UNGS

Enseanza de la matemtica I

Evaluacin 2do
semestre de
2017

Lpez Tapia
Martin, Natalia
Ramrez, Pablo
UNGS
2 SEMESTRE 2017

Contenido
Anlisis usando Teora de Situaciones y actividad matemtica ........... 2
Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos de Teora
de Situaciones Didcticas (Lpez)..................................................... 2
A-1) ............................................................................................... 2
A-2) ............................................................................................... 3
A-3) ............................................................................................... 3
Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos de Teora
de Situaciones Didcticas (Martin) ................................................... 6
A1) Teora de situacin didctica (TSD) ........................................ 6
A2) Actividad 4 (en trminos de tarea)........................................ 8
A3) Potencial matemtico .......................................................... 10
Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos de Teora
de Situaciones Didcticas (Ramrez) ............................................... 13
Anlisis de la actividad 4 ............................................................. 14
Actividad 4 escrita como tarea ................................................... 17
Anlisis de la actividad 4 en trminos de AM ............................. 17
Instrumento de evaluacin. Dos ejemplos de evaluacin escrita
.................................................................................................... 18
Anlisis usando heursticas y lectura comprensiva de un texto de
Educacin Matemtica ....................................................................... 21
Anlisis de la consigna 1 desde estrategias heursticas.................. 21
Anlisis de la consigna 2 desde la heurstica .................................. 23
Anlisis de la consigna 3 desde la heurstica .................................. 25
Anlisis de la consigna 4 desde la heurstica .................................. 30
B3 Un estudio exploratorio sobre heursticas en estudiantes de un
curso de matemtica de nivel pre-universitario (Tamara Marino,
Mabel Rodrguez)............................................................................ 32
B4: Algunos aportes que pueden ser tiles para la enseanza son:
........................................................................................................ 33
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................... 34

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Anlisis usando Teora de Situaciones y actividad matemtica

Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos

de Teora de Situaciones Didcticas (Lpez)

A-1) En el presente trabajo, voy a analizar el documento dispuesto en el anexo 1, en

trminos de elementos de Teora de Situaciones Didcticas.
La Teora de Situaciones Didcticas es un enfoque sistmico que permite
entender y llevar a cabo los procesos de enseanza y de aprendizaje que se dan
dentro de un medio que pone en juego un sistema conformado por un docente, los
estudiantes y los conocimientos matemticos. La TSD admite una postura basada en
el constructivismo de Piaget.
Esta teora propone situaciones didcticas, que se establecen considerando
las relaciones entre el alumno, docente y medio, para que a partir de la interaccin del
alumno con el problema y sus respuestas, al mismo emerja el conocimiento
matemtico. Cuando el alumno se presenta ante un problema, ve distintos caminos
para poder plantearlos, argumentando cul podra usar y cul no.
En la secuencia de clase, se presenta una situacin adidctica, en donde el
conocimiento que se quiere ensear, en este caso simetra axial, emerge como la
solucin ptima, presenciando de este modo una situacin fundamental. Esto es
evidente ya que con las distintas actividades que el docente plante, a ltima
instancia, los alumnos comprendieron que un punto y su imagen estn sobre una
recta perpendicular al eje de simetra y a igual distancia de dicho eje.
La Teora de Situaciones Didcticas distingue tres tipos de situaciones: accin,
formulacin y validacin. En la clase se presenta la situacin de accin, ya que los
estudiantes proceden el problema con conceptos y conocimientos que van
adquiriendo a travs de la secuencia. Situacin de formulacin, debido a que los
alumnos elaboran nuevos conceptos que van adquiriendo a travs de la secuencia de
actividades. Surge un proceso de comunicacin en donde son los alumnos los que
explican a lo dems, ese contenido. Esto se evidencia en la intencin de colocar los
tres crculos en la pantalla de modo que puedan ponerse dentro de ellos todos los
tringulos, en donde se espera que los alumnos haga un gesto de la mano indicando
una lnea recta.
Y se espera que se presente Situacin de validacin, pues las afirmaciones de
cada grupo de alumnos se explicaran en una puesta en comn, aportando
explicaciones con sus propias palabras para decidir si son verdaderas o falsas dichas
afirmaciones, lo cual se evidencia en el apartado puesta en comn , en donde se
espera que ,el profesor, identifique los grupos que terminaron y cules no, para que
puedan pasar al frente y explicar cmo desarrollaron las tareas, de la importancia de
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los tringulos verdes con respecto a los rojos, de los movimientos contrarios, de que
los tringulos se juntan a lo largo de una lnea recta.
Se presenta un contracto didctico en donde se les pide a los alumnos realizar
tareas especficas, el cual se rompe cuando emerge el conocimiento de simetra axial.
El rol del docente se presenta en el diseo, ya que el docente disea la
situacin didctica, con distintas temas y diferentes posibilidades de pensarlas,
suponiendo las acciones de los alumnos. Adems, toda situacin que disea el
docente tiene la intencin de ensear algo, y en esta situacin se pretende ensear el
concepto de simetra axial. Esto es evidenciado en todas las actividades que realiza
un anlisis a priori.
La institucionalizacin del conocimiento sucede cuando el docente le adjudica
un nombre al conocimiento que surge a partir de las actividades que realizaron los
alumnos. En este caso, se espera que surja el conocimiento de simetra axial.

A-2) Contexto: Los estudiantes han trabajado en varias actividades con el programa
Cabri II Plus, han estado viendo la dependencia entre figuras simtricas, la posicin
del eje de simetra (horizontal, vertical y oblicua), y saben usar la herramienta punto
medio. El docente propone trabajar en grupos.
Objetivo: El propsito de esta actividad es que los alumnos puedan determinar las
condiciones para construir la imagen de una figura con respecto a un eje de simetra.
Se espera que los alumnos interpreten que un punto y su imagen estn sobre una
recta perpendicular al eje de simetra y a igual distancia de dicho eje, pero en
semiplanos diferentes.
Consigna: a) (En las seis primeras figuras) Considerando que la recta representa un
espejo, mover el tringulo verde hasta que sea el reflejo del tringulo rojo por ese
espejo.
b) (En la sptima figura) Construir un tringulo que sea el reflejo del tringulo dado
con respecto a la recta.
El potencial matemtico de la consigna es rico, ya que el estudiante puede explorar y
argumentar, los caminos que va haciendo para poder resolverla, aunque no lleguen al
correcto, da la posibilidad de pensar varias formas y decidir porque no funcionan. La
intencin del docente es que los alumnos actuar sobre la consigna, deseando que el
estudiante piense y explore, descarte y argumente las maneras de poder realizar las
actividades. Esto le permite al alumno tener un rol activo. La consigna apunta a que
los estudiantes reconozcan aprendizajes matemticos o no, por lo cual se trata de una
consigna metacognitiva matemtica. Por lo cual se considera una actividad
matemtica valiosa.
A-3) Consigna 1:
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a) Construir el eje de simetra

b) Construir la figura simtrica

c) Decidir si son figuras simtricas. Justificar

Consigna 2: a) Dibujar tres pares de figuras que sean simtricas. Dibujar su eje de
simetra. Justificar porque son simtricas.
b) Dibujar tres pares de figuras que no sean simtricas.
c) Explicar con tus palabras, Qu tiene que ocurrir para que ocurra simetra axial?
Anlisis de las consignas en trminos de potencial matemtico.
En la consigna 1, el tem a, el alumnos ya cuenta con dos figuras y le piden colocar
el eje de simetra, por lo cual, ya le dicen que la figura es simtrica. El tem b, ya
estn dando la distancia que tiene que tener la nueva figura. En el tem c, tiene que

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decidir si son simtricas o no, llegando a que las tres primeras figuras son simtricas y
la ltima no, debido a que no estn en la misma distancia.
En esta consigna, la exploracin est ausente. En cada tem se le indica al
estudiante que hacer exactamente. En el tercer tem, se recurre a una breve
argumentacin. Por lo cual, el PM es intermedio. Se podra mejorar, por ejemplo, si el
tem a se pidiera construir, si es posible, el eje de simetra y en el tem b, se dejara
solo la figura y el eje de simetra, y se borrara las lneas de ayuda.
En la consigna 2, el tem a deja abierta la posibilidad de elegir un sinfn de figuras
que son simtricas, y que el eje de simetra puede ser horizontal, vertical y oblicuo.
Debiendo justificar su eleccin. En el tem b, es realizar el caso contrario, buscar
figuras que no sean simtricas y explicar porque no lo son, ya sea porque no estn en
la misma distancia, no estn en el mismo ngulo de inclinacin, no estn reflejados,
etc. En el tem c, el estudiante ya tiene que reformular la teora de simetra axial,
reformularla y explicarla con sus palabras, pudiendo argumentar su respuesta.
En esta consigna, tanto como la exploracin y argumentacin estn presentes,
debido a que los estudiantes no tienen una receta con pasos a seguir, todos los
estudiantes pueden elegir figuras distintas porque no hay una peticin de una en
particular. Y en los tres tems se encuentra la argumentacin. Por lo cual, el PM es
rico.

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Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos

de Teora de Situaciones Didcticas (Martin)

A1) Teora de situacin didctica (TSD)

La teora de situacin didctica (TSD) se concibe como un enfoque sistmico
que permite comprender y operar sobre los procesos de enseanza y de aprendizaje
que se dan dentro de un sistema conformado por el docente, los estudiantes, el
conocimiento matemtico y un mbito en el que las relaciones entre estas partes se
ponen en juego. Respecto al aprendizaje la TSD tiene una postura constructivista y
asume que el aprendizaje se da en un contexto de interacciones sociales, por ende la
modalidad del trabajo en el aula ser mayormente el del trabajo en grupo, simulando
de esta manera lo que Brousseau entiende como micro comunidad cientfica. Esto se
puede evidenciar ya que los alumnos trabajan en pequeos grupos.

En esta teora es de suma importancia el rol del docente, primeramente, en su

rol a la hora de disear, debido a que segn Brousseau el maestro debe provocar en
el alumno las adaptaciones deseadas, por una eleccin prudente de los problemas.
Este, a su vez debe realizar un anlisis a priori, hipotetizando sobre las posibles
acciones de los alumnos al resolver las consignas, y tambin sobre sus propias
intervenciones ante las dificultades surgidas. Esto mismo se puede evidenciar en
todas las consignas de la planificacin, donde el docente realiza un anlisis a priori de
cada una de las actividades propuestas, donde hipotetiza sobre las posibles
resoluciones de sus alumnos con diversas acciones, retroacciones, reflexiones y
validaciones. Ejemplo:

Accin 1: agarrar un tringulo delgado para llevarlo al crculo. Retroaccin 1: el

tringulo se mueve. Retroaccin 2: un tringulo verde tambin se mueve.
Interpretacin 1: se puede arrastrar el tringulo rojo hacia el crculo. Validacin 1: la
accin 1 permite lograr el objetivo. Como la validacin es positiva, se genera un
refuerzo de la accin: el estudiante tomar los otros tringulos rojos y los meter
dentro del crculo, as como tambin infiere en poner sumo cuidado a la hora de
responder ciertas inquietudes.

Asimismo, lo hace con sus posibles intervenciones ante las dificultades surgidas
para llegar a la resolucin esperada por parte de los alumnos, ejemplo: Aqu es
importante que el profesor solicite a los alumnos que justifiquen por qu no es posible
realizar la tarea. Es importante que el profesor les solicite a los alumnos que han
terminado la tarea que efectivamente metan todos los tringulos sucesivamente en
cada uno de los crculos. Es posible que algunos alumnos en este momento

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expresen que necesitan medir distancias o trazar segmentos; y el profesor mostrar

cmo hacerlo delante de todos

Luego de esto el docente tiene la tarea de devolucin, por un lado, la devolucin

del problema, el cual refiere a que el alumno sienta la responsabilidad de resolver el
problema, y que la intervencin del docente debe suponer esta actitud en l. Estas
intervenciones a la hora de planificar la clase estn dadas, ya que cada intervencin
del docente estn pensadas desde el lugar de devolverle la responsabilidad a los
alumnos sobre su propia produccin, ejemplo: el profesor debe limitar sus
intervenciones, es decir, slo intervendr para evitar que los estudiantes abandonen
la tarea o para recordar la misma. El profesor deber intervenir con preguntas sobre
cmo se acord en la puesta en comn que es la estrategia para ubicar
correctamente el espejo, de manera que los alumnos vuelvan a hacer referencia a
una posicin a igual distancia de los dos tringulos. Por consiguiente, dado a que el
docente har este tipo de intervenciones, si el alumno asume esta responsabilidad
debe funcionar como situacin adidctica, es decir que el alumno intentara resolver
las consignas sin notar la intencin del docente por ensear. Llamamos situacin
adidctica -a aquella que se encuentra dentro de la situacin didctica, pero a
diferencia de esta, la interaccin del alumno con el medio, con sus compaeros, y la
intervencin del docente confluirn a que el alumno pueda tomar el problema como
propio. Se puede evidenciar por cmo est diseada la clase que la intencin del
docente es llegar a una situacin fundamental, en trminos de Brousseau es aquella
en que el conocimiento que se quiere ensear emerja como la solucin ptima. En la
planificacin se pueden encontrar las siguientes referencias: Ello implica que la nica
manera de concluir la tarea es percatndose de la presencia del eje de simetra, que
es en ltimas lo que se quiere. En conclusin, la nica manera de que los alumnos
logren resolver la tarea, es que usen tanto la herramienta recta perpendicular como
la herramienta crculo para garantizar la perpendicularidad y la equidistancia
respectivamente. De este modo, el producto del aprendizaje por adaptacin
concuerda con el objetivo planteado Y devuelve el problema a cada estudiante
explicando Devolucin del saber, este refiere a la institucionalizacin del
conocimiento. Esta es la situacin en la que, a partir de la produccin de los alumnos,
este adjudica una denominacin al conocimiento matemtico. Si bien es la
planificacin de una clase, al final de sta hay consejos para la institucionalizacin del
saber, haciendo hincapi en cada una de las nociones pertinentes para llevarla a
cabo: Para la institucionalizacin se recomienda introducir el vocabulario oficial: eje
de simetra, figuras simtricas con respecto a un eje, vrtices homlogos o
correspondientes, y retomar las distintas actividades para que los alumnos las
describan utilizando los nuevos trminos. Debe terminar la actividad con una corta
puesta en comn y una institucionalizacin del concepto de punto medio como un

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punto que siempre est en la mitad de otros dos, sin importar cmo se muevan esos
puntos.

Si bien el anlisis se har sobre la planificacin de la clase y no sobre una clase

en s misma, el anlisis sobre el rol del alumno se har en base a lo que el docente
hipotetiza sobre lo que harn los alumnos a la hora de resolver. Es decir, al no haber
alumnos fsicos, que respondan o interacten con el docente y el medio, solo se podr
hacer un anlisis con la resolucin a priori.

Segn la teora de situacin didctica se distinguen 3 tipos de situaciones:

accin, formulacin y validacin. La situacin de accin es la situacin en la que el
alumno al actuar sobre un problema pone en dialogo sus concepciones y
conocimientos implcitos con el medio. Explora el problema, moviliza conocimientos
anteriores, los reorganiza para su interpretacin. Esto est dado en las resoluciones a
priori donde se encuentran las acciones y retroacciones que llevaran a cabo los
alumnos.

La situacin de formulacin es donde el alumno hace conjeturas en base a las

acciones realizadas sobre el problema y necesita comunicarlas. Lo que exige
formulaciones sobre las ideas que surjan de la confrontacin entre los conocimientos
y el medio. Es as como alumno modifica, reelabora y crea un lenguaje. Esto puede
notarse en las interpretaciones y validaciones del anlisis a priori.

Por ltimo, la situacin de validacin en esta instancia las conjeturas y

aseveraciones de cada grupo se explicitan para el resto de los grupos, donde el
objetivo es llegar a un acuerdo sobre si son verdaderas o falsas las conjeturas
elaboradas autnomamente. Los alumnos se ven obligados a aportar
argumentaciones con el valor de pruebas, a confrontar con las de otros y a decidir en
un proceso social y cientfico. Esto podr notarse en una puesta en comn que
deber realizase al trmino de cada una de las secuencias. Al terminar estas seis
series debe realizarse una puesta en comn para introducir la segunda tarea, como
se explica a continuacin, Debe terminar la actividad con una corta puesta en
comn

A2) Actividad 4 (en trminos de tarea)

Contexto

Los alumnos vienen trabajando en grupo, estn utilizando el programa Cabri y se

sienten familiarizados con l, aunque no conozcan todas sus herramientas. Se tienen
nociones sobre las algunas de las caractersticas para que una figura sea el reflejo de
la otra, pero los conceptos de equidistancia y la perpendicularidad an no han sido
formalizados.

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Consigna

Construir un tringulo que, en todo momento, sea el reflejo del tringulo dado con
respecto a la recta.

b) Expliquen con sus palabras que notaron que se necesita para construir ese nuevo
tringulo En grupo escriban el paso a paso de esa construccin.

Objetivo

Se espera que los alumnos formulen lo ms claramente posible el problema y lo que

necesitan para la solucin. Es de gran importancia que puedan decir con sus propias
palabras la necesidad de producir las dos propiedades de equidistancia y
perpendicularidad.

Anlisis con potencial matemtico

Para analizar el potencial matemtico de la consigna se tendr en cuenta dos de los

puntos fundamentales: la posibilidad de explorar que habilita o no la consigna y la
justificacin o argumentacin que esta requiere.

La valoracin de esta consigna es rica ya que no hay pasos a seguir ni una nica
manera de resolverla, si bien los conceptos de equidistancia y perpendicularidad
estn en juego para poder resolver la actividad, los alumnos pueden explorar a la hora
de intentar resolver la consigna, y con respecto a la argumentacin la consigna invita
a los alumnos a que expliquen con sus propias palabras primeramente si necesitaron
de algo para poder construirlo, y segundo se pide que expliquen el paso a paso de la
construccin del tringulo.

Anlisis actividad matemtica

Para poder analizar esta consigna con la teora de actividad matemtica (AM) se
tomarn en cuenta los siguientes aspectos, primeramente se analizar el potencial
matemtico, luego el rol del estudiante y la exigencia cognitiva esperada. Para que la
actividad matemtica sea valiosa el PM deber no ser pobre, el rol que el docente le
asigne al alumno debe ser activo y el objetivo debe ser cognitivamente exigente.

En este caso se puede afirmar que el PM es rico, dado al anlisis realizado

previamente. El rol que se le asigna al alumno es un rol activo, ya que se le permite
actuar sobre la consigna, le deja libertad de accin. En este caso el docente propone
un trabajo en grupo, lo que les permitir a los alumnos compartir sus dudas con sus
compaeros, pensar estrategias en conjunto, etc. Es decir, se tiene la intencin de
que los estudiantes puedan hacer algo que les exija pensar, indagar, explorar. Si bien
los alumnos ya venan trabajando con este programa, y puede que conozcan cmo

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realizar un tringulo que sea el reflejo de otro respecto de una recta, en este caso al
mover el punto sobre la circunferencia esta recta rotar, lo cual dar una complejidad
no vista anteriormente. Por ende para su resolucin los alumnos tendrn una mayor
exigencia cognitiva debido a que no conocen el concepto de equidistancia y
perpendicularidad. El docente podr interferir cuando los alumnos requieran alguna
explicacin sobre el uso del programa, pero en ningn momento debera resolver la
consigna ya que esto hara que la valoracin sea negativa, quitando a los alumnos de
su rol activo. La intencin que tiene el docente con respecto a la resolucin de la tarea
es que los alumnos puedan notar que para poder resolver la consigna es necesaria la
idea de equidistancia y perpendicularidad. En consecuencia, podemos afirmar que la
valoracin de la AM es valiosa.

A3) Potencial matemtico

Ejercicios

1) Pedro se fue de viaje al Neuqun, y en un tour visito el lago espejo. Dada la

siguiente figura, dibujar el reflejo de Pedro, tomando como eje de simetra a la orilla
del lago.

Explica con tus propias palabras como construiste el reflejo de Pedro. Qu

condiciones deben darse para que su reflejo sea simtrico? Justificar.

2) Dados los siguientes polgonos simtricos, construir el eje de simetra

correspondiente. Describe con tus palabras como construiste el eje de simetra. En
qu cosas tuviste que poner atencin para poder dibujarlo?

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Para analizar el potencial matemtico de una consigna debemos poner el foco

en dos cuestiones fundamentales para hacer una valoracin: la posibilidad de
exploracin que la consigna habilita o no y la posibilidad de argumentar sobre su
validez.

Consigna 1

Ya que la consigna no indica la manera en la que hay que resolver, el alumno

podra elegir dibujarlo a mano, o en el caso de que se cuente con alguna pc para
dibujar figuras geomtricas podra hacerlo de esta otra manera.

Para dibujarlo en papel, el alumno podra marcar puntos significativos en la

figura de Pedro, como por ejemplo las manos, pies y cabeza, y de alguna manera
guindose de los cuadraditos de la hoja dibujar los mismos puntos del otro lado del
eje de simetra. Para luego unirlos con rectas y una circunferencia.

Otra manera seria medir con una regla cada uno de los segmentos de la figura
de Pedro hasta el eje de simetra, dibujar esos segmentos y repetir esas mismas
distancias hacia el otro lado del eje de simetra para poder dibujar la misma figura
simtrica.

Es por esto que la consigna admite exploracin, y con respecto a la

argumentacin en el tem b, se pide al alumno que explique cmo construy el reflejo
de pedro, haciendo hincapi en las condiciones que deben darse para que se cumpla
esa simetra, seguida de su justificacin. Es por esto que la valoracin del PM de la
consigna 1 es rica.

Consigna 2

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En esta consigna sucede algo similar, ya que tampoco se indica cmo hay que
resolver. El alumno puede optar por hacer los grficos en pc o en papel y lpiz.

El alumno podra etiquetar los vrtices del polgono de la derecha en correlacin

con los vrtices de la figura de la izquierda, es decir para el vrtice a de la figura
izquierda, su par seria a, para b b y as con los dems vrtices. Luego podra trazar
un segmento entre cada par de vrtices simtricos y en cada uno de los segmentos
marcar un punto equidistante a las figuras.

La unin de esos puntos equidistantes ser el eje de simetra. Otra manera sera
guiarse de los cuadrados de la hoja, contar la cantidad que hay de polgono a
polgono, y marcar la distancia media entre ellos y as dibujar el eje de simetra.

Con respecto a la argumentacin se pide que describan la construccin del eje,

seguido de las caractersticas que se tuvieron que tener en cuenta para poder
dibujarlo. De alguna manera teniendo que justificar el porqu de su respuesta. Es por
esto que la valoracin que se hace del PM de la consigna 2 es rico.

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Anlisis la secuencia de clase en trminos de elementos

de Teora de Situaciones Didcticas (Ramrez)

La Teora de Situaciones Didcticas (TSD) entiende a la matemtica escolar

como un campo de resolucin de problemas que conlleva la emergencia o creacin
de objetos matemticos apropiados para resolverlos as como la reflexin sobre los
mismos (Pochulu y Rodrguez, 2012).
Dentro de las nociones tericas que caracterizan la TSD, vamos a enfocarnos
en los conceptos de situacin de accin, formulacin y validacin. Los autores
describen la situacin de accin como los momentos en los que el alumno, al actuar
sobre un problema, pone en dilogo sus concepciones y conocimientos implcitos con
el medio. Explora el problema, moviliza conocimientos anteriores, los reorganiza para
su interpretacin. En la situacin de formulacin el alumno elabora conjeturas en base
a las acciones realizadas sobre el problema y necesita comunicarlas a sus
compaeros de grupo. En la situacin de validacin se ampla la etapa de
comunicacin, las conjeturas y aseveraciones son explicitadas al resto de la clase
para llegar a un acuerdo sobre su grado de verdad, con lo cual se vern forzados a
aportar argumentaciones que sustenten dichas afirmaciones.
Analizaremos la secuencia dada a una clase de sptimo grado1, que consta de
cuatro actividades alrededor del concepto de simetra axial. Cada actividad est
compuesta de series, y en cada una de las series se les pedir a los estudiantes que
realicen tareas especficas. Para cada serie hay un archivo con una figura, hecha en
Cabri II plus, sobre la que los estudiantes trabajarn para desarrollar las tareas.
Las tres primeras actividades intentan, progresivamente, acercar a los
alumnos al concepto de simetra axial. En la actividad 1 se hace nfasis en algunos
fenmenos visuales concernientes al movimiento de figuras simtricas como la
dependencia de una con respecto a la otra, los movimientos contrarios con respecto
al eje, etc. En la actividad 2 se busca que los alumnos constaten que las figuras
simtricas con respecto a un eje giran en sentidos contrarios y se mueven en sentidos
opuestos. En la actividad 3 se pretende que los alumnos argumenten que el eje de
simetra pasa por los puntos medios de los puntos simtricos, de modo que puedan
construir el eje haciendo uso de herramientas geomtricas.

1
Ver Anexo Anlisis a priori actividades simetra axial

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Actividad 4

Primera tarea:(En las seis primeras figuras) Considerando que la recta

representa un espejo, mover el tringulo verde hasta que sea el reflejo del
tringulo rojo por ese espejo.

Segunda tarea: (En la sptima figura) Construir un tringulo que sea el

reflejo del tringulo dado con respecto a la recta.

Anlisis de la actividad 4
La primera tarea, los alumnos interpretan que el tringulo verde debe ubicarse
de modo que cada vrtice de ste y el correspondiente del tringulo rojo queden a
igual distancia de la recta, pero en lados contrarios y en direccin perpendicular a la
recta, es decir, la actividad obliga a que surja la idea de perpendicularidad entre el
segmento que une los vrtices homlogos de los tringulos verde y rojo con el eje de
simetra. La segunda tarea est diseada para invalidar las estrategias perceptivas de
los alumnos, en la que slo se espera que formulen lo ms claramente posible el

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problema y lo que necesitan para la solucin. En este caso, que enuncien en sus
propias palabras la necesidad de recurrir a las propiedades de perpendicularidad y
equidistancia para completar la tarea.

Creemos que estas actividades se encuadran en la TSD pues son propicias

para la generacin de situaciones didcticas de accin, formulacin y validacin en un
funcionamiento a-didctico donde surjan como contenido las condiciones que deben
cumplirse para que se d la simetra axial entre los dos tringulos. La primera tarea
aproxima a los alumnos a la necesidad de que se cumplan ciertas condiciones para
que se puedan ubicar correctamente los tringulos. En esta primera instancia el
estudiante va a explorar las acciones que le permitirn llegar a resolver la actividad,
puede construir los puntos medios de dos parejas de puntos, y mover el tringulo rojo
hasta obtener que esos puntos medios queden sobre la recta

Tambin, podran colocar sobre la recta el vrtice del tringulo rojo que permite
trasladarlo, y hacerlo coincidir con el vrtice correspondiente del tringulo verde; luego
girar el tringulo rojo

Otra forma de resolver la tarea es llevar el tringulo verde y el rojo sobre la

recta y hacer que las intersecciones de dos pares de lados correspondientes queden
sobre ella

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Ante estas posibles resoluciones es probable que los estudiantes no estn

reflexionando sobre la necesidad de que se cumplan las condiciones de
perpendicularidad y equidistancia. Esta tarea inicial se corresponde con una situacin
accin en trminos de la TSD. El proceso hasta aqu descripto da cuenta de la
interaccin entre las concepciones implcitas en el medio, la exploracin sobre el
problema y las reorganizacin de dichas concepciones para comenzar a plantear
alguna estrategia de resolucin (Rodrguez, 2012).

La segunda tarea, Construir un tringulo que sea el reflejo del tringulo dado
con respecto a la recta, consistente en dibujar una figura simtrica a partir de un
tringulo y un eje de simetra dados, invita a los alumnos a reflexionar sobre sus
resoluciones anteriores ya que esta vez no es posible mover un tringulo hasta que se
acomode en forma especular respecto al otro, aqu los estudiantes van a verse
obligados a explicitar las condiciones que permiten que ello ocurra, las conclusiones
de cada integrante del grupo sern expuestas internamente para disear la
argumentacin que permita justificar el trabajo realizado. Esta etapa intermedia,
situacin de formulacin en trminos de la TSD, es el paso previo para la situacin de
validacin.

Finalmente, lo realizado por cada grupo ser expuesto al resto de la clase.

Para que las conclusiones expuestas sea validadas debern ser sostenidas en un
mbito social y resistir los cuestionamientos con argumentaciones correctas.

Utilizando la tipologa de Barreiro et al (2009) se espera que el problema

habilite la realizacin de las siguientes acciones de validacin: poder ubicar el
tringulo verde, dados el tringulo rojo y una recta: hacer ensayos e intentos (A1),
poder utilizar los conceptos de perpendicularidad y equidistancia para crear un
tringulo simtrico, dados un tringulo y una recta: indicar condiciones bajo las que
ocurren ciertas regularidades ya reconocidas (A19), mostrar cmo crear un tringulo
simtrico, dados un tringulo y una recta: describir (A10), entre otras.

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Actividad 4 escrita como tarea

Contexto: los estudiantes manejan el programa Cabri II plus, han trabajado con
figuras planas y se familiarizaron con la idea de simetra respecto a un eje, con el
programa han movido tringulos hasta lograr imgenes especulares usando una recta
como eje de simetra. En actividades anteriores ha surgido la idea de equidistancia
entre los vrtices homlogos de los dos tringulos congruentes respecto a un eje de
simetra, as como la percepcin intuitiva de que es necesaria la condicin de
perpendicularidad entre los segmentos que unen dichos vrtices y el eje de simetra.
El profesor espera que los alumnos expliciten las condiciones que permiten la simetra
axial. Esta consigna se resolver en grupo y los resultados obtenidos sern
compartidos con el resto del curso para propiciar el dialogo reflexivo entre los
estudiantes con la finalidad de poder corroborar dichas afirmaciones o cambiarlas por
otras.

Objetivo: que los alumnos comprendan que un punto y su imagen quedan sobre una
recta perpendicular al eje de simetra y a igual distancia de dicho eje, pero en
semiplanos diferentes.

Consigna: Construir un tringulo que sea el reflejo del tringulo dado con respecto a
la recta.

Anlisis de la actividad 4 en trminos de AM

La consigna planteada da libertad de accin al estudiante, y le exige pensar,
reflexionar sobre lo hecho en actividades anteriores, indagar, explorar, relacionar,
descartar y argumentar, es por todo esto que la AM del alumnos en esta consigna es
valiosa. En efecto, el objetivo que persigue el docente es cognitivamente
exigente, pues pretende que los alumnos integren todos los conceptos que fueron
apareciendo intuitivamente a lo largo de las distintas actividades y puedan aplicarlos
en la resolucin de la actividad propuesta.

Adems, el rol asignado a los alumnos es activo pues son ellos los que tienen
que construir uno de los tringulos, para lo cual tendrn que poner en juego todas
esas ideas intuitivas que fueron surgiendo en actividades anteriores para poder
resolver la actividad, cabe destacar que esta tarea es distinta a las anteriores en
donde el programa provea de todos los elementos con los que se deba trabajar, en
esta ocasin los alumnos deben crear un objeto que cumpla con los requerimientos
de una simetra axial, esto se evidencia claramente en la consigna: Construir un
tringulo que sea el reflejo del tringulo dado con respecto a la recta. Esto requerir
que el estudiante explore, argumente, proponga distinta alternativas para la

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2 SEMESTRE 2017

realizacin, con lo cual estamos en presencia de una consigna con potencial

matemtico rico.

Por otro lado, si bien no est explicitada en forma de pregunta metacognitiva, la

tarea de repensar sobre lo hecho hasta ese momento est implcito, los jvenes
debern volver sobre lo pensado para sacar conclusiones ms generales que puedan
aplicarse en esta nueva actividad. Es por todo lo dicho que consideramos que esta
consigna tiene AM valiosa.

Instrumento de evaluacin. Dos ejemplos de evaluacin escrita

Consigna 1:

a) trazar los tringulos simtricos del tringulo ABC respecto de las rectas negra
y roja.

b) Dados los siguientes pares de tringulos trazar el eje de simetra. En cada

caso justificar la decisin tomada.

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Anlisis de la consigna 1 en trminos de PM

El enunciado analizado puede ser enmarcado en lo que Rodrguez (2016)
llama potencial matemtico rico de una consigna ya que alude a dos aspectos: las
posibilidades de exploracin y las posibilidades de argumentacin.

El primero de los aspectos se evidencia en el tem b): Dados los siguientes

pares de tringulos trazar el eje de simetra. En cada caso justificar la decisin
tomada, ya que no hay explicitados pasos a seguir ni sugerencias de resolucin. La
figura de la izquierda admite eje de simetra, mientras que la de la derecha no. Esta
situacin har que el estudiante explore soluciones diferentes a las que planteo en el
tem a). Luego de realizar varios ensayos es probable que el alumno reflexione sobre
las condiciones que aseguran la simetra axial y concluya que no es posible en este
caso.

El segundo aspecto se explicita cuando la consigna pide que la decisin

tomada sea justificada. Para poder responder a la consigna los estudiantes podrn
explicitar sus conclusiones usando las condiciones que garantizan la simetra axial.
Sintetizando, se puede afirmar que la consigna permite la exploracin y la
argumentacin por lo que tiene un potencial matemtico rico.

Consigna 2: a) indicar si hay algn par de figuras que sean simtricas

respecto al eje dado. Justificar

b) indicar si es posible mover el eje para que las figuras sean

simtricas. Justificar.

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Anlisis de la consigna 2 en trminos de PM

Al igual que la consigna 1, las actividades planteadas presentan un potencial
matemtico rico. La tarea planteada invita a los alumnos a explorar, indagar y
proponer diversas soluciones, pues el enunciado no da indicaciones ni sugerencias
para su resolucin. En el tem a) los estudiantes tendrn que poner en juego sus
conocimientos sobre simetra axial para poder argumentar su respuesta. El tem b)
propone a los jvenes que indaguen sobre la posibilidad de la existencia de un eje de
simetra que convierta al par de figuras en simtricas. Por otro lado, en ambos tem se
pide justificar las respuestas. Resumiendo, la consigna propuesta alude a dos
aspectos: posibilidad de exploracin y posibilidad de argumentacin, por lo que tiene
PM rico.

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2 SEMESTRE 2017

Anlisis usando heursticas y lectura comprensiva de un texto

de Educacin Matemtica

Anlisis de la consigna 1 desde estrategias heursticas

Para la resolucin de este problema, algunas de las heursticas que podran usarse
son:

I. Trabajar hacia adelante. Una vez que se comprendi el problema se puede

comenzar a graficar, usando los datos de contorno del problema
II. Recurrir a teora relacionada. Para resolver este problema los alumnos
deben poder recordar y utilizar los distintos corrimientos de funciones sean
laterales como se ven en los ej. c y d de la ilustracion1, o verticales como se
III. ven en los ej. a y b de la ilustracin 1. Ya que estos facilitan la resolucin
del problema.
IV. Realizar un dibujo. Por corrimientos sucesivos los alumnos pueden,
valindose del grafico de muestra, realizar los diferentes grficos para cada
funcin, como se observa en la ilustracin 3
V. Razonar por analoga. En caso de no recordarlos corrimientos, el estudiante
podra rever ejercicios previos y ejercicios dados.
VI. Reducir a problemas ya resueltos. Los alumnos podran utilizar lo hecho en
los tems anteriores para resolver un desplazamiento mltiple, tanto vertical
como lateral como se ve en la ilustracin 2

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2 SEMESTRE 2017

Ilustracion 1

Ilustracin 2

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Ilustracin 3

Anlisis de la consigna 2 desde la heurstica

Para la resolucin de este problema se pueden utilizar las siguientes heursticas:

I. Recurrir a teora relacionada. Como se ve en la ilustracin 1 es de utilidad

recurrir a la teora de lmite y al teorema de Bolzano ya que son herramientas
para probar la existencia de races en funciones continuas en un intervalo.
II. Introducir un elemento auxiliar. Como muestra la resolucin de abajo, se
utilizan dos lmites para poder aplicar el teorema de Bolzano, concluyendo
que es imposible hallar los escalares a y b de manera que f no tenga races.
III. Dividir el problema en subproblemas. Esta heurstica se evidencia cuando se
divide el anlisis de los posibles valores de f, es decir si f<0 o f>0, ver
ilustracin 1.
IV. Anlisis sistemtico de casos. A partir del anlisis del parmetro b para los
casos b>0, b=0 y b<0 se extraer conclusiones sobre la posibilidad de que f
tenga o no races, como se ve en la ilustracin 2
V. Razonar por analoga. Para resolver el ejercicio los alumnos podran recordar
ejercicios donde hicieron un manejo algebraico donde valores de a y b se
usan como nmeros generales

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2 SEMESTRE 2017

Ilustracin 2

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2 SEMESTRE 2017

Anlisis de la consigna 3 desde la heurstica

La resolucin de la consigna se puede ver al final del siguiente anlisis. Para la

resolucin de este problema, algunas de las estrategias heursticas que podran
emplearse son:
I. Trabajar hacia adelante. Una vez que se comprendi el problema se puede
abordar su solucin, usando los datos de contorno del problema, comenzando
a escoger que operaciones efectuar. Esto se evidencia en la seccin
Metodologa, en donde se describe como se har el anlisis, es decir, a partir
de los datos del problema se arma una estrategia para su resolucin indicando
que funciones se usaran para el informe.
II. Razonar por analoga. En esta heurstica se emplean problemas ya resueltos.
En nuestro caso, esto se realiza utilizando pasaje de lenguaje coloquial a
matemtico y las grficas de funciones conocidas, lineal, cuadrtica y
exponencial. Esto se muestra, en la seccin Anlisis, cuando se presentan las
funciones que emplean cada una de las compaas en el anexo cuando se va
construyendo cada formula de manera recursiva, empezando por los primeros
meses de inversin y pasando a una formula general.
III. Realizar un dibujo. Esta heurstica se evidencia en los grficos que representan
las inversiones segn la compaa y la cantidad de meses que dure el
depsito, como muestran las ilustraciones 1, 2 y 3. Estos diagramas permiten
ver rpidamente como se comportan las diferentes funciones versus el tiempo
(eje x).
IV. Reinterpretar el problema en un lenguaje diferente. En informe solicitado
hubiera sido muy extenso el anlisis para recomendar la mejor inversin sin los
grficos y las frmulas matemticas que se emplearon, es decir el pasaje de
lenguaje coloquial al simblico mejora la toma de decisiones y la comprensin
del problema, por ejemplo cunado dice La Compaa 1 incrementa el capital
de manera tal que todos los meses agrega al dinero depositado cinco veces el
monto inicial la traduccin resulta: 1: = 0 (1 + . 5)
V. Anlisis sistemtico de casos. En este caso se asignan valores a los
parmetros del problema y se reconocen comportamientos para luego
generalizar, esta heurstica se evidencia en la construccin de las frmulas que
se muestra en el anexo 1, en donde se van calculando los beneficios obtenidos
con las distintas compaas para un mes, dos meses, etc., y luego se
generaliza en la formula general.

3) Supongamos que vivimos en una ciudad en la que existen tres

compaas ahorristas distintas y que estamos interesados en
incrementar nuestros ahorros. Las tres compaas generan

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2 SEMESTRE 2017

intereses continuamente, tomando el mes como unidad, pero

con modalidades distintas en cuanto al incremento del dinero
depositado.
La Compaa 1 incrementa el capital de manera tal que todos los
meses agrega al dinero depositado cinco veces el monto inicial.
La compaa 2 incrementa el capital de manera tal que para
calcular el dinero acumulado hasta ese momento se agrega al
monto inicial tres veces ese monto multiplicado por el cuadrado
de la cantidad de meses transcurridos.
La compaa 3 incrementa el capital de manera tal que el dinero
acumulado se duplica cada mes.
Supongamos que son agentes de inversiones y se los contrata
para que informen y aconsejen acerca de las tres compaas. Si
tengo $1.000 y los deposito durante un mes, en cul de las 3
compaas me conviene depositar? Y si los deposito durante 4
meses? Cmo calculo el dinero que obtengo en cada compaa
segn los meses de depsito?
Se les pide hacer un informe en el que se describa la situacin y
se comparen las 3 empresas.

Informe de inversin

Metodologa

Para realizar el anlisis de la compaa que otorga mayores

beneficios cuando se invierten inicialmente 1000$ se utilizaran las
funciones de capitalizacin que emplea cada compaa. Luego,
mediante un grfico de dichas funciones se buscaran las
intersecciones entre las distintas curvas para poder discernir qu
compaa es la ms adecuada segn el contexto que se presente.
Las funciones se graficaran con Geogebra. Mediante el comando
interseccin se ubicaran los puntos de corte entre las diferentes
curvas. Las coordenadas de dichos puntos son relacionan los meses
que dura el deposito con el capital acumulado.

Anlisis

Se supone una inversin inicial de 1000$, el dinero se

obtiene, para todas las compaas, luego de transcurridos n meses
del depsito original. Las frmulas de capitalizacin que utiliza cada
compaa son:

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2 SEMESTRE 2017

Donde x representa los meses de capitalizacin2.

Para inversiones de 1 mes se aconseja invertir en la
Compaa 1 (C1) ya que de las tres empresas es la que mayores
beneficios produce, esto se observa claramente en la ilustracin 1, la
curva color verde representa a C1, el grafico muestra que para 1 mes
de inversin las capitalizaciones de mayor a menor son C1, seguida
de C2 (compaa 2) y C3 (compaa 3) respectivamente.

Ilustracion 1

Para inversiones de 2 hasta 4 meses se recomienda el siguiente

orden de inversin de mayor a menor: C2, C1, C3, vase la ilustracin
2

Para inversiones que van de 5Ilustracin

a 7 meses 2se recomienda el siguiente

2
Para ver la obtencin de las formulas vase el anexo 1

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2 SEMESTRE 2017

orden de inversin: C2, C3, C1, mientras que para inversiones de 8

meses o ms se aconseja el siguiente orden de inversin: C3, C2, C1,
vase la ilustracin 3.

Ilustracion 3

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2 SEMESTRE 2017

Anexo 1

0 :

Compaa 1

1 = 0 + 50

2 = 1 + 50 = 0 + 50 + 50 = 0 + 2.50

3 = 0 + 3.50

= 0 + . 50 = 0 (1 + . 5)

Compaa 2

= 0 + 30 . 2 = 0 (1 + 3 2 )

Compaa 3

1 = 2. 0

2 = 2. 1 = 2.2. 0 = 22 . 0

3 = 23 . 0

= 2 . 0

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2 SEMESTRE 2017

Anlisis de la consigna 4 desde la heurstica

La resolucin de la inecuacin planteada en este problema podra ser encarada

de maneras diferentes, utilizando alguna de las siguientes estrategias heursticas:
I. Recurrir a teora relacionada. Este problema requiere de los alumnos el
conocimiento del concepto de funcin inversa, saber que si se aplica la funcin
inversa a ambos lados de la desigualdad, el sentido de esta se mantiene solo si
es estrictamente creciente y tambin requerir que conozcan las propiedades
del logaritmo de un nmero. Esto se evidencia en la resolucin analtica que se
muestra en la ilustracin 1.
II. Realizar un dibujo. Como venimos haciendo, incorporar de las Tics a la
actividad ulica permite resolver los problemas utilizando una aplicacin
adecuada. En este caso el uso de Geogebra permitira abordar el problema
desde una perspectiva geomtrica valindose de los comandos del programa,
como se observa en la ilustracin 2, en donde el comando interseccin
proporciona las coordenadas del corte entre las dos curvas y a partir de all se
observa que la exponencial se encuentra siempre por arriba de la funcin
constante 1/16, la conclusin inmediata es que la solucin de la inecuacin
est dada por (- 4 , +)
III. Analizar ejemplos. Las dos formas de resolver el problema planteadas arriba
podran complementarse con la comparacin de valores que sirvan para
corroborar el resultado hallado, es decir darle valores a la x que estn dentro
del conjunto solucin y verificar la desigualdad.

4) a) Resolver la siguiente inecuacin exponencial: > .

Explic en qu te basaste para poder resolver la inecuacin
dada.

Se puede plantear la solucin en forma analtica de la siguiente

manera:

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2 SEMESTRE 2017

Ilustracion 1

Para esta resolucin nos basamos en las propiedades del logaritmo,

entre ellas que es una funcin creciente, y al aplicarla a ambos
miembros de la desigualdad no la invierte.

Tambin se puede obtener la resolucin usando el graficador

Geogebra, en la imagen de abajo se muestra la interseccin entre la
funcin exponencial y la funcin constante 1/16, el punto A indica que
la abscisa de la interseccin es -4, luego la solucin son todos los x
en donde la funcin exponencial est por encima de la funcin
constante, es decir, (- 4, +)

Ilustracion 2

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B3 Un estudio exploratorio sobre heursticas en

estudiantes de un curso de matemtica de nivel pre-
universitario (Tamara Marino, Mabel Rodrguez)

Los resultados principales que estn expuestos en el artculo son el surgimiento de

estrategias heursticas, que refieren al momento en que un sujeto se enfrenta un
problema, e intenta resolverlo recurriendo a una diversidad de estrategias que lo ayudan
a comprender el problema, ayudndolo a establecer un camino de resolucin, aun
cuando esta no sea correcta.

Uno de los resultados principales que pudimos notar es que la heurstica analizar
ejemplos, (que se encuentra dentro de examinar casos particulares, en la cual se
consideran distintos valores cualesquiera que sirvan para ejemplificar y explorar el
problema), aparece al momento de resolver una consigna debido a que es comn que
docentes, tanto en el CAU como en niveles anteriores, utilicen esta manera para resolver
tareas. Incluso cuando se explica un nuevo tema a travs de un ejemplo, en la actividad
1 podemos notar esto mismo con detalle, ya que se introduce como nuevo tema funcin
exponencial y funcin logartmica, los alumnos lo relacionan con ejemplos vistos
anteriormente sobre funcin cuadrtica, apareciendo la heurstica recurrir a teora
relacionada (que se encuentra dentro de activar experiencia previa), donde es
necesario recordar y utilizar ejercicios previamente vistos que sean de utilidad para la
resolucin de la nueva consigna.

Otro de los resultados principales fue que las heursticas planificar y modificar no
aparecieron a la hora de resolver los ejercicios en el CAU, debido a que estas son de las
heursticas que requieren mayor exigencia consideramos que al no aparecer en el CAU
se debe a que este es un curso de nivelacin entre el nivel secundario y una
introduccin para el estudio universitario, y es coherente que estas no aparezcan con
facilidad ya que los objetivos de este curso apuntan a lo siguiente: favorecer la actitud de
los estudiantes hacia el aprendizaje de la matemtica y facilitar la apropiacin de
herramientas de trabajo matemtico y adquisicin de recursos de aprendizaje.

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2 SEMESTRE 2017

B4: Algunos aportes que pueden ser tiles para la

enseanza son:
Arrancar el ao con los conceptos bsicos de teora y visualizarlos con ejemplos para
que al finalizar el ao, se puedan implementar ejercicios que requieran utilizar los
ejemplos y teora dada con el fin de que los propios alumnos, puedan descubrir un tema
nuevo, o a su vez, analizar ejemplos que puedan ser tiles para dicha actividad.

Disear actividades con potencial matemtico rico, que requieran mayor posibilidad a
la exploracin, pudiendo de este modo, aparecer ms heursticas.

Otro aporte seria poder dar ejemplos que hubiera que analizar por el absurdo, por
ejemplo, si una consigna nos dice que hay que buscar valores para que una ecuacin
tenga solucin, poder resolverlo pensando que tiene solucin, y resolverlo de ese modo,
es decir, si en x=2 la ecuacin tiene solucin, la respuesta seria, la ecuacin no tiene
solucin en el conjunto de todos los reales menos el 2.

Estos problemas logran una mayor exigencia a los alumnos a la hora de resolver, y con
esto se puede prever que aparezca la heurstica planificar, inclusive la de modificar el
problema, ya que la consigna podra pensarse como problemas ms sencillos, a lo cual
ellos puedan resolver, o ya hayan visto en alguno similar.

1) Alguna de las siguientes figuras posee simetra axial respecto de la recta roja?

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2 SEMESTRE 2017

BIBLIOGRAFIA

Barreiro, P. y Cassetta, I (2015). Teora de situaciones didcticas. En Pochulu, M. y

Rodrguez, M. (coordinadores). Educacin Matemtica. Aportes a la formacin docente
desde distintos enfoques tericos. (pp. 15-38) Buenos Aires: Universidad Nacional de
General Sarmiento.

Barreiro, P. Leonian, P. Marino, T. Pochulu, M y Rodrguez, M. (2016). Rodrguez (coord.).

Perspectivas metodolgicas en la enseanza y en la investigacin en Educacin
Matemtica. (pp. 25-47). Buenos Aires: Universidad Nacional de General Sarmiento.
CAPITULO 2

Barreiro, P. Leonian, P. Marino, T. Pochulu, M y Rodrguez, M. (2016). Rodrguez (coord.).

Perspectivas metodolgicas en la enseanza y en la investigacin en Educacin
Matemtica. (pp. 49-60). Buenos Aires: Universidad Nacional de General Sarmiento.
CAPITULO 3

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