Distribuciones Disc.
Distribuciones Disc.
Distribuciones Disc.
3.1 Introduccin.
El alumno sabr distinguir los trminos de: variable aleatoria, funcin de probabilidad,
funcin de distribucin de probabilidad y funcin de distribucin acumulativa de
probabilidad.
3.2.1 Introduccin.
Las variables se dividen en discretas y continuas, las variables discretas son las
que pueden tomar un nmero finito o infinito de valores. Por ejemplo se desea
estimar el nmero de nios por familia en un municipio, la escala de medida
empezar en cero para indicar la ausencia de nios, y se ir incrementando de
uno en uno hasta llegar a 3 o quiz 5 para incluir casos extremos.
Las variables continuas son aquellas que pueden tomar un nmero ilimitado de
valores intermedios dependiendo del instrumento de medicin.
2
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Como variables continuas tenemos la longitud, velocidad, tiempo, peso, temperatura,
etc. A manera de ejemplo citaremos:
Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el nmero de valores que puede
tomar es exacto (ya sea finito o infinito).
Observe que la variable aleatoria X solo puede tomar los valores 0, 1, 2, y 3 pero no
ms valores.
3
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
La Funcin de distribucin de probabilidad de la variable aleatoria X, relaciona
los valores que toma la variable aleatoria X con sus probabilidades correspondientes
y puede presentarse por medio de una tabla, grfica o frmula.
TABLA
Xi 0 1 2 3
P(x i) 1/8 3/8 3/8 1/8
GRFICA
0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
FRMULA
F (x) P(X x) = P( x )
xi x
i
Observe qu:
P (1 X 2) = P (X 2) P (X 0)
= F (2) F (0) = 6/8
E ( X ) ( X i P ( X i ))
Donde:
E (x) = valor esperado de X.
= media de X.
P (xi) = probabilidad de Xi
= letra griega que simboliza suma.
Lo anterior indica que si se lanzan tres monedas al aire una sola vez, es de
esperarse que caigan 1.5 guilas.
5
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
que toma la variable X con respecto al valor esperado . Su clculo se hace a partir
de:
V ( X ) 2 ( X i2 P ( X i )) 2
V X
(X i
2
P ( X i ) = 02 (1/8) + 12 (3/8) + 22 (3/8) + 32 (1/8) = 3.
V(X) = 2
= 3 1.52 = 0.75
3.3.1 Introduccin.
Cuando los ensayos que componen un experimento son independientes, o sea que
el resultado de un ensayo no afecta al resultado que se obtiene en cualquier otro
ensayo, adems cuando la probabilidad de xito en cada ensayo es independiente y
donde el experimento tenga solo dos resultados posibles, podemos decir que se trata
de la distribucin binomial.
6
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
El objetivo general para este tema, es que el alumno sepa identificar cuando un
problema puede ser resuelto mediante esta distribucin, as mismo obtendr la
probabilidad de un evento, la cual servir como herramienta matemtica en la toma
de decisiones en un problema en particular.
Los temas a cubrir para esta distribucin de probabilidad son: funcin de probabilidad
de la distribucin Binomial, caractersticas de esta distribucin, manejo de la tabla de
distribucin acumulativa, resolucin de ejercicios y problemas propuestos.
n!
P ( x, n, p ) p x q n x C xn p x q n x
x!(n x)!
En los experimentos que tienen este tipo de distribucin, siempre se esperan dos
tipos de resultados, ejemplo: defectuoso, o no defectuoso; pasa, no pasa; con
calidad, sin calidad; etc.
Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre si.
0.32768
0.3
0.20480
fx
0.2
0.1
0.05120
0.00640 0.00032
0.0
0 1 2 3 4 5
x
8
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Grfica de Distribucin de Probabilidad para n = 5 y p = 0.8
0.40960
0.4
0.32768
0.3
0.20480
fx
0.2
0.1
0.05120
0.00032 0.00640
0.0
0 1 2 3 4 5
x
0.30
0.25
0.20
fx
0.15625 0.15625
0.15
0.10
0.00
0 1 2 3 4 5
x
6!
P (0;6,0.2) 0.2 0.86 0 0.2621
0
0!(6 0)!
9
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
6!
P (1;6,0.2) 0.210.86 1 0.3932
1!(6 1)!
6!
P ( 2;6,0.2) 0.2 2 0.8 6 2 0.24576
2!(6 2)!
6!
P (3;6,0.2) 0.2 3 0.86 3 0.08192
3!(6 3)!
6!
P ( 4;6,0.2) 0.2 4 0.86 4 0.01563
4!(6 4)!
6!
P (5;6,0.2) 0.2 5 0.86 5 0.001536
5!(6 5)!
6!
P (6;6,0.2) 0.2 6 0.86 6 0.000064
6!(6 6)!
0.3
0.262144
0.245760
0.2
fx
0.1 0.081920
0.015360
0.001536 0.000064
0.0
0 1 2 3 4 5 6
x
10
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
P (X x; n, p) = F (x; n, p)
P (X > x) = 1 - F (x; n, p)
P (4 < x < 8) = P (x 7) P (x 4)
= F (7; 10, 0.20) F (4; 10, 0.20)
11
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
= 0.9999 0.9672
= 0.0327
P (4 x 6) = P (x 6) P (x 3)
= F (6; 10, 0.20) F (3; 10, 0.20)
= 0.9991 0.8791
= 0.12
Datos:
p = 0.05
q = 1 0.05 = 0.95
n=6
P (x = 2)
6!
P (2;6,0.05) 0.052 0.956 2 0.0305
2! (6 2)!
P (x = 2) = P (x 2) P(x 1)
= F (2; 6, 0.05) F (1; 6, 0.05)
= 0.9978 0.9672
= 0.0306
Aqu la caracterstica de inters son unidades sanas, por lo que p debe darse en
porcentaje de unidades sanas (0.95) y la probabilidad requerida es P (x = 4)
6!
P ( 4;6,0.95) 0.95 4 0.05 6 4 0.0305
4!(6 4)!
12
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Ejemplo 2. Suponga que el equipo de fut-bol Veracruz, gana cuatro de cinco
partidos cuando juegan como local. Si juega 10 partidos como local durante el
campeonato de liga. Cul es la probabilidad que gane:
Datos:
p = 4 / 5 = 0.8
q = 1 0.8 = 0.2
n = 10
P (x = 6)
10!
P (6;10,0.08) 0.8 6 0.2106 0.0881
6!(10 6)!
P (x 5) = 1 P (x 4)
= 1 F (4; 10, 0.8)
= 1 - 0.0064
= 0.9936
c) De 5 a 8 partidos.
P (5 x 8) = P (x = 5) + P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)
P (5 x 8) = P (x 8) P (x 4)
= F (8; 10, 0.8) F (4; 10, 0.8)
= 0.6242 0.0064
= 0.6178
E(x) = = n p = 10 (0.8) = 8
Ejemplo 3. Un fabricante de ciertas piezas para automviles, garantiza que una caja
de sus piezas contiene como mximo dos defectuosas. Si la caja tiene 20 piezas y la
experiencia ha demostrado que su proceso de manufactura produce el 2% de piezas
13
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
defectuosas. Cul es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga la
garanta?
Una caja satisface la garanta cuando tenga 0, 1 2 piezas defectuosas, por lo tanto
la probabilidad requerida es P (x 2).
Datos:
p = 0.02
q = 0.98
n = 20
20!
P (0;20,0.02) 0.02 0 0.9820 0 0.6676
0!(20 0)!
20!
P (1;20,0.02) 0.0210.98 20 1 0.273
1!( 20 1)!
20!
P (2;20,0.02) 0.02 2 0.98 20 2 0.053
2!( 20 2)!
Este resultado muestra que la garanta del fabricante casi siempre se satisfar.
Datos:
p = 0.05
q = 0.95
n = 15
P(x 2)
P(x 2) = 1 P (x 1) = 1 - F (1; 15, 0.05)
= 1 - 0.829
= 0.171
15!
P (5;15,0.05) 0.055 0.9510 0.00056
5!(15 5)!
14
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
P (3 x 6) = P(x 6) P(x 2)
= F (6; 15, 0.05) F (2; 15, 0.05)
= 1 0.9638
= 0.0362
Ejemplo 5. La probabilidad de que cierto tipo de padres con ojos azul-caf tengan un
hijo con ojos azules es de . Si existen seis nios en la familia, encuentre la
probabilidad de que:
Para resolver este problema los seis nios deben tratarse como seis intentos
independientes de un evento o sea n = 6, donde la probabilidad de xito en un solo
intento es p = 0.25 y la probabilidad de fracaso es q = 0.75.
P (x > 2) = P (x 3) = 1- P (x 2)
= 1 - F (2; 6, 0.25)
= 1 - 0.8306
= 0.1694
Existe muy poca probabilidad de que ste tipo de familias tengan tantos hijos con
ojos azules, solamente el 17% de stas familias tienen ms de 2 hijos con ojos
azules.
Esta probabilidad significa que cero hijos tengan ojos azules, por lo tanto la
probabilidad buscada es:
6!
P (0;6,0.25) 0.25 0 0.75 6 0.1780
0! (6 0)!
6!
P (6;6,0.75) 0.75 6 0.25 0 0.1780
6!(6 6)!
Datos:
p = 0.38
q = 0.62
n = 1000
a) La probabilidad de que una persona que curiosea compre algo durante una hora
dada. R = 0.0306
b) La probabilidad de que ninguna de las personas que curiosean compre algo
durante una hora dada. R = 0.0047
4. Un agricultor que siembra fruta afirma que 1/3 de su cosecha de duraznos ha sido
contaminada por la mosca del mediterrneo. Encuentre la probabilidad de que al
inspeccionar cinco duraznos:
5. Se sabe que los discos producidos por una empresa salen defectuosos con una
probabilidad de 0.01. La compaa vende los discos en paquetes de diez y garantiza
el reembolso del dinero si ms de uno de diez discos sale defectuoso.
3.4.1 Introduccin.
Este tipo de distribucin debe ser empleada cuando: la poblacin a investigar sea
relativamente chica, existan k unidades con la caracterstica de inters, el muestreo
se realice sin reemplazo y la probabilidad de xito no permanezca constante en cada
ensayo.
(k-1) / (N-1) (k / (N-1), segn que la primera unidad sacada sea o no defectuosa y
as sucesivamente.
El objetivo general para este tema, es que el alumno sepa identificar cuando un
problema puede ser resuelto mediante esta distribucin, as mismo obtendr la
probabilidad de un evento, la cual servir como herramienta matemtica en la toma
de decisiones en un problema en particular.
17
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
El participante obtendr la probabilidad de un evento empleando: la funcin de
probabilidad, la funcin de distribucin acumulativa de probabilidad y mediante el
empleo de Excel y Minitab.
Ante este nuevo caso de muestreo sin reemplazo se tiene una nueva distribucin de
probabilidad, llamada hipergeomtrica, la cual se define como:
P( x; n, k , N )
C C
k
x
N k
n x
k
x
N k
n x
N
nC N
n
Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. (Todo
depende si sale o no sale el artculo con la caracterstica de inters).
18
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
k k N n
V ( x) n 1
N N N 1
Datos:
N = 10
n=4
k=3
P(x = 2)
P (2; 4, 3, 10) = F (2; 4, 3, 10) F (1; 4, 3, 10)
= 0.9667 0.6667
= 0.3
Datos: n=6
P(x = 2)
P (X x; n, k, N) = F (x; n, k, N)
19
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
P(x 1) = F (1; 4, 2, 10)
= 0.8667
Datos:
N = 50
n=5
k = 40
P(x = 4)
C 440 C550 4 40
P (4;5,40,50) 0.4313
C550
Lo que significa que es poco probable que cuatro artculos funcionen correctamente.
Datos:
N = 50
n=5
k = 30
P(x 2)
P(x 2) = 1- P(x 1)
P(x 2) = 1- [P (0; 5, 30, 50) + P (1; 5, 30, 50)]
20
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
C030C550 0 30
P (0;5,30,50) 0.007317
C550
C130C5501 30
P (1;5,30,50) 0.0686
C550
Datos:
N = 40
n=8
k=2
P (x = 0)
C02C838
P (0;8,2,40) 0.6359
C840
Si un vendedor sabe que su producto pasar por una seleccin que verifica la
calidad, debe poner en marcha en su fbrica un control de calidad intencionado con
el propsito de minimizar el nmero de lotes rechazados.
C05C1095
P (0;10,5,100) 100
0.5837
C10
C15C995
P (1;10,5,100) 100 0.3394
C10
21
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
P(x 1) = 0.5837 + 0.3394 = 0.9231
a) Cul es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artculos
defectuosos?
b) Cul es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artculo defectuoso
se regrese para verificacin?
3.5.1 Introduccin.
22
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Es una funcin discreta de probabilidad muy til, en la que la variable aleatoria
representa el nmero de eventos independientes que ocurren a una velocidad
constante en el tiempo o el espacio. Algunos ejemplos son: el nmero de llamadas
por hora que se reciben en una oficina, el nmero de errores cometidos en una hoja
por una secretaria, el nmero de bacterias en un cultivo, etc.
El objetivo general para este tema, es que el alumno sepa identificar cuando un
problema puede ser resuelto mediante esta distribucin, as mismo obtendr la
probabilidad de un evento, la cual servir como herramienta matemtica en la toma
de decisiones en un problema en particular.
e x
P ( x, )
x!
23
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Para x = 0,1, 2, y 0.
En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de
rea, tiempo, pieza, etc.
0.3
0.2 0.183940
fx
0.1
0.061313
0.015328
0.003066
0.0
0 1 2 3 4 5
x
24
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Grfica de Distribucin de Probabilidad para lamda = 2
0.30
0.270671 0.270671
0.25
0.20
0.180447
fx
0.15 0.135335
0.10 0.090224
0.05 0.036089
0 1 2 3 4 5
x
0.156293
0.146525
0.15
0.10
fx
0.073263
0.05
0.018316
0.00
0 1 2 3 4 5
x
e 2.2 2.2 0
P (0,2.2) 0.1108
0!
25
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
0.243767
0.25
0.196639
0.20
0.15
fx
0.110803 0.108151
0.10
0.047587
0.05
0.017448
0.005484 0.001508
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
P ( X x ) F ( x; ) F ( x 1; )
P( X x) F ( x; )
P ( x 3) F (3;3.5) 0.5366
P ( X x ) 1 F ( x; )
P ( x 5) P ( x 6) 1 F (5;3.7)
= 1 - 0.8301
= 0.1699
26
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Datos:
= 2.5
P (x = 0)
e 2.5 2.5 0
P (0,2.5) 0.0821
0!
P (x = 2)
e 2.5 2.5 2
P ( 2,2.5) 0.2565
2!
np 5(0.5) 2.5
Ejemplo 2. A una constructora llegan camiones de carga a una razn media de 2.8
camiones por hora. Obtenga la probabilidad de tener tres o ms camiones que
lleguen en un:
a) Lapso de 30 minutos.
2.8 camiones / 60 minutos = 0.04666 camiones por minuto = p. Por lo tanto los
camiones promedio que llegarn en 30 minutos es = 30(0.04666) = 1.4
Datos: n = 30
= 1.4
P (x 3)
P ( x 3) 1 P ( x 2)
P ( x 3) 1 P ( x 0) P ( x 1) P ( x 2)
e 1.41.40
P (0,1.4) 0.2466
0!
e 1.41.41
P (1,1.4) 0.3452
1!
27
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
e 1.41.4 2
P ( 2,1.4) 0.2417
2!
Datos:
= 2.8
P (x 3)
P ( x 3) 1 P ( x 2)
P( x 3) 1 P( x 0) P( x 1) P( x 2)
P ( x 3) 1 (0.0608 0.1703 0.2384)
P ( x 3) 0.5305
2.8 camiones entre una hora es igual a 2.8 que es igual a p. Entonces tenemos que
= 2.8 (2) = 5.6
Datos:
= 5.6
P (x 3)
P ( x 3) 1 P ( x 2)
P( x 3) 1 P( x 0) P( x 1) P( x 2)
P( x 3) 1 (0.0037 0.0207 0.0580)
P ( x 3) 0.9176
El avin puede explorar una superficie de 1,000 millas por 10 de ancho por 3 das
(1000 X 10 X 3) = 30,000 millas cuadradas.
P ( x 1) 1 P ( x 0)
e 0.3 0.30
P ( x 1) 1
0!
P ( x 3) 1 0.7408 0.2592
Ejemplo 4. En un oleoducto ocurren dos fugas por cada 100 millas. Cul es la
probabilidad de hallar?
La probabilidad de obtener una fuga por milla es de p = 2 / 100 = 0.02. Por lo tanto el
nmero promedio de fugas en las 500 millas ser = 500 (0.02) = 10.
Datos:
= 10
P (x = 7)
e 10107
P ( x 7) 0.0901
7!
P ( x 20)
P ( x 20) 1 P ( x 19)
P ( x 20) 1 F (19;10)
P( x 20) 1 0.9965 0.0035
P( x 2) 1 P ( x 1)
P( x 2) 1 P( x 0) P( x 1)
P ( x 2) 1 (0.0273 0.0984)
P ( x 2) 0.8743
Esta es una probabilidad alta, la cual debera ser tomada muy en cuenta.
29
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
1. Entre las 2 y las 4 de la tarde, el nmero promedio de llamadas telefnicas por
minuto que entran al conmutador de una empresa es de 2.5. Encuentre: a) La
probabilidad de que en un minuto haya 2 llamadas telefnicas. b) La probabilidad de
que en 2 minutos haya 3 llamadas telefnicas. Ra = 0.2565, Rb = 0.1404
6. El volcn Lakie en Islandia hizo erupcin por ltima vez en abril de 2010,
paralizando los vuelos de toda Europa y trayendo como consecuencia enormes
prdidas econmicas. Si este volcn hace erupcin en promedio una vez cada cinco
aos, obtenga:
a) La probabilidad de que haga erupcin en los prximos cinco aos.
b) La probabilidad de que haga tres o ms erupciones en los siguientes siete aos.
30
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
forma lo rechaza. Si se enva al comprador un lote que contiene el 1% de circuitos
defectuosos encuentre:
Datos:
=1
P (x 2)
P (x 2) = F (2; 1) = 0.9197
Los clculos que tienen que realizarse para calcular esta probabilidad mediante la
distribucin binomial, cuando n = 100, p = 0.01, cuando P (x 2) son:
2
P ( x 2) Cin 0.01i 0.99ni
i 0
b) La probabilidad de que sea rechazado el lote. Para este caso la probabilidad ser
P(x > 2)
P( x 2) P( x 3) 1 P( x 2)
P ( x 2) 1 F ( 2;1)
P ( x 2) 1 0.9197 0.0803
Aqu vemos que n es grande y p es pequeo, por lo que podemos aproximar por la
Poisson utilizando a = 4000 (0.001) = 4.
Datos:
=4
P (x 6)
6
e 4 4 i
P ( x 6) F (6;4) 0.8893
i 1 i!
31
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Aqu suponemos que n es grande, la probabilidad de ausencia pequea y que la
ausencia de cualquier empleado es independiente de la presencia o ausencia de
cualquier otro. Aunque en ste problema la suposicin no podra ser cierta.
Datos:
= 100(0.036) = 3.6
P (x 5)
P (x 5) = F (5; 3.6)
= 0.8441
n
La aproximacin es excelente cuando la razn es pequea, digamos menor que
N
k
0.1 y p
N
Datos:
N = 200
n = 10
k=8
P(x = 1)
C18C1020018
P (1;10,8,200) 0.2878
C10200
32
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
n 10
Dado que 0.05 es pequeo, adems N 10n si se cumple (200 10(10)),
N 200
nos podemos aproximar por medio de la distribucin binomial, considerando a
k 8
p 0.04
N 200
10!
P (1;10,0.04) 0.0410.9610 1 0.2770
1!(10 1)!
Datos:
N = 200
n = 12
k = 40
P(x = 3)
C340C9160
P(3;12,40,200) 0.243614
C12200
Datos:
n = 12
p = 0.20
q = 0.80
P(x = 3)
12!
P (3;12,0.20) 0.20 3 0.80123 0.2362
3!(12 3)!
3.8.1 Introduccin.
33
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Por ejemplo la produccin de un artculo se clasifica como superior, medio e inferior;
cuando la calificacin de estudiantes se juzga dando la letras A, B, C, D; o cuando un
experimento se juzga terminado con xito o inconcluso.
El objetivo general para este tema, es que el alumno sepa identificar cuando un
problema puede ser resuelto mediante esta distribucin, as mismo obtendr la
probabilidad de un evento, la cual servir como herramienta matemtica en la toma
de decisiones en un problema en particular.
n!
P ( x1 , x 2 ,..., x k ) p1x1 p 2x2 ... p kxk
x1!, x 2 !,..., x k !
k
Donde: x1 = 0, 1, 2,; x2 = 0, 1, 2,, xk = 0, 1, 2,; y la x
i 1
i n
k
Dentro de sus principales caractersticas podemos citar:
x
x i
i n
Al llevar a cabo un experimento con esta distribucin se esperan ms de dos tipos de
resultados.
E ( X i ) np i V ( X ) 2 npi q i
Ejemplo 1. Se fabrican lpices mecnicos por medio de un proceso que implica una
gran cantidad de mano de obra en las operaciones de ensamblado. ste es un
trabajo altamente repetitivo y hay un pago de incentivo. La inspeccin final ha
revelado que el 85% del producto es bueno, el 10% defectuoso pero que puede
reelaborarse y el 5% es defectuoso y se desecha. Estos porcentajes se mantienen
constantes en el tiempo.
Datos:
n = 20, x1 = 18, x2 = 2, x3 = 0, p1 = 0.85, p2 = 0.10 y p3 = 0.05
P( xi 18, 2, 0)
20!
P (18,2,0) 0.8518 0.10 2 0.05 0 0.1019
18!2!0!
Datos:
n = 6, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0, p1 = 0.20, p2 = 0.70 y p3 = 0.10
P ( xi 1, 2, 3)
6!
P (1,2,3) 0.2010.70 2 0.103 0.0059
1!2!3!
Ejemplo 3. Los ladrillos de vidrio defectuosos se clasifican en una fbrica por: que
tengan rupturas, estn decolorados o ambas cosas. Si las probabilidades respectivas
son: 0.50, 0.40 y 0.10 respectivamente, hallar la probabilidad de que 6 de entre 10 de
estos ladrillos tengan rupturas, 3 estn decolorados y 1 presente ambos defectos.
Datos:
n = 10, x1 = 6, x2 = 3, x3 = 1, p1 = 0.50, p2 = 0.40 y p3 = 0.10
P ( xi 6, 3, 1)
35
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
10!
P (6,3,1) 0.50 6 0.40 3 0.101 0.0838
6!3!1!
3. Segn una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darn por los
candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un
52% votar por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos
restantes, si se seleccionan aleatoriamente seis personas con edad de votar,
determine la probabilidad de que:
a) Dos voten por el partido verde, uno por el azul y tres por el resto de los partidos.
b) Dos voten por el partido verde y cuatro por el azul. R a = 0.0033 y Rb = 0.1038
3.9.1 Introduccin.
El objetivo general para este tema, es que el alumno sepa identificar cuando un
problema puede ser resuelto mediante esta distribucin, as mismo obtendr la
probabilidad de un evento, la cual servir como herramienta matemtica en la toma
de decisiones en un problema en particular.
Donde:
P(x) = probabilidad de que ocurra un xito en el ensayo x por primera y nica vez.
p = probabilidad de xito
q = probabilidad de fracaso
Ejemplo 1. Se lanza al aire una moneda cargada, ocho veces; de tal manera que la
probabilidad de que aparezca guila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que
aparezca sello es de 1/3. Determine la probabilidad de que en el ltimo lanzamiento
aparezca un guila.
Como lo que nos interesa es que aparezcan siete sellos seguidos y por ltimo un
guila los resultados quedan de esta forma:
S S S S S S S A
Resolviendo el problema del ejemplo que tenemos con la funcin de probabilidad es:
Datos:
x= 8
p = 2/3
q = 1/3
P (x = 8) = (1 / 3)8 -1 (2 / 3) = 0.0003048
Datos:
x= 6
p = 0.05
q = 0.95
P(x = 6) = (0.95)6 -1 (0.05) = 0.03869
38
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
x= 5
p = 0.95
q = 0.05
P(x = 5) = (0.05)5-1 (0.95) = 0.0000059
Datos:
x= 6
p = 0.20
q = 0.80
P (x = 6) = (0.80)6 -1 (0.20) = 0.0655
Distribucin Binomial.
40
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Para ilustrar el uso de Minitab tomaremos el ejemplo de la pgina 9 donde: el tamao
de muestra es n = 6, la probabilidad de xito es p = 0.2 y las probabilidades para la
variable aleatoria son x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
C1 C2
x fx
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
De manera anloga, usted puede obtener las grficas para cualquier distribucin de
probabilidad que desee, haciendo los cambios pertinentes en funcin de dicha
distribucin.
Distribucin Hipergeomtrica.
Distribucin Poisson.
Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 5 de la pgina 30, sobre las
explosiones en los ductos de PEMEX. Donde la probabilidad solicitada es P( x 2) y
el promedio es = 3.6. Como Minitab no da la probabilidad mayor a un nmero,
tenemos que solicitar la probabilidad menor a ese nmero y posteriormente obtener
el complemento.
42
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Distribucin Geomtrica.
Para ilustrar el uso de Minitab tomemos el ejemplo 3 de la pgina 39, sobre una
compaa constructora de pozos. Donde la probabilidad solicitada es P ( x 5) y la
probabilidad de xito es p = 0.20.
43
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Al estar trabajando con alguna distribucin de probabilidad en particular y desea
realizar cambios en una de las celdas para obtener una nueva probabilidad, recurra
al icono Editar ltimo dilogo (Ctrl+E) de la barra de herramientas de Minitab.
Distribucin Binomial.
Para ilustrar su utilizacin tomaremos el inciso a del ejemplo 1 que est en la pgina
12, de una mquina Cartell-bill que produce engranes defectuosos. Donde la
probabilidad requerida es P ( x 2) , el tamao de muestra es 6 y la probabilidad de
xito es p = 0.05. Los pasos a seguir son los siguientes.
Distribucin Hipergeomtrica.
Distribucin Poisson.
Para ilustrar el uso de Excel tomemos el ejemplo 5 de la pgina 30, sobre las
explosiones en los ductos de PEMEX. Donde la probabilidad solicitada es P( x 2) y
el promedio es = 3.6. Como Excel no da la probabilidad mayor a un nmero,
tenemos que solicitar la probabilidad menor a ese nmero y posteriormente obtener
el complemento.
45
Lic. Vicente Snchez y Ramrez
Distribuciones discretas
___________________________________________________________________________________________
Excel le da la probabilidad de 0.12568912 que es la probabilidad de P ( x 1) , por lo
tanto la probabilidad requerida P( x 2) =1 0.1257 = 0.8743.
46