3° secundaria

TEMA: LA RECTA
Ángulo de Inclinación de una Recta:y Es aquel ángulo que forma la recta y
el Semieje (+); de las abscisas partiendo del eje y llegando hasta la recta.
(Sentido Antihorario). L1
L 2

1
x

Donde:

1 : de inclinación de L1
2 : de inclinación de L2

Pendiente de una Recta:

Se define la tangente trigonométrica del  de Inclinación; además:

y2  y1
m 
X2  X1

Ejemplo:
3° secundaria B (X 2 ,y 2 )
 E n t o n c e s l a p e n d ie n t e 
 
 d e L 1  m  Ta n   ( X 1 ,y 1 )
A

Observación:

1) Si la pendiente de una Recta es positiva; entonces su ángulo de

inclinación es agudo por lo tanto la Recta apunta al extremo superior
derecho.
V a r ia d e 0 a 9 0 º
m  0
1
" 1 : A g u d o "

2) Si la pendiente de una Recta es negativa entonces su ángulo de

inclinación es obtuso, por lo tanto la recta apunta al extremo superior
izquierdo.

Tenemos:
m  0
"  2 : O b tu s o "
2

Intercepto de una Recta: Viene hacer la ordenada del punto de Intersección

de la Recta con el eje de Ordenadas.
 y
3° secundaria L2

(0 ,b 2) L1
b2
x
b 1

(0 ,b 1 )

b1 : Intercepto de la Re cta L1
b 2 : Intercepto de la Re cta L 2

y
(Ecuación Cartesiana De Una LRecta)
( X ,y ) m

(0 ,b )

yb
i) X  0  m  y  b  mX

y  mX  b

Donde: m = Pendiente
b = Intercepto

Ejem:
3° secundaria

2X 2
a) y  3  3  m
3
; b  3.

3 X 3
b) y  4  2  m 
4
; b  2

Observación:

AX  By  C  0

Representa una Recta en el sistema de Coordenadas Rectangulares. Donde:

A
m=
B
(m : pendiente)

3
Ejemplos: i) 3 X  4 y  15  0  m 
4

1
ii) X  y  1  0  m
1
1

Observación: Para reconocer si un punto pertenece a una recta, o lo que es

lo mismo si una recta pasa a través de un punto al reemplazar las
coordenadas de dicho punto en la ecuación la igualdad se debe verificar.

C = 3X-y + 4 = 0
A (1,7)  3(1) – 7 + 4 = 0   L
A (2,10) 3(2) – 10 + 4 = 0   L

Observación: Para determinar el punto de Intersección de 2 Rectas se

resuelve el sistema que forman ambas soluciones.
Ejem:
L1
L2
L 1  X  2y  3  0

L 2  X  y  6  0
3° secundaria

X  2y  3  0 (  )
Xy6  0
3 y  3
y  1;
X  5;

Punto de Intersección:
 (-5 ;-1)

Obs. Relación pendiente - Vector Direccional

a a  (a 1 ,a 2 )
a2

a1

a
Tan   2  m
a1

a
a  (a1, a2 )  m  2
Si: a1
Rectas Paralelas:

L1
1   2 Pendientes iguales
m1  m 2
1 2

Rectas Perpendiculares:
3° secundaria

L1 Si: L1  L2
L2
(m 1)
(m 2) m1 x m 2  1

(m1  m2) : Son Pendientes

ACTIVIDADES
3° secundaria

1) Los vértices de un triángulo B

tienen por coordenadas
A(-3 , 4) , B(6 ; 8) , C(8 ; -2).
M
Hallar la ecuación de la recta
que contiene a la altura BH . S (2 ; 4 )
A (1 ; 2 ) C
Q (3 ; -2 ) L
2) La recta que pasa por el punto
(2 ; 1) y es perpendicular a la
recta: 3x – 4y + 12 = 0, tiene 6) Señale la ecuación de la recta
por ecuación: que pasa por: A = (2 ; 2) y
B = (4 ; 3)
3) Hallar la ecuación de una recta
que pasa por el punto (3 ; 2) y 7) Señale la ecuación de la recta
determina con los semiejes que pasa por (-1 ; 4) y tiene un
positivos una región triangular ángulo de inclinación de 37°.
cuya área es 162.
8) El ángulo de inclinación de una
recta que no pasa por el
4) Del gráfico, calcular la
segundo cuadrante es de 45°.
ecuación de la recta L. Hallar su ecuación, si su
Sabiendo que R  5 . distancia al origen es 6 2 .

y 9) Hallar la ecuación de la recta

“L”.
R
L
O y
5 3 ° /2
(9 ; 7 )
x
(1 ; 5 )
5) En la figura mostrada,
determinar la ecuación de la
x
recta L.

10) Hallar la proyección del punto

P(-6 ; 4) sobre la recta:
4x – 5y + 3 = 0
3° secundaria

16) Entre las raíces que pasan por

11) Determinar el ángulo  el punto P(3 ; 0), hallar una de
formado por las dos rectas: ellas, de manera que el
segmento comprendido entre
L1 : x 2  y 3  5  0 las rectas:

L 2 : (3  2 )x  ( 6  3 )y  7  0 L1 : 2x – y – 2 = 0
L2 : x + y + 3 = 0
12) Dos lados de un cuadrado
están en las rectas: Se a dividido por la mitad en el
punto P.
5x – 12y – 65 = 0
5x – 12y + 26 = 0 17) Una recta tiene interceptos
Calcular su área iguales y pasa por (3 ; 2).
Hallar su ecuación.
13) Dadas las ecuaciones de los
lados de un triángulo: 18) Una recta pasa por (3 ; 5) de
modo tal que el segmentos de
L1 : 3x + 4y – 1 = 0 ella, situada entre los ejes
L2 : x – 7y – 17 = 0 coordenados, es dividido por el
L3 : 7x + y + 31 = 0 punto dado en su mitad. Halle
su ecuación.
14) Determinar la ecuación de la
bisectriz del ángulo agudo 19) Se da la recta: 2x + 4 + 3y = 0.
formado por las dos rectas: Hallar la ecuación de la recta
que pasa por el punto M(2 ; 1)
L1 : 3x + 4y – 5 = 0 y es perpendicular a la recta
L2 : 5x – 12y + 3 = 0 dada.

15) Hallar la ecuación de la recta 20) Hallar la ecuación de la recta

que pasa por el punto C(-5 ; 4), de pendiente -0,75; y que
sabiendo que la longitud de su forma con los semiejes
segmento comprendido entre coordenados positivos un
las rectas: x + 2y + 1 = 0 ; triángulo de perímetro 36.
x + 2y – 1 = 0 es igual a 5.

ACTIVIDADES DE REFUERZO
3° secundaria

1) Si el área del triángulo a) 16 b) 17

sombreado es de 122. L1  L2. c) 18 d) 19
Halle la ecuación de L1. e) 20

L 5) Hallar la proyección del punto

y 2
x P(-6 ; 4) sobre la recta:
4x – 5y + 3 = 0
O (6 ; 0 )
a) (-2 ; 1) b) (1 ; -2)
L1 c) (1 ; 1) d) (1 ; 2)
e) (-2 ; -2)
6) Hallar el punto “Q” simétrico al
punto P(-5 ; 13) relativo a la
a) 3x + 2y – 18 = 0 recta: 2x – 3y – 3 = 0
a) (1 ; 1) b) (-11 ; 10)
b) 3x + y – 18 = 0
c) (11 ; 1) d) (11 ; -11)
c) 2x + y + 1 = 0 e) (3 ; -11)
2) Halle la ecuación de la 7) Determinar el área de la región
mediatriz del segmento cuyos limitada por el eje de
extremos son A(-1 ; 3) y ordenadas y las rectas:
B(5 ; 7) L1 : 3x – 2y + 8 = 0
L2 : x + y + 8 = 0
a) 2x + y – 16 = 0
b) 3x + 2y – 16 = 0 a) 28,8 b) 8,8
c) 5x + 3y – 14 = 0 c) 3,8 d) 18,8
e) 20,1
3) El área de un triángulo es
S = 8. Dos de sus vértices son 8) Sean las rectas:
los puntos A(1 ; 2) ; B(2 ; 3) y el
tercer vértice “C” esta en la L1 : 7x – y + 1 = 0
recta: 2x + y – 2 = 0. Señale la L2 : 3x – 4y + 2 = 0
suma de coordenadas de “C”. Determinar uno de los ángulos
a) 1 b) 2 que forman L1 y L2
c) 3 d) 4 a) 30° b) 45°
e) 5 c) 48° d) 57°
e) 60°
4) Los lados de un triángulo están
en la rectas:
x + 5y – 7 = 0; 3x – 2y – 4 = 0; 9) Dada la recta: 2x+ 3y + 4 = 0.
7x + y + 19 = 0; calcular su área. Hallar la ecuación de la recta
3° secundaria

que pasa por el punto M0(2 ; 1) altura del triángulo que parte
y forma un ángulo de 45° con del vértice A.
la recta dada. a) 3 b) 2
a) x – 3y + 2 = 0 ; 3y + 2x – 1 = 0 c) 1 d) 4
b) x + 2y – 2 = 0 ; 3x + 2y – 3 = 0 e) N.A.
c) x – 5y + 3 = 0 ; 5x + y – 11 = 0
d) 3x – 5y + 8 = 0 ; 2x + y – 11 = 0 12) Dadas las ecuaciones de los
lados de un cuadrado
10) Determinar la distancia del 4x– 3y + 3 = 0; 4x – 3y – 17= 0.
punto Po(7 ; 1) a la recta de Determinar su área.
ecuación: 3x + 4y + 5 = 0 a) 13 b) 15
a) 6 b) 7 c) 16 d) 18
e) 20
c) 8 d) 8
e) 9 13) Dadas tres rectas paralelas:
L1 : 10x + 15y – 3 = 0
11) El lado BC de un triángulo se L2 : 2x + 3y + 5 = 0
L3 : 2x + 3y – 9 = 0
encuentra sobre la recta
Determinar la razón en que
L1: 3x – 4y + 12 = 0 y el vértice divide la distancia entre ellas.
A se encuentra en (-3 ; 2), a) 2/3 b) 1/3
determinar la longitud de la c) 4/3 d) 3/5
e) 8/9
3° secundaria

TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal
que cualquier punto de la circunferencia Equidista de un punto fijo llamado
centro una distancia conocida como “RADIO”.

C (h ,K )
K

h
P (X ,y )

Por definición: dPC  r

Forma Centro:
Centro: (h ; k)
Radio: r

 r  ( X  h)2  ( y  k )2

 r 2  ( X  h)2  ( y  h)2

Ejem:

I) C1 : ( X  2)2  ( y  1)2  16

Centro: (2,1)
Radio: 4
3° secundaria

II) C2 : ( X  3)2  ( y  1)2  4

Centro: (-3,-1)
Radio: 2

III) C3 : X2  y 2  9

Centro: (0,0)  Centro de Posición

Radio: 3 Canónica

IV) X2  y 2  4 X  6 y  0  Centro: (2,3)

( X  2)2  ( y  3)2  13 Radio = 13

Propiedad:

0
C= AX0  By 0  C
y+ d 
+B
AX A 2  B2
d

G (X o ,y o )
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CLASE

* En cada caso hallar la Rpta.:

ecuación de la circunferencia.
1) C(1 ; 2) ; r = 3 9) 144x2 + 144y2 – 192x – 288y +
127 = 0
Rpta.:
Rpta.:
2) C(-1 ; 5) ; r = 4
10) x2 + y2 – 6x = 0
Rpta.:
Rpta.:
3) C(6 ; -6) ; r = 6
11) x2 + y2 – 10x + 2y + 26 = 0
Rpta.:
Rpta.:
4) C(0 ; 0) ; r = 3
12) 2x2 + 2y2 + 2x – 2y – 7 = 0
Rpta.:
Rpta.:
* Hallar las coordenadas del
13) Hallar la ecuación general de
centro y la longitud de l radio de
la circunferencia que pasa por
las siguientes circunferencias,
el punto P(1 ; 2) de centro
que tiene por ecuaciones:
C(5 ; 4)
5) x2 + y2 = 9
Rpta.:
Rpta.:
14) Dada la ecuación de la
circunferencia:
6) (x – 1) 2 + y2 = 7
 : x2 + y2 – 4x + 2y = 0
Rpta.:
¿Cuál es su radio?
2 2
7) (x + 1) + (y – 2) = 81
Rpta.:
Rpta.:
15) Hallar la ecuación de la
8) x2 + y2 + 6x – 6y + 13 = 0
circunferencia cuyo centro es
3° secundaria

el punto de intersección de las 18) Las circunferencias:

rectas:
C1 : x2 + y2– 12x – 6y + 25= 0
L1 : x + y – 4 = 0 C2 : x2 + y2 + 2x + y = 10
L2 : x – y + 8 = 0
Son tangentes en el punto “P”.
Además, el origen pertenece a Las coordenadas del punto P
la curva. son:

Rpta.: Rpta.:

16) Encontrar la ecuación de una 19) Encontrar la ecuación de una

circunferencia con centro en el circunferencia canónica que
punto (1 ; 6) y tangente a la pasa por el punto (-3 ; 4)
recta: x – y – 1 = 0
Rpta.:
Rpta.:
20) Hallar la ecuación del lugar
17) Encontrar la ecuación de una geométrico de todos los
circunferencia tangente a la puntos cuyas distancias al
recta: punto P(1 ; 1) es siempre
7x – 24y – 55 = 0 y cuyo constante e igual a 2.
centro es de la circunferencia:
x2 + y2 – 8x – 4y = 0 Rpta.:

Rpta.:
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CASA

* En cada caso, hallar la
ecuación de la circunferencia. a) (3 ; 5) ; r = 6
b) (3 ; -5) ; r = 6
1) C(5 ; -5) ; r = 5 c) (5 ; -3) ; r = 6

a) (x – 5)2 + (y + 5) 2 = 5 5) x2 + (y – 2)2 = 81
b) (x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 25
c) (x + 2) 2 + (y + 5) 2 = 5 a) (0 ; 2) ; r = 9
b) (0 ; -2) ; r = 3
2) C(0 ; 0) ; r = 3 c) (0 ; 2) ; r = 81
d) (0 ; -2) ; r = 9
a) x2 + y2 = 3 6) x2 + y2 + 8x + 4y + 16 = 0
b) x2 + y2 = 3
c) x2 + y2 = 9 a) (4 ; 2) ; r = 4
b) (-4 ; 2) ; r = 4
1 1 c) (-4 ; -2) ; r = 2
3) C  ;   ; r = 7
 2 3 
7)
2 2
2 2  3  1   5  1 
 1  1 x   y   36
a)  x     y    7  2    2 
 2  3  

2 2  3 1 1 5

b)  x 
1  1
  y    7 a)  ; 
 ;r=6
2 2
 2  3  

2 2  3 1 5  1
 1  1
c)  x     y    7 b)  ; 
 ;r=6
2 2
 2  3  

1 3 5  1 
* Hallar las coordenadas del c)  ;
 ; r =
 2 2 
centro y la longitud del radio de
las siguientes circunferencias 6
que tienen por ecuaciones:
8) Hallar la ecuación de la
2
4) (x – 3) + (y + 5) = 362 circunferencia cuyo centro es
3° secundaria

(-4 ; -1) y que es tangente a la 12) Hallar la ecuación del cuerda

recta: L : 3x + 2y – 12 = 0 común a las circunferencias:
C1 : x2 + y2 + 3x – 2y – 7 = 0
a) (x + 3)2 + (y – 1) 2 = 52 C 2 : x 2 + y2 – x – y + 2 = 0
b) (x + 4) 2 + (y + 1) 2 = 52
c) (x + 4) 2 + (y + 1) 2 = 46 a) L : 4x – y – 9 = 0
b) L : 3x – y + 9 = 0
c) L : 4x + y – 9 = 0
9) Hallar la ecuación de la
circunferencia que pasa por los 13) Hallar la ecuación de la
puntos: (-1 ; 4) ; (1 ; -2) y (5 ; 2) circunferencia cuyo centro es
C(1 ; -1) y es tangente a la
a) x2 + y2 – 3x – 3y – 8 = 0 recta: 5x – 12y + 9 = 0
b) x2 + y2 – x - 3y + 8 = 0
a) (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 4
c) x2 + y2 – 3x + 3y – 8 = 0
b) (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 4
c) (x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 4
10) ¿El punto (4 ; -3) es exterior,
interior o esta en la 14) Desde el punto A(4 ; 2) se han
circunferencia: trazado tangentes a la
circunferencia: x2 + y2.
x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0? Determinar el ángulo formado
por estas tangentes.
a) Es interior a) 60° b) 70°
b) Es exterior c) 80° d) 90°
c) N.A. e) 100°

11) Hallar la distancia máxima y 15) Determinar la ecuación del

mínima del punto (-7 ; 2) a la diámetro de la circunferencia:
circunferencia: C1 : x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 ;
que biseca a la cuerda cuya
ecuación es:
x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
L : 3y + x – 6 = 0
a) 28 y 4 b) 30 y 2 a) 3y – x = 7
c) 28 y 2 d) 20 y 1 b) 3y – x = 9
e) N.A. c) 3y + x = 11
d) 3x – y = 11
e) 3y + x = 9
3° secundaria
3° secundaria

TEMA: LA PARÁBOLA
Definición:
Es el lugar geométrico de todos los
y
puntos contenidos en un mismo plano tal
que cualquier punto perteneciente a la parábola equidista de un punto fijo
llamado foco y una recta fija conocida como recta directriz.
P ( x ,y )
L D A

L F
“ G r a f ic a d e V F
la p a r a b o la ” P
P

X
B

Elementos:

LD: Recta directriz

LF: Eje Focal
V: Vértice
VF = VLD = P
F: Foco
AB: Lado Recto = 4p

Casos: y
x2  4py
a)

b)
3° secundaria
y
X 2  4py
V
X

c) y

y 2  4px
X
V F

d) y

y 2  4px

X
F V
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) De la siguiente ecuación de la 8) Del problema 6, indicar la

parábola, hallar su vértice. ecuación de la recta directriz.
y2 = 4x
Rpta.:
Rpta.:
9) Del problema 6 indicar la
2) Del problema anterior. Hallar la ecuación de la recta directriz.
ecuación de la recta directriz.
Rpta.:
Rpta.:
10) Del problema 6, indicar la
3) Del problema 1, dar las longitud del lado recto.
coordenadas del foco.
Rpta.:
Rpta.:
11) Hallar el vértice de la parábola
4) Del problema 1, dar la longitud que tiene por ecuación:
del lado recto. (y – 3)2 = 2(x + 7)

Rpta.: Rpta.:

5) Del problema 1, dar las 12) Del problema anterior, hallar

coordenadas del lado recto las coordenadas del foco.

Rpta.: Rpta.:

6) Hallar el vértice de la parábola 13) Del problema 11, indicar la

que tiene por ecuación: ecuación de la recta directriz.
x2 = (y – 2)
Rpta.:
Rpta.:
14) Del problema 11, indicar las
7) Del problema anterior, hallar coordenadas del lado recto y
las coordenadas del foco. también dar su longitud.

Rpta.: Rpta.:
3° secundaria

15) Hallar la ecuación de la 18) Hallar la ecuación el a tangente

parábola cuyo vértice es el a la parábola de ecuación:
punto (3 , 4) y cuyo foco es el y2 = 4px en su punto (3 ; 2)
punto (3 ; 2)
Rpta.:
Rpta.:
19) Hallar el foco de la parábola
16) Hallar la ecuación de la dada por:
parábola que tiene su vértice 1
en el origen de coordenadas y x = -y2 + y –
4
cuyo foco es el punto (4 ; 0)
Rpta.:
Rpta.:
20) Encuentre la ecuación de la
17) Una parábola que pasa por el
parábola vertical con vértice en
punto P(4 ; -2) tiene su vértice
(2 ; 1) y que pase por el punto
V(0 ; 6) y su eje es la recta
P(4 ; 7)
y = -6. Hallar la ecuación de
dicha parábola.
Rpta.:
Rpta.:
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Hallar el vértice de la parábola 6) Hallar el vértice de la parábola
que tiene por ecuación: que tiene por ecuación:
y2 = -32x (x + 4)2 = 16(y – 1)

a) (0 ; 0) b) (0 ; 1) a) (-4 ; 1) b) (4 , -1)
c) (1 ; 0) d) (-3 ; 0) c) (3 , -1) d) (-4 ; 4)
e) (4 ; 0) e) (3 ; 2)

2) Del problema anterior, hallar la 7) Del problema anterior, indicar

ecuación de la recta directriz. las coordenadas del foco.

a) x = 4 b) x = 8 a) (-3 ; 6) b) (-4 ; 5)
c) x = 32 d) x = -32 c) (5 ; 5) d) (4 ; -5)
e) x = 1 e) (-5 ; 4)

3) Del problema 1, hallar las 8) Del problema 6, indicar la

coordenadas del foco. ecuación de la recta directriz.

a) (8 ; 0) b) (-4 ; 0) a) y = 1 b) y = 2
c) (-8 ; 0) d) (0 ; -8) c) y = 3 d) y = 16
e) (8 ; 8) e) y = -16

4) Hallar las coordenadas del lado 9) Del problema 6, indicar las

recto. coordenadas del lado recto.

a) L (-8 ; 16) ; R (3 ; -3/2) a) L(-12 ; 5) ; R(4 ; 5)

b) L (-8 ; 8) ; R (3 ; -3) b) L(12 ; 5) ; R(4 ; 5)
c) L (-3 ; 4) ; R (-3 ; 3/2) c) L(-12 ; 5) ; R(-4 ; 5)

5) Del problema 1, hallar la 10) Del problema 6, hallar la

longitud del lado recto. longitud del lado recto.

a) 16 b) 32 a) 8 b) 16
c) 48 d) 18 c) 15 d) 20
e) 42 e) 24
3° secundaria

11) Hallar la ecuación de la c) x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0

parábola cuyo vértice es el d) x2 + y2 – 2x + 4y = 0
punto (3 ; 4) y cuyo foco es el e) x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0
punto (3 ; 2)
14) ¿Para que valores de “k”, la
a) (x – 3)2 = 8(y – 4) parábola: x2 – 4x – y + k2 = 0 ;
b) (x – 2)2 = 8(y – 4) tiene su vértice en el eje “”x”?
c) (x + 1)2 = 3(y – 2)
a) 0 ó 2 b) 2 ó 4
12) Dado el foco de una parábola c) 2 ó 2
(9 ; 8) y la ecuación de la
directriz: 3x – 5y + 1 = 0. Hallar 15) hallar e identificar el lugar
el vértice de esta parábola. geométrico del centro de una
circunferencia que siempre es
a) (3 ; -3) b) (6 ; -3) tangente a la recta x = 1, y a la
c) (6 , -2) d) (-3 , 2) circunferencia cuya ecuación
e) N.A. es: x2 + y2 = 9. (Considere el
análisis en el intervalo:
13) Hallar la ecuación de la 1  x  2)
circunferencia de radio 4 con
centro en el vértice de la a) y2 = -8(x – 2)
parábola cuyo foco es F(3 ; -2) b) y2 = 8(x – 2)
y cuya directriz es la recta c) y2 = 2(x – 1)
x = -1. d) y2 = 8(x – 1)
e) N.A.
a) x2 + y2 - 3x + 2y – 11 = 0
b) x2 + y2 – 2x + 6y + 11 = 0
3° secundaria

TEMA: ELIPSE
Definición:
Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal
que las sumas de las distancias de cualquier punto de la elipse a 2 puntos
fijos es constante e igual a “2a” ; los puntos fijos se denominan focos.
y
(2a): Es constante. V1
B 1
a 2
a2 = b + c
2
P F1
b C
a
Q
C
F2
B2
V2
X

Donde:

a) dpF1  dpF2  2a(Constante)

b) F1 ; F2 : Fo cos  F1 ; F2  
Distancia focal = 2C

c) V1 ; V2 : Vertice  V1 ; V2  eje mayor  

Eje mayor = 2a

2b 2
d) AB  Lado Re cto  a

e) Q = Centro

 
f) B1 ; B2  eje menor  2b
3° secundaria

Casos Generales de la Elipse: y

I) Elipse Horizontal: B2

b a
V 2 V1
F1 C F2
X

B 1

X2 y2
  1
a2 b2

Si el centro fuera (h ; k)

Entonces:

( X  h) ( y  k )2
  1
a2 b2

II) Elipse Vertical:

y
V1

F1

B2 B 1
x

F2

X2 y2 V2
  1
b2 a2
Cuando el centro fuera (h ; k)
3° secundaria

( X  h) ( y  k )2
  1
b2 a2

Recuerda: Que cuando debajo de X 2 ó (x – h)2 el  es mayor que el que

esta debajo de y2 ó (y – k)2 entonces la Elipse es horizontal; si es mayor
es vertical.

Ejem:

X2 y2
   1  Elipse Horizontal .
9 4

X2 y2
   1  Elipse Vertical
4 16

Además:

c
EXCENTRICIDAD  e 
a
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Dada la ecuación de una 6) Del problema 3, hallar la longitud
elipse: de los ejes mayor y menor.

x2 y2 Rpta.:
 1
25 16
7) Determinar la longitud del lado
recto de la elipse:
Hallar las coordenadas de los
vértices.
x2 y2
 1 ; a b
Rpta.: a2 b2

2) Del problema anterior, hallar Rpta.:

las coordenadas de los focos.
8) Dada la ecuación de la elipse:
Rpta.:
( x  3 ) 2 ( y  5 )2
3) Dada la ecuación de la elipse:  1
25 16
4x2 + 9y2 + 32x – 18y + 37 = 0
Rpta.:
Hallar las coordenadas del
centro. 9) Del problema anterior, hallar
las coordenadas de los
Rpta.: vértices:

4) Del problema anterior, hallar Rpta.:

las coordenadas de los
vértices: 10) Del problema 8, hallar las
coordenadas de los focos.
Rpta.:
Rpta.:
5) Del problema anterior 3. hallar
las coordenadas de los focos. 11) Del problema 8, hallar la
longitud de los ejes mayor y
Rpta.: menor.

Rpta.:
3° secundaria

12) Del problema 8, halar la 18) Hallar la distancia de “P” en la

longitud del lado recto. recta directriz “L” de la elipse,
siendo: PF1  7
Rpta.:
y L
13) Del problema 8, hallar la P
excentricidad de la elipse.

Rpta.: F1 F2 x

14) Halle el centro de la elipse:

5x2 + 9x2 – 30x + 18y + 9 = 0 (x  4 )2 y2

25 16
Rpta.:
Rpta.:
15) Del problema anterior, hallar la
excentricidad de la elipse. 19) Hallar la distancia focal de una
elipse cuyo eje mayor tiene una
Rpta.: longitud de 26 y el menor tiene
una longitud de 24.
16) Hallar la ecuación de la elipse
cuyos extremos del eje menor Rpta.:
son: (1 ; 4) y (5 ; 4), además su
excentricidad es 3 2 . * Halle el centro y la excentricidad
de las elipses.
Rpta.:
20) 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0
17) Hallar la ecuación de la elipse
cuyo eje mayor mide 34 Rpta.:
unidades. Su centro es (-2 ; 0)
y las rectas directrices tienen 21) 16x2 + 25y2 + 32x – 100y
por ecuación:
Rpta.:
289
y  22) 4x2 + 3y2 – 8x + 12y – 32 = 0
15
Rpta.:
Rpta.:
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CASA

* Hallar la ecuación de la elipse 4) Su eje menor mide 20 y su

cuyos focos están ubicados en el excentricidad es 0,6.
eje de abscisas y son simétricas
con respecto al origen de x2 y2
coordenadas, para cada caso, a)  1 b)
100 64
sabiendo además que:
x2 y2
 1
1) Sus semiejes son iguales a 5 y 2 64 100
x2 y2 x2 y2
x2 y2 x2 y2 c)   1 d)  1
a)   1 b)  1 81 16 64 81
25 4 25 9
x2 y2 5) Su eje menor mide 8 y la distancia
c)  1 entre sus directrices es 16.
16 9

2) Su eje mayor mide 10 y la x2 y2 x2 y2

a)   1 b)  1
distancia focal es 8. 81 17 16 12
x2 y2 x2 y2
x2 y2 x2 y2 c)   1 d)  1
a)   1 b)  1 9 16 25 16
25 16 25 9
x2 y2 * Hallar la ecuación de la elipse
c)  1 cuyos focos están en el eje de
16 25
ordenadas y son simétricos
3) Su eje menor mide 24 y la respecto al origen de
distancia focal es 10. coordenadas. Además:

a) x2 + y2 = 169 6) Sus semiejes miden 7 y 2

2 2
x y
b)  1
169 16 x2 y2 x2 y2
a)   1 b)  1
x2 y2 4 16 16 25
c)  1
169 144 x2 y2 x2 y2
c)   1 d)  1
x2 y2 4 49 16 25
d)  1
25 144
3° secundaria

x2 y2 x2 y2
e)  1 c)  1 d)
1 3 25 169
x2 y2
7) Su eje mayor mide 10 y su  1
36 39
distancia focal es 8
x2 y2
e)  1
x2 y2 x2 y2 25 64
a)   1 b)  1
9 25 16 25
2 10) Su distancia focal es 6 y la
x y2 distancia entre sus directrices es:
c)  1 d)
25 16 2
16 
x2 y2 3
 1
9 14
x2 y2 x2 y2
8) Su eje menor mide 16 y su a)   1 b)  1
excentricidad es 3/5. 16 25 16 9
x2 y2 x2 y2
c)   1 d)  1
x2 y2 25 16 9 16
a)  1 b)
16 100 e) N.A.
x2 y2 11) Halle la ecuación de la elipse, si
 1
64 100 su eje mayor mide 26 y los focos
x2 y2 x2 y2 son (-10 ; 0) y (14 ; 0)
c)   1 d)  1
25 16 81 36
( x  2) 2 y2
a)  1
9) Su distancia focal es 24 y su 64 36
excentricidad es 12/13
( x  2) 2 y2
b)  1
2 2 169 25
x y
a)   1 b) ( x  2) 2 ( y  2) 2
36 64 c)   1
y2 169 25
x2
 1 ( x  2)2 ( y  2)2
64 169 d)  1
64 169
e) N.A.
3° secundaria

12) Halle la ecuación de una elipse y2

x2
cuyos focos son (1 ; 1) y (1 ; 7); a)  1 b)
además, su excentricidad es 0,8. 169 16
x2 y2
 1
( x  1)2 ( y  3)2 169 25
a)  1
9 25
x2 y2
( x  1)2
( y  4) 2 c)  1 d)
b)  1 169 64
9 25
x2 y2
( x  1) 2 ( y  4) 2  1
c)  1 25 169
9 25
2 e) N.A.
( x  3) ( y  2 )2
d)  1
16 25 15) Centro en el origen; un foco en
( x  1) 2
( y  4) 2 (4; 0) y el vértice correspondiente
e)  1 en (5 ; 0)
9 25
* En los siguientes problemas
x2 y2 x2 y2
asuma que el eje focal de la a)   1 b)  1
elipse coincide con el eje x. halle 36 16 25 16
la ecuación de la elipse,
sabiendo además que: x2 y2 x2 y2
c)   1 d)  1
25 9 16 25
13) Los semiejes mayor y menor
miden 3 y 2 respectivamente; y e) N.A.
el centro es el origen del
sistema.

a) 4x2 + 9y2 = 36
b) 3x2 + y2 = 16
c) 4x2 + 9y2 = 16
d) 6x2 + 7y2 = 18
e) N.A.

14) Los focos están ubicados

simétricamente respecto al
origen del sistema siendo su
distancia focal 24 y el eje mayor:
26.
3° secundaria
3° secundaria

TEMA: HIPÉRBOLA
Definición:
Es el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano tal
que el valor Absoluto de la diferencia de las distancias de un punto
cualquiera de la hipérbola a 2 puntos fijos llamados focos es una constante e
igual a 2a. A s in to ta

Caso I:

F2 V2 V1 F1

a.  V1 ; V2   2a (eje transverso )

b. F1 ; F2   2c (distancia focal)

c. B1 ; B 2   2b (eje conjugado )

X2 y2
  1 Fórmula General
a2 b2
3° secundaria
A s in to ta

Caso II:

V1

V 2

y2 X2
  1
a2 b2 Fórmula General
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Dada la ecuación de la 7) Dada la ecuación de la hipérbola:
hipérbola:
9x2 – 36x + 4y2 + 24y + 36 = 0
2 2
9x – 16y – 18x – 64y–199 = 0
Rpta.:
Hallar las coordenadas del
centro. 8) Del problema anterior, hallar
las coordenadas de los
Rpta.: vértices.

Rpta.:
2) Del problema anterior, hallar
las coordenadas del vértice:
9) Del problema 7, hallar las
coordenadas de los focos.
Rpta.:
Rpta.:
3) Hallar las coordenadas de los
focos (del problema 1) 10) Del problema 7, hallar la
excentricidad de la hipérbola.
Rpta.:
Rpta.:
4) Del problema 1, hallar la
excentricidad de la hipérbola. 11) Hallar la ecuación de una
hipérbola con centro en el
Rpta.: origen; un foco en (5 ; 0) y el
vértice correspondiente en
5) Hallar la ecuación de la (3 ; 0)
hipérbola, si F1 = (13 ; 0) ,
F2 = (-13 ; 0) y a = 10 Rpta.:

Rpta.: 12) Hallar la ecuación de una

hipérbola con centro en el
origen; un foco en (0 ; 7) y el
6) Del problema anterior, calcular
vértice correspondiente en
la excentricidad.
(0 ; 5)
Rpta.: Rpta.:
3° secundaria

 Hallar la ecuación de la 17) Hallar los focos de la siguiente

hipérbola cuyos focos están hipérbola:
situados en el eje de abscisas
y son simétricos con respecto 16x2 – 9y2 = 144
al origen de coordenadas,
sabiendo además que: Rpta.:

13) Sus ejes transverso y

conjugado miden 10 y 8 18) Del problema anterior, hallar la
respectivamente. excentricidad.

Rpta.: Rpta.:
14) La distancia entre sus focos es
100 y su eje conjugado mide 8. 19) Halle las asíntotas de la
siguiente hipérbola:
Rpta.:

15) La distancia entre los focos es x2 y2

 1
6 y la excentricidad es 3/2. 4 9

Rpta.: Rpta.:

16) En el eje transverso mide 16 y

su excentricidad es 5/4. 20) Halle la excentricidad de una
hipérbola equilátera.
Rpta.:
Rpta.:
3° secundaria

PROBLEMAS PARA LA CASA

1) Dada la ecuación de la d)
hipérbola: ( 3  7 ; 2) y ( 3  7 ; 2)
e) N.A.
( x  3 )2 ( y  3 )2
 1 4) Del problema 1, hallar la
25 16
excentricidad.
Hallar las coordenadas del
centro. a) 41 5 b) 41
c) 31 6 d) 41 9
a) ( -3 ; 3) b) (-3 ; 2) e) N.A.
c) (2 ; 3) d) (-3 ; 1)
e) (-3 ; 6)
5) Dada la ecuación de la
hipérbola:
2) Del problema anterior, hallar
las coordenadas de los 25x2–200x–36y2–144y–1444=0
vértices.
Hallar las coordenadas del
a) (-8 ; 2) y (2 , 2) centro.
b) (-8 ; 3) y (2 ; 3)
c) (-8 ; 3) y (2 ; -2) a) (4 ; 1) b) (4 ; -2)
d) (8 ; 3) y (-2 ; -3) c) (4 ; -1) d) (-4 ; 2)
e) N.A. e) N.A.

3) Del problema 1, hallar las 6) Del problema anterior, hallar

coordenadas de los focos. las coordenadas de los
vértices.
a)
( 3  2 ; 3 ) y ( 3  2 ; 3) a) (-2 ; 2) y (0 , -2)
b) (-2 ; 2) y (-2 ; 4) b) (2 ; -2) y (10 , 2)
c) c) (-2 ; -2) y (10 ; -2)
( 3  41 ; 3 ) y ( 3  41 ; 3 ) d) (2 ; 2) y (20 ; -2)
e) (-2 , -2) y (10 ; 0)
3° secundaria

x2 y2
7) Del problema 5, hallar las a)   1 b)
46 36
coordenadas de los focos.
x2 y2
a)  1
49 25
(4  61;2) y ( 4  61;2)
b)
x2 y2
(4  11;2) y ( 4  11;2) c)  1 d)
36 324
c)
x2 y2
(4  7 ; 1) y ( 4  7 ; 1)  1
25 304
d)
(3  61;2) y (3  61;2)
x2 y2
e) N.A. e)  1
36 366
8) Del problema 5, halar la
excentricidad de la hipérbola. 10) La distancia entre sus focos es
10 y la excentricidad es 5/3
a) 61 b) 61 / 6
c) 61 / 7 d) 31 / 8 y2 x2
a)  1 b)
e) N.A. 9 16
y2 x2
 Hallar la ecuación de la hipérbola  1
8 25
cuyos focos están situados en el
eje de ordenadas y son
simétricos respecto al origen de y2 x2
c)  1 d)
coordenadas, sabiendo además 16 25
que:
y2 x2
 1
9 16
9) Sus ejes transverso y
conjugado miden 12 y 36
e) N.A.
respectivamente.

11) Su eje transverso mide 10 y su

excentricidad es 13/5
3° secundaria

c) y = x + 2 ; y = -x –
y2
x 2 2
a)  1 b) d) y = 2x + 4 ; y = -2x
16 36
–4
y2 x2 e) N.A.
 1
25 144
14) Halle la excentricidad de:
2 2
y x
c)   1 d) x2 – 2x – y2 + 3 = 0
36 144
y2 x2 a) 1 b) 2
 1
64 36 c) 3 d) 2
e) 3
y2 x2
e)  1
25 36

12) Hallar la excentricidad de la

siguiente hipérbola:
x2 -y2 + 4x + 2y + 12 = 0

a) 3 b) 5

c) 2 d) 7

e) 9

13) Hallar las asíntotas de la

hipérbola:

y2
( x  2)2  1
4

a) y = 2x – 4 ; y = -2x
+4
b) y = x – 4 ; y = -2x +
4
3° secundaria

15) Halle la ecuación de la

hipérbola con centro en
(-3 ; -1); un vértice en (1 ; -1)
en (2 ; -1)

( x  3)2 ( y  1)2
a)  1
16 9

( x  3)2 ( y  2)2
b)  1
16 9

( x  3)2 ( y  1)2
c)  1
16 9

( x  3)2 ( y  1)2
d)  1
16 9

( x  3)2 ( y  1)2
e)  1
9 16