Deducción de Fórmulas de Integracion.
Deducción de Fórmulas de Integracion.
Deducción de Fórmulas de Integracion.
+ = = C x F dx x f y ) ( ) (
si y slo si
) ( ) ( ' x f C x F = +
La expresin f(x)dx es la antiderivada de F(x).
es el sino de interacin! se lee "interal de#
f(x) $nterando
dx %iferencial de la variable
x &ariable de interacin
F(x) 'uncin primitiva
C (onstante de interacin
) Si en la expresin y = f(x)dx = F(x) + C y! como se*alamos en
la de+nicin de antiderivada que F(x) = f(x) ! sustituimos en la
expresin anterior F(x)dx = F(x) + C queda d/dx,f(x)dx- =
d/dx,F(x) + C- f(x) = F(x).
dx
d
[ ]
dx x f ) (
.
dx
d
[ ] C x F + ) (
(omo la derivacin y la interacin son operaciones inversas!
ello nos permite obtener las frmulas de interacin directamente de
las frmulas de derivacin.
Frmulas de Derivacin. Frmulas de
Integracin
0 = k
dx
d
La derivada de una constante respecto a x es cero
[ ] ) ( ' ) ( x kf x kf
dx
d
kdx kx
dx
d
=
=
=
+ =
dx x f k x kf
C kx kdx
) ( ) (
La derivada de una constante por una funcin es iual a la
constante por la derivada de la funcin
1 ) ( = x
dx
d
La derivada de una variable con respecto a s misma es iual a
la unidad
De suma o diferencia
[ ] ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( x g x f x g x f
dx
d
=
La derivada con respecto a
x
de la suma o diferencia de un
n/mero +nito de funciones es iual a la suma o la diferencia de sus
derivadas.
De potencia
A partir de aqu consideraremos a
u
como cualquier funcin de
la variable
x
dx nu u
dx
d
n n 1
=
+
+
=
+
C
n
u
du u
n
n
1
1
con 1 n
si 1 = n
=
du
u
du u
1
1
=
u
du
ln
C u +
C u L + =
La derivada de una funcin
u
elevada a un exponente entero
positivo es iual al producto del exponente disminuida en uno! por la
derivacin de la funcin
u
.
Trigonomtricas
dx
d
sen
= u
cos
dx
du
u
dx x x ) 3 5 2 (
2
.
x dx x 5 2
2
dx dx 3
.
C x x x + 3
2
5
3
2
2 3
) 5tras interales se pueden resolver al sumar y restar al interando
una misma cantidad
23emplo:
+
2
) 5 (x
xdx
.
4ara su solucin se procede en la forma siuiente: del
denominador! en la expresin
2
) 5 ( + x tomamos el 6! mismo que se
suma y se resta al numerador7 la interal obtenida se descompone en
dos interales.
+
+
=
+
dx
x
x
x
xdx
2 2
) 5 (
) 5 5 (
) 5 (
.
+
+
+
+
2 2
) 5 (
5
) 5 (
) 5 (
x
dx
dx
x
x
.
+
+
2
) 5 (
5
5
) 5 ( x
dx
x
dx
dx x du
x x u
=
+ =
) (
5 ) (
.
+ du u x L
2
5 ) 5 (
. C
u
x L +
+
2
1
5
) 5 (
+
+
+ + =
+
C
x
u Lux
x
xdu
5
5
5
) 5 (
2
8.9
2 2
u a
du
a
x
u
udu a du
u a x
arcsin
cos
sin
=
=
=
=
du
a
u a
udu
u a a
udu 1
sin 1
cos
sin
cos
2 2 2 2
a
x
a
u
a
arcsin
1 1
=
:.9
+
2 2
u a
du
dy
y
a
du
y
y y
a du
y
y
a u
y a y
2
2
2 2
cos
cos
sin cos
cos
sin
tan
=
+
=
=
=
= = = =
+
a
u
a
u
a
du
a
y
y
du
a
y
y
du
y
a
arctan
1 1 1
cos
1
1
cos
1
cos
sin
1
1
cos
2
2
2
2 2
;.9
2 2
a x x
dx
du
u
u
a dx
u a x
2
cos
sin
sec
=
=
a
u
arc
a
u
a
du
a
du
u
u
u
u
a
u
u
u
u
a
u
a
u
u
a
u
a
u
a
u
u
a
sec
1 1 1
cos
sin
1
cos
sin 1
cos
cos 1
1
cos
sin 1
1
cos
1
1
cos
sin
cos cos
1
cos
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= =
<.9
dx e
x
dx e du
e u
x
x
=
=
+ = = C e u du
x
6.9
dx a
x
dx a du
u du
a u
Lna
du
a
Lna
u
x
x
x
=
=
=
=
) (
1
1
Lna a
Lna
du
x
1
= dx
+ = C a
Lna
dx a
x x
1
Integracin de una funcin compuesta
Existen varias tcnicas para aplicar una sustitucin pero el propsito
de todas es identificar en el integrando una funcin ue este !ultiplicada
por la diferencial de esa funcin" axial poder aplicar una for!ula de
integracin#
En el !todo de sustitucin" lla!ado ta!$in ca!$io de varia$le" se
escoge una literal#
En nuestro caso se eligi la u" ue se iguala a la funcin ue inclu%e
el integrando" por ello es necesario se&alar ue esta en funcin de la
varia$le de dic'a funcin#
E(e!plos)
*ntegrar (+nica!ente identificar la funcin % su diferencial)
1#, sen -x (-) dx sol# -x es la funcin
u(x) du(x) -dx su diferencial
.e&ala!os) u /-
u(x) / -x
du(x) / -dx
2.- cos 5% d% sol# 5% es la funcin
u(%) du(%) d% la diferencial
(inco!pleta)
.e&ala!os) u / 5
u(%)/ 5%
du(%)/ 5d%
0educcin de fr!ula
1o!o %a 'e!os estudiado la sustitucin por ca!$io de varia$le" pode!os
aplicarla para deducir las for!ulas de derivacin de la 2 tan x dx" 2 cot x dx" 2 sec x dx"
% 2 csc x dx#
2#1#, 3ara 2 tan x dx
0e!ostra!os en trigono!etr4a ue)
5an x / sen x
cos x
0e donde
tan x dx / sex dx
cos x u / cos x
u(x)/ cos x
du(x)/ ,sen x dx
6ultiplica!os por (,1) dos veces en el integrando % sustitu%endo
/ ,(,sen x dx)
1os x
/ , du
u
*ntegrando / , 7 (u)8 1
1on el valor de u" ueda
/,7 (cos x)8 1
9de!:s) ,7 (cos x) / , ln 1
.ec x
/ ,(ln ;ln sec x)
/ ,(ln18ln sec x)
1o!o
,7 (1) /
.e tiene ue
,7 (cos x) / 7 sec x
3or lo tanto"
tan x dx/ 7 <sec x < 8 1
2.2 Para 2 cot x dx
0e!ostra!os en trigono!etr4a ue
1ot x / cos x
sen x
0e donde cot x dx / cos x dx
sen x u/ sen x
u(x) / sen x
du(x)/ cos x dx
.ustitui!os)
/ du
u
*ntegra!os
/ 7 (u)8 1
1on el valor de u" ueda
/ 7 (sen x)81
3or lo tanto"
cot x dx / 7< sen x <81
2.3 Para sec x dx multiplicamos y dividimos el integrando por
(Sen x+ tan x
2 sec dx/2 sec x ( sec x 8tanx)dx
.ec x 8tan x
/ 2 (sec
2
x8sec x tan x) dx
.ec x 8 tan x u / sec x8 tan x
u(x)/ sec x 8 tan x
du(x)/ (sec x tan x 8 sec
2
x)dx
.ustitui!os
/ 2 du
u
*ntegra!os
/7 (u) 81
1on el valor de u" ueda
/ 7 (sec x8tan x)81
3or lo tanto"
2sec x dx /7 < sec x 8tan x <81
2#=#, 3ara csc x dx se calcula en for!a se!e(ante a la 2 sec x dx#
6ultiplica!os % dividi!os el integrando por (csc x, cot x)
2 csc x dx / 2 csc x(cscx,cot x)dx
1sc x,cot x
/ 2 (csc
2
x, csc x cotx)dx
1sc x,cot x u / csc x,cot x
u(x)/csc x,cot x
du(x)/ csc
2
x,csc x cotx dx
sustitu%endo
/ 2 du
u
integrando
/ 7 (u)81
/l(csc x ;cotx)81
3or lo tanto"
2 csc x dx/ 7 <csc x ;cot x<81