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    Hooke General 2016

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    Yhanira Buleje Moscoso
    Este documento presenta la ley de Hooke generalizada para un material sometido a esfuerzos triaxiales. Explica que la deformación en cada dirección depende del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson. También cubre el cambio de volumen debido a la deformación y la relación entre presión y módulo de compresibilidad. Finalmente, aborda las deformaciones angulares producidas por esfuerzos cortantes.

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    Este documento presenta la ley de Hooke generalizada para un material sometido a esfuerzos triaxiales. Explica que la deformación en cada dirección depende del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson. También cubre el cambio de volumen debido a la deformación y la relación entre presión y módulo de compresibilidad. Finalmente, aborda las deformaciones angulares producidas por esfuerzos cortantes.

    Descripción original:

    ley de hooke

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

    FACULTAD DE INGENIERA MECNICA


    DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS E INGENIERA

    Curso: Resistencia de Materiales I (MC 324) Periodo de Nivelacin 2016

    LEY DE HOOKE GENERALIZADA


    Consideremos el estado general triaxial de esfuerzo en un material homogneo e isotrpico, segn
    se aprecia en la figura 1, para determinar los efectos de deformacin producidos por todos los
    esfuerzos. Se tendr en consideracin los efectos de cada esfuerzo axial.

    Figura 1

    En la direccin x, la deformacin unitaria es x = x/E, y en las direcciones y y z son y = -x y


    z = -x. As, las deformaciones totales resultantes sern:

    x = xdx, y = -xdy z = -xdz

    Anlogamente, en la direccin y las deformaciones sern:

    y = ydy, x = -ydx z = -ydz

    Y en la direccin z las deformaciones sern:

    Z = Zdz, x = -zdx y = -ydy

    As entonces, la deformacin global que sufre el elemento en la direccin x ser:

    x y z ( x )total x
    ( x )total = dx dx dx = x = ( y + z ) (IV)
    E E E dx total E E

    Anlogamente, las deformaciones unitarias globales en las otras direcciones son:

    y x z y
    y = = ( x + z ) (V)
    total E E E E E
    z x y z
    z = = ( x + y ) (VI)
    total E E E E E

    Si consideramos que hay cambio de temperatura T, las frmulas (IV), (V) y (VI) pasan a ser las
    siguientes:
    x
    x = ( y + z ) + T (VII)
    total E E
    y
    y = ( x + z ) + T (VIII)
    total E E

    Profesor: Ing. Martn Casado Mrquez 1


    z
    z = ( x + y ) + T (IX)
    total E E

    Cambio de volumen.- Consideremos que las dimensiones del cuerpo prismtico dado en la
    figura 1 son a, b y c respectivamente. Su volumen inicial ser: V0 = abc.

    Debido a las cargas aplicadas, las nuevas dimensiones del cuerpo sern:

    a' = a(1 + x); b = b(1 + y); c = c(1 + z)

    El volumen final del cuerpo ser: Vf = abc = abc(1 + x)(1 + y)(1 + z)

    = V0(1 + x)(1 + y)(1 + z)

    Considerando deformaciones pequeas, al cancelar los trminos de segundo y tercer orden, la


    expresin anterior queda:

    Vf = V0(1 + x + y + z)
    Sumando IV, V y VI se obtiene el cambio unitario en dicho volumen, conocido como
    deformacin volumtrica (e).

    V V f V0 1 2
    e= = = ( x + y + z ) (X)
    V0 V0 E

    Si el elemento es sometido mas bien a una presin uniforme p de un lquido, la presin sobre
    l es la misma en todas direcciones; es decir: x = y = z = -p. Como en este caso el elemento
    solo puede reducir su volumen, al reemplazar en (VII) queda:

    Ee
    p=
    3(1 2)

    As entonces, se define el mdulo volumtrico o de compresibilidad (k) del material como:


    p E
    k= k=
    e 3(1 2)

    Para la mayora de metales 1/3, y por tanto k E. En los cuerpos rgidos k .

    Las relaciones inversas de (IV), (V) y (VI), es decir, las que nos permitirn hallar los esfuerzos en
    funcin a las deformaciones, son:

    x =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) x + ( y + z ) ] (XI)

    y =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) y + ( x + z ) ] (XII)

    z =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) z + ( x + y ) ] (XIII)

    Profesor: Ing. Martn Casado Mrquez 2


    Si en el clculo de los esfuerzos se involucra a la temperatura, las frmulas (XI), (XII) y (XIII)
    toman la siguiente forma.

    x =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) x + ( y + z ) (1 + )T ] (XIV)

    y =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) y + ( x + z ) (1 + )T ] (XV)

    z =
    E
    (1 + )(1 2 )
    [
    (1 ) z + ( x + y ) (1 + )T ] (XVI)

    En cuanto a las deformaciones angulares, si sobre el material se aplican esfuerzos cortantes,


    stos producirn las deformaciones que se aprecian en las figuras 2a, 2b y 2c.

    Figura 2a Figura 2b Figura 2c

    As entonces, las deformaciones angulares del material sern:

    xy yz zx
    xy = ; yz = ; zx = (XVII)
    G G G

    EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM


    Lima, 27 de enero del 2017

    Profesor: Ing. Martn Casado Mrquez 3

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