INVESTIGACIN DE

OPERACIONES I
GUA GENERAL DE APLICACIONES
PRIMERA PARTE

Dr. Ezzard Omar Alvarez Diaz

Docente

Abril 2017
2. MODELOS DE PRODUCCIN DE UN PERIODO, MLTIPLES PRODUCTOS

Ejercicio 2.1

En la mquina cortadora de prendas de un taller de confecciones pueden procesarse un

mximo de 1500 prendas por semana. Esta semana el taller de confecciones ha recibido la
solicitud de 7 clientes por el servicio de corte de prendas con las siguientes caractersticas.

Cantidad total Utilidad por

Dificultad del corte
Cliente mxima de prenda cortada
(valor / prenda)
prendas a cortar ($/prenda)
1 300 8 2.0
2 250 7 2.5
3 150 6 3.0
4 200 8 2.5
5 150 5 2.0
6 230 5 2.5
7 500 3 3.0

Es posible brindarle el servicio de corte a cada cliente por una cierta cantidad de prendas, no
necesariamente por el mximo de forma obligatoria.

El valor de dificultad de corte para cada prenda de cada pedido que se seala en la tabla indica
la cantidad de esfuerzo que deben hacer los operarios al cortar cada prenda. Un valor ms alto
de dificultad indica mayor esfuerzo para los operarios (valor mximo: 10, valor mnimo: 0). Con
la finalidad de que el trabajo no les demande un esfuerzo muy grande se desea que el trabajo
total a realizar tenga un valor de dificultad promedio por la prenda no mayor a 5.

a) Defina las variables de decisin para este caso y presente el modelo de programacin
lineal que permita al taller dar una respuesta a los clientes en la forma extendida y en
la forma estructurada o compacta. No es obligatorio que la solucin ptima sea
entera. (Respuesta: Z* = 3741.667)

Ejercicio 2.2

Un ama de casa compra alimentos en un determinado supermercado, los cuales tienen precios
distintos y diferentes contenidos de elementos nutricionales. Asumamos que se ofrecen solo
cinco tipos de alimentos y que solo se tienen dos elementos nutricionales: caloras y vitaminas.
El contenido de estos elementos (en unidades) por cada kilo de alimento, los precios de
compra (por kilo) y la disponibilidad (en kilos) de estos son los siguientes:

Elemento Alimentos

pg. 2
 1 2 3 4 5
Caloras (unidades/kg) 1000 0 1000 1000 2000
Vitaminas (unidades/kg) 0 1000 2000 1000 1000
Precio de compra ($/kg) 20 20 31 11 12
Disponibilidad (kg) 4 3 5 2 3

El problema del ama de casa es determinar una dieta que tenga por lo menos 2100 unidades
de caloras y 1200 unidades de vitaminas por persona y por da al menor precio posible. El ama
de casa puede comprar cualquier fraccin de kilo en cualquier alimento y se sabe adems que
su familia se compone de 6 personas (incluida ella misma).

a) Defina las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal

correspondiente en la forma compacta. (Respuesta: Z* = 162.1, en total por las 6
personas)

Ejercicio 2.3

Juanito se dedica a la elaboracin de tres tipos de cebiche en bolsa para las playas de Lima, los
cuales gozan de gran aceptacin por parte de sus clientes. Los ingredientes principales son:
pescado, conchas negras, calamar, cebolla y camote. La siguiente tabla muestra la composicin
de los ingredientes que se utilizan por cada bolsa:

Conchas
Pescado Calamar Cebolla Camote
Tipo negras
(kg) (kg) (und) (und)
(kg)
Tradicional 1 0 0 3 3
Especial 0 0.5 0 1 0
Mixto 0.5 0.1 0.3 3 3

Los costos de los ingredientes y su disponibilidad son:

Conchas
Ingrediente Pescado Calamar Cebolla Camote
negras
Costo 24 S/kg 30 S/kg 18 S/kg 0.5 S/und 0.1 S/und
Disponibilidad 1000 kg 200 kg 100 kg 5000 und 5000 und

La demanda de cebiche para este fin de semana no constituye un factor limitante; no obstante
Juanito debe vender como mnimo 500, 200 y 300 bolsas de cebiche tradicional, especial y
mixto respectivamente, para asegurar la rentabilidad de su negocio. El precio de venta de cada
tipo de cebiche se muestra a continuacin:

Precio de venta
Tipo de cebiche
(Soles / bolsa)
Tradicional 30
Especial 35
Mixto 28

pg. 3
 a) Presente las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal
correspondiente. (Respuesta: Z* = 11940)
b) Identifique las restricciones activas del modelo.
c) Identifique qu ingredientes no son utilizados en su totalidad y la cantidad sobrante.
d) Qu interpretacin tiene el precio dual en la restriccin de disponibilidad de las
conchas negras?

Ejercicio 2.4

La compaa ZINGERLE se dedica a la produccin de mdulos (bancos y mesas) especialmente

destinadas para bares, restaurantes, clubes campestres, etc. El Gerente de Produccin se
encuentra actualmente planificando la produccin de los siguientes tipos modelos: MA6, MA8
Y MB10. Los mencionados tipos de mdulos requieren para su produccin de ngulos de acero
y tablas de madera; la informacin mencionada, as como los requerimientos de mano de obra
(horas hombre: HH) necesarias para la produccin de los diferentes tipos de mdulos y la
disponibilidad semanal de los recursos se presenta en la siguiente tabla:

Requerimientos productivos
Tipo de mdulo ngulos Madera Mano de obra
(m./mdulo) ( /modulo) (HH/mdulo)
MA6 14 5.4 0.70
MA8 18 7.2 0.80
MB8 16 6.2 0.75
MB10 20 8.0 0.90
Disponibilidad 30000 m. 11500 1440 HH

Para asegurar la rentabilidad de la produccin, se ha establecido un nivel mnimo de

produccin para cada tipo de modulo. Asimismo, el limitante de la produccin es la capacidad
de produccin semanal. Esta informacin, junto con el precio de venta de cada tipo de
modulo, se presenta en la siguiente tabla:

Tipo de Produccin mnima Capacidad de produccin Precio de venta

Modulo (mdulos) (mdulos) ($ / mdulo)
MA6 500 750 60
MA8 320 450 75
MB8 400 550 70
MB10 200 300 85

La demanda de mdulos no es limitante para la venta; ergo todo lo que se produce se llega a
vender. Defina las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal que
permita determinar cuntos mdulos de cada tipo debe producir ZINGERLE semanalmente.
(Respuesta: Z* = 125945)

pg. 4
Ejercicio 2.5

Un fabricante produce cuatro tipos de producto de uso domstico (A, B, C y D). Su sistema de
produccin consta de cinco actividades dispuestas en serie o secuencia: estampado, taladrado,
ensamblado, acabado y empaque. Para un determinado mes el fabricante debe decidir cunto
de cada producto debe producir. La siguiente tabla muestra las caractersticas de la
fabricacin:

Velocidad de produccin (horas / unidad) Horas

Actividad mensuales
Producto A Producto B Producto C Producto D
disponibles
Estampado 0.03 0.15 0.05 0.10 400
Taladrado 0.06 0.12 0 0.10 400
Ensamblado 0.05 0.10 0.05 0.12 500
Acabado 0.04 0.20 0.03 0.12 450
Empaque 0.02 0.06 0.02 0.05 400

Adicionalmente, el fabricante sabe que solamente los productos B y D requieren un cierto tipo
de plancha especial, cuya disponibilidad mensual es de 2000 unidades por mes. El producto B
requiere de 2 planchas especiales por unidad y el producto de 1.2 planchas especiales por
unidad.

Las caractersticas comerciales de los cuatro productos son las siguientes:

Precio de venta Costo variable Ventas mensuales (unidades)

Producto
(Soles / unidad) (Soles / unidad) Mnimo Mximo
A 10 6 1000 6000
B 25 15 0 500
C 16 11 500 3000
D 20 14 100 1000

El fabricante quiere planear la produccin con el objetivo de maximizar la contribucin

marginal total (ingreso por ventas costo variable total), pero respetando la poltica
empresarial de que todas las actividades deben ser utilizadas por lo menos en un 50% de sus
horas disponibles.

a) Defina las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal

correspondiente, empleando notacin matemtica compacta. (Respuesta: Z* = 42600)

Ejercicio 2.6

Un proceso productivo transforma una cierta materia prima para obtener producto terminado
de diferentes grados de calidad. El proceso puede emplear 3 mtodos distintos. Ambos
mtodos hacen uso de un mismo horno que tiene capacidad para 20000 unidades de materia
prima en total; sin embargo, el porcentaje que se obtiene de cada grado de calidad de
producto terminado es diferente segn el mtodo, tal como se seala en la tabla siguiente:

pg. 5
 Porcentaje a Porcentaje a Porcentaje a
Grado de calidad del
obtener por el obtener por el obtener por el
producto
mtodo 1 mtodo 2 mtodo 3
1 30% 20% 25%
2 25% 25% 30%
3 15% 20% 30%
4 15% 5% 10%

De la tabla anterior puede leerse, por ejemplo, que por cada 100 unidades de materia prima
procesada por el mtodo 1 se obtiene 30 unidades, 25 unidades, 15 unidades y 15 unidades de
producto de grado de calidad 1, 2, 3 y 4 respectivamente.

En cada mtodo, el resto de producto terminado (hasta completar el 100%) se considera

producto defectuoso. El costo por unidad de materia prima procesada por el mtodo 1, 2 y 3
es $50, $60 y $70, respectivamente.

Para el periodo de planeamiento la demanda de producto de cali9dad grado 1 ese por lo

menos 4000 unidades; de calidad grado 2, por lo menos 5000 unidades; de calidad grado 3,
por lo menos 4000 unidades y de calidad grado 4, por lo menos 2000 unidades. Todo lo que se
produzca se vender

a) Defina las variables de decisin y formule el modelo de programacin lineal

correspondiente en forma compacta (Respuesta: Z* = 1083333)

Ejercicio 2.7

La empresa OptiProd S.A.C debe planificar la produccin de 2000 unidades del producto
Premium para cumplir con el pedido de un importante cliente. Para producir una unidad del
producto Premium, se requiere de 4 insumos A, B, C y D en las siguientes cantidades: 3
unidades de A, 4 de B, 2.5 de C y 3.5 de D. Los insumos pueden ser compraos a 6 diferentes
proveedores cuya disponibilidad se muestra a continuacin:

Disponibilidad (unidades de insumo)

Proveedor Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D
PR1 2000 2000 1000 1500
PR2 1500 3000 1000 2000
PR3 2000 1500 2000 2500
PR4 1000 1200 800 1500
PR5 800 1200 1000 1500
PR6 1200 1000 1200 1200

Los costos de compra por cada tipo de insumo asociados a los 3 primeros proveedores es el
que se muestra a continuacin:

pg. 6
 Costo de Compra (En Soles/unidad de Insumo)
Proveedor Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D
PR1 4 2.8 4.5 6
PR2 3.5 2.5 3.3 6.5
PR3 4.5 2.2 4 6.5

Por otro lado los proveedores PR4, PR5 y PR6 se han asociado para conformar una cooperativa
de productores; cuyos costos de compra por cada tipo de insumo se muestra en el siguiente
cuadro:

Insumo A Insumo B Insumo C Insumo D

Costo de compra a la cooperativa
4 2.5 4 6
(soles/unidad de insumo)

OptiProd S.A.C. ha acordado comprar a la cooperativa de productores como mnimo: 1500

unidades de Insumo A, 2000 unidades de Insumo B, 1000 unidades de Insumo C y 1500
unidades de Insumo D. Finalmente, OptiProd S.A.C. ha dispuesto que el monto (en soles) a
comprar a cada proveedor sea a lo ms el 30% del monto total de compra.

a) Presentar las variables de decisin y su significado; as como el modelo de

programacin lineal en forma matemtica compacta que le permita a la empresa
optimizar la compra de sus insumos.

Ejercicio 2.8

Todo Telas S.A.C., empresa perteneciente al rubro textil, cuenta con la siguiente demanda de
cuatro tipos de tela y el precio al cual vendera dichas telas:

Tipo de Demanda Precio de Venta

Tela (metros) (Soles/metro)
Interlock 6000 6.5
Jersey 5000 7
Pique 4000 9
Drill 5000 8.5

La demanda debe ser interpretada como lo mximo que puede vender.

Para poder atender la demanda, la empresa puede producir las telas en sus instalaciones y
tambin las puede importar de china.

La produccin de cualquier tipo de tela en las instalaciones de Todo Telas S.A.C. puede
llevarse a cabo en cualquiera de sus tres tipos de maquina tejedoras (T1, T2 y T3). La siguiente

pg. 7
tabla muestra la tasa de produccin y el costo de produccin por tipo de tela y por maquina;
adems de las horas disponibles en cada mquina:

Tasa de produccin (horas/metro) Costo de Produccin (Soles/hora)

Maquina Maquina Maquina Maquina Maquina Maquina
Tipo de Tela
T1 T2 T3 T1 T2 T3
Interlock 0.55 0.5 0.58 5 5.5 4.5
Jersey 0.6 0.65 0.7 7 8 8
Pique 0.4 0.5 0.45 8 9 8.5
Drill 0.45 0.48 0.5 10 9 9.5
Disponibilidad
1500 1000 1600
(horas)
Para el caso de tela importada de china, lo mximo que puede comprar al proveedor de china
y el costo de importacin se muestra a continuacin:

Mximo que puede comprar Costo de importacin

Tipo de Tela
(metros) (Soles/metro)
Interlock 4000 4
Jersey 3000 3
Pique 4000 5
Drill 2000 5.5

a) Presentar las variables de decisin y su significado; as como el modelo de

programacin lineal en forma matemtica compacta que le permita a Todo Telas S.A.C.
maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=48000)

Ejercicio 2.9

Debido a la gran aceptacin del cebiche en bolsa, ahora Juanito est planificando para el
prximo verano la venta de sopa en botelln. Las sopas de mayor demanda son: Especial de
pollo, martima de mariscos y tradicional de habas. Los ingredientes principales son: Pollo,
mariscos, habas y alverjas. La siguiente tabla muestra el requerimiento de los ingredientes que
se utilizan por cada botelln de 3 litros:

Requerimiento (Kg/botelln)

Tipo de Sopa Pollo Mariscos Habas Alverjas

Especial de pollo 0.3 0 0.25 0.25

Martima de mariscos 0 0.3 0.1 0.5

Tradicional de habas 0.15 0.15 1 0.25

pg. 8
Juanito debe vender como mnimo 250 ,100 y 300 botellones de sopa Especial de pollo,
martima de mariscos y tradicional de habas, respectivamente para asegurar la rentabilidad de
su negocio. El precio de venta de cada tipo de sopa se muestra a continuacin:

Tipo de Sopa Precio de venta (Soles/botelln)

Especial de pollo 30
Martima de mariscos 35
Tradicional de habas 25

El costo y la disponibilidad de cada ingrediente con que Juanito cuenta para que el mismo
prepare sus sopas son los siguientes:

Ingrediente Pollo Mariscos Habas Alverjas

Costo (soles/kg) 20 30 5 10
Disponibilidad (kg) 80 40 200 150

Juanito, adems de preparar el mismo sus sopas, puede comprar sopas en botelln ya
preparadas a sus tas Julia y Bertha, con la siguiente restriccin: Para cada tipo de sopa, la
cantidad de botellones que Juanito compre a sus tas en total de ese tipo, no debe ser superior
a la cantidad de botellones de sopa de ese tipo que Juanito prepare.

Los costos de compra por cada tipo de sopa y por cada ta se muestran a continuacin:

Costo de compra (soles/botelln)

Tipo de Sopa Ta Julia Ta Bertha

Especial de pollo 20 25
Martima de mariscos 20 30
Tradicional de habas 30 20

a) Defina las variables de decisin y plantee el modelo de programacin lineal

correspondiente a en forma compacta que permita a Juanito maximizar sus utilidades.
(Respuesta: Z*=9665).

Ejercicio 2.10

PAPAS S.A. es una empresa dedicada a la comercializacin de papas nativas. Esta empresa
compra las papas a cinco comunidades indgenas de la regin Apurmac. La disponibilidad
semanal de papas y el costo de compra para cada comunidad indgena se muestran a
continuacin:

pg. 9
 Comunidades Indgenas
1 2 3 4 5
Disponibilidad (toneladas) 300 360 270 240 360
Costo de compra (soles/tonelada) 500 450 400 600 440

La produccin de cada comunidad contiene papas de calidades A, B y C. Por ello, PAPAS S.A.
somete las papas que compra a un sencillo proceso de seleccin en sus instalaciones , que
consiste en separar la papa en sus tres calidades; para luego atender los pedidos de tres
importantes empresas productoras de snacks: las empresas X,Y y Z, respectivamente. Los
costos de seleccin son los siguientes:

Comunidades Indgenas
1 2 3 4 5
Costo de seleccin (soles/tonelada) 50 55 58 55 60

El porcentaje en peso de las diferentes calidades de papa de la produccin en cada comunidad

indgena es el siguiente:

Comunidades Indgenas
Calidad de papa 1 2 3 4 5
A 50 40 30 60 30
B 30 50 50 30 40
C 20 10 20 10 30

Por ejemplo: 100 toneladas de papas provenientes de la comunidad indgena 2 contiene 40

toneladas de papa calidad A, 50 toneladas calidad B y 10 toneladas calidad C. Finalmente, lo
mnimo a entregar (en toneladas) de cada calidad de papa a cada empresa se muestra a
continuacin:

Calidad de papa
Empresa A B C
X 180 160 70
Y 200 140 60
Z 160 150 80

a) Defina las variables de decisin y presente el modelo de programacin lineal en forma

compacta que permita a PAPAS S.A. dar cumplimiento a los pedidos al mnimo costo
total. (Respuesta: Z*=668960).

Ejercicio 2.11

Una empresa comercializadora est planeando sus compras para este da. Dispone de 3
posibles proveedores que pueden abastecer los 6 productos que comercializa. Cuenta con la
siguiente informacin:

pg. 10
 Cantidad disponible (unidades) Costo unitario ($/unidades)
Tipo de producto Tipo de producto
Proveedor 1 2 3 4 5 6 Proveedor 1 2 3 4 5 6
1 200 150 200 150 200 100 1 4 6 3 3 8 4
2 100 200 200 150 200 150 2 3 5 4 5 6 3
3 200 100 150 200 150 100 3 5 4 3 4 7 2

La capacidad del camin que recoger los productos que se compren a los proveedores es de
680 unidades en total. La empresa puede vender los productos sueltos por unidad o en parejas
formando packs. Los tipos de packs son tres y pueden contener:

Tipo de pack Contenido

A Un producto 1 y un producto 2
B Un producto 3 y un producto 4
C Un producto 5 y un producto 6
Se han establecido los siguientes precios de venta, por
producto suelto y por pack:
Tipo de pack A B C
Tipo de producto 1 2 3 4 5 6 Precio unitario ($/pack) 15 25 15
Precio unitario ($/unidades) 7 10 12 15 10 6

Adems, dispone de 3 operarios que trabajan 8 horas este da empacando los productos que
se venden en packs. El tiempo que toma empacar un pack A es 3 minutos, 4 minutos el pack B
y 3 minutos el pack C.

a) Sabiendo que se llega a vender todo lo que se compre, defina las variables de decisin
y formule un modelo de programacin lineal en forma compacta que le permita a la
empresa planificar sus compras para este da. (Respuesta: Z*=7120).

Ejercicio 2.12

Una fbrica especializada en chocolatera fina elabora cuatro tipos de productos: bombones,
barras de chocolate, chocolate para taza y chocolate con almendras. Una parte de la
produccin es destinada al mercado local y la otra se exporta a los EEUU.

La cantidad mnima a vender para el prximo mes y la utilidad unitaria de cada producto en
cada mercado, se muestran a continuacin:

Mnimo a vender (kg) Utilidad unitaria ($/kg)

Mercado Exportacin a Mercado Exportacin a
Tipo de producto local EEUU local EEUU
Bombones 140 160 43 57
Barras de chocolate 70 120 29 43
Chocolate para taza 70 80 26 37
Chocolate con
175 160 31 46
almendras

pg. 11
Asimismo, para el prximo mes la produccin (en kg) destinada al mercado local debe
representar al menos el 40% de la produccin total (en kg).

Los insumos requeridos para la produccin de los tipos de chocolate son: cacao, relleno,
almendras y otros, cuyos porcentajes en peso por tipo de producto y su disponibilidad (en kg)
se muestran a continuacin:

Insumos
Tipo de producto Cacao Relleno Almendras Otros
Bombones 40% 40% 0% 20%
Barras de chocolate 45% 0% 0% 55%
Chocolate para taza 43% 0% 0% 57%
Chocolate con almendras 40% 0% 30% 30%
Disponibilidad (kg) 700 400 350 Ilimitada
Por ejemplo: 1kg de bombones contiene: 0.4 kg de cacao, 0.4kg de relleno y 0.2 kg de otros insumos

a) Defina las variables de decisin y formule un modelo de programacin lineal en forma

compacta que le permita a la empresa maximizar sus utilidades. (Respuesta:
Z*=78401).

Ejercicio 2.13

Una minera extrae roca de 4 canteras; la cual posee tres tipos de metales A, B y C. La
composicin porcentual en peso de la roca que se extrae de cada cantera, el costo de
extraccin y lo mximo que se puede extraer se muestra a continuacin:

Composicin porcentual en peso

Costo de Mxima
Cantera Metal A Metal B Metal C Otros extraccin extraccin
($/tonelada) (toneladas)
C1 20% 30% 40% 10% 50 15000
C2 41% 40% 30% 20% 40 17000
C3 30% 30% 30% 10% 60 16000
C4 40% 10% 20% 30% 50 18000

Para obtener los metales de las rocas provenientes de las canteras, las rocas pueden ser
procesadas en cualquiera de las dos plantas que posee la minera: Planta 1 y Planta 2. La
informacin tcnica econmica de las plantas es la siguiente:

Ritmo de Costo de
Horas
Planta procesamiento procesamiento
disponibles
(toneladas/hora) ($/tonelada)
1 150 100 600
2 200 200 700

pg. 12
Los metales A, B y C se venden a un precio por tonelada igual a $2500, $300 y $4500
respectivamente.

a) Presentar las variables de decisin y su significado; as como el modelo de

programacin lineal en forma matemtica compacta que le permita a la minera
maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=119260000).

Ejercicio 2.14

La empresa DIECOS fabrica tres productos A, B y C y los vende a cuatro clientes: C1, C2, C3 y
C4. Si bien es cierto que los clientes le compraran todo lo que DIECOS les ofrezca, la cantidad
mnima de cada producto a entregar a cada cliente (para asegurar la rentabilidad del negocio)
y la utilidad unitaria se muestran a continuacin:

Mnimo a entregar (unidades) Utilidad ($/unidad)

Producto Cliente C1 C2 C3 C4
Producto Cliente C1 C2 C3 C4
A 400 350 500 300
A 10 12 11 9
B 300 400 200 300
B 9 14 13 15
C 300 250 300 350
C 10 10 9 11

Para fabricar cada tipo de producto se requiere tres insumos: I1, I2 e I3. En la siguiente tabla se
muestra la disponibilidad de cada tipo de insumos y el requerimiento de cada insumo por cada
unidad de producto:

Requerimiento (kg/unidad)
Insumo Disponibilidad (Kg) A B C
I1 2700 0.3 0.4 0.2
I2 2300 0.1 0 0.3
I3 2800 0.4 0.5 0.2

De la tabla anterior puede leerse, por ejemplo, que para producir una unidad de producto A se
requiere de los tres insumos en las siguientes cantidades: 0.3 Kg de I1, 0.1 kg de I2 y 0.4 kg de
I3.

a) Presentar las variables de decisin y su significado; as como el modelo de

programacin lineal en forma matemtica compacta que le permita a la minera
maximizar sus utilidades. (Respuesta: Z*=113800).

pg. 13