MODELO DE

ECUACIONES
SIMULTÁNEAS

MODELO DE
LIU-CHANG
ECONOMETRÍA I

2021
Se aplicará el modelo de Ecuaciones simultáneas
considerando como guía el modelo de Liu-Chang.
Aplicando finalmente a este modelo data de la
macroeconomía peruana.

Stefano Calderón Galarza

 Modelo de ecuaciones simultáneas (Modelo Liu-Chang)

1. Especificación del modelo

El modelo macroeconómico lineal de Liu-Chang comprende 3

ecuaciones que son de corte keynesiano. Por ello también es
conocido como un modelo keynesiano modificado. El estudio
realizado por los economistas chinos fue realizado en un inicio para
explicar y relacionar las variables macroeconómicas de Estados
Unidos.

La pregunta radicaría en cuál o cuáles son las variables o las

nuevas consideraciones que lo distinguen del modelo keynesiano.
Las tres variables explicadas son el consumo, la inversión y el PBI,
todos estas variables son del periodo corriente (t en este caso). Sin
embargo es un modelo en el que tanto el consumo como la
inversión corrientes son explicadas por el rezago del PBI
(producción total del país en el periodo anterior, es de destacar que
los periodos en dicho modelo por lo general se trabajan en años).
Esta variable rezagada que entra en el análisis le proporciona el
carácter dinámico a este modelo. Otra novedad a tomar en cuenta
es la aparición de la variable beneficio por parte de la firma, este
puede ser entendido de dos formas, ya sea utilidades o ya sea la
tasa de interés que se gana.

Los elementos coincidentes con el modelo keynesiano es la

inclusión de las propensiones tanto como la propensión marginal a
consumir como la propensión marginal a invertir. También entra en
el análisis la ya conocida identidad de oferta y demanda pero en un
contexto de economía cerrada donde las exportaciones netas no son
tomadas en cuenta. Entonces, este modelo tomo en cuentas
aspectos importantes de la economía de un país como cualquier
modelo macro.

Es sabido que el PBI normalmente es considerado como un

indicador de bienestar económico que se enfoca en la mejora de
calidad de vida. Es por ello que este modelo se centra en las
principales variables macroeconómicas que son relevantes para un
país.

Entonces, se procederá a detallar el modelo, considerando todo el

sistema.

Por el lado del consumo se tiene que el consumo corriente depende

del índice de precios de los bienes de consumo, del ingreso y
también del rezago del mismo:

𝐶𝑡 = 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀1𝑡
Donde las variables de la ecuación son:

𝐶𝑡 : consumo privado en el periodo actual.

𝛾1: propensión marginal a consumir (variación en el consumo ante
variación en el ingreso).
𝑌𝑡 : producción total del país en el periodo actual (PBI).
𝜙1 : representa el cambio en el consumo cuando existe cambio en
una unidad en el índice de precios de los bienes de consumo.
𝑃𝑡 : índice de precios de los bienes de consumo en el periodo actual.
𝛽1 : representa el cambio en el consumo agregado corriente ante
variaciones de la producción total pasada.
𝑌𝑡−1 : producción total del país en el periodo anterior.
𝜀1𝑡 : término de perturbación estocástica para el consumo.

Habiendo especificado la primera variable de este sistema de

ecuaciones, se procede a explicar la segunda variable
representativa que es la inversión. La inversión corriente depende
del ingreso, del beneficio empresarial, como en la ecuación del
consumo, la inversión también depende del rezago del producto
total. Entonces, la ecuación de inversión se encuentra definida por:

𝐼𝑡 = 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀2𝑡

Donde las variables de la ecuación son:

𝐼𝑡 : Inversión agregada privada en el periodo actual.

𝛾2 : propensión marginal a invertir (variación en la inversión ante
variación en el ingreso).
𝑌𝑡 : producción total del país en el periodo actual (PBI).
𝜙2 : representa el cambio en la inversión cuando existe cambio en
una unidad en los beneficios.
𝑅𝑡 : beneficios de la firma en el periodo actual.
𝛽2 : representa el cambio en la inversión agregada corriente ante
variaciones de la producción total pasada.
𝑌𝑡−1 : producción total del país en el periodo anterior.
𝜀2𝑡 : término de perturbación estocástica para el consumo.

Por última ecuación perteneciente a este sistema de ecuaciones

simúltaneas del modelo Liu-Chang se tiene a la oferta agregada
igualada a la demanda agregada. Esto quiere decir al PBI del
periodo actual como oferta agregada igualado al consumo, inversión
y gasto público que actúan como demanda agregada. Entonces,
esta ecuación se representa por:

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡 + 𝜀3𝑡

Donde las variables de la ecuación son:

𝑌𝑡 : producción total del país en el periodo actual (PBI).

 𝐶𝑡 : consumo privado en el periodo actual.
𝐼𝑡 : Inversión agregada privada en el periodo actual.
𝐺𝑡 : gasto público en el periodo actual.
𝜀3𝑡 : término de perturbación estocástica para el PBI.

Antes de pasar a explicar el modelo el modelo de Liu-Chang como

modelo de ecuaciones simultáneas, se dará una noción general de
lo que es este modelo de ecuaciones simultáneas.

2. El modelo de ecuaciones simultáneas y el modelo de Liu-Chang

El modelo de ecuaciones simultáneas se presenta cuando la

variable dependiente en una ecuación actúa también como variable
explicativa en otra ecuación. Por su parte, las variables que vienen
determinadas por factores externos al modelo son llamadas
variables exógenas. Entonces, siguiendo la linea de lo explicado, en
tales modelos hay más de una ecuación: una para cada de las
variables mutuamente o conjuntamente dependientes o endógenas,
conllevando a un problema de endogeneidad.

Y como un sistema de ecuaciones no es posible estimar los

parámetros de una ecuación de manera aislada sin tomar en
cuenta la información proveniente de todas las ecuaciones que lo
componen.

Si se decide estimar los parámetro de una ecuación de forma

aislada, estos estimadores por MCO serán sesgados e
inconsistentes, tal que a medida que el tamaño de la muestra
aumenta indefinidamente, los estimadores no convergen hacia sus
verdaderos valores (poblacionales).

Uno de los métodos más utilizados para estimar modelos de

ecuaciones simultáneas es el de variables instrumentales, el mismo
que se utiliza para modelos con mala especificación, es decir,
aquellos que padecen de omisión de variables y de problemas de
error de medición.

La naturaleza de estos modelos es que es de suma importancia

recordar el concepto “ceteris paribus” que es una interpretación
causal del modelo de ecuaciones imultáneas. Esto se podría
analizar en la matriz Jacobiana que se explicará en su momento.

El presente trabajo lo que busca es explicar las distintas formas de

representación del modelo Liu-Chang ya especificado, dicho modelo
es de ecuaciones simultáneas. Se analizará su forma estructural,
su forma matricial y su forma reducida.
2.1. Forma estructural

De las ecuaciones detalladas con anterioridad se ordenan de la

siguiente manera:

𝐶𝑡 = 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀1𝑡 ………………(1)

𝐼𝑡 = 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀2𝑡 ………………(2)

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡 + 𝜀3𝑡 ………………………………..(3)

Donde se podría tomar esperanza al modelo, de forma que quedaría

sin la perturbación estocástica porque por conocimientos previos
sabemos que 𝐸 (𝜀𝑖𝑡 ) = 0, pero por simbología se mantendrá el error
aleatorio en el sistema de ecuaciones.

El siguiente paso en este modelo sería pasar los términos al primer

miembro, completando todas las variables en el sistema con ceros y
dejando el error aleatorio en el lado derecho de la igualdad. Si es
cierto que solo hay una variable rezagada, esta afecta a las demás
variables endógenas, de modo que el reordenamiento de las
ecuaciones resulta:

𝐶𝑡 − 0 ∗ 𝐼𝑡 − 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 − 0 ∗ 𝐶𝑡−1 − 0 ∗ 𝐼𝑡−1 − 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 − 0 ∗ 𝑅𝑡 − 0 ∗ 𝐺𝑡 − 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 = 𝜀1𝑡

0 ∗ 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 − 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 − 0 ∗ 𝐶𝑡−1 − 0 ∗ 𝐼𝑡−1 − 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 − 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 − 0 ∗ 𝐺𝑡 − 0 ∗ 𝑃𝑡 = 𝜀2𝑡

−𝐶𝑡 − 𝐼𝑡 + 𝑌𝑡 − 0 ∗ 𝐶𝑡−1 − 0 ∗ 𝐼𝑡−1 − 0 ∗ 𝑌𝑡−1 − 0 ∗ 𝑅𝑡 − 𝐺𝑡 − 0 ∗ 𝑃𝑡 = 𝜀3𝑡

A partir de estas ecuaciones despejadas se puede proceder con la

forma matricial.

2.2. Forma matricial

Las ecuaciones despejadas presentadas se agrupan de forma

matricial, de forma que resulta lo siguiente:

Se puede observar que el vector fila [𝐶𝑡 𝐼𝑡 𝑌𝑡 ] es el vector de

variables endógenas del modelo de Liu-Chang, las variables
endógenas pero retrasadas un periodo se encuentran
representadas por el siguiente vector fila [𝐶𝑡−1 𝐼𝑡−1 𝑌𝑡−1 ] y las
variables exógenas por el vector fila [𝑅𝑡 𝐺𝑡 𝑃𝑡 ] mientras que
las otras tres matrices de coeficientes estructurales sintetizan
todos los parámetros de las ecuaciones estructurales: 𝛾, 𝛽, 𝜙.
Se procederá a sintetizar la notación vector-matricial,
especificando cada matriz y vector:

El vector de variables endógenas:

𝑦𝑡 = [𝐶𝑡 𝐼𝑡 𝑌𝑡 ]

El vector de variables endógenas rezagadas:

𝑦𝑡−1 = [𝐶𝑡−1 𝐼𝑡−1 𝑌𝑡−1 ]

El vector de variables predeterminadas:

𝑥𝑡 = [𝑅𝑡 𝐺𝑡 𝑃𝑡 ]

La matriz de coeficientes de las variables endógenas:

1 0 −1
Γ=[ 0 1 −1]
−𝛾1 −𝛾2 1

La matriz de coeficientes de las variables endógenas

rezagadas:

0 0 0
B=[ 0 0 0]
−𝛽1 −𝛽2 0

La matriz de coeficientes de las variables predeterminadas o

exógenas:

0 −𝜙2 0
C=[ 0 0 −1]
−𝜙1 0 0

El vector de variables estocásticas:

𝑈 = [𝜀1𝑡 𝜀2𝑡 𝜀3𝑡 ]

Reemplazando las definiciones en la ecuación se tiene la

siguiente ecuación diferencial:

𝑦𝑡 ∗ Γ + 𝑦𝑡−1 ∗ 𝐵 + 𝑥𝑡 ∗ 𝐶 = 𝑈

Como se sabe, para simplificar matrices no se divide, sino que

se multiplica por la inversa de la matriz. En este caso lo que se
busca es despejar 𝑦𝑡 , entonces se multiplicará toda la ecuación
mostrada por la inversa de la matriz Γ:
 𝑦𝑡 ∗ Γ ∗ Γ −1 + 𝑦𝑡−1 ∗ 𝐵 ∗ Γ−1 + 𝑥𝑡 ∗ 𝐶 ∗ Γ −1 = 𝑈 ∗ Γ −1

De la siguiente ecuación se puede simplificar el producto de la

matriz Γ multiplicado por su inversa ya que eso resulta 1. Si
consideramos que 𝑉 = 𝑈 ∗ Γ −1 , ya que una variable por una
matriz de parámetros sigue siendo una variable, en este caso
las variables aleatorias multiplicado por la matriz de
parámetros no afecta su carácter, por ello se representa por V.

𝑦𝑡 + 𝑦𝑡−1 ∗ 𝐵 ∗ Γ−1 + 𝑥𝑡 ∗ 𝐶 ∗ Γ −1 = 𝑉

Ya despejada la variable endógena pasamos todos los términos

a la derecha y tan solo quedaría resolver las matrices Π que se
definirán de la siguiente manera:

𝑦𝑡 = −𝑦𝑡−1 ∗ 𝐵 ∗ Γ −1 − 𝑥𝑡 ∗ 𝐶 ∗ Γ −1 + 𝑉

Π0 = −𝐵 ∗ Γ −1

Π1 = −𝐶 ∗ Γ −1

Multiplicando primero la matriz B con la matriz Γ −1 se obtiene

el Jacobiano. La matriz Jacobiana es una matriz de derivadas
parciales, donde las filas son determinadas por el número de
variable dependientes, mientras que las columnas por el
número de variables independientes. Cada valor de la matriz
representa una derivada parcial de la variable dependiente con
respecto a la variable independiente. Por ello es de suma
importancia definir las variables endógenas y exógenas en este
modelo. Se presentará una tabla que sintetiza lo mencionado:

Entonces de este modo se puede armar la matriz Jacobiana

teniendo en cuenta que adopta la siguiente forma:
Del programa Mathcad se obtiene el siguiente resultado:

La interpretación de los resultados se da mediante el análisis

de los coeficientes:

Cabe resaltar que tanto la propensión marginal a consumir

(𝛾1 ) como la propensión marginal a invertir (𝛾2 )es una fracción
del ingreso, por ello su valor oscila entre 0 y 1, siendo un valor
positivo.
La interpretación del 𝛽1 , 𝛽2 radica que, si el producto rezagado
es mayor, entonces existe la posibilidad que se invierta más y
se consuma más, manteniendo relación positiva también.
Ahora 𝜙1 , que es lo que relaciona el índice de precios con el
consumo se interpreta de la siguiente manera: si los precios en
la economía tienden al alza, la población va a tender a
consumir menos (suponiendo que se tratan de bienes
normales). Por ello se le considera de relación negativa.
Por último, 𝜙2 que relaciona los beneficios con la inversión.
Esto quiere decir que, si los beneficios de la firma aumentan,
existen mayores montos para invertir, considerándose así de
relación positiva.
De manera formal, con derivadas se obtiene lo siguiente:

𝜕𝐶𝑡
= 𝛾1 > 0
𝜕𝑌𝑡

𝜕𝐼𝑡
= 𝛾2 > 0
𝜕𝑌𝑡

𝜕𝐶𝑡
= 𝛽1 > 0
𝜕𝑌𝑡−1

𝜕𝐼𝑡
= 𝛽2 > 0
𝜕𝑌𝑡−1

𝜕𝐶𝑡
= 𝜙1 < 0
𝜕𝑃𝑡

𝜕𝐼𝑡
= 𝜙2 > 0
𝜕𝑅𝑡

Donde el sentido de estas derivadas es el resultado de la

interpretación brindada líneas arriba.
Ahora que tenemos el impacto que tiene cada parámetro,
podemos analizar los resultados obtenidos mediante la matriz
Jacobiana.

Esta relación mostrada se cumple bajo una condición que el

𝛾1 + 𝛾2 < 1, es decir, que las propensiones marginales de
consumo sumado a la propensión marginal de inversión no
deben superar la unidad. Basándonos en que la matriz
Jacobiana muestra las relaciones entre las variables
dependientes e independientes podemos concluir que la única
variable que tiene influencia en las endógenas es el rezago de
la producción total del país. Entonces, estamos hablando de
una relación coincidente al analizado líneas arriba. Si
analizamos el sentido de las relaciones resulta que el rezago
tiene un impacto positivo dada la relación de propensiones ya
especificada.

Multiplicando primero la matriz C con la matriz Γ −1 se obtiene

el Jacobiano. Mediante el análisis realizado en Mathcad se
obtiene lo siguiente:

Recordando la relación de los parámetros:

Con estos datos, ahora vamos a analizar el modelo de estática

comparativa del modelo de las variables endógenas respecto a
las variables exógenas o determinados. Con la relación de los
parámetros se halla el análisis de estática comparativa siendo
los resultados los siguientes:
La interpretación de los resultados mostrados en el cuadro de estática
comparativa muestra lo siguiente: Un cambio en los beneficios produce
un impacto positivo en las tres variables endógenas corrientes del
modelo de Liu-Chang (consumo agregado, inversión agregada e ingreso
(o PBI)). Esto se puede interpretar que, si los empresarios perciben
mayores montos como beneficios, estos pueden destinar mayor
consumo (de manera indirecta, por el incremento en la producción),
mayor inversión si lo consideran oportuno y por consiguiente esta
inversión puede ser utilizada en el aumento de la producción de la
firma. La otra variable exógena que es el gasto público tiene un efecto
positivo también en las tres variables endógenas corrientes de Liu-
Chang (consumo agregado, inversión agregada e ingreso (o PBI)). Cuya
interpretación radicaría en que si el gobierno, por ejemplo, incrementa
su gasto en programas sociales en pro de la sociedad, esta puede tener
un mayor consumo; en caso de las firmas, mediante la reducción de la
carga impositiva que tiene un impacto directo en las utilidades de la
empresa disponiendo una mayor cantidad para invertir o producir si así
lo considera. De esta forma la variable gasto público afecta de manera
positiva a las endógenas. Finalmente, la variable índice de precios es
una variable cuyo efecto en la economía es adverso, en el sentido que, si
este aumenta, los pilares de la macroeconomía caen produciendo crisis
en el país de análisis. Hablando de la primera variable, el efecto es
mucho más directo, ya que a las familias se le reduce la capacidad
adquisitiva, reduciendo su consumo. Por el lado de la inversión resulta
de una manera indirecto o, al menos, es una forma de verlo, ya que, si
las familias consumen menos, menores utilidades por ventas recibirán
los empresarios, reduciendo su presupuesto para su inversión o
producción. Habiendo conocido los resultados y sus interpretaciones es
donde se debe tener en cuenta que cada escenario supuesto ha sido
bajo la consideración del “ceteris paribus”, es decir que solo la variable
en análisis sufre cambios teniendo los efectos descritos con anterioridad
para cada caso. Otra cuestión que resaltar es que se trata de una
economía cerrada, no hay sector exterior, no cabe posibilidad alguna
para el acceso al financiamiento externo, ni mucho menos para
operaciones de mercado abierto por esto también se refuerzan los
escenarios considerados en el modelo de estática comparativa.

Ahora, antes de pasar a la forma reducida del modelo de ecuaciones

simultáneas se realizan las siguientes consideraciones:

Como sabemos los П están definidos de la siguiente forma

Π0 = −𝐵Γ −1

Π1 = −𝐶Γ −1

Π0
Π=[ ]
Π1

Recordemos que el modelo se rescribe como:

𝑦̂ = [𝑦𝑡−1 𝑥𝑡 ] ∗ Π + 𝑉

Tomando esperanza para convertir de ecuación econométrica a una

ecuación matemática:

𝐸(𝑦̂) = 𝐸([𝑦𝑡−1 𝑥𝑡 ] ∗ Π) + 𝐸(𝑉)

Como se sabe la esperanza de las perturbaciones es igual a 0 E(V)=0

resultando:

𝑦̂ = [𝑦𝑡−1 𝑥𝑡 ] ∗ Π

Ahora con estos conceptos y ecuaciones analizadas podemos

representar el modelo Liu-Chang con su última forma bajo el modelo de
ecuaciones simultáneas.

2.3. Forma reducida

Para representar el modelo bajo esta forma, vamos a analizar

mediante dos métodos, uno bajo reemplazo (un análisis mas
algebraico) y otro mediante el método matricial y quedaría
como reflexión de esta forma que bajo ambos métodos se llega
al mismo resultado.

Primero, haremos el método algebraico que consiste en

analizar las ecuaciones vistas (1), (2), (3):

𝐶𝑡 = 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀1𝑡
 𝐼𝑡 = 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜀2𝑡

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡 + 𝜀3𝑡

Ahora tomaremos esperanza a estas ecuaciones

econométricas, de modo que resultaría lo siguiente:

En el consumo:

𝐸(𝐶𝑡 ) = 𝐸(𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 ) + 𝐸(𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 ) + 𝐸(𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝜀1𝑡 )

𝐶𝑡 = 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1

En la inversión:

𝐸(𝐼𝑡 ) = 𝐸(𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 ) + 𝐸(𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 ) + 𝐸(𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 ) + 𝐸(𝜀2𝑡 )

𝐼𝑡 = 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1

En el PBI:

𝐸(𝑌𝑡 ) = 𝐸(𝐶𝑡 ) + 𝐸(𝐼𝑡 ) + 𝐸(𝐺𝑡 ) + 𝐸(𝜀3𝑡 )

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺𝑡

Ahora reemplacemos la ecuación del consumo y de la

inversión en la del PBI, de este reemplazo se obtendrá lo
siguiente:

𝑌𝑡 = 𝛾1 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝛾2 ∗ 𝑌𝑡 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝐺𝑡

Dicha ecuación representará el PBI de equilibrio despejando

Yt:

𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝐺𝑡
𝑌𝑡 =
1 − 𝛾1 − 𝛾2

De esta manera se obtiene el PBI de equilibrio. Para hallar las

otras dos variables endógenas se recurrirá a reemplazar este Yt
en la ecuación de consumo:

𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝐺𝑡
𝐶𝑡 = 𝛾1 ∗ + 𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1
1 − 𝛾1 − 𝛾2
 (𝛾1 𝛽2 +𝛽1 −𝛽1 𝛾2 )𝑌𝑡−1 +(𝜙1 −𝛾2 𝜙1 )𝑃𝑡 +𝛾1 𝜙2 𝑅𝑡 +𝛾1 𝐺𝑡
𝐶𝑡 = 1−𝛾1 −𝛾2

Por último, se trabajará la variable inversión que se calcula

introduciendo el Yt de equilibrio en la ecuación de la inversión:

𝜙1 ∗ 𝑃𝑡 + 𝛽1 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1 + 𝐺𝑡
𝐼𝑡 = 𝛾2 ∗ + 𝜙2 ∗ 𝑅𝑡 + 𝛽2 ∗ 𝑌𝑡−1
1 − 𝛾1 − 𝛾2

(𝛾2 𝛽1 + 𝛽2 − 𝛾1 𝛽2 )𝑌𝑡−1 + 𝛾2 𝜙1 𝑃𝑡 − (𝛾1 𝜙2 − 𝜙2 )𝑅𝑡 + 𝛾2 𝐺𝑡

𝐼𝑡 =
1 − 𝛾1 − 𝛾2

Entonces, teniendo los tres equilibrios de las variables

endógenas queda por comprobar si estas coinciden con el otro
método que consiste en la operación de matrices:

Para esto iniciamos con un cambio de variable para que dicho

vector sea aceptado por el Mathcad

𝑎 = 𝐶𝑡−1

𝑏 = 𝐼𝑡−1

𝑐 = 𝑌𝑡−1

Tomando en cuenta esta consideración hay que recordar que

el modelo en forma vector-matricial es el siguiente

𝑦̂ = [𝑦𝑡−1 𝑥𝑡 ] ∗ Π

Ahora se formarán dos conjuntos de matrices para poder

operar
Esta primera matriz representa la multiplicación entre el
vector fila de variables endógenas rezagadas y la matriz Π0
cuyo resultado se debe sumar con el producto del vector fila de
variables exógenas y la matriz Π1 .

Teniendo estas dos grandes operaciones de matrices se define

el y estimado como

De donde se obtiene el siguiente vector fila que por motivos de

presentación se ha separado en dos partes:

Si se separan los resultados en los de equilibrio para cada

variable endógena, obteniéndose lo siguiente:
Entonces, procederemos a comparar ambos resultados para
constatar la consistencia en resultados del modelo:

A simple vista se puede concluir que ambos resultados

difieren, pero no olvidar lo siguiente:

𝑎 = 𝐶𝑡−1

𝑏 = 𝐼𝑡−1
 𝑐 = 𝑌𝑡−1

Y que la diferencia en los signos homogeniza el denominador

por ambos métodos.

3. Conclusiones Generales

El modelo de Liu-Chang concluye con interesantes acotaciones

como el involucramiento de todas las variables exógenas en
todas las endógenas, esto representado por la matriz
Jacobiana donde se consideran valores de equilibrio. Que si se
derivan las ecuaciones obtenidas en la forma reducida se
obtiene cada valor de la matriz jacobiana. La inserción del
nivel de precios en este modelo es perjudicial para la economía
ya que se plasma con efectos negativos en las variables macro
relevantes. En términos operacionales se ve que en la forma
reducida por ambas (algebraica y matricial) vías se llega a lo
mismo.