Curso de Matematica Financiera
Curso de Matematica Financiera
Curso de Matematica Financiera
http://www.matematicas-financieras.com/Emprestito-Clase-II--Tipo-II---III-
P132.htm
Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo –
satisfaciendo alguna necesidad–, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o
menos próximo, según se acuerde.
De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad,
estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte
suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece
que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los
disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo.
Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo
fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como
la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler
o uso del dinero durante un período de tiempo.
Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:
• Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.
Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía
(C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).
De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C 1 con vencimiento en t1 y C2 con
vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro.
Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las
cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se
pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se
llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley
financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para
cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.
Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir
unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.
1. OPERACIÓN FINANCIERA
1.1. CONCEPTO
Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros
equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera.
La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos:
2.º Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la
aplicación de una ley financiera.
3.º Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el
importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la
consideración de los intereses generados.
1.2. ELEMENTOS
1.2.1. Personales
En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de
otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el
importe de los intereses.
La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará
la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine
de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambas partes se
le denomina la contraprestación de la operación financiera.
En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las
partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone
la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar y
cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No
obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es
decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma
ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas.
Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital
que incluso se pueden solapar en el tiempo.
1.2.2. Temporales
1.2.3. Objetivos
1.3. CLASES
1. Según la duración:
Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no se tiene en
cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado ese rendimiento.
Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i).
Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:
Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un
año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?
Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal,
no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el
resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operación.
Capitalización Simple
Operaciones en régimen de simple I
Por José Tovar Jiménez
Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se
van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son
productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan
siempre sobre el mismo capital –el inicial–, al tipo de interés vigente en cada período.
1.1.1. Concepto
Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los
intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el
final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial.
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tanto de
interés vigente en dicho período.
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del
mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del
montante conseguido en cada momento es el siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 x (1 + i)
Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0 i + C0 i = C0 x (1 + 2 i)
Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0 i + C0 i + C0 i = C0 x (1 + 3 i)
Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + … + In = C0 + C0 i + … + C0 i = C0 + C0 x n x i
Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos
los períodos.
Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se
han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de
estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).
Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos
1.000 euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo
de interés un punto porcentual.
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración
de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 x (1 + n x i)
despejando C0 resulta:
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para
comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?
Capitalización Simple
Operaciones en régimen de simple II
Por José Tovar Jiménez
Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y
sumarlos.
Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i1 + C0 i2 + … + C0 in
Si i1 = i2 = … = in = i se cumple:
Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i + C0 i + … + C0 i
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos:
Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i =
= C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 €
In = 384 – 300 = 84 €
.:: Ejemplo 5 ::.
Cn = C0 x (1 + n x i)
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en
5 años se obtenga un montante de 1.500 euros.
Capitalización Simple
Operaciones en régimen de simple III
Por José Tovar Jiménez
Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de
interés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando la variable
desconocida.
Punto de partida:
Cn = C0 x (1 + n x i)
Normalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero no
siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, la
acumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses,
trimestres, semestres, ...).
1.2.1. Concepto
Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos
equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de
tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.
Capitalización Simple
Operaciones en régimen de simple IV
Por José Tovar Jiménez
1.3. DESCUENTO SIMPLE
Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital
futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley
financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización.
• A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar)
nuevos intereses en el futuro y, por tanto
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés
vigente en dicho período.
El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C 0–) será de
cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro
deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el
presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su
vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera.
Gráficamente:
Elementos:
D: Descuento o rebaja.
i ó d: Tanto de la operación.
Por tanto, el capital presente (C 0) es inferior al capital futuro (C n), y la diferencia entre
ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión:
D = Cn – C0
Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que
experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto
se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital
futuro). Se cumple:
Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos
ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:
En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo
de operaciones el punto de partida es un capital futuro (C n) (conocido) que se quiere
sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el
ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.
Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que
ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora
la incógnita el capital inicial (C0).
Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente
por diferencias determinar el descuento racional:
Cn = C0 (1 + n x i)
Capitalización Simple
Operaciones en régimen de simple V
Por José Tovar Jiménez
1.3.3. Descuento comercial
Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos
descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses
como el propio tanto se mantiene constante, resulta:
El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (C n) y el descuento (Dc):
C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d)
Caso 1:
o bien:
Caso 2:
No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre
tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será
necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo
cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr
= Dc.
En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual. ¿Qué tipo
de descuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten
equivalentes?
Si i = 10%
Entonces se ha de cumplir:
Comprobación:
o bien
Capitalización Simple
Equivalencia Financiera de capitales I
Por José Tovar Jiménez
Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes
momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante
desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Para decidir
habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, se tendría que
considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además, la
comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un
mismo momento y ahí efectuar la comparación.
Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que intervengan en la
operación.
Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos,
no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la
equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo
elegiremos.
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes
a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas
equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un
mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este momento de
tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha focal o, simplemente,
fecha de estudio.
Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo
en las siguientes condiciones fundamentales:
Casos posibles:
Para su cálculo se valorarán en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, los
capitales de los que se parte y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.
Si la equivalencia se plantea en 0:
de donde se despejará C.
C1 x (1 – t1 x d) + C2 x (1 – t2 x d) + … + Cn x (1 – tn x d) = C x (1 – t x
d)
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6,
8 y 10 meses, respectivamente.
Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses.
C=11.033,56€
Capitalización Simple
Equivalencia Financiera de capitales II
Por José Tovar Jiménez
2.2.2. Determinación del vencimiento común
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios
capitales C1, C2, … , Cn, con vencimientos en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos ellos
conocidos.
Para obtener este vencimiento habría que proceder de la misma forma que en el caso del
capital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único. Así,
por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de interés (i):
simplificando:
Realizando la valoración a tipo de descuento (d):
C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1- t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d)
C1 – C1 x t1 x d + C2 – C2 x t2 x d + … + Cn – Cn x tn x d = C – C x t x d
C1 + C2 + … + Cn – d [C1 x t1 + C2 x t2 + … + Cn x tn] = C – C x t x d
de donde se despeja t.
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6,
8 y 10 meses, respectivamente.
De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de
11.200 euros.
Capitalización Simple
Equivalencia Financiera de capitales III
Por José Tovar Jiménez
2.2.3. Determinación del vencimiento medio
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios
capitales C1, C2, … , Cn, con vencimientos en t1, t2, … ,tn, respectivamente, todos ellos
conocidos.
C = C1 + C2 + … + Cn
El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que varía es la cuantía del capital único
que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la
suma aritmética de las cuantías a las que sustituye.
C1 – C1 x t1 x d + C2 – C2 x t2 x d + … + Cn – Cn x tn x d = C – C x t x d
En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de los
vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores
de ponderación.
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6,
8 y 10 meses, respectivamente.
De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de
11.000 euros.
t=8,55 meses
De otra Forma:
Capitalización Simple
Descuento de Efectos I
Por José Tovar Jiménez
3.1. CONCEPTO
3.2. CLASIFICACIÓN
Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función
del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés
aplicado por la entidad financiera.
siendo:
Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes
conceptos: el timbre, correspondiente al IAJD y el correo, según la tarifa postal.
Es aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento por parte
del librado.
Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta del cliente,
junto con los gastos originados por el impago.
• Gastos de devolución:
– Comisión de devolución.
– Correo.
• Gastos de protesto:
– Comisión de protesto.
• Intereses:
Capitalización Simple
Descuento de Efectos II
Por José Tovar Jiménez
3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN
Se designa así a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta,
junto con los gastos que originó su devolución.
Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos
los gastos se le repercutan a quien los originó (el librado).
Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones
normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se
desea recuperar –nominal impagado más los gastos de la devolución más los gastos del
giro y descuento de la nueva letra–) y el nominal es desconocido (que hay que calcular).
• Comisión: 3‰.
En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con
un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales, para
descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales.
Proceso de liquidación:
– Importe nominal.
– Importe intereses.
– Importe comisiones.
• Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte.
• Correo: 6 euros/efecto.
Se pide:
Solución:
Capitalización Simple
Capitalización Simple
Cuentas Corrientes I
Por José Tovar Jiménez
4.1. DEFINICIÓN
Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales
frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones
que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que señalen. Pueden pactarse
estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde más se usan es en las
relaciones entre los bancos y sus clientes.
Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y de
crédito.
Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar
fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la
cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de
obtener financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límite del crédito).
Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata más de un
instrumento de gestión en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de
su cliente, cuantas operaciones son inherentes al «servicio de caja», pueden llegar a
convertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario).
• Conjunta: cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba ser
realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos.
• Indistinta: cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los
fondos utilizando únicamente su firma.
• Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tanto por el
aplazamiento de los capitales.
Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha
cuenta.
• Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por el período
que media entre la fecha valor de la operación y la fecha de liquidación de la cuenta.
• Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto
de interés.
Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y
del Haber sino que deberemos hallar también el interés.
Valorar una operación en una cuenta bancaria es adjudicarle una fecha a efectos del cálculo
de intereses. En este sentido hay que diferenciar entre la fecha donde tiene lugar la
operación (fecha operación) y la que se considera para el cómputo de intereses (fecha
valor).
La Circular 8/1990 del Banco de España establece las condiciones mínimas de valoración que
deben aplicar las entidades financieras, distinguiendo entre operaciones de abono y de
adeudo.
(1) Incluido el Banco de España.
(2) A cuyo efecto esta fecha deberá constar en la información referente a la transferencia.
(3) En el cálculo de intereses no se incluirá el día del ven cimiento del efecto.
(1) En las transferencias ordenadas por correo se entenderá por fecha de la orden la de
recepción en la entidad.
Notas:
a) En todas las demás operaciones no contempladas expresamente, los adeudos y abonos se valorarán el mismo día en que se
efectúe el apunte, si no se produce movimiento de fondos fuera de la entidad. En caso contrario, los abonos se valorarán el día
hábil siguiente a la fecha del apunte.
b) La consideración de los sábados como días hábiles o inhábiles deberá estar en función de la clase de operación de que se trate.
Si su formalización hubiese de retrasarse por imperativos ajenos a la entidad (pagos a Hacienda, operaciones de bolsa, Cámara de
Compensación, etc.) será día inhábil. En los restantes casos, en que la operación pueda formalizarse en el día, será considerado
hábil. …/…
Capitalización Simple
Cuentas Corrientes II
Por José Tovar Jiménez
Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que
median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación.
En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta
una fecha fija deAnominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no se
corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidación deben
rectificarse.
Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez en Hamburgo.
Y de saldos porque los números comerciales se calculan en base a los saldos que van
apareciendo en la cuenta (y no en función de los capitales).
Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes:
2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada
vez que hagamos una anotación cambiará el saldo de la cuenta.
3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del último vencimiento a
la fecha de cierre.
4. Se calculan los números comerciales multiplicando los saldos por los días y se colocan en
el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor.
Intereses acr eedores = Suma de números acreedores ¥ Multiplicador fijo del cliente
b) Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores.
c) Cálculo del saldo a cuenta nueva.
A
.:: Ejemplo 18 ::.
Liquidar por el método hambusgués la siguiente cuenta, cuyo titular, Óscar de Lózar,
ha realizado los siguientes movimientos:
• IRC: 18%
35.000 x 8 = 280.000
55.000 x 9 = 495.000
50.000 x 19 = 950.000
60.000 x 19 = 1.140.000
Total 2.865.000
• La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores.
• IRC: 18%
• IRC: 18%
Ver Cuadro
Total 887.000
Total 24,30
Total 84.000
La comisión se calcula sAobre los saldos en fecha operación, no en fecha valor. Por
tanto, para ver si procede ésta habrá que ordenar los movimientos según se han
producido realmente (fecha operación).
Se podrá cobrar una comisión sobre el mayor descubierto en fecha operación (en el
supuesto de que ocurriera más de uno durante el período liquidado). Estando
prohibidas las comisiones de apertura y similares en los descubiertos en cuenta
corriente por valoración. Así pues, de acuerdo con las fechas operación, sólo se ha
producido un descubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo
por importe de 3.000 sobre el que se aplicará el 2% establecido:
2% x 3.000 = 60
Capitalización Simple
Crédito Bancario: La Póliza de Crédito
Por José Tovar Jiménez
Difícil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una póliza de crédito
contratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que como
instrumento de financiación (la más usada) es la vía a través del cual se articula gran parte
de los cobros y pagos de la actividad ordinaria.
• En la póliza se paga por la cantidad dispuesta y en función del tiempo de disposición. Por
el contrario, en el préstamo se paga por el total aunque no se haya usado.
Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en función del tiempo de su
vigencia y del tipo contratado:
• Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crédito que se haya dispuesto,
siempre que no haya superado el límite contratado.
• Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del límite de crédito acordado.
Comisión de apertura: en función del límite de crédito concedido (cuantía que, en principio,
podemos disponer como máximo), pagadera de una sola vez al principio.
Comisión de disponibilidad: en función del saldo medio no dispuesto, es lo que hay que
pagar por la parte del crédito contratado (límite) y no utilizado.
Comisión de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizada por
encima del límite del crédito.
Se habla de comisión sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podrá cobrar una
comisión de excedido por cada período de liquidación, por lo que calculará sobre el mayor
habido en dicho intervalo de tiempo.
La liquidación de estas cuentas se lleva a cabo por el método hamburgués, sistema que
realiza los cálculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que se
registran, por orden cronológico, los movimientos que se vayan produciendo.
1. Cálculo del saldo de la cuenta cada vez que se realiza un nuevo movimiento.
3. Cálculo de los números comerciales, multiplicando cada saldo por los días que está
vigente, clasificando los números a su vez en: deudores, excedidos y acreedores, según que
los saldos sean deudores, excedidos o acreedores, respectivamente.
Esto debe hacerse así porque después se aplica distinto tanto de interés al saldo deudor de
los saldos excedidos del crédito (los que superan el límite contratado), así como a los saldos
acreedores (a favor del cliente), aunque tal situación no es muy frecuente.
El multiplicador fijo es el cociente entre el tipo de interés a aplicar (en tanto por uno) y el
número de días que tiene un año (360 ó 365).
Una vez calculados los intereses, se cargarán en cuenta los deudores y los excedidos y se
abonarán los intereses acreedores.
siendo:
7. Por último se halla el saldo a cuenta nueva como diferencia entre el Debe y el Haber
de capitales.
El Sr. don Javier Casal de Blas ha contratado con su banco una póliza de crédito en
las siguientes condiciones:
• Interés acreedor: 1%
Ver Cuadro
400 x 5 = 2.000
5.400 x 20 = 108.000
15.400 x 66 = 1.016.400
Total 1.126.400
Ver Cuadro
20.000 x 39 = 780.000
Total 1.158.024
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta I
Por José Tovar Jiménez
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1.1. CONCEPTO
Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con
vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.
• A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en
los períodos siguientes.
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho
período.
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del
mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del
montante conseguido en cada momento es el siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 x (1 + i)
Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 x (1 + i) =
= C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2
Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 x (1 + i) =
= C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3
Momento n:
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración
de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 x (1 + i)n
de donde se despeja C0:
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para
comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese
plazo?
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta II
Por José Tovar Jiménez
1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:
Cn = C0 x (1 + i)n
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en
12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.
1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de
interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y
despejar la variable desconocida.
• Punto de partida:
Cn = C0 x (1 + i)n
• Despejar la duración:
Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo
anual, durante 6 años, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada
período en un caso y otro:
Gráficamente:
Capitalización Compuesta
Tantos Equivalentes
Por José Tovar Jiménez
La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es,
dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos
equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de
tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.
Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del
cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la
operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés
equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:
i = ik x k
Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo
más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo
esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante
resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones:
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está
realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos
aplicados.
Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga
siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.
Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente
relación:
1 + i = (1 + ik)k
• El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome
(habitualmente el año).
• Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se
acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses.
Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la
igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es la
misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–, se
debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla
esa igualdad de montantes:
C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk
Quedando finalmente:
Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e i k, para que produzcan
el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes.
i = 0,12
i2 = (1 + 0,12)1/2 – 1 = 0,05830
Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al
anual conocido.
i4 = (1 + 0,12)1/4 – 1 = 0,028737
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta
Tanto Nominal (Jk)
Por José Tovar Jiménez
Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de
equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo,
los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientes de la
dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En este punto
surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidad habitual
(en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal.
El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia
de capitalización k por el tanto k-esimal:
J k = ik x k
Expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto nominal) a un
tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional.
Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o i k) o nominales
(Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido como anualizado) no es un
tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él se obtienen tantos efectivos con
los que sí se harán los cálculos necesarios.
i = (1 + ik)k – 1 = (1 + Jk/k)k – 1
Frecuencia de capitalización
El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que
aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal está calculado
para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quiere cambiar a
otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado
final no cambie.
Jk = ik x k = [(1 + i)1/k – 1] x k
El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que
aumenta el número de capitalizaciones anuales.
Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto
nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalización para la cual
se haya calculado.
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta
Descuento Compuesto
Por José Tovar Jiménez
4.1. CONCEPTO
Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital
futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley
financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización.
• A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos
intereses en el futuro y, por tanto.
• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al
tanto de interés vigente en dicho período.
El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C 0–) será de
cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja
de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente
al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento,
supondrá la minoración de esa misma carga financiera.
Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial,
según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses que se generan en
la operación:
• Descuento racional.
• Descuento comercial.
Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un
período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigente en dicho
período. El proceso a seguir será el siguiente:
Gráficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue:
Período 0: C0 = C1 – I1 = C1 – C0 x i
C0 x (1 + i) = C1
Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de
la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalización compuesta, con la
particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el
capital actual.
Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3
años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que
entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto?
¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?
De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente:
Capitalización Compuesta
Descuento Compuesto II
Por José Tovar Jiménez
4.4. DESCUENTO COMERCIAL
Período n: Cn
= Cn x (1 – d) x (1 – d) = Cn x (1 – d)2
= Cn x (1 – d)2 x (1 – d) = Cn x (1 – d)3
Período 0:
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial
obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dc):
Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 años. Si el pago
se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación
se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado
por el pago anticipado?
C0 = 10.000 x (1 – 0,10)5 = 5.904,90 €
De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial
previamente:
Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un
capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serán diferentes
según se realice por un procedimiento u otro.
Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y los tantos
de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquiera que sea el
modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relación de equivalencia entre tantos
de descuento y de interés.
Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y
otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos D r = Dc, por
tanto:
Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3
años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que
entregar si la operación se concierta…?
Por tanto, aplicando un tipo de interés y de descuento idénticos los resultados son
distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a
que el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) y en
consecuencia menor el ahorro por la anticipación.
Capitalización Compuesta
Capitalización Compuesta
Equivalencia de Capitales en Compuesta
Por José Tovar Jiménez
Para comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el
mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitales situados
en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de
ellos.
La sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a
las anteriores sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas
equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un
mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndose plantear los
siguientes casos posibles:
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios
capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos
conocidos.
C ¤ C1 + C2 + … + Cn
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios
capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos
conocidos.
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6,
8 y 10 años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las
tres deudas por una sola a pagar a los 9 años.
resultando:
C = 11.469,05 €
resultando:
C = 11.469,05 €
.:: Ejemplo 11 ::.
Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y
5 años, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno sólo,
acordándose la operación a un tipo de interés del 6%, calcular el momento del cobro
único en los siguientes supuestos:
Rentas
Rentas
Por José Tovar Jiménez
Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital
único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un
gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la
constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, ... En todas ellas
intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo
hemos hecho hasta ahora.
Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar
un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas
«fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de
capitales a la vez.
1.1. CONCEPTO
• Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe
existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).
1.2. ELEMENTOS
Gráficamente:
Casos Particulares
Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es,
resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.
1.4. CLASES
1.4.1. Según la cuantía de los términos
- En progresión geométrica.
- En progresión aritmética.
• Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto
de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.
• Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales.
• Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.
Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las
rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que
presente habrá que aplicar una u otra, según proceda.
A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual y final
y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una serie de
términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estas expresiones
son las siguientes:
Rentas
Rentas Constantes I
Por José Tovar Jiménez
Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un
número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período),
inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en
la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de
compuesta (renta compuesta).
Comenzaremos por la renta constante más fácil, la que tiene como término la unidad (renta
unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en
régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los
capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología
an×i, donde n representa el número de capitales e i el tanto de valoración:
La expresión An×i indica, pues, que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.
A
.:: Ejemplo 1 ::.
Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros
cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.
Moviendo los capitales uno a uno:
Utilizando la renta:
Rentas
Rentas
Rentas Constantes II
Por José Tovar Jiménez
2.1.2. Cálculo del valor final
Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en
régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada
uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminología s n×i
siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:
Comprobación:
En el supuesto de ser los términos de cuantía c, el valor final (Sn×i) se calculará así:
Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros
cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.
Desplazando los capitales uno a uno:
Utilizando la renta:
Solución:
El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por
las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de
interés de la propia cuenta.
Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de
cada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo
anual.
En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una
renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la
renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el
número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.
Rentas
Rentas
Rentas Constantes III
Por José Tovar Jiménez
Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un
número determinado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio del período),
inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tipo de interés
están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en
régimen de compuesta (renta compuesta).
Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria),
cuya representación gráfica es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en
régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta
el origen se obtiene el valor actual que notaremos por än×i:
expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí
hasta su origen, al tanto de interés i.
Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por
separado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n – 1) como
renta pospagable inmediata:
Para rentas constantes cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual (Ä n×i) se obtiene
valorando en el origen cada uno de esos capitales:
Calcular el valor actual y final de una renta de tres términos anuales situados a
principios del año de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo
anual.
• Valor actual
Utilizando la renta:
• Valor final
Utilizando la renta:
Rentas
Rentas
Rentas Constantes IV
Por José Tovar Jiménez
2.4. RENTAS DIFERIDAS
Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el
origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la
renta.
Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar
los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido.
Gráficamente quedaría:
quedará:
Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/an×i, donde n
representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y d, el período de
diferimiento.
Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho
seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del
término.
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el
valor final de la renta, aplicando la definición de valor final se tratará como una renta
inmediata, aunque también se podría obtener dicho valor final a partir del valor actual
diferido:
Vn = V0 x (1 + i)n = Vt x (1 + i)d+n
Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términos
anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro
de 3 años. Tanto de valoración 11% efectivo anual.
• Valor actual:
• Valor final:
El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de una
renta inmediata de 5 términos prepagables:
Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el
final de la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación de la
renta.
Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar
los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido.
Gráficamente quedaría:
Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s n×i, donde n
representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y h, el período de
anticipación.
La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como
si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entre diferentes
valores de la renta:
Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuantía diferente a
la unidad (no unitarias).
Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 euros
pagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años de
comenzada la renta.
Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después
de haberse hecho efectivo el ú???????"???? ltimo capital. No obstante, la anticipación
no afecta al valor actual que se resolverá como una renta inmediata.
• Valor actual:
• Valor final:
también:
Rentas
Rentas
Rentas Variables en Progresión Geométrica I
Por José Tovar Jiménez
Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo
cuyas cuantías son variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cada
término es el anterior multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de la
progresión geométrica) y que notaremos por q.
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la
razón de la progresión (q).
Vamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica),
temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al
final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos
y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará
en régimen de compuesta (renta compuesta).
Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello
llevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la
renta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, que se
nota con la siguiente terminología: A(c; q) n×i, expresión que recoge la información de la renta
(n términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen los capitales (primer
término –c– y razón de la progresión –q–):
se obtiene:
Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de la renta
queda de la siguiente forma:
Rentas
Rentas Variables en Progresión Geométrica II
Por José Tovar Jiménez
3.1.2. Cálculo del valor final
A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento,
utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de
tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual antes
calculado.
Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el
primer año va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma
acumulativa para un horizonte temporal de 4 años.
a) Valorando al 7%:
b) Valorando al 5%:
Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si
desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de
estudio.
Para una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales),
pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representación gráfica queda de
la siguiente forma:
Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital,
que ya está en el origen y el resto de capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de
n–1 términos:
El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demás rentas
perpetuas, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito:
resultando finalmente que el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está en función
de la relación existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), y sólo tendrá
sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:
Rentas
Rentas
Rentas Variables en Progresión Geométrica III
Por José Tovar Jiménez
Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de
la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta.
Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como
inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual
(como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al
tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:
El resultado final quedaría así:
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en
una renta inmediata.
Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período de anticipación de
la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoración.
El resultado será:
La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como
si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier
otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:
Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15
semestres si para el primer período ascienden a 500 euros y se estima un
incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose
constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral.
Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria.
Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta en
progresión geométrica inmediata) y a continuación los 5 últimos (renta constante y
diferida), podremos emplear fórmulas de rentas. Así:
Rentas
Rentas
Rentas Variables en Progresión Aritmética
Por José Tovar Jiménez
4. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lo
hacen siguiendo una ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterior
aumentado (o disminuido) en una misma cuantía (que se denomina razón de la progresión
aritmética) y que notaremos por d, siempre expresada en unidades monetarias.
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la
razón de la progresión (d).
Vamos a estudiar una renta variable en progresión aritmética, temporal (tiene un número
determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata
(valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma
unidad de tiempo).
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en
régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están hasta el origen
se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología A (c; d) n×i, expresión que
además de recoger la información de la renta, recoge la información de la progresión (c; d):
A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor financiero, utilizando la
relación que existe entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos de
tiempo:
Valor final:
S(c; d) n×i = (1 + i)n x A(c ; d) n×i
A
.:: Ejemplo 12 ::.
• Valor actual:
• Valor final:
En este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (según proceda) de la
renta pospagable.
resultando finalmente:
Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0), es
decir, que los términos van aumentando, aunque siguen siendo válidas para el caso
contrario, bastaría con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas.
Rentas
Rentas
Rentas Fraccionadas I
Por José Tovar Jiménez
5. RENTAS FRACCIONADAS
El fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada período de varios subperíodos (k)
asociando a cada subperíodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una renta de n
períodos la transforma en otra de n x k términos referidos a otros tantos subperíodos.
Todas las fórmulas vistas hasta ahora son válidas para rentas enteras, ya fueran constantes
o variables. Pero, ¿servirán para cuando la renta es fraccionada? La respuesta es afirmativa,
siempre que se hagan los ajustes previos para convertirlas en rentas enteras.
Son aquellas en las que la unidad de tiempo en la que viene expresado el tanto de interés de
la renta es mayor que el tiempo del término, cualquiera que sea una y otra.
Para resolver este tipo de rentas fraccionadas se puede proceder de dos formas distintas,
que lógicamente llegan al mismo resultado final:
Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos
constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del
período), la representación gráfica será:
En primer lugar, a partir del tipo de interés i se calcula el tanto equivalente que venga
expresado en la unidad de los capitales (k-ésimos), para ello utilizaremos la relación de
tantos equivalentes en compuesta:
ik = (1 + i)1/k – 1
Resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), pospagable,
inmediata y entera (al tanto ik):
Si queremos calcular el valor actual se deberían actualizar a un tanto i k todos los capitales:
Finalmente:
El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al
tanto ik, quedará de la siguiente forma:
Rentas
Rentas Fraccionadas II
Por José Tovar Jiménez
5.1.1.2. Rentas fraccionadas prepagables
Si seguimos la renta del caso anterior, pero introduciendo un único cambio consistente en
que los capitales se sitúan al principio de cada subperíodo, la situación queda así:
resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), prepagable,
inmediata y entera (al tanto ik):
Finalmente:
El valor final se calculará, a partir de los términos de la renta, uno a uno hasta el final de la
renta al tanto ik:
o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:
En este caso se trata de emplear los datos del problema y la información complementaria
que se suministraría. En principio, lo normal será contar con tablas de valores actuales
unitarios (an×i) , y de tantos nominales [Jk (i)], referidos al tanto i del supuesto.
Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos
constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del
período). La representación gráfica será:
Para el cálculo del valor actual partimos de la expresión empleada anteriormente con el
método del tanto equivalente:
Pero ahora, en lugar de utilizar el tanto i k y trabajar con una renta de n x k términos, vamos
a tener en cuenta las siguientes expresiones:
(1 + i) = (1 + ik)k
(1 + i)–n = (1 + ik)–n x k
Jk (i)
simplificando, queda:
siendo el cociente:
Así, si el capital equivalente se considera pospagable, será el valor final de la renta formada
por los k términos fraccionados constantes llevados al final de período:
Una vez calculado X, se trataría de actualizar una renta constante, de n términos de cuantía
X, pospagable y entera.
El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al
tanto ik:
Vn = (1 + i)n x A(k)n×i
J4 (0,07) = 0,0682341
a5×0,07 = 4,1001974
Rentas
Rentas
Rentas Fraccionadas III
Por José Tovar Jiménez
Son aquellas en las que los términos siguen una progresión pero la razón de la variación se
produce en una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen dados los capitales,
cualquiera que sea el tipo de interés de la renta. Por ejemplo, el caso de la renta formada
por las nóminas de un individuo que cobra mensualmente y tiene subidas salariales anuales
calculadas sobre el sueldo del año anterior: los sueldos varían anualmente pero se
mantienen constantes dentro del año.
Conviene recordar que las fórmulas de las rentas en geométrica utilizadas sólo se pueden
aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados
en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión).
Por tanto, el ejemplo anterior (y cualquier caso parecido) no se podría resolver aplicando
directamente las fórmulas de las rentas en progresión geométrica sin más.
Con carácter más general, una renta variable en progresión geométrica de razón q, con
términos k fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la
representación será la siguiente:
V0 = A(c1; q)n×i
Siendo:
k: la frecuencia de fraccionamiento.
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final,
perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para
estos cálculos en cualquier tipo de renta.
5.2.3. Prepagable
Rentas
Rentas Fraccionadas IV
Por José Tovar Jiménez
5.2.4. Perpetua
• Duración: 3 años.
= (1 + 0,08)3 x V0 = 7.268,63 €
5.3. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESION
Al igual que en el caso de las geométricas fraccionadas, los términos varían, en este caso de
forma lineal (aumento/disminución constante), produciéndose la variación con una unidad de
tiempo mayor que aquella en la que vienen los capitales, cualquiera que sea el tipo de
interés de la renta (por ejemplo, variación anual y capitales semestrales; variación trimestral
y capitales mensuales, …).
Las fórmulas de las rentas en aritmética sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto
de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad (obligatoriamente
la de la razón, para que haya progresión).
Por tanto, las situaciones anteriores (y cualquier caso parecido) no se podrán resolver
aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión aritmética sin más.
Para el caso de una renta variable en la que los términos aumentan periódicamente una
cantidad d (progresión aritmética de razón d), con términos fraccionados, pospagables,
temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:
Rentas
Rentas
Rentas Fraccionadas V
Por José Tovar Jiménez
5.3.1. Valor actual
V0 = A(c1; D) n i
Siendo:
k: la frecuencia de fraccionamiento.
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final,
perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para
estos cálculos en cualquier tipo de renta.
5.3.3. Prepagable
5.3.4. Perpetua
V0 = A(c1; D) oo i = A(k)(b x k; d x k) oo i
• Duración: 3 años.
• Aumento anual de los términos de un 10% sobre las cuantías del primero
de ellos.
Se trata de una renta variable en progresión aritmética (aumento de tipo lineal) por
años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata.
Gráficamente:
• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:
V3 = (1 + 0,08)3 x V0 = 7.248,24 €
Rentas
Rentas
Rentas Continuas I
Por José Tovar Jiménez
6. RENTAS CONTINUAS
Será una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí por períodos
infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentas
fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada período.
Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y
fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (a n× i), el desarrollo es el siguiente:
Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual de estas
rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de la renta
tiende a infinito.
Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por
una empresa sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, siendo el
tanto de valoración el 10% efectivo anual. Considérese año comercial.
Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de
valoración (año), se trata en principio de una renta fraccionada. Pero, como además,
la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta
continua. Temporal de 5 años e inmediata.
No obstante, se podría haber resuelto como cualquier otra renta, a través del tanto
equivalente, en este caso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual
de partida.
Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos
por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha
tenido en cuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan
implícitas.
Rentas
Rentas
Rentas Continuas II
Por José Tovar Jiménez
6.2. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
El primer término equivalente c 1 también se podría haber obtenido como el valor final de la
renta perpetua de los términos fraccionados constantes que hay dentro del primer período:
V0 = A(c1; q) n i
No obstante, al igual que pasa en las rentas continuas constantes (véase ejemplo anterior),
el resultado obtenido por uno y otro método presentará pequeñas diferencias.
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: final, perpetuo,
diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos
cálculos en cualquier tipo de renta.
Partiendo de una renta temporal e inmediata, cuya representación gráfica es la que sigue,
obtendremos el resto de posibles casos que nos podemos encontrar.
El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:
D = d x sk ik
El primer término equivalente c 1 también se podría haber obtenido como el valor final de la
renta perpetua de los términos fraccionados constantes que hay dentro del primer período:
V0 = A(c1; D) n i
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final,
perpetuo, diferido y anticipado.
Rentas
Rentas
Rentas a Interés simple I
Por José Tovar Jiménez
Se trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en un
determinado momento pero la duración de la operación no supera el año, por tanto, se trata
de operaciones a realizar en régimen de simple.
A diferencia de lo que ocurría con las rentas valoradas en régimen de compuesta, en las
rentas en simple (que emplean leyes financieras en régimen de simple), por las
particularidades de este tipo de leyes, habrá que distinguir a la hora de calcular valores
actuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fáciles de emplear cuando
los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo de interés.
Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a
un tipo de descuento (d) la situación será:
Simplificando:
Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es
una suma de n términos en progresión aritmética, por tanto:
Si, en cambio, la renta fuera prepagable, manteniéndose las demás características sin
cambios, el cálculo será:
Finalmente:
A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores actuales de los n
capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que
se hiciese efectivo en el vencimiento medio.
Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un único capital de cuantía c x n:
resultando:
En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería:
Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:
Duración: 1 año.
Términos cuatrimestrales de 100 euros.
Tipo de descuento: 2% simple cuatrimestral.
a) Términos vencidos:
Aplicando la fórmula:
b) Términos prepagables:
Aplicando la fórmula:
Rentas
Rentas
Rentas a Interés simple II
Por José Tovar Jiménez
7.2. VALOR FINAL
Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situación
será:
Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple:
Simplificando:
Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es
una suma de n-1 términos en progresión aritmética (semisuma de los extremos
multiplicando por el número de términos), por tanto:
Resultando finalmente:
En el caso de una renta prepagable, manteniéndose sin cambios las demás características:
Simplificando:
A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores finales de los n
capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que
se hiciese efectivo en el vencimiento medio.
En efecto, para el caso de n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por:
Operando en el numerador:
Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:
Resultando:
Préstamos
Concepto de Préstamos
Por José Tovar Jiménez
El préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En
ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C 0) a otra (llamada
prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los)
vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado)
en los vencimientos señalados en el contrato.
Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los períodos:
uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminución por el pago
del término amortizativo.
La suma de estos dos movimientos nos da la variación total de la deuda pendiente al final
del período. Esta variación supondrá una disminución de la deuda caso de ser el término
amortizativo mayor que los intereses generados en el período y supondrá un incremento de
la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de interés mayor que el término
amortizativo. En el caso concreto de que la cuantía del término amortizativo coincida con la
cuota de interés no habrá variación de la deuda.
ak: Término amortizativo al final del período k, pago total realizado por el prestatario en cada
vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).
ak = Ik + Ak
Ik: Cuota de interés del período k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el
período correspondiente.
Ak: Cuota de amortización del período k, cantidad destinada a devolver deuda en cada
vencimiento.
Ck: Capital pendiente de amortización en el momento k. También se llama capital vivo, saldo
de la operación o reserva matemática.
1.2. GENERALIDADES
1. Los intereses de cada período se calculan sobre el capital vivo a principio del período.
Ik = Ck&8211;1 x i
C0 = A1 + A2 + … + An
Ck = Ak + 1 + Ak + 2 + … + An
Aunque también se obtiene por la diferencia entre el importe del préstamo y el total
amortizado hasta ese momento.
Ck = C0 – (A1 + A2 + … + Ak) = C0 – mk
Según la finalidad a la que se destinen los términos amortizativos es posible admitir diversas
interpretaciones de amortización, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortización
(devolución) del capital inicial: es lo que se denomina «sistema amortizativo» o «sistema de
amortización» del préstamo.
b) Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos que constituyan renta,
esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortización) con
vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los
términos amortizativos.
Según la cuantía de los términos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:
Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean
fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada período.
Préstamos
Préstamos
Reembolso único sin pago Periódico de Intereses:
Préstamo Simple
Por José Tovar Jiménez
Se trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la
operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.
Gráficamente:
Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada
(cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el
importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados.
• Duración: 3 años.
Préstamos
Préstamos
Reembolso único con pago Periódico de Intereses:
Préstamo Americano
Por José Tovar Jiménez
Consiste en pagar periódicamente los intereses que va devengando el capital inicial al tipo de
interés vigente en cada período, difiriendo la devolución del capital hasta el final de la
operación.
Gráficamente:
• Duración: 3 años.
En estos casos resulta útil recoger en un cuadro el proceso de amortización del capital,
reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en los
diversos vencimientos de la operación.
2 a2 I2 = C1 x A2 = a2 – I2 m2 = A1 + A2 C2 = C0 – A1 – A2
i2
…
Cuadro de amortización:
Préstamos
Préstamos
Amortización con Términos Amortizativos Constantes:
Método Francés I
Por José Tovar Jiménez
Este sistema de amortización se caracteriza porque:
De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad
destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el
tiempo va transcurriendo.
Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza
el préstamo, a el término amortizativo e i el tipo de interés de la operación.
4.1. PASOS A SEGUIR
Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del
préstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su
descomposición en cuota de amortización (A k) y cuota de interés (I k), así como otros datos
como capitales vivos en cada momento (C k) sobre los que calcular los intereses y el total
amortizado (mk).
Los pagos constantes que se realizan durante la vida del préstamo incorporan, en parte el
coste del aplazamiento (cuota de interés), en parte la devolución de una porción de la deuda
(cuota de amortización). Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos
amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de
principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.
Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo
y la renta formada por los términos amortizativos:
C0 = a x an i
4.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de
amortización
0 = Ak x i + Ak – Ak+1
de donde se obtiene:
Ak+1 = Ak x (1 + i)
Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían
siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puede
calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter
genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:
Ak+1 = A1 x (1 + i)k
Es por esto, el aumento de las cuotas de amortización con el transcurso del tiempo, por lo
que a este sistema se le conoce como método progresivo.
Una vez calculada la primera cuota, todas las demás se podrán obtener aplicando la ley de
recurrencia anterior. El cálculo de la primera cuota de amortización se puede realizar de dos
formas posibles:
Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1 Æ A1 = a – C0 x i
En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es
el importe del préstamo:
A1 + A2 + A3 + … + An = C0
Además en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortización se pueden poner en
función de la primera de ellas, como se ha visto anteriormente:
A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)n–1 = C0
A1 x sn i = C0
de donde:
Préstamos
Préstamos
Amortización con Términos Amortizativos Constantes:
Método Francés II
Por José Tovar Jiménez
4.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)
mk = C0 – Ck
mk = A1 + A2 + … + Ak
Además todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera de ellas:
mk = A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)k–1
Simplificando la expresión:
mk = A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)k–1]
mk = A1 x sk i
4.1.5. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)
Ck = C0 – [A1 + A2 + … + Ak] = C0 – mk = C0 – A1 x sk i
Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer en términos financieros (no
bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los
términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
En k se debe cumplir:
Por tanto en k:
Ck = C0 (1 + i)k – a x sk i
4.1.5.4. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros
En k se debe cumplir:
Por tanto en k:
Ck = a x an – k i
Ik+1 = Ck x i
• Duración: 3 años.
Préstamos
Método de Cuota de Amortización Constante : Metodo
Lineal
Por José Tovar Jiménez
En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la
misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (A k) se mantiene constante
durante todo el préstamo.
A1 = A2 = A3 = … = A n = A
En este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de
amortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términos
amortizativos.
5.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)
Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que,
además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir:
C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n
de donde se obtiene:
Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha será
la suma aritmética de las cuotas ya practicadas.
mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k
5.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)
5.1.3.1. 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe del
préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas
Ck = C0 – mk = C0 – [A + A + … + A] = C0 – A x k
5.1.3.2. 2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma
aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar
Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An = (n – k) x A
5.1.4. Cálculo de cuota de interés del período k+1 (Ik+1)
Ik+1 = Ck x i
Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes
porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este
caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una
ley matemática.
5.1.5.1. 1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propia
estructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota de amortización constante ya
conocida
Período 1: a1 = I1 + A = C0 x i + A
Período 2: a2 = I2 + A = C1 x i + A = (C0 – A) x i + A
...
5.1.5.2. 2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de
la ley de recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos
términos amortizativos consecutivos cualesquiera
ak – ak+1 = A x i
de donde se obtiene:
ak+1 = ak – A x i
lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante,
es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i), por lo que todos
los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos:
ak+1 = a1 – k x A x i
Préstamos
Préstamos
Método de Amortización con Términos Amortizativos
Variables en Progresión Geométrica I
Por José Tovar Jiménez
Este método se caracteriza porque:
De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor
razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.
Los pagos que se realizan durante la vida del préstamo incorporan la cuota de interés y la
cuota de amortización. Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos
amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de
principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.
Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo
y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor
actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.
Al desarrollar esta equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón de
la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del préstamo:
a2 = a1 x q
a3 = a2 x q = a1 x q2
...
ak+1 = ak x q = a1 x qk
an = an–1 x q = a1 x qn–1
6.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de
amortización
de donde:
Ak+1 = Ak x (1 + i) + ak+1 – ak
Ak+1 = Ak x (1 + i) – ak x (1 – q)
Ley que puede resultar poco práctica, ya que además de conocer la cuota de amortización
anterior se debe considerar el término amortizativo de aquel período, por lo que quizá sea
más práctico hacer uso del primer sistema de cálculo anteriormente comentado.
Préstamos
Préstamos
Método de Amortización con Términos Amortizativos
Variables en Progresión Geométrica II
Por José Tovar Jiménez
6.1.3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)
mk = C0 – Ck
mk = A1 + A2 + .... + Ak
6.1.4. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)
En este tipo de préstamos el cálculo del capital vivo a través de las cuotas de amortización
resulta poco práctico, salvo que nos encontremos muy cerca del principio o del final de la
operación. Pretendemos buscar un sistema que permita calcular el capital pendiente a partir
de los términos amortizativos del préstamo.
6.1.4.1. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos
pasados
en k se debe cumplir:
por tanto en k:
en k se debe cumplir:
por tanto en k:
Ck = A(ak+1; q) n–k i
Ik+1 = Ck x i
.:: Ejemplo 6 ::.
Préstamos
Préstamos
Método de Amortización con Terminos Amortizativos
variables en Progresión Aritmética I
Por José Tovar Jiménez
Este método amortizativo se caracteriza porque:
Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta
en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá
en función del primer término y la razón de la progresión.
Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresión
aritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
…
ak+1 = ak + d = a1 + k x d
an = an–1 + d = a1 + (n – 1) x d
7.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de
amortización
ak – ak+1 = Ak x i + Ak – Ak+1
además, se cumple:
ak+1 = ak + d
de donde se obtiene:
Ak+1 = Ak x (1 + i) + d
expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de la anterior
de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del
primer período, la expresión a aplicar será:
Ak+1 = A1 x (1 + i)k + d x sk i
Préstamos
Método de Amortización con Terminos Amortizativos
variables en Progresión Aritmética II
Por José Tovar Jiménez
7.1.3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)
mk = C0 – Ck
mk = A1 + A2 + … + Ak
7.1.4. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)
por tanto en k:
Ck = C0 (1 + i)k – S(a1; d) k i
7.1.4.2. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros
en k se debe cumplir:
por tanto en k:
Ck = A(ak+1; d) n–k i
Ik+1 = Ck x i
Préstamos
Préstamos Diferidos
Por José Tovar Jiménez
También denominados préstamos con carencia, son aquellos en los que, desde su concesión
y durante una parte de su vida, no se realiza devolución de capital. Por tanto, los préstamos
diferidos son aquellos en los que se retrasa el pago de la primera cuota de amortización.
Puede ocurrir que durante este primer tiempo en el cual no se amortiza deuda, se vayan
pagando periódicamente los intereses a medida que éstos se van devengando y con la
periodicidad acordada: estamos refiriéndonos a préstamos con carencia parcial. Cuando
durante este primer período no se realiza pago alguno, estamos ante una carencia total. En
este último caso, los intereses devengados y no satisfechos se acumularán al capital de
partida (capitalización de intereses).
Una vez pasado el período de carencia, estaremos ante un préstamo normal cualquiera que
sea el sistema de amortización que presente (francés, lineal, con términos en
progresión, ...).
El tipo más extendido es el de carencia de capital (parcial), esto es, durante el período de
carencia sólo pagamos intereses. Esto se debe a que en la gran mayoría de las operaciones
las garantías solicitadas son las necesarias para el principal solicitado. En este sentido, en el
caso de carencia total (sin pago de intereses) la deuda es mayor que aquella para la que se
solicitaron las garantías.
Si bien es cierto que la carencia en los préstamos supone un alivio financiero durante un
cierto período de tiempo al pagar sólo los intereses (o nada, en el caso de carencia total),
el préstamo al final se encarece considerablemente, ya que una vez finalizado este
período de diferimiento tendrá que hacer frente a unos pagos posteriores superiores.
1 110.000,00
2 121.000,00
Préstamos
Préstamos con Intereses Fraccionados
Por José Tovar Jiménez
Son aquellos préstamos en los que los intereses se hacen efectivos con mayor frecuencia
que la empleada para amortizar el principal, cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida.
Es decir, las cuotas de interés se pagan fraccionadamente dentro del período de tiempo
elegido para la amortización del capital, mientras que las cuotas de amortización no se
fraccionan y se abonan al final de dicho período.
9.1. CARACTERÍSTICAS
2. Se fracciona el pago de intereses, es decir, en lugar de hacer un sólo pago junto con la
cuota de amortización al tanto efectivo expresado en la unidad de tiempo de amortización
(i), se hacen k pagos al tanto efectivo i k por cada pago de principal, resultando dividido el
período en k subperíodos a efectos de pago de intereses.
Gráficamente, para un préstamo de tres años con amortización anual y pago semestral de
intereses, la operación supondría los siguientes pagos:
El fraccionamiento se puede presentar en cualquiera de los sistemas de amortización
conocidos (francés, lineal, con términos en progresión, …) e, incluso, puede presentarse con
diferimiento. A continuación se estudia para los sistemas amortizativos más frecuentes: lineal
y francés.
Préstamos
Préstamos
Préstamo Fraccionado con Cuota de Amortización
Constante
Por José Tovar Jiménez
En este préstamo los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del período de
amortización, mientras que las cuotas de amortización constantes no se fraccionan y se
abonan al final del período.
A1 = A2 = A3 = … = An = A
En primer lugar se calculará todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, ya
calculadas, a continuación los intereses y, finalmente, por suma, los términos amortizativos.
Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que,
además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir:
C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n
de donde se obtiene:
Conociendo lo que se amortiza en cada momento (A), el total amortizado hasta una fecha
será la suma aritmética de las cuotas ya efectuadas.
mt = A1 + A2 + … + At = A x t
10.3. CÁLCULO DEL CAPITAL VIVO A PRINCIPIOS DEL PERÍODO t+1 (Ct)
Ct = C0 – [A1 + A2 + … + At] = C0 – mt = C0 – A x t
Ct = At+1 + At+2 + … + An = (n – t) x A
at, j = It+1
at, k = It+1 + At
• Duración: 3 años.
Préstamos
Préstamo Francés Fraccionado I
Por José Tovar Jiménez
Al ser un préstamo fraccionado los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del
período de amortización, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se
abonan al final del período.
En este caso, al tratarse de un sistema francés y dado que el fraccionamiento sólo afecta a
los intereses, se trata de calcular en primer lugar las cuotas de amortización (que se
obtienen con las reglas vistas anteriormente para el caso del préstamo francés, sin
fraccionamiento), a continuación los capitales pendientes y, finalmente, los intereses y
términos amortizativos.
Pasos a seguir:
1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en
la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital.
i = (1 + ik)k – 1
3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que variarán en progresión geométrica
creciente de razón (1 + i).
At+1 = At x (1 + i) = A1 x (1 + i)t
4.º Cálculo del total amortizado, m t, por sumas parciales de las cuotas de amortización, que
se pueden calcular una a una y sumándose posteriormente, o bien, se pueden sumar
directamente a través de la ley que siguen:
mt = A1 + A2 + … + At = A1 x st× i
5.º Cálculo del capital vivo, Ct, restando al capital pendiente del período anterior la cuota de
amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total
amortizado hasta el momento:
Ct = Ct–1 – At = C0 – mt
6.º Cálculo de las cuotas de interés, I t+1, que se pagarán con la frecuencia acordada y
siempre a partir del capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el
tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (i k).
It+1 = Ct x ik
7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté
pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.
at, j = It+1
• El último subperíodo (interés y amortización):
at, k = It+1 + At
Otro camino alternativo, válido para este tipo de préstamos, consiste en calcular el término
amortizativo anual equivalente para, a partir del mismo, calcular los capitales vivos, las
cuotas de interés y finalmente las cuotas de amortización y los términos amortizativos en
cada momento.
Pasos a seguir:
1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en
la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital.
i = (1 + ik)k – 1
2.º Cálculo del término amortizativo equivalente, siguiendo las fórmulas empleadas en el
préstamo francés.
C0 = a x an i
En t: Ct = C1 (1 + i)t – a x st i
En t: Ct = a x an – t i
It+1 = Ct x ik
El resto de cuotas de amortización se puede obtener de la misma forma, para cada período o
bien, siguiendo la ley de recurrencia que mantienen (en progresión geométrica de razón 1 +
i).
6.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté
pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.
at, j = It+1
at, k = It+1 + At
• Duración: 3 años.
• Sistema francés:
Préstamos
Préstamo Francés Fraccionado II
Por José Tovar Jiménez
11.2. SIENDO CONSTANTE LA CUANTÍA SATISFECHA EN EL MOMENTO DE
AMORTIZAR(TANTO POR AMORTIZACIÓN COMO POR INTERESES)
Pasos a seguir:
1.º Cálculo de la ley de recurrencia entre cuotas de amortización consecutivas, de forma que
resulte constante la cuantía total pagada al final de cada período. Para ello obligamos a que
el pago total a efectuar al final de dos períodos consecutivos cualesquiera coincida:
At + Ct–1 x ik
At+1 + Ct x ik
At + Ct–1 x ik = At+1 + Ct x ik
At + Ct–1 x ik – Ct x ik = At+1
Siendo:
Ct–1 – Ct = At
Resulta finalmente:
At + At x ik = At+1
De donde se obtiene:
At+1 = At x (1 + ik)
Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían
siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + ik, por tanto, cualquier cuota se puede
calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter
genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:
At+1 = A1 x (1 + ik)t
En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es
el importe del préstamo:
A1 + A2 + A3 + ... + An = C0
Además, según la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización, se pueden poner
todas en función de la primera de ellas:
Simplificando la expresión:
Siendo el corchete el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos
(el número de cuotas de amortización), al tanto i k al que se calculan las cuotas de interés,
por tanto:
A1 x sn ik = C0
De donde:
3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que siguen como ley de recurrencia una
progresión geométrica de razón (1 + ik).
A2 = A1 x (1 + ik)
A3 = A2 x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)2
...
4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización, ya
practicadas.
mt = A1 + A2 + ... + At
5.º Cálculo del capital vivo, C t , restando al capital pendiente del período anterior la cuota de
amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total
amortizado hasta el momento:
Ct = Ct–1 – At = C0 – mt
6.° Cálculo de la cuota de interés, It+1, que se pagará con la frecuencia acordada y siempre a
partir del capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el tanto
efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (i k).
It+1 = Ct x ik
7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté
pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.
at, j = It+1
• Duración: 3 años.
• Sistema francés:
Préstamos
Sistema de Amortización SINKING-FUND
Por José Tovar Jiménez
También se le conoce con el nombre de sistema de amortización con fondo de amortización.
Desde un punto de vista operativo, al mismo tiempo que se contrata el préstamo americano
se abre un fondo asociado al préstamo. De esta forma, el prestatario de la operación de
amortización al mismo tiempo se le considera deudor en el préstamo americano y acreedor
en fondo que está constituyendo para devolver el préstamo.
Por tanto, los pagos a satisfacer por el prestatario pueden calcularse como suma de dos
conceptos:
b) La aportación periódica a un fondo de una cuantía F, tal que invertida al tanto del fondo
i', generalmente menor que i, reproduzca al final de la vida del préstamo el capital C 0 que
tiene que entregar al prestamista.
• Del préstamo:
Importe: C0.
Duración: n.
Tipo de interés: i.
Sistema de amortización: americano.
• Del fondo:
Tipo de interés:
Por lo que se refiere al préstamo, los términos amortizativos coincidirán con la cuota de
interés de cada período (C0 x i), salvo en el último pago en el que se incrementa en el
importe del principal (C0 x i + C0).
En cuanto al fondo que se va constituyendo para hacer frente a la devolución del préstamo
americano, éste va creciendo por dos motivos: las aportaciones periódicas efectuadas y por
los intereses que genera el saldo que permanece acumulado en el mismo.
i'
Gráficamente:
Sn i' = C0
De donde se obtiene la cuantía a aportar (F) – en el caso de que ésta sea constante – o la
primera de ellas – en el caso de que las aportaciones constituyan renta en progresión
geométrica o aritmética– (Fi).
Cuota
Término Cuota de Total Capital
Periodos de
amortizativo amortización amortizado vivo
interés
0 – – – – C0
1 I1 I1 – – C0
2 I2 I2 – – C0
3 I3 + C0 I3 C0 C0
Variación
Aportación Intereses Capital Capital
Periodos anual del
al fondo fondo constituido pendiente
fondo
0 – – – – C0
1 F1 - F1 F1 C0 + F1
2 F2 I2 F2 + I'2 F1 + F2 + I'2 C0 + F1 +
F2 + I'2
3 F3 I3 F3 + I'3 F1 + F2 + I'2
+ F3 + I'3 C0 + F1 +
F2 + I'2 +
F3 + I'3
0 1.000,00
Años Cuota
Término Cuota de Total Capital
de
amortizativo amortización amortizado vivo
interés
0
1.000,00
1 150,00 150,00
1.000,00
2 150,00 150,00
1.000,00
3 150,00 150,00
1.000,00
4 1.150,00 150,00 1.000,00 1.000,00
F x S4 0,1 = 1.000
F = 215,47 euros
Préstamos
Préstamos con Intereses Prepagables I
Por José Tovar Jiménez
Este tipo de operaciones se caracteriza porque los intereses se pagan anticipadamente, al
principio del período correspondiente, a tipos de interés prepagables (i*), mientras que las
cuotas de amortización siguen siendo pospagables.
ak = Ik+1 + Ak
Es decir, cada pago realizado incluye los intereses del período que empieza y la cuota de
amortización correspondiente al período que acaba.
Préstamos
Préstamos
Préstamos con Intereses Prepagables II
Por José Tovar Jiménez
En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser
igual al valor actualizado, al tanto del préstamo – i*, de los pagos que realizará durante toda
la operación. Al ser un interés anticipado el descuento será del tipo comercial.
Simplificando:
B) 2.ª posibilidad: a través de equiparación del préstamo a otro equivalente con intereses
vencidos (francés)
A partir del tipo de interés anticipado (i*) calculamos el equivalente pospagable en
compuesta:
El cambio de tipo afecta al importe del préstamo, que será el de partida minorado en los
intereses del primer período que se pagan en el origen:
C'0 = C0 – C0 x i* = C0 x (1 – i*)
C'0 = a x an i
13.1.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)
Simplificando:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización
0 = i* x Ak+1 + Ak – Ak+1
de donde se obtiene:
Ak = Ak+1 x (1 – i*)
En definitiva, las cuotas de amortización en este tipo de préstamos siguen una progresión
geométrica decreciente de razón (1 – i*), empezando siempre por la última cuota de
principal, que coincide con el término amortizativo de ese último período de amortización del
préstamo, pondremos todas a partir de la última:
Ak = An x (1 – i*)n–k
Préstamos
Préstamos
Préstamos con Intereses Prepagables III
Por José Tovar Jiménez
13.1.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)
mk = C0 – Ck
mk = A1 + A2 + … + Ak
• Duración: 3 años.
(4) Del pago hecho en el año 2, ya se sabe cuánto es interés (la cuota
de interés del año 3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar
(cuota de amortización del año 2).
(5) La deuda pendiente del penúltimo período será la suma del capital
pendiente en el período siguiente más la cuota de amortización del año
2.
(6) El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al
momento inicial donde solamente se pagan los intereses del primer
período.
Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés anticipado i*, y
amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = = … = An = A
En este caso, al igual que ocurría cuando se vio el préstamo lineal con intereses vencidos, se
calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de
obtener, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos.
Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que,
además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir:
C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n
de donde se obtiene:
mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k
13.2.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)
El carácter prepagable de los intereses no afecta a las cuotas de amortización que sigue
siendo pospagable.
El capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de
amortización ya practicadas.
Ck = C0 – mk = C0 – [A + A + … + A] = C0 – A x k
El capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de
realizar.
Préstamos
Valor Financiero del Préstamo: Usufructo y Nuda
Propiedad I
Por José Tovar Jiménez
Partiendo de un préstamo cualquiera del que se conocen los componentes del cuadro de
amortización (o al menos los pendientes desde la fecha de estudio hasta el final) y que
gráficamente responde al siguiente esquema:
Sin embargo, puede ocurrir que las condiciones del mercado hayan cambiado desde que se
concertó la operación hasta la fecha actual. En este sentido, para determinar si esta
cancelación resulta o no conveniente, sería necesario valorar los términos amortizativos
pendientes con un criterio nuevo ajustado a las condiciones actuales, esto es, valorarlos al
tanto que en el mercado se está aplicando para operaciones análogas.
Definiciones:
El acreedor (titular del capital pendiente) puede transferir los derechos que el préstamo por
él concedido genera en su conjunto o segregados (por una parte los intereses y por otra el
principal): surgen los conceptos de usufructo, nuda propiedad y valor del préstamo.
Representa la cantidad que el deudor tendrá que pagar para cancelar su deuda o, desde el
punto de vista del prestamista, lo que debería recibir por transferir los derechos futuros que
el préstamo supone, en las condiciones actuales del mercado.
Para calcular el importe del valor, usufructo y nuda propiedad de un préstamo bastará con
aplicar las definiciones anteriores en la fecha de estudio elegida al préstamo objeto de
estudio, debiéndose conocer el tanto de mercado vigente en esa fecha.
• Duración: 3 años.
Cuadro de amortización:
• Usufructo:
• Nuda propiedad:
• Valor:
También:
Préstamos
Valor Financiero del Préstamo: Usufructo y Nuda
Propiedad II
Por José Tovar Jiménez
14.1. CASO PARTICULAR: FÓRMULA DE ACHARD
El método de cálculo basado en las definiciones exige conocer las cantidades destinadas al
pago de intereses y de amortización en cada momento, desde la fecha de estudio y hasta el
final del préstamo.
Un sistema alternativo, más práctico, sería la utilización del sistema de ecuaciones siguiente,
que solamente se podrá emplear en el supuesto de que se cumplan los tres siguientes
requisitos:
1.º El tipo de interés del préstamo se mantenga constante desde la fecha de estudio hasta el
final.
2.º El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del préstamo (i).
El sistema es:
Se trata de un sistema con cuatro incógnitas (V, U, N, C). Para su resolución se calcularán
previamente dos de ellas (aplicando las definiciones teóricas) y del sistema se despejarán las
dos restantes.
• Capital vivo:
• Valor:
En este caso, con el sistema práctico se realizarán los cálculos a principios del período y
después capitalizaremos hasta la fecha en la que se piden los valores. Esta capitalización se
debe efectuar en régimen de compuesta y al tanto de mercado (im).
Préstamos
Valor Financiero del Préstamo: Usufructo y Nuda
Propiedad III
Por José Tovar Jiménez
14.3. VALORACIÓN DE PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS
Cuando nos encontramos con préstamos con intereses fraccionados, habrá que tener en
cuenta que el fraccionamiento afecta al usufructo e, indirectamente, al valor, pero no a la
nuda propiedad. Para calcular valor, usufructo y nuda propiedad se pueden aplicar, sin más,
las definiciones teóricas, pero el sistema de ecuaciones, aunque sigue siendo válido, deberá
considerar el efecto del fraccionamiento en el usufructo y en el valor, y quedará de la
siguiente forma, si el estudio se hace a principios del período t+1:
• Duración: 3 años.
Cuadro de amortización:
• Usufructo:
• Nuda propiedad:
• Valor:
El sistema se puede aplicar puesto que se cumplen los dos requisitos exigidos, quedando de
esta forma:
En primer lugar se calcula el capital vivo y nuda propiedad y, del sistema, se obtiene el
usufructo y el valor:
• Capital vivo:
C1 = 2 x A = 200.000
• Nuda propiedad:
Por tanto:
Préstamos
Préstamos
Tantos Efectivos
Por José Tovar Jiménez
El préstamo, como operación financiera, supone la existencia de una equivalencia financiera
entre una prestación (el importe del préstamo) y una contraprestación (el conjunto de
capitales que se desembolsan para su total devolución). Dicha equivalencia se cumple para
un tipo de interés que, de no existir ningún componente además del interés, coincide con el
tipo al que se haya contratado la operación.
Surge así la necesidad de calcular un nuevo tipo que permita determinar la equivalencia
entre las cantidades «realmente» entregadas y recibidas en la operación, tanto para el
acreedor (prestamista) como para el deudor (prestatario). Este nuevo tipo será una medida
real (efectiva) de la rentabilidad obtenida por el prestamista y del coste total (efectivo)
soportado por el deudor, por todo aquello que afecte a una y otra parte.
Será una medida del coste real que le supone el préstamo considerando además de los
intereses todos los gastos soportados en la operación, cualquiera que sea su naturaleza.
Será el deudor quien soporte la mayoría de los gastos originados por el préstamo, tales
como: comisiones de estudio, de apertura, de administración, notariales, impuestos, …
Se pide:
Solución:
Préstamos
Préstamos con Interés Revisable I
Por José Tovar Jiménez
Los préstamos se pueden clasificar atendiendo al interés aplicable durante toda la vida del
préstamo, pudiéndose distinguir los siguientes tipos:
El tipo de interés aplicable en la operación se obtiene tomando como base un índice (tipo
referencial) al que se suma un diferencial constante. El tipo de interés se ajustará
periódicamente en función del comportamiento de la referencia tomada como base. Las
referencias más utilizadas publicadas por el Banco de España son:
• Índice CECA.
• Deuda Pública
• Euribor a un año.
El período de revisión del tipo de interés puede ser trimestral, semestral, anual, etc.
Para la revisión de los tipos de interés existen diferentes alternativas, que determinarán la
estructura definitiva de los pagos efectuados y, en consecuencia, la estructura del cuadro de
amortización:
En este caso para cada revisión del tipo de interés se calcula el término a pagar como una
nueva operación de amortización, donde el importe del capital será el capital vivo en ese
momento; la duración de la operación, la vida remanente del préstamo; y el tipo de interés,
el vigente en ese momento y aplicándolo para el resto de la operación.
Así, se modificará el término amortizativo cada vez que haya una revisión del tipo de interés,
cambiando asimismo su composición.
De esta forma el importe de los pagos se mantiene sin cambios en su cuantía total, pero la
modificación del tipo de interés supondrá una nueva variación en la composición del termino,
de forma que una subida de tipo de interés se traduce en una mayor cuota de interés y
menor cantidad destinada a amortización (al revés, si se produce una rebaja de tipos).
En esta modalidad de revisión de los tipos de interés lo que nunca se conocerá (hasta la
última revisión) es el número de pagos constantes que se realizarán en total. Si los tipos van
disminuyendo, se acortará el número de pagos, y aumentará cuando los tipos de interés
futuros vayan creciendo.
Préstamos
Préstamos con Interés Revisable II
Por José Tovar Jiménez
16.3. Plan de amortización sin cambios
Cuando se establece el plan de amortización fijo lo que se determina en el momento de la
contratación es el capital prestado, la duración del préstamo, el tipo de interés de salida y las
cuotas de amortización de cada período, que una vez establecidas serán inamovibles. En
cada uno de los períodos de revisión del tipo de interés bastará con añadir a la cuota de
amortización la nueva cuota de interés. Esta última se calculará, como en cualquier caso,
como el producto del capital vivo por el tipo de interés aplicable en cada período, una vez
revisado.
Al permanecer sin cambios las cuotas de amortización calculadas para todos y cada uno de
los períodos, y variar solamente las cuotas de interés como consecuencia de la revisión de
tipos, los términos amortizativos (ak) se volverán aleatorios.
• Duración: 3 años.
Se pide:
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
0 1.000,00
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
0 1.000,00
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
9 0,01 91,40 3,57 87,84
731,18
268,82
10 0,01 91,40 2,69 88,72
819,90 180,10
11 0,01 91,40 1,80 89,60
909,50 90,50
12 0,01 91,40 0,91 90,50
1.000,00
También se parte del cuadro de amortización inicial calculado con un tipo único
(8% nominal) para los tres años, que se va a mantener sin cambios hasta pasado
un año, fecha de la primera revisión del tipo de interés.
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
0 1.000,00
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
de donde:
t = 3,77 @ 4 pagos
de donde:
P = 73,11 euros
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
9 0,01 94,56 3,48 91,08 742,71 257,29
Cuota
Número Tipo Términos Cuota de Total Capital
de
pago interés amortizativos amortización amortizado vivo
interés
0 1.000,00
Préstamos
Tantos Efectivos de los Préstamos según el Banco de
España I
Por José Tovar Jiménez
(Circular 8/1990, de 7 de septiembre, sobre transparencia de las operaciones y
protección a la clientela, modificado por las Circulares 22/1992, de 18 de
diciembre; 13/1993, de 21 de diciembre; 5/1994, de 22 de julio; 3/1996, de 27
de febrero)
Para la confección y publicación del tipo de interés, coste efectivo, las entidades deberán
atenerse a las siguientes normas:
b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el valor actual de
los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos,
incluido el saldo remanente a su término, con las excepciones e indicaciones que a este
efecto se recogen a continuación, siguiendo la formulación matemática desarrollada en el
anexo V de esta norma:
Siendo:
D: Disposiciones.
n: Número de entregas.
tm: Tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la del pago m.
ik: Tanto por uno efectivo referido al período de tiempo elegido para expresar los t n y tm en
números enteros.
Por su parte, el tipo anual equivalente i (TAE) a que se refiere la indicada norma octava es: i
= (1 + ik )k – 1; siendo k el número de veces que el año contiene el período elegido.
1. En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones y demás gastos que el cliente
esté obligado a pagar a la entidad como contraprestación por el crédito recibido o los
servicios inherentes al mismo.
No se considerarán a estos efectos las comisiones o gastos que se detallan a continuación,
aun cuando debe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anual equivalente no los
incluye:
• Los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concede el contrato,
en particular, y en su caso, los gastos por transferencia de los fondos debidos por el cliente.
• Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos notariales e impuestos.
• Los gastos por seguros o garantías. No obstante se incluirán las primas de los seguros que
tengan por objeto garantizar a la entidad el reembolso del crédito en caso de fallecimiento,
invalidez o desempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempre que la
entidad imponga dicho seguro como condición para conceder el crédito.
En cuanto a las comisiones y gastos repercutibles a cargo del prestatario, deberán responder
a la prestación de un servicio específico indicándose los supuestos, y, en su caso, la
periodicidad de su aplicación.
Préstamos
Tantos Efectivos de los Préstamos según el Banco de
España II
Por José Tovar Jiménez
2. Las liquidaciones correspondientes a cualquier clase de morosidad (ya sean de cuotas de
interés o de principal) se tratarán de forma independiente, con señalamiento de las variables
a que se refiere la liquidación.
Si se pactara un tipo de interés fijo para cierto período inicial, se tendrá en cuenta en el
cálculo, pero únicamente durante dicho período inicial.
Excepcionalmente, si el tipo inicial se aplicara durante un plazo de diez años o más, o
durante la mitad o más de la vida del contrato, aplicándose al menos durante tres años, en
el cálculo del coste efectivo sólo se tendrá en cuenta ese tipo inicial. Tal simplificación
deberá advertirse adecuadamente.
En las operaciones a tipo de interés variable, las modificaciones que experimenten los
índices de referencia no se reflejarán en el «coste efectivo remanente» hasta tanto no
afecten al tipo nominal de la operación.
Solución:
i12 = 0,01517365
12
TAE = i = (1 + i12) – 1 = 0,198075
TAE = i = 19,81%
.:: Ejemplo 21 ::.
• Duración: 10 años.
• Vencimientos: mensuales.
• Tipos de interés:
Se pide:
Solución:
Punto 1
i12 = 0,0099131189218
i = (1 + i12)12 – 1 = 0,12566241
TAE = i = 12,57%
Punto 2
i12 = 0,0107178213
i = (1 + i12)12 – 1 = 0,136472887
TAE = i = 13,65%
Empréstitos
Concepto. Generalidades
Por José Tovar Jiménez
Los empréstitos surgen cuando las necesidades de financiación son tan elevadas que resulta
difícil obtener los fondos de un solo acreedor. Por ello se opta por fraccionar la deuda en
pequeños préstamos, representados en títulos, que son suscritos por un número elevado de
prestamistas (obligacionistas o bonistas). Así, se puede definir el empréstito como un macro-
préstamo de cuantía elevada que para facilitar el concurso de muchos acreedores se divide
en partes iguales, las cuales se instrumentan en títulos. Cada una de las cuales recoge las
condiciones generales del empréstito:
• Garantías de la emisión.
Los títulos incorporan un derecho de cobro de intereses y recuperación del nominal para el
titular o poseedor del título. Estos derechos se convierten en la obligación para la sociedad
emisora que se materializa en el pago de interés y devolución del nominal.
En el lenguaje financiero la parte igualitaria del empréstito se reconoce con varios nombres:
título-valor, título, obligaciones, título de la obligación si la emisión se hace a más de cinco
años y bonos cuando la emisión es a cinco o menos años.
Normalmente son las entidades bancarias quienes colocan entre sus clientes el conjunto de
obligaciones de un empréstito, cobrando una comisión por ello.
1.2. TERMINOLOGÍA
mk: Total acumulado de títulos amortizados después de k sorteos, incluidos los del período k.
• Periódicamente, los intereses los cobran los títulos que en ese momento están en
circulación. Es lo que se conoce como emisiones de cupón periódico.
• De una sola vez, cobrando los intereses aquellos títulos que resulten amortizados en cada
período. Es lo que se conoce como emisiones de cupón acumulado.
Puede ocurrir que todos o parte de los títulos que resulten amortizados en cada período
pierdan el derecho de cobro del cupón correspondiente al período del sorteo. Es lo que se
denomina amortización seca o amortización ex-cupón.
Clases de amortización:
A efectos de determinar el número de títulos que han de retirarse de la circulación caben dos
posibilidades:
2. Amortización única. Todos los títulos se amortizan de una sola vez al final de la vida del
empréstito.
Además de los derechos anteriores, algunos títulos tendrán derecho a un lote (L). Se trata de
una cantidad que reciben parte de las obligaciones que resultan amortizadas en un período
en concepto de premio. Puede ser fijo o variable.
Se caracterizan por:
Se caracterizan por:
• Tratarse de una comisión periódica que reciben las entidades que prestan el «servicio
financiero» del empréstito, es decir, por encargarse del pago de cupones, realización de
sorteos, amortización de títulos, ...
Cuando una sociedad decide emitir un empréstito conoce la cuantía de las necesidades
financieras que tiene y pretende obtener con los títulos que va a poner en circulación.
Asimismo, la emisión supone gastos (gastos de emisión) que también precisarán ser
financiados, por lo tanto, el valor de emisión ha de cubrir dichas cuantías. Por esto, en toda
emisión se cumplirá la siguiente expresión, desde el punto de vista del emisor:
A la hora de hacer el estudio de los empréstitos nos centraremos en el punto de vista del
emisor, ocupándonos de cómo devuelve la deuda contraída (cuadro de amortización del
empréstito). No obstante, en la parte final del capítulo se realizará un estudio desde la óptica
del obligacionista (valoración de títulos).
En este sentido, los pagos que el emisor debe realizar vendrán dados en función del ritmo
de amortización de los títulos emitidos y, en consecuencia, de los títulos que permanecen
en circulación en cada momento de tiempo. Conocidos los títulos a amortizar y los que
aún se encuentran en circulación, y las cuantías que se han de pagar a unos y otros, el
emisor podrá construir el cuadro de pagos a realizar a lo largo de la operación.
• Duración: 3 años.
• Cupón anual vencido: 100 euros que cobran los títulos en circulación.
Se pide:
Cuadro de amortización.
Solución:
(5) Cuantía destinada por el emisor para retirar de la circulación los títulos
acordados. Es el valor de reembolso de los títulos amortizados en cada
sorteo.
(6) Total pagado en cada período por el emisor del empréstito por todos
los conceptos (intereses y valor de reembolso).
Para el desarrollo del capítulo se tienen que seguir diferentes criterios de clasificación a la
hora de hacer el estudio de los empréstitos.
b) Con características comerciales. Cuando el término amortizativo se destina a algo más que
a pagar el cupón y amortizar por el nominal (prima de reembolso, lotes, amortización seca,
gastos de administración,…).
Al desarrollar la primera parte del capítulo se estudiará en primer lugar los empréstitos desde
el punto de vista del emisor, empezando por los empréstitos clase I, de cupón periódico
vencido y, a continuación, de cupón periódico prepagable y, finalmente, de los empréstitos
de cupón acumulado (empréstitos clase II). En la segunda parte se estudiarán estas
operaciones desde el punto de vista, no del emisor, sino de quienes suscriben estos títulos
(los obligacionistas).
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo I. Puro I
Por José Tovar Jiménez
También conocido como empréstito normal, se caracteriza por ser de cupón periódico (clase
I), término amortizativo pagadero por el emisor y cupón constantes (tipo I), y no presentar
ninguna otra característica especial. Por tanto, el pago del emisor se destina a retribuir con
un cupón periódico constante a los títulos en circulación (c x i x Nk) y a amortizar por el
nominal los títulos que corresponda (c x Mk).
Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del
empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su
descomposición en cuota de amortización (c x Mk) y cuota de interés (c x i x Nk).
Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan, en parte el
coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devolución de una porción de la
deuda (amortización de títulos). Para calcular el término amortizativo bastaría con plantear
una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito y la renta
formada por los términos amortizativos:
resultando:
c x N1 = a x an i
de donde se despeja el término a:
Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte del
mismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos
en circulación que tienen derecho a cobrarlo), el valor destinado a reembolsar títulos
necesariamente tendrá que ir creciendo y, por tanto, el número de títulos amortizados en
cada sorteo.
Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos que en cada sorteo
resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas alternativas:
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de
cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se
amortizarán en cada momento. Así:
2.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
La ley de recurrencia es la relación que existe entre dos términos consecutivos, en este caso,
las cantidades destinadas a amortizar títulos. Para buscarla se relacionan por diferencias los
términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:
Siendo: Nk – Nk+1 = Mk
0 = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1
0 = i x Mk + Mk – Mk+1
de donde se obtiene:
Mk+1 = Mk x (1 + i)
Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían
siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede
calcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, se
pondrán en función del primero –que es el más fácil de obtener–:
Mk+1 = M1 x (1 + i)k
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo I. Puro II
Por José Tovar Jiménez
2.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1)
Una vez calculado M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia
anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo se puede realizar
de dos formas posibles:
M1 + M2 + M3 + … + Mn = N1
Además, en este tipo de empréstito todos los títulos amortizados se pueden poner en
función del primero de ellos por la ley de recurrencia antes calculada, por lo que la igualdad
anterior quedará de la siguiente forma:
M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + … + M1 x (1 + i)n–1 = N1
Simplificando la expresión:
M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)n–1] = N1
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
Además, todos los títulos amortizados se pueden poner en función del primero de ellos,
según la ley de recurrencia que siguen:
mk = M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + … + M1 x (1 + i)k–1
Simplificando la expresión:
mk = M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)k–1]
mk = M1 x sk i
2.1.5. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N k+1)
Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará
con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos
incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
en k:
es decir:
en k: c x Nk+1 = c x N1 x (1 + i)k – a x sk i
en k:
es decir:
en k: c x Nk+1 = a x an – k i
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo I. Puro III
Por José Tovar Jiménez
2.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1
Período k + 1: c x i x Nk+1
.:: Ejemplo 2 ::.
• Duración: 5 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad:
Cuadro de amortización:
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo I. Puro IV
Por José Tovar Jiménez
2.2. EMPRÉSTITO DE CUPÓN PERIÓDICO CONSTANTE Y ANUALIDAD CONSTANTE CON
CARACTERÍSTICAS COMERCIALES
Todas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominados
normales o puros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destina
exclusivamente al pago de un cupón (constante) y a amortizar por el nominal a los títulos
que corresponda.
No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya acordado
retribuir adicionalmente a los obligacionistas (con primas de amortización y/o lotes) o bien
incluyen gastos soportados por el emisor (gastos de administración). En estos casos, habrá
que «preparar el empréstito» para que exista equilibrio financiero y así poder aplicar las
expresiones anteriores.
Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón periódico cuando tienen
características comerciales son:
b) Si el valor de reembolso de los títulos es diferente del valor nominal de los títulos, dividir
por el coeficiente de Mk toda la expresión.
donde:
a': es la anualidad normalizada.
3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados y
total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora son válidas pero cambiando
a por a' e i por i'.
No obstante, hay que tener en cuenta que existen características comerciales que aunque
existan en el empréstito no afectan a la estructura de la anualidad y, por tanto, no precisan
normalización: es el caso de la prima de emisión y los gastos de emisión. Además, la
presencia de estas dos características no afecta al cálculo de la anualidad ni al cuadro de
la operación.
• Duración: 4 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cálculo de la anualidad.
Solución:
Cálculo de la anualidad
a' = c x i' x Nk + c x Mk
c x N1 = a' x an i'
Cuadro de amortización
• Duración: 3 años.
• Los títulos amortizados pierden el último cupón.
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad
a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk
a' = c x i' x Nk + c x Mk
c x N1 = a' x an i'
a' = 369.020,71
Cuadro de amortización
(4) = [(1)
(5) = (2) (6) = (4) +
(1) (2) (3) – (2)] x
x 1.200 (5)
50
Total
Títulos Títulos Término
Años Tit. Intereses Amortización
vivos amortiz. amortizativo
amort.
(4) Los intereses los cobrarán los títulos en circulación durante el año,
salvo los que resulten amortizados al final del mismo: Nk – Mk.
a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk
a = c x i x (Nk – Mk) + c x Mk
• Duración: 10 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
Solución:
Cálculo de la anualidad
a = [c x i x Nk + (c + p) x Mk x (1 + g)
Normalizando:
• Siendo:
a' = c x i' x Nk + c x Mk
c x N1 = a' x an i'
a' = 12.205.904,62
Al no conocer nada más que los títulos de dos sorteos se redondean los
Mk atendiendo solamente al decimal (mayor o igual que cinco, por
exceso y en caso contrario por defecto).
(5) =
(3) = (1) (4)= (2) x
1‰ (6)= (3) +
(1) (2)
x 120 1.200
x [(3) + (4) + (5)
(4)]
Títulos Títulos Gastos Término
Años Intereses Amortización
vivos amortiz. admón. amortizativo
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro I
Por José Tovar Jiménez
Se caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación (clase
I), término amortizativo variable y cupón constante (tipo II), durante toda la operación.
3.1. Empréstito de cupón periódico con igual número de títulos amortizados en cada sorteo
En este tipo de empréstito, el emisor se compromete a amortizar todos los perío dos el
mismo número de títulos, por tanto, la cantidad destinada al reembolso se mantiene
constante durante toda la operación.
Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulos
emitidos, se debe cumplir:
N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n
de donde se obtiene:
Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de la
circulación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulos
amortizados correspondiente a los períodos transcurridos.
mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k
3.1.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (N k+1)
• Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en
los ya amortizados hasta ese momento.
Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k
• Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aún
quedan pendientes de ser amortizados.
Nk+1 = (n – k) x M
Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación y
añadiendo el valor de reembolso constante ya conocido:
Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M
Período 2: a2 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x M
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos
siendo :
Nk – Nk+1 = M
se puede deducir:
ak+1 = ak – c x i x M
lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante,
es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i x M), por lo que
todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base a esa
recurrencia:
ak+1 = a1 – k x c x i x M
• Premio de 5.000 euros para cada uno de los 100 primeros títulos
amortizados cada año.
Solución:
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro II
Por José Tovar Jiménez
3.2. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en progresión
geométrica y normal Este empréstito se caracteriza porque:
Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos, según la relación entre la razón de la
progresión que siguen los términos y el tipo de interés del cupón:
Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán a través de
la progresión que siguen, así:
a2 = a1 x q
a3 = a2 x q = a1 x q2
ak+1 = ak x q = a1 x qk
an = an–1 x q = a1 x qn–1
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemos calculado)
y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y,
por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
ak x (1 – q) = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1
Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior los
que corresponde amortizar en el presente.
Empréstitos
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro III
Por José Tovar Jiménez
3.2.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk)
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
Nk +1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk
Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará
con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos
incorporan intereses y valor de reembolso; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
en K:
es decir:
en K:
es decir:
• Duración: 5 años.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Gráficamente:
a2 = a1 x 1,12 = 2.508.800,00
a3 = a2 x 1,12 = 2.809.856,00
a4 = a3 x 1,12 = 3.147.038,72
a5 = a4 x 1,12 = 3.524.683,37
(2) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo le iremos
dando valores a la anualidad, empezando por la primera:
Año 1: a1 = c x i x N1 + c x M1
M1 = 1.040
Año 2: a2 = c x i x N2 + c x M2
M2 = 1.433,60
Año 3: a3 = c x i x N3 + c x M3
2.809.856 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60) + 1.000 x M3
M3 = 1.906,69
Año 4: a4 = c x i x N4 + c x M4
M4 = 2.472,67
Año 5: a5 = c x i x N5 + c x M5
M5 = 3.147,04
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro IV
Por José Tovar Jiménez
3.3. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión geométrica con
características comerciales
En principio, bastaría con normalizar el empréstito y trabajar con los términos amortizativos
normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con los anteriores empréstitos. No
obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de la normalización, los términos
amortizativos normalizados no sigan una progresión geométrica o que cambie la razón de la
progresión.
Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma, aunque puede
ocurrir que las características que existan no afecten a la progresión y en consecuencia baste
con normalizar y emplear las anualidades normalizadas y el tanto normalizado sin más en las
fórmulas del empréstito puro:
1. Construir la estructura del término amortizativo (a k), recogiendo todas las características
que le afecten.
3. Como el término normalizado puede que no siga ningún tipo de ley, evitaremos trabajar
con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará la equivalencia financiera entre el
nominal del empréstito y los términos normalizados actualizados al tanto normalizado.
5. Lo que multiplique o divida al ak, al ser constante, se podrá extraer del sumatorio.
• Duración: 10 años.
Se pide:
2. Normalización
Siendo:
a'k = c x i' x Nk + c x Mk
Gráficamente:
a6 = a1 x 1,15 = 23.108.122,05
Año 1 a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1 + L
14.348.325,71 = 120 x 100.000 + 1.400 x M1 + 40.000
M1 = 1.648,80
Año 2 a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2 + L
M2 = 2.815,01
M2 = 2.815
Empréstitos
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro V
Por José Tovar Jiménez
Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán a través de
la ley de la progresión aritmética que siguen, así:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
ak+1 = ak + d = a1 + k x d
an = an–1 + d = a1 + (n – 1) x d
Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder
de dos formas alternativas:
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemos calculado)
y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y,
por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
– d = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1
de donde se obtiene:
Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior los
que corresponde amortizar en el presente. No obstante, si lo que se quiere es calcular
cualquier Mk a partir de M1, la expresión a aplicar será:
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro VI
Por José Tovar Jiménez
3.4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (N k+1)
Al trabajar con los términos amortizativos se deberá hacer de forma financiera (no bastará
con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos
incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
en K:
en K: c x Nk+1 = A(ak+1; d) n – k i
• Duración: 4 años.
Se pide:
Solución:
a1 = 16.405.348,62
a2 = a1 + 300.000 = 16.705.348,62
a3 = a2 + 300.000 = 17.005.348,62
a4 = a3 + 300.000 = 17.305.348,62
(1) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo se darán
valores a la anualidad, empezando por la primera:
Año 1: a1 = c x i x N1 + c x M1
M1 = 9.905,35
Año 2: a2 = c x i x N2 + c x M2
M2 = 11.493,04
Año 3: a3 = c x i x N3 + c x M3
M3 = 13.287,14
Año 4: a4 = c x i x N4 + c x M4
M4 = 15.314,47
Año 1: a1 = c x i x N1 + c x M1
• Duración: 4 años.
Se pide:
• Cuadro de amortización
Solución:
2. Normalización
Siendo:
a'k = c x i' x Nk + c x Mk
Gráficamente:
a3 = a1 + 2 x 500.000 = 38.510.261,17
Cuadro de amortización
Año 1: a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1
M1 = 20.841,88
Año 2: a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2
M2 = 23.429,58
Año 3: a3 = c x i x N3 + (c + p) x M3
Año 4 a4 = c x i x N4 + (c + p) x M4
M4 = 29.441,71
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro VIII
Por José Tovar Jiménez
Empréstitos diferidos (con diferimiento) son aquellos en los que se retrasa la realización del
primer sorteo de títulos, el cual ya no tendrá lugar al finalizar el primer período de vida de la
operación.
Así pues, durante una primera etapa no se realizan sorteos y amortización de títulos y, por
tanto, el emisor no paga valores de reembolso ni nada que tenga que ver con los sorteos
(lotes, amortización seca, …); sí que se pagarán los cupones y, si procede, gastos de
administración.
Por tanto, a la hora de determinar la estructura de la(s) anualidad(es) habrá una diferente
para el período durante el cual no hay sorteos (período de diferimiento) y al menos otra,
diferente para el resto de períodos del empréstito.
• Duración: 5 años.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
queda:
a' = c x i' x Nk + c x Mk
planteando la equivalencia en 2:
(5) =
(3)=(1) x (4)= (2) x (6) = (3) +
(1) (2) 2‰ [(3)
110 1.100 (4) + (5)
+ (4)]
Títulos Títulos Gastos Término
Años Intereses Amortización
vivos amortiz. admón. amortizativo
1 50.000 – 5.500.000 – 11.000,0 5.511.000,0
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro IX
Por José Tovar Jiménez
3.7. Empréstito con cupón fraccionado
Son aquellos empréstitos en los que los cupones se pagan con mayor periodicidad de la
empleada para reembolsar los títulos (hay mayor número de pagos de cupones que de
pagos por devolución de títulos), cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida. Es decir,
los cupones se pagan fraccionadamente dentro del período de tiempo elegido para la
amortización de los títulos, mientras que los sorteos de los títulos no se modifican y se
realizan al final de dicho período (normalmente el año).
Gráficamente, para un empréstito de tres años con amortización anual y pago semestral de
cupones:
Para plantear las equivalencias financieras, así como para calcular los títulos amortizados y
los títulos vivos en cualquier momento, habrá que convertir el cupón fraccionado en otro
equivalente expresado en la unidad en la que se amorticen los títulos. De esta manera se
obtendrán unos términos amortizativos equivalentes (a k) –nunca son pagados por el emisor
y por tanto nunca aparecerán en el cuadro de amortización–.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad
c x i2 = 60 Æ i2 = 6% Æ i = 1,062 – 1 = 0,1236 Æ c x i =
123,60
a' = c x i' x Nk + c x Mk
siendo:
c x N1 = a' x an i'
a' = 40.424.029,67
Cuadro de amortización
Empréstitos
Empréstito Clase I. Tipo II. Puro X
Por José Tovar Jiménez
3.8. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con primas de
amortización variables
La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalización, que origina
unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley
matemática.
• Duración: 4 años.
Se pide:
• Anualidad.
• Cuadro de amortización.
Solución:
Pasos a seguir:
2. Normalización
0 = c x i x Mk + ck x Mk – ck+1 x Mk+1
de donde se obtiene:
dando valores a k en la expresión anterior tendremos:
N1 = M1 + M2 + M3 + M4
dejando todos los términos (a 1, a2, …, an) en función de uno sólo (lo habitual será a 1), queda
una ecuación con una única incógnita que se despejará. A partir de la anualidad calculada se
podrán conocer las demás.
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de
cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se
amortizarán en cada momento. Así:
Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálcu lo de títulos
amortizados en cada sorteo.
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará
con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos
incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
se ha de cumplir la equivalencia en k entre lo que supone amortizar de una sola vez los
títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el
emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final.
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable I
Por José Tovar Jiménez
Se caracteriza porque los cupones se pagan anticipadamente, al principio del período
correspondiente, a tipo de interés prepagable (i*), mientras que la amortización de títulos se
sigue realizando al final del período correspondiente.
Además de los n términos amortizativos constantes, habrá que considerar un primer término
adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer período.
En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al
valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final:
Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos
formas alternativas:
Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte
destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar,
determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada
sorteo.
Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que
pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por
diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así:
siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda:
0 = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1
0 = i* x Mk+1 + Mk – Mk+1
de donde se obtiene:
Mk = Mk+1 x (1 – i*)
Por tanto, los títulos amortizados siguen una progresión geométrica de razón 1 – i*, es
decir, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del último o de cualquiera
conocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del último –que es el más fácil de
obtener–:
Mk = Mn x (1 – i*)n–k
Empréstitos
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable II
Por José Tovar Jiménez
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del
empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago
del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):
planteando la equivalencia en el momento k y simplificando:
Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso (para
calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otra en k).
En el momento k: c x i* x Nk+1
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad
Cuadro de amortización
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable III
Por José Tovar Jiménez
Cuando el empréstito presenta características comerciales habrá que normalizarlo para poder
aplicar las expresiones anteriores.
Los pasos a seguir son los mismos que se siguen a la hora de trabajar con empréstitos de
cupón periódico vencido cuando tienen características comerciales, por tanto el orden será:
donde:
3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados
y total de títulos amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora son válidas pero
cambiando a por a' e i* por i*'.
• Duración: 3 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
• Cuadro de amortización.
Solución:
Cálculo de la anualidad
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable IV
Por José Tovar Jiménez
En este tipo de empréstito, al igual que ocurría cuando el cupón se pagaba por vencido, el
emisor se compromete a amortizar todos los períodos el mismo número de títulos, por tanto,
la cantidad destinada al reembolso se mantiene constante durante toda la operación.
Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulos
emitidos, se debe cumplir:
N1 = M1 + M2 + M3 + ... + Mn = M x n
de donde se obtiene:
Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de la
circulación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulos
amortizados correspondiente a los períodos transcurridos.
mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k
5.4.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (N k+1)
• Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en
los ya amortizados hasta ese momento.
Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k
• Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aún
quedan pendientes de ser amortizados.
Nk+1 = (n – k) x M
En el momento k: c x i* x Nk+1
Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación y
añadiendo el valor de reembolso constante ya conocido:
Momento 0: a0 = c x i x N1
Momento 1: a1 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x M
Momento 2: a2 = c x i x N3 + c x M = c x i x (N2 – M) + c x M
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos
simplificando:
siendo:
Nk+1 – Nk+2 = M
se puede deducir:
ak+1 = ak – c x i* x M
lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante,
es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i* x M), por lo que
todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base a esa
recurrencia:
ak+1 = a1 – k x c x i* x M
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable V
Por José Tovar Jiménez
En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al
valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final:
Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos
formas alternativas:
Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte
destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar,
determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada
sorteo.
Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que
pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por
diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así:
ak x (1 – q) = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del
empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago
del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):
Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso (para
calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otra en k).
En el momento k: c x i* x Nk+1
Empréstitos
Empréstito de Cupón Periódico Prepagable VI
Por José Tovar Jiménez
5.6. EMPRÉSTITO DE CUPÓN PERIÓDICO CONSTANTE PREPAGABLE CON ANULIDAD
VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y PURO
En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al
valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final:
Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos
formas alternativas:
Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte
destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar,
determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada
sorteo.
Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que
pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así:
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por
diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así:
siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda:
– d = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1
de donde se obtiene:
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del
empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago
del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):
En el momento k: c x i* x Nk+1
Empréstitos
Empréstitos Clase II. Tipo I. Puro I
Por José Tovar Jiménez
En este caso el interés que generan los títulos se va devengando día a día pero no se paga
periódicamente a los títulos en circulación, sino que se va acumulando en régimen de
compuesta y se les pagará de una vez sólo a aquellos títulos que resulten amortizados en
cada sorteo (clase II). Además, la cantidad que el emisor destina periódicamente al pago del
empréstito (término amortizativo) y el tipo de interés permanecen constantes (tipo I), y no
presenta ninguna otra característica especial (puro).
Se trata de seguir un orden con el fin de construir el cuadro de amortización del empréstito,
esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y a cuántos
títulos.
A pesar de que la estructura del término amortizativo es diferente a la que presenta cuando
el cupón se paga periódicamente, el cálculo del importe se realiza igual que en empréstitos
clase I. Para calcular dicho término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia
financiera en el origen entre el nominal del empréstito y la renta formada por los términos
que amortizan el empréstito:
c x N1 = a x an i
Para saber cuál es el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos
proceder de dos formas alternativas:
Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad que debe percibir
cada título (cupón acumulado y valor de reembolso), se puede saber cuántos títulos se
amortizarán en cada momento. Así:
6.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados
Se trata de establecer la relación en la que se encuentran los títulos que se van amortizando
en cada sorteo. La ley de recurrencia saldrá de la relación, por cocientes, de los términos
amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:
de donde simplificando se obtiene la siguiente expresión:
En definitiva, los títulos amortizados varían siguiendo una progresión geométrica de razón
1/1 + i, por tanto, cualquier M k se puede calcular a partir del anterior, del primero o de
cualquiera conocido. Con carácter genérico, si se ponen en función del primero:
Una vez calculada M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia
anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo se puede realizar
de dos formas posibles:
En todo empréstito se cumple que la suma aritmética de los títulos amortizados en cada
período coincide con el número de títulos puestos en circulación al inicio:
M1 + M2 + M3 + … + Mn = N1
Simplificando la expresión:
donde el corchete es el valor actual de una renta unitaria, prepagable e inmediata de n
términos (el número de sorteos) al tipo de interés que generan los títulos, por tanto:
M1 x än i = N1
de donde:
Empréstitos
Empréstitos Clase II. Tipo I. Puro II
Por José Tovar Jiménez
• Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación:
mk = N1 – Nk+1
mk = M1 + M2 + … + Mk
Además, todos los títulos amortizados, siguiendo la ley de recurrencia que siguen, se pueden
poner en función del primero de ellos:
Simplificando la expresión:
mk = M1 x äk i
Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará
con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos
incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades
correspondientes.
en k se debe cumplir:
en k se debe cumplir:
Los intereses de cualquier período se calcularán a partir del importe total del término
amortizativo, una vez deducida la cuantía destinada a la amortización de los títulos.
• Duración: 3 años.
• Anualidades constantes.
Se pide:
• Anualidad del empréstito.
• Cuadro de amortización.
Solución:
Gráficamente:
c x N1 = a x an i
a = 4.163.489,80
Cuadro de amortización
(4) = (2) x
k (1) (2) (3) (5) = (4)
1.000 x 1,12k
Total
Títulos Títulos Término
Año tít. Amortización
vivos amortiz. amortizativo
amort
1 10.000 3.717 3.717 4.163.040,0 4.163.040,0
Empréstitos
Empréstitos Clase II. Tipo I. Puro III
Por José Tovar Jiménez
Todas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominados
puros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destina exclusivamente al
pago del cupón acumulado (constante) y a amortizar por el nominal a los títulos que
corresponda.
No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya previsto
alguna característica comercial. En estos casos, habrá que «preparar el empréstito» para
poder aplicar las expresiones anteriores.
Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón acumulado cuando tienen
características comerciales son:
3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados
y total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora son válidas pero
cambiando a por a' e i por i'.
• Duración: 15 años.
• Anualidad constante.
Se pide:
Solución:
Cálculo de la anualidad
Siendo:
a' = c x (1 + i)k x Mk
Gráficamente:
c x N1 = a' x an i
a' = 7.737.088,98
Empréstitos
Empréstito Clase II. Tipo II - I
Por José Tovar Jiménez
Se caracteriza porque el emisor paga durante toda la vida del empréstito una cantidad
variable (término amortizativo), que destina a retribuir a los obligacionistas cuyos títulos
resulten amortizados en cada sorteo, los cuales cobrarán el cupón acumulado hasta la fecha
y el valor nominal del título.
Lo más fácil será calcular el número de títulos amortizados en cada sorteo, para
posteriormente ver qué se les ha de pagar. A continuación, se determinará el importe total a
desembolsar por parte del emisor en cada período (término amortizativo).
Se parte de la igualdad entre los títulos inicialmente emitidos y los títulos que se amortizarán
a lo largo de la vida del empréstito.
N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n
de donde se obtiene:
Si se conocen los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total amortizado hasta una
fecha dada será la suma aritmética de los títulos sorteados en ese intervalo.
mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k
7.1.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (N k+1)
Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k
• Método prospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán la suma aritmética de los
que aún quedan pendientes de ser amortizados.
Nk+1 = (n – k) x M
Empréstitos
Empréstito Clase II. Tipo II - II
Por José Tovar Jiménez
Al mantenerse constante el número de títulos a los que hay que amortizar y el importe del
cupón acumulado ir aumentando, los términos amortizativos necesariamente tendrán que ir
creciendo.
Período 1: a1 = c x (1 + i) x M
Período 2: a2 = c x (1 + i)2 x M
B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos
finalmente, se obtiene:
ak+1 = ak x (1 + i)
lo que indica que los términos varían en progresión geométrica de razón (1 + i), por lo que
todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, siguiendo la ley de
recurrencia:
ak+1 = a1 x (1 + i)k
• Duración: 6 años.
Solución:
Año 1: a1 = c x (1 + i)1 x M x (1 + g)
Año 2: a2 = c x (1 + i)2 x M x (1 + g)
Año 3: a3 = c x (1 + i)3 x M x (1 + g)
Año 4: a4 = c x (1 + i)4 x M x (1 + g)
Año 5: a5 = c x (1 + i)5 x M x (1 + g)
a5 = 1.000 x 1,15 x 10.000 x 1,001 = 16.121.205,1
Año 6: a6 = c x (1 + i)6 x M x (1 + g)