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos
diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación:

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.

F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.

F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se
obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario
obtenido con cada una de las tres factorías.

Solución:

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos:

A B C
F1  200 40 30  A  5  F1  2 700 
     
F2  20 100 200  B 20  F2 8 100 
   
     
F3  80 50 40  C  30  F3  2 600 
   

Aplicaciones de las Matrices Matrices Pág: 13

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES Algebra Lineal 14

11. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos y azúcar
(entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican:

A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.

B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.

C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.

El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro
el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta
solamente los tres ingredientes indicados).

Solución:

El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de azúcar es de 0,001
euros; y el precio de cada huevo es de 0,1 euros.

Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que buscamos:

L Az H
A  3 / 4 100 4  L  0,6  A  0,95 
     
B  3 / 4 112 7   Az  0,001  B 1,262 
C  1 200 0  H  0,1  C  0,8 

Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C, 0,8 euros.

12 La preferencia del consumidor a tres tipos de alimentos en distintos envases que da determinado
pro la matriz de probabilidades de satisfación del producto matriz P
0.70 0.15 0,15
0.20 0,80 0,15
0,10 0,05 0,70
Siendo los consumidores al primer año de puesta en el mercado del producto M
15000
20000
65000
.Estimar los consumidores al segundo año
PX
23250
28750
480000

Aplicaciones de las Matrices Matrices Pág: 14