PC 01 Solucionario
PC 01 Solucionario
PC 01 Solucionario
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matematica Ciclo 2017-I
[Cod: CM 141 Curso: Calculo Vectorial 1]
[Temas: Espacios, subespacios, producto interno y norma.]
1. Diga (Justificando su respuestas) si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales reales junta-
mente con las operaciones de adicion y multiplicacion por un escalar.
a+a=a
a = a, R
2 pts.
(b) Sea V = {(x, y) : x, y R} y las operaciones:
(x1 , x2 ) = (x1 , x2 ), R
2 pts.
Resolucion:
Clausura: a + a = a.
Conmutativa: a + a = a = a + a.
Asociativa: calculando (a + a) + a = a + a = a, tambien a + (a + a) = a + a = a.
Tomemos 0 = a cumple con 0 + a = a + a = a.
Ses a V , considerando a = a, ya que
a + (a) = a + a = a = 0
a + a = a + a = a.
(a + a) = a = a, pero
a + a = a + a = a.
1a = a por definicion.
(b) No es cierto, basta dar un contraejemplo:
Probemos que:
U + W 6= :
Por ser U y W subespacios de V ambos contienen al vector nulo, es decir:
0U 0W
Ademas se cumple:
0=0+0U +W
Por lo tanto, U + W es distinto del vacio.
a + b U + W, a, b U + W :
Sean a, b U + W (fijos y arbitrarios), luego existen u1 , u2 U y w1 , w2 W tal que:
a = u1 + w1 b = u2 + w2
u1 , u2 U u1 + u2 U
w1 , w2 W w1 + w2 W
Vemos que:
a = u1 + w1
u1 U K u1 U
w1 W K w1 W
Vemos que:
a = (u1 + w1 ) = u1 + u2 U + W
Por ser a y arbitrarios se cumple lo que queriamos probar.
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3. Sean u, v R2 vectores no nulos y u//v. Demostrar que no existen escalares , R tal que
u = u + v.
4 pts.
Resolucion:
Sopongase que exista tales reales, luego existe , R tal que u = u + v, luego como son
paralelas no nulos existe k real tal que
v = ku
u = ( + k)u
(a) Si V es un espacio con producto interno y v, u V son tales que w V, < v, w >=< u, w >,
entonces u = v. 1.5 pts.
(b) Si W = {(x, 2x) R2 : x R} y V = {(x, 3x) R2 : x R}, entonces W V es un subespacio
de R2 . 1 pts.
(c) Si V es un espacio vectorial real y X V no vaco, es tal que
R, x X, x X
Resolucion:
w V, hu, wi = hv, wi
w V, hu v, wi = 0.
Como esta ultima igualdad es valida para todos los elementos w V , entonces tambien es valida
para el elemento u v V . Por lo tanto:
hu v, u vi = 0.
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c) La proposicion es VERDADERA. Por dato X 6= , luego existe un elemento en X que llamare-
mos x0 . Ademas, tambien por dato, se cumple la condicion:
R, x X, x X,
es decir x X para todos los valores reales de y todos los elementos x de X. En particular
tomando = 0 y x0 se tendra 0 x0 X, osea 0 X (pues 0 x0 = 0).
5. Las coordenadas de los vertices de un triangulo ABC son A(1; 1), B(6; 13) y C(15; 1). Cual es la
coordenada del incentro del triangulo ABC? 4 pts.
Resolucion:
Las coordenadas de los vertices de un triangulo ABC son A(1; 1), B(6; 13) y C(15; 1). Cual es la
coordenada del incentro del triangulo?
Resolucion: Sea el triangulo ABC cuyos vertices tienen coordenadas: A(1; 1), B(6; 13) y C(15; 1)