Palabras Sinonimas
Palabras Sinonimas
Palabras Sinonimas
Los errores gramaticales que se cometen con los vicios de dicción, hacen más difícil que
fluya la buena comunicación, ya sea ésta oral o escrita, debido a que se presta a
confusión o a malas interpretaciones.
Pleonasmo: Utilizar más palabras de las que se requieren para expresar una idea.
Muletillas: Son las palabras que se utilizan inadecuadamente para no dejar vacíos en los
diálogos cotidianos.
Modismos: Las palabras que son propias de determinada lengua y que se utilizan de
forma incorrecta en el lenguaje cotidiano.
Neologismos: Consisten en utilizar palabras nuevas que aún no han sido aprobadas
oficialmente para su uso en el idioma.
Al estudiar el concepto del acento y las reglas básicas de acentuación se concluye que su función principal
es la de recargar la voz en la pronunciación de una determinada sílaba de una palabra. Dicha sílaba es lo
que llamamos la sílaba tónica.
El acento diacrítico se encarga de servir como diferenciador entre palabras escritas de igual manera pero
que poseen distintos significados.
En el primer ejemplo citado más arriba, el tú con acento, desempeña la función de ser un pronombre
personal. En cambio, cuando tu no lleva tilde, se trata de un pronombre posesivo, similar a cuando
decimos "esta es mi casa", "aquel automóvil es de su padre".
En el segundo ejemplo ocurre algo similar, el término papá, con tilde, representa un sustantivo ya que se
hace referencia al padre de Juan.
Cuando no lleva tilde, dicha palabra se convierte en un otro sustantivo, pero de distinguido significado.
En el último caso, el primer más, representa un adverbio de cantidad. Totalmente distinta es su función y
su sentido en el enunciado cuando no lleva acento, ya que en tal caso, funciona como una conjunción.
De esta forma tenemos que todas estas palabras con acento diacrítico tienen una ortografía casi idéntica.
La función del acento diacrítico es importante ya que permite identificar y diferenciar correctamente este
tipo de palabras.
Uno de los usos más comunes de los acentos diacríticos tiene relación con los monosílabos.
En la lista de abajo se encuentran algunos ejemplos con palabras de una sola sílaba.
sí: funciona como un pronombre personal. Ejemplo: Lo guardó para sí.
si: sin tilde funciona como una conjunción. Ejemplo: Si Juan no estudia, no aprobará el examen.
sé: es una forma conjugada del verbo ser. Ejemplo: Ya sé que debo esforzarme más.
se: cuando no lleva acento es un pronombre que puede tener varios usos. Ejemplo: En el teatro de la
ciudad se estrenará la obra.
Palabras como qué, cuál, quién, cómo, cuánto, cuándo, dónde y adónde son términos que, teniendo en
cuenta las reglas básicas de la acentuación, no deberían llevar tilde.
Sin embargo, dichas palabras, al no llevar tilde, expresan otra función y otro significado dentro de la
oración.
En las siguientes oraciones, es posible estudiar cómo cada palabra en negrita, cuando es escrita sin acento
o con él, varía en cuanto a su función y lo que expresa en cada enunciado:
Perú - acción - sofá - café - organización - vudú - capitán - rubí - francés - sillón -
camarón - país - japonés
Ejemplos de palabras agudas SIN tilde:
amor - cantidad - papel - reloj - capaz - pared - estoy - avestruz - virtud - fatal -
contador
Las palabras agudas también se llaman oxítonas.
árbol - cárcel - ángel - difícil - túnel - azúcar - lápiz - césped - fácil - útil - carácter -
débil
Ejemplos de palabras graves SIN tilde:
organización - organizaciones
nación - naciones
objeción - objeciones
declaración - declaraciones
explicación - explicaciones
guión - guiones
Palabras graves y el diptongo IA
Hay palabras graves que se acentúan a pesar de terminar en vocal, rompiendo de esta
forma el diptongo (ia).
Difícil - Difícilmente
Fácil - Fácilmente
Cortés - Cortésmente
Adjetivo SIN tilde -> Adverbio SIN tilde
Constante - Constantemente
Tonto - Tontamente
Concepto: La palabra mayúscula deriva del latín maisculus, que significa más grande, mayor. Así,
se le da el nombre de mayúscula a la letra tamaño y grafía diferente a la letra corriente o
minúscula.
2. Después de un punto. Ejemplo: Celina era una niña muy bonita. La gente del callejón del
carrocero, en el barrio Belén, la veía todos los días y nunca terminaba de admirarla.
3. Nombres propios de personas, animales, y lugares geográficos: Alberto, Gato Félix, Egipto.
4. Los sobrenombres: Lucho, Majo, Pachi, Pancho, Lili, Vero, Baru, Mecha, Paty, Gabi, etc.
6. Los títulos de los libros: Don Quijote, La mujer habitada, Amor peregrino, etc.
7. Los nombres de las revistas, periódicos, boletines: Gente, Hola, Vanidades, ABC color.
8. Los títulos de las películas: “Mejor imposible”, “Recién casados”, “El pianista”.
12. Divinidades y atributos divinos o autoridades: Zeus, Alá, Jehová, Virgen, Tupa, El Sumo
Pontífice, Obispo, etc.
Observación: En las consonantes compuestas Ch, Ll, sólo se escribe en mayúscula la primera letra
o grafema. Ejemplos: Chile, Lloreda, etc.
Uso de la b
2. En la partícula aba con la que se construye el pretérito imperfecto de los verbos regulares
de 1ª conjugación, terminados en ar.
Ejemplos: de amar, amabas; de conversar, conversábamos.
5. En las palabras que comienzan por ab, sub, y ob, seguidas de consonante.
Ejemplos: absurdo, subsidio y obtener.
Uso de la v
1. En los adjetivos que finalizan en ava – ave – avo – eva – eve – evo – ivo – iva.
Ejemplos: eslava, grave, bravo, suave, leve, longevo, positivo, y cautiva.
4. En las formas verbales cuya primera persona singular termine en uve y en todas las
conjugaciones.
Ejemplos: estuve, estuvimos, estuvieran; anduve, anduviese, anduvieron.
Se escriben con C
1) Se escriben con C, los verbos terminados en cir y ducir.
Excepción: asir.
Ejemplos: conducir, aducir, traducir, esparcir, producir, relucir, zurcir, decir.
4) Se escriben con C, los diminutivos: cito, ecito, ecillo, si proceden de palabras sin S final.
Ejemplos: pez - pececito, dulce - dulcecito, pie - piececito, flor - florecita, mamá - mamacita.
Se escriben con Z
2) Se escriben con Z, las terminaciones ez, eza, az, oz, de los nombres abstractos.
Ejemplos: belleza, voraz, pereza, fugaz, rigidez, atroz, palidez, paz, torpeza, rapaz, timidez,
eficaz.
3) Se escriben con Z, las terminaciones azo, aza que denotan aumento, golpe.
Ejemplos: manaza, carrazo, ojazos, codazo, puertazo, mujeraza
4) Se escriben con Z, las terminaciones iz, ez, oz, az, de los nombres patronímicos.
Ejemplos: Rodríguez, Ruiz, Sánchez, Muñoz, Ramírez, Ortiz, Villalaz.
USO DE LA H
A pesar de carecer de valor fónico en la mayoría de las palabras que conforman el léxico del
español, la h se ha mantenido en nuestro sistema ortográfico por razones etimológicas o de uso
tradicional consolidado.
SE ESCRIBEN CON H
1. Se escribe h delante de los diptongos /ua/,/ue/, /ui/, tanto en inicial de palabra como en
posición interior a comienzo de sílaba
Ejemplos: huevo, hueco, huérfano, huir, cacahuete.
3. Se escribe h en las palabras que empiezan por secuencias herm-, histo-, hog-, horr-, hosp-
.
Ejemplos: hermoso, historiador, hermafrodita, hogareño, hospitalización.
4. Se escribe h enlas palabras que empiezan por la secuencia hum- seguida de vocal.
Ejemplos: humanidad, humano, humilde, humillación, humorístico.
USO DE LA J
La letra J es una letra que fácilmente puede ser confundida con la letra G cuando
ésta última adopta un sonido marcado y fuerte que imita el sonido de la J, es por eso,
que se debe conocer cuando y como se utiliza. Existen algunas reglas que permiten
saber con precisión cuando debe utilizarse la letra J y así no caer en errores
gramaticales, fonéticos y ortográficos. Cuando las palabras empiezan o terminan
con las sílabas -aje o -eje se trata de J y no de G, a excepción de palabras como
agenda, proteger, agencia y agente. Por ejemplo: Ejecutado, Encaje, Ajetreado,
Ejercito, Despeje. Aquellas palabras con terminaciones -jero y -jería utilizan
también la J. Por ejemplo: Relojero, Relojería, Mensajero, Mensajería.
Uso de la Y
Se usa la Y en las palabras que terminan en sonido i y que no son agudas o,
cuando son agudas, el acento no recae en la letra vocal I, como sucede con
MARROQUÍ, HURÍ, CARMESÍ, CONFUNDÍ.
rey grey estoy Godoy
muy Eloy ley Uruguay
Se usa la Y en los tiempos de los verbos que no llevan LL ni Y en su infinitivo .
poseer - poseyendo oír - oyendo huir - huyó ir - yendo
erguir - yergo oír - oyó recluir - recluyó caer - cayó
Se escribe Y si el sonido i está al final de las palabras terminadas en triptongo.
Uruguay Camagüey
Si el sonido i está al inicio de la palabra, se escribe i cuando la siguiente letra es
consonante; pero se escribe y cuando la siguiente letra es vocal.
ilustre yacimiento
Se mantiene la y en los plurales de las palabras que en singular terminan con y.
Buey Bueyes
USO DE LA “G”
La letra g puede tener dos sonidos: uno suave, cuando va antes de las vocales a, o, u, o de
consonantes, y otro fuerte, como el de la j, cuando va antes de las vocales e, i.
El primer sonido está representado por el fonema g y el segundo está representado por el fonema
j.
El sonido fuerte, que es j, unas veces se escribe con g y otras con j; por esa razón se requiere
aplicar las siguientes reglas para el uso correcto de estas letras.
La g se usa para representar su sonido suave correspondiente al fonema g, en los siguientes casos:
1. Antes de a, o, u, o de consonante:
Guelatao – guirnalda
Guerrero – guisante
Redacción
Redactar un escrito
El redactor es la persona que desarrolla un contenido escrito producto de un raciocinio; un escritor,
un profesional de este tema, que toma en cuenta todos los requisitos de la escritura y de la
composición correcta. En contextos periodos, es una categoría profesional dentro de los medios de
comunicación y de difusión.
Etimológicamente, redactar (del latín redactum, supino de redigĕre),12 significa compilar las ideas
en un texto. En un sentido más preciso consiste en expresar por escrito
los pensamientos o conocimientos ordenados con anterioridad.
Los tres fundamentos de la redacción básicos son:
Corrección.
Adaptación.
Eficacia.
La corrección asegura que un texto esté preparado para dar a entender su objetivo principal.
Procura que al finalizar esté correctamente escrito para la comprensión del lector; existen 4 tipos
de corrección:
Ortográfica: Corrige errores de escritura, errores de dedo, falta de palabras o letras, procura
correcta escritura de la palabra y corrige puntuación.
Morfológica: Corrige todo lo que tiene que ver con accidentes gramaticales (el tiempo,
el número y el género).
Corrección sintáctica: Corrige la coherencia del texto y se asegura que el lector comprenda el
escrito según la intención del redactor.
Corrección léxico-semántica: Procura que las palabras utilizadas en el texto concuerden con el
tema, la intención u objetivo de escritura.
La adaptación procura que el texto sea adecuado para el público según el medio de
comunicación a utilizar. El objetivo de redacción dependerá del nivel
socioeconómico, edad y cultura de dichos públicos seleccionados.
La eficacia se asegura de que el texto funcione, cumpla su propósito y en el caso de la
redacción publicitaria: que venda. Este último elemento es el más importante en la redacción
puesto que si el texto no es eficaz no cumplirá su cometido.
SIGNOS DE PUNTUACION
Los signos de puntuación delimitan las frases y los párrafos, establecen la jerarquía sintáctica de
las proposiciones para conseguir estructurar el texto, ordenan las ideas y las jerarquizan en
principales y secundarias, además eliminan ambigüedades.
La puntuación varía según el estilo de escritura; sin embargo, las diferencias de estilo que se
puedan presentar no eximen a nadie de cumplir con ciertas normas mínimas y de evitar errores
generalmente considerados como inaceptables. De ahí la importancia de conocer y aplicar las
normas básicas de la puntuación.
No obstante, hay que advertir que más allá de cualquier norma establecida, los signos de
puntuación componen también la arquitectura del pensamiento escrito. En este sentido, y tal y
como sucede en poesía desde hace más de un siglo, no existen normas exactas para reglamentar
el correcto uso de los signos en las partituras, tanto narrativas como poéticas.
MATEMATICAturales
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Con los números naturales podemos:
1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).
Ejemplo
8 es el número de planetas del Sistema Solar.
Cuando usamos los números naturales para contar los elementos de un determinado conjunto los
llamamos números cardinales.
Imagina que tienes un conjunto de galletas como el que se muestra en la imagen de la izquierda. Si
realizas el proceso de contar encontrarás que hay ocho galletas en total. Decimos entonces que
el cardinal del conjunto es ocho, ya que este número representa la cantidad de elementos que tiene
el conjunto.
Números ordinales
En muchas ocasiones es necesario dar un orden a las cosas: las posiciones finales de una carrera o
los pisos de un edificio son algunos ejemplos. Cuando usamos los números naturales para este
propósito los llamamos ordinales.
Piensa en un edificio de varios pisos. Empezando de abajo para arriba asignamos un número a cada
piso para contarlos. Al expresar el orden de los pisos, lo hacemos de la siguiente manera: al piso
que corresponde el número 11, lo llamamos primer piso; al que le corresponde el 22 lo llamamos
segundo piso, al que le corresponde el número tres lo llamamos tercero, etc.
Existen unas reglas para saber como mencionar cada uno de los números ordinales:
matemática:
Tipo de enteros
Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c
son divisores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina divisor propio de a.
Los enteros pares son los múltiplos de 2, incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10;
Un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9.
Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus
divisores propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3)
y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos.
Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente
o superante según que la suma de sus divisores propios positivos sea menor o mayor
que él. Así, 9, cuyos divisores son 1 y 3, es deficiente, y 12, cuyos divisores son 1, 2,
3, 4 y 6, es superante.
Resumen
Todos los números enteros mayores de cero se consideran positivos, y sus opuestos,
se consideran negativos.
El cero no es positivo, ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio cero.
El conjunto formado por el cero y todos los números enteros positivos, se
denomina conjunto de los números enteros no negativos.
El conjunto formado por el cero y todos los números enteros negativos, se denomina
conjunto de los números enteros no positivos.
Los números opuestos están situados en la recta numérica simétricamente respecto
al cero.
Los números enteros que solo se diferencian en el signo, se llaman opuestos, por
ejemplo, 20 y -20 son números opuestos.
El módulo o valor absoluto de cualquier número entero nunca es negativo. Dos
números enteros opuestos tienen el mismo módulo, por ejemplo:
El cero en mitad de la recta, los enteros negativos a la izquierda del cero y los enteros
positivos a su derecha. Normalmente no se escribe el signo + que precede a los enteros
positivos.
Definición de números racionales
Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número
racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números
enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que
es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros
también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados
como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero
y el número 1 como denominador.
Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de
los números racionales, estos son:
Entre las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre
será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima
expresión si el caso lo
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el
resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el
resultado no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier
número racional, la respuesta será el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual,
existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se
obtiene como resultado el cero.
ab−ab=0
Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la
multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también
es un número racional.
ab×cd=ef
Esta además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no
altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el
producto, entre los números racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la
suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Números fraccionarios. Se encuentran dentro del conjunto de los números
racionales (Q) y se expresan de las forma a/b o como una expresión decimal periódica.
Surgen por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números
naturales.
Los números están en cada una de las acciones de la vida cotidiana y con ellos podemos
contar, ordenar, medir y comparar dos o varias cantidades.
Para cada acción siempre se utilizan diferentes tipos de números.
Un mismo número puede representar cantidades diferentes de acuerdo con su
significado, y en otras ocasiones, números expresados de formas diferentes pueden tener
el mismo significado.
A partir de las diferentes operaciones de cálculo que podemos realizar con los números,
han ido surgiendo los conjuntos numéricos y dentro de ellos los el de los números
fraccionarios.
Definición
Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre
dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente
de cero.
Formas de expresión
Una fracción puede considerarse como el cociente exacto de dividir el numerador entre el
denominador, de ahí que se pueda escribir también como el cociente a : b.
Una fracción representa un número natural cuando al dividir el numerador por el
denominador el resto de la división es cero.
Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es
decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a
diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números
enteros sino como una aproximación de tal valor.
Suma o adición
La suma es una operación que se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y compramos 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería
volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso,
recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 + 2 = 8.
Propiedades de la suma:
Si tenemos que sumar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama
propiedad asociativa). Si tenemos que sumar a, b, c y d, podemos sumar primero a + b, despues c
+ d y despues sumar los dos resultados anteriores, o podemos sumar a + c, despues b + d y
despues sumar los dos resultados anteriores o podemos sumar a + b y al resultado sumarle c y al
resultado sumarle d. En fin podemos sumar los numeros en cualquier orden.
La suma tiene elemento neutro. El cero es el elemento neutro de la suma porque siempre se
cumple que a + 0 = a.
La suma tiene elemento simétrico. El elemento simetrico de un número es otro que sumado al
anterior da el elemento neutro. El elemento simetrico de a es -a, porque a + (-a) = 0
Resta o substración
Igual que la suma la resta es una operacion que se deriva de la operacion de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de
hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el
mismo caso, recordaria el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabria que 6 - 2 =
4.
Los terminos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas
que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
Propiedades de la multiplicación
Si tenemos que multiplicar varios numeros podemos hacerlo en cualquier orden (esto se llama
propiedad asociativa). Si tenemos que multiplicar a, b, c y d, podemos multiplicar primero a . b,
despues c . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores, o podemos multiplicar a . c,
despues b . d y despues multiplicar los dos resultados anteriores o podemos multiplicar a . b y
multiplicar el resultado por c y despues multiplicarlo por d. En fin podemos multiplicar los numeros
en cualquier orden.
División
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un
número de personas.
Los terminos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de
personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Propiedades de la division
Múltiplo Común: Un múltiplo común es un número que es múltiplo a la vez de dos o más
números, es decir, es un múltiplo común a esos números.
Siguiendo con el ejemplo anterior, vamos a ver los múltiplos comunes de 2 y de 3.
Habrá que ver qué múltiplos tienen en común el dos y el tres, que en la imagen figuran en
verde, es decir, el 6, el 12 y el 18. Hay que tener en cuenta que los múltiplos son infinitos
y que nosotros solo hemos mostrados los primeros de cada número.
Mínimo común múltiplo: El mínimo común múltiplo es el número más pequeño de los múltiplos
comunes.
Siguiendo con el ejemplo anterior, si los múltiplos comunes de 2 y de 3 eran 6, 12 y 18, el
mínimo común múltiplo o mcm es 6, ya que es el menor de los múltiplos comunes.
A continuación vamos a ver cómo calcular el mínimo común múltiplo. Se pueden utilizar
dos métodos.
El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir,
escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean
comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.
Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay
que hacer es descomponer en factores prim os cada número. Después tendremos que
elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último,
tendremos que multiplicar los factores elegidos.
Vamos a ver un ejemplo de ésto, calculando el mcm de 12 y de 8.
Si "a" y "b" son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a
su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b.1 Obsérvese
que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen,
únicamente como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos
entre sí.
Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los
números a y b cuando:
El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
Datos:
1m = 1000 mm
1km = 1000 m
¿Para qué utilizamos el metro?
El metro es empleado para medir el largo, ancho, y la altura de las cosas, es decir el
metro se utiliza para conocer longitudes.
Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta
veces menor que la unidad de orden inmediato superior.
Regla de tres compuesta
9 grifos 10 horas 20 €
15 grifos 12 horas x €
La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
A más más.
A menos menos.
EJEMPLO
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.
240 km 3h
x km 2h
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita
o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con
incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben
seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que
contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el
derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador
inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para
llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es
+3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo
de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Problema de aplicación.
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida
cotidiana. Por ejemplo:
El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3
más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada
hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este
caso llamemos:
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos x + x + 3 + x + 7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego las edades de los tres hermanos son 10 , 13 y 17
años.
Ecuaciones de segundo grado
Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se
trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita,
haga que sea cierta la igualdad.
Ese valor es la solución de la ecuación.
Ejemplo: Resolver la ecuación x - 1 = 0
El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la
solución de la ecuación.
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo
grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos
soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que
corresponda en cada caso particular.
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Si
x+4=0
x = -4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x - 1) = 9
2x2 + 5x - 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 - 12 = - 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado
geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas
que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo
x2 +bx+c=0
Nos queda
x+4=8
Entonces
x=8-4
x=4