PAPIME Manual Curso R

Manejo prctico del software
de anlisis estadstico R
Armando Cervantes Sandoval
Xavier Chiappa Carrara
Maite Mascar Miquelajauregui
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO
Facultad de Estudios Superiores Zaragoza
UMDI-Sisal, Facultad de Ciencias
Mxico 2009

Primera edicin: 2009
D.R. Facultad de Estudios Superiores Zaragoza

UMDI-Sisal, Facultad de Ciencias
Impreso y hecho en Mxico
Formacin, Diseo editorial y portada: Armando Cervantes Sandoval
Desarrollado con apoyo de los proyectos PAPIME PE201106 y PE101606
Material de uso libre para fines acadmicos, con la cita o referencia

bibliogrfica correspondiente.
Prohibida su reproduccin total o parcial con fines de lucro.
Contenido
Pg.
Presentacin 1
Captulo 1
Dnde adquirir y cmo se instala R 3
1.1. Introduccin 3
1.2. Obtener e instalar R 4
1.3. Documentacin de R 4
1.4. Instalacin de paquetes adicionales 6
Captulo 2
Entorno Rcmdr y manejo de datos 9
2.1. Ejemplos para manejo de datos 11
Captulo 3
Exploracin de datos 17
3.1. Diagrama de caja y bigote o boxplot 18
3.2. Diagramas de tallo y hojas 18
3.3. Histogramas 19
3.4. Ejemplo en R 20
3.5. Ejercicios del captulo 3 24
Captulo 4
Inferencia estadstica 27
4.1. Poblacin y muestra 27
4.2. Incertidumbre y distribuciones estadsticas 28
4.3. Distribucin normal estndar 30
4.4. Teorema Central del Lmite 31
4.5. Estimacin (intervalos de confianza) 32
4.6. Ejemplos 32
4.6.1. Contrastes de un Parmetro vs un valor predeterminado 32
Ejemplo 4.6.2. 34
Ejemplo 4.6.3. 37
4.7. Ejercicios 40
Captulo 5
Anlisis de varianza y diseo de experimentos 41
5.1. Modelos ms comunes en el diseo de experimentos 42
5.1.1. Diseo Completamente al Azar (DCA), de un factor o One-Way 43
5.1.2. Diseo de Bloques al Azar Completo (DBAC) 43
5.1.3. Diseos Factoriales 43
5.2. Ejemplo 1 43
5.3. Ejercicio del captulo 50
ii
Captulo 6
Anlisis de Regresin lineal 53
6.1. Problemas que se plantean 53
6.2. Estimacin por mnimos cuadrados 54
6.3. Algo de geometra 56
0 y 1 58
6.4. Interpretando a
6.5. Correlacin 60
6.6. Coeficiente de determinacin r2 60
6.7. Diagnstico del modelo de regresin lineal simple 61
6.8. Ejemplo 61
6.9. Ejercicio del captulo 6 67
Bibliografa 69
iii
iv
Presentacin
Este material es una gua prctica para realizar anlisis estadstico de datos, utilizando el
software de anlisis estadstico R. Con ese fin se hace una revisin del entorno y el
lenguaje en un formato de curso, donde se describe a detalle cmo utilizar y aplicar
algunas de las muchas opciones disponibles, quedando una gran cantidad de ellas
todava por analizar.
Utilizando el paquete RCmdr, una herramienta que genera una interfaz de usuario tipo
Windows, nos enfocamos al uso del software y en cada seccin se indica cmo realizar
el anlisis correspondiente. A travs de ejemplos se dan algunos criterios que apoyan la
interpretacin de resultados.
R es un conjunto integrado de programas, enfocado principalmente al anlisis

estadstico de datos, con grandes facilidades para la manipulacin de datos, clculo y
grficos.
Un aspecto fundamental es que R es un software de uso libre, cuya consolidacin y

desarrollo se est dando por la activa participacin de la comunidad estadstica mundial.
Pero sobre todo, es una oportunidad para dejar de ser usuarios piratas del cada vez
ms costoso software comercial de anlisis estadstico.
1
2
Captulo 1
Dnde adquirir y cmo se instala R
1.1. Introduccin
R es una versin de uso libre del lenguaje S y consiste en un ambiente para el cmputo
de anlisis estadsticos. Con un lenguaje de programacin propio, proporciona una
amplia variedad de tcnicas grficas y estadsticas. Ofreciendo a los usuarios avanzados
un entorno de programacin muy completo que les permite agregar nuevas
herramientas mediante la creacin de nuevas funciones. S y R han cambiado la forma
de analizar, visualizar y manejar los datos. Lo que probablemente los hacen los dos
lenguajes ms utilizados en la investigacin estadstica.
- R es un GNU, que se puede distribuir con licencia GLP o General Public (la
filosofa y objetivos del proyecto GNU se pueden ver en www.gnu.org.
- R y los diferentes paquetes se obtienen por 0 euros en http://cran.r-project.org
3
Qu es, dnde se obtiene y cmo se instala
1.2. Obtener e instalar R
Segn el sistema operativo (Linux, Windows o Macintosh), todo el software que

conforma a R, se puede obtener en:
http://cran.r-project.org/bin
Para Windows, se puede bajar el ejecutable (download), desde:
http://cran.r-project.org/bin/windows/base
Para este curso se obtuvo el archivo:
http://cran.r-project.org/bin/windows/base/R.2.9.2-win32.exe
el cual es un programa ejecutable que instalar el sistema y los paquetes base, para que
funcione el R.
Instalar el sistema bsico de R, en ambiente Windows, requiere los siguientes pasos:
1. Bajar de la red el archivo R.2.9.2.-win32.exe.

2. Ejecutar el archivo.
Adems del sistema base hay un conjunto de paquetes que extienden la funcionalidad
de R, los cuales se describen en la seccin 1.4.
1.3. Documentacin de R
1.3.1. En la instalacin de R se incluyen los siguientes manuales
1. An introduction to R, cuya lectura es altamente recomendable
2. Writing R extensions
3. R data import/export
4
4. The R language definition
5. Installation and administration
1.3.2. Se puede encontrar ayuda en una gran cantidad de sitios como
http://cran.r-project.org/doc/contrib/Burns-unwilling_S.pdf o
http://www.burns-stat.com/pages/tutorials.html. Con slo 8 pginas!
NOTA: Hay que recordar que R tiene como origen S, as que todo lo que funcione en S,
funciona tambin para R.
1.3.3. R para principiantes, de E. Paraadis, en:
http://cran.r-project.org/other-docs.html o
http://cran.r-project.org/doc/contrib/rdebuts_es.pdf.
1.3.4. El sitio de Paul Johnson
http://lark.cc.ukans.edu/~pauljohn/R/statsRus.html
1.3.5. Algunos otros como el sitio de J. Faraway, de Practical Regresin and ANOVA
using R, en:
http://cran.r-project.org/other-docs.html o
http://www.stat.lsa.umich.edu/~faraway/book/.
Una bsqueda en Google puede proporcionar una amplia gama de posibilidades de

manuales, desde los ms sencillos hasta aquellos que describen tcnicas muy complejas
o especializadas.
5
1.4. Instalacin de paquetes adicionales
La instalacin depende del sistema operativo en el que se est trabajando, para el caso
de Windows, sta se puede realizar desde el CRAN (seleccionando un sitio espejo),
aunque es ms recomendable bajar los archivos comprimidos desde un sitio espejo y
trabajar con la opcin Install package(s) from local zip files (figura 1.1.).
Figura 1.1. Ventana de instalacin de paquetes.
El primer paquete que se debe bajar e instalar es el Rcmdr, una vez instalado se
carga (Load) de la lista de paquetes disponibles, como se muestra en la figura 1.2.
Figura 1.2. Cargar Rcmdr.
6
Al momento de cargar Rcmdr se despliega una lista de todos los paquetes R que se
necesitan para su adecuado funcionamiento, los cuales se deben bajar e instalar
siguiendo el procedimiento ya descrito.
Figura 1.3. Lista de posibles paquetes a instalar.
Para facilidad del lector y de los potenciales usuarios de R, en el sitio

enlinea.zaragoza.unam.nx/biomat, hay un vnculo a un archivo zip (de 11 MBytes) que
contiene todos los paquetes que requiere Rcmdr para funcionar adecuadamente. No se
puso el ejecutable de Windows, ya que su tamao es de 35 Mbytes.
7
8
Captulo 2
Entorno Rcmdr y manejo de datos
El primer paso es entrar a R, como se hace con cualquier programa en Windows. Un

doble clic y listo; o ir a Inicio-Programas-R.
Figura 2.1. Opciones de entrada a R.
9
En ambos casos se despliega la misma ventana de entrada. En la parte inferior se

aprecia el entorno de programacin instruccin por instruccin. Pero tambin se puede
seleccionar del men la opcin: File -> new script y aparece un editor donde se
puede teclear todo un programa y probar su correcta ejecucin, figura 2.2,.
Figura 2.2. Ambiente de trabajo R.
Esa opcin se revisar en el ltimo captulo, por el momento de la barra de men se

selecciona la opcin:
Packages -> Load packages y seleccionar de la lista que aparece el Rcmdr.
Al cargar Rcmdr aparece el correspondiente entorno de trabajo, un conjunto de

paquetes que permite el anlisis de datos en un entorno tipo Windows, generalmente la
versin ms actualizada est en idioma ingls, pero es posible conseguir versiones
anteriores en espaol.
Rcmdr presenta tres reas de trabajo, figura 2.3.

- La superior para instrucciones de programacin. Que conviene revisar
constantemente para familiarizarse con la programacin en R.
- La intermedia de resultados
- La inferior de mensajes
10
Figura 2.3. Entorno Rcmdr
Aqu se van a revisar slo algunas de las opciones que aparecen en el men de Rcmdr.
Para lo cual se trabajan algunos ejemplos, que muestran como ingresar los datos y
trabajar las diferentes opciones de anlisis.
2.1. Ejemplos para manejo de datos
Se tiene la siguiente distribucin de alumnos en 7 carreras:
Carrera Nmero de alumnos

Biologa 700
Enfermera 850
Ingeniera Qumica 400
Medicina 1600
Odontologa 1700
Psicologa 1800
Q.F.B. 1130
11
Para generar el archivo se deben considerar dos variables: una llamada Carrera de tipo
Character y otra de nombre Alumnos de tipo Numeric, entonces se tienen 2
columnas con 7 datos cada una.
Lo cual se logra con la opcin del men: Datos -> Nuevos datos
Figura 2.4. Creando archivo de datos.
Figura 2.5. Nombrar el archivo de datos, se utiliza para

distinguir y definir el conjunto de datos activos.
Figura 2.6. Hoja de datos, con formato de una hoja

de clculo.
Los datos se teclean directamente en la hoja de datos y el nombre de las variables y

tipo de datos se modifican siguiendo la secuencia.
1. Dar un clic sobre el identificador de la columna (var1, var2, . . . ), y en la caja de

dilogo que aparece teclear el nombre de la variable y el tipo de datos que almacena.
12
Despus de eso hay que ingresar los datos y almacenarlos en disco, de otra manera
habra que teclearlos cada vez que se vaya a utilizar.
La secuencia para hacerlo es:

Datos -> Datos activos -> Exportar los datos activos
Y despus seguir los dilogos que se despliegan hasta tener los datos en un archivo tipo
texto, en la carpeta seleccionada.
Figura 2.7. Guardar datos en disco, como

archivo texto (tipo .txt).
Figura 2.8. Dilogo para establecer la forma en que se exportan los

datos.
Si los datos ya estn guardados, el siguiente paso es recuperarlos al entorno de Rcmdr,

esto se logra con la secuencia:
Datos -> Importar datos -> from text file or clipboard
13
Figura 2.9. Importar datos a Rcmdr.
El siguiente paso es seguir los dilogos para ubicar el archivo texto que previamente se
export y que ahora se va a importar. Al tener los datos en el entorno de Rcmdr, ya se
puede empezar a trabajar con ellos.
Otra opcin ms prctica es tener los datos en Excel e importarlos a Rcmdr, con la
secuencia que se presenta de la figura 2.10. a la 2.1.3.
Figura 2.10. Secuencia para

importar datos desde Excel.
Figura 2.11. Nombre que identifica el archivo

de datos, slo dentro de R.
Figura 2.12. Seleccionar el archivo a importar.
14
Figura 2.13. Se debe seleccionar la hoja en que vienen los datos, que
generalmente es la hoja1.
Los datos se pueden revisar con el botn <editar datos> o <visualizar datos>, en cuyo
caso es importante cerrar la ventana de datos antes de realizar cualquier otra
actividad, de lo contrario da la sensacin de que R se pasma.
Para empezar a trabajar con R, se van a realizar unos grficos de histograma. Por lo que
se define la secuencia: Grficas -> Histogramas, y aparece una caja de dilogo para
definir la o las variables a trabajar.
Figura 2.14. Elegir las variables para realizar el histograma.
El resultado se presenta en la figura 2.15.

40
30
Figura 2.15. Resultado del histograma.

Percent
20
10
0
0 500 1000 1500 2000
Ejemplo01$Alumnos
15
Para el reporte de resultados se recomienda abrir un archivo Word y mediante corte

(copia) y pega elaborar un archivo con los resultados. Adems de que los grficos se
pueden guardar como archivos de imagen o copiar directamente a Word o en cualquier
procesador de texto, para ver las opciones dar un clic derecho en el grfico.
Figura 2.16. Opciones para guardar imgenes.
16
Captulo 3
Exploracin de datos
En el anlisis estadstico la primera actividad a realizar es ver los datos, observarlos o

explorarlos. Apreciar su distribucin, agrupamiento, dispersin o la presencia de valores
extremos. Como se dice: dejar que los datos hablen.
Este primer paso se basa en la exploracin grfica de los datos, para contestar
preguntas como:
1. Cul es el valor del dato central (promedio)?

2. Cmo es su variabilidad?
3. Son simtricos, sesgados, bimodales?
4. Tienen outliers (observaciones extremas)?
5. En caso de dos variables, hay alguna relacin entre ellas?, Esta relacin es
lineal?
6. Es necesario transformar los datos?
17
Exploracin de datos
Las herramientas bsicas son algunos grficos de uso comn. Como los de caja y
bigote, los de tallo y hojas, as como los clsicos histogramas.
3.1. Diagrama de caja y bigote o boxplot
Estas grficas se han vuelto muy populares, ya que ofrecen mucha informacin de
manera compacta. Muestran el rango de los datos, la dispersin a travs del rango
intercuartlico y la mediana como medida de tendencia central.
Pasos para construir un BoxPlot

1. Calcular los cuartiles Q1, Q2 y Q3
2. Sobre una lnea, horizontal o vertical, pintar: el valor mnimo; Q1; Q2; Q3 y el
valor mximo
3. Hacer un rectngulo de Q1 a Q3
4. Trazar una lnea en Q2=mediana
5. Revisar que los valores extremos no estn a una distancia mayor a 1.5 el valor
del rango intercuartlico, si hay algn valor marcarlo.
Figura 3.1. Representacin de un Boxplot
3.2. Diagramas de tallo y hojas
Estos diagramas fueron desarrollados por John Tukey en 1977. Permiten observar la
distribucin de los datos originales y son muy tiles para resumir y describir, sobre todo
cuando no se rebasan los cien datos.
18
Exploracin de datos
Para construir un diagrama de tallo y hoja:

1. Colocar a la izquierda los dgitos ms significativos del dato (Tallo)
2. Colocar a la derecha los dgitos menos significativos, en orden de menor a mayor,
unidades o decimales, (Hojas). En algunos casos conviene poner en las hojas dos
dgitos significativos.
3. Hacer un conteo de la frecuencia de valores asociados al valor del tallo.
3.3. Histogramas
Un histograma es un grfico de barras que muestra la frecuencia de cada uno de los

valores encontrados en la variable medida (nmero de veces que se repite un valor). En
trminos simples, consta de un eje horizontal cuya escala va desde el valor ms
pequeo hasta el valor mximo en los datos, valores que de preferencia deben ser
cuantitativos y continuos (resultado de mediciones de peso, longitud, volumen, etc.); y
de un eje vertical cuya escala puede ir desde cero hasta la mxima frecuencia
encontrada.
Para elaborar un histograma se recomienda:

1) Obtener el valor mximo y el mnimo, de todo el conjunto de valores.
2) Escribir cada uno de los valores, en columna y en orden ascendente.
3) Revisar todos los valores del conjunto total de datos y colocar una marca, al frente
de cada valor, por cada vez que se repita.
4) Contar el nmero de marcas en cada uno de los valores, anotndolo en la fila
correspondiente.
Las diferentes herramientas exploratorias estn encaminadas a responder estos

diferentes cuestionamientos y pueden ser usadas para validar anlisis estadsticos
subsecuentes.
19
Exploracin de datos
Grficos como los histogramas de frecuencia muestran, tanto el valor central como la
distribucin de los datos y nos proporcionan una idea de la normalidad de la variable.
Un aspecto importante en la exploracin de datos es la identificacin de los outliers

(casos extraordinarios), que son datos anmalos en comparacin con el resto del
conjunto de datos y pueden influir en el anlisis. As el primer cuestionamiento sera
como se pueden detectar los outliers?. Una de las herramientas grficas que apoyan
esta labor es el diagrama de cajas, aspecto en el que se centra el siguiente ejemplo y
los ejercicios de este captulo.
3.4. Ejemplo en R
Peso en Kg de una muestra al azar de 50 estudiantes de una universidad, tomados de

sus registros mdicos.
Gnero M M M F F M F M M F
Peso 89 93 96 64 68 98 69 102 95 60
Gnero F M F M M F F M M F
Peso 49 75 54 79 81 56 59 84 85 60
Gnero M M F M F F M M M M
Peso 94 88 59 84 58 58 81 79 77 74
Gnero F M M F M F M F M M
Peso 51 72 73 54 78 55 77 58 81 83
Gnero F M F M M F F M M M
Peso 71 92 60 85 98 66 65 108 88 92
20
Exploracin de datos
Actividades
1. Generar el nuevo conjunto de datos.
2. Definir el nombre y tipo de variables.
3. teclear los datos.
Para generar el archivo se deben considerar dos variables: una llamada Gnero de tipo
Character y otra de nombre Peso de tipo Numeric, entonces se tienen 2 columnas
con 50 datos cada una.
Figura 3.2. Tabla de datos.
Otra opcin para ingresar los datos es:

1) Teclearlos en Excel.
2) Seleccionar los datos y hacer una copia en Excel.
3) En Rcmdr, importar datos y definir que vienen del clipboard.
Una vez que ya se tienen los datos, no hay que olvidar guardar el archivo. Y ahora si ya
se tienen los datos listos para anlisis
Vamos a realizar las siguientes secuencias:
Grficas -> Diagrama de cajas -> Grficas por grupos
21
Exploracin de datos
Cuyo resultado se muestra en el siguiente grfico.
90 100
peso
80
Figura 2.17. Boxplot del ejemplo.

70
60
50
F M
gnero
Qu se puede decir de este grfico, mejor vamos a formalizarlo mediante preguntas.

1) Quines pesan ms en promedio, los hombres o las mujeres
R = sexo masculino
2) En que datos hay ms variacin
R = en los masculinos
3) Que tan diferente es la variacin en los datos femeninos por arriba y por debajo
de la caja
R = Los femeninos son simtricos con respecto a la caja
4) Que tan diferente es la variacin en los datos masculinos por arriba y por debajo
de la caja.
R = Los masculinos son ms variables por arriba de la caja (hay un cierto
sesgo).
Ahora, pasemos a los nmeros, con la secuencia:
Estadsticas -> Resmenes -> Resmenes numricos
Cuyos resultados son:

mean sd 0% 25% 50% 75% 100% n
F 59.70000 5.939165 49 55.75 59.0 64.25 71 20
M 86.03333 9.208255 72 79.00 84.5 92.75 108 30
22
Exploracin de datos
Aprovechando estos datos aplicar las secuencias
Estadsticos -> Medias -> Prueba t para muestras independientes
Obteniendo los resultados:
Welch Two Sample t-test

data: peso by gnero
t = -12.2912, df = 47.973, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-30.64108 -22.02559
sample estimates:
mean in group F mean in group M
59.70000 86.03333
Estadisticos -> Varianzas -> Prueba F para dos varianzas
Cuyos resultados son:
> tapply(Datos$peso, Datos$gnero, var, na.rm=TRUE)

F M
35.27368 84.79195
F test to compare two variances
data: peso by gnero
F = 0.416, num df = 19, denom df = 29, p-value = 0.0498
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
0.1864418 0.9992147
sample estimates:
ratio of variances
0.4160027
23
Exploracin de datos
3.5. Ejercicios del captulo 3
- Utilizando los datos, de los siguientes ejercicios, explorar las opciones grficas y
descriptivas de Rcmdr. Haciendo grficos Boxplot; de Tallo y hojas e Histogramas.
- Seguir toda la secuencia de anlisis, ms algunas que Ud. explore y considere

que mejoran y facilitan el anlisis estadstico de los siguientes datos.
3.5.1. En el primer da de clases se les pregunt a 50 estudiantes acerca del tiempo

requerido para desplazarse de su casa a la universidad (redondeado a 5 minutos). Los
datos resultantes son:
30 40 35 50 50 55 50 35 35 60
45 45 20 50 55 70 45 60 30 45
35 50 20 45 75 55 55 45 35 30
25 40 25 45 50 55 40 40 40 40
15 40 25 35 35 50 50 30 50 35
Qu se puede decir de los tiempos de desplazamiento? Sugerencia analizar con base en

dispersiones y medidas de tendencia central.
3.5.2. Se toma una muestra de 50 calificaciones de una poblacin de resultados de un

examen final de estadstica. Estos datos se muestran en la siguiente tabla.
75 97 71 65 84 27 99 91 99 82
96 58 94 43 10 10 91 10 94 43
74 73 68 54 50 49 81 10 97 76
10 94 79 80 82 71 88 88 47 73
71 99 86 10 84 93 77 98 44 10
Qu tan buenas son las calificaciones y qu se puede decir de este grupo de alumnos?
24
Exploracin de datos
3.5.3. Se tienen los siguientes datos de emisiones de xido de azufre, en toneladas.

(modificado de Estadstica Elemental, John E. Freund y Gary A. Simon, 1992, Prentice Hall, pp. 21-22).
Planta industrial A
15.8 22.7 26.8 19.1 18.5 14.4 8.3 25.9 26.4 9.8
22.7 15.2 23.0 29.6 21.9 10.5 17.3 6.2 18.0 22.9
24.6 19.4 12.3 15.9 11.2 14.7 20.5 26.6 20.1 17.0
22.3 27.5 23.9 17.5 11.0 20.4 16.2 20.8 13.3 18.1
Planta industrial B
27.8 29.1 23.9 24.4 21.0 27.3 14.8 20.9 21.7 15.8
18.5 22.2 10.7 25.5 22.3 12.4 16.9 31.6 22.4 24.6
16.5 27.6 23.0 27.1 12.0 20.6 19.7 19.9 26.5 21.4
28.7 23.1 16.2 26.7 13.7 22.0 17.5 21.1 34.8 31.5
a. Teclear y guardar los datos en un archivo R.
b. Realizar un anlisis descriptivo de los datos y comparar las dos plantas.
c. Guardar los resultados del anlisis en un archivo Word
25
26
Captulo 4
Inferencia estadstica
La inferencia estadstica se caracteriza porque a travs de una muestra se pueden

realizar inferencias de toda una poblacin en estudio. De manera que utilizando modelos
estadsticos se puede asignar un nivel de confiabilidad a las conclusiones que se
obtengan, proporcionando soporte para la toma de decisiones.
4.1. Poblacin y muestra
En cualquier proceso de investigacin o produccin es demasiado costoso, en recursos o

en tiempo, revisar uno a uno todos los elementos que conforman una poblacin, de ah
la necesidad de revisar unos cuantos, que sean representativos, y a partir de ellos
predecir el comportamiento de toda la poblacin.
El primer viaje a la estadstica implica seleccionar una muestra de manera aleatoria, es

decir, sin privilegiar o descartar de antemano elemento alguno; garantizando que todos
tengan la misma posibilidad de ser elegidos. La mejor forma de hacer esto es utilizando
27
herramientas como tablas de nmeros aleatorios, una urna, o algn proceso de

nmeros pseudoaleatorios como los que vienen integrados las calculadoras y en la
mayora de los paquetes estadsticos. Cualquiera de estas opciones es mejor que cerrar
los ojos y estirar la mano o establecer criterios personales de seleccin de muestras.
Uno de los ejemplos ms simples, pero nada estadstico, es lo que hacen quienes
cocinan ya que a travs de pequeas probadas saben si un guiso est o no en su
punto, esto previa homogenizacin del contenido de la cazuela y sin consumir todo su
contenido.
Es conveniente aclarar que el tema de muestreo es una de las grandes ramas de la

estadstica, para la cual existen libros completos que analizan a detalle cada una de las
opciones, dependiendo del propsito del muestreo.
El segundo viaje a la estadstica consiste en analizar la muestra mediante alguna de

las muchas tcnicas de la estadstica inferencial para tomar decisiones con respecto a la
poblacin, apoyndose en el conocimiento de causa evidenciado a partir de los datos y
asignndole un nivel de confiabilidad o de incertidumbre a las conclusiones obtenidas.
4.2. Incertidumbre y distribuciones estadsticas
La estadstica es la disciplina que estudia los procesos estocsticos, es decir aquellos

que presentan variaciones, sin causa asignable (debidas al azar). Por lo que se han
desarrollado tcnicas que permiten detectar y diferenciar variaciones por efecto de
algn factor, de las debidas al azar, con el fin de identificar su comportamiento y reducir
estas ltimas a un nivel aceptable para que no altere las caractersticas de calidad de los
productos en manufacturacin.
28
Con el apoyo de la teora de la probabilidad se ha demostrado que las variables

aleatorias tienen un comportamiento bien definido, que se puede representar mediante
funciones de probabilidad y funciones de densidad de probabilidad, que dependiendo del
tipo de unidades de medicin generan las distribuciones estadsticas, base fundamental
de las tcnicas inferenciales. Debido a su importancia algunas de ellas se han tabulado
para facilitar su uso; entre las ms conocidas, sin ser las nicas, se encuentran:
- Binomial
- Poisson
- Normal (Z)
- t-student
- F-Fisher
- Ji-cuadrada (2)
Estas distribuciones realmente corresponden a modelos matemticos, por ejemplo la
funcin de densidad de la distribucin normal tiene como expresin matemtica la
siguiente ecuacin.
1 ( y )
2
1

f ( y) = e 2
2
Distribucin Normal, mostrando los puntos de inflexin.
Donde se puede ver que la distribucin queda totalmente representada por dos
parmetros: (la media) y (la desviacin estndar). Con las siguientes propiedades.
29
- Toda el rea bajo la curva suma a 1.

- Los puntos de inflexin se localizan en y + .
- Entre 4 y + 4 se encuentra la mayor parte del rea bajo la curva (99.994%).
4.3. Distribucin normal estndar
- A una distribucin normal con = 0 y = 1 se le conoce como normal estndar y se
representa por la variable z donde z =

(y ) .

Su funcin densidad de probabilidad est dada por
1 2 [ z ]2
1
f ( z) = e
2
Cada conjunto de datos genera una distribucin con sus propios valores de , y f(y),
adems es difcil que el valor estimado a partir de la media sea exactamente , por lo
que es comn establecer intervalos de confianza en los que se espera que el verdadero
valor se encuentre entre un lmite inferior (LI) y uno superior (LS). Valores que al
representarse en la distribucin, como rea bajo la curva, indican una probabilidad.
Distribucin normal y Lmites de confianza para la media
30
rea bajo la curva delimitada por los lmites de confianza.
Los valores de Z asociados a LI y LS acotan o delimitan cierta proporcin del rea, de

ah la importancia de saber, por ejemplo, que -1.96 < Z < 1.96 delimita el 95% del rea
bajo la curva de una distribucin normal y que el rea que no est sombreada
corresponde al complemento a 1, en este caso al 5%, que expresado en probabilidades
se le conoce como nivel de significancia, , y a (1 - ) como nivel de confianza.
De la misma forma el valor de -2.5756 < Z < 2.5756 delimita el 99%, con un
complemento de 1% que dividido entre 2 corresponde al 0.5% (0.01)/2 = 0.005), lo
interesante es que al asociar estos valores a los datos muestrales se pueden establecer
intervalos de confianza para estimar los valores poblacionales.
4.4. Teorema Central del Lmite
Este teorema establece que la distribucin de las medias muestrales es normal an

cuando las muestras se toman de una distribucin no-normal.
Si y1, y2,..., yn son resultados de una muestra de n observaciones independientes de una

variable aleatoria Y con media y desviacin , la media de las Y s se distribuir
aproximadamente en forma normal con media y varianza, respectivamente:
2
y = y y2 =
n
31
La aproximacin es mucho mejor cuando n se hace grande. En general, la poblacin de

la cual se toman las muestras no necesita ser normal, para que la distribucin de las
medias muestrales sea normal. Esto constituye lo ms notorio y poderoso de este
teorema.
4.5. Estimacin (intervalos de confianza)
La estimacin hace referencia al clculo de intervalos de confianza para los parmetros

de una distribucin, a partir de datos muestrales.
Por ejemplo, para la estimacin de la media se tiene:
P(LI < < LS) = 1
que puede leerse como: la probabilidad de que el verdadero valor de est en el

intervalo acotado por LI y LS es 1-, cuyo resultado numrico es LI LS.
4.6. Ejemplos
4.6.1. Contrastes de un Parmetro vs un valor predeterminado
Se realizaron seis determinaciones del contenido de hidrgeno de un compuesto cuya

composicin terica es del 9.55% en promedio, Difiere el valor promedio del terico?
%H 9.17, 9.09, 9.14, 9.10, 9.13, 9.27
32
Solucin
El primer paso consiste en establecer el par de hiptesis, en otras palabras: quin es
Ho y quin es Ha?
No realizar clculo alguno si no sabe contra que hiptesis se est trabajando
En este caso se tiene

Ho: = 9 . 55 Ha: 9 . 55
1. Ingresar los datos en R y almacenarlos en disco.
2. Seguir la secuencia
Estadsticos -> Medias -> Prueba t para una media
3. En el dilogo que aparece definir los valores adecuados a la hiptesis estadstica de

trabajo.
En este dilogo se puede definir el tipo de hiptesis,

unilateral o bilateral y valor de referencia. En este caso,
el valor es 9.55.
Resultados
One Sample t-test
data: Datos$Nitrgeno
t = -14.9766, df = 5, p-value = 2.403e-05
alternative hypothesis: true mean is not equal to 9.55
9.081344 9.218656
sample estimates:
mean of x
9.15
33
Pregunta
Se tiene o no evidencia de que el valor promedio es de 9.55?
NOTA: Considerar principalmente el intervalo de confianza y el valor de p-value. La

regla prctica es rechazar Ho si p-value menor a 0.05 (y de manera
complementaria, NO rechazar Ho si p-value es mayor de 0.05). En este caso se rechaza
Ho.
Si la hiptesis es bilateral, y slo en ese caso, se puede apoyar la conclusin en el

intervalo de confianza, para este ejemplo: se tiene evidencia estadstica (al 95% de
confianza) de que el valor es menor a 9.55.
Tambin se puede hacer el anlisis con relacin a la cantidad de error contenido en los
datos, 2.0403e-05 = 0.000020403, que es el tamao del error que podra cometer si
rechazo Ho, en este caso 0.002403%, mucho menor que el 5%, el tamao de error
aceptado por convencin.
Ejemplo 4.6.2. Se analiz el contenido de silicio de una muestra de agua por dos
mtodos independientes, en un intento por mejorar la precisin de la determinacin. De
acuerdo a los siguientes datos.
Mtodo original Mtodo modificado

149 ppm 150 ppm
139 147
135 152
140 151
155 145
Qu se puede decir de las respuestas promedio y de su precisin?
34
Solucin
El primer paso consiste en establecer el par de hiptesis, en otras palabras: quin es
Ho y quin es Ha?
Para las respuestas promedio se tiene:

Ho: 1 = 2 o 1 2 = 0
Ha: 1 2 o 1 2 0
Para la precisin se tienen las hiptesis
Ho: 12 = 22 o 12 = 1 y Ha: 12 22 o 1 1
2 2
2 2 2
Este par de hiptesis permite probar que las precisiones son diferentes.
Ho: 12 22 o 1 1 y Ha: 12 > 22 o 1 > 1

2 2
2
2
2
2
Este ltimo par de hiptesis permite probar que el mtodo modificado (2) tiene menos
variabilidad (mayor precisin) que el mtodo original (1).
Los pasos a seguir en R, son:
1. Generar un nuevo conjunto de datos en R
2. Se tiene una columna, con una variable llamada puntajes
3. Seguir la secuencia:
Estadsticas -> Resmenes -> Resmenes numricos
Estadsticas -> Medias -> Prueba t muestras independientes
35
Estadsticas -> Varianzas -> Prueba F para dos varianzas
Resultados
> numSummary(Datos[,"ppm"], groups=Datos$mtodo, statistics=c("mean", "sd",

"quantiles"))
mean sd 0% 25% 50% 75% 100% n
modificado 149.0 2.915 145 147 150 151 152 5
original 143.6 8.173 135 139 140 149 155 5
> t.test(ppm~mtodo, alternative='two.sided', conf.level=.95, var.equal=FALSE,

data=Datos)
Welch Two Sample t-test
data: ppm by mtodo
t = 1.3915, df = 5.002, p-value = 0.2228
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
-4.574666 15.374666
El p-value es menor a 0.05, por lo tanto se rechaza Ho y por el intervalo de

confianza, que va de un valor negativo a un valor positivo (lo que quiere decir
que incluye al cero), se tiene evidencia estadstica de que las medias son
iguales.
sample estimates:
mean in group modificado mean in group original
149.0 143.6
> tapply(Datos$ppm, Datos$mtodo, var, na.rm=TRUE)
modificado original
8.5 66.8
36
> var.test(ppm ~ mtodo, alternative='two.sided', conf.level=.95, data=Datos)

F test to compare two variances
data: ppm by mtodo
F = 0.1272, num df = 4, denom df = 4, p-value = 0.0707
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
0.01324849 1.22213329
sample estimates:
ratio of variances
0.1272455
El p-value est apenas por arriba de 0.05 y el intervalo de confianza incluye el

valor de 1 (va de 0.01324 a 1.2221), entonces se tiene evidencia de que las
varianzas son iguales. Por los valores valdra la pena probar si la varianza 2 es
mayor que la varianza 1.
Ejemplo 4.6.3. Se realiz un estudio para probar que un programa de ejercicios

regulares moderadamente activos beneficia a pacientes que previamente han sufrido un
infarto al miocardio. Once individuos participan en el estudio, de manera que antes de
iniciar el programa se les determina la capacidad de trabajo midiendo el tiempo que
tardan en alcanzar una tasa de 160 latidos por minuto mientras caminaban sobre una
banda sin fin. Despus de 25 semanas de ejercicio controlado, se repitieron las medidas,
encontrando los siguientes resultados.
Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Antes 7.6 9.9 8.6 9.5 8.4 9.2 6.4 9.9 8.7 10.3 8.3
Despus 14.7 14.1 11.8 16.1 14.7 14.1 13.2 14.9 12.2 13.4 14.0
Realmente funciona el programa de ejercicios?
37
Solucin
1. Establecer el par de hiptesis, en otras palabras: quin es Ho y quin es Ha?
Para las respuestas promedio se tiene:

Ho: d 0 o A B 0
Ha: d < 0 o A B < 0
2. Ingresar los datos en R
3. Seguir la secuencia
Estadsticos -> Medias -> Prueba t para datos emparejados
4. En el dilogo que aparece seleccionar la

hiptesis unilateral, de acuerdo a la hiptesis
alternativa.
5. Dar un clic al botn correcto y obtener los siguientes resultados.
> t.test(Datos$Antes, Datos$Despus, alternative='less', conf.level=.95, paired=TRUE)

Paired t-test
data: Datos$Antes and Datos$Despus
t = -11.4749, df = 10, p-value = 2.222e-07
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
-Inf -4.317419
sample estimates:
38
mean of the differences

-5.127273
6. Concluir, si funciona o no el programa de ejercicios.
P-value es muchsimo menor de 0.05 (realmente es 2.22210-7 =

0.0000002222), entonces se tiene evidencia estadstica que el programa de
ejercicio SI beneficia a los pacientes.
39
4.7. Ejercicios
1. Las siguientes son medidas de profundidad (m), en una estacin de investigacin

oceanogrfica: 46.8, 43.8, 44.6, 38.9, 45.6, 52.1, 40.1, 53.4, 49.4, 53.2, 46.3, 47.8,
42.2 y 44.9.
Contradicen estos datos la aseveracin de que la profundidad promedio en esta
zona es de 42.5 m?
2. Las siguientes son calificaciones de 15 estudiantes, en un mismo examen aplicado a

la mitad y final de un curso de estadstica.
Mitad 66 88 75 90 63 58 75 82 73 84 85 93 70 82 90
Fin 73 91 78 86 69 67 75 80 76 89 81 96 76 90 97
Los alumnos afirman que mejoraron sus calificaciones, es cierto o no?
3. Para determinar la efectividad de un nuevo sistema de control de trnsito, se

observ el nmero de accidentes en diez cruceros peligrosos cuatro semanas antes
(medicin 1) y cuatro semanas despus (medicin 2) de la instauracin del nuevo
sistema, obteniendo los siguientes resultados.
4.
M1 3 4 2 5 3 2 3 6 1 1
M2 1 2 3 2 3 0 2 3 2 0
Qu se puede decir del nuevo sistema?
40
Captulo 5
Anlisis de varianza y diseo de

experimentos
Suponga un experimento donde se quieren comparar 5 tratamientos, para ver si su

respuesta promedio es la misma para los 5 o si hay algunas diferentes.
Media total
Media Media Media Media Media
De antemano el investigador asume que hay diferencia, si no que sentido tiene el

experimento. Tambin se sabe que en cada tratamiento debe haber un efecto de
41
Anlisis de varianza y diseos de experimentos
variaciones debida a la causa que se est controlando (temperatura, presin, etctera) y

una variacin debida al azar, la cual es inevitable.
La variacin entre tratamientos se mide como una varianza de la media de cada

tratamiento con respecto a la gran media.
La variacin dentro de tratamientos se mide comparando cada observacin o medicin

con respecto a la media del respectivo tratamiento y en trminos del anlisis de varianza
se le conoce como cuadrado medio del error.
Ahora, si se tienen dos varianzas (entre tratamientos y dentro de tratamientos) lo que

se puede hacer es compararlas mediante una prueba de F.
Varianza entre tratamientos
F=
Varianzadentro tratamientos
La variacin dentro de tratamientos se debe al azar y si no se puede establecer

diferencia estadstica entre estas varianzas, entonces no hay efecto de tratamiento y la
variacin se debe al azar.
5.1. Modelos ms comunes en el diseo de experimentos
Ec. (1)
Ec. (2)
Ec. (3)
42
5.1.1. Diseo Completamente al Azar (DCA), de un factor o One-Way
La caracterstica esencial es que todas las posibles fuentes de variacin o de influencia

estn controladas y slo hay efecto del factor en estudio. Este es el experimento ideal,
todo controlado y lo nico que influye es el factor de estudio.
5.1.2. Diseo de Bloques al Azar Completo (DBAC)
Sigue siendo un diseo de una va pero hay alguna fuente con un gradiente de
variacin, que influye o afecta en el experimento, por lo tanto hay que cuantificar su
efecto y eliminarlo de la varianza dentro de tratamientos, para evitar que nos conduzca
a valores bajos de F y se llegue a conclusiones errneas.
5.1.3. Diseos Factoriales
La tercera ecuacin, de la figura anterior, muestra un diseo con dos factores de

estudio, donde el mayor inters est en el efecto de la interaccin, . Ntese la
semejanza entre el modelo de la ecuacin 2 y la 3, en la figura anterior.
5.2. Ejemplo 1
Se realiz un experimento para probar los efectos de un fertilizante nitrogenado en la

produccin de lechuga. Se aplicaron cinco dosis diferentes de nitrato de amonio a
cuatro parcelas (rplicas). Los datos son el nmero de lechugas cosechadas de la
parcela.
43
Tratamiento
(Kg N/Ha)
0 104 114 140
90
50 134 130 144 174
100 146 142 152 156
150 147 160 160 163
200 131 148 154 163
Solucin
1. Ingresar los datos a R, en dos columnas. Una para el

tratamiento y otra para el nmero de lechugas.
Datos -> Modificar variables de los datos activos -> Convert numeric variables to factor
3. Seleccionar la variable Tratamiento

como factor
44
Estadsticos -> Medias -> ANOVA de un factor
NOTA: Al llamar al procedimiento ANOVA, R presenta el siguiente mensaje en la consola.

Versin del Rcmdr 1.2-2
Loading required package: multcomp
Error: package 'mvtnorm' required by 'multcomp' could not be found
Esto quiere decir que se debe conseguir el paquete mvtnorm e instalarlo, antes de lograr que se
despliegue el dilogo de ANOVA y empezar a tener resultados.
45
Resultados
> anova(lm(Lechuga ~ Tratamiento, data=Datos))

Analysis of Variance Table
Response: Lechuga
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Tratamiento 4 4994.8 1248.7 5.6113 0.005757 **
Residuals 15 3338.0 222.5
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Aqu Pr(>F) equivale al p-value y esto indica que se rechaza Ho, entonces al
menos un par de medias es diferente, PERO CUALES?
> tapply(Datos$Lechuga, Datos$Tratamiento, mean, na.rm=TRUE) # means

0 50 100 150 200
112.0 145.5 149.0 157.5 149.0
Estas son las medias de cada tratamiento, aqu se aprecia cul es la menor y
la mayor, pero hay aportar evidencia estadstica de esta diferencia.
> tapply(Datos$Lechuga, Datos$Tratamiento, sd, na.rm=TRUE) # std. Deviations

0 50 100 150 200
21.102922 19.891372 6.218253 7.141428 13.490738
Estas son las desviaciones estndar de cada tratamiento
> tapply(Datos$Lechuga, Datos$Tratamiento, function(x) sum(!is.na(x))) # counts

0 50 100 150 200
4 4 4 4 4
Conteo de cuantos datos por tratamiento
46
> .Pairs <- simint(Lechuga ~ Tratamiento, type="Tukey", data=Datos)

> summary(.Pairs)
Simultaneous 95% confidence intervals: Tukey contrasts
Call:
simint.formula(formula = Lechuga ~ Tratamiento, data = Datos, type = "Tukey")
Tukey contrasts for factor Tratamiento
Contrast matrix: Esta matriz define la estructura de los contrastes a realizar,

para fines prcticos se puede obviar.
Tratamiento0 Tratamiento50 Tratamiento100

Tratamiento50-Tratamiento0 0 -1 1 0
Tratamiento100-Tratamiento50 0 0 -1 1
Tratamiento150-Tratamiento100 0 0 0 -1
Tratamiento200-Tratamiento100 0 0 0 -1
Tratamiento200-Tratamiento150 0 0 0 0
Tratamiento150 Tratamiento200
Tratamiento50-Tratamiento0 0 0
Tratamiento200-Tratamiento150 -1 1
Absolute Error Tolerance: 0.001

95 % quantile: 3.088
47
Para la prueba de tukey, la ho es que el par de medias es igual y la alternativa

que el par de medias es diferente.
Todos los pares con p raw menor a 0.05 son diferentes

Coefficients:
Estimate 2.5 % 97.5 % t value Std.Err. p raw
Tratamiento50-Tratamiento0 33.5 0.923 66.077 3.176 10.548 0.006
Tratamiento100-Tratamiento50 3.5 -29.077 36.077 0.332 10.548 0.745
Tratamiento200-Tratamiento150 -8.5 -41.077 24.077 -0.806 10.548 0.433
La prueba de Bonferroni es til cuando el nmero de repeticiones es diferente

en cada tratamiento (desbalanceado). Cuando el diseo est balanceado p
raw y p Bonf conducen a la misma conclusin.
p Bonf p adj
Tratamiento50-Tratamiento0 0.063 0.042
> plot(.Pairs)
> remove(.Pairs)
48
Tukey contrasts
Tratamiento50-Tratamiento0 ( )
-40 -20 0 20 40 60 80
95 % two-sided confidence intervals
Este grfico es un resumen de la prueba de Tukey, de manera que aquellas

diferencias de medias que intercepten al cero son iguales y las que no lo
intercepten son diferentes entre ellas. En este caso, a excepcin del
tratamiento 0, todos los dems tratamientos son iguales entre ellos.
Aqu valdra la pena, realizar un grfico de cajas, por cada tratamiento, que puede
apoyar la conclusin final. El cual, a estas alturas del partido, es un hecho que Ud.
apreciable lector, ya sabe cmo se hace.
160
140
Lechuga
120
100
0 50 100 150 200
Tratamiento
El criterio prctico es: los tratamientos cuyas cajas se interceptan son iguales
y los que no, pues entonces son diferentes. Lo mejor es concluir con base en
los resultados de la prueba de Tukey.
49
5.3 Ejercicio del captulo
En cada uno de los siguientes ejercicios: seleccionar el tipo de diseo experimental,

plantear el correspondiente juego de hiptesis y realizar el anlisis de comparacin
mltiple de medias.
5.3.1. Un fabricante supone que existe diferencia en el contenido de calcio en lotes

de materia prima que le son suministrados por su proveedor. Actualmente hay una gran
cantidad de lotes en la bodega. Cinco de estos son elegidos aleatoriamente. Un qumico
realiza cinco pruebas sobre cada lote y obtiene los siguientes resultados.
Lote
1 2 3 4 5
23.46 23.59 23.51 23.28 23.29
23.48 23.46 23.64 23.40 23.46
23.56 23.42 23.46 23.37 23.37
23.39 23.49 23.52 23.46 23.32
23.40 23.50 23.49 23.39 23.38
5.3.2.. Para probar 4 dietas diferentes sobre el incremento en peso de cerdos se tienen
los siguientes datos.
Peso de los cerdos (Kgs)
Dieta 1 Dieta 2 Dieta 3 Dieta 4
60.8 68.7 102.6 87.9
57.0 67.7 102.1 84.2
65.0 74.7 100.2 83.1
58.6 66.3 96.5 85.7
61.7 69.8 90.3
5.3.3. Un ingeniero industrial est realizando un experimento sobre el tiempo de

enfoque del ojo. Se interesa en el efecto de la distancia del objeto al ojo sobre el tiempo
de enfoque. Cuatro distancias diferentes son de inters. Se cuenta con cinco sujetos no
homogneos para el experimento.
50
Sujeto
Distancia (pies) 1 2 3 4 5
4 10 6 6 6 6
6 7 6 6 1 6
8 5 3 3 2 5
10 6 4 4 2 3
5.3.4. Aumento en el peso de camarn cultivado en acuarios con diferentes

niveles de temperatura (T), Densidad de Poblacin (D) y Salinidad de Agua (S), luego
de cuatro semanas.
T (C) D (organismos/40 litros) S (%) Aumento de Peso (mg)

25 80 10 86, 52, 73
25 544, 371, 482
40 390, 290, 397
160 10 53, 73, 86
25 393, 398, 208
40 249, 265, 243
35 80 10 439, 436, 349
25 249, 245, 330
40 247, 277, 205
160 10 324, 305, 364
25 352, 267, 316
40 188, 223, 281
Tomado de: Robert O. Kuehl, 2001, Diseo de experimentos.

Principios estadsticos de diseo y anlisis de investigacin,
2. Ed., Thomson Leraning editores, Mxico, pg. 201.
51
52
Captulo 6
Anlisis de Regresin lineal
6.1. Problemas que se plantean:
1) Cul es el modelo matemtico ms apropiado para describir la relacin entre una o

ms variables independientes ( X 1 , X 2 ,L, X k ) y una variable dependiente (Y)?
2) Dado un modelo especifico, qu significa ste y cmo se encuentran los parmetros

del modelo que mejor ajustan a nuestros datos? Si el modelo es una lnea recta: cmo
se encuentra la mejor recta?
La ecuacin de una lnea recta es:
Y = f ( X ) = 0 + 1 X
Donde:
0 ordenada al origen
1 pendiente
53
Anlisis de Regresin Lineal
En un anlisis de regresin lineal simple, el problema es encontrar los valores que mejor
estimen a los parmetros 0 y 1 . A partir de una muestra aleatoria.
El modelo de regresin lineal es:

Yi = Y / X + i = 0 + 1 X + i , con i = 1,2,3,L, n
Para cada observacin el modelo es:

Y1 = 0 + 1 X 1 + 1
Y2 = 0 + 1 X 2 + 2
M
Yn = 0 + 1 X n + n
Que se puede escribir como:

Y1 1 X1 1

Y2 1 X2 2
nY1 = nX 2 = 1 = 0 n 1 =
M M 1 M
2

Y 1 X n
n n
donde:
Y1 1 X1 1

Y2 1 X 2 0 2
M = + = Y = X +
M 1 M

Y 1 X n
n n
6.2. Estimacin por mnimos cuadrados
Sea Y$i = $0 + $1 X i la respuesta estimada en X i con base en la lnea de regresin
ajustada. La distancia vertical entre el punto ( X i , Yi ) y el punto ( X i , Yi ) de la recta
54
ajustada est dada por el valor absoluto de Yi Yi o Yi 0 1 X i , cuya suma de
cuadrados es:
n n
(Yi Y$i )2 = (Yi $0 $1 X i )2
i =1 i =1
n
El problema ahora es encontrar los valores de $0 y $1 tales que (Yi 0 1 X i ) sea
2
i =1
mnimo.
Solucin:
n
Si Q = (Yi 0 1 X i ) , entonces
2
i =1
Q n
= 2 (Yi 0 1 X i ) = 0 (1)
0 i =1
Q n
= 2 (Yi 0 1 X i ) ( X i ) = 0 (2)
1 i =1
(NOTA: las derivadas parciales se igualan a cero para determinar los puntos crticos, que
sern mnimos). Esto conduce a las Ecuaciones Normales de Mnimos Cuadrados
n n
Y
i =1
i = n 0 + 1 X i
i =1
n n n
X iYi = 0 X i + 1 X i2
i =1 i =1 i =1
En notacin matricial se tiene:

n X 0 Yi
i
=
X X
X iYi
2

i i
1
X t X = X t Y
de donde
55

= ( X t X) 1 ( X t Y)
Solucin matricial para calcular los parmetros de la ecuacin de regresin

La solucin algebraica de las ecuaciones normales, para datos muestrales, genera las
siguientes ecuaciones:
n n n n
Yi X i2 X i X i Yi
i= i =1 i =1 i =1
b0 = 2
n
n

n X i2 X i
i =1 i =1
n n n
n X iYi - X i Yi
i =1 i= i =1
b1 = 2
n n
n X i2 X i
i =1 i =1
6.3. Algo de geometra
Figura 6.1. Desviaciones: total, explicada por la regresin y error.
1) Yi Y desviacin total
2) Y$iY desviacin explicada por la regresin
3) Yi Y$i error
56

Yi Y = (Yi Y ) + (Yi Y i )
Total = Regresion + Error
Al aplicar sumatorias y elevar al cuadrado se tiene:

n n
(Yi Y )2 = [(Y$i Y ) + (Yi Y$i )]2
i =1 i =1
n n
(Yi Y )2 = (Y$i Y )2 + (Yi Y$i )2
i =1 i =1
SCTotal = SCRegresion + SCError
Cantidades que permiten realizar un ANOVA, para contrastar las hiptesis:

Ho: i = 0
Ha: i 0
Fuente g.l. SC CM FC Ft
de
variacin
Regresin 1 SCReg CMReg CM Re g F1 ,1,n 2
CM Error
Error n2 SCError CMError
Residual
Total n1 SCTotal
Este ANOVA considera el siguiente par de hiptesis:

Ho: i = 0 , es decir que todos los coeficientes del modelo son iguales a cero y por lo
tanto no hay un modelo lineal que describa el comportamiento de los datos.
Contra Ha: i 0 de que al menos uno de los coeficientes es diferente de cero y
entonces si hay un modelo lineal.
57
0 y 1
6.4. Interpretando a
Ho: 1 = 0
Caso 1.- Ho: 1 = 0 No se rechaza. Es decir que la pendiente es cero o que no
hay pendiente, entonces se tienen dos opciones de interpretacin.
a) Si la suposicin de lnea recta es correcta significa que X no proporciona ayuda para

predecir Y, esto quiere decir que Y predice a Y.
Ho: 1 = 0
Figura 6.2. X no proporciona ayuda para predecir Y.
b) La verdadera relacin entre X y Y no es lineal, esto significa que el modelo puede

involucrar funciones cuadrticas, cbicas o funciones ms complejas.
Figura 6.3. La relacin entre X y Y no es lineal.
NOTA: Si hay una curvatura se requiere un elemento cuadrtico en el modelo, si hay

dos curvaturas entonces se requiere un cbico y as sucesivamente.
58
Caso 2.- Ho: 1 = 0 se rechaza (es decir, si hay pendiente o en otras palabras si
hay un modelo lineal que describe el comportamiento de los datos).
a) X proporciona informacin significativa para predecir Y
Figura 6.4. La relacin entre X y Y es lineal.
b). El modelo puede tener un trmino lineal ms, quizs un trmino cuadrtico.
Y
Figura 6.5. La relacin entre X y Y no es lineal.
Caso 3. Prueba. Ho: 0 = 0 , Si NO se rechaza esta Hiptesis, puede ser apropiado
ajustar un modelo sin 0 , siempre y cuando exista experiencia previa o teora que
sugiera que la recta ajustada debe pasar por el origen y que existan datos alrededor del
origen para mejorar la informacin sobre 0 .
59
6.5. Correlacion
Si X y Y son dos variables aleatorias ( no existe causa-efecto), entonces el coeficiente de

correlacin se define como:
1) r [-1,1]
2) r es independiente de las unidades de X y Y
3) 1 > 0 r>0
1 < 0 r < 0
1 = 0 r = 0
r es una medida de la fuerza de asociacin lineal entre X y Y
NOTA: NO se puede ni se deben establecer relaciones causales a partir de los valores

de r, ya que ambas variables son aleatorias.
6.6. Coeficiente de determinacin r2
SCtotal SCerror SC Reg

r2 = =
SCtotal SCTotal
donde, r 2 [0,1]
Esta r-cuadrada es una medida de la variacin de Y explicada por los cambios o

variacin en la X. Es comn leerla como porcentaje de variacin en Y explicada por los
cambios en X.
60
6.7. Diagnstico del modelo de regresin lineal simple
Las tcnicas de diagnstico son esenciales para detectar desacuerdos entre el modelo y
los datos para los cuales se ajusta ste. Esto se hace a travs del anlisis de los
residuos.
Los supuestos que se hacen del estudio del anlisis de regresin son:
La relacin entre Y y X es lineal.
Los errores tienen media cero
Los errores tienen varianza constante 2.
Los errores no estn correlacionados (son independientes).
Los errores se distribuyen normalmente.
Las posibles violaciones al modelo se pueden detectar a travs de los residuos y son:
Evidencias que sugieren que la forma del modelo no es la apropiada.
Presencia de casos extraordinarios (outliers) en los datos.
Evidencia que sugieren varianza no constante.
Evidencia de que la distribucin de los errores no proviene de una distribucin
normal.
Autocorrelacin, que se define como la falta de independencia de los residuos
(errores).
6.8. Ejemplo
Con los siguientes datos,

a) Identificar la ecuacin de regresin.
b) Hay evidencia suficiente para establecer una relacin lineal positiva entre x1 con
y?
c) Hay evidencia para establecer una relacin lineal negativa entre x2 con y?
61
d) Hay suficiente evidencia para establecer que el modelo de regresin es til?
Y X1 X2
100 7 28
104 11 27
106 13 29
109 15 31
115 16 26
118 18 24
123 20 20
131 23 18
136 25 22
139 28 20
150 33 19
151 34 17
153 39 14
158 41 12
159 42 14
164 44 13
Grficos -> Diagrama de dispersin. Para X1 Y.

160
150
140
Y
130
120
110
100
10 20 30 40
X1
62
2. Repetir los pasos del punto 1, para la variable X2
160
150
140
Y
130
120
110
100
15 20 25 30
X2
3. Hacer el ajuste de manera numrica, con la secuencia:
Estadsticas -> Ajuste de modelos -> Regresin lneal
4. Seleccionar las variables en el modelo.

Para YX1, YX2 y finalmente para Y y las
dos Xs, X1 y X2.
63
5. Analizar los resultados
> RegModel.3 <- lm(Y~X1, data=regre01)

> summary(RegModel.3)
Call:
lm(formula = Y ~ X1, data = regre01)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.2100 -2.2784 -0.3152 2.6094 4.7640
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 86.17092 1.87143 46.05 < 2e-16 ***
X1 1.80260 0.06661 27.06 1.73e-13 ***
Este ltimo valor indica que hay un buen ajuste lineal entre la variable Y y la
variable X1.
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 3.106 on 14 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9812, Adjusted R-squared: 0.9799
F-statistic: 732.3 on 1 and 14 DF, p-value: 1.726e-13
Si hay un modelo estadstico.
> RegModel.4 <- lm(Y~X2, data=regre01)

Call:
lm(formula = Y ~ X2, data = regre01)
Residuals:
64

-12.2080 -5.0753 0.6461 5.2587 11.4115
Coefficients:
(Intercept) 202.819 7.051 28.76 7.46e-14 ***
X2 -3.381 0.325 -10.40 5.73e-08 ***
La variable X2 modela o ajusta bien con la variable Y.
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Si hay modelo que describe la relacin entre las dos variables.
> RegModel.5 <- lm(Y~X1+X2, data=regre01)

Call:
lm(formula = Y ~ X1 + X2, data = regre01)
Residuals:
-3.7098 -2.3772 -0.8203 1.7529 5.1548
Coefficients:
(Intercept) 101.1684 11.9726 8.450 1.22e-06 ***
X1 1.5875 0.1818 8.731 8.48e-07 ***
X1 si entra en el modelo multiple.
65
X2 -0.4550 0.3590 -1.268 0.227
X2 no entra en el modelo mltiple.
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Si hay un modelo mltiple que describe la relacin entre las variables.
66
6.9. Ejercicio del captulo 6
Los siguientes datos son parte de un estudio grande conducido por el Dr. Rick Linthurst
de la Universidad estatal de North Carolina. El propsito de la investigacin fue
identificar las principales caractersticas del suelo que influyen en la produccin de
biomasa area en el pasto de pantano Spartina alterniflora en el estuario del Cabo de
Miedo en North Carolina.
Una fase de la investigacin consisti en muestrear tres tipos de Spartina (reas

revegetativas muertas (DVEG), reas de Spartina enana (SHRT) y reas de Spartina
alta (TALL)), en cada una de tres localidades (Oak Island (OI), Smith Island (SI) y
Snows Marsh (SM)). Las muestras de sustrato de 5 lugares seleccionados al azar dentro
de cada tipo de localidad-vegetacin, dan un total de 45 muestras que fueron
analizadas para 14 caractersticas del suelo para cada mes por varios meses. Adems
se midi la biomasa superficial para cada lugar de muestreo cada mes. Los datos
usados en este estudio de caso involucraron solo los del mes de septiembre y las
siguientes 5 medidas del sustrato.
X1 = Salinidad (SAL)
X2 = Acidez del agua (pH)
X3 = Potasio en ppm (K)
X4 = Sodio en ppm (Na)
X5 = Zinc en ppm (Zn)
g
La variable dependiente Y es la biomasa area en 2 . Los datos para el mes de
m
septiembre y las 6 variables se dan a continuacin.
Obs. Loc. Tipo BIO SAL pH K Na Zn

1 OI DVEG 676 33 5.00 1441.67 35184.5 16.4524
2 OI DVEG 516 35 4.75 1299.19 28170.4 13.9852
3 OI DVEG 1052 32 4.20 1154.27 26455.0 15.3276
4 OI DVEG 868 30 4.40 1045.15 25072.9 17.3128
5 OI DVEG 1008 33 5.55 521.62 31664.2 22.3312
6 OI SHRT 436 33 5.05 1273.02 25491.7 12.2778
7 OI SHRT 544 36 4.25 1346.35 20877.3 17.8225
8 OI SHRT 680 30 4.45 1253.88 25621.3 14.3516
9 OI SHRT 640 38 4.75 1242.65 27587.3 13.6826
10 OI SHRT 492 30 4.60 1282.95 26511.7 11.7566
11 OI TALL 984 30 4.10 553.69 7886.5 9.8820
12 OI TALL 1400 37 3.45 494.74 14596.0 16.6752
13 OI TALL 1276 33 3.45 526.97 9826.8 12.3730
67
14 OI TALL 1736 36 4.10 571.14 11978.4 9.4058

15 OI TALL 1004 30 3.50 408.64 10368.6 14.9302
16 SI DVEG 396 30 3.25 646.65 17307.4 31.2865
17 SI DVEG 352 27 3.35 514.03 12822.0 30.1652
18 SI DVEG 328 29 3.20 350.73 8582.6 28.5901
19 SI DVEG 392 34 3.35 496.29 12369.5 19.8795
20 SI DVEG 236 36 3.30 580.92 14731.9 18.5056
21 SI SHRT 392 30 3.25 535.82 15060.6 22.1344
22 SI SHRT 268 28 3.25 490.34 11056.3 28.6101
23 SI SHRT 252 31 3.20 552.39 8118.9 23.1908
24 SI SHRT 236 31 3.20 661.32 13009.5 24.6917
25 SI SHRT 340 35 3.35 372.15 15003.7 22.6758
26 SI TALL 2436 29 7.10 525.65 10225.0 0.3729
27 SI TALL 2216 35 7.35 563.13 8024.2 0.2703
28 SI TALL 2096 35 7.45 497.96 10393.0 0.3705
29 SI TALL 1660 30 7.45 458.38 8711.6 0.2648
30 SI TALL 2272 30 7.40 498.25 10239.6 0.2105
31 SM DVEG 824 26 4.85 936.26 20436.0 18.9875
32 SM DVEG 1196 29 4.60 894.79 12519.9 20.9687
33 SM DVEG 1960 25 5.20 941.36 18979.0 23.9841
34 SM DVEG 2080 26 4.75 1038.79 22986.1 19.9727
35 SM DVEG 1764 26 5.20 898.05 11704.5 21.3864
36 SM SHRT 412 25 4.55 989.87 17721.0 23.7063
37 SM SHRT 416 26 3.95 951.28 16485.2 30.5589
38 SM SHRT 504 26 3.70 939.83 17101.3 26.8415
39 SM SHRT 492 27 3.75 925.42 17849.0 27.7292
40 SM SHRT 636 27 4.15 954.11 16949.6 21.5699
41 SM TALL 1756 24 5.60 720.72 11344.6 19.6534
42 SM TALL 1232 27 5.35 782.09 14752.4 20.3295
43 SM TALL 1400 26 5.50 773.30 13649.8 19.5880
44 SM TALL 1620 28 5.50 829.26 14533.0 20.1328
45 SM TALL 1560 28 5.40 856.96 16892.2 19.2420
a) Ajustar un modelo de regresin lineal mltiple para los datos.

b) Analizar la adecuacin del modelo mediante un ANOVA.
c) Realizar el diagnstico del modelo (normalidad y homoscedasticidad mediante
residuos, casos extraordinarios (outliers) y medidas de influencia, multicolinealidad
y autocorrelacin) e identifique las inadecuaciones que presente.
d) Analizar los datos mediante la seleccin de variables y proponga el modelo ms
adecuado.
68
Bibliografa
Cervantes, S. A., Rivera, G. P. y De la Paz L. J. M., 2004, SPSS. Una Herramienta para
el Anlisis Estadstico de Datos, FES Zaragoza UNAM, Mxico, 77 pp.
Cervantes, S. A., Marques D. S. M. J., Rivera G. P., 2006, Anlisis Estadstico. Un

enfoque prctico con Statgraphics, FES Zaragoza UNAM, Mxico, 113 pp.
Cervantes, S. A., Marques D. S. M. J., 2007, Diseo de Experimentos. Curso Prctico,

FES Zaragoza UNAM, Mxico, 151 pp.
Devore, J. L., 2001, Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias. 5. edicin.

Ed. Thomson Learning, Mxico.
Freund, J. E. y Simon, G. A., 1992, Estadstica Elemental, Prentice Hall, Inc. U.S.A.
Kuehl O. R., 2001, Diseo de experimentos. Principios estadsticos de diseo y anlisis

de investigacin, 2 edicin, Thomson Learning, Mxico, 666 pp.
Marques D. S. M. J., 2004, Probabilidad y Estadstica para Ciencias Qumico Biolgicas,

2. edicin, FES Zaragoza UNAM, Mxico.
69
Bibliografa
Marques D. S. M. J., Galindo D. S. M. C, Cervantes S. A., Anlisis de Regresin. Un

Enfoque Prctico. FES Zaragoza UNAM, Mxico, 101 pp.
Milton J. S. y J. O. Tsokos, 1987, Estadstica para biologa y ciencias de la salud, Ed.

Interamericana McGraw-Hill, Espaa, 527 pp.
Velleman, P. F. Y Hoaglin, D. C. (1981), Applications, Basics, and Computing of

Exploratory Data Analysis. Duxbury Press, Boston, Massachusets, U.S.A.
70
1. Edicin
Se imprimi en el Laboratorio de Aplicaciones
Computacionales de la FES Zaragoza
Con un tiraje de 100 ejemplares y su edicin en formato
electrnico para difundirlo en los sitios:
www.sisal.unam.mx
enlinea.zaragoza.unam.mx/biomat
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ZARAGOZA
UMDI-SISAL, FACULTAD DE CIENCIAS

PAPIME Manual Curso R

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

PAPIME Manual Curso R

Cargado por

Información del documento

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

PAPIME Manual Curso R

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Manejo prctico del software

Manejo prctico del software

Armando Cervantes Sandoval

Xavier Chiappa Carrara

Maite Mascar Miquelajauregui

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO

Facultad de Estudios Superiores Zaragoza

UMDI-Sisal, Facultad de Ciencias

Primera edicin: 2009

D.R. Facultad de Estudios Superiores Zaragoza

Impreso y hecho en Mxico

Formacin, Diseo editorial y portada: Armando Cervantes Sandoval

Desarrollado con apoyo de los proyectos PAPIME PE201106 y PE101606

Material de uso libre para fines acadmicos, con la cita o referencia

Prohibida su reproduccin total o parcial con fines de lucro.

Dnde adquirir y cmo se instala R 3

1.2. Obtener e instalar R 4

1.4. Instalacin de paquetes adicionales 6

Entorno Rcmdr y manejo de datos 9

2.1. Ejemplos para manejo de datos 11

3.1. Diagrama de caja y bigote o boxplot 18

3.2. Diagramas de tallo y hojas 18

3.5. Ejercicios del captulo 3 24

4.1. Poblacin y muestra 27

4.2. Incertidumbre y distribuciones estadsticas 28

4.3. Distribucin normal estndar 30

4.4. Teorema Central del Lmite 31

4.5. Estimacin (intervalos de confianza) 32

4.6.1. Contrastes de un Parmetro vs un valor predeterminado 32

Anlisis de varianza y diseo de experimentos 41

5.1. Modelos ms comunes en el diseo de experimentos 42

5.1.1. Diseo Completamente al Azar (DCA), de un factor o One-Way 43

5.1.2. Diseo de Bloques al Azar Completo (DBAC) 43

5.1.3. Diseos Factoriales 43

5.3. Ejercicio del captulo 50

Anlisis de Regresin lineal 53

6.1. Problemas que se plantean 53

6.2. Estimacin por mnimos cuadrados 54

6.3. Algo de geometra 56

6.6. Coeficiente de determinacin r2 60

6.7. Diagnstico del modelo de regresin lineal simple 61

6.9. Ejercicio del captulo 6 67

R es un conjunto integrado de programas, enfocado principalmente al anlisis

Un aspecto fundamental es que R es un software de uso libre, cuya consolidacin y

Dnde adquirir y cmo se instala R

- R y los diferentes paquetes se obtienen por 0 euros en http://cran.r-project.org

1.2. Obtener e instalar R

Segn el sistema operativo (Linux, Windows o Macintosh), todo el software que

Para Windows, se puede bajar el ejecutable (download), desde:

Para este curso se obtuvo el archivo:

Instalar el sistema bsico de R, en ambiente Windows, requiere los siguientes pasos:

1. Bajar de la red el archivo R.2.9.2.-win32.exe.

1.3.1. En la instalacin de R se incluyen los siguientes manuales

1. An introduction to R, cuya lectura es altamente recomendable

4. The R language definition

5. Installation and administration

1.3.2. Se puede encontrar ayuda en una gran cantidad de sitios como

http://www.burns-stat.com/pages/tutorials.html. Con slo 8 pginas!

1.3.3. R para principiantes, de E. Paraadis, en:

1.3.4. El sitio de Paul Johnson