Folleto OMMEB2017

I Olimpiada Mexicana de Matemáticas
de Educación Básica.
Reporte final
Oaxtepec, Morelos. 15-18 de junio, 2017.

ii
Contacto:
Olimpiada Mexicana de Matemáticas.
Cubı́culo 201,
Departamento de Matemáticas.
Facultad de Ciencias, UNAM.
Col. Copilco, Delegación Coyoacán.
C. P. 04510.
Ciudad de México.
Teléfono: (55) 5622-4864,
Fax: (55) 5622-5410,
Email: omm@ciencias.unam.mx
Editores:
Didier A. Solı́s Gamboa. (UADY)
Hugo Villanueva Méndez. (UNACH)
iii
A la memoria de
Guadalupe Aguilar Parra
Índice general
1. Introducción. 1
1.1. Justificación y objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Categorı́as y participantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Temario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Exámenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Premios y reconocimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6. International Mathematics Competition (IMC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7. Comité Organizador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8. Jurado Calificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Los Exámenes. 6
2.1. Prueba individual. Nivel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Prueba individual. Nivel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. Parte A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2. Parte B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Prueba individual. Nivel III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1. Parte A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2. Parte B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. Prueba por equipos. Nivel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5. Prueba por equipos. Nivel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6. Prueba por equipos. Nivel III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7. Autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Soluciones. 16
3.1. Prueba individual. Nivel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Prueba individual. Nivel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. Parte A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2. Parte B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Prueba individual. Nivel III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Parte A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2. Parte B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4. Prueba por equipos. Nivel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5. Prueba por equipos. Nivel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6. Prueba por equipos. Nivel III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv
v
4. Resultados. 31
4.1. Nivel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Nivel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Nivel III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Introducción.
1.1. Justificación y objetivos.

Las matemáticas son una herramienta básica en el estudio de cualquier tema; son muy útiles para mejorar la
calidad de vida y para lograr un desarrollo profesional completo. En la educación básica, primaria y secundaria,
el estudiante adquiere habilidades en la escritura, la lectura y la aritmética. Un programa de aprendizaje de las
matemáticas debe estimular la creatividad y desarrollar el pensamiento crı́tico y analı́tico; uno de los principales
objetivos del Programa de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas (OMM) es promover el estudio de las matmáti-
cas en forma creativa, para desarrollar el razonamiento y la imaginación de los jóvenes participantes; alejándose
del enfoque tradicional que promueve la memorización y mecanización de fórmulas y algoritmos.
En el año 2017, la OMM organiza la Primera Olimpiada Mexicana de Matemáticas para Educación Básica
(OMMEB 2017), en los niveles de Primaria y Secundaria. Esto representa una gran oportunidad de colaboración
con la educación básica de México en el mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas usando una competencia
académica como herramienta para el desarrollo de habilidades matemáticas de los estudiantes equivalente a los
estándares internacionales. Los objetivos de la OMMEB son los siguientes:
a) Crear una atmósfera académica para motivar a los maestros y estudiantes para mejorar la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas con énfasis en el desarrollo de habilidades cognitivas, de pensamiento crı́tico
y analı́tico.
b) Establecer cooperación a través de redes para el desarrollo de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
con organizaciones educativas en los distintos estados y a nivel nacional.
c) Ofrecer a los estudiantes participantes de los distintos estados oportunidades de intercambio cultural,
académico y de conocimientos matemáticos.
d) Mejorar la currı́cula en matemáticas de la educación básica para estar a la par de los estándares internacio-
nales.
La Olimpiada Mexicana de Matemáticas para Educación Básica se llevó a cabo del 15 al 18 de junio de 2017, en
Oaxtepec, Morelos, con la participación de 192 estudiantes representando a 23 entidades federativas. El programa
de actividades fue el siguiente:
Fecha Estudiantes Delegados y coordinadores

15 de junio de 2017 Llegada y registro Llegada
16 de junio de 2017 Prueba Individual y por Equipos Prueba Individual y por Equipos
17 de junio de 2017 Rally Revisión de las pruebas
18 de junio de 2017 Premiación Premiación
La participación en la competencia es a través de los comités estatales de la OMMEB. Cada estado participa
con a lo más un equipo en cada categorı́a, donde la organización del evento fue responsable de los gastos de
hospedaje y alimentos durante el periodo oficial de la competencia en Oaxtepec, Morelos. Cada equipo estuvo
1
2
integrado por un máximo de 4 personas: un lı́der y 3 estudiantes (una misma persona puede ser lı́der de más de
un equipo).
1.2. Categorı́as y participantes.

La OMMEB está compuesta por tres niveles:
a) Nivel I:
Estudiantes de 4◦ y 5◦ año de nivel primaria o una institución equivalente.
Los estudiantes no deben haber cumplido 13 años al 1 de agosto del 2017.
Los estudiantes deberán entregar un comprobante escolar que certifique el grado académico que está
cursando.
b) Nivel II:
Estudiantes de 6◦ año de nivel primaria y 1◦ de nivel secundaria o en una institución equivalente.
cursando.
c) Nivel III:
Estudiantes de 2◦ año de nivel secundaria o en una institución equivalente.
cursando.
1.3. Temario.
Los contenidos que se abarcan en la OMMEB corresponden en su generalidad a temás de matemáticas básicas,
agrupados en cuatro áreas: Combinatoria, Geometrı́a, Teorı́a de Números y Álgebra. El siguiente apartado incluye
los temas principales:
1. Combinatoria: Regla de suma y producto, permutaciones, combinaciones, principio de inclusión y ex-
clusión, inducción matemática, principio de las casillas, sucesiones, grafos, teorı́a de juegos, invarianza,
principios del máximo y mı́nimo.
2. Geometrı́a: Áreas y perı́metros, rectas paralelas y perpendiculares, teorema de Pitágoras, teorema de Tales,
semejanza y congruencia de triángulos, triángulos especiales, leyes de seno y coseno, puntos y rectas nota-
bles del triángulo, rectángulos, paralelogramos, rombos, polı́gonos regulares, geometrı́a de la circunferencia,
cuadriláteros cı́clicos.
3. Teorı́a de Números: Criterios de divisibilidad, algoritmo de la division, residuos, mcd y mcm, propiedades
de los números primos, factorización canónica, congruencias, ecuaciones diofantinas.
4. Álgebra: Suma de Gauss, sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas, ecuaciones lineales y cuadráti-
cas, sistemas de ecuaciones, productos notables y factorización, polinomios, desigualdades básicas, teorema
del binomio.
3
1.4. Exámenes.
a) Hay dos tipos de exámenes: individual y por equipos. El formato de los exámenes es el siguiente:
† Prueba Individual:
• Nivel I: constó de 15 problemas a responder en 90 minutos. Cada problema tuvo un valor de 5
puntos, por lo que la prueba tuvo una puntuación total de 75 puntos. Solo la respuesta final es ne-
cesaria para obtener los puntos correspondientes. No se dan puntos parciales y no hay penalización
por respuesta incorrecta.
• Niveles II y III: constó de 15 problemas a responder en 120 minutos. Los problemas se dividen
en dos partes: la Parte A consiste de 12 problemas de 5 puntos cada uno, en los cuales solo la
respuesta es requerida. En esta parte no hay puntos parciales y no hay penalización por respuesta
incorrecta. La Parte B consiste de 3 problemas de redacción libre de 20 puntos cada uno, donde
se pueden otorgar puntos parciales. La puntuación total de la prueba fue de 120 puntos.
‡ Prueba por Equipos: En los tres niveles, la prueba por equipos consistió de 8 problemas a resolver en
70 minutos de la siguiente manera:
• En los primeros 10 minutos, se le entrega a cada equipo los primeros seis problemas. Durante estos
10 minutos, los integrantes del equipo pueden platicar y comentar las posibles soluciones de los
problemas, pero no pueden escribir nada. También se repartirán entre ellos los 6 problemas de
manera que a cada participante le corresponda al menos un problema.
• Los siguientes 35 minutos, cada miembro del equipo trabaja de manera individual los problemas
que le fueron asignados. Durante este tiempo, sı́ podrán escribir.
• En los últimos 25 minutos, los tres miembros del equipo reciben los últimos dos problemas, los
cuales pueden trabajar y redactar de manera conjunta.
• En los problemas 1, 3, 5 y 7, solo se requiere la respuesta final y no se otorgan puntos parciales. En
los problemas 2, 4, 6 y 8 se requieren las soluciones completas y se podrán dar puntos parciales.
• Cada problema de la Prueba por Equipos tendrá un valor de 40 puntos.
1.5. Premios y reconocimientos.

a) Premios Individuales. Se otorgaron medallas de Oro, Plata y Bronce, ası́ como Menciones Honorı́ficas a 2/3
de los participantes, aproximadamente en razón 1:2:3:4. Los datos precisos están contenidos en la siguiente
tabla:
Nivel Oro Plata Bronce Mención

I 5 13 12 18
II 4 8 17 17
III 4 11 13 17
b) Premios por equipos. Se otorgaron medallas de Oro, Plata y Bronce a los mejores equipos de cada categorı́a:
4
Nivel Oro Plata Bronce

Tlaxcala
I Nuevo León Aguascalientes
y Zacatecas
Ciudad de México
II Yucatán Nuevo León
y Sinaloa
III Ciudad de México Nuevo León Zacatecas
c) Premios de Campeón de Campeones. Se otorga en cada categorı́a al equipo con el mayor puntaje total,
calculando la suma de los puntajes de los tres miembros del equipo en la Prueba Individual y el puntaje de
equipo en la Prueba por Equipos.
Nivel Primero Segundo Tercero

Aguascalientes
I Nuevo León Zacatecas
y Ciudad de México
Ciudad de México
II Sinaloa Nuevo León
y Yucatán
III Ciudad de México Nuevo León Chihuahua
1.6. International Mathematics Competition (IMC).

La International World Youth Mathematics Competition (IWYMIC) se llevó a cabo por primera vez en 1999
en Kaohsiung, Taiwan, a iniciativa del profesor Leou Hsian. En esta competencia participan jóvenes estudiantes
de nivel secundaria de paı́ses del sudeste asiático.
Más tarde, en 2003 el Dr. Kajornpai Pramote organiza en Tailandia la primera Elementary Mathematics
International Competition (EMIC) dirigida hacia estudiantes de educación básica, y en la cual participan 14
paı́ses.
En 2008 la EMIC y la IWYMIC se celebran nuevamente en Tailandia, y a partir de esa edición los dos concursos
se unen en uno solo, llamado desde entonces International Mathematics Competition (IMC).
México participa por primera vez en la IMC en Incheon, Corea del Sur, en el año 2010, con un equipo en la
IWYMIC. Desde 2011 México participa la IWYMIC con dos equipos y en 2017 es la primera vez que participa
en la EMIC con un equipo. En la siguiente tabla están los resultados obtenidos por cada uno de los equipos
mexicanos (O=Oro, P=Plata, B=Bronce, MH=Mención Honorı́fica, (E)=Equipo).
Año Lugar México A México B México P

2010 Incheon, Corea del Sur 3 B, 1 MH.
2011 Bali, Indonesia 2 P, 1 MH, B(E). 2 B, 2 MH, P(E).
2012 Taipei, Taiwan 3 B, 1 MH, B(E). 4 MH, P(E).
2013 Burgas, Bulgaria 1 P, 1 B, 2 MH, P(E). 2 MH, B(E).
2014 Daejon, Corea del Sur 2 B, 2 MH, B(E). 1 B, 2 MH.
2015 Changchun, China 2 B. 1 B, 3 MH.
2016 Chiang Mai, Tailandia 3 B, 1 MH, B(E). 1 B, 3 MH, B(E).
2017 Lucknow, India 1 P, 2 B, 1 MH 1 P, 2 B, 1 MH, P(E). 2 P, 1 B, 1 MH. P(E)
5
1.7. Comité Organizador.

El comité organizador de la OMMEB está integrado por:
Rogelio Valdez Delgado (Presidente),

Hugo Villanueva Méndez (Coordinador General).
Comité académico:
Juan Ramón Camacho Cordero,
Ricardo Dı́az Gutiérrez,
Luis Eduardo Garcá Hernández
José Antonio Gómez Ortega,
Marı́a Eugenia Guzmán Flores
Olga Rivera Bobadilla,
Julio Rodrı́guez Hernández
Didier Adán Solı́s Gamboa,
Rita Vázquez Padilla
Logı́stica:
Alejandro Garduño.
Kenya Espinosa.
Lucina Parra.
1.8. Jurado Calificador.

El jurado estuvo integrado por académicos de diversas instituciones del paı́s y por destacados ex-olı́mpicos,
divididos por nivel.
Nivel I Nivel II Nivel III

Luis Eduardo Garcı́a Hernández Juan Ramón Camacho Coredro Karla Avilez
Jorge Garza Vargas Rodrigo Cariño Ricardo Dı́az Gutiérrez
José Antonio Gómez Ortega Juan Carlos Castro José Andrés Hinojosa
Paulina Linares Marı́a Eugenia Guzmán Flores Daniel Perales Anaya
Olga Rivera Bobadilla Rogelio Valdéz Delgado Julio Rodrı́guez Hernández
Rita Vázquez Padilla Hugo Villanueva Méndez Didier Adán Solı́s Gamboa
Los Exámenes.
2.1. Prueba individual. Nivel I.

1. Los diez dı́gitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se han colocado cada uno dentro de un cı́rculo de manera que las dos
sumas, de los seis números en cada hexágono, son iguales. ¿Cuál es el valor de b + c − a?
2. En la siguiente operación cada letra representa un dı́gito entre 0 y 9. ¿Cuánto vale la suma o + m + m + e + b?
o m m e
+ b 3 1
2 0 1 7
3. Vı́ctor y Vicky compraron un pastel y se lo comieron de la siguiente manera: Una mañana Vı́ctor se comió
la mitad del pastel, por la noche Vicky se comió la mitad del pastel que quedaba. Este proceso siguió de la
misma manera durante 4 dı́as, comiendo cada uno la mitad del pastel que encontraban. En la mañana del
quinto dı́a, Vı́ctor se comió lo que quedaba del pastel. ¿Qué proporción del pastel comió Vı́ctor en los 5 dı́as?
4. Dada la lista de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 una sublista se forma tomando al menos un número de la lista
y ordenados de menor a mayor, por ejemplo 1, 2, 8 es una sublista. Encuentra la cantidad de sublistas en las
que ninguno de los números 2, 3, 5 o 7 aparecen.
5. La siguiente figura está compuesta por el triángulo equilátero ABH; el rectángulo CDF G y el triángulo
isósceles DEF ; de manera que AB = DE y CD = 2BC = 2GH. Si el perı́metro de DEF es 8 y el perı́metro
de CDF G es 10, ¿Cuál es el perı́metro de la figura?
6
7
6. Los enteros positivos a, b, c, d, e cumplen con:

1 268
a+ = .
1 187
b+
1
c+
1
d+
e+1
Encuentra el valor de a + b + c + d + e.
7. Al imprimir un libro, el impresor no incluyó las hojas que tienen páginas que terminan con la cifra 8. Si el
total de las cifras de las páginas que no se incluyeron es 230; ¿cuál es el número máximo de páginas que
puede tener el libro original?
8. En la siguiente figura, ABCDE es un pentágono regular y ABF G es un cuadrado. ¿Cuál es la medida, en

grados, del ángulo GED?
9. El número 100 . . . 00200 . . . 001 se formó con un 1 seguido de 2017 ceros, luego un 2, seguido de otros 2017
ceros y al final un 1. ¿Cuántos ceros tiene la raı́z cuadrada del número?
10. En la figura siguiente, la circunferencia mayor tiene radio 2 cm, ¿cuál es el área, en cm2 , de la región som-
breada?
11. A Pedro y a Marı́a les dejaron de tarea recortar cı́rculos de cartón en fracciones. Marı́a recortó cada cı́rculo
en 8 partes. Pedro las recortó en 6 partes. En total recortaron 30 cı́rculos y Marı́a terminó con el doble de
piezas que Pedro, ¿cuántos cı́rculos recortó Marı́a?
12. Las bases de un trapecio miden 18 cm y 8 cm, y los otros dos lados, 8 cm y 6 cm. Encuentra la longitud, en
centı́metros, del segmento que une los puntos medios de las bases.
8
13. ¿Cuántos enteros de 2 dı́gitos existen tales que al multiplicarlos por 3 se obtiene un número de 3 dı́gitos,
todos ellos iguales?
14. Encuentra la cantidad de enteros positivos de 5 dı́gitos distintos, tales que cada uno de sus tres dı́gitos
intermedios es igual al promedio de sus dos dı́gitos adyacentes. Un ejemplo de estos números es 12345.
15. Sea ABCDEF un hexágono regular de lado 2 cm. Sea P un punto dentro del hexágono de tal manera que
]AP B = 90◦ y que AP = P B. Encuentra el valor, en cm2 , de DP 2
2.2. Prueba individual. Nivel II.
2.2.1. Parte A
1. Coincide con el Problema 3 de Nivel I.
3. En la siguiente figura, ABCDEF es un hexágono regular y ABGHI es un pentágono regular. ¿Cuál es la

medida, en grados, del ángulo IF E?
5. Si se lanzan 3 dados, calcula la probabilidad de que el producto de los números que quedaron boca arriba
tenga exactamente dos divisores positivos.
9
7. Al realizar la multiplicación (x + 1)(x + 2)(x + 3) · · · (x + 2017), ¿Cuál es el coeficiente de x2016 ?
9. Se escriben en fila los números naturales a partir del 50, excluyendo aquellos que tienen alguna cifra 3:
50515254555657585960616264 . . .
¿Qué cifra queda en el lugar 2017?
10. En la siguiente figura, D es un punto sobre el arco AB, los segmentos CA y CB son tangentes al ar-
co en los puntos A y B, respectivamente, y los puntos E, F y G son los pies de las perpendiculares desde
D a los lados AD, BC y CA, respectivamente. Si DG = 9 cm y DF = 4 cm, calcula, en cm, la longitud DE.
11. Encuentra el máximo común divisor de 111444444 y 444111111.
12. Encuentra todos los enteros positivos x, que cumplan la ecuación

x3 − 2017x − 360 = 0
2.2.2. Parte B
1. Encuentra la suma de todos los números positivos primos relativos con 100 y que sean menores que 100.
2. Un entero positivo se dice balanceado si todos sus dı́gitos aparecen la misma cantidad de veces. Por ejemplo,
1234, 101022 y 777 son números balanceados. Encuentra la cantidad de números balanceados menores a 104 .
√
3. Sean ABCD un cuadrado de lado 2 cm y E, F puntos tales que ACF y BDE son triángulos equiláteros.
Encuentra la razón del área del cuadrilátero DCF E entre el área del cuadrilátero ABF E.
10
2.3. Prueba individual. Nivel III.
2.3.1. Parte A
1. El número 10! tiene 270 divisores positivos. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar uno de ellos al azar,
este divisor sea impar?
2. Las distancias desde los tres vértices A, B, C de un triángulo ABC a una recta dada miden 7 cm, 9 cm y
14 cm, respectivamente. Sean L y M los puntos medios de BC y CA, respectivamente, y sea G el punto de
intersección de AL y BM . Calcula la distancia, en centı́metros, desde G a dicha recta.
3. Coincide con el Problema 9 de Nivel II.
9. Sea M el conjunto 1, 2, 3, . . . , 2017. Para cada subconjunto A de M se denota por SA a la suma de todos
los elementos de A. Calcula el promedio de todos los números SA
10. Encuentra todos los números de tres cifras que sean cuadrados perfectos y tales que el número que se obtiene
al invertir el orden de sus cifras también sea un cuadrado perfecto.
11
11. En un autobús van seis pasajeros, cada uno lleva un boleto con número, los 6 números son distintos. Además
los números de los boletos cumplen que ninguno es múltiplo de 5 y para cada número de boleto hay exacta-
mente otro, de los cinco restantes, de manera que ese par de números no tiene divisores positivos en común,
aparte del 1. ¿Cuál es el número más pequeño que se puede obtener al multiplicar los números de los seis
boletos?
12. En el triángulo ABC, el segmento AB mide 1 cm, ]BAC = 90◦ y ]CBA = 60◦ . Además M y N son los
puntos medios de los arcos AC y AB, respectivamente de la semicircunferencia. Calcula, en cm2 , el valor
del área del triángulo AN M .
2.3.2. Parte B
2. Los números enteros positivos a, b y c son distintos y satisfacen que
a|b + c + bc, b|c + a + ca, c|a + b + ab.
Prueba que al menos uno de los números a, b, c no es primo.
3. El número natural M tiene exactamente 6 divisores positivos cuya suma es 3500. Encuentra todos los valores
posibles de M .
2.4. Prueba por equipos. Nivel I.
1. Toño fue a la tienda. Tanto Toño como el señor de la tienda tienen sólo monedas de 1, 2, 5 y 10 pesos. Toño
afirmó: “Puedo pagar con 3 monedas y de cambio recibir 2 monedas de valor distinto a las que usé para
pagar”. ¿Cuáles son todas las posibles cantidades que puede pagar Toño?. Toma en cuenta que Toño nunca
usarı́a monedas de más, es decir, no usa monedas que al quitarlas, el valor de las monedas restantes siga
siendo mayor o igual a la cantidad que debe pagar.
2. Una pulga salta sobre los vértices de un polı́gono regular de 2017 lados. Los vértices están numerados
consecutivamente del 1 al 2017. La pulga inicia en el vértice 6, siempre salta 4 vértices y cae en el quinto
más adelante (por ejemplo, del vértice 20 llega al 25), pero se regresa 2 vértices cuando cae en un vértice
numerado con una potencia de 2 (por ejemplo, después de un posible salto 27 − 32, regresa al 30). ¿Después
de cuántos saltos la pulga supera por primera vez el 1?
12
3. Se colocan los números impares 3, 5, 7, 9, . . ., siguiendo una espiral como se muestra en la figura. El número
3 quedo en un primer cuadrado de 1 × 1, al poner el 9 se cerró un segundo cuadrado de 2 × 2, un tercer
cuadrado se cerró al poner el 19. ¿Qué número cierra el cuadrado número 18?
4. Los nadadores Omar, Mario, Miguel, Edgar y Beto van a competir en una carrera de 100 metros libres en
una alberca de 5 carriles. Se acomodan en los carriles de forma que:
1. Beto no nada al lado de Mario, ni de Edgar.

2. Omar nada en un extremo.
3. Miguel nada en medio de dos personas y ninguna de ellas es Mario.
4. Edgar no está en los carriles 2, 3 ni 5.
Indica en qué carril está cada uno de los competidores.
5. Determina la cantidad máxima de triángulos que tienen sus tres vértices en algunos de los puntos de
intersección de 6 rectas y ninguno de sus lados está sobre alguna de las rectas.
6. El diámetro FE mide 4 cm y se divide en 4 partes iguales: FG = GH = HI = IE. Se trazan circunferencias

con diámetros FH, GI y HE. ¿Cuánto mide el área sombreada, en cm2 ?
7. Encuentre todos los números múltiplos de 3, de 4 cifras, ninguna de ellas igual a 2 o 4, tales que al dividirlos
entre 3, resulte un número de 4 cifras con exactamente las mismas cifras del número original.
8. El número de la casa de Joaquı́n es el 932. Joaquı́n se da cuenta que este número cumple las siguientes
condiciones:
Todos los dı́gitos son positivos y aparecen en orden decreciente (9 > 3 > 2 > 0).
La suma de 932 con el número que se obtiene invirtiendo el orden de los dı́gitos es un número que tiene
todos sus dı́gitos impares (932 + 239 = 1171).
¿Cuáles números de 3 dı́gitos, incluyendo el 932, tienen estas dos propiedades?

13
2.5. Prueba por equipos. Nivel II.
3. Sean A1 A2 A3 ...An−1 An yA1 A2 B3 ...Bn Bn+1 dos polı́gonos regulares con n y n+1 lados, respectivamente, tales
que comparten el lado A1 A2 . Además, el polı́gono A1 A2 A3 ...An−1 An es interno al polı́gono A1 A2 B3 ...Bn−1 Bn Bn+1 .
Encuentra todos los valores de n > 3 tales que
]A1 Bn+1 Bn
]An Bn+1 Bn = .
3
5. Coloca los números del 1 al 8 en las caras del octaedro regular, de manera que se cumpla la siguiente
condición: si en cada vértice del octaedro se escribe el producto de los números que están en las 4 caras que
lo tocan, entonces la suma de cada pareja de números escritos en vértices opuestos es la misma.
6. Sea ABCD un cuadrilátero con sus vértices sobre una circunferencia C y tal que AB > AD. Sea E un punto
sobre el lado AB tal que BE = AD. Sea P un punto sobre la circunferencia C con AP = P E. Muestra que
]DCP = ]P CB
7. Para cada entero positivo n, considera los enteros positivos a y b tales que: a y b no tiene divisores positivos
en común diferentes de 1, ab = n y a + b es mı́nimo (esto último quiere decir que si n = ab = cd, entonces
a + b ≤ c + d.) Definimos f (n) = |s(a) − s(b)| donde s(j) representa la suma de los dı́gitos de j. Calcula la
suma:
f (12 + 1) + f (22 + 2) + · · · + f (20172 + 2017).
14
8. Juan escribe un número, entre 1 y 1000 (inclusive). Él reta a su hermano Mario a adivinar qué número
escribió. En cada paso, Mario puede hacer preguntas a Juan de la siguiente forma: ¿El número que escribiste
es igual, mayor o menor a x?, donde x es cualquier número entre 1 y 1000 que Mario puede escoger en
cada paso. Juan deberá responder esta pregunta con la verdad. Mario gana cuando Juan le responde que el
número que escribió es igual al número x por el cual preguntó Mario. Encuentra una estrategia en la cual
Mario tarde a lo más 9 preguntas en ganar, independientemente de qué número escriba Juan.
2.6. Prueba por equipos. Nivel III.
1. Coloca los números del 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dentro de los cı́rculos de la siguiente figura, de manera que si
dos cı́rculos están conectados con un segmento los números en esos cı́rculos no tienen divisores en común
distintos de 1.
2. Encuentra todas las ternas de enteros positivos (x, y, z) tales que
x3 + 3x2 + z 2 + 2x + 3y = 2018.
6. Sea P un punto en el plano. Se dibujan n circunferencias de radio 1 tales que P es un punto común a ellas.
Encuentra el máximo n de tal manera que no suceda que el centro de alguna de las circunferencias quede
en el interior o en el borde de otra de las circunferencias.
7. Para cada entero positivo n que no termine en cero, sea n∗ el resultado de escribir los dı́gitos de n en orden
inverso. Por ejemplo 2017∗ = 7102. Sea a un entero positivo de menos de 8 dı́gitos tal que a∗ es distinto de
a y denotemos por D al máximo común divisor de los números a y a∗ . Se sabe que D es mayor a 2017 y lo
dividen al menos tres primos distintos. Halla un valor posible de a.
8. Un entero positivo n es bueno si el exponente del 13 en la factorización de primos de n! es distinto de cero

y divisible por 13. Encuentra todos los enteros positivos n que sean buenos pero que ningún número menor
a n − 13 lo sea.
15
2.7. Autores.
Todos los problemas en los exámenes son inéditos y fueron propuestos por los siguientes estados:
Examen Individual
1 Comité 1A Cd. de México 1A Jalisco
2 Aguascalientes 2A Nuevo León 2A Jalisco
3 Cd. de México 3A Nuevo León 3A Jalisco
4 Nuevo León 4A Cd. de México 4A Cd. de México
5 Tamaulipas 5A Nuevo León 5A Nuevo León
6 Comité 6A Cd. de México 6A Aguascalientes
7 Jalisco 7A Aguascalientes 7A Jalisco
8 Nuevo León 8A Cd. de México 8A Aguascalientes
9 Tamaulipas 9A Jalisco 9A Comité
10 Comité 10A Jalisco 10A Comité
11 Jalisco 11A Cd. de México 11A Comité
12 Jalisco 12A Aguascalientes 12A Comité
13 Cd. de México 1B Nuevo León 1B Cd. de México
14 Cd. de México 2B Cd. de México 2B Nuevo León
15 Cd. de México 3B Cd. de México 3B Nuevo León
Prueba por Equipos

1 Aguascalientes 1 Jalisco 1 Comité
2 Tamaulipas 2 Comité 2 Nuevo León
3 Jalisco 3 Nuevo León 3 Nuevo León
4 Comité 4 Tamaulipas 4 Comité
5 Cd. de México 5 Comité 5 Tamaulipas
6 Jalisco 6 Comité 6 Cd. de México
7 Aguascalientes 7 Tamaulipas 7 Tamaulipas
8 Tamaulipas 8 Aguascalientes 8 Tamaulipas
Soluciones.
3.1. Prueba individual. Nivel I.

1. Igualando las sumas de los números en los hexágonos:
a+b+c+9+2+0=b+c+1+7+5+4
se obtiene a = 6 y como se deben usar todos los dı́gitos, tenemos que b y c son 3 y 8 en algún orden. Por
tanto b + c − a = 3 + 8 − 6 = 5.
R: 5
2. Como e + 1 = 7, entonces e = 6. Luego, como m + 3 = 1, necesitamos que m = 8. Esta última operación,

nos acarrea 1 para la suma de los dı́gitos de las centenas, por lo cual m + b + 1 debe dar como resultado
0. Como m vale 8, entonces b debe valer 1. Finalmente esta última suma acarrea un 1 a los millares, por lo
tanto o + 1 = 2 y o = 1. Ası́, o + m + m + e + b = 1 + 8 + 8 + 6 + 1 = 24.
R: 24
3. Durante los primeros 4 dı́as, Vı́ctor y Vicky, juntos se comieron

1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + =1−
2 4 8 16 32 64 128 256 256
1
Por lo tanto, en el dı́a 5 Vı́ctor comió 256
de pastel. Ası́, durante los 5 dı́as, Vı́ctor comió
1 1 1 1 1 128 + 32 + 8 + 2 + 1 171
+ + + + = =
2 8 32 128 256 256 256
del pastel.
171
R:
256
4. Contemos las sublistas que no contienen a 2, 3, 5 o 7. Estas se conforman con los restantes 5 dı́gitos, y por
tanto tenemos 25 de ellas. El total de sublistas es 25 − 1 = 31, ya que el conjunto vacı́o no genera ninguna
sublista.
R: 31
5. Sean x = BC = GH = CD/2 y y = HA = AB = DE = EF . Ası́, el perı́metro total de la figura es 6x + 4y.

Por otro lado, 2x + 3y = 8 y 8x + 2y = 10. Por lo tanto la respuesta es
8x + 2y
2x + 3y + = 8 + 5 = 13
2
16
17
R: 13
6. Como
268 81 1
=1+ = 1 + 187
187 187 81
se tiene que a = 1 y
1 187 25
b+ 1 = =2+
c+ 1
d+ e+1
81 81
por lo que b = 2 y
1 81 6
c+ 1 = =3+
d + e+1 25 25
luego c = 3 y
1 25 1
d+ = =4+
e+1 6 6
por lo que d = 4 y e = 5. Ası́ a + b + c + d + e = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
R: 15
7. Sea x el número de cifras eliminadas. Como a cada hoja arrancada le corresponden dos páginas, una termi-
nada en cifra 7 y la otra en cifra 8, se eliminan x/2 cifras con las páginas terminadas en 8. Analicemos las
páginas con numeración terminada en cifra 8, para encontrar la última hoja arrancada:
8, 18, 28, 38, · · · , 98; 108, 118, 128, 138, 148, 158, 168, 178, 188, 198; 208, 218, · · · , 998
x
− 19 cifras se eliminarán
Vemos que hasta el 98, inclusive, se han eliminado 19 cifras, ası́ que las restantes
2
x
de 3 en 3, es decir, el número de hojas que faltan por arrancar es la tercera parte de − 19, siempre y
2
x
cuando − 19 ≤ 270 = 30 × 9, antes de empezar con la hoja donde está el 1008. Luego la última hoja que
2
se arranca está numerada con N y
x
N − 108 − 19
+1= 2 ,
10 3
5
N = (x − 38) + 98
3
Ası́ que el máximo número de páginas del libro será
5
N + 8 = (x − 38) + 106
3
Para el caso x = 230, N = 418 y el máximo número de páginas N + 8 = 426.
R: 426
8. Notemos que ]BAG = 90◦ y ]BAE = 180◦ × 35 = 108◦ . Por tanto ]EAG = 18◦ . Además, GA = AB = AE
y por tanto 4EAG es isósceles. Ası́ ]GEA = (180◦ − 18◦ )/2 = 81◦ y ]GED = 108◦ − 81◦ = 27◦
R: 27◦
18
9. Notemos que el número es 102×2018 + 2 × 102018 + 1 = (102018 + 1)2 . Su raı́z cuadrada es 102018 + 1 que tiene
2017 ceros.
R: 2017
10. Observemos la siguiente figura.
La región B tiene un área igual a 1 − π/4, en tanto que la región A tiene un área igual a π/4. Ası́, la región
sombreada tiene un área igual a 2(A + B) = 2. Por tanto, el área de toda la figura es 4 × 2 = 8.
R= 8
11. Podemos hacer una tabla para llegar al resultado. Si cada uno hubiera recortado 15 cı́rculos, tendrı́amos lo
siguiente:
Cı́rculos de Marı́a Cı́rculos de Pedro Piezas de Marı́a Piezas de Pedro
15 15 120 90
Si continuamos la tabla podremos llegar al resultado
Cı́rculos de Marı́a Cı́rculos de Pedro Piezas de Marı́a Piezas de Pedro

15 15 120 90
16 14 128 84
17 13 136 78
18 12 144 72
y podemos ver que Marı́a recortó 18 cı́rculos.
R: 18
12. Sea ABCD el trapecio con AB = 18, CD = 8, DA = 6 y BC = 8. Si E y F son los puntos medios de
las bases AB y CD respectivamente, hay que calcular la longitud de EF . Trazando F H y F I, paralelas a
DA y BC se forman dos paralelogramos, luego AH = DF = 4 = F C = IB, entonces HI = 18 − 8 = 10,
F H = DA = 6 y F I = BC = 8.
Observemos que HF I es un triángulo rectángulo, ya que F H 2 + F I 2 = HI 2 . Como E es el punto medio de
la hipotenusa, entonces F E = HE = EI = 5.
19
Otra posible solución considera la ley del paralelogramo: si prolongamos la mediana hasta F1 , donde F E =
EF1 , obtenemos el paralelogramo F HF1 I y por tanto
F F1 2 + HI 2 = 2F H 2 + 2F I 2 ,
F F1 2 = 2F H 2 + 2F I 2 − HI 2 = 72 + 128 − 100 = 100,

√
F F1 100
FE = = =5
2 2
R: 5
13. Sea n un número de dos dı́gitos tal que 3 × n = aaa = 111 × a = 3 × 37 × a, para algún dı́gito a 6= 0.
Podemos notar que lo anterior es equivalente a tener que n = 37 × a pero como n es un número de dos
dı́gitos, a sólo puede ser 1 o 2 y por ende n puede tener únicamente dos valores. Ası́ el resultado es 2.
R: 2
14. Si abcde es un número de cinco dı́gitos que cumple lo anterior debemos tener que
a+c c+e b+d
b= , d= , c=
2 2 2
b+d
lo que implica que a, c y e deben tener la misma paridad. Sustituyendo b y d en c = , obtenemos que
2
a + 2c + e a+e
c= y por lo tanto c = . Ahora notemos que al encontrar a, e distintos con las propiedades
4 2
anteriores obtendremos un número del tipo buscado pues es fácil ver que como a, e son distintos entonces
b+d a+c c+e
los números a, e, c = ,b= ,d= son distintos. Si a, e son pares las únicas parejas que
2 2 2
cumplen con las propiedades anteriores son (2, 6), (4, 8) y sus permutaciones. Si a, e son impares las parejas
buscadas son (1, 5), (1, 9), (3, 7), (5, 9) y sus permutaciones. Entonces hay 6 × 2 = 12 números que cumplen
las condiciones.
R: 12
√
15. Como DC = BC = 2 y ]DCB = 120◦ tenemos por el teorema de Pitágoras que DB = 2 3. Sea Q el pie
de la altura de P a DB, entonces BQ es igual a la altura desde P a AB.
√ 4AP B es rectángulo e isósceles, dicha altura mide

Dado que 1 y por√lo tanto QB = 1.√Esto implica que
DQ = 2 3 − 1 y de nuevo por el teorema de Pitágoras DP = 1 + (2 3 − 1)2 = 2(7 − 2 3).
2
√
R: 2(7 − 2 3)
20
3.2. Prueba individual. Nivel II.

3.2.1. Parte A
◦ ◦
3. Notemos que ]IAB = 1805 ×3 = 108◦ y ]F AB = 1806 ×4 = 120◦ . Por tanto ]F AI = 12◦ . Además, IA =
◦ ◦
AB = AF y por tanto 4F AI es isósceles. Ası́ ]IF A = 180 2−12 = 84◦ y ]IF E = 120◦ − 84◦ = 36◦
R: 36◦
5. Notemos primero que dicho producto debe ser un número primo y sólo puede ser 2, 3 ó 5. Sea p alguno de
estos primos, luego en los otros dos tiros se debió obtener un 1, y lo que varı́a es en cuál tiro salió el primo p,
por lo que para cada primo tenemos 3 opciones: p × 1 × 1, 1 × p × 1 y 1 × 1 × p. Como hay 3 primos válidos,
entonces la cantidad de tiros “favorables”son 3 × 3 = 9, de un total de 6 × 6 × 6 = 63 = 216 resultados
9 1
posibles. Luego la respuesta es 216 = 24 .
1
R:
24
7. Notemos que para obtener x2016 como término en la multiplicación de binomios, debemos elegir a la x en
2016 de los binomios multiplicados y uno de los números de exactamente 1 paréntesis. Entonces cada uno
de los números en los paréntesis aparecerá exactamente una vez multiplicando al término x2016 , es decir,
1x2016 + 2x2016 + 3x2016 + · · · + 2017x2016 = (1 + 2 + 3 + · · · + 2017)x2016 ,
por lo tanto el coeficiente de x2016 es equivalente a la suma 1 + 2 + 3 + · · · + 2017. Usando la fórmula de

Gauss, la suma es igual a 1 + 2 + 3 + · · · + 2017 = 2017 × 2018/2 = 2017 × 1009.
R: 2017 × 1009 = 2, 035, 153
9. Notemos que desde el 50 hasta el 59 hay 9 números de 2 cifras, que en total aportan 18 cifras. Ası́ desde 50
hasta 99 hay 45 números de 2 cifras y en total se escriben 90 cifras. Además, desde el 100 hasta el 199 hay 81
números de 3 cifras, que en total aportan 243 cifras. Ası́ desde el 100 hasta el 999 hay 8×81 = 648 números de
tres cifras y en total se escriben 1944 cifras. Por tanto del 50 al 999 se escriben 90 + 1944 = 2034 cifras. Para
encontrar la cifra en la posición 2017, hay que regresar del 999 hacia atrás 17 cifras, . . . 994995996997998999.
Por lo tanto, la cifra 9 ocupa el lugar 2017.
21
R: 9
10. Los triángulos rectángulos AED y BF D son semejantes porque el ángulo semi-inscrito CBD es igual al
ángulo inscrito BAD, entonces
DE DF AD
= ⇒ DE = DF × .
AD DB DB
De manera análoga, los triángulos BED y AGD son semejantes. Entonces
DE GD DB
= ⇒ DE = GD × .
DB AD AD
Multiplicando estas relaciones vemos que DE es la media geométrica de DF y GD:

2 AD DB
DE = DF × GD × = (DF )(GD) = 4 × 9 = 36
DB AD
.
R: 6 cm
11. Sean A = 111444444, B = 444111111 y x = 333. Podemos notar que A = 334668x y B = 1333667x por lo
que el máximo común divisor de A y B es múltiplo de x. Además d = M CD(334668, 1333667) debe dividir
a 4 × 334668 − 1333667 = 5005 = 5 × 7 × 11 × 13 pero 1333667 no es múltiplo de 5, 7, 11 o 13 por lo que
5005 es primo relativo con 1333667 y ası́ d = 1. Por tanto, M CD(A, B) = x = 333.
R: 333
12. Como x ≥ 1, entonces x3 = 2017x + 360 implica que x3 ≥ 2017 + 360 = 2377. Esto a su vez implica x ≥ 14
360
ya que 133 = 2197. Por otro lado, x2 = 2017 + de modo que
x
360
442 = 1936 < 2017 ≤ x2 ≤ 2017 + < 2017 + 26 = 2043 < 462 = 2116.
14
La única opción que le queda es x = 45. Luego comprobamos
453 − 2017(45) − 360 = 45(452 − 2017) − 360 = 45(2025 − 2017) − 360 = 45(8) − 360 = 0.
Por lo tanto concluimos que x = 45 es la única solución entera positiva para esta ecuación.
R: 45
22
3.2.2. Parte B
1. Como 100 = 22 × 52 , la cantidad de primos relativos con 100 es 100 − 50 − 20 + 10 = 40. Ahora notemos
que si 1 ≤ n ≤ 50 es primo relativo con 100, entonces 100 − n también lo es. Según el argumento anterior
podemos agrupar los primos relativos en parejas (n, 100 − n) tales que cada pareja suma 100, y como 50 no
es primo relativo con 100, entonces podemos dividir los números de forma exacta en 40 2
= 20 parejas. Por
tanto la respuesta es 20 × 100 = 2000.
2. Notemos que los números menores a 104 tienen a lo más 4 dı́gitos. Si los dı́gitos no se repiten, tenemos
9 + 9 × 9 + 9 × 9 × 8 + 9 × 9 × 8 × 7 = 9 + 81 + 648 + 4536 = 5274 números balanceados. Si un dı́gito se repite,
entonces todos los dı́gitos se repiten (de otra forma no serı́a balanceado). En elcaso en que cada dı́gito
está dos veces y ninguno es cero, tenemos 92 formas de escoger los dı́gitos y 42 formas de acomodarlos
(si nuestro número es de 4 dı́gitos). Por otro lado, si consideramos las parejas de dı́gitos que contienen al
cero, estas son 9 y hay solo 3 opciones para acomodar las parejas, dado que el 0 no puede ir al principio del
9 4
número. Por tanto en este caso hay 2 2 + 9 × 3 = 216 + 17 = 243. Si nuestro número es de dos dı́gitos
tenemos solamente 9 opciones. Por tanto en este caso tenemos 243 + 9 = 252 números. Si los números se
repiten 3 o 4 veces tenemos 9 × 2 = 18 números, pues para cada uno de los 2 casos se tienen 9 posibilidades.
Por tanto, en total contamos 5274 + 252 + 18 = 5544 números balanceados.
3. Sean P el punto de intersección de AD con EF y Q el centro del cuadrado.
Notemos que
P D(DC + F E) P A(AB + F E) P A(DC + F E)

[DCF E] = y [ABF E] = = .
2 2 2
Entonces
[DCF E] P D(DC + F E) PD
= = .
[ABF E] P A(DC + F E) PA
Es fácil ver que C, A, E son colineales al igual que D, B, F . Además, por simetrı́a tenemos que AB
es paralela a EF . Por tanto ]DP F = ]DAB = 90◦ y ]DBA = ]DF P = 45◦ . Ası́ P D = P F y
2P D2 = P D2 + P F 2 = DF 2 . Por tanto P D = DF √ . Como 4AF C es equilátero y AC = 2 tenemos que
√ √ √ √2
F Q = 3 y por tanto DF = 1 + 3, P D = 2(1+ 2
3)
y
√ √ √ √
√ 2(1 + 3) √ 2( 3 − 1)
PA = PD − 2= − 2= .
2 2
Entonces √
[DCF E] PD 1+ 3 √
= =√ = 2 + 3.
[ABF E] PA 3−1
23
3.3. Prueba individual. Nivel III.

3.3.1. Parte A
1. La descomposición en primos de 10! es 28 es 28 × 34 × 52 × 7. Los divisores impares de 10! deben ser entonces
divisores de 34 × 52 × 7. Como hay 5 × 3 × 2 = 30 de estos divisores, la probabilidad buscada es 30/270 = 1/9
1
R:
9
2. Sean D, F, E, K las proyecciones respectivas de A, B, C, G sobre la recta. Los segmentos DA, EC y F B son
paralelos, formando varios trapecios. El baricentro G es el punto de intersección de las medianas AL y BM ,
ası́ que la distancia que se busca es GK = x. Sea P el punto medio de GB y sean J y Q las proyecciones
de M y P sobre la recta. Entonces x será la lı́nea media del trapecio M JQP ,
M J + QP
x= .
2
Notemos que M J es la lı́nea media del trapecio ADEC, entonces M J = (7 + 14)/2 = 21/2. Análogamente,
QP es la lı́nea media del trapecio GKF B ya que GB = 2GM . Entonces P Q = (9 + x)/2. Sustituyendo
21
2
+ 9+x
2 30 + x
x= = .
2 4
Resolviendo obtenemos x = 10.
R: 10

24
9. Para cada 1 ≤ k ≤ 2017, un subconjunto A que contiene a k se puede expresar de la forma A = B ∪ {k}
donde B es un subconjunto que no contiene a k. Como hay 22016 subconjuntos B, entonces el número k
aparecece 22016 veces como sumando en SA . Ası́ la suma de todos los conjuntos SA es igual a
22016 × 2017 × 2018

22016 (1 + 2 + 3 + · · · + 2017) = = 22015 × 2017 × 2018
2
Dado que hay en total 22017 subconjuntos, la probabilidad buscada es
22015 × 2017 × 2018 2017 × 1009

2017
=
2 2
2017 × 1009
R:
2
10. Sean x2 = abc y y 2 = cba. Entonces tenemos (x + y)(x − y) = x2 − y 2 = 99(a − c). En consecuencia, si x 6= y,
99 divide al producto (x + y)(x − y). Como los cuadrados deben ser números de tres cifras y 312 = 961,
entonces tenemos que 10 ≤ x, y ≤ 31. Entonces 21 ≤ x + y ≤ 61 y 1 ≤ x − y ≤ 21. Por tanto tenemos
dos casos: (1) x + y = 27, 36, 45, 54 y x − y = 11, (2) x + y = 33, 44, 55 y x − y = 9, 18. El caso (1) no
arroja soluciones, en tanto que el caso (2) nos da x2 = 212 = 441 y x2 = 312 = 961. Por otro lado, si x = y
entonces a = b y tenemos las soluciones x2 = 112 = 121, x2 = 222 = 484 y x2 = 262 = 676. Finalmente, si
un número a ponerlo al revés no tiene 3 cifras entonces el número original termina en 0, ası́ que es divisible
entre 10 y por tanto entre 100. Aquı́ las soluciones son x2 = 102 = 100, x2 = 202 = 400 y x2 = 302 = 900.
R: 144, 169, 441, 961, 121, 484, 676, 100, 400, 900
11. Para minimizar el producto de los boletos, basta considerar los 6 números más pequenos que cumplan las
condiciones del problema, lo cual implica que dichos números deberán estar formados por parejas de los
4
4 números primos más pequeños, sin contar al 5 (ya que 2 = 6). Ası́ los números se formarán tomando
parejas del conjunto {2, 3, 7, 11}, por lo que el producto de ellos será 23 × 33 × 73 × 113 = 4623 . El siguiente
arreglo muestra una posible disposición de los números
Pasajero 1 2 3 4 5 6
Boleto 2 × 7 = 14 3 × 11 = 33 2×3=6 7 × 11 = 77 2 × 11 = 22 3 × 7 = 21
R: 4623
12. Considera L el pie de la altura desde M sobre AN .

25
Como N y M son puntos medios de los arcos AB y AC, entonces ]M N A = 30◦ y ]AM N = 15◦ .
Por lo tanto 4M N L es rectángulo de 30◦ − 60◦ − 90◦ y 4LAM es rectángulo isósceles. Por otro lado,
]M CA =√30◦ = ]ACB. Ası́ √ AB √ = AM = 1, entonces 4LAM tiene hipotenusa 1, lo cual implica que
LM = 1/ 2. Luego LN = 3/ 2 y
√
√3 √1 √1 √1
√
2
× 2 2
× 2 3−1
[AN M ] = [LM N ] − [LAM ] = − = .
2 2 4
√
3−1
R:
4
3.3.2. Parte B
2. Supongamos que los tres números son primos. Si uno de ellos fuera par, digamos a = 2, luego b y c son
impares, luego b + c + bc es impar, y no es posible que a|b + c + bc, por lo que ninguno de los números puede
ser par. Como a|(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1, b|(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1, c|(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1 y a, b, c son
primos, entonces abc|(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1. Sin embargo
(a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) a+1 b+1 c+1 4 6 8

1< < = × × ≤ × × <2
abc abc a b c 3 5 7
por lo que abc no divide a (a + 1)(b + 1)(c + 1) − 1, lo cual es una contradicción. Luego alguno de los números
a, b, c no puede ser primo.
3. Supóngase que M tiene más de 3 divisores primos, entonces, tendrı́a cuando menos 2 × 2 × 2 = 8 divisores,
una contradicción, por lo que M debe tener a lo mucho dos divisores primos, y siendo este el caso es fácil
ver que M es de una de las siguientes formas p5 ó p2 q.
Caso (1): M = p5 . En este caso la suma de los divisores de M es 1 + p + p2 + p3 + p4 + p5 = 3500: Si p ≤ 5

entonces el lado izquierdo es mayor que el lado derecho, si p = 2, 3 tampoco se da la igualdad, por lo
que no hay soluciones en este caso.
Caso (2): M = p2 q. En este caso los divisores son 1, p, p2 , q, pq, p2 q y su suma puede ser escrita como: (p2 + p +
1)(q + 1) = 3500 = 22 × 53 × 7. Pero p2 + p + 1 es siempre impar, luego q + 1 debe ser par y q es impar.
Supóngase que q + 1 = 4k entonces tenemos que k(p2 + p + 1) = 53 × 7. Analizando las congruencias
módulo 5, notamos que p2 + p + 1 no puede ser múltiplo de 5, luego debe ser 1 o 7, resolviendo estos dos
casos, concluimos que el único valor valido para p es p = 2, por lo que k = 125 y q = 4 × 125 − 1 = 499
que es también primo. Luego el único valor posible para M es 22 × 499 = 1996.
3.4. Prueba por equipos. Nivel I.

1. Consideremos el pensamiento de Toño. Como Toño puede pagar con 3 monedas y que le regresen cambio,
entonces a lo más, la cantidad que tiene que pagar es 30. Ahora, podrı́an regresarle el cambio con 2 monedas,
por lo tanto la diferencia con esas 3 monedas que pagó es al menos 2 pesos. Por lo tanto la cantidad a lo
más es 28 pesos. Si paga con 3 monedas ninguna de ellas puede ser de 1 o 2 pesos porque la cantidad que le
regresarı́an es al menos 2 pesos, volviendo innecesaria la moneda de 1 o 2 pesos. Por lo tanto en el primer
pensamiento de Toño, pagó sólo con monedas de 10 y 5 pesos. Analizemos primero el caso donde se usan
26
3 monedas de 10 pesos. El cambio puede darse usando a lo más una moneda de 5 pesos (si se usan dos se
vuelve innecesaria una de 10 pesos). Si se utiliza, el cambio será 6 o 7 pesos y la cantidad a pagar serı́a 24 o
23 pesos. Si no se utiliza, el cambio será 2, 3 o 4 pesos, y la cantidad a pagar serı́a 28, 27 o 26 pesos. Si se
usa al menos una moneda de 5 pesos, en el cambio sólo podrán utilizarse monedas de 1 y 2 pesos, pues de
lo contrario la moneda de 5 pesos se volverı́a innecesaria, en este caso el cambio se dará sólo con monedas
de 1 o 2 pesos y deberá ser 2, 3 o 4 pesos. Tres monedas de 5 pesos: La cantidad a pagar serı́a 13, 12 u 11
pesos. Dos monedas de 5 pesos y una de 10 pesos: La cantidad a pagar serı́a 18, 17 o 16. Una moneda de 5
pesos y dos de 10 pesos: La cantidad serı́a 23, 22 o 21 pesos.
2. Como empieza en el 6, después de 2 saltos deberı́a llegar al 16 que es potencia de 2, por lo tanto regresa
al 14. Notemos que va saltando de par a impar y viceversa siempre que no caiga en una potencia de 2,
pero cada dos saltos es que va de par en par con diferencia de 10. Entonces, la siguiente potencia de 2 en
la que caerá es la siguiente cuya cifra de las unidades sea igual a 4, es decir, el 64, al cual llega después
de (64 − 14)/5 = 10 saltos. En este punto regresa al vértice 62 y no volverá a caer en una potencia de 2
hasta la siguiente que termine en 2, es decir la 512 a la cual llega después de (512 − 62)/5 = 90 saltos. Aquı́
regresará al vértice 510 y no caeŕa en potencia de 2 de nuevo en esta vuelta porque no hay potencias de 2
que terminen en 0. Por lo tanto, la primera vez que supere el 1, es cuando salte desde el 2015, es decir con
(2020−510)
/
5 = 302 saltos más. Por lo tanto la pulga necesitó de 2 + 10 + 90 + 302 = 404 saltos.
3. La sucesión 3, 5, 7 . . . corresponde a la de los números impares a partir del 3, es decir, {2n+1, n = 1, 2, 3 · · · }.

Ahora veamos como localizamos el número que cierra cada cuadrado, para pasar del primer cuadrado le
añadimos 3 cuadrados, del segundo al tercero le añadimos 5 cuadrados, ası́ los términos de la sucesión van
quedando agrupados según se van añadiendo de la siguiente manera:
{3}, {5, 7, 9}{11, 13, 15, 17, 19}, · · ·
Donde el término que cierra k -ésimo cuadrado es
2(1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1)) + 1 = 2(k 2 ) + 1
Entonces el número que cierra el 18◦ cuadrado es 2(182 ) + 1 = 2(324) + 1 = 649.
4. Si Edgar está en el carril 1, entonces como Omar está en un extremo y ya está ocupado el 1, Omar está
en el 5. Como Beto no nada al lado de Edgar, entonces debe estar en algún carril de 3 o 4, pero si está en
el 3 forzosamente nadarı́a al lado de Mario (pues los únicos carriles libres serı́an el 2 y 4), entonces Beto
estarı́a en el 4, lo cual obliga a que Miguel y Mario naden juntos, pero eso no ocurre. En conclusión si Edgar
estuviera en el carril 1 forzarı́a una configuración que no cumple las cuatro afirmaciones. Por lo anterior
Edgar debe estar en el 4, lo cual obliga a que Beto este en el carril 1 o 2. En este caso si Beto está en el
carril 1, Omar estarı́a en el 5 lo cual fuerza que Mario y Miguel naden juntos lo cual no ocurre. Luego Beto
debe estar en el carril 2, esto fuerza a que Mario esté en el carril 5, Omar en el 1 y Miguel en el 3, la cual
es una configuración forzada que cumple las condiciones, por lo tanto esta es la única configuración posible.
5. Consideremos un punto P en alguna de las intersecciones de las rectas y veamos cuántos triángulos tienen
6
a P como vértice. Como hay a lo más 2 = 15 intersecciones y cada una de las 6 rectas tienen 5 puntos
de intersección nos quedan 15 − 9 = 6 puntos que pueden ser otro de los vértices del triángulo. Una vez
elegido uno de esos 6 puntos, las dos rectas que pasan por él intersecan a las otras dos rectas que tenı́amos
lo cual nos dice que nos queda un único punto para elegir que sea vértice del triángulo. Por lo tanto para
cada vértice tenemos 6 triángulos que cumplen las propiedades del problema. Como hay 15 vértices posibles
y cada triángulo tiene 3 vértices concluimos que hay 6 ×3 15 = 30 triángulos de los que se querı́an contar.
27
6. Dividamos la figura de la siguiente manera:
El área de la circunferencia mayor es 4π. El área de cada cı́rculo blanco original es π. La figura blanca
√ está
formada por 10/6 de cı́rculo blanco y cuatro triángulos equiláteros. Cada triángulo tiene un área de 3/4.
El área sombreada es √
10π 3 7π √
4π − −4× = − 3
6 4 3
7. Sean A = abcd y N = pqrs dos enteros que se escriben con las mismas cifras. Según las condiciones del
problema tenemos que A = 3N , con lo cual tenemos que a + b + c + d = p + q + r + s es un múltiplo de
3. En consecuencia, N también es un múltiplo de 3, digamos N = 3T , y por tanto A = 9T . Ası́ concluı́mos
que a + b + c + d = p + q + r + s es un múltiplo de 9. Como A es un número de 4 cifras, tenemos que
A ≤ 9999. Entonces tenemos que N ≤ 3333. Como ninguna de las cifras puede ser 2 o 4, podemos concluir
que solamente existen dos casos: (1) p = 3 y (2) p = 1.
Caso (1): Si p = 3, entonces a = 9 y por tanto la suma de las restantes dos cifras debe dejar residuo 6 al dividirse
entre 9. Además q no puede ser mayor a 4 ya que de lo contrario A = 3N tendrı́a 5 cifras. Entonces
las únicas posibilidades para las restantes dos cifras son {0, 6}, {1, 5}, {3, 3}. Procedemos a analizar
cada una de estas opciones. Para {0, 6} tenemos 2! = 2 formas de acomodar las cifras: 3069, 3096. Lo
mismo sucede para {1, 5}, con los números 3195 y 3159; y también en el caso {3, 3} con las opciones
3339 y 3393. Como ninguno de estos números cumple la condición A = 3N , observamos que en este
caso no hay solución.
Caso(2): Si p = 1 entonces 1000 ≤ N ≤ 1999 y por tanto 3000 ≤ A ≤ 5997. De aquı́ podemos concluir que hay
dos casos: a = 3 o a = 5. En el primer caso, las dos cifras restantes al sumarse deben dejar residuo 5 al
dividirse entre 9; en tanto que en el segundo caso el residuo de la suma deberá ser 3. Entonces surgen
las siguientes opciones: para a = 3 tenemos {0, 5}, {5, 9}, {6, 8} y {7, 7}; en tanto que para a = 5
tenemos {0, 3}, {3, 9}, {5, 7} y {6, 6}. Analizando cada una de estas opciones como en el inciso anterior
nos lleva a concluir que el único número que satisface las condiciones del problema es N = 1305.
8. Sea abc el número de tres dı́gitos tales que a > b > c > 0. Entonces a + c debe ser número impar. Si
a + c < 10, eso significa que el número de las decenas de la suma es 2b, que es par, lo cual no es posible, por
lo tanto a + c > 10. Si 2b + 1 > 10, entonces el dı́gito de las decenas de la suma es a + c + 1, pero como a + c
debe ser impar, entonces a + c + 1 es par, por lo cual no es posible. Por lo tanto 2b + 1 ≤ 9, o sea b ≤ 4.
Si b = 4, entonces como a + c es impar mayor que 10, las únicas soluciones en este caso son 942 y 843. Si
b = 3, entonces como a + c es impar mayor que 10, la única solucı́on en este caso es 932. Si b = 2, entonces
c = 1 y no existe un dı́gito a tal que a + c sea impar mayor que 10. En resumen, las únicas soluciones son
932, 942 y 843.
3.5. Prueba por equipos. Nivel II.

28
n−2 n−1
3. Por ser polı́gonos regulares tenemos ∠An A1 A2 = 180◦ × y Bn+1 A1 A2 = 180◦ × , luego
n n+1
180◦ × (n − 1) 180◦ × (n − 2) 360◦

∠Bn+1 A1 An = ∠Bn+1 A1 A2 − ∠An A1 A2 = − = .
n+1 n n(n + 1)
Como An A1 = A2 A1 = Bn+1 B1 entonces el triángulo 4Bn+1 A1 An es isósceles y por tanto

◦
180◦ − ∠An A1 Bn+1 180◦ − n(n+1)
360
90◦ × (n2 + n − 2)
∠A1 Bn+1 An = ∠A1 An Bn+1 = = = .
2 2 n(n + 1)
Luego, si n cumple lo pedido, entonces
90◦ × (n2 + n − 2) 2 2 180◦ × (n − 1)

= × ∠A1 Bn+1 Bn = × .
n(n + 1) 3 3 n+1
Esto es equivalente a que n2 − 7n + 6 = 0, luego n = 1 ó n = 6, de donde el único valor posible para n es 6.
5. El siguiente acomodo funciona (note que los números en rojo representan las caras que están por detrás):
6. Notemos primero que basta probar que BP = P D. Como subtienden el mismo arco, tenemos que ∠ADP =
∠ABP . Entonces, dado que los triángulos BEP y DAP son obtusos, podemos concluir que son congruentes.
Luego BP = P D.
7. Para cada n, como ab es fijo, a + b es mı́nimo cuando a − b lo es, pues a + b mı́nimo ⇔ (a + b)2 es mı́nimo
⇔ (a + b)2 − 4ab mı́nimo, (puesto que ab es constante) ↔ a − b mı́nimo. Ahora bien, para cada número de
la forma n2 + n tenemos que los a, b que cumplen el enunciado son a = n + 1 y b = n pues son coprimos y
a − b = 1 es mı́nimo. Entonces f (n2 + n) = s(n + 1) − s(n). Ası́
f (12 + 1) + f (22 + 2)+ · · · +f (20172 + 2017)

= s(2) − s(1) + s(3) − s(2) + s(4) − s(3) · · · s(2018) − s(2017)
= s(2018) − s(1) = 11 − 1 = 10.
29
8. Una estrategia puede ser la siguiente. Sea k el número que Juan está pensando. Llamemos a y b a los
números tales que Mario puede estar seguro que el número de Juan está entre a y b (inclusive), estos se irán
actualizando según la información que vaya recabando Mario. Por ejemplo, inicialmente a = 1 y b = 1000.
Sea m igual a (a+b)
2
o su parte entera en caso de que tenga decimal. Posteriormente, Mario puede hacer la
pregunta ¿Es el número que estás pensando igual, mayor o menor a m? Si m es igual al número que está
pensando Juan, entonces Mario ya ganó. Sino, hay dos opciones: si responde que menor, actualizaremos
nuestra b para que sea igual a m − 1, ya que sabı́amos que a ≤ k ≤ b y por la información de la respuesta
sabemos que k ≤ m (notemos que como inicialmente a ≤ k ≤ m, siempre se cumplirá que a ≤ m ≤ b), por
lo tanto, ahora sabremos que a ≤ k ≤ m , por lo cual ahora m será el número que sabemos es mayor o igual
a k. Haciendo un razonamiento análogo, si Juan responde mayor, entonces podemos asignar a la nueva a
para que sea igual a m + 1. Esto se representa en el siguiente esquema:
Ahora bien, Mario estará seguro del número que está pensando Juan cuando a = b (pues entonces a ≤ k ≤
b = a, y por lo tanto k = a). También notemos que después de cada pregunta, la distancia (b − a) entre a y
b, irá disminuyendo pues en caso de que la respuesta sea mayor, como
a+b 1 a+b
− ≤m≤ ,
2 2 2
entonces
a+b 1 b−a
b − (m + 1) ≤ b − ( + )≤ − 1.
2 2 2
Análogamente si la respuesta es menor, se concluye que (m − 1) − a ≤ b−a
2
. Ası́ pues, la nueva distancia
b−a 1
entre a y b será a lo más 2 − 2 en el siguiente paso.
Inicial 1 2 3 4 5 6 7 8 9
999 499 299 124 61 30 14 6 2 0
Ası́ pues, al cabo de 9 preguntas Mario puede saber cuál número estaba pensando Juan con esta estrategia.
3.6. Prueba por equipos. Nivel III.

1. El siguiente arreglo funciona:
30
2. Primero notemos que x3 + 3x2 + z 2 + 2x + 3y = x(x + 1)(x + 2) + 3y + z 2 , sin importar el valor de x. Como x,
x+1, x+2 son tres enteros consecutivos, entonces uno de ellos es múltiplo de 3, por lo que x(x+1)(x+2)+3y
es múltiplo de 3, luego si existe una terna de enteros tal que x3 + 3x2 + z 2 + 2x + 3y = 2018, entonces z 2
deja residuo 2 al dividirse entre tres, algo imposible ya que los cuadrados dejan residuo 1 o 0 al dividirse
entre tres, de lo anterior se concluye que no existen ternas como las pedidas.
6. Supongamos que C1 , C2 , . . . , Cn son los cı́rculos que buscamos de tal manera que Oi es el centro de Ci . Sea
C el cı́rculo con centro en P y radio 1. Es claro que O1 , O2 , . . . , On están al borde de C. Sin pérdida de
generalidad, podemos suponer que O1 , O2 , . . . , On forman un polı́gono convexo, es decir, que los centros
están etiquetados en orden de manera que ]O1 P O2 + ]O2 P O3 + · · · + ]On P O1 = 360◦ . Notemos que
el hecho de que Oi no esté en el interior o en el borde de Ci+1 y que el triángulo Oi P Oi+1 sea isósceles
implica que ]Oi P Oi+1 > 60◦ . Dadas las observaciones anteriores es fácil deducir que el máximo número de
circunferencias es 5.
7. Como la única relación entre a y a∗ son sus dı́gitos, aseguraremos que ambos sean divisibles por enteros de
los que tenemos criterio de divisibilidad. Es claro que 99|a ⇔ 99|a∗ . De esta manera D = 99k > 2017 y
k > 20. Como buscamos que se pueda asegurar la divisibilidad con un criterio, comprobemos que k = 25.
Tras varios intentos se llega a que a puede ser de la forma 52xy75, con lo que aplicando los criterios de
divisibilidad, 9|x + y + 1 y 11|x − y + 5. Para x = 7 y y = 1 esto se cumple, ya que a = 527175 satisface.
8. Consideremos los números x = 132 y w = 132 + 13 × 12. Si n < x, entonces n! contiene a lo más 12 factores
13 y no puede ser bueno. Si n = x entonces n! contiene los primeros doce múltiplos de 13 (que tienen solo un
factor 13) y 132 que tiene dos. El exponente de 13 en (132 )! es 14 y no es bueno. si x < n < w, entonces n!
contiene 14 factores de x y a lo más 11 factores extras pues los múltiplos de 13 entre x y w solo tienen factor
13, por lo tanto n! tiene 14, 15 . . . o 25 factores 13 y no es bueno. Si n = 133 + 13 × 12, entonces n! es bueno,
pues tiene 26 factores 13. Ningún número de los que buscamos es mayor a 132 + 13 × 12 + 13 = 2 × 132 ,
pues n = w es bueno. Notemos que si n = w, w + 1, . . . ,w + 12 entonces n! tiene 26 factores 13 y es bueno,
además n − 13 < w y sabı́amos que ningún número menor a w era bueno. Por tanto los números son w,
w + 1,. . . ,w + 12 con w = 132 + 13 × 122.
Resultados.
4.1. Nivel I.
Aguascalientes
Clave Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Total Premio
AGS1 Rogelio Guerrero Reyes 5 0 5 5 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 25 Plata
AGS2 Sidney Torreblanca 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 10 Mención
AGS3 Ashley K. Ramı́rez Rodrı́guez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Flavio Hernández González
Prueba por Equipos 0 40 40 0 0 0 0 35 115 Plata
Tercer Lugar en Campeón de Campeones
Chiapas
CHS1 José E. Jaras Sánchez 5 5 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 20 Plata
CHS2 Bryan Cruz Campos 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
CHS3 José A. Santos López 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 10 Mención
Lı́der José E. S. Vázquez Portilla
Prueba por Equipos 0 0 0 40 0 5 0 5 50
Chihuahua
CHI1 Eduardo Calderón Jácquez 5 5 5 0 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 30 Oro
CHI2 Carlos A. Carrillo Garcı́a 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
CHI3 Ares I. Chavez Uribe 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der Antonio López Gúzman
31
32
Ciudad de México
CDMX1 Mateo I. Latapı́ Acosta 5 5 0 0 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 20 Plata
CDMX2 Rosa V. Cantú Rodrı́guez 5 5 5 0 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 5 40 Oro
CDMX3 Constanza Huerta Carvajal 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
Lı́der Isabel Hubard Escalera
Colima
COL1 Miranda Cervantes Aguilar 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 10 Mención
COL2 Rafael Gutiérrez Barriga 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
COL3 Clemente Novela Calderón 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Martı́n Eliseo Isaı́as Castellanos
Estado de México
MEX1 Mariam Alamazán Cisneros 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 15 Bronce
MEX2 Fernando González Lara 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5
MEX3 Alison Hazel Mendez Castillo 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Saúl Dı́az Alvarado
Guanajuato
GTO1 Karol R. Arias Estrada 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5
GTO2 Argelia Sánchez Cruz 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 5 0 0 25 Plata
GTO3 Samuel Cano Bravo 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der Moisés D. Pelayo Gómez
33
Jalisco
JAL1 Roberto C. Navarro Felix 5 5 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 20 Plata
JAL2 Yahir M. Martı́nez Ramı́rez 5 0 0 5 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 20 Plata
JAL3 José de J. González Garcı́a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 10 Mención
Lı́der Alfonso Martı́nez Zepeda
Morelos
MOR1 Ana P. Galindo Romero 5 5 0 0 5 0 0 0 5 0 5 0 5 0 0 30 Oro
MOR2 Valeria Y. Oviedo Valle 5 0 0 0 5 0 0 5 5 0 5 0 0 0 0 25 Plata
MOR3 Ana M. Esquer Coutiño 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der David Vega Mena
Nayarit
NAY1 Andres E. Cambero Inda 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 10 Mención
NAY2 Eduardo Garcı́a Valdivia 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NAY3 Luis M. Lara Segreste 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der Edgar E. Partida Agüero
Nuevo León
NLO1 Fernando Alvarez Ruiz 5 5 5 0 0 0 0 5 5 0 5 0 5 0 0 35 Oro
NLO2 Carlos Rodriguez Aguilar 5 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 10 Mención
NLO3 Luis G. Hernandez Garcia 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der Diego A. Villareal Grimaldo
Prueba por Equipos 0 45 40 40 0 0 0 40 155 Oro
Primer Lugar en Campeón de Campeones
34
Oaxaca
OAX1 Darı́o J. Espinosa Hernández 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
OAX2 Arena Cuevas Guzmán 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
OAX3 Sofı́a C. Moreno Esparza 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
Lı́der David Garcı́a Maldonado
Querétaro
QRO1 Ana S. Arboleya Garcı́a 0 5 5 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 20 Plata
QRO2 Antonio Trejo Ávila 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
QRO3 Andrea Amador Garcı́a 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 10 Mención
Lı́der Aracelı́ Montes Juárez
Quintana Roo
QNR1 Oliver A. Camarena Palma 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 0 0 20 Bronce
QNR2 Cuauhtemoc E. Arellano Dzay 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 15 Plata
QNR3 Sergio E. Ortiz Salinas 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der Gabriel A. Vazquez Uc
San Luis Potosı́

SLP1 Zaira I. Juárez Martı́nez 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
SLP2 Isabela Loredo Carvajal 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
SLP3 Ahtziri Berlanga Contreras 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
Lı́der Isabel C. Martı́nez Alvarado
35
Tabasco
TAB1 Juan P. Lara Ruiz 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
TAB2 Manuel Méndez Ordaz 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 20 Plata
TAB3 Regina M. Noriega Silván 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Bronce
Lı́der José G. Santiago Ovando
Tamaulipas
TAM1 Sharon S. Vargas Herrera 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 10 Mención
TAM2 Ernesto B. Tijerina Rodrı́guez 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 15 Bronce
TAM3 Emma S. Vargas Herrera 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Luis J. Olvera Vázquez
Tlaxcala
TLX1 Deborah Zamudio Sánchez 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 10 Mención
TLX2 Sebastián Espinoza de la Paz 5 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 15 Bronce
TLX3 Ghalia L. Degales Sánchez 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 15 Bronce
Lı́der Mauro Cote Moreno
Prueba por Equipos 0 15 40 40 0 0 0 5 100 Bronce
36
Yucatán
YUC1 Juan E. Vivas Sánchez 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Bronce
YUC2 Tiago I. Vargas Rivera 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 25 Plata
YUC3 Marı́a F. López Tuyub 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 20 Plata
Lı́der Adán R. Vera Euán
Zacatecas
ZAC1 Javier Mena Chavez 5 5 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 5 0 0 30 Oro
ZAC2 Jimena S. Dı́az Sánchez 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
ZAC3 Dayana X. Meza Arellano 5 5 0 0 0 0 0 5 5 0 5 0 0 0 0 25 Plata
Lı́der Eduardo Rosales López
Segundo Lugar en Campeón de Campeones
37
4.2. Nivel II.
Aguascalientes
AGS1 Diana C. Infante Ramos 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
AGS2 Julia A. Muñoz Hermosillo 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 30 Bronce
AGS3 Amelie Torres Cedeño 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
Lı́der Juan A. Ruiz Leal
Chiapas
CHS1 Guadalupe Vázquez Portilla 5 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 25 Mención
CHS2 Diana A. Gonzalez Dı́az 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
CHS3 Gorka E Hernández Esteban 5 0 5 0 5 0 0 0 0 5 0 5 0 15 0 40 Bronce
Lı́der Marda L. Silva Muruato
Chihuahua
CHI1 Luis A. Alcaraz Orozco 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 15 20 20 70 Plata
CHI2 Adriana Garcı́a Arias 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 5 0 15 0 35 Bronce
CHI3 Karel R. Hernández Contreras 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 5 35 Bronce
Lı́der Alonso Granados Baca
38
Ciudad de México
CDMX1 Leonardo M. Cervantes Mateos 0 5 5 5 5 0 0 0 0 5 0 5 20 20 20 90 Oro
CDMX2 Ana Illanes Martı́nez de la Vega 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 20 20 15 80 Oro
CDMX3 Alonso Lobato Somuano 5 5 5 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 30 Bronce
Lı́der Adolfo Guillot Santiago
Colima
COL1 Karol J. Cisneros Suárez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 10
COL2 Jorge A. González Dı́az 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10
COL3 José R. Gutiérrez Suárez 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 20 35 Bronce
Lı́der Andrea Olarte Vargas
Estado de México
MEX1 Lilia S. Mendoza Alvaro 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10
MEX2 Axel E. Martı́nez Granados 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
MEX3 Alejandro O. Cepeda Beltrán 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
Lı́der Cristian Cruz Matias
Guanajuato
GTO1 Cynthia N. López Estrada 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 5 20 Mención
GTO2 Cinthia C. Bravo Marmolejo 0 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 15 0 25 Mención
GTO3 Juan B. Olivares Rodrı́guez 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 30 Mención
Lı́der Jacqueline Aguirre Urzúa
39
Guerrero
GRO1 Omar F. Astudillo Marbán 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 20 5 0 45 Bronce
GRO2 Amelie A. Leyva Flores 5 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
GRO3 Aylin X. Ocampo Vera 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 25 Mención
Lı́der Ernestino Alemán Mejia
Jalisco
JAL1 Analı́a Casillas Martı́n 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 15
JAL2 Adrián A. Garcı́a López 5 0 5 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 10 0 35
JAL3 Gerardo Padilla González 0 0 0 5 0 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0 30
Lı́der Carlos A. Villalvazo Jauregui
Morelos
MOR1 Shubham S. Kumar Agarwal 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 20 50 Plata
MOR2 Vı́ctor A. Rendón Penilla 5 0 0 5 0 0 0 5 5 0 0 0 15 5 10 50 Plata
MOR3 Manuel A. Soria Córdoba 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 25 Mención
Lı́der César Guadarrama Uribe
Nayarit
NAY1 Luhard Y. Bernal Muñiz 0 0 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
NAY2 Oscar G. Cervantes Jimenez 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
NAY3 Adara L. Pulido Sanchez 5 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
Lı́der Luis H. Pulido Cortes
40
Nuevo León
NLO1 Diego A. Villareal Grimaldo 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 20 20 20 75 Plata
NLO2 Luis E. Martinez Aguirre 5 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 20 10 55 Plata
NLO3 Abel Arizpe Kisfalusi 5 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 15 Mención
Lı́der Angel A. Dominguez Lozano
Oaxaca
OAX1 David Garcı́a Maldonado 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
OAX2 Enrique Hernández Velasco 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10
OAX3 Emiliano R. Renteria Flores 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Beatriz C. Luna Olivera
Querétaro
QRO1 Ndoni I. M. Puga Esparza 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 5 15 Mención
QRO2 Mónica I. Casillas Rodrı́guez 5 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 5 20 10 5 55 Plata
QRO3 Cassandra Miranda Mejı́a 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 15 Mención
Lı́der Andrés Bonilla Suaréz
Quintana Roo
QNR1 Andres Ramos Graniewicz 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 10
QNR2 Natalia Pinto Cantu 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
QNR3 Belen A. Tuz Ku 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Sergio Hernandez Delgado
41
San Luis Potosı́

SLP1 Emiliano Gallardo Cruz 0 5 5 5 0 0 0 5 0 0 0 5 0 10 0 35 Bronce
SLP2 Rodrigo Gaeta López 0 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 5 0 10 0 30 Bronce
SLP3 Valentina Acosta Bueno 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 35 Bronce
Lı́der Verónica de la P. Bailón Villarreal
Sinaloa
SIN1 Karla R. Munguia Romero 0 5 5 5 5 0 0 0 5 5 0 5 20 20 20 95 Oro
SIN2 Vı́ctor M. Bernal Ramı́rez 5 0 0 5 5 0 0 0 0 5 0 5 15 15 0 55 Plata
SIN3 Dariana M. Quevedo Alcantar 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Jesús E. Dominguez Russell
Segundo Lugar en Campeón de Campeones
Tabasco
TAB1 Héctor A. Dı́az Aguilar 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
TAB2 José L. Lara Rubio 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
TAB3 Grecia A. I. Montaño Flores 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 15 Mención
Lı́der Sandra L. Suárez Chávez
42
Tamaulipas
TAM1 Daniel A. Ochoa Quintero 0 5 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 20 10 5 50 Plata
TAM2 Axel A. Cámara Pérez 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 10
TAM3 Ashley A. Vargas Herrera 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 10
Lı́der Isabel de M. Ávila Olivo
Tlaxcala
TLX1 Marte E. Aparicio Godinez 5 0 5 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 15 5 40 Planta
TLX2 Marı́a del R. Ramı́rez Pérez 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 15 Mención
TLX3 Abed J. Calderón Romero 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 20 Mención
Lı́der Carlos Y. Cortes Ruelas
Yucatán
YUC1 Jacobo De Juan Millón 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 20 20 10 110 Oro
YUC2 Guillermo C. Gruintal Polanco 5 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 15 Mención
YUC3 Juan P. Rosado Aiza 5 0 0 5 0 0 0 5 5 5 0 5 0 0 10 40 Bronce
Lı́der Pedro D. Sánchez Salazar
Zacatecas
ZAC1 Emmanuel A. Castañedo Hernández 0 5 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 20 5 0 45 Bronce
ZAC2 Marco A. de la Cruz Dı́az 0 5 0 5 0 0 0 5 5 0 0 5 20 0 0 45 Bronce
ZAC3 Oscar A. Olivares Amaro 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 25 Mención
Lı́der Juan Eduardo Castanedo Hernández
43
4.3. Nivel III.
Aguascalientes
AGS1 Ana S. Esparza Dávila 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AGS2 Victor A. Jaramillo Moreno 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
AGS3 Diana E. Muñoz Hermosillo 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
Lı́der Claudia Araceli Rodrı́guez Gallardo
Chiapas
CHIS1 Ian Quiñones Silva 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
CHIS2 Marco A. Moreno Montoya 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5
CHIS3 Carlos D. Ramos Mijangos 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Sergio Guzmán Sánchez
Chihuahua
CHI1 Katia Garcı́a Orozco 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 5 30 Plata
CHI2 Jorge Gómez Flores 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 0 25 Bronce
CHI3 Mauricio E. Navarrete Flores 5 5 5 0 5 5 0 5 0 5 0 0 20 0 5 60 Oro
Lı́der Alberto Sosa Borunda
44
Ciudad de México
CDMX1 Tomás F. Cantú Rodrı́guez 5 5 5 0 5 5 0 5 5 5 0 0 10 0 20 70 Oro
CDMX2 Mirena Flores Valdez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 10 25 Bronce
CDMX3 Emiliano Arango Aspuru 0 5 5 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 Bronce
Lı́der Félix Almendra Hernández
Coahuila
COA1 Ivan L. Monsivais Casillas 0 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
COA2 Abisaid Escamilla Ramos 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 15 Mención
COA3 José A. Pérez Quiñones 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der José F. Felix Soto
Colima
COL1 Edgar E. Landeros Pérez 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
COL2 Felipe Martı́nez Sánchez 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
COL3 Octavio S. Villegas Navarro 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 10 Mención
Lı́der Andrés Carrazaco Chocoteco
Estado de México
MEX1 Brayan A. Gallegos Rodrı́guez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
MEX2 Paula D. Pastrana Rossains Zambrano 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MEX3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Alejandro Contreras Balbuena
45
Guanajuato
GTO1 Isaac Pancardo Botello 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 35 Plata
GTO2 Joshua S. González Torres 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 20 0 5 35 Plata
GTO3 Ivan A. Flores Sánchez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 25 Bronce
Lı́der Christian Ojeda Trejo
Guerrero
GRO1 Laura I. Rodrı́guez Dimayuga 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 30 Plata
GRO2 Jesús D. Delgado Maldonado 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5
GRO3 Dana E. Arvizu Matildes 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Vicente Castro Salgado
Jalisco
JAL1 Miguel Godı́nez González 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
JAL2 Guillermo González González 0 5 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
JAL3 Emilio F. Soltero Sandoval 0 5 5 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 25 Bronce
Lı́der César O. Pérez Carrizales
Morelos
MOR1 Saurabh Kailas 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 20 Bronce
MOR2 José A. Reyes González 5 0 5 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 25 Bronce
MOR3 Arturo Molina Sánchez 5 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 0 20 0 5 40 Plata
Lı́der Bruno Blanco Sandoval
46
Nayarit
NAY1 Rafael de J. Figueroa Villaseñor 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5
NAY2 Edith C. Jara Alvarez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NAY3 Abraham H. Pérez López 0 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
Lı́der Roberto Renterı́a Solis
Nuevo León
NLO1 Dario Hinojosa Delgadillo 5 5 0 0 5 5 5 0 5 0 0 0 20 0 10 60 Oro
NLO2 Dayra Hernandez Rodriguez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 20 0 0 30 Plata
NLO3 Max K. Solis Meester 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
Lı́der José M. Tapia Avitia
Oaxaca
OAX1 Ana P. Castro Pérez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
OAX2 Bryan Cruz Méndez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
OAX3 Osvaldo Mendoza Luis 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Francisco Garcı́a López
Querétaro
QRO1 Lizeth Romero Sánchez 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
QRO2 Rodrigo Terán Hernández 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 20 Bronce
QRO3 Fabián Poisot Palacios 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
Lı́der Jesús Jerónimo Castro
47
Quintana Roo
QNR1 Cristhian L. Orta Jiménez 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
QNR2 Dana S. Hernández Martı́nez 0 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 15 Mención
QNR3 Juan C. Tapia Baeza 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
Lı́der Sergio Hernandez Delgado
San Luis Potosı́

SLP1 Samantha Brito Ozuna 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 0 20 Bronce
SLP2 Mauricio A. Salazar Martı́nez 0 5 0 5 5 0 5 5 0 0 0 0 5 0 0 30 Plata
SLP3 Virna L. Martı́nez Sánchez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Eugenio D. Flores Alatorre
Sinaloa
SIN1 Carlos E. Ramos Aguilar 0 5 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 5 0 20 40 Plata
SIN2 Alejandra López Portillo Pérez Lete 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
SIN3 Marcos Urbina Cota 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Jesús E. Dominguez Russell
48
Tabasco
TAB1 Daniel E. Leal Córdova 5 5 5 0 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 0 30 Plata
TAB2 Isaac H. Rodrı́guez Torres 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 10 Mención
TAB3 Guillermo A. Romero León 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5
Lı́der Francisco E. Castillo Santos
Tamaulipas
TAM1 Brandon del Á. Gutiérrez Guzmán 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 20 Bronce
TAM2 Adrián Pineda Sánchez 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 20 Bronce
TAM3 Yazmı́n Melgoza Zamarripa 0 5 5 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 20 Bronce
Lı́der Orlando Ochoa Castillo
Tlaxcala
TLX1 Emmanuel I. Montiel Paredes 0 5 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 20 0 0 35 Plata
TLX2 Kevin D. Garcı́a Rojas 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 10 Mención
TLX3 Vianey G. Cortes Hernández 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 20 Bronce
Lı́der Fernando I. Saenz Meza
49
Yucatán
YUC1 Rodrigo Gamboa Castilla 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 25 Bronce
YUC2 Teresa Rojas Rodrı́guez 5 0 5 0 0 0 0 5 0 5 0 0 20 5 0 45 Oro
YUC3 Jael S. Cámara Caballero 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 15 Mención
Lı́der Teresa Mezo Peniche
Zacatecas
ZAC1 Jorge Hiram Arroyo Almeida 5 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 0 20 0 0 35 Plata
ZAC2 Diego Haro Sandoval 5 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 15 Mención
ZAC3 Noel Francisco Rodrı́guez Sánchez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lı́der Noé Muñoz Elizondo

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I Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Oaxtepec, Morelos. 15-18 de junio, 2017.

1.1. Justificación y objetivos.

Fecha Estudiantes Delegados y coordinadores

1.2. Categorı́as y participantes.

1.5. Premios y reconocimientos.

Nivel Oro Plata Bronce Mención

Nivel Oro Plata Bronce

Nivel Primero Segundo Tercero

1.6. International Mathematics Competition (IMC).

Año Lugar México A México B México P

1.7. Comité Organizador.

Rogelio Valdez Delgado (Presidente),

1.8. Jurado Calificador.

Nivel I Nivel II Nivel III

2.1. Prueba individual. Nivel I.

6. Los enteros positivos a, b, c, d, e cumplen con:

8. En la siguiente figura, ABCDE es un pentágono regular y ABF G es un cuadrado. ¿Cuál es la medida, en

2.2. Prueba individual. Nivel II.

1. Coincide con el Problema 3 de Nivel I.

2. Coincide con el Problema 4 de Nivel I.

3. En la siguiente figura, ABCDEF es un hexágono regular y ABGHI es un pentágono regular. ¿Cuál es la

4. Coincide con el Problema 13 de Nivel I.

6. Coincide con el Problema 15 de Nivel I.

7. Al realizar la multiplicación (x + 1)(x + 2)(x + 3) · · · (x + 2017), ¿Cuál es el coeficiente de x2016 ?

8. Coincide con el Problema 14 de Nivel I.

11. Encuentra el máximo común divisor de 111444444 y 444111111.

12. Encuentra todos los enteros positivos x, que cumplan la ecuación

2.3. Prueba individual. Nivel III.

3. Coincide con el Problema 9 de Nivel II.

4. Coincide con el Problema 11 de Nivel II.

5. Coincide con el Problema 5 de Nivel II.

6. Coincide con el Problema 7 de Nivel II.

7. Coincide con el Problema 10 de Nivel II.

8. Coincide con el Problema 12 de Nivel II.

1. Coincide con el Problema 3 de Nivel II.

2. Los números enteros positivos a, b y c son distintos y satisfacen que

a|b + c + bc, b|c + a + ca, c|a + b + ab.

Prueba que al menos uno de los números a, b, c no es primo.

2.4. Prueba por equipos. Nivel I.

1. Beto no nada al lado de Mario, ni de Edgar.

Indica en qué carril está cada uno de los competidores.

6. El diámetro FE mide 4 cm y se divide en 4 partes iguales: FG = GH = HI = IE. Se trazan circunferencias

¿Cuáles números de 3 dı́gitos, incluyendo el 932, tienen estas dos propiedades?

2.5. Prueba por equipos. Nivel II.

1. Coincide con el Problema 3 de Nivel I.

2. Coincide con el Problema 4 de Nivel I.

2.6. Prueba por equipos. Nivel III.

2. Encuentra todas las ternas de enteros positivos (x, y, z) tales que

3. Coincide con el Problema 3 de Nivel II.

4. Coincide con el Problema 6 de Nivel II.

5. Coincide con el Problema 7 de Nivel II.

8. Un entero positivo n es bueno si el exponente del 13 en la factorización de primos de n! es distinto de cero

Prueba por Equipos

3.1. Prueba individual. Nivel I.

2. Como e + 1 = 7, entonces e = 6. Luego, como m + 3 = 1, necesitamos que m = 8. Esta última operación,

3. Durante los primeros 4 dı́as, Vı́ctor y Vicky, juntos se comieron

5. Sean x = BC = GH = CD/2 y y = HA = AB = DE = EF . Ası́, el perı́metro total de la figura es 6x + 4y.