Apuntes FIS 200 Capitulo 1 2 3 y 4 PDF
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Contenido
Captulo 1. EL CAMPO MAGNTICO .................................................................................................3
1.1. Magnetismo ..................................................................................................................3
1.2. Campo Magntico - Fuerza Magntica ........................................................................3
1.3. Campo Magntico Terrestre. .................................................................................... 11
1.4. Efecto Hall. ................................................................................................................. 11
1.5. Medida de e/m. Ciclotrn.......................................................................................... 13
1.6. Flujo Magntico ......................................................................................................... 14
1.7. Fuerza Magntica sobre un elemento de Corriente ................................................ 15
1.8. Fuerza sobre un conductor rectilneo ....................................................................... 15
1.9. Momento de una Torsin sobre una espira de corriente. ....................................... 16
1.10. PROBLEMAS. .............................................................................................................. 20
CAPITULO 2 .................................................................................................................................... 24
CAMPO MAGNTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE ........................................... 24
2.1. Ley de Biot Sarvart. .................................................................................................... 24
2.2. Induccin Magntica producida por un conductor rectilneo ................................. 25
2.3. Induccin Magntica creada por una espira circular ............................................... 30
2.4. Induccin Magntica Producida por un Solenoide................................................... 33
2.5. Ley de Ampere ........................................................................................................... 34
2.6. Fuerza entre Conductores Paralelos ......................................................................... 35
2.7. Campo Magntico creado por una Carga en Movimiento ....................................... 39
2.8. Ley de Ampere Aplicado a un Medio Conductor ...................................................... 40
2.9. Problemas................................................................................................................... 42
CAPITULO 3 ............................................................................................................................... 46
1.1. Magnetismo
El magnetismo es un fenmeno fsico por el que los objetos ejercen fuerzas de
atraccin o repulsin sobre otros materiales. Hay materiales que presentan
propiedades magnticas detectables fcilmente, como el nquel, el hierro o el cobalto,
que pueden llegar a convertirse en un imn.
Existe un mineral llamado magnetita que es conocido como el nico imn natural. De
hecho de este mineral proviene el trmino de magnetismo, sin embargo existen
imanes artificiales.
Fig. 1.2. La carga que se mova en lnea recta experimenta una desviacin debido al campo magntico B, su
velocidad y la magnitud de su carga
2
90 =
= (. )
= = (. )
Fig. 1.4. Una partcula cargada ingresa formando un ngulo con el campo
Magntico, para luego describir una trayectoria circular.
SOLUCIN:
En la primera regin la carga describir MCU, porque la carga ingresa
perpendicular al campo y adems ste es uniforme y estacionario, con un
radio igual a:
=
El ngulo con que sale de la primera regin lo podemos calcular con ayuda
del grfico, puesto que la velocidad permanecer constante en su recorrido
por la primera regin.
= =
EJEMPLO 1.2 Una carga q de masa m ingresa en una campo magntico uniforme,
estacionario y paralelo a l eje z en el origen. Si la curva que describe la carga es la hlice dada
por la ecuacin vectorial () = (, , ), donde a y b son constantes, w es la
frecuencia angular y t es el tiempo. Hallar:
SOLUCIN:
= ()2 + ()2 + 2
= () +
Es importante notar que la rapidez es en mdulo constante, pero no
lo es en direccin y sentido.
= (. )
I= Corriente que circula por la placa; B= Campo magntico; n= Nmero de cargas por
unidad de volumen; e=Carga elctrica; d=Espesor de la placa.
En la figura 1.7. se ionizan tomos (esto se puede realizar, por ejemplo, calentando un
filamento) para luego ser acelerados mediante una diferencia de potencial V ingresando los
iones a la cmara semicircular donde existe un campo magntico B saliendo del papel. Como
los iones ingresan con una velocidad v perpendicular al campo este describir una trayectoria
circular como se puede ver en la figura e impactaran en la placa fotogrfica y as de esta manera
= (. )
El flujo magntico es una cantidad escalar y se define como la integral de rea del producto
escalar entre el vector campo magntico y el vector rea:
=
(. . )
Se sabe que hasta el momento no se han podido aislar los polos magnticos y eso tiene como
consecuencia que el flujo magntico a travs de una superficie cerrada es nula:
=
= (. . )
Imaginemos un conductor rectilneo de seccin A por el que circula una corriente I. La fuerza a
la que se ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme ser la suma de la fuerza
sobre todas las cargas.
= ( )
Simplificando
= ( ) (. . )
= (
) (. . )
= = = =
Fig. 1.9. Fuerza Magntica sobre dos conductores en una espira cuadrada.
Evaluando las otras dos fuerzas en los dos conductores de lado b se puede ver que las dos
fuerzas opuestas tienen la misma lnea de accin y por lo tanto no producen ningn momento
o par, es decir si sumamos todas la fuerzas que actan sobre la espira se cancelan dos a dos, sin
embargo existe una par igual a:
Fig. 1.10. Fuerza Magntica sobre dos conductores en una espira cuadrada.
MARCO ANTONIO MAMANI CHOQUE 17
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
FACULTAD DE INGENIERA-CURSOS BSICOS
FSICA BSICA III (FIS 200)
______________________________________________________________________
Para N espiras la anterior ecuacin se transforma:
= (. . )
EJEMPLO 1.3: Una bobina rectangular formada por 100 espiras de alambre tiene un ancho de
16 cm y una longitud de 20 cm. La bobina eta montada en un campo magntico uniforme de
densidad de flujo de 8 mT, y una corriente de 20 A circular atreves del devanado. Cuando la
bobina forma un ngulo de 30 con el campo magntico, Cul es el momento de torsin que
tiende a hacer girar la bobina?
T = 0.443 N.m
Entre las ms importantes aplicaciones del torque producido tenemos a los motores elctricos
y los galvanmetros
8. Una carga ingresa en una regin donde coexisten un vector campo magntico
= 1 + 1 [] y un vector campo elctrico. Si la carga se mueve en lnea recta
con un vector velocidad constante e igual a = 4 + 2 [ ], sin sufrir ninguna
desviacin, hallar el vector campo elctrico existente.
R = 0.04 m
11. Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano XY tal como
se muestra en la figura. Se aplica un campo magntico paralelo al eje Z, que vara
a lo largo del eje X de la forma B=0.1 x T (donde x se expresa en metros).
Calcular el flujo del campo magntico que atraviesa la espira.
R.- = 5 *10-5 Wb
12. La espira rectangular de la figura adjunta puede girar alrededor del eje Y, y
transporta una corriente de 10 A en el sentido indicado en el dibujo. La espira
est en una regin del espacio donde existe un campo magntico de mdulo 0.2
T y de direccin y sentido el de la parte positiva del eje X. Calcula la fuerza que
acta sobre cada uno de los lados de la espira y el momento necesario para
=
) (. . )
conductor.
=Vector unitario que apunta desde el diferencial de conductor hasta el punto donde se
desea calcular el vector campo magntico.
Una aplicacin sencilla de la ley de Biot-Savart se refiere al campo magntico que genera una
corriente rectilnea de longitud finita, en el espacio que la rodea.
= ( + ) (. . )
= (. . )
PROBLEMA 2.1. Calcular el vector campo magntico en el origen, para el circuito triangula que
se muestra.
SOLUCIN.-
Donde el campo magntico total ser igual a la suma vectorial de los tres campos magnticos
producidos por cada conductor.
=
1 +
2 +
3
1 = ( + )
4
1 1
1 = ( + )
4
Reemplazando:
=
]
[( + ) + ( + ) + ( + )
PROBLEMA 2.2. Para el conductor muy largo doblado mostrado en la figura calcular el mdulo
del campo magntico en el punto P.
SOLUCIN.-
Note que el campo magntico es un vector saliente del papel y podemos aplicar el mtodo de
superposicin de efectos. Analizando solo la mitad del conductor, entonces se tendra:
1 = () + ()
() = ; () = [ + 90] = [ + 1]
2 4 4
1 1
1 = (1 )= ( )
2 2 2 2 2 2
= =
Para la figura 2.3. la direccin del campo magntico ser paralela al eje x y el mdulo del
campo magntico ser igual a:
=
(. . )
( + )
= (. . )
PROBLEMA 2.2. Por la placa circular muy delgada perforada mostrada circula una corriente I.
Calcular el campo magntico en el centro de la placa.
SOLUCIN: Como es una placa delgada podemos tomar un diferencial de radio como se
muestra en la figura:
= =
( )
=
=
2( )
= ( )
( )
= (Donde t es el tiempo)
Debido a la existencia de un campo magntico y que la carga tiene una velocidad, la carga
experimentar una fuerza magntica de mdulo:
= = 90 =
= 1 1 =
Adems para que exista aceleracin en la direccin de la velocidad tiene que existir una fuerza
(en este caso elctrica) en la direccin de la velocidad de modulo:
2 = 2 =
El modulo del campo elctrico se lo puede calcular con Pitgoras ya que los dos campos
elctricos son mutuamente perpendiculares entre s:
= + = () + ( )
= (. . )
El campo magntico en un extremo del solenoide sobre el eje se hace si los ngulos 2 =
0 1 = 90
= (. . )
Es decir que el mdulo del campo magntico en un extremo ser la mitad del campo
magntico en el centro.
=
(. . )
Fig. 2.6. Fuerza entre dos conductores rectilneos separados una distancia d
Podemos aplicar la ecuacin para evaluar la fuerza F que experimenta el conductor por el circula
una corriente de acuerdo a la ecuacin (1.8)
Donde es el campo magntico creado por el conductor por el que circula la corriente . Por
simplicidad podemos asumir que este conductor es muy largo y su campo magntico es igual a:
=
2
= =
2 2
= (. )
SOLUCION:
2
1 = 90 = = =
2 2
2
1 = ( )
2
Es importante notar que el campo magntico a lo largo del conductor de lado L es constante e
igual a = (debido al conductor rectilneo y muy largo). Esto no sucede con los otros dos
2
conductores oblicuos, al depender el campo magntico de la distancia hasta el conductor ser
necesario tomar un diferencial de conductor y sobre este diferencial se ejercer un diferencial
de fuerza como se muestra en la figura, de acuerdo a la regla de la mano derecha el diferencial
de fuerza tendr la direccin mostrada (campo magntico saliendo de la pizarra):
2 = 90 = (30)
2
3 2 +30
2 = 2 =
4
3 2 3
2 = ln(1 + )
4 2
En magnitud la fuerza que acta sobre el conductor 3 es la misma pero en la direccin mostrada
en la figura.
3 2 3
2 = 3 = ln(1 + )
4 2
La fuerza resultante ser la suma vectorial de las tres fuerzas (las componentes verticales se
cancelan), es decir:
= 1 2 60 3 60
2 3 2 3
= ln (1 + )
2 4 2
= [ ( + ) ]
=
(. . )
=
1
2
= 2 = 2 = ( 2 )
2
2 = ( ) =( )
2
Si aplicamos la ley de ampere para el conductor mostrado pero utilizando una trayectoria
cerrada fuera del conductor como se muestra en la figura se tendra:
=
2 = =
2
=
R.-
2. Un alambre conductor, por el que circula una corriente I , se dobla formando una
circunferencia como se indica en la figura, sin que haya contacto elctrico en el punto
P
3. Por una placa cuadrada de lado a muy delgada se hace una perforacin cuadrada
de lado b y a la vez se hace circular una corriente I. Calcular el campo magntico
en el centro de la placa.
R. =( ( ))
8. Se tiene una espira cuadrada de lado a. Luego se coloca concntricamente otra espira
cuadrada de lado 2a y as sucesivamente se va colocando espiras concntricamente
cuadradas de lado igual al doble de su anterior. Si por cada espira se hace circular una
corriente i en sentido anti horario, calcular el campo magntico en el centro de las
espiras cuando se colocan muchas espiras cuadradas.
9. Se encuentran en un mismo plano un conductor muy largo y una espira cuadrada de
lado b separados una distancia b. Calcular la fuerza que ejerce el conductor muy
10. Por una placa muy delgada y larga circula una corriente I distribuida uniformemente.
Calcular el campo magntico en un punto que se encuentra en el mismo plano a una
distancia a de la placa. Evaluar el campo cuando el ancho b de la misma tiende a
cero.
11. Un tubo cuadrado de lado b muy largo se divide en dos partes iguales y se hace
circular por el mismo una corriente I por cada lado y uniformemente distribuida,
como se muestra la figura. Si una carga se mueve en lnea recta y a velocidad constante
v, calcular la magnitud del campo elctrico uniforme y estacionario existente, para
que la carga describa la trayectoria mencionada.
12. Por la lmina delgada y muy larga doblada en forma de parbola (ver figura) fluye
una corriente I. Calcular el campo magntico en el punto P. Puede considerar que la
16
longitud de curva de la parbola mostrada es .
3
13. Para las placas delgadas y muy largas calcular en qu punto intermedio medido desde
la placa ms ancha, el campo magntico es nulo. Considere densidad de corriente
constante.
. =
14. Una partcula de carga q y masa m en t=0, ingresa en una regin donde existe un
campo magntico uniforme y estacionario de magnitud B en la direccin del eje z
positivo describiendo una trayectoria helicoidal de paso constante alrededor del eje z.
Si en el instante en que la partcula ha dado una vuelta completa se aplica un campo
elctrico tambin uniforme y estacionario en la direccin del eje z negativo de
magnitud E. Calcular en cuanto tiempo la partcula se detendr por primera vez en
su ascenso por el eje z medido desde t=0.
Considere que la componente z de la velocidad inicial de la partcula es igual a vz.
En las figuras (a) y (b) se puede ver que al acercar un imn a un circuito cerrado, cmo el
solenoide, en los terminales del solenoide se induce un voltaje dada por la ecuacin:
= (. )
En ocasiones cuando se tiene el flujo en funcin del tiempo la ecuacin (3.1) se puede expresar
en forma diferencial.
= (. )
Problema 3.1. Calcular el voltaje inducido en la espira triangular equiltera de lado L mostrada
en la figura si en el mismo plano de la figura se encuentra un conductor rectilneo por el cual
circula una corriente igual a:
a) Constante e igual a
b) Sinusoidal y en funcin del tiempo t e igual a: = () ( y w son
constantes).
SOLUCIN.
3 2 (1,1,1)
= = (2) (0,2, 0) = 2
4 3
La corriente estar dada por la ley de Ohm:
El sentido de la fuerza ejercida sobre la carga negativa es de a a b, en dicha figura, mientras que
la fuerza sobre una carga positiva es de b a a.
Fig. 3.2. Fuerza Magntica sobre un conductor que se mueve a una velocidad v
Perpendicularmente en un campo magntico uniforme B.
= =
De manera general:
=
(. )
Ahora bien est fuerza elctrica producir una diferencia de potencial entre los extremos del
conductor, de acuerdo a la definicin de diferencia de potencial:
= = =
=
(. )
= = (
) (. )
= =
Fig. 3.3. (a) y (b) El flujo magntico que atraviesa la espira se incrementa y se induce
una corriente en sentido anti horario
(c) y (d) El flujo magntico que atraviesa la espira disminuye y se induce
una corriente en sentido horario.
() ()
= = = = () = ()
= () ( . )
Donde; =
= () = ()
Si la espira es cerrada circular una corriente, que se la puede llamar corriente inducida igual
a:
()
= =
Fig. 3.5. Corriente Inducida en una espira debido a un flujo magntico variable ()
El sentido de la corriente inducida ser en sentido anti horario (de acuerdo a la ley de Lenz),
ahora est misma corriente inducida genera un campo magntico (flujo magntico propio) que
de acuerdo a la ley de Faraday inducir una nueva fem igual a:
Fig. 3.6. Flujo propio creado por la corriente inducida (Aplicar la Regla de la mano
derecha para ver la direccin de la lneas de campo magntico)
Consideremos un circuito por el que circula una corriente I. De acuerdo con nuestros
conocimientos esta corriente produce un campo magntico que en cada punto es proporcional
a I. Se puede calcular el flujo magntico a travs del circuito debido a su propio campo
magntico y llamarlo flujo propio. Es evidente que este flujo propio " " es proporcional
a la corriente I, es decir:
= (. )
= (. )
[] = [ ]=[ ] = []
() ()
= = =
= (. )
Para indicar que un circuito posee una inductancia apreciable se usa el siguiente smbolo.
3.8. Circuito RL
Todo circuito posee una cierta inductancia, sin embargo en muchos casos se la puede
despreciar. Un circuito RL conectado a una fuente de voltaje continua, es un ejemplo que se
puede analizar con las leyes de Kirchhoff.
L
1H
V R
12 V 3
= + (. )
= ( ) (. )
12 4
= (1 1 ) = 3(1 4 )
4
= 2 + (. )
2 =
= .
= =
0
= (. )
La ecuacin (3.12) representa la energa magntica necesaria para aumentar una corriente
desde cero hasta el valor de i .
= (. )
1 2 1 2 1
2 ( ) ()
= = =2 =2
1 2
= ( ) =
2 2
= (. )
Aunque la ecuacin (3.13) ha sido deducida para un solenoide se la puede utilizar para
cualquier dispositivo electromagntico.
Sean los circuitos (1) y (2) por los que circula las corrientes "1 " "2 " . Recordando la
definicin de flujo magntico el flujo 1 encerrado por el circuito (1) puede expresarse como la
suma del flujo generado por la corriente "1 " que fluye en el propio circuito (1) y el generado
por la corriente "2 " que fluye en el circuito (2):
1 = +
1
2
1 1
= + (. )
En forma anloga el flujo 2 encerrado por el circuito (2) puede expresarse como la suma del
flujo generado por la corriente "1 " en el circuito (1) y el flujo generado por "2 " en el propio
circuito (2):
1
2 = 2
+
2 2
= + (. )
Por la ley de Faraday la fems de los circuitos (1) y (2) se pueden expresar de la siguiente
manera:
1 11 12
1 = =
= (. )
2 21 22
2 = =
= (. )
= = =
Dnde:
= (. )
= (. )
Estos coeficientes representan la rapidez con la que cambia una fraccin del flujo magntico a
travs de un circuito con respecto a la corriente del otro circuito y reciben los nombres de
inductancia mutua.
En el caso de circuitos distantes se puede despreciar la fraccin de flujo que sale de uno y se
encierra en el otro circuito y para tal caso las ecuaciones para las fems de los circuitos se
pueden escribir:
= (. )
= (. )
En este caso el nico efecto importante es la fem autoinducida en cada circuito, y los circuitos
estn aislados o son magnticamente independientes entre s.
= =
. =
Como M es momento magntico por unidad de volumen sus unidades en el SI sern A/m es
decir corriente por unidad de longitud.
Para el caso del solenoide es justamente este trmino que debemos sumar a la corriente por
unidad de longitud que circula por un solenoide:
= ( + ) (. )
=
0
= (. )
= ( + ) (. )
= (4.4)
Fig. 4.2. Material Cilndrico dentro de un solenoide donde se crea un campo magntico
= 0 ( + ) = 0 ( + Xm ) = 0 (1 + Xm ) = 0
Donde ; = 0
Es posible determinar un circuito magntico debido a que su comportamiento est regido por
ecuaciones anlogas a aquellas de un circuito elctrico.
= = = =
Donde: = = ; = =
Los clculos de flujo en el ncleo utilizando los conceptos de circuitos magnticos, siempre son
aproximados; a lo sumo tienen una precisin cercana a un 5% de la respuesta real. Hay una
serie de razones para esta inexactitud inherente:
2
= =
2 2
La anterior tabla es til para evaluar las susceptibilidades de materiales diamagnticos (Xm <
0); y paramagnticos (X m > 0) .
Para el tercer grupo, materiales ferromagnticos, la susceptibilidad toma valores muy elevados,
sin embargo es ms prctico obtener de grficas para materiales ferromagnticos el valor de la
permeabilidad relativa que se define en funcin de la susceptibilidad magntica de la siguiente
manera:
= 1 + X m (4.4)
Fig. 4.5. Grafica Intensidad Magntica e Induccin Magntica para materiales ferromagnticos
= (. )
Si deseamos eliminar este flujo residual, tenemos que invertir la corriente en el circuito e
incrementar gradualmente H en la direccin opuesta. Al hacer esto, nos movemos a lo largo de
la curva bc. Los dominios magnticos cambian gradualmente su orientacin previa hasta que la
densidad de flujo se vuelve cero en el punto c. La intensidad de flujo magntico necesaria para
reducir el flujo a cero se llama fuerza coercitiva (Hc).
Al reducir la densidad de flujo de Br a cero, tambin tenemos que suministrar energa. Esta
energa se utiliza para vencer la resistencia de friccin de los dominios magnticos, pues stos
se oponen al cambio de orientacin. La energa suministrada se disipa como calor en el
material. Un termmetro muy sensible indicara una leve elevacin de temperatura en el anillo
que est siendo desmagnetizado.
Los transformadores y la mayora de los motores elctricos funcionan con corriente alterna es
decir la polaridad y el sentido de la corriente cambian con una frecuencia de 50 ciclos cada
segundo (en Bolivia). En ese caso se obtiene una curva cerrada llamada histresis (fig. 4.7)
cuya rea encerrada representara las perdidas por efecto Joule que ocurren por ciclo de
funcionamiento en una maquina elctrica.