Matemtica financiera bsica

Ejercicios para calculadora

Enunciados
Apartado 1
La base de las matemticas financieras

En el primer apartado se reflexiona sobre el valor temporal del dinero, se aprende a capitalizar y
actualizar con los dos principales regmenes financieros, y se desarrollan los conceptos de VAN,
TIR y TAE, y se trata el concepto de rentabilidad real (descontando el efecto de la inflacin).

Ejemplos:
Ejercicio 1. Comparacin de capitales financieros. Qu valen ms, 1.000 euros de hace
10 aos o 1.500 euros de hoy? Suponga una inflacin media del 4% y tipo de inters
compuesto vencido.

Ejercicio 2. Capitalizacin. Si hoy disponemos de 10.000 euros y los invertimos al 3%

anual durante 5 aos, qu capital final obtendremos si capitalizamos con rgimen
financiero de tipo de inters simple y compuesto?

Ejercicio 3. Actualizacin. Si queremos obtener un capital de 20.000 euros dentro de 8

aos a un tipo de inters del 5%, qu importe deberemos invertir hoy en un producto con
capitalizacin simple y otro con capitalizacin compuesta?

Ejercicio 4. VAN. Calcular el VAN de la siguiente operacin financiera: inversin inicial

200.000 euros, y cash-flows de los aos 1, 2 y 3: 75.000, 100.000 y 135.000 euros. Usted
estima que deber exigir a dicha inversin un 12,5%. Le conviene dicha inversin?, Por
qu?

Ejercicio 5. TIR. Cul de las siguientes es la TIR del proyecto del ejercicio anterior:
8,66%, 12,5% o 22,89%?

Ejercicio 6. TAE. Calcular la TAE de los dos siguientes productos: en el primero nos
ofrecen una rentabilidad del 2% para un periodo de 6 meses, y en el segundo una
rentabilidad del 10% en dos aos.

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Apartado 2
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
productos bancarios de pasivo

En el segundo apartado se analizan los depsitos bancarios. Sobre la base de lo tratado en el

apartado 1 se comienza a trabajar con periodicidades diferentes a la anual (ya sea en el
vencimiento o bien en los periodos de capitalizacin), hallando la TIR y la TAE de los productos y
entendiendo su significado.

Ejemplos:
Ejercicio 7. Capital final. Calcula el capital final de un depsito de 1.000 euros durante 3
meses al 4,5% de inters nominal anual aplicando el rgimen financiero de tipo de inters
simple.

Ejercicio 8. TIR y TAE. Calcula la TIR y la TAE del depsito del ejercicio anterior.

Apartado 3
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
productos bancarios de activo

En el tercer apartado el sujeto inversor pasa a ser el banco, que cede sus disponibilidades
lquidas dando crdito al cliente mediante prstamos o descuento de efectos. Siguiendo la
misma forma de trabajar que en los apartados anteriores, se tratar de obtener cules son los
flujos de la operacin financiera para saber hallar la TIR y la TAE. Como las cuotas del prstamo
son una renta temporal vencida, se deducir la frmula para obtener dichas cuotas (que tambin
servir para cualquier otro producto financiero que incorpore una renta de caractersticas
similares).

Ejemplos:
Ejercicio 9. Cuota de un prstamo. Calcula la cuota mensual de un prstamo de 10.000
euros, a 4 aos, y que tiene un tipo de inters nominal anual del 9%.

Ejercicio 10. TAE de un prstamo. Cul ser la TAE del prstamo anterior?

Ejercicio 11. Descuento de efectos. Un cliente va al banco a descontar un efecto comercial

a cobrar dentro de 60 das, con un valor nominal de 2.000 euros. Si se le cobra un 12% de
inters nominal anticipado y una comisin del 1%, calcula el importe efectivo que recibir,
as como la TIR y la TAE de la operacin. Utiliza base=360.

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Apartado 4
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
mercados financieros

En el cuarto apartado se analizan los activos negociados en mercados financieros, ya sean de

deuda (o renta fija), a corto y largo plazo, y de emisores pblicos o privados, y tambin activos
de renta variable. Tambin se analizan brevemente las inversiones en fondos de inversin.

Ejemplos:
Ejercicio 12. Inversin en Letras del Tesoro. Calcula el precio que se pagar por una Letra
del Tesoro (nominal 1.000 euros), si cotiza a una rentabilidad implcita anual del 1% y
faltan 425 das para su vencimiento. Utiliza convenio act/360.

Ejercicio 13. Rentabilidad de un bono. Cul de las siguientes TIR puede ofrecer un Bono
del Estado, cuyo nominal es de 1.000 euros, su vencimiento es a 4 aos, y su cupn es del
3,75% si se ha pagado en la subasta un precio de 1.004 euros; 4,12%, 3,75% o 3,64%?

Ejercicio 14. TAE de un fondo de inversin. Si se obtiene una rentabilidad en un fondo de

inversin del 0,75% en 68 das, cul es la TAE de la operacin?(utilizar act/365)

Apartado 5
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras y los
productos previsionales

En el quinto y ltimo apartado se analizan los productos previsionales en su rama financiera,

haciendo especial nfasis en las rentas (tanto en aportaciones como en prestaciones), aunque
tambin se trata la capitalizacin de aportaciones nicas.

Ejemplos:
Ejercicio 15. Valor actual de una renta temporal. Si se desea percibir una renta de 350
euros mensuales durante 15 aos, qu importe se debe haber ahorrado para constituir la
renta si el tipo de inters de valoracin es del 3% nominal anual?

Ejercicio 16. Valor final de una renta temporal. Si se quiere constituir un capital para la
jubilacin (dentro de 25 aos) de 75.000 euros, cul ser el importe de la cuota mensual
si el tipo de inters es del 3% nominal anual?

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Ejercicios para calculadora

Solucionario
Apartado 1
La base de las matemticas financieras

En el primer apartado se reflexiona sobre el valor temporal del dinero, se aprende a capitalizar y
actualizar con los dos principales regmenes financieros, y se desarrollan los conceptos de VAN,
TIR y TAE, y se trata el concepto de rentabilidad real (descontando el efecto de la inflacin).

Ejemplos:

Ejercicio 1. Comparacin de capitales financieros. Qu valen ms, 1.000 euros de hace

10 aos o 1.500 euros de hoy? Suponga una inflacin media del 4% y tipo de inters
compuesto vencido.
Solucin: no podemos comparar capitales financieros de momentos diferentes en el tiempo,
pero s podemos trasladar en el tiempo uno de ellos para compararlos referidos al mismo
momento temporal. Para ello necesitamos un rgimen financiero y un tipo de inters, ambas
cosas se nos facilitan en el enunciado.
Si capitalizamos los 1.000 euros de hace 10 aos a hoy obtenemos:

Como valen ms 1.500 euros de hoy que 1.480,24 euros de hoy, podemos concluir que valen
ms 1.500 euros de hoy que 1.000 euros de hace 10 aos.

Ejercicio 2. Capitalizacin. Si hoy disponemos de 10.000 euros y los invertimos al 3%

anual durante 5 aos, qu capital final obtendremos si capitalizamos con rgimen
financiero de tipo de inters simple y compuesto?
Solucin: a tipo simple obtendremos 11.500 euros:

A tipo compuesto obtendremos 11.592,74 euros:

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Ejercicio 3. Actualizacin. Si queremos obtener un capital de 20.000 euros dentro de 8

aos a un tipo de inters del 5%, qu importe deberemos invertir hoy en un producto con
capitalizacin simple y otro con capitalizacin compuesta?
Solucin: a tipo simple hemos de invertir hoy 14.285, 71 euros:

A tipo compuesto hemos de invertir hoy 13.536,79 euros:

Ejercicio 4. VAN. Calcular el VAN de la siguiente operacin financiera: inversin inicial

200.000 euros, y cash-flows de los aos 1, 2 y 3: 75.000, 100.000 y 135.000 euros. Usted
estima que deber exigir a dicha inversin un 12,5%. Le conviene dicha inversin?, Por
qu?
Solucin: calculamos el VAN:

La inversin s le conviene, pues ha estimado que, por sus caractersticas, debe ofrecer una
rentabilidad del 12,5%. Al ser el VAN positivo indica que la rentabilidad de la operacin es mayor
a la tasa exigida.

Ejercicio 5. TIR. Cul de las siguientes es la TIR del proyecto del ejercicio anterior:
8,66%, 12,5% o 22,89%?
Solucin: recordemos que la TIR ser aquella tasa que haga el VAN igual a cero:

Al tener la operacin ms de dos flujos no podemos hallar la TIR directamente despejndola de

la frmula, necesitaramos calculadora financiera o bien hoja de clculo (ste ltimo clculo se
explica en los vdeos del mdulo)
o bien sustituir las opciones que tenemos en la frmula del VAN y ver cul de ellas da cero:

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Segn estos clculos la TIR sera la tercera (no da exactamente cero por el redondeo de
decimales de la tasa 22,89)
o bien tener en cuenta que el clculo a la tasa del 12,5 ya nos indicaba que la rentabilidad de
la operacin deba ser mayor del 12,5%, por tanto, entre las tres TIR propuestas, la nica que
poda ser es la del 22,89%.

Ejercicio 6. TAE. Calcular la TAE de los dos siguientes productos: en el primero nos
ofrecen una rentabilidad del 2% para un periodo de 6 meses, y en el segundo una
rentabilidad del 10% en dos aos.
Solucin: para pasar de TIR a TAE utilizamos siempre la misma frmula:

Donde m es el nmero de veces que podemos efectuar la inversin dentro de un ao. En el

primer producto (6 meses) en un ao podramos realizar 2 veces dicha inversin, por tanto m=2.
En el segundo producto (a 2 aos), en un ao podramos realizar la mitad de la inversin, por
tanto m=1/2 o bien m=0,5.
Por tanto, la TAE del primer producto es del 4,04%:

Quiere decir que el producto nos va a dar una rentabilidad del 4,04%? No, en un principio el
producto slo ofrece un 2% para el plazo de 6 meses, nada ms, pero para poder compararlo
con otros productos a un mismo plazo temporal (1 ao) la TAE nos ofrece una rentabilidad
equivalente al 2% semestral como el 4,04% anual, y esto es as porque presupone reinversin al
mismo tipo de inters (2% semestral).
Y la TAE del segundo producto es del 4,88%:

Quiere decir que si cancelo el producto a un ao obtendr esta rentabilidad? No, seguramente
no puedo obtener los intereses hasta que hayan pasado los 2 aos, y estos sern del 10%, pero
para poder comparar entre productos, el 10% a dos aos es como si nos diera un 4,88% el
primer ao, que reinvertidos de nuevo al mismo tipo (4,88%) acaba dando un 10% al finalizar el
segundo ao.
Es importante conocer la informacin que nos ofrece la TAE.

Los ejemplos realizados en este apartado 1 tambin son vlidos para otros apartados, pues los
productos o inversiones planteadas hasta aqu, en realidad pueden instrumentarse como un
depsito (apartado 2), tratarse de una inversin por parte de una entidad que da crdito a un
cliente (apartado 3), como un activo de mercados financieros, por ejemplo fondos de inversin
(apartado 4), o bien productos de seguros de ahorro (apartado 5).
Pues la base que hay en el fondo de todos los productos financieros es la misma.

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Apartado 2
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
productos bancarios de pasivo

En el segundo apartado se analizan los depsitos bancarios. Sobre la base de lo tratado en el

apartado 1 se comienza a trabajar con periodicidades diferentes a la anual (ya sea en el
vencimiento o bien en los periodos de capitalizacin), hallando la TIR y la TAE de los productos y
entendiendo su significado.

Ejemplos:

Ejercicio 7. Capital final. Calcula el capital final de un depsito de 1.000 euros durante 3
meses al 4,5% de inters nominal anual aplicando el rgimen financiero de tipo de inters
simple.
Solucin: el tipo de inters del 4,5% en un ao equivale al 0,375% mensual (0,045/12=0,00375),
este tipo aplicado 3 meses (0,375% x 3 = 1,125%) significa un capital final de 1.011,25.

Ejercicio 8. TIR y TAE. Calcula la TIR y la TAE del depsito del ejercicio anterior.
Solucin: la TIR la podemos calcular directamente, ya que slo hay dos flujos: uno hoy otro
dentro de 3 meses. Por tanto, la TIR que obtendremos ser trimestral, y ser del 1,125%:

La TIR del depsito (su rentabilidad) es igual al tipo de inters nominal para los 3 meses. Esto es
as porque no existen otros flujos (por ejemplo comisiones) que afecten a la inversin.
La TAE la calcularemos como siempre (en este caso elevamos a 4, ya que hay 4 periodos
trimestrales en un ao), y ser del 4,58%:

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Apartado 3
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
productos bancarios de activo

En el tercer apartado el sujeto inversor pasa a ser el banco, que cede sus disponibilidades
lquidas dando crdito al cliente mediante prstamos o descuento de efectos. Siguiendo la
misma forma de trabajar que en los apartados anteriores, se tratar de obtener cules son los
flujos de la operacin financiera para saber hallar la TIR y la TAE. Como las cuotas del prstamo
son una renta temporal vencida, se deducir la frmula para obtener dichas cuotas (que tambin
servir para cualquier otro producto financiero que incorpore una renta de caractersticas
similares).

Ejemplos:

Ejercicio 9. Cuota de un prstamo. Calcula la cuota mensual de un prstamo de 10.000

euros, a 4 aos, y que tiene un tipo de inters nominal anual del 9%.
Solucin: el prstamo tendr 48 cuotas (4x12) idnticas, por lo que se trata de una renta
temporal vencida, por ello podemos utilizar la frmula del valor actual de una renta de estas
caractersticas.

El tipo de inters mensual ser del 0,75% (0,09/12=0,0075). Conocemos el valor temporal
(VA=10.000 euros, el principal del prstamo) y deberemos despejar la cuota (C), que ser de
248,84 euros (puede variar el segundo decimal dependiendo de los decimales que se arrastren).

Ejercicio 10. TAE de un prstamo. Cul ser la TAE del prstamo anterior?
Solucin: para obtener la TAE siempre debemos partir de la TIR, en este caso la TIR ser
mensual. Conocemos ya la TIR de ste prstamo? S, porque no tiene ms flujos que los
derivados del clculo de las cuotas (no tiene comisiones ni ningn otro flujo que le afecte), por
tanto la TIR mensual es igual al 0,75% (0,0075) que es el tipo de inters utilizado para calcular
las cuotas.
Una vez conocemos la TIR mensual, el clculo de la TAE es sencillo, del cual obtendremos una
TAE del 9,38%:

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Pero incluso antes de realizar ningn clculo ya sabamos cosas sobre la rentabilidad del
prstamo.
Primero, que la TAE deba ser necesariamente mayor o menor al 9%, que es el tipo de
inters nominal? Si hubiera comisiones claramente habra de ser superior, pero incluso sin ellas
tambin, fijmonos que los pagos son mensuales, por tanto el cliente no paga el primer 9% al
finalizar el primer ao, sino que avanza capital cada mes. Esto es una ventaja (ms rentabilidad)
para la entidad que realiza el prstamo, y una desventaja (ms coste) para el cliente. Por tanto
TAE mayor.
Y sobre la TIR? Pues ya hemos dicho que al no haber comisiones, la TIR mensual es igual al
tipo de inters mensual. Y si hubiera comisiones? Sabramos que la entonces la TIR mensual
debera ser mayor al tipo de inters mensual (y la TAE tambin aumentara). El clculo exacto de
la TIR lo deberamos realizar con hoja de clculo.

Ejercicio 11. Descuento de efectos. Un cliente va al banco a descontar un efecto comercial

a cobrar dentro de 60 das, con un valor nominal de 2.000 euros. Si se le cobra un 12% de
inters nominal anticipado y una comisin del 1%, calcula el importe efectivo que recibir,
as como la TIR y la TAE de la operacin. Utiliza base=360.
Solucin: utilizando el rgimen financiero de inters simple anticipado, los 2.000 euros de
dentro de 60 das se transforman en:

Pero este importe no ser el que reciba el cliente, pues se le cobra una comisin de 20 euros
(1% sobre 2.000). Por tanto, el efectivo que recibir ser de 1.940 euros (1.960-20).
El banco invierte hoy 1.940 euros y recibir 2.000 euros dentro de 60 das, esto supone una
rentabilidad (TIR de 60 das) del 3,09%:

Para calcular la TAE necesitamos saber cuntos periodos de 60 das hay en 360 (o de dos
meses dentro de un ao) que son 6. Tambin podramos entrar directamente 360/60 en la
frmula. En cualquier caso, la TAE que obtenemos es del 20,05%

Por qu la TAE es tan elevada, del 20,05%, si el tipo de inters es del 12%? Por dos razones,
como en el caso del prstamo, en primer lugar porque el pago no se realiza anual, sino en este
caso por 90 das (recordemos que la TAE supone reinversin de los pagos realizados, ventaja
para el banco y coste para el cliente), y adems porque se cobra una comisin del 1%, que es
independiente del plazo de la operacin, por tanto ms perjudicial para el cliente (y beneficiosa
para el banco) cuanto menor dicho plazo.

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Apartado 4
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los
mercados financieros

En el cuarto apartado se analizan los activos negociados en mercados financieros, ya sean de

deuda (o renta fija), a corto y largo plazo, y de emisores pblicos o privados, y tambin activos
de renta variable. Tambin se analizan brevemente las inversiones en fondos de inversin.

Ejemplos:

Ejercicio 12. Inversin en Letras del Tesoro. Calcula el precio que se pagar por una Letra
del Tesoro (nominal 1.000 euros), si cotiza a una rentabilidad implcita anual del 1% y
faltan 425 das para su vencimiento. Utiliza convenio act/360.
Solucin: utilizando la frmula de actualizacin a ms de un ao obtenemos un precio de
988,32 euros.

Ejercicio 13. Rentabilidad de un bono. Cul de las siguientes TIR puede ofrecer un Bono
del Estado, cuyo nominal es de 1.000 euros, su vencimiento es a 4 aos, y su cupn es del
3,75% si se ha pagado en la subasta un precio de 1.004 euros; 4,12%, 3,75% o 3,64%?
Solucin: si queremos realizar el clculo exacto de la TIR necesitamos hoja de clculo (tal y
como se explica en los videos del material), ya que la operacin financiera tiene 5 flujos:

Pero s podemos deducir cul de las tres TIRs que nos proponen es la correcta. Sabemos que si
el precio de subasta hubiera sido de 1.000 euros, la TIR que ofrecera este Bono sera del
3,75%, idntica al cupn. Si hemos tenido que pagar un precio mayor, esto necesariamente
implica que nuestra rentabilidad ser menor; por tanto la TIR deber ser del 3,64%.

Ejercicio 14. TAE de un fondo de inversin. Si se obtiene una rentabilidad en un fondo de

inversin del 0,75% en 68 das, cul es la TAE de la operacin?(utilizar act/365)
Solucin: la TAE o tasa anual equivalente al 0,75% en 68 das es del 4,09%

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Apartado 5
Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras y los
productos previsionales

En el quinto y ltimo apartado se analizan los productos previsionales en su rama financiera,

haciendo especial nfasis en las rentas (tanto en aportaciones como en prestaciones), aunque
tambin se trata la capitalizacin de aportaciones nicas.

Ejemplos:

Ejercicio 15. Valor actual de una renta temporal. Si se desea percibir una renta de 350
euros mensuales durante 15 aos, qu importe se debe haber ahorrado para constituir la
renta si el tipo de inters de valoracin es del 3% nominal anual?
Solucin: como la renta es mensual, se cobrarn 180 cuotas (15x12), y el tipo de inters
mensual ser del 0,25% (0,03/12=0,0025). Con estos datos ya podemos calcular el valor actual
de la renta, que ser de 50.681,96 euros (puede haber pequeas diferencias segn los
decimales que se arrastren).

Este ser el importe que se deber tener constituido si se quiere cobrar como una renta mensual
de 350 euros durante 15 aos.

Ejercicio 16. Valor final de una renta temporal. Si se quiere constituir un capital para la
jubilacin (dentro de 25 aos) de 75.000 euros, cul ser el importe de la cuota mensual
si el tipo de inters es del 3% nominal anual?
Solucin: sabemos que el nmero de cuotas ser de 300 (25x12), y el tipo de inters mensual
ser del 0,25% (0,03/12=0,0025). Pero la frmula que hemos utilizado hasta ahora permite hallar
el valor inicial de la renta, por tanto deberemos hacer un primer paso y calcular los 75.000 euros
de dentro de 25 aos (valor final de la renta) a qu cantidad de euros de hoy equivalen (valor
actual de la renta):

Ahora s podemos despejar la cuota en el clculo habitual que hacemos en las rentas,
obteniendo una cuota mensual de 168,16 euros durante 25 aos para conseguir constituir un
capital de 75.000 euros al final de dicho periodo:

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De la misma forma, si el enunciado nos proporcionase la cuota (168,1585 euros), el tipo de

inters y el plazo, para obtener el valor final primero obtendramos el valor inicial mediante la
frmula (hallando 35.460,665 euros), que posteriormente capitalizaramos para hallar el valor
final (75.000 euros).

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