Tópicos de Macroeconomía de Ciro Bazán
Tópicos de Macroeconomía de Ciro Bazán
Tópicos de Macroeconomía de Ciro Bazán
TPICOS EN MACROECONOMA
DINMICA
Chiclayo-Per
CONTENIDO
Introduccin XI
4
Efectos de corto y mediano plazo 84
Shock de poltica fiscal: Efectos de una disminucin de la tasa marginal
impositiva y un incremento del gasto pblico simultneos 84
Efectos de largo plazo 84
Efectos de corto y mediano plazo 84
Simulacin numrica 86
Simulacin del shock de poltica monetaria contractiva 90
Simulacin del shock de oferta negativo 93
Simulacin del shock de poltica fiscal 95
Anlisis cualitativo 98
Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados) 98
Anlisis cuantitativo 101
Simulacin numrica 103
Conclusiones 106
Bibliografa 107
5
Efectos de largo plazo 140
Efectos de corto y mediano plazo 141
Simulacin numrica 142
Simulacin del shock de poltica monetaria expansiva 145
Anlisis cualitativo 147
Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados) 147
Anlisis cuantitativo 151
Simulacin numrica 153
Conclusiones 156
Bibliografa 157
VI
Anlisis cualitativo 202
Anlisis cuantitativo 204
Simulacin numrica 207
Conclusiones 210
Anexo 1 211
Anexo 2 212
Anexo 3 212
Bibliografa 213
VII
Anexo 6: Teorema de Taylor 273
Anexo 7: Tiempo que tarda en recorrer una variable en recorrer la mitad
de la distancia que hay entre su estado estacionario y su valor inicial 274
Anexo 8: La funcin de produccin tipo Cobb-Douglas 276
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes
coeficientes variables 278
Bibliografa 280
888
~
Anexo 1: condiciones necesarias de primer orden utilizando H t y H t : caso de
economa centralizada 343
Anexo 2: regla de oro modificada: caso en el que hay progreso tecnolgico y la
funcin de utilidad es CRRA 344
Anexo 3: elasticidad de sustitucin intertemporal instantnea 347
Anexo 4: Clculo de c 0 dado k 0 que conduzca al estado estacionario 348
9
X
Introduccin
En este manual se analizan sistemas dinmicos continuos y discretos (en el
caso del modelo de ciclos econmicos reales: RBC), lineales y no lineales (el modelo
de crecimiento ptimo de Ramsey-Cass-Koopmans), determinsticos y estocsticos
(modelo RBC) tanto desde una perspectiva cuantitativa como desde un enfoque
cualitativo (utilizando diagramas de fase) aplicados a la macroeconoma y al
crecimiento econmico.
En esta versin, preliminar e incompleta, he intentado compilar algunos
modelos que he ido desarrollando en las asignaturas de macroeconoma dinmica y
de modelos de desarrollo y crecimiento econmico durante los ltimos cinco aos en
la escuela de economa de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad
Catlica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT).
En el primer captulo se hace un estudio de una versin lineal y
determinstica del modelo IS-LM dinmico. En el segundo captulo se estudia un
modelo dinmico de oferta y demanda agregadas, en el que se supone que los agentes
econmicos forman sus expectativas sobre la inflacin bajo un marco de expectativas
adaptativas. En el siguiente captulo analizo un modelo dinmico de inflacin en una
economa cerrada (el cul ha sido linealizado para facilitar su desarrollo). A
continuacin se efecta el estudio de una versin dinmica del famoso modelo de
overshooting cambiario desarrollado por Dornbush. A partir del quinto captulo se
abordan modelos de crecimiento econmico determinsticos y estocsticos (en el
ltimo captulo). En el captulo 5 se efecta un anlisis del modelo de crecimiento
econmico actualmente conocido como modelo de crecimiento de Harrod-Domar. En
el sexto captulo se examina la estabilidad dinmica del modelo de crecimiento
neoclsico de Solow-Swan con y sin progreso tecnolgico. En la penltima seccin,
siguiendo casi al pie de la letra a Blanchard y Fisher (1989), se desarrolla el modelo
de crecimiento intertemporal ptimo de Ramsey-Cass- Koopmans, tanto desde una
perspectiva centralizada como desde una perspectiva descentralizada (en este ltimo
caso se incorpora al sector gubernamental). Finalmente, se efecta el estudio de un
modelo dinmico de equilibrio general estocstico elemental: en concreto se
desarrolla una versin bsica de un modelo de ciclos econmicos reales (RBC). Para
ello hago uso de Microsoft Excel para efectuar las simulaciones y el anlisis de las
fluctuaciones cclicas que experimentan diversas variables econmicas respecto al
valor que tenan en el estado estacionario antes de producirse una perturbacin
aleatoria tecnolgica.
Abril de 2014.
XII
El modelo IS - LM: Una versin dinmica lineal La
versin esttica del modelo IS (Investment, Save) - LM (Liquidity preference,
Money), que integra mercados financieros (de bonos y dinero) y mercados de bienes y
servicios, fue planteada por Hicks (1937) para sintetizar los contenidos analticos de la
Teora General de Keynes. En su forma esttica, la curva IS representa el lugar geomtrico
de combinaciones de la tasa de inters y la renta real que conducen al equilibrio en el
mercado de bienes y servicios (donde la inversin iguala al ahorro), mientras que la curva
LM representa el lugar geomtrico de combinaciones de la tasa de inters y la renta real
que conducen al equilibrio en el mercado de dinero 1 (donde las preferencias de liquidez
igualan a la oferta de dinero). El equilibrio global2 en estos mercados se obtiene cuando
el mercado de bienes y servicios y el mercado de dinero simultneamente estn en
equilibrio (el equilibrio global en dichos mercados se da en el punto de corte entre las
curvas IS y LM). En esta seccin vamos a analizar este modelo
desde una perspectiva dinmica, para una economa cerrada y con precios fijos u oferta
agregada con elasticidad infinita a ese nivel dado de precios. Para ello, utilizando
Matlab 7.12.0, vamos a efectuar una simulacin numrica de una versin lineal del
modelo. Finalmente, analizaremos (para los tres casos aqu presentados) la estabilidad
del modelo tras una perturbacin externa no anticipada (un incremento en el stock nominal
de dinero).
Supuestos del modelo:
1. Economa cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas.
2. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes
ecuaciones:
D t C t I t G
O t Yt (1)
D
O
t t
La primera ecuacin de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios,
D t , es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo,
C t , el gasto en inversin, I t , y el gasto pblico (consumo e inversin
planeados por el Estado: compras de bienes y servicios por parte del Estado), G ,
que se considera exgenamente dado. La segunda ecuacin nos dice que la oferta
agregada de bienes y servicios, O t , no es ms que la renta real (produccin
agregada de bienes y servicios), Yt . La tercera ecuacin de (1) no es ms que la
condicin de equilibrio dinmico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo
la primera y la segunda ecuacin en la tercera se obtiene que:
Yt C t I t G (2)
1
Por la Ley de Walras, si el mercado de dinero y el mercado de bienes y servicios estn en equilibrio,
entonces el mercado de bonos tambin estar en equilibrio. Por tanto, tal como lo hizo Keynes (1937),
ser suficiente trabajar con dos de los tres mercados: el mercado de dinero y el mercado de bienes y
servicios.
2
Aunque el modelo IS-LM es un modelo de equilibrio general del mercado financiero (mercado de bonos
y de dinero) y del mercado de bienes y servicios, que permite determinar la demanda agregada de bienes
y servicios, dicho equilibrio no representa el equilibrio general de la economa, ya que para ello sera
necesario incorporar en el modelo la funcin de produccin y el mercado de trabajo (esto es, los factores
que determinan la oferta agregada de bienes y servicios de la economa).
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Supondremos que los impuestos, Tt , son una funcin lineal de la renta. Esto es:
Tt 0 Yt , 0 0 0 1 (4)
I t Yt Tt Tt G C t Yt Tt C t Tt G S t St S t (7)
I Y Y c c1 Y c Y G
t t 0 t 0 t 0 0 t
I t 1 c 1 Yt 1 c 0 c 0 0 Yt G
I t s1 Yt s 0 c 0 0 Yt G
S p riv ad o S pt b lico
t
t
It s1 Yt 0 c0 0 Yt G S , 0 s 1 c 1 (8)
2
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dnde: Sprivado es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta
t
3
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, supondremos que la funcin de inversin depende lineal e inversamente
de la tasa de inters nominal (asumimos que la inflacin esperada es nula), rt , tal
como sigue:
I t I0 rt ; I 0 0 0 (9)
Y t c c1 1Y c r c I G c c (11)
1 t 1 t 1 0 0 0
3. Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:
Ldt Yt rt , 0 0
L t M P m, m0
o
(12)
d
L t L t
o
4
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
exgenamente determinado por el Banco Central y el ndice de precios, P , se
asume constante). La tercera ecuacin no es ms que la condicin de equilibrio
dinmico en el mercado financiero. Sustituyendo la primera y la segunda ecuacin
en la tercera se obtiene que:
Yt rt m (13)
5
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y t c c1 1 c t 1 0
Y c I G c 0 c 0
(16)
1
1
rt c2 rt
c 2 mc 2
X b
A
X
Anlisis cualitativo
t rA c1 c1 1 c 2 0
A 1 c1 c1c 2 0 17
2 2
t rA 4 A c1 c1 1 c 2 4c1c 2 1 c1
Dado que A 0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del
E
r
7
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
m I0 G c0 c0
1 c1
Y E
Y E m, G, I , c , , , , , c, 18
0 0 0
E
r
I G c c m
c1 1
r E m, G, I , c , , , , , c,
0 0 0
0 0 0
1 c1
Imponiendo condiciones de no negatividad a (18) se tiene que:
Y E 0 I0 G c0 c0 m 0
19
E m
r 0 I0 G c0 c0 1 c1 0
De acuerdo a los signos asumidos de todos los parmetros del modelo, en este modelo
podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los
que el sistema sea estable. Los casos en cuestin son:
trA c c1 1 c 0
1 2
Caso1: Espiral A 1 c1 c1 c 2 0 21
2
c1 c1 1 c1 4c1c 2 1 c1 0
0 23
9
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por tanto:
trA trA trA i trA
1 i i
2 2 2 2 2
24
trA trA trA i trA
2 i i
2 2 2 2 2
Dnde:
trA c1 c1 1 c 2
0
2 2
4c1c 2 1 c1 c1 c1 1 c1
25
0
2 2 2
2 2 A c1 c 2 1 c1 0
En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa, 0, entonces
tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinmico es una espiral estable
(convergente).
El autovector v1 asociado a 1 i se calcular a partir de:
v1
a 0
c1 c1 1 i c1 26
b 0
c c i
2 2
De donde:
c
1 c 1 1 i
c1c1 1 i a bc1 0 b a 27
c1
La ecuacin (27) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (26):
10
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c 2
c 2 a c 2 i b 0 b a
c 2 i
11
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c 2 c 2 i c 22 c 2 c 2 i
b ab a
c 2 i c 2 i c 2 2
2
c2 2c 2c i
b
2
a 28
c 2c2
2 2
2
2 2
c1 1 c1 trA c 2 (29)
2 2 c c trA c c c c c trA 2 c 2 30
1 2 2 2 1 2 2 2
Reemplazando (30) en (28) se obtiene:
c2 i
b a 31
2 c1 trA
trA 2 32
Sustituyendo (32) en (31) tenemos:
c 2 i
b a 33
c1
c 2 trA c1 c1 1 2 c1 c1 1 34
Reemplazando (34) en (33) tenemos que:
c1 c1 1 i
b a
35
c1
12
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
c c1 1
v2 1 i 37
c c
1 1
13
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas
(las curvas que determinan las combinaciones de renta real y tasa de inters que equilibran
el mercado financiero (LM) y el mercado de bienes y servicios (IS) respectivamente) a
partir del sistema de ecuaciones (16). Esto es:
IS
Y , r Y t c c1 1Y c r c I G c c 0
t t 1 t 1 0
38
t 1 0 0
LM Y , r r t c 2 Yt c 2 rt mc 2 0
t t
De donde la IS, esto es la ceroclina Y t 0, viene dada por:
c1 1 I G c0 c0
0 39
r Y
t
t
Mientras que la LM, la ceroclina r t 0, viene dada por:
m
r Y 40
t t
14
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
se aprecia en la figura 1, las lneas de fuerza dinmicas sern horizontales y en sentido
de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las lneas de fuerza
dinmicas sern horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha regin
del plano de fase se verifica que Y t 0. De este anlisis se desprende que encima de la
15
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
rt
rB B
IS : Y t 0
rA A
EOBy S : Dt Yt 0 Y t 0
EDBy S : Dt Yt 0 Y t 0
Yt
YA YB
Figura 1: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de renta real (recta IS)
A continuacin vamos a graficar la ceroclina rt 0. De (39), por los supuestos
adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una lnea recta con pendiente positiva e igual
a , mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la tasa de inters)
dinmicas sern verticales apuntarn hacia arriba. Encima de dicha ceroclina las lneas
de fuerza dinmicas sern verticales y apuntarn hacia abajo ya que en dicha regin del
plano de fase se verifica que rt 0. De este anlisis se desprende que encima de la recta
para que el mercado se equilibre, el nivel de tasa de inters deber disminuir conforme
transcurra el tiempo. Asimismo, debajo de la recta LM, al ser r t 0, hay un exceso de
16
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
rt
LM : r t 0
EOD : Ld EDD : Ld
Lo 0 r t 0 Lo 0 rt 0
t t t t
rA A
rB B
Yt
YA YB
EDD
EOD R 2 :
R 4 : EOBy S
EDBy S
E
rE
r0 Yt 0
EDD
I R 1 :
EDBy S
LM
Yt
Y0 YE
17
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, en la figura 3 tambin se aprecia que las ceroclinas dividen el primer
cuadrante del espacio de fase en cuatro regiones en las que la economa est fuera del
equilibrio simultneo en ambos mercados. En la regin R1 existe un exceso de demanda
de dinero (EDD), r t 0, y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t 0.
En esta regin, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta
real (producto agregado) y la tasa de inters debern subir conforme transcurra el
tiempo. En la regin R2 existe un exceso de demanda de dinero (EDD), rt 0, y un
t
exceso de oferta de bienes y servicios (EOByS), Y 0. En esta regin, para que ambos
mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) deber
disminuir y la tasa de inters deber subir conforme transcurra el tiempo. En la regin
R3 existe un exceso de oferta de dinero (EOD), rt 0, y un exceso de oferta de bienes y
servicios (EOByS), Yt 0. En esta regin, para que ambos mercados se ajusten hacia el
de dinero (EOD),
equilibrio global, rla renta real (producto agregado) y la tasa de inters debern bajar
conforme transcurra el tiempo. Mientras que en la regin R4 existe un exceso de oferta
t 0,
y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t 0.
En esta regin, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real
(producto agregado) deber subir y la tasa de inters deber bajar conforme transcurra el
tiempo.
Suponiendo que el estado inicial de la economa se sita en el punto I del plano de fase,
de acuerdo a las lneas de fuerza dinmicas, la economa evolucionar a lo largo de la
senda de fase (espiral) y converger en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario
E. En el corto y mediano plazos, tanto la tasa de inters como la renta real tendrn un
comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio
estacionarios.
conforme transcurra el tiempo la tasa de inters aumentar para equilibrar este mercado.
No obstante, de acuerdo a (9), el incremento de la tasa de inters har que la inversin
caiga, y esto a su vez har que la demanda agregada de bienes y servicios disminuya, de
acuerdo a la primera ecuacin de (1). El proceso continuar conforme transcurra el tiempo
hasta que ambos mercados alcancen el equilibrio global (E).
18
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
El comportamiento de la renta (produccin agregada) y de la tasa de inters vienen
dados por:
4c c 1 c1 c c1 1 c 2
Y Y E
c
2
t 1 1 1
c1 c 1 1 2
t
t
2
r r E e h1 cos
2
t
4c c 1 c1 c c1 1 c
2
1 2 1 1
41
h 2sen t
2
Dnde:
h1 k1 v1 k 2 v 2
42
h 2 k1 v1 k 2 v 2 i
h 1 c1 c1 1 k 1 k 2
k 1 k2 i
c1 c1
k 1 k 2 i 43
h 2 k 1 k 2 c1 c1 1
k 1 k 2 i
c1 c1
19
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t 0, de la economa viene dado por y 0 , r0 ,
Si suponemos que el estado inicial,
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (43), se tiene que:
Y0 Y E
h 44
E
r r
1
0
Igualando (44) con la primera ecuacin de (43) se tiene:
k1 k 2 Y0 Y E
c1 c1 1Y0 Y Ec1 r0 r E
45
k1 k 2 i
20
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 0 1 0
h2 46
2
2 E
E
c1 c 1 1 Y0 Y c1 c1 c 1 1 r0 r
c1
4c c 1 c1 c c1 1 c 2
c1 c 1 1 c 2
1 2
t 1 1
Y YE e 2
Y Y E cos t
t 0
2
4c c 1 c1 c c1 1 c 2
E
E
1 2
1 1
1 0 1 0
c c 1 1 Y Y c r r
47
sen
t
2
c c 1 1c
4c c 1 c1 c c1 1 c 2
1 2 1 1
t
1 2
rt r E e 2
r0 r cos
E
t 48
2
4c c 1 c 1
2
c c1 1 c
c c 1 1 Y Y c c c1 1r r
2 2 E E
1 2 1 1
1 0 0
1 1 sen t
2
c1
Sustituyendo (47) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolucin a lo largo del tiempo de
los impuestos, el consumo, y la inversin (ahorro) respectivamente. De igual modo,
reemplazando (48) en (9) podramos tambin obtener la evolucin temporal de la
inversin. Sustituyendo el consumo y la inversin en (1) obtenemos la demanda de bienes
21
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (47) y (48) en (12) obtenemos la
evolucin temporal de la demanda de dinero.
22
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt
YE
Y0
rt
rE
r0
23
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzar la economa
en el largo plazo ser el punto E1 de la figura 6.
24
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, se aprecia en la figura 6 que tras el incremento del stock nominal de
dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocar un incremento en la renta real
(producto agregado) y una cada en la tasa de inters. En consecuencia, en el largo
plazo, la perturbacin monetaria producir un mayor nivel de renta real (producto
agregado) y una menor tasa de inters.
rt
IS
r 0 m
r 0 m
t 0 t 1
EOD
R 3 :
E0
r0E EOBy S
EDD
R 2 :
EOBy S
rC
C
r1E E1
rB B
rA
A
EOD
Yt 0
R 4 : LM m EDD
R 1 :
EDBy S
1 EDBy S
LM m 0
Yt
Y0E YA Y1E YC YB
Figura 6: Retrato de fase de la economa tras el aumento del stock nominal de dinero
Y E m 1 c1 0
49
E
r m c1 1 0
1 c1
25
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
consecuencia, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de inters deber
disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de inters, por (9), la inversin
se incrementa, y por la primera expresin de (1), la demanda agregada de bienes y
servicios aumenta generando un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios
(EDByS). Este exceso, por (10), producir un incremento en la renta real (producto
agregado) conforme transcurra el tiempo hasta llegar al punto A sobre la
LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero estar en equilibrio a una tasa de inters
menor a la que haba en el punto E0 y a un nivel de renta (producto agregado) superior
al que haba en E0. No obstante, en A el mercado de bienes y servicios no est en
equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS).
Este exceso, por (10), producir un incremento en la renta real (producto agregado)
conforme transcurra el tiempo. El incremento en la renta (producto agregado), a su vez,
por la primera expresin de (12), producir un incremento en la demanda de saldos reales.
El incremento en la demanda de dinero, a su vez, generar un exceso de demanda de dinero
(EDD), produciendo por (14) un incremento en la tasa de inters conforme transcurra el
tiempo hasta llegar al punto B sobre la IS. En dicho punto el mercado de bienes y
servicios estar en equilibrio a una renta (producto agregado) superior a la de los puntos
E0, A, pero a una tasa de inters inferior a E0 y superior a la de A. No obstante, en
B el mercado de dinero no est en equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda
monetaria (EDD). Este exceso, por (14), producir un incremento en la tasa de inters
conforme transcurra el tiempo. El incremento en la tasa de inters, a su vez, por (9),
producir un decremento en la inversin. La cada en la inversin, a su vez, generar un
exceso de oferta en el mercado de bienes y servicios (EOByS), produciendo por (10) un
decremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el
tiempo hasta llegar al punto C sobre la LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero
estar en equilibrio a una tasa de inters inferior a la de E0 y superior a la de B y a la del
punto A, pero a un nivel de renta real (producto agregado) superior al de E0 y al de A
aunque inferior al de B. Asimismo, en A el mercado de bienes y servicios tendr un
exceso de oferta (EOByS). El proceso continuar hasta que finalmente la economa
alcanza el equilibrio simultneo representado por E1.
3
Se dice que una variable endgena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio
exgeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo
plazo.
26
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso 1, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (20) y (21). Dichos valores se
encuentran resumidos en la tabla I.
Parmetros Valores
0,3
0,25
0,3
1,525
c 0,35
c0 38
c1 0,2
c2 0,4
0 0,25
I0 10
Tabla I: Valores de los parmetros simulados
En la tabla II se muestran los valores de las variables exgenas en el instante inicial.
Estos valores se han elegido de forma arbitraria.
Variables exgenas Valores
m0 8
G 50
Tabla II: Valores iniciales de las variables exgenas
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (16) resulta:
A
b
0,151 0,305 Yt 19,5825
Y t I
0,1 0,12 rt
3,2
rt
Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E 68,406
III
r 30,338
E
28
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
60 IS
50
40
E
30
rt
20
10
LM (m0)
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Yt
60 IS
50
40
E
30
rt
20
(Y0, r0)
10
LM (m0)
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Yt
29
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
80
75
70
65
Yt
60
55
Yt
50
45
0 10 20 30 40 50 60
t
30
25
rt
20 rt
15
10
0 10 20 30 40 50 60
t
30
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si
ahora incrementamos el stock nominal de dinero en trminos logartmicos, ceteris
paribus, pasando de m0 8 a m1 9, el sistema (16) resulta:
A
b
0,151 0,305 Yt 19,5825
Y t VI
0,12 rt
3,6
r t 0,1
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E1 70,915
E VIII
1
r E1 29,096
Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del
stock nominal de dinero.
31
IS
30.5
E0
30
29.5
E1
29
rt
LM (m0)
28.5
28
27.5
27
LM (m1)
67 68 69 70 71 72 73 74
yt
31
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1 9
32
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
evolucin a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inters del sistema (VI).
Yt 70,915 e 0,135 5t 1,954sen 0,174t 2,509 cos 0,174t
(IX)
rt 29,096 e
0,135 5t
1,242 cos 0,174t 1,332sen0,174t
En la figura V se aprecia la evolucin temporal del sistema (VI) tras el incremento del
stock nominal de dinero, teniendo como punto inicial a E 0 68,406;30,338.
71
70.5
70
yt
Yt
69.5
69
68.5
0 10 20 30 40 50 60
t
30.4
30.2
30
29.8 rt
29.6
rt
29.4
29.2
29
28.8
28.6
0 10 20 30 40 50 60
t
33
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
trA c c1 1 c 0
1 2
Caso2: Nodo impropio A 1 c1 c c 0 50
1 2
trA 4 A c1c1 1 c1 4c1c 2 1 c1 0
2 2
Teniendo en cuenta que 0 y que A 0, entonces resulta que:
trA2 0 trA2 0
trA 0 trA 0 51
0 trA trA 52
En este caso, teniendo en cuenta (52) y (53), los autovalores de la matriz A sern:
c c 1 1 c c c 1 1 c 2
4c c
1 2
1 c1
t rA 1 2 1 1
0
1
2 2
c c1 1 c c c1 1 c 2 4c c 1 c1 54
trA 1 2 1 1 1 2
2 0
2 2
2 1 0
Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del
discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de
equilibrio del sistema dinmico es un nodo impropio estable (convergente).
El autovector v1 asociado a 1 se calcular a partir de:
34
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA
1 DINMICA
c1 c1 1 1 c1 a 0 55
b 0
c c
2 2 1
35
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c c1 1
1 1
a
c1 c1 1 1 a bc1 0 b 56
c1
La ecuacin (56) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (55):
c2
c2a c2 1 b 0 b a 57
c2 1
a
2
b
2
2c trA
2 2c 2 trA
2c 2 2c 2 trA 2c 2 2c 2 trA
b a a 58
2c trA 4 2 c 2 4c trA trA
2 2
2 2 2
4 2 c 22 4c 2 trA 4 A 2 2c 22 2c 2 trA 2 A
2c2 trA
60
b a
2 2 c 2 2trA 2 1 c1 c1
36
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c1 c1 1 c 2
b a 61
2c1
37
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c2 c1c1 1 trA 62
2 1
1
b a a 63
c1 c1
1
1
v1 c1 c1 1 1 c 2 64
c
c1 2 1
1
2c 2 65
v
1
2
c 2 c1 c1 1 c1c1 1 c1 4c1c2 1 c1
1
1
v 2 c1 c1 1 2 c 2 66
c
c1 2 2
1
2c 2
v
67
2
4c1c2
2
c c c1 1 c c1 1 c
1 c1
2 1 1 1
39
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para este caso, las expresiones (39) y (40) de las ceroclinas correspondientes al caso 1
siguen siendo vlidas, al igual que las lneas de fuerza dinmicas que se bosquejaron en
las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de
la tasa de inters, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la
figura 7, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse en este
modelo dinmico, las trayectorias de fase son tangentes a la lnea de accin del
autovector V 1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solucin general
E 1t
2 t
X t X k1e V1 k 2 e V2 donde 1 y 2 son autovalores reales, distintos y negativos, y
v2
v1 rt 0
rE
E
I
r0
LM IS
Yt
Y0 Y E
41
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Asimismo, en la figura 7 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que
va desde el punto I al punto E, la tasa de inters y la renta real (producto agregado) crecen
de forma montona hasta sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo.
Anlisis cuantitativo
Yt Y k e2t
k e 1 t c c 68
r E 1 2 2 2
r
t c c
2 1
2 2
De donde:
Yt Y E k e 1t k 2 e 2 t
1
k c k c 69
r e 1 t e2t
E 1 2 2 2
rt
c 2 1 c 2 2
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (69), se tiene que:
c
c Y Y E c r r E
Y0 Y E k1 k 2 k 1
2 1 2 0 2 2 0
c 21 2
k c k c 70
r rE 1 2 2 2 c c r r E c Y Y E
0
k 2
2 2 2 1 0 2 0
c2 1 c2 2
c 21 2
c2 1 c2Y0 Y c2 2 r0 r c2 2 c2 1 r0 r c Y Y
71
2
Y YE e t
e
t
t
E E E E
1
2
0
c 21 2 c 21 2
42
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c Y Y c r r c r r c Y Y
r r e 1
e 2 t 72
E 2 0 t 2
t E E E E
2 2 0 1 0 2 0
1 2 1 2
Dnde Y E y r E vienen dados por (18), mientras que y vienen dados por (54).
1 2
Sustituyendo (71) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolucin a lo largo del tiempo de
los impuestos, el consumo, y la inversin (ahorro) respectivamente. De igual modo,
reemplazando (72) en (9) podramos tambin obtener la evolucin temporal de la
inversin. Sustituyendo el consumo y la inversin en (1) obtenemos la demanda de bienes
y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (71) y (72) en (12) obtenemos la
evolucin temporal de la demanda de dinero.
43
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
YE
rE
EOD
EOD R 3 :
R 4 : EOBy S
EDBy S
rt 0 m1
E1
r1E
EDD
LM m1 EDD
R 1 :
R2 :
Yt 0 EOBy S
EDBy S
Yt
Y0E Y1E
Figura 10: Retrato de fase de la economa tras el incremento del stock nominal de
dinero
Efectos de corto y mediano plazo:
En la figura 10 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la
economa, partiendo del punto E0, converger en el largo plazo al punto E1 siguiendo la
trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y
mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real
(producto agregado) como la tasa de inters convergen a sus respectivos valores de
equilibrio de largo plazo de manera montona (no oscilatoria). Adems, en este caso,
tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, no se
observa que haya una sobrerreaccin (overshooting) tanto de la tasa de inters como de
la renta real respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo.
Estando la economa en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se
incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este
incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt 0. Por tanto,
para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de inters deber disminuir
conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de inters, por (9), la inversin se
incrementa, y por la primera expresin de (1), la demanda agregada de bienes y
servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este
exceso, por (10), producir un incremento en la renta real (producto agregado) conforme
transcurra el tiempo hasta que la economa alcance el equilibrio simultneo en E1.
45
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso 2, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (50). Dichos valores se
encuentran resumidos en la tabla III.
Parmetros Valores
0,3
0,15
0,9
0,1
c 0,1
c0 38
c1 0,1
c2 0,2
0 0,25
I0 10
Y t XI
r t 0,03 0,18 rt 1,6 0 r 0 r 0,16Y 8,8
t t t
Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E 104,4336854
XII
46
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
r 8,516725352
E
47
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
25
V2
20
V1
15
rt
10
0
LM (m0) IS
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
yt
E
8
5
rt
4 (y0, r0)
LM (m0)
2
0
IS
70 75 80 85 90 95 100 105 110
Yt
48
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y
t 104,434 25,025 e
0,096 6t
0,591e 0,176t
(XIV)
rt 8,517 9,001e
0,096 6t
4,929e 0,176t
105
100
95
yt
yt
90
85
80
8.5
7.5
6.5
rt
rt
6
5.5
4.5
49
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XII), si
ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0 8 a
m1 9, el sistema (16) resulta:
A
b
Y t XVI
rt 0,03 0,18 t
r 1,8 0 r t 0 r 0,16Y 10
t t
Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E1 104,5510563
E XVII
1
r 7,425176056
E1
Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento
del stock nominal de dinero.
8.6
E0
8.4
8.2
8
rt
7.8
7.6
7.4
50
CIRO BAZN
7.2
TPICOS EN E1MACROECONOMA DINMICA
LM (m1)
IS
104 104.1 104.2 104.3 104.4 104.5 104.6 104.7 104.8 104.9 105
Yt
51
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
evolucin a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inters del sistema (XV).
Y
t 104,551 0,259 e
0,096 6t
0,142 0,176t
(XVIII)
rt 7,425 0,093e
0,096 6t
1,185e 0,176t
En la figura X se aprecia la evolucin temporal del sistema (XV) tras el incremento del
stock nominal de dinero, ceteris paribus: E 0 104,4336854; 8,516725352 .
104.56
104.54
104.52
104.5
Yt
104.48
104.46
Yt
104.44
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
8.6
8.4
8.2
rt
8
rt
7.8
7.6
7.4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t
52
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
trA c1c1 1 c2 0
Caso3: Nodo impropio A 1 c1 c c 0 73
1 2
trA 4 A c1c1 1 c1 4c1c2 1 c1 0
2 2
Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son iguales y negativos, al valor
del discriminante, y a los signos de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos
que el punto de equilibrio del sistema dinmico es un nodo impropio estable
(convergente).
El autovector vI asociado a 1 2 I se calcular a partir de:
vI
a 0
c1 c1 1 I c1 75
b 0
c c
2 2 I
c c1 1
1 I
a
c1 c1 1 I a bc1 0 b 76
c1
La ecuacin (76) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (75):
c 2
c 2a c2 I b 0 b a 77
c 2 I
2c 22c 2 t rA 2c 2 2c 2 t rA
b a a 78
53
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2c trA
2
4 2c 2 4c trA trA
2
2 2 2
54
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c22c 2 trA
b a
2 c 2c 2 trA 2 c1 c 2 1 c1
2 2
2
2c2 t rA
b a 80
2 c 2 2trA 2 c1 1 c1
2
c2 c1c1 1 trA 82
c1 c1
1
1
v1 c1 c1 1 I c 2 84
c 2 I
c1
55
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1
v1 c 2 c1 c1 1 2c 2 85
2c1 c 2 c1 c1 1
56
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
v1
v2
1
A Iv v c1 c1 1 I
c1
f
c c c1 1 86
I 2 1 2 1
c 2
c 2 I
g
2c1
1 c1g
c c1 1 f c g 1 f 87
1 I 1
c1 c1 1 I
c 2 c1 c1 1 c 2 c1 c1 12c1 c 2 I g
c 2 f c 2 I g f
2c1 2c1c 2
c 2 c1 c1 1
c 2 I g
f
2c1
88
c 2
c 2 c1 c1 11 c1g
f
89
2c1c 2
c1c 1 1 I c2 c1c2
c c1 1 90
1 I
c1 c2 I c 2 I
c 2 c1 c1 11 c1g
f
92
2c1c 2
58
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
21 c1
c c1 c1 1 1 c
2 1
v2
2c1c 2
c 2 c1 c1 1
93
1 1
En este caso se tendr que la solucin general del sistema (16) viene dada por
E t t
X t X k1e v1 k 2e tv1 v2 . Ya que por (74), 1 2 0, se verificar que cuando
t el trmino dominante ser k tet v , por lo que en el largo plazo cada senda de fase
2 1
deber aproximarse al punto de equilibrio XE de manera que sea tangente a la lnea de
accin del autovector v1. Ciertamente, si k 2 0 la solucin deber permanecer sobre
rt
IS
rt 0
v1
rE
E
I
r0
LM Yt 0
Yt
Y0 YE
60
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de inters vienen dados
por:
V1
E
X
X
t
1
Yt Y E
It 2c 2
r E k e
r
1
c 2 c1 c1 1
t
V1
V2
1 2 1 c 1
k e I t t 2c 2 c c1 c1 1
94
2
2
c c c1 1
2 1 1
De donde:
21 c
2
Yt Y E k 1e I t k t
1 It
e
c 2 c1 c1 1
95
2c k 2c
r r E 2 1
eIt k 2 1
2
t eIt
t
c 2 c1 c1 1 c 2 c1 c1 1
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (95), se tiene que:
21 c1 k 2
Y0 Y k1
E
c 2 c1 c1 1
2c 2 k1
r0 r k2
E
c 2 c1 c1 1
Y Y E c c1c1 1 21 c r r E c c1 c1 1
61
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0 2 1 0 2
k
1
2
c 2 c1 c1 1 4c 2 1 c1
96
2c Y Y E c c1 c1 1 21 c r r E c c1 c1 1
2 0 2 1 0 2
k r r E
2 0
2
c 2 c1 c1 1 c 2 c1 c1 1 4c 2 1 c1
62
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
YE
rE
63
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, se aprecia en la figura 14 que tras el incremento del stock nominal de
dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocar un incremento en la renta real
(producto agregado) y una cada en la tasa de inters. En consecuencia, en el largo
plazo, la perturbacin monetaria, tal como ocurriera en los casos anteriores, producir
un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de inters.
rt
E0
r0E
LM m 0 rt 0 m 0
IS
EOD
R 3 :
EOD EOBy S
R 4 :
EDBy S
E1 rt 0 m1
E
r1
LM m1
EDD
EDD R2 :
R 1 : Yt 0 EOBy S
EDBy S
Yt
Y0E Y1E
Figura 14: Retrato de fase de la economa tras el incremento del stock nominal de
dinero
64
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de inters deber disminuir
conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de inters, por (9), la inversin se
incrementa, y por la primera expresin de (1), la demanda agregada de bienes y
servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este
exceso, por (10), producir un incremento en la renta real (producto agregado) conforme
transcurra el tiempo hasta que la economa alcance el equilibrio simultneo en E1.
Simulacin Numrica:
Parmetros Valores
0,9
0,15
0,668205080757
0,1
c 0,1
c0 38
c1 0,1
c2 0,2
0 0,25
I0 10
65
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (16) resulta:
A
b
0,099 0,01 Yt 9,7975
Y t XIX
0,133641016 rt 1,6
r t 0,03
Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E 97,9529
XXI
10,0163
E
r
trA 0,2326 0
A 0,01353 0 XXII
0
66
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
IS
20
18
16 V1
14
12
10
rt
0
LM (m0)
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
Yt
IS
12
11
10 E
9
rt
LM (m0)
6
(Y0, r0)
5
70 75 80 85 90 95 100
Yt
67
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
100
95
90
Yt
85
80
Yt
75
0 10 20 30 40 50 60
t
10
8
rt
5
rt
0 10 20 30 40 50 60
t
68
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XXI), si
ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0 8 a
m1 9, el sistema (16) resulta:
A
b
Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y E1 98,1007
E XXVI
1
r 8,5529
E1
Mientras que los valores dados por (XXII) se mantienen invariables ante el incremento
del stock nominal de dinero.
En la figura XIV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXIV) tras el incremento
en el stock nominal de dinero en trminos logartmicos, teniendo como punto de partida
el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto
Y 97,9529
es: E 0 .
0
r0 10,0163
E0
10
9.5
rt
E1
LM (m1)
8.5
69
CIRO BAZN
8
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
IS
97.8 97.9 98 98.1 98.2 98.3 98.4
Yt
70
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
evolucin a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inters del sistema (XV).
Yt 98,101 0,136304 0,017 e 0,116t
(XXVII)
rt 8,553 1,464 0,029444t e
0,011 6t
98.1
98.08
98.06
98.04
yt
98.02
98
97.98
97.96
yt
97.94
0 10 20 30 40 50 60
t
rt
10
9.5
rt
8.5
0 10 20 30 40 50 60
t
71
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Conclusiones:
72
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
Hicks, J. (1937): Mr. Keynes and the Classics, Econometrica. Vol. 5, pp. 147-159.
73
Un modelo dinmico de oferta y demanda
agregadas1
Este sencillo modelo, que no incorpora la regla de Taylor para describir shocks de poltica
monetaria2, permitir analizar, por ejemplo, fluctuaciones macroeconmicas del producto,
de la verdadera inflacin, y de la inflacin esperada ante diversos shocks econmicos
(shocks de poltica fiscal, shocks de oferta, y shocks de poltica monetaria). En esta
seccin vamos a analizar este modelo lineal desde una perspectiva dinmica, bajo el
supuesto de que las expectativas de la inflacin se forman bajo un esquema de expectativas
adaptativas, y en un marco de una economa cerrada. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0,
se efecta una simulacin numrica de tres casos en los que el punto de equilibrio
estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento
dinmico del modelo es (una espiral, un nodo impropio, o un centro)
estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el anlisis de perturbaciones
externas no anticipadas (variaciones permanentes en el gasto pblico o en la tasa
impositiva exgena, cambios en el producto potencial debido a shocks tecnolgicos
exgenos, y variaciones en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria).
Supuestos del modelo:
1. Economa cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas.
2. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes
ecuaciones:
D t C t I t G
O t Yt (1)
D
O
t t
La primera ecuacin de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios,
D t , es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo,
C t , el gasto en inversin, I t , y el gasto pblico, G , que se considera
exgenamente dado. La segunda ecuacin nos dice que la oferta agregada de bienes
y servicios, O t , no es ms que la renta real (produccin agregada de bienes y
servicios), Yt . La tercera ecuacin de (1) no es ms que la condicin de
equilibrio dinmico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo la primera y
la segunda ecuacin en la tercera se obtiene que:
Yt Ct It G (2)
1
Este modelo se basa en Shone (2002) y (2003).
2
Mankiw (2005) analiza una versin dinmica, en tiempo discreto, de un modelo de oferta y demanda
agregadas en el que incorpora la regla de Taylor.
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Supondremos que los impuestos, Tt , son una funcin lineal de la renta. Esto es:
Tt Yt , 0 1 (4)
Ct c0 cYt Yt c0 c1 Yt (5)
I t Yt Tt Tt G C t Yt Tt C t Tt G S t St S t (7)
I Y Y c c1 Y Y G
t t t 0 t t
It 1 c1 Yt c0 Yt G
It s1 Yt c0 Yt G
S p riv ad o S p b lico
t
t
I s1 Y c Y G S , 0 s 1 c 1 (8)
t t 0 t t
privado
Dnde: S t es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta
It I0 i t et ; I 0 0 0 (9)
t
50
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Donde i t es la tasa de inters nominal, e
es la inflacin esperada, mide la
51
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
I0 c0 G c 1 c e
IS : it Yt t (10)
3. Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:
Ldt eYt i t , 0 0
Lt M t Pt
o
(11)
d
L t L t
o
ln eYt i t ln t ln M ln P Y i ln M ln P
M
(13)
t t t t t t
Pt
Si hacemos:
mt ln Mt 14
Entonces, la tasa de crecimiento instantneo del stock nominal de dinero ser:
Mt
mt 15
Mt
Asimismo, si hacemos:
pt ln Pt 16
52
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Entonces la tasa de crecimiento instantneo del ndice de precios (la tasa de
inflacin) nacional ser:
Pt
t p t
Pt
17
53
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt i t mt pt
mt p t
LM : i t Yt 18
4. Demanda Agregada (DA): Igualando (10) y (18) obtendremos la demanda
agregada, que representa el equilibrio simultneo en el mercado de dinero y en el
mercado de bienes y servicios:
1 0
2 0
b 3 0
b b
m
pt
I c G
Y 0 0 e
t
t
1 c1
t
1 c1
1 c1
DA : Y b b m p b e 19
t 1 2 t t 3 t
natural de desempleo3, U n .
Ley de Okun: Ut Un 2 Yt Yn ; 2 0 21
produccin asociado a U n .
OA : e
54
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt Yn ; 22
12
0
t t
nivel de p t , por lo que la curva de oferta agregada de largo plazo ser vertical en
Yn (en el plano t Yt ).
55
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t t et ;
e
0 23
La ecuacin (23) nos dice que los agentes econmicos revisan sus expectativas
e
hacia arriba, t 0, cuando en algn instante del tiempo la tasa de inflacin
El modelo completo viene dado por las ecuaciones (19), (22) y (23). No obstante,
vamos a reducirlo a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (las variables
endgenas de referencia: la produccin real y la inflacin esperada) tal como sigue:
Y t b 2 m t t b 3 t 25
De (22) se obtiene:
t et Yt Yn 26
Reemplazando (26) en (23) resulta:
e
t Yt Yn 27
Sustituyendo (22) y (27) en (25) se obtiene:
Y t b2 m t et Yt Yn b3 Yt Yn
Y t b 3 b 2 Yt b et b 2 m t b 3 b 2 Yn 28
2
56
CIRO BAZN
t 0TPICOS MACROECONOMA
t EN DINMICA
Yn
A X
b
X
57
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
Ahora vamos a realizar el anlisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo
siguiente:
trA b3 b2
A b 2 0 30
trA 4 A b3 b 2 4 b 2
2 2
Dado que A 0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del
Y 1
e A b
Y Y
e 31
n
m t
m t
Por tanto, por (33), en el equilibrio estacionario, la produccin real viene dada por el nivel
natural del producto y la inflacin verdadera coincide con la tasa de crecimiento
instantnea del stock nominal de dinero.
De acuerdo a los signos asumidos de todos los parmetros del modelo, en este modelo
podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los
que el sistema sea estable [siempre que trA 0 ]. Los casos en cuestin son:
trA b3 b 2 0 b 3 b 2
Caso 1: Espiral: A b 2 0 34
2 2
trA 4 A b 3 b 2 4 b 2 0
58
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El polinomio caracterstico viene dado por:
p A I 2 trA A 0 35
59
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dado que:
0 36
Por tanto:
t rA t rA t rA i t rA
1 i i
2 2 2 2 2 37
t rA t rA t rA i t rA
i i
2 2 2 2 2
2
Dnde:
t rA b b
2 0
3 2
2
4 b b b 2
0 38
2 3 2
2 2 2
2 2
A b 2 0
En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa, 0, entonces
tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinmico es una espiral estable
(convergente).
El autovector v1 asociado a 1 i se calcular a partir de:
v1
b3 b 2 i b 2 a 0
39
i b 0
De la segunda ecuacin del sistema (39) se tiene que:
ib
a
40
La ecuacin (40) tambin se puede obtener a partir de la primera ecuacin del sistema
(39), pero esto no lo vamos a demostrar aqu.
Haciendo b tenemos que:
i b3 b 2 4 b 2 b3 b 2
2
i
v1 2 2 41
60
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El autovector v 2 asociado a 2 i ser el conjugado de v1 , esto es:
i b3 b 2 4 b 2 b 3 b 2
2
i
v 2 2 2 42
61
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora, para entender los mecanismos de transferencia del modelo, vamos a bosquejar el
retrato de fase del mismo, determinando las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones
diferenciales (29). Esto es:
Y t b b Y b e b m t Y b b 0
43
3 2 t 2 t 2 n 3 2
e
t Y Y 0
t n
De donde la ceroclina Y t 0, viene dada por:
b 3 b 2
Y b b 2
e Yt m t n 3
t
b2 b2
et 1Yt m t 1Yn 44
e
Mientras que la ceroclina t 0, viene dada por:
Yt Yn 45
e Y ) en m t 1Y 0 siempre que m t 0. Adems, si estando en un punto de la
t t n
ceroclina Yt 0 como el punto A, la tasa de inflacin esperada aumenta y el nivel de
tal como se aprecia en la figura 1, las lneas de fuerza dinmicas sern horizontales y en
sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las lneas de fuerza
dinmicas sern horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha regin
del plano de fase se verifica que Y t 0.
62
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
et
et B B
Yt 0
A
et A
Yt 0 Yt 0
Yt
YA YB
Figura 1: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de renta real
e
A continuacin vamos a graficar la ceroclina t 0. De (45), por los supuestos
adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una lnea recta vertical que corta al eje de la
produccin real en Yn . Adems, de la primera ecuacin del sistema (43), para valores
e
Yt
Y Yn
63
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e E
e0 I
Y Yn Y0 Yt
Suponiendo que el estado inicial de la economa se sita en el punto I del plano de fase,
de acuerdo a las lneas de fuerza dinmicas, la economa evolucionar a lo largo de la
senda de fase (espiral) y converger en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario
E. En el corto y mediano plazos, tanto la produccin real como la tasa de inflacin
esperada tendrn un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores
de equilibrio estacionarios.
64
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
El comportamiento de la renta (produccin agregada) y de la tasa de inflacin esperada
vienen dados por:
Y Y b3 b2
4 b b b 2
t
e t
2
t h cos 2 3 2
e 1
e
2
t
4 b b b
2
h sen t 46
2 3 2
2
2
Dnde:
h1 k1 v1 k 2 v 2
47
h 2 k1 v1 k 2 v 2 i
k 1 k 2 k 1 k 2 i
h 1
k 1 k 2
k 1 k 2 k 1 k 2 i 48
h 2
k 1 k 2 i
Si suponemos que el estado inicial, t 0, de la economa viene dado por Y , e ,
0 0
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (46), se tiene que:
Y Y
h 0
e e
49
1
0
Igualando (49) con la primera ecuacin de (48) se tiene:
e0 e
k 1 k2
65
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e 50
e
Y0 Y 0
k k i
1 2
66
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
h 2
Y Y
e e
51
0 0
h
52
Y Y e e
2
0 0
4b b b 2
0
53
2 3 2
h
2Y Y b b e e
2
0 3 2 0
4b 2 b 3 b 2
2
2
t
Y Y cos 4 t
Yt Y e
0 2
b 3 b 2 Y0 Y 2b 2 4 b 2 b 3 b 2
sen
54
b 3 b 2 e
2
t
e
0
4 b 2 2
2
b 3 b 2
2
t
67
e e cosTPICOS b3MACROECONOMA
4 b2 EN b 2
CIRO BAZN
2
t 55
DINMICA
te e e
0 2
2Y0 Y b3b 2 0 4 b 2 b3b 2 t
b3 b 2 e e 2
sen
4 b2 2
2
Dnde Y y e vienen dados por (33), mientras que b y b vienen dadas por (19).
2 3
68
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt
Y0
Yn
et
e0
69
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, en la figura 6 se aprecia que tras el incremento de la tasa de crecimiento
instantnea del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocar
un incremento en la tasa de inflacin esperada y la renta real (producto agregado)
permanecer invariable en su nivel natural. En consecuencia, en el largo plazo, la
perturbacin monetaria producir un mayor nivel de inflacin esperada y no tendr efectos
sobre la renta real (producto agregado).
et
et 0
Y t 0 m0
B
1e
E1
E0
0e
Y t 0 m1
Y Yn Yt
70
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento de la tasa instantnea del stock nominal
de dinero, la economa, partiendo del punto E0, converger en el largo plazo al punto E1
siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede
apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1,
tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantnea de la inflacin
esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera
oscilatoria. Adems, tras el incremento de la tasa instantnea del stock nominal de
dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreaccin
(overshooting4) tanto de la tasa de inflacin esperada (Punto B) como de la renta real
(punto A) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo.
supuestos adoptados en este caso seguir siendo positiva). Por tanto, debido al
decremento en Yn , la ceroclina Y t 0 se desplazar hacia abajo (hacia la izquierda) sin
En la figura 7 se puede apreciar que tras el decremento de la renta real natural (producto
potencial) ceteris paribus, en el largo plazo, se provocar un decremento en la renta real
(producto agregado) y la tasa de inflacin esperada permanecer igual al valor que sta
tena antes del shock de oferta negativo. En consecuencia, en el largo plazo, el shock de
oferta negativo producir un producto agregado por debajo del producto potencial y no
tendr efecto sobre la inflacin esperada.
71
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
4
Se dice que una variable endgena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio
exgeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo
plazo.
72
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
et
et 0 Yn0
A
Y t 0 Yn1
E1
1e 0e E0
e 0 Y1
Y 0 Y0
t n t n
Yt
Y1 Yn1 Y0 Y 0
n
73
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
incrementar tras el shock de poltica fiscal ya que por (19), al subir permanentemente
G, y al caer permanentemente , en t 0 , los parmetros b1 , b 2 , y b 3 se incrementarn.
E 0 E1
1e 0e I
Yt
Y Yn Yt 0
74
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran
resumidos en la tabla I.
Parmetros Valores
0,05
0,05
0,1
c 0,8
c0 5
0,8
1,5
I0 10
Tabla I: Valores de los parmetros simulados
En la tabla II se muestran los valores de las variables exgenas en el instante inicial.
Estos valores se han elegido de forma arbitraria.
Variables exgenas Valores
m0 0,05
Yn 1
0,3
G 5
Tabla II: Valores iniciales de las variables exgenas
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (29) resulta:
A
b
2,741 3,704 Yt 2,926
Y t I
e e
1,2 0 1,2
t t
e
t t
II
t
0 Yt Yn 1
Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y Yn Yn 1
III
75
m t 0,05
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
76
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema dado por (I).
0.1 Yt' = 0
0.09
0.08
0.07
Inflacin Esperada
0.06
E
0.05
0.04
0.03
0.02
e ' 0
t
0.01
0
0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
Renta Real
0.16
0.14
0.12
Inflacin Esperada
0.1
0.08
0.06
E
0.04
0.02
I
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Renta Real
m 0 0,05
Figura II: Diagrama de fase del sistema
77
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1.5
1.4
1.3 Yt
Yt
1.2
1.1
0.9
0 5 10 15 20 25 30
t
0.45
Inflacin Esperada
0.4 Verdadera Inflacin
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura III: Evolucin temporal de la renta real (produccin agregada), de la
inflacin esperada y de la verdadera inflacin
78
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e
Y t 0 0,74Y 0,83
t t
VIII
e
t 0 Y Y 1
t n
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VIII) vendr dado por:
Yn 1
E IX
1
m1 0,09
Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento de
la tasa de crecimiento instantnea del stock nominal de dinero.
79
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.12
et ' 0
Yt ' 0 m 0
0.11
0.1
E1
Inflacin Esperada
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
E0 Yt ' 0 m1
0.04
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2
Renta Real
m1 0,09
Figura IV: Diagrama de fase del sistema
Sustituyendo los parmetros (con m1 0,09 ), E0 y E1 en (54) y (55) obtenemos la
evolucin a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflacin esperada del
sistema (VII).
Yt 1 0,092e 1,37t sen 1,602t
(X)
80
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1.1
1.08
Yt
1.06
1.04
1.02
1
Yt
0.98
0.96
0.94
0.92
0.9
0 5 10 15 20 25 30
t
0.12
Inflacin Esperada
Verdadera Inflacin
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura V: Evolucin temporal de la renta real, de la inflacin esperada y de la
verdadera inflacin tras el shock de poltica monetaria expansiva
81
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de
equilibrio dado por (III), si ahora disminuimos la renta real natural (producto potencial),
ceteris paribus, pasando de Yn0 1 a Y1n 0,5, el sistema (29) resulta:
A
b
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Yn1 0,5
E XIV
1 0,05
m 0
Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el decremento de
la renta real natural (producto potencial).
En la figura VI se muestra el diagrama de fase del sistema (XIII) tras el decremento de
la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida el punto de
equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:
E 0 Yn0 ; m 0 1;0,05.
Y ' 0 Y ' 0 Y Yt ' 0 Yn t ' 0 Yn
0.2 1 e 1 0 e 0
t n t n
0.18
0.16
0.14
Inflacin Esperada
0.12
0.1
0.08
0.06
E1 E0
0.04
0.02
82
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0
83
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.9
0.8 Yt
0.7
Yt
0.6
0.5
0.4
0 5 10 15 20 25 30
t
0.5
Inflacin Esperada
0.45 Verdadera Inflacin
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura VII: Evolucin temporal de la renta real, de la inflacin esperada y de la
verdadera inflacin tras el shock de oferta negativo
84
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin del Shock de poltica fiscal: Tomando como punto de partida el punto de
equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva,
pasando de 0 0,3 a 1 0,2 y simultneamente aumentamos el gasto pblico, de
e
t t
XVIII
t
0 Yt Yn 1
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XVIII) vendr dado por:
Yn 1
E E XIX
1 0,05 0
m
0
Mientras que los valores dados por (34), tras el shock de poltica fiscal, ahora sern:
trA 3,217 0
A 5,217 0 XX
10,518 0
Para hallar el valor de la renta real tras el shock de poltica fiscal, Yt 0 , vamos a utilizar
la ecuacin (19). Primeramente, vamos a despejar de (19) los saldos reales (en trminos
logartmicos), teniendo presente que antes del shock de poltica fiscal (que se da en el
instante t 0 ) la economa se encuentra en equilibrio, esto es:
b b
Y b b m p e
Y b b m p m0
1 2 t0 t0 3 n 1 2 t0 t0 3
Y b b m 0
m t0 p t0 n 1 3 XXI
b2
85
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En el instante t 0 en el que se produce el shock de poltica fiscal, la inflacin esperada
permanecer invariable, e m 0 0,05; y el valor de la renta real Yt 0 Yn , ya que al
(19), en t 0 , tendremos:
Yt 0 b I b II m t 0 p t 0 b III m 0 XXII
86
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yn b1 b 3 m 0
Y b b b m XXIII
t0 I II III 0
b2
En la figura VIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XVII) tras el shock de
Yt 0 3,348
poltica fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I .
m0 0,05
Yt ' 0 et ' 0
0.6
0.5
Inflacin Esperada
0.4
0.3
0.2
0.1
E0 = E1 I
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Renta Real
Figura VIII: Diagrama de fase del sistema tras shock de poltica fiscal
Sustituyendo los parmetros (con 1 0,2 y G1 6 ), y E1 en (54) y (55) obtenemos la
88
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
3.5
2.5
Yt
2
Yt
1.5
0.5
0 5 10 15 20 25 30
t
2
Inflacin Esperada
1.8 Verdadera Inflacin
1.6
1.4
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura IX: Evolucin temporal de la renta real, de la inflacin esperada y de la
verdadera inflacin tras el shock de poltica fiscal
89
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
trA b3 b 2 0 b3 b 2
Caso 2: Nodo Impropio: A b2 0 57
trA 4 A b3 b 2 4 b 2 0
2 2
trA2 0 trA2 0
trA 0 trA 0 58
0 trA trA 59
Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del
discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de
equilibrio del sistema dinmico es un nodo impropio estable (convergente).
El autovector v1 asociado a 1 se calcular a partir de:
v1
b3 b2 1 b2 a 0
62
1 b 0
90
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
b3 b2
1 a bb2 0 b b3 b 2 1 a 63
b2
La ecuacin (63) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (62),
pero esto no lo vamos a demostrar aqu.
91
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
b2
v1 64
b 3 b 2 1
b2
v 2 66
b 3 b 2 2
Para este caso, las expresiones (44) y (45) de las ceroclinas correspondientes al caso 1
siguen siendo vlidas, al igual que las lneas de fuerza dinmicas que se bosquejaron en
las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de
la tasa de inflacin esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase
se obtiene la figura 9, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse
en este modelo dinmico, las trayectorias de fase son tangentes a la lnea de
accin del autovector V1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solucin general
E 1t
2 t
2
X t X k1e V1 k 2 e V donde 1 y 2 son autovalores reales, distintos y negativos, y
93
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De particular inters es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 ,
entonces k2 0 y el sistema se mueve a lo largo de la lnea de accin del autovector V1
I
e0
E v2
e
v1
Y0 Y Yn Yt
94
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
Yt Y
t
k e 1
2
k e 2
t 2
68
e
t
1 2
2 1
e
De donde:
Yt Y k 1b 2e1t k 2b 2e2t
69
t t
t k 1 2e 1 k 2 1e 2
e e
1 Y Y0 b 2e0 e
1
k
Y Y k b k b b
0 2 2 1
1 2 2 2
e 70
k k Y Y b e e
e
0 1 2 k
2 1 2 0 2 0
2 b
2 1 2
e
e
e e
2
t
2 1 1 2
Y Y b 2 Y Y0 b 2 0
e t e t
72
e e 1
1
e e e e
2
2
0 2 0
b b
t 1
2 2 1 2 1 2
95
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dnde Y y vienen dados por (33), mientras que y vienen dados por (61).
e
1 2
96
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt
97
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
et
E0
0E
1E E1
Y t 0 m 0
Y t 0 m1
e
t 0
Yn Yt
Figura 12: Retrato de fase de la economa tras poltica monetaria contractiva
Efectos de corto y mediano plazo:
En la figura 12 se aprecia que, tras la poltica monetaria contractiva, la economa,
partiendo del punto E0, converger en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria
de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano
plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto
agregado) como la tasa de inflacin esperada convergen a sus respectivos valores de
equilibrio de largo plazo. Adems, en este caso, tras el decremento en la tasa de
crecimiento instantnea del stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se
observa el fenmeno de overshooting en la renta real respecto de su valor de equilibrio
de largo plazo.
98
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
supuestos adoptados en este caso seguir siendo positiva). Por tanto, debido al
decremento en Yn , la ceroclina Y t 0 se desplazar hacia abajo (hacia la izquierda) sin
estacionario que alcanzar la economa en el largo plazo ser el punto E1 de la figura 13.
et
t 0 Yn1 Y t 0 Y0
A
n
1E 0E
E1 E0
e
Y t 0 Yn1 t 0 Yn0
1
Yt
0
Yn Yn
e
Dado que las ceroclinas Y t 0, y t 0 no se ven afectadas por el shock de poltica
fiscal, en consecuencia, el punto de equilibrio de la economa seguir siendo el mismo
que haba antes de dicho shock, esto es: E0 = E1, tal como se aprecia en la figura 14.
incrementar tras el shock de poltica fiscal ya que por (19), al subir permanentemente
G, y al caer permanentemente , en t 0 , los parmetros b1 , b 2 , y b 3 se incrementarn.
100
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
et
A
B
et 0
E 0 E1
1e 0e I
Yt 0
Yt
Y Yn Yt 0
101
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan todos los supuestos adoptados. Dichos valores se
encuentran resumidos en la tabla III.
Parmetros Valores
0,05
0,05
0,1
c 0,8
c0 10
5
1
I0 10
e
t t
XXVII
t 0 Yt Yn 1
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
102
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yn 1
E XXVIII
m 0 0,09
103
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.18
0.16
0.14
Inflacin Esperada
0.12
0.1
E
0.08
V2
0.06
V1
0.04
0.02
0
0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04
Renta Real
104
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.2
Yt ' 0 et ' 0
0.18
0.16
0.14
Inflacin Esperada
0.12
0.1
X0
E
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04
Renta Real
Figura XI: Diagrama de fase del sistema m 0 0,09
105
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.995
Yt
0.99
Yt
0.985
0.98
0 5 10 15 20 25 30
t
0.12
Inflacin Esperada
Verdadera Inflacin
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 5 10 15 20 25 30
t
106
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin del shock de poltica monetaria: Tomando como punto de partida el punto
de equilibrio estacionario dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la tasa de crecimiento
instantnea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de
m 0 0,09 a m1 0,04 el sistema (29) resulta:
A b
17,593 3,704 Yt 17,741
Y t XXXII
5 e 5
0
e
t t
e
t t
XXXIII
t 0 Y Y 1
t n
Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Yn 1
E XXXIV
1
m1 0,04
Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento
de la tasa de crecimiento instantnea del stock nominal de dinero.
En la figura XIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXII) tras el decremento
en la tasa de crecimiento instantnea del stock nominal de dinero, teniendo como punto
de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir dicha tasa, esto es:
Y0 1
E0 e .
0 0,09
107
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e ' 0
0.1
t
E0
0.09
0.08
0.07
Inflaci'on Esperada
0.06
0.05
0.04 E1
0.03
0.02
0.01
Yt ' 0 m1
Yt ' 0 m 0
0
Figura XIII: Diagrama de fase del sistema m1 0,04
Sustituyendo los parmetros (con m1 0,04 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la
evolucin a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflacin esperada del
sistema (XXXII).
En la figura XIV se aprecia la evolucin temporal del sistema (XXXII) junto con la
verdadera inflacin, dada por (XXXVI), tras la disminucin de la tasa de crecimiento
del stock nominal de dinero, ceteris paribus, teniendo como punto inicial a
E0 1; 0,09.
108
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.998
0.996
Yt
Yt
0.994
0.992
0.99
0 5 10 15 20 25 30
t
0.1
Inflacin Esperada
Verdadera Inflacin
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0 5 10 15 20 25 30
t
109
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de
equilibrio dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la renta real natural (producto
potencial), ceteris paribus, pasando de Yn0 1 a Yn1 0,5, el sistema (29) resulta:
A
b
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Yn1 0,09
E XXXIX
1 0,5
m 0
Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento
de la renta real natural (producto potencial).
En la figura XV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXVII) tras el
decremento de la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida
el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:
E 0 Yn0 ; m 0 1;0,09.
0.25 e
1
t ' 0 Yn Y ' 0 Y 0
t n
0.2
Inflacin Esperada
0.15
0.1
E0
E1
0.05
Y ' 0 Y1
e ' 0 Y 0
t n t n
110
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Renta Real
Figura XV: Diagrama de fase del sistema tras shock de oferta negativo
111
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.9
0.8
Yt
Yt
0.7
0.6
0.5
0 5 10 15 20 25 30
t
2.5 Inflacin Esperada
Verdadera Inflacin
1.5
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Figura XVI: Evolucin temporal de la renta real, de la verdadera inflacin, y de la
inflacin esperada tras el shock de oferta negativo
112
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin del shock de poltica fiscal: Tomando como punto de partida el punto de
equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva,
pasando de 0 0,3 a 1 0,25 y simultneamente aumentamos el gasto pblico, de
19 4 Yt 19,36
Y t XLII
5 e 5
0
e
t t
e
t t
XLIII
t
0 Yt Yn 1
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XLII) vendr dado por:
Yn 1
E E XLIV
1 0,09 0
m
0
Mientras que los valores dados por (57), tras el shock de poltica fiscal, ahora sern:
trA 19 0
A 20 0 XLV
281 0
se incrementarn y sus nuevos valores los denotaremos por b I , b II , y b III . Utilizando los
parmetros y variables exgenas de las tablas III y IV, hallamos b1 , b 2 , y b 3 antes del
shock de poltica fiscal. Empleando los valores de las tablas III y IV con 1 0,25 y
G1 5,25 , determinamos b I , b II , y b III . Reemplazando b1 , b 2 , b 3 , b I , b II , b III , y m 0 en
0
(XXIII) se obtiene Yt
113
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
4,82.
En la figura XVII se muestra el diagrama de fase del sistema (XLII) tras el shock de
Yt 0 4,82
poltica fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I .
m 0 0,09
114
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0.9
0.8
et ' 0
0.7
Inflacin Esperada
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
E0 = E1 I
0 Yt ' 0
Figura XVII: Diagrama de fase del sistema tras shock de poltica fiscal
Sustituyendo los parmetros (con 1 0,25 y G1 5,25 ), y E1 en (71) y (72) obtenemos
115
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
4.5
3.5
3 Yt
Yt
2.5
1.5
1
0.5
0 5 10 15 20 25 30
t
20
Inflacin Esperada
18 Verdadera Inflacin
16
14
12
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
116
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
trA b3 b 2 0 b 3 b 2 1
Caso3: Centro A b 2 0 73
2
trA 4 A 4 b 2 0
2 2 2 74
t rA t rA i t rA
i i i
2 2 2 2
2
Dnde:
t rA
2 0
75
b 0
2 2 2
En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula, 0, entonces tenemos
que el punto de equilibrio del sistema dinmico es un centro marginalmente estable.
El autovector v1 asociado a 1 i se calcular sustituyendo la primera condicin de
El autovector v 2 asociado a 2 i ser el conjugado de v1 , esto es:
i b 2 i
v 2 77
Reemplazando la primera condicin de (73) y 0 en (43) obtenemos las ceroclinas
del sistema:
117
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e
t 0 : b 2 m t t 0 t m t
e
Y
(78)
e
t 0 : Yt Yn 0 Yt Yn
118
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A continuacin vamos a graficar la ceroclina Y t 0 en el plano de fase et Yt . De la
primera ecuacin de (78), se aprecia que esta ceroclina es una lnea recta con pendiente
nula, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la inflacin
esperada) ser igual a m t 0. Adems, si estando en un punto de la ceroclina Y t 0
como el punto A de la figura 15, la inflacin esperada aumenta y el nivel de renta
permanece constante, pasando a un punto encima de la ceroclina Y t 0 tal como el
et
eB B
A
mt
e Yt 0
Yt
YA YB
Figura 15: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de renta real
e
Por otro lado, de la segunda ecuacin de (78), se puede apreciar que la ceroclina t 0,
en el plano de fase te Yt , es una recta vertical que corta al eje de la renta real en Yn .
119
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e
et t 0
Yt
Yn
Figura 16: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de renta agregada
120
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
h1
k 1 k 2
b k k 81
h 2 2 1 2
k 1 k 2 i
Si suponemos que el estado inicial, t 0, de la economa viene dado por Y , e ,
0 0
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (79), se tiene que:
Y0 Y
h 82
1 e e
0
Igualando (82) con la primera ecuacin de (81) se tiene:
e0 e
k1 k 2
83
k 1 k i Y0 Y
2
b 2
h 2 84
b Y Y
121
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2 0
b2
122
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2 0
e e e e cos b t b Y Y sen
2 0
b t 86
t 0 2 2
b2
Dnde Y y vienen dados por (33), mientras que b 2 viene dada por (19).
e
Yt
Y0
Yn
et
e
e0
123
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
124
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso III, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran
resumidos en la tabla V.
Parmetros Valores
0,05
0,5
0,1
c 0,8
c0 5
0,8
2
I0 10
Tabla V: Valores de los parmetros simulados
En la tabla VI se muestran los valores de las variables exgenas en el instante inicial.
Estos valores se han elegido de forma arbitraria.
Variables exgenas Valores
m0 0,09
Yn 1
0,3
G 5
Tabla VI: Valores iniciales de las variables exgenas
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (29) resulta:
A
b
0 0,444 Yt 0,04
Y t XLVIII
e e
1,6 0 1,6
t t
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
Y Yn Yn 1
L
e
m t 0,09
125
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Mientras que por (73), tenemos que:
trA 0
A 0,711 0 LI
2,844 0
126
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura XIX se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema (XLVIII).
et ' 0
0.5
0.4
0.3
0.2
Inflacin Esperada
0.1
E Yt ' 0
-0.1
-0.2
-0.3
0.4
Y ,
0
e
0
0.3
0.2
Inflacin Esperada
0.1
E Yt ' 0
-0.1
-0.2
-0.3
127
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1.15
1.1
1.05
1
Yt
0.95
0.9
0.85
Yt
0 5 10 15 20 25 30
t
0.3
0.2
0.1
-0.1
-0.2
Inflacin Esperada
Verdadera Inflacin
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura XXI: Evolucin temporal de la renta real (produccin agregada), de la
inflacin esperada y de la verdadera inflacin
128
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
129
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
130
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
108
Modelo de inflacin en una economa cerrada
En este captulo analizamos un modelo dinmico de inflacin en una economa cerrada en
la que nicamente existen dos mercados: un mercado de bienes y servicios y un mercado
de dinero. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, se efecta una simulacin numrica de tres
casos en los que el punto de equilibrio estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales
que describe el comportamiento dinmico del modelo es (una espiral, un nodo impropio,
o un centro) estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el anlisis de
perturbaciones de carcter nominal (incrementos en el stock nominal de dinero).
Supuestos del modelo:
ln M t Pt
3
i t
Mt
ln
ln Y e it ln Y i
t t t
Pt
ln M t ln Pt ln Yt i t 4
Si hacemos:
y t ln Yt 5
Entonces, la tasa de crecimiento instantneo de la produccin (crecimiento
econmico) ser:
y t Y t Yt 6
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Si hacemos:
m t ln M t 7
Entonces, la tasa de crecimiento instantneo del dinero ser:
Mt
m t 8
Mt
Asimismo, si hacemos:
p t ln Pt 9
Entonces la tasa de crecimiento instantneo del ndice de precios (inflacin)
nacional ser:
p Pt 10
t
Pt
Reemplazando (5), (7), y (9) en (4) se tiene que el mercado de dinero viene
caracterizado por una tpica curva LM:
LM : m t p t yt i t 11
2. Se supone que existen expectativas racionales sobre la inflacin. Adems, dado que
este modelo es determinista, el supuesto de expectativas racionales equivale a suponer
previsin perfecta1 sobre las expectativas de inflacin. Es decir, supondremos que la
economa est poblada por agentes racionales con previsin perfecta. Este supuesto
implica que la tasa esperada de crecimiento instantneo del
ndice de precios (expresado en trminos logartmicos) sea igual al verdadero valor
de la tasa de crecimiento instantneo del ndice de precios (expresado en trminos
logartmicos). Esto es:
p dln P dt P P
t
p ln P t e
12
t
t t t
Si p p
e
t t
e
p e ln P e
p d ln P dt P P
e e
t t
t t t t
110
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
La previsin perfecta implica que el error de prediccin de los agentes racionales es nulo en cada
instante del tiempo. Esto es, ante una perturbacin, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y
de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.
111
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Si hacemos:
y t ln Yt 14
Entonces la tasa de crecimiento instantnea del nivel de produccin de pleno
empleo ser:
Yt
y 15
t
Yt
Por tanto, reemplazando (5) y (14) en (13) se tiene:
p t y t y t 16
Dnde es la velocidad de ajuste, no instantnea, del ndice de precios (en
trminos logartmicos) ante las diferencias entre el nivel de produccin y el nivel de
produccin a pleno empleo (expresadas en trminos logartmicos). La ecuacin
(16), una versin dinmica de la curva de Phillips, determina la inflacin y nos dice
que si el nivel de actividad econmica se encuentra por encima del nivel de
equilibrio, y t y t , entonces los precios se elevarn (inflacin por demanda: el
exceso de demanda por bienes y factores har que se incrementen los costos y los
precios).
4. La demanda agregada, se supone que es afectada inversamente por la tasa de inters
nominal y directamente por la tasa esperada de crecimiento instantneo del ndice
de precios (inflacin esperada)2.
e
e
0 1 i t P t Pt
IS : Ytd e
17
t
esperada de cambio instantneo del ndice de precios, y P t P e es la tasa esperada
ln Ytd
1 18
i t
Aplicando logaritmos neperianos a (17) resulta:
e e
1 it P t Pt
ln Y ln e
0
t
d
19
112
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
Este modelo difiere de la versin dinmica del modelo IS-LM por dos razones: En primer lugar, en el
modelo IS-LM los precios permanecen rgidos en el tiempo mientras que aqu no. En segundo lugar, en el
modelo IS-LM dinmico la demanda agregada no depende de las expectativas de inflacin, mientras que
en este modelo s.
113
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e
e
20
ln Ytd 0 1 i t P t Pt
Si hacemos:
y dt ln Ytd 21
Entonces la tasa de crecimiento instantnea de la demanda agregada de bienes y
servicios ser:
d
d Yt
y 22
t d
Y t
23
y dt 0 1 i t p t
real, rt i t p t .
114
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En este modelo las variables exgenas son: 0 , m t , y t . Mientras que las variables
d
endgenas son: y t , p t , i t , yt . Para resolver este modelo vamos a suponer que las
Para obtener las dos ecuaciones diferenciales que van a determinar el comportamiento
dinmico de nuestra economa, tenemos que sustituir en las ecuaciones de ajuste de las
variables endgenas de referencia [nivel de precios (16) y nivel de produccin (25)
expresados en logaritmos neperianos] el resto de variables endgenas [la tasa de inters
(obtenida a partir de (11) y el nivel de demanda agregada (23) expresada en trminos
logartmicos]. En el caso de la ecuacin diferencial para el nivel de precios (en trminos
logartmicos), no aparecen dichas variables, por lo que la primera ecuacin diferencial
es exactamente igual a la ecuacin (16) que proporciona el modelo, esto es:
p t y t y t 26
y t 0 1 1
y t 1 pt
1y t y t
1 1 1
115
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y t p t 1 1 y t 0 m 1 y t 30
t
116
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t
y t
1
y t
1
A
b
0 y t
p t p t 32
1 y t 0
1 1
1
y 1 m t 1 y t
t
Anlisis cualitativo
p 0 m t y 0 m 0 y
E 0
34
t
t t
1 1
1 1
yE 0 yt 0
0
m t y t
y t
35
1 1
117
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora vamos a realizar el anlisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo
siguiente:
1
trA 1 1 1 2
1
A 1 2 0 36
2
trA2 4 A 2 1 1 1 4 1
118
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dado que hemos asumido que todos los parmetros del modelo son positivos, entonces en
este modelo podemos encontrar cuatro casos en los que el sistema sea estable. Aqu
analizaremos tres casos, a saber:
1
trA 1 1 1 2 0
Caso1: Espiral A 1 2 0 37
1
2
trA2 4 A 2 1 1 1 4 1
0
p A I 2 trA A 0 38
39
2 2
Dado que:
0 40
Por tanto:
trA trA trA i trA
1 i i
2 2 2 2
2
41
trA trA trA i trA
2 i i
2 2 2 2 2
Dnde:
1
1
1
t rA
2 0
2
2
1
2
1
1 42
4
2 2
119
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
0
2
2 2 A 1 0
120
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa, 0, entonces
tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinmico es una espiral estable
(convergente).
El autovector v1 asociado a 1 i se calcular a partir de:
v1
a 0
1
1 1 i b 0
43
1
De donde:
i i
i a b 0 a b ba b 44
i i i 2 2
La ecuacin (44) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (43):
a 1 i b 0 45
1 1
2 2
2 2
121
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
48
v1
1
21 21
1
122
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El autovector v 2 asociado a 2 i se calcular a partir de:
v2
c 0
1
1 1 i d 0
49
1
De donde:
i i
i c d 0 c d dc d 50
i i i 2 2
La ecuacin (50) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (49):
c 1 i d 0 51
1 1
2 2
2 2
2
i
2
v 2 2
53
2
1
v 2
1
21
1
123
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
21 54
Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a
partir del sistema de ecuaciones (32). Esto es:
p y y 0
t t t
1 1 1 55
y t p t 1 1 y t 0 m t 1 y t 0
124
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde la ceroclina p t 0 viene dada por:
yt yt 56
Mientras que la ceroclina y t 0 viene dada por:
A 0
tr
1
1 1
y
pt m t y t
0
t 57
1 1
1 1
Multiplicando ambos lados de la desigualdad (58) por 0 se cumple que:
1
0 0 59
1 1
y t yE y t 61
Por tanto, de (61), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta
al eje de la produccin (en trminos logartmicos) en y E . Adems, de la primera
ecuacin del sistema (55), para valores de y t y E , a la derecha de la recta vertical, que
125
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
valor del ndice de precios en trminos logartmicos ir aumentando, lo cual es
representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta
126
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt pt 0
yt
yE
ceroclina es una lnea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto
con el eje vertical (eje del ndice de precios expresado en logaritmos neperianos) ser
positivo, de acuerdo a (60). Adems, si estando en un punto de la ceroclina y t 0
punto B en la segunda ecuacin del sistema (55), al haber aumentado el valor del ndice
de precios en trminos logartmicos, se verifica que en un punto encima de dicha
ceroclina, tal como el punto B, y t 0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el
Por otro lado, tal como se aprecia en la figura 2, encima de la ceroclina y t 0, al ser
128
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt
pB B
EOBy S: yt 0
A
pA
yt 0
EDBy S: yt 0
yt
yA y B
Figura 2: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de produccin en trminos
logartmicos
pt pt 0
EOBy S
EOBy S
pE
E EOBy S
EDBy S
EDBy S
p0 yt 0
I
yt
E
y
y0
129
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
1
1 4
1 2
1
1
1 1 2
p p E
t
t
e h 1 cos t
E
2
t
y y
2
2
1 2
1
1
4
1
h 2 sen t
62
2
Dnde:
h1 c1 v 1 c 2 v 2
63
h 2 c1 v1 c 2 v 2 i
c1 c 2
2 64
c c 1 1
c c i
1 1
h 1 2
1 2
2 1 21 21
c1 c 2 i
130
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Si suponemos que el estado inicial, t 0, de la economa viene dado por p 0 , y0 ,
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (62), se tiene que:
p p E
h 0 65
E
y 0 y
1
131
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
0 0
1 1
2
1 1
1
21
h 2 67
1 1
y y E p p E
2
1
0 0
2
1 1
1
21
1
1
cos
t
pE t
p pE e 2
p
t
0
2
2
132
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y yE 1 1
p
pE
4
1
2
1
1
0 0 1
1 2
sen 68
1
t
2
2
1 1
1
2 1
133
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1
2
1 2
1
4 1
t 1
1
y E cos
t
y y e E 2 y
t
0
2
2
1 1
y
y E p p E 4
1
2
1
1
0 0 1
2 69
1
sen t
2
2
1
1
1
2 1
Dnde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (68) y (69) en (27) obtenemos el
pt
pE
p0
134
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la produccin en logaritmos
neperianos a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la produccin es
oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.
135
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
yt
y0
yE
t
Figura 5: Comportamiento de la produccin en trminos logartmicos a lo largo
del tiempo
Efectos de un incremento del stock nominal de dinero en trminos logartmicos
Si estando la economa en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se
produce un incremento en el stock nominal de dinero, en logaritmos neperianos,
entonces la nica ceroclina que se ver afectada ser la ceroclina y t 0, ya que la
p E
m t 1 70
y E 0
136
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
m t
137
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p 0E
E0 y t 0 m 0
yt
y 0E y1E y
138
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (37). Dichos valores se
encuentran resumidos en la tabla I.
Parmetros Valores
0,2
0,02
0,5
0,02
1 90
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (32) resulta:
A
b
0,02 p t 4
p t
0
I
y 36 0,56 y t 4028
t
p 0 0,02 p t 4 0 p 0 y 200
t
t t
II
y 36 0,56 yt 4028 0 y 0 p 0,015y 111,8
t t t t
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
p E 108,7
E III
y 200
Mientras que por (37), tenemos que:
139
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
trA 0,56 0
A 0,72 0 IV
2,5664 0
140
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
400
300
-100
-200
-300
-400
pt ' =0
-500
400
300
yt ' =0 (m0=100)
200
100
E
0
pt
-100
-200
-300
-400
-500
pt ' =0
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000
yt
141
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt
500
400
300
pt
200
100
0 5 10 15 20 25 30
t
5000
0
yt
-5000
yt
-10000
0 5 10 15 20 25 30
t
142
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A
b
0,02 p t 4
p t
0
VI
y 36 0,56 y t 4064
t
Las ceroclinas del sistema (VI) vienen dadas por:
p 0 p 0 y 200
0,02 p 4 0
t t
t t
VII
y 36 0,56 y t 4064 0
y 0 p 0,015y 112,8
t t t t
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VI) vendr dado por:
E1
109, 7
E
p
VIII
1
y E1 200
Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del
stock nominal de dinero en trminos logartmicos.
En las figuras IV y V se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolucin a
lo largo del tiempo del ndice de precios y de la produccin, ambos en trminos
logartmicos, para el sistema (VI) teniendo como punto de partida el punto de equilibrio
estacionario antes de dicho incremento, esto es: E0 p0 , y0 108,7;200 .
pt ' =0
111
110.5
110
E1
yt ' =0 (m0=101)
109.5
pt
109
E0
143
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
108.5
yt ' =0 (m0=100)
108
pt ' =0
190 195 200 205 210 215 220 225 230
yt
144
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
110.2
110
109.8
109.6
pt
109.4
109.2
pt
109
108.8
0 5 10 15 20 25 30
t
230
225
220
yt
215
210
yt
205
200
195
190
0 5 10 15 20 25 30
t
Anlisis cualitativo
1
trA 1 1 1 2 0
1
Caso2: Nodo impropio A 1 2 0 71
2
trA 4 A 1 1 4 0
2 2 1
1
Teniendo en cuenta que 0 y que A 0, entonces resulta que:
trA
2
2
2
2 1
2 1 4 0
1 1 1
1 1
trA 2
2 2
1
2 1 2 1
1 1
4 0
1 1
trA
2
1 1 1
1 1 2 1 1 4 0
trA
2
1
1 2 1 0 trA 0 72
1 1
4
1 1
1 1 1
2
2
1
0 1
1 1 1 4 1 1
146
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0 trA trA 73
147
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del
discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de
equilibrio del sistema dinmico es un nodo impropio estable (convergente).
El autovector v1 asociado a 1 se calcular a partir de:
v1
1
1 1 a 0 76
1 b 0
1 1
De donde:
1a b 0 a b 77
1
a
2
b
2 trA b 78
trA trA2
a
2 trA b trA b 79
4 1 2 1
148
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La ecuacin (79) es equivalente a la segunda ecuacin del sistema (76):
1 1
a 1 1 1 b 0 80
149
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 a trA 1 b 0 a trA 1 b 81
1
trA
1 trA 21 82
2
a
trA b 1 b 83
2 1 1
84
1
v1 1
1
1
1
0
v 2 2 85
1
1 1
1 0
1
El autovector v 2 asociado a 2 se calcular a partir de:
v2
2
1 1
c 0 86
1 1 2 d 0
150
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
151
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde:
2 c d 0 c d 87
2
c
2
d
2 trA d 88
trA trA2
c
2 trA d trA d 89
4 1 2 1
1 1
c 1 1 2 d 0 90
1 c trA 2 d 0 c trA 2 d 91
1
trA
2 trA 2 2 92
2
c
trA d 2
d 93
2 1 1
152
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
v 2 1
2
94
1
153
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1
0
v 95
1
2
1
2 1
1 0
1
Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a
partir de (32). Esto es:
p y y
t t t 0
96
1
y t p t 1 1 1y t 0 1 m t 1 y t 0
De donde la ceroclina p t 0 viene dada por:
yt yt 97
Mientras que la ceroclina y t 0 viene dada por:
A 0
tr
1
1 1
y
pt m t y
0
t 98
t
1 1
yt yE yt 99
Por tanto, de (99), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta
al eje de la produccin (en trminos logartmicos) en y E . Adems, de la primera
ecuacin del sistema (96), para valores de y t yE ,
154
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
a la derecha de la recta vertical, que
se aprecia en la figura 7, p t 0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el
155
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt pt 0
yt
yE
Figura 7: Equilibrio dinmico parcial para el ndice de precios en trminos
logartmicos
A continuacin vamos a graficar la ceroclina y t 0. De (98), se aprecia que esta
ceroclina es una lnea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto
con el eje vertical (eje del ndice de precios expresado en logaritmos neperianos) ser
positivo, de acuerdo a (60). Adems, si estando en un punto de la ceroclina y t 0
punto B en la segunda ecuacin del sistema (96), al haber aumentado el valor del ndice
de precios en trminos logartmicos, se verifica que en un punto encima de la ceroclina
y t 0, tal como el punto B, y t 0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor
cuando t la solucin tender a alinearse con c1e 1t V1 , esto es, en el largo plazo
156
CIRO BAZN
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
tendremos que X XE c e t V .
1 Pero, dado que cuando t , resulta que
t 1 1
E
e 1t 0 y e 2 t 0, entonces se tiene que en el largo plazo independientemente
Xt X
de los valores de c1 y c 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarn
al punto de equilibrio tangencialmente a la lnea de accin del autovector V1 .
157
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt
pB B
EOBy S: yt 0
A
pA
yt 0
EDBy S: yt 0
yt
yA y B
v 2 EOBy S
EOBy S
v1
E
EDBy S
p0 I
EDBy S
EOBy S
yt
E y0
y
Figura 9: Retrato de fase de la economa
158
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
(la produccin aumenta y el ndice de precios disminuye) hasta que, en el largo plazo,
alcanza su valor de estado estacionario (E).
Anlisis cuantitativo
p t p
100
2 1
c e 1t c e 2 t
y E 1 1 2 1
y
t
1 1
De donde:
2 c1 1t 1c 2 2 t
p t p
E
e e
101
1 1
y t y E c 1 e 1 t c 2 e 2 t
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (101), se tiene que:
y0 yE 1 p 0 p E
c c 1
c
159
1
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 2
1 2
p 0 p E
2 1
102
E
1 1
p p E y y E
y0 y c1 c 2
c 2
0 1 0 2
1 2
160
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0
1 2 0 2 0 1 0
1 2
1
t 1
1 t
E
p p e e
2
103
t
1 2 1 2
y y p p p p y y t
y y 1
e
2
e 2 104
t
E 0 1
0
E
1 t
0
E
1 0
E
1 2 1 2
De (71) resulta:
y y p p
1 p 0 p y y
p pE 0 2 0
e t
e t 105
t E E E E
1 2
0
1 2 1 2
y y p p p p y y
y y e 2
e
t
106
2
E E E E
1t
0 1 0 1 0 1 0
E
t
1 2 1 2
Dnde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (105) y (106) en (27) obtenemos
161
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt
pE
162
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
yE
Por otro lado, se aprecia en la figura 12 que tras el incremento del stock nominal de
dinero (en logaritmos neperianos), en el largo plazo, provocar nicamente un incremento
en el ndice de precios, en logaritmos neperianos, de la economa. Ya que el incremento
del stock de dinero es de carcter nominal, entonces ste no tendr efectos de largo
plazo sobre la produccin de la economa (expresada en trminos logartmicos) que es de
carcter real. En consecuencia, al igual que en el caso 1, la perturbacin monetaria slo
producir inflacin en el largo plazo.
163
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura 12 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero (en
logaritmos neperianos), la economa, partiendo del punto E0, converger en el largo
plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria dada por la curva de fase de color azul.
Asimismo, en la figura 12 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto
que va desde el punto E0 al punto E1, la economa presenta un periodo (entre E0 y A) en
el que la produccin y el ndice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan
(fase de expansin), y otro tramo (entre A y E1) en el que la economa entra en una fase
de estanflacin (el ndice de precios en trminos logartmicos aumenta y la produccin
en logaritmos neperianos disminuye), hasta que la economa, en el largo plazo, alcanza
su nuevo valor de estado estacionario (E1).
pt
pt 0
E1
p1E
y t 0 m 0
A
y t 0 m1
E0
p 0E
yt
y y y
E
0
E
1
Figura 12: Retrato de fase de la economa tras el incremento del stock nominal de
dinero en trminos logartmicos
164
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica del
caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del
modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (71). Dichos valores se
encuentran resumidos en la tabla III.
Parmetros Valores
0,3
0,02
0,5
0,05
1 60
Para estos valores de los parmetros del modelo y de las variables exgenas en el
instante inicial, el sistema (32) resulta:
A
b
0,02 p t 40
p t
0
X
y 36 1,74 y t 3510
t
Las ceroclinas del sistema (X) vienen dadas por:
p 0 p 0 y 2000
0,02 p 40 0
t t
t t
XI
y 36 1,74 yt 3510 0
y 0 p 0,0483y 97,5
t t t t
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
p E 0,83
XII
E
y 2000
Mientras que por (71), tenemos que:
165
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
trA 1,74 0
A 0,72 0 XIII
0,1476 0
166
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
400
300
200
100
E
0
pt
-100
-200
-300
yt ' =0 (m0=100)
-400
-500
400
300
200
100
E
0
pt
-100
-200
-300
yt ' =0 (m0=100)
-400
-500
167
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
500
450
400
350
300
pt
250
pt
200
150
100
50
0 5 10 15 20 25 30
t
2000
1000
-1000
yt
-2000
yt
-3000
-4000
-5000
-6000
0 5 10 15 20 25 30
t
168
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A
b
0,02 p t 40
p t
0
XV
y 36 1,74 y t 3546
t
Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XV) vendr dado por:
p 1,83 XVII
E1
1
y E1
2000
Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento
del stock nominal de dinero en trminos logartmicos.
En las figuras IX y X se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolucin a
lo largo del tiempo del ndice de precios y de la produccin, ambos en trminos
logartmicos, para el sistema (XV) teniendo como punto de partida el punto de
equilibrio estacionario antes de dicho incremento, esto es: p 0 , y 0 0,83;2000 .
yt ' =0 (m0=100) E1
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
pt
1.2
1.1
169
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
0.9
yt ' =0 (m0=101)
E0
0.8
pt ' =0
1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030
yt
170
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1.8
1.6
1.4
pt
pt
1.2
0.8
0 5 10 15 20 25 30
t
2016
2014
2012
2010
yt
2008
yt
2006
2004
2002
2000
0 5 10 15 20 25 30
t
171
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cualitativo
1 1
trA 1 1
0 1 1 0
1
1
Caso3: Centro A 0 107
trA 4 A 4 0
2 1
Dnde:
trA
0
2
111
1 2
2 0 1
2
En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula, 0, entonces tenemos
que el punto de equilibrio del sistema dinmico es un centro marginalmente estable.
El autovector v1 asociado a 1 i se calcular sustituyendo la primera condicin de
172
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
(107) y 0 en (43), de donde:
v1
i
a 0 112
1 i b 0
173
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde:
i i
i a b 0 a b ba b 113
i i i
La ecuacin (113) tambin se obtiene a partir de la segunda ecuacin del sistema (112):
i
a i b 0 a b 114
1
i i
a b b 115
2
i
v1 116
1
Reemplazando , dado por (111), en (116) se obtiene:
i
v1 1
117
1
El autovector v 2 asociado a 2 i ser el conjugado de v1 , esto es:
i
v 2
1 118
1
174
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a
partir del sistema de ecuaciones (32), teniendo en cuenta la primera condicin de (107).
Esto es:
p y y
t t t 0
119
1
y t p t 0 1 m t 1 y t 0
175
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde la ceroclina p t 0 viene dada por:
yt y t 120
Teniendo en cuenta (109), de la segunda ecuacin de (119), la ceroclina y t 0 viene
dada por:
0
p t m t y t p E 0 121
1
yt yE y t 122
Por tanto, de (122), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta
al eje de la produccin (en trminos logartmicos) en y E . Adems, de la primera
yt
yE
Figura 13: Equilibrio dinmico parcial para el ndice de precios en trminos
logartmicos
176
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A continuacin vamos a graficar la ceroclina y t 0. De (121), se aprecia que esta
ceroclina es una lnea recta con pendiente nula, mientras que el valor del intercepto con
el eje vertical (eje del ndice de precios expresado en logaritmos neperianos) ser
positivo e igual a p E , de acuerdo a (109). Adems, si estando en un punto de la
reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuacin del sistema (119), al
haber aumentado el valor del ndice de precios en trminos logartmicos, se verifica que
en un punto encima de la ceroclina y t 0, tal como el punto B, y t 0. Por tanto,
conforme transcurra el tiempo, el valor de la produccin en trminos logartmicos ir
disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina y t 0, tal como se aprecia en
la figura 14, las lneas de fuerza dinmicas sern horizontales y en sentido de derecha a
izquierda. Por debajo de dicha ceroclina las lneas de fuerza dinmicas sern
horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha regin del plano de
fase se verifica que y t 0.
yt
yA y B
Figura 14: Equilibrio dinmico parcial para el nivel de produccin en logaritmos
pt
pt 0
C
EOBy S EOBy S
D E B
p E
yt 0
EDBy S EDBy S
p0 I
177
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
F
E yt
y y0
Figura 15: Retrato de fase de la economa
178
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anlisis cuantitativo
Dnde:
h1 c1 v1 c 2 v 2
124
h 2 c1 v1 c 2 v 2 i
c1 c 2 i
Si suponemos que el estado inicial, t 0, de la economa viene dado por p 0 , y0 ,
reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (123), se tiene que:
179
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p 0 p E
h 126
E
y 0 y
1
180
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p p 1
y yE y
y E cos t sen t 130
E
t 0 1 0
1
181
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
182
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0,02 p t 4
p t
0
XIX
y 40
0 y t 4420
t
Las ceroclinas del sistema (XIX) vienen dadas por:
0,02p t 4 0 p t 0 y t 200
p 0
t XX
183
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y 40 0 y t 4420 0
y 0 p 110,5
t t t
184
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Asimismo, por (108), el punto de equilibrio del sistema (XIX) vendr dado por:
p E 110,5
XXI
y 200
E
400
300
200
yt ' =0 (m0=100)
100
pt
-100
-200
-300
pt ' =0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
yt 4
x 10
400
300
200
yt ' =0 (m0=100)
100
pt
-100
-200
-300
pt ' =0
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
yt 4
x 10
185
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
pt
500
400
300
200
pt
100
-100
-200
-300
0 5 10 15 20 25 30
t
4
x 10
2
yt
1.5
0.5
0
yt
-0.5
-1
-1.5
-2
0 5 10 15 20 25 30
t
186
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Conclusiones:
Este sencillo modelo dinmico de inflacin en una economa cerrada nos ha permitido
analizar las diversas trayectorias que siguen las variables endgenas del modelo a lo largo
del tiempo hasta alcanzar el equilibrio estacionario (para los dos primeros casos: espiral y
nodo impropio) partiendo de un desequilibrio inicial. Tambin se ha analizado el
comportamiento dinmico de las trayectorias de las variables endgenas para el caso de
un centro marginalmente estable en el que dichas variables se mantienen oscilando
alrededor de su valor de equilibrio estacionario (sin alejarse ni acercarse a l).
Asimismo, para los dos primeros casos, se ha estudiado el efecto que tendra un
incremento del stock nominal de dinero sobre la economa encontrndose sta en una
situacin de equilibrio estacionario. Para estos casos, se comprob que las variables
endgenas del modelo convergen en el largo plazo a un nuevo punto de equilibrio tras la
perturbacin (para el caso de espiral convergente las variables endgenas convergen a
su estado estacionario de forma cclica). Adems, es importante resaltar que en este
documento slo se han analizado los casos en los que los valores de los parmetros del
modelo permiten que el comportamiento dinmico del mismo sea (asintticamente o
marginalmente) estable. Finalmente, como posible lnea de extensin, quedara
pendiente analizar la posible caracterizacin del presente modelo como Clsico o
Keynesiano en funcin de los posibles valores que pudieran adoptar las velocidades de
ajuste de la produccin, , y del ndice de precios, . Como caso particular, sera
187
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
188
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
158
Modelo del Overshooting cambiario con precios
rgidos a corto plazo y tipo de cambio flexible
Rudiger Dornbusch fue uno de los primeros en estudiar las implicancias de las
expectativas racionales en modelos macroeconmicos. En 1976, public un artculo en
el que estudiaba un tpico modelo IS-LM-BP (Equilibrio en el mercado de bienes y
servicios-Equilibrio en el mercado financiero-Balanza de Pagos) de economa abierta o
modelo de Mundell-Fleming consistente con la formacin de expectativas racionales
determinsticas (es decir, consistente con los supuestos de previsin e informacin
perfectas) pero donde el ndice de precios en el mercado de bienes y servicios se ajusta
lentamente a lo largo del tiempo hacia su valor de equilibrio estacionario (de ah la
denominacin de modelo monetario de la determinacin del tipo de cambio con precios
rgidos en el corto plazo, pero con pr ecios flexibles en el largo plazo) y el mercado de
activos financieros se ajusta instantneamente (en este mercado Dornbusch asume que
tanto la tasa de inters como el tipo de cambio nominal tienen una velocidad de ajuste
infinita). El resultado fundamental del modelo de Dornbusch, radica en que a pesar de que
se supone que los agentes racionales tienen previsin perfecta, el tipo de cambio
nominal puede desbordar su valor de largo plazo (overshooting1).
1. Economa pequea y abierta. Este supuesto implica que la tasa de inters nominal
extranjera i *t y el ndice de precios en el extranjero *
expresado en
Pt
considerar como variables exgenas dadas (Nuestra economa, al suponerse que es
pequea, no tiene capacidad de alterar la determinacin de i *t y Pt* ).
Yt Yt 1
Entonces, si hacemos:
y t ln Yt y t ln Yt y t y t 2
ln M t Pt
5
i t
nominal nacional para cada nivel del stock real del dinero, M t Pt , en el mercado
nacional.
Mt
ln
t
ln Y e i t ln Y i
t t
P
t
ln M t ln Pt ln Yt i t 6
Si hacemos:
m t ln M t 7
Asimismo, si hacemos:
160
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p t ln Pt 9
Entonces la tasa de crecimiento instantnea del ndice de precios (inflacin)
nacional ser:
Pt
p 10
t
Pt
161
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Si ahora hacemos:
y t ln Yt 11
Entonces la tasa de crecimiento instantnea del nivel de produccin de bienes
nacionales (crecimiento econmico) ser:
y t Y t Yt 12
Reemplazando (2), (7), (9) y (11) en (6) se tiene que el mercado de activos
financieros viene caracterizado por una tpica curva LM:
LM : m t p t y t i t 13
Dnde, haciendo:
s et ln Set 15
Entonces tenemos que la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantneo del tipo
de cambio nominal esperado viene dada por la siguiente expresin:
e
e St
s t 16
S et
2
Riesgo ca mbiario: variaciones del tipo de cambio afectan a la rentabilidad de los depsitos en divisas.
3
La movilidad perfecta del capital supone que no existen barreras que dificulten la movilidad del capital
(no hay barreras contra la inversin) y que los inversores son neutrales al riesgo cambiario. Asimismo,
una movilidad perfecta del capital implica que si existe cualquier diferencia en la rentabilidad esperada
entre los activos nacionales y extranjeros, los inversores destinaran toda su riqueza a la inversin ms
rentable. Dado que ambos tipos de activos deben estar en manos de alguien, la rentabilidad esperada entre
los activos nacionales y extranjeros debera ser igual.
4
A la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantneo del tipo de cambio nominal esperado (en
logartmicos neperianos) tambin se le conoce con el nombre de tasa de depreciacin (apreciacin)
esperada de la moneda nacional.
162
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
e
Dnde Set es el tipo de cambio nominal esperado, y S t es la tasa de cambio
Si hacemos:
y td ln Ytd 19
Entonces la tasa de crecimiento instantnea de la demanda agregada de bienes
nacionales ser:
d
d
y Yt 20
t d
Y t
y t ln Yt 21
Entonces la tasa de crecimiento instantnea del nivel de produccin de pleno
empleo ser:
Yt
y 22
t
Yt
5
En su modelo original Dornbusch demuestra que el supuesto de expectativas adaptativas, que inicialmente
adopta, resulta equivalente al supuesto de expectativas racionales para algn valor adecuado del parmetro
de ajuste de las expectativas adaptativas.
6
La previsin perfecta implica que el error de prediccin de los agentes racionales es nulo en cada
instante del tiempo. Esto es, ante una perturbacin, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y
de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.
163
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
P
s ln S ln t ln P ln P *
Pt
S
t t t t t
Pt* *
Pt
s t p t p*t 24
Pt* 1 ln Pt* ln 1
p*t 0 25
1
S P*
IS : Y t t e0 2it ; 0; 0; 0
d
t 27
P 0 1 2
t
164
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
7
Al suponer que los precios son rgidos en el corto plazo, el supuesto de la PPA se cumplir slo en el
largo plazo.
165
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ln Y d
Y
SR
d t
t t
1 28
Y SR ln SR
d
t t
t
P reciodebienesextranjeros en moneda nacional S t P*t unidadesrealesdeconsumonacional
SR t 29
P recio de bienes nacionales en moneda nacional Pt unidadesrealesde consumoextranjero
2
ln Ytd 30
i t
ln Y d ln S ln P * ln P i
31
t 1 t t t 0 2 t
Ahora hacemos:
s t ln St 32
166
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
8
El tipo de cambio nominal representa el precio de una unidad de divisa extranjera expresado en unidades
de la moneda local. Es decir, una unidad de moneda extranjera equivaldra a S t unidades de moneda
nacional. Un incremento en el tipo de cambio nominal denota una depreciacin de la moneda domstica,
o equivalentemente una apreciacin de la moneda extranjera.
9
El tipo de ca mbio rea l es el precio relativo de los bienes extranjeros (es el cociente entre el ndice de
precios de los bienes extranjeros expresado en moneda nacional y el ndice de precios de los bienes
nacionales expresado en moneda nacional). Es decir, una unidad real de consumo extranjera equivale a
SRt unidades reales de consumo nacional, o equivalentemente, el ndice de precios de los bienes
extranjeros expresado en moneda nacional equivale a SRt veces el ndice de precios de los bienes
nacionales expresado en moneda nacional. Por tanto, el tipo de ca mbio rea l denota la competitividad de
los bienes nacionales en relacin a los bienes extranjeros.
167
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Asimismo, si hacemos:
p*t ln Pt* 33
Entonces la tasa de crecimiento instantnea del ndice de precios (inflacin)
extranjero ser:
*
*
p Pt 34
t *
Pt
yd s p* p i 35
t 0 1 t t t 2 t
10
En 1976 Dornbusch seala, y en 2003 Garca-Cobin lo demuestra, que el supuesto de ndice de precios
fijo en el corto plazo en el mercado de bienes y servicios domstico no es necesario para garantizar el
overshooting del tipo de cambio. Para ello, basta con que el ndice de precios se ajuste ms lentamente
que el tipo de cambio. No obstante, Dornbusch en su clebre artculo Expectations and Exchange Rate
Dynamics, opta por la simplificacin al suponer que el ndice de precios es rgido en el corto plazo.
168
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En este modelo las variables exgenas son: m t , p *t , i t* , y t , 0 . Aunque hay que recordar
Mientras que las variables endgenas son: s , p , i , yd . Para resolver este modelo
t t t t
vamos a suponer que las variables endgenas de referencia son p t y s t . Por tanto,
2 2 m t 2
p p s 1 y 39
t 1 t 1 t 0
t
170
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
st 1 st 1 yt
0 0 1 *
it
A
b
2 2 m t 2
1 1 0 1 yt
p t p t 43
s t 1 st 1
0 y m i*
t t t
Anlisis cualitativo
s
E
m t i *t y t
m , y , i 45
m y 1 i* t t t
171
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p E p
E *
E t 1 0 t 1 E *
1 2 t
m t , yt , i t , 0
s s
1
172
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
47
2 2 trA
2 0
2
De (44) y (47) podemos concluir que el punto de equilibrio del sistema es un punto de
silla. En este caso ser necesario calcular los autovectores asociados a cada uno de los
autovalores de (47) para poder determinar la ecuacin de las trayectorias estable (una recta
cuyo vector generador es el autovector asociado al autovalor negativo y que pasa por el
punto de equilibrio) e inestable (una recta cuyo vector generador es el autovector asociado
al autovalor positivo y que pasa por el punto de equilibrio).
La pendiente del autovector v1 asociado a 1 0 se calcular a partir de:
v
1
2
1 0
a
1 1
48
1 b 0
1
De donde:
1
1 1 1 2
2
1
a a b 1
b 0 49
1 1 1
1
a
La ecuacin (49) nos representa la tangente del ngulo de inclinacin que forma el
autovector asociado a 1 0 con el eje horizontal (eje del ndice de precios). Es decir,
tanto, la ecuacin del brazo inestable, que en general pasar por el punto genrico
st , p t y que en particular pasar por el punto de equilibrio s E , p E del sistema ser:
173
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1
2
E
s t s
b 1
0 50
E
pt p a 1 1
1
s t s
E p p E
t
1
1 E 1
s s E p p 51
t
t
1 1
174
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La pendiente del autovector v 2 asociado a 2 0 se calcular a partir de:
v
2
2
1 0
c
2
52
1
1 d 0
2
De dnde:
1 1 2
2
2
1
c d 1
d c2
0 53
1 2 1
2
c
La ecuacin (53) nos representa la tangente del ngulo de inclinacin que forma el
autovector asociado a 2 0 con el eje horizontal (eje del ndice de precios). Es decir,
la ecuacin (53) es la pendiente del brazo (recta) estable (asociada a 2 0 ). Por tanto,
la ecuacin del brazo estable, que en general pasar por el punto genrico s t , p t , que
en particular pasar por el punto de equilibrio s E , p E del sistema, y que buscamos que
pase por el punto cuyas coordenadas son las condiciones iniciales de la economa
nacional s 0 , p 0 ser:
2
E E 1 2
s t s s 0 s
d 1
E
0 54
p t pE p0 p c 2 1
1
s t s
E p p E
t
2
1 E 1
s s E p p 55
t t
2 2
175
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De (54), conocido el valor de p 0 , se obtiene el valor de s 0 necesario para que los
1
s sE p p E 56
0
0
2
176
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a
partir del sistema de ecuaciones (43). Esto es:
2 2 m t 2
p p s 1 y 0
t 1 t 1 t 0
t
57
1
s p
1
y m i* 0
t t t t t
En el sistema de ecuaciones del equilibrio estacionario, es evidente que el nivel del
ndice de precios en trminos logartmicos queda determinado por la segunda ecuacin,
mientras que el nivel del tipo de cambio nominal en trminos logartmicos queda
determinado por la primera ecuacin de (57).
De donde la ceroclina p t 0 viene dada por:
1 2 0 2 m t
IS , m , y , p * 0 : s y
1
2
p 58
1 1
0 t t t t t
1 1 1
t
t t t t t t t
177
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
coincidir con la tasa de inters nominal del extranjero para cualquier instante del
tiempo. Por tanto, la tasa de inters nominal de equilibrio de la economa es igual al tipo
de inters del extranjero i E i *t . Adems, de (45), sobre la ceroclina s t 0, se debe
verificar que el logaritmo neperiano del ndice de precios en el mercado nacional debe
ser igual a p E .
178
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1
s
t
pE y m i* 0 62
t t t
Por tanto, de (62), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta
al eje del ndice de precios nacionales en p E . Adems, para valores de p t p E , a la
st
st 0
pt
pE
179
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
logartmicos permanece constante, pasando a un punto debajo de la ceroclina p t 0 tal
180
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p t 0.
st pt 0
sA A
sB B
pt
pA pB
En este tipo de modelo es usual suponer que el tipo de cambio nominal nacional en
trminos logartmicos, al ser flexible, se ajusta inmediatamente para ubicarse sobre el
brazo estable de manera tal que posteriormente tanto el tipo de cambio nominal nacional
en trminos logartmicos como el ndice de precios nacional en trminos logartmicos se
ajuste a sus valores de equilibrio de largo plazo. Este supuesto ha sido muy criticado ya
que las ecuaciones del modelo no garantizan dicho ajuste hacia el brazo estable que
conduce al equilibrio11.
11
No obstante, Begg (1989) muestra que en los modelos con expectativas racionales, como el que se
desarrolla aqu, los equilibrios son convergentes.
181
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
st st 0 pt 0 st pt
sE E
pt
pE
Figura 3: Retrato de fase de la economa
Anlisis cuantitativo
p t p
E
a c
E
c1 e 1t c 2 e 2 t 63
s s b d
t
p t p c1 a e c 2 c e 2 t
E 1t
64
s t s c1 b e c 2 d e
E 1t 2t
c 1
0 0
p 0 p E c a c 2 c ad bc
1
65
s s c b c d a s s E bp p E
E
0 1 2
c 2
0 0
ad bc
d p p E cs s E a s s E bp p E
182
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p t p E ae 1
t t
0 0 0 0
ce 2
ad bc ad bc
d p p cs s
66
E E
a s s bp p
E E
s s E 1t 2t
0 0 0 0
t be de
ad bc ad bc
183
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde:
d b
p p s s s s E p p E
E E
0 0 0 0
E c e t a t
p p
e
1 2
t d b d b
c a c a
67
a
p pE
c
s s
E
s s p p E
E
0 0 0 0
s s E d t
b t
e 1
e 2
t a c a c
b d b d
1 1
p p E
s s E
s s E p p E 68
0 2 0 1 0 0
s s E e 1t e 2t
t
1 2 1 2
En la senda estable los coeficientes que acompaan al trmino e t debern ser nulos 1
1 p 0 p 1 2 s s
0 p p s s
E E
1 2 0
E
E
0
1 1 0
184
CIRO BAZN
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p s s
69
p
1 E E
0
0 p p E s s E
2 0 1
1 2 0 2 0
Reemplazando (69) en (68) resulta que sobre el brazo estable el ndice de precios en
trminos logartmicos y el tipo de cambio nominal en trminos logartmicos
evolucionan a lo largo del tiempo de acuerdo a:
1 p 0 p 2 p p
p pE e t p p p p e
E E
t
2
0
E E
t
2
t
70
1 2
E E
s s E 1 s 0 s 2 s 0 s
e s s s s e
E E t
t
t
2
t 0
2
1 2
185
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De donde:
pt p
E
st s
E s s E s s E
e 2t
s s
E 0
p E 0 p 71
p0 p s0 s
t p p E p p E t
E E
0 0
Reemplazando (54) en (71) obtenemos la ecuacin del brazo estable, que coincide con
la ecuacin (55):
1 1
s s E p E p 72
t
t
2 2
Pt e pt ep p0 p e 73
E E 2 t
Pt
e p0
E
ep
t
Figura 4: Comportamiento temporal del ndice de precios nacional a lo largo del
brazo estable del punto de silla
Derivando las ecuaciones de (70) respecto del tiempo resulta:
p 2 p 0 p E e 2 t
t 74
s t 2 s 0 s E e 2 t
Reemplazando (71) en (74) se tiene que las tasas de crecimiento instantneo del ndice
de precios de la economa domstica y del tipo de cambio nominal a lo largo del brazo
estable del punto de silla vienen dadas por:
p E
t 186
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2 p t p 75
s t 2 s t s E
187
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, siendo s 0E , p E0 los valores de equilibrio estacionario del sistema antes del
cambio de alguna variable exgena, de (72), el brazo estable del punto de silla
correspondiente viene dado por:
1 1
s s E p E p 76
t 0 0 t
2 2
Adems, siendo s E , p E los valores de equilibrio estacionario del sistema luego del
1 1
cambio de alguna variable exgena, de (72), el brazo estable del punto de silla
correspondiente viene dado por:
1 1
s s E p E p 77
t 1
1 t
2 2
Ahora vamos a analizar qu pasara en el corto plazo con los valores de las variables
endgenas de referencia si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se
produce un aumento permanente y no anticipado (shock) de alguna de las variables
exgenas del modelo ceteris paribus.
Ya que s E , p E , es un punto que pertenece al brazo estable del punto de silla, entonces
0 0
debe satisfacer la ecuacin (76) verificndose que:
1 1
s E s E p E p E 79
0 0
0 0
2 2
12
Estas secciones se basan fundamentalmente en Mendoza y Herrera (2006).
189
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Restando (79) de (80) y teniendo en cuenta (78) y que se ha supuesto que el ndice de
precios expresado en trminos logartmicos es fijo en el corto plazo,
p0 p E0 dp0 0, obtenemos la variacin del tipo de cambio nominal expresado
en trminos logartmicos:
dp 0 0
ds0 s0 s E s E s E p E p E p0 p E 81
1 1
0 1 0
1 0
0
2 2
Haciendo:
ds E s1E s E0
82
dp E p E p E
1 0
1
ds0 ds E dp E 83
2
La ecuacin (83) nos dice que, dado un cambio exgeno permanente y no anticipado de
alguna variable exgena ceteris paribus, la variacin del tipo de cambio nominal
(expresado en trminos logartmicos) en el corto plazo es igual a la suma de la variacin
del tipo de cambio nominal (expresado en trminos logartmicos) en el largo plazo y de
una fraccin positiva de la variacin del ndice de precios (expresado en trminos
logartmicos) en el largo plazo. Es decir, si un cambio exgeno permanente y no
anticipado de alguna variable exgena ceteris paribus produce un incremento
simultneo del tipo de cambio nominal y del ndice de precios (ambos expresados en
logaritmos neperianos) en el largo plazo, la variacin del tipo de cambio nominal
(expresado en trminos logartmicos) en el corto plazo ser mayor que la de largo plazo,
esto es, se producir un desbordamiento (overshooting) del tipo de cambio.
Por otro lado, calculando la diferencial total para las ecuaciones del sistema (45)
tenemos:
p E m , y , i * p E m , y , i * p E m , y , i*
dp E di*
t t t t t t t t t
dm t dy
t
yt
t t
m t i *
dp E dm t di *t dy t 84
s E m , y , i * , s E m , y , i * , s E m , y , i * ,
ds di dy
E t t t 0 t t t 0 * t t t 0
dm t t
190t
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
i *
t
m t y t
s E m t , y t , i *t , d
0
0
0
1 2 * 1 1 1
ds dm
E di dy d 85
t
t t 0
1 1 1
191
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otra parte, teniendo en cuenta que hemos normalizado a uno el ndice de precios en
el extranjero, p *t 0, y dado que el tipo de cambio real expresado en trminos
logartmicos viene definido, como ya hemos dicho, como las desviaciones de la paridad
del poder adquisitivo. Esto es:
0
srt s t p *t p t srt s t p t 86
sr E m , y , i * , sr E m , y , i * , sr E m , y , i * ,
dsr E di *
t t t 0 t t t 0 t t t 0
dy d
t 0
i *
t y t 0
t
2 1 1
dsr E di * dy d 90
t t 0
1 1 1
Note que la ecuacin (90) tambin se obtiene reemplazando (84) y (85) en (89).
Asimismo, reemplazando (84) y (85) en (83)
resulta:
1 2 1 * 1 1
ds0 1 dm 1 di dy d 91
1
t t t 0
2 1 2 1 2 1
192
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Teniendo en cuenta (86), el tipo de cambio real de corto plazo, expresado en logaritmos
neperianos, viene dado por:
sr0 s0 p0 92
Diferenciando (92) y teniendo en cuenta que hemos supuesto que en el corto plazo el
ndice de precios es fijo, dp0 0, obtenemos la variacin del tipo de cambio real
0
dsr0 ds0 dp0 dsr0 ds0 93
193
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Es decir:
1 1 2 1 * 1 1 1
dsr0 1 dm di dy d 94
t t t 0
2 1 2 1 2 1
i0
E 1
y 0 m 0 p E0 96
La variacin de corto plazo de la tasa de inters nominal nacional vendr dada por:
dmt dp 0 0
dy
t
di0 i0 i E 1 m m 1 p0 p E y y 98
0 1 0 0 1 0
1
di0 dm dy 99
t t
Diferenciando (95) resulta:
i E m t , y t i E m t , y t
di
E
dm t dy t
m t y t
1
di E dm dy di0 100
t t
194
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Efectos de mediano plazo de un cambio exgeno permanente y no anticipado
Para el mediano plazo, una vez que la economa alcanza el punto s0, p0 del nuevo
brazo estable, sta se conduce a travs de dicho brazo hasta alcanzar el nuevo punto de
equilibrio estacionario s1E , p1E .
195
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La ecuacin del nuevo brazo estable la podemos obtener adaptando las ecuaciones del
sistema dado por (70), tal como sigue:
p p E p0 p E e 2 t 101
s s E s0 s E e 2 t
t 1 1
t 1 1
1
1
p0 p E s0 s E s0 s E
p0 p E 102
1 2
11 1
2
Reemplazando p0 p 0 , y reemplazando (102) en (101) tenemos que en el mediano
E
plazo las trayectorias del ndice de precios domstico y el tipo de cambio nominal
(ambos en trminos logartmicos) vienen dadas por:
p t p1E p E p1E e 2 t
s sE
1
E e2t 103
0 p p
E
t 1
0 1
1
sr sr E 1 p E p E e t 2
105
t
0 1
2
El valor de largo plazo de la tasa de inters nominal domstica ser:
1 y t
t
i LP lm i t
196
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
mt pE 1
107
Bajo el supuesto de que la economa domstica alcanza el estado estacionario en el
largo plazo, entonces resulta que:
i LP i E i *t
1
y t m t p1E 108
197
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
i t i *t
1
p E
0 109
p 1E e 2 t
Ahora vamos a analizar qu pasara con los valores de las variables endgenas del modelo
si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se produce un aumento no
anticipado del stock nominal de dinero ceteris paribus.
En el corto plazo:
De (78), (91), (94) y (99), y teniendo en cuenta que la nica diferencial no nula es dm t ,
se tiene:
dp0 0 110
1
ds0 1 dm 0 111
2
t
1
dsr0 1 dm 0 112
2
t
1
di0 dm 0 113
t
En el largo plazo:
dp E dm t 0 114
ds E dm t 0 115
Las ecuaciones anteriores nos dicen que, ante un cambio permanente y sorpresivo en la
oferta monetaria, en el nuevo estado estacionario, E1, el ndice de precios y la tasa de
cambio nominal (ambos en logaritmos neperianos) se incrementan en proporcin al
incremento de la oferta monetaria, de manera que todas las variables reales no se vern
afectadas [tal como ocurre con el tipo de cambio real: ver ecuacin (116)]. Es decir, se
mantiene la neutralidad monetaria en el nuevo equilibrio de largo plazo. Asimismo, las
198
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ecuaciones (114) y (115) nos indican que en el nuevo equilibrio estacionario, E1, se
debe seguir verificando la condicin de paridad del poder adquisitivo (el nuevo
equilibrio estacionario se ubica sobre una recta que forma 45 con cualquiera de los ejes
del plano de fase, esto es, sobre una recta con pendiente igual a 1, y cuya ecuacin viene
dada por: s t p t ). En la figura 5 se aprecia que ante el incremento sorpresivo y
199
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
permanente de m t , dm t 0, las ceroclinas s t 0 y p t 0 se desplazarn hacia la
Por otro lado, se aprecia que en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1, al igual
que en el punto de equilibrio estacionario inicial E0, se sigue cumpliendo la condicin
de paridad de poder adquisitivo, s t p t , por tanto se verifica que:
dsr E 0 116
plazo el ndice de precios nacional es fijo, los saldos reales expresados en trminos
logartmicos se incrementaran, m t p t . En consecuencia, resulta que el mercado
Esto, a su vez, hace que los activos financieros extranjeros sean ms rentables que los
nacionales, generando que la demanda de los activos financieros extranjeros se incremente
y que el tipo de cambio nominal, expresado en trminos logartmicos, aumente (que
se deprecie la moneda nacional).
Efecto 2: Por otro lado, dado que se ha supuesto que los agentes econmicos tienen
expectativas racionales, stos conocen que en el largo plazo el tipo de cambio nominal
en trminos logartmicos ser mayor que su valor actual (antes del shock monetario
expansivo), por lo que los agentes econmicos tendrn una razn ms para adquirir activos
financieros extranjeros, lo que a su vez incrementar adicionalmente el tipo de cambio
nominal (expresado en trminos logartmicos).
200
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ambos efectos hacen que el tipo de cambio nominal (en trminos logartmicos) se eleve
por encima de su valor de largo plazo (overshooting cambiario). En la figura 5, la
economa se desplaza del punto E0 al punto A.
201
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
consecuencia, ya que por hiptesis, los agentes tienen expectativas racionales, para que
ello ocurra, debe verificarse que en el corto plazo el tipo de cambio nominal, en
logaritmos neperianos, aumente instantneamente a un valor mayor a su nuevo valor de
equilibrio estacionario.
Por tanto, por los efectos antes descritos, en el corto plazo, el tipo de cambio nominal
(expresado en logaritmos neperianos) se incrementa por encima de su nuevo valor de
equilibrio estacionario. Esto es, ante un incremento permanente y sorpresivo del stock
nominal de dinero (en trminos logartmicos), en el corto plazo se produce un
sobreajuste del tipo de cambio nominal (expresado en trminos logartmicos):
overshooting cambiario. En la figura 5, el shock monetario expansivo hace que la
economa pase del punto E0 al punto A, donde se aprecia que el ndice de precios (en
trminos logartmicos) permanece constante y el tipo de cambio nominal (en trminos
logartmicos) aumenta instantneamente por encima de su nuevo valor de largo plazo,
esto es: s0 s1E .
202
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
T2
BE 0 C p t 0 m1
s0 A st pt
B
ds0 s1E
E1
E
ds
s 0E E0
s0
I
BE1
p t 0 m 0
T1
pt
pE0 p0 p 0 p1E
dp E
Figura 5: Comportamiento dinmico de la economa ante una expansin
monetaria permanente no anticipada
203
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p t 0 m1 . El cruce de las ceroclinas s t 0 m1 y p t 0 m1 se da en el nuevo
(BE1) del punto de silla13. Se aprecia que en el desplazamiento desde el punto E0 hasta
el punto A el tipo de cambio nominal (en trminos logartmicos) ha aumentado (la
moneda nacional se ha depreciado) a un valor superior al valor del nuevo equilibrio
estacionario (overshooting)14. Una vez que la economa ha alcanzado el punto A del
nuevo brazo estable (BE1), la economa converger hacia el punto E1, eventualmente
restableciendo la paridad del poder adquisitivo en dicho punto. Cualquier error por parte
del mercado enviara a la economa lejos del punto E1 y hacia el brazo inestable (BI1)
del punto de silla.
13
Aqu es importante resaltar que, desafortunadamente en este modelo, cualquier carencia de perfeccin
alejara a la economa del nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Por ejemplo, si tras el shock monetario
expansivo el mercado subestima la depreciacin de la moneda nacional movindose desde el punto E0 al
punto B, entonces la economa, conforme transcurra el tiempo, se alejara del equilibrio estacionario E1 a
lo largo de la trayectoria T1, con tipos de cambio nominales (en trminos logartmicos) disminuyendo
(moneda nacional aprecindose) y con periodos de inflacin y de deflacin. Similarmente, si el mercado
sobreestima la depreciacin y se mueve al punto C, entonces el sistema dinmico se har explosivo, con
ndice de precios crecientes conforme transcurre el tiempo (inflacin) y con el tipo de cambio nominal (en
204
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
trminos logartmicos) aumentando (moneda nacional deprecindose), como se muestra a lo largo de la
trayectoria T2.
14
Es importante resaltar que en el punto A se produce, adems, un undershooting de la tasa de inters
nominal domstica, ya que su valor de corto plazo (el que tiene en el punto A) resulta inferior que el valor
que alcanza en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1.
205
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin Numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin numrica, efectuada
en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parmetros del modelo, tales que
satisfagan las condiciones dadas por (44). Dichos valores se encuentran resumidos en la
tabla I.
Parmetros Valores
2 0,1
0,06
0,8
0,06
1 20
Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
p E 44
III
s 44
E
trA 1,2075 0
A 1,5 0 IV
206
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
7,45806 0
207
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura I se muestra el retrato de fase, los brazos estable (BE) e inestable (BI), y las
ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I).
100
st ' = 0
90
80
70
60
50
st
E
40
30
BI
20
BE
pt ' = 0
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
pt
nominal (en logaritmos) que deber tener la economa para estar sobre el brazo estable
deber ascender a s 0 14,8006527.
Sustituyendo p0 , s 0 , 2 y (III) en (70) obtenemos cmo evolucionan en el tiempo el tipo
VII
1,969222 1t
s t 44 29,2e
208
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
100
st ' = 0
90
80
70
60
50
st
E
40
30
BI
20
P0
pt ' = 0 BE
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
pt
Figura II: Diagrama de fase del sistema sobre el brazo estable m 0 150
Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si
ahora incrementamos el stock nominal de dinero en trminos logartmicos, ceteris
paribus, pasando de m 0 150 a m1 151, el sistema (43) resulta:
A
b
209
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
45
40
35
st
30
st
25
20
15
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
90
85
80
75
70 pt
pt
65
60
55
50
45
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Figura III: Evolucin temporal del tipo de cambio nominal y del ndice de precios
en trminos logartmicos sobre el brazo estable (BE)
210
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendr dado por:
p E 45
E 1 X
1 45
sE
1
Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del
stock nominal de dinero en trminos logartmicos.
Como hemos supuesto que antes del shock monetario la economa se encontraba en
E p E , s E 44;44, al producirse el shock monetario expansivo sorpresivo y
0 0 0
permanente, dado que hemos supuesto que el ndice de precios es rgido en el corto
plazo (pero flexible en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible (con
velocidad de ajuste infinita), y que los agentes tienen expectativas racionales (informacin
y previsin perfecta), la economa se desplazar de forma instantnea a lo
largo de la ceroclina s t 0 m 0 hasta el punto A, perteneciente al nuevo brazo estable
(BE1) del punto de silla que aparece en la figura 5. Por tanto, teniendo en cuenta (III), en
el punto A, el ndice de precios ser p A p 0E p0 p E 44. Para determinar el tipo de
XIII
s t 45 0,6372684e
1,96922 2 1t
212
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
47.5
47
46.5
46
A
45.5
st
E1
45
44.5
BI1
E0
44
st
45.5
45
44.5
st
44
43.5
43
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
213
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
45
44.9
44.8
44.7
44.6
pt
44.5
pt
44.4
44.3
44.2
44.1
44
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t
Figura V: Evolucin temporal del tipo de cambio nominal y del ndice de precios
en trminos logartmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris
paribus
Conclusiones:
214
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
215
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
194
El modelo de crecimiento de Harrod-Domar
La teora del crecimiento (anlisis de largo plazo) de Harrod (1939)-Domar (1946) es una
extensin dinmica del ms sencillo modelo Keynesiano real (de corto plazo). Harrod y
Domar, desarrollaron sus modelos por separado, explorando las condiciones de un
crecimiento equilibrado (donde todas las variables, capital, trabajo, y PBI, crecen a una
misma tasa) en una economa, analizando los requerimientos para mantener el pleno
empleo de los factores productivos a lo largo del tiempo. No obstante, dado que sus
hiptesis y resultados son bsicamente los mismos, en la literatura se suelen presentar estos
dos modelos como uno solo denominado modelo de crecimiento de Harrod-Domar.
Supuestos del modelo:
1. Se asume que la funcin de produccin es una funcin Walras-Leontief. Esto es, se
asume que la funcin de produccin es de coeficientes tcnicos fijos (proporciones
fijas), 1 0 y 1 0, para los factores de produccin K y L. Esto implica
que para producir una unidad del bien, el capital y el trabajo siempre deben utilizarse
en proporciones fijas: k K L ct e. En consecuencia, estamos suponiendo
que para producir una unidad del bien, necesitamos 1 unidades de capital y 1
unidades de trabajo. Por tanto, para producir Y unidades del bien, necesitaremos
Y unidades de capital y Y unidades de trabajo. En otras palabras, K Y
producir Y unidades del bien. Esta funcin de produccin nos dice que si K Y o
L Y , el respectivo exceso permanecer ocioso.
Y L plano OAC
C
E
K Y minK, Lnea EF1
F G
A D
Y K plano OBC
L
O 1 B
K L
Fuente: Elaboracin propia basada en De la Grandville (2009).
K Yi ; K L
Yi minK, L
L Yi ; K L
197
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
K L
K K L
Y2 Y2 minK, L
H
F
Y1 Y1 minK, L
Y0 J I Y0 minK, L
K L
L
Y0 Y1 Y2
produccin con coeficientes fijos no permite sustitucin entre los factores. Por
ejemplo, no se puede sustituir capital por trabajo para mantener el mismo nivel de
produccin (Por ejemplo Y1 en el punto F) ya que dicha sustitucin
necesariamente hara que pasramos por ejemplo del punto F a un punto como el
I, donde K L , y donde el nivel de produccin es inferior a Y1. Adems,
en I habra un exceso del factor trabajo (magnitud del segmento JI) que
permanecera ocioso. Este supuesto sobre la imposibilidad de sustituir capital por
trabajo o viceversa llevaron a Harrod y a Domar a predecir que la economa se
vera inmersa en incrementos perpetuos de desempleo de trabajadores o de capital.
En la figura 1, la seccin horizontal de Y FK, L minK, L para Y (la
lnea EFG) representa una isocuanta de una funcin de produccin con coeficientes
tcnicos fijos para un nivel de produccin igual a .
Y K
y f k min , mink,
L L
k; si k
y f k mink, 2
198
CIRO BAZN
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
; si k
199
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
empleado ser y k.
empleado ser y k.
empleado ser y .
K
k
L
201
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
5. El stock de capital y el trabajo crecen a lo largo del tiempo. El capital crece debido
a las inversiones y el trabajo debido al crecimiento de la poblacin (que se supone
exponencial y cuya tasa de crecimiento n es exgenamente dada). Estas
circunstancias le dan al modelo un carcter dinmico. Esto se puede expresar como
sigue en trminos matemticos:
KI 9
L
n, n 0 10
L
203
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
I K Y sY Y s Y Y s Y 0 14
La ecuacin (14) nos permite ver que la inversin es explicada por el principio de
aceleracin, esto es, la inversin es proporcional al cambio instantneo en la
produccin. Donde 1 0 es el coeficiente acelerador.
Asimismo, de (12) y (14), las sendas de equilibrio son descritas por el siguiente sistema
desacoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias homogneas:
Y
L nL 0 L 15a
Y s Y 0 15b
Suponiendo que las condiciones iniciales para el trabajo y el stock de capital son las
siguientes:
L0 L 0
16
K 0 K
0
205
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Esta es la tasa que Harrod (1939) denomin tasa de crecimiento garantiza do. Para
Harrod, la tasa de crecimiento garantizado es la tasa de crecimiento de la inversin que
mantiene la tasa de crecimiento de la demanda (producto verdadero) igual a la tasa de
crecimiento de la oferta (producto potencial). Es la tasa a la que los empresarios estarn
satisfechos con sus decisiones de inversin, y a dicha tasa los empresarios estaran
dispuestos a propiciar una inversin que permita seguir sosteniendo dicho crecimiento.
A esta tasa, la demanda es lo suficientemente alta para que los empresarios vendan lo
que han producido, y continen produciendo a la misma tasa de crecimiento. En
consecuencia, esta es la trayectoria en la que la oferta y la demanda de bienes y
servicios permanecern en equilibrio, dada la propensin marginal al ahorro. Con la tasa
de crecimiento garantizada se mantiene el pleno empleo del capital, pero no se garantiza
el pleno uso del trabajo.
Teniendo en cuenta los requerimientos tcnicos dados por (15a), una trayectoria de
produccin que satisface dichos requerimientos es una trayectoria a pleno empleo.
Teniendo en consideracin (15a) y (17b), sta trayectoria viene dada por:
Yt Lt L 0 e nt Y0PE e nt 19
Dnde Y0PE L 0 es la produccin inicial que, cuando se efecta, utiliza toda la fuerza
laboral L 0 en el instante inicial t 0 . Para que una economa partiendo de una produccin
a pleno empleo Y0PE permanezca por siempre funcionando a pleno empleo, sta debe
Yt nY0 e
n 20
YN PE nt
Y t Y0PE e nt
Esta es la tasa que Harrod (1939) denomin tasa de cr ecimiento natural1. Teniendo en
consideracin (17a) y (19), el equilibrio a pleno empleo en cada instante requiere:
Y0 e s t Y0PE e nt 21
La condicin anterior nos dice que una economa que comienza en algn instante desde
una situacin de pleno empleo Y Y PE permanecer por siempre a pleno empleo si,
0 0
desde aquel instante en adelante, la tasa de crecimiento garantizada es igual a la tasa de
crecimiento natural. Una economa que en cada instante iguala la tasa de crecimiento
natural con la garantizada se dice que sigue una trayectoria de crecimiento equilibrada.
Un aspecto importante del modelo de Harrod-Domar es que las magnitudes s, n y ,
sobre las que una solucin de crecimiento equilibrado depende, son parmetros libremente
asignados (exgenos). No hay necesidad de asumir los valores requeridos para un
crecimiento equilibrado. Tambin uno podra asumir que s y varan, admitiendo
algn mecanismo que genere los valores requeridos para s y . No obstante, la
carencia de tal mecanismo es una importante caracterstica terica del modelo de
206
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Harrod-Domar en la que el crecimiento sigue una trayectoria al filo de la navaja,
Chirichiello (2000).
1
La tasa de crecimiento natural es la tasa de progreso, que el incremento en la poblacin y las mejoras
tecnolgicas permiten. Esta tasa se determina por variables macro como la poblacin, los recursos
naturales, la tecnologa y el equipo de capital. La tasa de crecimiento natural es la tasa de crecimiento
mximo posible de una economa.
207
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
dk K L K L K L K K
k nk 22
dt L2 L L L L
23
K Y
s sy sf k
L L
Anlisis Cualitativo:
un permanente y creciente desempleo (ver anexo 1). Para este caso, no existe un
valor de equilibrio de estado estacionario positivo.
208
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
economa permanecer en ese nivel por siempre sin alcanzar el valor de capital
de estado estacionario. Adems, en tal caso, como k a0 , entonces hay
estado estacionario no hay pleno empleo del factor capital. Esto es, existe capital
ocioso) aunque no hay trabajadores desempleados. Ya que en el estado
estacionario k * es constante, tanto K como L crecen a una tasa n en el
estado estacionario (ver anexo 2). Adems, en el estado estacionario, debido a
que la fraccin del capital K que es utilizado permanece constante, la cantidad
de capital ocioso (el exceso de capital) tambin crece de forma sostenida a la
tasa n2 (Sin embargo, an se sume que las familias se mantienen ahorrando a
una tasa s), y obviamente esto no es un resultado deseable.
Excepto para el caso 2), el modelo de Harrod-Domar predice que una economa que por
casualidad parte del pleno empleo (de capital y de trabajo) se encuentra al filo de la
navaja. En el largo plazo, esta economa corre el riesgo de presentar dos indeseables
resultados: crecimiento perpetuo de desempleo o crecimiento perpetuo de capital
ocioso. Otro punto importante es que el crecimiento al estilo de Harrod-Domar no muestra
ninguna tendencia a permanecer o converger hacia un estado estacionario. La inestabilidad
209
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
del estado estacionario se deriva trivialmente notando que gracias a que s 0, se sigue
que:
lm K t lm K 0 e s t 26
t t
2
Ver anexo 3.
210
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k nk k sk = nk
k
nk
sk sk
k s nk k s n k
k s nk
k s nk
k s n k
s
k k k k*
s n
k* k b0
k 0b n
k 0b s n
ka
k a0 0 k 0a
t t t
ta ta
k* 0
k s n k 27
211
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Cuya solucin, para la condicin inicial k a0 , viene dada por:
kt k k a0e s n t t 0, 28
212
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k s nk k nk s 30
s s nt
k t k kb e t 0, t 31
0 a
n n
Donde t a , es el instante en el que el stock de capital por unidad de trabajo
s
e nt a t ln n 0
s s 1
kb 32
n n s
0 a
b
k
n
0
n
k t k es n t t a t t a , 34
lm k t lm e
s n t t a
e 0 35
t t
Caso 2 s n : Si k a0 , diferencial:
213
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k se obtendr a partir de la siguiente ecuacin
k s n k 0 k k a0 36
214
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k s nk k nk s 37
s b s nt b s t
k t k k e k e t 0, 38
0 0
n n
ecuacin diferencial:
k s n k 40
kt k k a0 es n t t 0, t a 41
1
a s n t a
k e t ln 0 42
0 a s n k a
0
Para t t a , el stock de capital por unidad de trabajo se obtendr a partir de la
k s nk k nk s 43
215
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
s s
k t k a
t t a , 44
n t t
e
n n
216
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ecuacin diferencial:
k s nk k nk s 46
s s nt
k t k kb e t 0, 47
0
n n
Simulacin numrica:
muestran a continuacin:
k0</ k0>/
Parmetros
Valores Valores
k0 45 100
n 0.3 0.3
s 0.5 0.5
0.002 0.002
0.1 0.1
s 0.001 0.001
/ 50 50
s/n --- 0.16666667
ta --- 2.31606008
217
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tabla 2: Ecuaciones utilizadas en la simulacin
218
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
muestran a continuacin:
k0</ k0>/
Parmetros
Valores Valores
k0 4.5 6.5
n 0.01 0.01
s 0.5 0.5
0.02 0.02
0.1 0.1
s 0.01 0.01
/ 5 5
s/n --- 5
219
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
muestran a continuacin:
k0</ k0>/
Parmetros
Valores Valores
k0 45 100
n 0.3 0.3
s 0.5 0.5
0.002 0.002
0.1 0.1
s 0.001 0.001
/ 50 50
s/n --- 0.16666667
ta --- 2.31606008
220
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Conclusiones:
pronostica que una economa que por casualidad parte del pleno empleo (de capital y de
trabajo) se encuentra al filo de la navaja. En el largo plazo, esta economa corre el riesgo
de presentar dos resultados no deseados: crecimiento perpetuo del desempleo (en
el caso en que s n ) o crecimiento perpetuo de capital ocioso (en el caso en que
221
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 1
En este caso, para k , hay exceso del factor trabajo (es decir trabajo ocioso:
desempleo) igual a:
k K L K L L K 0
I
L K
L K
II
L K
L K
De (22) se tiene:
K
k nk K L k nkL III
L
nL L k nkL
nL
L k
nkL n nk
k
IV
L kL L kL k
k minsk, s nk sk nk s n k V
n
n0 VII
Se observa que en el largo plazo esta economa converge a k * 0, y para ese nivel de
Anexo 2
de 10
K k L
K k L k n IX
K K L
Por tanto, en el estado estacionario se debe cumplir que K debe crecer a una tasa
constante e igual a la tasa de crecimiento instantnea de la fuerza laboral, n:
* 0: deVIII
K
*K *k n n X
K*
Anexo 3
En este caso, el stock de capital por unidad de trabajo de estado estacionario es tal que
k * s n . Esta desigualdad implica que en el estado estacionario se cumple que
k * K * L* K * L* K * L* 0 XI
n XII
K L*
L K
* * *
223
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
Barro, R., Sala-i-Martin, X. (2004): Economic Growth, the MIT Press. Segunda
Edicin.
Harrod, R. (1939): An Essay in Dynamic Theory, Economic Journal, 49, pp. 14-33.
224
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
214
Modelo de crecimiento neoclsico de Solow-Swan
Solow (1956) y Swan (1956) buscan comprobar, que el crecimiento equilibrado a pleno
empleo en una economa es factible si se remplaza el supuesto adoptado en el modelo de
Harrod-Domar de una funcin de produccin con coeficientes tcnicos fijos, que no
permite la sustitucin entre los factores de produccin, por una funcin de produccin
neoclsica (que permite sustitucin entre los factores de produccin, que presenta
rendimientos constantes a escala, que se caracteriza porque la productividad marginal de
cada uno de los factores de produccin es positiva, pero decreciente, y que cumple las
denominadas condiciones de Inada, 1963).
Por tanto, en una economa cerrada sin gasto pblico la produccin1 (que es igual a la
renta agregada) se destina al consumo o a la inversin bruta. De forma equivalente, esta
misma expresin nos permite afirmar que en una economa cerrada sin gasto pblico,
se debe cumplir que en el equilibrio el ahorro es igual a la inversin.
2. La tasa de ahorro es exgena y constante. En aras de la simplicidad, supondremos
que la tasa de ahorro (propensin marginal al ahorro), esto es, la parte ahorrada de la
produccin, es constante e igual a s. Por tanto, la parte consumida de la
produccin (la propensin marginal a consumir) ser: 1 s. Con lo cual, el ahorro y
el consumo agregados seran:
S sY, 0 s 1
3
C 1 s Y
significa que, en cada intervalo de tiempo, una fraccin constante del stock de
capital, K, se deteriora, y por ende ya no puede ser empleada en el proceso
productivo. Por tanto, la depreciacin, DEP del stock de capital ser:
DEP K (5)
1
En este modelo podemos representar la oferta agregada de bienes y servicios a travs de una funcin
agregada de produccin gracias a que implcitamente se est suponiendo la existencia de un nico bien
homogneo (modelo de un sector).
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
I K K K I K 6
2
La tecnologa o conocimiento puede entenderse como la frmula o programa que describe como deben
combinarse el capital y el trabajo para producir bienes finales.
3
Cuando hacemos referencia a rendimientos constantes a escala nos interesa saber que ocurre con la
produccin cuando aumentamos simultneamente el capital y el trabajo (pero no la tecnologa).
4
Ver anexo 1.
217
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
FK, L, A
~
lm lm P Mg 0
K
K K K
~
lm FK, L, A lm P Mg
K 0 K K 0
K
~
FK, L, A
lm lm P Mg 0 12
L L
L L
~
FK, L, A
lm lm P Mg
L 0 L L0
L
~
F0, L, A 0
Ya que la riqueza de un pas est ligada a su renta o a su consumo por persona, entonces
vamos a expresar todas las variables del modelo en trminos per cpita (en este caso por
unidad de trabajo, ya que hemos supuesto que la poblacin total coincide con la fuerza
laboral). Para ello bastara con dividir a las variables del modelo por L o mejor an
multiplicarlas por 1 L .
Entonces, teniendo en cuenta (2), (3) y (13), el consumo, la inversin bruta (ahorro bruto),
la renta o produccin, y el stock de capital, todos en trminos per cpita, sern:
C Y
c 1 s 1 s y 1 s f k , 14a
L L
I S sY
i sy sf k s bp , 14b
L L L
~ ~
y
Y
F K, L, A
FK, L,1 FK, L C
I
c i, 14c
L L L L L L
K
k , 14d
L
218
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Donde s bp representa el ahorro bruto en trminos per cpita (por unidad de trabajo).
219
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y f k, A f k,1 f k 15
Esta expresin nos dice que la produccin en trminos per cpita es una funcin del
stock de capital per cpita (ratio capital producto) y de la tecnologa.
Por otro lado, para el caso de nivel tecnolgico constante y normalizado a uno, gracias a
las propiedades de F, la funcin de produccin por unidad de trabajo satisface las
siguientes propiedades:
f ' k 0 16a
df k
dk
d f k
f '' k 0
16b
2
dk 2
df k
lm lm f ' k 16c
k 0
dk k 0
df k
lm lm f k 0 16d
'
k dk k
f 0 0 16e
Las anteriores ecuaciones nos dicen que f k es una funcin: de valor nulo para k 0,
vertical, y para valores muy grandes del stock de capital por unidad de trabajo la recta
tangente a f k es casi horizontal (su pendiente es casi nula). En la figura 1 se muestra
la grfica de f k .
y f k f k
220
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 1: Produccin por unidad de trabajo expresada en funcin del stock de
capital por unidad de trabajo
Ahora estamos en condiciones de calcular la tasa de cambio instantnea del stock de
capital per cpita. Para ello vamos a derivar respecto del tiempo a la expresin (14d), para
luego remplazar en esta derivada la misma ecuacin (14d) y la ecuacin (7), resultando:
dk K L K L K L K K
k nk, 17
dt L2 L L L L
221
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
debe ser igual a la diferencia entre la inversin bruta en trminos per cpita, sf k , y la
inversin que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos
trabajadores con capital, n k.
inversin per cpita que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los
nuevos trabajadores con capital, n k, y la tasa de cambio instantnea del stock de
capital en funcin del stock de capital per cpita, k . Asimismo, para un nivel genrico
k, se muestra que la suma del consumo y la inversin bruta por persona son iguales a
la produccin per cpita. Esto es: c i f k .
estrictamente creciente, estrictamente cncava, con recta tangente casi vertical para
valores del stock de capital per cpita positivos prximos a cero, y con recta tangente
casi horizontal para valores del stock de capital muy grandes. Adems, debido a que s
es una constante cuyos valores se encuentran entre cero y uno, la funcin sf k ser
222
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
proporcionalmente inferior a la funcin f k , tal como se aprecia en la figura 2.
Por otro lado, la funcin n k representa una lnea recta, que pasa por el origen y
223
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
f k
n k
f k*
c* 1 s f k *
c sf k
i
i* sf k * n k *
k 0b
k
k a0 k k*
k sf k n k
cortan en el origen, por lo que en dicho punto se verifica que k 0. Esto significa que
224
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
mayores a k , la pendiente de la recta tangente a sf k sigue disminuyendo mientras
*
225
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Finalmente, la figura 2, como ya hemos dicho, nos muestra tambin el diagrama de fase
(curva de color celeste) junto con las lneas de fuerza dinmicas (flechas de color rojo)
del modelo de Solow-Swan. Este diagrama nos muestra el comportamiento de k para
los siguientes casos: k k* , k k* , y k k * .
k sf k * n k * 0 21
226
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
C) crezcan a una tasa constante e igual a la de la fuerza laboral. Es decir, el modelo de
Solow-Swan garantiza un crecimiento equilibrado de la economa.
Tasa de crecimiento del capital per cpita, k5: Teniendo en cuenta (20),
tenemos que:
k sf k n k sf k
n 22
k
k k k
5
Se puede demostrar fcilmente que la tasa de crecimiento del stock de capital per cpita, k es
estrictamente decreciente con k (vase anexo 2).
227
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tasa de cr ecimiento del PBI per cpita, y: Teniendo en cuenta (15), tenemos
que:
kf k k k
'
y f k f ' k k kf k
'
y k 23
y f k f k f k f k
Remplazando (25) en (23) y (24) obtenemos las tasa de crecimiento del PBI y del
consumo en trminos per cpita para el estado estacionario.
*y *c 0 26
El hecho que las tasas de crecimiento del stock de capital, del consumo, y del PBI, todas
en trminos per cpita, sean nulas en el largo plazo implica que sus respectivas tasas en
trminos agregados sean constantes e iguales a la tasa de crecimiento del trabajo en el
largo plazo, tal como mostraremos a continuacin.
d ln k d ln K d ln L
28
dt dt dt
228
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k K L
k K L 29
k K L
k K n 30
d ln y d ln Y d ln L
33
dt dt dt
y Y L
y Y L 34
y Y L
y Y n 35
C C
c ln c ln ln C ln L ln c ln C ln L 37
L
L
d ln c d ln C d ln L
38
dt dt dt
c C L
c C L 39
229
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c C L
230
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
aumento en la tasa de ahorro, la curva de inversin bruta salta hacia arriba, y el punto
de corte entre la curva de inversin bruta per cpita y la recta n k se produce en un
nivel de stock de capital mayor, k *2 . Es decir, ante una tasa de ahorro mayor, el stock de
capital per cpita de estado estacionario es ms alto. Por tanto, el stock de capital per
cpita de estado estacionario es creciente con la tasa de ahorro.
n k
f k
s 2 f k
B
s1f k
k
k 1* k *2
232
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otra parte, un aumento de la tecnologa (es decir, un aumento en A) hara saltar
las curvas f k y sf k hacia arriba, produciendo un efecto similar al incremento en la
tasa de ahorro. Esto es, ante un incremento en la tecnologa, el stock de capital de estado
estacionario aumentara.
El impacto en un cambio en las tasas de deprecia cin del capital o de la poblacin
aumenta, con lo cual dicha recta salta hacia arriba, tal como se aprecia en la figura 4.
Pero, ahora el punto de corte entre la curva sf k y la recta n k se produce en un
nivel de stock de capital inferior, con lo cual el nivel del stock de capital de estado
estacionario disminuye: k k *2 k 1* 0.
n 2 2 k
n 1 1 k
f k
sf k
A
B
k
k *2 k 1*
Figura 4: Efecto del incremento de la tasa de depreciacin del stock de capital y/o
de la tasa de crecimiento de la poblacin
La regla de oro de acumulacin del capital:6
La variable que realmente afecta al bienestar de la sociedad no es la produccin de
bienes y servicios, ni el stock de capital, sino el consumo per cpita. De acuerdo a la
ecuacin (14a), este consumo en el estado estacionario viene dado por:
c * 1 s f k * f k * sf k * 42
233
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
6
El nombre de regla de oro de la acumulacin del capital se debe a Phelps, 1966.
234
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c* f k* sf k* f k* n k* 44
Esta ecuacin nos dice que en el estado estacionario el consumo per cpita es igual a la
diferencia entre la produccin por persona y la inversin per cpita que debe efectuarse
para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos trabajadores con capital. Este
consumo es el correspondiente a una senda de crecimiento equilibrado.
El problema que nos atae en esta seccin es determinar el nivel de la tasa de ahorro
que maximiza el consumo per cpita en el estado estacionario. Para ello, primeramente
vamos a hallar la regla de oro de acumulacin del stock de capital maximizando (44)
respecto de k. Esto es:
Max f k n k 45
k
f ' k oro n 46
Esta regla nos dice que el nivel de stock de capital per cpita que maximiza el consumo
per cpita de estado estacionario, k o ro , ser aquel para el cual la pendiente de la
funcin de produccin per cpita coincide con la pendiente de la funcin de inversin
per cpita que debe efectuarse para reponer el capital depreciado y dotar a los nuevos
trabajadores con capital. En la figura 5 se muestra que la distancia mxima entre f k y
Pero no hay que perder de vista que como se ha supuesto que en este modelo la tasa de
ahorro es exgena, es decir en este modelo la tasa de ahorro de la sociedad no se obtiene
de un proceso de optimizacin de la trayectoria del consumo, una vez hallada la k o ro ,
se supone que es posible llevar la tasa de ahorro (por ejemplo a travs de polticas de
incentivos fiscales) al nivel s o ro . Es decir, dado que en este modelo no hay nada que
garantice que la economa tender a cumplir la regla de oro, entonces para alcanzar esta
posicin, se tendr que escoger la tasa de ahorro, s o ro , que haga que el estado
estacionario se de en k o ro .
Consideremos una economa, tal como la descrita por la tasa de ahorro s en la figura
5, para s s oro , de manera que k * k oro , y c * c oro . Supongamos que estando la
sobreahorrando en el sentido que el consumo per cpita en todos los instantes del
tiempo podra aumentarse disminuyendo la tasa de ahorro.
Una economa que est sobreahorrando se dice que es dinmicamente ineficiente ya que
la trayectoria de consumo per cpita permanece por debajo de trayectorias factibles
alternativas en cada instante del tiempo, Barro y Sala (2004). Adems, ya que hemos
supuesto que la sociedad obtiene utilidad del consumo, siendo la utilidad creciente con
el consumo, disminuir la tasa de ahorro ser una poltica que socialmente proporcionar
una mayor satisfaccin independientemente de la forma funcional de su utilidad, por lo
que mantener una s s oro , no es socialmente eficiente.
Recta paralela a n k n k
f k
P
c* sf k c1
Q
s oro f k
A
c o ro
B
* k
k o ro k
En la figura 6 se muestra la trayectoria del consumo, del capital per cpita y de su tasa
de cambio instantnea, k , cuando se produce una reduccin repentina y permanente
236
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
de la tasa de ahorro, siendo la tasa de ahorro inicial de la economa superior a la de la
regla de oro. Asimismo, en esta misma figura se aprecia la trayectoria de la tasa de ahorro
en cada instante del tiempo.
237
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
del stock de capital per cpita no salta inmediatamente al nuevo valor de estado
estacionario, k o ro , sino que permanece en k * . En este nivel k 0, ya que s oro f k
es menor que n k. Por tanto, k empieza a disminuir hasta alcanzar el nuevo nivel
de estado estacionario, k o ro , donde nuevamente k 0. Por tanto, en el periodo de
s o ro
t0 t
c1
c o ro
c*
t
t0
k0 t0 k0
t
k0
k*
k o ro
t
t0
Figura 6: Efectos sobre el consumo per cpita ante la reduccin sbita y permanente
de la tasa de ahorro cuando la tasa de ahorro inicial es superior a la de oro
238
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
skf ' k sf k
dsf k k dk
s
kf k f k 0
'
47
k2 k2
Tiende a infinito cuando k se aproxima a cero (se aproxima asintticamente al
eje vertical cuando k tiende a cero). Aplicando LHpital y teniendo en cuenta
la condicin de Inada (16c) tenemos:
sf k
lm
lm sf ' k s lm f ' k
48
k0
k k0 k0
240
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k 0
k 0
A
n
sf k k
k
k a0 k* k 0b
kf ' k k k
y
y
50
y f k
Donde:
kf ' k
k k 52
f k
La ecuacin (52)7 no es ms que la participacin del ingreso per cpita percibido por los
dueos del capital per cpita, kf ' k , en el ingreso total per cpita,
p f k 1 f k f k . Por tanto:
0 k k 1 53
241
CIRO
7
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Vase ecuacin (XIV) del anexo 3.
242
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
d y d k k
sf '' k n 54
dk dk
Por su parte:
dk f k kf k f k kf k 55
' '' ' 2
k
dk f k 2
f
k kfk
f '' k s n k
' '
d y
n 1
dk f k f k f k
'
''
d kf k sf k f k kf ' k
n n 56
1
y
dk f k k f k f k
dk f k f k
tiene que: n f ' k f k 1 k k 0 . En consecuencia, si k k * , entonces
k 0, con lo cual kf '' k f k k 0, de donde se desprende que d y dk 0. Por
243
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
tanto, si k k *
, y disminuye conforme k aumenta (y por ende conforme y
Finalmente, de las ecuaciones (23) y (24) sabemos que las tasas de crecimiento
instantneo del consumo y de la renta (producto) per cpita son iguales. Por tanto, el
consumo per cpita tiene el mismo comportamiento dinmico que el producto per
cpita.
8
Dado que y f k 0 f ' k 0 k 0, por tanto conforme k aumenta entonces y aumenta.
244
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bk 0 B
D kD 0
kA 0 E 0
k
n
A C E
s 2 f k k
k s1f k k
C
0
s 0 f k k
k
k *0 k 1* k 1*
245
CIRO
9
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Es importante resaltar que se podrn realizar sucesivos incrementos en la tasa de ahorro pero hasta
alcanzar el lmite superior que sta permite, que corresponde a la unidad. Esto elimina la posibilidad de
realizar infinitos incrementos de s y as conseguir una tasa de crecimiento positiva.
246
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ak 0
n0 A
Bk 0 Ck 0
n1
B C
Dk 0 Ek 0
n2 sf k k
D E
k
k *0 k 1* k *2
Figura 9: Reducciones sbitas y permanentes de la tasa de crecimiento de la
poblacin
Por otro lado, un decremento sucesivo de la tasa de crecimiento de la poblacin
(pasando ahora de n1 a n2), tal como se aprecia en la figura 8, transitoriamente
conseguira incrementar la tasa de crecimiento instantnea del capital per cpita
(pasando de cero en C a un valor positivo en D), pero finalmente la economa
terminara en un nuevo estado estacionario donde la tasa de crecimiento instantnea de
k es nula (en el punto E). En consecuencia, decrementos sucesivos de n no
generan tasas de crecimiento positivas en el largo plazo. Finalmente, es importante resaltar
que sera imposible realizar infinitos decrementos de n para conseguir una tasa de
crecimiento del capital (y tambin del producto) per cpita positiva en el largo plazo, ya
247
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
dichas reducciones finalmente conduciran a tasas de crecimiento de la poblacin cada vez
ms negativas, corriendo peligro la poblacin mundial de extincin.
248
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Implicaciones cuantitativas
Efectos sobre la renta per cpita de un incremento en la tasa de ahorro en el largo plazo
En ese sentido, vamos a determinar el efecto que a largo plazo tiene un cambio en la
tasa de ahorro en la renta (produccin) per cpita. En trminos analticos, esto es:
f k
y*
s
f k *
s
' *
k s, n,
*
58
s
ello, vamos a derivar implcitamente la ecuacin (43) respecto de la tasa de ahorro, esto
es:
sf k * s, n, n k s, n,
*
s s
k k *
*
f k * sf ' k * n
s s
k *
f k*
59
s n sf ' k *
s y * s
f ' k* f k*
y*s 61
y* s
f k* n sf ' k *
249
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
250
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n k *
f ' k* f k*
*
ys * 2 *
f k
n k
f ' k*
n
f k *
f ' k* k*
y* s
f k*
63
f ' k* k*
1
f k *
y* s
k
64
y* s 1 k * s%
k
Donde k k * es la participacin del ingreso per cpita percibido por los dueos del
capital per cpita, k *f ' k * , en el ingreso total per cpita, p f k * 1 f k * f k * , en
el estado estacionario.
La velocidad de convergencia
k
k * k t 65
k* k
251
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En consecuencia, k es la tasa a la que k k disminuye en relacin a su
*
en cuanto disminuye la k * k % conforme transcurre una unidad de tiempo de
magnitud infinitesimal.
252
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k k
BS k k k 67
ln k ln k
k
k
A k sf k n k
k0
253
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k
k0 k*
254
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n k f k n
k k
* *
k k
f k
* ' *
k *
n
k k
k *
k
f ' k* 1 71
*
**
k k
f k
k sf k n k
A0 A1
k0 k1
1
0
k
k0 k1 k*
255
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 11: Variacin de la velocidad de convergencia conforme aumenta k
256
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Se puede demostrar que la velocidad de convergencia de la renta per cpita hacia su estado
estacionario evaluada en y * coincide con la velocidad de convergencia de k10.
Por tanto, la velocidad de convergencia de la renta per cpita hacia su estado
estacionario evaluada en y * viene dada por:
y y * n 1 k k * k k * 73
Ahora vamos a calibrar la ecuacin (72) para ver cun rpido es posible que las economas
reales se aproximen a sus estados estacionarios. Normalmente, en un gran nmero de
pases industrializados, se ha encontrado que la participacin relativa del
capital, k k * , aproximadamente es de 0,33, que la poblacin crece entre 1 y 2 %
k k * y y * 0,04 0,021 0,33 0,04 4% 74
Entonces, k y y cada ao se mueven aproximadamente el 4% de la distancia
restante hacia k * y hacia y * respectivamente, y les toma aproximadamente 17 aos
estar a mitad del camino hacia sus respectivos valores estacionarios 11. En el ejemplo de
un incremento del 10% de s, la renta (produccin) per cpita est 0,04 5% 0,2%
arriba de su anterior valor de estado estacionario (valor previo al incremento en s)
despus de un ao; 0,5 5% 2,5% arriba despus de 17 aos (cuando ha avanzado el
al del pas rico, k 0R ) crece ms rpido que un pas rico. Finalmente, el pas pobre debe
alcanzar el nivel del stock de capital de estado estacionario, y una r enta en trminos per
cpita igual a la del pas rico. A esto se le denomina convergencia absoluta.
Lamentablemente, la evidencia emprica no favorece esta hiptesis. Por ejemplo, De Long
(1988), analiz una muestra de 98 pases para el periodo 1960-1985 en el que rechaz la
hiptesis de convergencia absoluta que haba obtenido Baumol (1986) analizando una
muestra de 16 pases industrializados para el periodo 1870-1979.
257
CIRO
10
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ver anexo 5.
11
Ver anexo 7.
12
Para mayores detalles sobre el anlisis emprico de la convergencia puede referirse a: Sala-i-Martin
(2000), Cunado et al. (2003), Abreu et al. (2004), Barro y Sala-i-Martin (2004), Acemoglu (2009), y
Jimnez (2010).
258
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
kP kR 0
Pk
Rk
E
n
sf k k
k
k 0P k R0 k*
Sin embargo, las economas reales lejos estn de compartir las mismas tasas (de ahorro,
de crecimiento de la poblacin y de depreciacin del capital). En consecuencia, se
espera que cada pas converja a su propio estado estacionario. A este tipo de convergencia
se le denomina convergencia relativa o condicional (condicionada por los valores de las
tasas de cada pas en particular). Por ejemplo, Barro y Sala-i-Martin (1992) y Mankiw,
Romer y Weil (1992) respectivamente analizaron 20 y 22 pases de la OECD entre 1960
y 1985 encontrando evidencia de convergencia condicional manteniendo invariables la
acumulacin del stock de capital y el crecimiento de la poblacin.
sP sR
k *p k P0 k *R k 0R
Pk kR
kR
kP ER
n
EP
s R f k k
s P f k k
P * R * k
k0 kP k 0 kP
259
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En la figura 13 se muestra un caso en la que un pas rico, con tasa de ahorro alta y cuyo
stock de capital inicial, k 0R , est ms alejado de su stock de capital per cpita de estado
estacionario, k *R , crece ms rpido que un pas pobre con tasa de ahorro baja y cuyo
stock de capital inicial, k 0P , est ms prximo de su stock de capital per cpita de estado
estacionario, k *P . Adems, en esta figura podemos observar que cada pas, con distintas
modelo de crecimiento de Solow-Swan predice tambin una relacin inversa entre la renta
y su tasa de crecimiento, siempre que la nica diferencia entre los pases sea su stock de
capital inicial. Esta es la denominada hiptesis de convergencia a bsoluta .
No obstante, como ya se ha dicho, los pases pueden tener diferentes niveles de renta
per cpita en sus respectivos estados estacionarios, ya que dichos estados estacionarios
dependen de la funcin de produccin (tecnologa empleada), de la tasa de depreciacin
del stock de capital, de la tasa de crecimiento poblacional, de la tasa de progreso
tecnolgico (como veremos en las siguientes secciones), y de la tasa de ahorro.
260
CIRO
13
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La convergencia queda garantizada gracias a que la funcin de produccin per cpita presenta
rendimientos decrecientes del capital (con ello la tasa de crecimiento instantnea del stock de capital per
cpita se va haciendo cada vez menor conforme k tiende a su valor de estado estacionario).
14
Esta seccin est basada en Congregado (2004).
15
A este tipo de convergencia Sala-i-Martin (2000) le denomina -convergencia.
261
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora vamos a escribir una ecuacin que relacione la tasa de crecimiento instantnea de
la renta per cpita con el valor de la renta per cpita de una economa en el momento
actual, y, y con el valor de su renta per cpita en el estado estacionario, y * , de
manera que dicha ecuacin incorpore las hiptesis de convergencia absoluta y de
convergencia condicional.
Para ello vamos a postular una relacin lineal inversa entre la tasa de cambio instantnea
de la renta per cpita y y (como postula la hiptesis de convergencia absoluta), y directa
con y * (como postula la hiptesis de convergencia condicional). Esto es:
y
y y y * 75
t
Esta ecuacin nos dice que habr convergencia condicional, esto es, cada pas
converger a su propio estado estacionario y su velocidad de convergencia depender de
la distancia entre y* e y. Por tanto, a mayor distancia entre y * e y, la relacin
entre y* e y se har mucho mayor que uno, y* y 1, con lo cual la tasa de
crecimiento y ser mayor. Pues bien, esto puede ocurrir tanto para pases pobres
como para pases ricos.
El progreso tecnolgico
Una de las conclusiones que obtuvimos en secciones anteriores es que el modelo de Solow-
Swan predice que en el largo plazo la economa no crece, y esto no concuerda con la
realidad. Es decir, en este modelo de crecimiento neoclsico con tasa de ahorro (e inversin)
exgena, la inversin en capital fsico no permite explicar el crecimiento de las economas
en el largo plazo. Por tanto, para poder explicar el crecimiento de los pases en el largo
plazo se hace necesario introducir exgenamente el progreso tecnolgico en el modelo de
Solow-Swan. Pero, antes de ello vamos a estudiar los tipos de progreso tecnolgico que
existen para despus poder analizar qu tipo deberemos introducir en el modelo de Solow-
Swan, de modo que la funcin de produccin, que incorpore determinado tipo de progreso
tecnolgico, sea consistente con un crecimiento equilibrado.
262
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
tecnolgico neutral depende del sentido dado a los trminos a horrador de capital y
ahorrador de tr abajo, Chirichiello (2000).
263
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~
Dada una funcin de produccin agregada, FK, L, A , que no cambia a lo largo del
264
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
16
En una funcin de produccin agregada con progreso tecnolgico neutral en el sentido de Hicks, al
ndice tecnolgico, A, se le suele llamar productividad total de los factores, debido a que ste
representa la productividad agregada de la economa expresada en trminos de la combinacin de los
factores de produccin que se emplean en la produccin.
265
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y FK, L, A FAK, L
~
(82)
Para entender cmo estas diversas formas de progreso tecnolgico afectan a la produccin,
las isocuantas se pueden representar mediante la combinacin de diferentes cantidades de
trabajo y capital fsico para una tecnologa dada, A, de tal manera que el nivel de
produccin sea constante en Y . La figura 14 muestra el efecto de
aumentar los tres tipos de progreso tecnolgico discutidos, respectivamente, duplicando
A. El panel (a) ilustra el progreso tecnolgico neutral en el sentido de Hicks, el
panel (b) muestra el progreso tecnolgico neutral en el sentido de Solow, mientras
que el panel (c) muestra el progreso tecnolgico neutral en el sentido de Harrod.
K K K
Y
Y Y
Y
Y Y
L L L
a b c
Fuente: Elaboracin propia basada en Acemoglu (2009).
267
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Una vez revisadas las diversas formas de clasificar el progreso tecnolgico nos queda
decidir cul de ellas nos permitir obtener un crecimiento equilibrado en el modelo de
Solow-Swan. Uzawa (1961) muestra que slo las funciones de produccin con progreso
tecnolgico neutral en el sentido de Harrod son consistentes con un crecimiento
equilibrado. Asimismo, Phelps (1962) nos dice que una condicin necesaria y suficiente
para garantizar la existencia de estado estacionario en una economa con progreso
exgeno neutral es que dicho progreso sea neutral en el sentido de Harrod, esto es,
potenciador del trabajo, Sala-i-Martin (2000)17.
Supuestos adicionales:
17
Vase Sala-i-Martin (2000) para una demostracin de un caso particular (con una funcin de
produccin CES) de este resultado. Para una demostracin general de este resultado vase Barro y Sala-i-
Martin (2004).
18
En este contexto, el trmino exgeno hace referencia a que se supondr que la sociedad no destina
recursos en I+D para generar crecimiento tecnolgico. Es decir, se supone que ningn agente econmico
destina recursos para que la tecnologa crezca a lo largo del tiempo. Por tanto, al suponer que la
tecnologa crece exgenamente, nicamente estudiaremos que repercusiones tiene el progreso tecnolgico
sobre el crecimiento econmico, y no nos preocuparemos en averiguar por qu en algunas economas el
progreso tecnolgico es mayor que en otras.
268
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~
y ~ ~ F ~ , ~ ~
~
~ ~
L A L L L L L
~
Dividiendo (18) entre L , y teniendo en consideracin las ecuaciones (87) y (88),
tenemos:
K sY K Y K K ~ ~
s ~ ~ ~
~ ~
sf k k 89
L L L L L
~
269
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k K A K L K KK A L 90
t AL A AL L AL AL A L
AL
270
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La ecuacin (92) es muy similar a la ecuacin (20). No obstante, estas dos ecuaciones
tienen un par de diferencias. En primer lugar, el stock de capital de la ecuacin (92) es por
unidad de trabajo eficiente, mientras que en (20) el stock de capital es por persona (o
equivalentemente por unidad de trabajo). En segundo lugar, en la ecuacin (92) aparece
el trmino dentro del parntesis que multiplica al stock de capital por
unidad de trabajo efectivo, a diferencia de la ecuacin (20).
~
~~
k k *
~
~
f k* n
93
sf k n k 0 ~
* *
t k* s
Tasas de crecimiento:
La tasa de crecimiento del stock de capital por unidad de trabajo eficiente se obtendr
~
dividiendo (92) entre k :
~
k
~
~k t~ ~ n
sf k
94
k k
272
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~k 0
~k 0
E
n
~ ~
sf k k
~ ~ ~ ~
k 0a k* k 0b k
En el estado estacionario, la tasa crecimiento del stock de capital por unidad de trabajo
eficiente la obtendremos remplazando (93) en (94):
~k* n n 0 96
No obstante a que las ecuaciones (96) y (97) nos dicen que en el estado estacionario el
PBI y el stock de capital por unidad de trabajo eficiente permanecen constantes, ahora
demostraremos que no ocurre lo mismo con estas variables en trminos per cpita en el
estado estacionario, ya que en dicho estado crecen a un ritmo constante e igual al del
progreso tecnolgico.
k ~k A 99
274
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k ~k 100
L AL A A
y A ~y 103
y ~y 104
Las ecuaciones (101) y (105) nos dicen que el progreso tecnolgico es el motor
fundamental del cr ecimiento econmico, ya que ahora la tasa de crecimiento del PBI
per cpita no ms es nula. Sin embargo, lo que no explica esta versin del modelo de
crecimiento de Solow-Swan es de dnde surge el progreso tecnolgico, que hemos
supuesto exgeno, con lo cual tampoco explicara el crecimiento econmico.
Finalmente, para elabor ar un modelo que explique los determinantes del crecimiento
econmico de largo plazo ser necesario relajar alguno o algunos de los supuestos del
modelo de crecimiento neoclsico de Solow-Swan.
275
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En esta seccin vamos a presentar dos enfoques alternativos (primal y dual) para
descomponer contablemente el crecimiento econmico de un pas.
Enfoque primal:
Y
FK, L, A
~
K ~FK, L, A L ~FK, L, A A
K L A
~ ~ ~
Y FK K FL L FA A 106
~
~ ~
Y KFK K LFL L AFA A
Y Y K Y L Y A
~
~ ~
Y K L
~FK ~FL R
Y K L
19
Para profundizar en detalles de evidencia emprica internacional sobre la contabilidad del crecimiento
econmico puede recurrir a Sala-i-Martin (2000) y a Barro y Sala-i-Martin (2004).
277
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Donde:
~
KFK
Elast icidad parcialde la rent arespect o al capit alen " t": ~ 108a
FK
Y
~
LFL
Elast icidad parcialde la rent arespect o al t rabajo en " t": FL
~ 108b
Y
AF ~
A A
Re siduo de Solow en " t": R 108c
A
Y
Y
T asa de crecimiento de la rent aagregada en " t": Y 108d
Y
K
FK, L, A FK, L, A
~ ~
K L
K L 1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ 110
~ ~
FK, L, A FK, L, A
FK FL FL FK
Sustituyendo (29) y (34) en (111) podremos expresar (111) en trminos per cpita:
y L ~ k L 1 ~
FK
L R
FK
279
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Enfoque dual:
Y Kr Kr wL Lw
K K r r L L w w
Y Y Y Y Y
Y Kr
wL
K K r r L L w w
Y Y Y
Kr wL
Y K r L w
Y Y
Y L ~ K ~ ~ L w ~FK w
FK FK FK
r
Y L ~FK K
L ~FK r w 1 ~ FK
116
Comparando (116) con (112), resulta que los trminos encerrados en el corchete de
(116) representan el residuo de Solow. Esto es:
R ~
FK
FK
280
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
r w 1 ~ 117
281
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Tal como hicimos anteriormente, ya que en esta seccin estamos considerando que la
tecnologa permanece constante en el tiempo, sin prdida de generalidad, vamos a
normalizar el parmetro tecnolgico, que aparece en la funcin de produccin agregada
tipo Cobb-Douglas20, a la unidad. Esto es:
k s k*
a
n k * 0 k *
s
1 a
121
n
s
122
a 1 a
y* f k * k *
n
s
c* 1 s f k * 1 s k * 1 s
1 a
123
a
Podemos observar que el PBI (renta agregada) per cpita en el estado estacionario depende
directamente de la tasa de ahorro, s, e indirectamente de la tasa de crecimiento
instantnea de la poblacin (fuerza laboral en este caso) y de la tasa de depreciacin del
stock de capital. Asimismo, de (121) y (123) se puede observar que los pases con ms
altas tasas de ahorro tendrn ms capital y PBI por persona a largo plazo. Adems,
282
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
segn el modelo de Solow-Swan, los pases con mayores tasas de crecimiento poblacional
tendern a ser ms pobres (tendrn un menor PBI per cpita en el largo plazo).
20
En el anexo 8 se efecta un anlisis de las propiedades de este tipo de funcin de produccin.
283
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora, para determinar el comportamiento dinmico del stock de capital per cpita,
necesitamos resolver la ecuacin diferencial ordinaria dada por (120). Para ello vamos a
dividir dicha ecuacin entre k a , con lo cual se tiene:
k k
s n k 1 a
n k1 a s 124
ka ka
k k w
w 1 a 126
ka ka 1 a
Para resolver (127) vamos a utilizar la ecuacin (LXII) del anexo 9. Esto es:
s1 a e
w t e
dt C
n 1 a dt n 1 a dt
w t e n 1 a t s1 a e n 1 a dt C
s 1 a n 1 a
w t e n 1 a t
e C
n 1 a
s
w t Ce n 1 a t 128
n
n n
Suponiendo que en
284
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t 0 tenemos que k 0 k 0 . Entonces, de (129) tenemos que:
1
s 1 a s
k C C k1 a 130
0 0
n n
285
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del stock de capital per cpita tiende a
su valor de equilibrio estacionario. Esto es:
1
1
s
1 a s 1 a
lm k t lm 132
k 1 a
s n 1 at k*
e
0
t t
n n n
s
1a
k*
s
k* 1a
133
n n
k t k * 1 a
k 1 a
k * 1 a e n 1 a t 1 a , t 0 134
0
k t
k 0III
k 0i k * , i I, II, III
II
k 0
k 0I
k*
k 0VI
k 0V
k 0j k * , j IV, V, VI
k IV
286
CIRO BAZN
0
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t
287
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por su parte, el comportamiento dinmico del PBI per cpita lo podemos obtener
remplazando (134) en la ecuacin (LVIII) del anexo 8. Es decir:
a
yt k * 1 a
k 1 a
k
* 1 a e n 1 a t 1 a , t 0 135
0
Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del PBI per cpita tiende al valor de
equilibrio estacionario. Esto es:
a
1 a
lm yt lm k * 1 a
k 1 a
k*
1 a
e n 1 a t
k*
a
y* 136
0
t t
Mientras que la evolucin dinmica del consumo per cpita se puede obtener
sustituyendo (135) en (14a), con lo cual obtenemos la siguiente expresin:
a
ct 1 s k * 1 a
k 1 a
k * 1 a e n 1 a t 1 a , t 0 137
0
Se puede observar que en el largo plazo, el valor del consumo per cpita tiende al valor
de equilibrio estacionario. Esto es:
a
a
s
1 a s 1 a
lm ct
1 s c 138
s *
lm 1 s e n 1 at
1 a
k
0
t t
n n n
Para determinar el stock de capital de oro, vamos a sustituir la primera ecuacin de (LX)
del anexo 8 en (46), con lo cual se tiene:
a k a 1 n k
288
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1
a 1 a
139
oro
oro n
289
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, sustituyendo (139) en la ecuacin (LVIII) del anexo 8 tenemos:
a
a 1 a
y f k k a , 0 a 1 141
oro oro oro n
oro
n n n
a 1 a
n
Es decir, la ecuacin (144) nos dice que la tasa de ahorro de la regla de oro para el modelo
de Solow-Swan sin progreso tecnolgico y con una funcin de produccin agregada tipo
Cobb-Douglas neoclsica coincide con la elasticidad parcial de la produccin respecto del
stock de capital.
sk a
k n 145
k
Remplazando (134) en (145) obtenemos el comportamiento dinmico de la tasa de
crecimiento instantnea del stock de capital per cpita con tecnologa tipo Cobb-
Douglas y sin progreso tecnolgico. Esto es:
a
s k*
1 a
k 1 a
k * 1 a e n 1 a t 1 a
290
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k t n
0
291
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n
k t n 1a t
, t0 146
e
1
1 k0 k* 1a
Se puede apreciar que esta tasa converge a cero conforme el tiempo tiende a infinito. Es
decir, en el largo plazo la tasa de crecimiento del stock de capital per cpita converge a
su valor de estado estacionario. Esto es:
n
lm k t lm n 1 a t
k 0
*
147
t t
e 1
1 k 0 k
*
1 a
1 k0 k
* 1 a
Al igual que antes, se puede apreciar que esta tasa converge a cero conforme el tiempo
tiende a infinito. Es decir, en el largo plazo la tasa de crecimiento del PBI per cpita
converge a su valor de estado estacionario. Esto es:
a n
lm t lm * 0 150
e n 1a t
y y
t t
1
1 k 0 k
*
1 a
Teniendo en cuenta (24), resulta que el consumo y el PBI expresados en trminos per
cpita crecen a la misma tasa. En consecuencia tenemos que:
t n n 1 a
c t y a t
,e
292
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t0 151
1
1 k0 k
* 1 a
293
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En este punto, podemos resaltar que las todas las tasas de crecimiento analizadas
convergen a cero en el estado estacionario.
k t
0
154
*
k
1
1
k
* 1 a
k 1 a
k * 1 a e n 1 a t 1 a
0
Para hallar el valor de la velocidad de convergencia del stock de capital per cpita en el
estado estacionario, vamos a sustituir la ecuacin (LVIII) del anexo 8 y su derivada
respecto del stock de capital per cpita en la ecuacin (71). Es decir:
k*
a 1
n 1 n 1 a 155
*
k k *
ak
a
*
k
Esta ecuacin nos dice que cada ao se cubre el 100 n 1 a % de la distancia
*
existente entre el stock de capital inicial, k 0 , y su valor de estado estacionario, k .
Asimismo, a esta velocidad la mitad de la distancia entre k 0 y k * se habr dejado
0,69
atrs en un periodo aproximadamente de aos, de acuerdo a la ecuacin
n 1 a
(XLVI) del anexo 7.
Ahora, para determinar la velocidad de convergencia del PBI per cpita vamos a
sustituir la ecuacin (LVIII) del anexo 8 y su derivada respecto del stock de capital per
cpita en la ecuacin (XX) del anexo 5. Es decir:
ak sk n k
a sk n
294
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
156
y a 1 a
ka a 1
k
* a k
* a
k a 1
295
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y t
a 157
k k
* a * 1 a
k 1 a
k* 1 a
e n 1 a t a 1 1
0
Por la ecuacin (27) del anexo 5, resulta que en el estado estacionario las velocidades de
convergencia de k y del PBI per cpita coinciden. Esto es:
y y* k k * n 1 a 158
Y FK, L, A FK, AL K a AL
~ 1 a
(159)
Dividiendo (159) entre (84) y teniendo en cuenta (87), obtendremos la produccin por
unidad de trabajo eficiente. Esto es:
a 1 a a 1 a a
K AL AL
~
yf k
K
K
ka (160)
~ AL1 a ~
AL a
AL AL
c 1 s k a
~ ~
(162)
297
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~y * f ~ ~
k* k*
a
s 1a
(165)
n
~c * 1 s k~* a
1 s
s 1 a
(166)
Podemos observar que el PBI (renta agregada) por unidad de trabajo eficiente en el estado
estacionario depende directamente de la tasa de ahorro, s, e indirectamente de la tasa
de crecimiento instantnea de la fuerza laboral, de la tasa de depreciacin del stock de
capital, y de la tasa de crecimiento instantnea del ndice tecnolgico. Asimismo, de (164)
y (165) se puede observar que los pases con ms altas tasas de ahorro tendrn ms stock
de capital y PBI por unidad de trabajo eficiente a largo plazo. Adems, segn el modelo
de Solow-Swan, los pases con mayores tasas de crecimiento de la fuerza laboral tendern
a tener un menor PBI por unidad de trabajo eficiente en el largo plazo.
Ahora, para determinar el comportamiento dinmico del stock de capital por unidad de
trabajo eficiente, necesitamos resolver la ecuacin diferencial ordinaria dada por (163).
Para ello vamos a dividir dicha ecuacin entre k , con lo cual se tiene:
~ a
~ ~
k ~ 1 a
~ a s n k
k
~ 1 a
~ a n k s 167
k k
La ecuacin diferencial (167) es muy similar a (124). Aplicando un procedimiento casi
idntico al utilizado en la solucin de (124) se tiene que:
1
~ ~ 1 a
s s
k t
k1 a e
n 1 a t
168
n
0
n
Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del stock de capital por unidad de
trabajo eficiente tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:
1
1
~ s ~
s
1 a s 1 a ~
k1 n 1 a t
lm k t lm e k * 169
a
t t 0
n De (164) se tiene que:
298
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n
n
1
s
n
1 a
~
k*
s
n
~
k*
1 a
170
299
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k Ak k t At k * 1a
k 1a k * 1a
e n 1a t 1a 172
~ ~ ~ ~
0
Sustituyendo (86) en (172) tenemos que el stock de capital per cpita viene dado por:
1
k t A e t k * 1a
k 1a k * 1a e n 1a t 1a 173
~ ~ ~
0 0
~yt k * 1 a
k 1 a k * 1 a
e n 1 a t 1 a 174
~ ~ ~
0
Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del PBI por unidad de trabajo eficiente
tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:
a
1 a ~
n 1 a t
lm ~yt lm k * 1 a
k 1 a
k* 1 a
e
k
*
a ~y * 175
0
t t
y A~y yt At k * 1 a
k 1 a k * 1 a
e n 1 a t 1 a 176
~ ~ ~
0
Sustituyendo (86) en (176) tenemos que el PBI per cpita viene dado por:
a
300
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
yt A e t k * 1 a
k1 a k * 1 a
e n 1 a t 1 a
177
~ ~ ~
0 0
Mientras que la evolucin dinmica del consumo por unidad de trabajo eficiente se
puede obtener sustituyendo (174) en (161), con lo cual obtenemos la siguiente
expresin:
a
~c t 1 s k~ * 1a ~
k 1a k *
~
1a
e n 1a t 1a , t 0 178
0
301
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Se puede apreciar que en el largo plazo, el valor del consumo por unidad de trabajo
eficiente tiende a su valor de equilibrio estacionario. Esto es:
a
1 a ~
n 1 a t
lm ~c t lm 1 s k * 1 a
k 1 a
k* 1 a
e
1 s k
*
a ~c * 179
t 0
t
c A~c ct At 1 s k * 1 a
k 1 a k * 1 a
e n 1 a t 1 a 180
~ ~ ~
0
Sustituyendo (86) en (180) tenemos que el consumo per cpita viene dado por:
a
ct A e t 1 s k * 1 a
k 1 a k * 1 a e n 1 a t 1 a 181
~ ~ ~
0 0
kt
k k n e
0
~
~ t
~ ~* 1 a ~1 a n 1 a t 182
k
~ ~ ~
k t
k *
k 1 a k * 1 a
e n 1 a t
1 a
0
~yt
a n k * 1 a
k 1 a k * 1 a e n 1 a t k * 1 a
k 1 a
~ t ~ ~ ~ ~ ~ 183
0
0
y ~yt e n 1 a t
~
a n k * 1 a
k 1 a k * 1 a
e n 1 a t k * 1 a
k 1 a
302
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~ ~ ~ ~ ~
184
~ t
c t 0 0
c ~c t
e n 1 a t
Se puede comprobar fcilmente que las tasas de todas las variables por unidad de
trabajo eficiente convergen a cero en el largo plazo. Esto es:
lm ~ t lm ~ t lm ~c t 0 185
k y
t t t
Teniendo en cuenta (100) y (182), la tasa de crecimiento instantneo del stock de capital
per cpita viene dada por:
~
k*
1a
k 1a n e n 1a t
~
0
k t 186
~ 1 a ~ ~
k *
k 1a k * 1a
e n 1a t
303
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Teniendo en cuenta (104) y (183), la tasa de crecimiento instantneo del stock de capital
per cpita viene dada por:
a n k * 1a
k 1a k * 1a
e n 1a t k * 1a
k 1a
~ ~ ~ ~ ~
t 187
0 0
e n 1 a t
y
Dado que el consumo per cpita es proporcional al PBI per cpita, entonces ambos
crecen al mismo ritmo. Esto es:
a n k *
~
1a
k01a k * e n 1a t k *
~ ~ 1a
~
1a ~1a
0k
c t n 1a t
y t 188
e
305
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 18: Diagrama de fase en k k
Figura 19: Tasa de crecimiento instantnea del stock de capital per cpita
306
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
307
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
308
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Conclusiones:
En el modelo de Solow-Swan, sin progreso tecnolgico, las variables per cpita, PBI,
consumo y stock de capital, crecen en largo plazo a una tasa nula. Es decir, este modelo
nos dice que el PBI, el consumo y el stock de capital por persona permanecern constantes
en el largo plazo. Como ya se ha dicho, esto no es vlido ya que en economas
reales se ha observado que, por ejemplo, los niveles de PBI medios per cpita han
variado mucho desde principios hasta finales del siglo XX. En este sentido el modelo de
Solow-Swan sin progreso tecnolgico no resulta satisfactorio para explicar los
determinantes del crecimiento econmico.
El modelo de Solow-Swan, sin progreso tecnolgico, predice que si dos pases, uno
rico y otro pobre, tienen la misma funcin de produccin (neoclsica), y las mismas
tasas de ahorro, de crecimiento de la poblacin, y de depreciacin del stock de capital
per cpita, el pas pobre (con un stock de capital per cpita inicial inferior al del pas
rico) crece ms rpido que el pas rico. Asimismo, el modelo pronostica que el pas
pobre debe alcanzar el nivel del stock de capital de estado estacionario, y una renta en
trminos per cpita igual a la del pas rico. A esto se le denomina convergencia
absoluta. Desafortunadamente, la evidencia emprica no favorece esta hiptesis. No
obstante, podemos decir que este modelo predice convergencia condicional en el sentido
que cada pas converge a su propio estado estacionario y que su velocidad de convergencia
se relaciona inversamente con la distancia que hay entre sus niveles de stock de capital
per cpita inicial y sus niveles de estado estacionario.
Para tratar de explicar el crecimiento de los pases en el largo plazo se hizo necesario
introducir exgenamente el progreso tecnolgico en el modelo de Solow-Swan. Con esto
se consigui que la tasa de crecimiento del PBI per cpita no fuese ms nula. Sin embargo,
esta versin del modelo no logra explicar de dnde surge el progreso tecnolgico, por lo
que tampoco consigue explicar el crecimiento econmico.
309
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 1
Funcin homognea: f x1 , x 2 ,, x n es homognea de grado en D n si:
f x1 , x 2 ,, x n f x1 , x 2 ,, x n 0 x x1 , x 2 ,, x n D I
FK, L FK, L 0 K, L D II
Dado que se ha supuesto que F es homognea de grado uno, entonces 1. Por tanto,
en este caso se debe verificar:
FK, L FK, L 0 K, L D III
Anexo 2
skf ' k sf k
s
kf k f k 0
'
V
k
k k2 k2
Esta ecuacin nos muestra que la tasa de crecimiento instantnea del stock de capital es
estrictamente decreciente con k.
Anexo 3
Teorema
de Euler: Si f x f x 1 , x 2 ,, x n es de clase 1, C1 ,
f x f x1 , x 2 ,, x n ser homognea de grado en D si:
n
n f x 1 , x 2 , , x n
xi f x 1 , x 2 , , x n x x 1 , x 2 , , x n D VI
i1 x i
2 Fx 1 , x 2
2
310
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
xi F x 1 , x 2 x x 1 , x 2 K, L D
i 1 x i
Fx 1 , x 2 Fx 1 , x 2
x1 x2 Fx 1 , x 2 x x 1 , x 2 K, L D 2
x 1 x 2
311
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
FK, L FK, L
K L FK, L K, L D 2 VII
K L
Dado que se ha supuesto que FK, L es homognea de grado uno, entonces 1. Por
tanto, en este caso se debe verificar:
FK, L FK, L
K L FK, L K, L D 2 VIII
K L
FK FL 1 K, L D 2
X
se puede interpretar rK FK, L como la participacin del ingreso percibido por los
dueos del capital, rK, en el ingreso total, p FK, L 1 FK, L FK, L . Asimismo,
312
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
p FK, L 1 FK, L FK, L . wL , en el ingreso total,
21
Vase anexo 4.
313
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Donde rk y es la participacin del ingreso per cpita percibido por los dueos del
la participacin del ingreso per cpita percibido por los dueos del factor trabajo, w, en
el ingreso total per cpita, p y 1 y y.
Anexo 4
F(K, L) F(K, L)
w 0 P MgL w XVII
L L L
K K dK L
F(K, L) L f (k) dk K
f
f (k) L f ' (k)
k) f ' (k)
L
L L dL
2
L
F(K, L)
f (k) f ' (k) k XIX
L
314
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Luego, remplazando (XVI) y (XVII) en (XVIIII) y (XIX), y teniendo en cuenta (11) con
A 1, resulta:
F(K, L)
r P MgK f ' (k) 0 XX
K
F(K, L)
w P MgL f (k ) k f ' (k ) 0 XXI
L
315
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Estas ecuaciones nos dicen que en un mercado de factores productivos competitivo y sin
externalidades, para maximizar sus beneficios, la empresa debe garantizar que las
productividades marginales de sus factores de produccin sean iguales a sus respectivos
precios de alquiler (siendo r el precio de alquiler del capital y w el precio de
alquiler del trabajo o salario).
Remplazando (14c), (14d) y (15) en (XV), resulta:
(K * , L* ) F(K* , L* ) w L* r K* f k * L* w L* r k * L* XXII
(K * , L* ) f k * w r k * L *
XXIII
(K * , L* ) f k * f (k * ) k * f ' (k * ) f ' (k * ) k * L*
0 XXIV
Anexo 5
317
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y f k k f 1 f k f 1 y gy gf k XXVIII
Derivando (XXVIII) respecto de y resulta:
k
k
f 1 f k g f k g y
' ' 1
XXIX
y f k f k f ' k
'
*
y
*
f k f k
f k * f k
n k *
y y * f ' k *
1
n
f ' k
*
f k*
y * n 1
f k k
XXXII
' * k*
y
f k*
319
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
yf k f k s g f k XXXVIII
y y * *
n
' * ' *
y f k
Anexo 6
Teorema de Taylor
Versin unidimensional:
Sea f x una funcin de una variable real. El teorema de Taylor nos dice que podemos
aproximar esta funcin alrededor del punto x * con un polinomio de grado n como
sigue:
df x x
f x f x x 1 d f x x x*
2 1 d f x x x* n
R XLII
* *
2 * n *
2! n!
*
n
dx dx 2 dx n
Donde
dnf x*
320
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
dx n
es la x*,
n-
sima
derivad
a de f
respect
o a x
evaluad
a en el
punto
n! n n 1 n 2 3 2 1 es el factorial de n, y R n es un residuo o resto. La
expresin de la ecuacin (XLII), sin considerar R n , es la denominada expansin de
las series de Taylor de f x alrededor de x * .
x x
df x 1 d f x x x
x x XLIII
1 d f x
f x f x
2 n
* *
*
* 2 * n *
*
dx 2! dx 2 n! dx n
321
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
las cuales la aproximacin (la ecuacin (XLII) sin el residuo) se hace ms exacta segn
n aumenta.
Anexo 7
Efectuando una aproximacin lineal de la expansin de las series de Ta ylor de k k
alrededor de k * , (ver anexo 6), se tiene que:
k
k k *
k
k k k * *
XLVI
k
k k k * k k * XLVII
Resolviendo (XLVII) se tiene22:
*
k
*
*
k
*
k k k
*
k k k* k e kk t B k k * e k k t dt
*
k t e k k t B k *e k k t
*
XLVIII
k 0 B k * B k 0 k * XLIX
k t k * k 0 k * e k k t
*
L
322
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El tiempo que le toma a k t recorrer la mitad de la distancia que le separa de su valor
de estado estacionario, k * , partiendo de k 0 la calcularemos teniendo en cuenta que:
k 0 k * 2 k t k * t 0 LI
22
Ver anexo 9.
323
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
kt k * k0 k * e k k t kt k * 2 kt k * e kk t
* *
1 2 e k k t ln1 2 k k * t
*
ln 2 0,69
t LII
k *
k *
k k
Por otro lado, efectuando una aproximacin lineal de la expansin de las series de
Taylor de yy alrededor de y * , (ver anexo 6), se tiene que:
y y * y
y
y y y * *
LIII
y
Resolviendo esta ecuacin diferencial tal como hicimos con (XLVII) resulta:
* y y t
yt y y0 y e
*
*
LVI
ln 2 0,69
t LVII
y *
y *
y y
324
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0,69
t 17
0,04
Anexo 8
K
Y FK,1
Y FK, L K a L1 a
L
L 1
Fuente: Elaboracin propia basada en De la Grandville (2009).
325
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
L L
L
P MgL FK, L a a 1 K 0
2 a
L L2 La 1
FK, L K a 1 1
lm
lm a aL lm
1 a
K 0
K 0 K L
K 0 K
FK, L
a
1
a
K
lm 1 a 1 a K lm 0 LXI
a
lm
L L L
L
L L
a
a
FK, L 1
K 1 a K a lm
lm lm 1 a
L
L 0
L 0 L 0
L L
F0, L 0 L 0
a 1 a
326
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
FK, L L 1 a
K
L
L
L
1 a
FK, L
FL
K a L1a
327
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Como podemos apreciar, la funcin dada por (LVIII) tambin satisface el teorema de
Euler. Esto es:
FK FL a 1 a 1 LXIII
Por otro lado, dividiendo (LVIII) entre L, y teniendo en cuenta (14d), la funcin de
produccin tipo Cobb-Douglas en trminos per cpita (por unidad de trabajador) viene
dada por:
a 1a a
a 1a
Y FK, L K L K L K
y f k ka , 0 a 1 LXIV
a 1a
L L L L L L
df k 1
lm
lm f ' k lm ak a 1 a lm LXVI
k 0
k 0 k
dk k 0 k 0
1 a
lm lm f k lm ak
' a 1
a lm
0
k df k k k k
1
dk k
f 0 0 0
a
Anexo 9
Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con
coeficientes variables: La forma general de este tipo de ecuaciones puede
expresarse como:
a 0 t f t
a 1 t x ' a 0 t x f t Si a 1 t 0 t x ' x
328
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
a 1 t a 1 t
x ' w t x qt LXVII
w t dt
Su solucin general la obtendremos multiplicando (LXVII) por el factor e ,
denominado factor de integracin, de donde tenemos que:
x 'e w t xe qt e
w t dt w t dt w t dt
329
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Resultando que:
w t dt
d xe
' w t dt w t dt
w t xe q t e
w t
xe dt
dt
w t dt
d xe
dt q t e
dt xe
q t e
dt C
dt w t dt w t dt w t dt
330
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
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Solow, R. (1963): Capital Theory and the Rate of Return. North-Holland. New York.
332
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
282
El modelo de crecimiento ptimo de Ramsey-
Cass-Koopmans1
En esta seccin analizaremos los fundamentos del consumo y la acumulacin de capital
fsico en un modelo de equilibrio dinmico no monetario: El modelo determinstico de
crecimiento econmico ptimo de Ramsey, Cass y Koopmans. Este modelo lo
resolveremos utilizando la teora de control ptimo.
Supuestos del modelo:
1. Este modelo estudia la asignacin ptima de los recursos de una nacin en cada
instante del tiempo entre consumo actual y ahorro. En primera instancia se asumir
que la asignacin intertemporal de recursos es resuelta exgenamente por un
planificador central, cuyo objetivo es maximizar el bienestar social sujeto a una
restriccin presupuestaria dinmica (versin centralizada). En segundo lugar, se
asume que la trayectoria de consumo, y por tanto, la tasa de ahorro son determinadas
endgenamente (a diferencia del modelo de Solow-Swan en el que la tasa de ahorro
se considera constante y exgenamente dada) por el proceso de optimizacin de las
familias y empresas representativas que interactan en mercados competitivos
sujetas a una restriccin presupuestaria dinmica (versin descentralizada).
2. Los individuos tienen un horizonte infinito, es decir, vida infinita. Si bien puede
considerarse este supuesto absurdo, su conceptualizacin puede hacerse por ejemplo
a partir de suponer la existencia de dinastas. Este supuesto ilustra la idea de que los
padres tienen en cuenta el bienestar de su descendencia al momento de realizar sus
decisiones de consumo. Es decir, las familias escogen consumo y ahorran
maximizando su utilidad dinstica, sujetas a una restriccin presupuestaria
intertemporal.
3. El supuesto de horizonte infinito tiene fuertes implicancias: junto con el supuesto de
mercados competitivos (bajo el contexto de una economa cerrada), rendimientos
constantes a escala en la produccin y agentes homogneos, tpicamente implica que
la asignacin de recursos alcanzada por una economa descentralizada ser la misma
a la elegida por un planificador central que maximiza la utilidad del agente econmico
representativo de la economa en el modelo. Se demostrar la equivalencia entre la
asignacin de recursos en la economa descentralizada y en una economa planificada.
4. No hay incertidumbre.
5. La poblacin, N t crece a una tasa n n N t N t ; sta puede ser pensada como
una familia o muchas familias idnticas, creciendo a lo largo del tiempo.
6. La fuerza de trabajo (poblacin econmicamente activa) es igual a la poblacin. No
hay nios ni ancianos (jubilados). La oferta de trabajo es inelstica.
7. La produccin se puede consumir o invertir. La inversin aumenta el stock de
capital.
Formalmente:
Yt FK t , N t C t K
t (1)
Inversin Neta
1
Este modelo fue inicialmente desarrollado por Ramsey (1928) y luego fue refinado por Cass (1965) y Koopmans (1965). Estas
notas replican fundamentalmente las secciones 2.1, 2.2 y 2.3 del captulo 2 de Blanchard y Fisher (1989), pero deduciendo paso a paso
la mayora de las ecuaciones desarrolladas en dichas secciones, y agregando a su versin del modelo de Ramsey-Cass- Koopmans
simulaciones numricas desarrolladas en Matlab 7.12.0.
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dnde:
Ct Kt Kt Nt K t Nt
ct y k t k t
Nt Nt N 2t
Kt K t N t Kt Kt
k t k t k t n kt kt n
(3)
N t N t N t Nt Nt
kt
n
f '' k t 0
284
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
muy pequeo, es muy grande.
f ' 0 (7) : El incremento de f k t ante un incremento de k t , cuando k t es
285
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y N 0 0 es la poblacin inicial.
12. Las preferencias de la familia acerca del consumo a lo largo del tiempo son
representadas por la integral de la utilidad:
Us uc t e t s dt U 0 u c t e t dt (8)
s 0
dN t
n d t ln N t n t N t e nt
Nt
N0 N0 N 0 e Nt N0 ent
286
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y suponiendo que s 0, entonces (8) se transformara en:
U N u c e dt N e u c e dt N u c e n t dt
t nt
t
0 t t 0 t 0 t
0 0 0
287
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
nica eleccin que tiene que hacer en cada instante del tiempo es: Cunto debera
consumir la familia representativa, y en cunto debera incrementar el stock de
capital fsico (ahorrar o invertir) para proporcionar consumo en el futuro, dado un
stock de capital inicial arbitrario, k 0 ?
Formalmente, el planificador tiene que encontrar la senda ptima c t para
dada por (10), a las condiciones de no negatividad del stock de capital y del
consumo per cpita, y a un stock de capital inicial arbitrariamente dado, k 0 . Esto
es:
M ax U 0 u c t e t dt 9
0
s.a :
k t f k t c t nk t 10
k t 0 t
c t 0 t
k 0 0 dado
Dnde:
288
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
H t uc t e t f k t nk t c t (11)
t
289
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
H uc ~
f k nk c et (12)
t t t t t t
H t
0 i
c t
H t
t ii
k t
lm k 0 iii
t
t t
Ht
k t f k t c t nk t iv
t
Note que i y ii son condiciones necesarias de primer orden, pero adems son
suficientes ya que el Hamiltoniano a maximizar es cncavo [donde u c t es
*
u ' c t
~
t (13)
~
Ecuacin de Euler:
d t
(14)
t n f ' k t
~
dt
2
Ver anexo 1.
291
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Lm k t u ' c t e t 0 (15)
t
du c dt
'
t
c u ' '
t c t
u ' ' c t c t u ' c t n f ' k t n f ' k 17
'
u c t
' t
ct c t u ' ' ct
c u c t
Donde Sc representa la curvatura de la funcin de utilidad.
t
u ' c t
t
Por tanto:
292
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
u' c t
c t lm c s , c t
st
c t u' ' c t
293
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por los supuestos hechos acerca de la funcin de utilidad u' c t 0 , u' ' c t 0 y
Dado esto, note que es entonces el inverso del coeficiente de aversin al riesgo lo
que define con cuanta fuerza el individuo estar dispuesto a sustituir el consumo
en el tiempo (aplanar consumo), este coeficiente recibe el nombre de elasticidad
de sustitucin intertemporal, como vimos antes:
1 u' c t
ct
sc t c t u' ' c t
c t
c t f ' k t n (19) (Ecuacin de Euler)
ct
condicin necesaria que debe ser satisfecha en cualquier senda ptima. sta es la
versin en tiempo continuo anloga a la condicin de eficiencia estndar que
establece que la tasa marginal de sustitucin debe ser igual a la tasa marginal de
transformacin, como demostraremos en breve. sta fue derivada por Ramsey en
su clsico artculo, el cual incluye una explicacin verbal atribuida a Keynes.
Aqu se desarrollar una explicacin intuitiva de esta condicin.
3
Ver enexo 3.
295
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Si:
du u
c t 0 c t dc t u' c t u u' c t c t
dc t c t
1 FK t , Nt W N t rK t
econmicamente activa.
Se ha normalizado el precio del bien final (output) a 1.
F F
r 0 r FK t (21)
K t K t K t
296
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
f k t w r k t
d
f ' k t r 0 r f ' k t (22)
dk t
Ojo: Como:
1
f k t FK t , N t
N t
1 FK t , N t Kt 1
f ' k F N F r
K t
t
N k N Kt t Kt
t t t
N t
K t
K t N t k t
k t
c t 1 c t 1 FK t
En consecuencia, el incremento de la utilidad (de la familia representativa) en
t+1 producido por c t 1 ser:
u c t 1 u' c t 1 1 FK t c t
N t
Por otro lado, la tasa de crecimiento de la poblacin viene dada por: n
Nt
(versin discreta). Entonces:
N t n N t N t 1 N t n N t N t 1 N t n N t N t 1 N t n 1
297
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por lo que:
u c t 1 u' c t 1 1 f ' k t c t
N t 1 N t 1 n
298
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1 u' c t 1 1 n
Ecuacin de Euler (versin discreta ): (23)
u' c t 1 f ' k t
u c t u
c
s e
s t
(24)
"actualizada al instante t "
299
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dnde, si t 0 t dt, y si ct 0 ct dct , por tanto:
u c t du c t du c t dc t ct
u' c u c u' c c (25)
t t t
t
t dt dc t dt t
300
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
kt
k s c s
c t Senda ptima de k t
k t
k0
t
t t t s s t
c t t k t
28
cs t k s
k s s
ln f ' k v n dv
k t t t
S
k
f ' k v n dv
k k
s
ln
s
k t
e
s t
e t
k t k t
301
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
S
f ' k v n dv
k s k t e
t t
29
f' k
n dv
s t
u' c t k t u' c s e
v
t t
k t e
u' c
S
f ' k v n dv
e t t
t
(31)
s t
u' c e MRT t , s
s
MRS t , s
La ecuacin (31) tiene la misma interpretacin que la ecuacin (23), a saber, que
las tasas marginales de sustitucin y de transformacin son iguales.
d M RSt, s
Calculemos primero lm . Aplicando las reglas de derivacin de un
st
ds
cociente y de la cadena:
u' c
u' ' c
dcs
e s t u' c e s t
t s s
d M RS t, s ds
ds u' c e s
s t 2
u' c
u' ' c
dc t
e 0 u' c e 0
d M RS t, s
t t t
dt
302
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
lm
u' c e 0
2
st
ds
t
dc t
u' ' c t
u' c
t
d M RSt, s dt u' ' c c
lm
(33)
t t
u' c
ds t
u' c t
st
303
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
b I a, b
a b
dM RTt, s
S
f ' k v n
f ' k s n dv
ds e t t
dM RTt, s
lm f ' k n e 0 f ' k n (34)
t t
st
ds
u' ' c t c t
Ecuacin de Euler (versin continua): n f ' k t
u' c t
304
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La condicin de transversalidad:
c 1
t
p ara 0, 1
u c t 1
ln c t , p ara 1
la regla de L Hpital:
c 1
ln c c 1
u c lm u c lm ln c lm c
t t t 1
t
1 t
1
t
1
t
1 1
uc ln c c 0 uc ln c
t t t t t
305
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Ahora calculemos la elasticidad instantnea de sustitucin:
u ' c t c t
1
c p ara 1
t
c t u ' ' c t
t 1
ct c
1 c t
c 1 p ara 1
c t 1 c 2t
t
306
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
f ' k t n
ct
para 1
ct
ct
f ' k t n para 1
ct
1
Debido a que el coeficiente de aversin relativa al riesgo Sc t , en este
c t
caso tenemos:
Sc t cte. (para 1)
Sc t 1 cte. (para 1 )
Por tanto, esta funcin tambin es llamada funcin de utilidad con aversin
relativa al riesgo constante (CRRA: Constant Relative Risk Averse).
e c t
u c t para 0
Dnde:
e
tc
1
ct
c e c t
t c
t
u' ' c t e c t
c t
u' c t e c t
308
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Estado estacionario:
c 0
t 35
k t 0 36
f ' k * n (37)
c* f k * nk * (39)
dk
La modificacin en (37) es que el stock de capital es reducido por debajo del nivel
de la regla de oro en una cantidad que depende de la tasa de preferencia temporal.
Aun cuando la sociedad o la familia pudiesen consumir ms en el estado
estacionario con el stock de capital de la regla de oro k g , la impaciencia
309
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
reflejada en la tasa de preferencia temporal implica que no es ptimo reducir el
consumo actual para alcanzar el mayor nivel de consumo (dado por la regla de
oro).
310
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yt FK t , et N t
Dnde:
Kt Ct
k t , c t ,
et N t et N t
Yt FK t , e t N
y t
et N t
,
f k
et N t
t
t
t
k t K t N t et k c t C t N t e c t
ct 1
Y si la funcin utilidad es de la clase CRRA u c
, entonces la regla
t
1
de oro modificada sera: f ' k * n , donde k * t
e N
Kt
, y el estado
t
estacionario es uno en el cual el consumo per cpita est creciendo a la tasa 4].
Dinmica del modelo:
Para estudiar la dinmica del modelo, utilizaremos el diagrama de fase de la figura
3, dibujando en el plano k t , c t . Todos los puntos del primer cuadrante son
factibles, excepto los puntos sobre el eje vertical arriba del origen, sin capital [esto
es, si k t 0 ], la produccin es cero, y por tanto un c t positivo no es factible.
El lugar geomtrico de puntos k t , c t , ceroclina, que satisface la condicin
311
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El lugar geomtrico de puntos, la ceroclina, que satisface la condicin c t 0 es,
de (19), vertical al stock de capital de la regla de oro modificada, k *.
4
Ver anexo 2.
312
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En cualquier punto arriba de la ceroclina k t 0 , el capital per cpita es
decreciente: el consumo est encima del nivel que mantendra a k t constante
(esto es, el nivel de c t sobre la curva k t 0 ). De manera similar, k t se
En el caso de la rama vertical de la ceroclina c t 0, para valores de k t k * , el
I
B
E
c*
II kt 0
F
III IV
D'
c0
D
D' ' kt
313
CIRO BAZN
a
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0 k0 k* kg k 0 A
314
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Consideramos cualquier trayectoria que empiece en la zona III encima del punto
D, digamos en D' . Esta senda implica que la economa alcanzara capital
cero (punto B) en tiempo finito. La demostracin gira en torno al hecho que en
tal trayectoria (senda D' B ) la derivada d 2 k t dt 2 eventualmente se hace
negativa (a lo largo del tramo FB). Derivando (4) respecto del tiempo tenemos
que:
d2 k t d 2k t
f ' (k ) k c nk f ' (k ) n k c 0
t t t t t t t
2 2
dt dt
c t 0, k t 0 y f ' (k t ) f ' (k * ) n f ' (k t ) n 0
t
Por lo tanto: k t k 0 dk v / dv dv alcanzara el valor cero en tiempo finito.
0
Note que c t est aumentando sobre la senda que parte de D' todo el tiempo
hasta que toca el eje en el punto B. Pero cuando la senda alcanza B, k t es
cero, y la economa tiene que moverse hacia el origen (ya que al hacerse el capital
per cpita nulo, k t 0, entonces la produccin per cpita cae a cero,
ct 0
f k
'
t
, de 19 tendramos que c t c t . Por ende, tal salto (de B al
kt 0
ct 0
origen) viola la ecuacin de Euler 19 17' , y por tanto no puede haber sido
ptimo partir de D' .
315
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Consideremos, alternativamente, una trayectoria partiendo debajo de D, por
ejemplo, en D' ' . Esta senda converge asintticamente a A. Pero tal senda
viola la condicin de transversalidad. En puntos cercanos a A, k t es
aproximadamente constante, mientras de 17' y para k t k g , tenemos que:
du' (c t ) / dt
n f ' (k t )
u' (c t )
316
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n f ' (k A ) n f ' (k g )
n f ' (k A ) n n
n f ' (k A )
t
Tasa de d ecrecimien to de e
d(e t ) / dt e t
t
e t e
t k t u' c t
lm
t
e 0
crece a tasa ""
d ecrece a tasa ""
sigue que el punto de silla de la senda DD es la nica senda que satisface las
condiciones: (4), 17' 19 y (15).
conoce con certeza a partir del instante inicial cual ser el nivel de consumo y de
stock de capital en cada momento en el futuro.
Comportamiento local alrededor del estado estacionario:
317
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La linealizacin de la dinmica del sistema dado por (4) y 17' genera otras ideas
en el comportamiento dinmico de la economa. Linealizando el sistema
alrededor del estado estacionario: Las leyes del movimiento son:
k t
f k t nk t c t 1 k t , c t
c t c t c t f ' k t n 2 k t , c t
318
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k , c k , c k k * c c *
* * 1 1
k , c
* *
k , c * *
t t
k t c t
1 t t 1
* * * *
* * 2 k , c 2 k , c
k
2 t t
, c 2
k , c k k * ct c *
k t c t
t
1 k , c 0
k t * *
En el estado estacionario:
c t 2 k * , c* 0
2 k t , c t 2 k t , c t
c c f ' ' k f ' k n c c ' c
t
c t
t t t t t t
k t
1 k , c
f ' k n n n
*
* *
de la ecuacin de Euler
k t
1 k * , c*
1
c t
2 k* , c*
c c f ' ' k * 0
* *
k t
k , c
f ' k * n c c ' c 0
* * *
* *
2
c t
0
319
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La linealizacin de las leyes del movimiento en las cercanas del estado
estacionario da:
(k , c ) k t (k k * ) c c* (42)
1 t t t t
k , c c k k *
(43)
2 t t t t
t t t
A ~ ~
X X
~
X X
320
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Dnde:
~ ~
kt k t k k t k t
*
~ * ~
ct ct c c t c t
~ ~
k t X
kt
X
~
c t c t
Siendo: 1 y 2 .
2 2
0 0
0 1
.
0 2 0
Ahora veamos una proposicin que resulta til para analizar la estabilidad del
sistema dinmico (44)5.
Proposicin: Sea el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
x t a1 x t a 2 y t x t a11 a 2 x t
b b y
321
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
y b1 x t b 2 y t y 2 t
t t
5
Esta proposicin se ha extrado de Urza (2001).
322
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y J sea una matriz no singular (con determinante distinto de cero), se dice que:
1.- El sistema tendr un brazo estable si los valores propios (autovalores) de la
matriz son reales y de signos distintos, es decir:
sign (1 ) sign ( 2 ).
La presencia de una raz positiva implica que para una condicin inicial arbitraria,
el sistema explota (diverge); para cualquier valor dado de k 0 , hay un nico valor
Para que el sistema formado por las ecuaciones (45) y (46) converja al estado
estacionario E deberemos eliminar el efecto explosivo de 1 . Por lo que
impondremos a1 b1 0 y tomando como condiciones iniciales c 0 y k 0 ,
tendremos:
~
k t a 2e 2 t k t k * a 2e 2 t k 0 k * a 2e0 a 2 k 0 k *
k t k * (k 0 k * )e 2 t (47)
~
ct b2e 2 t c t c* b2e 2 t c 0 c* b2e0 b 2 c 0 c*
k k* c c* c c*
e 2 t c c* (k k * )
t t 0
305
CIRO BAZN TPICOS ENt MACROECONOMA DINMICA
k0 k c
* c* * t
0 0
k k
c c* c* k 0 k *c0
0 6
ct kt
(49)
k k* k k*
0 0
6
Ver anexo 4.
306
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin numrica:
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en la simulacin, efectuada en
Matlab 7.12.0, del caso centralizado del modelo de crecimiento ptimo de Ramsey-
Cass-Koopmans, con una funcin de produccin de Elasticidad de Sustitucin
Constante (Constant Elasticity of Substitution: CES), para una funcin de
utilidad (Constant Relative Risk Averse: CRRA), y con determinados valores para
los parmetros del modelo.
yt
t t t
f kt 1
kt 1 (II)
Nt Nt t t
Nt
k 1 k 1
1
f ' k
t t t
1
307
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
f k
''
11k t k k
t t 1
2
(III)
t
k
t
1
2
1 u ' ' c c 1
t t
308
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La elasticidad de sustitucin instantnea del consumo per cpita viene dada por:
u ' c t
c t 1
c t p ara 1 (V)
c t u ' ' c t
1
ct ct
t 1
1
k t k c n kt
n 1
c t 0 t
c
0 kt 1 t 0, (VIII)
k t 0 c t 1 k
t
1
nk
t
Parmetros Valores
1,5
n 0,5
0,01
0,5
2
7
Recordar que la senda de fase ptima deber satisfacer las condiciones del principio del mximo de
Pontryagin, dadas por (VI), junto con la condicin de transversalidad:
lm k u ' c e t lm k c e t 0.
t t t t
t t
310
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
3
2
1,5 0,5 0,5k
t
k t 0,5k 2 0,5 1 2 c 0,5k t
t
ct 0 c 0 k
t 0,9868 t 0,
t t
(X)
k t 0 c t 0,5k t 2 0,5 0,5 0,5k
E 3 k 3 , c 3 2,6458; 0
* *
1.8
1.6
1.4
A
1.2
P0
ct
0.8
0.6
E2
0.4 kt ' = 0
0.2
E1
0
0 0.5 1 ct ' = 0 1.5 2 2.5 E3 3
kt
311
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura I: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una
funcin de produccin CES y una funcin de utilidad CRRA
312
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Asimismo, en la figura I, se han dibujado las ceroclinas, c t 0 y k t 0, que se
hay perturbaciones, sta converger al punto de equilibrio E2. Esto es, las
trayectorias ptimas del capital y del consumo per cpita decrecen
montonamente conforme transcurre el tiempo y convergen hacia sus respectivos
valores de largo plazo (las componentes de E2), tal como se aprecia en la figura II.
2.5
kt
ct
2
kt and ct
1.5
0.5
0 5 10 15 20 25
t
Figura II: Comportamiento dinmico del capital y del consumo per cpita
*
c c 2 0,4999
*
(c* ) 0,6666
f ' ' (k * ) -0,7649
(XI)
c (c ) f ' ' (k ) 0,254944
* * *
4 1,0199
2
1 0,5099
2 0,4999
313
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k k 0,01k c 0,49006623
t 0,01 1 k 0,9868 t
t t t
(XII)
0,254944 0 c t 0,4999
c t c t 0,25494393k t 0,25157812
por la ecuacin (4)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cpita que
sita a la economa en el instante inicial sobre
0 0 el brazo estable del sistema
linealizado es: c0 1,27158. Sustituyendo c , k , c* , y k * en (49) obtenemos el
brazo estable (la senda ptima linealizada en los alrededores de E2) del sistema
linealizado:
c t 0,50994k t 0,003278 (XIV)
Se puede ver que a pesar de que el punto inicial del sistema linealizado no
coincide con el del sistema no lineal (para el mismo stock de capital inicial,
k 0 2,5, el consumo inicial en ambos sistemas difiere ligeramente debido a la
del capital y del consumo per cpita a lo largo del brazo estable del sistema
linealizado:
k t 0,9868 1,5132e0, 4999t
(XV)
c 0,4999 0,7716e 0, 4999t
314
CIRO BAZN t
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
315
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
ct ' =0
1.8
1.6
1.4
P0
1.2
1
ct
0.8
0.6 E2
kt ' =0
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
kt
2.5 kt
ct
2
kt and ct
1.5
0.5
0 5 10 15 20 25
t
Figura IV: Comportamiento dinmico del capital y del consumo per cpita
para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario
316
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Hay muchas familias idnticas, cada una con una funcin de bienestar dada por la
ecuacin (8). Cada familia decide, en cualquier punto del tiempo, cunto trabajo y
cunto capital alquilar a las empresas y cunto ahorrar o consumir. Ellas pueden
ahorrar acumulando capital o prestando a otras familias. Las familias son
indiferentes en cuanto a la composicin de su riqueza, as que el tipo de inters de
la deuda debe ser igual a la tarifa de alquiler del capital.
pk
tasa de depreciacin. En el modelo de nico bien, pk es igual a uno, de modo
que no ha y cambios en el precio relativo del ca pital, y estamos asumiendo que
es cero, por consiguiente, la tasa de retorno del capital es rk, que es igual
a la tasa de inters (Nosotros estamos implcitamente asumiendo que la economa
nunca se especializa totalmente, si sta no ahor r todo, el precio relativo de los
bienes de capital, podra ser menor que uno; si sta no consumi todo, el precio
relativo del capital podra exceder a uno).
Hay muchas empresas idnticas, cada una con la misma tecnologa la cual es
descrita por la ecuacin (4); las empresas alquilan los servicios de capital y
trabajo para producir output. Por conveniencia notacional podemos asumir que
hay slo una familia y una firma, ambas actuando competitivamente. El supuesto
de rendimientos constantes a escala permite suponer la existencia de un
comportamiento competitivo. Los precios de los factores productivos (el salario real
y la tarifa del alquiler del capital) la firma los considera como dados.
317
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Las familias y las empresas tienen previsin perfecta; esto es, ellas conocen los
valores actuales y futuros de w y r y los toman como dados. (Bajo certidumbre,
la previsin perfecta es equivalente a las expectativas racionales).
Ms formalmente, permtase a w t , rt , t 0,, ser la secuencia de salarios y
a t k t b pt (52)
318
CIRO
8
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para ver una forma alternativa de describir la economa descentralizada remtase a Novales et al. (2010).
9
Ver anexo 5.
319
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
F(K t , N t ) F(K t , N t )
w t 0 wt (56)
N t N t N t
t
f (K ) N f ' (k )
t t t t
F(K , N ) N f (k ) t t t
dk
N t N t dN
t
F(K t , N t ) Kt
f k ) f ' (k ) N f (k ) f ' (k ) k
N t
t t
2 t t t t
Nt
Luego:
rt f ' (k t ) (57)
w t f (k t ) k t f ' (k t ) (58)
capital a su vez implicar una senda de salarios y de tarifas de alquiler. Las sendas
de equilibrio de salarios y tarifas de alquiler son definidas como aquellas sendas que
se reproducen dadas las decisiones ptimas tanto de las empresas como de las
familias. Ahora caracterizaremos la senda de equilibrio de la economa.
320
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
( rv n ) dv
t (59)
0
0
lm e
t
321
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Necesitamos por tanto una condicin adicional que evite que las familias elijan tal
senda, con una deuda que explote con respecto al tamao de la familia. Al mismo
tiempo no queremos imponer una condicin que elimine el endeudamiento
temporal.
Nota: En el presente modelo, en que todas las fa milias son idnticas, ella s en el
equilibrio tienen la misma posicin de riqueza y tienen la misma fraccin de stock
de capital. Ya que el stock de capital agregado debe ser positivo, cada familia, en
equilibrio, tendr riqueza positiva. sta es, sin embargo, una caracterstica de
equilibrio, no una restriccin que debera ser impuesta a priori en el problema de
maximizacin de cada familia. En una economa con familias heterogneas, o con
familias con diferentes sendas de la renta del tra bajo, capital agregado positivo
puede coexistir con el pr stamo temporal de algunas familias.
0t( rv n ) dv
lm a e 0 (60)
t
t
10
El juego de Ponzi bsicamente consiste en pedir dinero a n personas, cada una de las cuales hace lo mismo con otros n individuos y as
sucesivamente. Charles Ponzi fue condenado por el fraude de organizar esquemas de inversin tipo pirmide. En particular, Ponzi emiti un
tipo de bono llamado cupn postal y pagaba los rendimientos de los mismos con nueva deuda, es decir, con la venta de ms cupones.
322
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El caso obsesivo sera aquel en que la gente se endeudara para mantener un alto
nivel de consumo ( b p t 0 y a t 0 ) para luego pagar los intereses de la deuda
posible tener por siempre una tasa de crecimiento del endeudamiento mayor que
la tasa de inters. La condicin NPG nos dice que en el lmite de valor presente
de los activos debe ser positivo. En trminos prcticos la NPG no implica que
b p t debe ser menor que cero siempre, sino que slo debe serlo en el lmite,
Urza (2001).
A continuacin se presenta una proposicin que nos ser til para posteriormente
ver que implica la NPG11.
Proposicin: Sea la expresin (t) X(t) X(t)(t) una ecuacin diferencial a
integrar. Se define el factor de integracin I(t), tal que:
dI(t)X(t)
I(t) I(t)
d I (t) dI(t)
(t)dt (t)dt ln I(t) (t)dt
I(t) I(t)
eln I ( t ) e I(t) e
( t ) dt ( t ) dt
[factor de integracin de (t) ]
Note que:
dI(t)X(t) I(t)X(t) I(t) X(t)dt I(t)X(t) I(t)X(t) I(t) X(t)dt
Notar que en el caso en que al derivar I(t) se produzca un cambio de signo
( t ) dt
entonces I(t) e . El concepto de factor de integracin tiene importancia
323
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
(c t w t ) a t a t (n rt ) 0
11
Esta proposicin se ha extrado de Urza (2001).
324
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
( rv n ) dv
I(t) R Tt e t
t ( rv n ) dv ( rv n ) dv
a a (n r ) e t
(c w )e 0 (61)
t t t t t
T T
( rv n ) d v
T
T
( r n ) d v
v
(c t w t )e t dt
t
a a t n r
t e t
dt0 ( 62)
0 0
tT( rv n ) dv
d a t e T T
a e t
( rv n ) dv
a (r n)e t
( rv n ) dv
t t t
dt
tT( rv n ) dv
d a t e T T
a e t
( rv n ) dv
a (n r )e t
( rv n ) dv
t t t
dt
( r n ) dv
T
d a t e t v
at a (n r ) e t ( rv n ) dv
T
t t
dt
Integrando:
( r n ) dv
T
d a t e t v
a t ( rv n ) dvdt
T
T dt
T
t a (n rt )e
t
0
dt
0
325
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0
( rv n ) dv
T T T
( rv n ) dv ( rv n ) dv T
a e T a e 0 a a (nT r ) e t dt
T 0 0 t t t
( rv n ) dv T ( rv n ) dv
T
a a e 0 a a (n r ) e t dt (63)
T 0 0 t t t
326
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
( r n ) dv
0 (c t w t )e d t a T a 0e
0 v
0 (64)
e 0
T
( rv n ) dv
T 1
Multiplicando por el factor de descuento entre 0 y T, (R ) o
, y
aplicando lmite cuando T :
0
T rv n dv
t
0
T
rv n dv
0
lm 0 (c t w t )e dt lm a T e a0 0
T
T
( NPG )
Por lo que:
rv n dv
t
0 (c t w t )e dt a0
0
activo inicial
c t e 0
r v n dv
t
0 dt a 0 h 0 (65)
r n dv
0 w t e 0 v
t
Dnde: h0 dt : valor presente de los salarios.
historia de los salarios
Donde (65) implica que el valor actual del consumo es igual a la riqueza total, que
es la suma de la riqueza no humana a 0 y de la riqueza humana, h 0 , el valor
presente de la renta del trabajo (salarios: w t ). Por tanto, la condicin (60) nos
327
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Nota: Esto plantea la cuestin de cmo la condicin de no admitir el juego de Ponzi
se hace cumplir realmente. El hecho que los padres no puedan, para la mayor parte,
dejar lega dos negativos a sus hijos implica que la deuda de la familia no pueda
incrementarse exponencialmente. En realidad puede imponerse una condicin ms
fuer te sobre las peticiones de prstamos que la condicin NPG aqu utilizada.
328
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El equilibrio descentralizado:
s.a : a t (w t c t ) a t (rt n)
k 0 : dado 0
k t 0 t 66
c t 0 t
lm a e 0
rv n dv
t
0
t
t
El Hamiltoniano es:
H (c , a , ) u(c )e t t w t c t a t rt n (67)
t t t t t
H t
t t (rt n) t (70)
a t
u' (c t )(rt n) u' (c t ) u' ' (c t ) c t
u' (c t )(rt n) u' ' (c t ) c t (71)
u' (c t )f ' (k t ) n u' ' (c t ) c t
u' ' (c t ) c t
n f ' (k t ) (72)
u' (c t )
rt
329
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De la condicin de transversalidad:
lm a t t 0 (73)
t
330
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
lm a t u' (c t )e t 0
t
(74)
Tal como se mencion antes, en equilibrio las deudas agregadas de las familias
deben ser iguales a cero, por lo que se puede afirmar que:
at kt at kt (75)
lm k t u' (c t )e
t
t
0 (76)
Reemplazando (75):
c t k t nk t f (k t ) k t f ' (k t ) f ' (k t )k t
k t f (k t ) nk t c t (77)
lma t t 0
t
lm k t t 0 (78)
t
t v v 0 v
t v
0 0 0
331
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t
t r n dv e rv n dv
t
ln
(79)
0 v t 0
0
0
Reemplazando (79) en (78):
lm k t 0 e
t
0t r v n dv
0
Por otro lado de (68):
0 u' (c0 )e0 0 u' (c0 ) como c0 0 y u' (ct ) 0 t 0 u' (c0 ) 0
0
0 r v n dv
e
0 lm k t e 0 rv n dv 0 lm k t
t t
t t
Por otro lado, siguiendo con la nota (**) de la pgina 33, hay un punto flojo en
nuestra demostracin de equivalencia, que va mos a solucionar. Nos hemos
restringido a sendas donde la tasa de inters excede asinttica mente a la tasa de
crecimiento de la pobla cin. Dada esta r estriccin demostraremos que hay una
senda de equilibrio, que es la misma que la del planeamiento central, de modo
que r converja asintticamente a n .
332
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para un valor dado de consumo inicial c 0 , podemos integrar esta ecuacin hacia
delante para obtener:
c c e (82)
t
0
(c t ) rv n dv
t 0
0 c0 e ( c )( r n )dv ( r n )dv
dt a 0 h 0
e
t
( rv n ) ( c ) 1 ( ct )dv
c0 e 0
t
0 dt a 0 h 0
0t( rv n ) ( c t ) 1 ( c t )dv
c0 0 e dt a 0 h 0
0 1
c0 0 (a 0 h 0 )
Dnde:
( r n ) ( c ) 1 ( c )dv
t
1
e0 v dt 84
t t
333
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0 0
334
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Suponemos que el gobierno est consumiendo recursos y pagando por ellos con
impuestos. La demanda per cpita de recursos por parte del gobierno g t es
exgena y adems, no afecta directamente a la utilidad marginal del consumo de
la familia representativa.
Nota: El gasto del gobierno, por ejemplo en educacin, podra sustituir al gasto
privado en cuyo caso la funcin de utilidad tendra que ser modificada
apropiadamente. Similar mente, el gasto del gobierno en defensa y en seguridad
pblica podra contribuir a la capacidad productiva de la economa, pero
nosotros no modelamos tales efectos.
335
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para empezar, permtase al gobierno imponer un gravamen per cpita tipo lump
sum t de modo que el presupuesto del gobierno este balanceado en cada
momento, esto es: g t t (no hay dficit pblico).
O bien:
c t a t w t (rt n) a t g t (86)
Con:
a t k t b pt (87)
Haciendo:
t
R t 1
0
r n dv
e 0 v
ct dct / dt 0
E
c* g
*' dkt / dt 0
c
E'
dkt / dt 0'
kt
0 k' k*
337
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t 1
1
k t k c n kt g
n
1
c t 0 0 k t 0,
c
1
t
t
(XVIII)
t t
k t 0 c t 1 k 1
nk g
ct 0 c t 0 k t 0,9868 t 0,
(XX)
k t 0 c t 0,5k t 2 0,5 0,5 0,5k t 0,2
338
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
339
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
E3 k 3 , c3 2,1685; 0
* *
hacia abajo 0,2 unidades respecto de la ceroclina del modelo sin incremento del
gasto gubernamental, k t 0. En esta figura tambin se aprecia que si antes del
ct ' = 0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
ct
1
A
0.8
P0
0.6
E2
0.4
E2 ' kt ' 0
(kt ' = 0) '
0.2
ct ' 0
0
0 E1 0.5 1 1.5 2 E3 2.5 3
kt
340
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura V: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una
funcin de produccin CES y una funcin de utilidad CRRA con incremento
en el gasto gubernamental
341
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
converger al punto de equilibrio E '2 . Esto es, las trayectorias ptimas del capital
2.5
kt
ct
2
kt and ct
1.5
0.5
0 5 10 15 20 25 30
t
Figura VI: Comportamiento dinmico del capital y del consumo per cpita
En este caso, el sistema (XVI) linealizado en las cercanas del estado estacionario
coincidir con (44). Para los parmetros dados en la tabla I y con g 0,2 se tiene
que:
k * k *2 0,9868
*
c c2 0,2999
*
(c* ) 0,6666
f ' ' (k * ) -0,7649
(XXI)
c (c ) f ' ' (k ) 0,152953
* * *
4 0,6119
2
342
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 0,3961
2 0,3861
343
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k t 0,01 1 k t 0,9868
0,152953 0 c t 0,2999
c t
0,01k c 0,290032
k t t t
(XXII)
c t 0,152953k t 0,1509340204
por la ecuacin (5)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cpita que
sita a la economa en el instante inicial sobre
0 0 el brazo estable del sistema
linealizado es: c0 0,89935. Sustituyendo c , k , c* , y k * en (49) obtenemos el
brazo estable (la senda ptima linealizada en los alrededores de E 2' ) del sistema
linealizado:
344
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Sustituyendo c 0 , k 0 , c , k y 2 en (47) y (48) obtenemos la evolucin dinmica
* *
del capital y del consumo per cpita a lo largo del brazo estable del sistema
linealizado:
k t 0,9868 1,5132e 0,386124t
(XXV)
c 0,2999 0,5994e 0,0,386124t
t
345
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ct ' = 0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
kt
1
P0
0.8
0.6
0.4
E2 ' (kt ' = 0) '
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ct
kt
2.5
kt
ct
2
kt and ct
1.5
0.5
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Figura VIII: Comportamiento dinmico del capital y del consumo per cpita
para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario
346
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
el gobierno financia sus gastos pidiendo prestado al sector privado. La deuda del
gobierno debe pagar la misma tasa que el capital, de lo contrario, las familias
(agentes) no la incluiran en su portafolio. Permtase a b t ser la deuda del
gobierno en trminos per cpita. El gobierno encara la siguiente restriccin
presupuestaria dinmica:
recaudacin deimpuestos
pago s de inters
b t n b t g t t rt b t (89)
g (R t ) 1 dt t (R 0t ) 1 dt
b (90)
0 t 0
0
0
"h isto ria de lo s g asto s" "h isto ria de lo s imp u esto s"
El valor presente de los impuestos (recaudacin) debe ser igual al valor presente
del gasto del gobierno ms el valor de la deuda inicial del gobierno (en trminos per
cpita) b 0 ; dada la condicin NPG . Equivalentemente, el gobierno debe elegir
sendas de gastos y de impuestos tal que el valor presente de g t t , que es
algunas veces llamada dficit primario, sea igual al negativo de la deuda inicial
per cpita, b 0 ; si el gobierno tiene una deuda positiva sin pagar (pendiente),
ste deber anticiparse a la corriente de supervits primarios en algn punto en el
futuro. Por ejemplo, es consistente con la ecuacin (90) que el gobierno
mantenga el valor inicial de la deuda per cpita, b 0 , por siempre. Para ello deber
obtener en todos los periodos supervits primarios lo suficientemente grandes como
para pagar los intereses netos del monto de la deuda que puede ser financiada
vendiendo b 0 a cada persona recin nacida (netos de la deuda que se pueda
colocar dado el aumento de la poblacin).
347
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
a t k t bpt bt (92)
Note que hay un supuesto implcito en (91), que la familia puede pedir prestado y
prestar a la misma tasa de inters, rt , que el gobierno.
Dnde:
a 0 k 0 b 0 b p0 (94)
El valor presente del consumo debe ser igual a la suma de la riqueza no humana
k 0 b p0 b0 ms la riqueza humana, que es el valor presente de los salarios
menos el valor presente de la recaudacin del gobierno (impuestos).
La restriccin presupuestaria del gobierno muestra que para un modelo dado del
gasto del gobierno (y dado b 0 ), el gobierno tiene que recaudar impuestos de un
valor presente dado, equivalentemente, el gobierno no necesita tener un presupuesto
balanceado en cada momento del tiempo. Por ejemplo, partiendo de un
presupuesto balanceado, ste puede reducir impuestos en algn punto, pidiendo
prestado del pblico, e incrementando futuros impuestos para devolver los intereses
y la deuda.
Cul es entonces el efecto de un cambio en el patrn que ajusta en el tiempo los
impuestos recaudados para financiar un patrn dado de los gastos del gobierno?
La respuesta es dada reemplazando la restriccin presupuestaria intertemporal del
gobierno en (95) esto da:
0 c t (R 0t ) 1 dt k 0 b p0 0 w t (R 0t ) 1 dt 0 g t (R 0t ) 1 dt (96)
349
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Donde Z t son las transferencias per cpita tipo lump sum (igual a lo que el
gobierno recibe de los impuestos del capital) que el gobierno hace a la familia.
Sujeto a:
ct a t n a t w t (1 k ) rt a t z t (99)
El Hamiltoniano es:
H t
(i) u' (c )e t t 0 t u' (c t )e t (101)
t
c t
H t
(1 )r n (102)
(ii)
t k t t
a t
350
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
(iii ) lm a t t 0 (103)
t
351
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
lm a u' (c )e t 0 (104)
t t
t
e
t k t t
u' ' (c t ) c t u' (c t ) (1 k )rt n
u' ' (c t ) c t
n (1 k )rt (106)
u' (c t )
c t u' ' (c t ) c t
(1 k )rt ( n)
u' (c t ) c t
ct
Note primero que el impuesto del capital afecta al estado estacionario del stock de
capital. Con rt f ' (K t ) , el estado estacionario del stock del capital (cuando
(1 k )rt ( n) 0
n n
r f ' (k ) k* f ' (108)
1
t t
1 k
1 k
La tasa de retorno del capital despus de impuestos ser igual a la tasa de preferencia
temporal ajustada por el crecimiento de la poblacin n ; por esta razn la tasa
de retorno del capital antes de impuestos ser mayor que n . La productividad
marginal del capital en el estado estacionario es en consecuencia mayor, lo que
significa que en el estado estacionario el stock de capital es menor que cuando el
capital no estaba sometido a impuestos.
Sin impuestos tenamos que:
352
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
k * f '1 n
rt f ' k t n
353
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
n
k* f '1
1 k
n
rt f ' k t
1
k
k * k * .
c*
E
c * E' dkt / dt 0
kt
0 k * k *
354
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Simulacin numrica:
las transferencias per cpita tipo lump sum que el gobierno hace a la familia
igualan a lo que el gobierno recibe de los impuestos del capital, z t k rt a t , la
1
1 k
c t 0 c t 0 kt
t 0,
1 (XXVIII)
ct 1 kt
1
k t 0 n kt
355
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Remplazando k 0,4; y los valores de los parmetros de la tabla I en (XXVII) y
356
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
2
c c 0,3k 0,5k 0,5
3 2
1,5
0,51
t t t t
3 (XXIX)
2
1 2
k t 0,5k t 0,5 ct 0,5k t
ct 0 c 0 k
t 0,63569 t 0,
t
(XXX)
k t 0 c t 0,5k t 2 0,5 0,5 0,5k t
E 3 k 3 , c 3 2,6458; 0
* *
1.8
1.6
1.4
P0
1.2
ct
0.8
0.6
E2
E2 '
0.4
0.2
kt ' =0
E1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 E3 3
kt
357
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura IX: Retrato de fase del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans para una
funcin de produccin CES y una funcin de utilidad CRRA con impuestos
en los retornos del capital
358
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
'
Asimismo, en la figura IX, se han dibujado las ceroclinas, c t 0 y k t 0, que se
'
A) del brazo estable del punto de silla E '2 . Se puede apreciar que la ceroclina k t 0 es
la misma del modelo sin impuestos sobre el capital, pero que la rama vertical de la
'
ceroclina c t 0 ahora se encuentra desplazada hacia la izquierda respecto de la
ceroclina del modelo sin impuestos sobre el capital c t 0. Finalmente, se muestra que
hay perturbaciones, sta converger al punto de equilibrio E '2 . Esto es, las trayectorias
ptimas del capital y del consumo per cpita decrecen montonamente conforme
transcurre el tiempo y convergen hacia sus respectivos valores de largo plazo (las
componentes de E '2 ), tal como se aprecia en la figura X.
2.5
kt
ct
2
1.5
kt and ct
0.5
0 5 10 15 20 25 30
t
359
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 k t k
k t
* ' * (XXXI)
c t
k k
*
1 n c c c c c
t *
k * k *2 0,63569
*
c c 2 0,44084
*
trA 0,126
det A 0,2049354
*
(c ) 0,6666
' *
(c ) 0 (XXXII)
f ' ' (k ) -1,15448
*
0,39406
1
2 0,52006
k t 0,01 1 k t 0,63569
0,2035754 0,136 c t 0,44084
c t
0,01k c 0,377271
k t t t
(XXXIII)
c t 0,2035754k t 0.136c t 0,18936509
360
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0,01k t
(XXXIV)
0,377271
1,4968779k t
1,392390338
361
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
por la ecuacin (7)* del anexo 4 tenemos que el nivel de consumo per cpita que
sita a la economa en el instante inicial sobre el brazo estable del sistema
linealizado es: c 0 1,429037. Sustituyendo c 0 , k 0 , c* , y k * en (49) obtenemos el
brazo estable (la senda ptima linealizada en los alrededores de E 2' ) del sistema
linealizado:
1.8
1.6
1.4 P0
0.8
0.6
E2 '
kt ' =0
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
kt
362
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Se puede ver que a pesar de que el punto inicial del sistema linealizado no
coincide con el del sistema no lineal (para el mismo stock de capital inicial,
k 0 2,5, el consumo inicial en ambos sistemas difiere ligeramente debido a la
363
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
del capital y del consumo per cpita a lo largo del brazo estable del sistema
linealizado:
k t 0,63569 1,8643e
0,52006t
(XXXVI)
c 1,429037 0,9882e 0,52006t
t
2.5
2
kt
ct
kt and ct
1.5
0.5
0 5 10 15 20 25
t
Figura XII: Comportamiento dinmico del capital y del consumo per cpita
para el sistema linealizado alrededor de su equilibrio estacionario
Conclusiones:
364
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por otro lado, en el modelo sin gobierno, se aprecia que la nica senda que satisface todas
las condiciones de optimalidad es la que corresponde al brazo estable del punto de silla
(trayectoria DD de la figura 3). Asimismo, en este caso, una importante diferencia entre
el modelo de Solow-Swan y el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans es que una senda de
crecimiento equilibrado con stock de capital mayor al correspondiente a la regla de
oro no es posible en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans. Por ejemplo, si
k a0 k g , entonces levantando una vertical por k a0 hasta cortar a la senda DD estaremos
Asimismo, para el modelo con gobierno, se concluye que el tipo de financiamiento del
gobierno, a travs de impuestos tipo lump sum (suma fija) o a travs de prstamos
financieros al sector privado, no tiene efectos sobre la asignacin de recursos. Finalmente,
los impuestos al capital si afectan a la economa: tanto el stock de capital como el consumo
de estado estacionario son menores a los que haba antes de aplicar el impuesto
distorsionador al capital.
365
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 1
Condiciones necesarias de Primer Orden utilizando H t: Caso de economa
centralizada
M ax Pc t , k t dt
0
s.a. : k t gc t , k t
kt 0 : variable de estado
ct 0 : variable de control
k 0 0 : dado
H u c e t t f k t nk t c t
t
t
P c t , k t g c t , k t
H t
0 u' c t e t t 0 t u' c t e t
c t
t t t
t
H t
(ii) t t f ' k t n t
k t
H t
(iii) gc t , k t k t f k t nk t c t
t
(iv) Lm
t
t k t 0 (condicin de transversalidad)
Como:
~ ~
H t H t e t H t H t e t
~ e t
~ e t
~ e t
~
t t t t t t t
~
De (i): ~
H t c t Ht c t
366
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
~
H
e t 0 (1)
t
0
c
t
~ ~
H t ~ ~ t H t t H t ~ ~
De (ii): t t e e t t (2)
k t k t k t
~ ~ ~ ~
~
H t H t t t H t t t H t H t
De (iii): ~ e
~ e e kt (3)
t t t t t t
De (iv): Lm
t
~ k
t t e
t
0 (4)
367
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 2
Regla de oro modificada. Caso en el que hay progreso tecnolgico ( At ) y la funcin
de utilidad es CRRA
Yt F(K t , A t N t ) C t K t
(1 )
N t N t N t
N t
Hacemos:
N
t N t A t N t N t A t N t A t (1)
Trabajo efectivo
Pero:
Nt
n N t N 0 e nt (2)
Nt
N t n N 0 e nt n N t (3)
At
A t A 0 e t Si A 0 1 A t et 4
At
A t et A t (5)
Kt Kt kt
k t
(6)
Nt Nt At At
Kt
Dnde: k t (7)
Nt
K t Nt K t Nt Kt Kt Nt Kt Nt A N At
k t kt
t t
2 N A
N N t N t N t N t
t t t
Kt n N tA N A K n k (8)
kt k t t kt
t t t
N A Nt At
t
Nt t t Nt
368
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
(8) (1*)
c t k t (n ) k t
f (k t ) (9)
Nt Nt
Dnde:
Ct Ct ct
c t (10)
Nt At Nt At
369
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Siendo:
Ct
c t ct At (11)
Nt
ct ct A t ct A t
c t c t c t A t (12)
De (6):
k t k t A t (13)
De (9):
k t f (k t ) (n ) k t c t (14)
Hamiltoniano:
t
H t u(c t )e t f (k t ) (n ) k t c t (15)
H
a) u' (c t )e t A t t 0 t A t u' (c t )e t (16)
ct
t
A u' ' (c ) c t u' (c )
At A e (17)
t
t
t t t
De (17):
t
t A t u' ' (c t ) c t u' (c t )( )A t e
b)
t f ' (k t ) (n ) t (19)
kt
ct u' (c t )
c t
f ' (k t ) ( n) t (c t ) f ' (k t ) ( n)
ct u' ' (c t ) c t c
371
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Pero para:
c1 1 1
ct
t
u(c t ) f ' (k t ) ( n)
1 (c t ) c
t
Entonces:
c t c t A t
1
f ' (k t ) ( n)
ct
ct
ct ct A t ct
ct 1
1
f ' (k t ) ( n)
f ' (k t ) ( n )
ct
En el estado estacionario: c t 0 f ' (k *) n : Regla de oro
modificada.
372
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 3
Elasticidad de sustitucin intertemporal instantnea
Sean dos instantes de tiempo s y t, tales que t s, s t t, con niveles de
dln cs c t d
cs , c t
d dln u' cs u' c t
dln cs c t 1
cs , c t (1)
d dln u' c u' c
s t
d
Efectuando una expansin de Taylor de primer orden de la utilidad marginal del
consumo alrededor de c s tenemos que:
ct
u' c t
lm c , c lm c , c lm c , c c
t
c t u' ' c t
s t s t s t
st cs c t 0
374
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 4
Clculo de c0 dado k0 que conduzca al estado estacionario
Sin impuestos:
dados por k t 0 y c t 0.
k t 0 f (k t ) nk t c t 0 (1) *
c t 0 f ' (k t ) n 0 k * f '1 ( n) (2) *
f f '1 ( n) nf '1 (( n)) c * (3)*
k t
~c t x y 0 u v ~c
2
2
2 2 2
t
" A"
Donde es la matriz modal (sus columnas son los autovectores v1 x1 x 2
T
y v y y T asociados a y ) y es la forma cannica de
1 1 2 1 2
Jordan.
Operando:
~ ~ ~ ~ ~
k t
1 1 1 t
x (u k v c
1 t ) y
1 2 (u 2 k t v 2 c t )
~ ~ ~
c t ~ ~
x 2 1 (u 1 k t v1 c t ) y 22 (u 2 k t v 2 c t )
u1
t 0 c 0 c* (k 0 k * ) (4)*
v1
376
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ecuacin (4)* nos dar el valor de c 0 que nos conduce a E a travs de DD.
Dnde: Para 1 :
2
v1
1 1 x 1 0
si x1 1 ( 1 )x1 x 2 0 x 2 1
1 x 2 0
1
x 2 v1 .
2 2
Para 2 :
2
v2
2 1 y1 0
si y1 1 ( 2 )y1 y 2 0 y 2 2
2 y 2 0
1
y 2 v 2 .
2 2
Adems:
u1 v1 x1 1
1 1 y2 y1
y
u 2 v2 x 2 y2 x1 y2 x 2 y1 x2 x1
( ) 1 ( ) 1
u v1 1 1
1
2
2
u 2 v 2
( )( ) ( ) 1 ( ) 1
2 2 2 2
377
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Reemplazando u1 y v1 en (4)*:
*
c0 c
*
k 0 k c0
k 0 k c (5)
* * *
2 2
378
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
c k
* k k c k *
* *
2 0
0
ct k
t
*
(6)
*
2 k0 k
2 4
Nota: Recuerde que:
1 x 0
1
1
1 n c* c*' c* x
0
k k 1 2
Entonces, si x1 1 ( 1 )x1 x 2 0 x 2 1
1
2t rA
x 2 v1 2 trA .
2 2
1 y 0
1
2
1 n c* c*' c* y
0
k k 2 2
380
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Entonces, si y1 1 ( 2 )y1 y 2 0 y 2 2
1
2t rA
y 2 v 2 2 t rA .
2 2
Adems:
u1 v1 x1 y1
1
1 y2 y1
u 2 v2 x 2 y2 x1 y2 x 2 y1 x2 x1
2t rA
1
u v1 1
1
2
u2 v 2 2 trA
1
2
Reemplazando u1 y v1 en (4)*:
2t rA 2t rA
0 0
c0 c k k * c* (7)*
* *
k k c 0
2 2
k
2 k0 k
trA2 4det A
381
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
det A 1 k k n c c c
* * ' *
c (c ) f ' ' (k )
* * *
382
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Anexo 5
Deduccin de la restriccin presupuestaria dinmica
K
F(K t , N t ) t
F(K t , N t ) C t K t f (k t ) c t (1)
Nt N t
Kt Kt Kt
k t k t nk t k t nk t (2)
Nt Nt Nt
(K t , N t ) 1 F(K t , N t ) w t N t rt K t
K t FK t rt 0 rt FK t (4)
Pero:
k t 1
F(K t , N t ) N t f (k t ) FK t N t f ' (k t ) N t f ' (k t ) f ' (k t ) (5)
K t Nt
rt FK t f ' (k t ) (6)
Nt FN t w t 0 FN t w t (7)
kt K
F f (k ) N f ' (k ) f (k ) N f ' (k )
t
Nt t t t
N t
t t t
N 2
t
f (K t ) Wt rt .K t C t K t n.K t (10)
Pero: a t k t bp t
B Ntp 0b
En el agregado: pt t t
bp
383
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
0 at kt (11)
384
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
[1] Blanchard, O.; Fischer, S. (1989): Lectures on Macroeconomics. Primera
Edicin. The MIT Press.
[4] Novales, A.; Fernndez, E.; Ruz, J. (2010): Economic Growth: Theory
and Numerical Solution Methods. Primera Edicin. Springer.
385
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
354
Ciclos econmicos reales: Un modelo bsico
Una economa puede ser alterada de su equilibrio de largo plazo por perturbaciones
(shocks), que pueden ser: permanentes o temporales y anticipadas o no anticipadas. En
funcin de los tipos de shocks, la economa puede permanecer inalterada en su posicin
de equilibrio o sta puede ser separada de dicha posicin, pudiendo ser el ajuste ptimo
para retornar al equilibrio instantneo o lento. A la trayectoria seguida por la economa
durante su retorno al equilibrio se le suele denominar ciclo econmico.
1. Se supone que los agentes econmicos (las familias y las empresas 1) son idnticos,
que stos toman los precios como dados, y que viven infinitamente. Por tanto, las
elecciones econmicas se reflejan por las decisiones efectuadas por un agente
representativo nico.
1
Se ignora al sector gubernamental.
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
3. Las familias rentan capital, K t , a las empresas al precio de alquiler del capital,
R t , y venden trabajo, L t , al salario real, Wt .
6. Proceso productivo: Se supone que el bien final es producido por las empresas con
una funcin de produccin que depende del capital, K t , del trabajo, L t , y del
progreso tecnolgico exgeno, A t , que tiene rendimientos constantes a escala, y
que est sujeta a shocks aleatorios tecnolgicos. Es decir, se supone que existe
aleatoriedad en el progreso tecnolgico de la funcin de produccin (el modelo es
estocstico).
7. Por simplicidad y sin prdida de generalidad, el precio del bien final producido es
normalizado a la unidad.
8. Optimizacin bajo incertidumbre de las familias: Para un stock de capital inicial,
K 1 , y conocido A0 , las familias determinan cunto trabajo ofertar, L t , y
cunto consumir C t , e invertir (acumular capital fsico), I t , buscando
maximizar el valor esperado de la suma de sus utilidades descontadas. Las familias
deben pronosticar las trayectorias futuras de los salarios, Wt , y de los precios de
alquiler del capital, R t . Para ello se asume que dichos pronsticos son efectuados
bajo un esquema de expectativas racionales. En el proceso de formacin de las
expectativas, se supone que la familia representativa conoce la relacin entre el
estado de la economa, K t 1 , A t , y los precios Wt WK t 1 , A t , y
10. Infor ma cin: Los agentes econmicos efectan sus decisiones de consumo C t ,
capital fsico, K t , y trabajo, L t con la informacin disponible hasta el periodo t.
357
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t t t t 0
3
Siguiendo a Uhlig (1999), utilizamos el subndice t 1 en lugar del usual subndice t para el stock
de capital en la funcin de produccin. Con esta notacin, la fecha de una variable se refiere al punto en
el tiempo cuando sta es verdaderamente elegida. Dicho de otro modo, se refiere a la informacin
respecto a la cual una variable es medida. Es decir, se est suponiendo que para el proceso productivo que
se efecta en t hemos elegido el nmero de unidades necesarias de stock de capital en t-1 (en el
periodo anterior).
4
Se expresar A t como un proceso autoregresivo aditivo de primer orden, (AR1). Adems, ya que
358
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A t forma parte de cmo se combinan K t 1 y L t para producir Yt , entonces tomaremos a A t
como conocida en el periodo t.
5
Ya que Eln A t ln A, entonces el ln A representa el valor esperado de largo plazo del ln A t. Por
tanto, A es el valor esperado de largo plazo de A t .
359
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
con covarianza nula (no est autocorrelada) se le denomina ruido blanco. El coeficiente
de autocorrelacin, , mide el grado de persistencia a lo largo del tiempo del efecto
de una perturbacin sobre el ln A t . Si 0, entonces el efecto es slo temporal;
Supondremos que la identidad del gasto agregado, sin gasto gubernamental y sin
exportaciones netas, viene dada por:
Yt Ct I t 5
Esta ecuacin, la restriccin agregada de recursos, nos dice que todo lo que se produce
en esta economa, en el periodo t, se asigna entre consumo e inversin.
Por otro lado, la ecuacin de movimiento del stock de capital viene dada por la siguiente
expresin:
Inversin neta
I t K t 1 K t 1 K t K t 1 It K t 1 K t It 1 K t 1 6
361
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Este problema implica que las funciones de demanda de los factores de produccin
satisfagan las siguientes condiciones de primer orden:
1 R A K 1L1 0 R A K 1L1 1 9
t t t 1 t t t t 1 t
K t 1
Yt
RK Y 1 K r R 1 A K 1L1 10
t t 1 t t 1 t t t t 1 t
K t 1
1 Yt
1 A K L W 0 W 1 A K L 11
t t 1 t t t t t 1 t
Lt Lt
Wt L t 1 Yt 12
Donde (13) nos representa la suma de las utilidades descontadas de la familia
representativa a lo largo de su vida (que se ha supuesto vive eternamente). Siendo
0 1, el factor de descuento intertemporal (una medida de impaciencia) de la
t 1 Lt .
6
Suponer que la funcin de utilidad de la familia representativa es separable entre el consumo y el ocio,
implica que la utilidad marginal del consumo no dependa del ocio y viceversa.
363
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t 2 2
t t t
UC t , t C t
C
Ct Ct 1 1 5
t
Ct 1
Ct UCt , t
Si UC , C1 0, 16
t t t t
1 C t
2
UCt , t 0
2t
UC , UC , 2 UC , 2
t t t t t t
Ct 0
C C
t t t t
La ecuacin (16) nos dice que las utilidades marginales del consumo y del ocio son
estrictamente positivas, que la utilidad marginal del consumo es estrictamente decreciente,
y que la utilidad marginal del ocio es invariable a las variaciones del ocio. Asimismo, la
ltima desigualdad que aparece en (16) nos dice que la funcin de utilidad es cncava
respecto al consumo y al ocio. Adems, por conveniencia, se ha adoptado
2 UCt , t
una funcin de utilidad tal que 0, con lo cual se imposibilita la sustitucin
C t t
entre el consumo y el ocio.
364
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
El supuesto de utilidad marginal decreciente en el consumo implica que existe aversin
a las variaciones del consumo a lo largo del tiempo. Mientras que el supuesto de
utilidad marginal constante en el ocio implica que la familia representativa es neutral a
las variaciones del ocio a lo largo del tiempo.
365
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
C t K t Wt L t R t K t 1 , t 0,1,2,
t 1 Lt , t 0,1,2,
La primera restriccin es una restriccin presupuestaria dinmica que viene definida por
la siguiente ecuacin:
Ct Kt Wt Lt Rt Kt 1 18
Donde:
Rt : Es el precio bruto de alquiler del capital neto de
depreciacin en el periodo t.
Ct : Es el consumo (variable de control) en el periodo t.
Kt : Es el stock de capital (variable de estado) en el periodo t
(los activos de la familia en el periodo t).
Lt : Son las horas trabajadas en el periodo t (variable de
control).
Wt : Es el salario por hora trabajada en el periodo t.
K t 1 : Es el stock de capital en el periodo anterior utilizado en el
proceso productivo del periodo actual t.
Wt L t R t K t 1 : Es la renta de la familia representativa en el periodo t.
Ct K t : Gasto en bienes de consumo y bienes de capital que efecta
la familia en el periodo t.
Wt L t : Es lo que recibe la familia por su trabajo (renta del trabajo)
en el periodo t.
R t K t 1 : Es lo que recibe la familia por su capital (renta del capital)
en el periodo t.
366
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Cuando hablamos del periodo t, hacemos referencia al intervalo t, t 1. La informacin disponible al final
7
del periodo t incluye el conocimiento de todas las variables hasta el periodo t, incluyendo dicho periodo.
367
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
La ecuacin (18) representa la asignacin de la rentas del capital y del trabajo hacia
nuevo consumo y nuevas posesiones de capital en el periodo t.
La segunda restriccin, que es una restriccin de tiempo disponible, a la que est sujeta
la empresa representativa que maximiza (13) viene dada por:
Lt t 1 19
t UC , Max E t 1 L
t
0
Max E
C t , t ,K t 0 t 0
t t
1 t
C t ,Lt ,K t t 0
s.a : 20
Ct K t Wt L t R t K t 1 t 0,1,2,
Las condiciones de primer orden del problema, denominadas ecua ciones de Euler, que
enfrenta la familia representativa vienen dadas por:
Et t UC t t t UC t t 0 t t UC t C
t
22
t
Ct
E U t W U W 0
U t t t
23
t t t t t t t t
Lt Wt Wt
E t t t 1R t 1 t E t t 1R t 1 0 t E t t 1R t 1 24
K t
E W L R K C K W L R K C K 0 25
t t t t t 1 t t t t t t 1 t t
t
La ecuacin (22) nos dice que el multiplicador t representa la utilidad marginal del
consumo descontada a valor presente. En la ecuacin (24) aparece la esperanza
matemtica E t , ya que la informacin del periodo t+1 an no es conocida en el
periodo t, cuando se escoge K t .
369
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Esta ecuacin se conoce con el nombre de ecuacin de Euler intertemporal y nos dice
como la familia asigna el consumo entre el periodo t y el periodo t+1. La familia
representativa asigna el consumo entre el periodo t y el periodo t+1 de la siguiente
manera:
1. Descuenta a la tasa : UCt 1 UC t .
Condicin de transversalidad:
lm E t U K 0 31
0 Ct t
t
Esta condicin nos dice que el valor presente (esperado), en trminos de utilidades, del
capital (activos) en t debe ser nulo cuando t tienda a infinito.
370
CIRO BAZN t t t t
TPICOS
t 1
t 1 t
EN tMACROECONOMA
1 t 1 t 1
DINMICA
R t 1
371
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
t t 1 t 2 0 0
t 1 t
R t 1 R t 1 R t R t 1 R t R t 1 R t 1 R t R t 1 R1 R t 1 R s
s1
0
t t 1R t 1 t 32
Rs
s 1
Rs Rs
s 1 s 1
K t
lm E 0 34
t t
0
s 1 R s
Equilibrio Competitivo
Hasta este punto, hemos obtenido las condiciones que determinan el equilibrio
competitivo de esta economa:
372
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
8
Los teoremas del bienestar nos dicen que: el equilibrio competitivo es Pareto ptimo, y que un equilibrio
Pareto ptimo puede obtenerse como un equilibrio competitivo (tal vez reasignando dotaciones).
373
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Por la ley de Walras slo necesitamos dos de estas tres condiciones para determinar el
equilibrio competitivo de la economa.
t t t 0
Ecuaciones
De (29) tenemos que:
1 Yt Lt Ct 1 At K t1L
t Ct 35
Las ecuaciones (35) y (37) junto con las ecuaciones (3) y (7), conforman un sistema de
ecuaciones en diferencias estocsticas no lineales en Ct , K t , y L t , que describe
la dinmica de este modelo, y que se muestra a continuacin:
1 A t K t1Lt C t
C E C A K 1L1 1
t
t
t 1 t 1 t t 1
38
1
374
CIRO BAZN C t K t ATPICOS
t K t 1L t 1EN
MACROECONOMA
K t 1 DINMICA
ln A t 1 ln A ln A t 1 t
375
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En este punto vamos a linealizar el modelo para poder resolverlo. Adems, para
simplificar la resolucin del modelo, vamos a suponer que 0 . Con esto, el ocio,
t 1 Lt no aparece en la funcin de utilidad de la familia representativa (modelo
bsico neoclsico estocstico). Por tanto, bajo este nuevo supuesto, la familia
representativa ofrece todo su tiempo disponible para la produccin Lt 1 t 0 .
Asimismo, separando el retorno del capital, R t , del producto Yt , el sistema (38)
Yt A t K t 1Lt A t K t 1
1
Ct Et Ct1 R t 1
Yt
R t 1 39
K t 1
C K Y 1 K
t t t t 1
ln At 1 ln A ln A t 1 t
en:
Y Y
1
Y ee A K ee A K 1 A ee K1
ee ee ee ee ee
ee
K ee ee
K
C E C R C R C 1 R R
1
ee t ee ee ee ee ee ee ee
R ee 1
Yee Yee 1
R ee 1 40
K ee K ee
1 ln A ln A ee ee 1 ln A ee 1 ln A A ee A
9
Recordar que para una ecuacin en diferencias, su estado estacionario se caracteriza por:
xee x t 1 x t x t 1 . Adems, en el estado estacionario no hay nada estocstico.
377
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y 1
Aee ee K1
Kee ee
1
R ee
Yee 1 1
1 41
ee
K
C Y
ee ee
K ee Kee
Aee A
Ahora vamos a linealizar alrededor del estado estacionario de cada una de las variables
que aparecen en las ecuaciones del sistema (39) en trminos de sus desviaciones
porcentuales. Por ejemplo, para la variable x t tenemos que:
x t x ee
x t x t x ee 1 x t 42
x ee
1 1 1
1 1 43
ln 1
ee t ee t ee t 1 ee ee t t 1
Yee 1 Yt Yee 1 At 1 K t 1
1 Y 1 A K
t t t 1
Yt A t K t 1 44
378
ee
ee
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
De la ltima ecuacin de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta:
ln Aee 1 At 1 ln A ln A 1 A
t 1 t
379
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
ln Aee ln 1 A ln A ln Aee ln Aee ln 1 A t 1 t
t ee
ln 1 At ln 1 A t 1 t
At A t 1 t 45
De la tercera ecuacin de (39) y teniendo en cuenta (40), (42) y (43) resulta:
R ee 1 R t
Yee 1 Yt 1
K ee 1 K t 1
R 1 R
Yee 1 Yt 1 K t 1 1
1
ee t
R 1 R
380
CIRO BAZN
K
TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y 1 YK1 K 1
ee
ee t t 1
ee t
ee
R 1 Y 1 Y K 1
ee t t 1
ee R t
K ee
Y Y K
Y
Y Y K
1
ee
t 1 t 1
R ee R t R ee R
ee ee t ee t
K ee K ee K ee
Y Y K 1 Y Y K
R t R ee R t
ee t t 1 ee t t 1
K ee R K ee
ee
381
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yee Yt K t 1
R t 47
K ee
ee
C ee
1 C t
C R ee E t 1 C t 1
1 R
t 1
1 C t
E t 1 C t 1 1 R
t 1
1 Ct E t 1 C t 1 1 R t 1 E t 1 R t 1 C t 1
t
1 Ct 1 E R t 1 Ct 1 E R t 1 Ct 1 C 0
t
t
E t R t 1 C t 1 C t 0 48
Yee
C A K 1 K ee
K
K ee
K
t
t t 1
t 1
t
C ee C ee C ee
Y K Y K
ee ee ee ee
C t A 1 K t 1
t C
K
K C t
C ee ee ee ee
Yee K ee K ee
C t A R K K
t ee t 1 t
C ee C ee C ee
382
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Yee A
C 1 K ee K
K ee
K 49
t
t
t 1
t
C ee C ee C ee
R
1
R 1 A 1K 1 1 A 1K
t 1
t ee t t 1 t
R t 1 1 A t 1K t 1 50
383
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
R t 1 1 A 1K
t t 1
C1 K t 1 C2 A K1 Kt 1 K 2 At
t
1
Kee Yee Kee
55
Cee Cee Cee
384
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Comparando los coeficientes que multiplican a K t 1 y a A t respectivamente en
ambos lados de la ecuacin (55) resulta:
1 K ee
C1 K1
Cee
56
Yee K ee
C2 K 2
Cee Cee
10
No es necesario utilizar la ecuacin (44) debido a que ya la hemos utilizado para deducir las ecuaciones
(49) y (50).
385
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1 E A 1E K
A E K A K A 0
t t 1 t K1 t 1 K 2 t t C1 t C 2 t 1 C1 t 1 C2 t
1 1 E A 1E K
A E K
A A K A 0
t t 1 t K1 t 1 K2 t t C1 K1 t 1 K2 t C2 t 1 C1 t 1 C2 t
Recordando que las variables con subndices t y t-1 son conocidas. Por tanto, su
esperanza matemtica en t coincidir con el valor de dichas variables. Entonces la
expresin anterior queda:
1 1 E t A t 1 1 1 1 K Kt 1 K A t C K Kt 1 K A t
1 2 1 1 2
(58)
0
C2 Et A t 1 C1Kt 1 C2 At
E A E E A A
0
E A 60
t t 1 t t t t 1 t t 1 t
1 1 A t 1 1 1 K Kt 1 K 1 2 t
C K A
A 1 K1 t 1 K2 t
386
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
C At
2 0
C1Kt 1 C 2 At
387
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1 1 K 1 C C K A t 1 1 1 K 1 K C K t 1 0
2 2 1 2 1 1 1
0 A t 0 K t 1 0
1 1 1 1 0
K1 K1 C1
1 1 1 C 1 K1 C1 0
Por tanto, el sistema de ecuaciones que nos permitir encontrar los coeficientes
indeterminados K1, K 2 , C1, y C 2 vendr dado por las ecuaciones que aparecen en (56)
ee
Y K
K 2 ee
ee
C 2 C ee
C ee
63
1 1 1 C K 1 1 C 2 0
1
2
C2
1 1 1 C 1 K1 C1 0
388
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Sustituyendo la primera ecuacin de (63) en la ltima ecuacin de dicho sistema se
obtiene:
1 K ee 1 K ee 0
1 1 1 K1 K1 K1
Cee Cee
389
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
1 1 1 1 ee
1 K
K ee K ee
2
0
K1 K1
1 1 1 1
1
K2 1 1 K1 0
K
ee
Cee
1
0 64
2
K1 K1
Donde:
1 1 1 1
1 0 65
K ee
Resolviendo (64) resulta: Cee
2 41
Ka 66a
2 41 1 2
K
b 66b
2
2 41
K1
2
para que el producto de las dos races sea menor a la unidad, la mayor raz tendr que
ser mayor a la unidad y la menor raz deber ser menor a la unidad, tal como queremos.
Entonces, la menor raz vendr dada por la ecuacin (66b).
390
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Calibracin
En esta seccin vamos a calibrar (escoger valores para) los parmetros del modelo. En
lugar de tratar de estimar los parmetros estructurales a travs de tcnicas
economtricas. Por ejemplo, Prescott (1986) calibr su modelo escogiendo valores de
los parmetros que fuesen consistentes con los promedios histricos de largo plazo y
con la evidencia microeconmica. Nosotros vamos a utilizar los valores de los parmetros
utilizados por Uhlig (1999) y Hansen (1985). En concreto:
0,36; 0,99; 0,99
67
0,025; 0,95; A 1
391
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y 1 1 1 1
1 1 0,025 68b
0,0975
ee
K ee 0,36 0,99
Cee Yee
0,0975 0,025 0,0725 68c
K ee K ee
A ee A 1 68d
Yee
1
1 1 1 0,36
K a 1,04626
Sustituyendo (70) en (66a) y (66b) obtenemos: 1 . La raz que nos interesa
b 0,9654
es K1b 0,9654 1. K1
1
0,99
392
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Y K 3,704
ee
0,07251 1,345 13,793
C2
ee
K2
K2 K2
71b
K 2 0,07569
71c
C 2 0,3011 71d
393
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
impulso respuesta. En la tabla 1 se muestran los valores de los parmetros empleados para
efectuar el anlisis impulso respuesta del modelo de ciclos econmicos reales bsico.
Valo re s de lo s Parame tro s C o n dic io n e s in ic iale s Es tado e s table
0.36 A(0) Aee Aee 1
0.99 C(0) Cee Cee 2.754
1 K(0) Kee Kee 37.99
0.025 A(0) Aee Aee 1
0.95 Y(0) Yee Yee 3.704
0.99 R(0) Ree Ree 1.01
0.0072 I(0) Iee Iee 0.94975
porcentual11 de las variables del modelo respecto de sus respectivos valores de estado
estacionario (la variaciones porcentuales iniciales, en t = 0, de las variables son nulas ya
que se ha supuesto que inicialmente la economa se haya en el estado estacionario).
t t ( At- Ae e ) / Ae e ( K t- K e e ) / K e e ( C t- C e e ) / c e e ( Y t- Y e e ) / Y e e ( I t- I e e ) / I e e ( Wt- We e ) / We e Rt- Re e
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0.01 0.01 0.0007569 0.003011 0.01 0.030276 0.01 0.000350975
2 0 0.0095 0.001449766 0.003327457 0.009772484 0.02847155 0.009775006 0.000316424
3 0 0.009025 0.002082707 0.003611933 0.009546916 0.02676738 0.009551382 0.00028419
4 0 0.00857375 0.002659592 0.003866586 0.009323524 0.025158126 0.009329449 0.000254135
5 0 0.008145063 0.00318407 0.004093447 0.009102516 0.023638708 0.009109494 0.000226131
Tabla 2: Anlisis impulso respuesta del modelo de ciclos econmicos reales bsico
En la tabla 3 se aprecian las diferentes ecuaciones utilizadas en la tabla 2 para efectuar
el anlisis impulso respuesta del modelo de ciclo econmico real bsico.
R t * R ee
De (50): 1 1 A t 1K t 1 * R ee , t 1
Tabla 3: Ecuaciones utilizadas en el anlisis impulso respuesta
11
A excepcin de R t , para la que nicamente se ha calculado su desviacin respecto de su valor de
394
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
En las siguientes figuras se muestran las diversas respuestas de las variables del modelo
bsico de ciclos econmicos reales a lo largo de 25 aos (medidos en trimestres), cuyos
valores inicialmente coincidan con sus valores de estado estacionario, ante un impulso
transitorio puramente tecnolgico, sin eliminarles todava su tendencia de largo plazo (por
ejemplo utilizando el filtro de Hodrick-Prescott: HPF).
395
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
396
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
397
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Para efectuar la simulacin del modelo de ciclo econmico real bsico se utilizarn
los mismos valores de los parmetros que figuran en la tabla 112. Adems, para
realizar la simulacin, se har uso de las mismas ecuaciones utilizadas en la tabla 3. No
obstante, la nica y sustancial diferencia radica en que los valores de la columna de
la sucesin de variables aleatorias que representan las perturbaciones
tecnolgicas r ea les, t , que aparecan en la segunda columna de la izquierda de la
tabla 2, se calcularn hallando la inversa de la distribucin de probabilidades
acumulativas de dichas variables aleatorias, que se ha supuesto tienen una distribucin
normal con media cero y con desviacin estndar igual a 0,0072. En la tabla 4 se
aprecia la frmula utilizada para determinar t .
1 A B C D
2 Valores de los Parmetros Estado estable
3 0,36 Aee 1
4 0,99 Cee 2,754
5 1 Kee 37,99
6 0,025 Zee 1
7 0,95 Yee 3,704
8 0,99 Ree 1,01
9 0,0072 Iee 0,94975
17 t t (At-Aee)/Aee (Kt-Kee)/Kee
18 0 0 0 0
=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)=
19 1 2,4399E-06 1,84676E-07
1,0487E-05
=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)=
20 2 3,22976E-05 2,62289E-06
2,85698E-05
=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),0,$B$9^2)=
318 300 -4,44907E-05 -0,00032504
9,5616E-05
En las siguientes figuras se muestra una r ealizacin de unos 25 aos de historia de datos
(artificiales) trimestrales de la economa simulada a partir del modelo de ciclos
econmicos reales bsico. A estas series an no se les ha eliminado su tendencia de
largo plazo (por ejemplo, con el HPF).
12
Hemos utilizado como valor de la desviacin estndar de t el valor que adoptaron King y Rebelo
(1999). En concreto, se ha asumido que 0,0072.
398
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
399
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
400
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 13: Variacin del retorno del capital respecto de su valor de estado
estacionario
~
de las series de C t , I t , Wt , R t , y de A t relativas a la desviacin estndar de Y t ; las auto
correlaciones de primer orden de todas las variables (correlacin entre las series de una
misma variable desfasadas un periodo); y la correlacin contempornea de todas las
variables con Yt ] de la r ealizacin de unos 25 aos de series13 de datos trimestrales de la
economa simulada a partir del modelo bsico de ciclos reales (figuras 7-13). En la tabla
6, se muestran las frmulas utilizadas en Excel (basadas en las celdas de la tabla 4) para
determinar los valores mostrados en la tabla 5. Finalmente, en la figura 11 se muestra la
pantalla en Excel del modelo simulado.
401
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
13
A estas series an no se les ha eliminado su tendencia de largo plazo (por ejemplo, con el filtro de
Hodrick-Prescott: HPF).
402
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 11: Simulacin en excel del modelo de ciclos econmicos reales bsico
403
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
404
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
405
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Figura 20: Variacin del retorno del capital respecto de su valor de estado
estacionario
~
de las series de C t , I t , Wt , R t , y de A t relativas a la desviacin estndar de Y t ; las auto
correlaciones de primer orden de todas las variables (correlacin entre las series de una
misma variable desfasadas un periodo); y la correlacin contempornea de todas las
variables con Yt ] de la r ealizacin de unos 25 aos de series14 de datos trimestrales de la
economa simulada a partir del modelo bsico de ciclos reales (figuras 14-20).
406
CIRO
14
BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
A estas series an ya se les ha eliminado su tendencia de largo plazo con el filtro de Hodrick-Prescott:
HPF.
407
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Conclusiones:
En este documento se ha efectuado un anlisis impulso-respuesta de la solucin del
modelo bsico de ciclos econmicos reales eliminando la tendencia de largo plazo de
las series de datos trimestrales analizados con el filtro de Hodrick-Prescott.
408
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
Bibliografa
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Business Cycle Models, In Hartley, J., Hoover, K. and Salyer, K. (Eds.), Real Business
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Hansen, G. (1985): Indivisible Labor and the Business Cycle, Journal of Monetary
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Macroeconomics, Volume 1B, by J.B. Taylor and M. Woodford (Eds). Elsevier, pp.
9271007.
409
CIRO BAZN TPICOS EN MACROECONOMA DINMICA
410