Este documento presenta 8 problemas relacionados con curvas paramétricas planas y en el espacio tridimensional. Los problemas abordan temas como parametrización de curvas, cálculo de elementos como el vector tangente y la recta tangente, longitud de arco, curvatura, torsión, vectores de Frenet-Serret y evolutas.
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Este documento presenta 8 problemas relacionados con curvas paramétricas planas y en el espacio tridimensional. Los problemas abordan temas como parametrización de curvas, cálculo de elementos como el vector tangente y la recta tangente, longitud de arco, curvatura, torsión, vectores de Frenet-Serret y evolutas.
Este documento presenta 8 problemas relacionados con curvas paramétricas planas y en el espacio tridimensional. Los problemas abordan temas como parametrización de curvas, cálculo de elementos como el vector tangente y la recta tangente, longitud de arco, curvatura, torsión, vectores de Frenet-Serret y evolutas.
Este documento presenta 8 problemas relacionados con curvas paramétricas planas y en el espacio tridimensional. Los problemas abordan temas como parametrización de curvas, cálculo de elementos como el vector tangente y la recta tangente, longitud de arco, curvatura, torsión, vectores de Frenet-Serret y evolutas.
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Problemas Semana 1
Ayudantía 1
Contenidos a revisar: Parametrización de curvas en el espacio/plano Cálculo de elementos básicos de una curva paramétrica (vector tangente, ecuación de recta tangente) Longitud de arco y arcoparametrización
Problema 1 [curvas en R2 ] Problema 4 [polares y gráfica]
Una cuerda se enrolla alrededor del círculo de radio r (a) Demuestre que la fórmula de longitud de curva de la y centro O de la figura. La curva trazada por el pun- curva polar tal que ρ = ρ(θ), θ ∈ [θ1 , θ2 ] está dada por to P en el extremo de la cuerda al ir desenrrollándola ˆ θ2 s 2 se llama involuta del círculo. Si la posición inicial de dρ 2 ρ (θ) + (θ) dθ P es (x = r, y = 0) y el parámetro θ se elige como dθ θ1 en la figura, determine las ecuaciones paramétricas para x(θ), y(θ). (b) Use lo anterior para encontrar la longitud de la cur- va polar ρ(θ) = − exp (2θ) , θ ∈ [0, 2π]. (c) Grafique la curva anterior. Problema 5 [curvas en R3 y elementos] Considere la hélice F(t) = (cos(t), sin(t), et ), t ∈ R. Halle la recta tangente y el plano normal a la curva en el punto F(0). Pruebe que la intersección entre el plano XY con cualquier recta tangente a la curva entrega un pun- to sobre el círculo x2 + y 2 = 2. Determine en qué puntos (si los hay) la hélice dada Problema 2 [curvas en R2 ] atraviesa el plano Y Z perpendicularmente.
La curva bruja de Agnesi consiste en todas las posibles Problema 6 [elementos]
posiciones del punto P de la figura, donde el radio a de la circunferencia es fijo y el parámetro θ se mide como se Considere las curvas muestra. Si la curva está definida solo para θ ∈ (0, 2π), r1 (t) = t, 1 − t, 3 + t2
encuentre ecuaciones paramétricas x(θ), y(θ). r2 (s) = 3 − s, s − 2, s2
Determine si estas curvas se intersectan, y en tal caso,
determine el ángulo de intersección.
Problema 7 [elementos] Si una curva tiene la propiedad de que el vector de po- sición r(t) siempre es perpendicular al vector tangente r0 (t), demuestre que la curva queda sobre una esfera con centro en el origen.
Problema 8 [longitud de arco y arcoparametrización]
Problema 3 [curvas en R3 ] Considere la curva Parametrice las curvas obtenidas de las siguientes inter- secciones de superficies 2 2t r(t) = − 1, 2 p t2 + 1 t +1 El cono z = x2 + y 2 y el plano z = 1 + y. El cilindro circular de radio unitario con la esfera con t ∈ R. Encuentre el arcoparámetro s de la curva, de radio 2 y centro (−1, 0, 0). para luego reparametrizar la curva por longitud de arco.
1 Ayudantía 2
Contenidos a revisar: Curvatura y torsión de curvas Vectores T, N, B y fórmulas de Frenet-Serret
Problema 1 Considere las esferas de ecuación 2 E1 :x2 + y 2 + (z − 1) = 1 2 E2 :x2 + (y − 1) + z 2 = 1 Sea α la intersección de las esferas E1 y E2 . (a) Encuentre una parametrización de α. (b) Encuentre la curvatura y torsión de α. Problema 2 Sea ϕ(t) una curva plana de curvatura constante. Demuestre que la traza de ϕ es una recta o una circunferencia. Problema 3 Encuentre una curva γ(s) con s ∈ (0, +∞) tal que κ(s) = √1 . s
Problema 4 Demuestre que para cualquier curva plana su torsión es siempre τ (s) = 0, para todo s. Problema 5 Sea α(s) una curva arcoparametrizada con curvatura constante. Sean Tα y Nα los vectores tangente y normal unitario de α respectivamente. Para la curva definida por
β(s) = −3α(s) + 5Tα (s) + Nα (s)
calcule β 0 · β 000 . Problema 6 Sea α : I → R3 una curva arcoparametrizada que satisface que todos los planos normales a la curva pasan por un punto fijo c. Problema 7 Si r representa una curva dos veces diferenciable, pruebe que
dT d2 T
p
×
= κ2 κ2 + τ 2
ds ds2
Problema 8 Sea γ una curva plana en R3 parametrizada por α : [a, b] → R3 con curvatura κ(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]. Denotemos por N(t) su normal unitaria. Se define la curva evoluta parametrizada según 1 β(t) = α(t) + N(t), t ∈ [a, b] κ(t)
Pruebe que las tangentes de γ y su evoluta son perpendiculares para todo t.
